Hur räknar du 62 38?

Transkript

1 AKADEMIN FÖR TEKNIK OCH MILJÖ Avdelningen för elektroteknik, matematik och naturvetenskap Hur räknar du 62 38? En undersökning om elevers subtraktionsberäkningar i årskurs 2 och 3. Helena Widegren 2020 Examensarbete, Avancerad nivå, 30 hp Matematik Grundlärarprogrammet med inriktning mot arbete i förskoleklass och grundskolans årskurs 1 3 Handledare: Mirko Radic Examinator: Yukiko Asami-Johansson

2

3 Sammanfattning: Syftet med undersökningen är att öka förståelsen för elevers tankegångar vid subtraktionsberäkningar av tvåsiffriga och tresiffriga tal där utgångspunkten är elevers val av metoder och strategier. Vidare identifieras svårigheter elever möter vid subtraktion. Undersökningen utgår från skriftliga test med 90 elever från årskurs 2 och 3 som följs upp av en intervju med en tredjedel av eleverna. Resultatet visar att eleverna i årskurs 2 är mer flexibla i sina val av skriftliga beräkningsmetoder än eleverna i årskurs 3 där tre fjärdedelar av eleverna väljer standardalgoritm. Felet mindre från större är det mest frekventa felet vid beräkningar som kräver växling. Slutsatsen är att undervisningen påverkar både elevernas metodval och uppkomna feltyper. En annan preliminär slutsats är att felet mindre från större kan kopplas till att elever i sina uttryck byter plats på minuend och subtrahend. Nyckelord: Beräkningsstrategi, feltyp, skriftliga räknemetoder, subtraktion, årskurs 2 3

4 i INNEHÅLLSFÖRTECKNING 1 INLEDNING Bakgrund Terminologi... 1 Beräkningsmetoder... 2 Beräkningsstrategier Vad säger litteraturen om elevers subtraktionsberäkningar?... 5 Effektiva beräkningsmetoder och strategier... 5 Svenska elevers kunskap i subtraktionsberäkning... 6 Beräkningsmetoder i tidigare undersökningar... 6 Elevers val av beräkningsmetoder och beräkningsstrategier... 8 Vanliga feltyper... 9 Muntlig eller skriftlig test Vägen mot syftet Syfte och frågeställningar METOD Urval Årskurs och skola Elever till intervjun Skriftligt test Testdesign Intervju Intervjuguide Genomförande Databearbetning och analys Skriftligt test Intervju Forskningsetik RESULTAT Översikt av resultat Vilka metoder använder elever för att visa sina beräkningar? Metodval utifrån årskurs Metodval utifrån skolklass Metodval för uppgiften Vilka strategier använder elever? Skriftlig huvudräkning Huvudräkning Varianter av talsortsvis beräkning Strategier för uppgift Vilka feltyper synliggörs och hur uppkommer dessa feltyper? Vanligaste felen Exempel på fel med standardalgoritm Exempel på fel med huvudräkning och skriftlig huvudräkning Strukturella fel Är eleverna konsekventa i sina val och beräkningar? Sammanfattning av resultat DISKUSSION Resultatdiskussion... 33

5 ii 4.2 Tillförlitlighet Fortsatt forskning Slutsats REFERENSER BILAGOR... 42

6 iii

7 1 1 INLEDNING Vilka metoder och strategier väljer elever när de ska utföra subtraktion? Vilka utmaningar stöter de på? I denna studie undersöktes elevers tankegångar vid subtraktionsberäkningar med grunden i tvåsiffriga och tresiffriga tal. I anslutning till detta framträdde även elevers problem i relation till subtraktionsberäkningar. Att förstå mångfalden av elevers subtraktionsstrategier och de fel som kan uppkomma är en grund för matematikundervisning. 1.1 Bakgrund I läroplanens centrala innehåll för årskurs 1-3 står att elever ska kunna utföra beräkningar med skriftliga metoder (Skolverket, 2019). Skriftliga räknemetoder andra än standardalgoritmer var inte kända för mig innan lärarutbildningen. Där fick jag insyn i den tomma tallinjen som Heiberg-Solem, Alseth och Nordberg (2011) beskriver den. Med hjälp av den tomma tallinjen utförs och illustreras stegvis beräkning. En annan metod var skriftlig huvudräkning där mellanled noteras under huvudräkning för att avlasta arbetsminnet (Löwing & Kilborn, 2003; Malmer, 2002). Genom dessa metoder utvecklades min egen aritmetik från mekanisk till mer tanke, något som var väldigt stimulerande. Dessa två metoder anges tillsammans med standardalgoritmer som exempel på skriftliga räknemetoder i tidigare nationella provs bedömningsstöd (PRIM-gruppen, 2019). Att visa sina skriftliga metoder innebär att även elever som ser att = 127 måste synliggöra de steg de gör i huvudet. Det kan bland annat göras genom att visa hur de stegvis räknar ned från 200, = 127. En annan möjlighet är att använda standardalgoritm. Undersökningen vill öka förståelsen för elevers tankegångar vid arbetet med subtraktion. Vidare vill den öka kunskapen om de problem som elever möter i subtraktion. Anledningen till studiens fokus på subtraktion är att detta räknesätt är centralt under lågstadiet och att många elever upplever subtraktion med tiotalsövergång som utmanande (Malmer, 2002). Genom att förstå hur elever tänker kan undervisningen anpassas utifrån de utmaningar elever stöter på. Dessutom ökar lärarens möjlighet att vara flexibel när elever berättar sina tankegångar vid beräkningar. Även om de nationella proven kräver skriftliga metoder vid denna typ av uppgifter inkluderades i denna undersökning även huvudräkning som en ytterligare metod till de ovanstående skriftliga metoderna. Vidare undersöktes vilka subtraktionsstrategier elever väljer vid huvudräkning och skriftlig huvudräkning, vilket gör att ett skriftligt kunskapstest kompletterades med elevsamtal. 1.2 Terminologi Att känna till flera olika beräkningsmetoder och kunna välja lämplig metod utifrån situation är inkluderat i läroplanens centrala innehåll och kunskapskrav för årskurs 3 (Skolverket, 2019). Larsson (2012) är tydlig med att detta innebär att en elev ska vara flexibel i sitt val av metod, vilket i sin tur gör att flera olika metoder måste synliggöras för elever. Flexibilitet i detta sammanhang ses som förmågan att använda flera olika metoder vilket inte behöver innebära att metoden är anpassad för sammanhanget (Heinze, Marschick & Lipowsky, 2009). I litteraturen finns många namn på beräkningsmetoder och beräkningsstrategier. Många strategier är dock samma eller liknande även om de benämns på olika sätt. Av den anledningen måste de beskrivas i varje text (Foxman and Beishuizen, 2002; Larsson, 2012). Det finns inte heller ett enhetligt system bland svenska institutioner (Skolverket, 2008; Larsson, 2012).

8 2 Larssons (2012) tolkning av läroplanen är att Skolverket använder begreppet metod för både beräkningsmetod och beräkningsstrategi och det bekräftas i kommentarmaterialet för kursplanen i matematik (Skolverket, 2017a). I nedanstående studie används Larsson (2012) utgångspunkt i åtskillnad av beräkningsmetod och beräkningsstrategi där en metod är mer generell och strategin är olika sätt att utföra metoden. Övrig terminologi är vald utifrån en genomgång av didaktisk litteratur samt vetenskapliga studier gällande barns beräkningsmetoder och strategier. I vissa fall anges även alternativa benämningar för att underlätta för läsaren att relatera till tidigare erfarenheter av metoder och strategier. För att förtydliga ytterligare ges även matematiska exempel. Beräkningsmetoder I denna undersökning delas beräkningsmetoderna eller kortfattat metoderna in i huvudräkning, skriftlig huvudräkning, standardalgoritmer, rita, och tom tallinje. Detta kan ses som olika sätt att representera sina svar och uträkningar. Huvudräkning Huvudräkning är beräkningar som görs i huvudet utan att använda papper och penna som stöd. Den går ut på att analysera en uppgift och välja en passande strategi för beräkningen. Huvudräkning ingår även som delmoment i de andra metoderna (Löwing & Kilborn, 2003; Malmer, 2002). Skriftlig huvudräkning Skriftlig huvudräkning är huvudräkning där mellanleden skrivs ned för att avlasta arbetsminnet och att synliggöra tänkandet. Termen skriftlig huvudräkning är svensk men de strategier som ingår ses även i internationell forskning (Engvall, 2013; Löwing & Kilborn, 2003; Nygren & Persson, 2006; Rockström, 2012). Norton (2012) beskriver metoden som anpassad huvudräkning och ser den som en alternativ metod i jämförelse med lodräta algoritmer. I Sverige finns också andra beteckningar. Bentley och Bentley (2016) kallar den vågrät algoritm. Exempel: = (62 + 2) (38 + 2) = = 24; fetmarkerade siffror är mellanled. Standardalgoritm I internationell och viss svensk forskningslitteratur betraktas algoritmer som alla skriftliga metoder där en beräkning arbetas igenom stegvis. Detta innebär att både skriftlig huvudräkning och uppställning kan ses som algoritmer (Norton, 2012; Skolverket, 2008). För att förtydliga att det är den lodräta algoritmen som avses i min undersökning används beteckningen standardalgoritm för den typ av uppställning som lärs ut i den svenska skolan. Exempel: Rita Metoden Rita innebär att eleven som stöd ritar i exempelvis upp- eller nedräkning. Eleven kan rita varje enskild enhet med symboler till exempel ringar eller streck, se Figur 1. Ett annat sätt att rita är gruppvis som hundratal, tiotal och ental, vilket kan ritas som tiobasmaterial eller pengar. Den förstnämnda kallar Fischer et al. (2019) för enhetsprocedur och den sistnämnda för numerisk procedur.

9 3 Figur 1. Exempel på rita som beräkningsmetod. Till vänster rita som enskilda enheter och till höger som grupper. Tom tallinje Den tomma tallinjen kan ses som skriftlig huvudräkning där beräkningen visas grafiskt (Heiberg-Solem et al., 2011; Johansson & Wirth, 2011). Ett exempel på när en stegvis beräkning presenteras på en tom tallinje kan ses i Figur 2. Figur 2. Ett exempel på hur en tom tallinje kan användas för att grafiskt visa en stegvis beräkning av Beräkningsstrategier En beräkningsstrategi har som mål att underlätta beräkningen. Det görs ofta genom uppdelning av tal på olika sätt, där tiokamrater och andra talkamrater spelar en stor roll (Bentley & Bentley, 2016; Skolverket, 2008). Beräkningsstrategier kopplas i första hand till huvudräkning och skriftlig huvudräkning men de används även i standardalgoritm. För den senare speciellt i subtraktion med växling där elever som inte automatiserat den stora subtraktionstabellen använder huvudräkningsstrategier för att göra sin beräkning med tiotalsövergång. Strategierna är delvis synliga i skriftlig huvudräkning som bygger på att visa sina tankegångar medan de är helt dolda i huvudräkning och i standardalgoritm. När elever berättar för varandra hur de tänkt lyfts strategierna fram (Löwing & Kilborn, 2003). I en undersökning som denna kan strategier synliggöras genom elevsamtal. Subtrahend och minuend För att förenkla beskrivningarna av beräkningsstrategierna benämns termerna i subtraktion enligt den internationella terminologin som har använts tidigare i Sverige. Exempel: Minuend subtrahend = differens = 24, där 62 är minuend och 38 är subtrahend Nedräkning Strategin nedräkning går ut på att räkna ett steg i taget och används innan stegvis beräkning lärts in (Thompson, 2007).

10 4 Stegvis beräkning Jump strategy Stegvis beräkning är en av två huvudstrategier. I denna beräkningsstrategi stegar man eller hoppar i steg genom att dela upp subtrahenden. Stegen sker hundratalsvis, tiotalsvis eller entalsvis (Foxman & Beishuizen, 2002; Heinze, Arend, Gruessing, & Lipowsky, 2018; Son, 2016). Exempel: = 62 ( ) = [62 30 = 32; 32 2 = 30; 30 6 = 24] = 24 När elever lär sig denna strategi börjar de troligen att ta ett tiotal i taget och därefter ett ental i taget, ( ). Antalet steg minskar allteftersom elever utvecklar sitt matematiska tänkande (Thompson, 2007). Andra namn på denna strategi är N10 (Foxman & Beishuizen, 2002), sekventiell metod eller ta bort (Son, 2016). I viss litteratur exkluderas nedräkning i denna strategi och uppräkning i steg används oberoende om uppgiften gäller addition eller subtraktion (Bentley & Bentley, 2016, Skolverket, 2008). Dock används stegvis beräkning i min undersökning framförallt för nedräkning i steg. Där det senare är gynnsamt för förståelsen och automatisering av subtraktion som i och med uppräkning kan gå förlorad (Bentley & Bentley, 2016). Varianter på strategin förutom riktningen i talföljden är om sekvensen börjar med att ta bort ental eller tiotal. Talsortsvis beräkning - Splitting strategy Den andra av två huvudstrategier är talsortsvis beräkning. Vid talsortsvis beräkning delas talet upp i talsorter och varje talsort beräknas för sig innan de slås ihop igen på slutet. Metoden finns i flera varianter för uppgifter med och utan växling (Bentley & Bentley, 2016; Heinze et al., 2018). Exempel: Utan växling: = [60 40 = 30; 8 2 = 6; ] = 36 Med växling: = [60 30 = 30; 2 8 = 6; 30 6] = 24 Med växling alt. 2: = [50 30 = 20; 12 8 = 4: ] = 24 Foxman och Beishuizen (2002) kallar även strategin för 1010 och andra forskare använder uppdelning. Uppdelning kan även inbegripa att dela upp tal vid tiotalsövergång tex = [7 = 4 + 3] = = 7 (Norton, 2012). Detta har inget samband med uppdelning av tiotal och ental, vilket gör begreppet missvisande och därför används talsortsvis beräkning i min studie. Addera upp I addera upp används addition för att lösa en subtraktion genom att söka det tal som genom att adderas till subtrahend ger minuend (Foxman & Beishuizen, 2002; Son, 2016). Denna strategi lämpar sig allra bäst där minuend och subtrahend är nära varandra (Torbeyns et al., 2009). Exempel: = [78 + = 81] = 3 Andra namn på strategin är indirekt addition (Heinze et al., 2018; Torbeyns, Peters, De Smedt, Ghesquière & Verschaffel, 2016), lägga till (Löwing & Kilborn, 2003) och kompletterande addition (Foxman & Beishuizen, 2002; Larsson, 2012).

11 5 Kompensationsberäkning I kompensationsberäkning justeras talen till jämnare tal eller vad Löwing och Kilborn (2003) kallar runda tal. I slutet av beräkningen kompenseras för justeringen som gjordes tidigare (Heinze et al., 2018; Skolverket, 2008). Exempel: = [ = 40; = 22; ] = 24 Fuson et al. (1997) kallar denna strategi Easier Number strategy för att betona syftet med strategin medan Foxman och Beishuizen (2002) kallar den N10C för att visa att det är en variant på stegvis beräkning. Lika tillägg Strategin lika tillägg är en variant på kompensationsberäkning. Här sker justering och kompensation direkt på båda termerna genom att samma tal adderas eller subtraheras till minuend och subtrahend, vilket gör att differensen hålls oförändrad. Genom att välja lämpliga tal att addera eller subtrahera förenklas beräkningen (Löwing & Kilborn, 2003; Malmer, 2002). Exempel: = (62 + 2) (38 + 2) = = 24 Bentley och Bentley (2016) kallar samma strategi för transformationsstrategin och Heinze et al. (2018) kallar den för förenklingsstrategin. Mixad beräkning Ytterligare en strategi är en blandning mellan talsortsvis beräkning och kompensationsberäkning och kallas mixad beräkning. Subtraktionen börjar med att subtrahera tiotalen från varandra sedan subtraheras subtrahendens ental och till sist adderas minuendens ental (Bentley & Bentley, 2011; Foxman & Beishuizen, 2002). Exempel: 62 38= [60 30 = 30; 30 8 = 22; ] = Vad säger litteraturen om elevers subtraktionsberäkningar? Effektiva beräkningsmetoder och strategier I kommentarmaterialet för kursplanen i matematik (Skolverket, 2017a) förtydligas att metoder/ strategier som elever använder ska vara effektiva i situationen samt utvecklingsbara, vilket innebär att de ska kunna användas i nya situationer. Vad innebär att en beräkningsstrategi eller metod är effektiv? I en studie i England undersöktes vilka strategier som var effektiva för elvaåringar. I detta fall definieras effektiva strategier som strategier vilka ger korrekta svar. För denna åldersgrupp räknades stegvis beräkning som effektiv (Foxman & Beishuizen, 2002). I stegvisa strategier sker subtraktion i delsteg genom att subtrahenden delas upp. Enligt Larsson (2012) menar flera forskare att detta kan ses som något många elever gör instinktivt. Samtidigt varnar forskare att det finns risk att elever stannar i att räkna ett steg i taget, vilket på sikt är en ineffektiv strategi. I effektivitetsmått kan förutom korrekta lösningar även en tidsaspekt ingå, det vill säga att strategin är relativt snabb (Larsson, 2012). Heinze et al. (2009) diskuterar om snabbhet är ett bra mått på en effektiv strategi. Istället försöker de relatera effektivitet till hur mycket tankeverksamhet som krävs till uppgiften i fråga, det vill säga hur många delsteg som strategin kräver samt hur mentalt krävande varje delsteg är. I deras studie har en effektiv strategi få

12 6 mellansteg och den mentala insatsen uppskattades utifrån forskarnas perspektiv. De är dock medvetna om att olika individers förkunskaper och förmågor påverkar hur krävande strategin är för en specifik individ, men valde i sin studie att titta mer generellt (Heinze et al., 2009). Fischer et al. (2019) diskuterar vidare svårigheten att bestämma effektiviteten av en metod eftersom hans undersökning visar att valet av metod till viss del kan korreleras mot elevers aritmetiska förmåga. Det innebär att de metoder som väljs av högst presterande elever kommer ge flest korrekta svar och därmed anses mest effektiv, det vill säga metodens effektivitet är beroende av elevers förmåga (Fischer et al., 2019). Detta stämmer även med studien gjord av Foxman och Beishuizen (2002) där stegvis beräkning ansågs mest effektiv men samtidigt valdes av de högpresterande eleverna i högre utsträckning. Trots detta torde det omvända kunna vara giltigt. En metod som inte leder till korrekta svar borde kunna ses som ineffektiv. Korrekta resultat är viktigt för att samla på sig talfakta som på långsikt ska hjälpa till att avlasta arbetsminnet (Bentley & Bentley, 2016). Förenklat beskrivet, om 14 8 ibland räknas till 5 och ibland till 6 eller 7 är det omöjligt att memorera att 14 8 = 6. Målet med min undersökning är inte att mäta hur effektiva olika metoder är för varje uppgift och individ. Men genom att titta på feltyper kan det upptäckas vilka problem olika strategier ger upphov till och därmed indirekt visa på en strategis/metods effektivitet. Svenska elevers kunskap i subtraktionsberäkning Engvall (2013) visar i sin studie att skriftliga subtraktionsberäkningar är en utmaning för många elever, vilket är i enighet med tidigare forskning. Detta kan även ses i de nationella proven för årskurs 3 i matematik. Här är det delprovet som innehåller skriftliga räknemetoder som är den största utmaningen för elever. Mellan % av eleverna klarade inte godkännande nivån i det nationella proven 2015 och 2016 (Skolverket, 2016; Skolverket, 2017b). I de skriftliga räknemetoderna ingår addition och subtraktion där subtraktion utgör den största utmaningen (Fuson et al., 1997; Malmer, 2002; Primgruppen, 2019). Detta syns även i TIMMS för årskurs 4 där fokus låg på subtraktionsuppgifter snarare än additionsuppgifter. Uppgifter som kräver växling var en speciell utmaning för elever i årskurs 4 där felaktiga strategier användes i många fall, vilket i sin tur gav felaktiga svar. Detta bekräftade även i de nationella proven för årskurs 5 där 26 % av eleverna inte klarade uppgiften Av dessa elever hade mer än hälften valt en strategi som inte var anpassad till uppgiften. De senare studierna visar att subtraktions problematik följer elever upp i åldrarna (Skolverket, 2008). I TIMMS studien (Skolverket, 2008) var slutsatsen att en fjärdedel av eleverna hade brister i sin grundläggande taluppfattning gällande bland annat positionssystemet och siffrornas platsvärde. Detta skulle kunna förklara de svårigheter som många elever möter vid val av lämplig beräkningsstrategi för subtraktion med växling. Beräkningsmetoder i tidigare undersökningar Till beräkningsmetoderna i denna undersökning hör huvudräkning, skriftlig huvudräkning, standardalgoritm, rita, och tom tallinje. Huvudräkning utmärker sig dels som den enda metod där papper och penna inte används, dels är den även ett delsteg i andra beräkningsmetoder. Huvudräkning används ofta som en jämförande metod i diskussioner gällande standardalgoritmers vara eller inte vara i matematikundervisning. En diskussion som förts både internationellt och i Sverige sedan åtminstone 1980-talet. Hur taluppfattningen för elever i lägre åldrar påverkas av undervisning i standardalgoritmer har varit en av utgångspunkterna i diskussionerna, i dessa fall jämfört med huvudräkning (Fischer et al., 2019; Heiberg-Solem et 1 Trends in International Mathematics and Science Study

13 7 al., 2011; Norton, 2012). I Sverige jämförs standardalgoritm ofta med skriftlig huvudräkning (Nygren & Persson, 2006). Det centrala i de internationella diskussionerna är om standardalgoritmer lärs ut för tidigt och Fischer et al. (2019) har sammanställt argumenten från litteraturen, för och emot att lära ut standardalgoritmer. De utgick ifrån Frankrike där dessa lärs ut i årskurs 1. Den största fördelen enligt deras sammanställning är att standardalgoritmer är effektivare både i korrekthet och snabbhet än huvudräkning. Argumenten mot standardalgoritmer kan kopplas till undervisning av yngre elever, dels förmodas standardalgoritmer hämma utvecklingen av elevers taluppfattning, dels har elever tidigt i sin matematikutveckling svårigheter att förstå denna metod. Dessutom har standardalgoritmer en annan arbetsriktning, från höger till vänster, än läs- och skrivriktningen som tränas parallellt i dessa åldrar (Fischer et al., 2019; Heiberg-Solem et al., 2011). Anledningen till att elever inte utvecklar sin taluppfattning när standardalgoritmer införs är att beräkningarna förenklas till de minsta enheterna. Detta gör att elever inte fokuserar på att förstå att är ungefär 30. Istället ligger fokus på siffror och att behärska ensiffriga subtraktioner, 7 5 och 7 4. Därmed tränas elever inte i överslagsräkning och att upptäcka orimliga svar (Engvall, 2013; Fischer et al., 2019; Heiberg-Solem et al., 2011). Internationell forskning pekar på att standardalgoritmer ska läras ut efter att elever behärskar grundläggande huvudräkningsstrategier. En anledning är att när elever introducerats för standardalgoritmer tar de dem till sig och väljer dem före huvudräkning. Detta gör det svårare att utveckla andra metoder som exempelvis överslagsräkning (Fischer et al., 2019; Norton, 2012). I Sverige har diskussionen specifikt gällt valet mellan standardalgoritm och skriftlig huvudräkning. Fördelen med standardalgoritm är att den används på samma sätt vid många typer av beräkningar och oberoende av storleken på tal, vilket inte gäller skriftlig huvudräkning. Precis som i den internationella forskningen kritiseras standardalgoritmer för att elever tappar matematisk förståelse och glömmer att reflektera över svaret, förmågor som kan behållas med skriftlig huvudräkning (Nygren & Persson, 2006). Dock finns forskare som menar att möjligheten att välja olika strategier i skriftlig huvudräkning beror av taluppfattningen (Larsson, 2012). Detta innebär att taluppfattningen måste utvecklas innan lämpliga strategier kan väljas. Andra forskare menar samtidigt att variation i strategier utvecklar taluppfattningen (Larsson, 2012). Rockström (2012) märkte i sin undervisning att elever inte utvecklade sin taluppfattning när de arbetade med standardalgoritmer. Dessutom uppfattade hon att eleverna tyckte matematik var tråkigt. På grund av detta utvecklade Rockström skriftlig huvudräkning tillsammans med eleverna där de genom kommunikation tränades i taluppfattning parallellt med att beräkningsstrategier synliggjordes. Att skriftlig huvudräkning skulle vara lösningen på elevers bristande taluppfattning som även sågs i TIMMS 2007 för elever i årskurs 4 (Skolverket, 2008) håller inte alla forskare med om. De menar att förklaringen inte ligger i metoderna utan snarare hur metoder och strategier lärs ut (Engvall, 2013; Löwing & Kilborn, 2003). Standardalgoritmer kan läras ut med förståelse och skriftlig huvudräkning kan läras ut mekaniskt som vågräta algoritmer. Dessa vågräta algoritmer kan dessutom bli krångligare än standardalgoritmer eftersom det kan finnas olika varianter till exempel om uppgiften kräver växling eller inte (Löwing & Kilborn, 2003). Även internationell forskning pekar på undervisningen som grunden till lärandet snarare än metoderna (Fuson et al., 1997). Engvall (2013) visar att matematisk förståelse och läroplanens fem matematiska förmågor kan inkluderas eller exkluderas i lärandet genom lärarens undervisningsupplägg. Hon menar vidare att förståelse för lärandet fås genom att det synliggörs,

14 8 vilket kan göras genom att elever får förklara hur de tänker. Det var på detta sätt Rockström (2012) lade upp sin undervisning gällande skriftlig huvudräkning där variationen av angreppssätt beroende på uppgift lyftes fram. Genom redovisning av strategier tränas inte bara elevernas metod och beräkningsförmåga utan även elevers kommunikations, begrepps och resonemangsförmågan, tre ytterligare matematiska förmågorna i läroplanen (Skolverket, 2019). Angränsande till skriftlig huvudräkning är den tomma tallinjen som visar tänkandet med en tallinje istället för att begränsas till det matematiska symbolspråket. Eftersom tallinjen är en linjär modell kan den ses som en grafisk modell för stegvis beräkning (Heiberg-Solem et al., 2011). Denna metod introducerades först i Nederländerna och visar inte bara elevers huvudräkningsstrategier utan utvecklar dessutom elevers mentala talrad. Den mentala talraden är en inre föreställning av hur olika tal förhåller sig till varandra och är därmed en del av taluppfattningen (Heiberg-Solem et al., 2011; Johansson & Wirth, 2011). Att rita pengar eller tiobasmaterial är ett sätt att synliggöra grupperingsmodellen för tal som i sin tur bygger grunden i positionssystemet, vilket är en annan del av taluppfattningen (Heiberg-Solem et al., 2011). Denna modell kan kopplas till talsortsvis beräkning och även standardalgoritm. Genom att se hur olika metoder och strategier kopplas till taluppfattning på olika sätt är det inte konstigt att forskningen inte kan enas om en metod eller en strategi. Det finns inte heller enligt Larsson (2012) någon strategi som är överlägsen i alla situationer för alla elever. Istället bör elever ges förutsättningar att utveckla både sin taluppfattning samt förmågan att välja metod utifrån sammanhanget. För att lyckas med det senare behöver undervisningen utgå från elevers redovisningar av beräkningar, där strategier jämförs (Engvall, 2013; Larsson, 2012; Rockström, 2012). Elevers val av beräkningsmetoder och beräkningsstrategier I en undervisning där eleverna redovisar och jämför sina strategier utgår de från formella strategier som tagits upp i tidigare undervisning och informella strategier som de utvecklat själva (Engvall, 2013; Rockström, 2012; Son, 2016). För att förstå detta har flera studier gjorts för att undersöka vilka strategier elever använder vid olika typer av beräkningar och om de anpassas till situationen. Torbeyns och Verschaffel (2016) undersökte genom subtraktionsuppgifter om elever i årskurs 4 (9 år) föredrog standardalgoritm eller huvudräkningsstrategier. Resultatet var att mer än hälften av eleverna valde standardalgoritm och endast en elev valde huvudräkning för samtliga uppgifter. De övriga eleverna varierade sitt val. Det finns även studier som visar på ett bredare urval av metoder. Norton (2012) undersökte hur elever i årskurs 4 upp till årskurs 7 löste en subtraktionsuppgift som krävde växling. I hans undersökning använde eleverna förutom standardalgoritm olika alternativa metoder som exempelvis att rita varje enhet, skriva ned varje tal i en nedräkning (44, 43, 42, 41 29, 28, 27), stegvis beräkning och olika sätt att illustrera talsortsvis beräkning. Slutsatsen var att det är vanligare att yngre elever använder alternativa metoder, men metoderna rita varje enhet och nedräkning används även av elever i äldre åldrar (Norton, 2012). Flera olika undersökningar visar att elever vanligtvis väljer talsortsvis eller stegvis beräkning både vid huvudräkning och skriftlig huvudräkning (Beishuizen, 1993; Foxman & Beishuizen, 2002, Heinze et al. 2009; Heinze et al. 2018). I Beishuizens (1993) undersökning av nederländska elever i årskurs 2 valde 60 % av eleverna talsortsvis beräkning och 35 % valde stegvis beräkning som huvudräkningsstrategi vid subtraktionstal med och utan växling. Ett omvänt förhållande kunde ses för en grupp elever som hade undervisats i subtraktion med en

15 9 hundraruta där 60 % valde stegvis beräkning och 35 % valde talsortsvis beräkning. I båda grupperna gav stegvis beräkning mer korrekta svar än talsortsvis beräkning. I en annan studie i England där även standardalgoritm utgjorde ett alternativ valde 30 % av elvaåringarna standardalgoritm, 27 % stegvis beräkning, 27 % talsortsvis beräkning och 8 % addera upp. I den studien delades eleverna in i grupper efter generell matematisk kompetens, där det undersöktes om eleverna i de olika grupperna föredrog samma metoder. Undersökningen visade skillnad mellan grupperna. Elever med högst kompetens valde i större utsträckning stegvis beräkning medan elever med lägst kompetens valde talsortsvis beräkning och mellan gruppen valde standardalgoritm (Foxman & Beishuizen, 2002). Strategin addera upp är ingen strategi som elever väljer i första hand. Vid flera studier har mindre än 10 % använt strategin (Foxman & Beishuizen, 2002; Torbeyns et al. 2009; Torbeyns et al. 2016). Mest uppseendeväckande var Torbeyns et al. (2009) undersökning där elever som undervisades explicit i strategin addera upp under årskurs 2 deltog. Endast 8 % av eleverna valde strategin i årskurs 2 och ingen elev i årskurs 3. Detta trots att hälften av uppgifterna bestod av subtraktion med tal nära varandra, det vill säga med små differenser som lämpar sig väl för denna strategi. Det senare kan förklaras av att elever i lägre åldrar vanligtvis inte väljer strategi efter uppgift (Heinze et al., 2009). Vanliga feltyper För att undersöka hur effektiva strategier är undersöks bland annat vilka feltyper elever gör vid subtraktionsberäkningar och om de kan kopplas till olika beräkningsmetoder och strategier. Cox (1975) delar upp aritmetiska fel i systematiska fel, slumpvisa fel och slarvfel. Systematiska fel är fel som upprepas i samma typ av beräkningar och skiljs från slumpvisa fel där inget mönster av felen kan utläsas. Denna indelning gör att procedurfel som kan kopplas till en metod eller strategi behöver klassas som systematiska. I sin undersökning studerade Cox standardalgoritmer för de fyra räknesätten och fann mest systematiska fel i subtraktion. Talfakta är de automatiseringar av addition och subtraktion som finns lagrade i långtidsminnet (Bentley & Bentley, 2016). Brumfield och Moore (1985) visade tidigt att brister i talfakta sällan är orsaken till beräkningsfel i addition och subtraktion. Istället är det systematiska procedurfel som ställer till de största problemen. I Brumfield och Moores (1985) studie ingick 104 elever i årskurs 4 som löste subtraktionsuppgifter med standardalgoritm. Av dessa gjorde 83 elever procedurfel men ingen gjorde talfaktafel. TIMMS rapporten (Skolverket, 2008) pekade på att ungefär hälften av eleverna i årskurs 4 var osäkra på talfakta men kompenserade denna brist med bland annat fingerräkning. Samma rapport visar också att systematiska fel är vanligast. Den förklaringen som ges är att det snarare är fel strategival än ett egentligt procedurfel. Detta exemplifieras med talsortsvis beräkning där strategin utan växling väljs när beräkningen kräver växling. Dock menar Norton (2012) i en senare studie att talfakta är det största felkällan i subtraktionsberäkningar med standardalgoritm. I undersökningar om fel kan även strukturella och individuella misstag särskiljas. Strukturella misstag innebär att många elever i en klass gör samma misstag och beror ofta på någon parameter i undervisningen eller i läromedlet (Bentley & Bentley, 2011). Individuella misstag gäller enskilda individer och kan bero på missuppfattningar både i momentet som är aktuellt eller från tidigare moment.

16 10 Generella systematiska subtraktionsfel Det vanligaste felet vid subtraktion som kräver växling kallas mindre från större. I detta fall subtraheras alltid det minsta talet från det största oberoende om det är minuend eller subtrahend. Felet uppkommer vid både användning av standardalgoritm, talsortsvis beräkning och stegvis beräkning (Beishuizen, 1993; Brumfield och Moores, 1985; Cox, 1975; Larsson, 2012). Exempel: I en studie av Cox (1975) var 83 % av felen, vid subtraktion av tvåsiffriga tal som krävde växling, av denna typ. Detta orsakas av en övergeneralisering från att elever lärt sig att vid subtraktion kommer det största talet först. Hos nästan hälften av eleverna i årskurs 4 i TIMMS 2011 upptäcktes denna feltyp (Bentley & Bentley, 2016). Detta är ett fel som riskerar att följa med upp i åldrarna och Norton (2012) såg att felet även fanns bland elever i årskurs 7. Ett annat känt fel vid subtraktion är ± 1-felet. Detta fel innebär att beräkningens resultat hamnar ett steg fel. Felet har många orsaker och kan bland annat bero på fel inlärda talfakta. En annan vanlig orsak är att eleven hamnar fel i nedräkningen när eleven samtidigt håller reda på hur många steg den räknat ned, detta kallas förskjuten dubbelräkning. Förskjuten dubbelräkning kan i sin tur vara orsak till felaktigt memorerade talfakta om samma fel gjorts många gånger. Ytterligare en orsak är att eleven räknar talen istället för stegen emellan. Exempel: = [81, 80, 79, 78 = 4 tal; istället för 81 till 80, 80 till 79, 79 till 78] = 3 steg Feltypen ± 1-felet kan amplifieras till ± 2-felet om beräkningen görs i två steg och är därmed två efterföljande ± 1-fel (Bentley & Bentley, 2016; McIntosh, 2008). Beishuizen (1993) visar också på denna typ av fel även om han inte kallar det ± 1-felet. Detta fel syns i hans studie även som ± 10-felet när tiotalen räknas för sig i talsortsvis eller i stegvis beräkning. Det är ett fel som även kan uppkomma med standardalgoritm. Systematiska fel behöver inte vara ett procedurfel utan kan uppkomma på grund av missförstånd gällande olika delar av matematiken. Brumfield och Moore (1985) redovisar två systematiska fel i sin studie av standardalgoritmer. Det första felet är att om antingen minuend eller subtrahend är noll då är differensen alltid noll. Det andra felet gäller om minuenden är noll och det ger då en differens lika med subtrahenden (Brumfield & Moore, 1985). Här beror felen troligen på att nollans funktion i subtraktion har missförståtts. Det första felet skulle kunna härledas till multiplikation där multiplikation med noll alltid är lika med noll medan det andra felet skulle kunna härledas till addition, där 0 + a = a. Systematiska fel kopplade till standardalgoritm Vid beräkningar med standardalgoritm uppkommer fel i olika delar av proceduren och Cox (1975) menar att de ofta orsakas av brist i förståelse av standardalgoritm. Ett grundläggande fel som ofta blir mer frekvent när decimaltal introduceras är att talen inte skrivs med positionerna på rätt ställe ovanför varandra (McIntosh, 2008). Ett annat vanligt fel är att eleverna byter räknesätt under beräkningen, vilket i praktiken innebär att standardalgoritmer för subtraktion och addition blandas (Cox, 1975; Fischer et al., 2019; Malmer, 2002; McIntosh, 2008). Växlingsproceduren kan orsaka olika typer av fel bland annat det tidigare beskrivna felet

17 11 mindre från större där inte växlingsbehovet upptäcks. Andra problem är att inte minska talet med ett efter växling, vilket kan uppkomma både när siffran är struken eller när siffran glömts att stryka. Det omvända kan också ske, att den högre talsorten minskas med ett trots att ingen växling skett (Brumfield & Moore, 1985; Norton, 2012). Systematiska fel kopplade till huvudräkning och skriftlig huvudräkning En feltyp som kopplas i första hand till talsortsvis beräkning och mixad beräkning kallas subtrahera allt. Detta innebär att efter uppdelning i talsorter subtraheras även minuendens ental (Beishuizens, 1993; Foxman & Beishuizen, 2002). Exempel på subtrahera allt: = [60 40 = 20; ] = 10. I Beishuizens (1993) studie var denna feltyp nästan lika vanlig som mindre från större när talsortsvis beräkning användes. I kompensationsberäkning där beräkningen startar med en justering till ett runt tal finns det risk att kompensationen i slutet görs åt fel håll (Bentley & Bentley, 2016). Exempel: Rätt kompensation: = [ = 40; = 22; ] = 24 Felaktig kompensation: = [ = 40; = 22; 22 2] = 20 Muntlig eller skriftlig test De ovanstående undersökningarna gällande strategival och feltyper gjordes antingen som skriftliga eller muntliga test. Shaw och Pelosi (1983) visar genom ett exempel, = 299, på fördelen med en intervju för att förstå hur felen uppkommer. Detta fel förklarades av deras elev som att 0 n = n. Alltså en missuppfattning av en subtraktion innehållande noll. En alternativ förklaring som kunde dragits om inte intervjun skett är att eleven gjort det vanliga felet mindre från större. Med flera uppgifter i ett skriftligt test skulle möjligen orsaken till felet också kunna ringas in, men en intervju bekräftar. Möjligheten att skilja systematiska fel från talfaktafel ökar också när eleven berätta hur den tänkt. 1.4 Vägen mot syftet. Som tidigare beskrevs är ett av kunskapskraven för årskurs 3 att elever ska kunna välja lämplig metod/strategi utifrån situationen (Skolverket, 2019). Engvall (2013) visar i sin studie att skriftliga subtraktionsberäkningar är en utmaning för många elever, vilket är i enighet med tidigare forskning som liksom Engvall pekar på att undervisningen är den stora påverkansfaktorn. I den forskning som beskrivits ovan syns att problem med subtraktion och val av strategier även finns i högre åldrar. För att undervisa elever mot läroplanens mål att välja rätt metod/strategi och utföra metoden korrekt behöver läraren förstå elevers tankegångar (Engvall, 2013). Engvall pekar också på bristen av nyare svensk forskning inom området skriftliga metoder för subtraktion och addition. Detta leder till studiens syfte.

18 Syfte och frågeställningar Syftet med denna studie är att öka förståelsen om lågstadieelevers tankegångar vid subtraktionsberäkningar, där elevers val av metoder och strategier är utgångspunkt. Utöver detta vill studien identifiera och förstå de problem som elever möter vid subtraktion. Undersökningen vill ge svar på följande frågeställningar: Vilka metoder använder elever i årskurs 2 och 3 för att visa sina beräkningar? Vilka strategier använder elever vid skriftlig huvudräkning och huvudräkning? Vilka feltyper synliggörs och hur uppkommer dessa?

19 13 2 METOD Undersökningen utgick från vad forskningen kallar metodtriangulering, vilket innebär att flera olika kompletterande metoder användes i undersökningen (Denscombe, 2017; Larsen, 2018). Ett skriftligt test startade undersökningen och gav en överblick av elevers valda metoder och strategier samt feltyper inom subtraktionsberäkning. Genom uppföljande elevintervjuer där elever fick berätta hur de utför subtraktionsberäkningar synliggjordes olika huvudräkningsstrategier. Intervjuerna bidrog dessutom till att öka förståelsen hur olika feltyper uppkommer. Undersökningen utökades under studiens gång med ytterligare årskurser och klasser. Till slut utfördes det skriftliga testet av 55 elever i årskurs 3 och 35 elever i årskurs 2. Elevintervjuer gjordes med ungefär en tredjedel av eleverna från båda årskurserna. 2.1 Urval Årskurs och skola Subtraktion är ett centralt räknesätt på lågstadiet och eftersom kunskapskravet gällande olika beräkningsmetoder ligger för årskurs 3 i läroplanen (Skolverket, 2019) var det naturligt att undersökningen utgick från årskurs 3. När de första skriftliga testerna från årskurs 3 visade att många valde standardalgoritm som metod blev även årskurs 2 inkluderad i undersökningen, som jämförelse. Frågan var om valet av beräkningsmetod skulle vara annorlunda när elever inte arbetat med standardalgoritm under lika lång tid. För att lyckas med en intervju krävs att intervjuaren skapar relationer med respondenten så att denna känner sig trygg i situationen (Bryman, 2011). Detta är ännu viktigare när barn intervjuas och enligt Doverborg och Pramling Samuelsson (2012) bör intervjuaren känna till miljön som de vistas i. Detta gjorde att de skolor som tillfrågades var skolor där det fanns kännedom om personal och miljö. Utöver detta tillbringades minst en dag i klassen innan intervjun med syftet att öka tilliten hos eleverna. Inga intervjuer eller anteckningar gjordes under dessa dagar. Två skolor valde att tacka ja. Antalet klasser som ingick i studien utökades under studiens gång med vad som kallas snöbollseffekten. I den slutgiltiga studien ingick tre klasser från årskurs 2 och tre klasser från årskurs 3. Alla klasser hade samma läromedel, Favorit matematik. 2 Elever till intervjun Av eleverna där vårdnadshavare godkänt medverkan i intervjun, bilaga 1, gjordes urvalet utifrån det skriftliga testet där målet var att täcka varierande totalresultat, använda beräkningsmetoder och feltyper. Med totalresultat menas sammanlagt antal rätt på det skriftliga testet. Genom att i urvalet välja elever med olika metoder och feltyper gavs möjlighet att förstå hur elever använder och förstår olika strategier samt öka förståelsen för de problem som kan uppkomma. Testerna var kodade under urvalet till intervjun. På detta sätt minskade påverkan på valet utifrån de eventuella uppfattningarna som fanns om eleverna sedan tidigare. När det var dags för intervjun fick varje elev åter frågan om de ville delta. Några enstaka avböjde medverkan i intervjun, vilket är i enlighet med den frivillighet som finns i att delta i en forskningsstudie (Vetenskapsrådet, 2017). Alla intervjuer gjordes på skola A där samtliga klasser deltog i intervjun. Intervjuordningen berodde på elevernas tillgänglighet utifrån närvaro och schema. 2 Favorit matematik är ett läromedel i matematik från Studentlitteratur (

20 Skriftligt test Det skriftliga testet kan liknas med ett forskningsformulär enligt Denscombes (2017) beskrivning i och med att alla elever i studien får samma nedskrivna frågor som används för att samla in information, vilken sedan analyseras. Subtraktion och addition hänger ihop och bör även hänga ihop i undervisningen (Larsson, 2011). På grund av detta samband ingick additionsuppgifter i det skriftliga testet trots undersökningens fokus på subtraktionsberäkning. Detta ger ytterligare en dimension vid tolkningen av resultat och därmed förståelsen för elevers tankegångar i subtraktion. En ytterligare positiv effekt av att blanda uppgifter med addition och subtraktion är att blandade uppgifter kan lugna elever som är rädda för subtraktion. De får därmed en känsla av att lyckas. Sammantaget var målet med det skriftliga testet att få en översikt på de skriftliga metoder och strategier eleverna valde samt en översikt på felsvar. Testdesign Det skriftliga testet för årskurs 3, eller diagnosen som skolorna valde att kalla densamma, kan ses i Bilaga 2. De matematiska uttrycken i testet valdes för att möjliggöra en variation i beräkningsstrategier som finns beskrivna i litteraturen (Heiberg-Solem et al., 2008; Löwing, 2008; Löwing & Kilborn, 2003). Dessutom anpassades de utifrån första urvalsgruppen, årskurs 3, där nationella prov användes som underlag. Testet modifierades senare för att passa årskurs 2 där antalet uppgifter minskades och tresiffriga tal exkluderades, se Bilaga 3. Till hjälp för justeringen användes årskurs 2:s läromedel i matematik. I ett forskningsformulär och därmed ett skriftligt test är det viktigt att frågorna är enkla att förstå och därmed anpassade till elevgruppen (Denscombe, 2017). Därför konstruerades testet utifrån uppgifter där formuleringar kan anses vara testade på den specifika åldersgruppen. Till det användes tidigare nationella prov (Primgruppen, 2019) och McIntosh (2008) översiktstester. Testet inkluderade uppgifter med varierande svårighet där eleverna i flera fall skulle visa hur de tänkt, det vill säga uppgifter med skriftlig beräkning som motsvarar delprov F i det nationella provet (Primgruppen, 2019). Denscombe (2017) menar att det är viktigt att börja ett frågeformulär med enklare frågor och öka komplexiteten allteftersom. Därmed testade de första uppgifterna kunskap utifrån additionstabellerna och subtraktionstabellerna och deluppgifterna konstruerades utifrån att fylla i det som saknas. Därefter följde uppgift 2 och 3 gällande taluppfattning för att möjligen kunna förklara elevernas olika feltyper. Uppgift 2 konstruerades utifrån McIntosh (2008) och undersökte talföljder med tiotals- och hundratalsövergång medan uppgift 3 behandlade positionssystemet med en uppgiftsformulering utifrån tidigare nationella prov (Primgruppen, 2019). Att förstå platsvärdets betydelse är viktigt vid subtraktionsberäkningar speciellt där växling krävs (Skolverket, 2008). Målet med uppgift 4 och 5 var att kunna särskilja när elever valde huvudräkning eller skriftliga metoder. De fick möjlighet att skriva sina beräkningar om de ville och behövde. Till dessa uppgifter inkluderades generalisering av tabellerna med tal som och additions och subtraktionsuttryck med och utan växling. Det första talet var enkelt för att visa alla elever att huvudräkning var en möjlighet. Detta avsnitt utökades efter en pilotstudie med några 9-åringar, där dessa barn valde att endast skriva svar. Bland annat lades en svårare additionsuppgift in (4c) för att locka till skrivande innan en subtraktionsuppgift utan tiotalsövergång inbjöd till huvudräkning igen. Vidare adderades några uppgifter som liknade uppgift 6 och 9 för att se om tankegångarna blir densamma beroende på hur uppgiften är formulerad. Detta skulle kunna ses som vad Denscombe (2017) kallar kontrollfrågor och kan vara ett mått på hur konsekventa eleverna är i sina metodval.

21 15 Uppgift 7 och 8 är textuppgifter som konstruerades utifrån tidigare nationella prov (Primgruppen, 2019). Syftet var att se om eleverna förstod de tre additiva strukturerna som beskriver subtraktionssituationer i textuppgifter; förändring, kombinera/separera samt jämföra. För att begränsa undersökningen exkluderades strukturen förändring då den är vanligast och oftast inte ställer till med problem för elever (Bentley & Bentley, 2011; Heiberg-Solem et al. 2008; Skolverket, 2008). Uppgift 7 kan kategoriseras som jämför och uppgift 8 som en separera/ kombinera uppgift. Den skriftliga räkningen där elever fick beskriva hur de tänkt delades upp i två delar, uppgift 6 och 9, där uppdelningen gjordes efter en prioriteringsordning, vilket innebar att de deluppgifter som ansågs viktigast för studien återfanns i uppgift 6. Detta gjordes för att säkerställa att de elever som eventuellt inte orkade hela testet ändå utförde de viktigaste beräkningarna. Ett tillvägagångssätt som även gav eleverna omväxling. I den skriftliga räkningen valdes uppgifter med möjlighet till olika skriftliga metoder och strategier. Med hänsyn till variationen finns uppgifter med och utan växling. Det finns uppgifter där minuend och subtrahend ligger nära varandra eller längre ifrån, där det första skulle kunna inbjuda till strategin addera upp. I exemplen i avsnitt 1.2 beskrivs hur uppgift 6d, 62 38, kan beräknas med olika metoder och strategier. 2.3 Intervju Intervjuer ger möjligheten till ökad förståelse för elevers erfarenheter och hur de tänker, vilket inte kan göras med enbart ett skriftligt test (Doverborg & Pramling Samuelsson, 2012; Kvale & Brinkmann, 2014). Det är inte möjligt att veta hur någon uppfattar något. Det strukturerade samtalet som Doverborg och Pramling Samuelsson (2012) kallar det kan jämföras med den semi-strukturerade intervjun enligt Bryman (2011) där grunden är förberedda frågor men där elevers svar leder till uppföljande frågor. Intervjuns inriktning var att förstå hur eleverna tänker när de löser subtraktionsuppgifter och därmed är det som McIntosh (2008) påpekar viktigt att lyssna på elevens förståelse och inte lockas till att undervisa. Att lyssna aktivt är kritiskt för att lyckas med en intervju. Genom lyssnandet visas hänsyn till och intresse för deltagarens tankegångar, vilket gör att deltagarna är mer villiga att berätta. Dessutom möjliggör det aktiva lyssnandet att intervjuaren kan ställa uppföljningsfrågor utifrån det sagda och att koppla ihop tankegångar från olika tillfällen under intervjun (Kvale & Brinkmann, 2014). För att kunna ställa uppföljningsfrågor krävs inte bara aktivt lyssnade utan också en förmåga att ta beslut i stunden. Beslut gällande vad som ska följas upp samt vilka frågor som ska ställas. Detta är inget som kan förberedas i detalj eftersom det beror på vad deltagaren svarar eller berättar (Kvale & Brinkmann, 2014). Förmågan till dessa beslut kräver dels kunskap om ämnet och intervjudeltagarnas miljö, dels erfarenhet av att intervjua (Kvale & Brinkmann, 2014). Dessutom anser Kvale och Brinkmann (2014) att intervjua kan ses som ett hantverk och att intervjuaren utvecklas under en studies gång. Detta sammantaget gjorde att de elever vars svar verkade mest spännande, inte inledde intervjuserien. Intervjuguide Intervjuernas förberedelse och genomförande utfördes med utgångspunkt från Kvale och Brinkmanns (2014) råd för lyckade intervjuer. Detta gjorde att intervjuguiden, se Bilaga 5, även inkluderade inledande och avslutande delar för att ge en gemensam struktur och tydlighet till intervjun. Intervjufrågorna var inledningsvis av allmängiltig karaktär gällande subtraktion och det skriftliga testet. Därefter övergick intervjun till ett samtal om hur eleven förstod och löste specifika uppgifter som var plockade från det skriftliga testet. Denna del av intervjun förbereddes med en enskild intervjuguide där varje elev fick utvalda uppgifter. Ett exempel på

22 16 en enskild intervjuguide kan ses i Bilaga 6. I detta sammanhang valdes både uppgifter som eleven klarat av och de som ställt till problem. Allteftersom intervjuerna pågick valdes fler frågor från uppgift 5 eftersom det synliggjorde de dolda huvudräkningsstrategierna. 2.4 Genomförande En schematisk bild över genomförandet kan ses i Figur 3. Första steget var att lärare kontaktades och studiens upplägg presenterades. Lärare på två skolor var positiva till studien och tackade ja till medverkan. I båda skolorna ville lärarna använda det skriftliga testet som diagnos i sin undervisning, vilket inkluderades i samtyckesbrevet, Bilaga 1. Vid utdelning av informations och samtyckesbrevet, informerades eleverna muntligt om studien och de fick möjlighet att ställa frågor. En liten pilotstudie gjordes med några 9-åringar i bekantskapskretsen. De fick utföra det skriftliga testet för årskurs 3 och sedan berätta vad de tyckte om de olika uppgifterna. Utifrån deras svar modifierades testet vilket beskrivits ovan, avsnitt Urval Metod Skriftligt test Intervju Analys Förfrågan till skolor Informationsbrev till vårdnadshavare Design av skriftligt test och gemensam intervjuguide Pilottest Utförande av skriftligt test Sammanställning av resultat och för-analys Urval av elever och individuella uppgifter Anteckningar och transkribering Klassificering av metoder och strategier Klassificering och djupare analys av feltyper. Figur 3. Översikt av undersökningen. Det skriftiga testet gjordes av alla elever i klasserna eftersom lärarna använde testet som diagnos i sin undervisning. I undersökningen som utvärderas i denna rapport ingår endast skriftliga test där respondent tillsammans med vårdnadshavarna godkänt medverkan. Vid testtillfället var jag och deras lärare närvarande och eleverna satt utspridda i klassrummet som vid en vanlig test. Genomgången inför testet och majoriteten av elevfrågorna under testerna besvarades av mig. Alla elever i studien gavs samma instruktioner innan testet som inkluderade både generella och specifika instruktioner och utgick från en lista, Bilaga 4. Inga exempel på hur de kunde visa sina tankegångar gavs till eleverna. Innan start betonades att vi var intresserade av hur olika elever tänker och att det var viktigt att alla försökte utföra uppgifterna. Dessutom förklarades skillnaden på uppgifter där eleverna fick välja på huvudräkning eller skriftlig räkning och uppgifter med blå ramar där det inte räckte med ett svar utan eleverna skulle visa hur de hade tänkt. På bänkarna fanns förutom penna och sudd även elevernas bänkbok. I den började eleverna läsa när de var klara med sitt test. Detta innebar att det var lugnt i klassrummet även för de elever där testet tog längre tid. Testtiden varierade mellan 15 och 40 minuter.

23 17 När testerna samlades in kontrollerades att eleven inte glömt att fylla i någon uppgift. De anpassningar som gjordes var att några elever fick hjälp att läsa textuppgifterna. Dessutom fick några elever peppande ord om att deras tankar var viktiga när de ville avsluta ett icke avklarat test. Detta gjorde att flertalet elever fullföljde testet. Varje test hade ett försättsblad där eleverna skrev in namn och klass. Efter genomfört test gavs en kod och en kodlista gjordes innan namnlapparna togs bort. Kodlistan gjorde att rätt elev kunde intervjuas och att lärarna kunde använda testet som en diagnos. Intervjuerna med ett urval av elever utfördes inom åtta dagar från intervjutillfället för årskurs 3 och inom tre dagar i årskurs 2. Målet var att så snart som möjligt efter det skriftliga testet utföra intervjun för att testet och intervjun skulle korrespondera så bra som möjligt till varandra. Innan varje intervju informerades eleverna om syftet med intervjun och hur den var upplagd. I samband med detta förklarades att de utvalda uppgifterna från det skriftiga testet var både sådana de löst utan problem och sådana som kunde varit en utmaning. Därefter förklarades inspelningen och vem som skulle lyssna på den. Eleverna fick ge sitt medgivande för intervjun och även godkänna om intervjun fick spelas in. Alla elever som intervjuades godkände inspelning. Intervjuerna genomfördes i grupprum för att minimera risken att bli störd. Detta gör att eleverna kan koncentrera sig bättre (Doverborg & Pramling Samuelsson, 2012). Intervjurum ett var ett grupprum med fönster medan de andra intervjuerna gjordes i ett materialförråd som också används som grupprum. En skylt med information att en intervju pågick sattes på dörren för att minska risken för att bli störd. Trots det avbröts intervjuerna vid några tillfällen i båda rummen. De elever som just då intervjuades stördes inte nämnvärt. Vid intervjuerna satt intervjuaren och deltagaren vid ett bord i 90 graders vinkel. Detta gör att intervjuaren och deltagaren kan ha ögonkontakt samtidigt som det inte känns som ett förhör (Denscombe, 2017). Framför sig på bordet hade eleverna en kopia av ett skriftligt test som inte var ifyllt. Det användes för att eleverna skulle kunna se talen och uppgiftsformuleringarna på samma sätt som under det skriftliga provet. De hade även tillgång till ett vitt papper och en penna för att vid behov göra anteckningar. Intervjuerna spelades in med diktafon och dessutom antecknades elevernas lösningar på uppgifterna i intervjuformuläret, för exempel se Bilaga 6. Det inspelade samtalet varierade mellan 10 och 20 minuter. Hur länge avgjordes vanligtvis av hur länge barnen orkade. Efter varje intervju gjordes en kort reflektion. Målet var att göra reflektionen i direkt anslutning till intervjun men då intervjuerna anpassades till elevernas schema var det inte alltid möjligt. Istället fick reflektionen skjutas upp och göras efter ytterligare någon intervju. Reflektionens syfte var dels som förberedande analys dels att utvärdera intervjusituationen, intervjuguiden och genomförandet. 2.5 Databearbetning och analys Databearbetningen och analysen utgick från ett upptäckande och beskrivande arbetssätt där framförallt feltyper beskrevs utifrån hur det såg ut eller eleverna berättade. Detta kunde senare jämföras med didaktisk och vetenskaplig litteratur där erkända begrepp koordinerades med beskrivningarna.

24 18 Skriftligt test Resultatet från de skriftliga testerna sammanställdes i Excel. En översikt där rätt, fel eller inget svar angavs för alla uppgifter samt en summering av antal rätt för varje elev, totalresultatet. Därefter sammanställdes elevernas val av beräkningsmetoder och feltyper för uppgift 4, 5, 6 och 9. I den första analysen gjordes en översiktlig kategorisering av beräkningsmetoder och olika fel som eleverna gjort. Beräkningsmetoderna delades in enligt beskrivningarna i avsnitt För de uppgifter där endast svar angivits, vilka därmed saknade en skriftlig metod, kan det antas att huvudräkning använts som beräkningsmetod. Eftersom valet, huvudräkning, egentligen inte fanns för uppgift 6 och 9 blir andelen uppgifter som lösts med huvudräkning missvisande låg när dessa uppgifter är utgångspunkt i analysen. Därför valdes att kalla denna grupp för endast svar i sammanställningarna gällande valda metoder. En annan kategori, utan skrift, var när eleverna hade lämnat uppgiften tom det vill säga utan vare sig svar eller lösning. Felsvaren delades in i många olika kategorier för att kunna fånga upp många feltyper och orsaker i intervjuerna. I det första urvalet till intervjun hade de mest frekventa felen störst betydelse men allteftersom flera intervjupersoner adderades tillkom flera olika typer av fel. Analysen fortsatte efter intervjuerna genom att jämföra olika variabler som årskurser och klasser. Intervjuerna gav dessutom en ökande förståelse för både strategier och feltyper. En kunskap som användes för ytterligare analys av det skriftliga testet. Vid beräkningarna i Excel med mål att summera och beräkna frekvenser har kontrollsteg lagts in för att se att beräkningar fungerar som tänkt. Intervju Intervjuerna transkriberades manuellt. Manuel transkribering valdes utifrån både etiska och analytiska perspektiv. Etiska eftersom det var svårt att hitta en app./program där programutvecklaren inte vill ta del av ljudfilens innehåll. Samtidigt kan det vara en fördel i analysen att inte bara lyssna på vad som sägs utan även på hur det sägs. Var eleven tveksam eller gjorde bara eleven en egen korrigering av det sagda? Saknas det kunskap eller var det slarvigt uttryck? Detta framgår tydligare genom att lyssna igenom ljudfilen än att läsa en utskriven text. En annan fördel är att viss analys av beräkningarna kunde göras i samband med transkriberingen. I flera fall upptäcktes nya tankegångar och förståelser under detta steg av arbetet. Hälften av intervjuerna transkriberades i sin helhet men efter slutsatsen att de allmänna intervjufrågorna inte tillförde något till mina frågeställningar transkriberades endast delar av övriga intervjuer. De transkriberades i första hand för att komplettera anteckningarna om elevernas beräkningar. Transkriberingen har utgått från Kvale och Brinkmanns (2014) råd. De gjordes så ordagrant som möjligt men visst talspråk omvandlades till skriftspråk för läslighet. Hummande och utfyllnadsord som typ och liksom som inte tillförde något exkluderades. Mm, som ett bekräftande finns med i transkriptet. Några transkriberings principer som använts och kan ses i citat i denna rapport är: I Intervjuare E Elev [.] 2 3 sekunders paus [ ] 4 15 s paus [ ] Egna kommentarer för att förtydliga sätts i hakparenteser. Efter transkriberingen upprepades lyssnandets och ljudet jämfördes med skriften som justerades om det behövdes. Eftersom barn gärna håller med den som intervjuar (Kvale & Brinkmann,

25 ), noterades särskilt om ledande frågor hade ställts. Analysen utgick från vad Kvale och Brinkmann (2014) kallar meningsanalys, vilket innebär att innehållet analyseras snarare än det språkliga. Analysen inriktades på fel som uppkommit vid flertal tillfällen antingen av många elever eller av samma elev vid flera tillfällen. Anledningen var att minska risken för att slarvfel överanalyserades (Skolverket, 2008). 2.6 Forskningsetik I all forskning ingår etiska överväganden där nyttan av nya kunskap vägs mot risker för deltagande informanter, i detta fall elever (Vetenskapsrådet, 2017). Denna undersökning som är del av en utbildning kräver inte etikprövning enlig etikprövningslagen (SFS 2003:460) men den kräver etikreflektion. Hur ska informanten skyddas från kränkning och annan integritetskränkande skada? I den etiska reflektionen utgår undersökningen från de etiska principerna som beskrivits bland annat av Bryman (2011): informationskravet, samtyckeskravet, konfidentialitetskravet och nyttjandekravet. Data som ska samlas in kommer från matematiska tester samt inspelade intervjuer med elever. Dessa metoder kräver godkännande av respondenten och då eleverna är under 15 år även godkännande av vårdnadshavare. Informationen till deltagarna gavs både muntligt och skriftligt. Den skriftliga informationen skickas ut tillsammans med samtyckesgodkännandet till vårdnadshavare. I samband med detta informerades eleverna och lärarna muntligt om hur studien gick till och att det var frivilligt att delta. Vid varje moment informerades deltagaren ytterligare en gång och de fick välja att delta eller inte. I informationen tydliggjordes även att testerna, utskrifter och anteckningar från intervjuer kodas under studien och att kodnycklar och ljudinspelningar förstörs efter att studien blivit publicerad. Detta tillsammans gör att data som sparas och publiceras är anonymiserade och inte går att spåra till elev, lärare eller skola. I och med detta har de fyra etiska principerna tagits i beaktande. Alla elever i klasserna gjorde testet eftersom även klasslärarna använde det som diagnos gällande subtraktion. Efteråt utskiljdes testerna där elevernas vårdgivare medgivit medverkan till denna undersökning. Detta var positivt i ett etiskt perspektiv då ingen elev behövde känna sig utpekad, av att den eller dess vårdnadshavare godkänt eller inte godkänt medverkan.

26 andel fel (%) 20 3 RESULTAT Under detta avsnitt presenteras först en översikt med syfte att förklara vilka uppgifter och resultat från det skriftliga testet som ansetts intressanta att analysera vidare. Därefter får varje forskningsfråga ligga till grund för de resultat som presenteras. Vidare visas några resultat på hur konsekventa eleverna är i sina val och feltyper. Avslutningsvis ges en sammanfattning av resultaten som kan ses som en grund inför diskussionen. 3.1 Översikt av resultat Det skriftliga testets olika frågor sammanställdes utifrån varje elev. I detta klassificerades svaren som rätt, fel eller inget svar. Därefter grupperades lösningarna efter beräkningsmetod och slutligen kategoriserades eventuella fel. Testet innehöll ett antal delfrågor. I Figur 4 visas andelen fel som alla elever i en årskurs hade på testets uppgifter. Uppgifterna har grupperats efter typ och de typuppgifter som visade på högst andel fel ger störst möjlighet att undersöka feltyper då det minskar risken att slarvfel överanalyseras, se avsnitt De första uppgifterna på testet hade som syfte att stödja förklaringar för olika feltyper med utgångspunkt i elevernas taluppfattning. Felfrekvensen för dessa uppgifter var låg, se Figur 4, vilket innebär att få elever hade problem med dessa uppgifter. Detta bekräftades av intervjuerna där det stora flertalet av eleverna ansåg att detta avsnitt var väldigt lätt, speciellt talmönstren i uppgift 2. De enstaka problem som uppkom kan inte heller kopplas till subtraktionsfel i senare uppgifter. För de elever som deltog i intervjun och fick lösa uppgiften muntligt uppstod inte felen på nytt, vilket gjorde att felen klassificerades som slarvfel eller slumpvist fel snarare än ett systematiskt fel. På grund av detta exkluderades uppgifterna 1-3 från fortsatt analys. Ett annat tecken på försenad aritmetisk utveckling och därmed brister i taluppfattning är enligt Bentley och Bentley (2011) att elever spegelvänder siffror. Detta sågs i enstaka fall i båda årskurserna men kunde inte kopplas till specifika problem med subtraktionsberäkningar. 30 Andel fel på olika uppgiftstyper Åk 2 Åk Taluppfattning Uppgift 1-3 Välj metod Uppgift 4 och 5 Visa hur du tänkt Uppgift 6 och 9 Text Uppgift 7-8 Figur 4. Andel fel på olika uppgiftstyper för årskurs 2 och årskurs 3. Alla elevers resultat för alla deluppgifter inom en uppgiftstyp är sammanslagna.

27 21 För båda årskurserna var det uppgifterna välj metod och visa hur du tänkt som gav högst felfrekvens. Uppgifterna med högre felfrekvens var även anpassade för forskningsfrågorna angående metoder och strategier. Detta gjorde att dessa uppgifter låg till grund för intervjun och fortsatt analys. 3.2 Vilka metoder använder elever för att visa sina beräkningar? Som tidigare beskrivits är ett av målen i läroplanen (Skolverket, 2019) att elever ska välja beräkningsmetoder utifrån situation. För att ta reda på vilka beräkningsmetoder elever väljer vid subtraktion användes ett skriftligt test med uppgifter där eleverna uppmanades att visa hur de tänkt. De uppgifter som analyserades för detta ändamål var subtraktionstal i uppgifterna 6 och 9. För att få en översikt av valda metoder klassificerades varje subtraktionsberäkning för varje elev enligt metoderna beskrivna i avsnitt Därefter summerades hur många gånger varje metod använts totalt i de skriftliga testen. Metodval utifrån årskurs I Figur 5 syns att mer än tre fjärdedelar av eleverna i årskurs 3 föredrog standardalgoritm när de visade hur de tänk i sin subtraktionsberäkning. För eleverna i årskurs 2 är fördelningen mellan valda metoder annorlunda och den dominerande metoden är skriftlig huvudräkning. I diagrammet kan ses att ungefär en fjärdedel av uppgifterna lösta av eleverna i årskurs 2 saknar skriftlig metod. Eleverna har antingen lämnat endast ett svar eller inte alls löst uppgiften. Värt att notera är att ingen elev valde den tomma tallinjen däremot använde elever i årskurs två metoden rita, vilket ingen i årskurs 3 gjorde på någon uppgift. Figur 5. Elever i årskurs 2 och årskurs 3:s val av metoder i uppgifter som krävde att de visade sin subtraktionsberäkning. Endast svar innebär att eleverna inte har visat någon metod utan bara angett ett svar. Utan skrift innebär att uppgiften var lämnad tom, det vill säga utan metod eller svar. I ovanstående resultat angående vilka metoder eleverna väljer har alla elevers metodval på alla subtraktionsuppgifter adderats. Dessa data säger inget om enskilda elever använder en eller flera metoder. En djupare analys av metodval gjordes för varje elev där huvudräkning (endast svar) inkluderades som valmöjlighet tillsammans med standardalgoritm, skriftlig huvudräkning och rita. Resultatet i Tabell 1 visar att 54 % av eleverna i årskurs 2 och 78 % av eleverna i årskurs 3 valde samma metod genom hela testet. Även på individnivå är eleverna i årskurs 2 mer flexibla i sitt metodval än eleverna i årskurs 3 och det trots färre inkluderade uppgifter i testet, tre mot sju. Om huvudräkning exkluderas ökar siffrorna till 63 % och 87 % för årskurs 2 respektive årskurs 3.

28 % 22 Tabell 1. Andel elever som löste uppgifterna med en eller flera olika metoder 3 /skriftliga metoder 4 för att visa hur de räknat i uppgift 6 och 9. Antal metoder 1 (%) (%) Åk 2 Åk Antal skriftliga metoder Metodval utifrån skolklass Eftersom metodval kan bero av undervisningen visas metodval för varje klass i Figur 6. Årskurs 2 på skola B har exkluderats då få elever från denna klass deltog i studien. Skillnaden mellan de båda klasserna i årskurs 2 på skola A är ganska stor. Eleverna i klass 1 (K1) föredrog skriftlig huvudräkning och denna metod användes i 60 % av fallen. I den andra klassen (K2) är fördelningen mellan olika metoder relativt jämn. I årskurs 3 är det mindre skillnad mellan klasserna men klassen på skola B skiljer sig mot klasserna på skola A. Detta genom att fler elever använder skriftlig huvudräkning istället för standardalgoritm och dessutom lämnades fler uppgifter obesvarade Beräkningsmetoder i olika klasser ÅK 2 ÅK 3 Skola A K1 Skola A K2 Skola A K4 Skola A K5 Skola B K6 endast svar standardalgoritm skriftlig huvudräkning Figur 6. Metodval uppdelad efter skolklass när eleverna skulle visa hur de tänkt. Två klasser i årskurs 2 (K1 och K2) och tre klasser i årskurs 3 (K4-6) redovisas i diagrammet. Endast svar innebär att eleverna inte har visat någon metod utan bara angett ett svar. Utan skrift innebär att uppgiften var lämnad tom, det vill säga utan metod eller svar. rita utan skrift 3 Metoder: skriftliga metoder och huvudräkning. 4 Skriftliga metoder: Standardalgoritm, skriftlig huvudräkning och rita.

29 % 23 Metodval för uppgiften Uppgiften fanns med i både årskurs 2 och årskurs 3 skriftliga test och är en uppgift som kräver växling. Fördelningen av valda metoder för årskurs 2 och 3 följer samma mönster och liknande proportioner som Figur 5 ovan där elever i årskurs 2 valde skriftlig huvudräkning i första hand och eleverna i årskurs 3 valde standardalgoritm. 3.3 Vilka strategier använder elever? I ovanstående avsnitt 3.2 har resultatet fokuserat på de övergripande metoderna och i denna del fördjupas undersökningen till vilka strategier elever använder. Strategierna för skriftlig huvudräkning synliggjordes precis som metoderna i uppgift 6 och 9 medan huvudräkningsstrategier av naturliga skäl inte går att undersöka med ett skriftligt test. Därför användes intervjuerna som komplement till det skriftliga testet i denna analys. Skriftlig huvudräkning I testet löstes ungefär 45 % och 15 % av uppgifterna med skriftlig huvudräkning i årskurs 2 respektive årskurs 3, vilket kan ses i Figur 5. Dessa lösningar kategoriserades till de olika strategierna beskrivna under avsnitt Den dominerande strategin i skriftlig huvudräkning var talsortvis beräkning som användes i hela 81 % av fallen. Andra strategier var stegvis beräkning på 10 %, lika tillägg 5 %, addera upp 3 % och kompensationsberäkning 1 %. I Figur 7 syns hur fördelningen ser ut mellan olika klasser. Talsortsvis beräkning är mest frekvent i alla klasser med %. Denna dominans för talsortvis beräkning vid subtraktion har inte hittats i internationella undersökningar där i och för sig talsortsvis beräkning tillsammans med stegvis beräkning står för % av valda beräkningsstrategier, men där stegvis beräkning används i större utsträckning, % (Beishuizens, 1993; Foxman & Beishuizens, 2002; Heinze et al. 2009). 100 Strategier för skriftlig huvudräkning ÅK 2 ÅK talsortsvis - stegvis - lika tillägg - addera upp - kompensation 0 Skola A K1 Skola A K2 Skola A K4 Skola A K5 Skola B K6 Figur 7. Strategival uppdelad efter skolklass när eleverna använder skriftlig huvudräkning. Två klasser i årskurs 2 och tre klasser i årskurs 3 redovisas i diagrammet.

30 24 Huvudräkning Internationella undersökningar angående strategier är ofta gjorda utifrån huvudräkning (Foxman & Beishuizens. 2002; Heinze et al. 2009). Detta skulle kunna förklara skillnaden mot min undersökning gällande elevers val av strategier för skriftliga beräkningar. Av den anledningen undersöktes även elevernas strategival vid huvudräkning, där uppgift 5 användes som utgångspunkt. I det skriftliga testet löstes 90 % av dessa deluppgifter med huvudräkning av eleverna i årskurs 2 och motsvarande siffra för årskurs 3 var 77 %. Övriga valde i första hand standardalgoritm. Värt att nämna är att de tresiffriga talen var exkluderade för årskurs 2 medan övriga uppgifter var lika. Eftersom valet av elever till intervjun byggde på att undersöka olika feltyper och få stor variation i de metoder och strategier som används kan inte frekvensen av använda strategier ses som representativt för hela elevgruppen. På grund av detta är denna del av studien kvalitativ. Vilka typer av strategier använde eleverna? Vid intervjuerna upptäcktes att för uppgifter med ensiffrig subtrahend använde många elever talfakta, vilket innebär att de generaliserar subtraktionstabellerna med hjälp av talkamrater och uppdelning av tal. Nedräkning, med eller utan fingrar, var också vanligt vid denna typ av uppgifter. Fingrarna användes av flera elever både i årskurs 2 och 3 för att hålla reda på steg i nedräkning. Detta är nog vanligare än vad om upptäcktes under intervjuerna eftersom flera elever höll händerna i knät. Fingerräkning sågs också i uppföljningen av TIMMS 2007 hos elever i årskurs 4 där det sågs i samband med stegvis beräkning (Skolverket, 2008). Nedräkning och uppdelning av tal användes av eleverna i min studie även som delsteg i standardalgoritm och skriftlig huvudräkning när eleverna inte hade automatiserat stora subtraktionstabellen och i vissa fall inte den lilla subtraktionstabellen. Uppdelning i tal används exempelvis frekvent vid tiotalsövergångar och var därför vanligt vid växling i standardalgoritm. Det kan också noteras att i beräkningar med tal lägre än tio använde många elever sambandet mellan addition och subtraktion, något som inte syntes i samma utsträckning för högre tal. När subtrahenden blev tvåsiffrig och tresiffrig användes uppdelning av tal och nedräkning som delsteg i de övergripande strategierna beskrivna under avsnitt De strategier eleverna använde var de strategier som även sågs i skriftlig huvudräkning det vill säga stegvis, talsortsvis, kompensations och addera upp. Till detta tillkom strategin mixad beräkning. Även om talsortsvis beräkning skulle kunna ses som den strategi som flest elever använder var den långt ifrån så dominerande som vid skriftlig huvudräkning. Vid huvudräkning var eleverna i båda årskurserna mer flexibla i sina strategival och det var färre än tio elever som använde samma strategi på alla uppgifter vilken innebär mindre än en tredjedel av eleverna. Dessutom skiljer valet av strategi utifrån uppgift. Exempelvis användes stegvis beräkning framförallt för uppgift en uppgift som endast årskurs 3 hade. Strategin addera upp valdes i första hand för uppgiften vilken den är speciellt lämplig för. Det senare exemplet visar att strategin inte bara är vald utan även anpassad för uppgiften. Varianter av talsortsvis beräkning Talsortsvis beräkning återfinns i flera varianter både i huvudräkning och skriftlig huvudräkning och kan därmed delas in i undergrupper. Det finns i första hand två parametrar som skiljer. Den första är med vilken talsort beräkningen börjar något som Foxman och Beishuizen (2002) uppmärksammade i sin studie. Den andra parametern är om tiotalen räknas som tiotal = 30 eller ensiffrigt som i standardalgoritm 5 2 (Engvall, 2013). Detta ger fyra varianter som alla förekom i min undersökning. Alla elever som använde talsortsvis beräkning var konsekventa i sitt val av variant och använde bara en. I båda årskurserna var det vanligast att börja med tiotalen. Ungefär hälften av dessa elever valde att räkna tvåsiffrigt med tiotalen och hälften räknade endast ensiffrigt. Ytterligare en variant var att eleverna tog bort hundratalen

31 25 och räknade på tiotal och ental först och sedan lade tillbaka hundratalen. Detta var en variant som var frekvent förekommande i en klass i årskurs 3 och som återkommer under avsnitt Strategier för uppgift Strategivalen för elevernas beräkning av uppgiften följer ovanstående där talsortsvis beräkning dominerar som skriftlig huvudräkningsstrategi och användes i 83 % av fallen följt av stegvis beräkning på 13 %. Under intervjun valde ett antal av eleverna även mixad beräkning. Detta var en uppgift där ingen av eleverna valde kompensationsberäkning, lika tillägg eller addera upp, vilket visar att för att upptäcka mer sällsynta strategier behövs ett urval av uppgifter. Det är också ett tecken på att elever väljer de strategier de är vana vid, något Heinze at al. (2009) tidigare rapporterat. 3.4 Vilka feltyper synliggörs och hur uppkommer dessa feltyper? Hittills har endast elevernas metod och strategival undersökts, vilket inte säger någonting om hur effektiva metoderna eller strategierna är. Effektiviteten begränsas här till korrekta resultat. I denna undersökning finns många olika felsvar och alla kan varken undersökas vidare eller analyseras. I urvalet till detta avsnitt valdes först de vanligaste felen och därefter gjordes en djupare analys av några feltyper som var intressanta. Det kunde exempelvis röra sig om ett fel som många i en klass gjorde på samma uppgift eller samma felsvar som hade olika förklaringar. Vanligaste felen De vanligaste felen sammantaget i alla klasser var mindre från större och ± 1-felet. Tillsammans representerar de 40 % av de totala felen i denna undersökning. Ett annat fel som upptäcktes både i det skriftliga testet och intervjuerna var förståelsen av subtraktion där 5 7 uppfattades likvärdigt med 7 5. Eleverna blandade minuend och subtrahend och uppfattar därmed att kommutativa lagen gäller även för subtraktion. Mindre från större Av alla fel på det skriftliga testet gällande två och tresiffriga tal skulle drygt 20 % av felen i både årskurs 2 och årskurs 3 kunna kategorisera som felet mindre från större. På uppgifter med växling är 33 % denna feltyp. Ett mycket vanligt fel som beskrivs i vetenskaplig och didaktisk litteratur (Beishuizen, 1993; Bentley & Bentley, 2016; McIntosh, 2008). Detta fel kan inte knytas till någon metod eller strategi utan är ett vanligt fel vid subtraktion med växling. I Figur 8 ges exempel från två elevers försök att beräkna 62 38, där olika metoder ger detta fel. Figur 8. Elevexempel med felet mindre från större. Till vänster visas en ensiffrig talsortsvisberäkning av en elev i årskurs 3. Till höger visas en beräkning med standardalgoritm av en elev i årskurs 2.

32 26 Variationen mellan alla deltagande klasser var stor. Speciellt intressant är skillnaden mellan klasserna i årskurs 2 där mindre från större representerar 40 % av felen i en klass och 12 % av felen i den andra klassen. Skillnader som skulle kunna förklaras av olikheter i undervisningen. Intressant är att eleverna i klassen där detta fel är mindre förekommande, avbryter om de inte klarar växlingsberäkningen och säger i intervjun det går inte. Det i sin tur förklarar att denna klass har en större andel uppgifter som saknar både svar och lösning. Felfrekvensen bestämdes utifrån felsvar på det skriftliga testet men under intervjun upptäcktes att samma felsvar som uppkommer genom feltypen mindre från större även kan uppkomma på andra sätt. Ett exempel är en elev i årskurs 3:s beräkning av Elevexempel 1: E: Då tar man först, 8 2 och det är 6. Sen har man 56. Och sen tar jag 7 5 och det är 2. Och så har jag 26 och sen har jag 100 kvar. 100 är väl kvar? Det blir väl 126? Ja 126. Tolkningen är att eleven utför beräkningen med de tvåsiffriga talen för att senare hantera hundratalet. Denna beräkning kan ses som en blandning av kompensationsberäkning och talsortsvis beräkning där eleven börjar med att subtrahera minuendens ental från minuend och subtrahend. Dessutom har beräkningen kompletterats med en strategi att hantera talen som tvåsiffriga tal. Elevens beräkning tolkades även utifrån vad som framkommit i övrigt under intervjun där eleven valde om subtrahendens ental slutligen skulle adderas eller subtraheras genom att titta på rimlighet. I en tidigare uppgift, 26 9, kunde eleven bedöma att 17 var ett rimligare svar än 23. Rimlighetsbedömning skulle kunna tänkas bli svårare vid högre tal och större differens. ± 1-felet Ytterligare ett fel som var vanligt förekommande i detta test för både årskurs 2 och 3 var ± 1- felet som innebär att eleven hamnar ett steg ifrån svaret. Knappt 20 % av alla fel på det skriftliga testet var av denna typ. Troligtvis är siffran underskattad då inga ± 2-fel är inräknade, vilka kan vara två ± 1-fel, se avsnitt Att som lärare förstå bakgrunden till dessa problem kräver samtal med eleven. Två orsaker upptäcktes under intervjuerna, dels att eleven hamnade fel i nedräkningen, dels att eleven hade fel talfakta, i detta fall 9 6 = 2. Dessa två orsaker är också beskrivna av Bentley och Bentley (2016). Vanligast i min studie var att eleverna hamnade fel i nedräkning. Blandar minuend och subtrahend Ett flertal elever i både årskurs 2 och 3 byter plats på minuend och subtrahend, vilket gör att de uttrycker 5 7 när de menar 7 5. I elevexempel 2 kan följas hur en elev i årskurs 2 förklarar hur den räknar 47 5 samt senare hur den uttrycker sig när den berättar om sin beräkning av Liknande uttryck och resonemang har setts för flera elever. Elevexempel 2: I: [pekar på 47 5] E: 5 7 I: [ ] 5 7? E: Mm. I: Och vad är det?

33 27 E: 2 I: [ ] Och är det svaret? E: Nej, 42. I: Om vi hoppar till 5c [68 42]. Hur skulle du räkna? E: Ta bort 4 från 6 och sedan 2 från 8 I: Mm. E: [ ] 26 Här beskriver eleven i första uppgiften att den räknar 5 7 när den rent matematiskt räknar 7 5 som var entalen i uppgiften. En förklaring till hur eleven uttrycker sig kan ses i dialogen som följer där eleven beskriver subtraktionen som att 4 tas bort från 6. Detta kan vara anledningen till att minuend och subtrahend byter plats då de flesta barn i undersökningen beskriver subtraktion som att ta bort något från något annat. I skrivriktningen skulle det enligt detta sätt att uttrycka sig vara naturligt att subtrahenden kommer först, 4 6. Exempel på fel med standardalgoritm Standardalgoritmer må vara standardiserade men de har flera olika utmaningar för elever även om studier visar att det är effektiva i relation till exempelvis talsortsvis beräkning (Bentley & Bentley, 2016; Foxman & Beishuizens, 2002; Torbeyns & Verschaffels, 2016). Några fel som sågs i studien för elever i årskurs 2 och 3 var mindre från större, additionsförfarande i subtraktionsalgoritm, och olika fel vid växling som beskrivits tidigare, i avsnitt För elever i årskurs 3 tillkom att de glömde hundratalen och ett specifikt växlingsproblem där eleverna växlade från noll. Uppgiften som endast årskurs 3 hade gav upphov till flera olika feltyper. En av dessa var att eleverna inte hanterade nollan korrekt vid beräkning med standardalgoritm. Sju elever som använt standardalgoritm hade strukit noll och därmed växlat noll tiotal i sin beräkning. Eftersom det gav upphov till fyra olika svar; 14, 114, 104, och 194, undersöktes det vidare under intervjun. Två av eleverna fick beskriva hur de räknade uppgiften med standardalgoritm. Elevexempel 3: Elevexempel 4: E: Då börjar jag med att addera nollan [stryker 0] och sätta en tia här är 4 men man kan inte ta 0 9 så nu lånar jag igen [från 100-talet] är 1 och 1 1 det är 0 så då blir svaret 14. E: Det här funkar inte [pekar på 1 7]. Då stryker man över den. I: Vilken strök du över? E: Då är det 4, för att jag vet att är 10 och då är 7 + 4, 11 [.] Och sen är det 9 där för det var en 0 där. Och då är 9 9 och det blir 0 [.]. Sen blir det där 2 1 och det funkar och det är 1. [.] 104. I ovanstående citat och dialog visas två olika sätt att hantera växling från noll som ger två olika svar. Ingen av dessa elever verkar förstå nollans funktion som platsvärde eftersom de växlar noll tiotal. Istället utför de en standardalgoritm-procedur att växla siffran till vänster. Båda eleverna gjorde även respektive misstag i det skriftliga testet, vilket tyder på systematiska fel snarare än slarvfel. I elevexempel 3 verkar det som om eleven förstår nollans funktion i ensiffrig

34 28 beräkning eftersom eleven förstår att 0 9 inte fungerar i standardalgoritm och växlar ett hundratal. I det andra exemplet uppfattar troligen eleven den strukna nollan som en struken 10 som därmed betyder nio. Detta gör att subtraktionen 9 9 inte kräver växling och att ett hundratal blir kvar, vilket ger svaret 104. Övriga felsvaren kan troligen kopplas till elevexempel 3. Svaret 114 fås om inte hundratalet stryks vid växling. Ett ytterligare sätt att se på subtraktionen 0 9 som i elevexempel 3 är att ha missuppfattningen att om minuend eller subtrahend är noll, är differensen alltid talet, i detta fall 9, ett fel som Brumfield och Moore (1985) rapporterat, se avsnitt Detta ger felsvaret 194. Tyvärr kunde inte dessa senare felförklaringar verifieras då eleverna efter första intervjudagen fick undervisning i standardalgoritm med bland annat växling med noll, vilket gjorde att strukna nollor inte upprepades. Intressant är vidare vad som följer citatet i elevexempel 3 där eleven i årskurs 3 fick frågan om det finns andra sätt att lösa uppgiften. Elevexempel 3 fortsättning: I: Om du kollar på uppgiften en gång till. E: Mm. I: Nu har du löst den med uppställning. Finns det något annat sätt att tänka på den uppgiften? E: Man kan ta 97 upp till 1, tror jag [.] 197 upp till 201 menar jag. I: Och vad händer då? E: Då blir det 4. [ ] Och sedan den här 1an och 2an kan man subtrahera 2 1. Då blir det 1 och alltså blir det 14. I: Mm. [...] Det var två sätt. Här var eleven nära att lösa uppgiften med huvudräkningsstrategin, addera upp, men ser ut att justera in svaret mot svaret från beräkningen med standardalgoritm. Vad hade hänt om eleven hade börjat med huvudräkning? Hade det kunnat orsaka motsatt effekt att resultatet blev korrekt? Exempel på fel med huvudräkning och skriftlig huvudräkning Huvudräkning och skriftlig huvudräkning av flersiffriga tal bygger på samma typ av strategier, vilket innebär att liknande typer av fel uppkommer. Skillnaden är att i skriftlig huvudräkning antecknas mellanledet, vilket synliggör felet medan det ligger dolt i huvudräkning. I Figur 9 syns felet subtrahera allt där eleven efter att delat upp talet talsortsvis subtraherar även minuendens ental. Genom skriftlig huvudräkning synliggjordes detta fel. Eftersom eleven använde strategin konsekvent för beräkning både med och utan växling kan felet betraktas som systematiskt. Feltypen kunde också förklara elevens felsvar vid huvudräkning. Figur 9. Elevexempel med skriftlig huvudräkning där båda entalen subtraheras, det vill säga feltypen subtrahera allt.

35 29 Andra fel som var typiska i talsortsvis beräkning var att ta mindre från större där beräkningen krävde växling. Ett exempel syns i Figur 8 och är ett fel som förekommer även med standardalgoritm. Detta behöver dock inte betyda att samma elev gör detta fel oberoende av metod, vilket kan ses i nedanstående dialog med en elev i årskurs 3. Elevexempel 5: I: Då tänkte jag att vi skulle gå vidare till den här. E: [skriver ut sin standardalgoritm] 1 8 går inte då tar jag 10 och har 11 8 och då tänker jag först 10 8 då blir det 2 plus 1 och det är 3. Och eftersom jag strukit över här så blir det 7 7 och det är 0. Så svaret är 3. I: Mm. Om du tittar på siffrorna en gång till. Finns det något annat sätt att räkna uppgiften på? E: Ja eftersom det är 1. Då kunde jag ha räknat ut det i huvudet utan en uppställning. Då skulle jag först ha tagit 1 8 och det är 7 och sen är 10. Då blir svaret 17 [ ]. I exemplet kan man följa elevens beräkning med standardalgoritm då 1 8 inte går att utföra utan att växla från tiotalen. Strax efteråt då eleven använder talsortsvis beräkning fungerar det att göra samma beräkning och 1 8 = 7. Detta tyder på att förståelsen för växling saknas men att eleven klarar att utföra proceduren med standardalgoritm. Även om felet med mindre från större är vanligt vid talsortsvis beräkning även för äldre elever (Skolverket, 2008) finns det elever som behärskar talsortvis beräkning med växling, vilket kan ses i följande dialog med en elev i årskurs 2 som räknar uppgiften Elevexempel 6: E: Jag tänkte så här [.] 6 3 är lika med 3. Och 12 8 är lika med 4. Och sen är det uppenbart? I: [ ] Vad är det som är uppenbart? E: Att det är [.] 24 I: Okej 24, men var kom 20 ifrån? E: Den kommer ifrån att jag sa I: Visst sa du att 6 3 är lika med 3? E: Ja 6 3 är 3. Ja helt rätt, jag sa så. I: [ ] Du har någon bra tanke här. Jag försöker bara förstå den. E: Då vet jag att det är 12 för det kan inte vara 2 8. I: Aha, så då har du tagit bort ett tiotal från 3? E: Jaa. I exemplet använder eleven talsortsvis beräkning med en variant som fungerar för växling. Att det finns olika varianter för olika typer av talsortsvis beräkning är en svårighet som betonas av Bentley och Bentley (2016). De förklarar att många använder varianten utan växling för alla beräkningar, något som eleven i exemplet inte gjorde.

36 30 Strukturella fel Om många elever i en klass gör samma typ av fel i sina beräkningar kallas det strukturella fel (Bentley & Bentley, 2011). En uppgift som utmärkte sig med samma typ av fel var uppgift 5h, , en uppgift som hanterades endast av årskurs 3. Detta var en uppgift där eleverna fick välja huvudräkning eller skriftlig metod och 70 % valde huvudräkning. Av dessa hade sju elever svarat 135 på uppgiften, det vill säga ett hundratal för mycket. Sex av dessa elever gick i samma klass, vilket gjorde att felet var intressant att undersöka vidare. Dessutom hade dessa elever varierande totalresultat på det skriftliga testet. I intervjun som inkluderade fem av dessa elever samt eleven från den andra klassen kunde beskrivningen av beräkningen låta så här: Elevexempel 7: I: Då tar vi 5h [ ]. Hur tänker du på den? E: I: Mm. [ ] är lika med? E: 35 I: Mm. E: Och sen lägger man till en etta I: Du lägger till ett hundratal? E: Ja. I beskrivningen kan ses att eleven i första delen av beräkningen koncentrerar sig på den tvåsiffriga delen av talen och tänker bort hundratalen. Det är i slutet när detta ska justeras som det blir felaktigt och hundratalet läggs tillbaka. Detta kan liknas med strategin att ta bort och lägga till nollor. Liknande beskrivningar hade ytterligare tre elever, varav två av dessa justerade hundratal korrekt under intervjun och fick 35. När denna förenklingsstrategi, att tänka bort och lägga till hundratal, hade synliggjorts upptäcktes att den användes av andra elever, vid andra uppgifter och även vid räkning med standardalgoritm. 3.5 Är eleverna konsekventa i sina val och beräkningar? I direkt anslutning till frågorna ovan gällande val av metoder och strategier liksom feltyper kan frågan ställas hur konsekventa eleverna är i sitt räknande. Detta är en avgörande punkt för vilka slutsatser som kan dras av en studie som denna. I undersökningen kan detta kontrolleras på två nivåer. Dels om de är konsekventa genom det skriftliga testet, dels om de några dagar senare har samma beräkningar i intervjun. Genom att lägga in liknande uppgifter flera gånger i det skriftliga testet kan elevernas principfasthet genom testet följas. För årskurs 2 och årskurs 3 jämfördes tvåsiffriga tal utan växling. Alla uppgifterna gav samma felfrekvens inom en klass och samma typer av fel där ± 1-felet var vanligast. Tal med växling jämfördes för årskurs 3 som en blandning av två och tresiffriga minuender. Trots skillnaden i uppgiftstyp återkom samma fel: ± 1-felet, mindre från större och i de skriftliga beräkningarna även olika typer av växlingsproblematik. Här har felen på gruppnivå jämförts medan individnivå inte alltid visar på samma likriktning speciellt för ± 1-felet. Att ± 1-felet inte är lika konsekvent kan bero på att det är mer beroende av de ingående talen i subtraktionen. Detta innebär att på gruppnivå är eleverna konsekventa genom det skriftliga testet. Detta har också setts i metod och strategival, vilket i denna studie uppmärksammats som brist i flexibilitet.

37 31 För de elever som deltog i intervjun kunde en jämförelse göras mellan två tillfällen, det skriftliga testet och intervjun. I detta fall utgick undersökningen från de uppgifter eleverna fick svara på i intervjun. Val av metod och strategi jämfördes med den skriftliga testet. När alla uppgifter som lösts av alla elever på intervjun jämfördes med det skriftliga testet var valet lika i 83 % av fallen. En siffra som är avsevärt högre än Beentjes och Jonker (1987) visade i sin studie då 50 % av eleverna var konsekventa i sina metodval när 2 veckor förflöt mellan deras muntliga tester. Skillnaden mellan studierna kan troligtvis förklaras av den tid som förflutit mellan tillfällena. En viss del av skillnaden mellan det skriftliga testet och intervjun kan bero på att det inte alltid är självklart hur klassificeringen ska göras. Ett samtal med eleven i fråga kan då klargöra. En av de intervjuade eleverna i årskurs 3 gjorde i det skriftliga testet något som såg ut som ensiffrig talsortvis beräkning där växling inkluderades. Vid intervjun visade sig en annan strategi, där eleven berättar utan att skriva ned. Elevexempel 8: I: 9c [ ]. Den sista uppgiften vi ska göra. E: Okej. Det går inte att låna från 0 för det är 0 så då lånar jag från 200. Då blir det 10 vid nollan. Jag lånar från 10:an så det blir 9 där och 11 här [9 på tiotalets plats och 11 på entalens plats]. Sen är det Och då är det 1 7 som är 6 och sen 6 10 och det är 4. Och sen 9 9 för jag hade lånat 10 från 100 och sedan 1 dit. Så det blir 0. Sen är det 1 under det [pekar på den strukna 2an] där så det blir 0 där och det blir 4. I: Mm. Skulle du kunna titta på talet, om du skulle kunna lösa det på något annat sätt? E: En uppställning. Strategin ovan kan ses som en uppställning i huvudet som ett antal andra elever kallar strategin. Det är trots det inte säkert att eleven i fråga uppfattar det som en uppställning i huvudet då eleven svarar uppställning när ytterligare ett sätt att lösa uppgiften efterfrågas. I övrigt är inte delberäkningen 11 7 självklar utifrån utskriften men med flera liknande förklaringar och förståelsen att eleven använder 1 7 och 7 1 likvärdigt förstås att eleven använder strategin lika tillägg, vilket innebär att 11 7 = 10 6 = 4. Hela beräkningen är krävande eftersom eleven behöver hålla reda på både flera delresultat och procedursteg och underlättas naturligtvis om uppgiften skrivs ned. Trots detta var det under intervjun som eleven lyckades med beräkningen och inte vid det skriftliga testet där delsteg skrevs ned. Detta kan kopplas till mindre distraktion under intervjun enligt Watson (1980). Detta sågs även av flera elever vilka inte upprepade sina fel under intervjun. Sammantaget innebär det att eleverna oftast var konsekventa i sina metodval och strategier men att inte alla fel återkom. Att felen inte återkommer tyder på att de var slumpvisa fel. 3.6 Sammanfattning av resultat Denna undersökning visar elevernas metodval vid skriftlig subtraktionsberäkning på två skolor. I årskurs 3 använde eleverna standardalgoritm och skriftlig huvudräkning. Mer än tre fjärdedelar av eleverna föredrog standardalgoritm. Av eleverna i årskurs 2 valde knappt hälften skriftlig huvudräkning och övriga som visat sin lösning använde standardalgoritm eller rita. En undersökning på individnivå visade att 87 % av eleverna i årskurs 3 valde samma skriftliga metod rakt igenom testet medan motsvarande siffra för årskurs 2 var 63 %. Eleverna i årskurs

38 32 2 var därmed mer flexibla i sina val av metoder, det vill säga hade fler metoder i sin repertoar för att lösa uppgiften. Vidare undersöktes vilka strategier eleverna använder i skriftlig huvudräkning, där talsortsvis beräkning var det framträdande valet i båda årskurserna. Stegvis beräkning var näst vanligast och några elever använde kompensationsberäkning, lika tillägg eller addera upp. Huvudräkningsstrategier skiljer sig om subtrahenden är ensiffrig eller flersiffrig, där dela upp tal eller nedräkning är vanliga strategier för ensiffriga subtrahender. Eleverna i studien använde samma strategier som för skriftlig huvudräkning när de utförde huvudräkning med flersiffriga subtrahender. Skillnaden är att talsortsvis beräkning inte dominerar i samma utsträckning samt att några elever använde strategin mixad beräkning. Vid huvudräkning avgjorde uppgiften i större utsträckning valet av strategi. Detta tillsammans visar på större flexibilitet i huvudräkning hos eleverna både i årskurs 2 och årskurs 3. De feltyper som synliggjordes under testet var både generella och metodspecifika. Till de generella hör att eleverna räknar mindre från större istället för att växla samt ± 1-felet. I tillägg till dessa två feltyper noterades även att många elever uttrycker subtraktion både muntligt och skriftligt som 5 7 och ser det som samma sak som 7 5. Mer specifika fel kan exemplifieras med att eleverna växlar från nollan i standardalgoritm och att eleverna subtraherar allt i skriftlig huvudräkning. I denna studie framkom en strategin att behandla tresiffriga tal som tvåsiffriga tal under beräkningen, vilket ibland gav upphov till systematiska fel.

39 33 4 DISKUSSION I diskussionen som följer presenteras först resultaten i relation till tidigare forskning inom området. Därefter följer ett avsnitt där metoden som använts i undersökningen utvärderas. Tillsammans leder detta vidare till framtida forskning samt slutsatser som avslutar kapitlet. 4.1 Resultatdiskussion Undersökningen i denna rapport gällande skriftliga metoder visar att eleverna i årskurs 2 är mer flexibla i sina metodval än eleverna i årskurs 3, både på grupp och individnivå. Flexibiliteten för eleverna i årskurs 3 är lägre än i Torbeyns och Verschaffels (2016) undersökning med nioåriga elever som visade att hälften valde standardalgoritm i samtliga uppgifter medan övriga valde mellan flera metoder. Motsvarande siffra i min studie är runt 80 % för eleverna i årskurs 3 och precis som i Torbeyns och Verschaffels (2016) undersökning väljer flertalet av dessa elever standardalgoritm för skriftlig beräkning. I kunskapskraven för årskurs 3 står att eleven ska kunna välja skriftliga subtraktionsmetoder och utföra beräkningar i talområdet Dessutom ska elevernas val av beräkningsmetoder anpassas efter sammanhanget (Skolverket, 2019). Detta kan tolkas som att eleverna ska behärska flera metoder för att kunna välja en lämplig metod efter situation (Larsson, 2012). Eftersom Skolverket inte gör någon skillnad på beräkningsmetoder och strategier (Larsson, 2012) inkluderas även beräkningsstrategierna i denna diskussion. I min undersökning har de underliggande strategierna undersökts för de som valt skriftlig huvudräkning. I mer än 80 % av uppgifterna användes talsortsvis beräkning vilket inte heller tyder på någon större variation i strategival. Variationen var även här något högre för årskurs 2 och skulle kunna förklaras av att fler elever väljer skriftlig huvudräkning från början, vilket möjliggör större variation. Betyder det att eleverna i årskurs 2 i denna undersökning uppnår kunskapskravet i större utsträckning än eleverna i årskurs 3 gällande val av olika metoder? Så enkelt är det inte eftersom eleven även ska kunna genomföra beräkningen korrekt samt välja en metod anpassad till uppgiften. Men frågan är ändå försvarbar, vad gör att eleverna blir mindre flexibla i sitt metodval? Att många elever i lägre åldrar väljer samma beräkningsstrategi utan att anpassa den efter uppgiften har även synts i andra studier där val av strategi har kopplats till undervisningen (Beishuizen, 1993; Heinze et al., 2009). Genom att jämföra olika klassers metod och strategival i min undersökning kan också slutsatsen dras att undervisningen påverkar valet. I matematik spelar vanligtvis läromedel en stor roll. Detta gör det värt att notera att alla klasser i studien använder samma läromedel som grund, Favorit matematik. I årskurs 3 sker en markant ökning av elever som väljer standardalgoritm på bekostnad av skriftlig huvudräkning och rita. Detta skulle kunna bero på att undervisningen har intensifierats för standardalgoritm under årskurs 3 på dessa skolor. Det stämmer väl med tidigare internationell forskning som visar att eleverna tar till sig standardalgoritmer, som när de fått fäste tränger ut andra beräkningsmetoder (Fischer et al., 2019). Även Norton (2012) upptäckte i sin undersökning att alternativa metoder som skriftlig huvudräkning och rita var vanligare för yngre elever. Dock sågs i Nortons (2012) studie att även elever i årskurs 6 och 7 använde rita som metod. Det var inget alternativ som eleverna i årskurs 3 valde i min undersökning när de visade hur de tänkt. Rita är dock en metod som lämpar sig för lägre tal, vilket till viss del förklarar att metoden inte är lika frekvent hos äldre elever. Vad är det som gör att undervisningen i standardalgoritmer intensifieras?

40 34 Elevernas undervisning i standardalgoritmer kan bero på att metoden anses effektiv, både snabb och med fler korrekta resultat än huvudräkningsstrategier såsom talsortsvis beräkning (Bentley & Bentley, 2016; Torbeyns & Verschaffels, 2016). Talsortvis beräkning anses också mindre effektiv än stegvis beräkning (Beishuizen, 1993; Foxman & Beishuizen, 2002) som vid subtraktion som kräver växling visat liknande felfrekvens som standardalgoritm (Skolverket, 2008). I min undersökning där eleverna valt metod fritt för varje beräkning kan inte effektiviteten för olika metoder bestämmas eftersom alla elever inte använder samma metod. Metodval och därmed effektivitet har tidigare visats bero av elevernas aritmetiska kunnande (Fischer et al., 2019). Detta innebär att om en metods effektivitet ska undersökas bör eleverna styras till ett specifikt metodval så att elever med olika matematiska förmågor inkluderas i effektivitetsmätningen. Detta har inte gjorts i min studie men var inte heller syftet med undersökningen. Med vetskap om standardalgoritmers effektivitet genom tidigare studier är det inte konstigt att undervisningen gällande standardalgoritm ökar i årskurs 3 då det nationella provet inkluderar skriftlig addition och subtraktion. Den dominans av standardalgoritm som sågs hos eleverna i årskurs 3 i denna undersökning är intressant att relatera till diskussionen om hur standardalgoritmer påverkar taluppfattningen (Fischer et al., 2019; Heiberg-Solem et al., 2011; Nygren & Persson, 2006). En förklaring som förts fram gällande varför taluppfattningen inte utvecklas på samma sätt med standardalgoritmer är att eleverna gör beräkningar med talens minsta delar (Fischer et al., 2019). Detta innebär att vid beräkningar som inte kräver växling inriktar sig elever på att räkna med ensiffriga tal, vilket inte utvecklar deras förståelse av flersiffriga tals relationer till varandra. Men detta är trots allt inte bara förknippat med standardalgoritm utan även ensiffrig talsortsvis beräkning som flera elever i min studie använder som strategi vid huvudräkning och skriftlig huvudräkning. Engvall (2013) beskriver att de elever som räknar ensiffrigt har mer fokus på proceduren än talförståelsen, vilket gör det svårt att förstå innebörden av växling bland annat för att ensiffriga tal inte går att växla. Ett exempel från min undersökning är då eleven räknar en subtraktionsuppgift med växling både med standardalgoritm och talsortsvis beräkning. Vid den första lösningen med standardalgoritm har eleven lärt sig att det inte går att subtrahera när ett lägre tal (ett) står ovanför ett högre tal (åtta). Istället växlar eleven enligt den inlärda proceduren. Strax efteråt, utför eleven samma uppgift men med talsortsvis beräkning och här anser eleven att 1 8 fungerar, vilket ger felet mindre från större med felsvaret 7. Detta fel kan även göras i standardalgoritm av elever som inte nått lika långt i sin procedurkunskap. Det finns ingen enighet mellan forskare om hur olika beräkningsmetoder påverkar den matematiska förståelsen. Några forskare betonar att det snarare är undervisningen och inte metoden som avgör hur eleverna förstår matematik (Engvall, 2013; Löwing & Kilborn, 2003). Att undervisningen påverkar hur elever förstår subtraktion och vilka beräkningsmetoder och strategier de föredrar ses även i min undersökning. Det ses tydligt genom att jämföra metodval och feltyper mellan klasser. På det sättet syns elevers olika förståelse på gruppnivå. Exempelvis syns stor skillnad mellan de båda klasserna i årskurs 2 på skola A både gällande val av metod och förekomst av felet mindre från större. Mindre från större var det vanligaste felet i undersökningen och betraktas även som ett vanligt fel som följer elever upp i åldrarna och orsakas av en övergeneralisering att vid subtraktion ta det största talet först. Detta uttryck kan även bli problem vid beräkning med negativa tal senare (Beishuizen, 1993, Bentley & Bentley, 2016 Brumfield och Moores, 1985; Cox, 1975; Larsson, 2012, Norton, 2012). På subtraktionsuppgifter med växling i min undersökning stod detta fel för en tredjedel av felen även om det varierade stort mellan klasserna. För ett generellt fel som detta, som uppkommer i hög frekvens i olika studier och även hos elever i högre åldrar, är det

41 35 intressant att en av klasserna i årskurs två hade väldigt låg andel av denna feltyp. Detta tyder på att det går att påverka genom undervisning. Ett annat vanligt misstag eller kanske snarare felaktigt uttryckssätt av eleverna i denna undersökning är vad Skolverket (2008) kallar omkastad subtraktion. Det innebär att elever byter plats på minuend och subtrahend, vilket betyder att 7 5 skrivs eller presenteras muntligt som 5 7. Eftersom detta uttryckssätt inte alltid leder till felaktiga svar uppmärksammas det endast vid skriftlig huvudräkning eller då eleverna får berätta hur de tänkt. Orsaken skulle kunna vara att elever slarvar när de uttrycker sig eftersom skillnaden mellan fem och sju alltid är två och därmed kan det antas att den kommutativa lagen gäller även för subtraktion. Det faktum att vissa elever i min studie uttrycker subtraktion som att de tar bort 5 från 7 och sedan skriver uttrycket i läsriktningen gör att subtrahenden kommer först, 5 7. Att eleverna har detta uttryckssätt alternativt förståelse att kommutativa lagen gäller skulle kunna hänga ihop med felet mindre från större. Först när de utför subtraktion med växling får det betydelse i praktiken. Att eleven i studien kunde lösa standardalgoritm trots att eleven använde omkastad subtraktion och räknade mindre från större i talsortsvis beräkning kan antas bero på en fungerande procedurmässig kunskap gällande standardalgoritm. Däremot är förståelsen för växling och subtraktion möjligen bristfällig. Om elever har denna förståelse för subtraktion är det kanske inte konstigt att talsortsvis beräkning utan växling är lockande trots att uppgiften kräver växling. Eleven slipper den komplicerade växlingen i standardalgoritm. Det känns lättare men leder till felaktig beräkning med mindre från större till följd. Tidigare studier har också visat att elever med sämre aritmetiskt förmåga gärna väljer talsortvis beräkning (Foxman & Beishuizen, 2002), vilket skulle kunna stödja detta antagande. Om antagandet är att eleverna inte väljer att utföra en växling de inte förstår finns ytterligare ett exempel. Här är det elever, i klassen där felet mindre från större är mindre förekommande, som avbryter om de inte klarar sin växlingsberäkningen och säger i intervjun det går inte. Ovanstående fel kan kategoriseras till vad Cox (1975) kallar systematiska misstag, vilka återkommer hos elever eller inom en klass. Feltyper som någon enstaka elev gör kallas individuella misstag och beror på enskilda missuppfattningar. I min undersökning var det tydligt att felet subtrahera allt tillhörde individuella misstag då endast en elev utförde det konsekvent på alla uppgifter. Om många i en klass gör samma misstag kallas de strukturella fel och beror på något i undervisningen (Bentley & Bentley, 2011). I min studie kan de misstag som diskuterats tidigare räknas hit eftersom de varierar stort mellan klasser. Ett annat strukturellt misstag som speciellt uppmärksammades i en klass berodde på en strategi där tresiffriga tal förenklades till tvåsiffriga tal innan beräkning. En förenkling som användes både i huvudräkning och standardalgoritm. De strukturella misstagen i denna undersökning kan sammanfattas med att undervisningen påverkar elevernas beräkningar. Å andra sidan ger undersökningen inte ett underlag som kan avgöra om undervisningen av standardsalgoritm påverkar den matematiska förståelsen. De uppgifter som var tänkta att ge en koppling till vissa delar av taluppfattningen kunde inte relateras till resultaten, vilket diskuteras vidare under avsnitt 4.2. Istället visar resultaten att standardalgoritm dominerar metodvalet för eleverna i årskurs 3. Detta har tidigare forskning visat är en effekt av undervisning (Fischer et al., 2019). Undervisningen av standardalgoritmer skulle därför kunna påverka elevens möjlighet att uppnå kunskapsmålet i läroplanen; att välja skriftliga metoder. Som antagits ovan skulle det nationella provet kunna vara en orsak till att lärarna inriktar undervisningen på standardalgoritmer. Om det stämmer skulle det nationella provet indirekt påverka möjligheten för elever att uppnå läroplanens mål om att välja olika metoder. Ett mål som inte är unikt för Sverige (Norton, 2012; Torbeyns et al., 2016). Däremot

42 36 är det inte säkert att undervisning av standardalgoritmer i sig är orsaken till att elever i årskurs 3 ensidigt väljer standardalgoritm vid uppgifter där de ska visa hur de tänkt. En annan möjlighet är att eleverna har blivit instruerade att alltid använda standardalgoritm om de ska visa hur de tänkt. En instruktion som inte är otänkbar inför nationella prov. Något som talar för detta är variationen i elevernas huvudräkningsstrategier. I dessa beräkningar anpassas strategierna efter uppgift på ett helt annat sätt. Vid beräkning av uppgifter med ensiffriga subtrahender användes uppdelning av tal och nedräkning. På tvåsiffriga tal användes talsortsvis beräkning, stegvis beräkning och mixad beräkning. Dessutom använde ett antal elever i årskurs 3 addera upp på uppgifter med små differenser. Att det finns mer variation i huvudräkningsuppgifterna visar att eleverna behärskar fler strategier/metoder än uppgifterna med skriftliga metoderna visar. Detta skulle kunna vara ett tecken på att kunskaperna döljs av en instruktion att använda standardalgoritm för att visa sina beräkningar. Men samtidigt fanns elever som använde sig av ensiffrig talsortsvis beräkning med start i entalen. Dessa elever beskrev sin strategi som en uppställning i huvudet, vilket gör att strategin helt uppenbart är knuten till standardalgoritm och undervisning av denna. Med tidigare studier i åtanke där standardalgoritmer trängt ut andra metoder (Fischer et al., 2019; Norton, 2012) kan det vara ett bra koncept att ge plats för huvudräkning och huvudräkningsstrategier i sin undervisning. Genom att låta eleverna redovisa huvudräkningsstrategier för varandra är steget litet till att visa mellansteg och därmed använda sig av skriftlig huvudräkning för att åskådliggöra tänkandet. Genom redovisning av beräkningsstrategier för varandra utvecklar elever även tre andra matematiska förmågorna i läroplanen; begreppsförmågan, kommunikationsförmågan och resonemangsförmågan (Skolverket, 2019). 4.2 Tillförlitlighet Syften med studien är att undersöka elevers subtraktionsberäkningar. För att ta reda på hur detta förhåller sig utgick metoden från källan, det vill säga elever. Eleverna fick i skriftliga test och intervjuer beskriva sina beräkningar. Detta synliggjorde både vilka beräkningsmetoder de använder och olika feltyper som är vanliga i den testade elevgruppen. En viss skevhet i jämförelsen mellan skolor finns på grund av att färre klasser och därmed färre elever deltog från skola B. Därför har jämförelserna gjorts mellan årskurser och klasser men inte skolor. Resultatet både gällande val av metod och feltyp varierar mellan klasser. Bentley och Bentley (2011) beskriver att strukturella fel påverkas av antingen undervisning eller läromedlet. Eftersom alla klasser i studien använde samma läromedel kan slutsatsen dras att variationen mellan dessa klasser beror av undervisningen. Detta innebär att för att dra en generell slutsats om elever i årskurs 2 och 3 behöver studien utökas med fler klasser. I årskurs 3 skulle det kunna tänkas att mättnad uppnåtts i analysen gällande dominans av standardalgoritm. Men här kan läromedel spela roll vilket gör att den slutsatsen inte kan dras enbart av denna undersökning. Urvalet av skolor utgick från att jag som intervjuare hade kännedom om den miljö som eleverna befann sig i. Detta är något som enligt Doverborg och Pramling Samuelsson (2012) ökar möjligheten att förstå elever. För att öka elevernas tryggheten i intervjun tillbringades minst en dag i varje klass med syfte att öka elevernas vilja att dela med sig, vilket i sin tur ökar sannolikheten att förstå elevernas beräkningar. Det skriftliga testet utformades i första hand för undersökningen men det går inte att undvika att fundera över om lärarnas val av att använda testet som diagnos påverkade dess utformning. Även om lärarna inte deltog i utvecklingen av testet kan det tänkas att indirekt hänsyn togs för

43 37 att visa var eleverna var i sin subtraktionsutveckling på flera olika sätt. Oavsett, inkluderade det skriftliga testet många uppgifter. Fördelen med många uppgifter är att undersökningen får en bredd i metoder och strategier men samtidigt kan eleverna bli uttröttade av ett långt test. Detta kan i sin tur orsaka fler slarvfel på slutet av testet alternativt att eleven ger upp. Dock har två uppgifter utan växling, 6c och 9a, samma lösningsfrekvens för årskurs 3 och eleverna i årskurs 2 löste textuppgifterna, som låg sist, med låg felfrekvens. Detta tillsammans motsäger att eleverna som grupp blev uttröttade. Testet utformades först för elever i årskurs 3 och modifierades senare till årskurs 2. För att kunna jämföra mellan årskurser behölls så många uppgifter som möjligt. Detta gjorde att flera uppgifter lämnades obesvarade av elever i årskurs 2 än i årskurs 3. De slutsatser som har dragits gällande jämförelse mellan årskurs 2 och 3 är dock giltiga eftersom årskurs 2 visar på mer variation i sina metoder trots färre ifyllda uppgifter. En annan nackdel med många uppgifter i det skriftliga testet är att inte alla uppgifter kunde täckas i analysen och inte heller under intervjun. Vid intervjun valdes uppgifter ut för varje elev baserat på metod och strategival samt felsvar i det skriftliga testet. Detta gjorde att alla elever inte fick samma uppgifter, vilket i sin tur medför att endast kvalitativa slutsatser kunde dras. Detta behöver inte vara en nackdel då en bredd av metoder, strategier och feltyper eftersöktes i undersökningen. I forskningslitteratur diskuteras om grundläggande taluppfattning kan påverkas av vilka beräkningsmetoder eleverna undervisas i och använder. Av den anledningen fick uppgift 1-3 inleda det skriftliga testet för att möjliggöra kopplingar från metod och feltyper till elevernas eventuella brister i taluppfattning. Ett syfte som inte uppnåddes. Många elever hade problem med växling som enligt Skolverket (2008) kan kopplas till problem med förståelse av platsvärdet. En förståelse som var tänkt att testas med uppgift 3. Men inget samband kunde ses vilket gör att slutsatsen är att uppgiften inte var konstruerad för ändamålet. Kanske skulle uppgiften från McIntosh (2008) som ansågs svår av pilotstudieeleverna använts istället. Svårigheten var att uppgiften tog tid att sätta sig in i. Anledningen var möjligtvis att uppgiften krävde förståelse av platsvärde för att förstå vad som efterfrågades. Om detta stämmer skulle den uppgiftens resultat kanske gått att koppla till övriga resultat. Även om inte det skriftliga testet gav svaret på taluppfattningen som sådan synliggjorde elevernas muntliga förklaringar matematisk förståelse och missförstånd, exempelvis förståelsen av hur nollan hanteras i subtraktion eller förståelse av växling. Under intervjun fick eleverna lösa utvalda uppgift från det skriftliga testet på nytt. Detta blir ett slags mått på hur konsekventa eleverna är i sina metodval. Det möjliggjorde också att det gick att följa en elevs resonemang från början till slut i beräkningen. Ett dilemma var att intervjun inte kunde förklara vissa fel som uppkom under det skriftliga testet då de inte upprepades. Samtidigt kan felet vara ett så kallat slarvfel som inte ska överanalyseras (Skolverket, 2008). En alternativ förklaring som gäller framförallt fel i standardalgoritm var att eleverna i årskurs 3 vid skola A fick undervisning i standardalgoritm mellan intervjudagarna. Detta innebar att vissa elever repeterade växling och av den orsaken minskade dessa fel under intervjun. Ett alternativt tillvägagångssätt under intervjun är att elever får se och kommentera lösningen från det skriftliga testet. Detta skulle kunna ge förklaringar även på fel som vid nuvarande upplägg försvann, men risken finns att elever i lägre åldrar fokuserar på det de ser och inte på hur de tänkte.

44 Fortsatt forskning Undersökningen kan ses som en fallstudie och behöver utökas till fler skolor eller kompletteras med andra studier för att få en generell bild av vilka beräkningsmetoder och beräkningsstrategier eleverna i årskurs 2 och 3 väljer. På grund av diskussionen gällande standardalgoritmers eventuella bortträngande av andra beräkningsmetoder och strategier ligger det nära till hands att undersöka hur undervisningen påverkar elevernas metodval på kort och långsikt. I anslutning till det material som redan samlats in skulle kompletterande lärarintervjuer kunna klargöra vilken undervisningsbakgrund eleverna har. I detta ingår bland annat att undersöka vilka metoder läraren undervisat i och hur undervisningen genomförts samt vilka råd och instruktioner som eleverna i årskurs 3 fått inför de nationella proven. När frågor som dessa radas upp förstås att det är många bakomliggande faktorer som i slutändan påverkar elevernas metod och strategival. Detta ökar i sin tur skälet att kalla den rapporterade undersökningen för en fallstudie. Gällande den vanliga feltypen mindre från större och dess koppling till omkastad subtraktion skulle möjligen en fördjupad analys av materialet tydliggöra kopplingen mellan dessa feltyper. Men mer intressant är att förstå vad lärare kan göra för att ge elever en matematisk förståelse som gör att dessa typer av fel reduceras. Utan att ta ställning till om undervisning i standardalgoritm påverkar elevers taluppfattning skulle det vara intressant att undersöka vad som händer om standardalgoritm introduceras senare än idag då talfakta är memorerade och förståelsen för platsvärde har fördjupats samt att eleverna kan göra rimlighetsbedömningar. Skulle samma typ av algoritmfel uppkomma och skulle fler elever behålla och utveckla sin flexibilitet i metod och strategival? 4.4 Slutsats Syftet med studien var att öka förståelsen för elevers subtraktionsberäkningar gällande val av metoder och strategier samt att undersöka de problem som eleverna möter vid subtraktion. Det är tydligt att hur eleverna utför och redovisar subtraktionsberäkningar är beroende av undervisningen, vilket blir synligt genom att jämföra olika klasser och årskurser. Detta innebär att de valda metoderna och strategierna samt feltyper som uppkommer i denna undersökning är kopplade till dessa skolor och klasser. Men en viss generalisering kan göras med hjälp av tidigare studier. Undervisning av standardalgoritmer har en tendens att tränga ut andra beräkningsmetoder, vilket gör att elevers flexibilitet i att välja metoder och strategier minskar. Elever i lägre åldrar väljer i första hand talsortsvis och stegvis beräkning i skriftlig huvudräkning och huvudräkning. Generella systematiska fel som mindre från större och ± 1-felet är en större andel fel än metodspecifika systematiska fel. En annan preliminär slutsats är att mindre från större som ofta är en övergeneralisering av att minuenden är det största talet i subtraktion även kan hänga ihop med omkastad subtraktion. I omkastad subtraktion byter eleverna plats på minuend och subtrahend när de uttrycker sig muntligt och skriftligt. Ett tillvägagångssätt som inte spelat någon roll förrän eleven når subtraktion som kräver växling. Det är dessutom ett förfarande som endast upptäcks om eleverna får beskriva sina steg i huvudräkning antingen muntligt eller skriftligt.

45 39 REFERENSER Beentjes, J. W. J. & Jonker V. H. (1987). Inconsistency in Addition and Subtraction Strategies. The Journal of Experimental Education, 56(1), 4-7. DOI: / Beishuizen, M. (1993). Mental Strategies and Materials or Models for Addition and Subtraction Up to 100 in Dutch Second Grades. In Journal for Research in Mathematics Education (Vol. 24, Issue 4, pp ). Bentley, P-O & Bentley, C. (2011). Det beror på hur man räknar matematik didaktik för grundlärare. Stockholm:Liber Bentley, P.O. & Bentley, C. (2016). Milstolpar och fallgropar i matematikinlärningen: matematikdidaktisk teori om misstag, orsaker och åtgärder. (1. uppl.) Stockholm: Liber. Brumfield, R. D. & Moore, D. M. (1985). Problems with the Basic Facts May Not Be the Problem. The Arithmetic Teacher, 33(3), Bryman, A. (2011). Samhällsvetenskapliga metoder. (2. uppl.) Malmö: Liber. Cox, L. S. (1975). Systematic errors in the four vertical algorithms in normal and handicapped populations. Journal for Research in Mathematics Education, 6(4), Denscombe, M. (2017). Forskningshandboken: för småskaliga forskningsprojekt inom samhällsvetenskaperna. Översättning Per Larson (Fjärde upplagan). Lund: Studentlitteratur. Doverborg, E. & Pramling Samuelsson, I. (2012). Att förstå barns tankar kommunikationens betydelse. (4. uppl). Stockholm: Liber. Engvall, M. (2013). Handlingar i matematikklassrummet: en studie av undervisningsverksamheter på lågstadiet då räknemetoder för addition och subtraktion är i fokus. (Doktorsavhandling, Linköpings universitet, Linköping) Hämtad Etikprövningslagen (SFS 2003:460) Lag om etikprövning av forskning som avser människor. Fischer, J., Vilette, B., Joffredo-Lebrun, S., Morellato, M., Le Normands, C, Scheibling- Seves, C. & Richards, J-F. (2019) Should we continue to teach standard written algorithms for the arithmetical operations? The example of subtraction. Educ Stud Math 101, Foxman, D., & Beishuizen, M. (2002). Mental Calculation Methods Used by 11-Year-Olds in Different Attainment Bands: A Reanalysis of Data from the 1987 APU Survey in the UK. Educational Studies in Mathematics, 51(1 2),

46 40 Fuson, K. C., Wearne, D., Hiebert, J. C., Murray, H. G., Human, P. G., Olivier, A. I., Carpenter, T. P., & Fennema, E., (1997). Children s conceptual structures for multidigit numbers and methods of multidigit addition and subtraction. Journal for Research in Mathematics Education, 28(2), Heiberg-Solem, I., Alseth, B. & Nordberg, G. (2011) Tal och tanke - matematikundervisning från förskoleklass till årskurs 3, (I. Lindelöf övers., 1 uppl.), Lund: Studentlitteratur. (Originalarbetet publiserat 2010) Heinze, A., Marschick, F., & Lipowsky, F. (2009). Addition and subtraction of three-digit numbers: adaptive strategy use and the influence of instruction in German third grade. ZDM, 5, Heinze, A., Arend, J., Gruessing, M. & Lipowsky, F. (2018) Instructional approaches to foster third graders adaptive use of strategies: an experimental study on the effects of two learning environments on multi-digit addition and subtraction. Instr Sci 46, Johansson, B. & Wirth, M. (2011). Så erövrar barnen matematiken: talradsmetoden ger nya möjligheter. (2. uppl.) Uppsala: Kunskapsföretaget. Kvale, S. & Brinkmann, S. (2014). Den kvalitativa forskningsintervjun. (3. [rev.] uppl.) Lund: Studentlitteratur. Larsen, A.K. (2018). Metod helt enkelt: en introduktion till samhällsvetenskaplig metod. (Andra upplagan). Malmö: Gleerups. Larsson, K. (2011) Subtraktion. Nämnaren 2011:4, s Göteborg: NCM. Larsson, K. (2012) Subtraktionsberäkningar. Nämnaren 2012:1, s Göteborg: NCM. Löwing, M. (2008). Grundläggande aritmetik matematik didaktik för lärare. Lund: Studentlitteratur. Löwing, M. & Kilborn, W. (2003). Huvudräkning En inkörsport till matematiken. Lund: Studentlitteratur. Malmer Gudrun (2002). Bra matematik för alla Nödvändig för elever med inlärningssvårigheter. Lund: Studentlitteratur. McIntosh, A. (2008). Förstå och använda tal en handbok. Göteborg: NCM. Norton, S. (2012). The use of alternative algorithms in whole number computation. International Journal of Mathematics Teaching and Learning. (October 26: 2012; pp. 2-16). Hämtad 14 april 2020 från s_in_whole_number_computation

47 41 Nygren, E. & Persson, H. (2006) Skriftlig huvudräkning en vågrät algoritm? Nämnaren 2006:3, s Göteborg: NCM. Primgruppen (2019) Tidigare nationella prov i matematik för årskurs 3. Hämtad från Rockström, B. (2012) Skriftlig huvudräkning framsteg eller katastrof? Nämnaren 2012:1, s Göteborg: NCM. Shaw R. A. & Pelosi, P.A. (1983). In Search of Computational Errors. The Arithmetic Teacher, 30(7), Skolverket (2008). Svenska elevers matematikkunskaper i TIMSS 2007: en djupanalys av hur eleverna förstår centrala matematiska begrepp och tillämpar beräkningsprocedurer. Stockholm: Skolverket. Skolverket (2016) Betyg och provresultat, del 3 Riksnivå. Sveriges officiella statistik om förskola, annan pedagogisk verksamhet, fritidshem, skola och vuxenutbildning. (Rapport 445) Hämtad från Skolverket (2017a). Kommentarmaterial till kursplanen i matematik. (Rev. 2017) Stockholm: Skolverket. Skolverket (2017b) Betyg och provresultat, del 3 Riksnivå. Sveriges officiella statistik om förskola, annan pedagogisk verksamhet, fritidshem, skola och vuxenutbildning. (Rapport 458) Hämtad från Skolverket (2019) Läroplan för grundskolan, förskoleklassen och fritidshemmet Reviderad Stockholm: Skolverket. Son, J-W. (2016) Moving beyond a traditional algorithm in whole number subtraction: Preservice teachers responses to a student s invented strategy. Educ Stud Math, 93, Thompson, I. (2007). Deconstructing Calculation Methods Part 2: Subtraction. Mathematics Teaching Incorporating Micromath, 204, 6 8. Torbeyns, J., De Smedt, B., Stassens, N., Ghesquière, P. & Verschaffel, L. (2009) Solving Subtraction Problems by Means of Indirect Addition, Mathematical Thinking and Learning, 11:1-2, 79-91, DOI: / Torbeyns, J., Peters, G., De Smedt, B., Ghesquière, P., & Verschaffel, L. (2016). Children s understanding of the addition/subtraction complement principle. British Journal of Educational Psychology, 86(3), Torbeyns, J. & Verschaffel, L. (2016). Mental computation or standard algorithm? Children s strategy choices on multi-digit subtractions. European Journal of Psychology of Education, 31(2), 99.

48 42 Vetenskapsrådet (2017). God forskningssed. Stockholm: Vetenskapsrådet. Hämtad 22 jan 2020 från Watson, I. (1980). Investigating Errors of Beginning Mathematicians. Educational Studies in Mathematics, 11(3), BILAGOR Bilaga 1. Informationsbrev och samtyckesbrev. Bilaga 2. Skriftligt test för årskurs 3 Bilaga 3. Skriftligt test för årskurs 2 Bilaga 4. Instruktioner inför skriftliga test. Bilaga 5. Gemensam intervjuguiden Bilaga 6. Individuell intervjuguide med anteckningar

49 43 Informationsbrev och samtyckesbrev

50 44

51 45 Skriftligt test för årskurs 3.

52 46

53 47

54 48 Skriftligt test för årskurs 2.

55 49

56 50 Instruktioner inför skriftligt test Instruktioner inför skriftlig test - Arbeta enskilt för sin egen och kompisarnas skull. - Klar: Lägga provet år sidan och börja läs i bänkbok. - Hjälpmedel: Penna och sudd - Dina tankar är viktiga: Försök på alla uppgifter men hoppa över och gå vidare om du inte kan. - Fyll i namnlapp på första sidan - Sidan 1 visas - fylls i efter instruktion. - Sidan 2 visas - välj huvudräkning, räcker med svar eller skriftlig metod, skriver bredvid uppgiften som du skulle göra på ett kladdpapper. - Sidan 4 visas - i de blå rutorna ska de visa hur man tänk när man räknar. Räcker alltså inte med ett svar. Men du väljer hur du vill visa.

57 51 Intervjuguide Gemensam intervjuguide Information till deltagaren innan intervjun startar Syftet med intervjun Upplägg o allmänna frågor o uppgifter från testet Informera om deltagarvillkoret o frivilligt och avbryta när som helst o Deltagandet är anonymt Fråga om deltagande. Inspelning o Syfte o Vad händer med inspelningen Fråga deltagaren om du får spela in. Funderar du på något innan vi börjar? Sätt igång diktafonen! Allmänna Intervjufrågor - förslag o Skulle du kunna beskriva för mig vad subtraktion är o Vad tycker du om subtraktion? o Hur kändes det att göra det skriftliga testet? o Vilken metod använder du helst för att visa hur du tänkt? o Har du någon metod eller knep när du räknar i huvudet? Intervjufrågor till skriftliga testet olika för olika elever. Ytterligare frågor o Kan du berätta för mig när du gör en uppställning? o När är en uppställning bra? o När är en uppställning mindre bra? o Finns det andra sätt att visa hur man tänkt? Avslutning Finns det något som du skulle vilja tillägga i intervjun? Stoppa bandet! Ett stort tack för att du har hjälpt mig med intervjun.

58 52 Enskild intervjuguide Exempel på enskild intervjuguide där uppgifter som ska undersökas vidare tillsammans anges i vänstra kolumnen tillsammans med svar från det skriftliga testet. I högra kolumnens gös anteckningar under intervjun.