Taylorregeln och prediktabiliteten av reporäntan

Transkript

1 Kandidatuppsats Statistiska institutionen Bachelor thesis Department of Statistics Taylorregeln och prediktabiliteten av reporäntan The Taylor rule and its predictability of the repo rate Självständigt arbete 15 högskolepoäng inom Statistik III, vt 2013 Handledare: Pär Stockhammar Författare: Mathias Concha Modin & Venous Jafarzadeh

2

3 Sammanfattning Denna uppsats undersöker huruvida den s.k. Taylorregeln går att använda för att predicera den svenska reporäntan. Detta görs genom att anpassa regeln till en vektor autoregressiv modell som sedan jämförs med Riksbankens egen prognos, samt prognoser från univariata AR-modeller. Prognoserna korsvalideras genom att korta ner urvalet och jämföra predicerade värden med faktiska realiseringar. Resultatet visar på att Taylorregelns prognosförmåga varierar beroende val av tidsperiod och val av antal tidsförskjutningar. Vi finner att laggade värden på reporänta får stor vikt relativt resterande variabler vilket kan kopplas till Riksbankens ränteutjämning. Slutsatsen dras att Taylorregeln är en felspecificerad beskrivning av den penningpolitik som Riksbanken bedriver, varpå bättre prediktioner troligtvis kan erhållas. Nyckelord: Taylorregeln, parameter estimering, multivariat tidsserieanalys, vektor autoregression, Riksbanken, reaktionsfunktioner, reporänta, prognostisering.

4 Innehållsförteckning 1 Inledning Tidigare arbeten Metod Avgränsningar Disposition Riksbanken Prisstabilitet Penningpolitiska riktlinjer Data Metod Taylorregeln Skattning av parametrar m.h.a. OLS Produktionsgapet Vektor autoregressiva (VAR)-modeller AR och VAR processer Estimering av parametrar i VAR Optimalt antal tidsförskjutningar Prediktionsprocessen Stationäritet Dickey-Fullers test för enhetsrot Resultat Estimering av produktionsgap Taylorregeln Estimering av parametrar Stationäritet AR VAR Utvärdering av prediktioner Prediktioner för perioden 2012: K1-2012: K Prediktioner för perioden 2008: K1-2008: K Framtidsutsikter Sammanfattning av VAR Diskussion och slutord Litteraturförteckning Appendix A: Residualanalys Appendix B: Dickey-Fuller test - utskrifter... 43

5 1 Inledning Beslut som fattas, oavsett om det gäller stora beslut om statsbudgeten eller vad för pålägg man ska lägga på sin smörgås, är något som måste baseras på någon typ av underlag av det förgångna och framtida händelser. Ett löjligt men kanske förtydligande praktexempel är hur somliga, baserat på att Mayakalender tog slut 21:a december, förutsåg att jorden därav skulle gå under. Att denna förutsägelse senare resulterade i masshysteri (inom vissa kretsar) var ett resultat av en felaktig prediktion baserat på en felaktig premiss; att kalenderns slut = jordens undergång. Inom vetenskapen är statistisk analys ett av de verktyg som finns tillgängligt för att förutse händelser (realiseringar av variabler). Kvantitativ information samlas in varpå mönster eller orsakssamband eventuellt identifieras vilket senare kan generaliseras till framtida perioder. Ekonomiska beslut som ska fattas är mer eller mindre beroende av prediktioner på ekonomiska nyckelvariabler. Banker, företag, privatpersoner och offentliga institutioner påverkas exempelvis av Riksbankens reporänteförändringar. Beslut gällande sparande, investeringar och låntagande är beroende av den ränta som råder men även av dessa aktörers förväntningar om framtida räntor. Att kunna förutspå förändringar av reporäntan är således av högsta vikt för dessa marknadsaktörer att kunna fortsätta vara aktiva. Problemet med att förutspå centralbanksräntor grundar sig i att förstå hur dessa räntor sätts och hur centralbankerna reagerar på olika förändringa r i ekonomin. Inom den makroekonomiska forskningen har s.k. reaktionsfunktioner förslagits som potentiella instrument för att bedriva en effektiv penningpolitik, se McCallum (1984), Taylor (1993) och Orphanides och Wieland (1999). Funktionerna är konstruerade på så sätt att de med hjälp av ett fåtal nyckelvariabler försöker härleda en passande centralbanksränta utifrån det ekonomiska läget. Även om det allmänt vedertaget att Riksbanken och andra centralbanker inte följer dessa regler exakt, har det visat sig att bland annat Federal Reserves Federal Funds Rate och Riksbankens reporänta ex post följer modifierade versioner av dessa regler med relativt god precision. Se Rudebusch (2002) och Söderlind et al (2004). Om dessa regler efterföljs innebär det således att en god grund till att göra ränteprediktioner ges av tämligen enkla matematiska funktioner. En av dessa reaktionsfunktioner är den s.k. Taylorregeln som med endast ett fåtal variabler 1 ger en riktlinje till penningpolitiska beslut. Denna uppsats syftar till att undersöka huruvida den s.k. Taylorrregeln går att använda som prediktionsverktyg för den svenska reporäntan genom huvudsakligen multivariat tidsserieanalys och en vektor autoregressiv modell (VAR). 1 Variablerna som ingår i regeln är BNP-gap, centralbanksränta och avvikelse från inflationsmål. 5

6 1.1 Tidigare arbeten Enligt Rudebusch (2002) är ränteförutsägbarheten hos Taylorregler som inkluderar tidsförskjutningar av centralbanksräntan markant bättre än hos den tidigare använda avkastningskurvan. Han menar dock på att Taylorregeln fortfarande är en felspecificerad funktion av penningpolitiken. Söderlind et al (2004) visar att en dynamisk Taylorregel inkorporerad i en större makromodell inte lyckas bidra till bättre ränteprediktioner även om variablerna som ingår i regeln i sig är relativt lätta att förutspå. De drar slutsatsen att den dynamiska regel som estimeras i arbetet missar viktiga aspekter i hur penningpolitiken bedrivs och att det historiskt sett har varit svårt att förutspå förändringar i centralbanksräntor. En gemensam faktor som observerades i ovan nämnda artiklar är Interest rate smoothing eller s.k. ränteutjämning. Begreppet syftar på att centralbankerna i fråga tenderar att minimera volatiliteten i de kortsiktiga räntorna 2. Fenomenet grundar sig i att de justeringar som görs av centralbanksräntor är små och sällan ändrar riktning. Empiriskt sett ter sig detta genom relativt höga och signifikanta koefficienter på laggade värden av styrräntan. 1.2 Metod Prediktabiliteten av reporäntan undersöks med univariat (AR) och multivariat tidsserieanalys (VAR). Till en början undersöks relevansen av Taylorregeln genom att den anpassas till svensk data. Autoregressiva modeller används för att ta fram prediktioner för olika tidsperioder som sedan korsvalideras med befintlig data. Slutligen ges en prognos för kommande tidsperioder. De statistiska mjukvarorna Eviews och Stata användes vid estimering av modeller. 1.3 Avgränsningar Uppsatsen begränsas till Sverige och att predicera Riksbankens reporänta. Vidare läggs fokus på den multivariata tidsseriemodellen VAR vid prognostisering. Valet av variabler begränsas av de variabler som ingår i Taylorregeln. Prognoser för finanskrisens början, 2012 och analyseras i mer detalj. 1.4 Disposition I sektion 1.5 och 1.6 ges in grundläggande inblick i hur Riksbanken och penningpolitik fungerar i praktiken. En kort beskrivning av det datamaterial som analysen grundas på ges i kapitel 2 följt av den metodologi som använts i uppsatsen i avsnitt 3. Vidare redovisas resultaten i avsnitt 4 där prediktioner för både univariata och multivariata tidsseriemodeller presenteras och jämförs. En kort sammanfattning av resultaten, diskussion och slutord ges i kapitel 5. 2 Exempelvis dagslåneräntan och diverse statspapper med kort löptid. 6

7 1.5 Riksbanken Den första riksbankslagen antogs i Sverige 1897 i syfte att ge Riksbanken exklusiv ensamrätt att trycka och förse ekonomin med sedlar och mynt efter upprepade krav på att privatägda banker skulle upphöra med tillförsel av sedlar. Anledningen som uppgavs var att vinsterna som tryckningen genererade skulle tillfalla allmänheten. I dagsläget är Riksbanken en myndighet under riksdagen vilket ger den ensamrätt gällande penningpolitiska beslut. Efter en lång period av fast växelkurs gentemot bl.a. den europeiska valutaenheten 3, den amerikanska dollarn och det brittiska pundet beslutade Riksbanken den 19:e november 1992 om att överge det dåvarande systemet och gå över mot en rörlig växelkurs. Detta innebar att värdet på den svenska kronan tilläts variera vilket i praktiken betyder att kronan värderas mot andra valutor på den internationella valutamarknaden. I ett pressmeddelande från 1993 presenterade Riksbanken att målet med penningpolitiken skulle syfta mot att uppnå prisstabilitet vilket definierades i termer av ett inflationsmål. I sektion diskuteras prisstabilitet i mer detalj följt av hur målet realiseras. I Riksbankens uppgifter ingår även att upprätthålla realekonomisk stabilitet, det beslutades om att Riksbanken,... utan att åsidosätta prisstabilitetsmålet, bör stödja målen för den allmänna ekonomiska politiken i syfte att uppnå hållbar tillväxt och hög sysselsättning. Det konstaterades även att makroekonomiska storheter såsom arbetslöshet och tillväxt inte bör påverkas annat än på kort sikt för att stabilisera ekonomin, en ihållande expansiv finanspolitik skulle sannolikt resultera i hög inflation och en instabil och sämre utveckling av realekonomin (Sveriges Riksbank 2010). Därav agerar Riksbanken kortsiktigt för att motverka konjunktur och upprätthålla en långsiktigt hållbar utveckling av produktion och sysselsättning utöver sitt mål om prisstabilitet, de bedriver således en så kallad flexibel inflationsmålspolitik Prisstabilitet Riksbankens mål om prisstabilitet upprättades i termer av ett inflationsmål. Närmare bestämt att den årliga inflationen, mätt som den årliga procentuella förändringen i konsumentprisindex (KPI), ska vara procent. Prisstabilitet upprätthålls genom justering av den så kallade reporäntan, där repo är en förkortning av engelskans repurchase agreement. Förändringar i reporäntan påverkar ekonomin genom den s.k. transmissionsmekanismen, en högre ränta leder allt annat lika till att viljan att spara ökar och investeringar minskar (Mankiw 2010, sid 73) vilket resulterar i att efterfrågan på pengar justeras. Banker och kreditinstitut påverkas direkt genom de korta marknadsräntorna som är proportionerliga till reporäntan på så sätt att de är beroende av krediter i form av lån för att bedriva sin verksamhet. För en vidare beskrivning av transmissionsmekanismen och penningpolitik se Hörngren (1995) Riksbanken beslutar om reporäntan sex gånger om året, där man vid tre av dessa beslutstillfällen även redovisar en penningpolitisk rapport där prognoser och framtida reporäntebanor läggs fram. 3 Viktad valutakorg bestående av en rad europeiska valutor och föregångare till euron. 7

8 1.6 Penningpolitiska riktlinjer När direktionen för Riksbanken beslutar om förändringar av reporäntan tas en uppsjö av faktorer in i analysen. Beslutsunderlaget som används baseras på nationalekonomisk teori, empiri samt subjektiva bedömningar av faktorer som inte går att modellera. I praktiken använder sig Riksbanken bl.a. av sofistikerade makroekonomiska statistiska modeller som hjälpmedel för att sätta en optimal ränta. Adolfson et al. (2011) ger en utförlig beskrivning av Ramses, Riksbankens egna Dynamic Stochastic General Equilibruim -modell (förkortas DSGE) för Sverige. Modellen syftar till att prognostisera olika makroekonomiska nyckelvariabler samt att styra reporäntan mot en optimal nivå 4. Den används även för att utvärdera effekten av penningpolitiska beslut innan de fattas. Vidare används också vektor autoregressiva modeller (VAR) och bayesianska varianter av dessa (BVAR) som fungerar som kompletterande partiella modeller till Ramses, se Hallsten och Tägström (2009). 2 Data De tre variabler som används i detta arbete är KPI-inflation, BNP och Riksbankens reporänta och är hämtade från Riksbanken ( och SCB ( Från dessa skapas sedan de kvartalsvariabler som ingår i Taylorregeln. Motivering till valet av kvartalsdata härrör dels ur Taylors originalverk men även ur att beslut om reporäntan inte tas på regelbunden basis. Dessutom fås då fler observationer än vid t.ex. användandet av årsdata. Vid framtagning av produktionsgapet används BNP-data (produktionssidan) från SCB vilket bl.a. finns tillgängligt i säsongsrensad kvartalstakt. Denna serie behövs därför inte transformeras innan användning. Tidsserien är utryckt i 2011 års fasta priser. Variabeln inflation är här definierad som den årliga procentuella förändringen i KPI vilket publiceras månatligen av SCB. Vi räknar om denna variabel varpå den genomsnittliga förändringen över att kvartal används. Reporäntan finns tillgänglig hos Riksbanken i form av dagliga observationer. Serien görs om till kvartalsform genom att beräkna det aritmetiska medelvärdet av dagliga observationer för varje givet kvartal inom perioden. Med anledning av övergången från fast växelkurs till flytande finns reporäntan tillgänglig från mitten av 1994 och framåt. KPI och reporäntan sträcker sig därför från första juni 1994 till sista december 2012 medan BNP-serien används från första kvartalet 1993 och framåt. 4 I sammanhanget är optimal ränta den räntenivå som minimerar den intertemporala förlustfunktionen, se Adolfson et al. (2011). 8

9 500k 600k 700k 800k 900k -2 Procent Procent Procent Figur 2.1: Reporänta, BNP och KPI-inflation. Kvartalsvis Reporänta Daglig Reporänta 1993q1 1998q1 2003q1 2008q1 2013q1 Kvartal Kvartal Säsongsrensat BNP KPI inflation 1993q1 1998q1 2003q1 2008q1 2013q1 Kvartal 1993q1 1998q1 2003q1 2008q1 2013q1 Kvartal 3 Metod 3.1 Taylorregeln Den ursprungliga versionen av Taylorregeln (Taylor, 1993) kan skrivas som: (3.1) där är centralbankens styrränta, är den reala jämviktsräntan 5, är inflationen i period t, är avvikelse från inflationsmålet, är inflationsmålet och är procentuell avvikelse från den naturliga produktionsnivån vilket även benämns som BNP-gapet (produktionsgapet). Parametrarna och är vikter på respektive avvikelser som bestäms av hur centralbanken reagerar på förändringar i variablerna, där. Regeln föreslår alltså en höjning av räntan när (när inflationen är högre än målet) och när, allt annat lika. Följaktligen gäller att om ekonomin är i jämvikt, d.v.s. när och, att ekvation (3.1) reduceras till: 5 I sammanhanget syftar den reala jämviktsräntan på den ränta (korrigerad för inflation) som råder i ekonomisk jämvikt. Omskrivning av ekvation (3.2) ger vilket förutser att och. 9

10 (3.2) Det innebär således att regeln i jämvikt rekommenderar att styrräntan i tidsperiod t sätts så att den motsvarar den naturliga räntenivån plus inflationen i samma tidsperiod. I Taylors artikel från 1993 tillämpas ekvation (3.1) på amerikansk data varpå han sätter parametrarna, samt tar hänsyn till det aktuella inflationsmålet,. Parametervärdena sattes under antagande att centralbanken lägger lika stor vikt på avvikelsen från inflationsmålet och BNP-gapet. Parametrarna är således valda ur ett teoretiskt perspektiv och inte skattade m.h.a en statistisk modell. Den reala jämviktsräntan,, kan i lösa termer tolkas som funktionens intercept och antog värdet två i Taylors regel Skattning av parametrar m.h.a. OLS Vid estimering av parametrarna och i ekvation (3.1) används OLS. Skattningarna kan därefter jämföras med de givna parametervärden som Taylor föreslår för att utvärdera huruvida regeln ger en relevant beskrivning av den penningpolitik som Riksbanken bedriver Problemet med ekvation (3.1) är att inte går att inkludera som variabel i modellen eftersom parametrarna inte längre kan skattas på grund av perfekt multikolinjäritet. Detta följer av att inflationen är en linjärkombination av avvikelsen från inflationsmålet. Det innebär således att om parametrarna ska skattas måste en av variablerna tas bort från modellen, alternativt ta bort interceptet. Det givna valet av variabel som tas bort är därav inflationen då avvikelse från inflationsmål är Riksbankens huvudvariabel vid stabilisering av prisnivån. Modellen som skattas kan därav skrivas som: (3.3) där motsvarar modellens intercept. Huruvida i ekvation (3.3) motsvarar den reala jämviktsräntan lämnas osagt med avseende på att det är ett koncept inom nationalekonomin som inte går att observera. Eftersom syftet är att skatta parametrarna och anser vi att det inte påverkar resultatet negativt. Med det sagt kan det vara värt att påpeka att i ekvation (3.3) även följer den definition av jämviktsränta som används i kontexten för Taylorregeln, d.v.s. det värde antar då och. Utelämnandet av inflation som en egen variabel leder inte till förlorad information eftersom den redan finns med som en linjärfunktion av avvikelse från inflationsmål. Anledningen att ingår i regeln från första början är också teoretisk. Det grundar sig i att för att penningpolitiken ska ha någon inverkan krävs förändringar i den reala centralbanksräntan medans regeln föreslår en nominell ränta. Huruvida Taylorregeln i sin ursprungliga form med eller utan skattade parametrar går att använda i syfte att göra prediktioner beror på den information som finns tillgänglig vid tidpunkt t. Eftersom alla variabler som ingår är kontemporära krävs således information om alla variabler i högerledet före räntebeslutet tas vilket inte alltid är realistiskt. Alternativet är att göra tidsförskjutningar på variablerna i högerledet då det 10

11 är mer sannolikt att data från föregående kvartal finns tillgängligt. Den sista lösningen skulle vara att använda prediktioner gjorda vid för tidsperiod Produktionsgapet Produktionsgapet är i Taylor (1993) definierat som den procentuella avvikelsen från den naturliga produktionsnivån: (3.4) Den naturliga, eller potentiella produktionsnivån,, i (3.4) skattas som den långsiktiga trenden i BNP. Taylor använder sig av den linjära trenden i BNP och skattar denna med OLS. Efterkommande arbeten visar på goda och något mer realistiska resultat när skattas som tillväxtkomponenten i en nedbruten och säsongsrensad tidsserie. Detta kan t.ex. göras med Hodrick-Prescott (1997) filtret i vilken en given tidsserie uttrycks som summan av en tillväxtkomponent och och en cyklisk komponent : (3.5) Notera att tidsserier ofta innehåller säsongskomponenter och avsaknandet av denna i ekvation (3.5), men att BNP som används i detta arbete redan är säsongsrensat. Vi använder oss av ett filter för att extrahera tillväxtkomponenten ur BNP som vi senare kan använda som den långsiktiga trenden. Hodrick och Prescott föreslår en metod för att ta fram den långsiktiga trenden under antagandet att tillväxtkomponenten varierar över tid i en förhållandevis jämn takt. Måttet på jämnheten i är kvadratsumman av dess andra differens. De antar även att den cykliska komponenten är avvikelsen från och att de över längre tidsperioder antar ett medelvärde nära noll. Följande minimeringsproblem används för att estimera Hodrick-Prescott trenden, : (3.6) där. Parametern är en positiv utjämningskonstant som bestraffar variation i serien av tillväxtkomponenter. Allteftersom ökar blir den resulterande utjämnade serien allt mer linjär och för tillräckligt höga värden närmar sig alla ( ) konstanter. Det optimala värdet på utjämningskonstanten för kvartalsdata var enligt Hodrick och Prescott, vilket vi också använder i denna uppsats. 3.2 Vektor autoregressiva (VAR)-modeller Vektor autoregressiva modeller (VAR) populäriserades av Sims (1980) och är multivariata generaliseringar av univariata AR-processer. Sedan dess implementation i 11

12 ekonometrin har VAR tillämpats inom en rad olika områden vilka inkluderar allt från utvärdering av ekonomiska politiska beslut till att göra dynamiska prediktioner. Samband mellan makroekonomiska variabler går ofta åt båda hållen, d.v.s. att påverkar men även att påverkar, i vilket fall det är av intresse att försöka ta hänsyn till simultaniteten för att undvika att göra systematiska fel i sin analys. VARmodeller fångar mer av informationen i data genom att ta hänsyn till just sådana s.k. kausala samband, till skillnad från det univariata fallet där endast information från en variabel används. Ett VAR-system är en uppsättning av regressionsmodeller med två eller flera endogena variabler, till skillnad från vanlig regression där endast en variabel antas vara endogen. En VAR-modell som är icke-restriktiv har lika många ekvationer som variabler vilket är ett resultat av att alla variabler behandlas som endogena. Den största fördelen med en icke-restriktiv VAR-modell blir således att inga exogenitetsantaganden behöver göras för de variabler som ingår i högerledet av ekvationen. Det följer av att varje ekvation endast innehåller tidsförskjutna komponenter av samtliga variabler och inga kontemporära termer. I nedanstående avsnitt ges en kortfattad beskrivning av VAR-modeller. För en mer ingående genomgång se t.ex. Lütkepohl (2005) och Brooks (2008) AR och VAR processer Det är inte orimligt att anta att tidigare realiseringar av en given variabel innehåller information om vad för värden den kan tänkas anta i framtiden. Låt vara variabeln i fråga i tidsperiod t. I denna uppsats motsvarar T det sista kända utfallet och t en given tidpunkt i intervallet. En univariat prediktion för tidsperiod gjord i slutet på kan således skrivas som en funktion av tidigare värden, d.v.s. tidsförskjutningar vilka inom ekonometrin även kallas laggade värden:, (3.7) där är en funktion av tidigare observationer av. Syftet med univariat tidsserieanalys kan således beskrivas som att hitta rimliga funktionsformer av och bestämma antalet tidigare observationer som bör innefattas i funktionen. En simplistisk förenkling av funktion (3.7) för av tidigare värden med p antal lag: kan skrivas som en linjärfunktion (3.8) Eftersom prediktionen rimligtvis inte motsvarar det sanna värdet av kan prediktionsfelet för tidsperiod definieras som:. Substituering av ekvation (3.8) in i formeln för prediktionsfelet genererar följande efter omstrukturering: (3.9) 12

13 Under förutsättning att värdena kommer från stokastiska variabler och att processen som generar data inte förändras över tid, kan funktion (3.9) skrivas i form av en autoregressiv process: (3.10) under antagandet att feltermerna för de olika tidsperioderna är ickekorrelerade, d.v.s. ö och där och är stokastiska variabler. Uttrycket i ekvation (3.10) är därav en så kallad autoregressiv process av ordning p, eller AR(p). Det är inte heller orimligt att anta att ekonomiska variabler, förutom att förklaras av tidigare värden av sig själv, också förklaras av ett set av andra variabler i vilket fall det vore givande att utrycka prediktionsfunktionen (3.7) i termer av tidigare realiseringar av sig själv samt dessa andra variabler:, (3.11) där generellt för den är en uppsättning av beroende och oberoende variabler vilket variabeln kan skrivas som:. (3.12) En multivariat generalisering av den univariata AR(p) processen kan utryckas som: (3.13) Ekvation (3.13) är en VAR(p) process där är en kolumnvektor, är ( parametermatriser och är en vektor innehållande de olika intercepten. Slutligen är en vektor för white noise eller vitt brus, d.v.s. en sekvens av oberoende och likafördelade feltermer med. En bivariat VAR(1) process kan således skrivas som: (3.14) Alternativt: (3.15) Ett VAR-system som t.ex. (3.15) kan utvidgas till att ta hänsyn till exogena variabler. Detta görs genom att en variabel läggs till högerledet i varje ekvation utan att öka antalet ekvationer i systemet. 13

14 3.2.2 Estimering av parametrar i VAR Parametrarna i ett VAR-system kan skattas med OLS under förutsättning att de olika ekvationerna inte innehåller en kontemporär term i högerledet. Detta eftersom alla variabler som ingår i högerledet är förbestämda i tidsperiod t vilket resulterar i att variablerna som finns i vänsterledet av ekvationerna inte rimligtvis kan påverka högerledet då de föregår högerledet i tiden. Detta görs genom att varje ekvation som ingår i VAR-systemet skattas med OLS var för sig. Varians-kovariansmatrisen för parameterskattningarna estimeras med Newey-Wests metod för att korrigera för potentiell autokorrelation och heteroskedasticitet. Estimaten blir konsistenta och kan därför användas vid hypotestest även vid närvaro av autokorrelation och heteroskedasticitet (Gujarati och Porter 2009, sid ). För vidare beskrivning av HAC-estimatorer (Heteroskedasticity and autocorrelation consistent) se Newey och West (1987). Skattningsmetoder såsom maximum likelihood (MLE) kan även appliceras om antaganden om den underliggande fördelningen av VAR-processen görs. Om processen antas vara normalfördelad genererar ML-metoden identiska estimatorer i jämförelse med OLS Optimalt antal tidsförskjutningar Vid estimering av VAR-modeller är det ofta svårt att i förväg bestämma det optimala antalet tidsförskjutningar, s.k. laggar, som modellen bör inkludera. Hur länge förändringar i variablerna som finns i VAR-modellerna påverkar varandra är ofta oklart både ur ett teoretiskt (ekonomiskt) och praktiskt perspektiv. Statistiskt sett går det att testa med ett Likelihood-Ratio - test (LR), det vill säga testa huruvida de tillagda laggade variablernas parametrar simultant är lika med noll. Problemet med detta tillvägagångssätt är att testet går ut på att göra parvisa jämförelser, ett test mellan en modell som inkluderar fem respektive tio laggade termer för varje variabel kan endast användas för att dra slutsatser om vilken av dessa två modeller är bäst. Det optimala antalet laggar skulle lika gärna kunna ligga mellan fem och tio som utanför intervallet. Resultatet av detta är att testet blir ospecifikt i den meningen att slutsatser om det optimala antalet lag blir svåra att dra. Likelihoodkvoten för de två modellerna ges av: (3.16) Där är determinanten av kovariansmatrisen för residualerna för respektive modell och är urvalsstorleken En annan nackdel är att endast följer en fördelning under antagandet att feltermerna från varje ekvation i VAR-systemet är normalfördelade, vilket i praktiken ofta inte stämmer. En annan metod för att bestämma antalet laggar som bör inkluderas går ut på att jämföra olika informationskriterier baserade på log likelihood. Den modell med antalet laggar som minimerar en eller flera av dessa informationskriterier väljs sedan. De kriterier som föreslås är de multivariata versionerna av Akaike information criterion (AIC), Schwarz Bayesian information criterion (SBIC) och Hannan-Quinn information criterion (HQIC), se t.ex. Brooks (2008, sid 294). Respektive kriterium ges av: 14

15 (3.17) (3.18) (3.19) Där är kovariansmatrisen för residualerna, är antal observationer och är det totala antalet parametrar i ekvationerna som ingår i VAR-modellen, bortsett från intercepten Prediktionsprocessen För att göra prediktioner med VAR i tidsperiod används samtliga ekvationssystem för att skapa en dynamisk prediktion som tar hänsyn till prediktioner som görs av samtliga variabler i ekvationssystemet. En prediktion i tidsperiod kan skrivas som: (3.20) Där de olika är estimerade parametermatriser och är en vektor av estimerade intercept. I prediktionen för tidsperiod används de skattade värdena för föregående tidsperiod: (3.21) Processen itereras därför ända tills önskad prediktionshorisont nås. En prediktion för tidsperiod ges därför av: (3.22) För att utvärdera prediktionerna som de olika modellerna ger använder vi oss av korsvalidering. Urvalet kortas ner varpå modellen i fråga estimeras vilket i slutändan ger oss möjligheten att utvärdera prediktionerna för olika tidsperioder genom att jämföra dem med de faktiska realiseringarna av variabeln i fråga. Genom att tillämpa denna metodik går det att beräkna olika prognosmått 6, exempelvis medelfel, medelabsolutfel (MAD) och roten ur medelkvadratfelen (RMSE) vilka visas här nedan: (3.23) (3.24) 6 Notera att ekvationerna (3.23), (3.24) och (3.25) är definierade för utanför urvalet men går att generaliseras för inom urvalet genom att summera från t=1 till T och multiplicera med 1/T. 15

16 (3.25) 3.3 Stationäritet Stationäritetantagandet från univariat tidsserieanalys följer med även till den multivariata analysen. Av detta skäl är det av intresse att undersöka huruvida de individuella tidsserierna är stationära. En tidsserie sägs vara svagt stationär om dess väntevärde och varians inte är beroende av t, d.v.s. konstanter, samt konstant autokovarians för varje given lagg. Dessa tre antaganden kan skrivas som: (3.26) (3.27) (3.28) Icke-stationäritet kan leda till så kallade spuriösa samband, om två tidsserier uppvisar positiva trender kommer t.ex. regressionsanalys av sambandet mellan variablerna generera höga värden på bland annat. Detta även om variablerna i sig inte är korrelerade. Vidare går det att visa att t-test och F-test vid test av parametrar inte längre följer respektive fördelning när variablerna som ingår i regressionsanalysen inte är stationära, för mer information se t.ex. Brooks (2008, sid 320). Det skiljs på två typer av icke-stationäritet, stokastisk och deterministisk. Stokastisk icke-stationäritet karaktäriseras av en slumpvandringsmodell med drift (3.29) medan den sistnämnda är den s.k. trendstationära processen (3.30). (3.29) (3.30) Där i båda modellerna är vitt brus. Huruvida en tidsserie är stationär eller ej påverkar resultaten på så sätt att chocker i variabler eller feltermen hos en icke-stationär tidsserie inte kommer dö ut. Chockerna följer således med i alla kommande tidsperioder till skillnad från en stationär serie där effekten av dessa chocker försvinner med tiden. Detta kan enkelt illustreras med följande AR(1) process med parameter : Om processen i (3.31) laggas en respektive två gånger ges: (3.31) 16

17 (3.32) (3.33) Substituering av (3.32) in i (3.31) ger: (3.34) Följaktligen substitueras (3.33) in i (3.34) vilket ger: (3.35) Vid T upprepningar av proceduren ges följande utryck: (3.36) När parametern och, går mot noll. Det innebär att chocker till processen gradvis kommer att försvinna vilket är fallet med en stationär tidsserie. Det andra fallet är när, en chock skulle aldrig försvinna då för alla värden på T. Följaktligen när blir processen endast en oändlig summa av tidigare chocker plus ett startvärde : (3.37) Processen i (3.37) benämns vanligen ha en enhetsrot eftersom roten för dess karaktäristiska ekvation är ett. Det sista fallet när, kommer chocker få exponentiellt ökande effekter över tid, vilket inom det ekonometriska tillämpningsområdet inte är rimliga scenarion Dickey-Fullers test för enhetsrot Dickey och Fuller (1979) utvecklade ett test för huruvida en tidsserie är stationär eller ej. Genom att testa nollhypotesen att mot alternativhypotesen att för ekvation (3.31) går det att dra slutsatser om processen i fråga är stationär. I praktiken tas första differensen på (3.31) för att sedan testa i följande modell: (3.38) Där och. Det innebär således att testa och är ekvivalent. Problemet med testa i en vanlig regression är att resultatet endast är giltigt om feltermerna inte är autokorrelerade. Dickey-Fuller modifierar testet genom att utveckla modellen och testa i följande modell 7 : 7 Det modifierade testet kallas ofta för det augmenterade Dickey-Fuller testet (ADF). 17

18 (3.39) I dess modifierade form absorberas de den dynamiska strukturen i genom att inkludera p lags. Om testet är korrekt utfört är inte längre autokorrelerad och testet går att fullfölja. Valet av antal laggar går att optimera med informationskriterier liknande det som görs i VAR, se avsnitt Under är, d.v.s. icke-stationär i sin ursprungliga form, men stationär vid första ordningens differentiering, se t.ex. Brooks (2008, sid ). En tidsserie som måste differentieras d gånger innan den blir stationär sägs vara integrerad av ordning d. I testet kan komponenter för drift och deterministisk trend inkluderas varpå olika definitioner av icke-stationäritet kan testas. 4 Resultat 4.1 Estimering av produktionsgap Vid framtagning av det estimerade produktionsgapet krävs den långsiktiga trenden (potentiell BNP) i BNP då gapet är definierat som avvikelse från denna trend. Trenden estimeras med Hodrick-Prescott filtret som presenterades i avsnitt och redovisas i figur 4.1. Värt att notera är att filtret rensar bort den irreguljära konjunkturen som uppstod kring finanskrisen och visar på en potentiell produktionsnivå om krisen inte inträffat. I figur 4.2 visas produktionsgapet, d.v.s. den procentuella avvikelsen från trenden i figur 4.1. Variabeln fångar upp konjunktursvängningar som uppstår i ekonomin vilket syns extra tydligt mellan 2003 och

19 -5 Procent BNP års fasta priser(mkr) BNP-Gap - Procent Figur 4.1: Säsongsrensat BNP och Långsiktig trend Figur 4.2: Produktionsgap Säsongsrenstat BNP vs. Långsiktig trend Produktionsgap 1993:K1-2012:K4 1993q1 1998q1 2003q1 2008q1 2013q1 Kvartal Säsongsrensat BNP Långsiktig trend (HP-filter) 1993q1 1998q1 2003q1 2008q1 2013q1 Kvartal 4.2 Taylorregeln För att undersöka huruvida Taylorregeln går att använda för att göra prediktioner är det av intresse att se hur bra Riksbankens agerande kan approximeras med Taylorregeln. Detta görs genom att lägga in värdena i ekvation (3.1) för respektive variabel i varje tidsperiod. Parametrarna och sattes till 0.5 som i Taylors regel. Figur 4.3: Taylorränta kontra reporänta 1994q3 1999q1 2003q3 2008q1 2012q3 Kvartal Taylorränta Reporänta 19

20 Figur 4.3 visar hur den s.k. Taylorräntan 8 skiljer sig från den faktiska reporänta som Riksbanken satt i samma tidsperiod. En markant skillnad kan ses mellan de två linjerna i större delen av observationsperioden. Skillnaderna är visuellt störst i början av perioden och kring finanskrisen vilket tyder på Riksbankens agerande i oroliga tider inte kan approximeras med Taylorregeln men att den fungerar bättre i mellanperioder Estimering av parametrar De skattade koefficienterna för Taylorregeln från ekvation (3.3) visas i tabell 4.1. Märkbart är att den skattade konstanten, d.v.s. den reala jämviktsräntan är markant högre än det som föreslås av Taylor. Som tidigare nämndes i avsnitt 3.1 sattes parametrarna och till 0.5 samt till 2. De estimat som ges av vanlig regression med Newey-Wests standardfel skiljer sig från de Taylor ursprungligen valde. BNPgapet får en markant lägre vikt medans den naturliga räntan får en något större. Förklaringsgraden,, har värdet 0,1432 för modellen och är lågt i sammanhanget. Resultatet är inte förvånansvärt då inga av de skattningar som ges för regeln är statistiskt signifikanta på adekvata signifikansnivåer vilket får oss att dra slutsatsen Riksbankens agerande inte kan beskrivas genom den estimerade Taylorregeln. Figur 4.4 illustrerar hur modellen skattar reporäntan över urvalet. Det verkar som om reporäntan konvergerar med den skattade Taylorräntan i slutet på 90-talet medans den sedan divergerar igen kring finanskrisen. Tabell 4.1: Skattade parametrar för Taylorregeln Reporänta Koeff. Std. Err. # Observationer = 74 F( 2, 71) = 2.3 Inflationsmål Prob > F = BNP-gap = Konstant 3.657*** = ***Signifikant på 1 % ** Signifikant på 5 % * Signifikant på 10 % 8 Den ränta Taylorregeln föreslår. 20

21 Procent Figur 4.4: Estimerad Taylorränta kontra reporänta 1994q3 1999q1 2003q3 2008q1 2012q3 Kvartal Estimerad Taylorränta Reporänta I appendix A, figur A.1 visas histogram för residualerna i regressionen för Taylorregeln. Histogramet visar på ett ungefärligt väntevärde kring noll med positiv skevhet. Huruvida t-fördelningen kan approximeras för de test som görs på koefficienterna blir därav tvetydigt. Oavsett signifikanta parametrar eller ej 9, återstår de facto att de estimat som ges i tabell 4.1 skiljer sig från de parametervärden som ges i Taylor (1993). 4.3 Stationäritet För att testa huruvida de tidsserier som inkluderas i VAR modellerna är stationära används det modifierade Dickey-Fuller testet. Antal laggade komponenter som innefattas i respektive test baseras på Schwarz informationskriterium varpå slutsatser kan dras om processen som testas har en enhetsrot eller ej. Resultaten från testen visade på att samtliga tidsserier är stationära på fem procents signifikansnivå. Testen genomfördes med och utan drift men utan trendkomponent. De fullständiga utskrifterna från testen visas i Appendix B, tabell B.1-B.6. 9 Eftersom Newey-Wests metod används för att estimera varians-kovariansmatrisen för parametrarna, antas problem som uppstår i samband med heteroskedasticitet och autokorrelation vara negligerbara. 21

22 Procent Procent AR Dynamiska prediktioner från univariata autoregressiva modeller tas fram i syfte att jämföras med de multivariata VAR-prediktionerna. I figur 4.5 visas predicerade värden för AR(1) och AR(4). Figur 4.5: Predicerade värden från AR(1) samt AR(4) upp till 2011: K4 1995q1 2000q1 2005q1 2010q1 Kvartal 1995q1 2000q1 2005q1 2010q1 Kvartal AR(1) Reporänta AR(4) Reporänta AR(1) och AR(4) modellerna av reporäntan verkar ge relativt adekvata beskrivningar av dess förändringar. Det väcker givetvis frågan huruvida ytterligare variabler tillför något till prediktabiliteten av Riksbankens reporänta. Vidare ger det god grund till att undersöka om den observerade förklaringsförmåga som de univariata autoregressiva modellerna ger följer med till den multivariata analysen av Taylorregeln. 22

23 Figur 4.6: Dynamiska prediktioner för AR(1) och AR(4) för hela 2008 och 2012 Prognos: 2008K1-2008:K4 Prognos: 2008K1-2008:K4 2007q4 2008q1 2008q2 2008q3 2008q4 2007q4 2008q1 2008q2 2008q3 2008q4 AR(1) Reporänta AR(4) Reporänta Prognos: 2012K1-2012:K4 Prognos: 2012K1-2012:K4 2011q4 2012q1 2012q2 2012q3 2012q4 2011q4 2012q1 2012q2 2012q3 2012q4 AR(1) Reporänta AR(4) Reporänta I figur 4.6 visas prognoser gjorda för 2008 och 2012 med AR(1) och AR(4). Den autoregressiva modell med en tidsförskjutning underskattar räntan i de tre första kvartalen för att sedan missa fallet i det fjärde kvartalet. AR(4)-modellen förser relativt goda prognoser för de två första kvartalen men för att sedan misslyckas förutspå de två sista kvartalen. Gällande prognosen för 2012, överskattar båda de univariata modellerna reporäntan i samtliga kvartal. De prediktioner som görs med AR(1) tycks vara oförändrade över hela I själva verket förändras prediktionerna marginellt även om det inte framgår ur figur VAR Vi anpassar Taylorregeln i syfte att kunna använda variablerna i ett VAR-system där alla variabler antas vara endogena. Till skillnad från det univariata fallet där endast reporäntan undersöks tar den multivariata analysen hänsyn till hur variablerna dynamiskt interagerar med varandra. Information som i univariat analys går till spillo kan således fångas upp och exploateras vilket förhoppningsvis leder till bättre prediktioner. 23

24 En Taylorregel i VAR(p) format kan skrivas som: (4.1) I ekvationssystem (4.1) motsvarar riksbankens reporänta, produktionsgapet och avvikelsen från inflationsmålet. Valet av antal laggade komponenter som inkluderas i de slutgiltiga modellerna baserar på de olika informationskriterier som presenteras i tabell 4.2. Värdena kommer från de estimerade modellerna med olika antal tidsförskjutningar. Tabell 4.2: Likelihoodkvot och informationskriterier för VAR modeller Lag LL LR df p AIC HQIC SBIC * * 4.278* * Indikerar det lägsta värdet Resultaten från tabell 4.2 är något tvetydiga då olika informationskriterier antyder på olika antal lagg som bör inkluderas. AIC och HQIC är minimerade när fyra tidsförskjutningar inkluderas och SBIC minimeras vid två laggar. Likelihoodkvoten indikerar på att åtta laggar bör inkluderas 10. Även om majoriteten av kriterierna minimeras vid fyra laggar är valet av modell som används till att göra prediktioner inte självklart. Förlusten av frihetsgrader ökar markant för varje lagg som introduceras i modellen. Eftersom modellen innehåller tre variabler och tre ekvationer innebär det därför att varje lagg medför en förlust på nio frihetsgrader. Inom denna relativt korta tidsperiod får detta stora konsekvenser då skattningarna blir osäkrare. 10 Likelihoodkvoten som visas på varje rad baseras på en parvis jämförelse med den modell som innehåller p-1 laggar. 24

25 Tabell 4.3: Förklaringsgrad för varje ekvation inom varje VAR Förklaringsgrad Ekvation/Modell VAR(1) VAR(2) VAR(3) VAR(4) VAR(5) Reporänta (0.952) (0.973) (0.973) (0.976) (0.975) Avvikelse från Inflationsmål (0.752) (0.814) (0.809) (0.827) (0.837) BNP Gap (0.840) (0.860) (0.879) (0.897) (0.914) Justerad förklaringsgrad inom parantes. Tabell 4.4: RMSE inom urval för varje ekvation i VAR RMSE Ekvation/Modell VAR(1) VAR(2) VAR(3) VAR(4) VAR(5) Reporänta Avvikelse från Inflationsmål BNP Gap I tabell 4.3 ges förklaringsgraden,, samt dess justerade variant inom parantes för upp till fem tidsförskjutna komponenter. Inkludering av fler laggar ger tillsynes inte högre justerad förklaringsgrad för ekvationen som förklarar reporäntan medans för de båda avvikelsemåtten ger en marginell ökning. Det verkar som om Taylorregeln i dess VARformat fångar stor del av variationen i de inkluderade variablerna vilket är något som talar för prediktabiliteten. Det förekommer att sjunker även när fler parametrar läggs till i modellen vilket inom vanlig regression inte är möjligt. Detta är ett resultat av att fler parametrar i VAR medför ett mindre urval. RMSE i tabell 4.4 antyder att fler autoregressiva komponenter leder till att ekvationerna passas bättre till data. Detta kan verka motsägelsefullt med tanke på de informationskriterier som visas i tabell 4.2. Skillnaden är att informationskriterierna baseras på log-likelihood från samtliga ekvationer i modellen till skillnad från RMSE som visas specifikt för varje ekvation. I nästkommande tabell ges ett exempel på parameterskattningar för de olika ekvationerna som ingår i VAR(2) modellen för Taylorregeln. 25

26 Tabell 4.5: Parameterskattningar för VAR(2) Reporänta Ekvationer Avvikelse från inflationsmål BNP-gap Coef. Std. Err. Coef. Std. Err. Coef. Std. Err. Reporänta L *** *** *** L *** *** *** Avvikelse från inflationsmål L *** L *** ***Signifikant på 1 % **Signifikant på 5 % *Signifikant på 10 % BNP-gap L *** L Intercept F(6, 65) = F(6, 65) = F(6, 65) = Prob > F = Prob > F = Prob > F = Tabell 4.5 ger intrycket av att väldigt få skattade parametrar är signifikanta för den kanske mest intressanta ränteekvationen i VAR(2)-modellen. För ränteekvationen är det endast de två laggade variablerna för reporäntan som är signifikanta vilket ger intrycket av att en univariat autoregressiv modell skulle vara tillräcklig. Det som man måste ha i åtanke är den dynamik som de resterande ekvationerna tillför till att förklara den räntesättning som Riksbanken bedriver. Om ekvationerna för inflationsmålet och BNPgapet bidrar till att förklara hur variablerna utvecklas över tid, är det av fördel att inkludera dessa då interaktionen mellan dessa variabler kan exploateras. Enligt tabell 4.3 bidrar ekvationerna för BNP-gap och avvikelse från inflationsmål med förklaringsgrad på över 0.8 vilket kan indikera på att det finns förklarande element i dessa ekvationer. Det kan även bekräftas med de F-test som ges i slutet på respektive kolumn för ekvationerna. De parameterskattningar som ges från VAR-modellerna kan inte tolkas kausalt på grund av flera anledningar. De estimerade parametrarna från tabell 4.5 är både positiva och negativa för samma variabel för olika tidsförskjutningar. Att en tidsförskjuten variabel har alternerande tecken för den associerade koefficienten kan verka motsägande i den bemärkelsen att Riksbanken rimligtvis bör reagera liknande på förändringar i olika tidsperioder. Vi tror att negativa och positiva koefficienter uppstår till följd av strukturen i data och att Taylorregeln beskriver penningpolitiken på ett missvisande sätt. 26

27 Procent Procent Figur 4.7: Predicerade värden för perioden 1994: K3 till 2012: K4 VAR(2) vs. Reporänta VAR(4) vs. Reporänta 1994q3 1999q1 2003q3 2008q1 2012q3 Kvartal 1994q3 1999q1 2003q3 2008q1 2012q3 Kvartal VAR(2) Reporänta VAR(4) Reporänta Även om produktionsgapet och avvikelse från inflationsmål inte är signifikanta för ränteekvationen visar figur 4.7 på en visuellt märkbar förbättring gentemot de predicerade värdena för AR(1)-modellen i figur 4.5. Förbättringen från AR(4) är mindre tydlig. De skattningsfel som sker i samband med att reporäntan ändrar riktning är mindre för VAR(2) och VAR(4) än för AR(4). RMSE för perioden inom urvalet visas i tabell 4.6 och bekräftar förbättringen, dock med undantag för att AR(4) verkar passa bättre än VAR(2). Det verkar således finnas grund till inkludering av BNP-gapet och avvikelse från inflationsmål i VAR-modellen. Tabell 4.6: RMSE jämförelse mellan AR och VAR AR(1) AR(4) VAR(2) VAR(4) RMSE I appendix A, tabell A.1 och A.2 ges Jarque-Bera test för normalfördelade residualer. I detta test följer residualerna en standardnormalfördelning under nollhypotesen, se Jarque och Bera (1980) för vidare beskrivning. Testet visar på att feltermerna för BNPgap och avvikelse från inflationsmål är normalfördelade i både VAR(2) och VAR(4). 27

28 -2-1 Procent Procent Samtidigt förkastas nollhypotesen för ränteekvationen i samtliga modeller vilket indikerar på att residualerna inte är normalfördelade. 11 I nästkommande avsnitt undersöks hur valet av antalet tidsförskjutningar påverkar de prediktioner som Taylorregeln slutligen genererar. 4.6 Utvärdering av prediktioner Taylorregeln i sin modifierade VAR formulering används för att ta fram prediktioner för ett antal tidsperioder. Olika antal tidsförskjutningar introduceras i modellen vilket således innebär att antalet observationer som används för att skatta parametrarna i respektive modell skiljer sig åt. Fler tidsförskjutningar innebär färre antal observationer och större osäkerhet Prediktioner för perioden 2012: K1-2012: K4 Figur 4.8: Dynamiska prediktioner för två respektive fyra tidsförskjutningar för 2012 VAR(2) Dynamisk Prediktion VAR(4) Dynamisk Prediktion 2011q4 2012q1 2012q2 2012q3 2012q4 Kvartal 95% KI VAR(2) Prediktion Reporänta 2011q4 2012q1 2012q2 2012q3 2012q4 Kvartal 95% KI VAR(4) Prediktion Reporänta I figur 4.8 ges två exempel på de prediktioner som gjorts för, d.v.s. samtliga kvartal Modellerna som använts är de som innehåller två respektive fyra tidsförskjutningar för varje variabel. De är också de två modeller som enligt informationskriterierna i tabell 4.2 passar bäst på givet data. 11 Icke-normalfördelade residualer resulterar i felaktiga test för parametersignifikans (F-test och t-test), se Gujarati och Porter (2008, sid 99) 28

29 Visuellt ger VAR(2) modellen något bättre prediktioner för 2012 än VAR(4) även om fler informationskriterier indikerar på att den sistnämnda. Olika avvikelsemått mellan den observerade reporäntan och prediktionerna som gjorts för de olika versionerna av Taylorregeln, samt AR-modellerna tas fram och visas i tabell 4.7. Tabell 4.7: Avvikelsemått för prediktioner gjorda över 2012 Modell Obs Medelfel MAD RMSE Min fel Maxfel VAR(1) VAR(2) VAR(3) VAR(4) VAR(5) AR(1) AR(4) RB prognos Medelfel, MAD och RMSE minimeras för VAR(2)-modellen. I absoluta termer är den största avvikelsen från prediktionen 0,132 för modellen med två laggar vilket kan anses vara en relativt liten avvikelse. Medelfelet är närmast noll för den modell där endast två tidsförskjutningar inkluderas men även noterbart små för de modeller som inkluderar fyra respektive fem laggade termer per variabel. Generellt är alla medelavvikelser negativa vilket indikerar på att Taylorregeln i dess VAR format överskattar den genomsnittliga kvartalsräntan för perioden. Med avseende på RMSE och MAD ger VAR(2), VAR(4) och VAR(5) märkbart säkrare prognoser gentemot de två AR-modellerna. Riksbankens prognos som gjordes tredje kvartalet 2011 är enligt tabell 4.7 sämre än alla modeller utom VAR(1). De överskattar räntan i samtliga kvartal likt de univariata modellerna som presenterades i avsnitt Prediktioner för perioden 2008: K1-2008: K4 Slutet på 2008 bjöd på drastiska räntesänkningar i samband med att Riksbanken försökte motverka den djupa finnanskris som uppenbarat sig. Mellan oktober 2008 och februari 2009 chocksänktes reporäntan hela fyra procentenheter. Det tillhör ovanligheten att en sådan sänkning inträffar, varpå perioden kan betraktas som irreguljär i sammanhanget. Huruvida Taylorregeln lyckas förutspå denna drastiska sänkning illustreras i figur