150 ord och begrepp inom astronomisk navigation

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "150 ord och begrepp inom astronomisk navigation"

Transkript

1 150 ord och begrepp inom astronomisk navigation Skriven av Gösta Bågenholm. Införd Gösta Bågenholm är sjökapten och filosofie doktor i arkeologi. Han har skrivit ett lexikon om medeltida sjötermer på Island och arbetar just nu, år 2005, med ett modernt nautiskt lexikon. Följande sidor är hans ordlista: "150 ord och begrepp inom astronomisk navigation". Detta är de grundläggande termerna och de kan vara intressanta att känna till också för den som inte har sextant ombord. Vi har Bågenholms tillstånd att lägga ut detta på Internet. Inledning Att finna sin position på ett öppet hav med hjälp av astronomisk navigation är idag ovanligt. Det är en reservmetod som allt färre navigatörer behärskar fullt ut. Ämnet har låg prioriterat på navigationsskolor. Bristen på praktik gör också sitt till. För att underlätta behållningen av den med möda inlärda astronomiska navigationen (som nautisk reservmetod) har jag sammanställt en alfabetiskt lista. Listan ersätter inte en kursbok i astronomisk navigation, men den är tänkt att underlätta inlärandet, behållningen och förståelsen för metoden och de kulturhistoriska miljöer (dvs dåtida skepp) där astronomisk navigation var en viktig del av vardagen. Avancerad astronomisk navigering är en konst som utvecklades och förfinades under slutet av 1700-talet och början av 1800-talet. Nya nautiska instrument som kronometer, oktant och sextant såg då dagens ljus. Förståelsen av fenomenen missvisning och deviation ökades och därmed också kompasskunskapen. Den första moderna nautiska almanackan trycktes [1] De sista stora geografiska upptäckterna: kartläggningen av Stilla havets övärld och kringseglandet av Australien är resultat av att navigatörer som James Cook ( ) och Matthew Flinders ( ) hade ny teknik ombord. Deras framgångar berodde nästan uteslutande på att de kunde bestämma longituden med hjälp av den då nyuppfunna kronometern. Oaktat att astronomisk navigation är flera tusen år gammal är det bara ca. 250 år sedan en tillräckligt noggrann kronometer (klocka) konstruerades. Utan exakt tid och erforderliga astronomiska data över himlakropparna är det svårt, för att inte säga omöjligt, att bestämma longituden till havs. Kronometern uppfanns i slutet av talet, men det tog nästan sextio år därefter innan kronometrarna var någorlunda vanlig ombord på civila oceangående skepp. Efter ytterligare år har astronomisk navigation nästan undantagslöst ersatts av modern satellitnavigering. [2]

2 A ABC-tabell, se under Asimuttabell. Aftonstjärna (eng. evening star) är ett gammalt namn för planeten Venus, när Venus lyser klar på den ljusa kvällshimmeln. Sådana kvällar syns först bland stjärnor och planeter därav namnet. -stjärna skall här förstås som irrstjärna (dvs planet). Afton- är ett specifikt nordiskt ord. Grundbetydelsen kan vara efter arbetets slut. Jfr. Morgonstjärna & Planet. Agetontabell, se under Höjdtabell. Alidad, alihdad, alhidad, arm (eng. index bar, ty. zeigerarm, alhidade, fr. alidade) är den rörliga delen (armen) i ett vinkelmätningsinstrument, astrolab, kvadrant, oktant, pejlskiva, sextant m.fl. Tvärpinnen i en jakobstav kallas också alidad. Till sjöss används mycket ofta ordet arm som synonym till sextantens, pejlskivans och oktantens alidader. Alidad är ett lån från arab. al-hidad (stolpe, pelare). De första alidaderna satt sannolikt på arabiska pilgrimsastrolaber (se Astrolab). Med den vridbara alidaden kan man mäta vinkeln mellan horisonten, zenit och polstjärnan, och på så sätt få fram latituden. Eftersom alidadens läge vid pejling av polstjärnan vid Mekka var utmärkt på astrolaben kan skillnaden mellan pejlad aktuell höjd och polstjärnans höjd vid Mekka omräknas till ett avstånd, fågelvägen från här till Mekkas latitud. Förutom Mekka kan man markera hembyns och större städers latituder på astrolaben och på så sätt beräkna fler avstånd (dvs skillnad i latitud) än från här till Mekka. Sextantens och oktantens alidad kommer primärt (både tekniskt och etymologiskt) från kvadrantens lodsnöre, vilket i sin tur kommer från astrolabens alidad. Apparent (eng. apparent, ty. scheinbar) är ett begrepp inom astronomisk navigation som används för att bestämma astronomiska höjdvinklar. Apparent kommer närmast från eng. apparent (synbar, skenbar), men eng. apparent går via medeltidsfranskans apparant tillbaka till latin apparens som är pres. part. av apparere (synbar). Grundbetydelsen av apparent är skenbar. Se Apparent horisont, Apparent höjd & Apparent ort. Apparent horisont (eng. apparent horizon, ty. sichtbarer horizont) är den horisont den astronomiske navigatören ser och mäter till. Den synliga horisonten sammanfaller med den apparenta horisonten när navigatörens öga befinner sig i vattenytan. Det är detta horisontalplan genom navigatörens öga som bestämmer den apparenta horisonten. När navigatören höjer sig över ytan rör sig den synliga

3 horisonten bortåt och sjunker. En ny vinkel (som kallas horisontens dalnining, dalning eller dip) uppträder mellan den ändrade siktlinjen till horisonten och den apparenta horisonten. Se Apparent höjd & Horisontens dalnining. Apparent höjd (eng. apparent altitude, ty. scheinbare höhe) är den observerade höjd (uppmätta höjden) över horisonten som en himlakropp befinner sig i efter att denna uppmätta höjd korrigeras för (horisontens) dalning (eng. dip). Detta under förutsättning att instrumentet (sextanten) är felfri, annars tillkommer först en rättelse för instrumentfel. I korthet: Apparent höjd är lika med observerad höjd korrigerad för horisontens dalning. Se Apparent horisont & Horisontens dalning. Apparent ort (eng. apparent place, ty. scheinbare ort) är en himlakropps position på himlavalvet, där koordinaterna korrigerats för strålbrytning (refraktion), dvs ljusets böjning vid gång genom lufthavet. Se Apparent & Strålbrytning. Aries, se Vårdagjämningspunkten. Asimut, azimut (eng. azimuth) kan enklast översättas med bäringen till en himlakropp, som med sextantens eller fantasins hjälp dragits lodrätt ner till horisonten. Asimut är en av de två sfäriska koorinaterna. Den andra koordinaten är höjd. Av detta följer att asimut är en båge från norr mätt åt öst eller väst till den punkt där himlakroppens vertikalcirkel skär horisonten. Asimut räknas från nord på nordliga latituder, och från syd på sydliga latituder. Asimut är ett astronomisk begrepp som också används inom satellitnavigation. Asimut är bildat efter arabiskans as-sumut vägarna, riktningarna (dvs plural av arab. as-samt = sv. vägen, riktningen). Jfr. Höjd. Asimutberäkning (eng. azimuth calculation) är att beräkna en himlakropps asimut. Jfr. Horisontalasimut. Asimutdiagram (eng. azimuth diagram) är en grafisk metod att finna himlakroppars asimut. Jfr. Star Finder & Stjärnglob. Asimuttabell (eng. asimuth tables) är tabellariska uppställningar där man kan finna en himlakropps asimut, då egen latitud och himlakroppens deklination och timvinkel är kända. Asimuttabeller ingår ibland i nautiska tabellverk under beteckningen ABC-tabeller. Jfr. Höjdtabell. Astrolab, astrolabium (eng. astrolabe) är ett skivformigt instrument, med tillhörande alidad (till sjöastrolab) eller aranea till landastrolaber (aranea är en metallplatta som fungerar som stjärnkarta i stereografisk projektion). Med astrolaben mäter man solens, polstjärnans, andra stjärnors och planeternas höjder. Astrolaben gör det också möjligt att bestämma tiden för en himlakropps upp- och nedgång.

4 Astrolaber antas ha funnits under antiken, för ca år sedan. Sjöastrolaben, som är betydligt enklare än landastrolaben, är en tidig föregångare till sextanten. Sjöastrolabers enkelhet (jämfört med landastrolaber) förklaras av att det är svårare att göra mätningar på ett gungande skeppsdäck än på land. Astro- kommer av grek. astron (stjärna, stjärnbild). lab-, labium kommer av grek. lambanein (fatta). Grundbetydelsen är infångad och därmed mätbar [himlakropp]. Se Alidad & Astronomiska instrument. Astronavigering (eng. astronavigation) som synonym till astronomisk navigering. Namnet förekommer som svensk titel (1979) i Bobby Schenks mycket pedagogiska kursbok i astronomisk navigation (Astronavigering. Praktisk tillämpning av astronomiska navigation utan formler). Se Astronomisk navigering. Astronomiska instrument (eng. instruments of celestial navigation) är en samlingsterm för hjälpmedel vid mätning av himlakroppars tim- och höjdvinklar. Se Alidad, Astrolab, Brissextant, Cirkel, Davis kvadrant, Jakobsstav, Kamal, Kronometer, Kvadrant, Nattskiva, Sextant & Teodolit. Astronomiska klockan, se Sann tid & Nattskiva. Astronomiska koordinater är olika tänkta linjer, eller mer exakt bågar över himlavalvet. Med vertikal- och horisontalbågar kan bekvämt ange en himlakropps läge och rörelse. Stjärnglober är uppbyggda enligt denna modell. Stjärnglobens vertikal- och horisontalbågar motsvaras på en jordglob av longituder och latituder. Jordekvatorn - om den dras ut i rymden - sammanfaller med himmelsekvatorn (om man betraktar himlavalvet som en glob som omger jorden). I denna modell sammanfaller himmelspolen med polstjärnan. [3] Vill man göra en plan karta över himlen kan man dela upp himlen i cirklar där den yttersta cirkeln motsvarar himmelsekvatorn och där den innersta minsta cirkeln blott blir en punkt som utmärker norra eller södra himmelspolen. Från himmelspolen ritas raka linjer ut mot himmelsekvatorn. Detta koordinatsystemet liknar en spindelväv. Ringarna kallas deklinationer. De motsvarar jordens breddgrader. De raka sträcken kallas endera timvinklar eller rektascensioner. De motsvarar jordens längdgrader. Något förenklat kan man säga att astronomisk vetenskap använder tre koordinater: (1) avstånd, (2) breddgrader över himmelskupolen (3) längdgrader över himmelskupolen. Avstånd anges i ljusår eller km, men är av lite intresse för den astronomiska navigationen. (2) och (3) är astronomiska koordinater. I astronomisk navigation betraktas alla himlakroppar som tvådimensionella ljuspunkter på en plan himmelskupol. De finns flera olika astronomiska koordinatsystem. De har olika namn beroende på vad man utgår från som himlavalvets grundplan (himmelsekvatorn, ekliptikan,

5 eller vintergatan) och vad man utgår från som denna grundplans noll-latitud. (1) Sammanfaller jordekvatorn med himmelsekvatorn kallas himmelskupolens breddgrader deklinationer. Himmelskupolens längdgrader kallas timvinklar. I detta fallet är också himmelsekvatorns nollpunkt och himmelskupolens noll-längdgrad parallell med Greenwich meridian, dvs jordens nollmeridian (se Referensmeridian). (2) Om istället himmelsekvatorns nollpunkt är vårdagjämningspunkten kallas himmelsklotets längdgrader rektascensioner. De räknas moturs från vårdagjämningspunkten utmed himmelsekvatorn till den deklinationscirkel (längdgrad) som skär den himlakropp man önskar ge en position. Se Rektascension. (3) Om ekliptikan är grundplan, istället för himmelsekvatorn, kallas himmelskupolens breddgrad (ekliptikal) bredd och dess längdgrad (ekliptikal) längd. Se Ekliptika. (4) Om slutligen vintergatan är grundplan, istället för himmelsekvatorn, kallas vintergatan galaxtisk ekvator. Himmelskupolens breddgrad kallas galaktisk latitud och dess längdgrad galaktisk longitud. Inom astronomisk navigation använder man sig av deklination (breddgrad) och timvinkel. Timvinklar anger avståndet från nollmeridian (Greenwich meridian). Härav följer att himmelsekvatorn är den (moderna) astronomiska navigationens grundplan. Jfr. Deklination, Efemerider, Himmelsekvator, Himmelspol, Himmelsklot, Projektionspunkt & Rektascension & Vintergatan. Astronomisk dag, se under Astronomisk tid. Astronomisk grundtriangel (eng. astronomical triangle) är en tänkt sfärisk triangel på himlavalvet. Inom astronomisk navigation används den astronomisk grundtriangeln för ortsbestämning (dvs att räkna fram sin position). Triangelns tre hörn är: (1) zenit (vilket bestäms av t.ex. den plats där navigatören är), (2) himmelspolen, (3) himlakroppen. Om den astronomiska grundtriangeln är projekterad på jordklotet motsvaras (1) av platsen på jorden där navigatören är, (2) av Nordpolen och (3) av himlakroppens projektionspunkt. Sträckan mellan (1) och (3) är grundtriangelns ena sida. Sträckan är en storcirkelbåge eftersom figuren är sfärisk, jorden är ju ett klot. En annan sida är mellan (1) och (2), varav följer att den tredje och återstående triangelsidan (mellan 2 och 3) kan räknas ut matematiskt. Jfr. Astronomisk ortlinje & Haversin. Astronomisk navigering (eng. celestial navigation) är att hitta sin position på havet (eller på jorden) genom att mäta himlakroppas höjd över horisonten med vinkelmätningsinstrument typ sextant, kvadrant, oktant, astrolab, m.fl och därmed bestämma på vilka ortlinjer man befinner sig. Principen är enkel. En korrekt inmätt himlakropp kan ge en ortlinje. Två eller flera ortlinjer som skär varandra ger oss positionen. Hela hemligheten bakom den moderna astronomiska navigationen är att

6 förstå innebörden bakom ordet projektionspunkt. Se Projektionspunkt. Den astronomiska navigationens ursprung är enkla inmätningar av polstjärnan. Det gav latituden (se Himmelspol). Longituden fann man inte förrän den engelske urmakaren John Harrison ( ) konstruerade en praktiskt användbar kronometer för sjöbruk ca Longitiuden lästes då som ett avstånd från här till Greenwichobservatoriet i London (se Longitud). Kruxet är att man måste mäta exakt tid för att finna sin exakta longitud, varav följer att den exakta astronomiska navigationen är en tämligen ung vetenskap. Den föddes först på 1700-talet efter att kronometern hade uppfunnits. Se vidare: Apparent, Astronomiska instrument, Astronomiska koordinater, Astronomisk grundtriangel, Astronomisk ortlinje, Brissextant, Deklination, Himmelspol, Horisontens dalning, Höjdmetoden, Höjdrättelse, Kronometer, Longitud, Medeltid, Meridian, Middagshöjd, Middagslongitud, Måndistans, Nautisk almanacka, Nordpolen, Projektionspunkt, Referensmeridian, Sann middag, Sann tid, Sextant, Star Finder, Stjärnnavigering, Tidsekvationen Timvinkel & Vårdagjämningspunkten. Astronomisk ortlinje, sumnerlinje, likahöjdlinje (eng. astronomical position line, [ledigare] sumner line, ty. sumner standlinie) är ett avstånd från en himlakropps projektionspunkt på jordklotet. Den astronomiska ortlinjen läggs ut som en cirkel, där projektionspunkten är i mitten, och avståndet mellan projektionspunkten och egen position är en radie. Det är cirkeln som är den astronomiska ortlinjen. Vid astronomisk navigation räknar man först ut den pejlade himlakroppens projektionspunkt (den kan endera räknas ut för hand, eller slås fram på förprogrammerade räknedosor, eller slås upp i en nautikalalmanacka). Därefter mäter man himlakroppens höjd över den synliga horisonten (med en sextant, eller med ett annat likvärdigt vinkelmätningsinstrument). Den uppmätta höjden ger (efter ganska enkla matematiska korrektioner) avståndet till projektionspunkten. Detta avstånd kan vara ofantligt stort. Om man mäter solhöjden utanför Orust, den 21 mars finns solens projektionspunkt vid Ekvatorn. Man får en ring runt jorden, där radien är avståndet från Ekvatorn till Orust ( 645 landmil)! Även om jag vet, att jag är nära Orust, så vet jag egentligen inte mer än att jag befinner mig någonstans på den ortlinje som jag räknat ut. Men jag vet inte var exakt på denna ortlinje jag befinner mig. Pejlar jag månen (som ibland syns mitt på dagen) får jag en ny ortlinje. Där denna nya ortlinje skär den gamla (solens) ortlinje utanför Orust, exakt där är jag. Vad jag fått är två cirklar som läggs ovanpå varandra (solens ortlinje och månens ortlinje). Dessa cirklar skär varandra på två punkter: En (i detta fallet) utanför Orust och den andra - på andra sidan jordklotet! Mina ortlinjer utanför Orust är raka streck på mitt sjökort (cirkelbågen är så stor att jag kan bortse från krökningen). Ort betyder här pejlat läge (observerat läge). Likahöjd betyder att var jag än mäter himlakroppen utefter min ortlinje - och vid exakt samma tidpunkt - kommer den uppmätta höjden till den pejlade himlakroppen att vara exakt likadan. Den astronomiska ortlinjen upptäcktes av en sjökapten från USA, Thomas H. Sumner den 18 december Den kallas därför ibland för sumnerlinje (eng. Sumner line). Se Höjdmetoden. Astronomisk tid (eng. astronomical time) var en dygnsindelning före 1925 i

7 engelska nautikalalmanackor. Den räknades mellan en himlakropps två närmast följande meridianpassageer. I anslutning till begreppet astronomisk tid blev en astronomisk dag definierad som solens två på varandra följande meridianpassager, dvs från kl sann tid till kl sann tid nästföljande dag. Brissextant, fixvinkelsextant (eng. brissextant, ty. minisextant) är ett litet dubbelreflekterande eller kvadruppelreflekterande vinkelmätningsinstrument med tre, eller fler speglar. En spegel är färgad och fungerar samtidigt som fast skymglas. Instrumentet saknar rörliga delar. Det första man måste göra när man köpt instrumentet är att mäta ut dess exakta fixerade vinkel mot en känd vinkel. Man får då, en gång för alla, instrumentkalibrering, korrektion för solens halvdiameter och korrektion för atmosfärens refraktion. Instrumentet har därefter bara en inställning. En korrigerad rättad höjdvinkel. När man tar ut en position håller man instrumentet nära ögat. Istället för att flytta en alidad (sextantarm) väntar man till solen tangerar horisonten och antecknar tiden. Eftersom instrumentet är kvadruppelreflekterande innebär det att man får åtta solar i rad: tre starka dubbelreflekterande solar och fem svagare kvadruppelreflekterande solar, som ett pärlband. När första solen tangerar horisonten och antecknats väntar man till nästa sol, eller vilken som helst av de återstående sju solarna tangerar horisonten och antecknar den nya tiden, eller tiderna. Man kan ta upp till åtta olika solhöjder på en mätning. Solhöjd och tid ger position, endera man räknar fram positionen för hand, slår upp den i nautikalalmanacka eller får fram den med hjälp av en miniräknare. Inte sedan sextanten uppfanns 1757 har någon så stor inovation presenterats inom området som brissextanten. Den är uppfunnen av den svenske båtkonstruktören Sven Yrvind (f. Lundin 1939). Bris var Yrvinds firmamärke. Namnet går tillbaka till en långfärdslustbåt som Yrvind konstruerade 1970 och byggde Båten hette Bris. B C Celesta meridianen, meridianen på stället (eng. celestial meridian) är den storcirkel på himmelssfären som går genom himmelspolerna och en navigatörens zenit och nadir. Eftersom navigatören följer med jordrotationen innebär det att den celesta meridianen också vrider sig med jordrotationen från väst mot öst (dvs motsatt solens skenbara vandring över himlavalvet från öst mot väst). Celest kommer av latin caelestis sv. som hör eller rör himmelsrymden, jfr. lat. caelum (himmel). Se Meridian, Nadir & Zenit. Cirkel, prismacirkel, Bordas cirkel är ett äldre (runt) astronomiskt instrument som användes för att fastställa longituder till sjöss. Den kan också användas vid sjömätning och lantmäteri. Cirkeln är ett vinkelmätningsinstrument av samma

8 beskaffenhet som oktanten och sextanten. Men den tillåter mätning av större vinklar än dessa och var därför (mer) användbar vid mätning av måndistanser. Cirkeln uppfanns av den danske astronomen Ole Römer ( ). Den förfinades 1775 av den franske matematikern Charles de Borda ( ) och kom därefter till praktiskt bruk. Jfr. Måndistans. Cirkumpolär (eng. circumpolar) betyder runt polen. Inom astronomisk navigering kallas stjärnor som inte går under horisonten på sin skenbara vandring runt himmeln för cirkumpolära stjärnor. Karlavagnens stjärnor är cirkumpolära. D Daglig parallax (eng. diurnal parallax) är ett mätfel som uppkommer vid astronomisk navigation eftersom alla beräkningar teoretiskt utgår från att man mäter en rät linje som börjar i jordens medelpunkt går rakt genom navigatören och vidare ut i rymden för att stanna vid Solens, Månens, Venus eller Mars medelpunkt. Det är bara dessa himlakroppar som ger daglig parallax. I verkligheten mäter man en rak linje från jordytan och inte från jordens medelpunkt. Det ger ett litet men märkbart vinkelfel. Korrigering för detta vinkelfel kallas daglig parallax. Felet ingår i totalrättelsen och brukar betecknas med R (som står för jordradien). R kan beskrivas som en triangel vars hörn är jordens och himlakroppens medelpunkter samt navigatörens plats på jordytan. Härav följer att en himlakropp som står i zenti 90 saknar parallaxfel. Den teoretiska mätlinjen är spikrak. När det gäller stjärnor är avståndet till dem så stort att det inte ger någon daglig parallax. Befinner sig himlakroppen i horisonten kallas vinkelfelet - som då är störst - horisontalparallax. Detta fel brukar betecknas med HR. Jfr. Höjdrättelse & Parallax 1. Dalnining, se Horisontens dalnining. Datumlinjen (eng. date line, ty datumgrenze) är med vissa justeringar den 180:e longitudgraden räknat från Greenwich. Passerar man datumlinjen från öster till väster får man lägga till en dag (dubblera ett datum). Passerar man datumlinjen från väster till öster får man dra ifrån en dag (hoppa över ett datum). Vid jordenruntresor, i östlig riktning, måste man ställa fram klockan en timme för varje tidzon om femton grader som man passerar. När Phileas Fogg och hans betjänt Passepartout reste jorden runt på 80 dagar i Jules Vernes roman (från 1873): Jorden runt på 80 dagar glömde de bort datumlinjen vilket fick betydande inverkan på utgången av romanen. Sv. datumlinje är en ganska underlig kontamination av ty. datumgrenze och eng. date line. Grundbetydelsen av datum- i ty. datumgrenze är referens (> medeltidslatin datum angiven plats och tid). -linje kommer av eng. line (linje). Jfr. Lokal tid, Meridian, Referensmeridian &

9 Tidzon. Davis kvadrant, engelsk kvadrant, backstav (eng. Davis's quadrant, back-staff) är en förbättring och utveckling av kvadranten och jakobstaven. Davis kvadrant förbådar oktanten. För att slippa den tunga bågen i kvadranten är daviskvadrantens båge uppdelad i två mindre bågar, limber (som tillsammans blir 90 ). Den mindre bågen har ungefär hälften så korta ben som den större. Totalt finns tre ben. Det mittersta benet är gemensamt för båda bågarna. Båda bågarna är graderade (i en åttondels cirkel) och de har var sin flyttbar diopter ( sikten). I centrum av instrumentet finns en spegel (ett metallblad) med spalt (dvs en smal springa). För att finna solens höjd vände navigatören ryggen mot solen, därav namnet backstav. Stav syftar på likheten med jakobstaven. Navigatören iakttog horisonten genom spegelns spalt och flyttade dioptrarna så att solbilden föll genom den ena dioptern till spegeln och vidare till den andra dioptern. Dioptrarnas lägen avlästes från bågens gradskiva. Summan av de båda avlästa dioptranas vinklar ger solens höjd. Davis kvadrant användes för avläsning av solhöjder. För stjärnhöjder var den mindre lämpad än jakobsstaven, varför de båda instrumenten användes som komplement till varandra fram till dess att oktanten uppfanns och blev allmän i slutet av 1700-talet. Davis kvadrant uppges vara uppfunnen av den engelske upptäktsresanden John Davis (ca ) ca. 1594, men ett liknande instrumet finns beskrivet av den iransk-arabiske vetenskapsmannen Avicenna, alias Abul-Hassan Ibn Sina ( ). Härav följer att Davis kvadrant kan vara en utveckling av ett arabiskt sjöinstrument som John Davis kommit i kontakt med under någon av sina upptäcktsresor. [4] Se Astronomiska instrument, Diopter, Jakobsstav & Kvadrant. Dekadragning betyder att man har ett värde för en kronometers genomsnittliga dragning (fel) som grundar sig på (minst) tio dagliga jämförelser med korrekta tidsignaler. Dragning och deckadragning bokförs i en kronometerjournal. Eftersom kronometrar aldrig ställs om, de dras bara upp, måste man känna kronometerns dragning (fel). För att få GMT avläses kronometern och dragningen (tidsfelet) läggs till eller dras ifrån, beroende på om kronometern går efter eller före. Deka- är bildat av grek. deka (tio). Se Kronometerjournal. Deklination (eng. declination) är himmelskupolens breddgrader. De räknas från 0 (himmelsekvatorn) till +90 (norra himmelspolen) eller -90 (södra himmelspolen). Om man ritar in alla stjärnbilder på en stjärnglob och placerar jorden i mitten av globen och drar ut jordens paralleller (breddgrader) till himmelsgloben, då blir dessa paralleller deklinationer på himmelsgloben. Deklinationsparallellerna bildas av plan som är parallella med himelsekvatorn och som är vinkelräta mot en tänkt världsaxel som går från den ena himmelspolen till den andra och genom jordens medelpunkt och genom jordens båda poler. Himlavalvets longitud kallas timvinkel - om himlens noll-längdgrad är parallell med Greenwich meridian: dvs jordens nollmeridian, se Referensmeridian.

10 Om himmelsekvatorns nollpunkt istället är vårdagjämningspunkten, kallas himmelsklotets longituder rektascensioner, se Rektascension. Deklination är bildat ur latinets deklinare (vika, böja). Det som är böjt är den tänkta deklinationen på den tänkta himmelskupolen. Jfr. Greenwich timvinkel & Projektionspunkt. Deklinationscirkel, timcirkel (eng. cirkle of declination) är en halv storcirkel går från (himmels)pol till (himmels)pol över himlavalvet och vinkelrätt mot ekvatorn. Deklinationscirkeln motsvarar meridianer på jorden. Dip, se Horisontens dalning. Dubbelreflexion, se under Sextant. E ECEF (earth-centred / earth-fixed), se under Himmelsklot. Efemerider (eng. ephemerides) kallas himlakropparnas ställning vid en viss tidpunkt. Sådana data publiceras i de större astronomiska årsböckerna. I astronomisk navigation anges en himlakropps läge i grennwichvinkel (projektionspunkens longitud) och deklination (projektionspunktens latitud). Efemerider är bildat av grekiskans efemerides (dagböcker). Grundbetydelsen är uppgifter för nautikalalmanackan. Jfr. Astronomiska koordinater, Deklination, Efemerider, Greenwich timvinkel, Himmelsklot, Nautisk almanacka & Rektascension. Ekliptika (eng. ecliptic, ty. ekliptik) kallas solens skenbara bana på himmelsklotet under ett år. Ekliptikans höjd över himmelsekvatorn sammanfaller med solens skenbara höjd över himmelsekvatorn för var och en av årets dagar. Härav följer att ekliptikan som mest når ' över himmelsekvatorn vilket också är solens högsta projektionspunkt vilket infaller sann middag den 21/6 (dvs på midsommar). Solens projektionspunkt är på ekvatorn på höst- och vårdagjämningen sann middag den 23 september respektive 21 mars. Solens projektionspunkt är som lägst ' sann middag den 22/12. På stjärnglober brukar ekliptikan ritas som ett antal solar på en sinuskurva som når högst ' över himmelsekvatorn och som lägst ' under himmelsekvatorn. Ekliptikan är underkastad små periodiska förändringar. Ekliptika är bildat efter grek. ekleipein (utelämna, försvinna, förmörkas). Jfr. Nod & Sann middag. F Fixstjärna (eng. fixed star) är stjärnorna på himlen. De har fasta fixerade avstånd mellan sig. Tidigare betraktades även planeter som stjärnor. Dessa kallades irrstjärnor i motsats till de fasta fixerade fixstjärnorna. Skenbart förflyttar sig planeterna ganska oregelbundet över himlavalvet. Fix- kommer av latin fixus (fast).

11 Ytterst är fixstjärna ett motsatsord till irrstjärna (planet). Jfr. Planet. Fixvinkelsextant, se Brissextant. G GHA (eng. Greenwich hour angle), se Greenwich timvinkel. Greenwich timvinkel, GHA (eng. Greenwich hour angle) är en projektionspunktens longitud. Se Projektionspunkt. Greenwich timvinkel mäts från Greenwich' meridian, från 0 till 360 och åt väster. En projektionspunktens på jordytan som har O 15 motsvaras av en Greenwich timvinkel 345. I astronomisk navigation anges en himlakropps läge i grennwichvinkel (projektionspunkens longitud) och deklination (projektionspunktens latitud). Eng. Greenwich hour angle har sitt namn av att man fram till ungefär mitten av 1900-talet angav vinkeln i timmar (60 timmar = 60 distansminuter = 60 gånger 60 bågsekunder). Eng. hour = sv. timme. Numera ges timvinklar i vinkelmått: grader bågminuter, bågsekunder osv. Se Projektionspunkt. H Haversin (eng. haversine) är en matematisk formel att räkna ut sidorna i en sfärisk triangel. Haversin är ett matematiskt samband mellan halva kosinus och en vinkelgrad. Dvs harvesin = 1 - cosinus för vinkelgraden, delat med 2. Härav förstås att haversin förkortar logaritmiska tabeller till sinusfunktioner. Inom astronomisk navigation är haversin ett sätt att räkna ut den astronomisk grundtriangelns sidor, för att därmed fastställa en position. Andra sätt att lösa detta är grafisk metod, numerisk metod, att slå i tabeller eller trycka på förprogrammerade räknedosor. Haversin användes med förkärlek i brittisk undervisning. I Sjökrigsskolans Lärobok i Navigation uppl. 1945, finns haversin med, men är utbytt i 1956 års uppl. mot en förenklad formel som kallas marinformeln. Haversin betyder halva sinus versus (eng. half versed sine). Jfr. Astronomisk grundtriangel. Havets stjärna, se Stella Maris. Himmelsekvator (eng. celestial equator) är liksom den jordiska ekvatorn en tänkt ring som omger och delar himmelsgloben i två lika stora halvor. I teorin är himmelsekvatorn en utdragen jordekvator. I en stjärnglob finns en tänkt jordglob i

12 stjärnglobens centrum (mitt). Polstjärnan sitter (nästan) rakt över Nordpolen, och jordens och himlens ekvatorer är parallella. Jfr. Meridian. Himmelsklocka, se Nattskiva. Himmelsklot, himmelsglob (eng. celestial globe) är en konstruerad figuration där himlens stjärnbilder, planeter och satelliter är projekterade på en glob. I globens centrum finns ett tänkt jordklot. Genom att betrakta stjärnhimlen som ett klot bortser man från avstånd. Himlakropparna får fasta positioner på himlen. Himmelsgloben med all sin förenkling är högt utvecklad teori som underlättar både astronomisk navigation och positionering av himlakroppar - inklusive positionering av satelliter. Himmelsklotets koordinatsystem kallas geocentriskt koordinatsystem (jorden är i centrum av klotet), vilket inom bl.a. satellitteknik förkortas till ECEF (eng. earthcentred / earth-fixed). I antiken tänkte man sig himmeln som en sfär som omgav jorden och med jorden som universums medelpunkt. Utanför sfären bodde Gud. I slutet av medeltiden vidgades sfären så att sfären omgav solen och hade solen som universums medelpunkt. I vår tid betraktas universum som en sfär som utvidgar sig efter big bang. Modellen använder mycket avancerad matematik för att leda i bevis att det icke existerar några raka linjer i universum. Därför saknas både rum och tid eller någon annan dimension utanför sfären. Universums medelpunk i denna modell är platsen för big bang. En himmelsglob är en mer förenklad modell av universum, vilket inte hindrar att himmelsgloben är invecklad nog för att bli grund för all astronomisk navigation. Jfr. Astronomiska koordinater, Efemerider, Himmelsekvator, Meridian & Stjärnglob. Himmelspol (eng. celestial pole, ty. himmelspol, weltpol) är en tänkt punkt på himmelsgloben som står käpprätt över de jordiska polerna. Mycket nära norra himmelspolen finns polstjärnan. Polstjärnan gör en liten för ett obeväpnat öga omärkbar cirkel kring himmelspolen. Vinkelavståndet mellan polstjärna och himmelspol är mindre än en grad. För ett obeväpnat öga förefaller polstjärnan att stå stilla. När jorden vrider sig runt sin axel vandrar inte polstjärnan. Det ser istället ut som om alla andra stjärnor kretsar runt polstjärnan. Det gör att polstjärnan intar en alldeles enastående plats i den astronomiska navigationens historia. Den skenbart stillastående polstjärnans höjdvinkel över horisonten är alltid den samma som den breddgrad navigatören befinner sig på. Se Polhöjd. Pol- kommer från grek. polos ( axel, mer exakt: hake eller spets kring vilket något vrider sig). Grundbetydelsen är stjärna kring vilken alla andra kretsar. Äldre svenska namn för Polstjärna är Nordstjärna och (medeltidssvenska) Ledhestiærne, jfr. isl. lei_arstjarna (polstjärna). Medeltidsplatt. leidstern (polstjärna) är sannolikt ett nordiskt lånord. Grundbetydelsen är stjärnan som det går att navigera (ledas) efter. Jfr. Astronomiska koordinater, Nordpolen, Polhöjd & Södra korset. Himlakropp (eng. celestial body, heavenly body, orb) är solen, månen, planeterna, stjärnorna och konstgjorda satelliter. Inom astronomisk navigation är solen den mest användbara himlakroppen för att finna en position. Detta eftersom man lättare hittar sjöhorisonten på dagen än på

Onsala rymdobservatorium

Onsala rymdobservatorium Onsala rymdobservatorium SOLUR OCH SFÄRISK ASTRONOMI Här beskrivs hur man bygger ett solur, men först kommer en ganska lång introduktion till sfärisk astronomi. Läs den först, eftersom den ligger till

Läs mer

Modern Astronomi. Lektion 2.

Modern Astronomi. Lektion 2. Modern Astronomi Lektion 2 www.astro.su.se/utbildning/kurser/modern_astronomi Stjärnors (och andra himlakroppars) positioner har haft en stor betydelse i de flesta civilisationer Sträcker sig långt bak

Läs mer

UTMANING 4 Stjärnklart

UTMANING 4 Stjärnklart UTMANING 4 Stjärnklart 4 UTMANING REACHING FOR THE STARS ASE 2015 Lärarhandledning Astronomi är kunskapen om olika himlakroppar och kallas ofta för den äldsta av naturvetenskaperna. I alla tider har människan

Läs mer

Använd en lampa som sol och låt jordgloben snurra så att det blir dag och natt i Finland. En flirtkula på en grillpinne kan också föreställa jorden.

Använd en lampa som sol och låt jordgloben snurra så att det blir dag och natt i Finland. En flirtkula på en grillpinne kan också föreställa jorden. Rymden 1 Rymden...2 Dygnet...2 Månaden...2 Året...3 Stjärnhimlen...5 Öva att hitta några stjärnbilder på vinterhimlen...6 Starka stjärnor...7 Solsystemet...9 Gör en miniatyr i verklig skala...9 Ta reda

Läs mer

Välkomna A Astronomisk navigation B Elteknik C Modernt navigationsstöd D Göstas information E Inte att förglömma SSRS sparbössa

Välkomna A Astronomisk navigation B Elteknik C Modernt navigationsstöd D Göstas information E Inte att förglömma SSRS sparbössa Dagordning Välkomna A B Elteknik C Modernt navigationsstöd D Göstas information E Inte att förglömma SSRS sparbössa Översikt A 1 Inledning 2 Hur gjorde vikingarna? 3 Solen, månen och övriga planeter 4

Läs mer

5-1 Avbildningar, kartor, skalor, orientering och navigation

5-1 Avbildningar, kartor, skalor, orientering och navigation Namn:. 5-1 Avbildningar, kartor, skalor, orientering och navigation Inledning Nu skall du studera hur man avbildar verkligheten. Vad skall man göra det för? undrar du eftersom du skall ifrågasätta allt.

Läs mer

Solen och månen är sfärer, men dessa

Solen och månen är sfärer, men dessa I samverkan mellan Nämnaren och Tangenten Ulf Persson Sfären I förra numret inleddes denna artikelduo med Cirkeln. Nu går författaren upp en dimension och visar på sfärens egenskaper och landskap. Denna

Läs mer

4 Solsystemet. OH1 Tidszonerna 2 Tidszonerna 3 En jordglobs skala OH2 Årstiderna 4 Varför har vi årstider?

4 Solsystemet. OH1 Tidszonerna 2 Tidszonerna 3 En jordglobs skala OH2 Årstiderna 4 Varför har vi årstider? 4 Solsystemet 4.1 1 Varför har vi dag och natt OH1 Tidszonerna 2 Tidszonerna 3 En jordglobs skala OH2 Årstiderna 4 Varför har vi årstider? 4.2 5 Månen vår största satellit 6 Ordfläta OH3 Solen, jorden

Läs mer

Storcirkelnavigering

Storcirkelnavigering ÖPPET HAV KUSTNÄRA INOMSKÄRS Storcirkelnavigering Storcirkeln. En rak kurslinje mellan A och B i vanliga sjökort* - loxodromkursen - är, frånsett specialfall, inte den kortaste vägen. Söks den måste istället

Läs mer

ANDREAS REJBRAND NV1A Geografi Tellus position och rörelser inom solsystemet

ANDREAS REJBRAND NV1A Geografi  Tellus position och rörelser inom solsystemet ADREA REJBRAD V1A 2003-11-28 Geografi http://www.rejbrand.se Tellus position och rörelser inom solsystemet Innehållsförteckning TELLU POITIO OCH RÖRELER IOM OLYTEMET... 1 IEHÅLLFÖRTECKIG... 2 ILEDIG...

Läs mer

2. 1 L ä n g d, o m k r e t s o c h a r e a

2. 1 L ä n g d, o m k r e t s o c h a r e a 2. 1 L ä n g d, o m k r e t s o c h a r e a Ett plan är en yta som inte är buktig och som är obegränsad åt alla håll. På ett plan kan man rita en linje som är rak (rät). En linje är obegränsad åt båda

Läs mer

1. Månens rörelser. Övning 1: Illustrera astronomiska fenomen

1. Månens rörelser. Övning 1: Illustrera astronomiska fenomen Övning 1: Illustrera astronomiska fenomen Uppgiften var att skapa illustrationer till fyra texter. Illustationerna tydliggör allt det som texten beskriver. 1. Månens rörelser Månen roterar runt jorden

Läs mer

Hemsida. Upplägg. Jordbanans lutning. Himlens fä. Solnedgång. Översiktskurs i astronomi Lektion 2: Grundlä. grundläggande astronomi.

Hemsida. Upplägg. Jordbanans lutning. Himlens fä. Solnedgång. Översiktskurs i astronomi Lektion 2: Grundlä. grundläggande astronomi. Översiktskurs i astronomi Lektion 2: Grundlä Grundläggande astronomi Hemsida www.astro.su.se/~ ez/kurs/oversiktskurs09.htm /kurs/oversiktskurs09.htm www.astro.su.se/~ez Upplä Upplägg Mer grundlä grundläggande

Läs mer

Astronomisk navigation

Astronomisk navigation Astronomisk navigation Beräkning av himlakropparnas timvinkel och deklination Timvinkeln på stället. När man gör en höjd observation med sextanten avläser man också GMT. Mot GMT tar man sedan I NA ut himlakroppens

Läs mer

Om ellipsen och hyperbelns optiska egenskaper

Om ellipsen och hyperbelns optiska egenskaper Om ellipsen och hyperbelns optiska egenskaper Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com Sammanfattning Ellipser och hyperbler är, liksom parabeln, s.k. kägelsnitt, dvs kurvor som uppkommer

Läs mer

4-8 Cirklar. Inledning

4-8 Cirklar. Inledning Namn: 4-8 Cirklar Inledning Du har arbetat med fyrhörningar (parallellogrammer) och trehörningar (trianglar). Nu skall du studera en figur som saknar hörn, och som består av en böjd linje. Den kallas för

Läs mer

Orienteringskurs i astronomi Föreläsning 1, Bengt Edvardsson

Orienteringskurs i astronomi Föreläsning 1, Bengt Edvardsson Orienteringskurs i astronomi Föreläsning 1, 2014-09-01 Bengt Edvardsson Innehåll: Korta frågor och svar Anteckningarna är en hjälp vid läsningen av boken men definierar inte kursen. Första föreläsningen

Läs mer

Universum. Stjärnbilder och Världsbilder

Universum. Stjärnbilder och Världsbilder Universum Stjärnbilder och Världsbilder Stjärnor Stjärngrupp, t.ex. Karlavagnen Stjärnbild, t.ex. Stora Björnen Polstjärnan Stjärnor livscykel -Protostjärna - Huvudseriestjärna - Röd jätte - Vit dvärg

Läs mer

5B1134 Matematik och modeller

5B1134 Matematik och modeller KTH Matematik 1 5B1134 Matematik och modeller 2006-09-04 1 Första veckan Geometri med trigonometri Veckans begrepp cirkel, cirkelsegment, sektor, korda, båglängd, vinkel, grader, radianer, sinus, cosinus,

Läs mer

5B1134 Matematik och modeller

5B1134 Matematik och modeller KTH Matematik 1 5B1134 Matematik och modeller 5 september 2005 1 Första veckan Geometri med trigonometri Veckans begrepp cirkel, cirkelsegment, sektor, korda båglängd, vinkel, grader, radianer sinus, cosinus,

Läs mer

Planetrörelser. Lektion 4

Planetrörelser. Lektion 4 Planetrörelser Lektion 4 Äldre tiders astronomer utvecklade geocentriska (jorden i centrum) modeller för att förklara planeternas rörelser retrograd rörelse direkt rörelse Liksom solen och månen så rör

Läs mer

ÖVNING: Träna läsförståelse!

ÖVNING: Träna läsförståelse! ÖVNING: INNEHÅLL... Vårt solsystem... Vintergatan 7... Stjärnbilder 8 9... En spännande tävling 10 11... Ord i rutor 1... Lånade ord 1 1... Vandring på månen 1 17... Ett rymdäventyr 18 19... Tänk efter!

Läs mer

Tentamensskrivning i matematik GISprogrammet MAGA45 den 23 augusti 2012 kl 14 19

Tentamensskrivning i matematik GISprogrammet MAGA45 den 23 augusti 2012 kl 14 19 Karlstads universitet matematik Peter Mogensen Tentamensskrivning i matematik GISprogrammet MAGA45 den 23 augusti 2012 kl 14 19 Tillåtna hjälpmedel: Godkänd räknare, bifogad formelsamling. Jourtelefon:

Läs mer

Förklaringar till kalendariet

Förklaringar till kalendariet Förklaringar till kalendariet Upp- och nedgångar m.m. Varje dag anges för solen, månen och en av de med blotta ögat synliga planeterna (i fortsättningen kallade planeterna) tiderna för upp- och nedgång,

Läs mer

Studieanvisning i Optik, Fysik A enligt boken Quanta A

Studieanvisning i Optik, Fysik A enligt boken Quanta A Detta är en något omarbetad version av Studiehandledningen som användes i tryckta kursen på SSVN. Sidhänvisningar hänför sig till Quanta A 2000, ISBN 91-27-60500-0 Där det har varit möjligt har motsvarande

Läs mer

Ordförklaringar till Trollkarlen från rymden

Ordförklaringar till Trollkarlen från rymden Ordförklaringar till Trollkarlen från rymden Asterism En asterism är ett stjärnmönster bestående av stjärnor som lånats från en stjärnbild. Den mest berömda av dessa är Karlavagnen, som består av stjärnor

Läs mer

Varför har vi årstider? Lärarledd demonstration i helklass för åk 4-6

Varför har vi årstider? Lärarledd demonstration i helklass för åk 4-6 Varför har vi årstider? Lärarledd demonstration i helklass för åk 4-6 Syftet med övningen är att eleverna lära sig att årstiderna orsakas av jordaxelns lutning och av att jorden kretsar runt solen. Bakgrund:

Läs mer

RIKTNINGAR MOT HIMLAVALVET

RIKTNINGAR MOT HIMLAVALVET RIKTNINGAR MOT HIMLAVALVET Tabellberäkningar, Venus horisontpassager, heliakiska uppgångar och Månens stjärnpassager Lars Bägerfeldt RIKTNINGAR MOT HIMLAVALVET. Tabellberäkningar, Venus horisontpassager,

Läs mer

M0038M Differentialkalkyl, Lekt 8, H15

M0038M Differentialkalkyl, Lekt 8, H15 M0038M Differentialkalkyl, Lekt 8, H15 Staffan Lundberg Luleå Tekniska Universitet Staffan Lundberg M0038M H15 1/ 29 Läsövning Summan av två tal Differensen mellan två tal a + b a b Produkten av två tal

Läs mer

INNEHALL 2.4.4 2.4.1. 2 2.1 2.2 z.) ')t. 6 8 o. 5 o

INNEHALL 2.4.4 2.4.1. 2 2.1 2.2 z.) ')t. 6 8 o. 5 o INNEHALL 2 2.1 2.2 z.) ')t 2.4.1 2.4.4 JORDEN OCH DESS KOORDINATER Universum och solsystemet Jorden i solsystemet Jordens storlek och form Jordens koordinater Latitud och longitud Avständsmätt Färdlinjer

Läs mer

Antikens universum. Sten Kaijser. Uppsala Universitet

Antikens universum. Sten Kaijser. Uppsala Universitet 162 Antikens universum Sten Kaijser Uppsala Universitet Inledning. Detta specialarbete har fyra syften. Det första är att ge en allmän orientering om antikens och medeltidens världsbild, främst för att

Läs mer

Himlavalvets händelser Astronomi för forntidsfolk

Himlavalvets händelser Astronomi för forntidsfolk 2 Himlavalvets händelser Astronomi för forntidsfolk HIMLAVALVETS,, HANDELSER.. ASTRONOMI FOR FORNTIDSFOLK.. LARS BAGERFELDT 3 4 Tillägnad Katarina, Josefin och Johan 5 Himlavalvets händelser. Astronomi

Läs mer

Hur trodde man att universum såg ut förr i tiden?

Hur trodde man att universum såg ut förr i tiden? Hur trodde man att universum såg ut förr i tiden? Ursprunglig världsbild Man trodde länge att jorden var en platt skiva omgiven av vatten. Ovanför denna fanns himlen formad som ett halvklot. På detta himlavalv

Läs mer

SF1620 Matematik och modeller

SF1620 Matematik och modeller KTH Teknikvetenskap, Institutionen för matematik 1 SF1620 Matematik och modeller 2007-09-03 1 Första veckan Geometri med trigonometri Till att börja med kom trigometrin till för att hantera och lösa geometriska

Läs mer

Lite sfärisk geometri och trigonometri

Lite sfärisk geometri och trigonometri Lite sfärisk geometri och trigonometri Torbjörn Tambour 8 april 2015 Geometri och trigonometri på sfären är ett område som inte nämns alls i de vanliga matematikkurserna, men som ändå är värt att stifta

Läs mer

Explorativ övning euklidisk geometri

Explorativ övning euklidisk geometri Explorativ övning euklidisk geometri De viktigaste begreppen och satser i detta avsnitt är: Kongruens och likhet mellan sträckor, vinklar och trianglar. Kongruensfallen för trianglar. Parallella linjer

Läs mer

LNC Lösningar

LNC Lösningar LNC022 2013-05-27 Lösningar 1. (a) På en vägskylt står det att vägens lutning är 12 %. Om detta innebär att höjdskillnaden är 12 % av den körda vägsträckan, vilken är då vägens lutningsvinkel? (Rita figur.)

Läs mer

Trigonometri. Joakim Östlund Patrik Lindegrén 28 oktober 2003

Trigonometri. Joakim Östlund Patrik Lindegrén 28 oktober 2003 Trigonometri Joakim Östlund Patrik Lindegrén 28 oktober 2003 1 Sammanfattning Trigonometrin är en mycket intressant och användbar del av matematiken. Med hjälp av dom samband och relationer som förklaras

Läs mer

Illustration Saga Fortier och Norah Bates

Illustration Saga Fortier och Norah Bates Illustration Saga Fortier och Norah Bates The big bang The big bang I rymden fanns en liten liten prick inte större en en ärta. Men plötsligt hände det något, den lilla pricken exploderade. Och bakom all

Läs mer

Kurvlängd och geometri på en sfärisk yta

Kurvlängd och geometri på en sfärisk yta 325 Kurvlängd och geometri på en sfärisk yta Peter Sjögren Göteborgs Universitet 1. Inledning. Geometrin på en sfärisk yta liknar planets geometri, med flera intressanta skillnader. Som vi skall se nedan,

Läs mer

Astronomisk navigation förr och nu

Astronomisk navigation förr och nu Astronomisk navigation förr och nu Av Kent Nordström Sid 137-151 97 Ledamoten KENT NORDSTRÖM Kommendörkapten Kent Nordström bedriver sedan sin pensionering studier vid Göteborgs Universitet. Astronomisk

Läs mer

Innehåll. Innehåll. Verktyg. Astronomiska Verktyg. Matematiska Verktyg

Innehåll. Innehåll. Verktyg. Astronomiska Verktyg. Matematiska Verktyg Innehåll Verktyg Magnituder... sidan 2 Apparent magnitud... sidan 2 Absolut magnitud... sidan 3 Olika färger, olika magnituder... sidan 3 Från B-V färgindex till temperatur... sidan 4 Avståndsekvationen...

Läs mer

Global Positioning System GPS

Global Positioning System GPS Global Positioning System GPS (Navstar 2) Mahtab Nasiri mni03001@student.mdh.se CIDEV 2 Handledare: Gordana Dodig Grnkovic Västerås 2004-10-18 Sammanfattning Syftet med denna rapport är att ge en grundläggande

Läs mer

Maria Österlund. Ut i rymden. Mattecirkeln Tid 2

Maria Österlund. Ut i rymden. Mattecirkeln Tid 2 Maria Österlund Ut i rymden Mattecirkeln Tid 2 NAMN: Hur mycket är klockan? fem i åtta 10 över 11 5 över halv 7 20 över 5 10 över 12 kvart i 2 5 över 3 20 i 5 5 i 11 kvart i 6 5 i halv 8 5 över halv 9

Läs mer

Np MaB vt 2002 NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS B VÅREN 2002

Np MaB vt 2002 NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS B VÅREN 2002 Skolverket hänvisar generellt beträffande provmaterial till bestämmelsen om sekretess i 4 kap. 3 sekretesslagen. För detta material gäller sekretessen fram till utgången av juni 00. Anvisningar Provtid

Läs mer

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS B VÅREN Del I, 9 uppgifter utan miniräknare 3. Del II, 8 uppgifter utan miniräknare 5

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS B VÅREN Del I, 9 uppgifter utan miniräknare 3. Del II, 8 uppgifter utan miniräknare 5 freeleaks NpMaB vt00 1(8) Innehåll Förord 1 NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS B VÅREN 00 Del I, 9 uppgifter utan miniräknare 3 Del II, 8 uppgifter utan miniräknare 5 Förord Uppgifter till den äldre

Läs mer

Tentamen för Tidigarelärarinriktning astronomi 13 feb 2002 Examinator: Sverker Johansson (036-157755, 69706) Hjälpmedel: varandra i gruppen

Tentamen för Tidigarelärarinriktning astronomi 13 feb 2002 Examinator: Sverker Johansson (036-157755, 69706) Hjälpmedel: varandra i gruppen Tentamen för Tidigarelärarinriktning astronomi 13 feb 2002 Examinator: Sverker Johansson (036-157755, 69706) Hjälpmedel: varandra i gruppen Varje uppgift kan ge maximalt 10 poäng. Varje grupp lämnar ett

Läs mer

Tentamen Mekanik F del 2 (FFM520)

Tentamen Mekanik F del 2 (FFM520) Tentamen Mekanik F del 2 (FFM520) Tid och plats: Måndagen den 23 maj 2011 klockan 14.00-18.00 i V. Hjälpmedel: Physics Handbook, Beta, Lexikon, typgodkänd miniräknare samt en egenhändigt skriven A4 med

Läs mer

Innehållsförteckning. Innehållsförteckning 1 Rymden 3. Solen 3 Månen 3 Jorden 4 Stjärnor 4 Galaxer 4 Nebulosor 5. Upptäck universum med Cosmonova 3

Innehållsförteckning. Innehållsförteckning 1 Rymden 3. Solen 3 Månen 3 Jorden 4 Stjärnor 4 Galaxer 4 Nebulosor 5. Upptäck universum med Cosmonova 3 1 Innehållsförteckning Innehållsförteckning 1 Rymden 3 Upptäck universum med Cosmonova 3 Solen 3 Månen 3 Jorden 4 Stjärnor 4 Galaxer 4 Nebulosor 5 2 Rymden Rymden, universum utanför jorden, studeras främst

Läs mer

INNEHALL. ) o 4.3 4.1 4.2 4.2.1 +,J. Z +.J.J 4.4 4.5. .'t.\ ^

INNEHALL. ) o 4.3 4.1 4.2 4.2.1 +,J. Z +.J.J 4.4 4.5. .'t.\ ^ INNEHALL 4.1 4.2 4.2.1.'t.\ ^ 4.3 +,J. Z +.J.J 4.4 4.5 TID Allmänt Arstiderna Ekvinoktierna Polcirklarna Perihelium och aphelium Dygnsdefinitioner Siderisk tid Sant soldygn Medelsoltid Solens upp- och

Läs mer

TELLURIUM svensk översättning Art nr 05-007

TELLURIUM svensk översättning Art nr 05-007 TELLURIUM svensk översättning Art nr 05-007 SIDA 1-5: Ett tellurium är en modell över hur jorden och månen rör sig i förhållande till solen. Telluriet innehåller: Tellurium med Fresnel lins och horisontskiva

Läs mer

Provet består av Del I, Del II, Del III samt en muntlig del och ger totalt 76 poäng varav 28 E-, 24 C- och 24 A-poäng.

Provet består av Del I, Del II, Del III samt en muntlig del och ger totalt 76 poäng varav 28 E-, 24 C- och 24 A-poäng. NpMac vt 01 Del I Del II Provtid Hjälpmedel Uppgift 1-10. Endast svar krävs. Uppgift 11-15. Fullständiga lösningar krävs. 10 minuter för del I och del II tillsammans. Formelblad och linjal. Kravgränser

Läs mer

Tillverkning av ett solur för trädgården

Tillverkning av ett solur för trädgården Tillverkning av ett solur för trädgården Seppo Nurmi, Järfälla, 2003-09-25, senast uppdaterad 2009-09-21. Några olika typer av solur Vi betraktar först ett ekvatorialt solur, där timskivan är parallell

Läs mer

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS B VÅREN Del I, 7 uppgifter utan miniräknare 3. Del II, 9 uppgifter med miniräknare 5

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS B VÅREN Del I, 7 uppgifter utan miniräknare 3. Del II, 9 uppgifter med miniräknare 5 freeleaks NpMaB vt2011 1(10) Innehåll Förord 1 NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS B VÅREN 2011 2 Del I, 7 uppgifter utan miniräknare 3 Del II, 9 uppgifter med miniräknare 5 Förord Skolverket har endast

Läs mer

9-1 Koordinatsystem och funktioner. Namn:

9-1 Koordinatsystem och funktioner. Namn: 9- Koordinatsystem och funktioner. Namn: Inledning I det här kapitlet skall du lära dig vad ett koordinatsystem är och vilka egenskaper det har. I ett koordinatsystem kan man representera matematiska funktioner

Läs mer

INNEHÅLL. illustrationer 316

INNEHÅLL. illustrationer 316 INNEHÅLL 1. i ett kosmiskt perspektiv 11 2. stjärnresor 25 3. från myter till mätningar 45 4. rymdskeppet jorden 67 5. äpplen och planeter 87 6. månen en lyckträff 101 7. våra steniga grannar 123 8. ringprydda

Läs mer

Kumla Solsystemsmodell. Skalenlig modell av solsystemet

Kumla Solsystemsmodell. Skalenlig modell av solsystemet Kumla Solsystemsmodell Skalenlig modell av solsystemet Kumla Astronomiklubb har i samarbete med Kumla kommun iordningställt en skalenlig modell av solsystemet runt om i Kumla. Placeringen av samtliga tio

Läs mer

Tentamen 973G10 Matematik för lärare årskurs 4-6, del2, 15 hp delmoment Geometri 4,5 hp, , kl. 8-13

Tentamen 973G10 Matematik för lärare årskurs 4-6, del2, 15 hp delmoment Geometri 4,5 hp, , kl. 8-13 Kurskod: 9G0 Provkod: STN Tentamen 9G0 Matematik för lärare årskurs -, del, 5 hp delmoment Geometri,5 hp, 0-0-08, kl 8- Tillåtna hjälpmedel : Passare, linjal För varje uppgift ska fullständig lösning med

Läs mer

Teleskop i AstroMaster-serien BRUKSANVISNING SVENSKA

Teleskop i AstroMaster-serien BRUKSANVISNING SVENSKA SVENSKA Teleskop i AstroMaster-serien BRUKSANVISNING AstroMaster 90 EQ # 21064 AstroMaster 130 EQ # 31045 AstroMaster 90 EQ-MD # 21069 AstroMaster 130 EQ-MD # 31051 Innehållsförteckning INTRODUKTION...

Läs mer

Explorativ övning euklidisk geometri

Explorativ övning euklidisk geometri Explorativ övning euklidisk geometri De viktigaste begreppen och satser i detta avsnitt är: Kongruens och likhet mellan sträckor, vinklar och trianglar. Kongruensfallen för trianglar. Parallella linjer

Läs mer

Kvalificeringstävling den 30 september 2008

Kvalificeringstävling den 30 september 2008 SKOLORNAS MATEMATIKTÄVLING Svenska Matematikersamfundet Kvalificeringstävling den 30 september 2008 Förslag till lösningar Problem 1 Tre rader med tal är skrivna på ett papper Varje rad innehåller tre

Läs mer

i=1 β i a i. (Rudolf Tabbe.) i=1 b i a i n

i=1 β i a i. (Rudolf Tabbe.) i=1 b i a i n Årgång 48, 1965 Första häftet 2505. Låt M = {p 1, p 2,..., p k } vara en mängd med k element. Vidare betecknar M 1, M 2,..., M n olika delmängder till M, alla bestående av tre element. Det gäller alltså

Läs mer

Förklaringar till kalendariet

Förklaringar till kalendariet Förklaringar till kalendariet Upp- och nedgångar m.m. Varje dag anges för solen, månen och en av de med blotta ögat synliga planeterna (i fortsättningen kallade planeterna) tiderna för upp- och nedgång,

Läs mer

Tentamen Relativitetsteori , 22/8 2015

Tentamen Relativitetsteori , 22/8 2015 KOD: Tentamen Relativitetsteori 9.00 14.00, 22/8 2015 Hjälpmedel: Miniräknare, linjal och bifogad formelsamling. Observera: Samtliga svar ska lämnas på dessa frågepapper. Det framgår ur respektive uppgift

Läs mer

Uppgifter. Uppgifter. Uppgift 2. Uppgift 1

Uppgifter. Uppgifter. Uppgift 2. Uppgift 1 Uppgift 1 Uppgift 2 Det första målet är att beräkna vinkeldiametern på ringen, det vill säga ringens apparenta diameter sedd från jorden i bågsekunder. Detta är vinkel a. De relativa positionerna för stjärnorna

Läs mer

Inspirationsdag i astronomi. Innehåll. Centret för livslångt lärande vid Åbo Akademi Vasa, 24 mars 2011

Inspirationsdag i astronomi. Innehåll. Centret för livslångt lärande vid Åbo Akademi Vasa, 24 mars 2011 Inspirationsdag i astronomi Centret för livslångt lärande vid Åbo Akademi Vasa, 24 mars 2011 Länkar m.m.: www.astronomi.nu/vasa110324 Magnus Näslund Stockholms observatorium Institutionen för astronomi

Läs mer

Alingsås Astronomiklubb. Hösten 2012

Alingsås Astronomiklubb. Hösten 2012 Alingsås Astronomiklubb Hösten 2012 Medlemsblad för Alingsås Astronomiklubb (AAK) Ordf. Robert Wahlström Klintens väg 6 441 41 Alingsås Tel: 0322-17 877 Mob: 0734-232 632 E-Mail: robert@alderaan.nu Sekr.

Läs mer

Global Positioning System GPS i funktion

Global Positioning System GPS i funktion Global Positioning System GPS i funktion Martin Åhlenius ECOP mas00001@student.mdh.se Andreas Axelsen ECOP aan00006@student.mdh.se 15 oktober 2003 i Sammanfattning Denna rapport försöker förklara funktionen

Läs mer

3. Mekaniska vågor i 2 (eller 3) dimensioner

3. Mekaniska vågor i 2 (eller 3) dimensioner 3. Mekaniska vågor i 2 (eller 3) dimensioner Brytning av vågor som passerar gränsen mellan två material Eftersom utbredningshastigheten för en mekanisk våg med största sannolikhet ändras då den passerar

Läs mer

Problem från klockan och kalendern

Problem från klockan och kalendern Problem från klockan och kalendern Lars Nystedt Matematikbiennalens tema är Tid för matematik. En av föreläsningarna behandlade problem som har anknytning till klockan och kalendern. Ur en almanacka kan

Läs mer

Välkommen till Kängurutävlingen Matematikens hopp 17 mars Student för elever på kurs Ma 4 och Ma 5

Välkommen till Kängurutävlingen Matematikens hopp 17 mars Student för elever på kurs Ma 4 och Ma 5 Till läraren Välkommen till Kängurutävlingen Matematikens hopp 17 mars 2016 Student för elever på kurs Ma 4 och Ma 5 Tävlingen ska genomföras under perioden 17 mars 1 april. Uppgifterna får inte användas

Läs mer

4-1 Tid och tidmätning Namn: Några viktiga tidpunkter. Inledning. I vilka enheter mäter vi tid? Sortförvandlingar

4-1 Tid och tidmätning Namn: Några viktiga tidpunkter. Inledning. I vilka enheter mäter vi tid? Sortförvandlingar 4-1 Tid och tidmätning Namn: Inledning Vad är tid? Har du någon aning? Ett enkelt svar är att det är någonting man måste passa om man har avtalat ett möte, men det rymmer ju inte hela sanningen. Tid tycks

Läs mer

Nedanstående tabell visar solens upp- och nergång vid 3 tillfällen under december 2011.

Nedanstående tabell visar solens upp- och nergång vid 3 tillfällen under december 2011. Sol System Solen Nedanstående tabell visar solens upp- och nergång vid 3 tillfällen under december 2011. Upp Ner Uppetidens längd Förändring 1:e 08:09 15:34 07 tim 25 min 15:e 08:28 15:28 07 tim 00 min

Läs mer

RÖRELSE. - Mätningar och mätinstrument och hur de kan kombineras för att mäta storheter, till exempel fart, tryck och effekt.

RÖRELSE. - Mätningar och mätinstrument och hur de kan kombineras för att mäta storheter, till exempel fart, tryck och effekt. RÖRELSE Inledning När vi går, springer, cyklar etc. förflyttar vi oss en viss sträcka på en viss tid. Ibland, speciellt när vi har bråttom, tänker vi på hur fort det går. I det här experimentet undersöker

Läs mer

GPS och koordinater Jag har hört mycket om detta på våra träffar. Vad är rätt och fel. Här skall jag reda ut begreppen?

GPS och koordinater Jag har hört mycket om detta på våra träffar. Vad är rätt och fel. Här skall jag reda ut begreppen? GPS och koordinater Jag har hört mycket om detta på våra träffar. Vad är rätt och fel. Här skall jag reda ut begreppen? Aktuellt exempel: Kiviks Camping. Jag kommer att beskriva detta sist. Det är inte

Läs mer

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS A VÅREN Del I

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS A VÅREN Del I Skolverket hänvisar generellt beträffande provmaterial till bestämmelsen om sekretess i 4 kap 3 Sekretesslagen. För detta material gäller sekretessen till och med utgången av juni månad 2002. NATIONELLT

Läs mer

GPS. Robin Rikberg 30029. 16 februari 2009

GPS. Robin Rikberg 30029. 16 februari 2009 GPS Robin Rikberg 30029 16 februari 2009 Innehåll 1 Inledning 1 2 Satellitnavigeringens historia och framtid 1 2.1 Transit.............................. 1 2.2 GPS............................... 1 2.3 GLONASS...........................

Läs mer

Avancerade integraler. Thomas Lingefjärd. Göteborgs universitet

Avancerade integraler. Thomas Lingefjärd. Göteborgs universitet Avancerad matematik med GeoGebra Enligt min uppfattning är det inte lätt att hitta ett datorprogram, skapat för matematikundervisning, som passar både grundläggande och avancerade matematiska begrepp och

Läs mer

Instrumentoptik, anteckningar för föreläsning 4 och 5 (CVO kap. 17 sid , ) Retinoskopet

Instrumentoptik, anteckningar för föreläsning 4 och 5 (CVO kap. 17 sid , ) Retinoskopet Instrumentoptik, anteckningar för föreläsning 4 och 5 (CVO kap. 17 sid 345-353, 358-362) Retinoskopet Utvecklat från oftalmoskopi under slutet av 1800-talet. Objektiv metod för att bestämma patientens

Läs mer

λ = T 2 g/(2π) 250/6 40 m

λ = T 2 g/(2π) 250/6 40 m Problem. Utbredning av vattenvågor är komplicerad. Vågorna är inte transversella, utan vattnet rör sig i cirklar eller ellipser. Våghastigheten beror bland annat på hur djupt vattnet är. I grunt vatten

Läs mer

4. I lagret finns 24, 23, 17 och 16 kg:s säckar. På vilket sätt kan man leverera en beställning på exakt 100 kg utan att öppna någon säck?

4. I lagret finns 24, 23, 17 och 16 kg:s säckar. På vilket sätt kan man leverera en beställning på exakt 100 kg utan att öppna någon säck? Grundskolans matematiktävling Finaltävling fredagen den 3 februari 2012 DEL 1 Tid 30 min Maximal poängsumma 20 Räknare används inte i denna del. Skriv ner beräkningar, rita bilder eller ange andra motiveringar

Läs mer

Parabeln och vad man kan ha den till

Parabeln och vad man kan ha den till Parabeln och vad man kan ha den till Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com Sammanfattning I det här dokumentet diskuterar vi vad parabeln är för geometrisk konstruktion och varför den

Läs mer

Matematik. Mål att sträva mot. Mål att uppnå. År 1 Mål Kriterier Eleven ska kunna. Taluppfattning koppla ihop antal och siffra kan lägga rätt antal

Matematik. Mål att sträva mot. Mål att uppnå. År 1 Mål Kriterier Eleven ska kunna. Taluppfattning koppla ihop antal och siffra kan lägga rätt antal Matematik Mål att sträva mot Vi strävar mot att varje elev ska utveckla intresse för matematik samt tilltro till det egna tänkandet och den egna förmågan att lära sig matematik utveckla sin förmåga att

Läs mer

STARLAB planetarium handledning

STARLAB planetarium handledning STARLAB planetarium en handledning Per Broman Broman Planetarium AB Innehåll STARLAB...1 Ett mobilt planetarium...2 Domen...3 Projektorn...5 Starlab ljusbågeprojektor...7 Projektionscylindrar...8 Planeter

Läs mer

Alingsås Astronomiklubb. Hösten 2009

Alingsås Astronomiklubb. Hösten 2009 Alingsås Astronomiklubb Hösten 2009 Medlemsblad för Alingsås Astronomiklubb (AAK) Ordf. Robert Wahlström Oscarsg 15 441 33 Alingsås Tel: 0322-17 877 Mob: 0734-232 632 E-Mail: robert@alderaan.nu Sekr. Terje

Läs mer

Svar till beräkningsuppgifter för instuderingsfrågor i övning 2

Svar till beräkningsuppgifter för instuderingsfrågor i övning 2 Svar till beräkningsuppgifter för instuderingsfrågor i övning 2 F1: Introduktion till samhällsmätning a) Ge ett par exempel på geografisk information. b) Vad behandlas inom vetenskaperna geodesi respektive

Läs mer

Astronomi. Hästhuvudnebulosan. Neil Armstrong rymdresenär.

Astronomi. Hästhuvudnebulosan. Neil Armstrong rymdresenär. Hästhuvudnebulosan Astronomi Neil Armstrong rymdresenär. Illustration av vår galax Vintergatan. Av naturliga själ har vi aldrig sett vår galax ur detta perspektiv. Vilka är vi jordbor egentligen? Var i

Läs mer

Praktisk arbeid i astronomi. Jonas Persson Skolelaboratoriet, PLU, NTNU

Praktisk arbeid i astronomi. Jonas Persson Skolelaboratoriet, PLU, NTNU Praktisk arbeid i astronomi Jonas Persson Skolelaboratoriet, PLU, NTNU Astronomi - Læreplanene Etter 4. årstrinn Etter 7. årstrinn Etter 10. årstrinn Fysikk 1 Mål for opplæringen er at eleven skal kunne

Läs mer

Geometrisk optik. Syfte och mål. Innehåll. Utrustning. Institutionen för Fysik 2006-04-25

Geometrisk optik. Syfte och mål. Innehåll. Utrustning. Institutionen för Fysik 2006-04-25 Geometrisk optik Syfte och mål Laborationens syfte är att du ska lära dig att: Förstå allmänna principen för geometrisk optik, (tunna linsformeln) Rita strålgångar Ställa upp enkla optiska komponenter

Läs mer

Matematik Uppnående mål för år 6

Matematik Uppnående mål för år 6 Matematik Uppnående mål för år 6 Allmänt: Eleven ska kunna förstå, lösa samt redovisa problem med konkret innehåll inom varje avsnitt. Ha en grundläggande taluppfattning som omfattar naturliga tal och

Läs mer

10. Relativitetsteori Tid och Längd

10. Relativitetsteori Tid och Längd Relativa mätningar Allting är relativt är ett välbekant begrepp. I synnerhet gäller detta när vi gör mätningar av olika slag. Många mätningar består ju i att man jämför med någonting. Temperatur är en

Läs mer

GRUPP 1 JETLINE. Åk, känn efter och undersök: a) Hur låter det när tåget dras uppför första backen? Vad beror det på? (Tips finns vid teknikbordet)

GRUPP 1 JETLINE. Åk, känn efter och undersök: a) Hur låter det när tåget dras uppför första backen? Vad beror det på? (Tips finns vid teknikbordet) GRUPP 1 JETLINE a) Hur låter det när tåget dras uppför första backen? Vad beror det på? (Tips finns vid teknikbordet) b) Var under turen känner du dig tyngst? Lättast? Spelar det någon roll var i tåget

Läs mer

Jordens Magnetiska Fält

Jordens Magnetiska Fält Jordens Magnetiska Fält En essä för kursen Ämneskommunikation för Fysiker Sammanställd av Anne Ylinen 14 mars 2009 i Innehåll 1 Inledning 1 2 Beskrivning av Jordens magnetfält 1 2.1 Vektorbeskrivning av

Läs mer

Lokal studieplan Matematik 3 8 = 24. Centrum för tvåspråkighet Förberedelseklass

Lokal studieplan Matematik 3 8 = 24. Centrum för tvåspråkighet Förberedelseklass Lokal studieplan Matematik 3 8 = 24 Centrum för tvåspråkighet Förberedelseklass 1 Mål att sträva mot Skolan skall i sin undervisning i matematik sträva efter att eleven S11 utvecklar intresse för matematik

Läs mer

Planering Geometri år 7

Planering Geometri år 7 Planering Geometri år 7 Innehåll Övergripande planering... 2 Bedömning... 2 Begreppslista... 3 Metodlista... 6 Arbetsblad... 6 Facit Diagnos + Arbeta vidare... 10 Repetitionsuppgifter... 11 Övergripande

Läs mer

Intromatte för optikerstudenter

Intromatte för optikerstudenter Intromatte för optikerstudenter Av Robert Rosén (2012). Ändringar av Daniel Larsson (2013). Ändringar av Jakob Larsson och Emelie Fogelqvist (2014). Kursmål Efter intromatten vill vi att du inom matematik

Läs mer

Lektion på Gröna Lund, Grupp 1

Lektion på Gröna Lund, Grupp 1 Lektion på Gröna Lund, Grupp 1 Jetline Tåget är 9,2m långt. Hur lång tid tar det för tåget att passera en stolpe? Hur fort går tåget? Var under turen tror du att känner man sig tyngst? Lättast? Om du har

Läs mer

Undersökning av teorier gällande 2012

Undersökning av teorier gällande 2012 Undersökning av teorier gällande 2012 Inledning Jag mins inte vart jag först hörde talas om 2012 och att det skulle kunna vara ett årtal då någonting fruktansvärt var förutbestämt att hända med jordens

Läs mer

Svar till Tentamen för Tidigarelärarinriktning astronomi 13 feb 2002 Examinator: Sverker Johansson (036-157755, 69706) Hjälpmedel: varandra i gruppen

Svar till Tentamen för Tidigarelärarinriktning astronomi 13 feb 2002 Examinator: Sverker Johansson (036-157755, 69706) Hjälpmedel: varandra i gruppen Svar till Tentamen för Tidigarelärarinriktning astronomi 13 feb 2002 Examinator: Sverker Johansson (036-157755, 69706) Hjälpmedel: varandra i gruppen Varje uppgift kan ge maximalt 10 poäng. Varje grupp

Läs mer

Intromatte för optikerstudenter

Intromatte för optikerstudenter Intromatte för optikerstudenter Av Robert Rosén (2012). Ändringar av Daniel Larsson, Jakob Larsson, Emelie Fogelqvist och Simon Winter (2013 2016). Kursmål Efter intromatten vill vi att du inom matematik

Läs mer