Matematikrepetition inför Reglerteknik AK

Transkript

1 Matematikrepetition inför Reglerteknik AK Maria Karlsson 005 I kursen Reglerteknik AK används en hel del matematik från gymnasiet och kursernaianalysochlinjäralgebra.fråntidigareårvetviattendelstudenter tycker att kursen i reglerteknik är svår i början eftersom man inte repeterat dennamatematikpåettparår. Härvisarviexempelpåberäkningardukommerattbehövagöraunderkursen. Om du är osäker på någonting här bör du repetera; på övningarna förutsätts att alla känner till det här materialet. Fråga gärna din övningsledare om du får problem med någon uppgift, men räkna vid behov dessa uppgifter hemma så att du inte kommer efter i de vanliga övningarna. Ta med dig detta häfte till övningarna så att din övningsledare kan hänvisa hitomdukörfastpåettrentmatematikproblem. Komplexa tal. a. TagutrealdelRe(z)ochimaginärdelIm(z)avtalet z= +3i b. Ritaintaletz=+4iikomplexatalplanet. c. Ritaintaletz= +iikomplexatalplanetochmarkeraifigurenabsolutbeloppet och argumentet. d. Beräknaabsolutbelopp z ochargumentarg(z)förtaletz= +i. e. Skrivtaletz= +ipåpolärform. f. Tagutrealdelochimaginärdelavtaletz=3e πi. a. Beräkna e ωi,där ωärettreellttal. b. Beräknaarg(e ωi ),där ωärettreellttal. c. Beräkna ( +i)( 4 3i) d. Beräknaarg( ( +i)( 4 3i)) e. Beräkna e 5i ( i) i+3

2 f. Beräknaarg( e 5i ( i) i+3 ) Andragradsekvationer 3. Lösekvationenx x+4=0 4. Lösekvationen3x +x+=0 Partialbråksuppdelning 5. Partialbråksuppdela detvillsägaskriv f(x)påformen däraochbärkonstanter. (x+)(x+) a x+ + b x+ 6. Partialbråksuppdela 7. Partialbråksuppdela Matriser 3x+ (x+)(x 3)(x+) x +3x+ 8. a. BeräknaproduktenavmatrisernaAochB A B= b. BeräknaproduktenavmatrisernaAochB A B= 3 c. BeräknaproduktenavmatrisernaAochB A B= 0 4 5

3 9. Beräkna determinanten till matrisen A= Invertera matrisen A A= 3 4. a. Beräkna egenvärden till matrisen A i uppgift 0. b. Beräkna egenvärden till matrisen 0 0 A= a. Följande ekvationssystem är givet 5x +3x =7 x x =0 SkrivdettapåformenAx=B,därAärenmatris,Bärenvektorochx har formen b. Skriv ekvationssystemet påformenax=b. Taylorserieutveckling x= x x x +x 3 =0 x x 3 = x +x = 3. a. Taylorutvecklafunktionen x ipunktenx=upptillförstaordningens termer. b. Taylorutvecklafunktionen f(x,u)=5 3x+sin(u)ipunktenx=3,u= π upp till första ordningens termer. 3

4 Lösningar Komplexa tal. a. Re(z)=,Im(z)=3.Observeraattimaginärdeleninteär3i. b. Sefigur. Im(z) 4 Re(z) Figur Im(z) r φ Re(z) Figur c. Se figur. Absolutbeloppet z = r är avståndet till origo, argumentet arg(z) = φ är vinkeln till positiva reella axeln. d. Absolutbeloppet z : Vi kan se från figur att absolutbeloppet z är hypotenusan i en rätvinklig triangel där de båda övriga sidorna har längderna Re(z) och Im(z),sefigur3.FrånPythagorassatskanvinuberäkna z som z = (Re(z)) +(Im(z)) Denna formel gäller för att beräkna absolutbeloppet för alla komplexa tal z. IvårtfallharviRe(z)= ochim(z)=ochfår z = ( ) + =. Argumentet arg(z): Vi beräknar här argumentet i radianer. Vinkeln φ i figur kanberäknassom φ= π vdärvärvinkelnitriangelnifigur3.vikan

5 r Im(z) v Re(z) Figur 3 nu använda att tan(v)= Im(z) Re(z) = v=arctan ( ) Im(z) Re(z) Vifårv=arctan(/)=arctan= π/4,ochsåledes φ= π v=π π/4= 3π/4. e. Etttalzskrivspåpolärformsomz= z e arg(z)i.frånd-uppgiftenvetviatt z =,arg(z)=3π/4,sådetgällerattz= +i= e 3πi/4. f. Vikanskrivazsom z=3e πi =3(cos(π)+isin(π))=3( +i 0)= 3 VisernuattRe(z)= 3,Im(z)=0.. a. e ωi = cos(ω)+isin(ω) = Detta resultat är bra att lära sig utantill. cos (ω)+sin (ω)= = b. Talet e ωi är ett komplext tal med absolutbeloppet och argumentet ω, skrivet på polär form. Därmed gäller det att c. arg(e ωi )= ω Även detta resultat är bra att lära sig utantill. ( +i)( 4 3i) = +i 4 3i = ( ) + ( 4) +( 3) = 5 5=0 5.36

6 d. För argument gäller samma räkneregler som för logaritmer, t.ex. arg(xy /z)=arg(x)+arg(y) arg(z) Vifårdå arg( ( +i)( 4 3i))=arg( )+arg( +i)+arg( 4 3i)= π+(π+arctan(/ ))+(π+arctan( 3/ 4))= 3π+arctan( )+arctan(3/4) 8.96 e. e 5i ( i) i i+3 = e 5i i+3 = ( +( ) ) +3 = f. ( e 5i ( i) ) arg =arg()+arg(e 5i )+arg( i) arg(i+3)= i+3 0+( 5)+arctan( /) arctan(/3) 3.5 Andragradsekvationer 3. Lösningarnatillekvationenx +px+q=0,därpochqärkonstanter,ges av formeln x, = p ± (p ) q Ivårtfallharvip=,q=4,ochfårlösningarna x, = ± ( ) 4= ± = ±i 0.5±.94i 4. För att kunna använda den allmänna formeln för att lösa andragradsekvationerdelarviförstekvationenmed3,ochfår x + 3 x+ 3 =0 Medformelniuppgift3(p=/3,q=/3)fåsnu x, = 3 ± 9 3 = 3 ±i ±0.47i Partialbråksuppdelning 5. Antagatt f(x)kanskrivaspådengivnaformen, (x+)(x+) = a x+ + b x+ 3

7 Sätt nu de två termerna på gemensamt bråkstreck, a x+ + b x+ =a(x+)+b(x+) = x(a+b)+a+b (x+)(x+) (x+)(x+) Förattdettaskastämmameddengivnafunktionen f(x)måstedetnu gälla att a+b=0 a+b= Genomattlösaekvationssystemetfåsa=ochb=,ochdetgälleratt (x+)(x+) = x+ x+ 6. Påsammasättsomidenförrauppgiftenfårvi 3x+ (x+)(x 3)(x+) = a x+ + b x 3 + c x+ = a(x 3)(x+)+b(x+)(x+)+c(x+)(x 3) (x+)(x 3)(x+) = x (a+b+c)+x( a+3b c) 6a+b 3c (x+)(x 3)(x+) Vi kan nu lösa ekvationssystemet a+b+c=0 a+3b c=3 6a+b 3c= Genom att t.ex. använda miniräknare eller göra variabelsubstitution för handkanvihittalösningensoma=,b=,c=.detgällerdåatt 3+x (x+)(x 3)(x+) = x+ + x 3 + x+ 7. Beräkna först rötterna till nämnarpolynomet Vikannuskriva f(x)som x +3x+=0 = x =, x = x +3x+ = (x+)(x+) Påsammasättsomitidigareuppgifterfårvinu (x+)(x+) = a x+ + b x+ =a(x+)+b(x+) (x+)(x+) = x(a+b)+a+b (x+)(x+) 4

8 Vi kan nu lösa ekvationssystemet a+b=0 a+b= ochfåra=,b=.detgälleralltsåatt Matriser x +3x+ = x+ x+ 8. a. b. c A B= = A B= = A B= = det(a)= 0 4 = 4 Formeln för att beräkna determinanten för en -matris finns i formelsamlingen. A = 4 = det(a) = 3 Formeln för att beräkna inversen till en -matris finns i formelsamlingen.. a. Egenvärdena λtillenmatrisagesavekvationen(somstårangiveniformelsamlingen) det(λi A)=0 Härfårvi ( det(λi A)=det λ 0 ) λ =det ( 3 λ 4 =(λ )(λ 4) ( ) ( 3)=λ 5λ =0 Genom att lösa andragradsekvationen får vi ) λ= 5 ± (5 ) + = λ = 0.37, λ =5.37 5

9 b. Härär Aendiagonalmatrisochegenvärdenaärdärmeddesammasom diagonalelementen, λ =, λ =4, λ 3 =.. a. Ekvationssystemet kan skrivas som 5 x + 3 x = 7 0 vilket är detsamma som 5 3 x = 7 0 b. Ekvationssystemet kan skrivas som x x x x 3 0 = Taylorserieutveckling 3. a. Enfunktion f(x)kanutvecklasientaylorseriekringpunktena,dvsskrivas som f(a)+! df dx (a)(x a)+ d f! dx (x a) +... Vikansedanfåenapproximationavfunktionen f(x)somstämmerbra kringx=agenomattbararäknamednågraavdeförstatermernaiden oändliga Taylorserien. Ivåruppgiftvillviutvecklaf(x)tillförstaordningenstermer,dvsdeförsta tvåtermernaitaylorserien.vivillutveckla f(x)kringpunktenx=,dvs a=. Vifårdå Vihar och får f(x) f()+ df dx ()(x ) f()=4, df dx =x, df dx ()=4 f(x) 4+4(x )=4(x ) 6

10 b. Härär f(x,u)enfunktionavtvåvariablerochtaylorserieutvecklingeni punktenx=a,u=bgesav + f! f(x,u)=f(a,b)+ f! f x (a,b)(x a)+! x (a,b)(x a) +! x u (a,b)(x a)(u b)+! f u (a,b)(u b)+ f u (a,b)(u b) +... Dåviskaräknaupptillförstaordningenstermertarvimeddenkonstanta termen f(a,b)samtdetermersominnehållerförstaderivatorav f(x,u). Vifårdå f(x,u) f(3,π)+ f x (3,π)(x 3)+ f (3,π)(u π) u Vihar f f(3,π)=5 0=5, x = x = x, f x (3,π)=5 =.5, f u =cos(u) f u (3,π)= ochfårdå f(x,u) 5+.5(x 3) (u π) x u 7