Laboration 1 Svartkroppsstrålning Wiens lag

Transkript

1 Ivar Gustavsson/ Jan Södrstn Matmatiska vtnskapr Götborg 8 novmbr 009 Linjär Algbra och Numrisk Analys TMA 671, 010 Laboration 1 Svartkroppsstrålning Wins lag Strålningsflödt vid svartkroppsstrålning till xmpl från n hålrumsstrålar gs av Plancks strålningslag. För dn monokromatiska mittansn för våglängd λ vid tmpratur T gällr: hc m( λ,t) = π λ 5 hc/kλt ( 1) 34 där h = Js är Plancks konstant, 3 1 JK k = är Boltzmanns konstant. 1 c = ms är ljushastightn i tomrum och Du kan studra mittansn m( λ,t) gnom att rita ut dn som funktion av λ för fixt T. Till Din hjälp har kursldningn skapat tt grafiskt användargränssnitt md mnyknappar, som Du kan xkvra md kommandot winxc i MATLAB. Filn winxc.m och tillhörand hjälpfilr, win.m, win.fig samt planck.m hämtar Du från kurshmsidan. Kommandot hlp winxc gr Dig användarinstruktionr. Vid studit av funktionn framgår att huvuddln av strålningn förskjuts mot allt kortar våglängdr då tmpraturn ökar, s figur 1. Enligt Wins förskjutningslag gällr där λ T = max konstant λ max är dn våglängd för vilkn strålningn är maximal. Uppgiftr: a) Bstäm λ max md fminbnd i MATLAB då T = 3000, 4000, S till att maxpunktn bräknas md tillräcklig noggrannht gnom att styra md optimst, optimst( 'TolX', 1-10 ) går bra. Ta rda på hur T kan angs som paramtr till fminbnd. Vrkar lagn stämma? Vad blir värdt på Wins konstant? TMA 671, Laborationr,010 sid. 1

2 b) Ett altrnativt sätt att bstämma Wins konstant, som ävn bvisar lagn, är följand: Md 5 hc 5 x 1 π(kt) variabltransformationn x =, för fixt T, får vi m = Nx ( 1), där N = är konstant. k λ 4 3 T hc Gnom att drivra m(x) och sätta drivatan till noll får vi kvationn: x (5 x) 5 = 0 * vars lösning gr x. Gnom åtrtransformation bstäms därftr Wins konstant. Rita upp x * funktionn (5 x) 5 i MATLAB för att grovt lokalisra x. Gör sdan tt par Nwton-itrationr för * att bstämma x noggrant. Kontrollra konstantns värd md uppgift a. c) Totala strålningsflödt (mittansn) M (T) blir intgraln av m ( λ,t) övr alla våglängdr: M(T) = m( λ,t)dλ s π Gnom variabltransformation (samma som i uppgift b) till dn kända intgraln: ds = s kan man visa att M (T) = σt, där σ = är Stfan-Boltzmanns konstant. Om vi vill bstämma totala nrgin M s (T) övr synligt ljus 0.4 λ 0. 7 (μ m) kan vi int räkna ut intgraln analytiskt md för oss kända mtodr. Använd quadl i MATLAB för att bstämma s M(T) = m( λ,t)dλ Rita upp kvotn mllan nrgin i synligt spktrum och totala nrgin dvs. M s (T) M (T) för olika T- värdn. Intgraln M(T) s bräknas alltså för många olika T-värdn mllan säg 100 och och intgralvärdna sparas lämplign i n vktor för snar utritning, s figur. d) En altrnativ tknik att bstämma M s (T) i uppgift c) är att skriva om intgraln som tt od-problm. Gör dt och använd od45 för att lösa od-problmt; jämför md lösningn i c. 4.5 x 1013 Emmitans vid svartkroppsstrålning nligt Plancks lag T= T=4000 Figur T= x TMA 671, Laborationr,010 sid.

3 0.4 Kvotn mllan nrgin för synligt ljus och totala nrgin Figur Laborationn rdovisas vid arbtsstationn, md hla gruppn närvarand snast 18/5. Vid rdovisningn skall Du kunna: vrifira Wins konstant gnom att xkvra tt program visa upp MATLAB-programmt för Nwtons mtod, köra dt och få tt korrkt värd på Wins konstant prsntra n figur lik figur gnom körning av program bskriva omskrivningn från intgral till diffrntialkvation. För Er, som vill göra laborationn hmma och har MATLAB för PC, kan möjlightr att rdovisa laborationn på PC ordnas, mn n förutsättning är då att all programvara som bhövs för rdovisningn mdtas på portablt minn. Ni kan också ta md n Laptop till handldningn. Namn: Rsultat Sign TMA 671, Laborationr,010 sid. 3

4 Ivar Gustavsson/ Jan Södrstn Matmatiska vtnskapr Götborg 8 novmbr 009 Linjär Algbra och Numrisk Analys TMA 671, 010 Laboration Optimring md tillämpning inom försöksplanring. Problm: Att placra n punktr på ytan av n sfär i m R så långt ifrån varandra som möjligt. Uppgiftr: a) Lös problmt gnom tt MATLAB-program som anropar funktionn fmincon. Anm. : För stora n och m kan dt krävas många funktionsbräkningar och itrationr i mtodn, öka på maxantalt md optimst. För att få rätt mtod ska Du dssutom sätta ' Largscal ', ' off ' i optimst. Läs i Hlp om: b) Tsta spcillt fallt n = 6, m = 3 och rita ut punktrna. fmincon optimst fmincon/options: Options Structur c) Låt X vara n matris som har d rhållna punktrnas koordinatr som radr. X blir n bra dsignmatris vid försöksplanring därför att dn har nästan ortogonala kolonnr och d ingånd paramtrarna i aktullt T försök kan då uppskattas obrond av varandra. A = X X blir alltså i hög grad diagonaldominant. (S Hath för dfinition.). Ett mått på gradn av rlativ diagonaldominans är α= min( a jj a ij ) / a jj. α> 0 innbär diagonaldominans och ju störr α ju högr grad av diagonaldominans. α= 1 är största möjliga värd. Bstäm α för fallt i b)-uppgiftn. d) Vi vill förklara att maximal spridning på n sfär gr dnna gnskap hos matrisn. Btrakta b)-fallt ign. Om Du transformrar punktrna så att t.x. första punktn hamnar på x 1 -axln dvs. md koordinatrna (1,0,0) md t.x. n Housholdrtransformation och sdan rotrar punktrna md n lämplig vinkl kring x1 -axln, så hamnar alla d fm andra punktrna också på koordinataxlarna, och man insr lätt att A får önskad gnskap. Ellr hur? Kontrollra att alla punktr hamnar på axlarna. j i j TMA 671, Laborationr,010 sid. 4

5 Laborationn rdovisas vid arbtsstationn, md hla gruppn närvarand snast 18/5. Vid rdovisningn skall Du kunna: prsntra MATLAB-programmt nl. a)-uppgiftn. prsntra problmts lösning och grafik för fallt i b)-uppgiftn rdovisa α för fallt i b)-uppgiftn. rdovisa transformationrna i d)-uppgiftn och punktrnas placring. förklara att A får önskad gnskap i d)-uppgiftn. För Er, som vill göra laborationn hmma och har MATLAB för PC, kan möjlightr att rdovisa laborationn på PC ordnas, mn n förutsättning är då att all programvara som bhövs för rdovisningn mdtas på portablt minn. Ni kan också ta md n Laptop till handldningn. Namn: Rsultat Sign TMA 671, Laborationr,010 sid. 5

6 Ivar Gustavsson/ Jan Södrstn Matmatiska vtnskapr Götborg 8 novmbr 009 Linjär Algbra och Numrisk Analys TMA 671, 010 Laboration 3 Numrisk lösning av diffrntialkvation från lktromagntisk fälttori. En lktron md massa m och laddning Q rör sig i tt lktriskt och magntiskt kraftfält md fältstyrkorna E(x, y, z) rsp. B(x, y, z). Om lktronns position bskrivs md Cartsiska koordinatr r (t) = (x(t),y(t),z(t)) och hastightsvktor d r (t) (u(t),v(t),w(t)) dt = v = så gällr: dv m Q( ( ) ( ) ) dt = Er Br v Skriv dssa kvationr som tt första ordningns systm, dvs. skriv ut kvationrna för alla sx komponntrna x, y, z, u, v, w. står för kryssproduktn. Dnna typ av kvationr studras i EL-FÄLT KURSEN. Låt nu fältn vara homogna E = (,0,0) och B = (0,0,b) för ( x, y) i cirkln x + y R och noll utanför. Om lktronns z - hastight utanför fältt är noll, så förblir dn noll i fältt och dss bana kan bskrivas md bara x och y. Skriv upp rörlskvationrna som tt första ordningns systm md fyra komponntr ( x, y, u, v). Gnom lämpliga längd- och tidsskalor kan vi låta Q / m = Q b / m = R = 1. Problm: 1. Att ta rda på var n lktron som kommr in vid ( 1, 0 ) md hastight (,0) lämnar fältt.. Bstämma ingångshastight u(0) vid ( 1, 0 ) så att lktronn lämnar fältt i punktn ( 0,1 ) TMA 671, Laborationr,010 sid. 6

7 Uppgiftr a) Lös problm 1 md MATLAB-kommandot od45 och rita n graf övr lktronns bana tillsammans md cirkln. Rita lktronns bana tt tag ftr dt att dn lämnat cirkln och tag hänsyn till att fältt ndast xistrar inom cirklskivan. b) Lös problm 1 md mtodrna: Eulr framåt Eulr bakåt Traptsmtodn. Välj stglängd h = 0.1. Rita ut d approximativa lösningarna. Här får Du alltså skriva kortar MATLAB-filr själv. c) Vilkn av d tr mtodrna är noggrannast? Här kan Du använda od45 som "facit". d) Undrsök tortiskt om mtodrna är stabila för aktullt problm, s avsnittn 9.3. och i Hath s lärobok. Hur yttrar sig vntull instabilitt i praktikn? ) Lös problm md MATLAB-kommandot od45 och fsolv. Dt är lämpligt att använda Evnts i odst. Rita ut lktronns bana. Exmpl på användning av Evnts i odst Ett xmpl där vi avslutar bräkningarna när första komponntn i vår lösning md två komponntr bytr tckn från + till - : options = odst( ) [t, y] = intrvall, start, options, xtraparamtrar ); function [ val, stopp, riktning ] = koll( t, y ) Koll.m val = y ; % Kolla tcknväxlingar i y stopp = [ 1 ; 0 ] ; % Stanna bara när första komponntn =0 riktning = [ -1 ; 0 ] ; % Stanna bara när första komponntn avtar TMA 671, Laborationr,010 sid. 7

8 Du kan läsa om Evnts i Hlp: Indx / odst: Evnt Location Proprty Laborationn rdovisas vid arbtsstationn, md hla gruppn närvarand snast 18/5. Vid rdovisningn skall Du kunna: prsntra dt ODE-systm som rörlskvationrna gr, köra program md od45 som ritar lktronns bana inom och utom cirkln för problm 1, prsntra MATLAB-program för Eulrs mtodr och traptsmtodn, köra programmn och rita ut approximativa lktronbanor samt diskutra noggrannht, prsntra tortisk undrsökning om stabilitt hos mtodrna utgånd från gnvärdn, som bräknas md MATLAB, köra program md fsolv och od45 som lösr problm och ritar ut lktronns bana. För Er, som vill göra laborationn hmma och har MATLAB för PC, kan möjlightr att rdovisa laborationn på PC ordnas, mn n förutsättning är då att all programvara som bhövs för rdovisningn mdtas på portablt minn. Ni kan också ta md n Laptop till handldningn. Namn: Rsultat Sign TMA 671, Laborationr,010 sid. 8