MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. matematik Torbjörn Tambour. Matematik för kemister K1 Matematik för naturvetare I

Transkript

1 MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Av. mtemtik Torbjörn Tmbour Mtemtik för kemister K Mtemtik för nturvetre I Bråk och bråkräkning Om u tycker tt u behärskr bråkräkning så behöver u inte läs et här och om u upptäcker efterhn tt u behöver repeter, så kn u llti gå tillbk och gör et. Observer tt et är meningen tt u skll räkn för hn. Du får gärn nvän räknre för tt kontroller och jämför, men u skll i först hn rbet me ppper och penn; et är ju bråkräkning och inte knpptryckning u skll trän. Ett rtionellt tl är ett vnligt bråk, vs ett tl v formen /b är och b är heltl (självklrt måste b 0 eftersom mn inte kn ivier me 0). Exempel är /, /3, /4, 0/64 och 7. Observer särskilt tt ll heltl är rtionell tl - mn kn ju skriv 7 = 7/, om mn vill. I tlet /b klls täljre och b nämnre. Oret täljre kommer v ett gmmlt or för räkn, tälj, och nämnre kommer v tt nämn (något vi nmn). Det är precis så mn skll tänk på ett bråk, säg /7: Täljren räknr hur mång mn hr och nämnren 7 berättr v et är mn hr, i et här fllet sjuneelr. /7 betyer lltså två stycken sjuneelr, två sjuneelr. Mn kn säg tt sjuneel är enheten och tvån i täljren säger hur mång enheter mn hr. Den här lill språklig utvikningen knske verkr trmsig, men en är fktiskt gnsk br tt h i bkhuvuet när mn vill förstå v bråk är och hur mn räknr me em. När mn tänker på tlet /7 som två stycken sjuneelr, så inser mn omeelbrt tt Dett ger också 7 = 7 och llmänt tt b = b. 4 7 = 4 7 = 7 = 7, vs llmänt c b = c b. Två viktig opertioner på bråk är förlängning och förkortning. Att förläng ett bråk betyer tt multiplicer täljre och nämnre me smm tl och et viktig i smmnhnget är tt ett inte änrr tlets väre. I en formel skrivs et här b = c bc. () Här hr vi förlängt bråket /b me c. Om mn läser likheten från höger till vänster istället så hr vi å nr sin ett exempel på en förkortning v ett Heltlen är 0, ±, ±, ±3,.... Tlen 0,,, 3,... klls nturlig tl. Minnesregel: täljren i toppen och nämnren är nere.

2 bråk. Här är ett pr exempel: Ett särskilt viktigt exempel är = 3 3 = 6, 6 3 = = 4 9. = = = 3 3 =.... Hur kn mn förstå och motiver tt bråken /b och c/bc betyer smm tl? Jo, tänk t ex på tlet /7 och tänk närmre bestämt på et som en sjuneels tårt. Det går förstås sju sån bitr på en tårt. Om vi elr vrje sjuneel på mitten så får vi 4 stycken fjortonels tårtbitr och vrje sjuneel består v två stycken fjortonelr. Alltså måste 7 = 4 = 4. Eftersom hälften v en sjuneel är en fjortonel, så hr vi även 7 / = 4 = 7 ; llmänt b /c = b c. När mn i prktiken rbetr me rtionell tl så strävr mn oft efter tt h em på en form är mn inte kn förkort längre. Exempelvis förerr mn formen 4 frmför 3. Det finns situtioner i vilk mn hr behov v tt förläng, men oft strävr mn som sgt mot en här fullstänigt förkorte formen. Det finns metoer för tt vgör huruvi ett bråk är fullstänigt förkortt (som mn till och me kn rbet me utn tor eller räknre; e vr kän ren uner ntiken!), men e är inte intressnt för vårt vikommne. Vi är nu nästn reo tt multiplicer bråk. Hur skll mn uppftt exempelvis 3? Låt oss ett ögonblick ersätt 3/ me ett gotyckligt tl x och funer över v x kn vr. Om vi multiplicerr et här tlet me så får vi x = x = x = x = x och härv rr vi slutstsen tt x måste vr hälften v x, vs Om x = 3/ så betyer ett x = x/. 3 = 3 / = 3 = 3 0.

3 Den llmänn formeln för bråkmultipliktion blir b c = b c = c /b = c b = c b = c b. Noter tt en här formeln så tt säg innehåller formeln för förlängning: b = b = b c c = c bc. Division v ett bråk me ett nnt är inte heller någon konst: Tlet y = b bör ju h egenskpen tt om vi multiplicerr et me c/, så får vi /b, / c y c = b. Men enligt formeln för multipliktion gäller bc c = c bc och förkortr vi i högerleet me c så får vi Alltså måste bc c = b. / c = bc. y = b Det återstår tt re ut hur mn err rtionell tl. Om nämnrn är lik så är et enkelt: = + = I or kn mn uttryck ett: om mn hr två enheter v något (t ex äpplen eller nionelr) och lägger till ytterligre fem enheter, så hr mn smmnlgt + = 7 enheter (äpplen eller nionelr). Men v blir exempelvis + 7? Om vi fortsätter tt tl i termer v enheter som ovn, så måste vi här ersätt enhetern tolfteelr respektive tjugonrelr me en gemensm enhet, eller me nr or uttryck em i en gemensm enhet. Hur hittr vi en sån? Jo, genom tt förläng e bå bråken. Förläng / me och 7/ me : + 7 = + 7 3

4 Nu hr vi smm nämnre, nämligen = 64, och vi kn er: = = Den llmänn formeln för bråkition blir på smm sätt b + c = b + bc b + bc =. b Här krävs ett pr kommentrer. För et först är slutresulttet 94/64 inte fullstänigt förkortt t ex eftersom båe täljre och nämnre är elbr me : = 94/ 64/ = 97 3 vilket råkr vr fullstänigt förkortt. För et nr är inte en minst möjlig nämnren. En minre är 3, vilket mn ser genom räkningen + 7 = = = I vårt rbete i en här kursen finns et ock ingen nlening tt stänigt sträv efter en här minst gemensmm nämnren. Till sist skll vi ge ett pr exempel och vrn för någr fllgropr. Exempel: 3 = = = 4 = Lägg märke till i vilken orning räkneopertionern skll utförs: först multipliktionen 3 och ärefter subtrktionen. Skilj lltså nog melln 3 ( och ) 3. V blir förresten et senre bråket? Exempel: I ett uttryck som b + c fungerr bråkstrecket som en prentes. Uttrycket är me nr or lik me (b + c) = b + c. Ibln ser mn tyvärr en felktig uträkningen b + c = b + c, 4

5 men en ger egenomligheter som t ex 3 = = = 3. Exempel: Ett nnt fel som mn ser å och å är en vnsinnig form v bråkition, nämligen = =, lltså ition v täljrn respektive nämnrn för sig. Använer vi en här metoen på summn / + / så får vi vilket ju fktiskt är ren glenskp! + = + + = 4 =, När mn hr lärt sig räkn me rtionell tl så är steget till tt rbet me uttryck som + bc + e inte lls långt och i själv verket hr vi ju ren gjort et ovn, fst å låtsts tt bokstävern står för olik heltl. Men et är förstås inget som hinrr tt e står för nr typer v tl eller är vribler: x x = x x x x ( x)/x = = x x x(x ) = x. (Just en här lill räkningen hr mn gläje v när mn skll eriver funktionen /x.) Men vrför i hel värlen måste mn håll på tt lär sig tt räkn me bråk? Kn mn inte överlåt ett trist rbete till en räknre eller i svår fll en tor? Svret är båe jovisst, låt en mskin gör jobbet och nej, mn måste kunn gör et själv för hn. Det finns bsolut ingen nlening tt utför beräkningr som ( ) me penn och ppper; et gör en mskin båe snbbre och säkrre. Vore et br i sån uträkningr och uttryck mn stötte på bråk, så skulle mn utn problem kunn strunt i tt lär sig tt räkn me em. Men nu är et fktiskt så tt bråk v olik typer (rtionell tl eller uttryck me vribler) yker upp på ll möjlig ställen i båe mtemtiken och i tillämpningrn och å gäller et tt vet hur mn skll hnter em. Här är ett enkelt exempel från kemin: Låt oss skriv rektionen melln ättiksyr HAc och vtten som HAc + H O Ac + H 3 O +

6 (Ac är lltså en förkortning för gruppen CH 3 COO). Om vttnets koncentrtion kn betrkts som konstnt (vs koncentrtionen v ättiksyr inte är för stor) så är K (HAc) = [H 3O + ][Ac ] [HAc] en konstnt, en s k syrkonstnten för HAc. (Hkprentesern betyer koncentrtioner.) Ren här hr vi lltså ett kemiskt exempel på ett bråk! Om vi till ättiksyrn sätter t ex ntriumcett NAc, så kommer et tt lös sig och cettjonern Ac tt reger enligt Ac + H O HAc + OH, vs e regerr som bser. Bskonstnten för cettjonen är K b (Ac ) = [HAc][OH ] [Ac. ] Om vi nväner reglern för bråkmultipliktion och förkortning så får vi K (HAc)K b (Ac ) = [H 3O + ][Ac ] [HAc] [HAc][OH ] [Ac ] = [H 3O + ][Ac ][HAc][OH ] [HAc][Ac ] = [H 3 O + ][OH ], vilket brukr klls vttnets jonproukt och beteckns K w. Vi hr sålees bevist tt K (HAc)K b (Ac ) = K w. Lägg märke till tt vi fktiskt nväne bråkräkning på ett väsentligt sätt i härleningen! Vi kommer tt se mssor v exempel på hur bråkräkning yker upp vre sig mn vill et eller ej i mtemtikkursen. För tt mn skll häng me i ll sån räkningr räcker et inte tt mn vet hur mn räknr ut t ex / + /3 me hjälp v sin räknre. Bråkräkningens mysterier måste helt enkelt sitt i ryggmärgen och et en sättet tt fäst em är är tt räkn övningr och lös problem, hur trist, tråkigt och motbjune et än kn verk. En fråg som tål tt iskuters är om et räcker tt memorer själv formlern för ition, multipliktion osv v bråk eller om mn skll sträv efter tt förstå em i en jupre mening (och kunn härle em själv). Visserligen är förståelse ett notoriskt komplicert begrepp, men jg vill nog häv tt et är et senre mn skll sträv efter. Om mn br memorerr formlern så är et mycket lätt hänt tt mn gör fel (minnet är ju hos e flest v oss behäftt me en hel el skvnker!), men mn om mn hr förstått vrför formlern ser ut som e gör lätt kn rekonstruer em om mn skulle råk glömm em. Den här nmärkningen gäller nturligtvis mycken nnn mtemtik än just bråkräkning (inte br mtemtik, förresten). 6

7 Till sist vill jg ge ytterligre någr språklig kommentrer och en först gäller oret bråk. Jg nämne i börjn vrifrån oren täljre och nämnre kommer och et kn knske vr v ett visst intresse tt vet v rtionell tl hr me bråk tt gör. Oret bråk hr me bryt tt gör. Att bråk lin betyer tt mn bryter (eller krossr) fibrern i linet och förr i tien fnns et en ohygglig vrättningsmeto som klles råbråkning och som innebr tt mn krosse benen i kroppen på en öme. Nuförtien nöjer vi oss me tt råbråk hjärnn när vi exempelvis räknr me bråk. Anleningen till tt uttryck som /3 klls bråk är tt mn uppftte em som tt täljren () hr brutits söner i tre elr. Det förekommer i gmml littertur tt bråk även klls brutn tl och på tysk säger mn ibln gebrochene Zhlen. Att bråken även klls rtionell tl hr inte irekt tt gör me tt e skulle vr speciellt förnuftig, utn et ltinsk oret rtio betyer helt enkelt förhållne (oret finns ju f ö på engelsk också). 7