Talet 7 anses vara ett mystiskt tal och dyker upp i många olika sammanhang: de sju underverken Tal

Transkript

1 1 Tal Kapitlet inleds med en historisk tillbakablick där eleverna får bekanta sig med det egyptiska och det romerska talsystemet. Efter det kommer en genomgång av tiosystemet och de fyra räknesätten. Talområdet är här begränsat till de positiva heltalen. Särskild vikt läggs vid att förklara innebörden av ett positionssystem, dvs. att en siffras värde beror av vilken plats den har i talet. Det här bör vara självklarheter för de allra flesta eleverna. Därefter går vi igenom begreppen delbarhet, primtal och sammansatta tal begrepp som man däremot kan förvänta sig vara nya för eleverna. I avsnitten Tal i decimalform övergår vi sedan till att arbeta med decimaltal, alltså tal med en eller flera decimaler. Avsnittet tar stöd av tallinjer. För många elever är det ett stort steg att gå från att förstå heltalen till att förstå att det finns oändligt många tal mellan heltalen. Det är viktigt att som lärare försäkra sig om att eleverna förstår detta. Det kommer annars bli svårt för dem att ta till sig kommande avsnitt. I avsnitten Multiplicera med, 0 och samt Dividera med, 0 och återvänder vi till positionssystemet. Att kunna multiplicera och dividera med, 0 och bygger ju på grundläggande förståelse för vårt talsystem, och är nödvändigt att behärska för att senare kunna räkna med t.ex. procent. Kapitlet avslutas med avrundning och överslagsräkning. Framförallt överslagsräkning förutsätter en god taluppfattning. lå kurs är parallell med grön kurs och alla moment på grön kurs finns även på blå kurs utom det inledande avsnittet om historiska talsystem. I röd kurs kan eleven bekanta sig med det kinesiska talsystemet och mayafolkets talsystem och även fördjupa sina kunskaper om bland annat primtal, faktorisering och överslagsräkning. Centralt innehåll I det här kapitlet behandlas det centrala innehållet: Taluppfattning och tals användning eella tal och deras egenskaper samt deras användning i vardagliga och matematiska situationer. Talsystemets utveckling från naturliga tal till reella tal. Metoder för beräkningar som använts i olika historiska och kulturella sammanhang. Centrala metoder för beräkningar med tal i bråk- och decimalform vid överslagsräkning, huvudräkning samt vid beräkningar med skriftliga metoder och digital teknik. Metodernas användning i olika situationer. imlighetsbedömning vid uppskattningar och beräkningar i vardagliga och matematiska situationer och inom andra ämnesområden. 1 1 Talet anses vara ett mystiskt tal och dyker upp i många olika sammanhang: de sju underverken Tal veckans sju dagar År 00 röstade 0 miljoner människor fram vilka som är de sju underverk av de byggnader som finns kvar att besöka och se i dag. Världens sju nya underverk blev enligt omröstningen: den sjuarmade ljusstaken snövit och de sju dvärgarna Känner du till fler sammanhang där talet sju ingår? Kinesiska muren Mål Innehåll staden Petra i Jordanien Kristusstatyn i io de Janeiro När du arbetar med det här kapitlet får du lära dig staden Machu Picchu i Peru om olika talsystem hur vårt talsystem är uppbyggt staden Chichén Itzá i Mexiko om delbarhet och om att faktorisera tal att använda och förstå de matematiska ord som hör ihop med de fyra räknesätten Colosseum i om att räkna med de fyra räknesätten om tal skrivna i decimalform Taj Mahal i Indien att multiplicera och dividera med egrepp, 0 och Fotot på ingressuppslaget föreställer Taj Mahal. att avrunda tal att göra överslagsräkning egrepp tal produkt faktorträd siffra division kvot tiosystemet täljare tallinje platsvärde nämnare decimalform addition delbarhet bråkform term siffersumma avrundning summa primtal subtraktion sammansatta tal avrundningssiffra differens multiplikation faktor multipel primtalsfaktor Skriv talet sju miljoner sjuhundrasjutusen sjuttiosju. äkna ut sjuttio minus sju komma sju. Använd sju sjuor och olika räknesätt för att uttrycka talet. As I was going to St Ives, I met a man with seven wifes. Every wife had seven sacks. And every sack had seven cats. Every cat had seven kittens. Kittens, cats, sacks and wifes, how many were going to St Ives? överslagsräkning Ja, hur många var på väg till St Ives? Motsvarande centrala innehåll från årskurs 4 är: Kommentarer och svar Taluppfattning och tals användning Fler exempel på sammanhang där talet sju ingår: ationella tal och deras egenskaper. jag är i sjunde himlen (kan man vara när man är kär) Positionssystemet för tal i decimalform. Det binära talsystemet och talsystem som använts i några kulturer genom historien, till exempel den babyloniska. Sjustjärnorna (ett annat namn på den öppna stjärnhopen Plejadern Tal i bråk- och decimalform och deras användning i vardagliga situationer. Centrala metoder för beräkningar med naturliga tal och enkla tal i decimalform vid överslagsräkning, huvudräkning samt vid beräkningar med skriftliga metoder och miniräknare. Metodernas användning i olika situationer. imlighetsbedömning vid uppskattningar och beräkningar i vardagliga situationer , =, The problem of St Ives: närmevärde Svar till frågorna vis + Han mötte en man med sju fruar, som i sin tur hade sju säckar, som innehöll sju katter, som hade sju kattungar vardera; alltså = män, fruar kattor och kattungar. Men de var ju inte på väg till St Ives. Svar: Tydligen var endast en person var på väg till St Ives. sju sorters kakor Diskutera gärna med eleverna om de har egna associationer till talet. Världens sju underverk har länge ansetts vara: fyrtornet på ön Faros Zeusstatyn i templet i Olympia kolossen på hodos de hängande trädgårdarna i abylon pyramiderna vid iza mausoleet i Halikarnassos artemistemplet i Efesos Av dessa finns endast pyramiderna vid iza kvar, de övriga är sedan lång tid borta.

2 Olika sätt att skriva tal Avsnittet behandlar några olika sätt som man under äldre tider har skrivit tal. Vi börjar med det enklaste, att rista skåror i ett ben, och tar sedan upp det egyptiska och det romerska talsystemet. Exemplet med vargbenet visar ett sätt att beskriva antal som används än i dag, dvs. att enbart använda streck och att eventuellt gruppera strecken för att lättare kunna ordna dem. Egyptiernas symboler byggde på bilder och var inte ett positionssystem, medan romarnas skrivsätt delvis var beroende av symbolens position i talet. Skillnaderna i utseende mellan de två talsystemen kan delvis beskrivas utifrån den tidens teknologier: de runda formerna i egypternas talsymboler var möjliga att skapa med skrivarens pensel, medan de raka linjerna i romarnas symboler lämpade sig väl för att hugga i sten med mejsel och hammare. Att addera eller subtrahera två tal skrivna i det egyptiska eller i det romerska talsystemen är inte så svårt, men att utför multiplikationer och divisioner är däremot näst intill ogörligt. Syftet med avsnittet är dels att eleverna ska förstå att det finns flera sätt att skriva tal, dels att de ska förstå tiosystemet bättre genom att sätta sig in i andra talsystem och se likheter och skillnader mellan dem. rundkurs Olika sätt att skriva tal Det finns gamla fynd som visar att människor redan för tiotuss år sedan använde symboler för att kunna ange antal. Kanske behövde man beskriva antal och storlek på sin djurflock. Man har hittat ett år gammalt vargben med inristade skåror som man tror visar antal. De sätt vi skriver tal har utvecklats på olika sätt i olika delar av världen. 1 ita hur pojken kunde ha ristat in i vargbenet om antalet lamm hade varit 4 Skårorna var indelade i grupper med fem streck i varje grupp. e ett förslag till varför pojken gjorde så. Egyptiska talsystemet I det gamla Egypten använde man för 000 år sedan bilder för att skriva tal. Så här skrev de tal: 1 eller eller I det egyptiska talsystemet är symbolen för ett tus en lotusblomma. Vilket tal motsvarar symbolen omerska talsystemet Det romerska talsystemet började användas för mer än 000 år sedan. omarna använde bokstäver som tecken för tal. IV betyder 1 I II III IV V VI VII VIII IX X XI VI betyder + 1 IX betyder XI betyder + 1 L C D M Skriv följande tal med romerska siffror 9 14 Svar: VII okstäverna betyder XXIX okstäverna betyder CLIV okstäverna betyder Vilket av talen i rutan betyder 1 XXI XII VII 19 XXI XVI XIX CII LII VII Skriv med vanliga siffror. LX XIV CLI CLXVI 8 I rutan till höger finns några tal skrivna i det egyptiska och i det romerska talsystemet. Vilka visar talet 14? omerska siffror används ibland fortfarande. Till exempel i namnet på Sveriges kung, Carl XVI ustaf. CXXIV CXXVI Slut Snabbquiz 1 Det har betydelse i vilken ordning man skriver symbolerna i det egyptiska talsystemet. A Ja C Ibland Nej Det har betydelse i vilken ordning man skriver symbolerna i det romerska talsystemet. A Ja C Ibland Nej Vilket av alternativen betyder 14 i vårt sätt att skriva tal? A C 4 Vilket av alternativen betyder 49 i vårt sätt att skriva tal? A CCCCVIIIIV C CDLXXXXV CDXCV Lärandemål Här ska eleverna lära sig: att beskriva och använda några olika historiska talsystem och jämföra dem med tiosystemet, det talsystem som vi använder i dag Tänk på Uppmärksamma gärna eleverna på skillnader och likheter mellan talsystemen, t.ex. om det har betydelse i vilken ordning man skriver symbolerna. Start Låt eleverna själva lista ut hur egyptiernas och romarnas talsystem var konstruerat. 1 Om = 1 och = 14, vad betyder då? Om VIII = 8 och XI = 11, vad betyder då XXVI? Om VI = och IX = 9, vad betyder då XIV? 4 Vad betyder Skriv med egyptiska talsymboler , Ställ frågan till eleverna om man kan skriva talen i uppgift 4 och på fler än ett sätt. Ta det som utgångspunkt för att diskutera vad det innebär att ett talsystem inte är ett positionssystem. Diskutera t.ex. hur lätt är det att utföra beräkningar med talsystemet. Låt gärna eleverna skriva egna tal med romerska symboler och låt dem sedan byta tal med varandra. 9 Uppgiften kan användas som utgångspunkt för diskussioner om hur vårt positionssystem är uppbyggt, som vi beskriver på nästa uppslag i läroboken. 9 Kan du skriva talet på mer än ett sätt i det egyptiska talsystemet det romerska talsystemet Förklara dina svar. 1 Ett par förslag på varför skårorna var grupperade i fem kan vara att det blir lättare att snabbt avläsa antalet och att det var fem kan bero på att vi har fem fingrar på en hand :1 8 1 tal 1 tal 9 XII XIX LII CXXIV och 9 T.ex. och CCXXXVI I det romerska talsystemet måste man skriva symbolerna i rätt ordning, det behöver man inte i det egyptiska talsystemet. Så med romerska symboler så kan man skriva talet endast på ett sätt, men med egyptiska symboler kan man skriva talet på flera olika sätt. å vidare öd kurs Det kinesiska talsystemet och Mayafolkets talsystem behandlas på sidorna :1 Mer om egyptiska och romerska talsystem Läs mer Larsson, Kerstin och Larson, Niclas (011): äkning en kul historia. Nämnaren, tal 1 tal 9

3 Tiosystemet och De fyra räknesätten På sidan betonas begreppen siffra, tal och platsvärde. Sidan 11 repeterar förståelsen för de fyra räknesätten liksom de begrepp som hör ihop med dessa. Där finns även uppgifter som lyfter fram varför kommutativa lagen gäller för addition och multiplikation men inte för subtraktion. Lärandemål Här ska eleverna lära sig: att beskriva vårt talsystem och redogöra för betydelsen av en siffras platsvärde innebörden av de olika räknesätten begreppen tiosystemet, tal, siffra, platsvärde, addition, term, summa, subtraktion, differens, multiplikation, faktor, produkt, division, täljare, nämnare och kvot Tänk på Det kan vara värt att poängtera att i vårt talsystem finns siffror och att vi med dessa siffror kan skriva oändligt många tal. Symbolen kan m.a.o. stå för både en siffra och ett tal, medan är enbart ett tal som består av två siffror. Det råder ibland förvirring kring begreppen siffra och tal. På nyheterna kan man höra att dödssiffran för jordbävningen fortsätter att öka eller att arbetslöshetssiffran minskar. e eleverna att t.ex. fundera på skillnaden mellan arbetslöshetssiffran ökar och arbetslöshetstalet ökar. Jämför gärna tiosystemet med de äldre talsystemen. Finns det någon symbol för ingenting, dvs. nollan, i det egyptiska eller det romerska systemen? Det är vanligt att eleverna säger att de ska räkna tal när de menar att de ska göra uppgifter. Det är viktigt att läraren använder rätt terminologi och skiljer på när orden tal och uppgift används. Start Låt eleverna bilda tal utifrån givna siffror och givna förutsättningar. Till exempel: Använd alla fyra siffrorna 4,, och 8 och bilda ett tal som är så stort som möjligt så litet som möjligt det minsta möjliga udda talet det största möjliga jämna talet e) så nära 000 som möjligt Tiosystemet Vilket platsvärde har siffran 4 i talet Skriv talet som består av tre hundratal, sju tiotal och ett tre tiotus, åtta hundratal och sex 1 Använd alla fyra siffrorna 4,, och 8 och skriv det största tal du kan det minsta tal du kan det tal som ligger närmast 000 det största udda tal du kan 1 Vilka tal ska stå i rutorna? 89 = = 80 4 = Vilket tal är 4 tiotal större än 080 tiotal mindre än 49 hundratal mindre än 4 4 hundratal större än 8 Istanbul Mekka Indien 1 Är en variant av startuppgiften. Platsvärde Historik tiotus tus hundratal I tiosystemet använder vi tio siffror: 0, 1,,, 4,,,, 8 och 9. Med dessa siffror skriver vi tal. Tiosystemet är ett positionssystem. Det betyder att en siffras platsvärde beror på vilken plats den har i talet. I talet 0 har siffran platsvärdet tiotal. Siffran är värd tiotal. Nollan markerar en tom splats I talet 0 har siffran platsvärdet hundratal. Siffran är värd hundratal. Nollan markerar en tom tiotalsplats. Siffran är värd. Det talsystem som vi använder kallas tiosystemet och började användas i Europa för cirka 800 år sedan. Det har sitt ursprung i Indien och kom till Europa med arabiska handelsresande. Därför kallas våra siffror för arabiska siffror. Indierna var de första som hade ett tecken för ingenting. Man kan säga att de uppfann nollan. 1 Låt gärna eleverna visa egna beräkningar med hjälp av pilar och be dem byta med varandra. 1 Man kan dela upp 18 i två respektive tre termer på ett antal olika sätt (i två termer på 9 olika sätt, i tre termer på olika sätt). Låt gärna eleverna undersöka vilka varianter som finns. När det gäller att dela upp talet i faktorer finns det inte lika många varianter. Låt eleverna undersöka vilka. Även talet 1 räknas som en faktor. 19 Uttrycken i rutorna kan med hjälp av talpilar illustreras på samma sätt som uttrycken i genomgångsrutan. 0 Uppgiften vilar på begreppen innehållsdivision och delningsdivision. egreppet innehållsdivision är viktigt för att eleverna ska förstå division med decimaltal och division med tal mindre än 1 och för att kunna beräkna kvoten av två bråk. Hur man beräknar kvoten av två bråk tas upp i Matte Direkt 8. tiotal Jämna tal slutar på 0,, 4, eller 8. Udda tal slutar på 1,,, eller 9. 1: 1: De fyra räknesätten Addition + 4 = term summa Multiplikation 4 = 8 faktor 1 Vilka beräkningar visar pilarna? produkt tiotal hundratal tus = 9 = Subtraktion 4 = eräkna summan av 0 och differensen av 0 och produkten av 0 och kvoten av 0 och 1 Dela upp 18 i två termer tre termer två faktorer tre faktorer 18 e förslag på täljare och nämnare som ger kvoten 8 19 Vilka av uttrycken i rutan har samma värde? A term differens 4 I vilka räknesätt spelar ordningen på talen ingen roll? Division täljare nämnare 8 4 = Fia har ett 0 meter långt rep. Hur många rep som är meter kan hon göra av repet? Hur långt blir varje rep om hon gör stycken lika långa rep av repet? 1 T.ex. + 8 T.ex. + + T.ex. 9 T.ex. 18 T.ex. 1 och 8 T.ex. 1 och 4 T.ex. 1 och T.ex. 1 och 19 A: 4 och 4 : + 8 och 8 + Man kan byta plats på talen i addition och multiplikation st 14 m Läs mer Kerstin Larsson (011): Subtraktion. Nämnaren 4, 011. Kerstin Larsson (01): Subtraktionsberäkningar. Nämnaren 1, 01. Tímea Dami (00): Varför räknar du just så? Nämnaren 1, 00. kvot Så här kan man tänka: 8 kulor har delats i 4 högar eller 4 kulor kan tas gånger från 8 kulor 1 tal 1 tal 11 1:4 1:9 Slut Snabbquiz 1 1 Du har talet 4. Vilket tal får du om du byter plats på hundratalssiffran och ssiffran? A 4 4 C 4 Du har talet 4. Vilket tal ska du subtrahera med för att få talet 01? A 0 C 4 Hur mycket ökar talet 9 om du byter plats på hundratalssiffran och ssiffran? A 180 C 94 Snabbquiz 1 I uttrycket 1 kallas talen och 1 för A termer faktorer C produkter I uttrycket 1 = 4 kallas talet för A täljare kvot C nämnare Ett annat ord för differens är A kvot subtraktion C skillnad å vidare lå kurs Mer grundläggande uppgifter och genomgångar finns på sidan 0 och på sidan 1. epetition epetition 1 finns på sidan 4. 1: Hela tal på tallinjen 1: Positionssystemet 1:4 Addition med heltal 1: Subtraktion med heltal 1: Multiplikation av heltal 1 1: Multiplikation av heltal 1:8 Division av heltal, kort division 1:8b Division av heltal, liggande stol 1:9 De fyra räknesätten med heltal, blandat Aktiviteter 1:1 öra tal av siffror 1: Upp till 9 och andra räknespel 1 tal 1 tal 11

4 Delbarhet Kunskaper om delbarhet ger en bra känsla för tal och är användbart när man till exempel ska förkorta bråk eller hitta minsta gemensamma nämnare till olika bråk. egreppet delbarhet används enbart för hela tal. Här arbetar vi dessutom endast med de naturliga talen, dvs. de positiva heltalen inklusive talet noll. Lärandemål Här ska eleverna lära sig: att använda delbarhetsreglerna för talen,, och att använda delbarhet vid problemlösning begreppen delbarhet, delbarhetsregler och siffersumma Tänk på Eleverna har ibland svårt att ta till sig att delbarhet endast handlar om hela tal och anser att det går att dela alla tal eftersom det går att skriva kvoten som ett tal i decimalform. Om man knyter an begreppet delbarhet till multiplikationstabellen kan det vara lättare för eleverna att förstå att det handlar om hela tal. Vi har inte multiplikationstabeller för decimaltal. Kommentera gärna att alla tal är delbara med 1 och sig självt. De delarna brukar i vissa kontexter utelämnas. Delbarhet Hur många kan dela lika på kolor? En person kan få kolor. 1 = personer kan få kolor var. = Det betyder att är delbart med 1,, och. personer kan få kolor var. = personer kan få 1 kola var. 1 = 1 Kolorna ska delas lika. ita på vilka sätt de kan delas om det är kolor 8 kolor 9 kolor kolor e) 1 kolor Vilka tal är delbart med 8 delbart med 9 delbart med delbart med e) 1 delbart med Agnes leder en barngrupp. Det är 8 barn i gruppen. Hon vill dela dem i grupper med lika många barn i varje grupp. Hur många barn kan det vara i varje grupp? Skriv alla möjligheter. Vilka tal är 8 delbart med? 4 Hur många personer kan dela lika på 1 äpplen 18 äpplen 40 äpplen En påse med karameller ska delas lika mellan några personer. e exempel på hur många karameller det kan vara i påsen om karamellerna kan delas lika mellan och 4 personer, 4 och personer, och personer I en kortlek finns det kort. Hur många kort blir över om korten delas lika mellan spelare spelare spelare 1 spelare Är 48 är delbart med Svar: 48 är ett jämnt tal. Alltså är 48 delbart med. 48 har siffersumman = 1. 1 är delbart med. Alltså är 48 delbart med. Eftersom 48 inte slutar på 0 eller, så är inte 48 delbart med. Använd delbarhetsreglerna och ta reda på vilka av talen i rutan som är delbara med 8 eräkna siffersumman för varje tal. Vilka av talen är delbara med? 9 Vilka av talen är delbara med 0 Vilka siffror kan vara i det tvåsiffriga talet 4 om talet är delbart med 1 Vilka siffror kan vara tiotal i det tresiffriga talet 1 om talet är delbart med. Det femsiffriga talet 1 4 är delbart med både och. Hundratalet och et är samma siffra. Vilken siffra är det? Det finns fler än 0 karameller i burken. Vilket är det lägsta antalet karameller i burken om karamellerna kan delas lika mellan personer och mellan personer mellan personer och mellan personer mellan personer, mellan personer och mellan personer Siffersumman är summan av siffrorna i talet. Siffersumman för talet 40 är = Delbarhetsregler Tal delbara med är alla jämna tal är tal vars siffersumma är delbar med är tal som slutar med 0 eller är tal som slutar med tal 1 tal 1 Slut Snabbquiz 1 Jämna tal är delbara med. A Ja C Vissa Udda tal är delbara med. A Ja C Vissa Nej Nej Vilka siffror kan stå på de tomma platserna om talet är delbart med, och? 4 A och Endast och 0 C T.ex. och 0 Alternativt slut Låt eleverna formulera en delbarhetsregel för tal delbara med genom att svara på frågorna: Vilka av talen i rutan är delbara med, och Vilka av talen i rutan är delbara med men inte med? Start Inled gärna avsnittet om delbarhet med en aktivitet. Dela ut markörer, papperslappar, centikuber eller liknande och be eleverna lägga alla tal mellan 1 och 1 som rektanglar. Talet kan läggas som en rektangel på två sätt eller Vilka tal kan läggas som rektanglar på fler än ett sätt? Vilka tal kan läggas som en kvadrat? På vilka sätt kan talen 1 till och med 1 skrivas som en produkt av två faktorer? Primtalen tar vi upp på sidan 14. De tal som kan läggas som en kvadrat kallas för kvadrattal. Till dem återkommer vi i senare årskurser av Matte Direkt. Här kan du utmana eleverna genom att vända på frågeställningen: Måns jobbar med en annan barngrupp. Han säger att hans grupp går att dela in på 8 olika sätt med lika många barn i varje grupp. Vilket är det minsta antalet barn i Måns grupp? Svar: Minst 4 barn som kan delas in i grupper om 4, 1, 8,, 4, eller 1 barn. Lyft gärna upp och diskutera elevernas resonemang. Uppgiften leder över till avsnittet Primtal och sammansatta tal på nästa uppslag. 0 Uppgifterna innehåller begreppen siffra, tal, tvåsiffrigt, tresiffrigt, femsiffrigt,, tiotal, delbart. Man kan behöva belysa begreppen i helklass. Följ gärna upp uppgifterna i helklass och låt eleverna berätta hur de kom fram till sina lösningar. På så sätt får eleverna ta del av olika strategier för att lösa problem och får dessutom träna på att föra resonemang. 1 e) 1 och 1,, 4 och 8 1, och 9 1,, och e) 1,,, 4, och 1 1,, 4,, 14 eller 8 barn 1,, 4,, 14 och 8 4 1,, och 1 personer 1,,,, 9 och 18 personer 1,, 4,, 8,, 0 och 40 personer T.ex. 1 karameller T.ex. 0 karameller T.ex. 0 karameller , 18, 88 och 480 och : + 1 = : + = 9: 9 + = 1 4: 4 + = 1: 1 + = 81: = 9 : = 1, 9, 1, 81 och Skriv en regel för delbarhet med. Ett sätt att formulera en regel för delbarhet med talet är t.ex: Tal delbara med är alla tal som är delbara med både och. å vidare lå kurs Mer grundläggande träning på delbarhet finns på sidan. öd kurs Mer om delbarhet och faktorisering finns på sidan och 4 840, och 4 840, 4 1 och ,, 4, eller 8, eller 8 0 eller 0 1, och 8 4 karameller karameller karameller 1 1 tal 1 tal 1

5 Primtal och sammansatta tal Avsnittet utvecklar elevernas kunskaper om delbarhet, faktorisering och primtal. enom att använda sig av faktorträd får eleverna en metod att hitta ett tals delare och primtalsfaktorer. Primtal är ett begrepp som vi tycker de allra flesta elever bör lära sig. Vi inför även begreppet multipel, vilket förmodligen är ett nytt begrepp för de flesta eleverna. Avsnittet avslutas med en uppgift på aritmetikens huvudsats. Lärandemål Här ska eleverna lära sig: metoder för att undersöka om ett tal är ett primtal eller ett sammansatt tal att dela upp sammansatta tal i primtalsfaktorer Primtal och sammansatta tal Om man ska dela på, eller kolor, så kan man göra det på endast två sätt. En person får alla kolor eller varje person får en kola var. Talen, och är exempel på primtal. Ett primtal är ett heltal som är större än 1 och endast är delbart med 1 och sig självt. Man kan också säga att ett primtal endast kan delas upp i faktorerna 1 och talet självt. = 1 = 1 = 1 Alla andra tal kallas för sammansatta tal. De är tal som kan delas upp i fler faktorer än 1 och talet självt. Till exempel är och 1 sammansatta tal: = och 1 =. 4 Vilka av talen i rutan är sammansatta tal primtal Ta hjälp av delbarhetsreglerna och förklara varför talen inte är primtal e) Vilka tal är primtal av talen mellan ita av och gör klart faktorträden Ett sammansatt tal kan delas upp i fler faktorer än 1 och talet självt. När ett tal inte går att dela upp i fler faktorer är faktorerna primtal. Man kallar dem primtalsfaktorer. För att dela upp ett tal i faktorer kan man göra ett faktorträd. Vilka primtalsfaktorer har talet 0? 0 eller Vi har satt ringar runt primtalsfaktorerna. Svar: Talet 0 har primtalsfaktorerna, och Du behöver bara göra ett faktorträd. Det blir samma primtalsfaktorer Slut Snabbquiz 1 Ett primtal kan vara delbart med. A Ja Nej C Vet ej Talet 1 är ett primtal. A Ja Nej C Vet ej Om man delar upp talet i primtalsfaktorer, så kommer en av faktorerna att vara. A Ja Nej C Vet ej 4 Om man delar upp talet 4 i primtalsfaktorer, så får man A 1 4 C begreppen primtal, sammansatta tal, multipel, primtalsfaktor och faktorträd Tänk på egreppet multipel är troligtvis ett nytt begrepp för de flesta av eleverna. Om man knyter an till multiplikationstabellen är det lättare för eleverna att ta till sig begreppet. De tal som är t.ex. multiplar av 4 är de tal som finns i fyrans multiplikationstabell. egreppet multipel är användbart till exempel vid förlängning och förkortning av bråk. 0 och 0 0 och och 0 Vilka tal i rutan är multiplar av talet är en multipel av Anna 4 är en multipel av 4 enjamin Vem eller vilka har rätt? Förklara ditt svar. 4 är en multipel av Clara 4, 8, 1 och 1 är exempel på multiplar av 4. 4 = 4 1, 8 = 4, 1 = 4 och 1 = Dela upp talen i primtalsfaktorer. örja med att göra ett faktorträd Vilket av talen i rutan har den största primtalsfaktorn? Alla naturliga tal kan skrivas som en produkt av primtal på endast ett sätt. Det kallas aritmetikens huvudsats. Till exempel kan 1 skrivas som. Skriv talen som en produkt av primtal e) 1: 1:11 Aritmetikens huvudsats Alla heltal större än noll kan skrivas som en produkt av primtal på endast ett sätt tal 1 tal 1 å vidare lå kurs Mer grundläggande uppgifter och genomgångar på primtal och faktorträd finns på sidan. öd kurs Mer om primtal, sammansatta tal, delbarhet och faktorisering finns på sidorna epetition epetition finns på sidan. Start Undersök vad eleverna minns om delbarhet. 1 Vem har rätt? Vilka tal är 1 delbart med? Anna 1 är delbart med och enjamin 1 är delbart med och Clara 1 är delbart med, och Finns det ytterligare tal som 1 är delbart med? Vilket tal passar inte ihop med de övriga? Förklara åde Anna, enjamin och Clara har rätt, men talet 1 är förutom att det är delbart med, och även delbart med 1, 11, och 1. Alternativ start Inled med aktiviteten Erathostenes såll. En instruktion finns i uppgift 1 på sidan 44 i röd kurs. Låt gärna eleverna arbeta i par eller i grupp., 8 Multipel är förmodligen ett nytt begrepp för eleverna. Ett bra sätt att introducera begreppet på är att knyta begreppet till multiplikationstabellen. Talet 18 är t.ex. en multipel av talen,, och 9 eftersom 18 finns i både :ans, :ans, :ans och 9:ans tabell. 4 1, 14, 1, 1 och 18 1, 1 och 19 0 är ett jämnt tal och är delbart med. Talet är också delbart med och eftersom det slutar med 0. har siffersumman 9 och är delbart med. slutar på och är delbart med. 14 är ett jämnt tal och är delbart med. e) har siffersumman 1 och är delbart med. och 9 1 och 41, 4 och 4, 1 och 0, 1 och 1 1 och 0 8 Alla har rätt, 4 är en multipel av, 4 och 9 eftersom 4 = 8, 4 = = 4 och 4 = : Delbarhet och faktorträd 1:11 Faktorträd Aktiviteter 1: Erathostenes såll 1:4 Tal som hör ihop på olika sätt Läs mer Lene Christensen (011). Talmönster från början. Nämnaren, = 4 = 40 = = 1 4 = = 0 = 4 = 84 = e) = 14 1 tal 1 tal 1

6 Tal i decimalform Hur ska vi skriva tal som inte är heltal, alltså tal som på tallinjen ligger mellan heltalen? I avsnittet använder vi tallinjer för att eleverna ska få en bild av hur man kan representera de tal som finns mellan heltalen. Det kan vara värt att poängtera att det finns oändligt många tal mellan varje markering på tallinjen. Tal i decimalform Tiondelar och hundradelar Om man delar tallinjen mellan två heltal i tio lika stora delar, så blir 1 varje del en tiondel. En tiondel kan skrivas i bråkform och i decimalform 0,1. Tusendelar Om man delar tallinjen mellan två heltal i tusen lika stora delar, så blir varje 1 del en tusendel. En tusendel kan skrivas i bråkform och i decimalform 0,001. 0,001 0,00 0, ,00 0,01 Slut Snabbquiz Vilket tal är störst? 1 A,, 0 C, Lärandemål Här ska eleverna lära sig: att skriva bråk med nämnaren, 0 eller i decimalform att läsa av en tallinje och att placera ut tal på en tallinje begreppen tallinje, bråkform, decimalform, tiondel, hundradel och tusendel Tänk på Tal som tre tiondelar och sju hundradelar kan ses som tal givna i bråkform. Vi återkommer till tal i bråkform i kapitel 4, men eleverna har arbetat med bråk under tidigare skolår och bör vara bekanta med dessa. Poängtera t.ex. att / = 0, och /0 = 0,0. Undvik att utläsa tal som 4, som fyra komma femtiotvå. Säg i stället fyra hela, fem tiondelar och hundradelar eller fyra hela och femtiotvå hundradelar. På så sätt betonas siffrornas platsvärde. Start ,1 0, 0, 0,4 0, 0, 0, 0,8 0,9 1 0,01 0 0,0 0,1 Om man delar tallinjen mellan två heltal i hundra lika stora delar, så blir 1 varje del en hundradel. En hundradel kan skrivas i bråkform 0 och i decimalform 0,01. Vilka tal pekar pilarna på? A C 0 1 A C 0,1 0, 0, 4 ita en tallinje som börjar med 9 och slutar med 11 och markera följande tal. A = 9, = 9,0 C =,4 D =,9 4 Vilka tal ska stå i rutorna? Ta hjälp av tallinjen du ritade till uppgift 4. 9, 9,4 9, 9, 9, 9,9 9,9 9,94 9,9 48 Vilket tal är störst? Förklara varför. 9,1 eller 9,09,9 eller,4 1:1 1:1 0,1 är lika mycket som 0, Vilka tal pekar pilarna på? A C 0 0,01 A C 0,01 0,0 1 Vilka tal ska stå i rutorna? 0,19 0,194 0,19,48,488,491 Skriv ett tal som är större än 9,9 men mindre än större än men mindre än,01 Vilka tal pekar pilarna på? Välj bland talen i rutan. A C A C 1 0,4 0, 1,,4 1,09,0 0,4 0,40 0,9 0,49 4 Skriv talen i storleksordning. örja med det minsta. 1,0 1, 1, 1,0 0, 0,4 0, 0,4 ita en tallinje och rita pilar som pekar på talen. A = 1, = 1,08 C = 0, D = 1,9 E = 0, 1 1 tal 1 tal 1 1:14 A 0,14 0,4 C 0, A 0,111 0,099 C 0,9 4 Hur många tal finns mellan 0 och 1? A Inga Tio C Hundra D Oändligt många å vidare lå kurs Mer grundläggande uppgifter och genomgångar på tal i decimalform finns på sidorna 4. 1:1 Tiondelar på tallinjen 1:1 Hundradelar på tallinjen 1:14 Decimaltal på tallinjen Skriv olika decimaltal på lappar och dela ut en lapp till varje elev. e eleverna ställa sig i ordning efter talens storlek. på tal kan vara:,04,40 0,4 0,4,04,0 e varje elev förklara sitt val av placering. Alternativ start Låt eleverna skriva ett decimaltal mellan 0 och på en post-it-lapp och be dem sedan placera det på en tom tallinje som är ritad på tavlan. Endast noll ska i förväg vara markerad på tallinjen. Den första eleven avgör indelningen på tallinjen när hon placerar det första talet. Övriga elever får anpassa sig efter det. e varje elev förklara placeringen av sin lapp. 48 Uppgiften är en variant av startuppgiften och kan lätt varieras med andra tal. esonera kring vilken hjälp man kan ha av att skriva om 9,9 och till 9,90 och,00 samt och,01 till,000 och,0 4 ehöver eleverna en ledtråd så kan ni ge tipset: Sortera efter platsvärdet. örja med heltalen vilket är störst? Om lika titta på tiondelssiffran, osv. Diskutera gärna med eleverna i helklass hur man här lämpligast delar in tallinjen. 44 A = 0,1 = 0, C = 1,1 4 A = 0,1 = 0,18 C = 0,4 4 A C D ,8,,,,8 9,98,0 48 9,1 är störst eftersom 9,1 är hundradelar större än 9 och 9,09 är 9 hundradelar större än 9.,9 är störst eftersom,9 är 9 hundradelar större än och,4 är 40 hundradelar större än. 0 A = 0,011 = 0,01 C = 0,0 1 0,198 0, 0,0 0,04,494,49,,0 T.ex. 9,91 T.ex.,00 A= 1, =,0 C =,4 A = 0,4 = 0,49 C = 0,9 4 1,0 1,0 1, 1, 0, 0,4 0,4 0, C E A D 0 1 Aktiviteter 1: Decimaltal 49 A = 0,001 = 0,00 C = 0, tal 1 tal 1

7 Decimaltal Decimaltal presenteras här utan stöd av tallinjen. Här betonas siffrans plats i talet på samma sätt som för heltalen på sidan. För att ge decimaltal en mer praktisk innebörd kan det vara lämpligt att exemplifiera med t.ex. resultat i friidrottstävlingar. Lärandemål Här ska eleverna lära sig: metoder för att storleksordna decimaltal att utföra beräkningar med decimaltal och i det sammanhanget förstå betydelsen av en siffras platsvärde begreppen decimaltal och decimal att utföra beräkningar med tal i skrivna decimalform Decimaltal Decimaltecknet skiljer heltalen från decimalerna. Talet 8,09 har tre decimaler. 8, 0 9 Talet 8,09 kan läsas: 8 9 hundradelar och tusendelar 8 och 9 tusendelar 8 09 tusendelar decimaltecken decimaler Vilket av talen i rutan är lika mycket som tiondelar hundradelar 0 tusendelar 0,0 0,00,00 Vilket platsvärde har siffran i talet 0,,000,0,1,1 8,01 1,1 8 Skriv med siffror det tal som består av, tiondelar och hundradelar och hundradelar 4, 9 hundradelar och 8 tusendelar 9 Vilket av talen i rutan är lika mycket som 1 hundradelar 1 tusendelar tiondel hundradel tusendel Skriv talen i storleksordning. örja med det minsta.,09,,1,19,4,,8 8,009 Skolan har haft friidrottstävling. Skriv resultatlistor med bästa resultatet först. 0 meter: 8,9 s 9,0 s 9,4 s 9,1 s Längdhopp: 4, m,89 m,48 m 4,0 m 4 Yonko och Celine sprang 0 meter. Yonko sprang på tiden 8,8 sekunder. Celine sprang tiondelar långsammare. Vilken tid hade Celine? Skriv talet som är en tiondel större än,48,04 4,98 Skriv talet som är en hundradel större än,,1,001,99 Vilka har räknat rätt och vilka har räknat fel? Förklara. 0, + 0,4 = 0,11 1,1 0, = 0,8 1,1 0, = 1,9 0, + 0,4 = 1,1 Slut Snabbquiz 1 Vilket tal ska stå i rutan? A 4, = 4,0 4, = 4, C 4, = 1, D 4, =,14 å vidare lå kurs Mer grundläggande uppgifter och genomgångar finns på sidorna. epetition epetition finns på sidan. Tänk på Upprepa att siffrans värde beror av platsen i talet. En del elever kan ha svårt att förstå att tiondelar är större än hundradelar, alltså att t.ex. 0, är större än 0,0. Även språkligt kan en del elever blanda ihop begreppen tiondel hundradel (där tiondel är större än hundradel) med tiotal hundratal (där tiotal är mindre än hundratal). Start För att uppmärksamma eleverna på innebörden av begreppet platsvärde kan man inleda lektionen med den här aktiviteten. Använd gärna miniwhiteboard eller dela ut vanligt papper. Skriv med siffror (ett tal i taget): nio tiondelar nio hundradelar nitton hundradelar nitton nitton tiondelar nio tusendelar nitton tusendelar Låt eleverna jämföra sina svar med varandra och följ sedan upp i helklass. 1 tiondelar 0 Skriv talen med siffror. 8 hundradelar 8 tusendelar 8 tiondelar 80 tusendelar 1 Vilket av de tre talen i rutan är störst? Sandra och Dilan svarar så här:,4 är störst för att 4 är större än och 98. Talet, är störst för att det har minst antal decimaler. 1, 0,1 0,01,,4,98 Förklara varför båda svaren är fel och varför,98 är rätt svar! Diskutera gärna med eleverna hur nollans betydelse beror av var den står i talet. Jämför t.ex. 0,; 0,0; 0,0 eller 1,080; 1,800; 1,08;,80;,8 9, 0 Uppgifterna är varianter på startuppgiften. 1 Uppgiften ger exempel på elevfel som grundar sig på missuppfattningen att antalet decimaler avgör hur stort talet är. Sandra tror att det tal som har flest antal decimaler är störst, medan Dilan tror det motsatta. Fel liknande Sandras kan delvis undvikas genom att utläsa talet,4 som tre hela och fyrahundrathugotre tusendelar istället för tre komma fyrahundratjugotre. Var uppmärksam på hur eleverna skriver resultatlistorna. Den som hoppar längst vinner och det längsta resultatet ska därför stå överst, men den som springer fortast har kortast tid så där är det den kortaste tiden som ska stå överst. Man kan uppmana eleverna att själva leta fram resultatlistor och be dem jämföra längder och tider. Utveckla uppgiften genom att låta eleverna fundera över vilka fel personerna kan ha gjort. 1 Det är viktigt att eleverna kan använda skriftliga räknemetoder. Det finns många arbetsblad till de elever som behöver. Anna 0, 0,0 0,00 tiondel tusendel hundradel enjamin eräkna med huvudräkning. 8 0,8 + 0,0 0,8 + 0,,9 + 0,1,98 + 0,1 9,8 0,0,8 0,,0 0,01,0 0,1 8,,0 4, ,1 0,01 1, 0 0,8 0,08 8, 0,80 1 Alla tre talen har., har tiondelar,,4 har 4 tiondelar och,98 har 9 tiondelar. Det innebär att,98 är störst.,09,19,,1,4,8, 8,009 Clara 0 Skriv talet som är fem tiondelar mindre än,49 tolv tiondelar mindre än 8,1 1 Kan du räkna med uppställning? Titta i verktygslådan på sidan 00 om du behöver hjälp. 0,8,8 +, 1,0,4, tal 1 tal 19 8,9 s 9,0 s 9,1 s 9,4 s 4, m 4,0 m,89 m,48 m 4 9,0 s Dilan 1:1 1:1,1,8,14,08,1,,011 4,00 enjamin har räknat rätt. tiondelar + 4 tiondelar = = 11 tiondelar. 11 tiondelar = 1,1. Dilan har också räknat rätt. 11 hundradelar 0 hundradelar = 8 hundradelar. 8 hundradelar = 0,8. 8 0,8 1,1 4,0 4,08 1:1 Decimaltal 1:1 Addition med decimaltal 1:1 Subtraktion med decimaltal 1:18 Multiplikation av decimaltal 1 1:19 Multiplikation av decimaltal 1:0 Division av decimaltal 1, kort division 1:0b Division av decimaltal 1, liggande stolen 1:1 Division av decimaltal, kort division 1:1b Division av decimaltal, liggande stolen 9,81,,0,9 0,99,9 1,8 4,,4, 18 1 tal 1 tal 19

8 Multiplicera med, 0 och Dividera med, 0 och Om man har god förståelse för tiosystemet, så är det enkelt att multiplicera och dividera med, 0 och Eleverna ska inte behöva utföra dessa beräkningar med uppställning. Framställningen på det här uppslaget utgår från begreppet platsvärde. Det kan vara klokt att inleda lektionen med att repetera det begreppet. Lärandemål Här ska eleverna lära sig: hur ett tals siffror ändrar platsvärde vid multiplikation och division med, 0 och att utföra multiplikationer och divisioner med, 0 och utan hjälp av uppställning Tänk på Vi vill avråda ifrån regler som berättar hur decimaltecknet ska flyttas vid multiplikation respektive division med, 0, osv. Eleverna blandar lätt ihop reglerna och gör fel. Uppmana hellre eleverna att ställa sig själva frågorna lir talet större eller mindre när man multiplicerar respektive dividerar med?. Poängtera att siffrorna är desamma och att de är placerade i samma ordning när man har multiplicerat eller dividerat med, 0 eller Använd gärna begreppet platsvärde. En förklaring kan till exempel lyda som: I talet,4 ändras platsvärdet för siffran från till tiotal när,4 multipliceras med. I talet 0, ändras platsvärdet för siffran från tiotal till när 0, divideras med. En vanlig missuppfattning är att man lägger till nollor när man multiplicerar med, 0 och Det kan ha sin grund i att eleverna övertolkar de regler som endast gäller positiva heltal. Missuppfattningar kan yttra sig så här: 4, likställs med 40, Motsvarande missuppfattning kan vid division bli: 408 likställs med 48 Start Låt eleverna arbeta med räknaren och upptäcka hur siffrorna ändrar platsvärde när talen multipliceras och/eller divideras med, 0 och En instruktion kan vara: Skriv av och beräkna med räknare:,0 0, , Hur ändras en siffras platsvärde när du multiplicerar eller dividerar med, 0 och 1 000?, 4, 8, 84 Multiplicera med, 0 och 1 000, =, 0, = 1 000, = 0,, Vilket platsvärde får siffran när, multipliceras med eräkna 4, 4, 4 0, , 0 0, , ,89 Vera säger att, = 0,. Vad har hon gjort för fel? Vad ska stå i rutorna? 4, = 4,4 = 40 4 = = 4 e) 0 =, f) 89 = 0,89 Under dagar cyklar ikard fram och tillbaka till en sjö för att bada. Till sjön är det 4,4 km. Hur långt cyklade ikard sammanlagt under dessa dagar? 8 Kristoffer köper chokladbitar för 4,0 kr/st och 0 kolor för 0,0 kr/st. Hur mycket ska han betala? 9 Läs i pratbubblan och räkna på samma sätt., 48 4,48, Ta hjälp av rutan och beräkna , ,, 0 hundratal tiotal tiondelar hundradelar,4 8 = 4,, = 4 Ser du hur siffrans platsvärde ändras när man multiplicerar med, 0 och 1 000? Så här kan du räkna ut,4:,4 = 4 4 = Var uppmärksam på att eleverna inte omotiverat lägger till eller tar bort nollor inne i eller i slutet av talet. 80, 81 I de här uppgifterna ska eleverna ta hjälp av vad som står på skylten och avgöra storleken på produkterna. De ska alltså inte utföra beräkningarna skriftligt eller med räknare. Uppgiften är avsedd att hjälpa eleverna att generalisera förståelsen för att multiplicera med, 0 och , 90 Motsvarar uppgifterna 80 och 81, men här är räknesättet i stället division. 1: Dividera med, 0 och =, 0 =, = 0, 8 Vilket platsvärde får siffran i talet när talet divideras med eräkna tiotal hundratal 4, Hon har lagt till en nolla på platsvärdet för istället för att decimalerna flyttas ett steg åt vänster. ska stå på splatsen. 0,4 0,04 e) 0, f) km 8 9 kr ,4 111, ,8 0 9, 0 e) e) Vilka tal ska stå i rutorna? 8 =, =, 4, = 0,4 8 0 =,0 = 4,0 = Agnes mamma köper biobiljetter för att ge bort. Vad kostar en biobiljett om stycken kostar 9 kr Så här kan 0 stycken kostar 8 90 kr du räkna ut : 88 Läs i pratbubblan och räkna på samma sätt. 4 8 Ta hjälp av rutan och beräkna , 90 81, 900 hundratal tiotal tiondelar, hundradelar 4, Ser du hur siffrans platsvärde ändras när man dividerar med, 0 och 1 000? 1 = 14, 81, = 9, tal 1 tal 1 =,, = 4, 1: 81 4, tiondel hundradel 8 40,8 4,08 0,408 0,408 e) 4,9 84 9,,9 0,9 0,9 e) 0, ,0 kr 8,90 kr 88 4,8 1,4, 8, 89 1,4 0, ,4 0, ,94 Slut Snabbquiz 1 eräkna 0,0 A 0 0 C 0, eräkna 00 0 A 0 C 0, eräkna 4,8 A 1,4 14 C 8, 4 eräkna,8 A 1,,4 C 1, å vidare lå kurs rundläggande uppgifter och genomgångar på multiplikation och division med, 0 och finns på sidan 8. 1: Multiplikation med och 0 1: Division med och tal 1 tal 1

9 Avrunda heltal och Avrunda decimaltal Att kunna göra rimliga avrundningar är viktigt för att kunna utföra en överslagsräkning och för att få ett korrekt antal decimaler vid beräkningar. od talförståelse är en förutsättning för att kunna förstå och kunna tillämpa avrundningsreglerna. Här tar vi tallinjen till hjälp för att stötta resonemangen. Avsikten är att eleverna ska få en bild av att talen kan placeras på en tallinje och förstå hur de ska avrundas innan avrundningsreglerna gås igenom. Lärandemål Här ska eleverna lära sig: att korrekt kunna avrunda heltal och decimaltal att kunna använda närmevärden i praktiska situationer Avrunda heltal Tänk att det var 1 personer som var på konserten! Det var 000 personer i publiken! Över personer var på konserten. Citaten berättar om samma konsert, men publikantalet har angivits olika noggrant Publikantalen avrundat till Tiotus Tus Hundratal 1 00 Tiotal 1 Tecknet utläser man ungefär lika med. 1 ligger närmare än ligger mitt emellan 10 och. Då är regeln att man avrundar uppåt. 91 Avrunda talet 8 40 till tiotus tus hundratal Avrunda decimaltal Du ska dela en bräda som är 1 m i lika långa delar. Använder du räknaren för att räkna ut hur lång en bit ska vara trycker du 1 och får svaret 0,. Så noga kan man inte mäta brädan. Därför avrundar man längden till två decimaler. Varje bit ska alltså vara ungefär 0, m. Det avrundade värdet kallas för ett närmevärde. Avrunda 0,1 till ett närmevärde med två decimaler en decimal Svar: 0,1 0,1 0,1 0, Avrundningssiffra Avrundningssiffra 9 Avrunda, till ett närmevärde med en decimal två decimaler 98 Avrunda till ett närmevärde med två decimaler 99 Hur mycket ska du betala kontant om det på ett kvitto står Avrundningsregler Om siffran efter avrundningssiffran är: 0, 1,, eller 4 avrundas talet nedåt.,,, 8 eller 9 avrundas talet uppåt. Slut Låt eleverna ge exempel på en situation där ett stort heltal bör avrundas och en annan situation där man behöver avrunda ett decimaltal. Låt eleverna diskutera två och två och följ upp i helklass eller låt eleverna skriva ned sina förslag och lämna in. Följ sedan upp på nästa lektion. å vidare lå kurs Mer grundläggande uppgifter och genomgångar på avrundning finns på sidan 9. epetition epetition 4 finns på sidan. begreppen avrunda, närmevärde, avrundningsregler 9 Ett maratonlopp är 4 19 m. Avrunda sträckan till 98,8 kr 4, kr, kr och avrundningssiffra tiotuss meter tuss meter hundratals meter 9 Den 1 januari 01 hade Sverige invånare. Avrunda till 0 Avrunda till 4,8, 9, Tänk på En siffras platsvärde i talet är viktig förkunskap. Avrundning, precis som de flesta aspekter av tal, ska grundas i en god taluppfattning. Eleverna bör lära sig att se vad som är rimligt och förnuftigt i situationen. Start miljontal hundratus tiotus 94 Den 0 april 01 betalade Svenska Spel ut en lottovinst på 9 8 kr. Avrunda vinsten till miljoner kronor hundratus kronor tus kronor 9 Du ska avrunda till tiotal. Skriv det minsta naturliga talet och det största naturliga talet som avrundas till 0. 9 Skylten säger att det är 1 km till Sivik. Hur många meter kan det vara som kortast till Sivik som längst till Sivik Sivik 1 1 Vilka av talen har närmevärdet 8,? 8, 8,09 8, 8, 8,4 Skriv två tal som båda har närmevärdet,8. Hur många hela centimeter blir varje bit om du delar en bräda som är meter i bitar bitar bitar bitar 4 Vilket är det minsta tal som kan avrundas till 4,? Varför frågar vi inte efter det största talet? 1 tal 1 tal 1 m är 0 cm 1:4 1:4 Avrundning Läs mer Marianne önnbom (00): Vad göms i ett kassakvitto? Nämnaren, 00. Håkan Johansson, engt Nilsson och Lennart Skoogh (199): Låt oss runda av det här. Nämnaren 1, 199. När är talet exakt och när är det avrundat? A Avståndet mellan skolan och Lillsjön är 1 00 m. Mopeden kostade 1 00 kronor. C Vid inventeringen fanns det 1 00 böcker i skolbiblioteket. Alla mätvärden är ungefärliga värden angivna med en viss noggrannhet. Avståndet i A är exempel på ett mätvärde och är alltså ett avrundat värde. Vad gäller kostnaden för mopeden () eller antalet böcker i skolbiblioteket (C) så kan de vara både exakta och avrundade värden. Alternativ start Diskutera olika förslag till avrundning av publikantalet i exemplet i genomgångsrutan. Är någon avrundning mer rätt än en annan? Hitta gärna på egna exempel med olika stora folksamlingar. 9 Fråga gärna eleverna: När kan det vara bra att avrunda mätetalet? Kan det vara viktigt att veta det exakta antalet meter? 9 Aktuellt värde på folkmängd finns på Statistiska Centralbyråns hemsida Låt eleverna fundera på vad de tycker är en vettig avrundning med tanke på hur fort värdet förändras. 9 Uppgiften tvingar eleverna att arbeta baklänges och ställer deras taluppfattning på prov. 9 Kommentera gärna avrundningen,,. Vi avrundar alltid femman uppåt, trots att den ju ligger lika nära 0 som. En tidigare använd regel var att avrunda till närmaste jämna tal. 4 Eftersom det minsta talet som kan avrundas till 4, är 4, så kan det ligga nära till hands att svara 4, på b-uppgiften. Det är dock fel eftersom 4, avrundas till 4,8. Vilket tal mindre än 4, man än väljer, t.ex. 4,499, finns alltid ett lite större tal att välja som fortfarande är mindre än 4,, t.ex. 4,4999. Man kan ange svaret som 4,4999, där prickarna anger att antal 9:or fortsätter i oändlighet m m 4 00 m och m m 9,4, 98 0,4, 0, kr 4 kr 8 kr 0 1 8, 8,09 8, Till exempel,8 och,9 cm cm 8 cm 40 cm 4 4, Vi kan inte skriva det största talet för det är ett tal med oändligt många decimaler. 4, Talet 4, avrundas till 4,8. 1 tal 1 tal

10 Överslagsräkning Överslagsräkning, tillsammans med huvudräkning, är vardagskunskaper som man ofta har nytta av. I exemplet i läroboken möter eleven några av de ord man vanligtvis använder för att markera att ett överslag bör göras. Det är bra att regelbundet träna överslagsräkning. Tillfällen erbjuds ofta, t.ex. då man snabbt vill få en uppskattning av storleksordningen av en beräkning. Lärandemål Här ska eleverna lära sig: innebörden av begreppet överslagsräkning metoder för överslagsräkning att bedöma ett svars rimlighet Överslagsräkning Ofta har man stor nytta av att snabbt kunna göra en överslagsräkning. När man gör en överslagsräkning avrundar man först talen så att man sedan lätt kan använda huvudräkning. Lisen köper tre tröjor. De kostar 9 kr, kr och 19 kr. Ungefär hur mycket kostar tröjorna tillsammans? 9 kr + kr + 19 kr 00 kr + 0 kr + 00 kr = 00 kr Svar: Tröjorna kostar ungefär 00 kr tillsammans. Klassen köper skoltröjor. En tröja kostar 8 kr. De är 1 elever i klassen. Ungefär hur mycket kostar tröjorna för hela klassen? = kr Svar: Totalkostnaden blir ungefär kr. Man kan också säga äkna på ett ungefär, ör ett överslag eller äkna i runda tal. 9 kr kr 19 kr äkna med överslagsräkning. örja med att skriva av uppgiften eräkningarna här nedanför är inte rätt utförda. Skriv av uträkningarna och sätt ut decimaltecken på rätt ställe eller lägg till en eller flera nollor i svaret = = 1 0 4, = 1 4, = = = = 0,4 = 0 eräkna med överslagsräkning. Avrunda först så att du kan räkna med huvudräkning ,9, 9 e) = 1 00, så 40 måste vara större. e) e) Slut Använd någon eller några av frågeställningarna som diskussionsunderlag. Markera en punkt på en tallinje: Vilket tal skulle det här kunna vara? Hur många gem ligger det i burken? Vilken strategi kan vara bra att använda för att göra en rimlig uppskattning? e eleverna att leta i tidningar efter exempel på tal som verkar vara uppskattningar. Diskutera: Hur vet du att det inte är exakta värden? Hur kan uppskattningarna vara gjorda? å vidare Tänk på Det är viktigt att påpeka att en överslagsräkning görs med huvudräkning. Det gäller att först avrunda de värden man ska använda för beräkningen så att man sedan kan utföra den i huvudet utan hjälp av skriftliga metoder eller miniräknare. Därmed kan flera olika svar vara rätt så länge de ligger inom rimliga gränser. Ibland är det mycket viktigt att man mäter noggrant och ibland har det ingen större betydelse. Det beror på situationen. Diskutera gärna detta med hela klassen, t.ex. genom att göra startuppgiften här nedanför. Start Denna start kan användas för att diskutera när det är bra med överslagsräkning och när man är beroende av mer nogranna värden. Diskutera vilka effekter mätfelen har i följande situationer: A Du har handlat tyg och ber om 1, meter. 1. Expediten mäter fel och du får 1,1 meter tyg.. Expediten mäter fel och du får i stället 1, meter tyg. Din klocka visar minuter fel. 1. Du ska hinna med bussen kl Du ska träffa dina kompisar vid 1-tiden. C Du bakar en kladdkaka. 1. Du häller i en matsked salt i stället för en tesked salt.. Du häller i 00 g smält smör i stället för 1 g smält smör D e ett exempel när det har stor betydelse om man mäter eller avrundar och ett exempel när det har liten betydelse. Maja köper en tröja och ett par jeans. Ungefär hur mycket ska hon betala? Elias köper ett par skor, en jacka och ett par jeans. Ungefär hur mycket ska han betala? Fia köper en tröja, ett par jeans och ett par skor. Hon har två 00-lappar. äcker pengarna? Motivera. Fias fotbollslag ska köpa ny utrustning. Ungefär hur mycket ska de betala för 18 shorts 9 strumpor 1 tröjor fotbollar 18 kr 9 kr kr 189 kr kr Kan med fördel användas som en diskussionsuppgift i helklass. Låt eleverna ge förslag på lämpliga avrundningar. Variera uppgiften genom att välja andra antal av utrustningen. 8 9 Uppgifterna tränar eleverna på att göra överslag för att kunna beräkna uppgifterna med huvudräkning. Det är viktigt att man håller reda på storleksordningen av talen man arbetar med. Ett mycket vanligt fel är att man placerar decimaltecknet fel, dvs. att siffrorna blir rätt men platsvärdet fel Dessa uppgifter kan ge utrymme till diskussioner om olika sätt att avrunda och inom vilka gränser som ett korrekt svar bör ligga. Diskutera gärna vilken avrundning man bör välja och vilken avrundning som ger ett resultat som ligger närmast det exakta svaret. 11, 11 Uppgifterna ger möjligheter till rika diskussioner inom gruppen. Dela gärna upp klassen i mindre grupper och låt dem bli eniga om ett svar. 498 kr kr 89 kr 11 Under en löpartävling behövdes det 48 muggar till vätskekontroller. Ungefär hur många muggar behövdes det till varje vätskekontroll? Löparna drack cirka 4 dl sportdryck var. Ungefär hur många liter sportdryck behövdes om det var 48 löpare? 114 Filip ska beställa pennor till skolan. Pennorna ligger i askar med 1 pennor i varje ask. Varje elev behöver cirka 8 pennor och det går 8 elever på skolan. Ungefär hur många askar ska han beställa? 11 ikards fotbollslag ska åka på match. Det är 1 spelare som är tretton år och de ska åka bil. ikard delar 1 med 4 och kommer fram till att de behöver bilar. Hur kan ikard ha resonerat? Skulle du ha tänkt på ett annat sätt? 11 Fotbollslaget har fått 000 kr att köpa utrustning för. e förslag på vad de kan köpa. Välj bland det som finns på bilden som hör till uppgift. 4 1 tal 1 tal 189 kr kr 00 kr + 00 kr = = 00 kr kr + kr kr 00 kr kr + 00 kr = = kr 189 kr kr + + kr 00 kr kr + 00 kr = = kr Pengarna räcker, alla priserna är avrundade uppåt. 18 kr 0 0 kr = 000 kr 9 89 kr 0 90 kr = = 00 kr 1 9 kr 1 00 kr = 00 kr 18 kr 0 00 kr = 000 kr = : 1: = = = = , 9,0 00,0, e) e) e) Ca 00 muggar 000 dl = 00 liter 114 Det behövs cirka pennor. Då behöver man köpa cirka 400 askar. lå kurs Mer om grundläggande uppgifter och genomgångar på överslagsräkning finns på sidan 40. öd kurs Mer om huvudräkning och överslagsräkning finns på sidorna 4 4. epetition epetition finns på sidan 8. 1: Överslagsräkning 1: Vilket närmevärde är störst Aktivitet 1: Överslag Läs mer Peder Claesson ( ): Hur tänker du när du gör ett överslag? Uppslaget, Nämnaren, arbara eys, obert eys och öran Emanuelsson (199): Uppskattning av överslag. Nämnaren 1, 199. Jan-Eije Hammaräng (1988): Matte är att kunna slå över. Nämnaren, ikard räknar troligtvis med att det får plats 4 spelare + en vuxen som kör per bil och gör därför beräkningen 1 4 =,. Han följde avrundningsreglerna och avrundade, till. Här skulle han ha avrundat uppåt till bilar. Men det finns bilar som kan ta personer. Om fotbollslaget har tillgång till en sådan bil så räcker det med bilar. 11 De kan till exempel köpa 0 bollar eller 0 tröjor, 0 shorts och 0 par strumpor. 4 1 tal 1 tal