Studietips infö r kömmande tentamen TEN1 inöm kursen TNIU23

Transkript

1 Stuietips infö r kömmane tentamen TEN inöm kursen TNIU3 Lämplig orning på sammanfattane stuier inom enna kurs: Inle me att grunligt stuera föreläsningsanteckningarna Därefter läs tillhörane sior i lärooken (se aretsschemat) särskilt efinitioner, satser och etyelsen av alla fetstilta egrepp Lös nu samtliga teorifrågor (från hemsian) me svar som hämtas ur lärooken och föreläsningsanteckningarna Nu är u reo för att stuera tiigare kontrollskrivningar och tentamina såsom enna alltså efter att ovanståene har earetats Komplettera nu me uppgifter från aretsschemat

2 Peter Holgersson, ITN Linköpings Universitet Tel petho@itn.liu.se Tentamen.6 inom Envariaelanalys II för yggnasingenjörer Examination: TEN inom kurs TNIU3 Max: p etyg 5: 6 p etyg 4: p etyg 3: 8 p Bonus: - p gruna på KTR Lösningar: Fullstäniga me tyliga förklaringar/eräkningar och tyligt angivna svar. Hjälpmeel: Skrivon, linjal, passare, kurvmall Skrivti: 5-8-9, kl 8: 3:. a) Lös ifferentialekvationen ( p) xy = y + 4, x > Differentialekvationen är separael. Varialerna separeras och lösningen fås via levis integration enligt Till sist löses y ut 4 y ( y = x x ) + Svar: y = tan(ln x + C), å ln x + C ( π + nπ), n Z ) Lös ifferentialekvationen ( p) Omskrivning på normalform: xy y = x tan x, x > y y = x tan x, x > x Differentialekvationen är linjär av första orningen och löses exempelvis genom multiplikation me en integrerane faktor h(x) = e x x = e ln x = e ln x = x

3 Man erhåller x y y = tan x x me ett vänsterle som kan skrivas som erivatan av en proukt Levis integration och y löses ut x ( y) = tan x x Svar: y = x ln cos x + Cx, å x > och x ( π + nπ), n Z c) Visa att ansatsen y = Ce rx me C ger en karakteristiska ekvationen r + a = för ifferentialekvationen ( p) y + ay = Insättning av y = Ce rx och y = Cr e rx ger. Cr e rx + ace rx = Ce rx (r + a) = vilket ger en sökta karaktäristiska ekvationen r + a = a) I en omgivning till x = : Skissa kurvan till f(x) = ln( + x) samt kurvor till motsvarane Maclaurin-polynom av graerna och i ett gemensamt koorinatsystem. ( p) = Maclaurinpolynomen tas fram me hjälp av formel. Kurvor till p (x) = x och p (x) = x x samt funktionen f(x) = ln( + x) skissas och man ser att p (x) något ättre approximerar f(x) än va p (x) gör, i en omgivning till x =.

4 ) Bestäm gränsväret: ( p) e x sin 3x lim x x cos x Maclaurinutveckling me Maclaurins formel ger e x sin 3x lim x x cos x = lim ( + x + O(x ))(3x + O(x 3 )) = = 3 x x( + O(x )) 3. Låt f(x) = {, x x, x < a) Visa att f(x) är en täthetsfunktion. ( p) f(x) för alla vären (icke negativ) och essutom gäller för integralen över hela efinitionsmängen att f(x)x = x x = lim x x = lim [ x ] = Därme är f(x) en täthetsfunktion. ) Visa att enna täthetsfunktion saknar vänteväre. ( p) Definitionen för vänteväre ger integralen som är ivergent och ärme visar att vänteväre saknas E(X) = xf(x)x = lim x x = lim [ln x] = ivergent c) Bestäm täthetsfunktionens meian. ( p) Definitionen av meian x.5 = ger i etta fall f(x)x som visar at = x.5 = = x x = [ x ] = + = krav =

5 4. a) Beräkna volymen av en rotationskropp som alstras å områet mellan e tre räta linjerna y = hx, y = h och x = (me positiva konstanter r och h) r roterar ett varv runt y-axeln. (,5 p) Ett volymelement av formen liggane skiva me raien x = ry h och tjockleken y V = By = πx y = π ( ry h ) y Hela volymen, i etta fall en kon, lir ärme h V = V h = π ( ry h ) y h = πr h y y = πr h h [y3 3 ] = πr h 3 ) Beräkna arean av en rotationsyta som alstras å cirkeln x + y = 9 roterar ett varv runt x -axeln. (,5 p) Ekvationen x + y = 9 eskriver en cirkel me raien 3 och centrum i origo. Övre halvan av cirkeln eskrivs av funktionen me erivatan Mantelarena av ett cirkelan f(x) = 9 x f x (x) = 9 x A = πys = πy (x) + (y) = πy + ( y x ) x = π 9 x 9 x 9 x + x 9 x x = π 9 x 9 x = 6π x 9 x Hela klotarean: 3 A = A 3 3 = 6π x 3 = 6π[x] 3 3 = 36π (areaenheter)

6 5. Bestäm en lösningskurva till ifferentialekvationen y 4y + 3y = e x sin x som tangerar x-axeln i origo. (3 p) Den homogena ekvationen y 4y + 3y = löses me hjälp av tillhörane karaktäristiska ekvation r 4r + 3r = (r )(r 3) = vars rötter ger y h = Ae x + Be 3x Partikulära lösningar fås exempelvis me ansatsen y p = e x (C sin x + D cos x) y p = e x (C sin x + D cos x) + e x (C cos x D sin x) y p = 4e x (C sin x + D cos x) + e x (C cos x D sin x) +e x (C cos x D sin x) + e x ( C sin x D cos x) Insättning av i ekvationen ger ett ekvationssystem vars lösning är så att Därme sammanfattar vi { C = D = y p = ex sin x me y = y h + y p = Ae x + Be 3x ex sin x y = y h + y p = Ae x + 3Be 3x e x sin x ex cos x Villkoret y() = kräver att A + B =.

7 Villkoret y () = kräver att A + 3B =. Ekvationssystemet ger A = och B = så att 4 4 y = y h + y p = 4 ex + 4 e3x ex sin x 6. Bestäm kurvlängen för f(x) = x x å x [, ]. (3 p) Derivering ger f (x) = Ett ågelement x x x = x x x s = (x) + (y) = + ( y x ) ( x) x = + x x x = x x + x + x + x x x = x x x = (x ) x Hela kurvlängen s = x = (x ) x = arcsin arcsin( ) = π 7. a) Antag att f(x) är kontinuerlig på I samt att x och a I. Bevisa utifrån l.a. meelväressatsen för integraler att ( p) x x f(t) t = f(x) a Beviset av Analysens huvusats finns uner Sats 6.5 på si 86 i lärooken samt i föreläsningsanteckningarna.

8 ) Beräkna för x > ( p) Generellt gäller ψ(x) φ(x) x x et ln t t x ψ(x) f(t)t = sats 6. = f(t)t a φ(x) a f(t)t = insättnings formeln = (F(ψ(x)) F(a)) (F(φ(x)) F(a)) = F(ψ(x)) F(φ(x)) Derivering ger ψ(x) x f(t)t φ(x) = (F(ψ(x)) F(φ(x))) x = kejeregeln = f(ψ(x))ψ (x) f(φ(x))φ (x) Me f(t) = e t, ψ(x) = x och φ(x) = x erhåller man x x et ln t t = f(x )x f( x) x = (4xex e x ) ln x 4 x x