Matematik i kaninburen

Transkript

1 Matematik i kaninburen Reflektioner kring ett nationellt prov Peter Nyström I december 1995 gick det andra nationella kursprovet för kurs A. Här redogörs för kursprovets syfte, innehåll och relation till betyg. Två uppgifter analyseras med tanke på syfte och utfall. Resultat på olika program diskuteras. Inledning Bland inskickade svar på lärarenkäten efter kurs A-provet i december 95 finner vi lärarsynpunkter som: Anser att detta som helhet var ett bra prov med många jättebra uppgifter. På breddningsdelen... har eleven möjlighet att visa sin klass genom att de själva bestämmer hur långt de vill gå när det gäller att vara utförlig, komma med egna förslag o.s.v. Uppgifterna och sammansättningen av tidsbundna delen bra! Slopa breddningsdelen. Dessa röster visar på något av spännvidden i lärarnas uppfattning om provet. I den här artikeln vill jag försöka beskriva några tankar som föregått konstruktionen av detta prov, några resultat som kan utläsas ur inskickade data och några reflektioner kring dessa resultat. En mer fullständig rapport (Lindström & Nyström, 1996) distribueras till de skolor som insänt elevresultat och besvarat enkäter. Provet i sin helhet finns publicerat i Nämnaren Tema: Matematik ett kärnämne. Provet som helhet Syfte I svensk skola har vi kurser och betyg som bygger på lokala tolkningar av centralt fastställda dokument som kursplaner och betygskriterier. De nationella kursproven ska Nämnaren nr 3, 1996 stödja lärarnas betygssättning, dvs erbjuda ett verktyg med vars hjälp den enskilda skolans tolkningar av nivåer kan jämföras med andras tolkning, koppling till betygskriterier kan exemplifieras, diskussioner kring vad som kännetecknar kvalité i matematikkunskaper kan initieras. Prov av denna typ kan ge information som bör ingå i underlaget för bedömningen av en elevs prestation i ett ämne. Men de kan inte ge tillräcklig information. Dels är det fråga om ett enstaka provtillfälle, med de osäkerheter som det medför, dels kan inte provet omfatta hela kursplanen, dels finns betygskriterier som knappast kan indikeras med denna utformning av prov. Ett tydligt exempel på den sista punkten är det muntliga inslag som betygskriterierna talar om. Proven ska alltså ge värdefull information till lärarna, men inte inskränka skolornas frihet (och skyldighet) att utforma sina kurser och sina bedömningar på bästa sätt. Struktur och form De nationella kursproven för kurs A ska, enligt Skolverkets direktiv, bestå av en tidsbunden del, som genomförs som vanliga skriftliga prov, och en breddningsdel, som Peter Nyström arbetar med nationella prov vid Enheten för pedagogiska mätningar, Umeå universitet. 13

2 genomförs inom den vanliga undervisningens ram. I förhållande till den tidsbundna delen ger breddningsdelen utrymme för utvärdering av andra aspekter på kunskap. Den kan vara ett experimentfält för att pröva alternativa bedömningssituationer. Detta kan betyda att eleverna gör otraditionella uppgifter, att de gör det på otraditionellt sätt (t ex i grupp) och/eller att elevarbetet bedöms på ett otraditionellt sätt. Hittills har breddningsdelen utformats som lite större problemställningar som bearbetas under ordinarie lektionstid. Idén är att eleven ska kunna visa matematik på olika nivåer, visa sin problemlösningsförmåga och kreativitet, utan tidspress kunna pröva olika lösningsstrategier, ha tid att redovisa ordentligt, osv. Instruktionen till läraren har varit att göra en helhetsbedömning utan detaljerad poängsättning. Provinstitutionen ger förslag till kravgränser som grundar sig på bedömningar gjorda av grupper av erfarna lärare. För den tidsbundna delen läggs poäng på varje uppgift ihop till en totalpoäng och förslag till poänggränser för Godkänd (G) respektive Väl godkänd (VG) anges. Man kan diskutera vad en sådan totalpoäng och en sådan kravgräns egentligen säger eller betyder. Vi menar dock att detta är ett väl fungerande sätt att sammanfatta elevens prestation på provet. Informationsvärdet hos en totalpoäng (i synnerhet i förhållande till betygskriterierna) är begränsat, men föreslagna kravgränser är satta så att man inte kan få VG genom att bara lösa uppgifter som bedömts i huvudsak kunna indikera kunskaper på G- nivån. Kravgränser på breddningsdelen har getts i form av dels beskrivningar av vad som kan känneteckna ett Godkänt respektive ett Väl Godkänt elevarbete, dels bedömda autentiska elevarbeten. Tidsbunden del Provets relation till kursplan och betygskriterier Den tidsbundna delen i det aktuella provet konstruerades utifrån att alla kunskapsområden som beskrivs i kursplanen skulle vara representerade. Det kan naturligtvis inte betyda att kursens innehåll är täckt, eftersom vissa kunskapsområden är ganska vida och tiden är begränsad till 120 min. Fördelningen på kunskapsområden kan kvantifieras om man fördelar poängen inom varje uppgift på de olika områden som behandlas i uppgiften. Med en sådan analys kan provet för ht -95 jämföras med kurs A-provet från vt -95: Kunskapsområde vt -95 ht -95 Aritmetik Geometri 9 14 Statistik 9 11 Algebra 7 7 Funktionslära 8 7 Maxpoäng Tabell 1. Den tidsbundna delens poäng fördelade på kursens kunskapsområden Balansen mellan de olika kunskapsområdena är inte nödvändigtvis representativ för hur A-kursen läggs upp. Varje kursprov behöver inte ha samma fördelning, men över tid bör hela kursen täckas. Den starkaste signalen som framkommer i insända svar på lärarenkäten är att eleverna ofta fick tidsbrist när de genomförde provet. Den kritiken är viktig och redan till A- kursprovet som genomfördes vt-96 hade dessa synpunkter beaktats. Så här i efterhand kan man självkritiskt säga att tidsnöd borde kunnat förutsägas när man ser tabellen ovan. I den utsträckning poäng har med tidsåtgång att göra så innehöll höstens prov mer geometri och statistik men inte mindre av något annat område jämfört med provet för vt -95. Exempel på uppgifter För att exemplifiera resonemangen bakom utformningen av uppgifter och visa på möjligheterna till analys i efterhand så ska vi utgå från två uppgifter i provet. I lärarnas enkätsvar anger ganska många dessa uppgifter som exempel på bra uppgifter. Ett närmare studium av enskilda uppgifter kan 14 Nämnaren nr 3, 1996

3 Uppgift 9 a) Uppgift 9 b) Uppgift 9 c) Figur 1. Lösningsproportion på uppgift 9 för olika totalpoäng på provet. ge värdefull information samtidigt som nya frågor väcks. 9 En kommun ville undersöka hur vanligt det var med samåkning till jobbet. Därför sattes en mätstation upp vid vägen mot industriområdet. Man räknade antalet personer i de bilar som passerade. Ett delresultat från morgonen den 19 december visas i tabellen. Antal personer per bil I den till provmaterialet bifogade matrisen som beskriver kopplingen mellan uppgift, kursplan och betygskriterier anger vi att uppgift 9 i huvudsak behandlar statistik och att 9a och 9b i huvudsak möter G-kriterier medan 9c karakteriseras som en VG-uppgift. Betygskriterierna antyder en skillnad mellan att rita diagram med tydlighet (Gkriterium) och att rita korrekta figurer (VGkriterium). Betyder det att uppgift 9b kan användas för att indikera både G och VG? Vari består i så fall skillnaden mellan att lösa uppgiften på G- respektive VG-nivån? Om vi antar att totalpoängen på provet är ett mått på elevernas matematikkunskaper så kan de elevresultat som samlats in efter provets genomförande presenteras på uppgiftsnivå med kurvor som i figuren ovan. Här har lösningsproportionen för uppgiften avsatts mot totalpoäng. De lodräta strecken anger felgränser. Elever som ligger kring föreslagen kravgräns för Godkänt (ca 20 p) har löst uppgift 9b i ganska stor utsträckning (lösningsfrekvens ca 6). Detta skulle kunna tyda på att bedömningen av uppgift 9b som G-uppgift var rimlig. Uppgift 9c är ett exempel på en uppgiftstyp som inte varit vanlig. Avsikten är att stärka det verklighetsnära (om än inte realistiska) i uppgiften och fokusera på den otydlighet som ofta förekommer även när matematiska eller statistiska beskrivningar används. Området procent och andelar är ett synnerligen vanligt exempel på detta. Själva uppgiften, att motivera och diskutera, är otraditionell men enligt vår mea) I hur många av bilarna fanns det mer än en person? (1p) b) Beskriv undersökningsresultatet med ett lämpligt diagram. (2p) c) När sedan samåkningen diskuterades i trafiknämnden hade Gunnel och Robert olika uppfattningar: Gunnel: Undersökningen visar att samåkning sker i mycket hög utsträckning, över 8. Det får anses tillfredsställande. Robert: Jag har en avvikande uppfattning. Enligt mina beräkningar samåks det bara i sex fall av tio. Det är alldeles för dåligt. Kan båda ha rätt? Motivera ditt svar. (2p) Nämnaren nr 3, 1996 Antal bilar

4 Uppgift 13 a) Uppgift 13 b) Figur 2. Lösningsproportion på uppgift 13 för olika totalpoäng på provet. ning helt i linje med styrdokumenten för skolan och en modern syn på matematiken. Några intressanta frågor: Är detta matematik? Är sammanhanget trovärdigt och motiverande för den som ska arbeta med problemet? Uppgiften bedömdes i huvudsak kunna indikera VG-nivån på grund av den för eleven nya situationen och den krävande redovisningen. Insamlade data tycks styrka denna bedömning. 13 En geometrisk metod för att bestämma ett närmevärde till π bygger på figuren nedan. Där är en cirkel uppritad med medelpunkt i A. I figuren är också en åttahörning inritad. Varje ruta i figuren är en kvadrat med sidan 1 cm. a) Bestäm åttahörningens area. (2p) b) Vilket närmevärde till π får du om du antar att cirkelarean är lika stor som åttahörningens area? (2p) Uppgift 13a bedömdes inte kunna påvisa VG-nivån. Eleven kan med enkel ruträkning beräkna åttahörningens area. Elevresultatet tyder på att denna bedömning är problematisk. Bland de elever som presterar i underkant av G-nivån har knappt någon kommit någon vart med denna uppgift. Elever som ligger vid den föreslagna gränsen för VG (41 poäng) har en lösningsproportion på ca 5. Vad kan det bero på? Vad hindrar eleven från att lösa denna relativt enkla uppgift? Utan att ha studerat elevlösningar kan vi tänka oss åtminstone två förklaringar: Den till synes enkla uppgiften är dold bakom en relativt svårtillgänglig text och en sammansatt figur med åttahörning och cirkel. Eleven störs av uppgiftens utformning och kan inte visa de matematikkunskaper som han/hon egentligen har. Eleven uppfattar en lösning med hjälp av ruträkning som alltför simpel. I en uppgift som ligger så här pass sent i ett prov kan man väl inte få använda en sådan metod? Skolarbetet regleras ofta av s k didaktiska kontrakt. Med detta menas osynliga regler om vad man får och inte får göra i vissa situationer (Blomhøj, 1994). Ett sådant kontrakt skulle kunna gå ut på att areaberäkning måste ske med tillämpning av formler för vissa geometriska figurer. Då blir detta en flerstegsuppgift där man först måste göra en uppdelning av åttahörningen i lämpliga delar och sedan korrekt tillämpa formler för areaberäkning. 16 Nämnaren nr 3, 1996

5 Breddningsdel Syfte och idé Breddningsdelen i det aktuella provet innehöll tre uppgifter, varav eleven skulle välja en att arbeta med. Uppgifterna behandlade olika kunskapsområden och gav helt olika intryck. Utrymmet tillåter inte mer än en beskrivning av breddningsuppgifterna, men de finns alltså publicerade i Nämnaren Tema: Matematik ett kärnämne. Uppgift 1, Kaninburen var en geometriuppgift med ett ganska verklighetstroget intryck. Den gick ut på att konstruera en kaninbur efter vissa givna förutsättningar. Tecknade bilder skulle skapa intresse för att arbeta med uppgiften. I uppgift 2, Matpriserna, skulle eleven analysera och kritisera en tidningsartikel om matpriser på olika orter i landet. En i stora delar realistisk uppgift. I den sista uppgiften, Byta plats, fanns ingen verklighetsanknytning. Här skulle en procedur med tvåsiffriga tal analyseras, slutsatser dras och proceduren utvecklas. Uppgiften gav sken av att vara väldigt enkel, men den gav möjlighet att visa djupa kunskaper i matematik. Bland lärarreaktionerna kan man hitta flera som anser att uppgifterna var alltför olika och att kraven för godkänd varierade mellan uppgifterna. Uppgift 3 bedömdes lättare att få godkänd på än de övriga. De tre uppgifterna är ungefär lika populära bland eleverna. Elever med höga poäng på den tidsbundna delen har dock i hög grad valt uppgift 1, medan elever med låga poäng ofta valt uppgift 3. Resultat på gruppnivå Urvalsproblem Provinstitutionen samlar in data från provets genomförande. Det primära syftet är att få information med vars hjälp vi kan utvärdera provet och provkonstruktionsprocessen. För det ändamålet har vi ovärderlig hjälp från de elevresultat och synpunkter som lärare skickar in. Men många vill också veta hur resultaten ser ut på gruppnivå, dvs hur t ex eleverna på olika Nämnaren nr 3, 1996 program har presterat. Att redovisa resultat på gruppnivå är mer problematiskt eftersom det ställer krav på det urval av elevresultat som statistiken ska bygga på. För att kunna göra någorlunda säkra uttalanden måste urvalet vara obundet slumpmässigt och tillräckligt stort. Dessutom måste bortfallet hanteras på ett korrekt sätt. I det aktuella fallet har vi små material från vissa program, ingen möjlighet att bedöma bortfallets storlek (eftersom vi inte vet hur många som genomfört provet) och därmed inte heller någon möjlighet att undersöka bortfallet. Kan man anta att de elevresultat som skickats in inte skiljer sig från dem som inte skickats in? Kanske inte, och därför måste statistik som redovisas på gruppnivå läsas med ett kritiskt öga. Jämförelse med provet vt -95. I rapporteringen till kurs A-provet för vt - 95 löstes problemet med små stickprov på vissa program genom att programmen grupperades (Kjellström, 1996). Det innebar t ex att elevresultat för de fyra programmen HP, LP, NP och IV redovisades under rubriken Övriga yrkesprogram. Eftersom dessa grupper inte är särskilt homogena och eftersom datainsamlingen från provet ht -95 skiljer sig med avseende på antal elevresultat per program så blir jämförelsen problematisk. Vi har ändå gjort dessa beräkningar och resultatet tyder på att andelen IG (Icke Godkänt) är lägre och andelen VG och MVG (Mycket Väl Godkänt) högre i höstterminens prov jämfört med vårterminens. Detta kan tolkas som att eleverna blivit bättre, att provet blivit lättare eller som en kombination av dessa och många andra förklaringar. Programvis I fortsättningen tänker vi oss att redovisa resultaten uppdelade på program, med de förtjänster och brister som det innebär. Diagrammet nedan anger andelen IG på det aktuella provet för olika program. Med hjälp av en statistisk modell som bygger på binomialfördelningen har felen som uppkommer då man yttrar sig om en population utifrån 17

6 BF BP EC EN ES FP HP HR HV BF BP EC EN ES FP HP HR HV IP IP IV LP MP NP NV OP SP KV IV LP MP NP NV OP SP KV Figur 3. Andel IG på tidsbunden del för olika program. Programförkortningar: BF: Barn- och fritidsprogrammet, BP: Byggprogrammet, EC: Elprogrammet EN: Energiprogrammet, ES: Estetiska programmet, FP: Fordonsprogrammet HP: Handels- och administrationsprogrammet, HR: Hotell- och restaurangprogrammet, HV: Hantverksprogrammet, IP: Industriprogrammet, IV: Individuellt program, LP: Livsmedelsprogrammet, MP: Medieprogrammet, NP: Naturbruksprogrammet NV: Naturvetenskapsprogrammet, OP: Omvårdnadsprogrammet SP: Samhällsvetenskapsprogrammet, KV: Komvux ett litet stickprov uppskattats. För t. ex. omvårdnadsprogrammet kan vi med 95% säkerhet säga att andelen IG på provet skulle ha hamnat mellan 22 och 4, om alla elever genomfört provet. (Observera att denna slutsats bygger på att urvalet är slumpmässigt och att bortfallet är oproblematiskt, vilket kanske inte är fallet.) Avslutning Från några skolor samlade vi även in elevsynpunkter på provet. Här återfinns både positiv och negativ kritik. Det redan nämnda problemet med tidsbrist på provets tidsbundna del påpekas av ganska många. Eftersom artikeln inleddes med några lärarröster så får den avslutas av två elevröster: Något jag tyckte var svårt med provet var att man i vissa uppgifter skulle föra ett matematiskt resonemang. Redogörande frågor är jobbiga men viktiga. Det kan vara svårt om man inte är van. Förhoppningsvis kan de nationella proven även fortsättningsvis stimulera till matematiska resonemang och kommunikation bland elever och lärare. Referenser Emanuelsson, G., Johansson, B., Nilsson, M., Olsson, G., Rosén, B. & Ryding, R. (1995). Matematik ett kärnämne. Nämnaren TEMA. Lindström, J-O. & Nyström, P. (1996). Nationellt kursprov i matematik Kurs A, Ht -95. Pm Nr 112, Enheten för pedagogiska mätningar, Umeå universitet. Blomhøj, M. (1994). Ett osynligt kontrakt mellan elever och lärare. Nämnaren 21(4), Kjellström, K. (1996). Matematik A. Resultat och analyser av det första nationella kursprovet i matematik. Rapport från PRIM-gruppen nr 11. Institutionen för pedagogik, Lärarhögskolan i Stockholm. Kjellström, K. (1996). Resultat av nationellt kursprov. Nämnaren 23(1), Nämnaren nr 3, 1996