Reglerteknik 2. Kapitel 5, 6. Köp bok och övningshäfte på kårbokhandeln. William Sandqvist

Transkript

1 Reglereknik Kapiel 5, 6 Köp bok och övninghäfe på kårbokhandeln William Sandqvi william@kh.e

2 Lekion kap 5, 6 Differenialekvaioner Laplace-ranformer Dynamik ho vanliga proceer William Sandqvi william@kh.e

3 Segvar Enheege är den vanligae eignalen. William Sandqvi

4 Kommer Du ihåg Föra ordningen differenialekvaioner Segvar för u inignal, y uignal: differenialekvaion enheeg begynnelevärde dy ay bu u > 0 y0 0 d y yt ys Vi öker umman av en ranien och en aionär löning d yt : y ay 0 yt C e d Konrollera genom inäning: a Tranien löning d C e a C e a C e a C e d a a a a 0 William Sandqvi william@kh.e

5 dy d Föra ordningen differenialekvaioner a ay b y C e y Inäning: a y b y 0 S S ä in begynnelevärde b a S Toal löning y T y S y S är en konan Saionär löning a b b b y C e { y0 0 } 0 C C a a a b a y e a William Sandqvi william@kh.e

6 William Sandqvi

7 Ex. Föra ordn. Differenialekvaion Segvar för u inignal, y uignal: y& 5 y 8u Begynnelevärde y0 0. Enheeg u för > 0. y& 5y 8 y y y y : y& 5y 0 y C e y T S : 5 8 ys y C e { y0 0 } C T T S y e William Sandqvi william@kh.e Tranien löning Saionär löning

8 Föra ordningen differenialekvaioner nabbformler differenialekvaion enheeg begynnelevärde dy ay bu u > 0 y0 0 d Du kan redan nabbformlerna: x x x x0 e T T ln "hela" "reen" William Sandqvi william@kh.e

9 Kommer Du ihåg Andra ordningen differenialekvaioner d y dy a a y bu u > 0 y& 0 0 y0 0 d d Tranien löning karakeriik ekvaion && y a y& a y 0 { KE } k a k a 0 Röerna k och k reella och olika William Sandqvi william@kh.e k k yt A e B e k Röerna k och k reella och lika k y A e A B 3 Röerna k och k komplexkonjugerade a k a jd k a jd yt e A co d B in d b Saionär löning y S a T

10 William Sandqvi

11 Ex. Andra ordn. Differenialekvaioner && y 5y& 6 y b u y0 0 y& 0 0 u > 0 Tranien löning && y y& y KE k k { } k k ± 6 ± 4 k 3 p, q-formeln y A e B e T 3 Saionär löning y S 6 William Sandqvi william@kh.e

12 Ex. Andra ordn. Differenialekvaioner Toal löning y T y S y A e B e 6 3 Inäning av begynnelevärden: y0 A B 0 6 y& A e 3B e 3 y& 0 a 3B 0 A B 3 y e e De blev e egvar med vå idkonaner. William Sandqvi william@kh.e

13 Ex. Andra ordn. Differenialekvaioner y e e De blev e egvar med vå idkonaner. 6 William Sandqvi william@kh.e

14 William Sandqvi

15 F Laplaceranformen L[ f ] f e d f, > 0 0 Ex. Segfunkion Heaviide ep funcion 0 < 0 σ 0 e F e d William Sandqvi william@kh.e

16 F Laplaceranformer L[ f ] f e d f, > 0 0 Ex. Fördröjd egfunkion σ 0 < T T T T e e F e d 0 e 0, T T T Delay T William Sandqvi william@kh.e

17 Laplaceranformer William Sandqvi 0 ] [ d e f f L F 0, > f Ex. Rampfunkion < ρ e d e e d e F g f g f g d f Pariell inegrering:

18 F Laplaceranformer L[ f ] f e d f, > 0 0 Ex. Rekangelpul T F 0 e d e T 0 e e T William Sandqvi william@kh.e

19 Laplaceranformer William Sandqvi 0 ] [ d e f f L F 0, > f Ex. Exponenialfunkion a a e d e d e e F a a a a > 0 a e a

20 Superpoiionregeln L [ a f b f ] a F b F De var ju enkel och bra William Sandqvi william@kh.e

21 Fördröjningaen L[ f T T ] F e T T e Fördröjningaen. En idfördröjd ignal får exponeniell dämpad Laplaceranform. Dämpningaen. En exponeniell dämpad ignal får en förkjuen Laplaceranform. a L[ f e ] F a William Sandqvi william@kh.e

22 Derivaa/inegral L[ f ] F f 0 L f d 0 F Deriveringaen och inegreringaen är grunden för Laplaceranformen användbarhe vid löande av differenialekvaioner. William Sandqvi william@kh.e

23 Ex. Derivaa/inegral L Rampen är e idinegrera Språng Inegrering / L d William Sandqvi william@kh.e

24 Ex. Derivaa/inegral L Impulen är e idderivera Språng Derivering L d d Teignalerna Språng, Ramp och Impul är beläkade med varandra och kan därför ge amma informaion om e yem. William Sandqvi william@kh.e

25 Begynnele och luvärde lim 0 lim f f lim lim 0 F F luvärde Vad om händer efer lång id avgör av laplaceranformen lågfrekvenegenkaper. William Sandqvi william@kh.e

26 Ex. Laplaceranformabell William Sandqvi

27 Laplaceranformeringmeoden Tiddomänen Frekvendomänen linjär differenial ekvaion Laplace ranformerad ekvaion Laplace ranform algebra Genväg id domän löning Laplace löning invere Laplace ranform William Sandqvi

28 William Sandqvi

29 Dynamik ho procemodeller Proce med en idkonan Proce med vå idkonaner Proce med re idkonaner Andra ordningen yem med komplexa röer Proceer med både poler och 0-ällen - enare William Sandqvi william@kh.e

30 Segvar Impulvar Dynamik ho procemodeller Proce med en idkonan U G K T Y Y G U Y G U K T K T Ex. Malab-kommandon 0 G 5 Gf[0],[5,] ploepg ploimpuleg ploepg Tidfunkionerna få algebraik med Laplaceabell eller numerik med Malab ploimpuleg William Sandqvi william@kh.e

31 Dynamik ho procemodeller Ex. 0 G 5 3 Proce med vå idkonaner G A B Malab-kommandon U K T T Y U K T T Y Af[0],[5,]; Bf,[3,]; GerieA,B;» Af0,[5,] Tranfer funcion: » Bf,[3,] Tranfer funcion: » GerieA,B Tranfer funcion: ^ 8 ploepg ploimpuleg William Sandqvi william@kh.e

32 Dynamik ho procemodeller 0. Proce med komplexa röer ordningal vå Om en överföringfunkion äljare har komplexa röer å får egvare övervängar. Överföringfunkionen brukar då ange med paramerar ω0 och ζ. Kω ω G 0 Reonanfrekven odämpad ζ Dämpfakor w0; Z0.; [num,den]ordw0,z; Gfnum,den ploepg; G Ex. 0 ζ ω0 ω0 ploepg William Sandqvi william@kh.e

33 Dynamik ho procemodeller 0. Proce med komplexa röer ordningal vå G Ex. ω 0 ζ Reonanfrekven odämpad Dämpfakor Dämpfakor 0 G Kω0 ζω ω 0 0 William Sandqvi william@kh.e

34 William Sandqvi

35 6.3 Proceparamerar Bekriv proceen egvar. Relaiva dämpningen ζ. Odämpad egen-vängning ω 0. Överväng M p, id för överväng p. Give: G 0,96? Formelamling :a ordningen yem med komplexa röer: G Kω0 ζω 0 ω 0 M P exp ζπ ζ P π ω 0 ζ William Sandqvi william@kh.e

36 6.3 löning Proceparamerar Proceen egvar. Relaiva dämpningen ζ. Odämpad egenvängning ω 0. Överväng M p, id för överväng p. Give: G 0,96? Paramerar för andra ordningen yem: G 0,96 ω0 ω0 K Kω0 ζω 0 ω ζω 0 0,96 0 0,96 ζ 0,34 William Sandqvi william@kh.e

37 6.3 löning Proceparamerar Formelamling :a ordningen yem med komplexa röer: G Kω0 ζω 0 ω 0 M P exp ζπ ζ P π ω 0 ζ M P exp ζπ exp ζ 0,34 π 0,34 0,3 3% P ω 0 π ζ π 0,34,4 William Sandqvi william@kh.e

38 6.3 Proce egvar MATLAB T0:0.:0; wnqr; Z0.34; [num,den]ordwn,z; Gfnum,den plot,epg,t; P,4 M P 3% 00% William Sandqvi william@kh.e

39 William Sandqvi

40 6.5 Från diffekv. ill överföringfunkion a y '5y x b y" 3y 4x c y " 5y' 6y x d y " 3y' y 3x' x e && y 3 y& y x& 3x 0 f 4 && y 3y& x& 8& x 0 g & y y& 3 y x& x X y Y William Sandqvi william@kh.e

41 6.5 a,b löning, överföringfunkion William Sandqvi a x y y '5 [ ] [ ] ' X Y X Y Y x L y y L b x y y 4 3 " [ ] [ ] " X Y X Y Y x L y y L

42 6.5 c,d löning, överföringfunkion William Sandqvi [ ] [ ] ' 5 " X Y X Y Y Y x L y y y L c x y y y 6 ' 5 " d x x y y y ' 3 ' 3 " [ ] [ ] 3 3 ' ' 3 " X Y x x L y y y L

43 William Sandqvi

44 6.6 överföringfunkion & PID-regulaor a y x 5 xd x b y 5x 3 xd PI-regulaor y x c 5 y y x d ' 0 Dödidproce Dödidproce William Sandqvi william@kh.e

45 6.6 a löning, överföringfunkion & PID-regulaor a y x 5 xd x L [ ] [ ] y L x 5 xd x& Y X 5 X X Y X 5 William Sandqvi william@kh.e

46 6.6 c löning, överföringfunkion William Sandqvi william@kh.e [ ] [ ] e X Y X e Y x L y L c 5 x y Dödidproce

47 William Sandqvi

48 6.7 från överföringfunkion ill diffekv. William Sandqvi a 4 3 U Y G b 5 3 e U Y G c U Y G 4 3 d 3 4 U Y G

49 6.7 a lön. G ill diffekv. William Sandqvi william@kh.e a 4 3 U Y G u u y y y U U Y Y Y & & &&

50 William Sandqvi

51 Laplaceranformabell L[ f ] L [ F ] William Sandqvi william@kh.e

52 6.8 egvar från överföringfunkion a b c d G 6 3 G 9 G 3 G e f G 4 G 4 William Sandqvi william@kh.e

53 a 6.8 a löning egvar G 6 L[ uniep] F f > 0 y co William Sandqvi william@kh.e

54 a 6.8 a löning MATLAB G 6 Gf[],[,0,6]; ploepg; William Sandqvi william@kh.e

55 c G 6.8 c löning egvar [ ] L uniep y e William Sandqvi william@kh.e F f > 0,5 0,5 0,5 e 0

56 6.8 c löning MATLAB c G Gf[],[,]; ploepg; William Sandqvi william@kh.e

57 6.8 e löning egvar William Sandqvi william@kh.e e 0 > f F [ ] L uniep G?? Finn ej med i abellen då måe man parialbråkuppdela

58 6.8 e löning egvar William Sandqvi william@kh.e c b a De kan ha å å här innan man gjorde all liknämnig! anä äljaren gradal e gradal lägre än nämnaren b b a c a c b a c b a 0 0 c b a b b a c a

59 6.8 e löning egvar William Sandqvi william@kh.e 0 0 c b a b b a c a e y

60 6.8 e löning MATLAB e G Gf[],[,, 0]; ploepg; y e William Sandqvi william@kh.e

61 William Sandqvi

62 6. Parialbråkuppdelning William Sandqvi a G b 4 G c G d G e 3 3 G f G

63 6. a lön. meod Handpåläggning William Sandqvi william@kh.e a G G

64 6. a lön. meod Handpåläggning William Sandqvi william@kh.e a G G

65 6. a lön. meod Handpåläggning William Sandqvi william@kh.e a G G

66 William Sandqvi

67 6.9 Impulvar från överföringfunkion a b c d G 5 6 G 4 3 G G 5 William Sandqvi william@kh.e

68 6.9 a löning impulvar William Sandqvi william@kh.e a 6 5 G [ ] L impule 0 > f F p, q-formeln ± 3 3 e e y G

69 a 6.9 a löning MATLAB G 5 6 Gf[],[, 5, 6]; ploimpuleg; y e e 3 William Sandqvi william@kh.e

70 William Sandqvi

71 6.0 egvar från empenor x Temperaur C 0, G 0 y Spänning V Ria egvare? William Sandqvi william@kh.e

72 6.0 löning, egvar 0, G 0 [ ] L uniep F f > 0 0 0, 0 y 0, e William Sandqvi william@kh.e

73 G 6.0 löning, MATLAB 0, 0 T 0::50; % 0 50 ek Gf[0.],[0, ]; plot,epg,t; Vi har kicka med en idvekor T, nu ämmer idkalan. 0 y 0, e William Sandqvi william@kh.e

74 William Sandqvi

75 G M [Nm] U [V] 6.4 Roboarm 3 T f G Θ[ rad ] M Nm [ ] U moorpänning J b Elmoor vridmomen M G G Roboarm William Sandqvi william@kh.e Θ vridningvinkel Eferfråga: vinkelhaighe? Vad blir roboarmen luhaighe i oren varv/minu [rpm] om e pänningprång U 6 [V] lägg på moorn? Använd luvärdeaen. Roboarmen röghemomen J 0,45 [kgm ]. Lufmoånde b,3 [Nm/rad]. Moorn idkonan T f 0,7 []. d d Θ

76 6.4 Roboarm löning idderivaa lim f lim 0 d Θ& [rad/ek] G U [V] GG d Θ Θ 6 U 6 3 Θ & U G G G T J b Sök vinkelhaighe f lim lim lim 0 0 f F 8 8 Θ & Θ & T b J b 8 b 8,3 [rad/] 8,3 luvärdeaen egändring 60 [rpm] 30[rpm] π William Sandqvi william@kh.e

77 6.4 roboarm - MATLAB D 3 G G ^.3 T0.7; b.3; J0.45; Df[, 0],[0, ] Gf[3],[T, ] Gf[],[J, b, 0] GerieD, G GerieG,G Spänningprång 6V och omvandling mellan rad/ ill varv/ plo 6*60/*pi *epg ; William Sandqvi william@kh.e

78 6.4 roboarm - MATLAB G Θ& [rad/ek] U [V] G G MATLAB erie beräknar den oala överföringfunkionen. 3 G ^3.36 ^.3 William Sandqvi william@kh.e

79 6.4 roboarm - MATLAB Spänningprång 6V 30 varv/minu Ine id direk, uan amplen nummer plo 6*60/*pi *epg ; William Sandqvi william@kh.e

80 William Sandqvi

81 6. egvar från roboarm u Spänning [V] && y y& u y Vridvinkel [rad] Ria egvare? William Sandqvi william@kh.e

82 Överföringfunkion: Segvar: 6. löning, egvar && y y& u L & Y Y [ ] L uniep U Y U [ && y y] L[ u]? Finn ine i ranformabellen! William Sandqvi william@kh.e

83 6. löning, egvar William Sandqvi b b a c a c b a c b a Parialbråkuppdela: c b a b b a c a 4

84 6. löning, egvar William Sandqvi 0,5 4 0 > f F e y 0,5

85 6. löning, MATLAB G T 0::50; % 0 50 ek Gf[],[,, 0]; plot,epg,t; rad y e 0,5 William Sandqvi william@kh.e

86 6. MATLAB föroring G T 0:0.:5; Gf[],[,, 0]; plot,epg,t; De roboarmen miar i aren ar den aldrig igen de kan vi kanke förbära enare i kuren! med e regleryem. William Sandqvi william@kh.e

87 William Sandqvi

88 6.4 Diffekv. poler/0-ällen a y" 9y' 4y 3u b &&& y 6 && y y& 4y u& 4u c y " 4y' 3y u' u Överföringfunkioner Poler och 0-ällen 3 Saik förärkning 4 Tidkonaner William Sandqvi william@kh.e

89 6.4 a lön. Diffekv. poler/0-ällen a y" 9y' 4y 3u y" 9y' 4y G 3u 3 9 G 4 3 Y 9Y 4Y 3U 9 9 Poler: ± Gain G 0 0, τ 0,5 τ 0, William Sandqvi william@kh.e

90 6.4 a lön. poler/0-ällen MATLAB G Gf[3],[,9,4]; pzmapg; 7 William Sandqvi william@kh.e

91 William Sandqvi