Rationella punkter på algebraiska kurvor

Transkript

1 Rationella punkter på algebraiska kurvor Robert Nilsson, NA3a 20 maj 2014 Gymnasiearbete Gymnasieskolan Spyken Handledare: Roger Bengtsson

2 Abstract The aim of this text is to investigate dierent methods of nding rational points on algebraic curves, that is curves dened by polynomial equations involving two variables. The focus lies mainly on the study of quadratic and cubic curves but a section will also discuss a more general curve namely the Fermat Curve x n + y n = 1. The study will mainly deal with rational parametrizations of curves and how from the equations of the curves parametrize them. However, in section four a special case will be accounted for where we instead dene a curve geometrically and from this nd the parametrization. The text will also discuss when and why certain curves can and can not be parametrized. Sammanfattning Syftet med denna text är att undersöka olika metoder för att nna rationella punkter på algebraiska kurvor, det vill säga kurvor denierade av polynomekvationer i två variabler. Störst fokus kommer att ligga vid undersökning av kvadratiska och kubiska kurvor men ett avsnitt kommer även behandla en mer generell kurva nämligen Fermatkurvan x n + y n = 1. Undersökningen kommer främst att handla om rationella parametriseringar av kurvor och hur man utifrån kurvornas ekvationer parametriserar dem. I avsnitt fyra kommer emellertid ett särskilt fall redogöras för där vi istället denierar en kurva geometriskt och utifrån detta nner parametriseringen. Texten kommer även att redogöra för när och varför det går respektive inte går att parametrisera kurvor.

3 Innehåll 1 Introduktion 1 2 Teori Denition Skärningspunkter Singularitet och partiella derivator Kurvor av grad två Enhetscirkeln Andra kurvor av grad två Kurvor av grad tre Singulära kurvor av grad tre Cissoiden Icke-singulära kurvor av grad tre Kurvan x n + y n = 1 17

4 1 Introduktion Studiet av rationella punkter på algebraiska kurvor utgör en gren av talteorin som behandlar lösningar till polynomekvationer i antingen heltal eller rationella tal. Sådana ekvationer är ofta benämnda Diofantiska ekvationer efter den grekiske matematikern Diofantos. Det kanske mest kända problemet som behandlar diofantiska ekvationer är Fermats stora sats som säger att det inte nns några positiva heltalslösningar till ekvationen X n + Y n = Z n för n 3. Satsen formulerades i mitten av 1600-talet men bevisades först över 350 år senare (1995). Problemet att hitta heltalslösningar till ekvationen kan översättas till att hitta rationella lösningar till då ekvationen kan skrivas om till ( ) n X + Z x n + y n = 1 ( ) n Y = 1 Z Ekvationen x n + y n = 1 är ett av många exempel på en algebraisk kurva då dess lösningar ger upphov till en kurva i xy-planet (kurvan har blivit känd som Fermatkurvan). Kan vi nna rationella punkter på denna kurva kan vi alltså nna heltalslösningar till Fermats ekvation. I avsnitt 3.1 kommer vi att visa hur detta går till för fallet n = 2 då ekvationen har oändligt många heltalslösningar. Vi kommer även i avsnitt 5 återkomma till ekvationen och mer allmänt visa att kurvan inte är rationell det vill säga inte har någon rationell parametrisering för n 3. Denna text grundar sig i ett förslag på specialarbete i matematik hämtat från Institut Mittag-Leer ( Förslaget är konstruerat av Björn Gustafsson, KTH, och har titeln Något om algebraiska kurvor. Texten följer emellertid inte förslaget alltigenom då detta tar upp en mer allmän syn på algebraiska kurvor, utan fokuserar främst på teorin kring rationella punkter på kurvor. Boken Rational Points on Elliptic Curves [1] skriven av Joseph H. Silverman och John Tate utgör arbetets främsta källa då större delen av arbetet - teorin, avsnitt 3 och större delen av avsnitt 4 - är hämtat därifrån. Inspiration till avsnitt är hämtat från en lmad föreläsning av Norman J. Wildberger, docent vid UNSW (University of New South Wales). 1

5 2 Teori 2.1 Denition En algebraisk kurva denieras som den mängd punkter som uppfyller en ekvation f(x, y) = 0. Alla par av tal x och y som är lösningar till ekvationen kommer alltså utgöra en kurva i planet. Funktionen f är dock inte tillåten att se ut hur som helst utan måste utgöras av ett polynom i två variabler (x och y) med reella koecienter. I denna text kommer vi dock fokusera på kurvor med rationella koecienter. Ett polynom innebär alltså i detta fall en ändlig summa termer på formen ax i y j där exponenterna i och j utgörs av heltal större än eller lika med noll. Att funktionen består av två variabler innebär att kurvan är plan dvs. rör sig i två dimensioner (i planet). När man talar om en kurvas grad är det den högsta summan i + j för varje term som anger gradtalet. Exempelvis har kurvan x 2 y 2 + 3x + y 3 = 0 därför gradtalet 4. Ett sätt att beskriva algebraiska kurvor är genom så kallade parametriseringar vilka används för att generera lösningar till kurvans ekvation. Ofta är det svårt att utifrån kurvans algebraiska representation komma fram till dess utseende och geometriska egenskaper. Vi är vana att algebraiskt beskriva kurvor som y = f(x) dvs. den ena variabeln som en funktion av den andra. Lösningar (punkter) kan därför bli mycket svåra att hitta då variablerna i ekvationen istället är blandade som i exemplet ovan. En parametrisering utgörs av uttryck för x och y i en ny variabel (parameter). Genom att låta parametern variera kan alltså lösningar till ekvationen dvs. punkter på kurvan genereras. Med en rationell parametrisering kan vi enligt denna princip hitta alla rationella punkter på en given algebraisk kurva. 2.2 Skärningspunkter För två algebraiska kurvor gäller det att antalet skärningspunkter mellan dem är lika med produkten av kurvornas gradtal. Detta formulerades i en sats av den franske matematikern Étienne Bézout och är känt som Bézouts sats. Har vi exempelvis en kurva av grad m och en kurva av grad n kommer de skära varandra mn gånger. Detta kräver förstås att man tillåter särskilda synsätt på kurvor och deras egenskaper och gäller inte vid de vanligtvis rådande omständigheterna. Kurvorna y = x 2 och y = 1 har t.ex. inga skärningspunkter 2

6 i det planet vi är vana att studera. För att satsen ska gälla måste vi därför först och främst använda oss av det projektiva planet vilket har punkter i oändligheten, så kallade oändlighetspunkter. Vi måste även tillåta komplexa skärningspunkter. Slutligen måste vi räkna med skärningspunkters multipliciteter, vilket t.ex. innebär att en tangent till en kurva skär den tangerade punkten mer än en gång. 2.3 Singularitet och partiella derivator När man undersöker kurvor av grad högre än två är det särskilt intressant att studera kurvor med så kallade singulära punkter. Dessa är punkter där kurvan skär sig själv eller mer allmänt punkter genom vilka kurvan löper mer än en gång. Som exempel kan de två kurvorna y 3 = x 2 y 2 (g. 1) samt (x 2 + y 2 ) 2 = x 2 y 2 (g. 2) nämnas vilka båda tydligt har en singulär punkt i origo. Figur 1 Figur 2 Singulära punkter har egenskapen att de partiella derivatorna i punkten försvinner. Partiella derivator är derivator av funktioner i er än en variabel med avseende på endast en av dem. De andra variablerna betraktas således som konstanter vid deriveringen. Den partiella derivatan av en kurva f(x, y) = 0 med avseende på x respektive y skrivs f x respektive f y En partiell derivata kan alltså beräknas för varje variabel i ekvationen. 3

7 Låt oss säga att vi har kurvan x 3 + 2xy xy 2 = 0 och söker de partiella derivatorna. Deriverar vi med avseende på x betraktas alltså y som konstant och deriverar vi med avseende på y betraktas x som konstant. Därefter gäller traditionella deriveringsregler vilket ger f x = 3x2 + 2y y 2 f y = 2x 2xy Som nämnts är de partiella derivatorna lika med noll i en singulär punkt. Har vi en kurva f(x, y) = 0 och vill hitta en singulär punkt behöver vi alltså lösa ekvationssytemet f x = 0 f y = 0 f(x, y) = 0 vilket, om singulära punkter nns, kommer ge ett antal lösningar (x, y) det vill säga koordinaterna för de singulära punkterna. 4

8 3 Kurvor av grad två 3.1 Enhetscirkeln Den kanske mest fundamentala och välkända algebraiska kurvan av andra graden är enhetscirkeln. Cirkeln beskrivs av ekvationen x 2 + y 2 = 1 vilket innebär att alla par av tal (x, y) som uppfyller denna ekvation kommer benna sig på cirkeln. Enhetscirkeln har som en konsekvens av sitt utseende en reell parametrisering x = cos θ, y = sin θ För vilket reellt tal θ vi än väljer får vi alltså med parametriseringen ut en reell punkt på enhetscirkeln, dvs. en punkt där både x- samt y-koordinaten utgörs av reella tal. Med andra ord innebär detta att varje punkt (x, y) på enhetscirkeln har koordinaterna (cos θ, sin θ) där θ utgörs av ett godtyckligt reellt tal. Cirkeln har dock även rationella punkter vilka med denna parametrisering är svåra att generera. Väljer vi exempelvis ett rationellt tal som θ betyder det inte nödvändigtvis att en rationell koordinat genereras. För att nna de rationella koordinaterna krävs istället en rationell parametrisering dvs. en parametrisering där funktionerna som genererar x- samt y-värdena är rationella. En rationell funktion denieras som en kvot av två polynom med rationella koecienter. Vi söker alltså två funktioner r(t) samt s(t) sådana att r(t) 2 + s(t) 2 = 1 där r(t) respektive s(t) båda utgörs av kvoter mellan två polynom. För att nna dessa funktioner tänker vi oss en rät linje som löper genom punkten ( 1, 0). 5

9 Figur 3 Detta innebär att linjen får ekvationen y = t(x + 1) eftersom den har ett nollställe för x = 1. Denna linje har, vilket tydligt framgår av gur 3, egenskapen att den skär cirkeln i ytterligare en punkt P utöver skärningspunkten ( 1, 0). Har vi en rationell skärningspunkt kan vi säkerställa att även den andra kommer vara det. För att nna skärningspunkterna kommer vi få en polynomekvation av grad två. (Skärningspunkterna får vi av att lösa ett ekvationssytem med kurvans respektive linjens ekvation). Polynomekvationen kommer vi därför kunna skriva om till k(x a)(x b) = 0 där lösningarna a och b kommer utgöra x-koordinaterna för skärningspunkterna. Om både linjens och kurvan koecienter är rationella kommer även denna ekvation utmultiplicerad få rationella koecienter. Om vi nu vet att en skärningspunkt dvs. en lösning a är rationell och koecienterna ska vara rationella ser vi då att den andra lösningen b också måste vara rationell. För varje rationellt tal t som väljs kommer alltså en ny rationell punkt P genereras. För att nna koordinaterna för P, dvs. den andra skärningspunkten, måste alltså följande ekvationssystem lösas { x 2 + y 2 = 1 y = t(x + 1) 6

10 Vilket ger x 2 + t 2 (x + 1) 2 = 1 t 2 (x + 1) 2 = 1 x 2 t 2 (x + 1) 2 = (1 x)(1 + x) t 2 (x + 1) = 1 x (Lösningen x = 1 försvinner då faktorn (x + 1) förkortas bort men är inte heller intressant då den motsvarar skärningspunkten ( 1, 0) vilken redan är känd eftersom det var där l valdes att gå genom.) t 2 x + t 2 = 1 x (t 2 + 1)x = 1 t 2 x = 1 t2 1 + t 2 På detta vis har vi således fått ett uttryck som beskriver hur x-koordinaten för punkten P beror på den rationella parametern t. Med denna ekvationen och linjens ekvationen kan sedan motsvarande beräknas för y-koordinaten. x = 1 t2 1 + t 2 y = t(x + 1) ( ) 1 t 2 y = t 1 + t ( ) 1 t t 2 y = t 1 + t 2 y = 2t 1 + t 2 Vilken rationell punkt, utom (-1,0), som än väljs på enhetscirkeln kommer alltså att få koordinaten ( ) 1 t t, 2t t 2 7

11 där t representerar ett godtyckligt rationellt tal. En intressant konsekvens av denna parametrisering är att den kan användas till att generera så kallade pythagoreiska taltripplar. Dessa är grupperingar av tre heltal vilka utgör sidorna i en rätvinklig triangel, exempelvis talen 3, 4, 5 då = 5 2 Mer allmänt innebär det alltså att en pythagoreisk taltrippel utgörs av tre positiva heltal a, b, c sådana att a 2 + b 2 = c 2 (enligt Pythagoras sats). Med en enkel omskrivning av ekvationen ser vi då att problemet kan översättas till att hitta heltalslösningar till ekvationen ( a ) ( ) 2 2 b + = 1 c c vilken har tydliga likheter med enhetscirkelns ekvation x 2 + y 2 = 1 vilken i sin tur med den rationella parametriseringen kan skrivas om till ( ) 1 t 2 2 ( + 2t ) 2 = t t 2 Låter vi sedan det rationella talet t vara kvoten av heltalen m och n kan följande ekvationssystem ställas upp t = m n och lösas till ( ) 1 t t 2 ( ) 2 2t = t 2 ( ) n 2 m 2 2 ( 2mn + ) 2 = 1 n 2 + m 2 n 2 + m 2 (n 2 m 2 ) 2 + (2mn) 2 = (n 2 + m 2 ) 2 8

12 Återgår vi sedan till ekvationen a 2 + b 2 = c 2 och jämför med denna får vi slutligen a = n 2 m 2 b = 2mn c = n 2 + m 2 Vilka heltal m och n som än väljs kommer med dessa formler alltså tre nya heltal a, b, c genereras vilka har egenskapen att de utgör sidorna i en rätvinklig triangel. 3.2 Andra kurvor av grad två Metoden för att paramterisera cirkeln kan även användas till andra kurvor av grad två. Principen bygger på att man med en känd rationell punkt på kurvan och en rationell linje genom denna kan få ut den andra skärningspunkten. Denna skärningspunkten kommer då få koordinater utgjorda av funktioner av vår rationella parameter t. Detta innebär att alla kurvor av andra graden där vi vet en rationell punkt kommer gå att parametriseras rationellt enligt samma princip. Det förutsätter alltså att vi har en rationell punkt på kurvan. Som ett andra exempel kan hyperbeln nämnas vilken har ekvationen x 2 y 2 = 1 Även denna kurva går precis som enhetscirkeln genom punkten ( 1, 0). (Går enkelt att undersöka genom att ersätta x = 1 och y = 0 i ekvationen.) Låter vi sedan även här linjen y = t(x + 1) löpa genom denna punkt så kan koordinaterna för den andra skärningspunken P erhållas ur { x 2 y 2 = 1 y = t(x + 1) Löses sedan detta enligt liknande modell som i fallet med enhetscirkeln får vi slutligen parametriseringen x = 1 + t2 1 t 2, y = 2t 1 t 2 9

13 4 Kurvor av grad tre Att parametrisera tredjegradskurvor rationellt kan bli betydligt mer komplicerat än andragradskurvor. Har vi en rationell punkt på en andragradskurva, låter en linje löpa genom denna så kommer alltid den andra skärningspunkten bli rationell. Denna egenskap utgör grunden för parametriseringar av kurvor av andra graden. Låter man däremot en linje skära en kurva av grad tre kommer detta istället generellt att ske tre gånger. Är sedan en av dessa skärningspunkter rationell som i fallet med andragradskurvor nns det inget som talar för att de andra två också är det. Problemet kan dock undvikas om kurvorna är singulära det vill säga har singulära punkter. 4.1 Singulära kurvor av grad tre Singulära punkter är som tidigare nämnts punkter där kurvan skär mer än en gång. Det innebär att har man en singulär punkt på en tredjegradskurva och drar en linje genom denna kommer linjen att skära kurvan två gånger i den singulära punkten samt ytterligare en gång någon annan stans på kurvan då antalet skärningspunkter ska vara lika med tre. Är denna singulära punkt rationell går det att tillämpa samma metod för parametriseringar av andragradskurvor. Vi tänker oss alltså en rät linje genom den singulära punkten Q och låter P beteckna den tredje skärningspunkten. Denna nner vi som tidigare genom att lösa ekvationssystemet { f(x, y) = 0 y = kx + m där f(x, y) = 0 är den singulära kurvans ekvation och y = kx + m är linjens. Ekvationssystemet kommer resultera i en ekvation av grad tre (då gradtalet för f är 3 och gradtalet för linjen är 1 och 3 1 = 3). Ekvationen kommer vara ett polynom, eftersom f är det, i en variabel om vi tänker oss att vi ersätter y i f med linjens ekvationen. Med alla termer på samma sida likhetstecknet och omskriven i faktorform kommer vi då få en ekvation k(x p)(x q)(x r) = 0 där p, q och r är x-värdena för skärningspunkterna P, Q och R. Linjen skär 10

14 två gånger i den singulära punkten dvs. vi kan sätta r = q och få k(x p)(x q) 2 = 0 Polynomet utmultiplicerat ska ha endast rationella koecienter. Vi ser då att detta endast sker om p är rationell. Den tredje skärningspunkten P blir således alltid rationell om vi låter en linje löpa genom en rationell singulär punkt. Tidigare togs kurvan y 3 = x 2 y 2 upp som exempel på en singulär kurva då den har en singulär punkt i origo. Detta kan vi säkerställa genom partiell derivering. Vi börjar med att skriva om ekvationen till y 3 x 2 + y 2 = 0. Vi får de partiella derivatorna f x = 2x f y = 3y2 + 2y vilka ger oss ekvationssystemet 2x = 0 3y 2 + 2y = 0 y 3 = x 2 y 2 Vi ser av den första ekvationen att x = 0. Den andra ekvationen ger oss y(3y + 2) = 0 dvs. y 1 = 0, y 2 = 2. Ur kurvans ekvation (tredje ekvationen) 3 ser vi sedan tydligt att (0, 2) inte ligger på kurvan dvs. y 3 2 kan förkastas. Vi får därför x = 0, y = 0 som enda lösning det vill säga en singulär punkt i (0, 0). Tänker vi oss nu en rät linje gå genom origo kommer alltså ytterligare en rationell skärningspunkt P att uppstå på kurvan. 11

15 Figur 4 Den räta linjen får således ekvationen y = tx. Parametriseringen fås därför som tidigare genom att lösa { y 3 = x 2 y 2 y = tx Detta ger oss slutligen parametriseringen x = 1 t2 t 3, y = 1 t2 t Cissoiden I detta avsnitt kommer en kurva undersökas utifrån en geometrisk denition. Tidigare har vi utgått från kurvans algebraiska representation det vill säga kurvans ekvation. Nu kommer vi istället att utgå från kurvans utseende för att nna en parametrisering och sedan utifrån denna komma fram till kurvans ekvation. Cissoiden konstrueras enligt följande: Låt en cirkel med medelpunkt i (0, 0.5) tangera x-axeln och linjen y = 1. Låt A vara en punkt på cirkeln. Låt B vara skärningspunkten mellan y = 1 samt linjen genom origo O och A. Låt P vara en punkt på linjen genom O och A så att AB = OP. 12

16 Figur 5 Genom att låta A förytta sig på cirkeln kommer alltså nya punkter P att genereras vars punktmängd då kommer att utgöra cissoiden. Figur 6 För att nna parametriseringen av kurvan låter vi punkten B ha koordinaterna (t, 1). Låter vi P ha koordinaterna (x P, y P ) söker vi alltså uttryck för x P och y P som rationella funktioner av t. Vektorföryttningen ger att x P = x B x A = t x A Punkten A är skärningspunkten mellan cirkeln och linjen genom origo. Linjen har ekvationen x = ty y = x t då den går genom (0, 0) och (t, 1). Cirkeln har radien r = 0.5 och medelpunkt i (0, 0.5) vilket ger den ekvationen 13

17 x 2 + (y 0.5) 2 = x 2 + y 2 y = 0.25 x 2 + y 2 y = 0 Koordinaten x A får vi därför genom att lösa x 2 + y 2 y = 0 y = x t x 2 + x2 t 2 x t = 0 t 2 x 2 + x 2 tx t 2 = 0 t 2 x + x t = 0 x(t 2 + 1) t = 0 x A = t t För punktens y-värde gäller istället att y = x t dvs. y A = x A t y A = 1 t Vi kan nu beräkna x P enligt x A = t t x P = t x A x P = t x P = t3 t t t 2 + 1

18 Ur guren ser vi även att vektorföryttningen ger att y P = 1 y A y P = 1 1 t y P = t2 t Kurvan kan alltså parametriseras enligt x = t3 t 2 + 1, y = t2 t För att nna kurvans ekvation behöver vi nu bara ersätta t i någon av ekvationerna ovan y = x t = x t y y = t2 t y = x 2 y 2 x 2 y = x 2 y 2 x 2 + y 2 y 2 = x2 x 2 + y 2 yx 2 + y 3 = x 2 Samma ekvation hade vi fått om vi istället ersatt t i uttrycket för x. 4.2 Icke-singulära kurvor av grad tre Låt oss istället anta att vi har en rationell punkt Q på en icke-singulär kurva g(x, y) = 0 och låter som tidigare en rationell linje löpa genom denna. 15

19 Figur 7 Linjen kommer alltså att skära kurvan ytterligare två gånger i punkterna P och R. Försöker vi sedan som tidigare att lösa ekvationssystemet { g(x, y) = 0 y = kx + m för att få ut koordinaterna för P och R kommer vi inte kunna garantera att dessa är rationella. Ekvationssystemet kommer enligt samma resonemang som tidigare att ge oss ekvationen k(x q)(x p)(x r) = 0 där q, p och r är x-värdena för skärningspunkterna. Punkten Q var rationell enligt tidigare antaganden vilket innebär att q är ett rationellt tal. Polynomet utmultiplicerat ska ha endast rationella koecienter vilket innebär att även talet k måste vara rationellt. Detta kan förstås ske om p och r är rationella men förutsätter inte att de är det. Motbevis är lätta hitta. Exempelvis är p = 2 och r = 2 ett sådant då det skulle ge k(x q)(x 2)(x + 2) = 0 k(x q)(x 2 2) = 0 det vill säga endast rationella koecienter trots irrationella punkter. 16

20 För att nna rationella punkter på icke-singulära tredjegradskurvor behövs en särskild metod tillämpas. Metoden utnyttjar att om vi har två rationella punkter på en tredjegradskurva så kan vi även hitta en tredje genom att dra en linje genom dessa och se var den skär kurvan. Har vi bara en rationell punkt på kurvan kan vi dock även generellt sätt hitta en till. Figur 8 Ritar vi tangenten till en punkt S på en kurva kommer tangenten gå genom S och S dvs. två gånger genom samma punkt. Är S rationell kommer därför även den tredje skärningspunkten T bli rationell (se g. 8). Har vi då hittat en ny rationell punkt kan vi fortsätta enligt samma princip och med tangenten hitta ytterligare en ny. 5 Kurvan x n + y n = 1 I detta avsnitt kommer vi delvis att återgå till enhetscirkelns ekvation. Dock kommer den nu att undersökas i en något mer generaliserad form nämligen där exponenterna tillåts vara alla heltal större än noll. Istället för att som enhetscirkeln skrivas x 2 +y 2 = 1 kommer den nu att undersökas som x n +y n = 1 där n betecknar heltal större än noll. Det visar sig nämligen att denna kurva inte är rationell dvs. inte har en rationell parametrisering för n 3. Enhetscirkeln och kurvan (linjen) x + y = 1 är således de enda kurvorna på formen x n + y n = 1 som går att parametrisera rationellt. Detta ska vi nu bevisa. 17

21 Låt oss anta att kurvan x n + y n = 1 har en rationell parametrisering dvs. att x- och y-värdena kan uttryckas med rationella funktioner dvs. kvoter av polynom. Det skulle innebära att vi kan nna polynom p, q och r sådana att ( ) n p(t) + r(t) ( ) n q(t) = 1 r(t) p(t) n r(t) n + q(t)n r(t) n = 1 Vi kan anta att p och q inte har några gemensamma faktorer då dessa i så fall hade kunnat delas bort. Derivering av båda led ger då (i fortsättningen kommer inte (t) att skrivas ut) np n 1 p r n nr n 1 r p n r 2n + nqn 1 q r n nr n 1 r q n r 2n = 0 n(p n 1 p r n r n 1 r p n + q n 1 q r n r n 1 r q n ) r 2n = 0 p n 1 p r n r n 1 r p n + q n 1 q r n r n 1 r q n = 0 Ur varje term kan nu r n 1 brytas ut, då r n = r r n 1, så att r n 1 (p n 1 p r r p n + q n 1 q r r q n ) = 0 p n 1 p r r p n = r q n q n 1 q r p n 1 (p r r p) = q n 1 (r q q r) p r r p q n 1 = r q q r p n 1 Låt oss nu undersöka gradtalen i det ovanstående uttrycket p r r p q n 1 18

22 Ekvationen och därmed ( ) n p(t) + r(t) ( ) n q(t) = 1 r(t) p(t) n + q(t) n = r(t) n medför att gradtalet för r högst kan vara lika stort som gradtalet för p eller q. Om exempelvis p och q antas ha högsta gradtalet a kommer även r få detta gradtal då en summa av potenser inte ändrar termernas exponenter (gradtal). Däremot kan r få gradtal mindre än a om exempelvis vänsterledet kan skrivas ut till (t a +...) n + ( t a +...) n vilket i så fall skulle ge r ett lägre gradtal (om n är udda). Vi kan därför anta att r högst får gradtalet a, om p och q har högsta gradtal a. Antingen har p och q samma gradtal a eller så har en av dem ett lägre gradtal b. Gradtalen för polynomen kan alltså skrivas grad(p) = a grad(q) = b där b a grad(r) = a Nämnaren i utrycket, q n 1, får därför gradtalet b(n 1) eller, om b är så stort som möjligt, a(n 1). Täljaren p r r p får istället samma gradtal som p r eller r p, beroende på vilken term som har högst. Eftersom grad(r) högst är lika stort som grad(p) dvs. a, kommer täljaren högst att få gradtalet a + (a 1) = 2a 1. Låt oss nu istället återgå till ekvationen p n 1 (p r r p) = q n 1 (r q q r) Inledningsvis konstaterades det att p och q inte har någon gemensam faktor vilket innebär att p n 1 och q n 1 inte heller har det. Ekvationen ger då att p r r p måste innehålla faktorn q n 1 eftersom p n 1 inte gör det. Om p r r p ska innehålla q n 1 som faktor så måste gradtalet för p r r p vara större eller lika stort som gradtalet för q n 1. Då måste alltså 2a 1 vara större än a(n 1) enligt tidigare beräkningar. Vi ser då att detta endast uppfylls om n < 3. För n 3 har kurvan alltså ingen rationell parametrisering. 19

23 Referenser [1] Joseph H. Silverman, John Tate, Rational Points on Elliptic Curves. Springer-Verlag, New York, 2nd Edition,