Bygga grunder för algebra

Transkript

1 Malmö högskola Lärarutbildningen SÄL Examensarbete 10 poäng Bygga grunder för algebra Building Foundations for Algebra Marianne Eriksson Lärarexamen mot grundskolans tidigare år Naturvetenskap/Teknik/Matematik Vårterminen 2006 Handledare: Lisbeth Ringdahl Examinator: Agneta Rehn

2 2

3 Sammanfattning I mitt arbete med elever i de tidiga skolåren upptäckte jag att många elever hamnade i svårigheter när de skulle lösa mönsteruppgifter i olika sammanhang. Jag funderade över vad orsakerna kunde vara. I massmedia diskuterades Trends in International Mathematics and Science Study från 2003 (Skolverket 2005)) som visade att svenska elever hade svårigheter med algebra i jämförelse med elever i andra länder. Kunde det finnas ett samband? Jag blev intresserad och ville skaffa mig kunskaper om vilka svårigheter elever hamnar i när de analyserar mönster och vilka generaliseringar de ser i ett växande mönster. Jag använde mig av enskilda kvalitativa intervjuer och jag hade två undervisningsuppgifter som vi arbetade med och samtalade om. Resultatet i undersökningen visade att det finns behov av att arbeta med analyser och generaliseringar av olika slags mönster. Intervjuerna visade också vikten av att elever får träning i att kommunicera matematik. Nyckelord: algebra, algebraisk kultur, algebraiskt tänkande, generalisering, geometriskt mönster, pre-algebra, språk av andra ordningen, språk av första ordningen, talmönster. 3

4 4

5 INNEHÅLL 1 Inledning 7 2 Syfte och frågeställningar 9 3 Teoretisk bakgrund Kursplaner i matematik Introduktion till algebra Pre-algebra Algebraiskt tänkande Mönster och generaliseringar Språk 13 4 Metod Urval Intervjumiljö och material Beskrivning av två mönsteruppgifter Databearbetning 19 5 Resultat Generalisering på nivå Generalisering på nivå Generalisering på nivå Diskussion Analys av två elevers resultat Vilka strategier använder Leo och Lena när de analyserar mönster? Vilka generaliseringar gör Leo och Lena i ett växande mönster? Vilka matematiskt ordförråd har Leo och Lena när de beskriver och analyserar mönster? Tillförlitlighet Slutsatser 29 7 Källförteckning 31 Bilaga 5

6 6

7 1 Inledning Jag har i mitt arbete med elever i skolår 1 3 märkt att ett flertal elever stöter på svårigheter när de ska fortsätta på förhand påbörjade mönster. I Diagnostiska uppgifter i matematik för användning i de tidiga skolåren (Skolverket 2000) är detta ett återkommande område. Under tiden som jag funderade över varför det var svårt för vissa elever att klara mönsteruppgifterna i Skolverkets diagnoser blev jag uppmärksam på Trends in International Mathematics and Science Study från 2003 (Skolverket 2005). Undersökningen har genomförts i 50 länder de senaste åtta åren. Syftet med undersökningen är att undersöka, beskriva och jämföra elevers kunskaper och inställning till matematik och naturvetenskapliga ämnen i skolår 8. Huvudområdena i matematik är aritmetik, algebra, mätningar, geometri och statistik. Svenska elevers resultat ligger över genomsnittet bland de deltagande länderna. Det är elevers kunskaper i geometri och algebra som drar ner resultatet. Trenden är att Sverige halkar efter, andra länder. Som en del i undersökningen uppger lärare hur stor del av den totala undervisningstiden som läggs på de olika områdena och det visar sig att algebraundervisningen får jämförelsevis lite undervisningstid i Sverige. Undersökningen visar också att elever tappar intresse för matematik. Eftersom jag samtidigt läser matematik för elever i de tidiga åren på Lärarutbildningen vid Malmö högskola väcktes mitt intresse. Är det så att det kan finnas ett samband mellan elevers svårigheter att analysera och bygga på mönster i de tidiga åren i grundskolan och elevers svårigheter med algebra i de senare åren i grundskolan? Hur kan jag i mitt arbete underlätta för eleverna när de senare i grundskolan börjar med algebra? Vilka vägar finns det att gå och hur ger jag eleverna en så bra plattform att stå på som möjligt? Det som jag tycker ligger närmast till hands för de yngsta eleverna i grundskolan är arbetet med generaliseringar och mönster. Mönster är något som har fascinerat människor i alla tider och det är något som många elever sysslat med tidigare. De har lagt pärlplattor, broderat, lagt pussel, byggt med lego och kaplastavar. Hur kan jag då planera och genomföra arbetet med mönster så att det i en förlängning leder till ett algebraiskt tänkande? För att kunna svara på den frågan behöver jag få en uppfattning om vilka vanliga svårigheter som eleverna stöter på. 7

8 För att få svar på mina frågor vill jag med detta arbete skaffa mig kunskap om hur eleverna tänker när de analyserar mönster, både ett geometriskt mönster och ett talmönster. Genom litteraturstudier kommer jag förhoppningsvis att lära mig hur jag kan arbeta för att leda eleverna mot ett algebraiskt tänkande. 8

9 2 Syfte och frågeställningar Syftet med detta arbete är att skaffa mig kunskaper om hur jag på bästa sätt kan förbereda elever i de tidiga åren inför mötet med algebra i de senare skolåren. Vilka aktiviteter främjar elevers utveckling mot ett algebraiskt tänkande? Utifrån ovanstående syfte ställer jag följande frågor: 1. Vilka strategier använder några elever för att upptäcka mönsters uppbyggnad.? 2. Vilka generaliseringar gör några elever i ett växande mönster? 3. Vilka matematiska ord och begrepp använder några elever när de beskriver och analyserar mönster? 9

10 3 Teoretisk bakgrund I grundskolans kursplaner för matematik (Tema Nämnaren) står det att matematik är viktigt för att eleven ska utveckla kunskaper som de behöver för att kunna delta i och fatta beslut, i vardagssituationer. Det är viktigt att elever utvecklar kunskaper som gör det möjligt för dem att följa och delta i de demokratiska beslutsprocesserna. Matematiken ska också ge eleven erfarenheter om matematikens estetiska värden i mönster, former och samband. 3.1 Kursplaner i matematik Grundskolans mål att sträva mot Skolan ska i sin undervisning i matematik sträva efter att eleven - utvecklar intresse för matematik samt [ ] att använda matematik i olika situationer. - inser värdet av och använder matematikens uttrycksformer. - utvecklar sin förmåga att förstå, föra och använda logiska resonemang, dra slutsatser och generalisera samt muntligt och skriftligt förklara och argumentera för sitt tänkande. Strävan skall också vara att eleven utvecklar sin tal- och rumsuppfattning samt sin förmåga att förstå och använda - grundläggande geometriska begrepp, egenskaper, relationer och satser. - grundläggande algebraiska begrepp, uttryck, formler, ekvationer och olikheter. (Tema Nämnaren 1997 s.156) Mål som eleven skall ha uppnått i slutet av femte skolåret - förstå och kunna använda [ ] kunna upptäcka talmönster och [ ]. - ha grundläggande rumsuppfattning [ ] beskriva viktiga egenskaper hos geometriska figurer och mönster. - kunna jämföra, uppskatta [ ]. (Tema Nämnare 1997 s.158) 3.2 Introduktion till algebra Lee (i Bednarz m fl 1996) liknar algebra vid en egen kultur inom matematiken och drar paralleller med att t ex börja på en ny skola, gå med i en idrottsförening eller att flytta till ett annat land. Hon beskriver den algebraiska kulturen, som ett språk, som ett sätt att tänka, som en aktivitet, som ett verktyg och som generaliserad aritmetik. Det är vikigt att hitta vägar in i den nya kulturen för att ha störst möjlighet att lära känna den och för att den ska upplevas som en naturlig del av matematiken. Eleverna har ingen möjlighet att på egen hand lära känna den nya kulturen, de behöver både vägledning och hjälp att komma in i den algebraiska kulturen 10

11 och dess uttryckssätt och användningsområde. Det är lärarens uppgift att på ett varsamt och naturligt sätt hjälpa eleverna. För att lära känna och förstå den nya kulturen är det lämpligt att ta avstamp i det kända. Lins och Kaput (i Stacy m fl 2004) anser att tidig algebra bör innehålla ett algebraiskt resonemang, där man gör jämförelser och hittar samband, med riktning mot att utveckla elevers algebraiska tänkande. De anser att elever kan börja med tidig algebra redan i sjuårsåldern. I Nämnaren Tema (Emanuelsson m fl 1997) skriver författarna att det inte bara är nyttan med matematiken som fascinerar många, det är också skönheten, nöjet och spänningen och att matematiken förekommer både i konsten och i vetenskapen. Ett mönster som är systematiskt uppbyggt kan vara en njutning att se på eller samband mellan tal kan överraska och vara spännande. Att arbeta med generaliseringar som introduktion till algebra har anammats av engelsktalande länder och påverkat deras läroplaner. Det handlar oftast om att hitta en regel för mönster, antingen geometriska mönster eller talmönster, skriver Sunderland (i Stacy m fl 2004). 3.3 Pre-algebra Algebra med inriktning mot elever i de tidiga åren kallas ibland i litteraturen för pre-algebra (Tema Nämnaren 1997). Det betyder att man arbetar utan bokstavssymboler och försöker se relationer, samband och mönster. Det innebär också att man löser uppgifter retoriskt, det vill säga att man resonerar sig fram till en lösning. Viktiga ingredienser i den tidiga algebraundervisningen är att elever får strategier för att upptäcka och analysera mönster. Det är också viktigt att elever får träning i att beskriva mönster och att skapa egna mönster. 3.4 Algebraiskt tänkande Att arbeta med generaliseringar på en pre-algebraisk nivå är att låta elever upptäcka skillnader och likheter, göra avgränsningar, upprepa och upptäcka ordning, att klassificera och benämna former och mönster. Mason (i Bednarz m fl 1996) anser att detta är basen för det han kallar det för det algebraiskt tänkandet och att det utgör grunden för algebra. Han beskriver att det algebraiska tänkandet utvecklas i spiralform och att det sker i tre steg som upprepar sig mot en alltmer formell nivå. 1. För det första krävs det att elever får arbeta med många olika konkreta, mentala och symboliska objekt där de manipulerar mönster på olika sätt och att elever känner en 11

12 trygghet i det och att de utvecklar en känsla för mönster, relationer och generaliseringar. 2. Att elever får ge uttryck för sina upptäckter både muntligt och skriftligt. Förmågan att beskriva utvecklas alltmer om elever får många träningstillfällen. 3. Elevers förmåga att uttrycka vad de ser påverkar i sin tur elevers sätt att betrakta ett mönster, det sker en förändring i vad elever ser och blir uppmärksam på. Det är en fördel för elever att uttrycka sina egna tankar inför andra och att lyssna på andra elevers tankar. Elever lär av varandras sätt att tänka, skriver Mason (i Bednarz m fl 1996). 3.5 Mönster och generaliseringar Vi omges hela tiden av former och mönster och det är något som människan genom historien alltid varit och fortfarande är intresserad av. Barn börjar tidigt kategorisera vardagsföremål. De vet att fåglar har vingar, katter ser ut på ett visst sätt och att stolar har fyra ben. Elever kommer till skolan med en naturlig förmåga att uttrycka generaliseringar och det anses vara en lämplig utgångspunkt för att utveckla det algebraiska resonemanget, anser Mason (i Bednarz m fl 1996). Arbete med mönster bjuder på ett varierat utbud av olika aktiviteter, både till analys av givna mönster som och till skapandet av egna. Mönster i matematiken innebär enligt författarna i Nämnaren Tema (Emanuelsson m fl 1996) att det kan vara en geometrisk form eller en talföljd som upprepar sig eller förändras på ett regelbundet sätt. Författarna skriver vidare att arbete med mönster fördjupar elevers omvärldsuppfattning, utvecklar rumsuppfattning och taluppfattning samtidigt som det är en inkörsport till symbolspråket. Att elever får många tillfällen att högt beskriva mönster på flera olika sätt stärker elevens förståelse och utvecklar tänkandet. I litteraturen kallas dessa översättningar multipla representationer (Tema Nämnaren 1997). Författarna betonar vikten av att eleverna får träning i att översätta mellan olika representationsformer, att samma mönster beskrivs på olika sätt. Det innebär att elever får träning i att beskriva mönster verbalt, i skrift, med bilder och numeriskt. Att arbeta med multipla representationer bidrar starkt till en ökad matematisk förståelse. Thompson (i Stacy m fl 2004) förespråkar att elever får arbeta med begrepp som är mätbara och jämförbara, det vill säga storheter. Det kan vara längd, volym, massa, area och att elever och lärare diskuterar egenskaper som är jämförbara hos olika objekt, både två- och tredimensionella. Elever uppmanas att verbalt beskriva, rita eller skriva ner sina iakttagelser. 12

13 De upplever snabbt att det är svårt och krångligt att kommunicera beskrivningar till någon annan och då uppstår ett behov av att använda förkortningar och det blir en naturlig övergång till användande av bokstavssymboler. Elever upplever en mening med att använda bokstavssymboler. Lee (i Bednarz m fl 1996) anser att arbete med generaliseringar är en extremt effektiv väg att gå för att initiera algebra. Sutherland (i Stacy m fl 2004) påpekar att en vanlig missuppfattning är att generalisering som en väg in i algebra bara handlar om generaliseringar med tändsticksmönster och liknande, det är mer än så. Generalisering är matematik, man skulle kunna säga att ingen generalisering ingen matematik. I Approaches to Algebra skriver Mason (i Bednarz m fl 1996 s.65), Generalization is the heartbeat of mathematics. Författaren menar att förmågan att matematiskt generalisera är en nödvändighet för att utveckla det matematiska tänkandet. Förmågan att matematisk generalisera kräver en medvetenhet om generaliseringar. Ett sätt att simulera medvetenheten är att söka det generella i det speciella och det speciella i det generella. Mason (i Bednarz m fl 1996) säger vidare att eleverna måste få tillfällen att upptäcka och uttrycka egna generaliseringar. Om eleverna får rikligt med träningstillfällen ökar deras förmåga att upptäcka mönster. Generalisering innebär att man gör jämförelser mellan olika objekt. Vissa egenskaper i mönster går att använda i ett generaliserande medan andra inte är användbara. Läraren har en viktig uppgift i att leda eleverna mot iakttagelser som har betydelse för att ett samband ska gälla alltid. Ett mönster kan delas upp på olika sätt och det är inte alla uppdelningar som kan uttryckas i en regel. Elever i de lägre årskurserna som får träning i att upptäcka många olika mönster ur ett större mönster får lättare att i senare årskurser hitta ett mönster som går att generalisera och sätta upp en användbar algebraisk regel. Dougherty (i Stacy m fl 2004) menar att det är möjligt att påbörja arbetet med generaliseringar redan i sjuårsåldern eftersom elever i den åldern naturligt är intresserade av jämförelser, det kan vara vem som har mest, minst eller om de har lika mycket. Att möta elever där de är och bygga på det, får som konsekvens att elever klarar mer än man förut trodde. 3.6 Språk Matematiken har ett eget språk och det är ett exakt språk som är internationellt. Det är ett språk som elever måste lära sig för att klara matematiken (Dahl 1994). Språkets betydelse för att utveckla det matematiska tänkandet är det många som poängterat 13

14 (Malmer 1990). Det språk som vi naturligt använder i vardagen kallas för språk av första ordningen. Språk som vi inte använder oss av naturligt, det kan vara ett främmande språk och det kan var det formella matematiska språket, kallas för språk av andra ordningen (Johnsen Höines i Heiberg Solem & Lie Reikerås 2004 s.19). Språk av andra ordningen är något som vi lär oss efterhand som vi tränar på det. Det formella matematiska språket måste eleven erövra så att det så småningom blir lika naturligt som om man pratar om andra saker säger Johnsen Höines (i Heiberg Solem & Lie Reikerås 2004). Elever som i lugn och ro arbetar med mönster i olika aktiviteter får tid att tänka och formulera sina idéer, se samband och relationer. Det är det inre språket som blir ett yttre språk när elever samtalar med varandra eller med pedagogen, om vilka upptäckter de gjort ( Furgess 1988). I Nämnaren Tema (Emanuelsson m fl 1997) kan vi läsa att språket har stor betydelse för elevens förmåga att beskriva mönster och uttrycka generaliseringar. Att samtala och skriva om matematik stimulerar och utvecklar elevers matematiska tänkande. Malmer (1990) skriver om språkets stora betydelse för elevers förmåga att utveckla matematiska begrepp och föreställningar och att det bör läggas mycket mer tid och omsorg på det området. Johnsen Höines (i Heiberg Solem & Lie Reikerås 2004) delar Malmers uppfattning och hon menar att elevers matematikproblem kan vara ett språkproblem. Att hjälpa eleverna att tillägna sig det formella matematikspråket borde vara ett centralt inslag i matematikundervisningen. Elever som tidigt får träning i att uttrycka generaliseringar och uppmärksamma relationer mellan objekt och som på ett naturligt sätt blir introducerade att använda bokstavssymboler, får tillgång till det algebraiska språket i de tidiga åren, skriver Dougherty (i Stacy m fl 2004). 14

15 4 Metod I min undersökning har jag använt mig av kvalitativa intervjuer. Johansson och Svedner (2001) skriver att kvalitativa intervjuer är den primära metoden att använda när avsikten är att få kunskap om elevers tankar. Syftet med kvalitativa intervjuer är att få så uttömmande svar som möjligt och jag ansåg att det hade varit omöjligt för mig att få svar på mina frågor på annat sätt. I undersökningen förekom två undersökningsförsök. Enligt Johansson och Svedner (2001) kan undervisningsförsök ge värdefulla kunskaper. Undersökningen har jag gjort med elever i skolår 3, under ett par veckor på vårterminen Jag använde mig av ett geometriskt mönster och ett talmönster. En närmare beskrivning av de två mönsteruppgifterna finns längre fram i metodavsnittet. Jag ville i min undersökning se om elever kunde kopiera mönster, göra egna talmönstermönster, göra jämförelser, se samband och relationer samt beskriva med matematiska ord vad de såg. Vad som också intresserade mig var vilka strategier eleverna använde när de analyserade mönster och om de kunde bygga vidare på mönster. Vilka matematiska ord och begrepp hade eleverna i undersökningen tillgång till? Innan jag började med undersökningen gjorde jag en pilotstudie med några elever för att prova intervjuuppgifterna. Jag fick en indikation på att jag troligen behövde ge eleverna i undersökningen lite hjälp och jag fattade beslut hur den hjälpen skulle se ut. 4.1 Urval Intervjuerna är gjorda på en F 9 skola med ca 700 elever i en mellanstor stad. Intervjuerna genomfördes på skoltid under två veckor på vårterminen Jag valde att göra undersökningen på elever från skolår 3 eftersom de har deltagit i matematikundervisning några år och därför hunnit med att få kunskaper, erfarenheter och bekantat sig med matematiska ord och begrepp. Jag började med att fråga skolledningen om de hade några synpunkter på att jag gjorde min undersökning på elever som går på skolan. De hade inga invändningar om jag gjorde undersökningen utanför min undervisningstid. Skolledningen var inte villig att sätta in vikarie för mig under intervjutillfällena. Eleverna känner mig ganska väl eftersom jag undervisar i parallellklassen och vi har klassrummen intill varandra. Vi har också haft vissa aktiviteter tillsammans. Hälften av de intervjuade eleverna kommer från hem med annat modersmål än svenska. Undersökningsgruppen är fem pojkar och fem flickor. Det gjordes ett slumpmässigt urval men med jämn könsfördelning. Till en början valde jag de sex sista pojkarna på 15

16 klasslistan och de sex första flickorna från början på klasslistan, varav två var reserver. Jag samlade de utvalda eleverna och berättade för dem vad jag ville med min undersökning och skickade med dem en blankett hem till deras föräldrar för godkännande (bilaga). Några elever fick inte vara med i undersökningen, av olika skäl och någon blev sjuk. Bortfallet blev för stort. Därför gick jag ut med nya förfrågningar till elever i klassen. Orsakerna till bortfallet varierade: två elever ångrade sig och ville inte delta, två elever blev sjuka och en elev fick inte delta i undersökningen för sina föräldrar. Eleverna som inte ville delta uppgav inte något särskilt skäl och jag vill heller inte pressa fram ett svar. Eleven som inte fick delta för sina föräldrar uppgav inte heller något skäl och jag pressade inte heller fram något svar från henne. Ingen av föräldrarna hörde av sig mig med frågor. 4.2 Intervjumiljö och material Jag intervjuade eleverna enskilt inne i specialläraren rum. Det var en känd miljö för eleverna. Materialet som vi använde i undersökningsförsöket var flytande täckfärg, blå och röd. Vi använde en palett och två korkar som eleven doppade i färg och sedan tryckte på papper. Intervjuerna spelades in på bandspelare. Varje intervju tog ungefär 30 minuter och den skedde under elevernas ordinarie skoltid. Jag hade i förväg tryckt upp ett geometriskt mönster som eleverna fick beskriva. Därefter bad jag eleverna att trycka ett likadant. När eleverna hade kopierat mitt mönster uppmanade jag dem att trycka ett mönster som var en storlek större. Några elever behövde vägledning och jag fick hjälpa till på olika sätt för att komma vidare i intervjun. Efter det geometriska mönstret gick vi vidare och arbetade med talmönstret. Elever fick även här bygga på ett på förhand nedskrivet talmönster. Som avslutning fick eleverna hitta på ett eget talmönster. 4.3 Beskrivning av två mönsteruppgifter Att arbeta med generaliseringar anses vara en effektiv väg in i algebra (Lee i Bednarz m fl 1996) och har anammats av engelsktalande länder och påverkat deras läroplaner. Det handlar oftast om att hitta en regel för mönster, antingen geometriska mönster eller talmönster, skriver Sunderland (i Stacy m fl 2004). Jag valde två undersökningsuppgifter, ett geometriskt mönster och ett talmönster. Den första undervisningsuppgiften var ett geometriskt mönster och finns att hämta på Nzmaths (2005) web-sida, vilken har som uppgift att se till att de mål som regeringen har satt upp, uppnås. Uppdraget är att höja prestationsnivån hos elever och minska skillnader i 16

17 prestationer mellan olika skolor och områden. Webbsidan fungerar som ett stöd för lärare/föräldrar och den innehåller ny forskning, olika undervisningsområden och undervisningsuppgifter, artiklar och mycket mer, för att effektivisera undervisningen så mycket som möjligt. Jag har hämtat den geometriska uppgiften från Mathematics in the New Zeeland curriculum. Ministry of Education anser att algebra för de yngre eleverna bör fokusera på generaliseringar och mönster samt funktioner. Jag anser att det finns stöd för att arbeta med geometriska mönster i litteratur som jag har läst och därför har jag valt en uppgift från deras samling som de kallar Exploring Patterns progression (NzMaths 2005). Det första elementet startade med en kvadrat bestående av tre röda - och en blå prick. Figur 1. Röda prickar i vänster och nedre kant. Blå prick längst upp i höger hörn. Exploring Patterns progressionen har fem nivåer: Nivå 1: - kopiera ett mönster och skapa nästa element Nivå 2: - upptäcka relationer i det växande mönstret och kunna beskriva dessa. Nivå 3: - upptäcka en regel för förändringen mellan elementen. Nivå 4: - förutsäga hur många prickar som behövs i n-element utan att veta antalet pricka i föregående element. Nivå 5: - hitta ett algebraiskt uttryck för att beskriva relationer. Jag nöjer mig med att beskriva de tre första nivåerna i Exploring Patterns progression (NzMaths 2005). Det är de nivåerna i progressionen som eleverna i undersökningen arbetar. Nivå 1: Kopiera mönster och skapa nästa element. Här får elever bekanta sig med begreppet mönster. Att mönster har en grundform som upprepar sig. Betoningen ligger på att eleverna får många tillfällen att arbeta med mönster på många olika sätt. Det är träning i att analysera mönster och att skapa egna mönster. Elever lär sig att uttrycka vilket nästa element blir. Ett viktigt moment är att man arbetar med ordningen i det växande mönstret, att eleven kan se skillnaden mellan de växande elementen (NzMaths 2005). Nivå 2: Elever arbetar med att bygga på mönster på ett mer systematiskt sätt. Nu kan elever använda sig alltmer av talmönster. De har en första term, en andra term, en tredje term. Elever klarar multiplar med enklare tal, det kan vara två-hopp, tre- hopp, de enkla 17

18 multiplikationstabellerna. Efterhand kan de förutsäga vilka tal som kommer härnäst (NzMaths 2005). Nivå 3: Nu kan elever känna igen relationerna mellan olika element i ett växande mönster och använda sig av tabeller för att hitta relationer mellan olika element. Elever kan arbeta med mer komplicerade talmönster. De klarar ganska lätt multiplar av 3, 5 och liknande talmönster. De behöver nu arbeta med mer komplicerade talmönster, som Fobonaccis talföljd, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 där man adderar de två föregående termerna. De kan också göra egna talmönster och beskriva verbalt regler för talsekvenser (NzMaths 2005). Undervisningsuppgift nummer två var ett talmönster som finns på ED.gov (2004), U.S. Department of Educations web-sida. Department of Education (ED.gov) bildades år 1980 på uppdrag av kongressen i USA. Ett av deras uppdrag är att stärka det allmänna uppdraget att se till att alla individer får tillgång till en likvärdig utbildning. NCTM (National Council of Teachers of Matematics) är en avdelning inom ED.government och deras mål är att underlätta för lärare och skoldistrikt i deras strävan att implementera kursplaner i matematik. Webbsidan innehåller NCTM s Principles and standards, undervisningsförslag och mycket mer. Beth Cole (Ed.gov. 2004) presenterar ett arbete på ED.government som hon har gjort med elever under rubriken Patterns to symbols: Algebra. Arbetet innehåller olika undervisningsuppgifter som förbereder elever för algebra undervisning. Författaren anser att den lättaste vägen för elever att lära sig algebra är att arbeta med generaliseringar och mönster. NTCM standards har i sin progression kategoriserat elevers ålder och föreslår vilka typer av aktiviteter som är lämpliga för varje åldersgrupp. Jag gör en närmare presentation av de två första nivåerna i NTCM standards progression: Förskola - skolår 2. Känna igen, beskriva och bygga på mönster. Det kan vara olika typer av mönster, ljudsekvenser, former och enkla talmönster. Att översätta ett mönster från en representation till en annan. Att kunna analysera ett mönster som upprepar sig eller ett mönster som växer. Skolår 3 5. Beskriva, bygga på och göra generaliseringar av geometriska mönster och talmönster. Skapa egna/ analysera mönster och funktioner verbalt, med tabeller och diagram. Talmönster anses viktigt att arbeta med både i NzMaths (2005) och i ED.gov (2004). Därför har jag även med ett talmönster som undersökningsuppgift. 18

19 Jag valde ett talmönster som finns med i Beth Cole s Patterns of symbols:algebra som jag anser är lämpligt att använda utifrån mina frågeställningar. Det är ett enkelt talmönster med multiplar om två, ett talmönster som hela tiden ökar med två (se figur 2). Figur 2. Talmönstret ökar hela tiden med två. Med dessa två uppgifter arbetade jag på de olika nivåerna i Exploring Patterns progression (NzMaths 2005). På vilken nivå befinner sig eleverna i undersökningen när de gör sina generaliseringar? Vilka strategier använder elever i skolår 3 när de analyserar mönster? Vilka matematiska ord och begrepp har elever i skolår 3 tillgång till när de beskriver och analyserar mönster? 4.4 Databearbetning De elevers namn som förekommer i rapporten är fingerade. Intervjuresultatet har jag delat in i tre kategorier. Kategorierna följer nivåerna i Exploring Patterns progression (NzMaths 2005). Nivå 1: Innehåller intervjusvar som: - beskriver mönstret - kopiera mönster korrekt Nivå 2: Innehåller intervjusvar som: - beskriver förändringen mellan elementen korrekt. Nivå 3: Innehåller intervjusvar som. - kan förutsäga nästa element. 19

20 5 Resultat Resultatet redovisas utifrån de ovan beskriva nivåerna (NzMaths 2005). På varje nivå redovisar jag vilka strategier eleverna i undersökningen använder när de analyserar mönster, vilka generaliseringar de gör och vilka matematiska ord och begrepp de använder. 5.1 Generalisering på nivå 1 - Eleven kan kopiera och beskriva mönster samt trycka nästa element. Figur 3. Kvadraten har fyra prickar. Vänster och nedre kant är röd. En blå prick i övre högra hörnet. Geometriskt mönster Nio elever av tio klarade av att kopiera figur 3 och alla tio gjorde en korrekt beskrivning av mönstret. Strategier eleverna använde när de analyserade mönstret:. hälften av eleverna som deltog i undersökningen såg helheten, alltså kvadraten därefter delarna, prickarna (Anna, Lena, Niklas, Fabian och Dora). fyra elever såg delarna först och därefter kvadraten ( Leo, Mohammad, Lars och Johanna). två elever uppmärksammade att mönstret hade två färger (Johanna och Mohammad). Leo hade ett alldeles eget sätt att se på mönstret. Han såg formerna i mönstret, men han såg inte kvadraten, han såg kryss. Intervjuare: - Vad har jag gjort för mönster (figur 3)? Leo: - Fyra prickar. Intervjuare: - Bildar prickarna något mönster tillsammans? Leo: - En väg, ett kryss. Det var endast två elever som spontant kommenterade att prickarna hade olika färger (figur 3. När vi arbetade vidare med figur 3 var nästa steg att trycka nästa element (se figur 4). Nästa element skulle vara en storlek större. Det var inte särskilt lätt, vad menas med en storlek större? Var det en prick till, eller.? För att komma vidare hjälpte jag elever på olika sätt. Jag påpekade att formen fortfarande skulle vara en fyrkant eller så fick jag helt enkelt trycka nästa element själv och därefter uppmana till nytt försök att göra fyrkanten en storlek större. 20

21 Sju elever klarade att trycka nästa element (figur 4). Fem av dessa elever fick hjälp på olika sätt. Figur 4. Den vänstra kanten och nedre kanten i kvadraten har röda prickar. De övriga fyra prickarna är blå. Matematiska ord och begrepp elever använder: Prickar, fyrkant, små, runt, likadan, formen, först, cirklar, fyrkant, bollar, större, runda, ringar, kryss. 5.2 Generalisering på nivå 2 - Eleven beskriver förändringen i mönstret korrekt. Geometriskt mönster Sju av eleverna tryckte nästa element i det växande mönstret (figur 4), endast två av dem klarade det på egen hand. Alla elever i undersökningen kunde verbalt beskriva förändringen mellan två element. De använde sig av olika strategier för att upptäcka och beskriva skillnaden. Strategier som eleverna använde när de analyserade och gjorde jämförelser mellan två element i det växande geometriska mönstret: Räknade först de röda sedan de blå ( Johanna, Mohammmad och Niklas). Såg att det var fyra i varje rad och att det är fyra rader, 4*4 (Lars). Ser hur många det är i varje rad, räknade därefter raderna (Dora, Fabian, Lena och Moa). Räknar från det förra elementet och fyller upp till nästa element (Anna och Lena). Räknade subtraktion (Johanna, Lars, Moa och Niklas). Beskrev skillnaden, separerade ökningen i blåa och i röda prickar (Anna och Lena). Det bli fler kryss på nästa element (Leo). Johanna arbetade hela tiden med färgerna. Hon tryckte de röda först och hon räknade dem först. 21

22 Dora stötte på svårigheter när hon skulle beskriva var ökningen skett mellan 1a och b i mönstret. Jag visade henne de två första elementen som jag tryckt. Intervjuare: - Det skiljer fem mellan de två första mönstren, var har jag ökat någonstans? Dora: -..(hon pekar på tre sidor). Dora kopierade mitt andra element (bild b). Intervjuare: - Rita ut pilar där du behöver öka för att den ska bli en storlek större(se bild c). Dora ritar ut pilar och trycker 3:e elementet. Fullföljer inte sin plan och trycker en blå för mycket inne i kvadraten, samtidigt som hon fyller på med röda prickar.(se bild 5). 1 a b c Dora kopierar (bild b)och visar med pilar var nästa ökning ska ske. Figur 5 Dora trycker nästa element. Hon har en röd ram och fem blå prickar i mitten. Matematiska ord som elever använde: skillnad, större, mer, nere, uppe, mitten, en till, räkna ihop, plus, räknade upp, första, två till, gånger, skiljer, nästa figur, hoppar, steg, plussar, andra, lika många, ökar. Talmönster När vi arbetade med talmönstret var det inga problem för de elever som deltog i undersökningen att beskriva och bygga på med tre nya tal (se figur 6). De klarade multiplar på två, ökning med två steg i taget, utan problem. De gav ett säkert intryck när de talade om talmönstret och de visade att de kunde generalisera ett enkelt talmönster. Eleverna hade tränat 22

23 på multiplikationstabellerna i skolan och var väl förtrogna med tvåans tabell. Alla elever i undersökningen kunde hitta på egna enkla talmönster. Niklas resonerade så här: Intervjuare: - Kan du se något mönster i talmönstret (figur 6)? Niklas: - Den ökar. Intervjuare: - Kan du se något mönster i ökningen? Niklas: - Två upp. Intervjuare: - Hur kom du fram till det? Niklas: - Två plus två är fyra, fyra plus två är sex, sex plus två är åtta. Intervjuare: - Kan du skriva till nästa tre tal? Niklas gjorde först fel, rättade sig själv och lade sedan till, 10, 12, 14. Eleverna fyller på talmönstret med tre tal. Figur 6 Strategier som eleverna i undersökningen använde när de analyserade talmönster: Tvåhopp, ser multiplarna (Lena, Mohammad, Fabian, Leo, Niklas, Johanna, Lars, Moa). Två plus två är fyra, fyra plus två är sex.(anna). Räknade varannan, räknade framåt och hoppade över en (Dora). Räknar snabbt, en och en, hoppar över en, 2 (3) 4 (5) 6 (7), 8 (Anna). Matematiska ord och begrepp som elever använder: Jämna tal, tvåhopp, högre, ökar, två upp, plus, dela, lika stora, tvåans tabell, större tal, varannan, dubbelt, 5.3 Generalisering på nivå 3 - Kan förutsäga nästa element i ett växande mönster. Geometriskt mönster Lena och Lars upptäckte hur elementen i det geometriska undersökningsuppgiften ökade för varje gång det byggdes på (se figur 3 och 4) och de kunde verbalt uttrycka en regel för nästa ökning. 23

24 Intervjuare: - Hur många skiljer det mellan de olika mönstren? Lena: - Fem och sju. Intervjuare: - Om vi skulle göra ett mönster som var ännu större, hur många skulle vi behöva öka med då? Lena: - Två. Intervjuare: - Två? Lena: - Två till. Intervjuare: - Hur menar du? Lena: - Sju och två till. Lars beskrev ökningarna mellan elementen så här: - Fem plus två blir sju, sju plus två blir nio, nio plus två blir elva. Strategi som båda eleverna använde för att generalisera ökningen det geometriska mönstret: Båda eleverna ser att man tar föregående elements ökning och lägger till 2. Matematiska ord och begrepp: Två till, plus Talmönster Vi arbetade vidare med talmönstret och eleverna som deltog i undersökningen fick frågan: Passar talet 21 in i talmönstret? Två elever tyckte att talet 21 skulle passa in. En elev sade först att det passar in men ändrade sig när jag bad henne fortsätta räkna upp två steg i taget. Sju elever gav ett säkert intryck och de motiverade sitt svar med att talet 21 är ett udda tal, därför passar det inte in i talmönstret. Strategier elever använder för att ta reda på om talet 21 passar in i talmönstret: Prövar om talet kan delas i två lika stora högar (Moa, Lars, Johanna, Niklas, Dora, Fabian, Mohammad). Tittar på sista siffran och konstaterar att det är ett udda tal (Lena). Matematiska ord och begrepp elever använder sig av: Udda tal, jämna tal, dela i två lika stora högar, lika många, mer, räknar upp i vartannat, trehopp, inte dela på. 24

25 6 Diskussion Syftet med detta arbete var att skaffa mig kunskaper om hur elever i skolår 3 tänker och vilka strategier de använder när de analyserar mönster. Vilka generaliseringar gör elever när de gör jämförelser i ett växande mönster? Vilka matematiska ord och begrepp använder elever när de beskriver sina aktiviteter med undersökningsuppgifterna? Jag börjar med att beskriva min allmänna uppfattning av undersökningsresultatet, därefter kommer en analys av två elevers resultat som utmärkte sig på olika sätt. Leo visade på stora svårigheter och stor osäkerhet när vi arbetade med undersökningsuppgifterna, särskilt den geometriska uppgiften. Lena däremot visade stor säkerhet och trygghet när hon löste uppgifterna och hon klarade uppgifterna bra. Därefter diskuterar jag tillförlitligheten i min undersökning. Jag avslutar med vilka slutsatser jag dragit utifrån de kunskaper och den information jag fått under arbetets gång. Nio elever i undersökningen var osäkra när de skulle bygga vidare på mönstret i den geometriska uppgiften och det bekräftade den uppfattning jag hade innan jag började min undersökning. Den första uppgiften var att bygga på ett tvådimensionellt geometriskt mönster och här hamnade flera elever i svårigheter. Några kunde gå vidare sedan de fått en ledtråd. Endast två elever upptäckte en regel för hur mönstret växte för varje nytt element. Två andra elever uppmärksammade de båda färgerna i mönstret och när de beskrev ökningen mellan elementen. Ingen elev uppmärksammade något samband mellan färgerna när mönstret ökade i storlek. Jag anser att eleverna i undersökningen behöver arbeta mycket mer med geometriska mönster på olika sätt, att göra jämförelser, se samband mm, vilket leder eleverna mot ett algebraiskt tänkande. (Mason i Bednarz m fl 1996). Eleverna i undersökningen hade svårt att verbalt uttrycka sina analyser och beskrivningar av mönsteruppgifterna. De saknade matematiska ord och begrepp för att kunna beskriva sina iakttagelser för mig, därför pekade eleverna mycket som stöd i sina ansträngningar att kommunicera med mig. Endast två elever kunde verbalt uttrycka en regel för hur elementen ökade. Elever som delger varandra sina upptäckter och tankar utvecklar sitt matematiska tänkande, samtidigt som de lär sig matematiska ord och begrepp (Malmer 1990). Mason (i Bednarz m fl 1996) säger att övning 25

26 ger färdighet och det är just vad dessa elever behöver. Två elever arbetade på nivå 3 med att generalisera det geometriska mönstret enligt Exploring Patterns progression (NzMaths 2005). När vi arbetade med talmönstret visade alla eleverna en större säkerhet, det var något de hade arbetat med tidigare och kände igen. Vi tränar på det, vi hoppar i skolan, säger Fabian. Träning ger färdighet, som Mason skriver (i Bednarz m fl 1996 ). Eleverna i klassen har under läsåret färdighetstränat multiplikationstabellen. Tyvärr hade jag endast ett enkelt talmönster med multiplar om två, med i undersökningen. Jag lyckades tyvärr inte med progressionen i talmönstret. Skulle ha byggt på med fler talmönster i en stigande svårighetsgrad för att kunna upptäcka en progression. 6.1 Analys av två elevers resultat Vilka strategier använder Leo och Lena när de analyserar mönster? Leo såg inte helheten i det geometriska mönstret och han var ensam om att uttrycka mellanrummet mellan prickarna, att de bildade vägar och kryss. När han analyserade de två elementen i det växande mönstret kunde han se fyra prickar medan nästa element som hade nio prickar räknade han en + en, samtidigt som han pekade. När Leo tittade på talmönstret såg han att det ökade med två hela tiden, han använde sig av addition när han gjorde sin analys. Han gav ett säkrare intryck när vi arbetade med talmönstret och det märktes att han arbetat mer med den typen av mönster. Jag anser att Leo har behov av att arbeta mer med olika typer mönster i syfte att skaffa sig strategier för att analysera mönster, bygga på ett växande mönster, upptäcka att mönster har grundformer som upprepar sig. Att arbeta med talbilder skulle hjälpa honom att få fler inre bilder och det ger honom möjlighet att utveckla sin abstraktionsförmåga (Emanuelsson m fl 1997). Lena såg först helheten i det geometriska mönstret. Därefter beskrev hon formen som byggde upp mönstret. Hon kallade delarna i mönstret för bollar. När hon jämförde de två elementen i det växande mönstret såg hon direkt att det första objektet hade fyra bollar. Det andra 26

27 elementet hade nio bollar och hon såg att det var tre rader i mönstret och att det var tre bollar i varje rad: - Jag räknar tre + tre + tre, sa hon. När Lena räknade ut skillnaden mellan de två elementen startade hon på fyra och fyllde upp till nio. Talmönstrets tvåhopp var en lätt uppgift för Lena. Hon såg direkt att det var tvåhopp och att det var jämna tal. Talet 21 passar inte in i talmönstret, säger Lena och motiverade sitt svar med att talet ett är ett udda tal. Lena gav ett säkert intryck när vi arbetade med båda uppgifterna. Hon pekade inte och nickade inte eller visade andra tecken på att hon behövde ett fysiskt stöd för sitt räknande. Lena visade istället att hon har inre bilder och därmed också har förmåga att abstrahera (Emanuelsson m fl 1997). Jag anser att utvecklingsbehovet för Lena är att göra henne uppmärksam på rader och kolumner. Hon använder sig redan av rader när hon räknar ut antalet bollar i mönstret. Att leda henne vidare mot rader och kolumner innebär att göra henne uppmärksam på att det går att använda multiplikation för att räkna ut antalet bollar och hon bygger på den strategi som hon redan har och gör den mer effektiv Vilka generaliseringar gör Leo och Lena i ett växande mönster? När det geometriska mönstret växte frågade jag Leo om mönstret fortfarande hade samma form. Han svarade nej och gav istället uttryck för att mönstret blev större, vilket det också blev. Han fortsatte att leta former inne i mönstret när det växte: - Det blir fler kryss, säger han. Mason (i Bednarz m fl 1996) betonar vikten av att elever tillåts hitta sina egna generaliseringar och det har Leo gjort, han har sett något som ingen annan såg. Leo uppmärksammade inte helheten men jämförde och såg förändringen mellan de två elementen och han beskrev ett par relationer. Han såg att mönstret blev större och han pekade och visade var det tillkommit fler kryss. Jag gick inte vidare eftersom Leo var mycket nervös och osäker. Att han inte såg hela mönstrets form tyder på att han har brister i sin rumsuppfattning. I TEMA Nämnaren (Emanuelsson m fl 1996 s.164) skriver författarna att ett kriterium för god rumsuppfattning innebär att eleven kan känna igen och beskriva [ ]de vanligaste geometriska objekten. Leo klarade att kopiera mitt mönster och han såg att det växte när han jämförde de två elementen, men han klarade inte att öka på mönstret själv. Talmönstret gick, som tidigare påpekats bättre och han visade att han kan generalisera ett enkelt talmönstret när han säger att 27

28 det skiljer två mellan varje tal och han kan bygga på med tre nya tal. Talet 21 passar in, tyckte Leo och visade att han inte är säker på multiplar om två. Leo gjorde sitt eget talmönster med multiplar på två ( tvåhopp). Enligt Exploring Patterns progression (NzMaths 2005) befinner sig Leo på nivå 2 i sin förmåga att generalisera ett enkelt talmölmönster. Jag anser att det närmaste utvecklingsbehov för Leo är att arbeta vidare med att undersöka olika typer av mönster på olika sätt; det kan vara att analysera mönster, bygga på ett växande mönster, upptäcka att mönster har en grundform som upprepar sig. Han behöver utveckla sin förmåga att se samband, upptäcka skillnader och likheter. Detta är nödvändigt för att Leo ska utveckla det algebraiska tänkandet (Mason i Bednarz m fl 1996). När Lena beskrev förändringarna och relationerna mellan elementen gav hon ett tryggt och säkert intryck. Hon benämnde formerna och mönstret, upptäckte skillnaden mellan elementen och kunde beskriva förändringen och det är några av de kriterier som Mason (i Bednarz m fl 1996) har i sin definition av algebraiskt tänkande. Hon kunde kopiera mitt mönster och visa var ökningen för nästa element skulle ske. Hon såg ett mönster i ökningen mellan de olika elementen och kunde förutsäga hur stor nästa elements ökning skulle bli, utan att trycka mönstret eller använda annat hjälpmedel. Verbalt kunde hon uttrycka en regel för hur ökningen mellan elementen såg ut. Enligt Exploring Patterns progression (NzMaths 2005) arbetar hon på nivå 3. Talmönstrets tvåhopp såg Lena och visade prov på sin förmåga att generalisera ett enkelt talmönster. Hade jag haft med ett lite svårare mönster hade hon säkert klarat det också. Jag lyckades inte med att skapa en progression i uppgiften vilket gjorde att hon hamnar på nivå 2 när det gäller att hitta en regler för talmönster. Utvecklingsbehovet för Lena är att att komma vidare till nivå 4. Hon behöver arbeta med tabeller för att skapa och beskriva mönster, undersöka olika mönster och relationer. Lena behöver arbeta vidare med att uttrycka regler för att kunna förutsäga element som inte kommer direkt efter föregående element (NzMaths 2005). Lena är redan på god väg mot ett algebraiskt tänkande och behöver fler och svårare utmaningar med mer komplicerade mönster (Mason i Bednarz m fl 1996). 28

29 6.1.3 Vilket matematiskt ordförråd har Leo och Lena när de beskriver och analyserar mönster? Det formella matematiska språket är ett språk av andra ordningen och det tar tid för eleverna att använda det på ett naturligt sätt, säger Johnsen Höines (i Heiberg Solem & Lie Reikerås 2004) och det anser jag att jag fått belägg för i min undersökning. Av de tio elever som deltog i undersökningen har fem elever svenska som sitt andra språk. Jag kunde inte se att dessa elever hade färre matematiska ord än de elever som har svenska som sitt första språk. Däremot kunde jag se skillnad i Leos och Lenas matematiska ordförråd. Lena som arbetade på nivå 3 när hon generaliserade mönster använde sig av fler matematiska ord och begrepp än Leo som arbetade på nivå 1 (NzMaths 2005). Matematiska ord och begrepp som Leo använde sig av under intervjun: prickar, en mer och plus. Lenas matematiska ord som hon använde sig av under intervjun: sista, siffra, dela, udda tal, lika stora, jämna tal, tvåhopp, två till, första, sedan, plus, fyrkant, större, bollar Tillförlitlighet Undersökningen är gjord på 10 elever och underlaget är för litet för att dra några generella slutsatser. Jag har gjort kvalitativa intervjuer och därför har inte frågorna till eleverna varit exakt likadana. Underlaget är inte stort. Därför finns det säkert mer information att få, med ytterligare intervjupersoner. Den geometriska undersökningsuppgiften fungerade bra och det gick att se progressionen i elevernas strävan att generalisera det geometriska mönstret (NzMaths 2005). När det gällde talmönstret lyckades jag inte alls med att utveckla den uppgiften så att det gick att se en progression i generaliseringarna. Leo var nervös under intervjun och jag vet inte hur det påverkade hans resultat. Han får mycket stöd av speciallärare i skolan och hans självförtroende är kanske inte så bra i skolsituationer. 6.3 Slutsatser Jag anser att jag fått svar på de frågor jag hade. Jag har fått kunskaper om vilka strategier några elever använder när de analyserar mönster, vilka jämförelser och samband de ser i ett växande mönster. Undersökningen har gett mig nya insikter och kunskaper som jag kommer att ha användning för i mitt arbete. Jag har förstått hur viktigt det är att elever får möjlighet att uttrycka sina strategier och minst lika viktigt, att lyssna på andra elever. Det är en fördel för elever att uttrycka sina egna tankar inför andra och att lyssna på andra elevers tankar. De lär av varandras sätt att tänka, skriver Mason (i Bednarz m fl 1996). Som jag tidigare nämnt lyckades jag inte få fram progressionen i talmönstret. Därför skulle jag vilja göra ett nytt försök att hitta progressionen i arbetet med talmönster. 29

30 Jag anser att eleverna som deltog i undersökningen har få matematiska ord och begrepp och det överraskade mig. Naturligtvis väcks nya frågor under undersökningens gång. Jag skulle väldigt gärna vilja få kunskaper om vilka svårigheter elever kan hamna i när de gör översättningar mellan olika representationsformer, multipla representationer (beskriva mönster på olika sätt, muntligt-bild-skrift-numeriskt). 30

31 7 Källförteckning Bednarz, Nadine & Kieran, Carolyn & Lee, Lesley (1996). Approaches to Algebra. Dordrecht, The Netherlands: Kluwer Academic Publishers. Dahl, Kristin (1994). Matte med mening. Aarhuus, Danmark: Alfabeta förlag. Emanuelsson, Göran & Rosén, Bo & Ryding, Ronnie & Wallby, Karin (red.) (1997). Nämnaren Tema: Algebra för alla. Mölndal: Institutionen för ämnesdidaktik, Göteborgs universitet. Emanuelssom, Göran & Wallby, Karin & Johansson, Bengt & Ryding, Ronny (red.) (1996). Nämnaren Tema: Matematik ett kommunikationsämne. Mölndal: Institutionen för ämnesdidaktik, Göteborgs universitet. Furness, Anthony (1988). Mönster i matematiken. Solna: Ekelunds förlag AB. Heiberg Solem, Ida & Lie Reikerås, Elin Kirsti (2004). Det matematiska barnet. Stockholm: Natur och Kultur. Johansson, Bo & Svedner, Per Olov (2001). Examensarbetet i lärarutbildningen. Uppsala: Kunskapsföretaget i Uppsala AB Malmer, Gudrun (1990). Kreativ matematik. Solna: Ekelunds förlag AB. Stacey, Kaye & Chick, Helen & Kendal, Margaret (2004). The Future of the Teaching and Learning of Algebra. Dordrecht, The Netherlands: Kluwer Academic Publisher. Skolverket (2000). Diagnostiska uppgifter i matematik. Stockholm: Liber Distribution Publikationstjänst. Skoverket (2005). En sammanfattning av TIMMS Stockholm: Fritzes kundservice, Elektroniska källor: NzMaths (2005). Ministry of Education, Wellington, New Zealand (mars 2005). Hämtad ED.gov (2004). Department of Education, USA (2004). Hämtad

32 Bilaga Till målsman. Hej Jag heter Marianne Eriksson och jag gör mitt examensarbete på Malmö högskola, på lärarutbildningen. Mitt examensarbete gör jag i ämnet matematik. I undersökningen jag planerar att utföra vill jag lära mig hur elever tänker när de analyserar mönster och vilka matematiska ord de använder. Syftet är att jag ska se ev hinder elever kan stöta på när de löser dessa uppgifter. Varför jag intresserar mig för detta beror på att senare internationella undersökningar visar att svenska elever halkar efter inom algebra. Jag planerar att intervjua fem flickor och fem pojkar i 3A. Jag kommer att återge delar av intervjuerna i rapporten, men barnen kommer att vara anonyma. Jag ber därför om er tillåtelse att få intervjua Ert barn. Har ni några frågor så tag gärna kontakt med mig på skolan eller skriv till marianne.eriksson@helsingborg.se. Målsmans underskrift