Addition och subtraktion av bråk Multiplikation och division av bråk med heltal Multiplikation av bråk med bråk Division av bråk

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "Addition och subtraktion av bråk Multiplikation och division av bråk med heltal Multiplikation av bråk med bråk Division av bråk"

Transkript

1

2 Innehåll Vårt talsystem... 4 Heltal till och med en miljon... 4 Decimaltal... 5 Heltal upp till en miljard... 6 Heltal upp till en kvadriljon... 6 Räknesätten... 7 Addition och subtraktion... 7 Addition och multiplikation... 8 Multiplikation och division... 9 Termer Addition (+, plus ) Subtraktion (-, minus ) Multiplikation ( eller, gånger ) Division (/ eller, delat med ) Uppställning addition och subtraktion addition utan övergång addition med övergång subtraktion utan övergång subtraktion med övergång ej växling över noll subtraktion med övergång - växling över noll Multiplikation av flersiffriga tal Multiplikation av decimaltal Kort division Kort division utan växling Kort division med växling Kort division nämnaren är större än täljaren Vilket tal är störst vid multiplikation och division? Resultat av multiplikation och division Delbarhetsregler Bråk Bråkens namn Storleksordna bråk Blandad form och bråkform

3 Addition och subtraktion av bråk Multiplikation och division av bråk med heltal Multiplikation av bråk med bråk Division av bråk med bråk Förkorta och förlänga bråk Procent Räkna ut hur många procent något är Räkna ut hur mycket x % av något är Procentenheter Potenser, kvadrater och kvadratrötter Negativa tal Addition och subtraktion av negativa tal Multiplikation och division av negativa tal Avrundning och överslagsräkning Avrundning Överslagsräkning Primtal, faktorisering och primtalsfaktorisering Faktorisering Primtal Primtalsfaktorisering Ekvationer Utnyttja sambandet mellan räknesätten Balansmetoden Enheter, prefix och enhetsomvandlingar Enheter Prefix Enhetsomvandlingar Geometri Plana figurer (tvådimensionella figurer) Vinklar Symmetri Area och omkrets Tredimensionella kroppar Beräkna volym

4 Termer Korta sammanfattningar Räknesätten Addition och subtraktion Addition och multiplikation Multiplikation och division Termer Addition (+, plus ) Subtraktion (-, minus ) Multiplikation ( eller, gånger ) Division (/ eller, delat med ) Uppställning addition utan övergång addition med övergång subtraktion utan övergång subtraktion med övergång ej växling över noll subtraktion med övergång - växling över noll Delbarhetsregler

5 ental tiotal hundratal tusental tiotusental hundratusental miljontal Vårt talsystem Heltal till och med en miljon Exempel: tjugofemtusen trehundraåtta tre miljoner femhundraåtta tusen femhundraåttatusen elva en miljon femhundraåttatusen trehundraåtta en miljon femtioåttatusen trehundraåtta en miljon åttatusen trehundraåtta två miljoner trehundrafyrtiofemtusen tre Kontrollera alltid genom att: 1) Läsa upp talet du skrev. Står det vad du tänkte? 2) Kontrollera att alla siffror står på rätt plats. I talet "fem miljoner åttatusen trehundrasex" ska åttan stå på tusentalsplatsen och femman på miljontalsplatsen. Gör de det? Kolla!! 4

6 hundratusendel tiotusendel tusendel hundradel tiondel ental tiotal hundratal tusental tiotusental Decimaltal, Exempel: tjugofem komma ett åtta tre = = tjugofem hela, en tiondel, åtta hundradelar och tre tusendelar = 25,183 läses ibland slarvigt tjugofem komma etthundraåttiotre "183" är då antal tusendelar - eftersom sista siffran är en tusendelssiffra. noll komma sex nio = sex tiondelar och nio hundradelar = 0,69 läses ibland slarvigt noll komma sextionio "69" är då antal hundradelar - eftersom sista siffran är en hundradelssiffra. 0,600 = 0,60 = 0,6 Den enda siffra som har ett värde större än noll är tiondelssiffran. Talets värde ändras inte för att vi lägger på nollor efteråt. Sexan förblir tiondelssiffra eftersom den fortfarande står på samma plats direkt efter kommat. Jämför med vad som händer med siffrornas värde om vi lägger till en nolla efter ett heltal, utan att sätta dit ett komma. För heltal blir alla siffror i talet värda tio gånger mer för varje nolla vi sätter dit, eftersom siffrorna flyttar fram ett steg i positionssystemet för varje nolla vi lägger på. 0,6 är ett större tal än 0,18 Varför? Jo, för 0,6 är sex tiondelar och 0,18 bara en tiondel och åtta hundradelar. 5

7 ental tiotal hundratal tusental tiotusental hundratusental miljontal tiomiljontal hundramiljontal miljardtal ental tiotal hundratal tusental tiotusental hundratusental miljontal tiomiljontal hundramiljontal miljardtal tiomiljardtal hundramiljardtal biljontal tiobiljontal hundrabiljontal tusenbiljontal tiotusenbiljontal hundratusenbiljontal miljonbiljontal tiomiljonbiljontal hundramiljonbiljontal miljardbiljontal tiomiljardbiljontal hundramiljardbiljontal Kvadriljontal Heltal upp till en miljard Exempel: en miljard trehundraåttiofem miljoner sexhundratrettioniotusen fyrahundraarton en miljard trehundrafem miljoner sexhundratrettioniotusen fyrahundraarton två miljarder åttiofem miljoner sexhundraniotusen fyrahundra arton två miljarder fem miljoner niotusenåtta fyra miljarder nittiofem fyra miljarder tvåhundratremiljoner femtiotusensex Heltal upp till en kvadriljon x x = På engelska då? Tyvärr har olika språk inte samma namn för de stora talen. På engelska heter det så här: tiopotens svenska engelska (USA) 10 6 miljon million 10 9 miljard billion biljon trillion biljoner quadrillion kvadriljon --- På engelska är användningen dessutom olika i Storbritannien och USA, även om den amerikanske betydelsen blir vanligar. Sedan är det ju så att det är väldigt sällan man behöver tala om så stora tal. Det förekommer oftast inom olika vetenskaper och då använde man andra uttryck som ni kanske kommer att stöta på så småningom. Den som är road av dessa uttryck redan nu får säga till! 6

8 Räknesätten Addition och subtraktion Tänk dig att det ligger tre katter i en korg. Sedan kommer det dit två till. Då finns där fem katter. Det här kan du beskriva så här på mattespråk: = 5 Det blir förstås lika många katter om vi tänker att vi har två katter som går omkring och stöter på de tre katterna i korgen. På mattespråk: = 5 Men tänk nu att någon undrar hur många katter det fanns i korgen från början. Tja, det får du ju reda på om du tar bort de två som kom dit igen. På mattespråk: 5 2 = 3 Någon annan kanske vet att det var tre katter från början men undrar hur många som kom dit. Det måste ju vara det som blir kvar om man tar bort det som fanns från början. På mattespråk: 5 3 = 2 Du ser att talen 2, 3 och 5 hänger ihop. Du kan beskriva hur de hänger ihop på fyra olika sätt: = = = = 2 Det här kan man använda för att kontrollera om man räknat rätt. Att = 251 kan du kontrollera genom att räkna ut Det ska bli 362. Annars har du räknat fel någonstans. För följande ska ju gälla: = = = = 111 Du kan också använda det här för att lösa ekvationer. Om 367,45 + x = 576,99 så vet du att x = 576,99 367,45 (Eftersom x och 367,45 tillsammans blir 576,99 måste ju x vara det som blir kvar om du tar bort 367,45 från 576,99) 7

9 Addition och multiplikation Om jag ska addera samma tal flera gånger så skriver jag så här: För att slippa skriva så mycket kan jag i stället skriva så här: 8 3 Båda uttrycken betyder samma sak. I multiplikationsuttrycket talar det första talet om hur många av det andra talet jag ska addera. Alltså: 8 3 = Jag ska addera åtta treor! Ritar jag det här som en bild så ser jag att jag får samma svar (24) om jag adderar tre åttor: = 3 8 = 24 Jag kan addera antalet katter i varje rad tre gånger ( ) eller addera antalet katter i varje kolumn 1 åtta gånger ( ). Det är lika många katter på bilden hur jag än gör. Jag kan alltså alltid byta plats på talen i en multiplikation utan att svaret ändras. Jag kan också multiplicera en del av ett tal i taget, så här: 3 13 = Du ser på figuren ovan hur det fungerar. Tre rader med tretton katter i varje är lika många katter som vi får om vi först tar 3 rader med 10 katter i varje (första rutan) och sedan lägger till 3 rader med 3 katter i varje. Det här har du bland annat nytta av att förstå när du ska multiplicera med 10, 100 och 1000! 1 en kolumn är en rad på höjden 8

10 Multiplikation och division Tänk dig att det ligger tre högar med två enkronor i varje på ett bord: Totalt finns där då 3 2 = 6 enkronor Om vi i stället direkt ser att det är 6 enkronor på bordet och att det är tre högar undrar vi kanske hur många kronor det finns i varje hög. 2 Tja, då måste vi dela upp våra 6 kronor i tre högar. Vi måste dela 6 med 3 och det skriver 6/3 eller och i det här fallet vet vi ju att det är två. Alltså: 6/3 = 2 När vi delar upp det vi har i ett bestämt antal högar kallas det delningsdivision. Vi kanske i stället vet att det ligger två kronor i varje hög och undrar hur många högar det måste vara. Då delar vi 6 med 2 i stället och svaret blir 3 för vi behöver ta 2 enkronor 3 gånger för att få ihop 6 enkronor. Alltså: 6/2 = 3 När vi undrar hur många gånger ett visst antal behöver tas för att vi ska får det vi har kallas det innehållsdivision. Man kan säga att talet 6 innehåller tre 2:or. Med innehållsdivision blir det lätt att dividera med bråk också: Ett delat med en halv blir naturligtvis två, eftersom vi behöver två halvor för att få en hel. Du vet också att vi kan byta plats på talen vi multiplicerar, så precis som vid addition och subtraktion kan vi beskriva hur tre tal hänger ihop på fyra olika sätt även när det handlar om multiplikation och division: 2 3 = = 6 6/2 = 3 6/3 = 2 Även här kan du använda de här sambanden för att kontroller att du räknat rätt. Om du får 42/2 till 21 ska 2 21 bli 42! Och du kan förstås också använda de här sambanden för att lösa ekvationer! 2 Det verkar kanske lite löjligt med de här talen, för det syns ju! Men tänk om du visste att det fanns 4023 kronor på bordet och någon hade delat upp de här pengarna i 3 högar. Då blir det inte lika självklart. (Eller det kanske du tycker? Det blir i alla fall 4023/3 kronor i varje hög.) 9

11 Termer Addition (+, plus ) Räknesättet heter addition. När vi räknar med addition adderar vi. Vi beräknar summan av de termer vi adderar = 8 term summa Subtraktion (-, minus ) Räknesättet heter subtraktion. När vi räknar med subtraktion subtraherar vi. Vi beräknar differensen mellan termerna. 8 5 = 3 term differens Multiplikation ( eller, gånger ) Räknesättet heter multiplikation. När vi räknar med multiplikation multiplicerar vi. Vi beräknar produkten av faktorerna. 3 8 = 24 faktor produkt Division (/ eller, delat med ) Räknesättet heter division. När vi räknar med division dividerar vi. Vi beräknar kvoten mellan täljaren och nämnaren. täljare nämnare kvot Minnesregel: täljaren står på taket, nämnaren står där nere 10

12 Uppställning addition och subtraktion addition utan övergång Exempel: a. Ställ upp talen som ska adderas så att ental hamnar ovanför ental, tiotal ovanför tiotal o.s.v. b. Sätt också ut ett plustecken så att det syns vilket räknesätt du använder. c. Dra ett streck under alltsammans. Under strecket kommer du att skriva svaret. 2. a. Addera en talsort i taget. Börja med entalen och arbeta dig åt vänster. b. Klart! Skriv svar på rätt ställe om du behöver. 1) 2) Kontrollera gärna ditt svar: Om du drar bort det du la till så ska du få kvar det du hade från början! Om du inte kan subtraktionsuppställning än kan du använda miniräknare för kontrollen! 11

13 addition med övergång Exempel: Precis som vid uppställning utan övergång! 2. Även här räknar du en talsort i taget och börjar med entalen. Det du ska lära dig nu är vad du gör om du får en summa med två siffor. a. Redan vid entalen trasslar det sig. Du kan ju bara skriva en siffra i varje ruta och blir ju 12. Då gör du så här: i. skriv entalssiffran (2) i rutan för ental. ii. Tiotalssiffran skriver du i stället ovanför de tiotalssiffror som redan står i talet. Du får sedan räkna med den när du lägger ihop de andra tiotalen. b. Tiotalen blir alltså = 15. Alltså 5 tiotal och ett hundratal. Femman skriver du under tiotalen och ettan över hundratalen du redan hade. Den ska ju läggas ihop med dem sedan. c. Nu räknar du hundratalen och får = 13, alltså 3 hundratal och 1 tusental. Nu finns det ju inget mer att räkna ihop så du skriver trean under hundratalen och ettan tillvänster om hundratalssiffran, på tusentalsplatsen. d. Klart! Skriv svar på rätt ställe om du behöver. 1) 2) Kontrollera gärna ditt svar: Om du drar bort det du la till så ska du få kvar det du hade från början!! Om du inte kan subtraktionsuppställning än kan du använda miniräknare för kontrollen! 12

14 subtraktion utan övergång Exempel: a. Ställ upp talen som ska subtraheras så att ental hamnar ovanför ental, tiotal ovanför tiotal o.s.v. Det största talet ska stå överst. b. Sätt också ut ett minustecken så att det syns vilket räknesätt du använder. c. Dra ett streck under alltsammans. Under strecket kommer du att skriva svaret. 2. a. Subtrahera en talsort i taget. Börja med entalen och arbeta dig åt vänster. Tänk på att du alltid tar den övre siffran minus den undre! b. Klart! Skriv svar på rätt ställe om du behöver. 1) 2) Kontrollera gärna ditt svar! Det du dragit bort + det du fick kvar ska bli det största talet du hade från början! 13

15 subtraktion med övergång ej växling över noll Exempel: Precis som vid uppställning utan övergång! 2. Även här räknar du en talsort i taget och börjar med entalen. Det du ska lära dig nu är vad du gör om den nedre siffran är störst. a. Redan vid entalen trasslar det sig. Du ska ju ta den övre siffran minus den nedre. I det här fallet 3 7. Men sju är ju större än tre! Vad göra? i. Du måste växla in ett av dina tiotal till 10 ental. Stryk ett streck över den övre tiotalssiffran för att markera att du knyckt en av dem. ii. Skriv sedan 10 ovanför entalssiffrorna. Nu har du 13 ental och 13 7 = 6. iii. Skriv dit sexan på entalsplatsen under strecket. b. Nu skulle du räknat ut 2 4, men du har ju växlat in ett av tiotalen i det övre talet. Alltså har du bara 1 kvar. Men 1 4 är inte direkt bättre! i. Nu måste du växla in ett av dina hundratal till 10 tiotal. Stryck ett streck över den övre hundratalssiffran för att markera att du knyckt en av dem. ii. Skriv sedan 10 ovanför tiotalssiffrorna. Nu har du 11 tiotal och 11 4 = 7. iii. Skriv dit sjuan på tiotalsplatsen under strecket. c. Nu har du fyra hundratal kvar, eftersom du växlat in ett av dem. Räkna ut 4 3 = 1 och skriv ettan på hundratalsplatsen under strecket. d. Klart! Skriv svar på rätt ställe om du behöver. 1) 2) Kontrollera gärna ditt svar! Det du dragit bort + det du fick kvar ska bli det största talet du hade från början! 14

16 subtraktion med övergång - växling över noll Exempel: Precis som vid uppställning utan övergång! 2. Även här räknar du en talsort i taget och börjar med entalen. Det du ska lära dig nu är vad du gör om det t.ex. inte finns några tiotal när du skall växla till dig fler ental. a. Enda skillnaden är att du då måste växla till dig tiotal från hundratalen innan du kan växla till dig ental. i. Du måste växla in ett av dina tiotal till 10 ental. Men det går ju inte Det finns inga! ii. Växla då till dig 10 tiotal genom att växla in ett hundratal. Stryk ett streck över hundratalssiffran som vanligt. iii. Nu kan du växla till dig 10 ental. Då stryker du ett streck över tian ovanför tiotalen för att visa att du knyckt en av dem. iv. Nu kan du räkna ut 13 7 = 6 och skriva sexan på rätt plats. b. Nu har du redan 9 tiotal att dra bort fyra från. Räkna ut 9 4 = 5 och skriv femman på rätt plats (tiotalsplatsen under strecket). c. Nu har du fyra hundratal kvar, eftersom du växlat in ett av dem. Räkna ut 4 3 = 1 och skriv ettan på hundratalsplatsen under strecket. d. Klart! Skriv svar på rätt ställe om du behöver. 1) 2) Kontrollera gärna ditt svar! Det du dragit bort + det du fick kvar ska bli det största talet du hade från början! 15

17 Multiplikation av flersiffriga tal Titta på multiplikationen Vi kan skriva om den som upprepad addition: = Ganska tråkigt och omständligt Vi kan rita en bild av den: Tja, att rita en sådan här bild är väl heller inte något du vill göra varje gång du ska multiplicera. Men det är kanske bra att göra någon gång, för att se vad det är du egentligen gör. Om vi ska utföra multiplikationen kan vi göra på olika sätt. Vi kan räkna med mellanled på olika sätt och vi kan använda uppställning. Vi ska börja med att räkna med mellanled med hjälp av distributiva lagen för multiplikation. Den räknelag som säger att t.ex = 4 (10 + 2) = Hur tillämpar vi det på 15 23? Vi tar vår figur igen och delar den i två delar. Nu se vi att = Här är det ju ganska enkelt att se att = = 345. Hade vi haft större tal att jobba med hade vi kanske behövt göra en uppdelning till: = = = = = =

18 Vi använder alltså distributiva lagen 3 och delar upp vår multiplikation i delar, tills dessa är så enkla att vi kan räkna dem i huvudet. Hela beräkningen ovan kan skrivas som nedan: = = = = = = = = = Problemet kan också lösas med hjälp av en tabell: Skriv den multiplikation du ska beräkna i rutan högst upp till vänster Dela upp den andra faktorn i talsorter i den översta raden och den första i första kolumnen För varje ruta i mitten skriver du produkten av det tal som står överst och det tal som står till vänster. Jämför med bilderna du använde ovan! Addera dina delprodukter och skriv de summor du får i den nedersta raden. Addera talen i raden längst ned och skriv svaret på din multiplikation längst ner till höger Det här fungerar även med ännu större tal: eller = = Om additionen längst ner blir svår att göra i huvudet gör du den skriftligt! 3 Distributiva lagen säger att vi kan dela upp en multiplikation och addera delresultaten, t.ex. 2 x 13 = 2 x x 3 17

19 Uppställning- multiplikation Om vi ska lösa samma multiplikation med uppställning blir det så här: Börja med att multiplicera 5 3. Det blir 15. I den bild vi använde tidigare är detta prickarna längst ned till höger. Längst till höger i vår uppställning står ju entalen. I den produkt vi nyss räknade ut är 5 entalssiffra. Därför skriver du den under siffrorna längst till höger. Tiotalssiffran kan du inte skriva in på rätt plats ännu. Du kommer ju att få fler tiotal när du multiplicerar 5 och 2 (som egentligen är 5 och 20). Skriv därför ettan som minnessiffra någonstans Nu ska du multiplicera femman med tvåan i översta raden. Det innebär att du ska ta fem ental gånger två tiotal, alltså 5 20, rutan nedtill tillvänster i vår bild är 100 eller om du vill, 5 två tiotal är 10 tiotal. Nu måste du lägga till det tiotal du redan hade = 11. Stryk ettan du hade skrivit upp som minnessiffra. Tiotalssiffrorna ska ju stå på andra platsen bakifrån. Du kan skriva dit den sista ettan från dina 11 tiotal. De 10 tiotal som då blir över är ju ett hundratal. Eftersom du inte har fler siffror som ska multipliceras med fem behöver du inte skriva någon minnessiffra utan kan direkt skriva den ettan på hundratalsplatsen tredje platsen bakifrån Nu har du gjort de multiplikationer du ska med femman. Det motsvarar summan av alla prickar i den nedre halvan av bilden vi använde ovan. Nu ska vi räkna ut summan av alla prickar i den över halvan, d.v.s Vi börjar med att räkna ut det finns i det översta högra hörnet. Vi förenklar genom att först tänka 1 3 = 3. Egentligen är det ju 1 tiotal vi multiplicerar med 3, så den trea vi får som produkt är ju 3 tiotal = 30. Alltså skriver vi in den på tiotalsplatsen på raden under 115. Här fick vi inga hundratal som behöver skrivas i minnet Då har vi en produkt kvar att beräkna. 1 tiotal gånger 2 tiotal (10 20) = 20 tiotal = 2 hundratal eller 200. Vi skriver en tvåa på hundratalsplatsen. Vi har nu räknat ut hur många prickar det finns i den övre vänstra halvan av vår figur Då återstår bara att summera våra delprodukter. Vi räknar som vanlig addition. Att 23 är betyder 230 beror ju på att vi har bestämt var de olika talsorterna ska skrivas. Vi vet att tvåan i 23 är en hundratalssiffra. Observera att det inte spelar någon roll vilken plats faktorernas står på i förhållande till varandra vid uppställning! Man brukar sätta de sista siffrorna under varandra oberoende av talsort. Däremot är det viktigt att talsorterna står på rätt plats i dina delprodukter, som sedan ska adderas. 18

20 Multiplikation av decimaltal Det finns olika metoder du kan använda när du ska multiplicera decimaltal. Några ska du få komma på själv så småningom, med hjälp av lite olika frågor. Just nu ska du bara lära dig ett sätt att tänka på som du i princip alltid kan använda. Kom ihåg det här: 1. Multiplikation med decimaltal, allmänt = 0,4 Du ser ovan att det är samma sak att dividera med 10 som att multiplicera med en tiondel. Du kan skriva 45,6 49,4 som 456 0, ,1 = ,1 0,1 = ,1/10 = = ,01 Kan du det här kan du alltid avgöra var decimalen ska stå i en produkt av två decimaltal. 2. Börja med överslagsräkning! Om du ska räkna ut lite krångligare produkter är det bra att börja med överslagsräkning: 0,467 23,865 0,5 24 = 12. Ditt svar ska alltså bli ungefär 12. Nu kan du t.ex. använda uppställning. Skriv dit dina faktorer med komman o.s.v.. När du räknar låtsas du dock inte om att där står några kommatecken. 23,865 0, Notera! Minnessiffrorna vid additionen av delprodukterna är inte utskrivna. Var ska nu kommat skrivas? Jo, eftersom vi vet att produkten är ungefär 12 ska det skrivas efter den andra ettan. Svaret blir 11, Den här metoden kan du använda även om du t.ex. använder tabellmetoden för att multiplicera. Om du t.ex. ska multiplicera 3,45 med 4,08 så börjar du med att göra ett överslag: 3,45 4,08 3,5 4 = 7 2 = 14. Använd tabellmetoden för att beräkna Du får produkten Eftersom du vet att den produkt du söker ska vara ungefär 14 vet du då att 3,45 4,08 = 14,

21 Kort division Kort division utan växling Vid kort division delar du upp en talsort i taget. Exempel: 639/3 Vi kan skriva om den här divisionen som 600/3 + 30/3 + 9/3 = = 213 Det blir dock onödigt mycket att skriva. I stället tittar vi på en siffra en talsort i taget, men skriver bara ut kvoten: Vi börjar med att titta på hundradelssiffran; Vi får 6/3. 3 går 2 gånger i tre, så i kvoten skriver vi en tvåa på hundratalsplatsen. Sedan tittar vi på tiotalen. Vi får 3/3 och eftersom 3 går en gång i 3 får vi i kvoten en etta på tiotalsplatsen. Till sist tar vi entalen; 9/3 = 3 och vi får en trea på entalsplatsen. 20

22 Kort division med växling Ibland går inte varje talsort jämt upp när man arbetar med kort division. Då får man växla även här: Exempel: 525/3 Vi börjar med att dela upp hundratalen; 5/3. 3 går 1 gång i 5 men då får vi två hundratal över. De hundratalen får vi växla in till 20 tiotal. Vi visar att vi gör det genom att skriva en liten två snett ovanför tvåan på tiotalsplatsen. Ettan skriver vi efter likhetstecknet. Vi vet att det är en hundratalssiffra eftersom det var 5 hundratal vi skulle dela upp. 2 Nu delar vi upp tiotalen. Vi har 22 tiotal. 3 går 7 gånger i 22 eftersom 3 x 7 = 21. Men vi får 1 tiotal över. Det växlar vi in till 10 tiotal och visar det genom att skriva en liten etta snett ovanför femman på entalsplatsen. Sjuan skriver vi tiotalsplatsen efter likhetstecknet. 2 1 Nu har vi bara entalen kvar. Vi har 15 ental. 3 går 5 gånger i 15 eftersom 3 x 5 = 15. Nu gick det jämt upp! 2 1 Du kan kontrollera att du räknat rätt genom att multiplicera kvoten med nämnaren. Då ska du få täljaren: 3 x 175 = = 525. OK! Stämmer! 21

23 Kort division nämnaren är större än täljaren Vi vill beräkna 3/11 med tre decimaler. Då måste vi räkna ut fyra decimaler för att kunna avrunda riktigt. För att hålla rätt på platserna skriver jag ut positionerna för decimalerna. 3 3,0000 = 0, Vi kan också skriva = 0, Decimalerna ändrar inte talets värde, de hjälper oss att hålla koll på tiondelar och hundradelar senare i beräkningarna Vi kan ju direkt se att kvoten blir mindre än ett. Vi behöver inte ens en hel elva för att få tre. Tre är ju bara en del av elva. Men vad skall vi skriva då? Vi kan inte skriva hur många gånger 11 går i 3 ental. Men vi kan växla in våra tre ental till 30 tiondelar. Vi markerar att vi gör det genom att skriva de ental vi växlar in snett framför tiondelssiffran. Vi ser att 11 går 2 gånger i gånger 11 är 22. Men det blir 8 tiondelar kvar (30 22 = 8). 3, 3 0 0,2 _ 11 Nu växlar vi in de 8 tiondelar vi får över till 80 hundradelar. 11 går 7 gånger i gånger 7 är 77. Vi får 3 hundradelar i rest (80 77 = 3) , 0 0 0,27 11 Dessa tre hundradelar växlar vi in till 3 tusendelar. Tja, 11 gick två gånger i 30 tiondelar. 11 går två gånger i 30 hundradelar också. Och vi får förstås resten 8 nu också. Och nästa gång kommer 11 att gå 7 gånger och resten att blir tre o.s.v. 3/11 är alltså lika med 0, Med tre decimaler blir svaret 0,273. Hade vi inte fått samma rest så snabbt hade vi fått fortsätta på samma sätt som innan. 22

24 Vilket tal är störst vid multiplikation och division? Resultat av multiplikation och division Multiplikation av tal större än ett brukar inte vålla några problem. Om det ena talet däremot är mindre än ett vad händer då? Under multiplikation av decimaltal kan du läsa om att man multiplicerar med 0,4 får man samma produkt som om man först multiplicerar med 4 och sedan delar med tio. Man kan också, om man multiplicerar ett tal med ett tal mindre än ett, se det som att man tar en del av det andra talet 4. Multiplicerar man ett tal med 0,89 tar man 89 hundradelar av talet som multipliceras. Man kan säga 8 tiondelar och 9 hundradelar om man så vill. Multiplicerar man med 2,5 tar man 2 hela och 5 tiondelar eller 25 tiondelar, alltså två hela plus hälften av det tal man multiplicerar. Ju mindre talet man multiplicerar med är, desto mindre blir produkten. Produkten blir också alltid mindre än den faktor som multipliceras med decimaltalet. Ex: 0,8 x 2 = 1,6 en tiondel av 2 är 0,2. Åtta tiondelar av 2 är 8 x 0,2 = 1,6 och 1,6 < 2. Division med tal större än ett brukar också gå bra. Om man däremot skall dividera med tal mindre än ett måste man fundera lite över vad division innebär. Vi tittar på ett exempel: Ex: 5 x 2 = 10 Vi kan också skriva 10/2 = 5 Det senare kan vi se som att vi delar upp 10 i två högar. Då får vi 5 i varje hög. Men vi kan också se det som att 2 går 5 gånger i 10. Vi kan ta två fem gånger och få 10. Division och multiplikation är varandras motsatser! Om vi multiplicerar en kvot med nämnaren får man täljaren. Vi tittar på nästa exempel: Ex: Vad blir 1/0,2? Vi kan lösa uppgiften genom att fråga oss Vad skall vi multiplicera 0,2 med för att det skall bli 1? Vi undrar alltså hur många gånger 0,2 går i 1. Tja, 5 x 0,2 är 1 så svaret är alltså 5. Skall vi nu, utan att räkna ut svaret, se vilken kvot som är störst får vi tänka på att ju större nämnaren är, desto färre gånger går den i täljaren. Om täljaren är den samma måste vi multiplicera nämnaren med ett mindre tal om nämnaren är större. Ju mindre täljaren är, desto större kvot! Tänk också på att kvoten alltid blir större än täljaren när man dividerar med ett tal mindre än noll. Ex: 2/0,4 > 2/0,5 (2/0,4 = 5, 2/0,5 = 4) Om nämnaren är = 1 blir kvoten alltid lika med täljaren. Om nämnaren är större än 1 blir kvoten alltid mindre än täljaren. Om nämnaren är mindre än 1 blir kvoten alltid större än täljaren. Övertyga dig själv om det riktiga i ovanstående exempel genom att titta på några enkla exempel som du hittar på själv! Om du inte lyckas: Be din lärare om hjälp i skolan! 4 Vissa pedagoger gillar inte det sättet, men jag har pratat med flera matematiker som tycker att det är helt OK. 23

25 Delbarhetsregler När vi pratar om delbarhet handlar det alltid om heltal. Ett tal är delbart med ett annat om kvoten blir ett heltal. Exempel: 10 är delbart med 2 för kvoten mellan 10 och 2 är 5 och 5 är ett heltal 5 är inte delbart med 2 för kvoten mellan 5 och 2 är 2,5 och 2,5 är inte ett heltal. Du kan undersöka om ett tal är delbart med ett annat genom att prova att dela dem i huvudet, med någon skriftlig metod eller med miniräknare. Ofta behöver du dock inte göra det. För vissa tal kan man enkelt se om ett tal är delbara med dem eller inte. Det finns regler som beskriver hur du ser det. Det här är de enklaste delbarhetsreglerna: Alla tal som slutar på en jämn siffra är delbara med 2 de är jämna tal. Alla tal som slutar på fem eller noll är delbara med 5. Alla tal som slutar på noll är delbara med 10. För att kunna använda några andra delbarhetsregler måste du veta vad siffersumman för ett tal är. Siffersumman för ett visst tal (heltal!) räknar du ut genom att addera de siffror som bygger upp talet. Exempel: 478 har siffersumman = har siffersumman = har siffersumman = 9 Nu kan du lära dig några fler delbarhetsregler: Alla tal vars siffersumma är delbar med tre är delbara med 3. Alla jämna tal vars siffersumma är delbar med tre är delbara med 6. Alla tal vars siffersumma är delbar med nio är delbara med 9. Om du vill veta om ett tal är delbart med fyra får du dela med två först. Om då kvoten också är delbar med två så är talet delbart med 4. Kan du dela med två ytterligare en gång var ditt första tal delbart med 8 också. När det gäller sju finns det inga regler. Du får prova dig fram. Observera att om ett tal är delbart med något jämnt tal är det också delbart med två: Ex: 88 = 8 11 men två är en faktor i 8 (2 4) så då kan jag skriva = 2 44 också. Samma sak gäller för tal i treans tabell är ett tal t.ex. delbart med 6 är det också delbart med 3. Ex: 72 = 6 12 = =

26 Bråk För att förstå den här texten behöver du veta vad täljare och nämnare är. Om du inte är säker: titta på termer under räknesätt! Bråk kan användas för att ange t.ex. hur stor del av en sak eller en mängd saker man pratar om. Bråket tre sjundedelar betyder lika stor del av något, som tre delar av något som har delats i sju lika stora delar eller grupper: Bråket tre sjundedelar kan skrivas så här på mattespråk: eller 3/7 Nämnaren, alltså sjuan i det här fallet, talar om hur många bitar eller delar som är en hel eller alltihop. Det blir lite som en enhet som talar om vilkens sorts bitar vi pratar om. Är det fjärdelar eller femtedelar, eller vad är det? Lite som vi vill veta vilken valuta vi pratar om när vi pratar om pengar. Är det kronor eller dollar eller?? Täljaren, alltså trean i det här fallet, talar om hur många sådana bitar eller delar vi pratar om. Bråk som förhållande Du kan också stöta på bråk när man anger förhållande mellan mängder. Tittar du på en flaska saft brukar man ange hur saften ska spädas på det sättet. Saften kanske ska spädas 1:4. Det betyder att du ska ha en del saft till fyra delar vatten. Du får totalt fem delar vätska. En av dem är saft och du får alltså 1/5 saft. Ett vanligt bråk (1/5 ovan) heter fraction på engelska. När man anger förhållanden (1:4 ovan) heter det ratio på engelska. Bråkens namn ½ = en halv, därefter blir det mer logiskt. Vi har tredjedelar, fjärdedelar, femtedelar, sjättedelar, sjundedelar, åttondelar, niondelar, tiondelar, elftedelar, tolftedelar, trettondelar o.s.v. Storleksordna bråk ¼ av en stor sak är förstås mer än ¼ av en liten sak, men när man storleksordnar bråk pratar man alltid om så stor del av samma sak eller samma antal saker. Nämnaren lika Om alla bråk har samma nämnare är det jättelätt att storleksorda bråk. Är nämnarna lika är det ju samma sorts bitar vi pratar om. De är lika stora. Då är bråket förstås större om vi har fler bitar; 3/7 av något är mindre än 4/7. 3/7 < 4/7 i ord: tre sjundedelar är mindre än fyra sjundedelar 25

27 Täljaren lika Om alla bråk har samma täljare är det också ganska enkelt. Då har vi ju lika många bitar. Då är det bitarnas storlek som avgör. Är nämnaren liten blir det få men stora bitar. Är nämnaren stor blir det många men små bitar. Vi får ju t.ex. mindre tårtbitar om vi är många som delar på en tårta. 3/10 är alltså mindre än 3/6. 3/10 < 3/6 I ord: tre tiondelar är mindre än tre sjättedelar Jämför med kända bråk Om både täljare och nämnare får man ta till andra knep. Man kan börja med att titta på om det finns bråk som är större än ett de kommer förstås att vara större än de som är mindre än ett. Alla bråk där täljaren är lika med nämnaren är exakt ett (eftersom vi då har tagit alla bitar av den hela) Alla bråk som där täljaren är större än nämnaren är större än ett. Vi kan också så om det är några bråk som är exakt en halv, eller större eller mindre än en halv. Om täljaren är precis hälften av nämnaren är bråket exakt en halv. Är täljaren mindre än så är bråket mindre än en halv, är den större är det större än en halv. Det går förstås att göra så med fler bråk; är täljaren en tredjedel av nämnaren är bråket exakt en tredjedel, är den mindre är den mindre än en tredjedel o.s.v. Hur mycket mindre än? Det finns lite andra sätt man också kan prova. Du kan tänka ut en del själv. Du får ett exempel till här: Bråk som 8/9, 7/8 och 6/7 kan du storleksordna genom att titta på hur mycket det fattas till en hel. I det första fallet fattas 1/9, i det andra 1/8 och i det tredje 1/7. 8/9 är alltså störst och 6/7 minst. Omvandla till decimalform Om man inte lyckas storleksordna bråken på något annat sätt kan man alltid omvandla dem till decimalform först. Skall du t.ex. omvandla 3/7 till decimalform dividerar du helt enkelt 3 med 7. Vet du inte hur man gör det; titta på avsnittet om kort division! OBS! Tänk på att om nämnaren är 10, 100, 1000 eller likanande är det bara att skriva in täljaren på rätt plats i positionssystemet! 37/10 måste t.ex. vara 3,7: 37/10 = 30/10 + 7/10 = 3 + 7/10 Blandad form och bråkform Alla heltal kan förstås skrivas som bråk. 1 = 7/7 = 14/14 = 197/197 eller vad du nu vill. Har du alla bitar eller grupper har du en hel. Har du dubbelt så många som i en hel har du två; 2 = 14/7 = 200/100 = 57/57 o.s.v. Alla bråk som är större än 1 kan skrivas både i bråkform alltså bara som ett bråk, t.ex. 14/5 eller i blandad form alltså med de hela delarna för sig och det som inte räcker till en till hel för sig, det sistnämnda då i bråkform. 5 går ju 2 hela gånger i 14, och så får vi 4 femtedelar över. 14/5 blir alltså 2 4/5 i blandad form. Det kan också skrivas så här: 26

28 Addition och subtraktion av bråk Addition och subtraktion av bråk är enkelt. Det gäller bara att komma ihåg att nämnaren bara är en sort. Du kan bara addera eller subtrahera bråk med samma nämnare, alltså bråk av samma sort. Ett bra knep är att använda ord: två fjärdedelar + en fjärdedel är förstås tre fjärdedelar! Och fem sjundedelar två sjundedelar är förstås tre sjundedelar. 2/4 + 1/4 = ¾ 5/7 2/7 = 3/7 Om man ska addera bråken 2/3 och 2/6 måste man först göra om dem så de får samma nämnare. Se förkorta och förlänga bråk! 27

29 Multiplikation och division av bråk med heltal. Att multiplicera ett bråk med ett heltal eller tvärt om är också lätt. Du vet att 4 1/3 = 1/3 4 eftersom ordningen inte spelar någon roll vid multiplikation. Multiplikation med heltal kan ju skrivas om som upprepad addition och då ser vi att 4 1/3 = 1/3 + 1/3 + 1/3 + 1/3 = (4 1)/3 = 4/3 Eller Du multiplicerar alltså bara täljaren med heltalet i fråga. Det blir på samma sätt med division. Du delar täljaren med heltalet i fråga: (6/7)/3 = (6/3)/7 = 2/7 Tänk att tre personer ska dela på sex sjundedelar. Då får de 6/3 sjundedelar var, alltså 2 sjundedelar. Multiplikation av bråk med bråk Titta på multiplikationen ½ x ¾ Som vid multiplikation med decimaltal mindre än noll kan vi betrakta detta som att man tar en viss del av den andra faktorn. Här tar vi hälften av ¾. Det får vi t.ex. om vi tar hälften så stora bitar men lika många: 3/8. Titta nu på 2/3 x ¾ Vi kan betrakta detta som att vi tar 2/3 av ¾. Skall vi ha 1/3 av ¾ får vi ta bitar som är en tredjedel så stora. Vi måste dela varje fjärdedel i 4 bitar. Vi får tolftedelar. 3 x 4 = 12. Totalt får vi 3/12. Skall vi ha 2/3 av ¾ måste vi ta 2 sådana bitar. Alltså 6/12. Vad är det alltså vi gör? Jo, först delar vi det vi har (den andra faktorn) i mindre bitar. Skall vi ha ett visst antal tredjedelar av den andra faktorn måste varje bit i den delas upp i tre bitar. Då får vi totalt så många bitar som produkten av nämnare 1 och nämnare 2. Sedan räknar vi efter hur många bitar vi skall ha av de nya bitarna. Det är produkten av täljare 1 och täljare 2. Alltså: Vid multiplikation av två bråk multipliceras täljare med täljare och nämnare med nämnare. Exempel: 2/3 x ¾ = (2x3)/(3x4) = 6/12 Kan förkortas med 6 till ½. Prova att rita en bild så ser du att detta exempel stämmer. ¾ av ett varv på en cirkel är t.ex. tre av de fyra kvartar man kan dela in cirkeln i. En tredjedel av tre stycken kvartar är en kvart. Två sådana är ett halvt varv. 28

30 Division av bråk med bråk Innehållsdivision Väldigt många bråkdivisioner kan du lösa genom att tänka innehållsdivision. Exempel 1: eftersom - det behövs två halvor för att få en hel. Exempel 2: eftersom I exempel två ser du att om du har samma nämnare behöver du ju bara dividera det första talets täljare med de andra talets täljare. Nämnaren är ju bara en sort som talar om vad det är för sorts delar vi jobbar med. Ibland är det ju rätt enkelt att tänka innehållsdivision utan att nämnarna är lika. Du bör t.ex. veta att det går två fjärdedelar på en halv, så en halv delat med en fjärdedel måste alltså vara två. Om det inte är så uppenbart som i de här fallen kan du alltid göra bråken liknämniga genom att förkorta eller förlänga som när du adderar eller subtraherar bråk. Då kan du tänka som ovan igen. 29

31 Allmän metod för division av bråk Det finns en allmän metod som man kan använda när man dividerar bråk. Den bygger på det här: Tänk dig att du ska utföra divisionen. Du ska göra dem liknämniga. Båda nämnarna är primtal, så du kan inte förkorta utan måste förlänga. När nämnarna är lika innehåller de exakt samma primfaktorer. Eftersom de inte har några gemensamma primfaktorer nu och båda är primtal är alltså de enklaste bråken med gemensam nämnare du kan hitta de du får om du förlänger varje bråk med det andra bråkets nämnare : och Nu kan du skriva divisionen så här i stället: I avsnittet om innehållsdivision av bråk konstaterade vi att om nämnarna är lika behöver vi bara dividera täljarna med varandra. Vi får alltså kvoten 33/14. Skriver vi upp allt vi gjort ovan i ett svep blir det så här: Titta på det här lite noggrannare - varifrån kommer 33 och 14? Vi får dem när vi förlänger bråken och vi ser att 33 = täljaren i bråk 1 x nämnaren i bråk 2 och 14 = nämnaren i bråk 1 x täljaren i bråk 2 Det här kan användas vid alla bråkdivisioner. För alla bråk gäller följande (a, b, c och d är vilka heltal som helst som är större än 0). 30

32 Förkorta och förlänga bråk Förkorta Tänk dig en chokladkaka med 24 rutor. Om du tar åtta av de rutorna har du ju tagit 8/24 av hela kakan. Men du har också tagit två rader av åtta - alltså 2/6. Eller så kan du dela kakan i tre bitar som består av två rader var. Då har du tagit en av tre bitar alltså 1/3. Att skriva ett om ett bråk så att det blir mindre tal i täljare och nämnare kallas att förkorta bråket. Hur gör man det där på mattevis då? Tja, om du går från att titta på bitar till att titta på rader så får blir det ju som att du slår ihop bitarna fyra och fyra du delar upp dem i grupper med fyra bitar i varje. Då får du ju 24/4 = 6 grupper (innehållsdivision!), alltså en fjärdedel så många grupper. Du måste alltså dela nämnaren med 4! Men de bitar hade tagit slås ju också ihop fyra och fyra alltså måste täljaren också delas med 4! Går du från rader till de större bitarna med två rader i varje så slår du ihop raderna två och två. Då får du dela både täljare och nämnare med två: Du kunde också ha slagit ihop bitarna åtta och åtta från början: Du kan fortsätta så länge det finns något tal som det går att dela både täljare och nämnare med. När det inte finns det längre har du förkortat bråket så långt det går. Alltså: Om du delar både täljare och nämnare med samma tal är bråket fortfarande värt lika mycket. 31

33 Förlänga I stället för att slå ihop bitar i grupper kan du förstås dela upp grupper i mindre bitar. Om du från början delar chokladkakan i tre bitar och tar en av dem 1/3 kan du ju dela upp varje bit i t.ex. åtta bitar. Då får du åtta gånger så många bitar totalt sett (nämnaren) och de du ätit blir också åtta gånger så många men mindre förstås (täljaren). Du multiplicerar alltså både nämnare och täljare med åtta! Allmänt gäller: Om du multiplicerar både nämnare och täljare med samma tal är bråket fortfarande värt lika mycket. Du har nytta av att kunna förkorta och förlänga bråk t.ex. när du vill addera eller subtrahera bråk som från början har olika nämnare. Då kan du antingen förlänga eller förkorta dem så att de får samma nämnare. Exempel 1: Övertyga gärna dig själv om att det stämmer genom att rita! Exempel 2: Att förkorta och förlänga bråk kan också vara användbart när man ska omvandla ett bråk till procentform eller decimalform. Då förlänger eller förkortar man så att man får nämnaren 10, 100, 1000 eller vad som nu är enklast. Exempel: 32

34 Procent Man kan ange andelar av något i bråk. Man kan också ange andelar i procent. Procent är samma sak som antal hundradelar. 57/100 kan skrivas 57 % (57 procent). Skall du skriva om ett bråk som procent kan du prova att förlänga eller förkorta så att nämnaren blir 100 så är det klart. Ibland behöver du inte göra det du vet ändå. Exempel: Tag 1/2 till exempel. Du vet att en hel allting är 100 % (det måste förstås vara alla de hundra hundradelarna alltså 100 %). Hälften är förstås hälften av dessa alltså 50 %. På samma sätt är 1/4 = 100/4 % = 25 % Funkar inget av detta omvandlar du bråket till decimalform med hjälp av miniräknare eller kort division och så läser du av hur många hundradelar det är; 0,2987 är t.ex. 29,87 %. Precis som ett bråk kan vara större än 1 så kan man ha mer än 100 %. Om jag äter 1 och en halv tårta har jag t.ex. ätit 150 % av en hel tårta. Räkna ut hur många procent något är Det viktiga är att veta vad det hela är. Vad är det du jämför med? Är det hur mycket pengar du har på ditt konto? Är det vad ett par byxor kostar innan prishöjning eller efter prishöjning? Vet du vad du jämför med så måste du också veta vad du jämför med detta. Kanske hur mycket du fick i ränta (i kronor) när du hade si och så mycket pengar på kontot? Det du jämför med det hela kallar vi delen. Du får antal procent genom att räkna ut delen / det hela och skriva svaret i procentform. Exempel: Putte har kronor på sitt bankkonto. På ett år får han 100 kronor i ränta. Vad är räntan i procent? 100/ = 1/200 = 0,005 = 0,5 % Svar: Räntan var 0,5% Räkna ut hur mycket x % av något är Du kan räkna ut hur mycket x % av något är på flera sätt. Här får du två varianter i form av två exempel. Exempel 1 Börja med att räkna ut hur mycket 1 % är Hur mycket är 24 % av 200? 1 % = 200/100 = 2 24% = 24 x 2 = 48 Svar: 24 % av 200 är 48 Exempel 2 Gör om till decimalform först Hur mycket är 24 % av 200? 24 % = 0,24 Jag ska ta 24 hundradelar av 200. Det gör jag om jag multiplicerar 0,24 med 20! 0,24 x 200 = 0,24 x 100 x 2 = 24 x 2 = 48 Svar: 24 % av 200 = 48 33

35 Procentenheter Det gäller att skilja på procent och procentenheter. Om räntan är 10 % och höjs till 12 % ökar den med 2/10 = 20 % men bara med = 2 procentenheter. Potenser, kvadrater och kvadratrötter På samma sätt som man kan skriva om upprepad addition av samma tal som multiplikation kan man skriva om upprepad multiplikation av samma tal som en potens. Exempel: = = läser man tre upphöjt till fyra I uttrycket 3 4 kallas trean bas och fyran expontent Att ta ett tal upphöjt till två, alltså multiplicera det med sig själv, kallas att ta kvadraten på talet. Namnet har att göra med att arean på en kvadrat är sidan x sidan (och båda sidorna är ju lika långa i en kvadrat alltså multiplicerar man ett tal med sig själv när man räknar ut arean). 3 2 = 9 är alltså kvadraten på 3. Ett tals kvadratrot kan man säga är motsatsen till kvadraten. Ett tals kvadratrot svarar på frågan: Vilket positivt tal ska jag ta kvadraten på för att få det här talet? Kvadratroten ur 9 är alltså 3 eftersom 3 2 = 9 Man skriver så här: OBS! Av tekniska orsaker skrivs potenser i dina läxor oftast så här: 10 ^ 2 i stället för Det betyder precis samma sak och du kan själv skriva om det till det vanliga sättet innan du läser uppgiften. 34

36 Negativa tal Addition och subtraktion av negativa tal Att addera med ett negativt tal är samma sak som att subtrahera. Ex: 5 + (-4) = 5 4 = 1 Vad händer om man subtraherar med ett negativt tal? Vi kan roa oss med ett exempel: Ett flygplan flyger på 500 m höjd och ett annat på 300 m höjd. Höjdskillnaden är ( ) m. På samma sätt borde man kunna räkna ut höjdskillnaden mellan det första flygplanet och en ubåt på 200 m djup. På samma sätt som man brukar kalla källarvåningar för - 1, -2 o.s.v., med bottenvåningen som noll, anger vi ubåtens avstånd till havsytan som -200 m. Om vi räknar ut höjdskillnaden mellan flygplan 1 och ubåten på samma sätt som mellan de två flygplanen får vi uttrycket (500 (-200))m. Man kan inse att avståndet är 500 m ovanför vattenytan och 200 m under vattenytan, alltså ( ) m = 700 m. Det blir det bara om vi räknar de två minustecknen som plus! Vi kan också titta på följande serie subtraktioner: 5 3 = = = = 5 5 (-1) =? Tittar vi från början ser vi att differensen blir större ju mindre den andra termen blir. Minskar den andra termen med 1 ökar differensen med 1. Det verkar rimligt att mönstret skall fortsätta även om den andra termen råkar bli mindre än 1. Så är också fallet. 5 (-1) = 6 5 (-2) = 7 o.s.v. Att subtrahera ett negativt tal innebär alltså samma sak som att addera motsvarande positiva tal. Exempel: 5 (-6) = = 1 35

37 Multiplikation och division av negativa tal Att multiplicera eller dividera ett negativt tal med ett positivt brukar inte vara något problem. Det känns inte konstigt att 2 x -3 = -6. Och eftersom ordningen på faktorerna inte spelar någon roll vid multiplikation (2 x 3 = 3 x 2) är det heller inte konstigt att -3 x 2 = -6. Tittar vi på division är det inte heller konstigt att t.ex. -10/2 = -5. Kvoten gånger nämnaren skall ju bli täljaren. Det känns inte heller konstigt att hälften av -10 är -5. Däremot känns det kanske lite skumt att säga att två går -5 ggr i -10. minus fem gånger känns lite abstrakt. Kanske blir det bättre om man säger att man får ta bort två fem gånger för att få minus 10. Om man dividerar två negativa tal då? Tja, då verkar det inte orimligt att säga att -2 går fem gånger i /-2 = 5. Kvoten av två negativa tal är alltså positiv. Vi kan titta på multiplikation av två negativa tal på ett annat sätt: Vi kikar på en serie igen: -3 x 4 = x 3 = -9-3 x 2 = -6-3 x 1 = -3-3 x 0 = -0-3 x (-1) =? På samma sätt som vid addition är det inte orimligt att anta att mönstret fortsätter. Om produkten växer med tre varje gång den varierande faktorn minskar med ett bör detta gälla även om även den andra faktorn blir negativ. Så är också fallet. Multiplicerar man ett negativt tal med ett annat negativt tal blir produkten positiv. Då ser vi också att kvoten mellan en positiv täljare och en negativ nämnare blir negativ. Produkten av kvoten och nämnaren är ju lika med täljaren, som är positiv. Då måste kvoten vara negativ om nämnaren är negativ. Serien ovan fortsätter -3 x (-1) = 3-3 x (-2) = 6 o.s.v. Exempel: -5 x -5 = 25-30/-6 = 5 36

38 Avrundning och överslagsräkning Avrundning Ibland vill man avrunda ett tal. Man kanske vid en beräkning får ett tal som aldrig tar slut. Delar jag ett med tre får jag t.ex. 0, Jag kan fortsätta i evighet. Det tar inte slut i alla fall. Jag måste bestämma hur många siffror jag skall ha med. Hur många siffror jag vill ha med kan jag tala om på olika sätt. Jag kan tala om hur många decimaler jag vill ha med i svaret. Jag kan tala om hur många gällande siffror jag skall ha med. Jag kan säga att jag skall avrunda till närmsta hundradel eller närmsta tiotal eller till heltal. I affären avrundar jag den totala summan jag handlar för till närmsta femtioöring. Avrundning till givet antal decimaler Om jag skall avrunda till ett visst antal decimaler måste jag veta vad decimaler är. Decimaler är siffrorna efter kommat. De som betyder tiondelar, hundradelar etc. Ex 1: Vi tar talet 23,45832 Om jag vill avrunda det till två decimaler skall det tal jag skriver vara så nära 23,45832 som möjligt men bara ha två decimaler kvar. 23,45832 ligger mellan 23,45 och 23,46. Eftersom siffran efter femman är en åtta ligger talet närmare 23,46 än 23,45. Hade åttan varit en fyra eller mindre hade talet legat närmare 23,45. Hade åttan varit en femma hade talet legat närmare 23,46 eftersom det finns siffror större än noll i nästa position. Även om det inte finns det avrundar man uppåt om siffran efter den sista som skall stå kvar är en femma. Alltså: Avrundning till 2 decimaler 23, ,46 23, ,34 23, ,35 23,345 23,35 Ex 2: Avrundning av talet 23, a) till 1 decimal 23,0 b) till 2 decimaler 23,00 c) till 3 decimaler 23,002 d) till 4 decimaler 23,0016 e) till 5 decimaler 23,

TAL OCH RÄKNING HELTAL

TAL OCH RÄKNING HELTAL 1 TAL OCH RÄKNING HELTAL Avsnitt Heltal... 6 Beräkningar med heltal...16 Test Kan du?... 1, 27 Kapiteltest... 28 Begrepp addition avrundning bas differens division exponent faktor kvadratroten ur kvot

Läs mer

Dra streck. Vilka är talen? Dra pil till tallinjen. Skriv på vanligt sätt. Sätt ut <, > eller =

Dra streck. Vilka är talen? Dra pil till tallinjen. Skriv på vanligt sätt. Sätt ut <, > eller = n se ta l l ta al u at sen nt al rat l r l d d n iotu se hun tiot a ent a hu t tu + + 7 tiotusental tusental 7 tiotal 7 7 7 7 Ju längre till höger, desto större är talet. 7 > 7 Siffran betyder tiotusental

Läs mer

Blandade uppgifter om tal

Blandade uppgifter om tal Blandade uppgifter om tal Uppgift nr A/ Beräkna värdet av (-3) 2 B/ Beräkna värdet av - 3 2 Uppgift nr 2 Skriv (3x) 2 utan parentes Uppgift nr 3 Multiplicera de de två talen 2 0 4 och 4 0 med varandra.

Läs mer

1 mindre än 2 > 3 = Hur stor andel är färgad? Sätt ut < eller > Storlek på bråk. Skriv på två sätt. Skriv i blandad form. Skriv som bråk.

1 mindre än 2 > 3 = Hur stor andel är färgad? Sätt ut < eller > Storlek på bråk. Skriv på två sätt. Skriv i blandad form. Skriv som bråk. täljare bråkstreck ett bråk nämnare Vilket bråk är störst? Ett bråk kan betyda mer än en hel. Olika bråk kan betyda lika mycket. _ 0 två sjundedelar en hel och två femtedelar > 0 > 0 < > > < > Storlek

Läs mer

Facit följer uppgifternas placering i häftet.

Facit följer uppgifternas placering i häftet. Facit följer uppgifternas placering i häftet. Sidan 2: Ringa in talet som är närmast en hel. 0,9 Skriv talet i decimalform. tre tiondelar 0,3 en tiondel 0,1 två tiondelar 0,2 sex tiondelar 0,6 sju tiondelar

Läs mer

Sammanfattningar Matematikboken X

Sammanfattningar Matematikboken X Sammanfattningar Matematikboken X KAPITEL 1 TAL OCH RÄKNING Naturliga tal Med naturliga tal menas talen 0, 1,,, Jämna tal 0,,, 6, 8 Udda tal 1,,, 7 Tallinje Koordinater En tallinje kan t ex användas för

Läs mer

Ett tal kan vara en eller flera siffror men en siffra är alltid ensam. - + Talsort ental, tiotal, hundratal osv siffran 7 är tiotal

Ett tal kan vara en eller flera siffror men en siffra är alltid ensam. - + Talsort ental, tiotal, hundratal osv siffran 7 är tiotal TEORI Pixel 4A kapitel 1 Heltal Siffror 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Tal skrivs med en eller flera siffror Ett tal kan vara en eller flera siffror men en siffra är alltid ensam. Tallinje mindre färre sjunker -

Läs mer

En siffra har olika värde beroende på vilken plats i talet den har. 48 = 4 tiotal 8 ental 327 = 300 + 20 + 7. Alla tal ligger på en tallinje.

En siffra har olika värde beroende på vilken plats i talet den har. 48 = 4 tiotal 8 ental 327 = 300 + 20 + 7. Alla tal ligger på en tallinje. En siffra har olika värde beroende på vilken plats i talet den har. 48 = 4 tiotal 8 ental 7 = + + 7 Siffran 6 betyder 6 tusental = 6 tusental hundratal 4 8 7 6 9 tiotal ental Siffran 9 betyder 9 tiotal

Läs mer

Matematik klass 3. Vårterminen. Anneli Weiland Matematik åk 3 VT 1

Matematik klass 3. Vårterminen. Anneli Weiland Matematik åk 3 VT 1 Matematik klass 3 Vårterminen Anneli Weiland Matematik åk 3 VT 1 Minns du från höstens bok? Räkna. Se upp med likhetstecknet, var finns det? 17-5= 16+ =19 18-2= 15-4= 19=12+ 19-3= 15+4= 20-9= 18=20- +16=20

Läs mer

0,1 0,3 0,6 0,9 0,2 + 0,3 = 0,5 0,7 + 0,1 = 0,8 0,3 + 0,5 = 0,8 0,5 + 0,4 = 0,9 0,3 + 0,3 = 0,6 0,4 + 0,3 = 0,7

0,1 0,3 0,6 0,9 0,2 + 0,3 = 0,5 0,7 + 0,1 = 0,8 0,3 + 0,5 = 0,8 0,5 + 0,4 = 0,9 0,3 + 0,3 = 0,6 0,4 + 0,3 = 0,7 Facit följer uppgifternas placering i häftet. Sidan 2: Tal i decimalform Tiondelar 0,9 är närmast en hel Skriv talet i decimalform. sju tiondelar 0,7 en tiondel 0,1 fyra tiondelar 0,4 fem tiondelar 0,5

Läs mer

Arbetsblad 1:1. 1 a) b) c) d) 2 a) b) c) d) 3 a) 8 b) 42 c) 189 d) a) b) c) d)

Arbetsblad 1:1. 1 a) b) c) d) 2 a) b) c) d) 3 a) 8 b) 42 c) 189 d) a) b) c) d) Arbetsblad 1:1 Egyptiska och romerska talsystemet Skriv med vanliga siffror 1 a) b) c) d) 2 a) b) c) d) Skriv med egyptiska talsymboler 3 a) 8 b) 42 c) 189 d) 2 431 4 a) 111 111 b) 43 245 c) 402 000 d)

Läs mer

Arbetsblad 1:1. Tiondelar på tallinjen 0,9 1,1 0,8. 6 Sätt ut pilar som pekar på talen: A = 0,3 B = 0,8 C = 1,4

Arbetsblad 1:1. Tiondelar på tallinjen 0,9 1,1 0,8. 6 Sätt ut pilar som pekar på talen: A = 0,3 B = 0,8 C = 1,4 Arbetsblad 1:1 Tiondelar på tallinjen 1 Skriv rätt tal på pilarna. 0,9 0 1 2 0 1 3 1,1 1 2 4 0,8 0 1 2 3 5 1 2 3 4 6 Sätt ut pilar som pekar på talen: A = 0,3 B = 0,8 C = 1,4 0 1 7 Sätt ut pilar som pekar

Läs mer

2-5 Decimaltal Namn: Inledning. Vad är ett decimaltal, och varför skall jag arbeta med dem?

2-5 Decimaltal Namn: Inledning. Vad är ett decimaltal, och varför skall jag arbeta med dem? 2-5 Decimaltal Namn: Inledning Tidigare har du jobbat en hel del med bråktal, lagt ihop bråk, tagit fram gemensamma nämnare mm. Bråktal var lite krångliga att arbeta med i och med att de hade en nämnare.

Läs mer

Lokal studieplan Matematik 3 8 = 24. Centrum för tvåspråkighet Förberedelseklass

Lokal studieplan Matematik 3 8 = 24. Centrum för tvåspråkighet Förberedelseklass Lokal studieplan Matematik 3 8 = 24 Centrum för tvåspråkighet Förberedelseklass 1 Mål att sträva mot Skolan skall i sin undervisning i matematik sträva efter att eleven S11 utvecklar intresse för matematik

Läs mer

Lokala kursplaner i Matematik Fårösunds skolområde reviderad 2005 Lokala mål Arbetssätt Underlag för bedömning

Lokala kursplaner i Matematik Fårösunds skolområde reviderad 2005 Lokala mål Arbetssätt Underlag för bedömning Lokala kursplaner i Matematik Fårösunds skolområde reviderad 2005 Lokala mål Arbetssätt Underlag för bedömning Eleven skall år 1 Begrepp Jämförelse- och storleksord, t.ex. stor, större, störst. Positionssystemet

Läs mer

KW ht-17. Övningsuppgifter

KW ht-17. Övningsuppgifter Övningsuppgifter Ht-2017 1 Innehållsförteckning: Taluppfattning, positionssystem s. 3 4 Räkning, prioriteringsregler s. 4 6 Tvåbassystemet s. 6-7 Avrundning och noggrannhet s. 8-11 Bråk s. 12-17 Decimaltal

Läs mer

Bråk. Introduktion. Omvandlingar

Bråk. Introduktion. Omvandlingar Bråk Introduktion Figuren till höger föreställer en tårta som är delad i sex lika stora bitar Varje tårtbit utgör därmed en sjättedel av hela tårtan I nästa figur är två av sjättedelarna markerade Det

Läs mer

Lathund, bråk och procent åk 7

Lathund, bråk och procent åk 7 Lathund, bråk och procent åk 7 Är samma som / som är samma som en tredjedel och samma som en av tre. är täljaren (den säger hur många delar vi har), tänk täljare = taket = uppåt är nämnaren (den säger

Läs mer

3-3 Skriftliga räknemetoder

3-3 Skriftliga räknemetoder Namn: 3-3 Skriftliga räknemetoder Inledning Skriftliga räknemetoder vad är det? undrar du kanske. Och varför behöver jag kunna det? Att det står i läroplanen är ju ett klent svar. Det finns miniräknare,

Läs mer

Arbetsblad 1:1. Hela tal på tallinjen. Skriv rätt tal på linjen. 7, Bonnier Utbildning och författarna

Arbetsblad 1:1. Hela tal på tallinjen. Skriv rätt tal på linjen. 7, Bonnier Utbildning och författarna Arbetsblad 1:1 Hela tal på tallinjen 1 Skriv rätt tal på linjen. 55 0 50 100 2 0 10 20 3 0 100 200 300 100 200 5 1 000 2 000 6 50 000 60 000 7 100 000 200 000 Arbetsblad 1:2 Positionssystemet 1 Skriv talen

Läs mer

Sammanfattningar Matematikboken Y

Sammanfattningar Matematikboken Y Sammanfattningar Matematikboken Y KAPitel 1 TAL OCH RÄKNING Numeriska uttryck När man beräknar ett numeriskt uttryck utförs multiplikation och division före addition och subtraktion. Om uttrycket innehåller

Läs mer

Lokala mål i matematik

Lokala mål i matematik Lokala mål i matematik År 6 År 7 År 8 År 9 Taluppfattning (aritmetik) förstår positionssystemets uppbyggnad med decimaler ex: kan skriva givna tal adderar decimaltal ex: 15,6 + 3,87 subtraherar decimaltal

Läs mer

Studieplan och bedömningsgrunder i Matematik för åk 7 Moment Bedömningsgrunder för uppnåendemålen Begreppsbildning Tal och räkning

Studieplan och bedömningsgrunder i Matematik för åk 7 Moment Bedömningsgrunder för uppnåendemålen Begreppsbildning Tal och räkning Moment Begreppsbildning Mätningar och enheter Algebra och ekvationer Studieplan och bedömningsgrunder i Matematik för åk 7 Bedömningsgrunder för uppnåendemålen känna igen naturliga tal kunna positiva heltal:

Läs mer

Södervångskolans mål i matematik

Södervångskolans mål i matematik Södervångskolans mål i matematik Mål som eleverna lägst ska ha uppnått i slutet av det första skolåret beträffande tal och taluppfattning kunna läsa av en tallinje mellan 0-20 kunna läsa och ramsräka tal

Läs mer

Matematik klass 2. Vårterminen. Anneli Weiland Matematik åk 2 VT 1

Matematik klass 2. Vårterminen. Anneli Weiland Matematik åk 2 VT 1 Matematik klass 2 Vårterminen Anneli Weiland Matematik åk 2 VT 1 Minns du från höstens bok? Tiokamraterna 10=5+ 10=1+ 10=2+ 10=5+ 10=4+ 10=0+ 10=9+ 10=4+ 10=7+ 10=3+ 10=6+ 10=10+ 10=2+ 10=1+ 10=3+ 10=7+

Läs mer

Matematikpärmen 4-6. 105 fullmatade arbetsblad i matematik för åk 4-6. Massor med extrauppgifter.

Matematikpärmen 4-6. 105 fullmatade arbetsblad i matematik för åk 4-6. Massor med extrauppgifter. M A T E M A T I K P Ä R M E N - 6 Matematikpärmen -6 Arbetsblad med fri kopieringsrätt! 05 fullmatade arbetsblad i matematik för åk -6. Massor med extrauppgifter. Materialet är indelat i 7 områden per

Läs mer

ARBETSPLAN MATEMATIK

ARBETSPLAN MATEMATIK ARBETSPLAN MATEMATIK Genom undervisningen i ämnet matematik ska eleverna sammanfattningsvis ges förutsättningar att utveckla sin förmåga att formulera och lösa problem med hjälp av matematik samt värdera

Läs mer

2-1: Taltyper och tallinjen Namn:.

2-1: Taltyper och tallinjen Namn:. 2-1: Taltyper och tallinjen Namn:. Inledning I det här kapitlet skall du studera vad tal är för någonting och hur tal kan organiseras och sorteras efter storleksordning. Vad skall detta vara nödvändigt

Läs mer

Torskolan i Torsås Mars 2007. Matematik. Kriterier för betyget godkänd. Metoder: Arbetssätt. Muntligt. Problemlösning

Torskolan i Torsås Mars 2007. Matematik. Kriterier för betyget godkänd. Metoder: Arbetssätt. Muntligt. Problemlösning Torskolan i Torsås Mars 2007 Matematik Kriterier för betyget godkänd Metoder: Arbetssätt Ta ansvar för sin egen inlärning. Göra läxor. Utnyttja lektionstiden (lyssna, arbeta). Utnyttja den hjälp/stöd som

Läs mer

2-7: Bråk-förlängning Namn:.. Inledning

2-7: Bråk-förlängning Namn:.. Inledning 2-7: Bråk-förlängning Namn:.. Inledning I kapitlet om addition och subtraktion av bråk fick du lite problem när du stötte på bråk som hade olika nämnare. Då kunde man inte förenkla uttrycket, eftersom

Läs mer

Tal i bråkform. Kapitlet behandlar. Att förstå tal

Tal i bråkform. Kapitlet behandlar. Att förstå tal Tal i bråkform Kapitlet behandlar Test Användning av hälften och fjärdedel 2 Representation i bråkform av del av antal och av del av helhet 3, Bråkform i vardagssituationer Stambråk, bråkuttryck med 1

Läs mer

Denna uppdelning är ovanlig i Sverige De hela talen (Både positiva och negativa) Irrationella tal (tal som ej går att skriva som bråk)

Denna uppdelning är ovanlig i Sverige De hela talen (Både positiva och negativa) Irrationella tal (tal som ej går att skriva som bråk) UMEÅ UNIVERSITET Institutionen för matematik och matematisk statistik Olof Johansson, Nina Rudälv 2006-10-24 SÄL 1-10p Avsnitt 1.1 Grundläggande begrepp Detta avsnitt behandlar de symboler som används

Läs mer

Volym liter och deciliter

Volym liter och deciliter Volym liter och deciliter Måla så volymen stämmer. Skriv så volymen stämmer. : l och dl l dl l och 8 dl 0 l 9 dl dl l dl Hur många dl ska du hälla i för att få l? 7 9 dl dl dl dl dl Hur mycket? Skriv.

Läs mer

Matematik klass 1. Vår-terminen

Matematik klass 1. Vår-terminen Matematik klass 1 Vår-terminen Rita din matematik-bild Skriv ditt namn i rutan Måla alla rutor där svaret blir 10 3+2 1+9 5+4 6+4 3+7 5+5 4-4 8+4 3+7 9+0 2+8 2+4 7+3 7-6 5+2 5+5 4+4 3+7 6-2 6+4 8+3 6+1

Läs mer

Matematik EXTRAUPPGIFTER FÖR SKOLÅR 7-9

Matematik EXTRAUPPGIFTER FÖR SKOLÅR 7-9 Matematik EXTRAUPPGIFTER FÖR SKOLÅR 7-9 Matematik Extrauppgifter för skolår 7-9 Pärm med kopieringsunderlag. Fri kopieringsrätt inom utbildningsenheten! Författare: Mikael Sandell Copyright 00 Sandell

Läs mer

Matematik Steg: Bas. Mål att sträva mot Mål Målkriterier Omdöme Åtgärder/Kommentarer

Matematik Steg: Bas. Mål att sträva mot Mål Målkriterier Omdöme Åtgärder/Kommentarer Matematik Steg: Bas ha en grundläggande taluppfattning som omfattar naturliga tal och enkla tal i talområdet 0-10 bråk- och decimalform ordningstal upp till 5 ha en grundläggande rumsuppfattning och kunna

Läs mer

Matematik F- 6 Checklista för matematik K L A R A T Begreppsbildning år år år år år år år Kunna ord om: F 1 2 3 4 5 6 storlek ex störst, minst antal ex flera, färre volym ex mest, minst vikt ex tyngst,

Läs mer

matematik FACIT Läxbok Koll på Sanoma Utbildning Hanna Almström Pernilla Tengvall

matematik FACIT Läxbok Koll på Sanoma Utbildning Hanna Almström Pernilla Tengvall Koll på 2B matematik FACIT Läxbok Hanna Almström Pernilla Tengvall Sanoma Utbildning 7 7Addition, subtraktion Dubbelt. Skriv. 2 + 2 = 5 + 5 = + = + = 6 8 9 + 9 = 7 + 7 = 8 + 8 = 6 + 6 = 8 6 2 Tiokamrater.

Läs mer

jämföra/storleksordna talen jämföra/storleksordna talen Jag kan jämföra/storleksordna talen

jämföra/storleksordna talen jämföra/storleksordna talen Jag kan jämföra/storleksordna talen Utveckling A Taluppfattning 0-100 Jag kan ramsräkna 0-100. Jag kan jämföra/storleksordna talen 0-100. Jag kan markera ut tal 0-100 på en tallinje. Jag förstår tiotal och ental för talen 0-100. B Taluppfattning

Läs mer

Arbetsblad 1:1. Poängkryss. Arbeta tillsammans > <

Arbetsblad 1:1. Poängkryss. Arbeta tillsammans > < Arbetsblad : Arbeta tillsammans > < Poängkryss Materiel: Spelplan, 3 4 tärningar och penna. Antal deltagare: 2 4 st Utförande: Spelare nr slår alla tärningarna samtidigt. De tal som tärningarna visar ska

Läs mer

DE FYRA RÄKNESÄTTEN (SID. 11) MA1C: AVRUNDNING

DE FYRA RÄKNESÄTTEN (SID. 11) MA1C: AVRUNDNING DE FYRA RÄKNESÄTTEN (SID. 11) 1. Benämn med korrekt terminologi talen som: adderas. subtraheras. multipliceras. divideras.. Addera 10 och. Dividera sedan med. Subtrahera 10 och. Multiplicera sedan med..

Läs mer

Snabbslumpade uppgifter från flera moment.

Snabbslumpade uppgifter från flera moment. Snabbslumpade uppgifter från flera moment. Uppgift nr Ställ upp och dividera utan hjälp av miniräknare talet 48 med 2 Uppgift nr 2 Skriv talet 3 8 00 med hjälp av decimalkomma. Uppgift nr 3 Uppgift nr

Läs mer

1Mer om tal. Mål. Grunddel K 1

1Mer om tal. Mål. Grunddel K 1 Mer om tal Mål När eleverna har studerat det här kapitlet ska de: kunna multiplicera och dividera med positiva tal mi ndre än veta vad ett negativt tal är kunna addera och subtrahera negativa tal kunna

Läs mer

1 Julias bil har har gått kilometer. Hur långt har den gått när den har (3) körts tio kilometer till? km

1 Julias bil har har gått kilometer. Hur långt har den gått när den har (3) körts tio kilometer till? km Test 8, version, lärarversion Instruktion Instruktioner och kommentarer är desamma som i testet i den ursprungliga versionen. Här är ingående tal förändrade och i något fall är uppgiften omformulerad.

Läs mer

Mattestegens matematik

Mattestegens matematik höst Decimaltal pengar kr 0 öre,0 kr Rita 0,0 kr på olika sätt. räkna,0,0 storleksordna decimaltal Sub för lite av två talsorter 7 00 0 tallinjer heltal 0 0 Add med tiotalsövergångar 0 7 00 0 Sub för lite

Läs mer

Bonusmaterial till Lära och undervisa matematik från förskoleklass till åk 6. Ledning för att lösa problemen i Övningar för kapitel 5, sid 138-144

Bonusmaterial till Lära och undervisa matematik från förskoleklass till åk 6. Ledning för att lösa problemen i Övningar för kapitel 5, sid 138-144 Bonusmaterial till Lära och undervisa matematik från förskoleklass till åk 6 Ledning för att lösa problemen i Övningar för kapitel 5, sid 138-144 Avsikten med de ledtrådar som ges nedan är att peka på

Läs mer

Kompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 3000 kurs A, kapitel 1

Kompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 3000 kurs A, kapitel 1 Här presenteras förslag på lösningar och tips till många uppgifter i läroboken Matematik 3000 kurs A som vi hoppas kommer att vara till hjälp när du arbetar dig framåt i kursen. Vi har valt att inte göra

Läs mer

MATEMATIK - grunderna och lite till - Hans Elvesjö

MATEMATIK - grunderna och lite till - Hans Elvesjö MATEMATIK - grunderna och lite till - Hans Elvesjö 1 Största delen av boken ligger på höstadienivå med en mindre del på gymnasienivå Den har ej för avsikt att följa läroplanen men kan med fördel användas

Läs mer

Lärarhandledning. Bråk från början. en tredjedel ISBN 978-91-86611-44-6

Lärarhandledning. Bråk från början. en tredjedel ISBN 978-91-86611-44-6 Lärarhandledning Bråk från början en tredjedel ISBN ---- Innehåll Arbeta med bråk............................. Sidorna -................... Sidorna -................... Sidorna 0-................. Sidorna

Läs mer

Decimaltal Kapitel 1 Decimaltal Borggården Diagnos Rustkammaren Tornet Sammanfattning Utmaningen Arbetsblad Läxboken 1:1 Läxa 1 1:2 1:3 Läxa 2 1:4

Decimaltal Kapitel 1 Decimaltal Borggården Diagnos Rustkammaren Tornet Sammanfattning Utmaningen Arbetsblad Läxboken 1:1 Läxa 1 1:2 1:3 Läxa 2 1:4 Kapitel 1 6A-boken inleds med ett kapitel om decimaltal. Kapitlet börjar med en repetition av tiondelar och hundradelar. Sedan följer en introduktion av tusendelar med utgångspunkt i hur vikt anges på

Läs mer

Att förstå bråk och decimaltal

Att förstå bråk och decimaltal Att förstå bråk och decimaltal Flera undersökningar som är gjorda visar att elever har svårt att förstå bråk. I undervisningen är det också vanligt att eleverna lär sig olika regler för bråk, men få förstår

Läs mer

Multiplikation genom århundraden

Multiplikation genom århundraden Multiplikation genom århundraden För många elever i skolan kan multiplikation upplevas som något oöverstigligt. Addition och subtraktion kan de förstå sig på men inte multiplikation. Utan förståelse för

Läs mer

Nästan allt omkring dig har underliggande matematik. En del anser att den bara ligger där och väntar

Nästan allt omkring dig har underliggande matematik. En del anser att den bara ligger där och väntar Matematikplanering 7B Läsår 15/16 Nästan allt omkring dig har underliggande matematik. En del anser att den bara ligger där och väntar på att bli upptäckt. Mönster, statistik, överlevnad, evolution, mopeder

Läs mer

Mål Blå kursen Röd kurs

Mål Blå kursen Röd kurs Tal Mål När eleverna har arbetat med det här kapitlet ska de förstå varför vi använder decimaler kunna storleksordna decimaltal förstå betydelsen av orden deci, centi och milli kunna räkna med decimaltal

Läs mer

1 Boris stegmätare visar att han har gått steg. Vad visar den när Boris har gått tio steg till? Fortsätt talmönstret.

1 Boris stegmätare visar att han har gått steg. Vad visar den när Boris har gått tio steg till? Fortsätt talmönstret. Instruktion Instruktioner och kommentarer är desamma som i testet i den ursprungliga versionen. Här är ingående tal förändrade och i något fall är uppgiften omformulerad. Betona ordet ungefär i uppgift

Läs mer

Rationella tal. R. Området består av följande tre delområden: Sambanden mellan delområden ser ut så här: RB Bråk. AG Grundläggande Aritmetik

Rationella tal. R. Området består av följande tre delområden: Sambanden mellan delområden ser ut så här: RB Bråk. AG Grundläggande Aritmetik . Diagnoserna i området avser att kartlägga elevernas förståelse och färdighet avseende tal i bråkform, tal i decimalform, proportionalitet och procent. Området består av följande tre delområden: B Bråk

Läs mer

Uppdaterad 2003-10-14 Allmänt Läroplanens mål för matematik finns att ta del av för elever och målsmän på webbadressen: http://www.skolverket.se.

Uppdaterad 2003-10-14 Allmänt Läroplanens mål för matematik finns att ta del av för elever och målsmän på webbadressen: http://www.skolverket.se. Matematik Uppdaterad 2003-10-14 Allmänt Läroplanens mål för matematik finns att ta del av för elever och målsmän på webbadressen: http://www.skolverket.se. ADDITION, SUBTRAKTION, DIVISION OCH MULTIPLIKATION.

Läs mer

Nyckelord Grundläggande matematik. Ord- och begreppshäfte. Elisabet Bellander ORD OCH BEGREPP. Matematik

Nyckelord Grundläggande matematik. Ord- och begreppshäfte. Elisabet Bellander ORD OCH BEGREPP. Matematik Nyckelord Grundläggande matematik Ord- och begreppshäfte Elisabet Bellander ORD OCH BEGREPP Matematik 1. BANK - VARDAGSORD 1. Minst 2. Uttag 3. Insättning 4. Kontonummer 5. Uttaget belopp kvitteras 6.

Läs mer

Repetitionsuppgifter inför Matematik 1. Matematiska institutionen Linköpings universitet 2013

Repetitionsuppgifter inför Matematik 1. Matematiska institutionen Linköpings universitet 2013 Repetitionsuppgifter inför Matematik Matematiska institutionen Linköpings universitet 0 Innehåll De fyra räknesätten Potenser och rötter 7 Algebra 0 4 Facit 4 Repetitionsuppgifter inför Matematik Repetitionsuppgifter

Läs mer

PASS 2. POTENSRÄKNING. 2.1 Definition av en potens

PASS 2. POTENSRÄKNING. 2.1 Definition av en potens PASS. POTENSRÄKNING.1 Definition av en potens Typiskt för matematik är ett kort, lätt och vackert framställningssätt. Den upprepade additionen går att skriva kortare i formen där anger antalet upprepade

Läs mer

Facit Läxor. Tal. Tian Siffrans värde blir tio gånger mindre. 40 till 04 11 67, 69 och 71 12 a) 10, 22 och 15, 14 b) 15, 27 och 10, 9

Facit Läxor. Tal. Tian Siffrans värde blir tio gånger mindre. 40 till 04 11 67, 69 och 71 12 a) 10, 22 och 15, 14 b) 15, 27 och 10, 9 Tal Läxa 1 1 a) 307 b) 55 c) 00 003 a) 131 > 113 b) 1 > 1 c) 99 < 9 99 3 a) 1 170 b) 5 75 c) 91 a) 3 hundra b) 3 ental c) 3 tusen 5 a) 370 b) 0 a) 31 b) 1 3 c) 1 3 7 a) 99 b) 13 a) 37 b) 19 00 9 5 15 50

Läs mer

Grunder i Matematik 1

Grunder i Matematik 1 Grunder i Matematik 1 version 017-07-31 Simon Fall 1 Tal 1.1 De fyra räknesätten När vi använder räknesätten har delarna och svaren speciella namn som är mycket viktiga att kunna: addition: subtraktion:

Läs mer

Algebra, exponentialekvationer och logaritmer

Algebra, exponentialekvationer och logaritmer Höstlov Uppgift nr 1 Ge en lösning till ekvationen 0 434,2-13x 3 Ange både exakt svar och avrundat till två decimalers noggrannhet. Uppgift nr 2 Huvudräkna lg20 + lg50 Uppgift nr 3 Ge en lösning till ekvationen

Läs mer

Arbetsblad 1:1. 1 Svara i bråkform hur stor andel av den stora rutan som är. 2 Svara i decimalform hur stor andel av den stora rutan som är.

Arbetsblad 1:1. 1 Svara i bråkform hur stor andel av den stora rutan som är. 2 Svara i decimalform hur stor andel av den stora rutan som är. Arbetsblad 1:1 Tal i bråkform och i decimalform Grundbok: grundkurs s. 8 blåkurs s. 0 1 Svara i bråkform hur stor andel av den stora rutan som är a) grå b) kryssad c) prickad d) vit 2 Svara i decimalform

Läs mer

Matematik Formula, kap 3 Tal och enheter

Matematik Formula, kap 3 Tal och enheter Matematik Formula, kap 3 Tal och enheter Nedan berättar jag i punktform hur du ska arbeta och lite av det vi gör tillsammans. Listan kommer att fyllas på allteftersom vi arbetar. Då och då hittar du blå

Läs mer

Decimaltal. Matteord hela tal decimaltal tiondel hundradel. tusendel decimal decimaltecken

Decimaltal. Matteord hela tal decimaltal tiondel hundradel. tusendel decimal decimaltecken Decimaltal Mål När du har arbetat med det här kapitlet ska du kunna > förstå vad som menas med ett decimaltal > storleksordna decimaltal > multiplicera och dividera med 10, 100 och 1 000 > räkna med överslagsräkning

Läs mer

Tal Räknelagar Prioriteringsregler

Tal Räknelagar Prioriteringsregler Tal Räknelagar Prioriteringsregler Uttryck med flera räknesätt beräknas i följande ordning: 1. Parenteser 2. Exponenter. Multiplikation och division. Addition och subtraktion Exempel: Beräkna 10 5 7. 1.

Läs mer

1 Aylas bil har gått 14 999 kilometer. Hur långt har den (2) gått när hon har kört en kilometer till? 15 000

1 Aylas bil har gått 14 999 kilometer. Hur långt har den (2) gått när hon har kört en kilometer till? 15 000 Instruktion Instruktioner och kommentarer är desamma som i testet i den ursprungliga versionen. Här är ingående tal förändrade och i något fall är uppgiften omformulerad. Betona ordet ungefär i uppgift

Läs mer

Låt n vara ett heltal som är 2 eller större. Om a och b är två heltal så säger vi att. a b (mod n)

Låt n vara ett heltal som är 2 eller större. Om a och b är två heltal så säger vi att. a b (mod n) Uppsala Universitet Matematiska institutionen Isac Hedén Algebra I, 5 hp Sammanfattning av föreläsning 9. Kongruenser Låt n vara ett heltal som är 2 eller större. Om a och b är två heltal så säger vi att

Läs mer

Sammanfattningar Matematikboken Z

Sammanfattningar Matematikboken Z Sammanfattningar Matematikboken Z KAPitel procent och statistik Procent Ordet procent betyder hundradel och anger hur stor del av det hela som något är. Procentform och 45 % = 0,45 6,5 % = 0,065 decimalform

Läs mer

Ordlista 5A:1. term. faktor. täljare. nämnare. Dessa ord ska du träna. Öva orden

Ordlista 5A:1. term. faktor. täljare. nämnare. Dessa ord ska du träna. Öva orden Ordlista 5A:1 Öva orden Dessa ord ska du träna term Talen som du räknar med i en addition eller subtraktion kallas termer. faktor Talen som du räknar med i en multiplikation kallas faktorer. täljare Talet

Läs mer

Matematik. Mål att sträva mot. Mål att uppnå. År 1 Mål Kriterier Eleven ska kunna. Taluppfattning koppla ihop antal och siffra kan lägga rätt antal

Matematik. Mål att sträva mot. Mål att uppnå. År 1 Mål Kriterier Eleven ska kunna. Taluppfattning koppla ihop antal och siffra kan lägga rätt antal Matematik Mål att sträva mot Vi strävar mot att varje elev ska utveckla intresse för matematik samt tilltro till det egna tänkandet och den egna förmågan att lära sig matematik utveckla sin förmåga att

Läs mer

1 Julias bil har gått km. Hur långt har den gått när den har körts tio (3) kilometer till? Rita en ring runt det största bråket.

1 Julias bil har gått km. Hur långt har den gått när den har körts tio (3) kilometer till? Rita en ring runt det största bråket. Test 9, lärarversion Instruktion Instruktioner och kommentarer är desamma som i testet i den ursprungliga versionen. Här är ingående tal förändrade och i något fall är uppgiften omformulerad. Betona ordet

Läs mer

Övning log, algebra, potenser med mera

Övning log, algebra, potenser med mera Övning log, algebra, potenser med mera Uppgift nr 1 Förenkla uttrycket x 3 + x 3 + x 3 + x 3 + x 3 Uppgift nr 2 Förenkla x x x+x x x Uppgift nr 3 Skriv på enklaste sätt x 2 x x x 8 x x x Uppgift nr 4 Förenkla

Läs mer

KURSBESKRIVNING - MATEMATIK

KURSBESKRIVNING - MATEMATIK KURSBESKRIVNING - MATEMATIK ARBETSOMRÅDE TAL OCH DECIMALTAL ÅK 6 (HT 2016) Jeff Linder, Daniel Spångberg, Emil Ohlander Varför finns det tal? Finns det olika sorters tal? Och har det någon betydelse var

Läs mer

Talsystem Teori. Vad är talsystem? Av Johan Johansson

Talsystem Teori. Vad är talsystem? Av Johan Johansson Talsystem Teori Av Johan Johansson Vad är talsystem? Talsystem är det sätt som vi använder oss av när vi läser, räknar och skriver ner tal. Exempelvis hade romarna ett talsystem som var baserat på de romerska

Läs mer

1Mål för kapitlet. Tal i decimalform. Förmågor. Ur det centrala innehållet 0? 1 15,9 19,58 158,9 15,89. Problemlösning. Metod

1Mål för kapitlet. Tal i decimalform. Förmågor. Ur det centrala innehållet 0? 1 15,9 19,58 158,9 15,89. Problemlösning. Metod Taluppfattning Kapitlets innehåll I kapitel möter eleverna decimaltal för första gången. Det första avsnittet handlar om vårt talsystem och att de hela tal eleverna tidigare jobbat med går att dela in

Läs mer

DOP-matematik Copyright Tord Persson Övning Bråkräkning. Matematik 1. Uppgift nr 14 Addera 9. Uppgift nr 15 Addera 3. Uppgift nr 16 Subtrahera 6 7-1 7

DOP-matematik Copyright Tord Persson Övning Bråkräkning. Matematik 1. Uppgift nr 14 Addera 9. Uppgift nr 15 Addera 3. Uppgift nr 16 Subtrahera 6 7-1 7 Övning Bråkräkning Uppgift nr 1 Vilket av bråken 1 och 1 är Uppgift nr Vilket av bråken 1 och 1 är Uppgift nr Skriv ett annat bråk, som är lika stort som bråket 1. Uppgift nr Förläng bråket med Uppgift

Läs mer

a) 1 b) 4 a) b) c) c) 6 a) = 4 b) = 6 c) = 6 1. Hur många? Ringa in talet. 2. Vilket tal kommer efter? 4. Beräkna. 3. Hur många?

a) 1 b) 4 a) b) c) c) 6 a) = 4 b) = 6 c) = 6 1. Hur många? Ringa in talet. 2. Vilket tal kommer efter? 4. Beräkna. 3. Hur många? 1. Hur många? Ringa in talet. 2. Vilket tal kommer efter? Exempel a) 1 2 b) 4 5 a) b) c) c) 6 7 3. Hur många? 4. Beräkna. Exempel 1 + 2 = 3 a) 3 + 1 = 4 a) 4 b) 5 b) 4 + 2 = 6 c) 3 + 3 = 6 c) 3 d) 2 GILLA

Läs mer

DOP-matematik Copyright Tord Persson. Potensform. Uppgift nr 10. Uppgift nr 11 Visa varför kan skrivas = 4 7

DOP-matematik Copyright Tord Persson. Potensform. Uppgift nr 10. Uppgift nr 11 Visa varför kan skrivas = 4 7 Potensform Uppgift nr Vad menas i matematiken med skrivsättet 3 6? (Skall inte räknas ut.) Uppgift nr 2 värdet av potensen 3 2 Uppgift nr 3 Skriv 8 8 8 i potensform Uppgift nr 4 Skriv 4 3 som upprepad

Läs mer

Tal i bråkform. Kapitlet behandlar. Att förstå tal

Tal i bråkform. Kapitlet behandlar. Att förstå tal Att förstå tal Tal i bråkform Kapitlet behandlar Test Användning av hälften och fjärdedel 2 Representation i bråkform av del av antal och av del av helhet 3, 4 Bråkform i vardagssituationer 4 Stambråk,

Läs mer

Matematik klass 3. Höstterminen. Anneli Weiland Matematik åk 3 HT 1

Matematik klass 3. Höstterminen. Anneli Weiland Matematik åk 3 HT 1 Matematik klass 3 Höstterminen Anneli Weiland Matematik åk 3 HT 1 Minns du från klass 2? Tiokamraterna 10=5+ 10=1+ 10=2+ 10=5+ 10=4+ 10=0+ 10=9+ 10=4+ 10=7+ 10=3+ 10=6+ 10=10+ 10=2+ 10=1+ 10=3+ 10=7+ 10=6+

Läs mer

Uppfriskande Sommarmatematik

Uppfriskande Sommarmatematik Uppfriskande Sommarmatematik Matematiklärarna på Bäckängsgymnasiet genom Johan Espenberg juni 206 Välkommen till Naturvetenskapsprogrammet GRATTIS till din plats på Naturvetenskapsprogrammet på Bäckängsgymnasiet!

Läs mer

5.6 MATEMATIK. Hänvisning till punkt 7.6 i Lpgr 16.1.2004

5.6 MATEMATIK. Hänvisning till punkt 7.6 i Lpgr 16.1.2004 5.6 MATEMATIK Hänvisning till punkt 7.6 i Lpgr 16.1.2004 Undervisningen i matematik skall hos eleverna utveckla det matematiska tänkandet, ge matematiska begrepp samt de mest använda lösningsmetoderna.

Läs mer

Kunskapsmål och betygskriterier för matematik

Kunskapsmål och betygskriterier för matematik 1 (1) 2009-0-12 Kunskapsmål och betygskriterier för matematik För betyget G i matematik skall eleven kunna utföra beräkningar, lösa problem samt se enklare samband utifrån de kunskapsmål som anges under

Läs mer

I addition adderar vi. Vi kan addera termerna i vilken ordning vi vill: 1 + 7 = 7 + 1

I addition adderar vi. Vi kan addera termerna i vilken ordning vi vill: 1 + 7 = 7 + 1 BEGREPP ÅR 3 Taluppfattning och tals användning ADDITION 3 + 4 = 7 term + term = summa I addition adderar vi. Vi kan addera termerna i vilken ordning vi vill: 1 + 7 = 7 + 1 SUBTRAKTION 7-4 = 3 term term

Läs mer

Kompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 3000 kurs A, kapitel 4. b) = 3 1 = 2

Kompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 3000 kurs A, kapitel 4. b) = 3 1 = 2 Kapitel.1 101, 102 Exempel som löses i boken 10 a) x= 1 11+ x= 11+ 1 = 2 c) x= 11 7 x= 7 11 = 77 b) x= 5 x 29 = 5 29 = 6 d) x= 2 26 x= 26 2= 1 10 a) x= 6 5+ 9 x= 5+ 9 6= 5+ 5= 59 b) a = 8a 6= 8 6= 2 6=

Läs mer

Högstadiets matematiktävling 2016/17 Finaltävling 21 januari 2017 Lösningsförslag

Högstadiets matematiktävling 2016/17 Finaltävling 21 januari 2017 Lösningsförslag Högstadiets matematiktävling 2016/17 Finaltävling 21 januari 2017 Lösningsförslag 1. Lösningsförslag: Låt oss först titta på den sista siffran i 2 0 1 7. Ett tal som är delbart med 2 och 5 är då också

Läs mer

Under läsåret arbetade jag med. Konkretion av decimaltal. En nödvändig ingrediens för förståelse. maria hilling-drath

Under läsåret arbetade jag med. Konkretion av decimaltal. En nödvändig ingrediens för förståelse. maria hilling-drath maria hilling-drath Konkretion av decimaltal En nödvändig ingrediens för förståelse Här presenteras ett sätt att förstärka begrepp kring decimaltal. Med hjälp av tiobasmaterial får eleverna bygga tal för

Läs mer

RÖDA TRÅDEN MATEMATIK F-KLASS ÅK

RÖDA TRÅDEN MATEMATIK F-KLASS ÅK RÖDA TRÅDEN MATEMATIK F-KLASS ÅK 5 F-KLASS TALUPPFATTNING ALGEBRA Hur enkla mönster i talföljder och enkla geometriska mönster kan konstrueras, beskrivas och uttryckas Matematiska likheter och likhetstecknets

Läs mer

Addera. Skriv mellanled. Subtrahera Skriv mellanled. 532-429 1685-496 1 1 10 10 10

Addera. Skriv mellanled. Subtrahera Skriv mellanled. 532-429 1685-496 1 1 10 10 10 Namn: Hela och halva tusental till 00 000 Addera och subtrahera. 000+ 000= 000 000+ 00 = 00 000-000= 000 000-00 = 00 Skriv talen i fallande ordningsföljd. 000 0 00 0 00 0 00 00 0 000 0 00 0 00 0 00 0 00

Läs mer

KURSBESKRIVNING - MATEMATIK

KURSBESKRIVNING - MATEMATIK KURSBESKRIVNING - MATEMATIK ARBETSOMRÅDE TAL OCH DECIMALTAL ÅK 6 (HT 2016) Daniel Spångberg Varför finns det tal? Finns det olika sorters tal? Och har det någon betydelse var de olika siffrorna i ett tal

Läs mer

MATEMATIK. Åk 1 Åk 2. Naturliga tal Naturliga tal Större än, mindre än, lika med

MATEMATIK. Åk 1 Åk 2. Naturliga tal Naturliga tal Större än, mindre än, lika med MATEMATIK Åk 1 Åk 2 Naturliga tal 0-100 Naturliga tal 0-100 Talföljd Talföljd Tiokamrater Större än, mindre än, lika med Större än, mindre än, lika med Positionssystemet Sifferskrivning Talskrivning Add.

Läs mer

Volym. ARBETSBLAD kopiering tillåten sanoma utbildning Mönster i talföljder. ARBETSBLAD kopiering tillåten sanoma utbildning. Fortsätt talföljden.

Volym. ARBETSBLAD kopiering tillåten sanoma utbildning Mönster i talföljder. ARBETSBLAD kopiering tillåten sanoma utbildning. Fortsätt talföljden. Volym Välj olika kärl. Uppskatta hur mycket du tror att varje kärl rymmer. Mät sedan kärlets volym. 1 :1 Mönster i talföljder Fortsätt talföljden. 1 -hopp. : Kärl Jag uppskattar kärlets volym Kärlets volym

Läs mer

Tema: Pythagoras sats. Linnéa Utterström & Malin Öberg

Tema: Pythagoras sats. Linnéa Utterström & Malin Öberg Tema: Pythagoras sats Linnéa Utterström & Malin Öberg Innehåll: Introduktion till Pythagoras sats! 3 Pythagoras sats! 4 Variabler! 5 Potenser! 5 Att komma tillbaka till ursprunget! 7 Vi bevisar Pythagoras

Läs mer

PP i matematik år 2. Taluppfattning och tals användning.

PP i matematik år 2. Taluppfattning och tals användning. PP i matematik år 2. Taluppfattning och tals användning. Ord och begrepp siffra, tal tallinje, talrad, talsorter- ental, 10-tal, 100-tal, 1000-tal, addition, addera, term, summa, subtraktion, subtrahera,

Läs mer

Matematik Uppnående mål för år 6

Matematik Uppnående mål för år 6 Matematik Uppnående mål för år 6 Allmänt: Eleven ska kunna förstå, lösa samt redovisa problem med konkret innehåll inom varje avsnitt. Ha en grundläggande taluppfattning som omfattar naturliga tal och

Läs mer

2-4: Bråktal addition-subtraktion. Namn:.

2-4: Bråktal addition-subtraktion. Namn:. -: Bråktal addition-subtraktion. Namn:. Inledning I det här kapitlet skall du räkna med bråk. Det blir inte så stökigt som du tror, eftersom vi talar om bråk i matematisk mening. Du skall lära dig hur

Läs mer

kan använda sig av matematiskt tänkande för vidare studier och i vardagslivet kan lösa problem och omsätta idéer i handling på ett kreativt sätt

kan använda sig av matematiskt tänkande för vidare studier och i vardagslivet kan lösa problem och omsätta idéer i handling på ett kreativt sätt Lokal pedagogisk planering Matematik år 2 Syfte Undervisningen i matematikämnet ska syfta till att eleverna ska utveckla kunskaper om matematik och visa intresse och tilltro till sin förmåga att använda

Läs mer

Svar och lösningar. Kängurutävlingen 2009 Cadet för gymnasiet

Svar och lösningar. Kängurutävlingen 2009 Cadet för gymnasiet Svar och lösningar 1: D 200 9 Ett tal är jämnt om entalssiffran är jämn. Det enda talet som uppfyller det villkoret är 200 9 = 1800 2: C 18 cm Stjärnans yttre består av 12 lika långa sidor med sammanlagd

Läs mer