REKURSION & INDUKTIONSBEVIS

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "REKURSION & INDUKTIONSBEVIS"

Transkript

1 REKURSION & INDUKTIONSBEVIS Rekursiva definitioner Sluten formel (direkt formel) För t.ex. följden a 0 =1,a 1 =,a =4,a 3 =8,a 4 =16,a 5 =3,... är det lätt att skriva upp en formel som direkt visar hur talen fås ur sitt ordningsnummer: a n = n, n =0, 1,, 3,... Rekursiv definition För talen i följden (Fibonaccis följd; efter en italienare från 100-talet) 0, 1, 1,, 3, 5, 8, 13, 1, 34, 55, 89,... är det inte alls lika lätt. Men det finns ett enkelt samband mellan ett tal och närmast föregående: 89 = = = , etc. Vi skulle kunna definiera (beskriva) talföljden på följande sätt: F 0 = 0 F 1 = 1 F n = F n 1 + F n, n =, 3, 4,... (alt. F n+1 = F n + F n 1, n =1,, 3,...) Det första eller några av talen i början får vi ange explicit, sedan ger vi en regel som tillåter oss att successivt räkna fram efterföljande tal ur närmast föregående. En sådan definition kallas rekursiv. Rekursionsformel kallas en formel av typen F n = F n 1 + F n somangerhuretttalienföljd kan beräknas ur föregående tal. Obs. att en rekursionsformel ensam inte räcker för att beskriva en följd vi måste också ha något/några "startvärden". Iteration sägs föreligga när man upprepade gånger tillämpar samma beräkningsprocedur, t.ex. att beräkna tal i Fibonaccis talföljd genom upprepad insättning i F n+1 = F n + F n 1. Beteckningssätt för följder : I stället för "talföljden a n,n=0, 1,, 3,..." skriver man ofta talföljden (a n ) n=0 1. Beskriv med ord vad p n är, om p 0 = 1 och p n = np n 1 för n =1,, 3, 4,... (Bortse från p 0, som är litet speciellt.) Talen p n brukar normalt betecknas : n! uttalas : n-fakultet. Skriv ner en rekursiv definition av följden a n = n, n =0, 1,, Givet en talföljd a 1,a,a 3,... bildar vi följden av delsummor (partialsummor) s n = a k, n =1,, 3,... Skriv ner en rekursiv definition av talföljden s n. 4. Catalantalen 1 (C n ) n=0 kan definieras så här C n = (n)! n!(n +1)! Skriv ut de 6-7 första samt ge en ekvivalent rekursiv definition. Vilken definition är lämpligast att använda, om man vill ha fler tal? 5. Följande algoritm kan ge en följd av tal (x k ) k=0 som konvergerar mot (närmar sig) en rot till ekv. f(x) =0 Välj startvärden x 0 och x 1 så nära roten som möjligt. När x n och x n 1 är uträknade, låt x n vara skärningen av x-axeln med den räta linje som går genom punkterna (x n,f(x n )) och (x n 1,f(x n 1 )). Ställ upp rekursionsformeln för x n. 1 Uppkallade efter en belgisk matematiker Catalan ( ). 1

2 Rekursiva definitioner för annat än talföljder Man skulle kunna beskriva utslagsturneringar (av den typ tennisturneringar brukar vara) 1/8- finaler på följande sätt : kvartsfinaler semi finaler final Hur uppträder parenteser i aritmetiska uttryck? ((5 x)+y) / (x y) Inte hur som helst, utan i par (), och alltid med ( till vänster om ). Låt oss kalla teckensträngar, där parenteser uppträder på detta sätt, balanserade. Ge en formell definition av balanserade strängar! Alt.1. w är balanserad omm w har lika många ( som ), och varje prefix avw har minst lika många ( som ). Alt.. w är balanserad omm endera w innehåller varken ( eller ) w = xy där såväl x som y är balanserade w =(z) där z är balanserad Den andra definitionen är rekursiv. En utslagsturnering består av antingen en match mellan två spelare, eller två utslagsturneringar åtföljda av en match mellan segrarna i dessa Ett palindrom är en sträng av bokstäver (inte nödvändigtvis meningsfull) som lyder likadant om man läser den baklänges : radar varggrav saippuakivikauppias (finska för "tvålstensförsäljare") Följande är en rekursiv definition : Ett palindrom är en teckensträng som uppfyller endera av följande har längd 0 eller 1, har formen ap a, där a är någon bokstav och P ett palindrom

3 Sluten formel / slutet uttryck Ofta ställer man upp uttryck, där antalet operationer beror på någon variabel n och kan vara obegränsat stort, som t.ex n eller n (Antalet additioner beror på värdet på n.) En sluten formel (slutet uttryck) är uppbyggt av ett fixt, oberoende av n, antal "standardoperationer": n (n +1) (En addition, en multiplikation ochendivision.) n+1 1 (En addition, en exponentiering och en subtraktion.) Obs! Exponentieringar som n+1 kan egentligen kräva obegränsat många multiplikationer, men vi bortser nu från de praktiska beräkningsdetaljerna och räknar som en enda operation allt som på papper går att skriva som en enda operation! Sluten formel används som motsats till rekursionsformel, t.ex. ½ a n = n a0 =1 vs. a n =a n 1, n > 0 Detta kan betraktas som ett specialfall av distinktionen mellan begränsat / obegränsat antal operationer: Om vi går efter rekursionsformeln, måste vi: för att beräkna a 100, beräkna a 99 ; för att beräkna a 99, måste vi beräkna först a 99 ; o.s.v. ner till a 0 antalet operationer beror på n. Obs! Vilka formler som betraktas som "slutna" är delvis relativt: För den som är väl förtrogen med Fibonaccitalen F n,är a n = F n+1 en "sluten formel" för a n. Ibland är rekursiva definitioner att föredra, ibland inte: Kanske behöver man bara F 1000 och det vore trevligt att kunna räkna ut detta tal direkt, utan att behöva räkna även alla föregående. Ofta önskar man sig t.ex. en uppfattning om talens storleksordning för stora n är t.ex. Fibonaccitalen F n n för stora n? eller F n n? eller F n n? eller F n...? Sådant kan vara svårt att se ur en rekursionsformel. Från rekursiv definition till sluten formel med iteration av rekursionsformeln I vissa enkla fall kan det gå att skaffa sig en sluten formel genom att bara iterera rekursionsformeln : 6. Talföljden (a n ) n=0 definieras genom a 0 = 0 a n+1 = a n +1, n =0, 1,,... En sluten formel för a n kan fås genom upprepad användning av rekursionsformeln : a n = 1+a n 1 = = 1+(1+a n )= = 1++ (1 + a n 3 )= = (1 + a n 4 )=... = n 1 (1 + a 0 )= = n 1 = [geometrisk summa] = n 1 7. Tag fram en sluten formel för a n om a 0 = 1 a n = a n 1 +3n +5, n =1,, 3, Låt a n = antalet heltal bland 0, 1,,..., 10 n 1, som innehåller siffran 1 (när de skrivs i 10-systemet). Skriv upp en rekursionsformel för a n och utnyttja den till att få en sluten formel för a n. Kontrollera ditt svar genom en direkt uträkning av a n. (Multiplikationsprincipen) (Är talen som innehåller siffran 1 fler eller färre än de övriga?) 9. Tag fram en sluten formel för a n om a 0 = 5 a n = n a n n!, n =1,, 3,... genom att först införa en ny följd b n så att rekursionsekvationen blir, med c n = a n b n, ekvivalent med c n = c n 1 + f (n), för någon funktion f 10. Tag fram en sluten formel för a n om a 0 = 1 a n = a n 1 + n, n =1,, 3,... 3

4 Annuitetslån Låtsas att vi gör en avbetalning per år! Nuförtiden gör man ju avbetalningar månadsvis, men man kan räkna på precis samma sätt, om man först gör om räntesatsen till en ekvivalent månadsräntesats : t.ex. 1% per år motsvarar ³ = 0.95% per månad eftersom det är den procentuella ökning per månad som ger 1% ökning per år: =1.1 Ett s.k. annuitetslån har följande konstruktion: Ett visst belopp s lånas på ett visst antal år N. Varje år avbetalas en del av lånet (amortering). Samtidigt skall ränta betalas för det gångna året. Amorteringen avpassas dock så att annuiteten den summa man betalar varje år totalt (amortering + ränta) är densamma under alla år. Säg att räntesatsen är p% och sätt f =1+ p 100 (f som i tillväxtf aktor ). Räkna ut vad annuiteten måste vara! Visa att annuiteten skall vara s (f 1) 1 f N och att amorteringen år n är s (f 1) f n 1 f N 1 (Ledning: Amorteringengsdelen ökar från ett år till det närmast följande lika mycket som räntedelen minskar.) Betrakta hur skulden ändrar sig. Skulden strax efter lånets upptagande? = s, naturligtvis Skulden strax före 1:a avbetalningen? p = s + s 100 = sf (Ett års ränta har lagts till.) Skulden strax efter 1:a avbetalningen? = sf a Skulden strax före :a avbetalningen? = sf a +(sf a) = (sf a) f = = sf af p 100 Skulden strax efter :a avbetalningen? = sf af a Skulden efter 3:e avbetalningen? sf af a f a = sf 3 af af a = = sf 3 a f + f +1 Fortsätt så här! Uttrycken följer ett visst mönster, eller hur? Skulden strax efter N:te avbetalningen? = sf N a f N 1 + f N f + f +1 Känn igen en geometrisk summa! = sf N a f N 1 f 1 Att lånet skall vara avbetalat efter N år betyder att skulden efter N:te avbetalningen skall vara =0. Därifrån kan vi lösa ut a : 0 = sf N a f N 1 f 1 Med t.ex. a = s f N (f 1) f N 1 med f = 1+ p 100 s = kr. N =0 p =10% = s (f 1) 1 f N skall vi alltså betala = kr. per gång 4

5 "Repertoarmetoden" ("the repertoire method" benämning som används av GKP, men nog inte av någon annan...) För följden (f n ) 0 definierad genom f 0 = 1 f n = f n 1 + n, n =1,, 3,... kan man hitta en sluten formel genom iteration (uppgift 10), men det är inte alldeles enkelt, så det finns anledning att pröva andra vägar. Vi betraktar ett generellare (!) problem : Bestäm en formel för f n, om f 0 = α f n = f n 1 + βn + γ, n =1,, 3,... där α, β, γ är godtyckliga konstanter! (Vill alltså ha en formel som fungerar för varje val av α,β,γ.) Iteration av rekursionsformeln ger f 1 = α + β + γ f = 4α +4β +3γ f 3 = 8α +11β +7γ f 4 = 16α +6β +15γ f 5 = 3α +57β +31γ... Om man nu tänker efter, så inser man att ("lösningen beror linjärt på parametrarna.") f n = A n α+b n β+c n γ för några följder A n,b n,c n, som är oberoende av α,β,γ. Vi kan försöka skaffa oss ett ekvationssystem för A n,b n,c n genom att söka α, β, γ, för vilka vi kan (lättare än för vår ursprungliga rekursion) hitta formler för f n, och sedan stoppa in dessa i ekv. ovan. T.ex. valet α =1,β =0,γ =0ger direkt f n = n n = A n 1+B n 0+C n 0 A n = n (vilket i och för sig kunde avläsas ovan, men ändå...) Obs. dock att vi kan vända på förfarandet : I stället för att testa om diverse val av α, β, γ ger "tillräckligt enkla" följder f n, såkanvistartamedenkelföljdf n och testa om det finns α, β, γ som ger just denna följd. Graham, Knuth & Patashnik, Concrete Mathematics, 1994 Finns val av α, β, γ, som ger f n =1? Det skulle innebära 1 = α 1 = 1+βn + γ, n =1,, 3,... Ja, f n =1, om α =1,β =0,γ = 1, vilket ger 1 = A n C n 1 = n C n C n = n 1 Finns val av α, β, γ som ger f n = n? Det skulle innebära 0 = α n = (n 1) + βn + γ, n =1,, 3,... Ja, f n = n om α =0,β = 1,γ =. Det ger Vi är klara : n = B n +C n B n = C n n = n+1 n f n = n α + n+1 n β +( n 1) γ och i vårt specialfall hade vi α =1,β =1,γ =0och f n = n + n+1 n =3 n n Betr. filosofin bakom den här metoden, kan du jämföra med "Handpåläggningsmetoden" för partialbråksuppdelning i Klassisk geometri utdelad artikel av G.Polya Generalisering, specialisering och analogi Svårigheter som jag förbigår med tystnad : Hur vet man hur mycket man skall generalisera? I exemplet ovan lade vi t.ex. till en γ, men behöll :an i f n 1. Hur man hittar tillräckligt många val av parametrarna α, β, γ,... för vilka man enkelt kan ställa upp formler för följden? 11. Härled en formel för (f n ) 1 om f 1 = α f n = f n + β f n+1 = f n + γ Tips: Skriv n = m + k, där 0 k< m och använd m isvaret. 5

6 Induktionsbevis Induktionsaxiomet Låt M vara en mängd av heltal. Om 1) n 0 M ) n M = n +1 M så innehåller M alla heltal som är n 0. Induktionsprincipen Låt P n beteckna en öppen utsaga med heltalsvariabeln n. Om 1) P n0 är sann ) P n är sann = P n+1 är sann så är P n sann för alla n n 0. Fås ur induktionsaxiomet genom att låta M = {n : P n är sann} Induktionsprincipen, starkare form : Som föregående, men med ) utbytt mot ) P m är sann då n 0 m n = P n+1 är sann Kan visas vara ekvivalent med den första varianten. Induktionsbevis för att en öppen utsaga P n är sann för alla heltal n n 0 består av två delar: 1) "basfallet": bevis för att P n0 är sann ) "induktionssteget" : bevis för att (P n = P n+1 ) är sann för alla n n 0, eller motsvarande för den starkare formen. Induktionsantagande kallas antagandet att P n skulle vara sant, som man gör när man bevisar implikationen (P n = P n+1 ) Öppen utsaga / predikat är en bildning som a<b n är ett primtal n (n +1) n = som blir ett påstående först när vissa symboler, s.k. fria variabler, tilldelas värden. Den kan vara sann för vissa värden på variablerna, men falsk för andra. Välordningsprincipen Varje icke-tom nedåt begränsad mängd av heltal har ett minsta element. Kan visas vara ekvivalent med induktionsaxiomet. 1. För summorna s 1 = 1 s = 1+3 s 3 = s n = (n 1) = (n 1) kan vi ställa upp en formel direkt (hur då?), men vi låtsas nu att vi inte kan och räknar ut summorna för små värden på n i hopp om att se något mönster som kan tänkas gälla för alla n : s 1 = 1 s = 1+3 = 4 s 3 = 1+3+5=9 s 4 = =16 s 5 = =5 Ett mönster är väl uppenbart? För n =1,, 3, 4, 5 gäller s n = n Men är detta riktigt även för alla heltal > 5? Vi försöker göra ett induktionsbevis. Basfallet är redan klart: s 1 =1=1. Induktionssteget: Vi skall visa att om s n = n (induktionsantagandet), så är s n+1 =(n +1) : s n+1 = (n 1) + (n +1)= = s n +(n +1)= [induktionsantagandet tillämpas nu!] = n +n +1= = (n +1) Klart. Första gången man kommer i kontakt med induktionsbevis brukar man tänka Va? Ens nästa reaktion brukar bli: Fårmangörasåhär? Slutreaktionen är: "Ja, så klart att man får. Vad fiffigt! Hur lång tid som förflyter mellan dessa reaktioner är idividuellt, och varierar mellan 10 sekunder och ett par år. Kimmo Eriksson & Hillevi Gavel ibokendiskret matematik och diskreta modeller 6

7 13. Beräkna summorna s n = n 3 för några små värden på n. Sök efter mönster i resultaten, gissa en formel för summan ochförsökattmedinduktionbevisa att den gäller för alla positiva heltal n. (Kom ihåg formeln från nästa övning!) 14. För formeln k = 1 n (n +1) för alla positiva heltal n har vi redan ett fullgott åskådligt bevis, men skriv nu som övning ett induktionsbevis. 15. Bevisa med induktion att k (k +1) = 1 n (n +1)(n +) 3 för alla positiva heltal n 16. Med tanke på hur föregående två formler ser ut, så är det väl inte helt otänkbart att k (k +1)(k +) = 1 n (n +1)(n +)(n +3) 4 för alla positiva heltal n Skriv ner ett induktionsbevis! 17. Titta på de tre formlerna närmast ovan, gissa och bevisa med induktion en formel för k (k +1)(k +)(k +3) 19. Förenkla P n ( 1)k k P n k 0. ( 1) k 1 k (k +1)=? 1. Vad är det för fel på nedanstående "induktionsbevis" för att n = 1 8 (n +1) för alla n? Om (n 1) = 1 8 (n 1), så (n 1) + n = 1 8 ( (n 1) 1) + n = = 1 4n 4n n = = 1 4n +4n +1 = 8 = 1 (n +1) 8. Vad är felet med följande induktionsbevis för att alla människor är av samma kön? Induktion över antalet människor n. Om n =1är påståendet trivialt sant. Antag att det är sant för grupper om n 1 personer ochbetraktaengruppg med n personer. Numrera personerna 1,, 3,..., n. Skriv G = G 1 G där G 1 består av personer 1,,..., n 1 och G består av personer, 3,... n. Enligt induktionsantagandet är alla i G 1 av samma kön som och alla i G också av samma kön som, varav alla i G måste vara av samma kön. 18. Räknar man ut 1 k (k +1) för n =1,, 3,..., 10 fås talen 1, 3, 3 4, 4 5, 5 6, 6 7, 7 8, 8 9, 9 10, Gissa en sluten formel för summan och bevisa dess riktighet med induktion. 7

8 Hur hittar man formlerna? Ett induktionsbevis för en formel förutsätter att man, på något sätt, anat sig till den riktiga formeln. Uppgifterna här är valda med ambitionen att denna "upptäcktsfas" inte kommer bort. Läroböcker, som tar upp induktion, brukar annars överflöda på övningar, i vilka en formel "slängs från ovan", t.ex n n (n +1)(n +1) = 6 Kan man gissa sig till sådana formler? Naturligtvis, ju mer erfarenhet man har, desto mer kvalificerade gissningar skulle man kunna göra. Om man nu redan vet att n = n (n +1) n 3 = n (n +1) så skulle man kunna lägga märke till att högerleden är polynom i n av grad resp. 4, utan konstant term, och då är det inte så långsökt att förmoda att n = polynom i n av grad 3, utan konstant term = an 3 + bn + cn Vad konstanterna a, b, c måste vara (ifall vår gissning är riktig) är lätt att se : Insättning av några specifika värden på n ger ett ekv.system, ur vilket a, b, c bör kunna lösas ut : a + b + c =1 (n =1) 8a +4b +c =5 (n =) 7a +9b +3c =14 (n =3) a =1/3 b =1/ c =1/6 4 Stirrar man tillräckligt länge på summans värden för små n och motsvarande för n n P k P k kan man kanske upptäcka regelbundenheten i följden av kvoter : (T.ex = 9 3, = 11 3, 91 1 = 13 3 ) P k P :1, 5 k 3, 7 3, 9 3, 11 3, 13 3, 15 3, 17 3, 19 3 Man leds till hypotesen att P n P k n +1 n k = 3 k = = n +1 3 n +1 3 Upprepad differensbildning : k = n (n +1) Man kan visa att man får en konstant följd efter differensbildning n gånger då och endast då följden ges av ett polynom av grad n. Många av de formler läroböcker ger som övningar på induktion kan emellertid härledas på andra sätt som gör induktionsbevis överflödiga. Nu kan vi sätta igång med induktionsbeviset! 8

9 Produkter med induktion 3. a) Följande produkt kan faktiskt minst lika enkelt framställas som en summa. Skriv med summatecken! (Utveckla parenteserna för n =0, 1,, 3, så ser du ett mönster!) ny ³1+x k k=0 b) Har du gjort rätt i (a), har du fått en summa som det finns en formel för, så uttrycket går att förenkla ytterligare. Hurblirdet? 4. Betrakta polynom av typ Y (x ± a1 ± a ±...± a n ) där a 1,a,a 3,...,a n är positiva heltal och vi bildar produkten över alla möjliga n teckenkombinationer. Visa att sådana polynom har heltalskoefficienter. Dold induktion Inte sällan ligger matematisk induktion dold. Man låter bli att skriva ut detaljerna formellt, utan nöjer sig med o.s.v., "...", eller något i den stilen. 5. Alla läroböcker skriver upp distributiva lagen (a 1 + a ) b = a 1 b + a b men i praktisk räkning använder vi ofta en skenbart starkare lag : (a 1 + a a n ) b = a 1 b + a b a n b 6. För två godtyckliga komplexa tal har vi triangelolikheten: z + w z + w Kan den generaliseras till fler än två tal? Är för alla komplexa tal z 1,z,..., z n z 1 + z z n z 1 + z z n? 7. Formulera och bevisa med induktion generaliseringen av regeln för derivation av produkt till produkter av fler än två faktorer : (fgh) 0 = f 0 gh + fg 0 h + fgh 0 och analogt för fler än tre faktorer (PB, avsn.3.3, expedierar den med "naturligtvis...".) Iterationen av rekursionsformlerna på föregående sidor i detta häfte! 9

10 Successiv elimination för linjära ekv.system 8. Du har i skolan löst linjära ekvationssystem med ekvationer och obekanta ( -system), möjligen också system med 3 ekv. och 3 obekanta. Hur gör man med ännu större system, som t.ex. x y z + w = 1 3x + 4y + 7z 1w = x 4y 3z w = 1 5x y 3z 31w = 0 Finns någon metod att klara av godtyckligt stora ekvationssystem? Ja, om alla ekvationerna är linjära som ovan. Proceduren kallas successiv elimination (eller Gausselimination) och tas upp i kursen Linjär algebra. men vi kan här påpeka att huvudidén är just induktion/rekursion: Om vi kan klara av ett system med n ekvationer, så kan vi också klara av ett system med n+1 ekvationer. I och med att vi kan klara av ett system med 1 ekvation enbart, så följer det av induktionsprincipen att vi kan klara av ett godtyckligt stort system. Vi kan reducera oss till system med färre antal ekvationer med hjälp av följande observation: Låt A, B, C och D stå för vilka uttryck som helst, t.ex. kan A stå för x y z +w och B för 1 och då kan vi skriva första ekvationen i systemet ovan som A = B. (Fast A, B, C och D behöver inte vara linjära!) Låt vidare k ståförettgodtyckligttal.då gäller ½ A = B C = D ½ A = B C + ka = D + kb (Med ord: Om de två likheterna till vänster är sanna, så är också de två likheterna till höger sanna, och omvänt: om likheterna till höger är sanna, så måste även likheterna till vänster vara sanna subtrahera ka = kb från andra ekvationen till höger, så fås ju andra ekvationen till vänster.) Detta betyder att vi i ett ekvationssystem kan addera en multipel av en ekvation till någon annan ekvation utan att därvid förändra lösningsmängden.? Nu låter vi A = B symbolisera just första ekvationen i systemet ovan, medan C = D symboliserar först den andra, sedan den tredje och slutligen den fjärde ekvationen i systemet. Samtidigt låter vi k stå för 3 resp. resp. 5 och ersätter C = D med C +ka = D + kb. T.ex. får vi den sista ekvationen nedan ur (5x y 3z 31w) 5(x y z +w) = 0 5( 1). Vi får följande ekvivalenta system x y z + w = 1 y + z 6w = 1 y + z 6w = 10 4y + 7z 41w = 15 Nu räcker det att kunna lösa ett system med 3 ekvationer, nämligen y + z 6w = 1 y + z 6w = 10 4y + 7z 41w = 15 För varje lösning (y,z, w) till detta delsystem, får vi en lösning till vårt ursprungliga genom att ta x = y +z w 1, så att även den första ekvationen blir uppfylld. Omvänt, måste varje lösning till det ursprungliga systemet ge även en lösning till delsystemet, så vi kan inte missa några lösningar! Obs. att om man ställer som uppgift: "Formulera ett induktionsbevis för att varje linjärt ekvationssystem går att lösa exakt.", så gäller det att tänka : Här finns två parametrar som beskriver problemets storlek : antalet ekvationer = m, och antalet obekanta = n. Teoretiskt sett finns olika alternativ : Induktion "efter n", med resonemang som fungerar för godtyckligt m; Ytterst induktion efter n, och innerst, för varje givet n, induktion efter m; Omvänt: som alt., men med m och n utbytta mot varandra; Någon slags "kombination" där m och n ökar kopplade till varandra, t.ex. att induktionssteget är: Om det går att lösa varje system med m p och n p, så går det att lösa även varje system med m p +1och n p +1 10

11 Induktionsbevis som alternativ 9. Visa att ur de två deriveringsreglerna (D står för derivatan av ) följer att Dx = 1 D (fg) = (Df) g + f (Dg) Dx n = nx n 1 för alla positiva heltal n. (PB, avsn. 3. använder binomialsatsen.) 30. Formulera ett induktionsbevis för binomialsatsen. 31. Ge ett induktionsbevis (det finns alternativ!) för att en mängd med n element har n olika delmängder (den tomma delmängden inräknad). 3. Visa med induktion (finns enklare sätt!) att x +1är en faktor i x n+1 +1för varje heltal n>0 x 3 +1 = (x +1) x x +1 x 5 +1 = (x +1) x 4 x 3 + x x Induktionsbevis & rekursiva definitioner 33. Det bör inte komma som någon stor överraskning att induktionsbevis brukar vara särskilt lämpade för rekursivt definierade talföljder och andra strukturer varför? 34. Utnyttja den rekursiva def. av utslagsturneringar till att bevisa att totala antalet matcher i en sådan turnering med n spelare är... (Du får själv lista ut antalet.) 35. Talföljden (a n ) n=0 definieras genom a 0 = 1 a n+1 = a n + n Finn en sluten formel för a n. 36. Den oändliga talföljden a 1,a,a 3,...definieras genom Beräkna a 005. a 1 = 1 a = 1 a 3 = 1 a n = a n 1 a n 3, för n Bestäm en icke-rekursiv formel för a n om a 0 = 1, a =, a n = 3a n 1 a n, n 38. Låt (a n ) n=1 definieras av a 0 = 1 a 1 = 1 a n = 5a n 1 6a n, n Visa att a n = n 3 n Låt a 1 och a vara två godtyckliga tal. Låt sedan a n+1 = 1 n (a 1 + a a n ), n Vad får man för följd då? 40. Talföljden a 0 = a, a 1,a,... uppfyller rekursionsekvationen a n a n+1 = 1+a n (a) Uttryck a 1,a,a 3 och a 4 i a. (b) Uttryck a n i a. 11

12 41. För talföljden a 1 = a, a,a 3,... gäller (k +1)a k+1 ka k =1 Uttryck a,a 3,a 4 i a. Ange en sluten formel för a n. 4. Givet ett x 0 6= 1, 0, 1, bildar vi successivt x n+1 = x n 1 x n +1 Vad måste x 0 ha varit, om x 001 =3? Tips: Visa att x n+1 = x n Låt a 1 = 1 a n+1 = 6a n +5 a n + Visa att 0 <a n < 5 för alla n. 44. Antag att ett träds grenverk växer på följande sätt. Under en grens två första år växer det inte ut några nya grenar. Fr.o.m. det tredje levnadsåret växer det emellertid varje år ut två nya grenar. Hur många grenar har trädet efter n år om vi antar att trädet från början bestod av tre grenar? 45. Talföljden (a n ) n=1 uppfyller 48. Med utgångspunkt i och 7 bygger man upp en oändlig följd av siffror genom att successivt multiplicera på varandra följande ensiffriga tal och lägga till produktens siffror på slutet:, 7, 1, 4, 7, 4,, 8,, 8, 8, 1, 6, 1, 6, 1, 6, 6, 4,... (Här har man alltså startat med, 7, beräknat 7=14och utökat följden till, 7, 1, 4, beräknat 7 1 och utökat till, 7, 1, 4, 7, beräknat 1 4 och utökat till, 7, 1, 4, 7, 4, beräknat 4 7 och utökat till, 7, 1, 4, 7, 4,, 8, etc.) Visa att den här följden kommer att innehålla oändligt många sexor. Tips: Skriv ut några tiotal siffror till. Lägg märke till att långtifrån alla ett- och tvåsiffriga tal förekommer som produkter. Försök att bevisa att endast ett visst begränsat antal produkter kan dyka upp. Vilka avdessakanfortsättaattförekommaifalldetinte längre finns några sexor? a n = 1 (a n 1 + a n ) för alla n 3 Visa att lim a n existerar n oavsett vad a 1 och a är och beräkna det. 46. Betrakta talföljden a 0 = 9 a n+1 = 3a 4 n +4a 3 n Visa att a 10 innehåller fler än 1000 st. nior, när det skrivs på decimalform! (Tips: Med dator fås a 1 = 599, a = a 3 = tal som slutar på 8 st. nior a 4 = tal som slutar på 16 st. nior så det kanske räcker att titta på niorna i slutet och visa att enbart de är fler än 1000 st. för a 10? Binomialsatsen kan komma till användning.) 47. Talföljden (a k ) n, där n är ett stort tal, uppfyller a 1 = n a 1 + a a k = k a k för alla k>1 Vad är a n? (Förenkla så mycket som möjligt.) 1

13 Fibonacci- och Lucastalen Betrakta talföljden 0, 1, 1,, 3, 5, 8, 13, 1, 34, 55, 89, 144, 33, 377, 610,... Vi betecknar talen F 0,F 1,F, Mellan varje trippel av på varandra följande tal råder ett enkelt samband upptäck och formulera det i form av en s.k. rekursionsekvation! 50. Rekursionsekvationen, tillsammans med värdena på de första två talen, bestämmer entydigt en oändlig talföljd (F n ) n=0 och utgör en s.k. rekursiv definition av följden formulera den definitionen! Vi antar att det är den följden vi ovan ser de första talen utav! 51. Bilda en ny talföljd s n = F 0 + F F n Skriv ner de första s n och jämför dem med F n. Det verkar finnas ett enkelt samband, eller hur? Formulera och bevisa det sambandet! 5. Som föregående, men med s n = F 1 + F 3 + F F n Som föregående, men med s n = F + F 4 + F F n 54. Som föregående, men med s n = F 1 + F... + F n Ledning: Jämför s n med F n och F n Som föregående, men med s n = n 1 X 56. Som föregående, men med s n = k=0 F k F k+1 F k F k Återigen samma fråga, men med µ n s n = F k k Tips: Betrakta även t n = k=0 µ n F k+1 k och gör ett induktionsbevis för s n och t n samtidigt. De s.k. Lucastalen L n definieras genom L 1 = 1 L n = F n+1 + F n 1 för n =, 3, Även Lucastalen satisfierar en enkel rekursionsekvation vilken? 59. Ge en definition av Lucastalen som inte hänvisar till Fibonaccitalen. 60. Vad är det för fel på följande induktions bevis för att L n = F n för alla n? Induktionsbörjan: L 1 =1=F 1 Induktionssteget: Antag att L k = F k för k =1,,..., n. Då är L n+1 = [enl. föregående uppgift] = = L n + L n 1 = [enl. induktionsantagandet] = F n + F n 1 = [enl. Fibonaccitalens rekursionssamband] = F n Jämför produkterna F n L n,n=1,, 3,... med Fibonaccitalen. Formulera och bevisa ett generellt samband! Tips: Det kan vara lämpligt att parallellt bevisa en formel för 6. Visa att 63. Visa att F n+1 L n + F n L n+1 k 1 L k = n F n+1 1 L n < µ n 7 för alla n Försök att bestämma ett så litet a som möjligt, sådant att det finns någon konstant C så att L n Ca n, för alla n 13

14 65. Visa att Fibonaccitalen F n uppfyller F m+n = F m 1 F n + F m F n+1 för alla m, n 66. Visa att F mn är delbart med F m. 67. (Zeckendorfs sats) Observera att 4=1+3 6=1+5 7=+5 9=1+8 10=+8 5= = = = = =+13 88= = = = = = = Det verkar som om varje positivt heltal kan skrivas som en summa av en eller flera olika Fibonaccital, som inte är grannar i följden. Gäller detta för alla positiva heltal? Är framställningen entydig, d.v.s. finns det högst en summa av ovanstående typ, som ger ett visst heltal, eller kan det finnas fler? (Varje gång man ställs inför ett problem, så frågar man sig om man stött på något närbesläktat, så att man skulle kunna kopiera dess lösning. Den mest närbesläktade frågan i detta sammanhang är väl: Hur övertygar man sig att varje heltal har en och endast en framställning i basen 10, i basen, etc.) 68. Använd rekursionsformeln för F n till att beräkna vad den oändliga summan (gränsvärdet) X k=0 F k k def. = lim måste vara, om det existerar. NX N k=0 F k k 69. Vi vill få en övre begränsning på hur stora talen F n kan bli. Försök att med hjälp av rekursionsformeln samt induktion hitta tal M med följande egenskap: Det finns någon konstant C, sådan att F n C M n för alla n Konstanten C får variera med M ju mindre M, desto större C kan vi tvingas tillgripa. Om man vill ha så bra begränsning som möjligt för alla tillräckligt stora n, så är emellertid viktigast att hålla M liten, t.ex À 5 men n n för stora n Vilket är det minsta M du kan hitta på detta sätt? 70. Har du fått en tillräckligt bra uppskattning i föregående uppgift, kan du nu bevisa att summorna NX k=0 F k k är begränsade och följaktligen konvergerar mot ett gränsvärde det som räknades ut i fråga

15 71. Låt a 1 = 1, a = 1, a 3 = 13,... a 9 = (a) Ange en allmän formel för talen av typ a n = något Xmed n något med n (b) Ange en (alternativ) rekursiv definition av talföljden: a 1 =... a n = uttryck i a n 1 (c) Lägg märke till följande lustiga likheter: 9 1+ = = = = = Frestande att tänka sig en fortsättning 9 (...???...) + 11 = (...???...) + 1 = men vilka tal skall i så fall stå efter 9:an? Kanduangeenenkelmetodatttaframdem (med papper och penna enbart, helst)? Om du menar att mönstret kan fortsättas i all oändlighet, kan du också bevisa att din metod fungerar i all oändlighet? 7. Det här problemet handlar om en oändlig följd av positiva heltal som är Låt f (1),f(),f(3),... i) växande, d.v.s. f (k) f (k +1) ii) "självbeskrivande" i den meningen att f (k) = antalet gånger talet k förekommer i följden g (k) = det största heltalet j sådant att f (j) =k (a) Förklara varför följden måste innehålla alla positiva heltal och ha följande principiella utseende: 1,..., 1,,...,, 3,..., 3,... {z } {z } {z } några 1:or några :or några 3:or (b) Vad måste de 15 första talen i följden vara? (c) Visa att det finns exakt en följd av denna typ. (d) Visa att följden kan definieras så här f (1) = 1 f (n) = 1+f (n f (f (n 1))), n > 1 (e) Förklara varför (f) Uttryck m.h.a. g g (k) = kx f (j) j=1 kf (k) (g) Visa att g (g (g (n))) = 1 ng (n)(g (n)+1) 1 n 1 X g (k)(g (k)+1) 15

16 Ackermanns funktion N N N definieras av A (0,n) = n +1 A (m, 0) = A (m 1, 1) A (m, n) = A (m 1,A(m, n 1)) 73. Härled en formel för A (1,n) 74. Härled en formel för A (,n) 75. Härled en formel för A (3,n) 76. Härled en formel för A (4,n) 77. Visa att A (m, n) m + n +1 Induktionsbevis & rekursiva definitioner II Man får vara beredd att själv formulera rekursiva definitioner. 78. Låt F m,n = antalet surjektiva funktioner som man kan definiera från en mängd med m element till en mängd med n element. (a) Hitta ett samband mellan F m+1,n,f m,n och F m,n 1 (b) Visa att upprepad användning av rekursionssambandet leder till en formel av typ F m,n = a n,k k m k=0 (c) Verifiera formeln med induktion. 16

17 Josephusproblemet Under det judiska upproret mot romarna blir 41 st. rebeller innestängda i en grotta. För att undvika slaveri, bestämmer de sig för kollektivt självmord efter följande procedur: De ställer sig i en ring och räknar runt. Den tredje personen dödas, varefter ringen sluts och man räknar vidare till 3 bland dem som är kvar, dödar den personen, o.s.v. Så håller man på tills endast en man återstår, som får ta sitt eget liv själv. Detärintesvårtatträknapåkonkretafall för k n 10 får man S (n, k) till nâk men kan man hitta en allmängiltig formel? 79. Betrakta specialfallet k =. Låt, för korthets skull, J n = S (n, ). Förklara varför (a) (b) J n =J n 1 J n+1 =J n (Forts.) Med rekursionsformlerna ovan och det uppenbara J 1 =1 Att vi känner till den här historien beror emellertid på att den siste mannen inte hade modet att begå självmord, utan levde vidare och blev en världsberömd historiker Flavius Josephus. Nåja, den historien är nog inte riktigt sann en version påstår rentav att Josephus räknade ut var han skulle ställa sig för att överleva men faktum är att Flavius Josephus (37 ca 100) deltog i det judiska upproret mot romarna år e.kr. och på ett mirakulöst sätt undkom en massaker i vilken alla hans medkämpar stupade. Hur det nu vara månde, Josephusproblemet har blivit en klassiker i underhållningsmatematiken : n personer står i en ring, numrerade från 1 till n. Man räknar runt och var k:te person tas bort. Bestäm S (n, k) = numret på den som lämnar ringen sist kan vi snabbt räkna ut J n för vilket n som helst. Försök dock få fram en sluten (icke-rekursiv) formel för J n. 81. En variant av Josephushistorien hävdar att Josephus var i maskopi med en kamrat och de räknade ut hur de skulle placera sig i ringen för att överleva längst. Låt I n vara numret på den som lämnar ringen näst sist i fallet k =. Ställ upp rekursionsformler för I n liknande de för J n. 8. (Forts.) Tag fram en sluten formel för I n. 83. Vi har n personer i en ring, varav de n första är "goda", medan de sista n är "onda". Visa att det alltid går att hitta k (inte nödvändigtvis n och, naturligtvis, beroende på n) sådant att, om man skjuter var k:te man, så är det de onda som försvinner först! 17

18 Olikheter med induktion 84. Utan räkning kanduinseatt för alla x>0 och alla heltal n>1 (1 + x) n > 1+nx (Hur så?) Visa nu, förslagsvis med induktion, att olikhetenärsannävendå 1 <x< Visa att om 0 <a k < 1 för k =1,, 3,..., n, så ny (1 a k ) 1 (Det s.k. produkttecknet Y fungerar precis som summatecken men genererar en produkt i stället: ny (1 a k )=(1 a 1 )(1 a )... (1 a n ) 86. Visa med induktion att 87. Visa med induktion att för alla positiva heltal n a k n >n för alla heltal n>4 n n (n +1) n 1 Tips: Såväl n n (n +1) n 1 som (n +1) n+1 (n +) n kan omformas till µ n??? n +1??? 88. µ n q n n n Låt (H som i harmonisk serie) H 1 = 1 H = 1+ 1 för alla n 1 H 3 = H n = n Visa att för alla heltal n 1: (a) H n 1+n (b) (c) (d) H k =(n +1)H n n kh k = 1 n (n +1)H n+1 1 n (n +1) 4 H n+1 1 H n = k=0 1 k Visa att µ n n +1 n! < för alla heltal n 91. Visa, förslagsvis med induktion, att ³ n n ³ n n <n! < för alla n 6 3 Du får utnyttja att µ 1+ n 1 n % e d.v.s. att talföljden µ 1+ 1 n n d.v.s växer mot talet e = , alltså ligger alla tal av den typen i intervallet [,e). 9. Skärp den vänstra olikheten i föregående uppgift till ³ n n <n! e 93. Visa att (n!) >n n för alla n> och dessutom (n!) n n %, när n % 94. Låt a 1,a,..., a n vara givna heltal. Hur många n-tupler (x 1,x,..., x n ) med x i =0eller 1 finns det sådana att a 1 x 1 + a x + a 3 x a n x n = udda heltal? 18

19 95. Skriv upp en rekursiv definition av följden a 1 = = a = = a 3 = = a n = ett "potenstorn" med n st. 96. (Forts.) Visa att "tornföljden" är växande. 97. (Forts.) Visa att tornföljden är uppåt begränsad. 98. (Forts.) Allmänt gäller att En följd av reella tal som är i) växande, och ii) uppåt begränsad har ett gränsvärde. Vad är gränsvärdet av potenstornföljden? 99. Avgör utan maskin, vilket av följande tal som är störst eller (ett "potenstorn" med 100 st. åttor) (ett "potenstorn" med 99 st. nior) 100. Ställ upp en rekursionsekvation för talföljden a n = x n + 1, n =0, 1,,... xn där x är något fixt reellt tal Visa att x + 1 x = heltal x n + 1 x n = heltal för alla heltal n 10. Under en matematiklektion skrev läraren upp ett tal på tavlan, låt oss kalla det x. Sedan fick eleverna beräkna x +1/x. Alla fick det korrekta svaret som var ett heltal. Den elev som satt längst fram fick då beräkna x +1/x, nästa elev fick räkna ut x 3 +1/x 3, nästa x 4 +1/x 4, o.s.v. En av eleverna fick svaret 13. Vad fick nästa elev för svar? 103. Betrakta talföljder som uppfyller a 0 = a 1 R a n+1 = a 1 a n a n 1 Studera m.h.a. dator (t.ex. Mathematica) hur de uppför sig för olika val av a 1, formulera några förmodanden och bevisa dem sedan. För dig som inte har tillgång till dator just nu, avslöjar jag några hypoteser som framkommit den vägen: (a) Om a 1 =, så a n =för alla n. (b) Om a 1 >, så är a n växande. (c) Om a 1, så a n för alla n : (d) Om a 0 = a 1 > 0 a n+1 = a 1 a n a n 1 och b 0 = b 1 = a 1 b n+1 = b 1 b n b n 1 så b n =( 1) n a n (e) Om a 0 = a 1 >b 1 a n+1 = a 1 a n a n 1 och b 0 = b 1 > b n+1 = b 1 b n b n 1 så a n >b n 19

20 "Bakåtinduktion" 104. För alla ickenegativa tal a och b gäller olikheten mellan aritmetiskt och geometriskt medelvärde a + b ab =(ab) 1/ Man kan fråga sig om den går att generalisera till fler än två tal, så här: a 1 + a a n n n a 1 a...a n =(a 1 a...a n ) 1/n (a) Visa att om generaliseringen är sann för n = p, så är den också sann för n =p. (Tips: Utnyttja resultatet i fallet n =.) För vilka heltal n är då olikheten bevisad? (b) Visa att om generaliseringen är sann för n = p, så är den också sann för n = p 1. Tips: Utöka mängden av de givna p 1 talen med A = a 1 + a a p 1 p 1 och observera att A = a 1 + a a p 1 + A p För vilka heltal n är nu olikheten bevisad? 105. Visa att för alla heltal n>1 gäller v s u r q t (n 1) n<3 Tips: Det kan vara lättare att fösöka bevisa en generellare olikhet : v s u r q t k (k +1) (k +)... (n 1) n<något "lämpligt" för alla heltal 1 <k n 0

REKURSION & INDUKTIONSBEVIS

REKURSION & INDUKTIONSBEVIS REKURSION & INDUKTIONSBEVIS Rekursiva definitioner Sluten formel (direkt formel) För t.ex. följden a 0 1,a 1,a,a 8,a 16,a 5,... är det lätt att skriva upp en formel som direkt visar hur talen fås ur sitt

Läs mer

Diverse beteckningar och formler som dyker upp i induktionsavsnittet, men även litet överallt annars:

Diverse beteckningar och formler som dyker upp i induktionsavsnittet, men även litet överallt annars: Talföljder Diverse beteckningar och formler som dyker upp i induktionsavsnittet, men även litet överallt annars: Talföljd En ändlig eller oändlig följd av tal uppställda i en bestämd ordning, t.ex. 1,,

Läs mer

inte följa någon enkel eller fiffig princip, vad man nu skulle mena med det. All right, men

inte följa någon enkel eller fiffig princip, vad man nu skulle mena med det. All right, men MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Christian Gottlieb Gymnasieskolans matematik med akademiska ögon Induktion Dag 2. Explicita formler och rekursionsformler. Dag mötte vi flera talföljder,

Läs mer

1, 2, 3, 4, 5, 6,...

1, 2, 3, 4, 5, 6,... Dagens nyhet handlar om talföljder, ändliga och oändliga. Talföljden 1,, 3, 4, 5, 6,... är det första vi, som barn, lär oss om matematik över huvud taget. Så småningom lär vi oss att denna talföljd inte

Läs mer

Induktion, mängder och bevis för Introduktionskursen på I

Induktion, mängder och bevis för Introduktionskursen på I Induktion, mängder och bevis för Introduktionskursen på I J A S, ht 04 1 Induktion Detta avsnitt handlar om en speciell teknik för att försöka bevisa riktigheten av påståenden eller formler, för alla heltalsvärden

Läs mer

1. Inledning, som visar att man inte skall tro på allt man ser. Betrakta denna följd av tal, där varje tal är dubbelt så stort som närmast föregående

1. Inledning, som visar att man inte skall tro på allt man ser. Betrakta denna följd av tal, där varje tal är dubbelt så stort som närmast föregående MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Christian Gottlieb Gymnasieskolans matematik med akademiska ögon Induktion Dag 1 1. Inledning, som visar att man inte skall tro på allt man ser. Betrakta

Läs mer

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson LÄSANVISNINGAR VECKA 36 VERSION 1. ARITMETIK FÖR RATIONELLA OCH REELLA TAL, OLIKHETER, ABSOLUTBELOPP ADAMS P.1 Real Numbers and the Real

Läs mer

Explorativ övning 5 MATEMATISK INDUKTION

Explorativ övning 5 MATEMATISK INDUKTION Explorativ övning 5 MATEMATISK INDUKTION Syftet med denna övning är att introducera en av de viktigaste bevismetoderna i matematiken matematisk induktion. Termen induktion är lite olycklig därför att matematisk

Läs mer

Explorativ övning 5 MATEMATISK INDUKTION

Explorativ övning 5 MATEMATISK INDUKTION Explorativ övning 5 MATEMATISK INDUKTION Syftet med denna övning är att introducera en av de viktigaste bevismetoderna i matematiken matematisk induktion. Termen induktion är lite olycklig därför att matematisk

Läs mer

Introduktion till algoritmer - Lektion 4 Matematikgymnasiet, Läsåret 2014-2015. Lektion 4

Introduktion till algoritmer - Lektion 4 Matematikgymnasiet, Läsåret 2014-2015. Lektion 4 Introduktion till algoritmer - Lektion 4 Matematikgymnasiet, Läsåret 014-015 Denna lektion ska vi studera rekursion. Lektion 4 Principen om induktion Principen om induktion är ett vanligt sätt att bevisa

Läs mer

ANDREAS REJBRAND 2014-04-25 Matematik http://www.rejbrand.se. Numeriska serier. Andreas Rejbrand, april 2014 1/29

ANDREAS REJBRAND 2014-04-25 Matematik http://www.rejbrand.se. Numeriska serier. Andreas Rejbrand, april 2014 1/29 Numeriska serier Andreas Rejbrand, april 2014 1/29 1 Inledning Författarens erfarenhet säger att momentet med numeriska serier är ganska svårt för många studenter i inledande matematikkurser på högskolenivå.

Läs mer

Matematik 5 Kap 2 Diskret matematik II

Matematik 5 Kap 2 Diskret matematik II Matematik 5 Kap 2 Diskret matematik II Inledning Konkretisering av ämnesplan (länk) http://www.ioprog.se/public_html/ämnesplan_matematik/struktur_äm nesplan_matematik/struktur_ämnesplan_matematik.html

Läs mer

Bonusmaterial till Lära och undervisa matematik från förskoleklass till åk 6. Ledning för att lösa problemen i Övningar för kapitel 5, sid 138-144

Bonusmaterial till Lära och undervisa matematik från förskoleklass till åk 6. Ledning för att lösa problemen i Övningar för kapitel 5, sid 138-144 Bonusmaterial till Lära och undervisa matematik från förskoleklass till åk 6 Ledning för att lösa problemen i Övningar för kapitel 5, sid 138-144 Avsikten med de ledtrådar som ges nedan är att peka på

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet 27 augusti 2013 Innehåll Linjära ekvationssystem

Läs mer

Tentamensskrivning i Diskret Matematik för CINTE och CMETE, SF1610, onsdagen den 20 augusti 2014, kl

Tentamensskrivning i Diskret Matematik för CINTE och CMETE, SF1610, onsdagen den 20 augusti 2014, kl 1 Matematiska Institutionen KTH Tentamensskrivning i Diskret Matematik för CINTE och CMETE, SF1610, onsdagen den 20 augusti 2014, kl 14.00-19.00. Examinator: Olof Heden Hjälpmedel: Inga hjälpmedel är tillåtna

Läs mer

Mer om reella tal och kontinuitet

Mer om reella tal och kontinuitet Kapitel R Mer om reella tal och kontinuitet I detta kapitel formulerar vi ett av de reella talens grundläggande axiom, axiomet om övre gräns, och studerar några konsekvenser av detta. Med dess hjälp kommer

Läs mer

SKOLORNAS MATEMATIKTÄVLING Svenska Matematikersamfundet. Lösningsförslag till naltävlingen den 20 november 2004

SKOLORNAS MATEMATIKTÄVLING Svenska Matematikersamfundet. Lösningsförslag till naltävlingen den 20 november 2004 SKOLORNAS MATEMATIKTÄVLING Svenska Matematikersamfundet Lösningsförslag till naltävlingen den 0 november 004 1. Låt A, C vara de två cirklarnas medelpunkter och B, D de två skärningspunkterna. Av förutsättningarna

Läs mer

MÖNSTER OCH TALFÖLJDER

MÖNSTER OCH TALFÖLJDER MÖNSTER OCH TALFÖLJDER FÖRELÄSNINGENS INNEHÅLL OCH SYFTE Genomgång av viktiga matematiska begrepp, uttryck och symboler med anknytning till mönster och talföljder. Skälet till att välja detta innehåll

Läs mer

MATEMATIKENS SPRÅK. Avsnitt 1

MATEMATIKENS SPRÅK. Avsnitt 1 Avsnitt 1 MATEMATIKENS SPRÅK Varje vetenskap, liksom varje yrke, har sitt eget språk som ofta är en blandning av vardagliga ord och speciella termer. En instruktionshandbok för ett kylskåp eller för en

Läs mer

Linjära ekvationssystem. Avsnitt 1. Vi ska lära oss en metod som på ett systematiskt sätt löser alla linjära ekvationssystem. Linjära ekvationssystem

Linjära ekvationssystem. Avsnitt 1. Vi ska lära oss en metod som på ett systematiskt sätt löser alla linjära ekvationssystem. Linjära ekvationssystem Avsnitt Linjära ekvationssystem Elementära radoperationer Gausseliminering Exempel Räkneschema Exempel med exakt en lösning Exempel med parameterlösning Exempel utan lösning Slutschema Avläsa lösningen

Läs mer

Kvalificeringstävling den 30 september 2008

Kvalificeringstävling den 30 september 2008 SKOLORNAS MATEMATIKTÄVLING Svenska Matematikersamfundet Kvalificeringstävling den 30 september 2008 Förslag till lösningar Problem 1 Tre rader med tal är skrivna på ett papper Varje rad innehåller tre

Läs mer

Diskret matematik: Övningstentamen 1

Diskret matematik: Övningstentamen 1 Diskret matematik: Övningstentamen 1 1. Bevisa att de reella talen är en icke-uppräknelig mängd.. För två mängder av positiva heltal A och B skriver vi A C B, om det är så att A innehåller ett heltal som

Läs mer

Matematisk kommunikation för Π Problemsamling

Matematisk kommunikation för Π Problemsamling Problemsamling Charlotte Soneson & Niels Chr. Overgaard september 200 Problem. Betrakta formeln n k = k= n(n + ). 2 Troliggör den först genom att exempelvis i summan +2+3+4+5+6 para ihop termer två och

Läs mer

Några saker som jag inte hann: Ur trigonometriska ettan kan vi uttrycka och i termer av. Vi delar båda led i trig. 1:an med :

Några saker som jag inte hann: Ur trigonometriska ettan kan vi uttrycka och i termer av. Vi delar båda led i trig. 1:an med : 1 Onsdag v 1 Några saker som jag inte hann: Ur trigonometriska ettan kan vi uttrycka och i termer av Vi delar båda led i trig 1:an med : Detta ger också att vi kan uttrycka : Formeln ger också en formel

Läs mer

Om plana och planära grafer

Om plana och planära grafer KTH Matematik Bengt Ek April 2006 Material till kursen 5B1118 Diskret matematik för CL3: Om plana och planära grafer I många sammanhang (t.ex. vid konstruktion av elektriska kretsar) är det intressant

Läs mer

Algebra I, 1MA004. Lektionsplanering

Algebra I, 1MA004. Lektionsplanering UPPSALA UNIVERSITET Matematiska Institutionen Dan Strängberg HT2016 Fristående, IT, KandDv, KandMa, Lärare 2016-11-02 Algebra I, 1MA004 Lektionsplanering Här anges rekommenderade uppgifter ur boken till

Läs mer

kvoten mellan två på varandra följande tal i en talföljd är konstant alltid lika stor.

kvoten mellan två på varandra följande tal i en talföljd är konstant alltid lika stor. Turen har kommit till geometriska talföljder och summan av en geometrisk talföljd. Talföljden 1,, 4, 8, 16, 3,... är ett exempel på en geometrisk talföljd. Utmärkande för en geometrisk talföljd är att

Läs mer

Mer om analytisk geometri

Mer om analytisk geometri 1 Onsdag v 5 Mer om analytisk geometri Determinanter: Då man har en -matris kan man till den associera ett tal determinanten av som också skrivs Determinanter kommer att repeteras och studeras närmare

Läs mer

Lösningar till utvalda uppgifter i kapitel 5

Lösningar till utvalda uppgifter i kapitel 5 Lösningar till utvalda uppgifter i kapitel 5 5.3. Vi använder Euklides algoritm och får 4485 = 1 3042 + 1443 3042 = 2 1443 + 156 1443 = 9 156 + 39 156 = 4 39. Alltså är sgd(3042, 4485) = 39. Om vi startar

Läs mer

INDUKTION OCH DEDUKTION

INDUKTION OCH DEDUKTION Explorativ övning 3 INDUKTION OCH DEDUKTION Syftet med övningen är att öka Din problemlösningsförmåga och bekanta Dig med olika bevismetoder. Vårt syfte är också att öva skriftlig framställning av matematisk

Läs mer

Komplexa tal: Begrepp och definitioner

Komplexa tal: Begrepp och definitioner UPPSALA UNIVERSITET Baskurs i matematik, 5hp Matematiska institutionen Höstterminen 007 Erik Darpö Martin Herschend Komplexa tal: Begrepp och definitioner Komplexa tal uppstod ur det faktum att vissa andragradsekvationer,

Läs mer

2 (6) k 0 2 (7) n 1 F k F n. k F k F n F k F n F n 1 2 (8)

2 (6) k 0 2 (7) n 1 F k F n. k F k F n F k F n F n 1 2 (8) De naturliga talen. Vi skall till att börja med stanna kvar i världen av naturliga tal, N 3. Vi har redan använt (i beviset av Euklides primtalssats) att de naturliga talen är uppbyggda (genom multiplikation)

Läs mer

Uppföljning av diagnostiskt prov Repetition av kursmoment i TNA001-Matematisk grundkurs.

Uppföljning av diagnostiskt prov Repetition av kursmoment i TNA001-Matematisk grundkurs. Uppföljning av diagnostiskt prov 06-0- Repetition av kursmoment i TNA00-Matematisk grundkurs. Reella tal, intervall, räta linjer, cirklar Faktorsatsen, faktoriseringar, polynomekvationer Olikheter Ekvationer

Läs mer

Bagarmossens skolas kravnivåer beträffande tal och talens beteckningar som eleven ska ha uppnått efter:

Bagarmossens skolas kravnivåer beträffande tal och talens beteckningar som eleven ska ha uppnått efter: Matematik 1-5 Skolan skall i sin undervisning i matematik sträva efter att eleven utvecklar intresse för matematik samt tilltro till det egna tänkandet och den egna förmågan att lära sig matematik och

Läs mer

Lutande torn och kluriga konster!

Lutande torn och kluriga konster! Lutande torn och kluriga konster! Aktiviteter för barn under Vetenskapsfestivalens skolprogram 2001 Innehåll 1 Bygga lutande torn som inte faller 2 2 Om konsten att vinna betingat godis i spel 5 3 Den

Läs mer

Enklare matematiska uppgifter

Enklare matematiska uppgifter Elementa Årgång 49, 966 Årgång 49, 966 Första häftet 2555. Visa att 4 n + n + 8 ej kan vara primtal för något heltal n 0. 2556. Man vill göra en behållare utan lock, som rymmer m 3, i form av en rätvinklig

Läs mer

Algoritmer, datastrukturer och komplexitet

Algoritmer, datastrukturer och komplexitet Algoritmer, datastrukturer och komplexitet Övning 6 Anton Grensjö grensjo@csc.kth.se 9 oktober 2015 Anton Grensjö ADK Övning 6 9 oktober 2015 1 / 23 Översikt Kursplanering Ö5: Grafalgoritmer och undre

Läs mer

Block 2 Algebra och Diskret Matematik A. Följder, strängar och tal. Referenser. Inledning. 1. Följder

Block 2 Algebra och Diskret Matematik A. Följder, strängar och tal. Referenser. Inledning. 1. Följder Block 2 Algebra och Diskret Matematik A BLOCK INNEHÅLL Referenser Inledning 1. Följder 2. Rekursiva definitioner 3. Sigmanotation för summor 4. Strängar 5. Tal 6. Övningsuppgifter Referenser Följder, strängar

Läs mer

Matematik Steg: Bas. Mål att sträva mot Mål Målkriterier Omdöme Åtgärder/Kommentarer

Matematik Steg: Bas. Mål att sträva mot Mål Målkriterier Omdöme Åtgärder/Kommentarer Matematik Steg: Bas ha en grundläggande taluppfattning som omfattar naturliga tal och enkla tal i talområdet 0-10 bråk- och decimalform ordningstal upp till 5 ha en grundläggande rumsuppfattning och kunna

Läs mer

ARITMETIK 3. Stockholms universitet Matematiska institutionen Avd matematik Torbjörn Tambour

ARITMETIK 3. Stockholms universitet Matematiska institutionen Avd matematik Torbjörn Tambour Stockholms universitet Matematiska institutionen Avd matematik Torbjörn Tambour ARITMETIK 3 I det här tredje aritmetikavsnittet ska vi diskutera en följd av heltal, som kallas Fibonaccis talföljd. Talen

Läs mer

18 juni 2007, 240 minuter Inga hjälpmedel, förutom skrivmateriel. Betygsgränser: 15p. för Godkänd, 24p. för Väl Godkänd (av maximalt 36p.

18 juni 2007, 240 minuter Inga hjälpmedel, förutom skrivmateriel. Betygsgränser: 15p. för Godkänd, 24p. för Väl Godkänd (av maximalt 36p. HH / Georgi Tchilikov DISKRET MATEMATIK,5p. 8 juni 007, 40 minuter Inga hjälpmedel, förutom skrivmateriel. Betygsgränser: 5p. för Godkänd, 4p. för Väl Godkänd (av maximalt 36p.). Förenkla (så mycket som

Läs mer

Lokal studieplan Matematik 3 8 = 24. Centrum för tvåspråkighet Förberedelseklass

Lokal studieplan Matematik 3 8 = 24. Centrum för tvåspråkighet Förberedelseklass Lokal studieplan Matematik 3 8 = 24 Centrum för tvåspråkighet Förberedelseklass 1 Mål att sträva mot Skolan skall i sin undervisning i matematik sträva efter att eleven S11 utvecklar intresse för matematik

Läs mer

2 Tillämpad Matematik I, Övning 1 HH/ITE/BN. De objekt som finns G men inte i H.

2 Tillämpad Matematik I, Övning 1 HH/ITE/BN. De objekt som finns G men inte i H. HH/ITE/BN Tillämpad Matematik I, Övning 0 3 Tillämpad Matematik I Övning Allmänt 0 Övningsuppgifterna, speciellt Typuppgifter i första hand, är exempel på uppgifter du kommer att möta på tentamen. På denna

Läs mer

Övningar. MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik. Linjär algebra 2. Senast korrigerad:

Övningar. MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik. Linjär algebra 2. Senast korrigerad: MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik Linjär algebra 2 Senast korrigerad: 2006-02-10 Övningar Linjära rum 1. Låt v 1,..., v m vara vektorer i R n. Ge bevis eller motexempel till

Läs mer

ÄNDLIGT OCH OÄNDLIGT AVSNITT 4

ÄNDLIGT OCH OÄNDLIGT AVSNITT 4 VSNITT ÄNDLIGT OCH OÄNDLIGT Är det möjligt att jämföra storleken av olika talmängder? Har det någon mening om man säger att det finns fler irrationella tal än rationella? Är det överhuvudtaget möjligt

Läs mer

TATM79: Föreläsning 1 Notation, ekvationer, polynom och olikheter

TATM79: Föreläsning 1 Notation, ekvationer, polynom och olikheter TATM79: Föreläsning 1 Notation, ekvationer, polynom och olikheter Johan Thim 15 augusti 2015 1 Vanliga symboler Lite logik Implikation: P Q. Detta betyder att om P är sant så är Q sant. Utläses P medför

Läs mer

Finaltävling i Stockholm den 22 november 2008

Finaltävling i Stockholm den 22 november 2008 SKOLORNAS MATEMATIKTÄVLING Svenska Matematikersamfundet Finaltävling i Stockholm den november 008 Förslag till lösningar Problem 1 En romb är inskriven i en konve fyrhörning Rombens sidor är parallella

Läs mer

Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter

Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter Inga Inga Inga Linjära ekvationssystem Vi har redan tidigare i kursen stött på linjära ekvationssystem. Nu är stunden kommen till en mera systematisk genomgång.

Läs mer

Läsanvisningar till kapitel 4 i Naturlig matematik

Läsanvisningar till kapitel 4 i Naturlig matematik Läsanvisningar till kapitel 4 i Naturlig matematik Avsnitt 4.1 I kapitel 4 kommer du att möta de elementära funktionerna. Dessa är helt enkelt de vanligaste funktionerna som vi normalt arbetar med. Här

Läs mer

MATEMATIK GU. LLMA60 MATEMATIK FÖR LÄRARE, GYMNASIET Analys, ht 2014. Block 5, översikt

MATEMATIK GU. LLMA60 MATEMATIK FÖR LÄRARE, GYMNASIET Analys, ht 2014. Block 5, översikt MATEMATIK GU H4 LLMA6 MATEMATIK FÖR LÄRARE, GYMNASIET Analys, ht 24 I block 5 ingår följande avsnitt i Stewart: Kapitel 2, utom avsnitt 2.4 och 2.6; kapitel 4. Block 5, översikt Första delen av block 5

Läs mer

y y 1 = k(x x 1 ) f(x) = 3 x

y y 1 = k(x x 1 ) f(x) = 3 x Räta linjen på olika former Här ska vi bara påpeka att förutom k-form, den som vi är mest vana vid y = k y + m finns också allmän form: ax + by + c = 0 där a och b är konstanter, som inte någon står för

Läs mer

Mer om kontinuitet. Kapitel K. K.1 Övre och undre gräns

Mer om kontinuitet. Kapitel K. K.1 Övre och undre gräns Kapitel K Mer om kontinuitet I detta kapitel bevisar vi Sats 3.1, som säger att en kontinuerlig funktion av typen R 2 R på ett kompakt område antar ett största och ett minsta värde. Vi studerar dessutom

Läs mer

(A B) C = A C B C och (A B) C = A C B C. Bevis: (A B) C = A C B C : (A B) C = A C B C : B C (A B) C A C B C

(A B) C = A C B C och (A B) C = A C B C. Bevis: (A B) C = A C B C : (A B) C = A C B C : B C (A B) C A C B C Sats 1.3 De Morgans lagar för mängder För alla mängder A och B gäller att (A B) C = A C B C och (A B) C = A C B C. (A B) C = A C B C : A B A C (A B) C B C A C B C (A B) C = A C B C : A B A C (A B) C B

Läs mer

Matematiska uppgifter

Matematiska uppgifter Elementa Årgång 67, 984 Årgång 67, 984 Första häftet 3340. a) Vilket av talen A = 984( + + 3 + + 984 ) är störst? b) Vilket av talen B 3 = 3 + 3 + 3 3 + + 984 3 är störst? A / = 984( + + 3 + + 984) B =

Läs mer

MATEMATISK INDUKTION. Syftet med denna övning är att introducera en av de viktigaste bevismetoderna i matematiken

MATEMATISK INDUKTION. Syftet med denna övning är att introducera en av de viktigaste bevismetoderna i matematiken Explorativ övning LMA100 ht 2002 MATEMATIS INDUTION Syftet med denna övning är att introducera en av de viktigaste bevismetoderna i matematiken matematisk induktion. Termen induktion är lite olycklig därför

Läs mer

TATM79: Föreläsning 2 Absolutbelopp, summor och binomialkoefficienter

TATM79: Föreläsning 2 Absolutbelopp, summor och binomialkoefficienter TATM79: Föreläsning Absolutbelopp, summor och binomialkoefficienter Johan Thim 15 augusti 015 1 Absolutbelopp Absolutbelopp Definition. För varje reellt x definieras absolutbeloppet x enligt { x, x 0 x

Läs mer

matematik Prov, Övningsblad och Aktiviteter SANOM A UT B IL DNI NG

matematik Prov, Övningsblad och Aktiviteter SANOM A UT B IL DNI NG matematik b Prov, Övningsblad och Aktiviteter SANOM A UT B IL DNI NG Övningsblad Potenser Multiplikation och division av potenser samt potens av potens Potenslagar Multiplikation av potenser med samma

Läs mer

Bisektionsalgoritmen. Kapitel Kvadratroten ur 2

Bisektionsalgoritmen. Kapitel Kvadratroten ur 2 Kapitel 4 Bisektionsalgoritmen Vi ska konstruera lösningar till algebraiska ekvationer av formen f(x) = 0 med hjälp av bisektionsalgoritmen (intervallhalveringsmetoden). På samma gång ska vi se hur man

Läs mer

2 = 2. Tal skrivna på det sättet kallas potenser. I vårt fall har vi tredje tvåpotensen. Tredje tvåpotensen har 2 som bas och 3 som

2 = 2. Tal skrivna på det sättet kallas potenser. I vårt fall har vi tredje tvåpotensen. Tredje tvåpotensen har 2 som bas och 3 som 616 Talföljder på laborativt vis Vikt papper Vik ett A-4 ark mitt itu så att du får två stycken A-5 ark. Vik det en gång till på samma sätt. Hur stora och hur många är dina ark? Vad händer om du fortsätter?

Läs mer

Övningshäfte 1: Logik och matematikens språk

Övningshäfte 1: Logik och matematikens språk GÖTEBORGS UNIVERSITET MATEMATIK 1, MMG200, HT2014 INLEDANDE ALGEBRA Övningshäfte 1: Logik och matematikens språk Övning A Målet är att genom att lösa och diskutera några inledande uppgifter få erfarenheter

Läs mer

Konsten att lösa icke-linjära ekvationssystem

Konsten att lösa icke-linjära ekvationssystem Konsten att lösa icke-linjära ekvationssystem Andreas Axelsson Vi beskriver här de grundläggande teknikerna för att lösa icke-linjära ekvationssystem. Detta är en nödvändig kunskap för att kunna lösa diverse

Läs mer

Övningshäfte 6: 2. Alla formler är inte oberoende av varandra. Försök att härleda ett par av de formler du fann ur några av de övriga.

Övningshäfte 6: 2. Alla formler är inte oberoende av varandra. Försök att härleda ett par av de formler du fann ur några av de övriga. GÖTEBORGS UNIVERSITET MATEMATIK 1, MAM100, HT2005 MATEMATISK BASKURS Övningshäfte 6: Syftet med övningen är att utforska strukturen hos talsystemen under addition respektive multiplikation samt sambandet

Läs mer

INDUKTION OCH DEDUKTION

INDUKTION OCH DEDUKTION AVSNITT 3 INDUKTION OCH DEDUKTION Med induktion menar man vanligen en mycket vanlig resonemangsmetod: man gör flera observationer, upptäcker ett mönster (eller något som man tror är ett mönster) och därefter

Läs mer

Moment 5.5 Övningsuppgifter I 5.60a. 5.60b, 5.60.c, 61

Moment 5.5 Övningsuppgifter I 5.60a. 5.60b, 5.60.c, 61 Moment 5.5 Övningsuppgifter I 5.0a. 5.0b, 5.0.c, 1 Linjära ekvationssystem Vi har redan tidigare i kursen stött på linjära ekvationssystem. Nu är stunden kommen till en mera systematisk genomgång. Kvadratiska

Läs mer

Kimmo Eriksson 12 december 1995. Att losa uppgifter av karaktaren \Bevisa att..." uppfattas av manga studenter

Kimmo Eriksson 12 december 1995. Att losa uppgifter av karaktaren \Bevisa att... uppfattas av manga studenter Kimmo Eriksson 12 december 1995 Matematiska institutionen, SU Att genomfora och formulera ett bevis Att losa uppgifter av karaktaren \Bevisa att..." uppfattas av manga studenter som svart. Ofta ar det

Läs mer

7x 2 5x + 6 c.) lim x 15 8x + 3x 2. 4. Bestäm eventuella extrempunkter, inflexionspunkter samt horizontella och vertikala asymptoter

7x 2 5x + 6 c.) lim x 15 8x + 3x 2. 4. Bestäm eventuella extrempunkter, inflexionspunkter samt horizontella och vertikala asymptoter TM-Matematik Mikael Forsberg 074-42 Pär Hemström 026-648962 För ingenjörs och distansstudenter Envariabelanalys ma04a 202 06 04 Skrivtid: 09:00-4:00. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga

Läs mer

TATM79: Föreläsning 2 Absolutbelopp, summor och binomialkoefficienter

TATM79: Föreläsning 2 Absolutbelopp, summor och binomialkoefficienter TATM79: Föreläsning 2 Absolutbelopp, summor och binomialkoefficienter Johan Thim 2 augusti 2016 1 Absolutbelopp Absolutbelopp Definition. För varje reellt x definieras absolutbeloppet x enligt { x, x 0

Läs mer

Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1

Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 Anvisningar Avsikten med följande frågor är att hjälpa dig med självkontroll av dina kunskaper. Om du känner dig osäker på svaren bör du slå upp motsvarande

Läs mer

Relationer. 1. Relationer. UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Erik Melin. Specialkursen HT07 23 oktober 2007

Relationer. 1. Relationer. UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Erik Melin. Specialkursen HT07 23 oktober 2007 UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Erik Melin Specialkursen HT07 23 oktober 2007 Relationer Dessa blad utgör skissartade föreläsningsanteckningar kombinerat med övningar. Framställningen är

Läs mer

M0038M Differentialkalkyl, Lekt 15, H15

M0038M Differentialkalkyl, Lekt 15, H15 M0038M Differentialkalkyl, Lekt 15, H15 Staffan Lundberg Luleå Tekniska Universitet Staffan Lundberg M0038M H15 1/ 15 Repetition Lekt 14 Bestäm följande gränsvärden cos x tan x lim x 0 x x + ln ( e 2x

Läs mer

Prov 1 2. Ellips 12 Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad 20.5.2010. a) i) Nollställen för polynomet 2x 2 3x 1:

Prov 1 2. Ellips 12 Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad 20.5.2010. a) i) Nollställen för polynomet 2x 2 3x 1: Ellips Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad.. Prov a) i) ii) iii) =,, = st 9,876 =,9876,99 = 9,9,66,66 =,7 =,7 Anmärkning. Nollor i början av decimaltal har ingen betydelse

Läs mer

Matematiska uppgifter

Matematiska uppgifter Årgång 54, 1971 Första häftet 8. Bestäm alla reella tal x sådana att x 1 3 x 1 + < 0 (Svar: {x R: 1 < x < 0} {x R: < x < 3}) 83. Visa att om x > y > 1 så är x y 1 > x y > ln(x/y). 84. Undersök om punkterna

Läs mer

x f (x) dx 1/8. Kan likhet gälla i sistnämnda relation. (Torgny Lindvall.) f är en kontinuerlig funktion på 1 x sådan att lim a

x f (x) dx 1/8. Kan likhet gälla i sistnämnda relation. (Torgny Lindvall.) f är en kontinuerlig funktion på 1 x sådan att lim a Elementa Årgång 50, 967 Årgång 50, 967 Första häftet 2603. Låt ξ, ξ 2,..., ξ n vara stokastiska variabler med väntevärden E[ξ i ], i =, 2,..., n. Visa att E[max(ξ, ξ 2,..., ξ n )] max(e[ξ ], E[ξ 2 ],...,

Läs mer

i=1 β i a i. (Rudolf Tabbe.) i=1 b i a i n

i=1 β i a i. (Rudolf Tabbe.) i=1 b i a i n Årgång 48, 1965 Första häftet 2505. Låt M = {p 1, p 2,..., p k } vara en mängd med k element. Vidare betecknar M 1, M 2,..., M n olika delmängder till M, alla bestående av tre element. Det gäller alltså

Läs mer

1. Ange samtliga uppsättningar av heltal x, y, z som uppfyller båda ekvationerna. x + 2y + 24z = 13 och x 11y + 17z = 8.

1. Ange samtliga uppsättningar av heltal x, y, z som uppfyller båda ekvationerna. x + 2y + 24z = 13 och x 11y + 17z = 8. Tentamenskrivning MATA15 Algebra: delprov 1, 6hp Lördagen den mars 014 Matematikcentrum Matematik NF LÖSNINGSFÖRSLAG 1. Ange samtliga uppsättningar av heltal x, y, z som uppfyller båda ekvationerna x +

Läs mer

1 Talteori. Det här kapitlet inleder vi med att ta

1 Talteori. Det här kapitlet inleder vi med att ta 1 Talteori DELKAPITEL 1.1 Kongruensräkning 1. Talföljder och induktionsbevis FÖRKUNSKAPER Faktorisering av tal Algebraiska förenklingar Formler Direkta och indirekta bevis CENTRALT INNEHÅLL Begreppet kongruens

Läs mer

Matematiska uppgifter

Matematiska uppgifter Elementa Årgång 58, 975 Årgång 58, 975 Första häftet 2984. Visa att om A, B och C är vinklar i en triangel så är tan A + tanb + tanc = cot A + cotb 2985. Visa att för alla positiva heltal n gäller att

Läs mer

Kvalificeringstävling den 29 september 2009

Kvalificeringstävling den 29 september 2009 SKOLORNAS MATEMATIKTÄVLING Svenska Matematikersamfundet Kvalificeringstävling den 29 september 2009 Förslag till lösningar Problem Visa att talet 2009 kan skrivas som summan av 7 positiva heltal som endast

Läs mer

TATA42: Föreläsning 10 Serier ( generaliserade summor )

TATA42: Föreläsning 10 Serier ( generaliserade summor ) TATA42: Föreläsning 0 Serier ( generaliserade summor ) Johan Thim 5 maj 205 En funktion s: N R brukar kallas talföljd, och vi skriver ofta s n i stället för s(n). Detta innebär alltså att för varje heltal

Läs mer

Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 2011

Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 2011 Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 2011 Anvisningar Avsikten med följande frågor är att hjälpa dig med självkontroll av dina kunskaper. Om du känner dig osäker på svaren bör du slå upp

Läs mer

Isometrier och ortogonala matriser

Isometrier och ortogonala matriser Isometrier och ortogonala matriser (Delvis resultat som kunde kommit tidigare i kursen) För att slippa parenteser, betecknas linära avbildningar med A och bilden av x under en lin avbildn med Ax i stället

Läs mer

A B A B A B S S S S S F F S F S F S F F F F

A B A B A B S S S S S F F S F S F S F F F F Uppsala Universitet Matematiska institutionen Isac Hedén isac distans@math.uu.se Algebra I, 5 hp Vecka 17. Logik När man utför matematiska resonemang så har man alltid vissa logiska spelregler att förhålla

Läs mer

Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter I Ö5.1b, Ö5.2b, Ö5.3b, Ö5.6, Ö5.7, Ö5.11a

Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter I Ö5.1b, Ö5.2b, Ö5.3b, Ö5.6, Ö5.7, Ö5.11a Moment 5.1-5.5 Viktiga exempel 5.1-5.10 Övningsuppgifter I Ö5.1b, Ö5.2b, Ö5.3b, Ö5.6, Ö5.7, Ö5.11a Kvadratiska linjära ekvationssystem Vi startar vår utredning med det vi känner bäst till, ekvationssystem

Läs mer

Övningshäfte 3: Polynom och polynomekvationer

Övningshäfte 3: Polynom och polynomekvationer LMA100 VT2005 ARITMETIK OCH ALGEBRA DEL 2 Övningshäfte 3: Polynom och polynomekvationer Syftet med denna övning är att repetera gymnasiekunskaper om polynom och polynomekvationer samt att bekanta sig med

Läs mer

Föreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet

Föreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet Föreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet Per Alexandersson Föreläsning I Timme I: Repetition av matriser, linjära ekvationssystem Linjärt ekvationssystem: x + y + z 3w = 3 2x + y + z 4w =

Läs mer

Kombinatorik. Författarna och Bokförlaget Borken, 2011. Kombinatorik - 1

Kombinatorik. Författarna och Bokförlaget Borken, 2011. Kombinatorik - 1 Kombinatorik Teori Multiplikationsprincipen..2 Teori Permutationer 3 Teori Kombinationer...5 Modell Dragning utan återläggning & sannolikheter 8 Teori Duvslageprincipen 11 Teori Pascals triangel & Mosertal...13

Läs mer

Läsanvisningar till kapitel 6 i Naturlig matematik. Avsnitt 6.6 ingår inte.

Läsanvisningar till kapitel 6 i Naturlig matematik. Avsnitt 6.6 ingår inte. Läsanvisningar till kapitel 6 i Naturlig matematik Avsnitt 6.6 ingår inte. Avsnitt 6.1 Detta avsnitt illustrerar hur sekanten övergår i en tangent genom att den ena skärningspunkten rör sig mot den andra.

Läs mer

Kan du det här? o o. o o o o. Derivera potensfunktioner, exponentialfunktioner och summor av funktioner. Använda dig av derivatan i problemlösning.

Kan du det här? o o. o o o o. Derivera potensfunktioner, exponentialfunktioner och summor av funktioner. Använda dig av derivatan i problemlösning. Kan du det här? o o o o o o Vad innebär det att x går mot noll? Vad händer då x går mot oändligheten? Vad betyder sekant, tangent och ändringskvot och vad har dessa begrepp med derivatan att göra? Derivera

Läs mer

Övningshäfte 2: Komplexa tal

Övningshäfte 2: Komplexa tal LMA100 VT007 ARITMETIK OCH ALGEBRA DEL Övningshäfte : Komplexa tal Övningens syfte är att bekanta sig med komplexa tal. De komplexa talen, som är en utvidgning av de reella talen, kom till på 1400 talet

Läs mer

PROBLEMLÖSNINGSUPPGIFTER

PROBLEMLÖSNINGSUPPGIFTER PROBLEMLÖSNINGSUPPGIFTER ADDERA RÄTT 1. Bestäm vilka siffror bokstäverna A, B, C, och D bör bytas ut mot i additionen nedan för att additionen ska vara riktig. A 6 3 7 B 2 + 5 8 C D 0 4 2 2. Gör ett eget

Läs mer

Den matematiska analysens grunder

Den matematiska analysens grunder KTH:s Matematiska Cirkel Den matematiska analysens grunder Katharina Heinrich Dan Petersen Institutionen för matematik, 2012 2013 Finansierat av Marianne och Marcus Wallenbergs Stiftelse Innehåll 1 Grundläggande

Läs mer

2. 1 L ä n g d, o m k r e t s o c h a r e a

2. 1 L ä n g d, o m k r e t s o c h a r e a 2. 1 L ä n g d, o m k r e t s o c h a r e a Ett plan är en yta som inte är buktig och som är obegränsad åt alla håll. På ett plan kan man rita en linje som är rak (rät). En linje är obegränsad åt båda

Läs mer

Modul 1 Mål och Sammanfattning

Modul 1 Mål och Sammanfattning Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2016-2017 Lars Filipsson Modul 1 Mål och Sammanfattning 1. Reella tal. 1. MÅL FÖR MODUL 1 Känna till talsystememet och kunna använda notation

Läs mer

Kurvlängd och geometri på en sfärisk yta

Kurvlängd och geometri på en sfärisk yta 325 Kurvlängd och geometri på en sfärisk yta Peter Sjögren Göteborgs Universitet 1. Inledning. Geometrin på en sfärisk yta liknar planets geometri, med flera intressanta skillnader. Som vi skall se nedan,

Läs mer

Rekursion och induktion för algoritmkonstruktion

Rekursion och induktion för algoritmkonstruktion Informationsteknologi Tom Smedsaas, Malin Källén 20 mars 2016 Rekursion och induktion för algoritmkonstruktion Att lösa ett problem rekursivt innebär att man uttrycker lösningen i termer av samma typ av

Läs mer

Ämnesplan i matematik för Häggenås, Bringåsen och Treälven

Ämnesplan i matematik för Häggenås, Bringåsen och Treälven Ämnesplan i matematik för Häggenås, Bringåsen och Treälven (2009-05-14) Namn Utarbetad under läsåret 08/09 Skolan skall i sin undervisning i matematik sträva efter att eleven utvecklar intresse för matematik

Läs mer

Finaltävling i Lund den 19 november 2016

Finaltävling i Lund den 19 november 2016 SKOLORNS MTEMTIKTÄVLING Svenska matematikersamfundet Finaltävling i Lund den 19 november 2016 1. I en trädgård finns ett L-format staket, se figur. Till sitt förfogande har man dessutom två färdiga raka

Läs mer

Abstrakt algebra för gymnasister

Abstrakt algebra för gymnasister Abstrakt algebra för gymnasister Veronica Crispin Quinonez Sammanfattning. Denna text är föreläsningsanteckningar från föredraget Abstrakt algebra som hölls under Kleindagarna på Institutet Mittag-Leffler

Läs mer

Checklista för funktionsundersökning

Checklista för funktionsundersökning Linköpings universitet Matematiska institutionen TATA41 Envariabelanalys 1 Hans Lundmark 2015-02-10 Checklista för funktionsundersökning 1. Vad är definitionsmängden D f? 2. Har funktionen några uppenbara

Läs mer

A1:an Repetition. Philip Larsson. 6 april Kapitel 1. Grundläggande begrepp och terminologi

A1:an Repetition. Philip Larsson. 6 april Kapitel 1. Grundläggande begrepp och terminologi A1:an Repetition Philip Larsson 6 april 013 1 Kapitel 1. Grundläggande begrepp och terminologi 1.1 Delmängd Om ändpunkterna ska räknas med används symbolerna [ ] och raka sträck. Om ändpunkterna inte skall

Läs mer