Instruktioner till arbetet med miniprojekt I

Transkript

1 Lunds tekniska högskola Matematikcentrum Matematisk statistik FMS035: Matematisk statistik för M Miniprojekt I Instruktioner till arbetet med miniprojekt I Innan ni börjar arbeta vid Datorlaboration 2 Läs igenom bakgrundsbeskrivningen till ert miniprojekt. Ni måste ha tillgodogjort er avsnitten i boken om fördelningar (kap Dock utgår 3.4g) Läs också den utdelade stencilen om Lognormal- och Gumbelfördelningen. Repetera från Datorlaboration 1 de graska metoderna som nns i Matlab för att avgöra om data passar till en fördelning. Vid Datorlaboration 2 Följ gärna de tips på arbetsgång som nns i handledningen. Börja skriva på rapporten. Rapporten Skriv en rapport på utförandet och resultat av miniprojektet. Rapporten ska bestå av två delar: 1. Denna del riktar sig till konsultrmans senior. Det innebär en löpande text med mellanrubriker. I texten anger ni tydligt val av modell (fördelning) och hur beräkningar är utförda. Beräkningar kan redovisas i prydligt handskrivna bilagor om det ges en tydlig hänvisning till dem i texten. Lämpliga gurer som underlättar förståelsen infogas i texten. Diskussionen av resultaten samt slutsatser ska presenteras tydligt. 2. Denna del riktar sig till klienten som anlitat konsultrman. Han/hon har begränsade insikter i sannolikhetslära och statistiska metoder, därför går det inte att använda kursspecik jargong. Försök att kortfattat redogöra för era resultat/slutsatser så att klienten förstår. Använd det bifogade försättsbladet som titelsida. Innan ni lämar in rapporten, se över om klientens samtliga frågeställningar är belysta/besvarade det saknas något - gur och/eller beräkning som kan förtydligas slutsatserna är tydliga 1

2 kopplingen mellan verkligheten (data) och den statistiska modellen (fördelningar) är klar och tydligt beskriven den del av rapporten som riktar sig till klienten är tydligt nog skriven Inlämning av rapport Lämna rapporten till kurssekreterare senast onsdag 19 april kl Feedback Rapporten återlämnas vid Datorlab 3. Då sker också eventuell korrigering/komplettering av rapporten. 2

3 KULLAGER Du och din kompis är nyanställda på rman Konsult. När ni kommer till jobbet nner ni följande mail från en av de seniora. Hej! Det har dykt upp en sak som jag vill att ni tittar lite närmare på. Vi har fått ett uppdrag av en klient och jag vill att ni ger mig underlag beträande den statistiska analysen. Jag har bifogat bakgrundsbeskrivning och frågeställningar. Data nns på vårt vanliga nätverk i len kullager.mat. Klienten vill ha ett utlåtande från oss ganska snart. Jag är ganska upptagen den närmaste veckan men vi har ett möte med klienten i slutet av nästa vecka. Till dess kan ni ha tagit fram en preliminär rapport som jag vill ha senast på onsdag. I denna rapport vill jag att ni även bifogar en kort del som är riktad direkt till klienten och utan vår vanliga tekniska jargong. /Ville Utdrag från klientens bakgrundsbeskrivning och frågeställningar: Vi köper kullager från Rulla på AB. Nu beställde vi en provomgång där vi lät testa livslängden hos kullagren. Vi lät ett kullager rulla i en maskin och mätte hur många cykler lagret klarade av innan det blev funktionsodugligt. Livslängden är angiven i miljoner cykler, men variationen mellan kullager är väldigt stor. Det blev visserligen bara 22 stycken som testades men jag hoppas att det räcker för att ni ska kunna dra några slutsatser. Vi vill gärna hitta en fördelning som beskriver hur antalet cykler varierar. Kan det vara så att antalet cykler är normalfördelat (allt tycks vara normalfördelat)? Eller nns det någon annan fördelning som passar bättre? Vi är ju oftast intresserad av fördelningens svansar så vi vill att anpassningen ska vara god där. Jag läste att för utmattningfenomen brukar man använda Weibullfördelningar, men samtidigt brukar väl livslängder vara exponentialfördelade. Hur hänger det ihop? Egentligen är vårt problem det här: Tillverkaren säger att det är bara 10 procent av kullagren som har en livslängd som understiger 45 miljoner cykler. Vi tycker detta verkar lite, vad säger ni? Nu ck vi ju faktiskt ganska många vars livslängd låg under 45 miljoner. Tycker ni att vi ska klaga hos tillverkaren? 3

4 Tips på arbetsgång då ni tittar på kullagerdata Börja med att göra en översikt över data (histogram, empirisk fördelningsfunktion...) Pröva olika standardfördelningar för att hitta en fördelning som kan anpassas till kullagerdata. Red ut klientens fråga om Weibullfördelning kontra exponentialfördelning. Använd kvantilbegrepp och beräkna lämpliga sannolikheter för att belysa klientens problem. Låt X vara antalet kullager vars livslängd ligger under 45 miljoner. Om tillverkarens påstående är korrekt, vad är då fördelningen för X? Om tillverkarens påstående är korrekt, hur troligt är det då att minst så många kullager som ni observerade har en livslängd som understiger 45 miljoner? 4

5 SPRICKTILLVÄXT Du och din kompis är nyanställda på rman Konsult. När ni kommer till jobbet nner ni följande mail från en av de seniora. Hej! Det har dykt upp en sak som jag vill att ni tittar lite närmare på. Vi har fått ett uppdrag av en klient och jag vill att ni ger mig underlag beträande den statistiska analysen. Jag har bifogat bakgrundsbeskrivning och frågeställningar. Data nns på vårt vanliga nätverk i len spricklangd.mat. Klienten vill ha ett utlåtande från oss ganska snart. Jag är ganska upptagen den närmaste veckan men vi har ett möte med klienten i slutet av nästa vecka. Till dess kan ni ha tagit fram en preliminär rapport som jag vill ha senast på onsdag. I denna rapport vill jag att ni även bifogar en kort del som är riktad direkt till klienten och utan vår vanliga tekniska jargong. /Ville Utdrag från klientens bakgrundsbeskrivning och frågeställningar: Vi studerar hur en existerande spricka i en metallkonstruktion växer till då man utsätter den för last. Antag att en metallkonstruktion kan utstå en statisk last med värde S utan problem. Om emellertid konstruktionen går sönder till följd av en cyklisk last med ett maximalt värde lägre än S, säges konstruktionen ha gått sönder pga utmattning (metal fatigue). I synnerhet påskyndar cykliska laster initiering av sprickor samt spricktillväxt. Vi har data från ett laboratorieförsök 1 och vill studera hur en existerande spricka växer under en last som varierar i tiden med konstant amplitud. I experimentet användes 68 provstavar av typ 2024-T3 aluminium-alloy. Samtliga hade initialt en spricka med den halva längden 9 mm. Sedan utsatte man dem för cyklisk last. När halva spricklängden uppnått A mm avlästes motsvarande antal kumulativa lastcykler N. Det fanns 164 xa (specicerade) värden på A, de låg mellan 9 mm (initialvärde) upp till mm. Sammanfattningsvis registrerades alltså antalet lastcykler N som funktion av halva spricklängden A. I datalen, som är av storlek , anger den första kolumnen A-värdena medan de övriga kolumnerna anger respektive N-värde för de olika provstavarna. Nu till våra frågeställningar: Vi ser på data att antalet lastcykler för att uppnå en spricka av en viss längd varierar mycket, frågan är hur det varierar. I dessa sammanhang brukar de standardfördelningar man tittar på vara lognormal, Weibull eller Gumbel. Stämmer det även här? Vi vill nämligen kunna svara på frågor av 1 Virkler, D.A., Hillberry, B.M., Goel, P.K. (1979): The statistical nature of fatigue crack propagation. ASME Journal of Engineering Materials and Technology, 101,

6 typen: Hur troligt är det att det behövs mer än lastcykler för att uppnå en spricka med (halva) längden 20 mm? Dessutom ser vi att antal lastcyklar inte verkar ha samma fördelning om vi har en liten spricklängd som när vi har en stor spricklängd. Hur ska vi tänka där? Tips på arbetsgång då ni tittar på data om spricktillväxt Börja med att bekanta er med datamaterialet och vad de olika raderna och kolumnerna i matrisen står för. Matlabtips: >> A=sprickor(:,1) % Halva spricklängden >> N=sprickor(:,2:69) % Antal lastcykler Undersök hur spricktillväxten ser ut för en stav, exempelvis stav nummer 12, genom att plotta antal lastcykler mot halva spricklängden. (plot(a,n(:,12))) Plotta samma sak för samtliga 68 stavar i en gur för att se hur spricktillväxten varierar mellan stavar. (plot(a,n)) Betrakta en x (halv) spricklängd, välj t.ex. spricklängden till 38.2 mm. Undersök hur antal lastcykler varierar (histogram empirisk fördelningsfunktion...). Finns någon standardfördelning som passar? (Matlabtips: Eftersom halva spricklängden A=38.2 mm motsvarar värde 142 i vektorn A kan motsvarande antal lastcykler fås i rad 142 i matrisen N, d.v.s. genom att skriva N(142,:) i Matlab.) Undersök om det är samma typ av standardfördelning som passar för korta såväl som långa spricklängder. Svara på klientens typfråga: Hur troligt är det att det behövs mer än lastcykler för att uppnå en (halv) spricklängd av 20 mm. Visa på principen i beräkningarna så klienten kan utföra motsvarande frågor (med andra siror) själv. 6

7 Lunds tekniska högskola Matematikcentrum Matematisk statistik FMS035: Matematisk statistik för M MINIPROJEKT I Miniprojektets namn: Rapportens författare: Namn: Program: Datum: Rättande handledares kommentarer: