Block 2: Linjära system
|
|
- Anders Andersson
- för 7 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 Exempel Frå labbe: Block : Lijära system Del Trampolies böjig och motsvarade matris (här 60*60-matris) Matrise är ett exempel på - gles matris (huvuddele av elemete ollor) - badmatris Frå labbe Beräkigstid ökar kraftigt med ökade storlek. Frå labbe Med LU-faktoriserig ka ma lösa måga system på ästa samma tid som ett sparar exekverigstid Beräkig med \ (Gausselimiatio) lite mer ä dubbelt så sabbt som iv(a) E första programmerigsstruktur, for-loop, t ex for i=: for i lika med till v(i) = ed I stora drag Ca 60-70% av exekverigstide i beräkigsprogram Grudalgoritmer: Gausselimierig med radpivoterig Framåtsubstitutio, bakåtsubstitutio Speciella algoritmer för exempelvis stora, glesa ekvatiossystem Löpsedel Dages föreläsig Grudalgoritmera: LU-faktoriserig, bakåt- och framåtsubstitutio Gausselimierig är istabil - radpivoterig för att stabilisera Exekverigstid Kursboke: Kap (8., 8.), 9.., 9., 9., 0., 0., 0.
2 Mål Lij algebra BerVet Represetatio i dator Måle här jämfört med matematikurse Lijär algebra Mål i matematikkurse att kua lösa små ekvatiossystem för had att teoretiskt förstå egeskaper hos lijära ekvatiossystem i allmähet Mål i vår kurs att kua lösa stora ekvatiossystem med dator att förstå de datorapassade algoritmera och deras egeskaper. Ekvatiossystemet skrivs som matris/ vektor: Ax = b där A är e -matris x och b är -vektorer (kolovektorer av lägd ). I dators mie lagras ekvatiossystemet geom att vi lagrar matrise A och vektor b => ekvatiossystemet represeteras med A och b i dator. Algoritmera gausselimierig och bakåtsubstitutio Gausselimierig grudalgoritme Matlabs backslash -operator (\) löser systemet Ax = b: >> x = A\b \ aväder Gausselimiatio baserad på s k LU-faktoriserig som stadard Itelliget operator väljer automatiskt olika metoder beroede på problemet som ska lösas (hur matrise ser ut) Grudalgoritme består av algoritmer:. LU-faktoriserig, dvs Gausselimierig av ebart matrise A => matris L, U. Framåtsubstitutio Systemet Ld = b löses => lösige d. Bakåtsubstitutio Systemet Ux = d löses =>lösige x Pukt dyr (måga operatioer), pukt och billiga i jämförelse. Gausselimierig i Matlab Algoritme framåtsubstitutio, pseudokod Backslash: \ t ex x=a\b LU-faktoriserig: [L,U,P]=lu(A); Framåtsubstitutio d=l\(p*b); Bakåtsubstitutio x=u\d; - Backslash iehåller de tre stege - Om matrise ser ut som L och U, utför backslash istället framåt- respektive bakåtsubstitutioe Idata: L, b, Efter LU-faktoriserig fis L. är problemstorlek d = zeros(,) d() = b() for i = : d(i) = ( b(i) L(i,:i-)*d(:i-) ) ed
3 Algoritme bakåtsubstitutio, pseudokod Idata: U, d, x = zeros(,); x() = d()/u(,) for i = -, -,, : x(i) = ( d(i) U(i,i+:)*x(i+:) )/U(i,i) ed Exekverigstid Hur låg tid kommer det att ta för e dator att exekvera (utföra/köra) algoritmera? Hur kommer exekverigstide i Matlab att bli är vi gör kommadot x = A\b? Lämpligt med ett datoroberoede mått på exekverigstide. Ma talar om e algoritms komplexitet. Komplexitet hos gausselimierig Ett lämpligt komplexitetsmått är atal aritmetiska operatioer (+, -, *, /) Exekverigstide kommer väsetlige att vara proportioell mot detta atal Det itressata är: hur beror exekverigstide på atalet ekvatioer,? Vi vill alltså uttrycka komplexitete som e fuktio av Komplexitetsaalys av framåtsubstitutio d() = b() for i = : d(i) = ( b(i) L(i,:i-)*d(:i-) ) ed I varje varv i loope, dvs för varje i utförs i- i operatioer. I sitt blir det /, dvs operatioer varje varv. Detta upprepas gåger i loope, dvs totalt aritmetiska operatioer. Komplexitetsaalys (forts) Framåtsubstitutio kostar operatioer, eller O ( ) På samma sätt ka ma visa att bakåtsubstitutio kräver ca aritmetiska operatioer, eller O ( ) LU-faktoriserig (Gausselimierig av matrise) kräver ca ⅔ aritmetiska operatioer, eller O ( ) operatioer (krågligare att visa) Totalt för lösig av ett lijärt ekvatiosystem: ⅔ + eller ( ) O Komplexitetsaalys (forts) Gausselimiatio jfr. med bakåtsubst Vad domierar?
4 Komplexitetsaalys (forts) Komplexitetsaalys (forts) Vad blir det här i tid? Atag t f = 0-9 s/flyttalsoperatio (s/flop) på e viss dator Gausselimierig Bakåtsubstitutio (/) t f t f s 5 * 0 - s *0 9 s 500 s 8. mi år Hur stort system ka lösas på e timme om dator klarar Gflop/s? (Gflop = miljard flyttalsoperatioer) (/) 0-9 s = tim = 600 s => 8000 Hur stort system ka lösas på e miut? s = 60 s => 500 Behov av effektiva algoritmer Behov av effektiva algoritmer Komplexitete O( ) begräsar avädbarhete hos gausselimierig Alterativ: Utyttja struktur hos koefficietmatrise om möjligt (exempelvis badmatriser). Fortfarade gausselimierig me lägre komplexitet. Iterativa metoder för mycket stora, glesa system (igår ej i dea kurs) LU-faktoriserig (se lägre fram) Dessutom aväda speciella högpresterade datorer Ma löser system med äda upp 0 9 obekata Aväder speciella datorer, t ex grids, och speciella beräkigsmetoder Valigt att lösig av partiella diffar leder till stora lijära ekvatiossystem Problem: Naiv gausselimierig ej stabil Om multiplikator l ik > så kommer multiplikatio med l ik att förstora avrudigsfel I algoritme fis Fele förstoras här A(i,k:) <= A(i,k:) l ik *A(k,k:) där elemete i A iehåller olika fel, t ex avrudigsfel. Om l ik är stor till belopp förstoras dessa fel successivt i processe Stabilisera algoritme geom att iföra radpivoterig Åtgärd: Radpivoterig För varje y kolum som ska ollställas: Hitta det elemet i kolume, frå diagoelemetet och edåt, med störst belopp Byt plats på rader så att detta elemet hamar i pivotpositio När multiplikator l ik skapas divideras det då med det till belopp största elemetet i koloe Resultat: l ik, algoritme blir stabil
5 Gausselimierig med radpivoterig Samma exempel (vi bildar ite Aug här): k=: 0 Radbyte: k=: Radbyte: l = / l = / l = / 5 = x = x = x = 5 Ka u lösa ut x bakläges bakåtsubstitutio: Slutlige, de fullstädiga algoritme Lagra radbyte i e matris/vektor Gausselimiera ebart matrise först med LU-faktoriserig, seda applicera på högerledet LU-faktoriserig Matematiskt objekt Matris Radbyte: 0 9 Datastruktur Matris Vektor p LU-faktoriserig Elimierig av x : L =/, l =/ 5 7 Radbyte: / -/ -/ / -5/ 7/ 5 7 OBS! Hela rade byter plats LU-faktoriserig Elimierig av x : l =/ Klart! Tolkig av datastruktureras iehåll: 0 0 L = 0 U = P =
6 LU-faktoriserig LU-faktoriserig 0 0 LU = 0 5 PA = = = Slutsats: LU = PA Detta kallas LU-faktoriserig L och U sparas i A:s miesutrymme P lagras som e vektor, iga ollor lagras Nu återstår framåt- och bakåtsubstitutio Sätt d = Ux Ld = Pb: d d d = Lös Ux = d : x x x 8 = d = d = (8 ( )) = d = ( ( ) 5 ) = 5 5 x = x = x = x = Har u utfört Ax = b PAx = Pb LUx = Pb LU-faktoriserig Valig situatio: Följd av ekvatiossystem med samma koefficietmatris, olika högerled (jfr trampoliexemplet) Ax (k) = b (k), k =,..., m Idé: - Gausselimiera A e gåg för alla geom LU-faktoriserig - Utför seda framåt- och bakåtsubstitutio på högerlede LU-faktoriserig, avädig Utför e gåg: LU-faktoriserig Ax = b => PAx = Pb => LUx = Pb För varje högerled b : - Ld = Pb (framåtsubstitutio) Bestäm d (vektor) - Ux = d (bakåtsubstitutio) Bestäm lösige x Iebär att ma skiljer Gausselimiatioe frå haterig av högerledet först elimieras ebart matrise, seda applicera på högerledet LU-faktoriserig, vist LU-faktoriserig i Matlab Ieffektivt: Lös varje system med x = A\b (gausselimierig av A för varje ytt högerled) m( + ) aritmetiska operatioer Effektivt: LU-faktorisera A (lu(a) i Matlab) och lös seda varje system med - d = L\b - x = U\d + m aritmetiska operatioer >> A=[ - ; 0 -; -]; >> b= [8;-;-]; >> [L,U,P]=lu(A) L = U = P =
7 LU-faktoriserig i Matlab Stämmer PA=LU? >> P*A as = >> L*U as = Lösig >> d = L\(P*b) d = >> x = U\d x = - Backslash aväder algoritmera för framåtoch bakåtsubstitutio är matrisera är uder- respektive övertriagulära LU-faktoriserig i Matlab Aväder backslash LU-faktoriserig? Litet test: >> = 000; >> A = rad(,); >> b0 = rad(,0); b = rad(,); >> tic; x = A\b0; toc Elapsed time is secods. >> tic; x = A\b; toc Elapsed time is 5.79 secods. 0 system med samma matris löses ästa lika fort som system => LU-faktoriserig OBS 0 högerled lagrade [b b b 0 ] 7
Block 2: Lineära system
Exempel Från labben: Block : Lineära system Del 1 Trampolinens böjning och motsvarande matris (här 6060-matris) Matrisen är ett exempel på - gles matris (huvuddelen av elementen nollor) - bandmatris Från
Läs meri de fall de existerar. Om gränsvärdet ifråga inte skulle existera, ange i så fall detta med motivering.
Kap 9. 9.5, 9.8 9.9, 6.5. Talföljd, mootoa talföljder, koverges, serier, koverges, geometriska serier, itegralkriterium, p serier, jämförelsekriterier, absolut koverges, altererade serier, potesserie,
Läs merKompletterande kurslitteratur om serier
KTH Matematik Has Thuberg 5B47 Evariabelaalys Kompletterade kurslitteratur om serier I Persso & Böiers.5.4 itroduceras serier, och serier diskuteras också i kapitel 7.9. Ia du läser vidare här skall du
Läs merTentamen i Statistik, STA A13 Deltentamen 2, 5p 20 januari 2007, kl. 09.00-13.00
0.01.007 Tetame i Statistik, STA A13 Deltetame, 5p 0 jauari 007, kl. 09.00-13.00 Tillåta hjälpmedel: Bifogad formel- och tabellsamlig (skall retureras) samt miiräkare. Asvarig lärare: Haah Hall Övrigt:
Läs merTommy Färnqvist, IDA, Linköpings universitet
Föreläsig 2 Algoritmaalys TDDC70/91: DALG Utskriftsversio av föreläsig i Datastrukturer och algoritmer 5 september 2013 Tommy Färqvist, IDA, Liköpigs uiversitet 2.1 Iehåll Iehåll 1 Aalys av värsta fallet
Läs merMS-A0409 Grundkurs i diskret matematik I
MS-A0409 Grudkurs i diskret matematik I G. Gripeberg Mägder och logik Relatioer och fuktioer Aalto-uiversitetet oktober 04 Kombiatorik etc. G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet MS-A0409 Grudkurs i diskret
Läs merLysande möjligheter med nya FixCandle.
Lysade möjligheter med ya FixCadle. Det gick upp ett ljus för mig är jag, för säkert hudrade gåge, försökte få ljuse att stå raka i mi fia farmorsstake. Så här ska det ju ite behöva vara, täkte jag. Ite
Läs merAnalys av algoritmer. Beräkningsbar/hanterbar. Stora Ordo. O(definition) Datastrukturer och algoritmer. Varför analysera algoritmer?
Datastrukturer och algoritmer Föreläsig 2 Aalys av Algoritmer Aalys av algoritmer Vad ka aalyseras? - Exekverigstid - Miesåtgåg - Implemetatioskomplexitet - Förstålighet - Korrekthet - - 29 30 Varför aalysera
Läs merEnkel slumpvandring. Sven Erick Alm. 9 april 2002 (modifierad 8 mars 2006) 2 Apan och stupet 3 2.1 Passagesannolikheter... 3 2.2 Passagetider...
Ekel slumpvadrig Sve Erick Alm 9 april 2002 (modifierad 8 mars 2006) Iehåll 1 Iledig 2 2 Apa och stupet 3 2.1 Passagesaolikheter............................... 3 2.2 Passagetider....................................
Läs merMatematikdelen av introduktionskursen för Samhällsbyggnadsprogrammet 2009
29-8-17 Matematikdele av itroduktioskurse för Samhällsbyggadsprogrammet 29 Syftet med matematikrepetitioe uder mottagigsveckora är att repetera vissa delar av gymasiematematike som är väsetliga för de
Läs merDatastrukturer och algoritmer
Iehåll Föreläsig 6 Asymtotisk aalys usammafattig experimetell aalys uasymtotisk aalys Lite matte Aalysera pseudokode O-otatio ostrikt o Okulärbesiktig 2 Mäta tidsåtgåge uhur ska vi mäta tidsåtgåge? Experimetell
Läs merTentamen i Flervariabelanalys F/TM, MVE035
Tetame i Flervariabelaalys F/TM, MV35 8 3 kl. 8.3.3. Hjälpmedel: Iga, ej räkedosa. Telefo: Oskar Hamlet tel 73-8834 För godkät krävs mist 4 poäg. Betyg 3: 4-35 poäg, betyg 4: 36-47 poäg, betyg 5: 48 poäg
Läs merTeknisk Beräkningsvetenskap I Tema 2: Nätverk och linjära system
Teknisk Beräkningsvetenskap I Tema : Nätverk och linjära system Eddie Wadbro November, 04 Eddie Wadbro, Tema : Nätverk och linjära system, November, 04 ( : 48) Innehåll Algoritmer: Grundalgoritmen för
Läs merFunktionsteori Datorlaboration 1
Fuktiosteori Datorlaboratio 1 Fuktiosteori vt1 2013 Rekursiosekvatioer och komplex aalys Syftet med datorövige Öviges ädamål är att ge ett smakprov på hur ett datoralgebrasystem ka avädas för att att lösa
Läs merFöreläsning F3 Patrik Eriksson 2000
Föreläsig F Patrik riksso 000 Y/D trasformatio Det fis ytterligare ett par koppligar som är värda att käa till och kua hatera, ite mist är ma har att göra med trefasät. Dessa kallas stjärkopplig respektive
Läs merLeif Abrahamsson. Uppsala Universitet
Två formler för talet π Leif Abrahamsso Uppsala Uiversitet Dea uppgift syftar till att härleda två formler för talet π. De två formleras härledig är oberoede av varadra och ka således var för sig utgöra
Läs merTentamen i Statistik STG A01 (12 hp) 5 mars 2010, kl. 08.15 13.15
Karlstads uiversitet Fakultete för ekoomi, kommuikatio och IT Statistik Tetame i Statistik STG A0 ( hp) 5 mars 00, kl. 08.5 3.5 Tillåta hjälpmedel: Bifogad formel- och tabellsamlig (skall retureras) samt
Läs merLinjär Algebra (lp 1, 2016) Lösningar till skrivuppgiften Julia Brandes
Lijär Algebra (lp 1, 2016) Lösigar till skrivuppgifte Julia Brades Uppgift 1. Betecka mägde av alla matriser med M(). Vi har e elemetvist defiierad additio av två matriser A, B M(). De är defiierad geom
Läs mer(a) om vi kan välja helt fritt? (b) om vi vill ha minst en fisk av varje art? (c) om vi vill ha precis 3 olika arter?
Lösigar Grudläggade Diskret matematik 11054 Tid: 1.00-17.00 Telefo: 036-10160, Examiator: F Abrahamsso 1. I de lokala zoo-affäre fis 15 olika fiskarter med mist 0 fiskar utav varje art). På hur måga sätt
Läs merLösningar till tentamensskrivning i kompletteringskurs Linjär Algebra, SF1605, den 10 januari 2011,kl m(m + 1) =
Lösigar till tetamesskrivig i kompletterigskurs Lijär Algebra, SF605, de 0 jauari 20,kl 4.00-9.00. 3p Visa med hjälp av ett iduktiosbevis att m= mm + = +. Lösig: Formel är uppebarlige sa är = eftersom
Läs mera n = A2 n + B4 n. { 2 = A + B 6 = 2A + 4B, S(5, 2) = S(4, 1) + 2S(4, 2) = 1 + 2(S(3, 1) + 2S(3, 2)) = 3 + 4(S(2, 1) + 2S(2, 2)) = 7 + 8 = 15.
1 Matematiska Institutionen KTH Lösningar till tentamensskrivning på kursen Diskret Matematik, moment A, för D och F, SF161 och SF160, den juni 008 kl 08.00-1.00. DEL I 1. (p) Lös rekursionsekvationen
Läs merTentamen i Linjär Algebra, SF december, Del I. Kursexaminator: Sandra Di Rocco. Matematiska Institutionen KTH
1 Matematiska Istitutioe KTH Tetame i Lijär Algebra, SF164 14 december, 21. Kursexamiator: Sadra Di Rocco OBS! Svaret skall motiveras och lösige skrivas ordetligt och klart. Iga hjälpmedel är tillåta.
Läs merMultiplikationsprincipen
Kombiatori Kombiatori hadlar oftast om att räa hur måga arragemag det fis av e viss typ. Multipliatiospricipe Atag att vi är på e restaurag för att provsmaa trerättersmåltider. Om det fis fyra förrätter
Läs merTentamen i matematisk statistik
Tetame i matematisk statistik Uppgift : På e arbetsplats skadades % av persoale uder ett år. 60% av alla skadade var mä. 0% av alla aställda var kvior. Är det maliga eller kviliga aställda som löper störst
Läs merLathund, procent med bråk, åk 8
Lathund, procent med bråk, åk 8 Procent betyder hundradel, men man kan också säga en av hundra. Ni ska kunna omvandla mellan bråkform, decimalform och procentform. Nedan kan ni se några omvandlingar. Bråkform
Läs merTentamen i Linjär algebra (TATA31/TEN1) 2013 08 24, 14 19.
LINKÖPINGS UNIVERSITET Matematiska Institutionen Ulf Janfalk Kurskod: TATA Provkod: TEN Tentamen i Linjär algebra (TATA/TEN 8, 9. Inga hjälpmedel. Ej räknedosa. För godkänt räcker 9 poäng och minst uppgifter
Läs mer1. (a) Eftersom X och Y har samma fördelning så har de även samma väntevärde och standardavvikelse. E(X 2 ) = k
LÖSNINGAR TILL Matematisk statistik, Matematikcetrum Tetame: 5 kl 8 Luds tekiska högskola FMS, FMS, FMS, FMS 5, MAS 9 Matematisk statistik för ED, F, I, FED och fysiker. a Eftersom X och Y har samma fördelig
Läs merAlgebra, polynom & andragradsekvationer en pampig rubrik på ett annars relativt obetydligt dokument
Algebra, polynom & andragradsekvationer en pampig rubrik på ett annars relativt obetydligt dokument Distributiva lagen a(b + c) = ab + ac 3(x + 4) = 3 x + 3 4 = 3x + 12 3(2x + 4) = 3 2x + 3 4 = 6x + 12
Läs merMS-A0409 Grundkurs i diskret matematik Sammanfattning, del I
MS-A0409 Gudkus i disket matematik Sammafattig, del I G. Gipebeg 1 Mägde och logik 2 Relatioe och fuktioe Aalto-uivesitetet 15 maj 2014 3 Kombiatoik etc. G. Gipebeg Aalto-uivesitetet MS-A0409 Gudkus i
Läs merApplikationen kan endast användas av enskilda användare med förtroenderapportering.
Aktiverig mobil app 1 Aktiverig mobil app Aktiverig mobil app aväds för att koppla e eskild avädare till Visma Agdas mobilapplikatio. Applikatioe ka edast avädas av eskilda avädare med förtroederapporterig.
Läs merEkvationssystem, Matriser och Eliminationsmetoden
Matematiska institutionen Göteborgs universitet och Chalmers tekniska högskola Version 359 Ekvationssystem, Matriser och Eliminationsmetoden - En inledning Ekvationssystem - matrisformulering Vi såg att
Läs merFourierserien. fortsättning. Ortogonalitetsrelationerna och Parsevals formel. f HtL g HtL t, där T W ã 2 p, PARSEVALS FORMEL
Fourierserie fortsättig Ortogoalitetsrelatioera och Parsevals formel Med hjälp av ortogoalitetsrelatioera Y Â m W t, Â W t ] =, m ¹, m = () där Xf, g\ = Ÿ T f HtL g HtL, där W ã p, ka ma bevisa följade
Läs merMA2018 Tillämpad Matematik III-Statistik, 7.5hp, 2014-08-23
1 MA018 Tillämpad Matematik III-Statistik, 7.5hp, 014-08-3 Hjälpmedel: Räkedosa och medföljade formelsamlig! Täk på att dia lösigar ska utformas så att det blir lätt för läsare att följa dia takegågar.
Läs merSKÄRDATAREKOMMENDATIONER RAMAX HH
SKÄRATAREKOMMENATIONER Lämpliga bearbetigsdata beror alltid på de aktuella operatioe, verktygsmaskie och vilket verktyg som aväds. e data som ages i det här bladet är geerella riktlijer som måste apassas
Läs merTentamen i Kunskapsbaserade system, 5p, Data 3
Kuskapsbaserade system, tetame 2000-03-0 Istitutioe för tekik Tetame i Kuskapsbaserade system, 5p, Data 3 Datum: 2000-03-0 Tid: 8.00-3.00 Lärare: Potus Bergste, 3365 Hjälpmedel: Miiräkare Uppgiftera ska
Läs merFöreläsning 10: Kombinatorik
DD2458, Problemlösig och programmerig uder press Föreläsig 10: Kombiatorik Datum: 2009-11-18 Skribeter: Cecilia Roes, A-Soe Lidblom, Ollata Cuba Gylleste Föreläsare: Fredrik Niemelä 1 Delmägder E delmägd
Läs merLinjära system av differentialekvationer
CTH/GU LABORATION MVE0-0/03 Matematiska vetenskaper Linjära system av differentialekvationer Inledning Vi har i envariabelanalysen sett på allmäna system av differentialekvationer med begynnelsevillkor
Läs merBerga köpcentrum - Djurängen - Giraffen - Stortorget - Tegelviken och omvänt
- Djuräge - Giraffe - - och omvät Så här kör lije Dessa hållplatser trafikeras: (i båda riktigara) N Björkeäs Norrlide Bergavik Trafikerig på Kvarholme Fr sk rik ed sg. Ös ata ta jög ga as Sjö str Vä tra
Läs merSKÄRDATAREKOMMENDATIONER UDDEHOLM NIMAX
SKÄRATAREKOMMENATIONER UEHOLM NIMAX Lämpliga bearbetigsdata beror alltid på de aktuella operatioe, verktygsmaskie och vilket verktyg som aväds. e data som ages i det här bladet är geerella riktlijer som
Läs merÅteranvändning. Två mekanismer. Nedärvning av egenskaper (inheritance) Objekt komposition
Iheritace Återavädig Två mekaismer Nedärvig av egeskaper (iheritace) Objekt kompositio A A +a +b B B Iheritace Återavädig geom att skapa subklasser kallas ofta white box reuse Ekelt att aväda Relatioe
Läs merSF1625 Envariabelanalys
Modul 2: Derivata Institutionen för matematik KTH 8 september 2015 Derivata Innehåll om derivata (bokens kapitel 2). Definition vad begreppet derivata betyder Tolkning hur man kan tolka derivata Deriveringsregler
Läs merÖvningstentamen i MA2018 Tillämpad Matematik III-Statistik, 7.5hp
Övigstetame i MA08 Tillämpad Matematik III-Statistik, 7.5hp Hjälpmedel: Räkedosa och medföljade formelsamlig! Täk på att dia lösigar ska utformas så att det blir lätt för läsare att följa dia takegågar.
Läs merIndividuellt Mjukvaruutvecklingsprojekt
Individuellt Mjukvaruutvecklingsprojekt RPG-spel med JavaScript Författare Robin Bertram Datum 2013 06 10 1 Abstrakt Den här rapporten är en post mortem -rapport som handlar om utvecklandet av ett RPG-spel
Läs merLösningar och kommentarer till uppgifter i 1.1
Lösigar och kommetarer till uppgifter i. 407 d) 408 d) 40 a) 3 /5 5) 5 3 0 ) 0) 3 5 5 4 0 6 5 x 5 x) 5 x + 5 x 5 x 5 x 5 x + 5 x 40 Om det u är eklare så här a x a 3x + a x) a 4x + 43 a) 43 45 5 3 5 )
Läs merENDIMENSIONELL ANALYS B1 FÖRELÄSNING VI. Föreläsning VI. Mikael P. Sundqvist
Föreläsig VI Mikael P. Sudqvist Aritmetisk summa, exempel Exempel I ett sällskap på 100 persoer skakar alla persoer had med varadra (precis e gåg). Hur måga hadskakigar sker? Defiitio I e aritmetisk summa
Läs merANVÄND NAVIGATIONEN I CAPITEX SÄLJSTÖD
ANVÄND NAVIGATIONEN I CAPITEX SÄLJSTÖD I Navigationen hittar du genvägar till funktioner i programmet. För att utnyttja detta på bästa sätt kan du anpassa Navigationen så att det passar ditt sätt att arbeta.
Läs mer912 Läsförståelse och matematik behöver man lära sig läsa matematik?
912 Läsförståelse och matematik behöver man lära sig läsa matematik? Med utgångspunkt från min egen forskning kring läsförståelse av matematiska texter kommer jag att diskutera olika aspekter av läsning
Läs merKontrollskrivning i Linjär algebra 2014 10 30, 14 18.
LINKÖPINGS UNIVERSITET Matematiska Institutionen Ulf Janfalk Kurskod: TATA Provkod: KTR Kontrollskrivning i Linjär algebra, 8. Inga hjälpmedel. Ej räknedosa. På uppgift skall endast svar ges. Varje rätt
Läs merDOP-matematik Copyright Tord Persson. Bråktal -3-2 -1 0 1 2 3. Läs av vilka tal på tallinjen, som pilarna pekar på. Uppgift nr 10 -3-2 -1 0 1 2 3
Bråktal Uppgift nr En limpa delas i 4 lika stora delar. Hur stor del av limpan blir varje del? Uppgift nr 2 Hur många tiondelar behövs för att det skall räcka till en hel? Uppgift nr Hur läser man ut bråket
Läs merESBILAC. mjölkersättning för hundvalpar BRUKSANVISNING. www.kruuse.com
ESBILAC mjölkersättig för hudvalpar BRUKSANVISNING De bästa starte för e yfödd valp är självklart att dia tike och få i sig mammas mjölk. Modersmjölke iehåller allt som de små behöver i form av ärigsäme,
Läs merGenomsnittligt sökdjup i binära sökträd
Iformatiostekologi Tom Smedsaas 10 augusti 016 Geomsittligt sökdjup i biära sökträd Detta papper visar att biära sökträd som byggs upp av slumpmässiga data är bra. Beteckigar och defiitioer Defiitio De
Läs merTentamen TAIU07 Matematiska beräkningar med MATLAB för MI
TEKNISKA HÖGSKOLAN I LINKÖPING Matematiska institutionen Beräkningsmatematik/Fredrik Berntsson Tentamen TAIU07 Matematiska beräkningar med MATLAB för MI Tid: Provkod: TEN1 Hjälpmedel: Inga. Examinator:
Läs merDiskussionsfrågor till version 1 och 2
Diskussionsfrågor till version 1 och 2 Version 1 Tillgång till internet i hemmet A. Vilken åldersgrupp har haft den största ökningen av tillgång till internet under perioden? B. Kan man med hjälp av de
Läs merLokal pedagogisk planering i matematik för årskurs 8
Lokal pedagogisk planering i matematik för årskurs 8 Arbetsområde 2. Algebra Syfte formulera och lösa problem med hjälp av matematik samt värdera valda strategier och metoder. reflektera över matematikens
Läs mer= x 1. Integration med avseende på x ger: x 4 z = ln x + C. Vi återsubstituerar: x 4 y 1 = ln x + C. Villkoret ger C = 1.
Lösigsförslag till tetamesskrivig i Matematik IV, 5B0 Torsdage de 6 maj 005, kl 0800-00 Hjälpmedel: BETA, Mathematics Hadbook Redovisa lösigara på ett sådat sätt att beräkigar och resoemag är lätta att
Läs merLeica Lino. Noggranna, självavvägande punkt- och linjelasers
Leica Lio Noggraa, självavvägade pukt- och lijelasers Etablera, starta, klart! Med Leica Lio är alltig lodat och perfekt apassat Leica Lios projekterar lijer eller pukter med millimeterprecisio och låter
Läs merDatorövning 2 Fördelningar inom säkerhetsanalys
Luds tekiska högskola Matematikcetrum Matematisk statistik STATISTISKA METODER FÖR SÄKERHETSANALYS FMS065, HT-15 Datorövig 2 Fördeligar iom säkerhetsaalys I dea datorövig ska vi studera ågra grudläggade
Läs merLINJÄR ALGEBRA II LEKTION 4
LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 4 JOHAN ASPLUND Iehåll Egevärde, egevektorer och egerum 2 Diagoaliserig 3 Uppgifter 2 5:4-5a) 2 Extrauppgift frå dugga 2 52:8 4 52:3 4 Extrauppgift frå teta 4 Egevärde, egevektorer
Läs merLaboration: Vektorer och matriser
Laboration: Vektorer och matriser Grundläggande om matriser Begreppet matris är en utvidgning av vektorbegreppet, och det används bl a när man löser linjära ekvationssystem. Namnet Matlab står för MATrix
Läs merLinjära system av differentialekvationer
CTH/GU STUDIO 6 MVE6 - /6 Matematiska vetenskaper Inledning Linjära system av differentialekvationer Vi har i studioövning sett på allmäna system av differentialekvationer med begynnelsevillkor u (t) =
Läs merHälsobarometern. Första kvartalet 2007. Antal långtidssjuka privatanställda tjänstemän, utveckling och bakomliggande orsaker
Hälsobarometern Första kvartalet 2007 Antal långtidssjuka privatanställda tjänstemän, utveckling och bakomliggande orsaker Utgiven av Alecta maj 2007. (8) Innehåll 3 Om Hälsobarometern 4 Tema: Föräldrar
Läs merb 1 och har för olika värden på den reella konstanten a.
Första häftet 649. a) A och B spelar cigarr, vilket som bekat tillgår på följade sätt. Omväxlade placerar de ibördes lika, jämtjocka cigarrer på ett rektagulärt bord, varvid varje y cigarr måste placeras
Läs merResultatprofil Läsåret 2013-2014 Långhundra skola Årskurs 1-6 Förskoleklass Fritidshemmet
Resultatprofil Läsåret 2013-2014 Långhundra skola Årskurs 1-6 Förskoleklass Fritidshemmet Innehållsförteckning Vad är en resultatprofil... 3 Syfte... 3 Vad är innebörden i begreppet resultat?... 3 1. Presentation...4
Läs merKonsoliderad version av. Styrelsens för ackreditering och teknisk kontroll föreskrifter (STAFS 1993:18) om EEG-märkning av färdigförpackade varor
Kosoliderad versio av Styrelses för ackrediterig och tekisk kotroll föreskrifter (STAFS 1993:18) om EEG-märkig av färdigförpackade varor Rubrike har dea lydelse geom (STAFS 2008:11) Ädrig iförd: t.o.m.
Läs mer2 Matrisfaktorisering och lösning till ekvationssystem
TANA21+22/ 5 juli 2016 LAB 2. LINJÄR ALGEBRA 1 Inledning Lösning av ett linjärt ekvationssystem Ax = b förekommer ofta inom tekniska beräkningar. I laborationen studeras Gauss-elimination med eller utan
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson
Uppsala Uiversitet Matematisa Istitutioe Thomas Erladsso LÄSANVISNINGAR VECKA -5 BINOMIALSATSEN Ett uttryc av forme a + b allas ett biom eftersom det är summa av två moom. För uttrycet (a + b) gäller de
Läs merKOSMOS - Små och stora tal
Undervisning KOSMOS - Små och stora tal Lärandemål (konkretisering av syfte och centralt innehåll ur Lgr 11) Reella tal och deras egenskaper samt deras användning i vardagliga och matematiska situationer
Läs merIdag: Dataabstraktion
Idag: Dataabstraktion Hur använder vi det vi hittills kan om Scheme för att realisera (implementera) sammansatta data? Hur separerar man datastrukturen från resten av ett program så att ändringar i datastrukturen
Läs merObservera att alla funktioner kan ritas, men endast linjära funktioner blir räta linjer.
1 Matematik som verktyg Antag att vi har en funktion som är en rät linje, y = 1 3x. Eftersom relationen mellan x och y är linjär räcker det med att vi hittar två punkter (två talpar) på linjen för att
Läs merHar vi lösningen för en bättre hemtjänst? Självklart.
Har vi lösningen för en bättre hemtjänst? Självklart. Låt oss prata om Självklarhetsmetoden. Låt oss prata om Självklarhetsmetoden! 164 000 äldre är beroende av hemtjänsten i sin vardag. Och det är du
Läs mera utsöndring b upptagning c matspjälkning d cirkulation
I levade varelser bryts stora och sammasatta molekyler ed till små och ekla molekyler. Vad kallas dea process? S02_01 a utsödrig b upptagig c matspjälkig d cirkulatio S042009 Kalle hade ifluesa. Ha spelade
Läs merLaboration 1. I. Matlabs fönster, hjälp, variabler och enkla beräkningar. Introduktion
Matlab i Tillämpad linjär algebra II HT 2014 Introduktion Laboration 1 Efter den här laborationen ska du kunna använda Matlabs olika fönster och hjälpfunktioner. Du ska kunna skapa, manipulera och använda
Läs merIckelinjära ekvationer
Löpsedel: Icke-linjära ekvationer Ickelinjära ekvationer Beräkningsvetenskap I Varför är det svårt att lösa icke-linjära ekvationer? Iterativa metoder Bisektion/intervallhalvering Newton-Raphsons metod
Läs merförvalta kommunens samtliga rörelsefastigheter utom tekniska nämndens specialfastigheter för sina verk.
KFÖ, Kommunfastigheter Örebro Uppdrag förvalta kommunens samtliga rörelsefastigheter utom tekniska nämndens specialfastigheter för sina verk. ansvara för såväl yttre som inre underhåll av fastigheterna.
Läs merVi skall skriva uppsats
Vi skall skriva uppsats E n vacker dag får du höra att du skall skriva uppsats. I den här texten får du veta vad en uppsats är, vad den skall innehålla och hur den bör se ut. En uppsats är en text som
Läs merDEL I. Matematiska Institutionen KTH
1 Matematiska Istitutioe KTH Lösig till tetamesskrivig på kurse Diskret Matematik, momet A, för D2 och F, SF1631 och SF1630, de 5 jui 2009 kl 08.00-13.00. DEL I 1. (3p) Bestäm e lösig till de diofatiska
Läs merTentamenskrivning, , kl SF1625, Envariabelanalys för CINTE1(IT) och CMIEL1(ME ) (7,5hp)
KTH-Matematik Tetameskrivig, 2008-0-0, kl. 4.00-9.00 SF625, Evariabelaalys för CITE(IT) och CMIEL(ME ) (7,5h) Prelimiära gräser. Registrerade å kurse SF625 får graderat betyg eligt skala A (högsta betyg),
Läs merKMR. mjölkersättning för kattungar BRUKSANVISNING. www.kruuse.com
KMR mjölkersättig för kattugar BRUKSANVISNING De bästa starte för e yfödd kattuge är självklart att dia mammas mjölk. För e yfödd kattuge är det framför allt viktigt att få i sig mammas mjölk de två första
Läs merLaborativ matematik som bedömningsform. Per Berggren och Maria Lindroth 2016-01-28
Laborativ matematik som bedömningsform Per Berggren och Maria Lindroth 2016-01-28 Kul matematik utan lärobok Vilka förmågor tränas Problemlösning (Förstå frågan i en textuppgift, Använda olika strategier
Läs merSEPARABLA DIFFERENTIALEKVATIONER
SEPARABLA DIFFERENTIALEKVATIONER En differentialekvation (DE) av första ordningen sägs vara separabel om den kan skrivas på formen P ( y) Q( ) () Den allmänna lösningen till () erhålles genom att integrera
Läs merDrömplan för 2015. Uppföljningstillfällen: Mitt förslag är att avsätta 4 tillfällen under ett år för att följa upp din drömplan.
Drömplan för 2015 När jag var yngre och hörde ordet mål så tänkte jag antingen på mål som en idrottare sätter eller ett företagsmål. Det var inte förrän under senare del av mitt liv som jag förstod att
Läs merSveTys. Affärskultur i Tyskland. Vad är det? Och vad ska jag tänka på?
SveTys Affärskultur i Tysklad Vad är det? Och vad ska jag täka på? 2 Affärskultur i Tysklad Vad är det? Och vad ska jag täka på? 2008 SveTys, Uta Schulz, Reibek 3 Iledig När ma gör affärer i Tysklad eller
Läs merKvalitetsregistret för svår sepsis/septisk chock Årsrapport för 2013
Kvalitetsregistret för svår sepsis/septisk chock Årsrapport för 2013 Inledning Patienter med svår sepsis eller septisk chock är relativt vanliga på våra sjukhus och framförallt på våra intensivvårdsavdelningar.
Läs mer101. och sista termen 1
Lektio, Evariabelaalys de ovember 999 5.. Uttryck summa j uta summasymbole. j + Termera är idexerade frå j = till j = och varje term är blir j j+. Summa Skriver vi upp summa uta summasymbole blir de +
Läs merOperativsystem - Baklås
Operativsystem - Baklås Mats Björkma 2017-02-01 Lärademål Vad är baklås? Villkor för baklås Strategier för att hatera baklås Operativsystem, Mats Björkma, MDH 2 Defiitio av baklås (boke 6.2) A set of processes
Läs merTräning i bevisföring
KTHs Matematiska Cirkel Träning i bevisföring Andreas Enblom Institutionen för matematik, 2005 Finansierat av Marianne och Marcus Wallenbergs Stiftelse 1 Mängdlära Här kommer fyra tips på hur man visar
Läs merFöreläsning 3. 732G04: Surveymetodik
Föreläsig 3 732G04: Surveymetodik Dages föreläsig Obudet slumpmässigt urval (OSU) Populatiosparametrar och stickprovsstatistikor Vätevärdesriktighet Ädliga och oädliga populatioer Medelvärde, adel Kofidesitervall
Läs merAffärsplan? Ett dokument där viktig information om ert företag samlas. Den ska förtydliga och visa era tankar kring hur ert företag ska drivas.
Affärsplan Affärsplan? Ett dokument där viktig information om ert företag samlas. Den ska förtydliga och visa era tankar kring hur ert företag ska drivas. Berätta om den verksamhet ni tänker bygga upp.
Läs merH1009, Introduktionskurs i matematik Armin Halilovic POLYNOM, POLYNOMDIVISION, ALGEBRAISKA EKVATIONER, PARTIALBRÅKSUPPDELNING. vara ett polynom där a
POLYNOM, POLYNOMDIVISION, ALGEBRAISKA EKVATIONER, PARTIALBRÅKSUPPDELNING Defiitio Polyom är ett uttryck av följade typ P( ) a a a, där är ett icke-egativt heltal (Kortare 0 P k ( ) a a 0 k ) k Defiitio
Läs merKontrollskrivning (KS1) 16 sep 2019
Kotrollskrivig (KS) sep 9 Tid: 8:- Kurs: HF Lijär algebra och aals (algebradele) Lärare: Maria Shaou, Ari Halilovic För godkät krävs poäg (av a 9p) Godkäd KS ger bous eligt kurs-pm Fullstädiga lösigar
Läs merPRÖVNINGSANVISNINGAR
Prövning i Matematik 5 PRÖVNINGSANVISNINGAR Kurskod MATMAT05 Gymnasiepoäng 100 Läromedel Valfri aktuell lärobok för kurs Matematik 5 Skriftligt prov, 4h Teoretiskt prov Bifogas Provet består av två delar.
Läs merBoken om Teknik. Boken om Teknik är en grundbok i Teknik för åk 4 6.
Boken om Teknik Boken om Teknik är en grundbok i Teknik för åk 4 6. PROVLEKTION: Teknikens arbetssätt att göra på riktigt Följande provlektion är ett utdrag ur Boken om Teknik. Uppslaget som är hämtat
Läs merArtificiell intelligens Probabilistisk logik
Probabilistiska resoemag Artificiell itelliges Probabilistisk logik Are Jösso HCS/IDA Osäkerhet Grudläggade saolikhetslära Stokastiska variabler Bayes teorem Bayesiaska ätverk Kostruktio Iferes Osäkerhet
Läs mer08/11/13. Databasteknik och informationssystem DD1370 F3. Ett urval ur databasen bestäms av en SQL-fråga. Påminnelse: Deadline på tisdag
Påminnelse: Deadline på tisdag Databasteknik och informationssystem DD1370 F3 Petter Ögren Inlämningsuppgift 1 - Skall mailas in senast 23:59 på tisdag. - Redovisas på övningen på onsdag - Inspireras av
Läs merGeometriska summor. Aritmetiska summor. Aritmetiska talföljder kallar vi talföljder som. Geometriska talföljder kallar vi talföljder som
Aritmetiska summor Aritmetiska talföljder kallar vi talföljder som, 4, 6, 8, 10, 1, 14, 000, 1996, 199, 1988, 0.1, 0., 0.3, 0.4, för vilka differese mella på varadra följade tal kostat. Aritmetiska summor
Läs merkonstanterna a och b så att ekvationssystemet x 2y = 1 2x + ay = b 2 a b
Tentamen i Inledande matematik för V och AT, (TMV25), 20-0-26. Till denna uppgift skulle endast lämnas svar, men här ges kortfattade lösningar. a) Bestäm { konstanterna a och b så att ekvationssystemet
Läs merÖstersjön är ett unikt men hotat hav. Efter den här lektionen kommer du att veta:
Östersjöambassadör Östersjö är ett uikt me hotat hav. Efter de här lektioe kommer du att veta: vilke betydelse Östersjö har som ekosystem varför Östersjö är ett hotat hav vad du ka göra för att rädda Östersjö
Läs merMer om linjära ekvationssystem
CTH/GU LABORATION 2 TMV141-212/213 Matematiska vetenskaper 1 Inledning Mer om linjära ekvationssystem Denna laboration fortsätter med linjära ekvationssystem och matriser Vi ser på hantering och uppbyggnad
Läs merLösningar till Tentamen i Matematisk Statistik, 5p 22 mars, 2001. Beräkna medelvärdet, standardavvikelsen, medianen och tredje kvartilen?
Lösningar till Tentamen i Matematisk Statistik, 5p 22 mars, 2001 1. Månadslönerna för 10 lärare vid en viss skola är 1 17 700 19 800 19 900 20 200 20 800 16 100 17 000 23 500 19 700 21 100 Beräkna medelvärdet,
Läs merDesign mönster. n n n n n n. Command Active object Template method Strategy Facade Mediator
Desig möster Desig möster Commad Active object Template method Strategy Facade Mediator Commad Ett av de eklaste desig möstre Me också mycket avädbart Ett grässitt med e metod Comm ad do()
Läs mer