Avsnitt 5. Varför gör man prognoser och hur?

Transkript

1 Avsitt 5. Varför gör ma progoser och hur? Ofta har ma tid att förbereda sig ia ma måste hadla (framförhållig). Då ka ma göra e progos över läget då hadlige skall utföras och på effekte av es hadlade. Hadlig Kotrollerbart Pla Progos Okotrollerbart Har ma ige framförhållig behövs ige progos. Då har ma kaske e allmä hadligsmodell per automatik (eller paik!). Exempel: olycksfallsförsäkrig. Progos på jordbävig? Varför hålls e kurs om progoser i statistikprogrammet? Jo, för statistike hadlar om iferes. Vi har ett litet atal observatioer och vi öskar dra slutsatser utaför samplet, dvs. om populatioe. Ligger observatioera i tide ka de på vissa villkor (statioaritet) betraktas som ett sampel ur e oädlig mägd möjliga historiska förlopp. Med hjälp av sampelestimat gör vi saolikhetsuttalade om tidsseries förlopp utaför samplet, dvs. i framtide. Vi har blivit mycket bättre på att göra astroomiska och fysikaliska progoser. T.ex. är asteroider passerar jorde, är e kastad ste träffar marke, osv. T o m. väderleksprogosera har blivit träffsäkrare.. Idetifiera progosbehov (kort, låg, oggrahet osv.). Välj lämplig metod. 3. Aslå resurser. Noggrahete ka förvätas vara omvät proportioellt mot progoshorisote. Om det ega hadladet har stark iverka på det som progostiseras

2 är avsikte just att progose ite skall slå i. Oftast gäller det att ite bara progostisera e eda framtida pukt för e variabel uta att måla e bild där måga variabler bildar e helhet, exempelvis e makroekoomisk progos som utgår frå ett slutet beräkigssystem: atioalbokförige, dvs. Natioalräkeskapera; ite bara BNP uta också dess kompoeter. Motsatse, e ARIMA-modell är uivariat och ser tidsserie som ett feome i e i övrigt tom rymd. Kvatitativa kvalitativa progoser. Mycket data kvatitativa. Lite data kvalitativa. Exempel: Sveriges ekoomi, mycket data, umeriska progoser. Idustriekäte (Barometer) är sabbdata: går företaget bättre lika bra - sämre. Numeriska progoser ka vara tidsserie-extrapolerade eller multivariata modeller baserade på ekoomisk teori. Observera dock i boke: BNP = f (peig- och fiaspolitik, utlädsk efterfråga, löeuppgörelser,, fel) ka ite estimeras som e eda ekvatio eftersom det fis feed-back frå BNP på vissa av högerhads-variablera. Ma behöver ett simultat system av ekvatioer. Ekvatioer behöver alltid ågot på höger sida. Hur vet ma de variableras framtida värde? Gör ma progoser på dem, varför ite då direkt på västerhads variabel? Kvalitativa progoser har valige midre avädbarhet. Hur mäter ma träffsäkerhet? Midre traspareta ä e umerisk modellprogos.

3 Sex steg i progosarbetet (fem i boke):. Vad skall progostiseras och hur skall arbetet bedrivas? T ex. produktiosprogoser, efterfrågeprogoser, prisprogoser Hur skall ma kua studera feomeet och isamla data och var skall aalyse bedrivas?. Samla i både hårda data och erfarehet hos de som jobbar i verksamhete. 3. Beskrivade aalys. Försök förstå hur processe fukar. 4. Pröva olika modeller. Skall det vara ågot mycket ekelt eller kaske ågot som grudar sig på maximum likelihood modeller (ARIMA; VAR. Kalma osv.). 5. Utvärdera modelle geom att testa dess beteede dels uder estimerigsperiode, dels utaför desamma på data som sparats för detta ädamål. 6. Se till att de bästa modelle iförs som ett permaet progosverktyg. Viktigt med uppföljig (se kap 5 i boke). Ett verktyg som alltid ligger på hylla är ite yttigt. E progos som helt utyttjar all iformatio om e variabels framtida förlopp kallas ratioell. 3

4 Avsitt 6. Verktyg för progoser, träffsäkerhet, fördeligsprogoser När ma fått ihop data (u talar vi bara om kvatitativa progoser) skall ma alltid rita diagram. Ma skall förstås ha observatioer bevarade på ett vettigt sätt i det data-set ma skall aväda för si aalys, me bäst får ma e uppfattig om data geom diagram. [Figure.] Ma ser då om det fis e tred, om data verkar vara kojukturberoede och/eller ha e säsogvariatio (bara om observatiositervallet är kortare ä ett år, kvartal, måad, vecka osv.). I Figure. ser ma säsogvariatio, vilket ma ka väta sig av ölförsäljig. Ma tycker sig också aa e svagt sjukade tred, me serie är lite för kort för att ma skall kua skilja så klart mella tred och kojuktur. Me reda e dekompoerig i: y = TREND&CYKEL x SÄSONG x SLUMPMÄSSIG ka hjälpa e att göra e bättre progos ä e progos som ite ser att e såda dekompoerig låter sig göras. Mer om det seare. Fördeligar och statistikor kocetrerad ifomratio Ett aat sätt att studera data är att se på observatioeras fördelig i form av histogram. [Histogram över reviderigar] Ett förkortat sätt att karakterisera fördeligar är geom statistikor: 4

5 Lokaliserigsmått, dvs. e siffra som säger var på skala fördelige fis: aritmetiskt medelvärde, media, mod (typvärde) osv. Spridigsmått visar hur utbredd fördelige är: stadardavvikelse, iterkvartilavstådet, variatiosbredde, medelkvadratfelet osv. Har ma fler ä e variabel vill ma kaske se på korrelatioe mella dem. Med bara e variabel är dess motsvarighet autokorrelatioe för olika lags, som tillsammas bildar dessa autokorrelatiosfuktioe, som ma behöver för specificerig av ARIMA-modeller. När ma väl hittat ett sätt att progostisera vill ma udersöka hur träffsäkra progosera är, dvs. ma aalyserar progosfele e t. Detta beräkas som e t = Y t F t, Där Y t är utfall och F t är progos, allt vi tidpukt t. För att tydliggöra är progose för tidpukt t är gjord brukar ma skriva F t t-, som alltså är gjord vid t. Detta kallas för e ett-stegsprogos (oe-step-ahead forecast). Det är detta progosfel som miimeras i ARIMA-modeller. Me med e ARIMA-modell och med måga adra asatser ka ma också hoppa flera steg framåt rekursivt så att ma aväder modelle först med e riktig observatio som utgågspukt och därefter med start frå ett-stegs-, två-stegs- osv. progose. Allmät ka ma skriva F t t - k, för e progos gjord för k perioder seda eller F t + k t, om ma vill poägtera att ma utgår frå dages period. Detta kallas e flerstegsprogos (multi-step-ahead forecast). Observera att om ma har e adekvat modell är ett-stegsprogosera okorrelerade, meda flerstegsprogosera automatiskt blir (auto-)korrelerade. Mått på träffsäkerhet Eklaste måttet, medelfelet: ME = e t t= 5

6 Om progose träffar både över och uder utfallet kude ma täka sig att över- och uderskattigar tar ut varadra och att ME då är oll. Är det ite det kaske det är fråga om bias, dvs. att progose ite är förvätigsriktig, uta atige i geomsitt alltför pessimistisk eller optimistisk. Däremot säger ju måttet igetig om hur stora fele ka vara. Om feles fördelig är ågotsåär symmetrisk är medelfelet och medelkvadratfelet MSE = e t t= bra karakteristikor för dea fördelig. För att överföra dea karakteristika till samma skala som observatioera brukar ma ta kvadratrote av MSE och betecka de som RMSE. Iblad lägger ma till ett F för forecast och då blir det RMSFE. Detta är det valigaste spridigsmåttet. Me är fördelige sed är det bättre att age mediae Med = Mittersta observatioe om är udda, aars medeltalet av de två mittersta. Det motsvarade spridigsmåttet är det absoluta medelfelet MAE = t= e t. Är felfördelige symmetrisk blir ME = Med och RMSE.5 MAE. E ackdel med RMSE och MAE är att de är beroede av de progosticerade tidsseries varias. Ma ka alltså ite göra e rättvis jämförelse av progoser mella variabler med olika varias med hjälp av dessa karakteristikor. Det är klart att det är svårare att progosticera e variabel med stor spridig ä e med lite. Är spridige oll är det ju urekelt! Därför brukar ma ormera RMSE med variabels estimerade stadardavvikelse s. Vill ma ormera MAE bör ma aväda motsvarade karakteristika för variabel, dvs. de absoluta medelavvikelse frå mediae: 6

7 MAD = t= e t Med. Iblad räkar ma äve dessa mått i proceteheter. Då blir de också bättre jämförbara mella olika variabler. Valigast är det procetuella progosfelet Y t Ft PE t = 00, Yt medelprogosfelet MPE = t= PE t och absoluta procetuell medelfelet MAPE = t= PE t. Procetuella fel är lättare att förstå ä RMSE, som ju alltid måste relateras till de skala tidsserie ligger i. Att jämföra progoser Hur vet ma om e progos är bättre ä e aa? Eller om e progos överhuvudtaget är avädbar? Vi tar ett fall då dessa frågor sammafaller. För att ha iformatiosvärde måste ma kräva att progose är bättre ä ågot mekaiskt som ma kude lära e apa att göra. Ma defiierar olika slag av aiva progoser att jämföra med. Naiv : F t = Y t -, dvs. progose för t är helt ekelt lika med de sista observatioe. Detta är faktiskt e optimal progos i det fall att Y t är e slumpvadrig (radom walk) och iget 7

8 sambad med ågo aa variabel är käd. Vi vet att de flesta ekoomiska tidsserier iehåller autokorrelatio och dea iformatio utyttjas alltså ite i Naiv. Dessutom fis det ofta aa iformatio som kude utyttjas. Har serie stark säsogvariatio ka ma sätta progose lika med samma periods värde ett år ia. I fallet kvartalsdata får ma Naiv : F t = Y t 4. Dessa äms i boke. Jag lägger till ytterligare e, Naiv 3 : F t = t τ = t Yτ, Dvs. medelvärdet för observatioera ma just då har. Ma ka jämföra RMSE för de progos ma gjort med RMSE för ågo av de aiva metodera. Detta kallas Theils U - statistika. Det är alltså ite fråga om ett test, bara e deskriptiv jämförelse. För Naiv får ma U = t= ( F Y ) ( Y ) t Yt t= t t = RMSE(modell)/RMSE(föreg. värde). U < är e idikatio på att progose ka vara bättre ä e aiv asats och vice versa. Kofidese är i detta fall okäd. Vill ma göra e hypotes av dessa idikatioer blir de H 0 : U = H : U <. Ett test ma ka aväda sig av för att pröva H 0 kallas Grager-Newbold testet. Kalla fele för metod e t och fele för metod, e t. Testa så korrelatioskoefficiete mella summa för och skillade mella dessa, alltså r = ( e t et )( et + et ) ( e e ) ( e + e ) t t t t 8

9 r och t =, df =. r Vad är u take bakom detta test? Jo, egetlige testar vi ju H 0 : Ee t = Ee t, för då är ju progosera i geomsitt lika träffsäkra. Me täljare i r = (e t - e t ) (e t + e t ) = e t - e t, så att Er = Ee t = Ee t. Korrelatioskoefficiete mäter alltså skillade i träffsäkerhet. Progosfeles autokorrelatio Vi måste tillåta progosfel, för e progos är exakt rätt bara av e re slump. Däremot måste vi kräva att modelle uppfyller de villkor vi ställde upp för e modell, y = M + a där alltså fele a är helt slumpmässiga, där all systematik fis med i M och där dessa två är sisemella oberoede. Fis det autokorrelatio i å är detta e systematik som gör hemma i som aväds för att göra progoser och som blir träffsäkrare med dea iformatio ibyggd. Uppfriskig av miet, autokorrelatioe r h för lag h är r h = Cov (y t, y t-h )/Var(y t ). Diskutera varför formel ser ut som de ser ut. För h =,,, p får ma autokorrelatiosfuktioe (ACF). Figure -7 ser vi att det fis Iformatio att hämta ur residuale på säsogsfrekvese måader. 9

10 [Figure -7] ACF ka ju ite vara idetiskt oll aat ä av slumpe så e skattad fuktio har alltid värde olika oll. E tumregel är att ma bara behöver bry sig om ett fåtal lags, Me med beaktade av periode i periodiska data och bar sådaa som är större ä ±/, där är atalet observatioer. Progositervall Uder förutsättig att progosera ka ases vara förvätigsriktiga och fele ormalfördelade ka ma lägga kofidesitervall krig puktprogose. Som väligt väljer ma värdet z för e kofides ma bestämt sig för ut ormalfördelige, för 5% är det.96. Itervallet blir då F t+ = ± z RMSE. Observera att detta bara gäller för e ett-stegs-progos. Det är svårare att göra flerstegsprogoser. Då växer itervallet ju mer ma avlägsar sig frå dagsläget. Ma ka också välja adra värde frå N-fördelige. Som miesregel kommer /3 av progosera att ligga i itervallet ± RMSE och ug. 95% i (-ÌRMSE, ÌRMSE). Vad ma egetlige försöker göra då ma beräkar kofidesitervall är att försöka ge e bild av de fördelig ma egetlige projicerar i i framtide. Ma talar då om e fördeligsprogos. Det har också börjat förekomma att ma publicerar fördeligsprogoser, isyerhet om de ite är symmetrisk. Riksbake har e såda iflatiosprogos (bild). [Iflatiosprogos] Det ka också häda att beslutsfattares förlustfuktio ite ser ut som i Figure -8 (kvadratisk), uta det ka kosta mer att göra fel t ex. till väster, så att udervärderig kostar mer ä övervärderig. Då gäller ite RMSE och N-fördelig. 0

11 Dt är också viktigt att testa ifall progose ka ases vara förvätigsriktig och N- fördeligsatagadet ia a aväder itervallskattigar. [Figure -8] Trasformatioer Oftast är ekoomiska tidsserier växade i tide (produktio, priser, arbetskraft osv.). Då kommer trede att böja sig uppåt, bli expoetiellt växade. Variase ökar också med ivå (Figure -0 och -). [Figure -0 och -] Det valiga är då att ma logaritmerar tidsserie. Ma får då direkt estimat på elasticiteter i regressiosekvatioer med ekoomiska variabler. För små förädrigar ligger differese av e log. Serie ära procetuell förädrig, som är ett väl iarbetat mått. Me viktigast är att ma ka få serie homoskedastisk, dvs. variase är kostat över tide. Det är mycket svårare att arbeta med heteroskedastiska serier. E geerellare trasformatio itroducerades av George Box och David Cox. De kallas Box-Cox trasformatioe: y= x ë / ë. När ë blir det ige trasformatio och är ë 0 får ma log. Progoser i statistisk tid och i real tid och osäker statistik Vi vet att det tar tid att göra statistik över ekoomis utvecklig. Därför är äve de färskaste statistike på måader ½måad gammal och kvartalsstatistike ett kvartal gammal. Då försöker komma ärmare uet med ledade idikatorer (leadig idicators) och sk. Flash-estimat, äve kallade owcasts. Dessa behöver ite vara progoser i realtid uta de skall komma sabbare ä statistike. Det räcker. Progoser i realtid försöker se lägre ä uläget.

12 När så statistike kommer är det i form av prelimiära värde, som ka vara mycket osäkra. Här kommer ågra exempel frå Öller & Hasso (00). [Histogram, kojukturbild, säsog, iteratioellt] Koteta av detta blir att det är svårt att kotrollera hur bra e progos är i förhållade till utfallet. De bild ma har är att e progos försöker sikta på ett stillaståede mål. Liksom i prickskytte ka ma gå och mäta avstådet mella progos och mål. Detta är vårt e t. Me vilket utfall skall ma välja? Det prelimiära har vi sett att revideras mycket uder två års tid. Me skall vi ha som mål de slutgiltiga siffra som är ärmast iaktuell är de ätlige kommer två år seare? Hur skall ma es veta om e reviderad siffra faktiskt ligger ärmare ett okät riktigt värde. Det fis gott om belägg för att reviderigar sys ha gått åt fel håll. Det ma gör är ma räkar progosfel är egetlige att ma jämför två estimat.

13 3