Extraövningar, linjär algebra

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "Extraövningar, linjär algebra"

Transkript

1 Extraövningar, linjär algebra Uppgifter markerade med * kan innehålla något moment som är kursivt, medan uppgifter markerade med ** kan vara av det svårare slaget och innehålla något moment som inte ingår i kursen. De är bland annat här för att belysa hur metoder i linjär algebra återfinns i andra delar av matematiken och i andra ämnen. För övningar markerade med glasögon ( ) är det tänkt att du bara ska läsa och begrunda. Dessa exempel belyser ofta någon tillämpning av linjär algebra som ej ingår i kursen. Linjära ekvationssystem E 1 Jörn och Gunlög är syskon. Jörn har två gånger fler systrar än bröder och Gunlög har lika många systrar som bröder. Hur stor är syskonskaran? E 2 Ask och Embla ska köpa choklad. Ask observerar att Om jag ger dig hälften av mina pengar så kan du köpa två chokladkakor. Embla undrar då Om jag ger dig hälften av mina pengar, hur många chokladkakor kan du köpa då?. Ask svarar att då kan han köpa en chokladkaka. Hur mycket pengar hade Ask? E 3 Trafikkontoret har i en stad med fem vägar mätt trafikflödet (bilar per timme) på vissa ställen, se figuren nedan. Ställ upp ett ekvationssystem för flödet vid de övriga gatorna (pilarna) i staden. (Vi antar att inga bilar parkerar i staden och därmed att lika många bilar som kör in i varje korsning måste köra ut ur densamma.) Har de mätt på tillräckligt många platser för att kunna bestämma flödena överallt? E 4 Tabellen nedan ger antalet milligram (mg) av vitamin A, vitamin B och kalcium som fyra olika maträtter innehåller per 100 gram (g). Antag att en person vill sätta samman en kost bestående av 200 mg vitamin A, 250 mg vitamin C och 300 mg kalcium. Ställ upp ett linjärt ekvationssystem vars lösning ger personen rätt näringsvärde. Kan man förvänta sig att lösningen är unik? Mat 1 Mat 2 Mat 3 Mat 4 Vitamin A Vitamin C Kalcium E 5 För en kvadratisk metallisk platta hålls sidorna vid konstant temperatur (enhet C) enligt figur nedan. Vidare kan man vid anta att det efter en viss tid uppstår jämvikt och att det då i de fyra inre punkter som är markerade gäller att temperaturen kan uppskattas med medelvärdet av de fyra punkter de är sammanknutna med. Vilken uppskattning ger det för temperaturen i dessa punkter? 20 *E 6 Jag har 32 mynt i fickan fördelade på enkronor, femkronor och tior. Hur många har jag av varje sort om deras totala värde är 100 kr? Vektorer E 7 Låt i en godtycklig konvex fyrhörning ABCD punkten M beteckna skärningen mellan diagonalerna AC och BD. a. Visa att om M skär diagonalerna mitt itu så är AB =DC. b. Visa att om AB =DC och AD=BC så skär M diagonalerna AC och BD mitt itu. **E 8 Låt P 2 beteckna mängden av polynom av grad högst två. För två polynom p 1 och p 2 i P 2 och för konstanter c definierar vi addition av polynom (p 1 + p 2 ) och multiplikation av polynom och skalär (cp 1 ) som (p 1 + p 2 )(x) = p 1 (x) + p 2 (x), 25 (cp 1 )(x) = c p 1 (x).

2 Exempelvis gäller alltså att om p 1 (x) = x + 1, p 2 (x) = x 2 3x + 1 och c = 2 så är jan jun Bil 1 Bil 2 Bil 3 Fabrik A jul dec Bil 1 Bil 2 Bil 3 Fabrik A och (p 1 + p 2 )(x) = p 1 (x) + p 2 (x) = x x 2 3x + 1 = x 2 2x + 2 (cp 1 )(x) = c p 1 (x) = 2(x + 1) = 2x + 2. a. Vad borde svara mot nollvektorn i P 2? b. Verifiera att P 2, med dessa operationer (addition och multiplikation med skalär) uppfyller samtliga villkor i Sats 1, sidan 23 i Sparr. Detta visar att P 2 utgör ett linjärt vektorrum. **E 9 Antag att vi på mängden av talpar inför addition (som vi här betecknar med ) (x 1, y 1 ) (x 2, y 2 ) = (x 1 + x 2, y 1 y 2 ) och multiplikation med skalär som (som vi här betecknar med ) c (x 1, x 2 ) = (c x 1, c x 2 ). Fabrik B Fabrik C Fabrik B Fabrik C E 12 I ett parkeringshus kostar det 50 kr för bilar och 100 kr för bussar att parkera. Tabellen nedan visar hur många bilar respektive bussar det fanns i huset under en arbetsvecka. Hur mycket pengar fick parkeringsbolaget in på bilar och bussar de olika dagarna denna vecka? Ställ upp det som en multiplikation mellan en matris och en vektor. Vilken dag fick de in mest pengar? E 13 Låt Bilar Bussar Måndag 30 5 Tisdag 23 2 Onsdag Torsdag 27 6 Fredag 24 8 Här betecknar +, och vanlig addition, subtraktion och multiplikation. Avgör vilka av räknereglerna i Sats 1, sidan 23 i Sparr som gäller. **E 10 Antag att vi på mängden av talpar inför addition (som vi här betecknar med ) Beräkna A 20. A = (x 1, y 1 ) (x 2, y 2 ) = (x 1 + x 2 + 1, y 1 + y 2 + 1) och multiplikation med skalär som (som vi här betecknar med ) c (x 1, x 2 ) = (c x 1 + c 1, c x 2 + c 1). Här betecknar +, och vanlig addition, subtraktion och multiplikation. Avgör vilka av räknereglerna i Sats 1, sidan 23 i Sparr som gäller. Matrisräkning E 11 En biltillverkare som tillverkar tre olika bilmodeller i tre olika fabriker når resultat första respektive andra halvåret enligt tabeller nedan (enhet Mkr). Beräkna årsresultatet för respektive fabrik och modell genom att ställa upp lämpliga matriser och addera dem. E 14 Bestäm alla 2 2-matriser A på formen A = ( a b 0 c ) sådana att A 2 = I. E 15 Finns det 2 2-matriser A och B sådana att AB BA = I? E 16 Finn alla 2 2-matriser A sådana att AA T = 0. E 17 Visa att om A, B och C är inverterbara n n-matriser så är ABC också inverterbar, med invers (ABC) 1 = C 1 B 1 A 1.

3 E 18 Antag att A, B och A + B är inverterbara matriser av samma storlek. Visa att matrisen A 1 + B 1 är inverterbar, och (A 1 + B 1 ) 1 = A(A + B) 1 B = B(A + B) 1 A. *E 19 Med spåret av en kvadratisk matris A (betecknas tr A efter engelskans ord trace) menar vi summan av diagonalelementen hos A. Låt A och B vara 2 2-matriser. a. Visa att tr(ab BA) = 0. b. Antag att X är en 2 2-matris med tr X = 0. Visa att det finns ett tal c sådant att X 2 = ci. c. Visa att det för 2 2-matriser A, B och C gäller att (AB BA) 2 C = C(AB BA) 2. **E 20 Låt A och B vara n n-matriser. a. Visa att spåret av AB är lika med spåret av BA, det vill säga tr(ab) = tr(ba). b. Kan det gälla att AB BA = I? Jämför med extraövning 15. Kommentar: AB BA kallas för kommutatorn av A och B och betecknas ofta [A, B]. Uppgiften ovan kan jämföras med kommutatorer inom mekaniken. Det gäller för deriverbara funktioner u att [ d d d, x]u = (xu) x u = u, dx dx dx det vill säga [ d, x] svarar mot identitetsoperatorn. dx E 21 Vid ekonomiska modeller (Leontief-modeller) förekommer en del ekvationslösning och matrisräkning. Vi ger här ett litet exempel. I många realistiska fall finns tusentals rader och kolumner. Tjänster Råmaterial Tillverkade varor Tjänster Råmaterial Tillverkade varor Tabellen ovan skall läsas som att för att få ut 1 kr tjänster så krävs 0.04 kr i tjänster, 0.05 kr i råmaterial och 0.02 kr i tillverkade varor. Vi kan samla datan ovan i en så kallad ingångs-utgångsmatris A = Efterfrågansvektorn d ger den totala efterfrågan för de tre olika sektorerna (enhet Mkr), och produktionsvektorn x (enhet Mkr) innehåller produktionsdata för varje sektor. Varje komponent i vektorn Ax innehåller den produktionsnivå som används av respektive sektor och kallas för den interna efterfrågan. Antag till exempel att produktionsvektorn x ges av Då blir den interna efterfrågan x = Ax = = Härifrån utläser vi till exempel att tjänstesektorn behöver 16 Mkr för tjänster, råmaterial och tillverkade varor. Vi kan också härifrån dra slutsatsen att den externa efterfrågan inte får överstiga 184 Mkr i tjänster, 84 Mkr i råmaterial och 86 Mkr i tillverkade varor. Alternativt, antag att den externa efterfrågan d är given. Vi vill då bestämma produktionsnivån för varje sektor så att den interna och externa efterfrågan är lika. För att göra det måste x uppfylla det vill säga x Ax = d, (I A)x = d. Om I A är inverterbar, så blir alltså x = (I A) 1 d. Antag, som exempel, att efterfrågan d ges av En räkning ger då att d =

4 x = (I A) 1 d Detta utläser vi som att tjänstesektorn måste producera tjänster till ett värde av 360 Mkr, råmaterialsektorn måste producera råmaterial till ett värde av 569 Mkr och tillverkningssektorn måste producera varor till ett värde av 974 Mkr. E 22 Vid bildbehandling arbetas det indirekt med matriser. Bilderna nedan består till exempel av matriser (som vi kan tänka oss som vektorer i R = R ), där varje tal representerar en pixel i bilden och är ett mätetal på vilken grå nyans den pixeln skall ha. Låt vidare josen och vinet ha värde c 1 = 2 och c 2 = 3 respektive, och anta att insatsen av druvor, arbete och kapital begränsas av b 1 = b 2 = b 3 = 8. Med dessa beteckningar är A = , c = ( c 1 ) = ( 2 c ), b = b 1 b 2 b 3 = 8 8, x = ( x 1 ). x 8 2 Här betecknar x 1 och x 2 produktionsnivåerna för jos respektive vin. Vår uppgift är: Maximera c x (det vill säga försäljningsvärdet) under bivillkoren Ax b och x 0. Här betyder Ax b att varje element i vektorn Ax skall vara mindre än eller lika med motsvarande element i b. Motsvarande för x 0. Den här typen av problem förekommer i optimeringslära, inte sällan med hundratusentals rader och kolonner i matrisen. Det finns utvecklade metoder att lösa dem (bland annat den så kallade simplexmetoden). Kanske kan du lösa detta exempel för hand genom att pröva dig fram? Skalärprodukt Sasha Gråskaleinverterad Matrisinverterad Sasha E 24 Antag att x och y är vektorer i R 2. Visa att Sasha x + y 2 + x y 2 = 2( x 2 + y 2 ). När du läst detta exempel bör du inte längre vara förvånad (om du var det innan) över att man behöver jobba i (och därför ha teori för) R n även för stora n. Vissa vanliga manipulationer man gör vid bildbehandling (såsom enkel skärpning) är linjära. *E 23 Den här övningen visar på ett vanligt förekommande optimeringsproblem som löses delvis med medel från linjär algebra. Ett företag har två produkter, druvjos och vin. Tabellen nedan visar hur mycket druvor, arbete och kapital som går in i produktionen (i lämpliga enheter). Jos Vin Druvor 3 1 Arbete 1 2 Kapital 1 3 Kan du ge någon geometrisk tolkning? En figur kanske kan hjälpa. **E 25 I den här uppgiften visar vi hur skalärprodukt kan generaliseras (då brukar den kallas inre produkt). Antag att vi har ett vektorrum V. En inre produkt är en regel som till varje par av vektorer x och y i V tilldelar ett tal (som betecknas x, y ) sådant att följande är uppfyllt i. x, y = y, x, för alla x och y i V. ii. x + y, u = x, u + y, u för alla x, y och u i V. iii. cx, y = c x, y för alla x och y i V och alla skalärer c. iv. x, x 0 för alla x och x, x = 0 precis då x = 0. Se sats 2, kapitel 4 i Sparr för dessa egenskaper hos skalärprodukten i R n, dvs x, y = x y. Låt nu vårt vektorrum vara P 2 (på intervallet (0, 1)), se extraövning 8. För två polynom p 1 och p 2 i P 2 definierar vi p 1, p 2 som

5 p 1, p 2 = 1 0 p 1 (x)p 2 (x) dx. Verifiera att alla fyra egenskaper ovan är uppfyllda. **E 26 För två m n-matriser A och B definierar vi A, B = tr(a T B). Visa att detta uppfyller samtliga villkor (se föregående uppgift) för inre produkt. Spåret för en matris definierades i extraövning 19. *E 27 För geometriska vektorer x och y känner vi till att x y = x y cos θ, där θ är vinkeln mellan x och y. Eftersom 1 cos θ 1 gäller det att x y x y. Denna olikhet är en enkel form av Cauchy Schwarz olikhet. Cauchy Schwarz olikhet är en av de mest fundamentala inom matematiken. Den gäller alltid då vi har en inre produkt. Till exempel gäller det för alla p 1 och p 2 i P 2 (se extraövningar 8 och 25) att 1 p 1 (x)p 2 (x) dx ( (p 1 (x)) 2 dx) 1/2 ( (p 2 (x)) 2 dx) 1/ *E 28 Den här uppgiften finns här för att visa hur minsta kvadratmetoden fungerar. Tabellen nedan visar kostnaden (i Mkr) som ett företag har haft för reklam under sex år och hur mycket företaget tjänat samma år. 0 1 Ledningen inser att det inte finns en rät linje som skär alla punkter. Hur bestämmer man en linje som passar bäst in? Vi ska visa ett vedertaget sätt här. Vi skulle vilja ha k och m så att (tänk efter!) ( 21 1 m ) = Detta är förstås ett kraftigt överbestämt problem som saknar lösning. Låt A beteckna koefficientmatrisen i vänsterledet, x = (k, m) och y beteckna högerledet. Tricket (du kan läsa i kursboken om varför detta fungerar bra) är att multiplicera ekvationen Ax = y med A T. Gör vi det får vi ekvationssystemet A T Ax = A T y (som kallas normalekvationen) ( )( k ) = ( m 540 ). Detta (kvadratiska!) ekvationssystem kan lösas enkelt och lösningen blir k = , m = Observera att denna lösning förstås inte löser det ursprungliga ekvationssystemet Ax = y! Vi ser denna data tillsammans med den räta linjen y = kx + m i figuren nedan. Kostnad för reklam Årsinkomst Den något naiva företagsledningen stirrar sig blinda på detta och skulle vilja veta hur mycket de ska satsa på reklam om de vill upp i en årsinkomst på 150 Mkr följande år. De tycker att det ser ut som att inkomsten beror på satsade reklampengar ungefär som en rät linje. Slutligen, ledningen ville ha en prognos för hur mycket pengar de skall satsa på reklam om de vill ha en inkomst på 150 Mkr. Sätter vi in y = 150 och löser ut x så får vi x = 2936/ De bör alltså satsa drygt fyrtio miljoner kronor på reklam enligt denna modell.

6 Determinanter och kryssprodukt E 29 En permutationsmatris är en matris som består av endast ettor och nollor, och där varje rad och kolumn innehåller exakt en etta. Till exempel är matrisen en permutationsmatris. Vilka värden kan determinanten för en permutationsmatris ha? E 30 Matriserna A och B sägs vara likformiga (ibland ser man beteckningen similära) om det finns en inverterbar matris C sådan att A = CBC 1. Visa att om A och B är kvadratiska likformiga matriser så är det A = det B. **E 31 Du befinner dig i Lund och ska flyga ditt lilla propellerplan till Tokyo. I vilken riktning skall du flyga för att ta den kortaste vägen? Två alternativ: Längs med Dalbyvägen i ostlig riktning eller längs E22:an i nordostlig riktning? Linjära avbildningar Lund Tokyo Latitud Longitud E 32 Antag att v 1, v 2,, v k är k linjärt oberoende vektorer i R n. Antag vidare att A är en inverterbar n n-matris. Visa att vektorerna w j = Av j, j = 1, 2,, k är linjärt oberoende. **E 33 Låt D : P 2 P 2 beteckna deriveringsavbildningen, det vill säga Till exempel gäller alltså att (Dp)(x) = p (x). D(x 2 + 3x 1) = 2x + 3. a. Visa att D är linjär. b. Visa att avbildningsmatrisen A för D i basen {1, x, x 2 } ges av A = c. Bestäm nollrummet till A. d. Vilka polynom p uppfyller Dp = 0? Verkar det stämma med föregående deluppgift? e. Vilken rang har matrisen A? Kan du förklara det i termer av derivering av polynom? f. En matris B sägs vara nilpotent om det finns ett positivt heltal k så att B k = 0. Visa att A ovan är nilpotent. Hur rimmar det med att A representerar derivering av polynom? E 34 Visa att om x 0 och x 1 båda löser ekvationen Ax = y och om α och β är tal sådana att α + β = 1 så kommer αx 0 + βx 1 också att lösa ekvationen Ax = y. Varför tror du denna uppgift är i avsnittet om linjära avbildningar? Egenvärden och diagonalisering E 35 Är avbildningsmatrisen A från extraövning 33 diagonaliserbar? *E 36 Antag att varken ω 1 eller ω 2 är ett egenvärde till n n-matrisen A. Visa att (A ω 1 I) 1 (A ω 2 I) 1 = (ω 1 ω 2 )(A ω 1 I) 1 (A ω 2 I) 1. Anmärkning: Matriser på formen (A ω 1 I) 1 kallas för resolventer. Du som skall läsa kursen System och transformer kommer att stöta på dem där. Likheten ovan brukar gå under namnet resolventidentiteten, och den används bland annat vid egenvärdesproblem i kvantmekaniken (så kallad spektralteori), där det ibland är fördelaktigt att skriva en differens av inverser som en produkt av desamma. *E 37 Låt A vara en 2 2-matris med egenvärden λ 1 och λ 2. a. Visa att b. Visa att det A = λ 1 λ 2.

7 tr A = λ 1 + λ 2. Här står tr A för spåret av A (se extraövning 19). c. Kan du använda resultaten ovan för att få fram egenvärdena till ( )? Återlämnas på Uthyres på A B C A B C d. Kan du med hjälp av informationen ovan skapa en 2 2-matris (utan nollor!) som har egenvärden 1 och 3? e. (Svårare) Kan du generalisera resultatet i de två första deluppgifterna ovan till n n-matriser? *E 38 Detta exempel beskriver Leontiefs slutna ekonomimodell. Se även extraövning 21. Tre hantverkare skall hjälpa till att renovera varandras hus. Alla tre arbetar sammanlagt 10 dagar enligt följande schema Snickare: Elektriker: Rörmokare: 3 dagar i sitt hus, 4 hos elektrikern och 3 hos rörmokaren. 5 dagar i sitt hus, 2 hos snickaren och 3 hos rörmokaren. 2 dagar i sitt hus, 4 hos elektrikern och 4 hos snickaren. Vid prissättningen bestämmer hantverkarna att ta en dagslön som gör att var och en tjänar exakt lika mycket på sitt arbete som den måste betala för utfört arbete (notera att alla måste betala till sig själva också). Sätt upp ett ekvationssystem som uttrycker Utgifter är lika med inkomster med hjälp av en tredimensionell kolonnvektor x = (s e r) T, vars element representerar dagslönen för respektive hantverkare. Notera att man kan sätta upp en matris (prestationsmatris kan vi kalla den) sådan att x är en egenvektor med egenvärde 10 (som motsvarar antalet arbetsdagar) till matrisen. Till varje egenvärde finns det oändligt många egenvektorer (det blir ju parameterlösning). Välj en egenvektor som ger rimliga dagslöner enligt Lunds arbetsmarknad. *E 39 Följande är ett exempel på en så kallad Markovprocess. En biluthyrningsfirma har tre uthyrningsställen som vi kallar A, B och C. En kund får hyra sin bil på valfritt uthyrningsställe och återlämna bilen på valfritt uthyrningsställe. Chefen har funnit att återlämnande sker på de olika ställena med en sannolikhet som beskrivs i tabellen nedan. Detta skall vi till exempel utläsa som att för en bil som hyrs på ställe C så är det 60 procents chans att den skall återlämnas på ställe B. En sak som chefen vill ha svar på är om det kan vara rimligt att ha denna modell eller om till exempel alla bilar kommer hamna på ett av ställena till slut. För att studera detta bildar vi matrisen A = Denna matris kallas för överföringsmatrisen. Antag att en bil ursprungligen hyrs ut från ställe B. Det kan vi se som att vi startar med vektorn x (0) = Låter vi sedan x (1) = Ax (0), så erhåller vi en vektor som innehåller sannolikheterna att bilen återlämnas på de tre återlämningsställena (Vilken vektor blir det?). Denna process kan förstås fortsätta x (2) = Ax (1) ger sannolikheten för bilens återlämningsplats nästa gång den hyrs. Eftersom x (1) = Ax (0) så blir x (2) = A 2 x (0). Så här kan vi fortsätta. Efter n steg erhåller vi x (n) = A n x (0), vars komponenter innehåller sannolikheten för att bilen skall återlämnats vid respektive ställe den n:te gången. För att beräkna A n så diagonaliserar vi A. I detta fallet visar det sig att A har egenvärdena λ 1 = 1, λ 2 = 1 10 ( ) 0.55 och λ 3 = 1 10 (1 2 5) 0.35.

8 Eftersom matrisen A har tre olika egenvärden är den diagonaliserbar. Det finns således en matris S (bestående av egenvektorerna) sådan att A = SDS 1, där D är diagonalmatrisen med egenvärdena på diagonalen. En räkning ger att A n = SD n S 1. Eftersom D är en diagonalmatris så gäller det att D n ges av att elementen på diagonalen i D upphöjs till n. När n är stort kommer det λ n 2 och λn att bli väldigt små till beloppet. 3 Vid gränsövergång kan dessa termer negligeras, det vill säga lim n + Dn = lim n + λ n λ n λ n 3 = , vilket ger (gör räkningen själv! Här kan det vara värt att notera att en egenvektor hörande till egenvärdet 1 ges av (34, 14, 13)) lim n + x(n) = Ur detta kan vi uttyda att bilen efter lång tid kommer att återlämnas till ställe A i 34/61 56% av fallen, till B i 14/ % av fallen och till C i 13/61 21% av fallen. Spelade det någon roll var bilen startade tror du? *E 40 Demografer intresserar sig bland annat för hur populationer eller grupper av populationer förflyttar sig mellan regioner. Antag att det varje år uppskattas att 90 procent av personerna i centrala Göteborg stannar kvar i centrala Göteborg, medan 10 procent flyttar till förorten. Antag vidare att 92 procent av personerna i förorten stannar kvar där, medan 8 procent flyttar in till centrala Göteborg. a. Skriv ner en 2 2-överföringsmatris (se extraövning 39) som beskriver hur stor del som flyttar från centrum till centrum (dvs stannar kvar i centrum), centrum till förort, förort till centrum och förort till förort. b. Antag att det år 2013 bodde personer i centrala Göteborg och i förorterna. Skriv ner en matrisprodukt som ger en 2 1-vektor innehållandes populationerna i centrum och förorterna år Utför matrisprodukten. Hur stora blir populationerna år 2014? c. Låt n vara ett positivt heltal. Med samma data som ovan, hur många bor i centrum respektive förort vid år n? d. Hur ser det ut efter mycket lång tid, det vill säga då n +? e. (Lite svårare) Kan du ställa upp en ny modell som tar hänsyn till inflyttade, utflyttade, nyfödda och avlidna varje år? Gör egna antaganden. *E 41 I en undersökning bland personer visade det sig att var icke-rökare, rökte mindre än ett paket per dag och rökte mer än ett paket per dag. Under en månad antas det att 10 procent av icke-rökarna börjar röka ett paket om dagen, och att resten förblir icke-rökare. Vidare antas det att 20 procent av de som röker ett paket per dag slutar att röka och att 30 procent av dem börjar röka mer än ett paket per dag. Slutligen antas att 30 procent av de som röker mer än ett paket per dag drar ner på sin rökning till ett paket per dag, och att 10 procent av dem slutar röka helt. Hur många är i varje kategori efter en månad? Två månader? Ställ upp ett uttryck som beskriver hur det ser ut efter ett år. *E 42 En entreprenör har just gett sig in i en bransch för att konkurrera med en väletablerad vara. Det visar sig att varje månad så omvänder entreprenörens företag 2 procent av de som använder den etablerade varan. Men det visar sig också att varje månad går 5 procent av entreprenörens kunder tillbaka till den etablerade varan. Hur lång tid kommer det att ta innan entreprenören har minst 20 procent av marknaden? Vad händer efter lång tid? **E 43 Den här uppgiften handlar om linjära differentialekvationer av andra ordningen med konstanta koefficienter. De ingår inte i den här kursen. Meningen är att du skall läsa uppgiften och notera hur man kan använda metoder från linjär algebra för att lösa denna typ av ekvationer. Istället för att skriva ner någon allmän teori så tittar vi på ett exempel. Antag att vi vill lösa begynnelsevärdesproblemet Vi inför vektorn och noterar att y (t) + y (t) 2y(t) = 0, y(0) = 0, y (0) = 1. u(t) = ( y(t) y (t) ) u (t) = ( y (t) y (t) ) = ( y (t) 2y(t) y (t) ) = ( 0 1 y(t) )( 2 1 y (t) )

9 = ( )u(t). Vi inför härnäst koefficientmatrisen A = ( ). Vi har alltså erhållit ett system av första ordningens differentialekvationer u (t) = Au(t). Det löser vi genom att diagonalisera A. En räkning (gör den!) ger att A har karaktäristisk ekvation λ 2 + λ 2 = 0. Jämför detta med den karaktäristiska ekvationen man talar om i lösandet av linjära differentialekvationer i kursen i envariabelanalys! En ny räkning (gör den med!) ger att egenvärdena ges av λ 1 = 2 och λ 2 = 1, med tillhörande egenvektorer (1, 2) och (1, 1) respektive. Vi låter u(t) = Sw(t) = ( )( C 1e 2t C 2 e ) = ( C 1 e 2t + C 2 e t ). t 2C 1 e 2t t + C 2 e Begynnelsevillkoren säger att Detta ger ekvationssystemet u(0) = ( 0 1 ). C { 1 + C 2 = 0 2C 1 + C 2 = 1 som har lösning (kolla!) C 1 = 1/3, C 2 = 1/3. Eftersom y(t) var den första komponenten i u(t) har vi alltså fått lösningen y(t) = C 1 e 2t + C 2 e t = 1 3 e 2t et. Notera att det är y (t) som står i andra komponenten av u(t) samt att vi inte behövde räkna ut S 1. S = ( ), D = ( ) Då gäller det att D = S 1 AS. Inför nu en ny funktion w(t) = (w 1 (t), w 2 (t)) genom u(t) = Sw(t). Derivering ger w (t) = S 1 u (t) = S 1 Au(t) = S 1 ASw(t) = Dw(t). Eftersom D är en diagonalmatris så är ekvationerna frikopplade, d dt w 1(t) = 2w 1 (t), d dt w 2(t) = w 2 (t). Dessa löses enkelt (till exempel med integrerande faktor), w 1 (t) = C 1 e 2t, w 2 (t) = C 2 e t. Här är C 1 och C 2 godtyckliga konstanter som vi snart bestämmer med hjälp av begynnelsevillkoren. För att finna u(t) återgår vi med hjälp av S,

10 Tips och/eller svar E 1 7 syskon. E 2 0 kronor. E 3 Tips: ställ upp ekvationer för varje nod/korsning. E 4 Systemet är underbestämt, så svaret på sista frågan är nej, även om det måste undersökas. Vid undersökning finner vi att vi har parameterlösning, så lösningen är inte unik. E 5 (x 1, x 2, x 3, x 4 ) = 1 (195, 205, 175, 185) 8 med lämplig benämning på noderna. E 6 20 enkronor, 8 femkronor och 4 tiokronor. Man kan debattera huruvida lösningen 15 enkronor och 17 femkronor och noll tiokronor bör vara med eller ej. E 7 E 8 a. Nollpolynomet b. E 9 E 10 E 11 E 12 E 13 Tips: Vad blir A 2? E 14 (a, b, c) = ±(1, 0, 1) eller (a, b, c) = ±(1, t, 1) där t är godtyckligt. E 15 Nej. E 16 Endast nollmatrisen duger. E 17 Tips: Använd definitionen. E 18 Tips: Använd antingen formlen för invers av invers eller definitionen av invers. E 19 Tips: a. Ansätt och räkna b. Ansätt och räkna c. Använd de tidigare deluppgifterna. E 20 E 21 E 22 E 23 E 24 Tips: Utveckla med hjälp av skalärprodukt. För den geometriska tolkningen bör du rita en parallellogram. E 25 E 26 E 27 E 28 E 29 ±1. E 30 Tips: Produktregeln för determinanter. E 31 Tips: Använd kryssprodukt och tangerande/skärande plan. E 32 Tips: Använd lineariteten hos matrismultiplikation. E 33 E 34 E 35 Nej. E 36 E 37 c. Egenvärdena är 1 och 5. E 38 E 39 E 40 E 41 E 42 E 43

Linjär algebra på några minuter

Linjär algebra på några minuter Linjär algebra på några minuter Linjära ekvationssystem Ekvationssystem: { Löses på matrisform: ( ) ( ) I det här fallet finns en entydig lösning, vilket betyder att determinanten av koefficientmatrisen

Läs mer

Multiplicera 7med A λ 1 I från vänster: c 1 (Av 1 λ 1 v 1 )+c 2 (Av 2 λ 1 v 2 )+c 3 (Av 3 λ 1 v 3 ) = 0

Multiplicera 7med A λ 1 I från vänster: c 1 (Av 1 λ 1 v 1 )+c 2 (Av 2 λ 1 v 2 )+c 3 (Av 3 λ 1 v 3 ) = 0 Diagonalisering Anm. Begreppet diagonaliserbarhet är relevant endast för linjära avbildningar mellan rum av samma dimension, d.v.s. sådana som representeras av kvadratiska matriser. När vi i fortsättningen

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A SF624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A () (a) Använd Gauss-Jordans metod för att bestämma lösningsmängden till ekvationssystemet 2x + 4x 2 + 2x 3 + 2x 4 = 2, 3x + 6x 2 x 3

Läs mer

Mat-1.1510 Grundkurs i matematik 1, del I

Mat-1.1510 Grundkurs i matematik 1, del I Mängder Det enklaste sättet att beskriva en mängd är att räkna upp de elementen i mängden, tex Mat-11510 Grundkurs i matematik 1, del I G Gripenberg TKK 8 oktober 2009 G Gripenberg (TKK Mat-11510 Grundkurs

Läs mer

TMV166/186 Linjär Algebra M/TD 2011/2012 Läsvecka 1. Omfattning. Innehåll 2012-01-20. Lay, kapitel 1.1-1.9, Linjära ekvationer i linjär algebra

TMV166/186 Linjär Algebra M/TD 2011/2012 Läsvecka 1. Omfattning. Innehåll 2012-01-20. Lay, kapitel 1.1-1.9, Linjära ekvationer i linjär algebra TMV166/186 Linjär Algebra M/TD 2011/2012 Läsvecka 1 Omfattning Lay, kapitel 1.1-1.9, Linjära ekvationer i linjär algebra Innehåll Olika aspekter av linjära ekvationssystem 1. skärning mellan geometriska

Läs mer

Institutionen för Matematik TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA671 2009-01-16. DAG: Fredag 16 januari 2009 TID: 14.00-18.

Institutionen för Matematik TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA671 2009-01-16. DAG: Fredag 16 januari 2009 TID: 14.00-18. Institutionen för Matematik Göteborg TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F, TMA67 9--6 DAG: Fredag 6 januari 9 TID: 4. - 8. SAL: V Ansvarig: Ivar Gustafsson, tel: 77 94 Förfrågningar: Ivar Gustafsson

Läs mer

2 = 3 = 1. ekvationssystem är beskriven som de vektorer X = 2 0 1 2. 1 1 0 2

2 = 3 = 1. ekvationssystem är beskriven som de vektorer X = 2 0 1 2. 1 1 0 2 . Tisdagen 35 Igår visade vi att lösningsmängden W R 5 till ekvationssystemet 3x + x 2 + 3x 3 + 2x 4 x 5 = (..) 2x 2 + x 3 + 4x 4 + 2x 5 = 3x 3x 2 + x 3 6x 4 5x 5 = har bas u och u 2 och u 3 där 5 2 6

Läs mer

y z 3 = 0 z 5 16 1 i )

y z 3 = 0 z 5 16 1 i ) ATM-Matematik Mikael Forsberg 734-433 Sören Hector 7-46686 Rolf Källström 7-6939 Ingenjörer, Lantmätare och Distansstuderande, mfl. Linjär Algebra ma4a 4 3 Skrivtid: 9:-4:. Inga hjälpmedel. Lösningarna

Läs mer

Datorlaboration :: 1 Problembeskrivning ::

Datorlaboration :: 1 Problembeskrivning :: Datorlaboration :: Ett hyrbilsföretags problem Laborationen går ut på att lösa Labbuppgift 1 till 5. Laborationen redovisas individuellt genom att skicka laborationens Mathematicafil till Mikael Forsberg

Läs mer

1 Duala problem vid linjär optimering

1 Duala problem vid linjär optimering Krister Svanberg, april 2012 1 Duala problem vid linjär optimering Detta kapitel handlar om två centrala teoretiska resultat för LP, nämligen dualitetssatsen och komplementaritetssatsen. Först måste vi

Läs mer

MATEMATIK Datum: 2015-08-19 Tid: eftermiddag Hjälpmedel: inga. Mobiltelefoner är förbjudna. A.Heintz Telefonvakt: Tim Cardilin Tel.

MATEMATIK Datum: 2015-08-19 Tid: eftermiddag Hjälpmedel: inga. Mobiltelefoner är förbjudna. A.Heintz Telefonvakt: Tim Cardilin Tel. MATEMATIK Datum: 0-08-9 Tid: eftermiddag Chalmers Hjälmedel: inga. Mobiltelefoner är förbjudna. A.Heintz Telefonvakt: Tim Cardilin Tel.: 0703-088304 Lösningar till tenta i TMV036 Analys och linjär algebra

Läs mer

Linjär Algebra, Föreläsning 8

Linjär Algebra, Föreläsning 8 Linjär Algebra, Föreläsning 8 Tomas Sjödin Linköpings Universitet Linjärkombinationer (repetition) Låt v 1, v 2,..., v n vara vektorer i ett vektorrum V. Givet skalärer λ 1, λ 2,..., λ n R så kallas λ

Läs mer

Linjär Algebra, Föreläsning 2

Linjär Algebra, Föreläsning 2 Linjär Algebra, Föreläsning 2 Tomas Sjödin Linköpings Universitet Riktade sträckor och Geometriska vektorer En (geometrisk) vektor är ett objekt som har storlek och riktning, men inte någon naturlig startpunkt.

Läs mer

Linjära ekvationssystem. Avsnitt 1. Vi ska lära oss en metod som på ett systematiskt sätt löser alla linjära ekvationssystem. Linjära ekvationssystem

Linjära ekvationssystem. Avsnitt 1. Vi ska lära oss en metod som på ett systematiskt sätt löser alla linjära ekvationssystem. Linjära ekvationssystem Avsnitt Linjära ekvationssystem Elementära radoperationer Gausseliminering Exempel Räkneschema Exempel med exakt en lösning Exempel med parameterlösning Exempel utan lösning Slutschema Avläsa lösningen

Läs mer

Kapitel 4. Funktioner. 4.1 Definitioner

Kapitel 4. Funktioner. 4.1 Definitioner Kapitel 4 Funktioner I det här kapitlet kommer vi att undersöka funktionsbegreppet. I de första sektionerna genomgås definitionen av begreppet funktion och vissa egenskaper som funktioner har. I slutet

Läs mer

Matriser och vektorer i Matlab

Matriser och vektorer i Matlab CTH/GU LABORATION 3 TMV206-2013/2014 Matematiska vetenskaper 1 Inledning Matriser och vektorer i Matlab I denna laboration ser vi på hantering och uppbyggnad av matriser samt operationer på matriser En

Läs mer

Beräkningsvetenskap föreläsning 2

Beräkningsvetenskap föreläsning 2 Beräkningsvetenskap föreläsning 2 19/01 2010 - Per Wahlund if-satser if x > 0 y = 2 + log(x); else y = -1 If-satsen skall alltid ha ett villkor, samt en då det som skall hända är skrivet. Mellan dessa

Läs mer

reella tal x i, x + y = 2 2x + z = 3. Här har vi tre okända x, y och z, och vi ger dessa okända den naturliga

reella tal x i, x + y = 2 2x + z = 3. Här har vi tre okända x, y och z, och vi ger dessa okända den naturliga . Lösningsmängden till homogena ekvationssystem I denna första föreläsning börjar vi med att repetera det grunnläggande begreppet inom linjär algebran. Linjär algebra är studiet av lösningsmängden till

Läs mer

LMA222a. Fredrik Lindgren. 17 februari 2014

LMA222a. Fredrik Lindgren. 17 februari 2014 LMA222a Fredrik Lindgren Matematiska vetenskaper Chalmers tekniska högskola och Göteborgs universitet 17 februari 2014 F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari 2014 1 / 68 Outline 1 Lite

Läs mer

Algebra & Ekvationer. Svar: Sammanfattning Matematik 2

Algebra & Ekvationer. Svar: Sammanfattning Matematik 2 Algebra & Ekvationer Algebra & Ekvationer Parenteser En parentes När man multiplicerar en term med en parentes måste man multiplicera båda talen i parentesen. Förenkla uttrycket 42 9. 42 9 4 2 4 9 8 36

Läs mer

Rekursion. 1. Inledning. vara en fot bred.

Rekursion. 1. Inledning. vara en fot bred. Rekursion. Inledning En trädgårdsmästare skall lägga en gång med cementplattor. Gången skall vara en fot bred. Han har tre slags plattor. En är omönstrad och kvadratisk med sidan en fot, två är rektangulära

Läs mer

DIGITAL KOMMUNIKATION

DIGITAL KOMMUNIKATION EN KOR SAMMANFANING AV EORIN INOM DIGIAL KOMMUNIKAION Linjär kod En binär linjär kod kännetecknas av att summan av två kodord också är ett kodord. Ett specialfall är summan av ett kodord med sig själv

Läs mer

3. Lös ekvationen 3 + z = 3 2iz och ge i det komplexa talplanet en illustration av lösningsmängden.

3. Lös ekvationen 3 + z = 3 2iz och ge i det komplexa talplanet en illustration av lösningsmängden. MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Examinator: Lars-Göran Larsson TENTAMEN I MATEMATIK MAA Grundläggande vektoralgebra TEN4 Datum:

Läs mer

Föreläsningen ger en introduktion till differentialekvationer och behandlar stoff från delkapitel 18.1, 18.3 och 7.9 i Adams. 18.

Föreläsningen ger en introduktion till differentialekvationer och behandlar stoff från delkapitel 18.1, 18.3 och 7.9 i Adams. 18. Föreläsningen ger en introduktion till differentialekvationer och behandlar stoff från delkapitel 18.1, 18.3 och 7.9 i Adams. 18.1 Delkapitlet introducerar en del terminologi och beteckningar som används.

Läs mer

Laboration 5: Regressionsanalys. 1 Förberedelseuppgifter. 2 Enkel linjär regression DATORLABORATION 5 MATEMATISK STATISTIK FÖR I, FMS 012, HT-08

Laboration 5: Regressionsanalys. 1 Förberedelseuppgifter. 2 Enkel linjär regression DATORLABORATION 5 MATEMATISK STATISTIK FÖR I, FMS 012, HT-08 LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK Laboration 5: Regressionsanalys DATORLABORATION 5 MATEMATISK STATISTIK FÖR I, FMS 012, HT-08 Syftet med den här laborationen är att du skall

Läs mer

Linjär algebra med tillämpningar, lab 1

Linjär algebra med tillämpningar, lab 1 Linjär algebra med tillämpningar, lab 1 Innehåll Per Jönsson Fakulteten för Teknik och Samhälle, 2013 Uppgifterna i denna laboration täcker kapitel 1-3 i läroboken. Läs igenom motsvarande kapitel. Sitt

Läs mer

SF1635, Signaler och system I

SF1635, Signaler och system I SF635, Signaler och system I Tentamen tisdagen 0--, kl 4 00 9 00 Hjälpmedel: BETA Mathematics Handbook Räknedosa utan program Formelsamling i Signalbehandling (rosa), Formelsamling för Kursen SF635 (ljusgrön)

Läs mer

Kap 1: Aritmetik - Positiva tal - " - " - " - " - - " - " - " - " -

Kap 1: Aritmetik - Positiva tal -  -  -  -  - -  -  -  -  - År Startvecka Antal veckor 2013 34 18 Planering för ma 1b/c - ma 5000- boken OBS: För de i distansgruppen, meddela lärare innan prov. (justeringar för 1c ännu ej genomförda) Vecka Lektio n (2h) Datum Kapitel

Läs mer

Linjär algebra förel. 10 Minsta kvadratmetoden

Linjär algebra förel. 10 Minsta kvadratmetoden Linjär algebra förel. 10 Minsta kvadratmetoden Niels Chr. Overgaard 015-09- c N. Chr. Overgaard Förel. 9 015-09- logoonly 1 / 17 Data från 1 vuxna män vikt (kg) längd (m) 58 1,69 83 1,77 80 1,79 77 1,80

Läs mer

Prov 1 2. Ellips 12 Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad 20.5.2010. a) i) Nollställen för polynomet 2x 2 3x 1:

Prov 1 2. Ellips 12 Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad 20.5.2010. a) i) Nollställen för polynomet 2x 2 3x 1: Ellips Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad.. Prov a) i) ii) iii) =,, = st 9,876 =,9876,99 = 9,9,66,66 =,7 =,7 Anmärkning. Nollor i början av decimaltal har ingen betydelse

Läs mer

Del I: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt i provhäftet.

Del I: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt i provhäftet. Del I: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt i provhäftet. 1) a) Bestäm ekvationen för den räta linjen i figuren. (1/0/0) b) Rita i koordinatsystemet en rät linje

Läs mer

Optimeringslära för T (SF1861)

Optimeringslära för T (SF1861) Optimeringslära för T (SF1861) 1. Kursinformation 2. Exempel på optimeringsproblem 3. Introduktion till linjärprogrammering Introduktion - Ulf Jönsson & Per Enqvist 1 Linjärprogrammering Kursinformation

Läs mer

Att undervisa och studera matematik med datoralgebraprogrammet Maxima. Per Jönsson och Thomas Lingefjärd

Att undervisa och studera matematik med datoralgebraprogrammet Maxima. Per Jönsson och Thomas Lingefjärd Att undervisa och studera matematik med datoralgebraprogrammet Maxima Per Jönsson och Thomas Lingefjärd Malmö och Göteborg 2009 1 Kort om Maxima Begreppet CAS (computer algebra system) eller på svenska

Läs mer

Matematiska tillämpningar - en exempelsamling till kurserna Matematisk analys och Linjär algebra

Matematiska tillämpningar - en exempelsamling till kurserna Matematisk analys och Linjär algebra Matematiska tillämpningar - en exempelsamling till kurserna Matematisk analys och Linjär algebra Sammanställd av Fredrik Abrahamsson Innehåll Matematisk analys 2. Formen av en konservburk..............................

Läs mer

Mer om reella tal och kontinuitet

Mer om reella tal och kontinuitet Kapitel R Mer om reella tal och kontinuitet I detta kapitel formulerar vi ett av de reella talens grundläggande axiom, axiomet om övre gräns, och studerar några konsekvenser av detta. Med dess hjälp kommer

Läs mer

Välkomna till Numme och MATLAB, 9 hp, för Materialdesign och Energi&Miljö, årskurs 2

Välkomna till Numme och MATLAB, 9 hp, för Materialdesign och Energi&Miljö, årskurs 2 Välkomna till Numme och MATLAB, 9 hp, för Materialdesign och Energi&Miljö, årskurs 2 Kursen avses ge dig kunskap om numeriska metoder, hur man kan använda dessa genom elementär programmering i MATLAB samt

Läs mer

Matematik 1B. Taluppfattning, aritmetik och algebra

Matematik 1B. Taluppfattning, aritmetik och algebra Matematik 1a Centralt innehåll Metoder för beräkningar med reella tal skrivna på olika former inom vardagslivet och karaktärsämnena, inklusive överslagsräkning, huvudräkning och uppskattning samt strategier

Läs mer

Introduktion till algoritmer - Lektion 4 Matematikgymnasiet, Läsåret 2014-2015. Lektion 4

Introduktion till algoritmer - Lektion 4 Matematikgymnasiet, Läsåret 2014-2015. Lektion 4 Introduktion till algoritmer - Lektion 4 Matematikgymnasiet, Läsåret 014-015 Denna lektion ska vi studera rekursion. Lektion 4 Principen om induktion Principen om induktion är ett vanligt sätt att bevisa

Läs mer

FMN140 VT07: Beräkningsprogrammering Numerisk Analys, Matematikcentrum

FMN140 VT07: Beräkningsprogrammering Numerisk Analys, Matematikcentrum Johan Helsing, 20 februari 2007 FMN140 VT07: Beräkningsprogrammering Numerisk Analys, Matematikcentrum Projektuppgift Syfte: att träna på att skriva ett lite större Matlabprogram med relevans för byggnadsmekanik.

Läs mer

Studieplan och bedömningsgrunder i Matematik för åk 7 Moment Bedömningsgrunder för uppnåendemålen Begreppsbildning Tal och räkning

Studieplan och bedömningsgrunder i Matematik för åk 7 Moment Bedömningsgrunder för uppnåendemålen Begreppsbildning Tal och räkning Moment Begreppsbildning Mätningar och enheter Algebra och ekvationer Studieplan och bedömningsgrunder i Matematik för åk 7 Bedömningsgrunder för uppnåendemålen känna igen naturliga tal kunna positiva heltal:

Läs mer

Matematikpärmen 4-6. 105 fullmatade arbetsblad i matematik för åk 4-6. Massor med extrauppgifter.

Matematikpärmen 4-6. 105 fullmatade arbetsblad i matematik för åk 4-6. Massor med extrauppgifter. M A T E M A T I K P Ä R M E N - 6 Matematikpärmen -6 Arbetsblad med fri kopieringsrätt! 05 fullmatade arbetsblad i matematik för åk -6. Massor med extrauppgifter. Materialet är indelat i 7 områden per

Läs mer

Institutionen för Matematik. F1 - Linjär algebra och numerisk analys, TMA671 Svar till övningar i Heath s bok och extraövningar

Institutionen för Matematik. F1 - Linjär algebra och numerisk analys, TMA671 Svar till övningar i Heath s bok och extraövningar Institutionen för Matematik Göteborg F1 - Linjär algebra och numerisk analys, TMA671 Svar till övningar i Heath s bok och extraövningar Heath 1: a) -01416 resp -0046 b) -0001593 resp -000051 c) 000165

Läs mer

Approximation av funktioner

Approximation av funktioner Vetenskapliga beräkningar III 8 Kapitel Approximation av funktioner Vi skall nu övergå till att beskriva, hur man i praktiken numeriskt beräknar funktioner I allmänhet kan inte ens elementära funktioner

Läs mer

Per Jönsson Symbolisk matematik med MATLAB

Per Jönsson Symbolisk matematik med MATLAB Per Jönsson Symbolisk matematik med MATLAB Malmö 2010 2 Per Jönsson Centrum för Teknikstudier Malmö högskola 205 06 Malmö email: per.jonsson@mah.se hemsida: http://homeweb.mah.se/~tspejo/index.htm c Per

Läs mer

Uppdaterad 2003-10-14 Allmänt Läroplanens mål för matematik finns att ta del av för elever och målsmän på webbadressen: http://www.skolverket.se.

Uppdaterad 2003-10-14 Allmänt Läroplanens mål för matematik finns att ta del av för elever och målsmän på webbadressen: http://www.skolverket.se. Matematik Uppdaterad 2003-10-14 Allmänt Läroplanens mål för matematik finns att ta del av för elever och målsmän på webbadressen: http://www.skolverket.se. ADDITION, SUBTRAKTION, DIVISION OCH MULTIPLIKATION.

Läs mer

KURSPLAN Matematik för gymnasielärare, 61-90 hp, 30 högskolepoäng

KURSPLAN Matematik för gymnasielärare, 61-90 hp, 30 högskolepoäng 1(5) KURSPLAN Matematik för gymnasielärare, 61-90 hp, 30 högskolepoäng Mathematics för Teachers, 61-90 credits, 30 credits Kurskod: LMGN12 Fastställd av: Utbildningsledare 2012-06-15 Gäller fr.o.m.: HT

Läs mer

(A B) C = A C B C och (A B) C = A C B C. Bevis: (A B) C = A C B C : (A B) C = A C B C : B C (A B) C A C B C

(A B) C = A C B C och (A B) C = A C B C. Bevis: (A B) C = A C B C : (A B) C = A C B C : B C (A B) C A C B C Sats 1.3 De Morgans lagar för mängder För alla mängder A och B gäller att (A B) C = A C B C och (A B) C = A C B C. (A B) C = A C B C : A B A C (A B) C B C A C B C (A B) C = A C B C : A B A C (A B) C B

Läs mer

Lokal studieplan Matematik 3 8 = 24. Centrum för tvåspråkighet Förberedelseklass

Lokal studieplan Matematik 3 8 = 24. Centrum för tvåspråkighet Förberedelseklass Lokal studieplan Matematik 3 8 = 24 Centrum för tvåspråkighet Förberedelseklass 1 Mål att sträva mot Skolan skall i sin undervisning i matematik sträva efter att eleven S11 utvecklar intresse för matematik

Läs mer

Sammanfattningar Matematikboken Y

Sammanfattningar Matematikboken Y Sammanfattningar Matematikboken Y KAPitel 1 TAL OCH RÄKNING Numeriska uttryck När man beräknar ett numeriskt uttryck utförs multiplikation och division före addition och subtraktion. Om uttrycket innehåller

Läs mer

Algebra, exponentialekvationer och logaritmer

Algebra, exponentialekvationer och logaritmer Höstlov Uppgift nr 1 Ge en lösning till ekvationen 0 434,2-13x 3 Ange både exakt svar och avrundat till två decimalers noggrannhet. Uppgift nr 2 Huvudräkna lg20 + lg50 Uppgift nr 3 Ge en lösning till ekvationen

Läs mer

Jörgen Lagnebo PLANERING OCH BEDÖMNING MATEMATIK ÅK 8

Jörgen Lagnebo PLANERING OCH BEDÖMNING MATEMATIK ÅK 8 PLANERING OCH BEDÖMNING MATEMATIK ÅK 8 TERMINSPLAN HÖSTTERMINEN ÅK 8: 1 1.1 ANDELEN 2 1.2 HÖJNING OCH SÄNKNING 3 FORTS. 1.2 HÖJNING OCH SÄNKNING 4 1.3 HUR STOR ÄR DELEN 1 5 AKTIVITET + 1.4 HUR STOR ÄR

Läs mer

Kapitel 3 Diskreta slumpvariabler och deras sannolikhetsfördelningar

Kapitel 3 Diskreta slumpvariabler och deras sannolikhetsfördelningar Sannolikhetslära och inferens II Kapitel 3 Diskreta slumpvariabler och deras sannolikhetsfördelningar 1 Diskreta slumpvariabler En slumpvariabel tilldelar tal till samtliga utfall i ett slumpförsök. Vi

Läs mer

Stokastiska processer

Stokastiska processer Stokastiska processer Fredrik Olsson, fredrik.olsson@iml.lth.se Avdelningen för produktionsekonomi Lunds tekniska högskola, Lunds universitet Dessa förläsningsanteckningar kommer att behandla diskreta

Läs mer

Talmönster och algebra. TA

Talmönster och algebra. TA Talmönster och algebra. TA Diagnoserna i området avser att kartlägga om eleverna kan upptäcka talmönster samt på olika sätt bearbeta algebraiska uttryck och ekvationer. Förståelse av koordinatsystem och

Läs mer

Matematik Betygskriterier i matematik år 9 Ekholmsskolan i Linköping

Matematik Betygskriterier i matematik år 9 Ekholmsskolan i Linköping Enhet 591 Ekholmen Matematik Betygskriterier i matematik år 9 Ekholmsskolan i Linköping Fakta Förståelse Färdighet Förtrogenhet De olika formerna samspelar och utgör varandras förutsättningar. För att

Läs mer

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS D VÅREN 2001 3. Skolverkets svar, #1 #6 9. Några lösningar till D-kursprov vt 2001 10

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS D VÅREN 2001 3. Skolverkets svar, #1 #6 9. Några lösningar till D-kursprov vt 2001 10 JENSENvuutbildning NpMaD vt för Ma4 (4) VERSION UNDER ARBETE. Innehåll Förord NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS D VÅREN Skolverkets svar, # #6 9 Några lösningar till D-kursprov vt Digitala verktg är

Läs mer

Att beräkna t i l l v ä x t takter i Excel

Att beräkna t i l l v ä x t takter i Excel Att beräkna t i l l v ä x t takter i Excel Detta kapitel är en liten matematisk vägledning om att beräkna tillväxttakten i Excel. Här visas exempel på potenser och logaritmer och hur dessa funktioner beräknas

Läs mer

UPPGIFT 1 TVÅPOTENSER. UPPGIFT 2 HISSEN I LUSTIGA HUSET.

UPPGIFT 1 TVÅPOTENSER. UPPGIFT 2 HISSEN I LUSTIGA HUSET. UPPGIFT 1 TVÅPOTENSER. 2 ½ ¾ = 5575186299632655785383929568162090376495104 n = 142 är det minsta värde på n för vilket 2 Ò inleds med siffrorna 55. Uppgiften består i att skriva ett program som tar emot

Läs mer

MATEMATIK. Ämnets syfte. Kurser i ämnet

MATEMATIK. Ämnets syfte. Kurser i ämnet MATEMATIK Matematiken har en flertusenårig historia med bidrag från många kulturer. Den utvecklas såväl ur praktiska behov som ur människans nyfikenhet och lust att utforska matematiken som sådan. Kommunikation

Läs mer

Kap1 1.1 Tal i olika former Mål Mål Mål Mål Mål Mål Rek. uppgifter 1101, 1106, 1107, 1113, 1118, 1120 Talmängder

Kap1 1.1 Tal i olika former Mål Mål Mål Mål Mål Mål Rek. uppgifter 1101, 1106, 1107, 1113, 1118, 1120 Talmängder Kap1 1.1 Tal i olika former Mål Mål Mål Mål Mål Mål Rek. uppgifter Känna till de vanligaste talmängderna och de Veta hur talmängderna betecknas Ha kunskap om hur de olika talmängderna är 1101, 1106, 1107,

Läs mer

Högskoleprovet. Block 1. Anvisningar. Övningsexempel. Delprovet innehåller 22 uppgifter.

Högskoleprovet. Block 1. Anvisningar. Övningsexempel. Delprovet innehåller 22 uppgifter. Block 1 2010-04-10 Högskoleprovet Svarshäfte nr. DELPROV 1 NOGc Delprovet innehåller 22 uppgifter. Anvisningar Varje uppgift innehåller en fråga markerad med fet stil. Uppgiften kan även innehålla viss

Läs mer

Tentamensinstruktioner. När Du löser uppgifterna

Tentamensinstruktioner. När Du löser uppgifterna Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP14/TEN 1 OPTIMERINGSLÄRA GRUNDKURS för I, Ii och TB Datum: 24 augusti 2009 Tid: 8.00-13.00 Hjälpmedel: Lundgren m fl: Optimeringslära och/eller Lundgren

Läs mer

Föreläsning 12: Regression

Föreläsning 12: Regression Föreläsning 12: Regression Matematisk statistik David Bolin Chalmers University of Technology Maj 15, 2014 Binomialfördelningen Låt X Bin(n, p). Vi observerar x och vill ha information om p. p = x/n är

Läs mer

Matlabövning. Matlab har en enkel syntax och många av er har använt programmet tidigare. Inga deklarationer behövs.

Matlabövning. Matlab har en enkel syntax och många av er har använt programmet tidigare. Inga deklarationer behövs. Funktionsteori ht 2010 Matlabövning Inledning Denna datorövning ger en introduktion till Matlab. Systemet används här som en avancerad räknedosa med inbyggda matrisoperationer och grafik. Ha den Matlabmanual

Läs mer

MATEMATIK. Ämnets syfte

MATEMATIK. Ämnets syfte MATEMATIK Matematiken har en flertusenårig historia med bidrag från många kulturer. Den utvecklas såväl ur praktiska behov som ur människans nyfikenhet och lust att utforska matematiken som sådan. Kommunikation

Läs mer

SF1635, Signaler och system I

SF1635, Signaler och system I SF65, Signaler och system I Tentamen tisdagen 4--4, kl 8 Hjälpmedel: BETA Mathematics Handbook. Formelsamling i Signalbehandling rosa), Formelsamling för Kursen SF65 ljusgrön). Obs : Obs : Obs : Obs 4:

Läs mer

Med ett samband menar vi hur något beror av någonting annat. Det skulle t.ex. kunna vara (sant eller inte):

Med ett samband menar vi hur något beror av någonting annat. Det skulle t.ex. kunna vara (sant eller inte): Linjära samband Räta linjens ekvation Förmågan att se, analsera och förstå olika samband är egenskaper som är viktiga att ha i vardagslivet men oundvikliga för kommande studier och arbetsliv. Med ett samband

Läs mer

Tentamensinstruktioner. Vid skrivningens slut

Tentamensinstruktioner. Vid skrivningens slut Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP14/TEN1 OPTIMERINGSLÄRA GRUNDKURS för I och Ii Datum: 13:e januari 2011 Tid: 8.00 13.00 Hjälpmedel: Kurslitteratur av Lundgren m fl: Optimeringslära

Läs mer

Rättningsmall för Mikroteori med tillämpningar, tentamensdatum 090327

Rättningsmall för Mikroteori med tillämpningar, tentamensdatum 090327 Rättningsmall för Mikroteori med tillämpningar, tentamensdatum 090327 Poäng på tentan Astri Muren 090421 Fråga 1 / dugga 1: max 10 p Fråga 2 / dugga 2: max 10 p Fråga 3 / seminarierna: max 10 p Fråga 4

Läs mer

Konsten att lösa icke-linjära ekvationssystem

Konsten att lösa icke-linjära ekvationssystem Konsten att lösa icke-linjära ekvationssystem Andreas Axelsson Vi beskriver här de grundläggande teknikerna för att lösa icke-linjära ekvationssystem. Detta är en nödvändig kunskap för att kunna lösa diverse

Läs mer

Flervariabel reglering av tanksystem

Flervariabel reglering av tanksystem Flervariabel reglering av tanksystem Datorövningar i Reglerteori, TSRT09 Denna version: oktober 2008 1 Inledning Målet med detta dokument är att ge möjligheter att studera olika aspekter på flervariabla

Läs mer

Gemensamt projekt: Matematik, Beräkningsvetenskap, Elektromagnetism. Inledning. Fysikalisk bakgrund

Gemensamt projekt: Matematik, Beräkningsvetenskap, Elektromagnetism. Inledning. Fysikalisk bakgrund Gemensamt projekt: Matematik, Beräkningsvetenskap, Elektromagnetism En civilingenjör ska kunna idealisera ett givet verkligt problem, göra en adekvat fysikalisk modell och behandla modellen med matematiska

Läs mer

ESN lokala kursplan Lgr11 Ämne: Matematik

ESN lokala kursplan Lgr11 Ämne: Matematik ESN lokala kursplan Lgr11 Ämne: Matematik Övergripande Mål: formulera och lösa problem med hjälp av matematik samt värdera valda strategier och metoder, använda och analysera matematiska begrepp och samband

Läs mer

17.10 Hydrodynamik: vattenflöden

17.10 Hydrodynamik: vattenflöden 824 17. MATEMATISK MODELLERING: DIFFERENTIALEKVATIONER 20 15 10 5 0-5 10 20 40 50 60 70 80-10 Innetemperaturen för a =1, 2och3. Om vi har yttertemperatur Y och startinnetemperatur I kan vi med samma kalkyl

Läs mer

Ansvariga lärare: Yury Shestopalov, rum 3A313, tel 054-7001856 (a) Problem 1. Använd Eulers metod II (tre steg) och lös begynnelsevärdesproblemet

Ansvariga lärare: Yury Shestopalov, rum 3A313, tel 054-7001856 (a) Problem 1. Använd Eulers metod II (tre steg) och lös begynnelsevärdesproblemet FACIT: Numeriska metoder Man måste lösa tre problem. Problemen 1 och är obligatoriska, och man kan välja Problemet 3 eller 4 som den tredje. Hjälp medel: Miniräknare (med Guidebook för miniräknare) och

Läs mer

Introduktion. Exempel Övningar Lösningar 1 Lösningar 2 Översikt

Introduktion. Exempel Övningar Lösningar 1 Lösningar 2 Översikt KTHs Sommarmatematik 2002 Exempel Övningar Lösningar 1 Lösningar 2 Översikt 1.1Introduktion Introduktion Avsnitt 1 handlar till att börja med om hantering av bråkstreck. Samtidigt ges exempel och övningar

Läs mer

Mål Likformighet, Funktioner och Algebra år 9

Mål Likformighet, Funktioner och Algebra år 9 Mål Likformighet, Funktioner och Algebra år 9 Provet omfattar s. 102-135 (kap 4) och s.183-186, 189, 191, 193, 200-215. Repetition: Repetitionsuppgifter 4, läa 13-16 (s. 255 260) samt andra övningsuppgifter

Läs mer

ANDREAS REJBRAND 2007-11-03 Elektromagnetism http://www.rejbrand.se. Coulombs lag och Maxwells första ekvation

ANDREAS REJBRAND 2007-11-03 Elektromagnetism http://www.rejbrand.se. Coulombs lag och Maxwells första ekvation ANDREA REJBRAND 2007-11-03 Elektromagnetism http://www.rejbrand.se oulombs lag och Maxwells första ekvation oulombs lag och Maxwells första ekvation Inledning Två punktladdningar q 1 samt q 2 i rymden

Läs mer

MMA132: Laboration 1 & 2 Introduktion till MATLAB

MMA132: Laboration 1 & 2 Introduktion till MATLAB MMA132: Laboration 1 & 2 Introduktion till MATLAB De flesta numeriska metoder låter oss få en tillräckligt bra lösning på ett matematiskt problem genom att byta ut komplexa matematiska operationer med

Läs mer

Lutande torn och kluriga konster!

Lutande torn och kluriga konster! Lutande torn och kluriga konster! Aktiviteter för barn under Vetenskapsfestivalens skolprogram 2001 Innehåll 1 Bygga lutande torn som inte faller 2 2 Om konsten att vinna betingat godis i spel 5 3 Den

Läs mer

FACIT TILL TENTAMEN, 30/4, 2011 Delkurs 1 FRÅGA 1

FACIT TILL TENTAMEN, 30/4, 2011 Delkurs 1 FRÅGA 1 17 FACIT TILL TENTAMEN, 3/4, 211 Delkurs 1 FRÅGA 1 I. c.(x) 38,25 euro. II. b.(x) Om MC < ATC så sjunker ATC. III. c.(x) 1/3 av skattebördan bärs av konsumenterna och resten av producenterna. 1 3Q = 1

Läs mer

TEKNISKA HÖGSKOLAN Matematik Fredrik Abrahamsson. Introduktion till MATLAB

TEKNISKA HÖGSKOLAN Matematik Fredrik Abrahamsson. Introduktion till MATLAB TEKNISKA HÖGSKOLAN Matematik Fredrik Abrahamsson Introduktion till MATLAB Introduktion till MATLAB sid. 2 av 12 Innehåll 1 Vad är MATLAB? 3 1.1 Textens syfte..................................... 3 2 Grundläggande

Läs mer

Bedömningsexempel. Matematik kurs 1c

Bedömningsexempel. Matematik kurs 1c Bedömningsexempel Matematik kurs 1c Innehåll Inledning... 3 Bedömning... 3 Exempeluppgifter som är representativa för Del I... 5 Exempeluppgifter som är representativa för Del II och Del III... 9 Exempel

Läs mer

Finansmatematik II Kapitel 3 Risk och diversifiering

Finansmatematik II Kapitel 3 Risk och diversifiering STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Avd. för Matematisk statistik Thomas Höglund Version 04 0 8 Finansmatematik II Kapitel 3 Risk och diversifiering 2 Finansmatematik II Risk och diversifiering

Läs mer

Lösningsskisser till Tentamen 0i Hållfasthetslära 1 för 0 Z2 (TME017), = @ verkar 8 (enbart) skjuvspänningen xy =1.5MPa. med, i detta fall,

Lösningsskisser till Tentamen 0i Hållfasthetslära 1 för 0 Z2 (TME017), = @ verkar 8 (enbart) skjuvspänningen xy =1.5MPa. med, i detta fall, Huvudspänningar oc uvudspänningsriktningar n från: Huvudtöjningar oc uvudtöjningsriktningar n från: (S I)n = 0 ) det(s I) =0 ösningsskisser till där S är spänningsmatrisen Tentamen 0i Hållfastetslära för

Läs mer

! "# # # $ # " % & # # '(") " " )## (")"#*+*(, ( - " ' # (") #. % % /

! # # # $ #  % & # # '()   )## ()#*+*(, ( -  ' # () #. % % / ! "# # # $ # " % & # # '(") " " )## (")"#*+*(, ( - " ' # (") #. % % / Hageltal Problem ID: hageltal Tänk dig att du skriver upp alla positiva heltal på ett oändligt stort papper. Från varje tal n>1 ritar

Läs mer

Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MMA132 Numeriska Metoder Avdelningen för tillämpad matematik Datum: 17 januari 2013

Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MMA132 Numeriska Metoder Avdelningen för tillämpad matematik Datum: 17 januari 2013 MÄLARDALENS HÖGSKOLA TENTAMEN I MATEMATIK Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MMA3 Numeriska Metoder Avdelningen för tillämpad matematik Datum: 7 januari 03 Examinator: Karl Lundengård Skrivtid:

Läs mer

MATLAB. Python. Det finns flera andra program som liknar MATLAB. Sage, Octave, Maple och...

MATLAB. Python. Det finns flera andra program som liknar MATLAB. Sage, Octave, Maple och... Allt du behöver veta om MATLAB: Industristandard för numeriska beräkningar och simulationer. Används som ett steg i utvecklingen (rapid prototyping) Har ett syntax Ett teleskopord för «matrix laboratory»

Läs mer

Matematisk Grundkurs

Matematisk Grundkurs LINKÖPINGS UNIVERSITET Matematisk Grundkurs för högskoleingenjörer inom byggnadsteknik Peter Holgersson Institutionen för teknik och naturvetenskap Sida 2 Syfte och mål Kursen syftar till att bidra till

Läs mer

Matematik Uppnående mål för år 6

Matematik Uppnående mål för år 6 Matematik Uppnående mål för år 6 Allmänt: Eleven ska kunna förstå, lösa samt redovisa problem med konkret innehåll inom varje avsnitt. Ha en grundläggande taluppfattning som omfattar naturliga tal och

Läs mer

3, 6, 9, 12, 15, 18. 1, 2, 4, 8, 16, 32 Nu är stunden inne, då vill vill summera talen i en talföljd

3, 6, 9, 12, 15, 18. 1, 2, 4, 8, 16, 32 Nu är stunden inne, då vill vill summera talen i en talföljd I föreläsning 18 bekantade vi oss med talföljder, till exempel eller 3, 6, 9, 1, 15, 18 1,, 4, 8, 16, 3 Nu är stunden inne, då vill vill summera talen i en talföljd och 3 + 6 + 9 + 1 + 15 + 18 1 + + 4

Läs mer

Kursplan för Matematik

Kursplan för Matematik Sida 1 av 5 Kursplan för Matematik Inrättad 2000-07 SKOLFS: 2000:135 Ämnets syfte och roll i utbildningen Grundskolan har till uppgift att hos eleven utveckla sådana kunskaper i matematik som behövs för

Läs mer

Hur många registreringsskyltar finns det som inte innehåller samma tecken mer än en

Hur många registreringsskyltar finns det som inte innehåller samma tecken mer än en Föreläsning 10 Multiplikationsprincipen Additionsprincipen Permutationer Kombinationer Generaliserade permutationer och kombinationer. Binomialsatsen Multinomialsatsen Lådprincipen (Duvslagsprincipen)

Läs mer

EN KONCIS INTRODUKTION TILL RINGTEORI

EN KONCIS INTRODUKTION TILL RINGTEORI EN KONCIS INTRODUKTION TILL RINGTEORI DANIEL LARSSON Sammanfattning. En kort introduktion till ringteori. Innehåll 1. Inledning 1 2. Definition 1 2.1. Heltalsdomäner 3 3. Exempel, kommutativa ringar 4

Läs mer

EN KONCIS INTRODUKTION TILL GRUPPTEORI

EN KONCIS INTRODUKTION TILL GRUPPTEORI EN KONCIS INTRODUKTION TILL GRUPPTEORI DANIEL LARSSON Sammanfattning. En kort introduktion till gruppteori. Innehåll 1. Binär operation, slutenhet, grupper 1 2. Exempel, abelska grupper 2 3. Exempel, icke-abelska

Läs mer

Del A: Begrepp och grundläggande förståelse

Del A: Begrepp och grundläggande förståelse STOCKHOLMS UNIVERSITET FYSIKUM K.H./C.F./C.W. Tentamensskrivning i Experimentella metoder, 1p, för kandidatprogrammet i fysik, 18/6 013, 9-14. Införda beteckningar skall förklaras och uppställda ekvationer

Läs mer

7. Sampling och rekonstruktion av signaler

7. Sampling och rekonstruktion av signaler Arbetsmaterial 5, Signaler&System I, VT04/E.P. 7. Sampling och rekonstruktion av signaler (Se också Hj 8.1 3, OW 7.1 2) 7.1 Sampling och fouriertransformering Man säger att man samplar en signal x(t) vid

Läs mer

Funktioner, Algebra och Ekvationer År 9

Funktioner, Algebra och Ekvationer År 9 Undervisning Funktioner, Algebra och Ekvationer År 9 Mål att uppnå i år 9, ur Lpo 94 Utvecklar intresse för matematik samt tilltro till det egna tänkandet och den egna förmågan att lära sig matematik och

Läs mer

MATEMATIK KURS A Våren 2005

MATEMATIK KURS A Våren 2005 MATEMATIK KURS A Våren 2005 1. Vilket tal pekar pilen på? 51 52 53 Svar: (1/0) 2. Skugga 8 3 av figuren. (1/0) 3. Vad är 20 % av 50 kr? Svar: kr (1/0) 4. Hur mycket vatten ryms ungefär i ett dricksglas?

Läs mer