Extraövningar, linjär algebra

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "Extraövningar, linjär algebra"

Transkript

1 Extraövningar, linjär algebra Uppgifter markerade med * kan innehålla något moment som är kursivt, medan uppgifter markerade med ** kan vara av det svårare slaget och innehålla något moment som inte ingår i kursen. De är bland annat här för att belysa hur metoder i linjär algebra återfinns i andra delar av matematiken och i andra ämnen. För övningar markerade med glasögon ( ) är det tänkt att du bara ska läsa och begrunda. Dessa exempel belyser ofta någon tillämpning av linjär algebra som ej ingår i kursen. Linjära ekvationssystem E 1 Jörn och Gunlög är syskon. Jörn har två gånger fler systrar än bröder och Gunlög har lika många systrar som bröder. Hur stor är syskonskaran? E 2 Ask och Embla ska köpa choklad. Ask observerar att Om jag ger dig hälften av mina pengar så kan du köpa två chokladkakor. Embla undrar då Om jag ger dig hälften av mina pengar, hur många chokladkakor kan du köpa då?. Ask svarar att då kan han köpa en chokladkaka. Hur mycket pengar hade Ask? E 3 Trafikkontoret har i en stad med fem vägar mätt trafikflödet (bilar per timme) på vissa ställen, se figuren nedan. Ställ upp ett ekvationssystem för flödet vid de övriga gatorna (pilarna) i staden. (Vi antar att inga bilar parkerar i staden och därmed att lika många bilar som kör in i varje korsning måste köra ut ur densamma.) Har de mätt på tillräckligt många platser för att kunna bestämma flödena överallt? E 4 Tabellen nedan ger antalet milligram (mg) av vitamin A, vitamin B och kalcium som fyra olika maträtter innehåller per 100 gram (g). Antag att en person vill sätta samman en kost bestående av 200 mg vitamin A, 250 mg vitamin C och 300 mg kalcium. Ställ upp ett linjärt ekvationssystem vars lösning ger personen rätt näringsvärde. Kan man förvänta sig att lösningen är unik? Mat 1 Mat 2 Mat 3 Mat 4 Vitamin A Vitamin C Kalcium E 5 För en kvadratisk metallisk platta hålls sidorna vid konstant temperatur (enhet C) enligt figur nedan. Vidare kan man vid anta att det efter en viss tid uppstår jämvikt och att det då i de fyra inre punkter som är markerade gäller att temperaturen kan uppskattas med medelvärdet av de fyra punkter de är sammanknutna med. Vilken uppskattning ger det för temperaturen i dessa punkter? 20 *E 6 Jag har 32 mynt i fickan fördelade på enkronor, femkronor och tior. Hur många har jag av varje sort om deras totala värde är 100 kr? Vektorer E 7 Låt i en godtycklig konvex fyrhörning ABCD punkten M beteckna skärningen mellan diagonalerna AC och BD. a. Visa att om M skär diagonalerna mitt itu så är AB =DC. b. Visa att om AB =DC och AD=BC så skär M diagonalerna AC och BD mitt itu. **E 8 Låt P 2 beteckna mängden av polynom av grad högst två. För två polynom p 1 och p 2 i P 2 och för konstanter c definierar vi addition av polynom (p 1 + p 2 ) och multiplikation av polynom och skalär (cp 1 ) som (p 1 + p 2 )(x) = p 1 (x) + p 2 (x), 25 (cp 1 )(x) = c p 1 (x).

2 Exempelvis gäller alltså att om p 1 (x) = x + 1, p 2 (x) = x 2 3x + 1 och c = 2 så är jan jun Bil 1 Bil 2 Bil 3 Fabrik A jul dec Bil 1 Bil 2 Bil 3 Fabrik A och (p 1 + p 2 )(x) = p 1 (x) + p 2 (x) = x x 2 3x + 1 = x 2 2x + 2 (cp 1 )(x) = c p 1 (x) = 2(x + 1) = 2x + 2. a. Vad borde svara mot nollvektorn i P 2? b. Verifiera att P 2, med dessa operationer (addition och multiplikation med skalär) uppfyller samtliga villkor i Sats 1, sidan 23 i Sparr. Detta visar att P 2 utgör ett linjärt vektorrum. **E 9 Antag att vi på mängden av talpar inför addition (som vi här betecknar med ) (x 1, y 1 ) (x 2, y 2 ) = (x 1 + x 2, y 1 y 2 ) och multiplikation med skalär som (som vi här betecknar med ) c (x 1, x 2 ) = (c x 1, c x 2 ). Fabrik B Fabrik C Fabrik B Fabrik C E 12 I ett parkeringshus kostar det 50 kr för bilar och 100 kr för bussar att parkera. Tabellen nedan visar hur många bilar respektive bussar det fanns i huset under en arbetsvecka. Hur mycket pengar fick parkeringsbolaget in på bilar och bussar de olika dagarna denna vecka? Ställ upp det som en multiplikation mellan en matris och en vektor. Vilken dag fick de in mest pengar? E 13 Låt Bilar Bussar Måndag 30 5 Tisdag 23 2 Onsdag Torsdag 27 6 Fredag 24 8 Här betecknar +, och vanlig addition, subtraktion och multiplikation. Avgör vilka av räknereglerna i Sats 1, sidan 23 i Sparr som gäller. **E 10 Antag att vi på mängden av talpar inför addition (som vi här betecknar med ) Beräkna A 20. A = (x 1, y 1 ) (x 2, y 2 ) = (x 1 + x 2 + 1, y 1 + y 2 + 1) och multiplikation med skalär som (som vi här betecknar med ) c (x 1, x 2 ) = (c x 1 + c 1, c x 2 + c 1). Här betecknar +, och vanlig addition, subtraktion och multiplikation. Avgör vilka av räknereglerna i Sats 1, sidan 23 i Sparr som gäller. Matrisräkning E 11 En biltillverkare som tillverkar tre olika bilmodeller i tre olika fabriker når resultat första respektive andra halvåret enligt tabeller nedan (enhet Mkr). Beräkna årsresultatet för respektive fabrik och modell genom att ställa upp lämpliga matriser och addera dem. E 14 Bestäm alla 2 2-matriser A på formen A = ( a b 0 c ) sådana att A 2 = I. E 15 Finns det 2 2-matriser A och B sådana att AB BA = I? E 16 Finn alla 2 2-matriser A sådana att AA T = 0. E 17 Visa att om A, B och C är inverterbara n n-matriser så är ABC också inverterbar, med invers (ABC) 1 = C 1 B 1 A 1.

3 E 18 Antag att A, B och A + B är inverterbara matriser av samma storlek. Visa att matrisen A 1 + B 1 är inverterbar, och (A 1 + B 1 ) 1 = A(A + B) 1 B = B(A + B) 1 A. *E 19 Med spåret av en kvadratisk matris A (betecknas tr A efter engelskans ord trace) menar vi summan av diagonalelementen hos A. Låt A och B vara 2 2-matriser. a. Visa att tr(ab BA) = 0. b. Antag att X är en 2 2-matris med tr X = 0. Visa att det finns ett tal c sådant att X 2 = ci. c. Visa att det för 2 2-matriser A, B och C gäller att (AB BA) 2 C = C(AB BA) 2. **E 20 Låt A och B vara n n-matriser. a. Visa att spåret av AB är lika med spåret av BA, det vill säga tr(ab) = tr(ba). b. Kan det gälla att AB BA = I? Jämför med extraövning 15. Kommentar: AB BA kallas för kommutatorn av A och B och betecknas ofta [A, B]. Uppgiften ovan kan jämföras med kommutatorer inom mekaniken. Det gäller för deriverbara funktioner u att [ d d d, x]u = (xu) x u = u, dx dx dx det vill säga [ d, x] svarar mot identitetsoperatorn. dx E 21 Vid ekonomiska modeller (Leontief-modeller) förekommer en del ekvationslösning och matrisräkning. Vi ger här ett litet exempel. I många realistiska fall finns tusentals rader och kolumner. Tjänster Råmaterial Tillverkade varor Tjänster Råmaterial Tillverkade varor Tabellen ovan skall läsas som att för att få ut 1 kr tjänster så krävs 0.04 kr i tjänster, 0.05 kr i råmaterial och 0.02 kr i tillverkade varor. Vi kan samla datan ovan i en så kallad ingångs-utgångsmatris A = Efterfrågansvektorn d ger den totala efterfrågan för de tre olika sektorerna (enhet Mkr), och produktionsvektorn x (enhet Mkr) innehåller produktionsdata för varje sektor. Varje komponent i vektorn Ax innehåller den produktionsnivå som används av respektive sektor och kallas för den interna efterfrågan. Antag till exempel att produktionsvektorn x ges av Då blir den interna efterfrågan x = Ax = = Härifrån utläser vi till exempel att tjänstesektorn behöver 16 Mkr för tjänster, råmaterial och tillverkade varor. Vi kan också härifrån dra slutsatsen att den externa efterfrågan inte får överstiga 184 Mkr i tjänster, 84 Mkr i råmaterial och 86 Mkr i tillverkade varor. Alternativt, antag att den externa efterfrågan d är given. Vi vill då bestämma produktionsnivån för varje sektor så att den interna och externa efterfrågan är lika. För att göra det måste x uppfylla det vill säga x Ax = d, (I A)x = d. Om I A är inverterbar, så blir alltså x = (I A) 1 d. Antag, som exempel, att efterfrågan d ges av En räkning ger då att d =

4 x = (I A) 1 d Detta utläser vi som att tjänstesektorn måste producera tjänster till ett värde av 360 Mkr, råmaterialsektorn måste producera råmaterial till ett värde av 569 Mkr och tillverkningssektorn måste producera varor till ett värde av 974 Mkr. E 22 Vid bildbehandling arbetas det indirekt med matriser. Bilderna nedan består till exempel av matriser (som vi kan tänka oss som vektorer i R = R ), där varje tal representerar en pixel i bilden och är ett mätetal på vilken grå nyans den pixeln skall ha. Låt vidare josen och vinet ha värde c 1 = 2 och c 2 = 3 respektive, och anta att insatsen av druvor, arbete och kapital begränsas av b 1 = b 2 = b 3 = 8. Med dessa beteckningar är A = , c = ( c 1 ) = ( 2 c ), b = b 1 b 2 b 3 = 8 8, x = ( x 1 ). x 8 2 Här betecknar x 1 och x 2 produktionsnivåerna för jos respektive vin. Vår uppgift är: Maximera c x (det vill säga försäljningsvärdet) under bivillkoren Ax b och x 0. Här betyder Ax b att varje element i vektorn Ax skall vara mindre än eller lika med motsvarande element i b. Motsvarande för x 0. Den här typen av problem förekommer i optimeringslära, inte sällan med hundratusentals rader och kolonner i matrisen. Det finns utvecklade metoder att lösa dem (bland annat den så kallade simplexmetoden). Kanske kan du lösa detta exempel för hand genom att pröva dig fram? Skalärprodukt Sasha Gråskaleinverterad Matrisinverterad Sasha E 24 Antag att x och y är vektorer i R 2. Visa att Sasha x + y 2 + x y 2 = 2( x 2 + y 2 ). När du läst detta exempel bör du inte längre vara förvånad (om du var det innan) över att man behöver jobba i (och därför ha teori för) R n även för stora n. Vissa vanliga manipulationer man gör vid bildbehandling (såsom enkel skärpning) är linjära. *E 23 Den här övningen visar på ett vanligt förekommande optimeringsproblem som löses delvis med medel från linjär algebra. Ett företag har två produkter, druvjos och vin. Tabellen nedan visar hur mycket druvor, arbete och kapital som går in i produktionen (i lämpliga enheter). Jos Vin Druvor 3 1 Arbete 1 2 Kapital 1 3 Kan du ge någon geometrisk tolkning? En figur kanske kan hjälpa. **E 25 I den här uppgiften visar vi hur skalärprodukt kan generaliseras (då brukar den kallas inre produkt). Antag att vi har ett vektorrum V. En inre produkt är en regel som till varje par av vektorer x och y i V tilldelar ett tal (som betecknas x, y ) sådant att följande är uppfyllt i. x, y = y, x, för alla x och y i V. ii. x + y, u = x, u + y, u för alla x, y och u i V. iii. cx, y = c x, y för alla x och y i V och alla skalärer c. iv. x, x 0 för alla x och x, x = 0 precis då x = 0. Se sats 2, kapitel 4 i Sparr för dessa egenskaper hos skalärprodukten i R n, dvs x, y = x y. Låt nu vårt vektorrum vara P 2 (på intervallet (0, 1)), se extraövning 8. För två polynom p 1 och p 2 i P 2 definierar vi p 1, p 2 som

5 p 1, p 2 = 1 0 p 1 (x)p 2 (x) dx. Verifiera att alla fyra egenskaper ovan är uppfyllda. **E 26 För två m n-matriser A och B definierar vi A, B = tr(a T B). Visa att detta uppfyller samtliga villkor (se föregående uppgift) för inre produkt. Spåret för en matris definierades i extraövning 19. *E 27 För geometriska vektorer x och y känner vi till att x y = x y cos θ, där θ är vinkeln mellan x och y. Eftersom 1 cos θ 1 gäller det att x y x y. Denna olikhet är en enkel form av Cauchy Schwarz olikhet. Cauchy Schwarz olikhet är en av de mest fundamentala inom matematiken. Den gäller alltid då vi har en inre produkt. Till exempel gäller det för alla p 1 och p 2 i P 2 (se extraövningar 8 och 25) att 1 p 1 (x)p 2 (x) dx ( (p 1 (x)) 2 dx) 1/2 ( (p 2 (x)) 2 dx) 1/ *E 28 Den här uppgiften finns här för att visa hur minsta kvadratmetoden fungerar. Tabellen nedan visar kostnaden (i Mkr) som ett företag har haft för reklam under sex år och hur mycket företaget tjänat samma år. 0 1 Ledningen inser att det inte finns en rät linje som skär alla punkter. Hur bestämmer man en linje som passar bäst in? Vi ska visa ett vedertaget sätt här. Vi skulle vilja ha k och m så att (tänk efter!) ( 21 1 m ) = Detta är förstås ett kraftigt överbestämt problem som saknar lösning. Låt A beteckna koefficientmatrisen i vänsterledet, x = (k, m) och y beteckna högerledet. Tricket (du kan läsa i kursboken om varför detta fungerar bra) är att multiplicera ekvationen Ax = y med A T. Gör vi det får vi ekvationssystemet A T Ax = A T y (som kallas normalekvationen) ( )( k ) = ( m 540 ). Detta (kvadratiska!) ekvationssystem kan lösas enkelt och lösningen blir k = , m = Observera att denna lösning förstås inte löser det ursprungliga ekvationssystemet Ax = y! Vi ser denna data tillsammans med den räta linjen y = kx + m i figuren nedan. Kostnad för reklam Årsinkomst Den något naiva företagsledningen stirrar sig blinda på detta och skulle vilja veta hur mycket de ska satsa på reklam om de vill upp i en årsinkomst på 150 Mkr följande år. De tycker att det ser ut som att inkomsten beror på satsade reklampengar ungefär som en rät linje. Slutligen, ledningen ville ha en prognos för hur mycket pengar de skall satsa på reklam om de vill ha en inkomst på 150 Mkr. Sätter vi in y = 150 och löser ut x så får vi x = 2936/ De bör alltså satsa drygt fyrtio miljoner kronor på reklam enligt denna modell.

6 Determinanter och kryssprodukt E 29 En permutationsmatris är en matris som består av endast ettor och nollor, och där varje rad och kolumn innehåller exakt en etta. Till exempel är matrisen en permutationsmatris. Vilka värden kan determinanten för en permutationsmatris ha? E 30 Matriserna A och B sägs vara likformiga (ibland ser man beteckningen similära) om det finns en inverterbar matris C sådan att A = CBC 1. Visa att om A och B är kvadratiska likformiga matriser så är det A = det B. **E 31 Du befinner dig i Lund och ska flyga ditt lilla propellerplan till Tokyo. I vilken riktning skall du flyga för att ta den kortaste vägen? Två alternativ: Längs med Dalbyvägen i ostlig riktning eller längs E22:an i nordostlig riktning? Linjära avbildningar Lund Tokyo Latitud Longitud E 32 Antag att v 1, v 2,, v k är k linjärt oberoende vektorer i R n. Antag vidare att A är en inverterbar n n-matris. Visa att vektorerna w j = Av j, j = 1, 2,, k är linjärt oberoende. **E 33 Låt D : P 2 P 2 beteckna deriveringsavbildningen, det vill säga Till exempel gäller alltså att (Dp)(x) = p (x). D(x 2 + 3x 1) = 2x + 3. a. Visa att D är linjär. b. Visa att avbildningsmatrisen A för D i basen {1, x, x 2 } ges av A = c. Bestäm nollrummet till A. d. Vilka polynom p uppfyller Dp = 0? Verkar det stämma med föregående deluppgift? e. Vilken rang har matrisen A? Kan du förklara det i termer av derivering av polynom? f. En matris B sägs vara nilpotent om det finns ett positivt heltal k så att B k = 0. Visa att A ovan är nilpotent. Hur rimmar det med att A representerar derivering av polynom? E 34 Visa att om x 0 och x 1 båda löser ekvationen Ax = y och om α och β är tal sådana att α + β = 1 så kommer αx 0 + βx 1 också att lösa ekvationen Ax = y. Varför tror du denna uppgift är i avsnittet om linjära avbildningar? Egenvärden och diagonalisering E 35 Är avbildningsmatrisen A från extraövning 33 diagonaliserbar? *E 36 Antag att varken ω 1 eller ω 2 är ett egenvärde till n n-matrisen A. Visa att (A ω 1 I) 1 (A ω 2 I) 1 = (ω 1 ω 2 )(A ω 1 I) 1 (A ω 2 I) 1. Anmärkning: Matriser på formen (A ω 1 I) 1 kallas för resolventer. Du som skall läsa kursen System och transformer kommer att stöta på dem där. Likheten ovan brukar gå under namnet resolventidentiteten, och den används bland annat vid egenvärdesproblem i kvantmekaniken (så kallad spektralteori), där det ibland är fördelaktigt att skriva en differens av inverser som en produkt av desamma. *E 37 Låt A vara en 2 2-matris med egenvärden λ 1 och λ 2. a. Visa att b. Visa att det A = λ 1 λ 2.

7 tr A = λ 1 + λ 2. Här står tr A för spåret av A (se extraövning 19). c. Kan du använda resultaten ovan för att få fram egenvärdena till ( )? Återlämnas på Uthyres på A B C A B C d. Kan du med hjälp av informationen ovan skapa en 2 2-matris (utan nollor!) som har egenvärden 1 och 3? e. (Svårare) Kan du generalisera resultatet i de två första deluppgifterna ovan till n n-matriser? *E 38 Detta exempel beskriver Leontiefs slutna ekonomimodell. Se även extraövning 21. Tre hantverkare skall hjälpa till att renovera varandras hus. Alla tre arbetar sammanlagt 10 dagar enligt följande schema Snickare: Elektriker: Rörmokare: 3 dagar i sitt hus, 4 hos elektrikern och 3 hos rörmokaren. 5 dagar i sitt hus, 2 hos snickaren och 3 hos rörmokaren. 2 dagar i sitt hus, 4 hos elektrikern och 4 hos snickaren. Vid prissättningen bestämmer hantverkarna att ta en dagslön som gör att var och en tjänar exakt lika mycket på sitt arbete som den måste betala för utfört arbete (notera att alla måste betala till sig själva också). Sätt upp ett ekvationssystem som uttrycker Utgifter är lika med inkomster med hjälp av en tredimensionell kolonnvektor x = (s e r) T, vars element representerar dagslönen för respektive hantverkare. Notera att man kan sätta upp en matris (prestationsmatris kan vi kalla den) sådan att x är en egenvektor med egenvärde 10 (som motsvarar antalet arbetsdagar) till matrisen. Till varje egenvärde finns det oändligt många egenvektorer (det blir ju parameterlösning). Välj en egenvektor som ger rimliga dagslöner enligt Lunds arbetsmarknad. *E 39 Följande är ett exempel på en så kallad Markovprocess. En biluthyrningsfirma har tre uthyrningsställen som vi kallar A, B och C. En kund får hyra sin bil på valfritt uthyrningsställe och återlämna bilen på valfritt uthyrningsställe. Chefen har funnit att återlämnande sker på de olika ställena med en sannolikhet som beskrivs i tabellen nedan. Detta skall vi till exempel utläsa som att för en bil som hyrs på ställe C så är det 60 procents chans att den skall återlämnas på ställe B. En sak som chefen vill ha svar på är om det kan vara rimligt att ha denna modell eller om till exempel alla bilar kommer hamna på ett av ställena till slut. För att studera detta bildar vi matrisen A = Denna matris kallas för överföringsmatrisen. Antag att en bil ursprungligen hyrs ut från ställe B. Det kan vi se som att vi startar med vektorn x (0) = Låter vi sedan x (1) = Ax (0), så erhåller vi en vektor som innehåller sannolikheterna att bilen återlämnas på de tre återlämningsställena (Vilken vektor blir det?). Denna process kan förstås fortsätta x (2) = Ax (1) ger sannolikheten för bilens återlämningsplats nästa gång den hyrs. Eftersom x (1) = Ax (0) så blir x (2) = A 2 x (0). Så här kan vi fortsätta. Efter n steg erhåller vi x (n) = A n x (0), vars komponenter innehåller sannolikheten för att bilen skall återlämnats vid respektive ställe den n:te gången. För att beräkna A n så diagonaliserar vi A. I detta fallet visar det sig att A har egenvärdena λ 1 = 1, λ 2 = 1 10 ( ) 0.55 och λ 3 = 1 10 (1 2 5) 0.35.

8 Eftersom matrisen A har tre olika egenvärden är den diagonaliserbar. Det finns således en matris S (bestående av egenvektorerna) sådan att A = SDS 1, där D är diagonalmatrisen med egenvärdena på diagonalen. En räkning ger att A n = SD n S 1. Eftersom D är en diagonalmatris så gäller det att D n ges av att elementen på diagonalen i D upphöjs till n. När n är stort kommer det λ n 2 och λn att bli väldigt små till beloppet. 3 Vid gränsövergång kan dessa termer negligeras, det vill säga lim n + Dn = lim n + λ n λ n λ n 3 = , vilket ger (gör räkningen själv! Här kan det vara värt att notera att en egenvektor hörande till egenvärdet 1 ges av (34, 14, 13)) lim n + x(n) = Ur detta kan vi uttyda att bilen efter lång tid kommer att återlämnas till ställe A i 34/61 56% av fallen, till B i 14/ % av fallen och till C i 13/61 21% av fallen. Spelade det någon roll var bilen startade tror du? *E 40 Demografer intresserar sig bland annat för hur populationer eller grupper av populationer förflyttar sig mellan regioner. Antag att det varje år uppskattas att 90 procent av personerna i centrala Göteborg stannar kvar i centrala Göteborg, medan 10 procent flyttar till förorten. Antag vidare att 92 procent av personerna i förorten stannar kvar där, medan 8 procent flyttar in till centrala Göteborg. a. Skriv ner en 2 2-överföringsmatris (se extraövning 39) som beskriver hur stor del som flyttar från centrum till centrum (dvs stannar kvar i centrum), centrum till förort, förort till centrum och förort till förort. b. Antag att det år 2013 bodde personer i centrala Göteborg och i förorterna. Skriv ner en matrisprodukt som ger en 2 1-vektor innehållandes populationerna i centrum och förorterna år Utför matrisprodukten. Hur stora blir populationerna år 2014? c. Låt n vara ett positivt heltal. Med samma data som ovan, hur många bor i centrum respektive förort vid år n? d. Hur ser det ut efter mycket lång tid, det vill säga då n +? e. (Lite svårare) Kan du ställa upp en ny modell som tar hänsyn till inflyttade, utflyttade, nyfödda och avlidna varje år? Gör egna antaganden. *E 41 I en undersökning bland personer visade det sig att var icke-rökare, rökte mindre än ett paket per dag och rökte mer än ett paket per dag. Under en månad antas det att 10 procent av icke-rökarna börjar röka ett paket om dagen, och att resten förblir icke-rökare. Vidare antas det att 20 procent av de som röker ett paket per dag slutar att röka och att 30 procent av dem börjar röka mer än ett paket per dag. Slutligen antas att 30 procent av de som röker mer än ett paket per dag drar ner på sin rökning till ett paket per dag, och att 10 procent av dem slutar röka helt. Hur många är i varje kategori efter en månad? Två månader? Ställ upp ett uttryck som beskriver hur det ser ut efter ett år. *E 42 En entreprenör har just gett sig in i en bransch för att konkurrera med en väletablerad vara. Det visar sig att varje månad så omvänder entreprenörens företag 2 procent av de som använder den etablerade varan. Men det visar sig också att varje månad går 5 procent av entreprenörens kunder tillbaka till den etablerade varan. Hur lång tid kommer det att ta innan entreprenören har minst 20 procent av marknaden? Vad händer efter lång tid? **E 43 Den här uppgiften handlar om linjära differentialekvationer av andra ordningen med konstanta koefficienter. De ingår inte i den här kursen. Meningen är att du skall läsa uppgiften och notera hur man kan använda metoder från linjär algebra för att lösa denna typ av ekvationer. Istället för att skriva ner någon allmän teori så tittar vi på ett exempel. Antag att vi vill lösa begynnelsevärdesproblemet Vi inför vektorn och noterar att y (t) + y (t) 2y(t) = 0, y(0) = 0, y (0) = 1. u(t) = ( y(t) y (t) ) u (t) = ( y (t) y (t) ) = ( y (t) 2y(t) y (t) ) = ( 0 1 y(t) )( 2 1 y (t) )

9 = ( )u(t). Vi inför härnäst koefficientmatrisen A = ( ). Vi har alltså erhållit ett system av första ordningens differentialekvationer u (t) = Au(t). Det löser vi genom att diagonalisera A. En räkning (gör den!) ger att A har karaktäristisk ekvation λ 2 + λ 2 = 0. Jämför detta med den karaktäristiska ekvationen man talar om i lösandet av linjära differentialekvationer i kursen i envariabelanalys! En ny räkning (gör den med!) ger att egenvärdena ges av λ 1 = 2 och λ 2 = 1, med tillhörande egenvektorer (1, 2) och (1, 1) respektive. Vi låter u(t) = Sw(t) = ( )( C 1e 2t C 2 e ) = ( C 1 e 2t + C 2 e t ). t 2C 1 e 2t t + C 2 e Begynnelsevillkoren säger att Detta ger ekvationssystemet u(0) = ( 0 1 ). C { 1 + C 2 = 0 2C 1 + C 2 = 1 som har lösning (kolla!) C 1 = 1/3, C 2 = 1/3. Eftersom y(t) var den första komponenten i u(t) har vi alltså fått lösningen y(t) = C 1 e 2t + C 2 e t = 1 3 e 2t et. Notera att det är y (t) som står i andra komponenten av u(t) samt att vi inte behövde räkna ut S 1. S = ( ), D = ( ) Då gäller det att D = S 1 AS. Inför nu en ny funktion w(t) = (w 1 (t), w 2 (t)) genom u(t) = Sw(t). Derivering ger w (t) = S 1 u (t) = S 1 Au(t) = S 1 ASw(t) = Dw(t). Eftersom D är en diagonalmatris så är ekvationerna frikopplade, d dt w 1(t) = 2w 1 (t), d dt w 2(t) = w 2 (t). Dessa löses enkelt (till exempel med integrerande faktor), w 1 (t) = C 1 e 2t, w 2 (t) = C 2 e t. Här är C 1 och C 2 godtyckliga konstanter som vi snart bestämmer med hjälp av begynnelsevillkoren. För att finna u(t) återgår vi med hjälp av S,

10 Tips och/eller svar E 1 7 syskon. E 2 0 kronor. E 3 Tips: ställ upp ekvationer för varje nod/korsning. E 4 Systemet är underbestämt, så svaret på sista frågan är nej, även om det måste undersökas. Vid undersökning finner vi att vi har parameterlösning, så lösningen är inte unik. E 5 (x 1, x 2, x 3, x 4 ) = 1 (195, 205, 175, 185) 8 med lämplig benämning på noderna. E 6 20 enkronor, 8 femkronor och 4 tiokronor. Man kan debattera huruvida lösningen 15 enkronor och 17 femkronor och noll tiokronor bör vara med eller ej. E 7 E 8 a. Nollpolynomet b. E 9 E 10 E 11 E 12 E 13 Tips: Vad blir A 2? E 14 (a, b, c) = ±(1, 0, 1) eller (a, b, c) = ±(1, t, 1) där t är godtyckligt. E 15 Nej. E 16 Endast nollmatrisen duger. E 17 Tips: Använd definitionen. E 18 Tips: Använd antingen formlen för invers av invers eller definitionen av invers. E 19 Tips: a. Ansätt och räkna b. Ansätt och räkna c. Använd de tidigare deluppgifterna. E 20 E 21 E 22 E 23 E 24 Tips: Utveckla med hjälp av skalärprodukt. För den geometriska tolkningen bör du rita en parallellogram. E 25 E 26 E 27 E 28 E 29 ±1. E 30 Tips: Produktregeln för determinanter. E 31 Tips: Använd kryssprodukt och tangerande/skärande plan. E 32 Tips: Använd lineariteten hos matrismultiplikation. E 33 E 34 E 35 Nej. E 36 E 37 c. Egenvärdena är 1 och 5. E 38 E 39 E 40 E 41 E 42 E 43

Extraövningar, linjär algebra

Extraövningar, linjär algebra Extraövningar, linjär algebra Uppgifter markerade med * kan innehålla något moment som är kursivt, medan uppgifter markerade med ** kan vara av det svårare slaget och innehålla något moment som inte ingår

Läs mer

Extraövningar, linjär algebra

Extraövningar, linjär algebra Extraövningar, linjär algebra Uppgifter markerade med * kan innehålla något moment som är kursivt, medan uppgifter markerade med ** kan vara av det svårare slaget och innehålla något moment som inte ingår

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Diagonalisering av linjära avbildningar III

Läs mer

Linjär algebra på några minuter

Linjär algebra på några minuter Linjär algebra på några minuter Linjära ekvationssystem Ekvationssystem: { Löses på matrisform: ( ) ( ) I det här fallet finns en entydig lösning, vilket betyder att determinanten av koefficientmatrisen

Läs mer

Linjär algebra på 2 45 minuter

Linjär algebra på 2 45 minuter Linjär algebra på 2 45 minuter π n x F(x) Förberedelser inför skrivningen Den här genomgången täcker förstås inte hela kursen. Bra sätt att lära sig kursen: läs boken, diskutera med kompisar, gå igenom

Läs mer

Multiplicera 7med A λ 1 I från vänster: c 1 (Av 1 λ 1 v 1 )+c 2 (Av 2 λ 1 v 2 )+c 3 (Av 3 λ 1 v 3 ) = 0

Multiplicera 7med A λ 1 I från vänster: c 1 (Av 1 λ 1 v 1 )+c 2 (Av 2 λ 1 v 2 )+c 3 (Av 3 λ 1 v 3 ) = 0 Diagonalisering Anm. Begreppet diagonaliserbarhet är relevant endast för linjära avbildningar mellan rum av samma dimension, d.v.s. sådana som representeras av kvadratiska matriser. När vi i fortsättningen

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A SF64 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 0-0-0 DEL A De tre totalmatriserna 0 3 3 4 0 3 0 0 0 0, 0 3 0 4 4 0 3 0 3 0 0 0 0 och 0 3 0 4 0 3 3 0 0 0 0 0 svarar mot linjära ekvationssystem

Läs mer

Inför tentamen i Linjär algebra TNA002.

Inför tentamen i Linjär algebra TNA002. Inför tentamen i Linjär algebra TNA002. 1. Linjära ekvationssytem (a) Omskrivningen av ekvationssystem på matrisform samt utföra radoperationer. (b) De 3 typer av lösningar som dyker upp vid lösning av

Läs mer

Övningar. MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik. Linjär algebra 2. Senast korrigerad:

Övningar. MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik. Linjär algebra 2. Senast korrigerad: MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik Linjär algebra 2 Senast korrigerad: 2006-02-10 Övningar Linjära rum 1. Låt v 1,..., v m vara vektorer i R n. Ge bevis eller motexempel till

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Fredagen den 23 oktober, 2009 DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Fredagen den 23 oktober, 2009 DEL A SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Fredagen den 23 oktober, 2009 DEL A (1) (a) Bestäm de övriga rötterna till ekvationen z 3 11z 2 + 43z 65 = 0 när det är känt att en av rötterna

Läs mer

1 Grundläggande kalkyler med vektorer och matriser

1 Grundläggande kalkyler med vektorer och matriser Krister Svanberg, mars 2015 1 Grundläggande kalkyler med vektorer och matriser Trots att läsaren säkert redan behärskar grundläggande vektor- och matriskalkyler, ges här i Kapitel 1 en repetition om just

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Diagonalisering av linjära avbildningar I Innehåll

Läs mer

6. Matriser Definition av matriser 62 6 MATRISER. En matris är ett rektangulärt schema av tal: a 11 a 12 a 13 a 1n a 21 a 22 a 23 a 2n A =

6. Matriser Definition av matriser 62 6 MATRISER. En matris är ett rektangulärt schema av tal: a 11 a 12 a 13 a 1n a 21 a 22 a 23 a 2n A = 62 6 MATRISER 6 Matriser 6 Definition av matriser En matris är ett rektangulärt schema av tal: A a a 2 a 3 a n a 2 a 22 a 23 a 2n a m a m2 a m3 a mn Matrisen A säges vara av typ m n, där m är antalet rader

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A SF624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A () (a) Använd Gauss-Jordans metod för att bestämma lösningsmängden till ekvationssystemet 2x + 4x 2 + 2x 3 + 2x 4 = 2, 3x + 6x 2 x 3

Läs mer

Stöd inför omtentamen i Linjär algebra TNA002.

Stöd inför omtentamen i Linjär algebra TNA002. LINKÖPINGS UNIVERSITET ITN, Campus Norrköping Univ lekt George Baravdish Stöd inför omtentamen i Linjär algebra TNA002. Läsråd: Detta är ett stöd för dig som vill repetera inför en omtentamen. 1. Börja

Läs mer

Föreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet

Föreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet Föreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet Per Alexandersson Föreläsning I Timme I: Repetition av matriser, linjära ekvationssystem Linjärt ekvationssystem: x + y + z 3w = 3 2x + y + z 4w =

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Tentamen Onsdagen 29 oktober, 2014

SF1624 Algebra och geometri Tentamen Onsdagen 29 oktober, 2014 SF1624 Algebra och geometri Tentamen Onsdagen 29 oktober, 214 Skrivtid: 14.-19. Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Roy Skjelnes Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng.

Läs mer

LINJÄR ALGEBRA HT2013. Kurslitteratur: Anton: Elementary Linear Algebra 10:e upplagan.

LINJÄR ALGEBRA HT2013. Kurslitteratur: Anton: Elementary Linear Algebra 10:e upplagan. LINJÄR ALGEBRA HT2013 JONAS WIKLUND Kurslitteratur: Anton: Elementary Linear Algebra 10:e upplagan. 1. LINJÄRA EKVATIONSSYSTEM OCH MATRISER 1.1 Introduktion. Till stor del bör du känna till ekvationslösning

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Tentamen Torsdag, 17 mars 2016

SF1624 Algebra och geometri Tentamen Torsdag, 17 mars 2016 SF4 Algebra och geometri Tentamen Torsdag, 7 mars Skrivtid: 8:-: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Tilman Bauer Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng. Del A på tentamen

Läs mer

Linjär Algebra M/TD Läsvecka 1

Linjär Algebra M/TD Läsvecka 1 Linjär Algebra M/TD Läsvecka 1 Omfattning: Lay, kapitel 1.1-1.9, Linjära ekvationer i linjär algebra Innehåll: Olika aspekter av linjära ekvationssystem: skärning mellan geometriska objekt, linjärkombination

Läs mer

Kursplanering för Linjär algebra, HT 2003

Kursplanering för Linjär algebra, HT 2003 Kursplanering för Linjär algebra, HT 2003 Mikael Forsberg 12 augusti 2003 Innehåll 1 Kursbok 2 2 Kursinnehåll 2 2.1 Kursens uppläggning......................... 2 2.2 Målsättning..............................

Läs mer

Egenvärden och egenvektorer

Egenvärden och egenvektorer Föreläsning 10, Linjär algebra IT VT2008 1 Egenvärden och egenvektorer Denition 1 Antag att A är en n n-matris. En n-vektor v 0 som är sådan att A verkar som multiplikation med ett tal λ på v, d v s Av

Läs mer

Subtraktion. Räkneregler

Subtraktion. Räkneregler Matriser En matris är en rektangulär tabell av tal, 1 3 17 4 3 2 14 4 0 6 100 2 Om matrisen har m rader och n kolumner så säger vi att matrisen har storlek m n Index Vi indexerar elementen i matrisen genom

Läs mer

Mat-1.1510 Grundkurs i matematik 1, del I

Mat-1.1510 Grundkurs i matematik 1, del I Mängder Det enklaste sättet att beskriva en mängd är att räkna upp de elementen i mängden, tex Mat-11510 Grundkurs i matematik 1, del I G Gripenberg TKK 8 oktober 2009 G Gripenberg (TKK Mat-11510 Grundkurs

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri

SF1624 Algebra och geometri Föreläsning 1 Institutionen för matematik KTH 31 oktober 2016 Kurstart för Algebra och geometri Välkomen till kursen, CELTE och CMETE och COPEN!, kursansvarig LFN@KTH.SE Idag ska vi se hur kursen funkar

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A (1) Vid lösningen av ekvationssystemet x 1 3x 2 +3x 3 4x 4 = 1, x 2 +x 3 x 4 = 0, 4x 1 +x 2 x 3 2x 4 = 5, kommer man genom Gausselimination

Läs mer

Moment 5.5 Övningsuppgifter I 5.60a. 5.60b, 5.60.c, 61

Moment 5.5 Övningsuppgifter I 5.60a. 5.60b, 5.60.c, 61 Moment 5.5 Övningsuppgifter I 5.0a. 5.0b, 5.0.c, 1 Linjära ekvationssystem Vi har redan tidigare i kursen stött på linjära ekvationssystem. Nu är stunden kommen till en mera systematisk genomgång. Kvadratiska

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 2010-10-22 DEL A (1) Uttrycket (x, y, z) (1, 1, 1) + s(1, 3, 0) + t(0, 5, 1) definierar ett plan W i rummet där s och t är reella parametrar. (a)

Läs mer

1. (a) Bestäm alla värden på c som gör att matrisen A(c) saknar invers: 1 0 1. 1 c 1

1. (a) Bestäm alla värden på c som gör att matrisen A(c) saknar invers: 1 0 1. 1 c 1 ATM-Matematik Mikael Forsberg 734-4 3 3 För ingenjörs- och distansstudenter Linjär Algebra ma4a 5 4 Skrivtid: :-4:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje

Läs mer

Uppgifter, 2015 Tillämpad linjär algebra

Uppgifter, 2015 Tillämpad linjär algebra Geometri. Uppgifter, 25 Tillämpad linjär algebra. Uppgift. Låt (,, ), B = (, 2, 3), C = (,, ) vara punkter i R 3. () Beskriva på parameter form alla plan som innehåler A, B och C. Ger ett system av linjära

Läs mer

Tentamen i Linjär algebra , 8 13.

Tentamen i Linjär algebra , 8 13. LINKÖPINGS UNIVERSITET Matematiska Institutionen Ulf Janfalk Kurskod: ETE5 Provkod: TEN Tentamen i Linjär algebra 5 8, 8. Inga hjälpmedel. Ej räknedosa. Resultatet meddelas vi e-post. För godkänt räcker

Läs mer

DN1230 Tillämpad linjär algebra Tentamen Onsdagen den 29 maj 2013

DN1230 Tillämpad linjär algebra Tentamen Onsdagen den 29 maj 2013 TILLÄMPAD LINJÄR ALGEBRA, DN123 1 DN123 Tillämpad linjär algebra Tentamen Onsdagen den 29 maj 213 Skrivtid: 8-13 Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Anna-Karin Tornberg Betygsgränser: Betyg A B C D E

Läs mer

Instuderingsuppgifter & Läsanvisningar till Linjär Algebra II för lärare

Instuderingsuppgifter & Läsanvisningar till Linjär Algebra II för lärare Instuderingsuppgifter & Läsanvisningar till Linjär Algebra II för lärare Per Alexandersson February 27, 2013 Abstract Här är läsanvisningar samt några kompletterande uppgifter till materialet i kursboken

Läs mer

Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter

Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter Inga Inga Inga Linjära ekvationssystem Vi har redan tidigare i kursen stött på linjära ekvationssystem. Nu är stunden kommen till en mera systematisk genomgång.

Läs mer

TMV166/186 Linjär Algebra M/TD 2011/2012 Läsvecka 1. Omfattning. Innehåll 2012-01-20. Lay, kapitel 1.1-1.9, Linjära ekvationer i linjär algebra

TMV166/186 Linjär Algebra M/TD 2011/2012 Läsvecka 1. Omfattning. Innehåll 2012-01-20. Lay, kapitel 1.1-1.9, Linjära ekvationer i linjär algebra TMV166/186 Linjär Algebra M/TD 2011/2012 Läsvecka 1 Omfattning Lay, kapitel 1.1-1.9, Linjära ekvationer i linjär algebra Innehåll Olika aspekter av linjära ekvationssystem 1. skärning mellan geometriska

Läs mer

1 som går genom punkten (1, 3) och är parallell med vektorn.

1 som går genom punkten (1, 3) och är parallell med vektorn. KTH Matematik Extra uppgifter på linjär algebra SF1621 Analytiska metoder och linjär algebra 2 för OPEN och T Förkunskaper Obs en del av detta är repetition från förra kursen Men innan ni ens börjar med

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Skalärprodukt Innehåll Skalärprodukt - Inledning

Läs mer

5 Linjär algebra. 5.1 Addition av matriser 5 LINJÄR ALGEBRA

5 Linjär algebra. 5.1 Addition av matriser 5 LINJÄR ALGEBRA 5 LINJÄR ALGEBRA 5 Linjär algebra En kul gren av matematiken som inte fått speciellt mycket utrymme i gymnasiet men som har många tillämpningsområden inom t.ex. fysik, logistik, ekonomi, samhällsplanering

Läs mer

M = c c M = 1 3 1

M = c c M = 1 3 1 N-institutionen Mikael Forsberg Prov i matematik Matematik med datalogi, mfl. Linjär algebra ma4a Deadline :: 8 9 4 Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift på ny

Läs mer

8 Minsta kvadratmetoden

8 Minsta kvadratmetoden Nr, april -, Amelia Minsta kvadratmetoden. Ekvationssystem med en lösning, -fallet Ett linjärt ekvationssystem, som ½ +7y = y = har en entydig lösning om koefficientdeterminanten, här 7, är skild från

Läs mer

EXEMPEL OCH LÖSNINGAR I LINJÄR ALGEBRA II

EXEMPEL OCH LÖSNINGAR I LINJÄR ALGEBRA II EXEMPEL OCH LÖSNINGAR I LINJÄR ALGEBRA II PER ALEXANDERSSON Sammanfattning. Detta är en samling kompletterande uppgifter till Linjär Algebra II för lärare. Exemplen är av varierande svårighetsgrad och

Läs mer

c d Z = och W = b a d c för några reella tal a, b, c och d. Vi har att a + c (b + d) b + d a + c ac bd ( ad bc)

c d Z = och W = b a d c för några reella tal a, b, c och d. Vi har att a + c (b + d) b + d a + c ac bd ( ad bc) 1 Komplexa tal 11 De reella talen De reella talen skriver betecknas ofta med symbolen R Vi vill inte definiera de reella talen här, men vi noterar att för varje tal a och b har vi att a + b och att ab

Läs mer

1.1 Skriv följande vektorsummor som en vektor (a) AB + BC (b) BC + CD + DA.

1.1 Skriv följande vektorsummor som en vektor (a) AB + BC (b) BC + CD + DA. Övningsuppgifter i anslutning till Kapitel. Skriv följande vektorsummor som en vektor a AB + BC b BC + CD + DA..2 Sök i nedanstående figur de vektorer som har samma längd och samma riktning som vektorn

Läs mer

Institutionen för Matematik TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA671 2009-01-16. DAG: Fredag 16 januari 2009 TID: 14.00-18.

Institutionen för Matematik TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA671 2009-01-16. DAG: Fredag 16 januari 2009 TID: 14.00-18. Institutionen för Matematik Göteborg TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F, TMA67 9--6 DAG: Fredag 6 januari 9 TID: 4. - 8. SAL: V Ansvarig: Ivar Gustafsson, tel: 77 94 Förfrågningar: Ivar Gustafsson

Läs mer

Veckoblad 1, Linjär algebra IT, VT2010

Veckoblad 1, Linjär algebra IT, VT2010 Veckoblad, Linjär algebra IT, VT Under den första veckan ska vi gå igenom (i alla fall stora delar av) kapitel som handlar om geometriska vektorer. De viktigaste teoretiska begreppen och resultaten i kapitlet

Läs mer

Version 0.82. Linjär algebra kapiltet från ett ODE-kompendium. Mikael Forsberg

Version 0.82. Linjär algebra kapiltet från ett ODE-kompendium. Mikael Forsberg Version.8 Linjär algebra kapiltet från ett ODE-kompendium Mikael Forsberg 8 Den här boken är typsatt av författaren med hjälp av L A TEX. Alla illustrationer är utförda av Mikael Forsberg med hjälp av

Läs mer

A. Grundläggande matristeori

A. Grundläggande matristeori A. Matristeori A. Grundläggande matristeori A.1 Definitioner A.1.1 Matriser och vektorer En matris är en rektangulär tabell av element ordnade i rader och kolonner (kolumner). Elementen i en matris kan

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Bedömningskriterier till tentamen Tisdagen den 15 december, 2009

SF1624 Algebra och geometri Bedömningskriterier till tentamen Tisdagen den 15 december, 2009 SF1624 Algebra och geometri Bedömningskriterier till tentamen Tisdagen den 15 december, 2009 Allmänt gäller följande: Om lösningen helt saknar förklarande text till beräkningar och formler ges högst två

Läs mer

Studiehandledning till linjär algebra Avsnitt 3

Studiehandledning till linjär algebra Avsnitt 3 Svante Ekelin Institutionen för matematik KTH 1995 Studiehandledning till linjär algebra Avsnitt 3 Kapitel 4, 9.2 och 5 i Anton/Rorres: Elementary Linear Algebra: Applications version (7:e uppl.) Välkommen

Läs mer

Gripenberg. Mat Grundkurs i matematik 1 Tentamen och mellanförhörsomtagning,

Gripenberg. Mat Grundkurs i matematik 1 Tentamen och mellanförhörsomtagning, Mat-. Grundkurs i matematik Tentamen och mellanförhörsomtagning,..23 Skriv ditt namn, nummer och övriga uppgifter på varje papper! Räknare eller tabeller får inte användas i detta prov! Gripenberg. Skriv

Läs mer

Uppgifter, 2014 Tillämpad linjär algebra

Uppgifter, 2014 Tillämpad linjär algebra Geometri. Uppgifter, 24 Tillämpad linjär algebra. Uppgift. Låt A = (,, ), B = (, 2, 3), C = (,, ) vara punkter i R 3. () Beskriva på parameter form alla plan som innehåler A, B och C. Ger ett system av

Läs mer

Mat Grundkurs i matematik 1, del I

Mat Grundkurs i matematik 1, del I Mat-1.1510 Grundkurs i matematik 1, del I G. Gripenberg TKK 8 oktober 2009 G. Gripenberg (TKK) Mat-1.1510 Grundkurs i matematik 1, del I 8 oktober 2009 1 / 47 Mängder Det enklaste sättet att beskriva en

Läs mer

Mer om analytisk geometri

Mer om analytisk geometri 1 Onsdag v 5 Mer om analytisk geometri Determinanter: Då man har en -matris kan man till den associera ett tal determinanten av som också skrivs Determinanter kommer att repeteras och studeras närmare

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri

SF1624 Algebra och geometri SF1624 Algebra och geometri Första föreläsningen Mats Boij Institutionen för matematik KTH 26 oktober, 2009 Översikt Kurspresentation Komplexa tal Kursmålen Efter genomgången kurs ska studenten vara förtrogen

Läs mer

Frågorna 1 till 6 ska svaras med ett kryss för varje korrekt påstående. Varje uppgift ger 1 poäng. Använd bifogat formulär för dessa 6 frågor.

Frågorna 1 till 6 ska svaras med ett kryss för varje korrekt påstående. Varje uppgift ger 1 poäng. Använd bifogat formulär för dessa 6 frågor. TM-Matematik Mikael Forsberg 74-4 Matematik med datalogi, mfl. Linjär algebra ma4a 6 Skrivtid: 9:-4:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift på

Läs mer

LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 6

LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 6 LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 6 JOHAN ASPLUND INNEHÅLL 1 Inre produktrum 1 2 Cauchy-Schwarz olikhet 3 3 Ortogonala projektioner och Gram-Schmidts process 3 4 Uppgifter 4 61:13(a) 4 61:23(a) 4 61:29 5 62:7

Läs mer

Avsnitt 2. Matriser. Matriser. Vad är en matris? De enkla räknesätten

Avsnitt 2. Matriser. Matriser. Vad är en matris? De enkla räknesätten Avsnitt Matriser Vad är en matris? De enkla räknesätten Matrismultiplikation Produkt av en rad med en kolumn Produkt av rader med en kolumn Produkt av rader med kolumner När är matrismultiplikationen definierad?

Läs mer

Avsnitt 4, Matriser ( =

Avsnitt 4, Matriser ( = Avsnitt Matriser W Beräkna AB då ( a A ( - b A B B ( 8 7 6 ( - - - och Först måste vi försäkra oss om att matrismultiplikationen verkligen går att utföra För att det ska gå måste antalet kolumner i den

Läs mer

2 1 1 s s. M(s) = (b) Beräkna inversen för det minsta positiva heltalsvärdet på s som gör matrisen inverterbar.

2 1 1 s s. M(s) = (b) Beräkna inversen för det minsta positiva heltalsvärdet på s som gör matrisen inverterbar. TM-Matematik Mikael Forsberg 7 Linjär algebra/matematik för ingenjörer maa, maa 5 6 Skrivtid: 9:-:. Inga hjälpmedel förutom pennor, sudd, linjal, gradskiva. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta

Läs mer

2 = 3 = 1. ekvationssystem är beskriven som de vektorer X = 2 0 1 2. 1 1 0 2

2 = 3 = 1. ekvationssystem är beskriven som de vektorer X = 2 0 1 2. 1 1 0 2 . Tisdagen 35 Igår visade vi att lösningsmängden W R 5 till ekvationssystemet 3x + x 2 + 3x 3 + 2x 4 x 5 = (..) 2x 2 + x 3 + 4x 4 + 2x 5 = 3x 3x 2 + x 3 6x 4 5x 5 = har bas u och u 2 och u 3 där 5 2 6

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Tisdagen den 15 december, 2009 DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Tisdagen den 15 december, 2009 DEL A SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Tisdagen den 15 december, 2009 DEL A 1 a Bestäm de komplexa koefficienterna a, b och c så att polynomet Pz z 3 + az 2 + bz + c har nollställena

Läs mer

Självkoll: Ser du att de två uttrycken är ekvivalenta?

Självkoll: Ser du att de två uttrycken är ekvivalenta? ANTECKNINGAR TILL RÄKNEÖVNING 1 & - LINJÄR ALGEBRA För att verkligen kunna förstå och tillämpa kvantmekaniken så måste vi veta något om den matematik som ligger till grund för formuleringen av vågfunktionen

Läs mer

TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1/TM1, TMA671 2015-04-18

TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1/TM1, TMA671 2015-04-18 Institutionen för Matematiska Vetenskaper Göteborg TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F/TM, TMA67 5-4-8 DAG: Lördag 8 april 5 TID: 8.3 -.3 SAL: V Ansvarig: Ivar Gustafsson, tel: 75-33545 Förfrågningar:

Läs mer

Exempel :: Spegling i godtycklig linje.

Exempel :: Spegling i godtycklig linje. INNEHÅLL Exempel :: Spegling i godtycklig linje. c Mikael Forsberg :: 6 augusti 05 Sammanfattning:: I detta dokument så är vårt uppdrag att beräkna matrisen för spegling i en godtycklig linje y = kx som

Läs mer

Mat Grundkurs i matematik 1, del I

Mat Grundkurs i matematik 1, del I Mat-11510 Grundkurs i matematik 1, del I G Gripenberg TKK 8 oktober 2009 G Gripenberg (TKK) Mat-11510 Grundkurs i matematik 1, del I 8 oktober 2009 1 / 47 Mängder Det enklaste sättet att beskriva en mängd

Läs mer

Linjär Algebra, Föreläsning 2

Linjär Algebra, Föreläsning 2 Linjär Algebra, Föreläsning 2 Tomas Sjödin Linköpings Universitet Geometriska vektorer, rummen R n och M n 1 En (geometrisk) vektor är ett objekt som har storlek och riktning, men inte någon naturlig startpunkt.

Läs mer

Institutionen för Matematik TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA671 2005-08-26. DAG: Fredag 26 augusti 2005 TID: 8.30-12.

Institutionen för Matematik TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA671 2005-08-26. DAG: Fredag 26 augusti 2005 TID: 8.30-12. Institutionen för Matematik Göteborg TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F, TMA67 5-8-6 DAG: Fredag 6 augusti 5 TID: 8.3-.3 SAL: V Ansvarig: Ivar Gustafsson, tel: 77 94 Förfrågningar: Ivar Gustafsson

Läs mer

TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA671

TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA671 Institutionen för Matematik LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F Göteborg --9 TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F, TMA67 OBS! NYA KURSEN DAG: Tisdag 9 januari TID: 8.45 -.45 SAL: V Ansvarig:

Läs mer

STABILITET FÖR LINJÄRA HOMOGENA SYSTEM MED KONSTANTA KOEFFICIENTER

STABILITET FÖR LINJÄRA HOMOGENA SYSTEM MED KONSTANTA KOEFFICIENTER Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR, SF676 STABILITET FÖR LINJÄRA HOMOGENA SYSTEM MED KONSTANTA KOEFFICIENTER Innehåll Stabilitet för en kritisk punkt (grundbegrepp) Stabilitet för ett linjärt homogent system

Läs mer

Kursprogram kursen ETE325 Linjär Algebra, 8 hp, vt 2016.

Kursprogram kursen ETE325 Linjär Algebra, 8 hp, vt 2016. LINKÖPINGS UNIVERSITET Matematiska Institutionen Vladimir Tkatjev Kursprogram kursen ETE325 Linjär Algebra, 8 hp, vt 2016. Kursperiod: 18 januari 18 maj Examinator och föreläsare: Vladimir Tkatjev: B-huset,

Läs mer

1 De fyra fundamentala underrummen till en matris

1 De fyra fundamentala underrummen till en matris Krister Svanberg, mars 2012 1 De fyra fundamentala underrummen till en matris 1.1 Definition av underrum En given delmängd M av IR n säges vara ett underrum i IR n om följande gäller: För varje v 1 M,

Läs mer

EXEMPEL OCH LÖSNINGAR I LINJÄR ALGEBRA II

EXEMPEL OCH LÖSNINGAR I LINJÄR ALGEBRA II EXEMPEL OCH LÖSNINGAR I LINJÄR ALGEBRA II PER ALEXANDERSSON Sammanfattning. Detta är en samling kompletterande uppgifter till Linjär Algebra II för lärare. Exemplen är av varierande svårighetsgrad och

Läs mer

Linjär algebra och geometri I

Linjär algebra och geometri I UPPSALA UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Anders Johansson Linjär algebra och geometri I för Energi, Ma-kand., Frist. Höstterminen 2010 Kurslitteratur H. Anton, C. Rorres, Elementary Linear Algebra

Läs mer

y z 3 = 0 z 5 16 1 i )

y z 3 = 0 z 5 16 1 i ) ATM-Matematik Mikael Forsberg 734-433 Sören Hector 7-46686 Rolf Källström 7-6939 Ingenjörer, Lantmätare och Distansstuderande, mfl. Linjär Algebra ma4a 4 3 Skrivtid: 9:-4:. Inga hjälpmedel. Lösningarna

Läs mer

Basbyte (variabelbyte)

Basbyte (variabelbyte) Basbyte (variabelbyte) En vektors koordinater beror på valet av bas! Tänk på geometriska vektorer här. v har längden 2 och pekar rakt uppåt i papprets plan. Kan vi då skriva v (, 2)? Om vi valt basvektorer

Läs mer

Algebrans fundamentalsats

Algebrans fundamentalsats School of Science and Technology SE-701 8 Örebro, Sweden Algebrans fundamentalsats Ett linjäralgebraiskt bevis Andreas Thore Örebro Universitet Akademin för naturvetenskap och teknik Matematik C, 61 75

Läs mer

En vektor är mängden av alla sträckor med samma längd och riktning.

En vektor är mängden av alla sträckor med samma längd och riktning. En vektor är mängden av alla sträckor med samma längd och riktning. Slappdefinition En vektor är en riktad sträcka som får parallellförflyttas. Tänk på vektorn som en pil. Betecknar vektorer med små bokstäver

Läs mer

Linjär Algebra 764G01: Kommentarer och läsanvisningar till kursboken

Linjär Algebra 764G01: Kommentarer och läsanvisningar till kursboken Linjär Algebra 764G01: Kommentarer och läsanvisningar till kursboken Här följer kommentarer om sånt i boken som kan behövas förtydligas samt anvisningar om vad som ska läsas, eller snarare vilka delar

Läs mer

Explorativ övning Vektorer

Explorativ övning Vektorer Eplorativ övning Vektorer Syftet med denna övning är att ge grundläggande kunskaper om vektorräkning och dess användning i geometrin Liksom många matematiska begrepp kommer vektorbegreppet från fysiken

Läs mer

8.5 Minstakvadratmetoden

8.5 Minstakvadratmetoden 8.5 Minstakvadratmetoden 8.5. Ett exempel Man ville bestämma ett approximativt värde på tyngdaccelerationen g: En sten slängdes från en hög byggnad och man noterade med hjälp av fotoceller placerade på

Läs mer

Isometrier och ortogonala matriser

Isometrier och ortogonala matriser Isometrier och ortogonala matriser (Delvis resultat som kunde kommit tidigare i kursen) För att slippa parenteser, betecknas linära avbildningar med A och bilden av x under en lin avbildn med Ax i stället

Läs mer

Innehåll. 1 Linjärt ekvationssystem (ES) 5. 2 Grundläggande algebra 13

Innehåll. 1 Linjärt ekvationssystem (ES) 5. 2 Grundläggande algebra 13 LINJÄR ALGEBRA Innehåll Linjärt ekvationssstem (ES) 5 Grundläggande algebra 3 3 Matrisalgebra 5 3 Addition av matriser 5 3 Multiplikation mellan matriser 7 33 Enhetsmatris 34 Invers matris 34 Nollmatris

Läs mer

ax + y + 2z = 3 ay = b 3 (b 3) z = 0 har (a) entydig lösning, (b) oändligt många lösningar och (c) ingen lösning.

ax + y + 2z = 3 ay = b 3 (b 3) z = 0 har (a) entydig lösning, (b) oändligt många lösningar och (c) ingen lösning. UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Anders Johansson Prov i matematik ES, Frist, KandMa LINJÄR ALGEBRA och GEOMETRI I 2010 10 21 Skrivtid: 8.00 13.00. Tillåtna hjälpmedel: Skrivdon. Lösningarna

Läs mer

Läsanvisningar och övningsuppgifter i MAA150, period vt Erik Darpö

Läsanvisningar och övningsuppgifter i MAA150, period vt Erik Darpö Läsanvisningar och övningsuppgifter i MAA150, period vt1 2015 Erik Darpö ii 0. Förberedelser Nedanstående uppgifter är avsedda att användas som ett självdiagnostiskt test. Om du har problem med att lösa

Läs mer

Studiehandledning till linjär algebra Avsnitt 1

Studiehandledning till linjär algebra Avsnitt 1 Svante Ekelin Institutionen för matematik KTH 1995 Studiehandledning till linjär algebra Avsnitt 1 Kapitel 1 och 11.2 alt. 11.9 i Anton/Rorres: Elementary Linear Algebra: Applications version (7:e uppl.)

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri

SF1624 Algebra och geometri Föreläsning 6 Institutionen för matematik KTH 11 november 2016 Feedback Innan vi börjar: En liten feedback-övning Vad menas med rangen av en matris? Vad menas med ett homogent linjärt ekvationssystem?

Läs mer

där β R. Bestäm de värden på β för vilka operatorn är diagonaliserbar. Ange även för respektive av dessa värden en bas av egenvektorer till F.

där β R. Bestäm de värden på β för vilka operatorn är diagonaliserbar. Ange även för respektive av dessa värden en bas av egenvektorer till F. MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Examinator: Lars-Göran Larsson TENTAMEN I MATEMATIK MMA9 Linjär algebra Datum: 7 januari 04 Skrivtid:

Läs mer

x 1 x 2 x 3 x 4 mera allmänt, om A är en (m n)-matris, då ger matrismultiplikationen en avbildning T A : R n R m.

x 1 x 2 x 3 x 4 mera allmänt, om A är en (m n)-matris, då ger matrismultiplikationen en avbildning T A : R n R m. Fredagen 006 Avbildningar Låt A vara matrisen () = 0 0 Till varje vektor X i R får vi vid matrismultiplikationen AX en vektor i R Mera explicit, om X = x x x x är en given punkt i R, då får vi punkten

Läs mer

1. Bestäm volymen för den parallellepiped som ges av de tre vektorerna x 1 = (2, 3, 5), x 2 = (3, 1, 1) och x 3 = (1, 3, 0).

1. Bestäm volymen för den parallellepiped som ges av de tre vektorerna x 1 = (2, 3, 5), x 2 = (3, 1, 1) och x 3 = (1, 3, 0). TM-Matematik Mikael Forsberg Linjär algebra mk4a Övningstenta LA-. Bestäm volymen för den parallellepiped som ges av de tre vektorerna x = (,, ), x = (,, ) och x = (,, ).. För alla värden på parametern

Läs mer

Linjär algebra och geometri 1

Linjär algebra och geometri 1 UPPSALA UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Ryszard Rubinsztein Oswald Fogelklou Linjär algebra och geometri 1 för K1, W1, KandKe1 Höstterminen 2008 Kurslitteratur H.Anton, C.Rorres, Elementary Linear

Läs mer

Datorlaboration :: 1 Problembeskrivning ::

Datorlaboration :: 1 Problembeskrivning :: Datorlaboration :: Ett hyrbilsföretags problem Laborationen går ut på att lösa Labbuppgift 1 till 5. Laborationen redovisas individuellt genom att skicka laborationens Mathematicafil till Mikael Forsberg

Läs mer

Övningshäfte 6: 2. Alla formler är inte oberoende av varandra. Försök att härleda ett par av de formler du fann ur några av de övriga.

Övningshäfte 6: 2. Alla formler är inte oberoende av varandra. Försök att härleda ett par av de formler du fann ur några av de övriga. GÖTEBORGS UNIVERSITET MATEMATIK 1, MAM100, HT2005 MATEMATISK BASKURS Övningshäfte 6: Syftet med övningen är att utforska strukturen hos talsystemen under addition respektive multiplikation samt sambandet

Läs mer

VEKTORRUMMET R n. 1. Introduktion

VEKTORRUMMET R n. 1. Introduktion VEKTORRUMMET R n RYSZARD RUBINSZTEIN 28--8. Introdktion Låt n vara ett heltal. Med R n kommer vi att beteckna mängden vars element är alla n-tipplar av reella tal (a, a 2,..., a n ), R n = { (a, a 2,...,

Läs mer

Institutionen för Matematik TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA DAG: Fredag 30 augusti 2002 TID:

Institutionen för Matematik TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA DAG: Fredag 30 augusti 2002 TID: Institutionen för Matematik Göteborg TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F, TMA67 22-8-3 DAG: Fredag 3 augusti 22 TID: 8.45-2.45 SAL: V Ansvarig: Ivar Gustafsson, tel: 772 94 (ankn. 94) Förfrågningar:

Läs mer

8. Euklidiska rum 94 8 EUKLIDISKA RUM

8. Euklidiska rum 94 8 EUKLIDISKA RUM 94 8 EUKLIDISKA RUM 8. Euklidiska rum Definition 8.. En skalärprodukt på vektorrummet V är en funktion som till varje par av element u och v i V ordnar ett reellt tal u v eller u v med följande egenskaper:.

Läs mer

1 Duala problem vid linjär optimering

1 Duala problem vid linjär optimering Krister Svanberg, april 2012 1 Duala problem vid linjär optimering Detta kapitel handlar om två centrala teoretiska resultat för LP, nämligen dualitetssatsen och komplementaritetssatsen. Först måste vi

Läs mer

Linjär algebra med MATLAB

Linjär algebra med MATLAB INGENJÖRSHÖGSKOLAN Matematik Fredrik Abrahamsson, Anders Andersson Innehåll Linjär algebra med MATLAB 1 Grundläggande begrepp 1 1.1 Introduktion...................................... 1 1.2 Genomförande

Läs mer

MATEMATIK GU. LLMA60 MATEMATIK FÖR LÄRARE, GYMNASIET Analys, ht 2014. Block 5, översikt

MATEMATIK GU. LLMA60 MATEMATIK FÖR LÄRARE, GYMNASIET Analys, ht 2014. Block 5, översikt MATEMATIK GU H4 LLMA6 MATEMATIK FÖR LÄRARE, GYMNASIET Analys, ht 24 I block 5 ingår följande avsnitt i Stewart: Kapitel 2, utom avsnitt 2.4 och 2.6; kapitel 4. Block 5, översikt Första delen av block 5

Läs mer

Minsta kvadratmetoden

Minsta kvadratmetoden Minsta kvadratmetoden där Överbestämda ekvationssystem Det är lämpligt att uppfatta matrisen A som bestående av n kolonnvektorer: A a a a n a a a n a n a n a nn a j a j a nj a a a n j n Då kan vi skriva

Läs mer

Studiehandledning till linjär algebra Avsnitt 2

Studiehandledning till linjär algebra Avsnitt 2 Svante Ekelin Institutionen för matematik KTH 1995 Studiehandledning till linjär algebra Avsnitt 2 Kapitel 2 och 3 i Anton/Rorres: Elementary Linear Algebra: Applications version (7:e uppl.) I detta avsnitt

Läs mer