Teknisk Beräkningsvetenskap I Tema 2: Nätverk och linjära system

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "Teknisk Beräkningsvetenskap I Tema 2: Nätverk och linjära system"

Transkript

1 Teknisk Beräkningsvetenskap I Tema : Nätverk och linjära system Eddie Wadbro November, 04 Eddie Wadbro, Tema : Nätverk och linjära system, November, 04 ( : 48) Innehåll Algoritmer: Grundalgoritmen för Gausselemination och bakåtsubstitution Grundalgoritmen är numeriskt instabil! Stabilisering via radpivotering Beräkningskomplexitet, exekveringstid LU-faktorisering (en variant av Gausselimination) Noggrannhet Normer för vektorer och er Konditionstal (störningskänslighet) Eddie Wadbro, Tema : Nätverk och linjära system, November, 04 ( : 48) Linjära system Matematiska modeller ger ofta upphov till mycket stora linjära ekvationssystem (exempelvis, nätverksmodellen i detta tema) som behöver lösas med hjälp av datorer I många simuleringar domineras exekveringstiden av tiden för lösning av linjära ekvationssystem! Kategori Linjär Icke-linjär Algebra Analys ( Beräkningsbart) kostsamt om högdimensionellt Lösningen till ett matematiskt problem är beräkningsbar om den kan konstrueras med en ändlig sekvens av operationerna +,-,*,/ och exakt symbolisk manipulation Eddie Wadbro, Tema : Nätverk och linjära system, November, 04 ( : 48)

2 Mål: Att lösa det linjära ekvationssystemet Ax = b Jämfört med tidigare kurs: Linjär algebra (grundkurs i matematik) Allmän förståelse av vektorer, er, linjära ekvationssystem, och deras egenskaper Lära sig hur små linjära ekvationssystem löses för hand Denna kurs Förstå algoritmer anpassade för numerisk lösning av linjära ekvationssystem och deras egenskaper Lära sig lösa stora linjära ekvationsssytem med hjälp av datorer Eddie Wadbro, Tema : Nätverk och linjära system, November, 04 (4 : 48) Linjära ekvationssystem Repetition från linjär algebrakursen A: kvadratisk n n Det linjära systemet Ax = b har en unik lösning för varje kolonnvektor b om en A är icke-singulär Matrisen är icke-singular om och endast om något av följande villkor håller Raderna är linjärt oberoende Kolonnerna är linjärt oberoende Ax = 0 x = 0 Determinanten av A är nollskild (det(a) 0) A är inverterbar Eddie Wadbro, Tema : Nätverk och linjära system, November, 04 (5 : 48) Algoritmer Matlabs backslash operator (\ eller mldivide) löser systemet Ax = b >> x = A\b där A är en kvadratisk och b samt x är kolonnvektorer Grundalgoritmen: Gausseliminationsbaserad LU-faktorisering (dagens huvudämne!) Matlabs \ är en intelligent operator: den väljer vilken metod som ska användas beroende på egenskaper hos en! (Vilket vi kommer att testa i datorlaborationen!) Eddie Wadbro, Tema : Nätverk och linjära system, November, 04 (6 : 48)

3 Grundalgoritmen för Gausselimination Grundalgoritmen för Gausselimination består av två steg Faktorisering: Elementära radoperationer omvandlar systemet Ax = b till ett system på formen Ux = d, där U är en övertriangular Bakåtsubstitution: Lös systemet Ux = d Naiv version av faktoriseringssteget (samma algoritm som när man löser för hand): Input: A, b, n (storleken på systemet). Skapa en  = [A b]. För kolonn k =,,..., n Släck ut (sätt till 0) elementen i raderna i, där i > k i kolonn k genom att lägga en multipel av rad k till rad i = k +, k +,..., n Eddie Wadbro, Tema : Nätverk och linjära system, November, 04 (7 : 48) Kod för den naiva faktoriseringsalgoritmen Input: n n A och n vektor b n = length(b); Aug = [A b]; for k = : n- for i = k+:n Lik = Aug(i,k)/Aug(k,k); for j = k:n+ Aug(i,j) = Aug(i,j) - Lik*Aug(k,j); end end end Observera att de första n kolonnerna av Aug skrivs över med en U och att kolonn n + i Aug (vilken från början innehöll högerledet b) skrivs över med lösningsvektorn d. Strategin att skriva över information sparar minne, vilket är viktigt när en är stor! Den innersta loopen kan i Matlab skrivas som en instruktion Aug(i,k:n+) = Aug(i,k:n+) - Lik*Aug(k,k:n+); Eddie Wadbro, Tema : Nätverk och linjära system, November, 04 (8 : 48) Kod för bakåtsubstitution För i = n, n,..., : Input: U, d, och n U ii x i + n j=i+ U ijx j = d j x(n) = d(n)/u(n,n) for i = n-:-: x(i) = ( d(i) - U(i,i+:n)*x(i+:n) )/(U(i,i); end Observera att U(i,i+:n)*x(i+:n) är en inre produkt (skalärprodukt) mellan radvektorn U(i,i+:n) och kolonnvektorn x(i+:n) Vi behöver inte skapa ytterligare en för att spara U; faktoriseringen har sparat U i Aug(:n,:n) Vanligtvis skrivs Aug(:n,n+) över med x; det behövs således inte någon ytterligare variabel för svaret x Eddie Wadbro, Tema : Nätverk och linjära system, November, 04 (9 : 48)

4 Den navia faktoriseringsalgoritmen är numeriskt instabil! Ex: ( A b ) = med exakt lösning x = Låt L ik vara faktorn som vi vill använder för att nolla ut a ik. För detta exempel, antag att vi avrundar till decimala siffror (istället för att avrunda till 5 binära siffror!) fl(l ) = fl(/) = 0. fl(l ) = fl(4/) = fl(l ) = fl(./0.) = Eddie Wadbro, Tema : Nätverk och linjära system, November, 04 (0 : 48) Den navia faktoriseringsalgoritmen är numeriskt instabil! fl(x) = vilket är långt från den korrekta lösningen x = (,, ) T Numeriskt instabil algoritm: algoritmen förstärker successivt avrundningsfelen, vilket ger upphov till ett stort fel i den slutliga lösningen Betrakta: Aug(i,k:n+) = Aug(i,k:n+) - Lik*Aug(k,k:n+) Problemet: närhelst L ik >, så kommer multiplikationen att förstärka de (avrundnings)fel som finns i Aug(k,k:n+)! (Avrundnings)felen blir successivt större och större Eddie Wadbro, Tema : Nätverk och linjära system, November, 04 ( : 48) Stabilisering via radpivotering Botemedel: radpivotering Kom ihåg: Lik = Aug(i,k)/Aug(k,k) För varje k, finn en rad m så att Aug(m,k) Aug(i,k), i = k, k+,..., n I ord: för kolonn k, hitta det element på eller under diagonalen som har störst absolutbelopp Byt innehållet i rad m och k Då är Aug(k,k) Aug(i,k) för i k, så L ik, vilket förhindrar felförstärkning vid multiplikationen med L ik Eddie Wadbro, Tema : Nätverk och linjära system, November, 04 ( : 48)

5 Radpivotering Ex: ( A b ) = = Byt rad och fl(l ) = fl(/4) = 0.5 fl(l ) = fl(/4) = Byt rad och Eddie Wadbro, Tema : Nätverk och linjära system, November, 04 ( : 48) Radpivotering fl(l ) = fl( 0.5/.5) = fl(x) = Eddie Wadbro, Tema : Nätverk och linjära system, November, 04 (4 : 48) Exekveringstid Det kan ta mycket lång tid att utföra Gausselimination för stora er En central fråga: hur beror antalet flyttalsoperationer på ens storlek? Eddie Wadbro, Tema : Nätverk och linjära system, November, 04 (5 : 48)

6 Antalet flyttalsoperationer Betrakta den andra for-loopen i faktoriseringssteget: for i = k+:n Lik = Aug(i,k)/Aug(k,k) for j = k:n+ Aug(i,j) = Aug(i,j) - Lik*Aug(k,j) utförs n k gånger op utförs n k + gånger op Antal flyttalsoperationer (flops): [ + (n k + ) ] (n k) (n k) (plus termer som är linjära i k och n) Loopen ovan utförs för k =,..., n. Summera över k ger totalt antal flyttalsoperationer: n (n k) = n + O(n ) (Lemma 8.. i kursboken) k= Slutsats: faktoriseringssteget i Gausseliminationen av ett n-gånger-n system, kräver n + O(n ) flops En liknande analys: Bakåtsubstitutionen kräver n flops Eddie Wadbro, Tema : Nätverk och linjära system, November, 04 (6 : 48) Exekveringstid Analysen ovan säger att komplexiteten för Gausselimiationen är O(n ) (faktorisering) och O(n ) (för bakåtsubstitutionen) Vad säger denna analys om exekveringstiden? Antag att det tar t f = 0 0 s/flop faktorisering bakåtsubstitution n n t f n t f s 0 4 s s. years 00 s Eddie Wadbro, Tema : Nätverk och linjära system, November, 04 (7 : 48) Exekveringstid Hur stort system kan lösas på en timme om datorn utför 0 Gflop/s? (Gflop = 0 9 flops) Svar: n 0 0 = 600 n Hur stort system kan lösas på en minut? Svar: n 0 0 = 60 n För större system kan minnessaccesser utgöra en stor del av tiden och därmed orsaka signifikanta dröjsmål! Eddie Wadbro, Tema : Nätverk och linjära system, November, 04 (8 : 48)

7 Behovet av effektiva algoritmer n komplexiteten begränsar nyttan med Guasselimination; det är praktiskt ogörbart att lösa mycket stora ssystem Alternativ: Utnyttja, om möjligt, den struktur en har Det finns versioner av Gausselimination för bandade eller mycket glesa er En helt annan typ av algoritmer, iterativa metoder, är nödvändiga för att lösa system med mycket stora (glesa) er Denna typ av er erhålls ofta vid diskretisering av partiella differentialekvationer Matrisstorlekar i storleksordningen n = 0 8 kan förekomma för dessa problem! Sådana problem kräver stora parallelldatorer (t.ex. Abisko i Umeå) och skräddarsydda algoritmer Eddie Wadbro, Tema : Nätverk och linjära system, November, 04 (9 : 48) LU-faktorsering Vanligt problem: vi vill lösa en sekvens av linjära ekvationer som har samma system men olika högerled Ax (k) = b (k), k =,..., m Ide: faktorisera A enbart en gång: Spara U Spara faktorerna L ik i en undertriangulär L (som har or på diagonalen) Spara information om de pivoteringar (radbyten) som utförts i en P Ovanstående algoritm kallas LU-faktorisering Kan visa att LU = PA (Sats 8.6. i kursboken) Kan också visa att A är icke-singular om och endast om det finns en permutationsmatrix P, en undertriangular L med ettor på diagonalen samt en övertriangular U så att PA = LU Eddie Wadbro, Tema : Nätverk och linjära system, November, 04 (0 : 48) LU-faktorisering Givet A, beräkna L, U, P, så att LU = PA Ax = b PAx = Pb LUx = Pb [faktorisering, O(n ) flops] För varje högerled b (k) : Lös problemet Ld = Pb (k) [framåtsubstitution, O(n ) flops] för att bestämma d Lös problemet Ux (k) = d [bakåtsubstitution, O(n ) flops] för att bestämma lösningen x (k) Eddie Wadbro, Tema : Nätverk och linjära system, November, 04 ( : 48)

8 LU-faktorisering Vad är fördelen med LU faktorisering jämfört med vanlig Gausselimination? Ineffektiv strategi: Lös varje stystem med xi=a\bi A kommer att faktoriseras på nytt för varje högerled bi! Antal flyttalsoperationer: m( n + n ) (vi har m system som alla faktoriseras och bakåtsubstituteras) Effektiv strategi: LU-faktorisera A och lös d = L\b x = U\d Antal flyttalsoperationer: n + mn (A faktoriseras en gång, m framåt- och bakåtsubstitutioner) Eddie Wadbro, Tema : Nätverk och linjära system, November, 04 ( : 48) LU-faktorisering i Matlab >> A = [ - ; 0 -; 4 -]; >> [L, U, P] = lu(a) L = U = P = Eddie Wadbro, Tema : Nätverk och linjära system, November, 04 ( : 48) Testa om: PA = LU >> P*A ans = >> L*U ans = Lösning med LU-faktorisering >> b = [8; -; -4]; >> d = L\(P*b) d = >> x = U\d x = - Kom ihåg: Backslash operatorn \ är smart ; när erna är över- eller undertriangulära så används algoritmerna för framåt- och bakåtsubstitution istället för algoritmen som löser med full Gausseliminering Eddie Wadbro, Tema : Nätverk och linjära system, November, 04 (4 : 48)

9 LU-faktorisering i Matlab Testa om backslash är smart nog att använda LU faktorisering! >> n = 5000; >> A = rand(n,n); >> b40 = rand(n,40); b= rand(n,); >> tic;x40 = A\b40;toc Elapsed time is seconds. >> tic;x = A\b;toc Elapsed time is seconds. Matrisen b40= [b b... b 40 ] lagrar 40 högerled Matrisen x40= [x x... x 40 ] innehåller lösningarna till de linjära ekvationsssytem för högerleden i b40 40 system med samma system löses nästan lika snabbt som endast system! Detta tyder på att Matlab faktiskt använder LU-faktorisering! Eddie Wadbro, Tema : Nätverk och linjära system, November, 04 (5 : 48) LU-faktorisering: exempel Matematiskt objekt 4 9 Radbyte: 4 9 Datastrukturer Eddie Wadbro, Tema : Nätverk och linjära system, November, 04 (6 : 48) LU-faktorisering: exempel / Matematiskt objekt / 4 9 Datastrukturer Eliminering, kolonn, med faktorerna L = /, L = /: Obs: tecken 4 / / / - / 4 8 Eddie Wadbro, Tema : Nätverk och linjära system, November, 04 (7 : 48)

10 LU-faktorisering: exempel Matematiskt objekt 4 / / 4 8 Radbyte Datastrukturer / - / / 4 8 / -4 - / 4 8 -/ - Eddie Wadbro, Tema : Nätverk och linjära system, November, 04 (8 : 48) LU-faktorisering: exempel Matematiskt objekt 4 / 4 / 4 8 / Datastrukturer -4 - / 4 8 -/ - Eliminering, kolonn, med faktorn L = /4: 4 / 4 8 / /4-4 - / 4 8 -/ /4 - Eddie Wadbro, Tema : Nätverk och linjära system, November, 04 (9 : 48) LU-faktorisering: exempel Matematiskt objekt 4 / 4 8 / /4 Datastrukturer -4 - / 4 8 -/ /4 - Klar! Matrisversioner av datastrukturerna: L = 0 0 / 0 / /4, U = , P = Eddie Wadbro, Tema : Nätverk och linjära system, November, 04 (0 : 48)

11 LU-faktorisering: exempel LU = 0 0 / 0 / /4 PA = = = Så vi har: LU = PA Inget extra lagringsutrymme: L (förutom diagonalelementen) och U lagras på den plats i minnet som tidigare innehöll A Information om pivoteringarna lagras i en heltalsvektor (att lagra P som en full med mest nollor vore slöseri med minne) Eddie Wadbro, Tema : Nätverk och linjära system, November, 04 ( : 48) Noggrannhet Ax = b Exakt lösning x (vanligtvis okänd) Avrundningsfel akkumuleras under Gausseliminationen, vilket ger en beräknad lösning x Hur noggrann är den beräknade lösningen? Naturligt test: undersök om ekvationerna är uppfyllda Residualen ska vara nära nollvektorn! b A x Eddie Wadbro, Tema : Nätverk och linjära system, November, 04 ( : 48) Residual och noggrannhet: exempel A = ( ) ( ) , b = A = >> A = [ ; ]; >> b = A*[;-]; >> xs = single(a)\single(b) xs = ( ) xs beräknad med A och b i enkelprecision >> xd = A\b xd = xd beräknad med A och b lagrade ( som vanligt ) i dubbelprecision Eddie Wadbro, Tema : Nätverk och linjära system, November, 04 ( : 48)

12 Residual och noggrannhet: exempel För enkelprecisions beräkningen: >> res_s = b - A*xs res_s =.0e-07 * >> xs - [;-] ans = >> cond(a) ans =.05e+08 Residualen är liten: exakt upp till avrundningsfel (ungefär ɛ M i enkelprecision) Men felet är stort! Observera att det så kallade konditionstalet är högt! Eddie Wadbro, Tema : Nätverk och linjära system, November, 04 (4 : 48) Konditionstal och residual Slutsats: storleken på residualen är inte ett bra mått på lösningens noggrannhet Varför? Exempelproblemet ovan är illa-konditionerat (känsligt för störningar) Vi behöver ett bättre sätt att uppskatta felet än att mäta residualen! Eddie Wadbro, Tema : Nätverk och linjära system, November, 04 (5 : 48) Väl-konditionerade kontra illa-konditionerade problem Koncepten väl-konditionerat och illa-konditionerat problem kan illustreras grafiskt för system med två okända: x x x x De två linjerna illustrerar vilka x och x värden som uppfyller de två ekvationerna Lösningen till ekvationssystemet ligger på skärningpunkten mellan linjerna När ekvationerna nästan beskriver samma linje så är linjerna nära varandra även långt från skärningspunkten; eller med andra ord, residualen är liten även långt från lösningen Eddie Wadbro, Tema : Nätverk och linjära system, November, 04 (6 : 48)

13 Normer För att mäta fel, måste vi kunna mäta storleken av vektorer och er på ett sätt som generaliserar begreppet absolutbelopp för reella tal Vi kommer att använda oss av normer Normen av en vektor x skrivs som x Det finns både vektornormer och normer Eddie Wadbro, Tema : Nätverk och linjära system, November, 04 (7 : 48) Vektornormer De vanligaste vektornormerna, för en vektor x = (x,..., x n ) T, är -normen, Euklidisk norm: x = x + x + + x n -normen -normen, max-normen Generellt, p-normen x = x + x + + x n x = max( x, x,..., x n ) ) /p x p = ( x p + x p + + x n p Eddie Wadbro, Tema : Nätverk och linjära system, November, 04 (8 : 48) Vektornormer Varför finns det olika normer? Ibland är en norm mer lämplig än andra. Ex: -normen ger det kortaste avståndet mellan två punkter fågelvägen -normen ger det kortaste avståndet mellan två punkter om man måste följa gatorna i ett rutnät! Eddie Wadbro, Tema : Nätverk och linjära system, November, 04 (9 : 48)

14 Matrisnormer Matrisnormer definieras oftast med hjälp av en given vektornorm: Ax A = max x 0 x Ger den maximala förstoringsfaktorn som en orsakar när den appliceras på en vektor Från definitionen oven gäller för varje x 0, vilket även kan skrivas, Ax x max Ax = A () x 0 x Ax A x x Eddie Wadbro, Tema : Nätverk och linjära system, November, 04 (40 : 48) Matrisnormer Enklare formler än själva definitionen kan härledas för -, - och -normen Man kan visa att ( ) A = max A ij j i A = max i j A ij (den största -normen bland ens kolonner) (den största -normen bland ens rader) A = max(λ i (A T A)) (kvadratroten till det största egenvärdet av A T A) i - och -normerna är mycket enklare och snabbare att beräkna än -normen! Eddie Wadbro, Tema : Nätverk och linjära system, November, 04 (4 : 48) Elementvisa normer Det finns normer som inte induceras av vektornormer Dessa normer behandlar vanligtvis en m n som en mn vektor Användande av p-vektornormen ger m A = i=0 j=0 n A i,j p För det speciella valet p =, kallas denna norm för Frobeniusnormen m n A F = A i,j i=0 j=0 /p Eddie Wadbro, Tema : Nätverk och linjära system, November, 04 (4 : 48)

15 Fel och konditionstal Låt A vara en icke-singular och låt b 0 vara ett högerled, samt b vara ett stört (på grund av avrudningsfel, mätfel,... ) högerled Låt x och x vara lösningarna till de linjära ekvationssystemen Ax = b and A x = b Differensen mellan ekvationssystemen ovan är A(x x) = b b Eftersom att A är icke-singular så har vi att x x = A (b b) () Eddie Wadbro, Tema : Nätverk och linjära system, November, 04 (4 : 48) Fel och konditionstal Genom att ta normen på båda sidor av uttryck () och använda egenskap () erhåller vi att x x = A (b b) A b b Division med x ger ( x 0) x x x A x b b () Eftersom b = Ax A x (även detta enligt ()) har vi x A b (4) Genom att substituera uttryck (4) in i uttyck () får vi följande begränsning av det relativa felet i lösningen x x A b b A x b Eddie Wadbro, Tema : Nätverk och linjära system, November, 04 (44 : 48) Fel och konditionstal Vi har således bevisat följande feluppskattning x x x b b κ(a) b där κ(a) = A A är konditionstalet för en A I ord: det relativa felet i x är begränsat av konditionstalet multiplicerat med det relativa felet i högerledet Fel i b kan alltså bli förstärkta med en faktor κ(a) vid lösning av det linjära ekvationssystemet Ax = b Observera att vi inte har gjort några antaganden om hur störningen ser ut eller vilken metod som används för att lösa systemet Eddie Wadbro, Tema : Nätverk och linjära system, November, 04 (45 : 48)

16 Fel och konditionstal Konditionstalet för en beror på valet av norm! För vårt exempel A = ( ) , κ (A) = κ (A) = κ (A) = Det relativa felet i b är i bästa fall begränsat av ɛm, vilket är ungefär 0 6 i dubbel precision (i enkel precision är ɛ M ungefär 0 8 ) Alltså, vid lösning av ekvationssystemet kan vi förlora all noggrannhet i enkel precision (det relativa felet kan vara ); i dubbel precision kan halva noggrannheten försvinna Eddie Wadbro, Tema : Nätverk och linjära system, November, 04 (46 : 48) Konditionstal Matematiskt så är en singulär eller inte. För beräkningsändamål är det värdefullt att prata om nära singulära er Ett högt konditionstal (ett illa-konditionerat problem) antyder att en nästan är singulär Ett högt konditionstal är en egenskap hos det underliggande ekvationssystemet! Konditionstalet och lösningens störningskänslighet beror inte på vilken lösningsalgoritm som används! Eddie Wadbro, Tema : Nätverk och linjära system, November, 04 (47 : 48) Konditionstal Konditionstal fungerar som ett varningstecken Feluppskattningen som innehåller konditionstalet beskriver det västa fallet; det kan hända att felet är mycket mindre än vad feluppskattningen anger För varje inverterbar har vi följande uppskattning av konditionstalet κ(a) = A A A A = I = I bästa fall är konditionstalet, vilket innebär att det relativa felet i högerledet inte förstärks vid lösning av linjära ekvationssystem Eddie Wadbro, Tema : Nätverk och linjära system, November, 04 (48 : 48)

Block 2: Lineära system

Block 2: Lineära system Exempel Från labben: Block : Lineära system Del 1 Trampolinens böjning och motsvarande matris (här 6060-matris) Matrisen är ett exempel på - gles matris (huvuddelen av elementen nollor) - bandmatris Från

Läs mer

Ekvationssystem, Matriser och Eliminationsmetoden

Ekvationssystem, Matriser och Eliminationsmetoden Matematiska institutionen Göteborgs universitet och Chalmers tekniska högskola Version 359 Ekvationssystem, Matriser och Eliminationsmetoden - En inledning Ekvationssystem - matrisformulering Vi såg att

Läs mer

Linjära ekvationssystem

Linjära ekvationssystem Föreläsning 3 Linjära ekvationssystem Gausselimination Vanlig gausselimination för det linjära ekvationssystemet Ax = b utgår från den utökade matrisen [A b] och applicerar elementära radoperationer på

Läs mer

Linjära ekvationssystem

Linjära ekvationssystem Linjära ekvationssystem Gausselimination Vanlig gausselimination för det linjära ekvationssystemet Ax = b utgår från den utökade matrisen [A b] och applicerar elementära radoperationer på denna för att

Läs mer

Algebra, polynom & andragradsekvationer en pampig rubrik på ett annars relativt obetydligt dokument

Algebra, polynom & andragradsekvationer en pampig rubrik på ett annars relativt obetydligt dokument Algebra, polynom & andragradsekvationer en pampig rubrik på ett annars relativt obetydligt dokument Distributiva lagen a(b + c) = ab + ac 3(x + 4) = 3 x + 3 4 = 3x + 12 3(2x + 4) = 3 2x + 3 4 = 6x + 12

Läs mer

a n = A2 n + B4 n. { 2 = A + B 6 = 2A + 4B, S(5, 2) = S(4, 1) + 2S(4, 2) = 1 + 2(S(3, 1) + 2S(3, 2)) = 3 + 4(S(2, 1) + 2S(2, 2)) = 7 + 8 = 15.

a n = A2 n + B4 n. { 2 = A + B 6 = 2A + 4B, S(5, 2) = S(4, 1) + 2S(4, 2) = 1 + 2(S(3, 1) + 2S(3, 2)) = 3 + 4(S(2, 1) + 2S(2, 2)) = 7 + 8 = 15. 1 Matematiska Institutionen KTH Lösningar till tentamensskrivning på kursen Diskret Matematik, moment A, för D och F, SF161 och SF160, den juni 008 kl 08.00-1.00. DEL I 1. (p) Lös rekursionsekvationen

Läs mer

Linjära system av differentialekvationer

Linjära system av differentialekvationer CTH/GU LABORATION MVE0-0/03 Matematiska vetenskaper Linjära system av differentialekvationer Inledning Vi har i envariabelanalysen sett på allmäna system av differentialekvationer med begynnelsevillkor

Läs mer

Kontrollskrivning i Linjär algebra 2014 10 30, 14 18.

Kontrollskrivning i Linjär algebra 2014 10 30, 14 18. LINKÖPINGS UNIVERSITET Matematiska Institutionen Ulf Janfalk Kurskod: TATA Provkod: KTR Kontrollskrivning i Linjär algebra, 8. Inga hjälpmedel. Ej räknedosa. På uppgift skall endast svar ges. Varje rätt

Läs mer

Tentamen i Linjär algebra (TATA31/TEN1) 2013 08 24, 14 19.

Tentamen i Linjär algebra (TATA31/TEN1) 2013 08 24, 14 19. LINKÖPINGS UNIVERSITET Matematiska Institutionen Ulf Janfalk Kurskod: TATA Provkod: TEN Tentamen i Linjär algebra (TATA/TEN 8, 9. Inga hjälpmedel. Ej räknedosa. För godkänt räcker 9 poäng och minst uppgifter

Läs mer

Väga paket och jämföra priser

Väga paket och jämföra priser strävorna 2AC 3AC Väga paket och jämföra priser begrepp rutinuppgifter tal geometri Avsikt och matematikinnehåll Den huvudsakliga avsikten med denna aktivitet är att ge elever möjlighet att utveckla grundläggande

Läs mer

Föreläsning 14: Exempel på randvärdesproblem. LU-faktorisering för att lösa linjära ekvationssystem.

Föreläsning 14: Exempel på randvärdesproblem. LU-faktorisering för att lösa linjära ekvationssystem. 11 april 2005 2D1212 NumProg för T1 VT2005 A Föreläsning 14: Exempel på randvärdesproblem. LU-faktorisering för att lösa linjära ekvationssystem. Kapitel 8 och 5 i Q&S Stationär värmeledning i 1-D Betrakta

Läs mer

Lösningsanvisningar till de icke obligatoriska workoutuppgifterna

Lösningsanvisningar till de icke obligatoriska workoutuppgifterna Lösningsanvisningar till de icke obligatoriska workoutuppgifterna Intro till vektorer, matriser och Gausselimination 8. Den euklidiska normen x = x 1 + x + x n och x 1 + x + ( ) x n = x 1 x x n 9. Vi ska

Läs mer

Kapitel 6. f(x) = sin x. Figur 6.1: Funktionen sin x. 1 Oinas-Kukkonen m.fl. Kurs 6 kapitel 1

Kapitel 6. f(x) = sin x. Figur 6.1: Funktionen sin x. 1 Oinas-Kukkonen m.fl. Kurs 6 kapitel 1 Kapitel 6 Gränsvärde 6. Definition av gränsvärde När vi undersöker gränsvärdet av en funktion undersöker vi vad som händer med funktionsvärdet då variabeln, x, går mot ett visst värde. Frågeställningen

Läs mer

Lathund, procent med bråk, åk 8

Lathund, procent med bråk, åk 8 Lathund, procent med bråk, åk 8 Procent betyder hundradel, men man kan också säga en av hundra. Ni ska kunna omvandla mellan bråkform, decimalform och procentform. Nedan kan ni se några omvandlingar. Bråkform

Läs mer

Block 2: Linjära system

Block 2: Linjära system Exempel Frå labbe: Block : Lijära system Del Trampolies böjig och motsvarade matris (här 60*60-matris) Matrise är ett exempel på - gles matris (huvuddele av elemete ollor) - badmatris Frå labbe Beräkigstid

Läs mer

Föreläsning 8: Räkning. Duvhålsprincipen. Kombinatorik

Föreläsning 8: Räkning. Duvhålsprincipen. Kombinatorik Föreläsning 8: Räkning. Duvhålsprincipen. Kombinatorik Summaregeln Om och B är disjunkta mängder så B = + B, ty innehåller inga upprepningar Produktregeln Om och B är disjunkta mängder så är B = B Exempel:

Läs mer

Linjära system av differentialekvationer

Linjära system av differentialekvationer CTH/GU STUDIO 6 MVE6 - /6 Matematiska vetenskaper Inledning Linjära system av differentialekvationer Vi har i studioövning sett på allmäna system av differentialekvationer med begynnelsevillkor u (t) =

Läs mer

Lösningsanvisningar till de icke obligatoriska workoutuppgifterna

Lösningsanvisningar till de icke obligatoriska workoutuppgifterna Lösningsanvisningar till de icke obligatoriska workoutuppgifterna Linjära system 7. (a) Falskt. Kondition är en egenskap hos problemet oberoende av precisionen i beräkningarna. (b) Falskt. Pivotering påverkar

Läs mer

Övningshäfte i matematik för. Kemistuderande BL 05

Övningshäfte i matematik för. Kemistuderande BL 05 Övningshäfte i matematik för Kemistuderande BL 05 Detta häfte innehåller några grundläggande övningar i de delar av matematiken som man har användning för i de tidiga kemistudierna. Nivån är gymnasiematematik,

Läs mer

2D1250 Tillämpade numeriska metoder II Läsanvisningar och repetitionsfrågor:

2D1250 Tillämpade numeriska metoder II Läsanvisningar och repetitionsfrågor: 1 Axel Ruhe NADA 10 mars 2005 2D1250 Tillämpade numeriska metoder II Läsanvisningar och repetitionsfrågor: Dessa frågor är till hjälp vid inläsning av Linjär Algebra momenten i kursen. Hänvisningar till

Läs mer

SEPARABLA DIFFERENTIALEKVATIONER

SEPARABLA DIFFERENTIALEKVATIONER SEPARABLA DIFFERENTIALEKVATIONER En differentialekvation (DE) av första ordningen sägs vara separabel om den kan skrivas på formen P ( y) Q( ) () Den allmänna lösningen till () erhålles genom att integrera

Läs mer

1 Navier-Stokes ekvationer

1 Navier-Stokes ekvationer Föreläsning 5. 1 Navier-Stokes ekvationer I förra föreläsningen härledde vi rörelsemängdsekvationen Du j Dt = 1 τ ij + g j. (1) ρ x i Vi konstaterade också att spänningstensorn för en inviskös fluid kan

Läs mer

4-3 Vinklar Namn: Inledning. Vad är en vinkel?

4-3 Vinklar Namn: Inledning. Vad är en vinkel? 4-3 Vinklar Namn: Inledning I det här kapitlet skall du lära dig allt om vinklar: spetsiga, trubbiga och räta vinklar. Och inte minst hur man mäter vinklar. Att mäta vinklar och sträckor är grundläggande

Läs mer

Konsten att multiplicera (stora) heltal

Konsten att multiplicera (stora) heltal Konsten att multiplicera (stora) heltal 18 november 2006 Stora heltal Mental bild: Handmultiplikation av tal med hundratals siffor. Datormultiplikation av tal med miljontals siffror. Mina exempel är mycket

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys

SF1625 Envariabelanalys Modul 2: Derivata Institutionen för matematik KTH 8 september 2015 Derivata Innehåll om derivata (bokens kapitel 2). Definition vad begreppet derivata betyder Tolkning hur man kan tolka derivata Deriveringsregler

Läs mer

konstanterna a och b så att ekvationssystemet x 2y = 1 2x + ay = b 2 a b

konstanterna a och b så att ekvationssystemet x 2y = 1 2x + ay = b 2 a b Tentamen i Inledande matematik för V och AT, (TMV25), 20-0-26. Till denna uppgift skulle endast lämnas svar, men här ges kortfattade lösningar. a) Bestäm { konstanterna a och b så att ekvationssystemet

Läs mer

Linjära ekvationssystem och egenvärdesproblem

Linjära ekvationssystem och egenvärdesproblem Vetenskapliga beräkningar III 50 Kapitel 5. Linjära ekvationssystem och egenvärdesproblem Några av den linjära algebrans huvuduppgifter är att a) lösa det linjära ekvationssystemet Ax = b, och att b) lösa

Läs mer

Laborativ matematik som bedömningsform. Per Berggren och Maria Lindroth 2016-01-28

Laborativ matematik som bedömningsform. Per Berggren och Maria Lindroth 2016-01-28 Laborativ matematik som bedömningsform Per Berggren och Maria Lindroth 2016-01-28 Kul matematik utan lärobok Vilka förmågor tränas Problemlösning (Förstå frågan i en textuppgift, Använda olika strategier

Läs mer

Denna föreläsning. DN1212 Numeriska metoder och grundläggande programmering FN Standardform för randvärdesproblem

Denna föreläsning. DN1212 Numeriska metoder och grundläggande programmering FN Standardform för randvärdesproblem Denna föreläsning DN1212 Numeriska metoder och grundläggande programmering FN8 09-03-30 Hedvig Kjellström hedvig@csc.kth.se! Repetition av FN7 (GNM kap 4, 6.3)! Bandmatrismetoden/Finita differensmetoden!

Läs mer

Lösningsanvisningar till de icke obligatoriska workoutuppgifterna

Lösningsanvisningar till de icke obligatoriska workoutuppgifterna Lösningsanvisningar till de icke obligatoriska workoutuppgifterna Linjära system 7. (a) Falskt. Kondition är en egenskap hos problemet oberoende av precisionen i beräkningarna. (b) Falskt. Pivotering påverkar

Läs mer

Träning i bevisföring

Träning i bevisföring KTHs Matematiska Cirkel Träning i bevisföring Andreas Enblom Institutionen för matematik, 2005 Finansierat av Marianne och Marcus Wallenbergs Stiftelse 1 Mängdlära Här kommer fyra tips på hur man visar

Läs mer

Individuellt Mjukvaruutvecklingsprojekt

Individuellt Mjukvaruutvecklingsprojekt Individuellt Mjukvaruutvecklingsprojekt RPG-spel med JavaScript Författare Robin Bertram Datum 2013 06 10 1 Abstrakt Den här rapporten är en post mortem -rapport som handlar om utvecklandet av ett RPG-spel

Läs mer

Något om permutationer

Något om permutationer 105 Något om permutationer Lars Holst KTH, Stockholm 1. Inledning. I många matematiska resonemang måste man räkna antalet fall av olika slag. Den del av matematiken som systematiskt studerar dylikt brukar

Läs mer

Begrepp :: Determinanten

Begrepp :: Determinanten c Mikael Forsberg 2008 1 Begrepp :: Determinanten Rekursiv definition :: Kofaktorutveckling Låt oss börja definiera determinanten för en 1 1 matris A = (a). En sådan matris är naturligtvis bara ett vanligt

Läs mer

10.03.2010. Översikt. Rapport från skolverket. Förändring av matematikprestationerna 1995 2003-2007. Grundtankar bakom Pixel

10.03.2010. Översikt. Rapport från skolverket. Förändring av matematikprestationerna 1995 2003-2007. Grundtankar bakom Pixel Översikt Hur är situationen i Sverige och Norge när det gäller matematik-kompetensen? Är det nödvändigt att undervisa på andra sätt än vi gjort tidigare? Förändring av matematikprestationerna 1995 2003-2007

Läs mer

Snabbslumpade uppgifter från flera moment.

Snabbslumpade uppgifter från flera moment. Snabbslumpade uppgifter från flera moment. Uppgift nr Ställ upp och dividera utan hjälp av miniräknare talet 48 med 2 Uppgift nr 2 Skriv talet 3 8 00 med hjälp av decimalkomma. Uppgift nr 3 Uppgift nr

Läs mer

Modul 6: Integraler och tillämpningar

Modul 6: Integraler och tillämpningar Institutionen för Matematik SF65 Envariabelanalys Läsåret 5/6 Modul 6: Integraler och tillämpningar Denna modul omfattar kapitel 6. och 6.5 samt kapitel 7 i kursboken Calculus av Adams och Essex och undervisas

Läs mer

PRÖVNINGSANVISNINGAR

PRÖVNINGSANVISNINGAR Prövning i Matematik 5 PRÖVNINGSANVISNINGAR Kurskod MATMAT05 Gymnasiepoäng 100 Läromedel Valfri aktuell lärobok för kurs Matematik 5 Skriftligt prov, 4h Teoretiskt prov Bifogas Provet består av två delar.

Läs mer

Sammanfattninga av kursens block inför tentan

Sammanfattninga av kursens block inför tentan FÖRELÄSNING 14 Sammanfattninga av kursens block inför tentan BILD Vi har jobbat med numerisk metoder, datorprogram och tolkning av lösning. Numeriska metoder BILD olika områden: Linjära ekvationssytem,

Läs mer

2 Matrisfaktorisering och lösning till ekvationssystem

2 Matrisfaktorisering och lösning till ekvationssystem TANA21+22/ 5 juli 2016 LAB 2. LINJÄR ALGEBRA 1 Inledning Lösning av ett linjärt ekvationssystem Ax = b förekommer ofta inom tekniska beräkningar. I laborationen studeras Gauss-elimination med eller utan

Läs mer

Exempel på tentamensuppgifter i LMA100, del 1

Exempel på tentamensuppgifter i LMA100, del 1 Exempel på tentamensuppgifter i LMA100, del 1 Diskret matematik 1. Givet är de 7 bokstäverna i ordet APPARAT. Hur många olika ord (= bokstavspermutationer) kan man bilda av dem med (a) 7 bokstäver (b)

Läs mer

Möbiustransformationer.

Möbiustransformationer. 224 Om Möbiustransformationer Torbjörn Kolsrud KTH En Möbiustransformation är en komplexvärd funktion f av en komplex variabel z på formen f(z) = az + b cz + d. Här är a b c och d komplexa tal. Ofta skriver

Läs mer

Erfarenheter från ett pilotprojekt med barn i åldrarna 1 5 år och deras lärare

Erfarenheter från ett pilotprojekt med barn i åldrarna 1 5 år och deras lärare Erfarenheter från ett pilotprojekt med barn i åldrarna 1 5 år och deras lärare I boken får vi följa hur barn tillsammans med sina lärare gör spännande matematikupptäckter - i rutinsituationer - i leken

Läs mer

Mätningar på op-förstärkare. Del 3, växelspänningsförstärkning med balanserad ingång.

Mätningar på op-förstärkare. Del 3, växelspänningsförstärkning med balanserad ingång. Mätningar på op-förstärkare. Del 3, växelspänningsförstärkning med balanserad ingång. Denna gång skall vi titta närmare på en förstärkare med balanserad ingång och obalanserad utgång. Normalt använder

Läs mer

2005-01-31. Hävarmen. Peter Kock

2005-01-31. Hävarmen. Peter Kock 2005-01-31 Hävarmen Kurs: WT0010 Peter Kock Handledare: Jan Sandberg Sammanfattning Om man slår upp ordet hävarm i ett lexikon så kan man läsa att hävarm är avståndet mellan kraften och vridningspunkten.

Läs mer

Facit med lösningsförslag kommer att anslås på vår hemsida www.ebersteinska.norrkoping.se. Du kan dessutom få dem via e-post, se nedan.

Facit med lösningsförslag kommer att anslås på vår hemsida www.ebersteinska.norrkoping.se. Du kan dessutom få dem via e-post, se nedan. Detta häfte innehåller uppgifter från fyra olika områden inom matematiken. Meningen är att de ska tjäna som en självtest inför gymnasiet. Klarar du dessa uppgifter så är du väl förberedd inför gymnasiestudier

Läs mer

912 Läsförståelse och matematik behöver man lära sig läsa matematik?

912 Läsförståelse och matematik behöver man lära sig läsa matematik? 912 Läsförståelse och matematik behöver man lära sig läsa matematik? Med utgångspunkt från min egen forskning kring läsförståelse av matematiska texter kommer jag att diskutera olika aspekter av läsning

Läs mer

DOP-matematik Copyright Tord Persson. Bråktal -3-2 -1 0 1 2 3. Läs av vilka tal på tallinjen, som pilarna pekar på. Uppgift nr 10 -3-2 -1 0 1 2 3

DOP-matematik Copyright Tord Persson. Bråktal -3-2 -1 0 1 2 3. Läs av vilka tal på tallinjen, som pilarna pekar på. Uppgift nr 10 -3-2 -1 0 1 2 3 Bråktal Uppgift nr En limpa delas i 4 lika stora delar. Hur stor del av limpan blir varje del? Uppgift nr 2 Hur många tiondelar behövs för att det skall räcka till en hel? Uppgift nr Hur läser man ut bråket

Läs mer

729G04 - Hemuppgift, Diskret matematik

729G04 - Hemuppgift, Diskret matematik 79G04 - Hemuppgift, Diskret matematik 5 oktober 015 Dessa uppgifter är en del av examinationen i kursen 79G04 Programmering och diskret matematik. Uppgifterna ska utföras individuellt och självständigt.

Läs mer

Har du förstått? I De här talen är primtal a) 29,49 och 61 b) 97, 83 och 89 c) 0, 2 och 3.

Har du förstått? I De här talen är primtal a) 29,49 och 61 b) 97, 83 och 89 c) 0, 2 och 3. PASS 5. FAKTORISERING AV POLYNOM 5. Nyttan av faktorisering och faktorisering av heltal Har vi nytta av att kunna faktorisera polynom? Ja det har vi. Bra kunskaper i faktorisering av polynom möjliggör

Läs mer

SANNOLIKHET. Sannolikhet är: Hur stor chans (eller risk) att något inträffar.

SANNOLIKHET. Sannolikhet är: Hur stor chans (eller risk) att något inträffar. SANNOLIKHET Sannolikhet är: Hur stor chans (eller risk) att något inträffar. tomas.persson@edu.uu.se SANNOLIKHET Grundpremisser: Ju fler möjliga händelser, desto mindre sannolikhet att en viss händelse

Läs mer

SF1620 Matematik och modeller

SF1620 Matematik och modeller KTH Teknikvetenskap, Institutionen för matematik 1 SF160 Matematik och modeller 007-09-10 Andra veckan Trigonometri De trigonometriska funktionerna och enhetscirkeln Redan vid förra veckans avsnitt var

Läs mer

ATT KUNNA TILL. MA1050 Matte Grund. 2011-06-14 Vuxenutbildningen Dennis Jonsson

ATT KUNNA TILL. MA1050 Matte Grund. 2011-06-14 Vuxenutbildningen Dennis Jonsson ATT KUNNA TILL MA1050 Matte Grund 2011-06-14 Vuxenutbildningen Dennis Jonsson Sida 2 av 5 Att kunna till prov G1 Kunna ställa upp och beräkna additions-, subtraktions-, multiplikations- och divisuionsuppgifter

Läs mer

Vi skall skriva uppsats

Vi skall skriva uppsats Vi skall skriva uppsats E n vacker dag får du höra att du skall skriva uppsats. I den här texten får du veta vad en uppsats är, vad den skall innehålla och hur den bör se ut. En uppsats är en text som

Läs mer

Lokal pedagogisk planering i matematik för årskurs 8

Lokal pedagogisk planering i matematik för årskurs 8 Lokal pedagogisk planering i matematik för årskurs 8 Arbetsområde 2. Algebra Syfte formulera och lösa problem med hjälp av matematik samt värdera valda strategier och metoder. reflektera över matematikens

Läs mer

Tentamen i matematisk statistik (9MA241/9MA341/LIMAB6, STN2) 2012-01-09 kl 08-13

Tentamen i matematisk statistik (9MA241/9MA341/LIMAB6, STN2) 2012-01-09 kl 08-13 LINKÖPINGS UNIVERSITET MAI Johan Thim Tentamen i matematisk statistik (9MA241/9MA341/LIMAB6, STN2) 212-1-9 kl 8-13 Hjälpmedel är: miniräknare med tömda minnen och formelbladet bifogat. Varje uppgift är

Läs mer

Rekursion: varför? Problem delas upp i mindre bitar algoritm för att lösa problemet erhålls från problemformuleringen

Rekursion: varför? Problem delas upp i mindre bitar algoritm för att lösa problemet erhålls från problemformuleringen Rekursion: varför Problem delas upp i mindre bitar algoritm för att lösa problemet erhålls från problemformuleringen Exempel på problem som kan lösas med rekursion: Beräkningar, t.ex. upphöjt, Fibonacci-tal,

Läs mer

Avsikt På ett lekfullt sätt färdighetsträna, utveckla elevers känsla för hur vårt talsystem är uppbyggt samt hitta mönster som uppkommer.

Avsikt På ett lekfullt sätt färdighetsträna, utveckla elevers känsla för hur vårt talsystem är uppbyggt samt hitta mönster som uppkommer. Strävorna 4A 100-rutan... förmåga att förstå, föra och använda logiska resonemang, dra slutsatser och generalisera samt muntligt och skriftligt förklara och argumentera för sitt tänkande.... grundläggande

Läs mer

4-6 Trianglar Namn:..

4-6 Trianglar Namn:.. 4-6 Trianglar Namn:.. Inledning Hittills har du arbetat med parallellogrammer. En sådan har fyra hörn och motstående sidor är parallella. Vad händer om vi har en geometrisk figur som bara har tre hörn?

Läs mer

Föreläsning 5: Rekursion

Föreläsning 5: Rekursion Föreläsning 5: Rekursion Vi har tidigare sett att man kan dela upp problem i mindre bitar med hjälp av underprogram, vilket är ett utmärkt sätt att lösa problem. Detta är ganska lätt att rita upp för sig

Läs mer

Elektronen och laddning

Elektronen och laddning Detta är en något omarbetad version av Studiehandledningen som användes i tryckta kursen på SSVN. Sidhänvisningar hänför sig till Quanta A 2000, ISBN 91-27-60500-0 Där det har varit möjligt har motsvarande

Läs mer

De två första korten Tidig position

De två första korten Tidig position De två första korten Tidig position Hold em är ett positionsspel, och förmodligen mer än någon annan form av poker. Det beror på att knappen anger spelarnas turordning under satsningsrundorna. (Enda undantaget

Läs mer

Riktlinjer - Rekryteringsprocesser inom Föreningen Ekonomerna skall vara genomtänkta och välplanerade i syfte att säkerhetsställa professionalism.

Riktlinjer - Rekryteringsprocesser inom Föreningen Ekonomerna skall vara genomtänkta och välplanerade i syfte att säkerhetsställa professionalism. REKRYTERINGSPOLICY Upprättad 2016-06-27 Bakgrund och Syfte Föreningen Ekonomernas verksamhet bygger på ideellt engagemang och innehar flertalet projekt där såväl projektledare som projektgrupp tillsätts

Läs mer

L(9/G)MA10 Kombinatorik och geometri Gruppövning 1

L(9/G)MA10 Kombinatorik och geometri Gruppövning 1 L(9/G)MA10 Kombinatorik och geometri Gruppövning 1 Lisa och Pelle leker med svarta och vita byggklossar. Deras pedagogiska föräldrar vill att de lär sig matematik samtidigt som de håller på och leker.

Läs mer

Tränarguide del 1. Mattelek. www.mv-nordic.se

Tränarguide del 1. Mattelek. www.mv-nordic.se Tränarguide del 1 Mattelek www.mv-nordic.se 1 ATT TRÄNA MED MATTELEK Mattelek är ett adaptivt träningsprogram för att träna centrala matematiska färdigheter såsom antalsuppfattning, den inre mentala tallinjen

Läs mer

Snapphanalegen. Firekángabogena. Spelregler. (4 spelare)

Snapphanalegen. Firekángabogena. Spelregler. (4 spelare) Snapphanalegen Firekángabogena Spelregler 1 800 (4 spelare) 800 är ett spel med anor från 1400-talet. Spelet ställer stora krav på spelarnas skicklighet. Fyra deltagare spelar ihop parvis. Spelet cirkulerar

Läs mer

Kunskapskrav för godtagbara kunskaper i matematik - slutet av åk 3

Kunskapskrav för godtagbara kunskaper i matematik - slutet av åk 3 Kunskapskraven åk k 3 - matematik 20 Kunskapskrav för godtagbara kunskaper i matematik - slutet av åk 3 Eleven kan lösa enkla problem i elevnära situationer genom att välja och använda någon strategi med

Läs mer

Har vi lösningen för en bättre hemtjänst? Självklart.

Har vi lösningen för en bättre hemtjänst? Självklart. Har vi lösningen för en bättre hemtjänst? Självklart. Låt oss prata om Självklarhetsmetoden. Låt oss prata om Självklarhetsmetoden! 164 000 äldre är beroende av hemtjänsten i sin vardag. Och det är du

Läs mer

NATIONELLA MATEMATIKTÄVLING

NATIONELLA MATEMATIKTÄVLING NATIONELLA MATEMATIKTÄVLING PRATA OM SPELS EN KURS I SANNOLIKHET 1 INLEDNING Sannolikhetskursen består av sju olika steg där det sista steget utgörs av själva tävlingsmomentet. Det är upp till pedagogen

Läs mer

Lokal kursplan för Ängkärrskolan år 9 Rev. 2009-09-22. -Positionssystemet. -Multiplikation och division. (utan miniräknare).

Lokal kursplan för Ängkärrskolan år 9 Rev. 2009-09-22. -Positionssystemet. -Multiplikation och division. (utan miniräknare). Lokal kursplan för Ängkärrskolan år 9 Rev. 009-09- Matematik år 9 MOMENT MÅL KRITERIER/EXEMPELl Taluppfattning, aritmetik Repetition av: Skriv med siffror tolv -Positionssystemet. hundradelar. 0,, 0,7

Läs mer

Du kommer känna igen en del av området och få chansen att repitera detta men samtidigt kommer du att stöta på lite nytt.

Du kommer känna igen en del av området och få chansen att repitera detta men samtidigt kommer du att stöta på lite nytt. Aritmetik för år 9 Under några veckor kommer vi att arbeta med området Tal. Du kommer känna igen en del av området och få chansen att repitera detta men samtidigt kommer du att stöta på lite nytt. Som

Läs mer

Repetitivt arbete ska minska

Repetitivt arbete ska minska Repetitivt arbete ska minska Ett repetitivt arbete innebär att man upprepar en eller några få arbetsuppgifter med liknande arbetsrörelser om och om igen. Ofta med ett högt arbetstempo. Ett repetitivt arbete

Läs mer

Instruktioner för beställning och kontoadministration för abonnenter av inlästa läromedel

Instruktioner för beställning och kontoadministration för abonnenter av inlästa läromedel Sidan 1 av 9 Instruktioner för beställning och kontoadministration för abonnenter av inlästa läromedel Version 2.0 Sidan 2 av 9 Innehåll Hur man beställer inlästa läromedel för abonnemangskunder... 3 Logga

Läs mer

3.1 Linjens ekvation med riktningskoefficient. y = kx + l.

3.1 Linjens ekvation med riktningskoefficient. y = kx + l. Kapitel Analytisk geometri Målet med detta kapitel är att göra läsaren bekant med ekvationerna för linjen, cirkeln samt ellipsen..1 Linjens ekvation med riktningskoefficient Vi utgår från ekvationen 1

Läs mer

Matematisk programvara. Föreläsning 7 Matlab. Användning av Matlab. Matlab

Matematisk programvara. Föreläsning 7 Matlab. Användning av Matlab. Matlab Matematisk programvara Förberedelse inför laboration 5. Matlab, Maple, Mathematica Flyttal Matlab som miniräknare Vektorer Grafik Funktioner Matriser, ekvationssystem Föreläsning 7 Matlab Datorer kan räkna,

Läs mer

Allmän teori, linjära system

Allmän teori, linjära system KTH, Avdelningen för matematik F2, Stockholm, 2 april 2014 Lösningsbegreppet Begynnelsevärdesproblem Lösningsbegreppet Betrakta ekvationen Definition En lösning på ett intervall I är en funktion x 1 (t)

Läs mer

Läraren som moderator vid problemlösning i matematik

Läraren som moderator vid problemlösning i matematik Läraren som moderator vid problemlösning i matematik Cecilia Christiansen 9 oktober 2012 Kursplanen för matematik: matematisk verksamhet är till sin art en kreativ, reflekterande och problemlösande aktivitet

Läs mer

Matematik. Bedömningsanvisningar. Vårterminen 2009 ÄMNESPROV. Delprov B ÅRSKURS

Matematik. Bedömningsanvisningar. Vårterminen 2009 ÄMNESPROV. Delprov B ÅRSKURS ÄMNESPROV Matematik ÅRSKURS 9 Prov som ska återanvändas omfattas av sekretess enligt 4 kap. 3 sekretesslagen. Avsikten är att detta prov ska kunna återanvändas t.o.m. 2009-06-30. Vid sekretessbedömning

Läs mer

Sammanfattning av kursdag 2, 2013-03-07 i Stra ngna s och 2013-03-12 Eskilstuna

Sammanfattning av kursdag 2, 2013-03-07 i Stra ngna s och 2013-03-12 Eskilstuna Sammanfattning av kursdag 2, 2013-03-07 i Stra ngna s och 2013-03-12 Eskilstuna Sammanfattning och genomgång av lektion 1 samt hemläxa. -Hur ta ut en position i sjökortet? Mät med Passaren mellan positionen

Läs mer

Institutionen för matematik Envariabelanalys 1. Jan Gelfgren Datum: Fredag 9/12, 2011 Tid: 9-15 Hjälpmedel: Inga (ej miniräknare)

Institutionen för matematik Envariabelanalys 1. Jan Gelfgren Datum: Fredag 9/12, 2011 Tid: 9-15 Hjälpmedel: Inga (ej miniräknare) Umeå universitet Dugga i matematik Institutionen för matematik Envariabelanalys 1 och matematisk statistik IE, ÖI, Stat. och Frist. Jan Gelfgren Datum: Fredag 9/12, 2011 Tid: 9-15 Hjälpmedel: Inga (ej

Läs mer

Presentationsövningar

Presentationsövningar Varje möte då temadialog används bör inledas med en presentationsövning. har flera syften. Både föräldrar och ledare har nytta av att gå igenom samtliga deltagares namn och dessutom få en tydlig bild av

Läs mer

Sektionen för Beteendemedicinsk smärtbehandling

Sektionen för Beteendemedicinsk smärtbehandling Sektionen för Beteendemedicinsk smärtbehandling Karolinska Universitetssjukhuset Solna Smärtcentrum Sektionen för Beteendemedicinsk smärtbehandling tar emot patienter med långvarig och svårbehandlad smärta

Läs mer

Varför är det så viktigt hur vi bedömer?! Christian Lundahl!

Varför är det så viktigt hur vi bedömer?! Christian Lundahl! Varför är det så viktigt hur vi bedömer?! Christian Lundahl! Fyra olika aspekter! Rättvisa! Reflektion och utvärdering av vår egen undervisning! Motivation för lärande! Metalärande (kunskapssyn)! 1. Rättvisa!

Läs mer

Repetition av cosinus och sinus

Repetition av cosinus och sinus Repetition av cosinus och sinus Av Eric Borgqvist, 00-08-6, Lund Syftet med detta dokument är att få en kort och snabb repetition av vissa egenskaper hos de trigonometriska funktionerna sin och cos. Det

Läs mer

Får nyanlända samma chans i den svenska skolan?

Får nyanlända samma chans i den svenska skolan? Får nyanlända samma chans i den svenska skolan? Sammanställning oktober 2015 De nyanlända eleverna (varit här högst fyra år) klarar den svenska skolan sämre än andra elever. Ett tydligt tecken är att för

Läs mer

Boken om Teknik. Boken om Teknik är en grundbok i Teknik för åk 4 6.

Boken om Teknik. Boken om Teknik är en grundbok i Teknik för åk 4 6. Boken om Teknik Boken om Teknik är en grundbok i Teknik för åk 4 6. PROVLEKTION: Teknikens arbetssätt att göra på riktigt Följande provlektion är ett utdrag ur Boken om Teknik. Uppslaget som är hämtat

Läs mer

Svenska Du kan med flyt läsa texter som handlar om saker du känner till. Du använder metoder som fungerar. Du kan förstå vad du läser.

Svenska Du kan med flyt läsa texter som handlar om saker du känner till. Du använder metoder som fungerar. Du kan förstå vad du läser. Svenska Du kan med flyt läsa texter som handlar om saker du känner till. Du använder metoder som fungerar. Du kan förstå vad du läser. Du berättar på ett enkelt sätt om det du tycker är viktigt i texten.

Läs mer

Föreläsning 14: Försöksplanering

Föreläsning 14: Försöksplanering Föreläsning 14: Försöksplanering Matematisk statistik Chalmers University of Technology Oktober 14, 2015 Modellbeskrivning Vi har gjort mätningar av en responsvariabel Y för fixerade värden på förklarande

Läs mer

Två konstiga klockor

Två konstiga klockor strävorna C Två konstiga klockor resonemang geometri Avsikt och matematikinnehåll Det som kan göra det svårt för barn att avläsa en analog klocka är att förstå att den består av två skalor som är beroende

Läs mer

Tentamen TAIU07 Matematiska beräkningar med MATLAB för MI

Tentamen TAIU07 Matematiska beräkningar med MATLAB för MI TEKNISKA HÖGSKOLAN I LINKÖPING Matematiska institutionen Beräkningsmatematik/Fredrik Berntsson Tentamen TAIU07 Matematiska beräkningar med MATLAB för MI Tid: Provkod: TEN1 Hjälpmedel: Inga. Examinator:

Läs mer

LPP laboration. Förmågor: Centralt innehåll: Kunskapskrav:

LPP laboration. Förmågor: Centralt innehåll: Kunskapskrav: LPP laboration Syfte: Eleverna ska få möjlighet att undersöka vardagliga naturvetenskapliga händelser och skapa förståelse kring varför dessa händelser äger rum. Eleverna ska göra det med hjälp av naturvetenskapliga

Läs mer

OM KOMPLEXA TAL. 1 Om a är ett positivt reellt tal så betecknar a det positiva reella tal vars kvadrat är a men det är

OM KOMPLEXA TAL. 1 Om a är ett positivt reellt tal så betecknar a det positiva reella tal vars kvadrat är a men det är OM KOMPLEXA TAL Inledning. Vilka olika talområden finns det? Jag gör en snabb genomgång av vad ni tidigare stött på, bl.a. för att repetera standardbeteckningarna för de olika talmängderna. Positiva heltal,

Läs mer

ANVÄNDARHANDLEDNING FÖR

ANVÄNDARHANDLEDNING FÖR ANVÄNDARHANDLEDNING FÖR TILLSÄTTARE/LAGLEDARE OCH DOMARE Cleverservice ett smart sätt att hantera matcher, domartillsättningar, samt utbetalningar av arvoden 2015 ANVÄNDARHANDLEDNING - CLEVERSERVICE Cleverservice

Läs mer

Arbetsplanering (Mål och räkneuppgifter) Period 3 VT 2009 IX1306 Matematik för ekonomiska tillämpningar Kursansvarig: Jan-Olof Åkerlund,

Arbetsplanering (Mål och räkneuppgifter) Period 3 VT 2009 IX1306 Matematik för ekonomiska tillämpningar Kursansvarig: Jan-Olof Åkerlund, Arbetsplanering (Mål och räkneuppgifter) Period 3 VT 2009 IX1306 Matematik för ekonomiska tillämpningar Kursansvarig: Jan-Olof Åkerlund, jo@kth.se Med referenser till kursboken Sydsæter/Hammond: Essential

Läs mer

Distribuerade Informationssystem VT-04

Distribuerade Informationssystem VT-04 Distribuerade Informationssystem VT-04 2 Projekt Kassasystem DS är ett stort varuhus som består av ett flertal fristående butiker. Varje butik i DS säljer sina egna varor samt varor som är specifika för

Läs mer

Statsbidrag för läxhjälp till huvudmän 2016

Statsbidrag för läxhjälp till huvudmän 2016 Statsbidragsenheten 1 (5) Statsbidrag för läxhjälp till huvudmän 2016 Skolverket lämnar statsbidrag enligt förordning (2014:144) om statsbidrag för hjälp med läxor eller annat skolarbete utanför ordinarie

Läs mer

Omvandla Vinklar. 1 Mattematiskt Tankesätt

Omvandla Vinklar. 1 Mattematiskt Tankesätt Omvandla Vinklar 1 Mattematiskt Tankesätt (Kan användas till mer än bara vinklar) 2 Omvandla med hjälp av Huvudräkning (Snabbmetod i slutet av punkt 2) 3 Omvandla med Miniräknare (Casio) Läs denna Först

Läs mer

Pesach Laksman är lärarutbildare i matematik och matematikdidaktik vid Malmö högskola.

Pesach Laksman är lärarutbildare i matematik och matematikdidaktik vid Malmö högskola. 111a Geometri med snöre Pesach Laksman är lärarutbildare i matematik och matematikdidaktik vid Malmö högskola. Areabegreppet När elever får frågan vad area betyder ges mestadels svar som antyder hur man

Läs mer

Sundbybergs stad Skolundersökning 2015 Föräldrar förskola Fristående förskolor totalt 2015. Antal svar samtliga fristående förskolor: 360 (57 %)

Sundbybergs stad Skolundersökning 2015 Föräldrar förskola Fristående förskolor totalt 2015. Antal svar samtliga fristående förskolor: 360 (57 %) Sundbybergs stad Skolundersökning Föräldrar förskola Antal svar samtliga fristående förskolor: ( %) Innehåll Om undersökningen Förklaring av diagram Resultat - Per fråga - NöjdKundIndex (NKI) Frågorna

Läs mer

Fel- och störningsanalys

Fel- och störningsanalys Fel- och störningsanalys 1 Terminologi Antag att x är ett exakt värde och x är en approximation av x. Vi kallar då absoluta felet i x = x x, relativa felet i x = x x x. Ofta känner vi inte felet precis

Läs mer