Dimensionering af afstivede støtteskodder og pladefelter udsat for kant tryk, buling

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "Dimensionering af afstivede støtteskodder og pladefelter udsat for kant tryk, buling"

Transkript

1 Dokument: SASAK-RAP-DE-AKS-KEH Dimensionering a astivede støtteskodder og pladeelter udsat or kant tryk, buling SASAK Projekt 1 - Designregler Martin Rosander Pelmatic KNUD E. HANSEN, ebruar 000

2 1 PANELER BELASTADE I PLANET Meningen med detta kapitel är att presentera dimensioneringskriteria ör tryckbelastade paneler, speciellt tryckbelastade skott. Jämörelse mellan stål och aluminium behandlas speciellt. Det örutsätts vanliga bakgrundskunskaper inom ämnet buckling. Rekommendationer till vidare läsning inns nedan i introduktionen.

3 1.1 Innehållsörteckning 1 Paneler belastade i planet Innehållsörteckning Introduktion Belastningar Buckling Viktig bakgrundsörståelse Designregler Jämörelse stål aluminium Dimensionering av kolumn i stål och aluminium Stål Aluminium: Beräkningseempel: Strategi ör beräkning av kritisk bucklingsspänning i örstyvade paneler Viktiga parametrar och betäckningar Buckling av plan plåt Slankhetsparameter β Hur undviker man att skottet bucklar globalt? Sammanattning Eektiv bredd b e Tripping Dimensionering skott avstyvat tvärs lastriktningen Kombination av longitudinellt och transversellt avstyvade paneler Lämpliga avstånd mellan styvare Dåliga eempel Goda eempel Viktiga regler och klassiikationssällskap Lloyds Longitudinellt avstyvad panel Transversellt avstyvad panel Kommentarer t ill Lloyds DNV Längsörstyvade plåtält, k-aktor Transversella styvare, k-aktor Kommentar till DNV Eurocode Longitudinellt avstyvade paneler Transversellt avstyvade paneler Kommentar till Eurocode Danska normer Kommentar till Dansk norm Beräkningseempel Inledning Lastördelning Approimativa spänningar Inledande beräkningar Buckling av styvare Buckling av plåtältet Eektiv bredd Kommentar till de inledande beräkningarna Bestämning av enskilda L-proiler De mindre L-proilerna Den större L-proilen Kommentar Andra elmoder

4 Tripping Buckling av ält i L-proilen Lilla L-proilen: Stora L-proilen: Tvärörstyvningar Slutsats, beräkningseempel Reerenser

5 1. Introduktion Aluminium har ca 1/3 av stålets densitet, men har ota nästan samma tillåtna spänning som stål. Det gör att vid dragbelastning kan konstruktionen ota utormas till 1/3 av en motsvarande stålkonstruktions vikt. Aluminiums lägre E-modul kan dock ge upphov till ör stora utböjningar. Vid tryckbelastning ökar också stabilitetsproblemen, vanligen kallat buckling. Stabilitetproblem kan typiskt delas upp i många all, te: plan knäckning torsionsknäckning vippning, tripping buckling Här koncentrerar vi oss på buckling av avstyvade tryckbelastade paneler. Vi börjar med det enklaste allet; søjler. Mer om detta nedan BELASTNINGAR Paneler belastade i planet kan uppdelas i lera all beroende på belastningens riktning och typ. Notera: samtliga belastningar nedan är laster i panels plan. Dragbelastning Tryckbelastning Skjuvbelastning Vridning (Momentbelastning) I det öljande koncentrerar vi oss på ren tryckbelastning. 1.3 Buckling Vad är buckling? Buckling är ett instabilitetsenomen som kan uppträda när någon del av en konstruktion är belastad i tryck. Matematiskt når man vid buckling en s.k. biurkationspunkt, en punkt där lösningen till den styrande ekvationen delar sig i lera möjliga lösningar. Rent praktiskt år det till konsekvens att buckling kan uppträda plötsligt, och leda till katastroal kollaps av hela strukturen. 5

6 1.3.1 VIKTIG BAKGRUNDSFÖRSTÅELSE Här skall kort nämnas några av de viktigarte aktorer som används inom buckling. För vidare läsning rekommenderas reerens (1)-(7). När man talar om buckling i strukturella sammanhang delar man ota upp den i det som kallas lokal buckling och global buckling. Den lokala bucklingen kan till eempel vara ett plåtält mellan styvare. Vid global buckling bucklar istället hela strukturen. Typiskt eempel på global buckling är ett tryckbelastat skott som bucklar med örstyvningar och allt. Parametrar som inluerar beteendet är materialets E-modul, konstruktionens tröghetsmoment, slankheten, inspänningen samt lytspänningen. Vid dimensionering örsöker man undvika global buckling, etersom det ota leder till att ett helt konstruktionselement plötsligt örlorar hela sin bärande örmåga. Vi lokal buckling av ett plåtält lastas istället strukturen om, och den last som innan gick genom det bucklade plåtältet tas istället av de obucklade komponenterna runt omkring. Vid bucklingsanalys skiljer man på också ota på linjär respektive ickelinjär buckling. Som namnen antyder handlar det om vilka antaganden som görs vid beräkning av bucklingslasten. Den lättare, och mest använda metoden, är linjära beräkningar. Denna metod är dock icke-konservativ, i det att den inte nödvändigtvis ger den lägsta kritiska lasten. Icke-linjära beräkningar tar hänsyn till de örändringar som sker i material och geometri. Icke-linjära beräkningar görs mest med hjälp av datorer. En variant av ovanstående är elastisk respektive plastisk buckling. En struktur kan buckla elastiskt, dvs på ett sådant sätt att vid avlastning återgår strukturen till sin ursprungsgeometri. Vid plastisk buckling bildas en plastisk led, och strukturen är permanent deormerad även eter avlastning. Vid linjära beräkningar är det enbart den elastiska bucklingslasten som kontrolleras. Det är viktigt att örstå att de beräkningar som görs enligt ovan ota inte tar hänsyn till de ecentriteter, deekter och restspäningar som ota inns i verkliga konstruktioner. Rent praktiskt innebär det att vi aldrig uppnår den teoretiska last som vi beräknar i som elastisk bucklingsspänning. Konstruktionen kommer att buckla innan denna last uppnås. Fenomenet ses tydligt vid tryckprov i laboratorium, då ser man en relativt stor spridning på resultaten beroende på små variationer i provkropparnas randvillkor etc. I regelverk tar man otast hänsyn till detta genom att inöra olika sorters imperektions- ecentritets- och säkerhetsaktorer. Vid beräkning av kritisk bucklingslast kan vi i princip urskilja två sätt att angripa problemet i regelverk. Ett sätt som ota används i byggkoder, som EuroCode nedan, är att örst klassa strukturen i olika kvalitetsklasser. Sedan räknas en kritisk last ut, baserat på olika last-, material-, produktions-, säkerhetsaktorer osv. Ota använder man sig av en 6

7 normerad metod, där en kvotsumma skall vara < 1ör godkänd konstruktion. Eempel, se nedan, ekv 5.40 ur Eurocode9: N ω0 N Ed Rd ξ0 M + ω M 0 y, Ed y, Rd 1 Ekv. 1-1 vilket vi kan känna igen som bärkraten hos en balk, där normalkrat och böjmoment är normerad och adderad. Den andra metoden, som ota används inom transportsektorn, går istället ut på att beräkna en ma. tillåten spänning i materialet. Sedan checkas att konstruktionen med den givna lasten håller sig under denna kritiska spänning. Vid kontroll av buckling är ett av de viktigaste kvalitetstalen det så kallade slankhetstalet λ. Detta deinieras som: l λ Ekv. 1- r i där r i kallas gyrationsrradius, deinierat enligt: I r i Ekv. 1-3 A I ovanstående ekvationer inns inga materialberoende aktorer, enbart geometriska mått. Tumregler ör slankhetstal som tagits ram ör stålkonstruktioner skall därör inte omedelbart användas vid aluminiumkonstruktion. När vi har höga slankhetstal är konstruktionen lång i örhållande till sin styvhet. Den elastiska bucklingen kommer i detta all att dominera. Om istället konstruktionen är kort och knubbig, dvs med lågt slankhetstal, kommer vi att uppnå trycklytspänning innan konstruktionen börjar buckla. Sektionen krossas innan den bucklar. Vid mellanstora slankhetstal är vi i riskzonen ör plastisk buckling. Vid spänningsdimensionering reducerar man ota ma tillåten spänning till hälten när det är risk ör plastisk buckling. Placering av transversella svetsar Vid svetsar i tryckbelastade strukturer skall man tänka på att den värmepåverkade zonen kan ha betydelse ör ma tillåten tryckspänning. Speciellt vid transversella svetsar kan placeringen av svetsen ha betydelse ör den kritiska lasten. Vid placering mitt i en tryckbelastad søjle reduceras bucklingslasten som om hela strävan vore av värmepåverkat material. Genom att lytta den transversella svetsen ut mot ränderna minskar dess påverkan. Vid en slank balk som har svetsar placerade i ändarna inverkar svetsen enbart genom att sänka den ma. tillåtna tryckspänningen, den kritiska bucklingslasten påverkas inte alls. 7

8 1.4 Designregler I det öljande inns en mycket kort genomgång av de viktigaste designreglerna ör rent tryckbelastade strukturer. SI-enheter kommer att användas genomgående. Det enklaste allet är Eulersträvor, dessa inns tabellerade i alla nästan handböcker. Vi kommer därör att börja med dem nedan. För paneler i aluminium kan man i princip urskilja två designilosoier: 1) Skall aldrig buckla, något som helst. Resulterar i tunga konstruktioner. ) Tillåt plåtälten mellan styvarna att buckla, se till att strävorna kan ta den etra last som överörs rån den utbucklade mellanplåten. Det som skall undvikas är att hela panelältet bucklar samtidigt, så kallad global buckling. Panelen mister då i stort sett hela sin lastbärande kapacitet omedelbart, och resultatet är otast ett totalt sammanbrott av konstruktionen. Detta är samma som ör stål. Se Figure 1 nedan ör eempel. Figure 1. Global buckling kontra lokal buckling. 8

9 Vid beräkningarna checkas: 1) Global buckling hela plåtältet bucklar ) Local buckling a. Styvarna bucklar lokalt b. Lokala plåtält bucklar Beräkningarna kan göras med: 3) Elastisk analys 4) Inelastisk (plastisk) analys Vi nöjer oss ota med en elastisk analys ör att säkerställa att vi inte ligger nära någon bucklingsgräns. Elastisk analys är relativt snabb att utöra. Sedan tittar vi på spänningen i snittet. Om båda är ok är detta ota tillräckligt JÄMFÖRELSE STÅL ALUMINIUM Nedan öljer en kort jämörelse mellan stål och aluminium när det används i tryckbelastade konstruktioner. Vid elastisk buckling är den kritiska lasten P krit i princip som öljer: ( Inspänning ) Geometri( I, L, etc ) Emod ul P krit Faktor. dvs den maimala lasten bestäms av en aktor som är en unktion av inspänningsvilkoren gånger en unktion av geometrin (tröghetsmoment, längd, slankhet etc.) vilket multipliceras med den aktuella elasticitetsmodulen. Ett typiskt eempel är knäcklasten ör en länklagrad Eulersträva vilken skrivs: I P k π E Ekv. 1-4 l Om inspänningen och geometrin är den samma ör en stål- och en aluminiumsträva blir den kritiska lasten alltså 3 gånger lägre ör en aluminiumsträvan. Som beskrivet ovan är den ovanstående ekvationen en s.k. elastisk analys. Den verkliga lastbärande örmågan kan var både lägre och högre, beroende på vilket slankhetstal som strävan har. Vid låga slankhetstal är det lytspänningen som bestämmer den kritiska lasten, genom att sektionen krossas. Höghållast aluminium kan ha nästan samma lytspänning som konstruktionsstål, vilket innebär att det kan ta höga trycklaster. Dock skall man vara uppmärksam på svetsar, vilka sänker ma. tillåten spänning avsevärt. Man skall också vara uppmärksam på vilken legering som används, etersom olika aluminiumlegeringar har stora skillnader i lytspänning. Vid höga slankhetstal bestäms den kritiska lasten av den elastiska bucklingsspänningen, som beskrivet ovan. 9

10 1.4. DIMENSIONERING AV KOLUMN I STÅL OCH ALUMINIUM En enkel genomgång av strävan öra att örklara principerna och jämöra mellan stål och aluminium Stål Det enklaste dimensioneringsallet är en kolumn (sträva). Slankhetstalet λ : L λ, r i I r i,. Ekv. 1-5 A e där A e eektiva arean, vilken ota sätts till søjlens area örutom korrosionstillägg. När λ är stort bestäms lasten av ett Eulerall, som beskrivits ovan. Etersom den elastiska lösningen är icke-konservativ är det vanligt att lägga till en säkerhetsaktor på ca..0. Vad menas med att den elastiska lösningen är icke-konservativ? Se Figure nedan: (Gör om ig. ovan, ρ grationsradius r i l e eektiv längd) Figure. Teoretiska kontra uppmätta knäcklaster ör strävor. Vi kan se att de eperimentella värdena typiskt ligger under knäcker den elastiska linjen av innan vi nått ult Euler dessutom. Anledningen är att vi i verkliga livet alltid har eekter av eccentricitet, residualspänningr etc. Se Figure 3 nedan: 10

11 (Bra igur, men på danska!) Figure 3. Verkligt beteende hos strävor. I verkligheten har vi alltid kurve (3). Den tryckbelastade strävan klarar alltså mindre i verkligheten än vad som kan teoretiskt beräknas med Eulers elastiska ormler. För att kompensera ör detta enomen används en en parabolisk kurva ör att kompensera ör minskad slankhet om: L r * i π E ult Ekv. 1-6 där L * är en eektiv längd KL, K beror av inspänningen. K1 : ändarna ria att rotera, basallet. K : ena änden ast, andra ri. K0.5 : ast insänd i båda ändar. K0.7 : ast i basen, ritt upplagd i toppen. Se Figure 4 nedan ör örklaring av eektiv längd. 11

12 (Utmärkt igur, behåll!) Figure 4. Eektiv längd hos strävor. Den paraboliska ekvationen som reducerar trycklasten kan t.e.. uttryckas som: allow y KL r 1 KL r c (ekvation 11-4 i iguren nedan) Ekv. 1-7 Ekvation är den samma om ovan, men med en säkerhetsaktor på 5/3, som sedan ökar till 3/1 med minskande slankhet. (Rita om iguren ovan, med beteckningar enligt ståbi) Figure 5. Kompensation ör minskande slankhet, samt lämpliga säkerhetsaktorer ör strävor Aluminium: För søjler i aluminium gör man i princip samma sak som ör stål. Stora slankhetstal Euler buckling 1

13 Mindre slankhetstal approimation Beräkningseempel: Aluminiumlegering: 014-T6 L 193 MPa, 0 1 r allow L L allow 1 1, 58 GPa, 1 55 r r 37 L allow GPa, 55 L r r Aluminiumlegering: 6061-T6 L 131 MPa, 0 9, 5 r allow L L allow 139 0, 868 MPa, 9,5 66 r r 350 L allow GPa, 66 L r r STRATEGI FÖR BERÄKNING AV KRITISK BUCKLINGSSPÄNNING I FÖRSTYVADE PANELER När man beräknar bucklings spänning ör en plåt skall man skilja på den spänning som skall till ör att buckla hela ältet, och den som behövs ör att buckla en enkel plåt. Repetition: en god design lokalbucklar innan den bucklar globalt. Detta ör att undvika beteenden som i CASE B nedan, CASE A bucklar vid lägre last, men har reststyrka och är att öredra. Se Figure 6 nedan. 13

14 (Rita om och örenkla iguren till Ståbin) Figure 6. Global buckling vilket bör undvikas Viktiga parametrar och betäckningar Nedan öljer några viktiga parametrar och betäckningar som ota används vid bucklingsberäkningar. Reducerad eektiv bredd b* eller b e, ej samma b som i shear lag (reerens till det avsnittet i ståbin). Här är det deormation ut ur planet p.g.a. bucklingen som reducerar eektiviteten. Den eektiva bredden är viktig vid beräkning av reststyrka eter lokal buckling, se igur nedan 14

15 (Figur ritas av med danska betäckningar till ståbin) Figure 7. Eektiv bredd hos bucklad tryckbelastad plåt. En panel anses slender slank om dess kritiska spänning är lägre i buckling än i ren lytspänning BUCKLING AV PLAN PLÅT Den kritiska bucklings-spänningen ör en plan platta som ej är inspänd kan skrivas som: π D cr Ekv. 1-8 a t eller uttryckt i kritisk last: P cr där: D b π Ekv. 1-9 a 3 E t D Ekv ν ( 1 ) 15

16 (Gör om bilden bättre till ståbin, eller ta bort helt, kombinera med tidigare igurer!) Figure 8. Plan plåt utsatt ör trycklast. Antas en Poisson s ratio på 0.3 kan man skriva ovanstående som: t E (re.: kap. 1 sid 406 SSD) Ekv b Om plåten longitudinellt örstyvad år vi: 4 π D a Ekv. 1-1 cr s t ( ) där s är styvarnas avstånd Med transversell örstyvning år vi: π D s 1 a + Ekv cr s t B ( ) (sid 407 i re.[1]) För transversella avstyvningar ser vi att termen inom parentes i ekvation (1-13) snabbt går mot 1 ör normala värden på s/b. Det betyder att den longitudinellt örstyvade panelen är ca 4 ggr starkare än den transversellt örstyvade. Detta gäller både ör stål och aluminium. Förutsättningen ör att de ovanstående ormlerna skall vara giltiga är att panelens ränder är ritt upplagda. Vid andra randvillkor skall ormlerna modiieras. Vidare kan lera ränder vara lastade, både i tryck och i skjuvning. För sådana all reereras till re.[1]. En lämplig bucklingsgång att etersträva vid dimensionering är: 1) Lokal buckling av plåtält mellan styvare. ) Enskilda styvare bucklar. 3) Global buckling sammanbrott av strukturen. 16

17 Om konstruktionen utormas så att ovanstående bucklingsörlopp är säkrat ger konstruktionen tydliga varningssignaler om att överlast har inträat. Risken ör plötsliga katastroala strukturel minskas därmed avsevärt. Genom att säkerställa att styvarna är minst lika starka, som det plåtält de avstyvar säkrar man sig om att det lokala plåtältet är det som örst bucklar. I prais betyder det att plåtältet skall ha lägre bucklingsspänning än styvaren Slankhetsparameter β b R p 0, β Ekv t E där β slankhetsparameter, ej slankhetstal b/t, (a/b sidoörhållande) b korta sidan. β >.4 slender, slank. β <.4 sturdy, yldig HUR UNDVIKER MAN ATT SKOTTET BUCKLAR GLOBALT? Minsta tillåtna örhållandet mellan den kombinerade sektionen och enbart plåten ges av: 4 ( 1 + N Π ) + Π( 1 + N Π ) + N Π γ δ B B B Ekv π (Ekvation av Klitchie, sid 44 re.[1]) där N B antalet individuella paneler 1+antalet longitudinella styvare EI 11 ( ν ) γ I ( ekvationen re.,[1]) Ekv DB bt Parametern γ kan tolkas som relationen mellan böjstyvheten på den kombinerade sektionen och det enkla plåtältet. I är tröghetsmomentet ör styvaren tillsammans med plåtältet med bredden b. Π δ L B A bt a B, L är panelens längd, vilket i detta all är lika med a, B är bredden., A är tvärsnittsarean på styvaren enbart. Utirån ekvationerna ovan kan man bestämma de minsta styvare man kan sätta på en given plåt. Formlerna ovan är ramtagna ör stål. Dock bör man kunna använda dem även ör aluminium, då det enbart är geometriska storheter som ingår, ej materialkonstanter. 17

18 En alternativ metod: Beräkna globala bucklingsspänningen är lägre än den lokala bucklingsspänningen a, crit. o, kontrollera att den 1) Anta att varje styvare arbetar som enskild sträva, använd Euler-all ör att bestämma lägsta knäcklast ( ) ör strävan a, crit ) Sedan skall a, crit 0ör att undvika global buckling. 3) Glöm inte att kontrollera lytspänningen R p0,. t Globala bucklingsspänningen E b enligt ovan. Varje enskild sträva kan beskrivas av öljande slankhetsparameter: eq ( 1 ν ) ( + δ ) L a 1 1 r i t γ Ekv beteckningar enligt ovan. Sedan kan den lokala bucklingsspäningen bestämmas enligt: E π Ekv a, cr L r i eq För långa paneler kan man å buckling i lera vågor, detta behandlas ej här. En slank panel är en panel som bucklar globalt vid en spänning som är lägre än lytspänningen. Uttryckt i ormler år vi att en panel är slank om: π E < R L r i eq p0, Ekv Etersom E ingår i globala bucklingsmoden drar vi slutsatsen att aluminiumpaneler är ca 3 gånger mer slanka än stålpaneler, dvs de bucklar 3 ggr så lätt Sammanattning Den bakomliggande strategin är alltså att behandla panelen som uppbyggd av enkla strävor, och se till att strävans bucklingsspänning är högre än bucklingsspänningen ör det enkla plåtältet. Plåtältet dimensioneras givetvis så att det inte bucklar vid normal last. Observera att strävan kommer att utsättas ör en ökad spänning vid lokal plåtältsbuckling p.g.a. reduktion av den eektiva bredden b e. Detta behandlas i avsnittet nedan. 18

19 Om plåtältet klarar den normala spänningen samtidigt som strävan klarar den ökade spänningen eter lokal plåtältsbuckling har man en god grunddimensionering att utgå irån EFFEKTIV BREDD B E När en slank panel dimensionerats enligt ovan kommer plåtälten att buckla öre hela panelen. Den plåt som bucklat kommer då mer eller mindre att avlastas. Genom att deiniera en eektiv bredd b e eter buckling kan vi skriva: b e a Ekv. 1-0 b e Eter initiell buckling av plåtälten skall man alltså checka att den återstående strukturen kan ta trycklasten. En ekvation ör den minsta eektiva bredden b e kan skrivas: b 1.9 e Ekv. 1-1 b β där β deinierats i ekv.(1-14) ovan. Vi kan då skriva den kritiska spänningen eter plåtältsbuckling som: b t + A e a, cr bt A Ekv L eq TRIPPING π ρ e E Tripping kallas det när styvaren vrider runt sin egen inästningsael, se igur ovan. Det är styvare med öppna tvärsnitt som är känsliga ör detta enomen. Typiskt skall detta checkas vid dimensionering av paneler som är avstyvade i lastens riktning. Vi inör öljande betäckningar: I tröghetsmoment på styvaren, genom en tyngdpunktsael parallellt med webben. sz I polärt tröghetsmoment runt rotationsaeln, som approimation kan användas: sp A ( ) I + w d Ekv. 1-3 sp A 3 där A är länsens area, A w är styvarens livarea, d är styvarens livhöjd + (t+t )/ Styvarens kritiska trippingspänning kan nu skrivas som: 1 d a, T π E I sz Ekv. 1-4 I sp a 19

20 Genom att använda öljande approimativa uttryck: A b t, w w w A h t och A A + Aw kan vi skriva om tröghetsmomenten som: Aw I sp d A + Ekv I sz A A A 3 4 b A b Ekv. 1-6 A 1 därmed kan vi skriva om den styvarens kritiska spänning till: π E b, 1 4 a T Ekv Aw a A där b alltså är länsens vidd, och a är panelens längd. Notera att b inte kan ökas hur mycket som helst, man måste då börja ta hänsyn till att även länsen kan buckla. En enkel approimation ör kritisk länsspänning kan vara: 0,43 π D t, 0, 39 crit E Ekv. 1-8 b t b För stål ett lämpligt värde är b / t < 14, ör aluminium måste man sänka värdet till ca. hälten; b / t < 7. Detta inses genom att lösa ut b / t ur ekv.(1-8) ovan DIMENSIONERING SKOTT AVSTYVAT TVÄRS LASTRIKTNINGEN Panelens styrka är i princip bestämd av bucklingsmotståndet ör plåtältet mellan två styvare. Alltså kan ormlerna ovan ör en oavstyvad panel användas. För att bestämma minsta tillåtna tvärgående styvare använd: γ y [ + κ ] ( 4N L 1) ( N L 1) κ ( N L + 1) 4 ( 5N + 1 κ ) + Π (ekvation i re.[1]) L Ekv. 1-9 där γ y representerar örhållandet mellan sektionen och plåten enligt: EI y γ y Ekv D a och där: 0

21 κ a b Π Π L B L b L N L antalet paneler i plåtältet. (N L 1 blir alltså antalet styvare.) Ekv a Notera: ör att beräkna I y använder man hela plåtbredden a på länsen KOMBINATION AV LONGITUDINELLT OCH TRANSVERSELLT AVSTYVADE PANELER. I verkligheten uppträder paneler som är både transversellt och longitudinellt avstyvade. Detta gäller i synnerhet stora paneler. Tryckbelastade paneler dimensioneras naturligt med örstyvningarna gående i lastens riktning. De kommer då i princip att verka som individuella strävor. Ett eektivt sätt att minska på strävornas dimension är att minska deras eektiva längd. Detta kan uppnås genom att använda örstyvningar tvärs lastens riktning. Vi behöver därör beräkna den minsta styvhet de transversella balkarna bör ha ör att eektivt stödja de longitudinella balkarna. En ormel som beskriver den nödvändiga styvheten kan skrivas: γ γ 4 B π Ca p y 1 Ekv. 1-3 Figure 9. Plan plåt med korsörstyvning utsatt ör trycklast där: γ γ y EI y Da EI Db C 0,5 + N 3 1

22 N antal spännvidder longitudinellt a L p antalet longitudinella styvare N B 1 B N B antal spännvidder transversellt b Table 1. Min. transversellt styvhetsörhållande ör att örhindra global panelbuckling. ANTAL LONGITUDINELLA STYVARE MIN. γ γ y BUCKLING FÖR ATT FÖRHINDRA B C a B C a B C a Alternativ metod Man kan också använda en metod med utsmetade ekvivalenta styvheter på en ortotrop platta, detta kommer inte behandlas vidare här LÄMPLIGA AVSTÅND MELLAN STYVARE Som vi sett ovan har aluminium, p.g.a. sin lägre E-modul, lättare ör att buckla än stål. Det är därör viktigare att kontrollera bucklingen i aluminiumkonstruktioner än i motsvarande stålkonstruktioner. De eventuella tumregler som inns ör styvaravstånd i stålkonstruktioner kan alltså inte bara lyttas över till en motsvarande konstruktion i aluminium. Generellt kan sägas att styvarna skall sitta på ½ till 1/3 avstånd jämört med stålkonstruktioner ör att kunna optage samme last. Att man inte direkt använder 1/3 avstånd beror på att i de lesta all är styvarna svetsade till plåten, vilket väsentligt reducerar ma. tillåten spänning. För att uppta en given last måste därör tjockleken på de ingående aluminiumkomponenterna ökas, vilket också örhindrar buckling. Styvarna skall samtidigt vara mindre slanka än motsvarande stålstyvare, se avsnitt Tripping ovan.

23 DÅLIGA EXEMPEL Fråga JK GODA EXEMPEL Fråga JK 1.5 Viktiga regler och klassiikationssällskap Nedan öljer en kort genomgång av några av de viktigaste klassiikationssällskapens regler vad det gäller buckling LLOYDS Lloyds har ett speciellt set med regler ör aluminiumartyg; Rules and Regulations or the Classiication o Special Service Crat. I Volume 5, Part 7, Hull Construction in Aluminium, Section 4, Buckling Control inns öljande nomenklatur speciicerad: 3

24 Table. Nomenklatur I Lloyds BESKRIVNING A R e c BENÄMNING panelens sidoörhållande elastisk bucklingsspänning aktuell kritisk bucklingsspänning dc kritisk design bucklingsspänning a s S 0,% lytspänning avstånd mellan sekundära styvare [mm] avstånd mellan primära styvare [m] E elasticitetsmodul [N/mm ] At tvärsnittsarea av sekundär styvare, inklusive eektiv bredd på plåten [cm ] l avståndet mellan primära styvare [m] ϕ 0,47µ 1,4µ + 1,93 parameter ör spänningsvariationen i ett plåtält, µ 0 µ 1 1 örhållandet mellan största och minsta tryckspänning i panelen största tryckspänning i panelen minsta tryckspänning i panelen Det inns självklart också regler ör stålartyg, dessa nämns i reerenslistan nedan. Något som ej nämnts i genomgången ovan är hänsyn till lateral last, t.e. ett utbrett vattentryck. Enligt Lloyds behöver man ej heller ta med sådan last i bucklingsberäkningar, det räcker med spänningar som kan uppträda i planet. Detsamma gäller ör initiella deormationer, dessa kan också negligeras enligt Lloyds. Följande samband gäller ör den kritiska bucklingsspänningen: e e < a > a c c e a 1 4 a e Ekv Med ord kan man uttrycka sig på öljande vis: så länge bucklingsspänningen är mindre än halva lytspänningen är den kritiska spänningen lika med bucklingsspänningen. Om bucklingsspänningen skulle överstiga halva lytspänningen använder man ormeln nedanör. Ett eempel på hur den kritiska spänningen kan variera med inns i iguren nedan: e 4

25 Kritisk spänning Elastisk (Euler) spänning Figure 10. Eempel på örhållande mellan elastisk och kritisk spänning Vid buckling av plåtpanel använder Lloyd öljande ormler: Longitudinellt avstyvad panel t e 3,6 ϕ E Ekv s Transversellt avstyvad panel 0,9 s 1 t e λ ϕ + E Ekv l s Parametern λ bestäms av vilken sorts styvare som används, se nedan: Parametern ϕ används som en spänningsdistributionsaktor, om spänningen i den panel som undersöks ej är konstant men varierar längs randen. 5

26 Table 3. Parametern λ ör olika typer styvare STYVARTYP λ Bottenstockar eller dragere 1,30 Byggda balkar eller valsade proiler 1,1 Bulbjärn 1,10 Flatjärn 1,05 Residualspänning rån svetsar skall tas hänsyn till genom: cr c r Ekv där r är residualspänningen som bestäms av r där β RS a Ekv b t β är en parameter som beror av svetstypen, sätt β 3 i genomsnitt. RS Kommentarer till Lloyds Vridbuckling skall checkas, och vara större än elastisk buckling av plåtält. Istället ör att repetera alla reglerna hänvisas till re.[3]. Reglerna verkar generellt praktiskt utormade och rätt enkla att ölja DNV DNV har regler på lera ställen, här använder vi Hull Structural Design, Ships with Length 100 m and Above, som egentligen är ett regelverk ör stålartyg. Nomenklaturen som används örklaras i tabellen nedan. RS 6

27 Table 4. Nomenklatur använd i DNV BESKRIVNING Ideell elastisk bucklingsspänning (Euler) Kritisk spänning Flytspänning Reerensspänning, aktuell spänning BENÄMNING, el, cr,, a E C F Reducerad slankhetsparameter λ F E Utnyttjandegrad η C Elasticitetmodul E, enhet [N/mm ] I princip använder sig DNV av öljande kriteria: el el < > c c el 1 4 el Ekv vilket vi direkt känner igen rån Lloyds ovan. För plåtält använder man: t el 0,9 ke Ekv s enhet [N/mm ]där tjockleken givetvis är utan korrosionstillägg. k-aktorn tar hänsyn till om plåtältet är örstyvat i längs- eller tvärs-riktningen Längsörstyvade plåtält, k-aktor 8.4 k Ekv ψ + 1, Transversella styvare, k-aktor s 1, k c 1 + Ekv l ψ + 1,1 7

28 Här är ψ en parameter mellan 0 till 1 som beskriver örhållandet mellan största och minsta tryckspänningen i hörnen på den studerade panelen, på liknande sätt som aktorn ϕ i Lloyds regler. Faktorn c tar hänsyn till olika typer av örstyvningar: c 1,30 när örstyvningarna är stora byggda balkar, typ bottenstockar eller dragere. c 1,1 vid T-sektioner. c 1,10 vid bulbjärn. c 1,05 vid plattjärn. vilket vi känner igen rån Lloyds ovan Kommentar till DNV Johnston-Osteneld relationen är med, men inte något om svetsspänningar (HAZ), detta är naturligt då regelverket behandlar stålartyg. Betydligt mer inormation inns i Technical Note No. 30.1, Buckling Strength Analysis rån juli 1995, se re.[5] EUROCODE 9 EuroCode9, se re.[6], har en annorlunda angreppsvinkel jämört med Lloyds, re.[3] och DNV re.[4-5], vilka introducerats ovan. Där de ovanstående reglerna använder spänning, använder sig EuroCode av krater. Kraterna räknas ut genom en partialkoeicientsmetod, Strukturen delas örst in i 4 klasser, klassen har sedan inverkan på de koeicienter man utnyttjar. Otast är reglerna utormade så att man summerar ett antal normerade krater och / eller moment. Om summan överskrider 1 är strukturen överlastad, en summa under 1 betyder att den håller. Ett eempel på en sådan summering inns i ekv.(1-1) ovan. En genomgång av centralt påverkade tryckstænger inns redan (re till korrekt avsnitt i ståbin) och repeteras inte här. Istället koncentrerar vi oss här på tryckbelastade paneler, vilket återinns i EuroCode och ramåt. I princip checkar man att kraten i den tryckbelastade panelen är mindre än den minsta tillåtna kraten, med hänsyn tagen till buckling, plastisering, HAZ och hål i tvärsnittet Longitudinellt avstyvade paneler Vid kontroll av longitudinellt avstyvade paneler kontrollerar man att plastisering ej sker i det minsta tvärsnittet. Panelen skall sedan kontrolleras som om varje styvare var en individuell sträva. Den kritiska lasten bestäms typiskt som: F crit π EI L + c Ekv. 1-4 L π Vi känner omedelbart igen Eulers ormel ör tryckbelastad sträva, dessutom adderar man ett bidrag beroende på styvartyp etc genom att variera parametern c. 8

Material, form och kraft, F11

Material, form och kraft, F11 Material, form och kraft, F11 Repetition Dimensionering Hållfasthet, Deformation/Styvhet Effektivspänning (tex von Mises) Spröda/Sega (kan omfördela spänning) Stabilitet instabilitet Pelarknäckning Vippning

Läs mer

------------ -------------------------------

------------ ------------------------------- TMHL09 2013-10-23.01 (Del I, teori; 1 p.) 1. En balk med kvadratiskt tvärsnitt är tillverkad genom att man limmat ihop två lika rektangulära profiler enligt fig. 2a. Balken belastas med axiell tryckkraft

Läs mer

www.eurocodesoftware.se

www.eurocodesoftware.se www.eurocodesoftware.se caeec220 Pelare betong Program för dimensionering av betongtvärsnitt belastade med moment och normalkraft. Resultat är drag-, tryckarmering och effektiv höjd. Användarmanual Rev

Läs mer

Beräkningsmedel för analys av lokal buckling i slanka stålkonstruktioner

Beräkningsmedel för analys av lokal buckling i slanka stålkonstruktioner Beräkningsmedel för analys av lokal buckling i slanka stålkonstruktioner Examensarbete inom högskoleingenjörsprogrammet Byggingenjör JIMMY GUSTAFSSON, BJÖRN WALHELM Institutionen för bygg- och miljöteknik

Läs mer

Laboration i Geometrisk Optik

Laboration i Geometrisk Optik Laboration i Geometrisk Optik Stockholms Universitet 2014 Kontakt: olga. b ylund@ysik.su.se Instruktioner ör redogörelse ör laboration 1: Laboration 1 innehåller em experiment. Varje experiment bör presenteras

Läs mer

Kort genomgång av EK3-1-8 -jämförelse med BSK-

Kort genomgång av EK3-1-8 -jämförelse med BSK- Kort genomgång av EK3-1-8 -jämörelse med BSK- Milan Veljkovic Innehåll Skruvörband Svetsörband Modellering av konstruktioner Ledade örband Momentstyva örband Slutsatser BSK Skruvörbandsklasser EK3-1-8

Läs mer

Dragprov, en demonstration

Dragprov, en demonstration Dragprov, en demonstration Stål Grundämnet järn är huvudbeståndsdelen i stål. I normalt konstruktionsstål, som är det vi ska arbeta med, är kolhalten högst 0,20-0,25 %. En av anledningarna är att stålet

Läs mer

Lösningsskisser till Tentamen 0i Hållfasthetslära 1 för 0 Z2 (TME017), = @ verkar 8 (enbart) skjuvspänningen xy =1.5MPa. med, i detta fall,

Lösningsskisser till Tentamen 0i Hållfasthetslära 1 för 0 Z2 (TME017), = @ verkar 8 (enbart) skjuvspänningen xy =1.5MPa. med, i detta fall, Huvudspänningar oc uvudspänningsriktningar n från: Huvudtöjningar oc uvudtöjningsriktningar n från: (S I)n = 0 ) det(s I) =0 ösningsskisser till där S är spänningsmatrisen Tentamen 0i Hållfastetslära för

Läs mer

Tentamen Optik, FYSA11, 2012-05-25

Tentamen Optik, FYSA11, 2012-05-25 Tentamen Otik, FYSA, 0-05-5 Hjälmedel: TEFYMA, ormelsamling, linjal, ickräknare och biogat ormelblad. Glöm inte att beskriva hur du kommer ram till dina svar. Även delvis lösta ugiter kan ge oäng.. Den

Läs mer

konstruktionstabeller rör balk stång

konstruktionstabeller rör balk stång konstruktionstabeller rör balk stång Att dimensionera rätt har ingenting med tur att göra Tibnors konstruktionstabeller innehåller komplett produktredovisning och dimensioneringsanvisningar för hålprofiler,

Läs mer

Program S3.02. SOFTWARE ENGINEERING AB Byggtekniska Program - Betong. Betongpelare

Program S3.02. SOFTWARE ENGINEERING AB Byggtekniska Program - Betong. Betongpelare Program S3.02 SOFTWARE ENGINEERING AB Byggtekniska Program - Betong Betongpelare BYGGTEKNSKA PROGRAM - BETONG Betongpelare Sotware Engineering AB Hisingsgatan 30 417 03 Göteborg Tel : 031-50 83 30 Fax

Läs mer

25% Undervisning. Gotland. Fulltofta Trädpromenad. 50% Konstruktör. 25% Forskning

25% Undervisning. Gotland. Fulltofta Trädpromenad. 50% Konstruktör. 25% Forskning 25% Undervisning Gotland 25% Forskning 50% Konstruktör Fulltofta Trädpromenad Ljunghusen Veberöd Svenska Byggbranschens Utvecklingsfond Putsen utsetts för både rena drag- och tryckspänningar samt böjdragspänningar

Läs mer

4.3. 498 Gyproc Handbok 7 Gyproc Teknik. Statik. Bärförmåga hos Gyproc GFR DUROnomic Regel. Dimensioneringsvärden för transversallast och axiallast

4.3. 498 Gyproc Handbok 7 Gyproc Teknik. Statik. Bärförmåga hos Gyproc GFR DUROnomic Regel. Dimensioneringsvärden för transversallast och axiallast .3 Dimensionering av Gyproc DUROnomic Bärförmåga hos Gyproc GFR DUROnomic Regel Dimensioneringsvärden för transversallast och axiallast Gyproc GFR Duronomic förstärkningsreglar kan uppta såväl transversallaster

Läs mer

EXAMENSARBETE. Förstärkning av stålpelare. En nyanserad beräkningsgång, implicit och explicit enligt Eurokod 3. Emelie Staflund

EXAMENSARBETE. Förstärkning av stålpelare. En nyanserad beräkningsgång, implicit och explicit enligt Eurokod 3. Emelie Staflund EXAMENSARBETE Förstärkning av stålpelare En nyanserad beräkningsgång, implicit och explicit enligt Eurokod 3 Emelie Staflund Civilingenjörsexamen Väg- och vattenbyggnadsteknik Luleå tekniska universitet

Läs mer

Stokastiska variabler

Stokastiska variabler Sannolikhetsteori ör MN1 ht 2004 2004-09 - 07 Bengt Rosén Stokastiska variabler Deinition av stokastisk variabel Den matematiska beskrivningen av ett slumörsök är ett ar (Ω, P( )), där utallsrummet Ω är

Läs mer

Byggnadsmekanik, LTH MATERIAL, FORM OCH KRAFT

Byggnadsmekanik, LTH MATERIAL, FORM OCH KRAFT Byggnadsmekanik, LTH MATERIAL, FORM OCH KRAFT KURSPROGRAM 2008 Material, form och kraft (VSM131, 9hp) Mål Målet med kursen är en fördjupad formförståelse; en förståelse om samspelet mellan material, form

Läs mer

Sannolikhetsbaserad metodik för beräkning av betongdammars stabilitet

Sannolikhetsbaserad metodik för beräkning av betongdammars stabilitet Sannolikhetsbaserad metodik för beräkning av betongdammars stabilitet Marie Westberg Doktorand LTH/Vattenfall Disposition Bakgrund Säkerhetskoncept Jämförelse Probabilistisk metodik Konsekvens Exempel

Läs mer

SKOGLIGA TILLÄMPNINGAR

SKOGLIGA TILLÄMPNINGAR STUDIEAVSNITT 3 SKOGLIGA TILLÄMPNINGAR I detta avsnitt ska vi titta på några av de skogliga tillämpningar på geometri som finns. SKOGSKARTAN EN MODELL AV VERKLIGHETEN Arbetar man i skogen klarar man sig

Läs mer

Krafter och moment. mm F G (1.1)

Krafter och moment. mm F G (1.1) 1 Krafter och moment 1.1 Inledning örståelsen för hur olika typer av krafter påverkar strukturer i vår omgivning är grundläggande för ingenjörsvetenskapen inom byggnadskonsten. Gravitationskraften är en

Läs mer

FMN140 VT07: Beräkningsprogrammering Numerisk Analys, Matematikcentrum

FMN140 VT07: Beräkningsprogrammering Numerisk Analys, Matematikcentrum Johan Helsing, 20 februari 2007 FMN140 VT07: Beräkningsprogrammering Numerisk Analys, Matematikcentrum Projektuppgift Syfte: att träna på att skriva ett lite större Matlabprogram med relevans för byggnadsmekanik.

Läs mer

LECA Murverk. Källarytterväggar Dimensioneringsanvisning

LECA Murverk. Källarytterväggar Dimensioneringsanvisning LECA Murverk Källarytterväggar Dimensioneringsanvisning Inledning Källaren har gamla anor i landet, och förknippas på de flesta orter som en del av huset, som är helt eller delvis nergrävt i marken. Även

Läs mer

PELARSKO FÖR LIMTRÄPELARE

PELARSKO FÖR LIMTRÄPELARE PELARSKO FÖR LIMTRÄPELARE Fogstycke, dimensionerat enligt normerna, mellan betong och virke SKRUVPELARSKO Fogdel för limskruvar. Svetsas till fästplåten INNEHÅLL Pelarsko för limträpelare 1 Funktionssätt

Läs mer

Avancerade metoder för planering och uppföljning av betongkonstruktioner

Avancerade metoder för planering och uppföljning av betongkonstruktioner Avancerade metoder 1(7) Avancerade metoder för planering och uppföljning av betongkonstruktioner Slutrapportering av SBUF-projekt nr 11015 med rubricerad titel. Sammanfattning Aktuellt forskningsprojekt

Läs mer

EN 1993-1-1, dimensionering av stålkonstruktioner, allmänna regler och regler för byggnader Bernt Johansson, Luleå Tekniska Universitet

EN 1993-1-1, dimensionering av stålkonstruktioner, allmänna regler och regler för byggnader Bernt Johansson, Luleå Tekniska Universitet 2004-10-06 EN 1993-1-1, dimensionering av stålkonstruktioner, allmänna regler och regler för byggnader Bernt Johansson, Luleå Tekniska Universitet Bakgrund År 1975 deltog jag i ett informationsmöte i Bryssel

Läs mer

Uppgifter till KRAFTER

Uppgifter till KRAFTER Uppgifter till KRAFTER Peter Gustavsson Per-Erik Austrell 1 Innehåll 1 Introduktion till statiken... 3 A-uppgifter...3 2 Krafter... 5 A-uppgifter...5 B-uppgifter...5 3 Moment... 7 A-uppgifter...7 B-uppgifter...9

Läs mer

Kursplan för Matematik

Kursplan för Matematik Sida 1 av 5 Kursplan för Matematik Inrättad 2000-07 SKOLFS: 2000:135 Ämnets syfte och roll i utbildningen Grundskolan har till uppgift att hos eleven utveckla sådana kunskaper i matematik som behövs för

Läs mer

Projekteringsanvisning

Projekteringsanvisning Projekteringsanvisning 1 Projekteringsanvisning Den bärande stommen i ett hus med IsoTimber dimensioneras av byggnadskonstruktören enligt Eurokod. Denna projekteringsanvisning är avsedd att användas som

Läs mer

Poler och nollställen, motkoppling och loopstabilitet. Skrivet av: Hans Beijner 2003-07-27

Poler och nollställen, motkoppling och loopstabilitet. Skrivet av: Hans Beijner 2003-07-27 Poler och nollställen, motkoppling och loopstabilitet Skrivet av: Hans Beijner 003-07-7 Inledning All text i detta dokument är skyddad enligt lagen om Copyright och får ej användas, kopieras eller citeras

Läs mer

Tentamen i Hållfasthetslära för I2 MHA 051

Tentamen i Hållfasthetslära för I2 MHA 051 Tentamen i Hållfasthetslära för I2 MHA 051 28 augusti 2004, 8 45 12 45 (4 timmar) Lärare: Anders Ekberg, tel: 772 480 Maximal poäng är 15. För godkänt krävs 6 poäng Allmänt Hjälpmedel 1. Läroböcker i hållfasthetslära

Läs mer

Nya typfall för rör- och kopplingsställningar

Nya typfall för rör- och kopplingsställningar Nya typfall för rör- och kopplingsställningar Utdrag ur SP-Rapport 2006:58 Nya typfall för rör- och kopplingsställningar Följande handling är ett utdrag av SP-Rapport 2006:58 Rörställningar - Utvärdering

Läs mer

OBS I Finland användes namnet Gilsonite för Uintaite

OBS I Finland användes namnet Gilsonite för Uintaite NVF/Finska avdelningen Utskott 33 - asfaltbeläggningar FÖRBUNDSUTSKOTTSMÖTET 17. JUNI 22 PÅ NÅDENDAL SPA Jari Pihlajamäki Den eviga asfaltbeläggningen mot utmattningen? - erfarenheter från testsektioner

Läs mer

ANDREAS REJBRAND 2007-11-03 Elektromagnetism http://www.rejbrand.se. Coulombs lag och Maxwells första ekvation

ANDREAS REJBRAND 2007-11-03 Elektromagnetism http://www.rejbrand.se. Coulombs lag och Maxwells första ekvation ANDREA REJBRAND 2007-11-03 Elektromagnetism http://www.rejbrand.se oulombs lag och Maxwells första ekvation oulombs lag och Maxwells första ekvation Inledning Två punktladdningar q 1 samt q 2 i rymden

Läs mer

Linjära ekvationssystem. Avsnitt 1. Vi ska lära oss en metod som på ett systematiskt sätt löser alla linjära ekvationssystem. Linjära ekvationssystem

Linjära ekvationssystem. Avsnitt 1. Vi ska lära oss en metod som på ett systematiskt sätt löser alla linjära ekvationssystem. Linjära ekvationssystem Avsnitt Linjära ekvationssystem Elementära radoperationer Gausseliminering Exempel Räkneschema Exempel med exakt en lösning Exempel med parameterlösning Exempel utan lösning Slutschema Avläsa lösningen

Läs mer

12) Terminologi. Brandflöde. Medelbrandflöde. Brandskapat flöde avses den termiska expansionen av rumsvolymen per tidsenhet i rum där brand uppstått.

12) Terminologi. Brandflöde. Medelbrandflöde. Brandskapat flöde avses den termiska expansionen av rumsvolymen per tidsenhet i rum där brand uppstått. 12) Terminologi Brandflöde Brandskapat flöde avses den termiska expansionen av rumsvolymen per tidsenhet i rum där brand uppstått. Medelbrandflöde Ökningen av luftvolymen som skapas i brandrummet när rummet

Läs mer

ENKLARE. LÄTTARE BETYDER BÄTTRE.

ENKLARE. LÄTTARE BETYDER BÄTTRE. LÄTTARE BETYDER ENKLARE. LÄTTARE BETYDER BÄTTRE. LI GH HT Y HE R A L T W EI G // DEN NYA DIMENSIONEN INOM STÄLLNINGSBYGGNAD LIGHTWEIGHT VAD ÄR DET? DET ÄR LÄTT ATT FÖRKLARA. // LIGHTWEIGHT-FILOSOFIN -

Läs mer

STORA ÖPPNINGAR I BALKLIV FÖR INSTALLATIONSDRAGNING. State of art och bakgrund till dimensioneringsregler

STORA ÖPPNINGAR I BALKLIV FÖR INSTALLATIONSDRAGNING. State of art och bakgrund till dimensioneringsregler Projektet har genomförts med finansiellt stöd av Forskningsfonden för Kol och Stål inom EU. STORA ÖPPNINGAR I BALKLIV FÖR INSTALLATIONSDRAGNING Kontrakt N : RFS-CT-2005-00037 State of art och bakgrund

Läs mer

Graärgning och kromatiska formler

Graärgning och kromatiska formler Graärgning och kromatiska formler Henrik Bäärnhielm, d98-hba 2 mars 2000 Sammanfattning I denna uppsats beskrivs, för en ickematematiker, färgning av grafer samt kromatiska formler för grafer. Det hela

Läs mer

Hjälpmedel: Tore Dahlbergs formelsamling, TeFyMa eller någon annan liknande fysik- eller matematikformelsamling, valfri miniräknare, linjal, passare

Hjälpmedel: Tore Dahlbergs formelsamling, TeFyMa eller någon annan liknande fysik- eller matematikformelsamling, valfri miniräknare, linjal, passare Mekaniska konstruktioner Provmoment: Tentamen Ladokkod: 41I30M Tentamen ges för: Af-ma3, Htep2 7,5 högskolepoäng Namn: (Ifylles av student) Personnummer: (Ifylles av student) Tentamensdatum: 12 januari

Läs mer

MA1201 Matematik A Mål som deltagarna skall ha uppnått efter avslutad kurs

MA1201 Matematik A Mål som deltagarna skall ha uppnått efter avslutad kurs MA1201 Matematik A Mål som deltagarna skall ha uppnått efter avslutad kurs Tolkning Deltagaren skall kunna formulera, analysera och lösa matematiska problem av betydelse för vardagsliv och vald studieinriktning

Läs mer

Titel: Undertitel: Författarens namn och e-postadress. Framsidans utseende kan variera mellan olika institutioner

Titel: Undertitel: Författarens namn och e-postadress. Framsidans utseende kan variera mellan olika institutioner Linköping Universitet, Campus Norrköping Inst/ Kurs Termin/år Titel: Undertitel: Författarens namn och e-postadress Framsidans utseende kan variera mellan olika institutioner Handledares namn Sammanfattning

Läs mer

Gemensamt projekt: Matematik, Beräkningsvetenskap, Elektromagnetism. Inledning. Fysikalisk bakgrund

Gemensamt projekt: Matematik, Beräkningsvetenskap, Elektromagnetism. Inledning. Fysikalisk bakgrund Gemensamt projekt: Matematik, Beräkningsvetenskap, Elektromagnetism En civilingenjör ska kunna idealisera ett givet verkligt problem, göra en adekvat fysikalisk modell och behandla modellen med matematiska

Läs mer

MA1201 Matematik A Mål som deltagarna skall ha uppnått efter avslutad kurs

MA1201 Matematik A Mål som deltagarna skall ha uppnått efter avslutad kurs MA1201 Matematik A Mål som deltagarna skall ha uppnått efter avslutad kurs Tolkning Deltagaren skall kunna formulera, analysera och lösa matematiska problem av betydelse för vardagsliv och vald studieinriktning

Läs mer

Funktioner, Algebra och Ekvationer År 9

Funktioner, Algebra och Ekvationer År 9 Undervisning Funktioner, Algebra och Ekvationer År 9 Mål att uppnå i år 9, ur Lpo 94 Utvecklar intresse för matematik samt tilltro till det egna tänkandet och den egna förmågan att lära sig matematik och

Läs mer

Bayesianska numeriska metoder I

Bayesianska numeriska metoder I Baesianska numeriska metoder I T. Olofsson Marginalisering En återkommende teknik inom Baesiansk inferens är det som kallas för marginalisering. I grund och botten rör det sig om tillämpning av ett specialfall

Läs mer

Byt till den tjocka linsen och bestäm dess brännvidd.

Byt till den tjocka linsen och bestäm dess brännvidd. LINSER Uppgit: Mteriel: Teori: Att undersök den rytnde örmågn hos olik linser och tt veriier linsormeln Ljuskäll och linser ur Optik-Elin Med hjälp v en lmp och en ländre med ler öppningr år vi ler ljusstrålr,

Läs mer

Gobius 1- överfyllnadsskydd för septiktankar

Gobius 1- överfyllnadsskydd för septiktankar Dokumentrevision 1.0, januari 2011 Gobius 1- överfyllnadsskydd för septiktankar Installationsanvisning Börja här 1. Kontrollera att alla delar finns med i förpackningen. (1 sensor, 1 panel, 1 kontrollenhet

Läs mer

Mål en del av vision NS-1 (NRA) Bygga och leva med trä

Mål en del av vision NS-1 (NRA) Bygga och leva med trä Konkurrenskraftiga träbroar för framtiden Evenstad bro, Norge och Kristoffer Karlsson Mål en del av vision NS-1 (NRA) Bygga och leva med trä Målet omfattar utveckling av byggnadsteknik med avseende på:

Läs mer

Kortslutningsströmmar i lågspänningsnät Detta är ett nedkortat utdrag ur kursdokumentation.

Kortslutningsströmmar i lågspänningsnät Detta är ett nedkortat utdrag ur kursdokumentation. 1(7) Kortslutningsströmmar i lågspänningsnät Detta är ett nedkortat utdrag ur kursdokumentation. Enligt punkt 434.1 i SS 4364000 ska kortslutningsströmmen bestämmas i varje punkt så erfordras. Bestämningen

Läs mer

Studieanvisning i Optik, Fysik A enligt boken Quanta A

Studieanvisning i Optik, Fysik A enligt boken Quanta A Detta är en något omarbetad version av Studiehandledningen som användes i tryckta kursen på SSVN. Sidhänvisningar hänför sig till Quanta A 2000, ISBN 91-27-60500-0 Där det har varit möjligt har motsvarande

Läs mer

Idealgasens begränsningar märks bäst vid högt tryck då molekyler växelverkar mera eller går över i vätskeform.

Idealgasens begränsningar märks bäst vid högt tryck då molekyler växelverkar mera eller går över i vätskeform. Van der Waals gas Introduktion Idealgaslagen är praktisk i teorin men i praktiken är inga gaser idealgaser Den lättaste och vanligaste modellen för en reell gas är Van der Waals gas Van der Waals modell

Läs mer

4.2. 470 Gyproc Handbok 8 Gyproc Teknik. Brandskydd. Brandtekniska klasser för byggnader BR 2 BR 3 BR 1. 4.2.1 Begrepp

4.2. 470 Gyproc Handbok 8 Gyproc Teknik. Brandskydd. Brandtekniska klasser för byggnader BR 2 BR 3 BR 1. 4.2.1 Begrepp Brandskydd .1 Begrepp Följande avsnitt redovisar bl.a vanliga begrepp enligt Boverkets Byggregler, nya Euroklasser samt gipsskivans brandskyddande egenskaper. I övrigt se resp konstruktioners egenskaper

Läs mer

Nr 5. Diagonalmått Avser mått mellan ytterhörn på bjälklag eller grundmur. Toleransen gäller samtliga diagonaler.

Nr 5. Diagonalmått Avser mått mellan ytterhörn på bjälklag eller grundmur. Toleransen gäller samtliga diagonaler. Måttdefinitioner Nr 1. Läge i sida från närmaste sekundärlinje Avser avvikelse från basmåttet till närmaste sekundärlinje (2 st). Kravet avser läge valfritt utmed hela komponentens höjd. Vanligen mäts

Läs mer

Fysik A A B C D. Sidan 1 av 9 henrik.gyllensten@tabyenskilda.se. www.tabyenskilda.se/fy

Fysik A A B C D. Sidan 1 av 9 henrik.gyllensten@tabyenskilda.se. www.tabyenskilda.se/fy www.tabyenskilda.se/y ÖÖvvnni iinn ggssuuppppggi ii teer 1. Lars lyser med en icklampa mot ett prisma. Han kan då se ett spektrum på väggen bakom prismat. Spektrumet innehåller alla ärger. Vilken av dessa

Läs mer

NS-EN 1991-1-7 Ulykkeslaster

NS-EN 1991-1-7 Ulykkeslaster NS-EN 1991-1-7 Ulykkeslaster Ger principer och råd för bestämning av olyckslaster vid dimensionering av byggnader och broar och omfattar - påkörningslaster från fordon, tåg, fartyg och helikoptrar, - laster

Läs mer

Analoga och Digitala Signaler. Analogt och Digitalt. Analogt. Digitalt. Analogt få komponenter låg effektförbrukning

Analoga och Digitala Signaler. Analogt och Digitalt. Analogt. Digitalt. Analogt få komponenter låg effektförbrukning Analoga och Digitala Signaler Analogt och Digitalt Analogt 00000000000000000000000000000000000 t Digitalt Analogt kontra Digitalt Analogt å komponenter låg eektörbrukning verkliga signaler Digitalt Hög

Läs mer

Kapitel 1 Komma igång... 3

Kapitel 1 Komma igång... 3 2014.02.21 1 Kapitel Innehåll... Sida Kapitel 1 Komma igång... 3 Välkommen... 3 Är DDS-CAD Arkitekt installerat?... 5 Operativmiljön Windows... 5 Begrepp... 5 Starta DDS-CAD Arkitekt... 6 Starta ett nytt

Läs mer

Effekt från beteende- och fysisk faktor på vibrationsexponering

Effekt från beteende- och fysisk faktor på vibrationsexponering Effekt från beteende- och fysisk faktor på vibrationsexponering Bakgrund Varje dag utsätts miljontals arbetstagare för kroppsvibrationer (helkroppsoch handarm vibrationer). För att förebygga och minska

Läs mer

Taxianvändning. . Tvingande hastighetsgräns (fordon). Tåganvändning. Cykelanvändning. Utgångspunkter. Användarstudier. Koncept och visualisering

Taxianvändning. . Tvingande hastighetsgräns (fordon). Tåganvändning. Cykelanvändning. Utgångspunkter. Användarstudier. Koncept och visualisering Utgångspunkter Vi började hela projektet på Tonhallen, där vi lyssnade på öreläsningar av Stean Nilsson som är VD ör Trendgruppen, Pernilla Dahlman som är projektledare, Susanna Hurtig som jobbar med Vattenall

Läs mer

Praktisk beräkning av SPICE-parametrar för halvledare

Praktisk beräkning av SPICE-parametrar för halvledare SPICE-parametrar för halvledare IH1611 Halvledarkomponenter Ammar Elyas Fredrik Lundgren Joel Nilsson elyas at kth.se flundg at kth.se joelni at kth.se Martin Axelsson maxels at kth.se Shaho Moulodi moulodi

Läs mer

Approximation av funktioner

Approximation av funktioner Vetenskapliga beräkningar III 8 Kapitel Approximation av funktioner Vi skall nu övergå till att beskriva, hur man i praktiken numeriskt beräknar funktioner I allmänhet kan inte ens elementära funktioner

Läs mer

Laboration ( ELEKTRO

Laboration ( ELEKTRO UMEÅ UNIVERSITET Tillämpad fysik och elektronik Sverker ohansson ohan Pålsson 21-2-16 Rev 1.1 $.7,9$),/7(5 Laboration ( ELEKTRO Personalia: Namn: Kurs: Datum: Återlämnad (ej godkänd): Rättningsdatum Kommentarer

Läs mer

DYMLINGSSYSTEM DIAMANTHYLSA ALPHAHYLSA PERMASLEEVE TRI-PLATE FÖR PLATTOR PÅ MARK FÖR FRIBÄRANDE PLATTOR SYSTEM MED FYRKANTIGA DYMLINGAR & HYLSOR

DYMLINGSSYSTEM DIAMANTHYLSA ALPHAHYLSA PERMASLEEVE TRI-PLATE FÖR PLATTOR PÅ MARK FÖR FRIBÄRANDE PLATTOR SYSTEM MED FYRKANTIGA DYMLINGAR & HYLSOR 21/07/08 Issue1.3 www.permaban.com DYMLINGSSYSTEM DIAMANTHYLSA FÖR PLATTOR PÅ MARK ALPHAHYLSA FÖR FRIBÄRANDE PLATTOR PERMASLEEVE SYSTEM MED FYRKANTIGA DYMLINGAR & HYLSOR TRI-PLATE SÅGADE DILATATIONSFOGAR

Läs mer

Introduktion. Exempel Övningar Lösningar 1 Lösningar 2 Översikt

Introduktion. Exempel Övningar Lösningar 1 Lösningar 2 Översikt KTHs Sommarmatematik 2002 Exempel Övningar Lösningar 1 Lösningar 2 Översikt 1.1Introduktion Introduktion Avsnitt 1 handlar till att börja med om hantering av bråkstreck. Samtidigt ges exempel och övningar

Läs mer

Excel-pelardimensionerare enligt Eurocode 3. Erik Björkqvist

Excel-pelardimensionerare enligt Eurocode 3. Erik Björkqvist Excel-pelardimensionerare enligt Eurocode 3 Erik Björkqvist Examensarbete för Ingenjör (YH)-examen Utbildningsprogrammet för byggnadsteknik Raseborg 2013 Förord Detta ingenjörsarbete har handletts av Håkan

Läs mer

Grafisk Teknik. Rastrering. Övningar med lösningar/svar. Sasan Gooran (HT 2013)

Grafisk Teknik. Rastrering. Övningar med lösningar/svar. Sasan Gooran (HT 2013) Grafisk Teknik Rastrering Övningar med lösningar/svar Det här lilla häftet innehåller ett antal räkneuppgifter med svar och i vissa fall med fullständiga lösningar. Uppgifterna är för det mesta hämtade

Läs mer

Brandtätning av ventilationsgenomföring i väggar

Brandtätning av ventilationsgenomföring i väggar Brandtätning av ventilationsgenomföring i väggar 1. 1A. 2A. 3. 3A. BRANDTEKNISK KLASS EI30 - EI90 1. Genomföring i gipsvägg med genomgående isolering., tjocklek 2x30 mm 1A. Genomföring i gipsvägg med bruten

Läs mer

Lokal studieplan Matematik 3 8 = 24. Centrum för tvåspråkighet Förberedelseklass

Lokal studieplan Matematik 3 8 = 24. Centrum för tvåspråkighet Förberedelseklass Lokal studieplan Matematik 3 8 = 24 Centrum för tvåspråkighet Förberedelseklass 1 Mål att sträva mot Skolan skall i sin undervisning i matematik sträva efter att eleven S11 utvecklar intresse för matematik

Läs mer

Triflex. Triflex 1. Dimensioner

Triflex. Triflex 1. Dimensioner Triflex Triflex 1 Triflex 1 dämparen utvecklades för vibrationsdämpning för medeltunga till tunga maskiner för att skydda maskiner och elektronik ifrån vibrationer. Konstruktionen av dämparen tillgodoser

Läs mer

GRÖNARE, ENKLARE, SKÖNARE

GRÖNARE, ENKLARE, SKÖNARE GRÖNARE, ENKLARE, SKÖNARE EN LITEN GUIDE ATT TÄNKA PÅ NÄR MAN VÄLJER BELYSNING MondeVerde AB Sommarhemsvägen 7 18 157 Lidingö +46 8 760 80 50 info@mondeverde.com www.mondeverde.se sida "1 Innehåll Bakgrund...

Läs mer

Studieplan och bedömningsgrunder i Matematik för åk 7 Moment Bedömningsgrunder för uppnåendemålen Begreppsbildning Tal och räkning

Studieplan och bedömningsgrunder i Matematik för åk 7 Moment Bedömningsgrunder för uppnåendemålen Begreppsbildning Tal och räkning Moment Begreppsbildning Mätningar och enheter Algebra och ekvationer Studieplan och bedömningsgrunder i Matematik för åk 7 Bedömningsgrunder för uppnåendemålen känna igen naturliga tal kunna positiva heltal:

Läs mer

1. Mätning av gammaspektra

1. Mätning av gammaspektra 1. Mätning av gammaspektra 1.1 Laborationens syfte Att undersöka några egenskaper hos en NaI-detektor. Att bestämma energin för okänd gammastrålning. Att bestämma den isotop som ger upphov till gammastrålningen.

Läs mer

reella tal x i, x + y = 2 2x + z = 3. Här har vi tre okända x, y och z, och vi ger dessa okända den naturliga

reella tal x i, x + y = 2 2x + z = 3. Här har vi tre okända x, y och z, och vi ger dessa okända den naturliga . Lösningsmängden till homogena ekvationssystem I denna första föreläsning börjar vi med att repetera det grunnläggande begreppet inom linjär algebran. Linjär algebra är studiet av lösningsmängden till

Läs mer

Bästa däcken fram eller bak? Fordonsdynamik med reglering. Kurvtagning: Figur 5.5

Bästa däcken fram eller bak? Fordonsdynamik med reglering. Kurvtagning: Figur 5.5 Bästa däcken fram eller bak? Fordonsdynamik med reglering Jan Åslund jaasl@isy.liu.se Associate Professor Dept. Electrical Engineering Vehicular Systems Linköping University Sweden Föreläsning 5 Viktig

Läs mer

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS D VÅREN 2001 3. Skolverkets svar, #1 #6 9. Några lösningar till D-kursprov vt 2001 10

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS D VÅREN 2001 3. Skolverkets svar, #1 #6 9. Några lösningar till D-kursprov vt 2001 10 JENSENvuutbildning NpMaD vt för Ma4 (4) VERSION UNDER ARBETE. Innehåll Förord NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS D VÅREN Skolverkets svar, # #6 9 Några lösningar till D-kursprov vt Digitala verktg är

Läs mer

Bilaga 3. Labmätningar. Bilaga till slutrapport Fasadåtgärder som bullerskydd Projektnummer: 144711100 Upprättad av: Henrik Naglitsch Sweco 2015-02-18

Bilaga 3. Labmätningar. Bilaga till slutrapport Fasadåtgärder som bullerskydd Projektnummer: 144711100 Upprättad av: Henrik Naglitsch Sweco 2015-02-18 Bilaga 3 Labmätningar Bilaga till slutrapport Fasadåtgärder som bullerskydd Projektnummer: 144711100 Upprättad av: Henrik Naglitsch Sweco 2015-02-18 Innehållsförteckning 1 Inledning... 2 2 Deltagare...

Läs mer

Uppskatta ordersärkostnader för inköpsartiklar

Uppskatta ordersärkostnader för inköpsartiklar Handbok i materialstyrning - Del B Parametrar och variabler B 11 Uppskatta ordersärkostnader för inköpsartiklar Med ordersärkostnader för inköpsartiklar avses alla de kostnader som är förknippade med att

Läs mer

REPETITION 2 A. a) Är sträckan proportionell mot tiden? b) Beräkna medelhastigheten under de fem första sekunderna.

REPETITION 2 A. a) Är sträckan proportionell mot tiden? b) Beräkna medelhastigheten under de fem första sekunderna. REPETITION Hur mcket är a) 9 b) 00 0 c) 00 På en karta i skala : 0 000 är det, cm mellan två små sjöar. Hur långt är det i verkligheten? Grafen visar hur långt en bil hinner de se första sekunderna efter

Läs mer

Kapitel 1 Komma i gång... 5

Kapitel 1 Komma i gång... 5 DDS-CAD Arkitekt 10 Komma i gång Kapitel 1 1 Kapitel Sida Kapitel 1 Komma i gång... 5 Är DDS-CAD Arkitekt installerat?... 5 Operativmiljö Windows... 6 Begrepp... 6 Starta DDS-CAD Arkitekt... 6 Starta ett

Läs mer

PM om hur växthusgasberäkning och uppdelning på partier vid samrötning

PM om hur växthusgasberäkning och uppdelning på partier vid samrötning 2011-12-12 1 (5) Analysavdelningen Enheten för hållbara bränslen Linus Hagberg 016-544 20 42 linus.hagberg@energimyndigheten.se PM om hur växthusgasberäkning och uppdelning på partier vid samrötning Inledning

Läs mer

Introduktion till Word och Excel

Introduktion till Word och Excel Introduktion till Word och Excel HT 2006 Detta dokument baseras på Introduktion till datoranvändning för ingenjörsprogrammen skrivet av Stefan Pålsson 2005. Omarbetningen av detta dokument är gjord av

Läs mer

Matematik. Mål att sträva mot. Mål att uppnå. År 1 Mål Kriterier Eleven ska kunna. Taluppfattning koppla ihop antal och siffra kan lägga rätt antal

Matematik. Mål att sträva mot. Mål att uppnå. År 1 Mål Kriterier Eleven ska kunna. Taluppfattning koppla ihop antal och siffra kan lägga rätt antal Matematik Mål att sträva mot Vi strävar mot att varje elev ska utveckla intresse för matematik samt tilltro till det egna tänkandet och den egna förmågan att lära sig matematik utveckla sin förmåga att

Läs mer

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS A VÅREN 1998. Tidsbunden del

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS A VÅREN 1998. Tidsbunden del Nationellt prov i Matematik kurs A vt 1998 Skolverket hänvisar generellt beträffande provmaterial till bestämmelsen om sekretess i 4 kap. 3 sekretesslagen. För detta material gäller sekretessen till och

Läs mer

Vad är dispersion och varför är det farligt?

Vad är dispersion och varför är det farligt? Vad är dispersion och varför är det farligt? Dispersion ar den faktor som begränsar hur hög bithastighet en fiber kan överföra. Ett sätt att visa detta på ett mätinstrument är ett ögondiagram Här ser vi

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A SF624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A () (a) Använd Gauss-Jordans metod för att bestämma lösningsmängden till ekvationssystemet 2x + 4x 2 + 2x 3 + 2x 4 = 2, 3x + 6x 2 x 3

Läs mer

JÄRNTORGET. Till fastighetsägarna 2011-10-07. Kopia Göran Nimmersjö Sigtuna Kommun Lennart Åstrand GAR-BO Björn Johansson Bjerking.

JÄRNTORGET. Till fastighetsägarna 2011-10-07. Kopia Göran Nimmersjö Sigtuna Kommun Lennart Åstrand GAR-BO Björn Johansson Bjerking. JÄRNTORGET Till fastighetsägarna 2011-10-07 i Ölsta Kopia Göran Nimmersjö Sigtuna Kommun Lennart Åstrand GAR-BO Björn Johansson Bjerking Bjälklag Bifogat översändes den utlovade utredningen från vår konstruktör

Läs mer

Allmänna profildata. *Gäller Z och C. Dessutom finns ofta udda planplåtsbredder för tillverkning av specialprofiler.

Allmänna profildata. *Gäller Z och C. Dessutom finns ofta udda planplåtsbredder för tillverkning av specialprofiler. Lättbalkar 1 Allmänna profildata Dessutom finns ofta udda planplåtsbredder för tillverkning av specialprofiler. *Gäller Z och C. Offereras vid förfrågan. (160 180 645 finns alltid från 1,5 mm tjocklek)

Läs mer

2 Magnetfält vid kraftledningar

2 Magnetfält vid kraftledningar > l\\ ' /, Mi Generaldirektören Strålsäkerhetsmyndigheten 17116 Stockholm stralsakerhetsniyndiglieten@ssm.se 2013 04 05 2013/391 YTTRANDE Information om magnetfältsnivåer under la-aftledningar (SSM2013

Läs mer

RIKTLINJER FÖR STYRDOKUMENT

RIKTLINJER FÖR STYRDOKUMENT RIKTLINJER FÖR STYRDOKUMENT Fastställt av: Kommunfullmäktige Datum: 2012-06-19, 81 För revidering ansvarar: Kommunstyrelsen För eventuell uppföljning och tidplan ansvarar: - Dokumentet gäller för: Alla

Läs mer

Linjär algebra på några minuter

Linjär algebra på några minuter Linjär algebra på några minuter Linjära ekvationssystem Ekvationssystem: { Löses på matrisform: ( ) ( ) I det här fallet finns en entydig lösning, vilket betyder att determinanten av koefficientmatrisen

Läs mer

Grundläggande HÅLLFASTHETSLÄRA

Grundläggande HÅLLFASTHETSLÄRA Grundläggande HÅLLFASTHETSLÄRA av Sture Lönnelid Rune Norberg Stiftelsen Kompendieutgivningen Warfvinges väg 32 112 51 STOCKHOLM Tel: 08-84 08 26 Fax: 08-658 68 46 E-post: komp.ut@grandocean.se Fjärde

Läs mer

Kap. 6: Allmänna laster Termisk och mekanisk verkan av brand. Bakgrund. Allmänt 2006-01-23

Kap. 6: Allmänna laster Termisk och mekanisk verkan av brand. Bakgrund. Allmänt 2006-01-23 2006-01-23 Boverkets föreskrifter om ändring av verkets regler om tillämpningen av europeiska beräkningsstandarder, (föreskrifter och allmänna råd), BFS 2006:xx, EBS 3 Konsekvensanalys enligt Verksförordningen

Läs mer

Lutande torn och kluriga konster!

Lutande torn och kluriga konster! Lutande torn och kluriga konster! Aktiviteter för barn under Vetenskapsfestivalens skolprogram 2001 Innehåll 1 Bygga lutande torn som inte faller 2 2 Om konsten att vinna betingat godis i spel 5 3 Den

Läs mer

Strömförsörjning. Transformatorns arbetssätt

Strömförsörjning. Transformatorns arbetssätt Strömförsörjning Transformatorns arbetssätt Transformatorn kan omvandla växelspänningar och växelströmmar. En fulltransformators in och utgångar är galvaniskt skilda från varandra. Att in- och utgångarna

Läs mer

Mer om slumpvariabler

Mer om slumpvariabler 1/20 Mer om slumpvariabler Måns Thulin Uppsala universitet thulin@math.uu.se Statistik för ingenjörer 4/2 2013 2/20 Dagens föreläsning Diskreta slumpvariabler Vilket kretskort ska man välja? Väntevärde

Läs mer

Systemkonstruktion Z3 (Kurs nr: SSY-046)

Systemkonstruktion Z3 (Kurs nr: SSY-046) Systemkonstruktion Z3 (Kurs nr: SSY-046) Tentamen 23 oktober 2008 em 14:00-18:00 Tid: 4 timmar. Lokal: "Väg och vatten"-salar. Lärare: Nikolce Murgovski, 772 4800 Tentamenssalarna besöks efter ca 1 timme

Läs mer

PM. Prognosticerade klimateffekter i Sverige för perioden 2071 2100 på dagvattenflöden

PM. Prognosticerade klimateffekter i Sverige för perioden 2071 2100 på dagvattenflöden PM. Prognosticerade klimateffekter i Sverige för perioden 2071 2100 på dagvattenflöden - för dimensionering av transportsystem (kortare regnvaraktighet) och fördröjningsvolymen i utjämningsanläggningar

Läs mer

(a) Beräkna sannolikhetsfunktionen p X (x). (2p) (b) Beräkna väntevärdet för X. (1p) (c) Beräkna standardavvikelsen för X. (1p)

(a) Beräkna sannolikhetsfunktionen p X (x). (2p) (b) Beräkna väntevärdet för X. (1p) (c) Beräkna standardavvikelsen för X. (1p) Tentamenskrivning: TMS145 - Grundkurs i matematisk statistik och bioinformatik, 5p. Tid: Lördag den 14 april, 2007 kl 14.00-18.00 i V-huset. Examinator: Olle Nerman, tel 7723565. Jour: Alexandra Jauhiainen,

Läs mer

1. a) I en fortskridande våg, vad är det som rör sig från sändare till mottagare? Svara med ett ord. (1p)

1. a) I en fortskridande våg, vad är det som rör sig från sändare till mottagare? Svara med ett ord. (1p) Problem Energi. a) I en fortskridande våg, vad är det som rör sig från sändare till mottagare? Svara med ett ord. (p) b) Ge en tydlig förklaring av hur frekvens, period, våglängd och våghastighet hänger

Läs mer