Studiehandledning till. MMA022 Differentialekvationer för lärare. läsåret 2010/11

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "Studiehandledning till. MMA022 Differentialekvationer för lärare. läsåret 2010/11"

Transkript

1 Studiehandledning till MMA22 Differentialekvationer för lärare läsåret 21/11

2 Kursinformation för MMA22 Mål Avsikten med kursen MMA22 Differentialekvationer för lärare är att introducera de grundläggande kvalitativa och kvantitativa metoder som används för analys av ordinära differentialekvationer och linjära differensekvationer, samt därtill hörande transformer och tillämpningar. Undervisning och kursinnehåll Kursen är schemalagd med 15 lektioner à 3 timmar (utom vid ett tillfälle då det är 2 timmar). Vid sidan om de schemalagda passen karakteriseras kursupplägget av att ett antal individuella inlämningsuppgifter ska lösas och lämnas in för bedömning. Specifikationen av vilken version av varje inlämningsuppgift som ska lösas av respektive student ges av den siffra som han/hon tilldelas i början av kursen. Numreringen av inlämningsuppgifterna följer i sin första siffra kursbokens kapitelnumrering. Längst ut till höger på varje kapitelrubrik finns angivet vilka avsnitt i kursboken som kursen baseras på litteraturmässigt. Examination och betyg Examinationsmomentet INL1 De betygsgrader som används i examinationsmomentet INL1 (2,5 hp) är underkänd (u) och godkänd (g). För att under kursens gång bli godkänd på examinationsmomentet krävs att lösningar till i kursen ingående inlämningsuppgifter har inlämnats enligt angivna regler och sedan blivit godkända inom stipulerade tider. Varje enskild inlämningsuppgift blir godkänd när en nöjaktig, skriftlig redovisning har åstadkommits. Studenten ska dock vara beredd på att kunna besvara frågor om den teori som ett lösningsförfarande baseras på. Ett godkännande ges sålunda när läraren har bedömt att studenten har förstått den berörda matematiken och kan kommunicera sin lösning på ett fullständigt sätt. Om en lösning inte blir godkänd skickas den i retur (kanske med något tips) för att studenten ska ha en möjlighet att kunna göra nödvändiga korrigeringar för ett slutgiltigt godkännande. Detta förfarande fortsätter i cykler till dess uppgiften ifråga har blivit godkänd, dock med begränsningarna att lösningar till uppgifterna i block nummer n, n = 1, 2, 3, 4, måste, bortsett eventuellt från någon enstaka uppgift, vara godkända innan föreläsning nummer 2n+1 inleds. Eventuella rester måste vara åtgärdade senast dagen därefter. Examinationsmomentet TEN1 De betygsgrader som används i examinationsmomentet TEN1 (5 hp) är underkänd (u), och godkännandegraderna godkänd (g), och väl godkänd (vg). Tentamen TEN1 består av åtta (8) stycken uppgifter à 5 poäng. Gränserna för betygen (g) och (vg) är 18 respektive 3 poäng. Hjälpmedel vid tentamen är penna, linjal och radermedel. Skrivtiden per enskild tentamen är fem (5) timmar. Sammanfattningsbetyg Sammanfattningsbetyg på en godkänd kurs är lika med det betyg som har uppnåtts på examinationsmomentet TEN1. Generellt råd Vikten av att vid matematikstudier lösa många och olika typer av problem kan knappast överskattas. I kursboken (och i studiehandledningen) finns därför relativt många övningsuppgifter att ta sig an. Litteratur MDH/UKK/TM, Studiehandledning till MMA22 Differentialekvationer för lärare läsåret 21/11. MDH/UKK/TM, Föreläsningsanteckningar om Z-transformen. Zill and Cullen, Differential Equations with Boundary-Value Problems, International Edition 7e, ISBN , Brooks/Cole Publishing Company, 29. Adresser lars-goran.larsson@mdh.se mdh.se/ukk/utbildning/amnen/matematik/kurssidor/ 1

3 Block 1 ODE av första ordningen 1. Introduktion till differentialekvationer ZC INL 1.1 Ange differentialekvationens ordning, och om den (med avseende på y) är linjär eller ej. 1) (5x 2 2)y 2xy + y = x 4 2) y (4) y = x 3 y 3) x 4 y (3) + x 7 y = 4) x 2 y + 5xyy + y = sin(x) 5) yy = e x y 3 6) cos(x)y + x 2 y + 3y = 2. Första ordningens ordinära differentialekvationer..... ZC INL 2.1 Skissera fasporträttet till den autonoma differentialekvationen av första ordningen, och klassificera dess kritiska punkter. Ange även alla jämviktslösningar och skissera en typisk lösningskurva i varje av de av jämviktslösningarna avgränsade regionerna i xy-planet. 1) dy dx = (y + 2)y2 (y 1) 3 2) dy = (y + 1)y(y 1)2 dx 3) dy dx = (y +3)2 (y +1)(y 2) 3 4) dy dx = (y + 2)y3 (y 3) 3 5) dy dx = y2 (y 2)(y 4) 6) dy = (y + 1)y(y 4)3 dx INL 2.2 Lös begynnelsevärdesproblemet. Ange även existensintervallet för lösningen. 1) yy = x, y(2) = 3. 2) y = y 2 9, y() = 1. 3) y = xe x2 2y, y( 2) = ln(2e). 4) y = (y 1) 2, y( 1) =. 5) y = y 2 + 4, y() = ) y = 5y + y 2, y() = 4. INL 2.3 Lös begynnelsevärdesproblemet. Ange även existensintervallet för lösningen. 1) xy + 3y = 3, y(1) = 8. 2) y + 3xy = x, y() =. 3) y 9x 2 y = 27x 2, y() = 9. 4) x 2 y xy = 3, y(1) = 1. 5) y + 6x 2 y = x 2, y() = 1/3. 6) xy 5y = 2x, y(1) = 5. INL 2.4 Lös begynnelsevärdesproblemet där funktionen U är definierad enligt U(x ξ) = {, x < ξ, 1, x ξ. 1) y + 8y = 16 U(x 2), 2) y + 3y = 9 U(x 3), 3) y + 9y = 27 U(x 4), 4) y + 6y = 12 U(x 5), 5) y + 2y = 6 U(x 6), 6) y + 5y = 5 U(x 7), 2

4 3.. MODELLERING MED FÖRSTA ORDNINGENS ODE 3 INL 2.5 Visa att differentialekvationen är exakt och bestäm (på åtminstone implicit form) den allmänna lösningen. 1) (1xy x 4 y 3 ) dx + (15x 2 y x 5 y 2 ) dy = 2) (2x/y 3 + y 2 ) dx + (2xy 3x 2 /y 4 ) dy = 3) (y 5 + 6x 2 ln(y)) dx + (5xy 4 + 2x 3 /y) dy = 4) (16x 3 y 2 2xy 3 ) dx + (8x 4 y 3x 2 y 2 ) dy = 5) (2xe 3y 9x 2 y 2 ) dx + (3x 2 e 3y 6x 3 y) dy = 6) (3x 2 y 2 + 6xy 5 ) dx + (2x 3 y + 15x 2 y 4 ) dy = INL 2.6 Visa att differentialekvationen är homogen och bestäm alla lösningar (på åtminstone implicit form). 1) (x + y)y = x y 2) (y + 2 xy)dx = xdy 3) xyy = y 2 + x 4x 2 + y 2 4) (x 3 + y 3 )dx = xy 2 dy 5) x(x + y)y = y(x y) 6) (x + 3y)dx = (y 3x)dy INL 2.7 Lös begynnelsevärdesproblemet. Ange även existensintervallet för lösningen. 1) 2xy + y(1 + xy) =, y(1) = ) y = (xy 1)y, y() = 1. 3) (x + x 2 )y = y(1 y), y(1) = 2. 4) y = y + 1/y, y() = 1. 5) y = y(2 y), y() = 1. 6) y = y x + x 2y, y(1) = 3. INL 2.8 Differentialekvationen har en integrerande faktor som bara beror av x (udda numrerade problem) eller y (jämnt numrerade problem). Bestäm ekvationen för den lösningskurva som går genom punkten (1, 2). 1) (12x + y 3 /x) dx + 3y 2 dy = 2) 1x/y dx + (5x 2 /y 2 6/y) dy = 3) (4y 3 /x 2 + 2x) dx + 12y 2 /x dy = 4) 9x 2 y dx + (6x y 2 ) dy = 5) (16y 3 /x 6/x) dx + 24y 2 dy = 6) 7y 3 dx + (28xy 2 1) dy = 3. Modellering med första ordningens ODE ZC INL 3.1 Modellering med första ordningens linjära differentialekvationer 1) En hastigt insjuknad person med hög feber behöver omedelbart diagnosticeras. Man har endast tillgång till en relativt långsam termometer och behöver därför kunna räkna ut febern innan termometern stabiliserats vid febertemperaturen. Det antages att termometerns temperaturförändring per tidsenhet vid varje tidpunkt är proportionell mot skillnaden mellan termometerns temperatur och temperaturen i det medium som omsluter mätpunkten. Ett rimligt antagande är också att termometerns ringa konstitution och motsvarande försumbara värmeinnehåll ej nämnvärt rubbar temperaturen i personens kropp. Termometern hålls normalt i rumstemperatur (2 grader). Tre (3) sekunder efter det att termometern har förts in i munnen hos den sjuke avläses 3 grader. Ytterligare tre sekunder senare är termometers utslag 35 grader. Med hjälp av insamlade data görs en snabb beräkning av den sjukes temperatur. Vad kommer man fram till, dvs hur hög feber har den sjuke personen? 2) Ett radioaktivt material sönderfaller i en takt som är proportionell mot mängden av materialet vid tidpunkten t. Antag att halveringstiden är 5 år, och att det vid en viss tidpunkt finns.1 g av materialet. För hur länge sedan fanns det 1 g av materialet? 3) I en förenklad modell (nr 1) av hur mycket en student lär sig av ett visst stoff antages inlärningen per tidsenhet vid en viss tidpunkt

5 4 vara proportionell (α) mot differensen av hur mycket som är möjligt att lära sig (totala mängden stoff M) och hur mycket som har lärts in fram till och med den aktuella tidpunkten. I en lite mera realistisk modell (nr 2) tas även hänsyn till att studenten hinner att glömma bort delar av det som tidigare lärts in och då i en takt som är proportionell (β) mot studentens kunnande vid den aktuella tidpunkten. Formulera och lös differentialekvationerna för de två modellerna. Utgå därvidlag från att studentens kunnande är noll vid tidpunkten. Jämför lösningarna för mycket stora t. Beskriv dessutom innebörden av specialfallen α β (α mycket större än β) respektive α β. 4) Temperaturförändringar hos en termometer antas kunna beskrivas med Newtons avkylnings- (och uppvärmnings-)lag. En febersjuk person har med hjälp av en sådan termometer mätt sin egen kroppstemperatur till att vara 38 o C. Vad visar termometern 3 minuter efter febermätningen om den visar 22 o C 2 minuter efter febermätningen och om rumstemperaturen är 2 o C? Det kan anses rimligt att antaga att termometerns ringa konstitution och motsvarande försumbara värmeinnehåll ej nämnvärt rubbar temperaturen i det omgivande mediet (personens kropp respektive luften). 5) I en isolerad population där ingen dör, insjuknar individer i en viss lindrig sjukdom i en takt som i varje ögonblick är proportionell mot antalet friska individer. Låt proportionalitetskonstanten vara lika med 1 7 s 1, antalet individer i hela populationen lika med 1 och antal sjuka vid tidpunkten t lika med 2. Ange insjukningstakten som funktion av tiden t. Ange även antalet insjuknade individer för stora tider. 6) En hastigt insjuknad person med hög feber behöver omedelbart diagnosticeras. Man har endast tillgång till en relativt långsam termometer och behöver därför kunna räkna ut febern innan termometern stabiliserats vid febertemperaturen. Det antages att termometerns temperaturförändring per tidsenhet vid varje tidpunkt är proportionell mot skillnaden mellan termometerns temperatur och temperaturen i det medium som omsluter mätpunkten. Ett rimligt antagande är också att termometerns ringa konstitution och motsvarande försumbara värmeinnehåll ej nämnvärt rubbar temperaturen i personens kropp. Termometern hålls normalt i ett uppvärmt tillstånd om 3 grader i syfte att inte kontrastera för mycket mot kroppstemperaturer. Fem (5) sekunder efter det att termometern har förts in i munnen hos den sjuke avläses 35 grader. Ytterligare fem sekunder senare är termometers utslag 36 grader. Med hjälp av insamlade data görs en snabb beräkning av den sjukes temperatur. Vad kommer man fram till, dvs hur hög feber har den sjuke personen? INL 3.2 Modellering med första ordningens icke-linjära differentialekvationer 1) Vid tidpunkten finns det 5 gram av ämne A och 8 gram av ämne B. Ämnena förs ihop varvid de reagerar med varandra i proportionerna 1 : 2 och bildar ämnet C, dvs för varje 3 gram av slutprodukten C så går det åt 1 gram av ämne A och 2 gram av ämne B. Reaktionshastigheten antages vara proportionell mot produkten av återstoderna (i gram räknade) av ämnena A och B. Antag att det vid tidpunkten 1/3 minuter har hunnit skapats 6 gram av ämne C. Hur många gram C har skapats till och med tidpunkten 1/15 minuter? 2) Vid tidpunkten finns det 1 gram av ämne A. Ämnet sönderfaller varvid två ämnen, B och C, bildas i förhållandet 5:3, dvs för varje sönderfallet gram av ursprungsämnet A bildas 5/8 gram av ämne B och 3/8 gram av ämne C. Reaktionshastigheten antages vara proportionell mot kvadraten av återstoden (i gram räknad) av ämnet A, och tiden tills mängden ursprungsämne har halverats är lika med 1 minuter. Hur många gram finns det av ämne B vid tidpunkten t (i minuter räknad) om antalet gram vid tidpunkten är lika med noll. 3) Vid tidpunkten finns det 75 gram av ämne A och 5 gram av ämne B. Ämnena förs ihop varvid de reagerar med varandra i proportionerna 3 : 1 och bildar ämnet C, dvs för varje 4 gram av slutprodukten C så går det åt 3 gram av ämne A och 1 gram av ämne B. Reaktionshastigheten antages vara proportionell mot produkten av återstoderna (i gram räknade) av ämnena A och B. Antag att det vid tidpunkten 1/1 minuter har hunnit skapats 25 gram av ämne C. Hur många gram C har skapats till och med tidpunkten 2/5 minuter? 4) Vid tidpunkten finns det 5 gram av ämne A. Ämnet sönderfaller varvid två ämnen, B och C, bildas i förhållandet 2:5, dvs för varje sönderfallet gram av ursprungsämnet A bildas 2/7 gram av ämne B och 5/7 gram av ämne C. Reaktionshastigheten antages vara proportionell mot kvadraten av återstoden (i gram räknad) av ämnet A, och tiden tills mängden ursprungsämne har halverats är lika med 2

6 3.. MODELLERING MED FÖRSTA ORDNINGENS ODE 5 minuter. Hur många gram finns det av ämne B vid tidpunkten t (i minuter räknad) om antalet gram vid tidpunkten är lika med noll. 5) Vid tidpunkten finns det 6 gram av ämne A och 1 gram av ämne B. Ämnena förs ihop varvid de reagerar med varandra i proportionerna 2 : 3 och bildar ämnet C, dvs för varje 5 gram av slutprodukten C så går det åt 2 gram av ämne A och 3 gram av ämne B. Reaktionshastigheten antages vara proportionell mot produkten av återstoderna (i gram räknade) av ämnena A och B. Antag att det vid tidpunkten 1/2 minuter har hunnit skapats 3 gram av ämne C. Hur många gram C har skapats till och med tidpunkten 1/1 minuter? 6) Vid tidpunkten finns det 9 gram av ämne A. Ämnet sönderfaller varvid två ämnen, B och C, bildas i förhållandet 4:3, dvs för varje sönderfallet gram av ursprungsämnet A bildas 4/7 gram av ämne B och 3/7 gram av ämne C. Reaktionshastigheten antages vara proportionell mot kvadraten av återstoden (i gram räknad) av ämnet A, och tiden tills mängden ursprungsämne har halverats är lika med 15 minuter. Hur många gram finns det av ämne B vid tidpunkten t (i minuter räknad) om antalet gram vid tidpunkten är lika med noll. INL 3.3 Modellering med system av första ordningens differentialekvationer Teckna ett system av differentialekvationer som vid tidpunkten t beskriver graderna av förorening i respektive av behållarna A, B och C. Ange även motsvarande begynnelsevärden. Det antages att de hastigheter med vilka föroreningarna sprids inom de olika behållarna är mycket större än de flödeshastigheter med vilka vätskor strömmar genom systemet av behållare. 1) Tre olika vätskebehållare A, B och C är med flyter från A till B, från B till C, och från C till A. Det flyter även vätska från omgivningen in i A, samt görs det utsläpp från B. Vid tidpunkten finns det 2 liter vätska i vardera av behållarna A, B och C, varav den i B är jämnt blandad med 2 gram av en viss förorening. Den vätska som flyter in i A har flödeshastigheten φ in = 4 liter/min och föroreningsgraden ρ in = 1 gram/liter. Övriga flödeshastigheter är φ A B = 2 liter/min, φ B C = 1 liter/min, φ C A = 3 liter/min och φ ut = 2 liter/min. 2) Tre olika vätskebehållare A, B och C är med flyter från A till B, från B till C, och tillbaka från C till B. Det flyter även vätska från omgivningen in i A, samt görs det utsläpp från C. Vid tidpunkten finns det 2 liter vätska i vardera av behållarna A, B och C, varav den i A är jämnt blandad med 3 gram av en viss förorening. Den vätska som flyter in i A har flödeshastigheten φ in = 3 liter/min och föroreningsgraden ρ in = 2 gram/liter. Övriga flödeshastigheter är φ A B = 2 liter/min, φ B C = 3 liter/min, φ C B = 1 liter/min och φ ut = 4 liter/min. 3) Tre olika vätskebehållare A, B och C är med flyter från A till B, från B till C, och tillbaka från B till A. Det flyter även vätska från omgivningen in i B, samt görs det utsläpp från C. Vid tidpunkten finns det 2 liter vätska i vardera av behållarna A, B och C, varav den i B är jämnt blandad med 3 gram av en viss förorening. Den vätska som flyter in i B har flödeshastigheten φ in = 4 liter/min och föroreningsgraden ρ in = 1 gram/liter. Övriga flödeshastigheter är φ A B = 1 liter/min, φ B C = 2 liter/min, φ B A = 2 liter/min och φ ut = 3 liter/min. 4) Tre olika vätskebehållare A, B och C är med flyter från A till B, från B till C, och från C till A. Det flyter även vätska från omgivningen in i A, samt görs det utsläpp från B. Vid tidpunkten finns det 2 liter vätska i vardera av behållarna A, B och C, varav den i A är jämnt blandad med 2 gram av en viss förorening. Den vätska som flyter in i A har flödeshastigheten φ in = 2 liter/min och föroreningsgraden ρ in = 3 gram/liter. Övriga flödeshastigheter är φ A B = 3 liter/min, φ B C = 1 liter/min, φ C A = 2 liter/min och φ ut = 1 liter/min. 5) Tre olika vätskebehållare A, B och C är med flyter från A till B, från B till C, och tillbaka från B till A. Det flyter även vätska från omgivningen in i A, samt görs det utsläpp från C. Vid tidpunkten finns det 2 liter vätska i vardera av behållarna A, B och C, varav den i B är jämnt blandad med 3 gram av en viss förorening. Den vätska som flyter in i A har flödeshastigheten φ in = 1 liter/min och föroreningsgraden ρ in = 2 gram/liter. Övriga flödeshastigheter är φ A B = 2 liter/min, φ B C = 3 liter/min, φ B A = 1 liter/min och φ ut = 2 liter/min.

7 6 6) Tre olika vätskebehållare A, B och C är med flyter från A till B, från B till C, och tillbaka från C till B. Det flyter även vätska från omgivningen in i B, samt görs det utsläpp från C. Vid tidpunkten finns det 2 liter vätska i vardera av behållarna A, B och C, varav den i A är jämnt blandad med 2 gram av en viss förorening. Den vätska som flyter in i B har flödeshastigheten φ in = 1 liter/min och föroreningsgraden ρ in = 3 gram/liter. Övriga flödeshastigheter är φ A B = 2 liter/min, φ B C = 3 liter/min, φ C B = 1 liter/min och φ ut = 3 liter/min.

8 Block 2 ODE av högre ordningar, Laplacetransformen 4. Linjära ODE av högre ordningar ZC , 4.7 INL 4.1 Avgör om funktionerna f 1, f 2, f 3 är linjärt oberoende på R eller ej. f 1 (x) = 3 + x f 1 (x) = x f 1 (x) = 1 + sin 2 (x) 1) f 2 (x) = x 2x 2 3) f 2 (x) = 3x 2 x 5) f 2 (x) = cos 2 (x) 3 f 3 (x) = 3x 2 1 f 3 (x) = 2x + x 2 f 3 (x) = 5 2) f 1 (x) = e 2x f 2 (x) = e 2x f 3 (x) = cosh(2x) 4) f 1 (x) = x + 5 f 2 (x) = x + 5 f 3 (x) = x 2 6) f 1 (x) = x 2 f 2 (x) = 4x 2 + x 3 f 3 (x) = 2x 3 6x 2 INL 4.2 Bestäm den allmänna lösningen till differentialekvationen. Tips: Börja med att pröva om DE har en lösning på någon av formerna ax + b, x β, eller e γx. 1) x(x + 1)y + (2 x 2 )y (x + 2)y = 2) x 2 (1 x)y + x(x 4)y + 6y = 3) x 2 (x + 1)y + (2x + 1)(y xy ) = 4) xy (2x + 1)y 3(x 1)y = 5) x(x + 1)y + (x + 2)y y = 6) x 2 y (4x + 3)(xy y) = INL 4.3 Lös begynnelsevärdesproblemet. 1) y + y 6y =, y() = 3, y () = 4 2) y 4y + 4y =, y() = 3, y () = 2 3) y 2y 3y =, y() = 1, y () = 2 4) y + 4y + 4y =, y() = 2, y () = 4 5) y + 3y 1y =, y() = 8, y () = 5 6) y 1y + 25y =, y() = 2, y () = 7 INL 4.4 Bestäm den allmänna lösningen till differentialekvationen (för antingen x > eller x < ). 1) y 1y +25y = xe x +3e 5x 2) y y 12y = e 2x 4xe 4x 3) y + 8y + 16y = xe 3x 2e 4x 4) y + y 2y = 3xe x + 5e 3x 5) y 6y + 9y = 6e 3x + xe x 6) y 2y 8y = 2xe 2x 5e 3x INL 4.5 Bestäm den allmänna lösningen till differentialekvationen. 1) x 2 y + 9xy + 16y = 2) x 2 y + 2xy 2y = 3) x 2 y 5xy + 9y = 4) x 2 y xy 8y = 5) x 2 y + 7xy + 9y = 6) x 2 y + 2xy 6y = 7

9 8 4. Olinjära ODE av högre ordningar ZC 4.9 INL 4.6 Bestäm alla lösningar till differentialekvationen. 1) (y 2)y = (y ) 2 2) yy = 3(y ) 2 3) yy + (y ) 2 = yy 4) y = (y ) 2 5) y = 2y(y ) 3 6) (y + 1)y = 2(y ) 2 7. Laplacetransformen ZC INL 7.1 Lös differentialekvationsproblemet för t och med y() = 2., t < 2, t < 6 1) y (t) + 7y(t) = 5, 2 t < 5 4) y (t) + 3y(t) = 3t + 2, 6 t < 9 2t + 1, t 5 4, t 9 5 3t, t < 5 8 5t, t < 4 2) y (t) + 4y(t) =, 5 t < 7 5) y (t) + 2y(t) = 7, 4 t < 8 9, t 7, t 8 6, t < 3 9, t < 3 3) y (t) + 8y(t) = 7t 4, 3 t < 6. 6) y (t) + 5y(t) =, 3 t < 7, t 6 6t 1, t 7 INL 7.2 Lös integralekvationen för t. { t, t < 2 1) y(t) + 2 y(t w) cos(w) dw = e 2 t, t 2 2) y(t) = cos(3t) + 4 3) y(t) + 2 t 4) 2e 2t = 2y(t) + 5 5) y(t) + t t y(ξ) dξ = t + t e 2τ cos(2τ) y(t τ) dτ, t < 3 1, 3 t < 5, t 5 y(ω) sin ( 2(t ω) ) dω y(ω) ( 5(t ω) (t ω)3) dω = { t, t < 5 6) y(t) + e t e ξ y(ξ) dξ = e 1 2t, t 5 {, t < 3 t 3, t 3 INL 7.3 Lös differentialekvationsproblemet för t. 1) y + 8y + 16y = 2δ(t 3) 5U(t 8), y() = 3, y () = 1 2) y + y 2y = 4U(t 3) + δ(t 5), y() = 2, y () = 5 3) y 6y + 9y = U(t 2) 2δ(t 7), y() = 2, y () = 1 4) y 2y 8y = δ(t 6) + 5U(t 9), y() = 1, y () = 14 5) y + 6y + 9y = 5U(t 6) + δ(t 4), y() = 2, y () = 3 6) y 4y 12y = 5δ(t 3) 2U(t 4), y() = 2, y () = 28

10 Block 3 Differensekvationer Z. Linjära differensekvationer Anteckningar INL z.1 Lös differensekvationsproblemet. 1) 6y n + y n 1 2y n 2 =, y = 1, y 1 = 4. 2) 4y n + 4y n 1 + y n 2 =, y = 3, y 1 = 2. 3) 12y n + y n 1 y n 2 =, y = 11, y 1 = 1. 4) 1y n + 3y n 1 y n 2 =, y = 21, y 1 =. 5) 9y n 12y n 1 + 4y n 2 =, y = 1, y 1 = 2. 6) 2y n + y n 1 y n 2 =, y = 14, y 1 = 1. INL z.2 Lös differensekvationsproblemet. 1) y n 1 3y n = y = 2. {, n 5, 3, n = 5, 4) y n 1 + 6y n = y = 2. {, n 7, 4, n = 7, 2) y n 1 + 5y n = y = 4. {, n 3, 5, n = 3, 5) y n 1 7y n = y = 3. {, n 6, 3, n = 6, 3) y n 1 4y n = y = 5. {, n 4, 2, n = 4, 6) y n 1 + 4y n = y = 5. {, n 9, 3, n = 9, INL z.3 Lös differensekvationen med begynnelsevillkoret y =. 1) 4y n 1 + y n = ( 4) n 2) 2y n 1 + y n = ( 2) n 3) 5y n 1 y n = 5 n 4) 3y n 1 + y n = ( 3) n 5) 6y n 1 y n = 6 n 6) 2y n 1 y n = 2 n 9

= x 2 y, med y(e) = e/2. Ange även existens-

= x 2 y, med y(e) = e/2. Ange även existens- MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Examinator: Lars-Göran Larsson TENTAMEN I MATEMATIK MMA0 Differentialekvationer för lärare Datum:

Läs mer

(4x 3 + y)y + x(x 3 + 2y) dy dx = 0

(4x 3 + y)y + x(x 3 + 2y) dy dx = 0 MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Examinator: Lars-Göran Larsson TENTAMEN I MATEMATIK MMA0 Differentialekvationer för lärare Datum:

Läs mer

2. För vilka värden på parametrarna α och β har det linjära systemet. som satisfierar differensekvationen

2. För vilka värden på parametrarna α och β har det linjära systemet. som satisfierar differensekvationen MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Examinator: Lars-Göran Larsson TENTAMEN I MATEMATIK MAA13 Differentialekvationer och transformmetoder

Läs mer

Studiehandledning till. MMA121 Matematisk grundkurs. Version 2012-09-03

Studiehandledning till. MMA121 Matematisk grundkurs. Version 2012-09-03 Studiehandledning till MMA Matematisk grundkurs läsåret 0/ Version 0-09-0 Kursinformation för MMA Mål Avsikten med kursen MMA Matematisk grundkurs är att ge grundläggande kunskaper i matematik, av betydelse

Läs mer

x + 9y Skissa sedan för t 0 de två lösningskurvor som börjar i punkterna med koordinaterna

x + 9y Skissa sedan för t 0 de två lösningskurvor som börjar i punkterna med koordinaterna MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Examinator: Lars-Göran Larsson TENTAMEN I MATEMATIK MAA134 Differentialekvationer och transformmetoder

Läs mer

1. Talföljden {t n } n=0 24, n = 13, då den för n 2 satisfierar differensekvationen 12t n 8t n 1 + t n 2 =

1. Talföljden {t n } n=0 24, n = 13, då den för n 2 satisfierar differensekvationen 12t n 8t n 1 + t n 2 = MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Eaminator: Lars-Göran Larsson TENTAMEN I MATEMATIK MAA134 Differentialekvationer och transformmetoder

Läs mer

KTH Matematik Tentamensskrivning i Differentialekvationer och transformer III, SF1637.

KTH Matematik Tentamensskrivning i Differentialekvationer och transformer III, SF1637. KTH Matematik Tentamensskrivning i Differentialekvationer och transformer III, SF637. Måndagen den 7 oktober, kl 8-3. Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook. Redovisa lösningarna på ett sådant sätt att

Läs mer

= y(0) för vilka lim y(t) är ändligt.

= y(0) för vilka lim y(t) är ändligt. Lösningsförslag till tentamensskrivning i SF633 Differentialekvationer I och SF637 Differentialekvationer och transformer III Lördagen den 4 februari, kl 4-9 Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook Redovisa

Läs mer

KTH Matematik Tentamensskrivning i Differentialekvationer I, SF1633.

KTH Matematik Tentamensskrivning i Differentialekvationer I, SF1633. KTH Matematik Tentamensskrivning i Differentialekvationer I, SF1633. Måndagen den 17 oktober 11, kl 8-13. Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook. Redovisa lösningarna på ett sådant sätt att beräkningar

Läs mer

y(0) = e + C e 1 = 1

y(0) = e + C e 1 = 1 KTH-matematik Tentamensskrivning, 006-01-14, kl. 14.00 19.00. 5B106 Differentialekvationer I, för BDMP. Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook. För godkänt betyg (3) krävs minst 17 poäng, för betyg 4 krävs

Läs mer

BEGREPPSMÄSSIGA PROBLEM

BEGREPPSMÄSSIGA PROBLEM BEGREPPSMÄSSIGA PROBLEM Större delen av de rekommenderade uppgifterna i boken är beräkningsuppgifter. Det är emellertid även viktigt att utveckla en begreppsmässig förståelse för materialet. Syftet med

Läs mer

dx/dt x y + 2xy Ange även ekvationerna för de mot de stationära punkterna svarande linjariserade systemen.

dx/dt x y + 2xy Ange även ekvationerna för de mot de stationära punkterna svarande linjariserade systemen. MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Examinator: Lars-Göran Larsson TENTAMEN I MATEMATIK MAA13 Differentialekvationer och transformmetoder

Läs mer

Tentamensskrivning i Differentialekvationer I, SF1633(5B1206).

Tentamensskrivning i Differentialekvationer I, SF1633(5B1206). Tentamensskrivning i Differentialekvationer I, SF633(5B6) Torsdagen den 3 oktober 8, kl 8-3 Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook Redovisa lösningarna på ett sådant sätt att beräkningar och resonemang

Läs mer

y + 1 y + x 1 = 2x 1 z 1 dy = ln z 1 = x 2 + c z 1 = e x2 +c z 1 = Ce x2 z = Ce x Bestäm den allmänna lösningen till differentialekvationen

y + 1 y + x 1 = 2x 1 z 1 dy = ln z 1 = x 2 + c z 1 = e x2 +c z 1 = Ce x2 z = Ce x Bestäm den allmänna lösningen till differentialekvationen UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Vera Djordjevic PROV I MATEMATIK Civilingenjörsprogrammen Ordinära differentialekvationer 2007-10-12 Skrivtid: 9-14. Tillåtna hjälpmedel: Mathematics Handbook

Läs mer

d dx xy ( ) = y 2 x, som uppfyller villkoret y(1) = 1. x, 0 x<1, y(0) = 0. Bestäm även y( 2)., y(0) = 0 har entydig lösning.

d dx xy ( ) = y 2 x, som uppfyller villkoret y(1) = 1. x, 0 x<1, y(0) = 0. Bestäm även y( 2)., y(0) = 0 har entydig lösning. Bestäm den lösning till differentialekvationen Ange även lösningens eistensintervall SF6 Differentialekvationer I MODULUPPGIFTER Första ordningens differentialekvationer med modeller d d y ( ) = y 2, som

Läs mer

= e 2x. Integrering ger ye 2x = e 2x /2 + C, vilket kan skrivas y = 1/2 + Ce 2x. Här är C en godtycklig konstant.

= e 2x. Integrering ger ye 2x = e 2x /2 + C, vilket kan skrivas y = 1/2 + Ce 2x. Här är C en godtycklig konstant. Lösningsförslag till Tentamen, SF1633, Differentialekvationer I den 19 december 216 kl 8: - 13: För godkänt (betyg E krävs tre godkända moduler från del I Varje moduluppgift består av tre frågor För att

Läs mer

1. (4p) Para ihop följande ekvationer med deras riktingsfält. 1. y = 2 + x y 2. y = 2y + x 2 e 2x 3. y = e x + 2y 4. y = 2 sin(x) y

1. (4p) Para ihop följande ekvationer med deras riktingsfält. 1. y = 2 + x y 2. y = 2y + x 2 e 2x 3. y = e x + 2y 4. y = 2 sin(x) y 1 Matematiska Institutionen, KTH Tentamen SF1633, Differentialekvationer I, den 18 december 2017 kl 08.00-13.00. Examinator: Pär Kurlberg. Betygsgränser: A: 85%. B: 75%. C: 65%. D: 55%. E: 45%. Fx: 42%.

Läs mer

(2xy + 1) dx + (3x 2 + 2x y ) dy = 0.

(2xy + 1) dx + (3x 2 + 2x y ) dy = 0. UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Marko Djordjevic Prov i matematik Civilingenjörsprogrammen Ordinära differentialekvationer, 2 poäng 2006-03-06 Skrivtid: 9.00 1.00. Tillåtna hjälpmedel: Skrivdon,

Läs mer

5. Förklara och ange definitionsmängden och värdemängden för funktionen f definierad enligt. f(x) = x 2

5. Förklara och ange definitionsmängden och värdemängden för funktionen f definierad enligt. f(x) = x 2 MMA Matematisk grundkurs TEN Datum: 5 november 00 Skrivtid: timmar Hjälpmedel: Penna, linjal och radermedel Denna tentamen TEN består av nio stycken om varannat slumpmässigt ordnade uppgifter som vardera

Läs mer

2. Förklara vad ekvationen 4x(x + 1) = 8y + 11 beskriver, och gör en skiss av detta.

2. Förklara vad ekvationen 4x(x + 1) = 8y + 11 beskriver, och gör en skiss av detta. MMA Matematisk grundkurs TEN Datum: 4 mars 00 Skrivtid: timmar Hjälpmedel: Penna, linjal och radermedel Denna tentamen TEN består av nio stycken om varannat slumpmässigt ordnade uppgifter som vardera kan

Läs mer

Lösningsförslag till tentamen i SF1683 och SF1629 (del 1) 18 december xy = y2 +1

Lösningsförslag till tentamen i SF1683 och SF1629 (del 1) 18 december xy = y2 +1 KTH, Matematik Maria Saprykina Lösningsförslag till tentamen i SF1683 och SF1629 (del 1) 18 december 2017 Tentamen består av sex uppgifter där vardera uppgift ger maximalt fyra poäng. Preliminära betygsgränser:

Läs mer

Del I. Modul 1. Betrakta differentialekvationen

Del I. Modul 1. Betrakta differentialekvationen Lösningsförslag till Tentamen, SF1633, Differentialekvationer I den 24 oktober 2016 kl 8:00-13:00 För godkänt (betyg E) krävs tre godkända moduler från del I Varje moduluppgift består av tre frågor För

Läs mer

1 dy. vilken kan skrivas (y + 3)(y 3) dx =1. Partialbråksuppdelning ger y y 3

1 dy. vilken kan skrivas (y + 3)(y 3) dx =1. Partialbråksuppdelning ger y y 3 Lösningsförslag till tentamensskrivning i Differentialekvationer och transformer III, SF137 Tisdagen den 11 januari 211, kl 14-19 Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook Redovisa lösningarna på ett sådant

Läs mer

Veckans teman. Repetition av ordinära differentialekvationer ZC 1, 2.1-3, 4.1-6, 7.4-6, 8.1-3

Veckans teman. Repetition av ordinära differentialekvationer ZC 1, 2.1-3, 4.1-6, 7.4-6, 8.1-3 Veckans teman Repetition av ordinära differentialekvationer ZC 1, 2.1-3, 4.1-6, 7.4-6, 8.1-3 Ekvationstyper Första ordningen Separabla Högre ordning System Autonoma Linjära med konstanta koefficienter

Läs mer

Studietips inför kommande tentamen TEN1 inom kursen TNIU23

Studietips inför kommande tentamen TEN1 inom kursen TNIU23 Studietips inför kommande tentamen TEN1 inom kursen TNIU23 Lämplig ordning på sammanfattande studier inom denna kurs: Inled med att grundligt studera föreläsningsanteckningarna Därefter läs tillhörande

Läs mer

MATEMATIK OCH MAT. STATISTIK 6H3000, 6L3000, 6H3011 TEN

MATEMATIK OCH MAT. STATISTIK 6H3000, 6L3000, 6H3011 TEN TENTAMEN Datum: 0 maj 007 Kurs: MATEMATIK OCH MAT STATISTIK 6H000, 6L000, 6H0 TEN (Differential ekvationer, komplexa tal) Skrivtid: :5-7:5 Hjälpmedel: Bifogat formelblad och miniräknare av vilken typ som

Läs mer

9.1 Mer om differentialekvationer

9.1 Mer om differentialekvationer 9.1 Mer om differentialekvationer 9.1.1 Olika typer Ordinär differentialekvationer.ode innehåller derivator med avseende på endast en variabel. Partiella differentialekvationer.pde innehåller (partiella)

Läs mer

2. Skissa minst en period av funktionskurvan y 1 = 2 sin(4x/3). Tydliggör i skissen på enklaste vis det som karakteriserar kurvan.

2. Skissa minst en period av funktionskurvan y 1 = 2 sin(4x/3). Tydliggör i skissen på enklaste vis det som karakteriserar kurvan. MMA11 Matematisk grundkurs TEN Datum: 14 januari 11 Skrivtid: timmar Hjälpmedel: Penna, linjal och radermedel Denna tentamen TEN består av nio stycken om varannat slumpmässigt ordnade uppgifter som vardera

Läs mer

Tentamen del 1 SF1546, , , Numeriska metoder, grundkurs

Tentamen del 1 SF1546, , , Numeriska metoder, grundkurs KTH Matematik Tentamen del 1 SF154, 1-3-3, 8.-11., Numeriska metoder, grundkurs Namn:... Bonuspoäng. Ange dina bonuspoäng från kursomgången läsåret HT15/VT1 här: Max antal poäng är. Gränsen för godkänt/betyg

Läs mer

SF1633, Differentialekvationer I Tentamen, torsdagen den 7 januari Lösningsförslag. Del I

SF1633, Differentialekvationer I Tentamen, torsdagen den 7 januari Lösningsförslag. Del I Institutionen för matematik, KTH Serguei Shimorin SF6, Differentialekvationer I Tentamen, torsdagen den 7 januari 26 Lösningsförslag Del I Moduluppgift En liter av lösningen som innehåller 2 gram av kemiska

Läs mer

SVAR: Det är modell 1 som är rimlig för en avsvalningsprocess. Föremålets temperatur efter lång tid är 20 grader Celsius.

SVAR: Det är modell 1 som är rimlig för en avsvalningsprocess. Föremålets temperatur efter lång tid är 20 grader Celsius. Lösningsförslag till tentamensskrivning i SF633 Differentialekvationer I Onsdagen den maj 03, kl 0800-300 Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook Redovisa lösningarna på ett sådant sätt att beräkningar

Läs mer

Kryssproblem (redovisningsuppgifter).

Kryssproblem (redovisningsuppgifter). Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf Transformmetoder, 5 hp ES, gyl, Q, W 212-1-29 Kryssproblem (redovisningsuppgifter). Till var och en av de tio lektionerna hör två problem som du ska

Läs mer

Lösning till tentamen i SF1633 Differentialekvationer I för BD, M och P, , kl

Lösning till tentamen i SF1633 Differentialekvationer I för BD, M och P, , kl KTH Matematik Bengt Ek och Olle Stormark. Lösning till tentamen i SF633 Differentialekvationer I för BD, M och P, 008 0 6, kl. 4.00 9.00. Hjälpmedel: BETA. Uppgifterna 5 motsvarar kursens fem moduler.

Läs mer

Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MMA132 Numeriska Metoder Avdelningen för tillämpad matematik Datum: 13 jan 2014

Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MMA132 Numeriska Metoder Avdelningen för tillämpad matematik Datum: 13 jan 2014 MÄLARDALENS HÖGSKOLA TENTAMEN I MATEMATIK Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MMA132 Numeriska Metoder Avdelningen för tillämpad matematik Datum: 13 jan 2014 Examinator: Karl Lundengård Skrivtid:

Läs mer

Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MMA132 Numeriska Metoder Avdelningen för tillämpad matematik Datum: 2 juni 2014

Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MMA132 Numeriska Metoder Avdelningen för tillämpad matematik Datum: 2 juni 2014 MÄLARDALENS HÖGSKOLA TENTAMEN I MATEMATIK Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MMA32 Numeriska Metoder Avdelningen för tillämpad matematik Datum: 2 juni 204 Examinator: Karl Lundengård Skrivtid:

Läs mer

TATA42: Föreläsning 7 Differentialekvationer av första ordningen och integralekvationer

TATA42: Föreläsning 7 Differentialekvationer av första ordningen och integralekvationer TATA42: Föreläsning 7 Differentialekvationer av första ordningen och integralekvationer Johan Thim 0 januari 207 Introduktion En differentialekvation (DE) i en variabel är en ekvation som innehåller både

Läs mer

6. Temperaturen u(x) i positionen x av en stav uppfyller värmeledningsekvationen. u (x) + u(x) = f(x), 0 x 2, u(0) = 0 u(2) = 1,

6. Temperaturen u(x) i positionen x av en stav uppfyller värmeledningsekvationen. u (x) + u(x) = f(x), 0 x 2, u(0) = 0 u(2) = 1, Institutionen för Matematik, KTH Tentamen del 2 Analytiska och numeriska metoder för differentialekvationer SF1523 8.-11. 18/8 217 Formelsamlingen BETA är tillåtet hjälpmedel men ej miniräknare. Råd för

Läs mer

dy dx = ex 2y 2x e y.

dy dx = ex 2y 2x e y. UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Pepe Winkler tel. 018-471 3 89 Prov i matematik Civilingenjörsprogrammen Ordinära differentialekvationer, poäng 005-04-04 Skrivtid: 14 19. Hjälpmedel: Skrivdon,

Läs mer

Kursinformation i Partikeldynamik för M (TMME08)

Kursinformation i Partikeldynamik för M (TMME08) Kursinformation i Partikeldynamik för M (TMME08) 18h föreläsningar, 6h lektioner och h datorlaboration i period VT, 009. Kurshemsida www.mechanics.iei.liu.se/edu ug/tmme08/ Föreläsare och examinator Jonas

Läs mer

Studiehandledning till MMA128. Differential- och integralkalkyl III. Version

Studiehandledning till MMA128. Differential- och integralkalkyl III. Version Studiehandledning till MMA128 ifferential- och integralkalkyl III läsåret 2012/13 Version 2013-06-07 ursinformation för MMA128 Mål Avsikten med kursen MMA128 ifferential- och integralkalkyl III är att

Läs mer

7. Ange och förklara definitionsmängden och värdemängden för funktionen f definierad enligt. f(x) = ln(x) 1.

7. Ange och förklara definitionsmängden och värdemängden för funktionen f definierad enligt. f(x) = ln(x) 1. MMA11 Matematisk grundkurs TEN Datum: 1 januari 01 Skrivtid: timmar Hjälpmedel: Penna, linjal och radermedel Denna tentamen TEN består av nio stycken om varannat slumpmässigt ordnade uppgifter som vardera

Läs mer

Tentamen i Matematisk analys, HF1905 exempel 1 Datum: xxxxxx Skrivtid: 4 timmar Examinator: Armin Halilovic

Tentamen i Matematisk analys, HF1905 exempel 1 Datum: xxxxxx Skrivtid: 4 timmar Examinator: Armin Halilovic Tentamen i Matematisk analys, HF95 exempel atum: xxxxxx Skrivtid: timmar Examinator: Armin Halilovic För godkänt betyg krävs av max poäng Betygsgränser: För betyg A, B, C,, E krävs, 9, 6, respektive poäng

Läs mer

= = i K = 0, K =

= = i K = 0, K = ösningsförslag till tentamensskrivning i SF1633, Differentialekvationer I Tisdagen den 14 augusti 212, kl 14-19 Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook Redovisa lösningarna på ett sådant sätt att beräkningar

Läs mer

log(6). 405 så mycket som möjligt. 675

log(6). 405 så mycket som möjligt. 675 MMA Matematisk grundkurs TEN Datum: 8 augusti Skrivtid: timmar Hjälpmedel: Penna, linjal och radermedel Denna tentamen TEN består av nio stycken om varannat slumpmässigt ordnade uppgifter som vardera kan

Läs mer

Program: DATA, ELEKTRO

Program: DATA, ELEKTRO Program: DATA, ELEKTRO TENTAMEN Datum: 0 aug 007 Kurser: MATEMATIK OCH MAT STATISTIK 6H3000, 6L3000, MATEMATIK 6H30 TEN (Differential ekvationer, komplea tal) Skrivtid: 3:5-7:5 Lärare: Armin Halilovic

Läs mer

Tentamen i matematik. f(x) = ln(ln(x)),

Tentamen i matematik. f(x) = ln(ln(x)), Lösningsförslag Högskolan i Skövde (SK, JS) Tentamen i matematik Kurs: MA52G Matematisk Analys MA23G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 203-05- kl 4.30-9.30 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel utöver

Läs mer

D 1 u(x, y) = e x (1 + x + y 2 ), D 2 u(x, y) = 2ye x + 1, (x, y) R 2.

D 1 u(x, y) = e x (1 + x + y 2 ), D 2 u(x, y) = 2ye x + 1, (x, y) R 2. Differentialekvationer I Modellsvar till räkneövning 4 De frivilliga uppgifterna U1 och U2 påminner om nyttiga kunskaper, och räknas inte för extrapoäng (fråga vid behov). U1. Sök en potentialfunktion

Läs mer

2 4xy. and classify each of them with respect to the corresponding linearized system. x 2 dy + 2xy = y2

2 4xy. and classify each of them with respect to the corresponding linearized system. x 2 dy + 2xy = y2 MÄLARDALEN UNIVERSITY School of Education, Culture and Communication Department of Applied Mathematics Examiner: Lars-Göran Larsson EXAMINATION IN MATHEMATICS MAA316 Differential Equations, foundation

Läs mer

1. Beräkna volymen av det område som begränsas av paraboloiden z = 4 x 2 y 2 och xy-planet. Lösning: Volymen erhålles som V = dxdydz.

1. Beräkna volymen av det område som begränsas av paraboloiden z = 4 x 2 y 2 och xy-planet. Lösning: Volymen erhålles som V = dxdydz. Lösningsförslag till tentamensskrivning i Matematik IV, F636(5B0,5B30). Tisdagen den januari 0, kl 400-900. Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook. Redovisa lösningarna på ett sådant sätt att beräkningar

Läs mer

(y 2 xy) dx + x 2 dy = 0 y(e) = e. = 2x + y y = 2x + 3y 2e 3t, = (x 2)(y 1) y = xy 4. = x 5 y 3 y = 2x y 3.

(y 2 xy) dx + x 2 dy = 0 y(e) = e. = 2x + y y = 2x + 3y 2e 3t, = (x 2)(y 1) y = xy 4. = x 5 y 3 y = 2x y 3. UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Pepe Winkler tel. 018-471 2 89 Prov i matematik Civilingenjörsprogrammen Ordinära differentialekvationer, 2 poäng 2005-01-10 Skrivtid: 8.00 1.00. Hjälpmedel:

Läs mer

} + t { z t -1 - z t (16-8)t t = 4. d dt. (5 + t) da dt. {(5 + t)a} = 4(5 + t) + A = 4(5 + t),

} + t { z t -1 - z t (16-8)t t = 4. d dt. (5 + t) da dt. {(5 + t)a} = 4(5 + t) + A = 4(5 + t), Tentamensskrivning i Matematik IV, 5B110 Måndagen den 1 oktober 005, kl 1400-1900 Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook Redovisa lösningarna på ett sådant sätt att beräkningar och resonemang är lätta

Läs mer

dt = x 2 + 4y 1 typ(nod, sadelpunkt, spiral, centrum) och avgöra huruvida de är stabila eller instabila. Lösning.

dt = x 2 + 4y 1 typ(nod, sadelpunkt, spiral, centrum) och avgöra huruvida de är stabila eller instabila. Lösning. Lösningsförslag till tentamenssrivning i SF633 Differentialevationer I Måndagen den 5 otober 0, l 0800-300 Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handboo Redovisa lösningarna på ett sådant sätt att beräningar och

Läs mer

Matematik 5 svar. Kapitel Test Blandade uppgifter Kapitel a) dy

Matematik 5 svar. Kapitel Test Blandade uppgifter Kapitel a) dy Matematik 5 svar Kapitel 3... 1 Test 3... 26 Blandade uppgifter... 29 Kapitel 3 3101. a) y (x) = 2x y(x) = x 2 + C b) y (x) = x 2 x + 1 y(x) = x3 x2 + x + C 3 2 c) y x 2 + 2 = 0 y = x 2 2 y(x) = x3 2x

Läs mer

Kursinformation och studiehandledning, M0038M Matematik I Differentialkalkyl, Lp I 2012.

Kursinformation och studiehandledning, M0038M Matematik I Differentialkalkyl, Lp I 2012. Kursinformation och studiehandledning, M0038M Matematik I Differentialkalkyl, Lp I 2012. Kursansvarig och examinator: Staffan Lundberg, TVM. Telefon: 0920-49 18 69. Rum: E 882. E-post: lund@ltu.se Lärare

Läs mer

Lösningsförslag, preliminär version 0.1, 23 januari 2018

Lösningsförslag, preliminär version 0.1, 23 januari 2018 Lösningsförslag, preinär version 0., 3 januari 08 Högskolan i Skövde Tentamen i matematik Kurs: MA5G Matematisk analys MA3G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 08-0-03 kl 4:30-9:30 Hjälpmedel

Läs mer

{ (1 + i)z iw = 2, iz + (2 + i)w = 5 + 2i, där i är den imaginära enheten. Ange rötterna z och w på rektangulär form.

{ (1 + i)z iw = 2, iz + (2 + i)w = 5 + 2i, där i är den imaginära enheten. Ange rötterna z och w på rektangulär form. MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Examinator: Lars-Göran Larsson TENTAMEN I MATEMATIK MAA13 Grundläggande vektoralgebra Datum: 7

Läs mer

Tentamen SF1633, Differentialekvationer I, den 23 oktober 2017 kl

Tentamen SF1633, Differentialekvationer I, den 23 oktober 2017 kl Matematiska Institutionen, KTH Tentamen SF633, Differentialekvationer I, den 23 oktober 27 kl 8.- 3.. Examinator: Pär Kurlberg OBS: Inga hjälpmedel är tillåtna på tentamensskrivningen. För full poäng krävs

Läs mer

, x > 0. = sinx. Integrera map x : x 3 y = cosx + C. 1 cosx x 3. = kn där k är. k = 1 22 ln 1 2 = 1 22 ln2, N(t) = N 0 e t. 2 t 32 N 1.

, x > 0. = sinx. Integrera map x : x 3 y = cosx + C. 1 cosx x 3. = kn där k är. k = 1 22 ln 1 2 = 1 22 ln2, N(t) = N 0 e t. 2 t 32 N 1. Lösningsförslag till tentamensskrivning i Diff & Trans I, 5B Lördagen den januari, kl 9-4 Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook Redovisa lösningarna på ett sådant sätt att beräkningar och resonemang är

Läs mer

Transformmetoder. Kurslitteratur: Styf/Sollervall, Transformteori för ingenjörer, 3:e upplagan, Studentlitteratur

Transformmetoder. Kurslitteratur: Styf/Sollervall, Transformteori för ingenjörer, 3:e upplagan, Studentlitteratur UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Transformmetoder Kurslitteratur: Styf/Sollervall, Transformteori för ingenjörer, 3:e upplagan, Studentlitteratur AB. Kontakt: Föreläsare och kursansvarig:

Läs mer

Lösningsförslag, tentamen, Differentialekvationer och transformer II, del 1, för CTFYS2 och CMEDT3, SF1629, den 19 oktober 2011, kl. 8:00 13:00.

Lösningsförslag, tentamen, Differentialekvationer och transformer II, del 1, för CTFYS2 och CMEDT3, SF1629, den 19 oktober 2011, kl. 8:00 13:00. Lösningsförslag, tentamen, Differentialekvationer och transformer II, del, för CTFYS2 och CMEDT3, SF629, den 9 oktober 20, kl. 8:00 3:00 av 8 3 poäng. Svar: i. sant, ii. falskt, iii. sant, iv. sant, v.

Läs mer

Tentamensskrivning i Differentialekvationer I, SF1633(5B1206). Webbaserad kurs i differentialekvationer I, SF1656.

Tentamensskrivning i Differentialekvationer I, SF1633(5B1206). Webbaserad kurs i differentialekvationer I, SF1656. Tentamensskrivning i Differentialekvationer I, SF1633(5B1206) Webbaserad kurs i differentialekvationer I, SF1656 Torsdagen den 8 januari 2009, kl 1400-1900 Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook Redovisa

Läs mer

UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Pepe Winkler tel

UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Pepe Winkler tel UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Pepe Winkler tel. 018-471 32 89 Prov i matematik Civilingenjörsprogrammen Ordinära differentialekvationer, 2 poäng 2005-10-10 Skrivtid: 9.00 14.00. Hjälpmedel:

Läs mer

1. Find, for x > 0, the general solution of the differential equation. dy/dt 4xy + 10y + 6y 2,

1. Find, for x > 0, the general solution of the differential equation. dy/dt 4xy + 10y + 6y 2, MÄLARDALEN UNIVERSITY School of Education, Culture and Communication Department of Applied Mathematics Examiner: Lars-Göran Larsson EXAMINATION IN MATHEMATICS MAA316 Differential Equations, foundation

Läs mer

Preliminärt lösningsförslag till del I, v1.0

Preliminärt lösningsförslag till del I, v1.0 Preinärt lösningsförslag till del I, v1. Högskolan i Skövde SK) Tentamen i matematik Kurs: MA152G Matematisk Analys MA123G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 215-8-18 kl 8.3-13.3 Hjälpmedel

Läs mer

Lösningsförslag till Tentamen, SF1629, Differentialekvationer och Transformer II (del 1) 24 oktober 2014 kl 8:00-13:00.

Lösningsförslag till Tentamen, SF1629, Differentialekvationer och Transformer II (del 1) 24 oktober 2014 kl 8:00-13:00. Lösningsförslag till Tentamen, SF1629, Differentialekvationer och Transformer II (del 1) 24 oktober 2014 kl 8:00-13:00. Tentamen består av åtta uppgifter där vardera uppgift ger maximalt fyra poäng. Bonus

Läs mer

Lösningsförslag till tentamen i SF1629, Differentialekvationer och Transformer II (del 1)

Lösningsförslag till tentamen i SF1629, Differentialekvationer och Transformer II (del 1) KTH, Matematik Maria Saprykina Lösningsförslag till tentamen i SF1629, Differentialekvationer och Transformer II (del 1) 1 a). Lös ekvationen 3p. 3y 2 y +16x = 2xy 3. b). Finn en lösning som är begränsad

Läs mer

TEN2, ( 3 hp), betygsskala A/B/C/D/E/Fx/F. TEN2 omfattar Laplace-, Fourier- och z-transformer samt Fourierserier

TEN2, ( 3 hp), betygsskala A/B/C/D/E/Fx/F. TEN2 omfattar Laplace-, Fourier- och z-transformer samt Fourierserier Kurs-PM MATEMATIK 2 (7.5 hp) P4, HF1000, ( tidigare 6H3011) Kursansvarig: Armin Halilovic, http://www.sth.kth.se/armin E-Mail armin@sth.kth.se rum 5046, Campus Haninge KURSFORDRINGAR: Examination: Godkända

Läs mer

Kursinformation och studiehandledning, Matematik III - Differentialekvationer, komplexa tal och transformteori, Lp III 2016.

Kursinformation och studiehandledning, Matematik III - Differentialekvationer, komplexa tal och transformteori, Lp III 2016. Institutionen för teknikvetenskap och matematik Kursinformation och studiehandledning, Matematik III - Differentialekvationer, komplexa tal och transformteori, Lp III 2016. Kursansvar: Staffan Lundberg,

Läs mer

MA2001 Envariabelanalys 6 hp Mikael Hindgren Tisdagen den 9 januari Skrivtid:

MA2001 Envariabelanalys 6 hp Mikael Hindgren Tisdagen den 9 januari Skrivtid: HÖGSKOLAN I HALMSTAD Tentamensskrivning Akademin för informationsteknologi MA00 Envariabelanalys 6 p Mikael Hindgren Tisdagen den 9 januari 08 05-670 Skrivtid: 9.00-.00 Inga jälpmedel. Fyll i omslaget

Läs mer

Studiehandledning M0038M Matematik I Differentialkalkyl Lp 1, 2016

Studiehandledning M0038M Matematik I Differentialkalkyl Lp 1, 2016 Studiehandledning M0038M Matematik I Differentialkalkyl Lp 1, 2016 Kursansvarig/Examinator: Staffan Lundberg, TVM Telefon: 0920-49 18 69 Rum: E882 E-post: Lärare i Skellefteå: Eva Lövf, tfn. 0910-58 53

Läs mer

Institutionen för matematik KTH. Tentamensskrivning, , kl B1210 och 5B1230 Matematik IV, för B, M, och I.

Institutionen för matematik KTH. Tentamensskrivning, , kl B1210 och 5B1230 Matematik IV, för B, M, och I. Institutionen för matematik KTH Tentamensskrivning, 23--9, kl 4 9 5B2 och 5B23 Matematik IV, för B, M, och I Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook För godkänt betyg 3 krävs 7 poäng, medan för betyg 4

Läs mer

x (t) = 2 1 u = Beräkna riktnings derivatan av f i punkten a i riktningen u, dvs.

x (t) = 2 1 u = Beräkna riktnings derivatan av f i punkten a i riktningen u, dvs. MATEMATIK Chalmers tekniska högskola Tentamen -8-8, kl. 4.-8. TMV6 Analys och linjär algebra K Kf Bt, del C Telefonvakt: Adam Andersson, telefon: 7-884 Hjälpmedel: Inga, bara papper och penna. För full

Läs mer

(x + 1) dxdy där D är det ändliga område som begränsas av kurvorna

(x + 1) dxdy där D är det ändliga område som begränsas av kurvorna UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Anders Källström Prov i matematik ES, W Flervariabelanalys 8 1 1 Skrivtid: 9-1. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall åtföljas av förklarande text/figurer. Varje

Läs mer

x 2 4 (4 x)(x + 4) 0 uppfylld?

x 2 4 (4 x)(x + 4) 0 uppfylld? MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Examinator: Örjan Dillner TENTAMEN I MATEMATIK MMA11 Matematisk grundkurs TEN1 Datum: 7 september

Läs mer

Repetitionsuppgifter

Repetitionsuppgifter MVE5 H5 MATEMATIK Chalmers Repetitionsuppgifter Integraler och tillämpningar av integraler. (a) Beräkna (b) Avgör om den generaliserade integralen arctan(x) ( + x) dx. dx x x är konvergent eller divergent.

Läs mer

a3 bc 5 a 5 b 7 c 3 3 a2 b 4 c 4. Förklara vad ekvationen (2y + 3x) = 16(x + 1)(x 1) beskriver, och skissa grafen.

a3 bc 5 a 5 b 7 c 3 3 a2 b 4 c 4. Förklara vad ekvationen (2y + 3x) = 16(x + 1)(x 1) beskriver, och skissa grafen. MMA Matematisk grundkurs TEN Datum: 4 juni Skrivtid: timmar Hjälpmedel: Penna, linjal och radermedel Denna tentamen TEN består av nio stycken om varannat slumpmässigt ordnade uppgifter som vardera kan

Läs mer

Kontrollskrivning KS1T

Kontrollskrivning KS1T Kontrollskrivning KS1T Matematik 2 Kurskod HF100 Skrivtid 8:15-11:15 måndagen 9 februari 2009 Tentamen består av 4 sidor Hjälpmedel: Utdelat formelblad. Räknedosa. Formelsamling Korrekt löst uppgift ger

Läs mer

a5 bc 3 5 a4 b 2 c 4 a3 bc 3 a2 b 4 c

a5 bc 3 5 a4 b 2 c 4 a3 bc 3 a2 b 4 c MMA11 Matematisk grundkurs TEN Datum: 15 augusti 01 Skrivtid: timmar Hjälpmedel: Penna, linjal och radermedel Denna tentamen TEN består av nio stycken om varannat slumpmässigt ordnade uppgifter som vardera

Läs mer

Tentamen i matematik. f(x) = 1 + e x.

Tentamen i matematik. f(x) = 1 + e x. Lösningsförslag Högskolan i Skövde (SK, JS) Tentamen i matematik Kurs: MA52G Matematisk Analys MA23G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 202-03-23 kl 4.30-9.30 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel utöver

Läs mer

Rita även upp grafen till Fourierseriens summa på intervallet [ 2π, 3π], samt ange summans värde i punkterna π, 0, π, 2π. (5) S(t) = c n e int,

Rita även upp grafen till Fourierseriens summa på intervallet [ 2π, 3π], samt ange summans värde i punkterna π, 0, π, 2π. (5) S(t) = c n e int, Institutionen för matematik KTH Tentamensskrivning, 003-08-5, kl. 14.00 19.00. 5B10/ Diff och Trans del, för F och T. Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook. För godkänt betyg 3) krävs 18 poäng, medan

Läs mer

Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MMA132 Numeriska Metoder Avdelningen för tillämpad matematik Datum: 17 januari 2013

Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MMA132 Numeriska Metoder Avdelningen för tillämpad matematik Datum: 17 januari 2013 MÄLARDALENS HÖGSKOLA TENTAMEN I MATEMATIK Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MMA3 Numeriska Metoder Avdelningen för tillämpad matematik Datum: 7 januari 03 Examinator: Karl Lundengård Skrivtid:

Läs mer

v0.2, Högskolan i Skövde Tentamen i matematik

v0.2, Högskolan i Skövde Tentamen i matematik v0., 08-03-3 Högskolan i Skövde Tentamen i matematik Kurs: MA5G Matematisk analys MA3G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 08-0-03 kl 4:30-9:30 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel utöver bifogat formelblad.

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Lördagen den 11 januari, 2014

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Lördagen den 11 januari, 2014 SF65 Envariabelanalys Tentamen Lördagen den januari, 04 Skrivtid: 9:00-4:00 Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Bengt Ek, Maria Saprykina Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra

Läs mer

2. Vilka taltripler (x, y, z) satisfierar ekvationssystemet x + 2y 13z = 4 4x y + 17z = 5

2. Vilka taltripler (x, y, z) satisfierar ekvationssystemet x + 2y 13z = 4 4x y + 17z = 5 MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Examinator: Lars-Göran Larsson TENTAMEN I MATEMATIK MAA13 Grundläggande vektoralgebra TEN3 Datum:

Läs mer

För startpopulationer lika med de stationära lösningarna kommer populationerna att förbli konstant.

För startpopulationer lika med de stationära lösningarna kommer populationerna att förbli konstant. Lösningsförslag till tentamensskrivning i Differentialekvationer I, SF633(5B6) Tisdagen den 6 augusti, kl -9 Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook Redovisa lösningarna på ett sådant sätt att beräkningar

Läs mer

1+v(0)kt. + kt = v(0) . Detta ger sträckan. x(t) = x(0) + v(0) = x(0) + 1 k ln( 1 + v(0)kt ).

1+v(0)kt. + kt = v(0) . Detta ger sträckan. x(t) = x(0) + v(0) = x(0) + 1 k ln( 1 + v(0)kt ). . (3 poäng) Antag att en partikel rör sig i ett medium där friktionskraften är proportionell mot kvadraten av hastigheten v(t) R så att dv(t) = k ( v(t) ), t > för en konstant k >. Bestäm v(t) som funktion

Läs mer

Tentamen i Envariabelanalys 2

Tentamen i Envariabelanalys 2 Linköpings universitet Matematiska institutionen Kurskod: TATA42 Provkod: TEN Tentamen i Envariabelanalys 2 206 0 8, 4 9 Inga hjälpmedel. Lösningarna ska vara fullständiga, välmotiverade, ordentligt skrivna

Läs mer

Chalmers tekniska högskola Datum: kl Telefonvakt: Christoffer Standard LMA515 Matematik KI, del B.

Chalmers tekniska högskola Datum: kl Telefonvakt: Christoffer Standard LMA515 Matematik KI, del B. MATEMATIK Hjälpmedel: inga Chalmers tekniska högskola Datum: 343 kl. 8.3.3 Tentamen Telefonvakt: Christoffer Standard 73 88 34 LMA55 Matematik KI, del B Tentan rättas och bedöms anonymt. Skriv tentamenskoden

Läs mer

2. Find an equation for and sketch the curve which begins at the point P : (3, 1) and which otherwise is given by the linear system 1 = 2

2. Find an equation for and sketch the curve which begins at the point P : (3, 1) and which otherwise is given by the linear system 1 = 2 MÄLARDALEN UNIVERSITY School of Education, Culture and Communication Department of Applied Mathematics Eaminer: Lars-Göran Larsson EXAMINATION IN MATHEMATICS MAA36 Differential Equations, foundation course

Läs mer

Bestäm ekvationen för det plan som går genom punkten (1,1, 2 ) på kurvan och som spänns

Bestäm ekvationen för det plan som går genom punkten (1,1, 2 ) på kurvan och som spänns UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Anders Källström Prov i matematik Q Flervariabelanalys 8--1 Skrivtid: 8-1. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall åtföljas av förklarande text/figurer. Tentand

Läs mer

x ( f u 2y + f v 2x) xy = 24 och C = f

x ( f u 2y + f v 2x) xy = 24 och C = f Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud SF160, Differential- och integralkalkyl II, del 2, flervariabel, för F1. Tentamen onsdag 0 maj 2012, 8.00-1.00 Förslag till lösningar 1. Bestäm tangentplanet

Läs mer

Studiehandledning till. MAA123 Grundläggande vektoralgebra

Studiehandledning till. MAA123 Grundläggande vektoralgebra Studiehandledning till MAA13 Grundläggande vektoralgebra vid kurstillfället i period 4 läsåret 013/14 Version 014-05- Information om kursen MAA13 Avsikt Avsikten med kursen MAA13 Grundläggande vektoralgebra

Läs mer

Modellering av Dynamiska system. - Uppgifter till övning 1 och 2 17 mars 2010

Modellering av Dynamiska system. - Uppgifter till övning 1 och 2 17 mars 2010 Modellering av Dynamiska system - Uppgifter till övning 1 och 2 17 mars 21 Innehållsförteckning 1. Repetition av Laplacetransformen... 3 2. Fysikalisk modellering... 4 2.1. Gruppdynamik en sciologisk modell...

Läs mer

MMA127 Differential och integralkalkyl II

MMA127 Differential och integralkalkyl II Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MMA127 Differential och integralkalkyl II Tentamen Lösningsförslag 211.8.11 14.3 17.3 Hjälpmedel: Endast skrivmaterial (gradskiva

Läs mer

MA2018 Tillämpad Matematik III-ODE, 4.0hp,

MA2018 Tillämpad Matematik III-ODE, 4.0hp, MA208 Tillämpad Matematik III-ODE, 4.0hp, 208-05-28 Hjälpmedel: Penna, radergummi och rak linjal. Varken räknedosa eller formelsamling är tillåtet! Tentamen består av 20 frågor! Endast Svarsblanketten

Läs mer

SF1635, Signaler och system I

SF1635, Signaler och system I SF635, Signaler och system I Tentamen tisdagen 0--, kl 4 00 9 00 Hjälpmedel: BETA Mathematics Handbook Räknedosa utan program Formelsamling i Signalbehandling (rosa), Formelsamling för Kursen SF635 (ljusgrön)

Läs mer

Uppgift 1. (SUBPLOT) (Läs gärna help, subplot innan du börjar med uppgiften.) 1 A) Testa och förklara hur nedanstående kommandon fungerar.

Uppgift 1. (SUBPLOT) (Läs gärna help, subplot innan du börjar med uppgiften.) 1 A) Testa och förklara hur nedanstående kommandon fungerar. INLÄMNINGSUPPGIFT 2 Linjär algebra och analys Kurskod: HF1006, HF1008 Skolår: 2016/17 armin@kth.se www.sth.kth.se/armin Redovisas under sista två (av totalt fem) labbövningar i Analys-delen. Preliminärt:

Läs mer

2 + i 2 z = 1 + i, 2. I xy-planet är Ω det begränsade område som precis innesluts av kurvorna. och sin(x) = 6 3

2 + i 2 z = 1 + i, 2. I xy-planet är Ω det begränsade område som precis innesluts av kurvorna. och sin(x) = 6 3 MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Examinator: Lars-Göran Larsson TENTAMEN I MATEMATIK MMA Matematisk grundkurs TEN Datum: 05-0-5

Läs mer

15. Ordinära differentialekvationer

15. Ordinära differentialekvationer 153 15. Orinära ifferentialekvationer 15.1. Inlening Differentialekvationer är en gren inom matematiken som beskriver en värl vi lever i bäst. Såana ekvationer kan beskriva matematiska moeller för många

Läs mer

Högskolan i Skövde (SK, JS) Svensk version Tentamen i matematik Lösningsförslag till del I

Högskolan i Skövde (SK, JS) Svensk version Tentamen i matematik Lösningsförslag till del I Högskolan i Skövde (SK, JS) Svensk version Tentamen i matematik Lösningsförslag till del I Kurs: MA15G Matematisk Analys MA13G Matematisk analys för ingenjörer MA71A Matematik för lärare C, delkurs Matematisk

Läs mer