Matematik utan bundenhet till läromedel

Transkript

1 Maria Thunholm och Annika Bergehed Matematik utan bundenhet till läromedel Ett förändrat arbetssätt i matematik på Folkparksskolan Rapport till Gudrun Malmers stiftelse

2 INNEHÅLLSFÖRTECKNING BAKGRUND 2 Varför har vi förändrat matematiken på Folkparksskolan? 2 Det här grundar vi vår matematik på 5 Vi baserar detta på följande litteratur 5 METOD 7 Problemlösning 7 Öppna frågor 8 Uppdrag 10 Större problemområden 11 Exempel på No/So integrerad matematik 12 Utveckla strategier 15 Bakvänd matematik 16 RESULTAT 17 DISKUSSION 20 REFERENSER 22 BILAGOR Tankeverkstad Bilaga 1 Grund för lärande Bilaga 2 Uppdrag Linköpings badhus Bilaga 3 Mobiltelefonabonnemang Bilaga 4 Sverigematte Bilaga 5 Bakvänd matematik - arbete med talet 24 Bilaga 6 Bakvänd matematik Facit Bilaga 7 Dokumentation Subtraktion Bilaga 8 2

3 BAKGRUND Varför har vi förändrat matematiken på Folkparksskolan? Vi har arbetat med matematik på vår skola relativt många år och vi har redan tidigare diskuterat mycket kring undervisningen. Den matematikundervisning som vi bedrev var vi ganska nöjda med. Vi arbetade mycket laborativt, speciellt det första året då vi arbetade helt utan mattebok. Under år 2 och 3 arbetade vi med Rockströms böcker eftersom vi beslutat att inte arbeta med algoritmuppställningar utan istället med skriftlig huvudräkning. Vi arbetade också en del med problemlösning och laborativt arbete vid sidan om. Varför valde vi då att förändra vår matematikundervisning så radikalt? Jo, vår skola som tidigare var en F-3 skola ändrades och blev i stället en F-5 skola. Det som hände då var att vi fick fortsätta att arbeta med barnen och det blev tydligt för oss att det var alldeles för många barn som saknade förståelse för de matematiska begreppen, positionssystemet, symbolspråket och hade en alldeles för dålig taluppfattning. De hade dessutom svårt att lösa problem. Vi kunde inte skylla detta på någon annan eftersom det var vi som hade ansvarat för deras matematikundervisning. Vi blev tvungna att börja fundera över hur det kunde ha blivit så här och framförallt hur vi skulle förändra vår undervisning för att få bättre resultat. Grundskolan har till uppgift att hos eleven utveckla sådana kunskaper i matematik som behövs för att fatta välgrundade beslut i vardagslivets många valsituationer, för att kunna tolka och använda det ökade flödet av information och för att kunna följa och delta i beslutsprocesser i samhället. Utbildningen syftar till att utveckla elevers intresse för matematik och möjligheter att kommunicera med matematikens språk och uttrycksformer Utbildningen i matematik skall ge eleven möjlighet att utöva och kommunicera matematik i meningsfulla och relevanta situationer i ett aktivt och öppet sökande efter förståelse, nya insikter och lösningar på olika problem. (Ur Matematik, ämnets syfte och roll i utbildningen, Kursplaner och betygskriterier 2000) Skolan skall i sin undervisning i matematik sträva efter att eleven - utvecklar intresse för matematik samt tilltro till det egna tänkandet och den egna förmågan att lära sig matematik och att använda matematik i olika situationer, - utvecklar sin förmåga att förstå, föra och använda logiska resonemang, dra slutsatser och generalisera samt muntligt och skriftligt förklara och argumentera för sitt tänkande, - utvecklar sin förmåga att formulera, gestalta och lösa problem med hjälp av matematik, samt tolka, jämföra och värdera lösningarna i förhållande till den ursprungliga problemsituationen, - utvecklar sin förmåga att använda enkla matematiska modeller samt kritiskt granska modellernas förutsättningar, begränsningar och användning, - utvecklar sin förmåga att utnyttja miniräknarens och datorns möjligheter (Ur Matematik, mål att sträva mot, Kursplaner och betygskriterier 2000) 3

4 Eleven skall ha förvärvat sådana grundläggande kunskaper i matematik som behövs för att kunna beskriva och hantera situationer och lösa konkreta problem i elevens närmiljö. (Ur Matematik, mål som eleverna skall ha uppnått i slutet av det femte skolåret, Kursplaner och betygskriterier 2000) Språkförmågan har stor betydelse för allt arbete i skolan och för elevernas fortsatta liv och verksamhet. Det är därför ett av skolans viktigaste uppdrag att skapa goda möjligheter för elevernas språkutveckling Språket har en nyckelställning i skolarbetet. Genom språket sker kommunikation och samarbete med andra. Kunskap bildas genom språket och genom språket görs den synlig och hanterbar. (Ur Svenska, ämnets syfte och roll i utbildningen, Kursplaner och betygskriterier 2000) Under vårterminen år 2001 startade vi vårt förändringsarbete genom att läsa vad forskare och olika pedagoger skrivit om den tidiga matematikundervisning, se litteraturlistan. Vi fick då klart för oss att vi måste bygga på det språk som barnen har när de kommer till oss i skolan. De har redan ett språk och har mött mycket matematik under sina första år och det är detta som vi måste bygga vidare på. Vi får inte föra in det matematiska symbolspråket för tidigt, eftersom det är alldeles för abstrakt för barnen. Det blev också klart för oss att matematik är ett språk och för att behärska detta måste vi prata mycket. Matematik lär man sig inte genom tyst räkning utan genom att samtala barn-barn och barn-vuxna. Vi förstod också vikten av att skapa behov hos barnen av viss matematisk kunskap innan vi undervisar om detta. När det upplevs meningsfullt av barnen så kan ett lärande ske. Barnen som började 1:an höstterminen 2001 fick så en helt annan matematikundervisning som vi valde att kalla Tankeverkstad (se bilaga 1). Att vi bytte namn på ämnet var ett sätt för oss att komma ifrån förväntningarna från barn och föräldrar på sifferskrivning, + och uppgifter i en bok med svar som var rätt eller fel. Efter allt vi läst och fått insikt om så kunde vi inte fortsätta att undervisa som vanligt i de andra årskurserna. Men här kändes det mycket svårare att göra en förändring. Dels hade vi själva förstört barnen på grund av vår tidigare undervisning. Dels blir man mycket mer ifrågasatt av föräldrar om man arbetar utan matematikbok i de högre årskurserna. För föräldrarna är boken ett kvitto på att barnen har lärt sig det de ska och även ett sätt där de kan hjälpa sina barn. Det var för detta förändringsarbete vi sökte och även fick pengar ur Gudrun Malmers stipendiefond vårterminen Inför förändringsarbetet i år 3-5 ställde vi oss dessa frågor: Vi vill sluta med den tysta räkningen i matteboken, men vågar vi det? Hur ska vi ersätta detta genom kommunikation? Hur når vi alla elever även de som saknar förmåga (social kompetens) att arbeta i små diskussionsgrupper? Hur vet vi att eleverna utvecklas enskilt när de arbetar i grupp och alltså inte bara arbetar med sådant som de redan kan? Hur ska vi som lärare agera vid problemlösning för att eleverna ska utveckla en bra matematik? Hur kan vi synliggöra lärandet för elever och föräldrar? Varför är lusten att lära matematik så stor i år 1, medan eleverna upplever det tråkigt i år 5? 4

5 Det här grundar vi vår matematik på På vår skola anser vi alla att barn lär i samspel med andra barn och i samspel med vuxna därför ska matematiken bygga på kommunikation mellan barn istället för individuellt arbete. (se bilaga 2) Vi vill inte att de ska lära sig för vår skull, utan för sin egen. Därför ska vi försöka att skapa behov hos dem att vilja lära sig nya saker. Matematiken på Folkparksskolan ska vara meningsfull och inspirerande för eleverna. Vi försöker att välja uppgifter som berör. Vi vill att alla elever ska behålla lusten att lära matematik och behålla sin kreativitet. För att lyckas med detta nivågrupperar vi barnen för att kunna inspirera dem på sin egen nivå. Vi arbetar utifrån öppna frågor där det inte bara finns ett rätt svar. Det gör vi för att alla elever ska kunna lyckas, vi ska fokusera på vägen till svaret (processen) istället för på svaret (produkten). Vi vill visa eleverna var matematiken finns i vår vardag genom att använda så vardagsnära problem som möjligt och integrera matematiken i andra ämnen. Vi ska ge eleverna en matematisk förståelse istället för mekanisk kunskap genom att vänta med att införa abstrakta symboler för tidigt i år 1 och 2 och att vidare fokusera på problemlösning istället för enskild mekanisk räkning. Vi baserar detta på följande litteratur Vi vill sluta med den tysta räkningen i matteboken, men vågar vi det? Hur ska vi ersätta detta genom kommunikation? I Matematik ett kommunikationsämne, Nämnaren Tema i kapitlet arbetsformer och arbetssätt finns en artikel där Ulla Runesson diskuterar vad vi menar med att gå vidare i ett läromedel: om vi avser något annat, nämligen att det handlar om att utveckla, förändra och förädla sitt tänkande, att pröva begränsningar och möjligheter i matematiska modeller, att kunna se mönster och samband, att kunna generalisera osv, är det inte säkert att en elev har uppnått detta bara för att hon i åk 5 har räknat ut matteboken för åk 7. I dag är vi stärkta i vår tro på att framtidens sätt att arbeta med matematik är genom kommunikation. I en artikel i Pedagogiska magasinet nr skriver Torsten Madsen om huruvida enskilt arbete och individuell planering stämmer överens med de senaste årtiondenas forskning: Allt starkare understryks att samspelet i små grupper är avgörande för elevernas förståelse och att en aktiv och lyhörd lärare är helt avgörande för skolans resultat Utan ett äkta engagemang i innehållet kommer annars eleverna att lösa uppgifter i stället för att lära sig 5

6 Så fort en grupp på allvar engagerar sig i centrala problem uppvisar eleverna många olika föreställningar, något som hjälper den enskilde att urskilja ett mera fruktbart perspektiv än det han ursprungligen hade med sig (Ur Återupprätta läraren, Torsten Madsen, Pedagogiska magasinet nr ) All undervisning och allt lärande innebär innerst inne en uppbyggnad och en utveckling av elevens språk, och det är när kunskapsinhämtande och språklig träning får stödja varandra på kunskapsfält efter kunskapsfält, på intresseområde efter intresseområde, som elevers mest positiva utveckling i olika avseenden kan väntas. (Ur Matematik ett kommunikationsämne, Nämnaren Tema, Bengt Bratt) Hur når vi alla elever även de som saknar förmåga (social kompetens) att arbeta i små diskussionsgrupper? Ulla Runesson beskriver hur hon kan se en stor utvecklingspotential i heterogena klasser som är åldersblandade när de arbetar med matematik i artikeln Olikheter i klassen - tillgång eller problem? (Ur matematik ett kommunikationsämne, Nämnaren Tema) Hur ska vi som lärare agera vid problemlösning för att eleverna ska utveckla en bra matematik? Lärare måste ha en speciell planmässighet för att kunna undervisa om detta innehåll. En lärare som inte är medveten om fruktbara arbetssätt att undervisa kring problemlösning hemfaller ofta åt allmänna förmaningar att försöka bättre när eleverna behöver hjälp att utveckla sitt tänkande: - Läs problemet en gång till! Använd huvudet! Tänk efter igen! Lärarkommentarer som dessa kan få elever att anstränga sig men är till liten hjälp för elever som verkligen behöver stöd. I själva verket kan mycket få elever bli framgångsrika problemlösare utan lärares hjälp. Den enskilda, mest utmanande uppgiften för läraren är att besluta vilken typ av handledning som ska ges och när den ska ges. Läraren måste spela en aktiv roll i klassrummet, genom att observera, fråga och om nödvändigt ge ideer. (Ur Matematik ett kommunikationsämne, Nämnaren Tema, Frank K Lester) Läraren måste kunna kartlägga hur eleverna tänker, för att sedan medvetet kunna utmana detta tänkande Vikten av att eleverna samtalar mycket kring innehållet är en viktig förklaring bakom det stigande intresset för arbete i smågrupper. Detta måste dock struktureras och styras medvetet av lärarna (Ur Återupprätta läraren, Torsten Madsen, Pedagogiska magasinet nr ) Varför är lusten att lära matematik så stor i år 1, medan eleverna upplever det tråkigt i år 5? Undervisningen måste ta sin utgångspunkt i elevernas verklighet och anpassas efter deras varierande förutsättningar. Det är speciellt viktigt att komma i kontakt med de erfarenheter eleverna redan har. Men man måste också skapa sådana inlärningstillfällen att de kan erhålla nödvändiga förutsättningar. Det är viktigt att sådana situationer görs spännande och intressanta, så att elevernas lust och nyfikenhet stimuleras. De måste öva upp sin förmåga att själva undersöka, upptäcka och uppleva. (Ur Bra matematik för alla, Gudrun Malmer) 6

7 METOD Problemlösning Vi baserar hela vår matematikundervisning på problemlösning i grupp. Detta är den problemlösningsutveckling vi försöker att arbeta utifrån: År 1: Vi arbetar med öppna problemlösningsuppgifter. Arbetet är individuellt och alla elever ska alltid redovisa för en vuxen hur de har löst sin uppgift. Målet i år 1 är att eleverna ska kunna berätta för en kompis hur han/hon har tänkt och lyssna till hur någon annan har tänkt. År 2: På hösten ska eleverna börja sitta tillsammans i par och arbeta mot samma lösning och skriva samma lösning i boken. De ska turas om att vara den som berättar för en vuxen hur de tänkt. Den vuxna måste vara tydlig på att man inte är klar förrän båda har förstått. Det är viktigt att de två elever som ska arbeta tillsammans är på samma nivå och att man arbetar tillsammans en längre tid. Målet i år 2 är att eleverna ska kunna ta del av andras idéer och kunna komma till en gemensam lösning. År 3: Nu börjar vi prova varandras strategier när det gäller att lösa uppgifter. När vi ger ett problem med text ska vi variera mellan att presentera det muntligt och skriftligt. Vi fortsätter att arbeta i par. För att visa eleverna hur man kan diskutera kring ett problem börjar vi föra diskussioner i helgrupp då några grupper varje gång får berätta inför alla hur de tänkt. De som inte redovisar inför alla redovisar för en vuxen. År 4: Vi börjar arbeta i grupper om 3. En bit in på vårterminen börjar vi med att varje grupp ska ha ett 1) språkrör. 1) Att vara språkrör innebär att man är den som för gruppens talan. Språkröret är också den som för information mellan gruppen och läraren. När man är språkrör måste man alltså kunna: Förstå vad det är gruppen inte förstår, gå och fråga läraren och sedan kunna förklara för gruppen vad läraren sa, ordentligt förstå gruppens lösning så att han/hon kan framföra den för helgrupp. 7

8 År 5: Vi inför förutom språkröret även 2) sekreterare, 3) tidshållare och 4) fokushållare. Barnen arbetar 3-4 barn i en grupp. Uppgifterna inom gruppen byts varje vecka. Målet i år 5 är att vi ska sträva mot att alla kan: -arbeta i en grupp om fyra -vara språkrör osv. -de ska nu aktivt kunna argumentera kring olika lösningar, i helgrupp och i liten grupp. (Lpo-94) Arbetsgrupperna är grunden för barnens lärande i matematik. Därför är det mycket viktigt hur de är sammansatta för att fungera bra. Vi lägger mycket tid på att hitta arbetsgrupper där eleverna fungerar socialt, kunskapsmässigt och där de känner sig trygga. Vi upplever att elever som befinner sig på ungefär samma kunskapsmässiga nivå lär sig bäst av varandra. Vi har upplevt att när nivåskillnaden är för stor så tar den ene ofta över och styr arbetet medan den andra passivt följer med. Det är också viktigt med trygghet i matteparet eller gruppen för att det ska bli ett bra arbete så därför arbetar samma barn tillsammans under en längre tid. Öppna frågor Vår matematikundervisning baserar sig på problemlösning. Vi vill att eleverna ska ta ansvar för sitt lärande och ha möjlighet att påverka förutsättningarna. Därför arbetar vi största delen av tiden med öppna frågor. Det är viktigt att alla elever ska kunna lyckas och få känna att de kan. Då vi arbetar med öppna frågor kan alla lyckas och de som behöver utmaningar kan även få detta. Det är ett sätt att individualisera. Att alla arbetar med samma problem är en förutsättning för att kunna få ett bra mattesamtal där alla är involverade. Vi arbetar med samma problem under minst en timme. De som har hittat en lösning och kan förklara hur de tänkt arbetar vidare med följdfrågor till problemet. Då har jag som lärare också möjlighet att ge olika typer av följdfrågor beroende på vilka elever det är. En del kan arbeta vidare med att hitta andra lösningar på grundproblemet, medan andra kan få utmaningar av varierande slag, men de är hela tiden kopplade till problemet. Efteråt får de presentera sina lösningar och då är de andra intresserade eftersom de också är involverade i samma problem. Här är det lärarens uppgift att synliggöra olikheterna i lösningarna och få eleverna att reflektera över detta. Utifrån problemet kan vi sedan arbeta vidare med den matematik som eleverna fått behov av då de löste problemet. Problemlösning med öppna frågor. Här är några exempel på problem vi arbetat med: 2) När man är sekreterare är man den som för gruppens anteckningar 3 Tidshållaren ser till att tiden man fått för en uppgift (kan variera mycket mellan minuter och veckor) hålls. 4) Fokushållaren är den som ser till att man pratar om det man ska och för tillbaka gruppen till ämnet om man tappar tråden. 8

9 Pantflaskor Tove tog med sig både flaskor och burkar till affären för att panta dem. Hon fick 23kr och 50öre. Vad kan hon ha pantat? Kan hon ha pantat något annat? Om hon bara hade pantat burkar, hur många burkar hade hon då haft med sig? Hon hade flaskor och burkar av alla sorter (även 60-öres) som hon pantade. Vad kan hon då ha pantat? Matköp Andreas handlar i mataffären. Han köper flera olika varor. När han kommer till kassan vet han att det han har köpt kommer att kosta ungefär 200 kr. Vad har han köpt tror ni? (Använd reklamblad då de väljer saker) Kan han ha köpt något annat? Han köpte varor för ungefär 1000, vad kan han då ha köpt? I hönsgården I hönsgården finns det tuppar, hönor, kycklingar och ägg. Det är dubbelt så många kycklingar som hönor. Det är färre tuppar än hönor. Det är hälften så många ägg som hönor. Hur många finns det av varje sort? Det var 14 hönor, 36, 112 hur många tuppar, kycklingar och ägg finns det då? Springtävling Amir är snabbast att springa runt hela banan. Sofia kommer tvåa och Anders blir trea. Vilken tid fick barnen? Hur mycket snabbare var Amir än Sofia och Anders? Sofias tid var 23minuter och 35 sekunder. Vad kan de andra ha fått för tid? 1:an fick vänta 3 minuter och 28 sekunder innan 3:an var i mål. Vilka tider fick barnen? Skillnaden mellan 1:an och 2:an var 4,5 sekunder. Vilka tider kan de ha fått? Piltävlingen Barnen ska ha en piltävling. Det är två lag och i varje lag är det fem barn. Alla kastar varsin pil mot piltavlan. När de räknar ihop poängen upptäcker de att båda lagen har lika många poäng, fast de träffat tavlan på olika sätt. Hur kan de ha träffat tavlan? Finns det något annat sätt? Båda lagen fick 35 poäng. Hur kan de ha träffat tavlan? Kiosken Kalle har handlat i kiosken. Han köpte flera saker som tillsammans kostade 25 kr. Vad kan han ha köpt? Kan han ha köpt något annat? Han köpte 5 saker och alla kostade olika mycket. Vad kan han ha köpt? Han köper ett tuggummi som kostar 3,50kr. Vad köpte han mer? 9

10 Godispåsarna Anna har köpt en massa godisbitar. Hon lägger dem i påsar. Det ska vara lika många i varje påse. Hur många lägger hon i varje påse? Hur många godispåsar gör hon i ordning? Hur många godisbitar har hon köpt? Hon har lagt godis i 12 påsar. Hur många godisbitar är det sammanlagt? Hon köpte 24, 35,72 godisbitar. Hur kan hon ha lagt dom? Uppdrag Uppdrag är verkliga problem som eleverna får lösa och sedan också genomföra. När vi arbetar med uppdrag får eleverna upptäcka den matematik som finns i vår vardag. Förutom de matematiska begrepp som problemet är tänkt att öva och upptäcka så får eleverna samtidigt arbeta med att resonera, jämföra, planera och komma överens i gruppen. Eleverna får problemet och får då sitta i mindre grupper och diskutera sig fram till vad de behöver veta för att kunna lösa problemet. Den vuxne tillhandahåller sedan den information gruppen ber om att få för att kunna lösa uppdraget. De ringer även själva till olika personer eller söker på internet för att få den information de behöver. Linköpings badhus Inom denna ram skall eleven - kunna avläsa och tolka olika data givna i tabeller och diagram samt kunna använda elementära lägesmått. (Ur Matematik, mål som eleverna skall ha uppnått i slutet av det femte skolåret, Kursplaner och betygskriterier 2000) Ett uppdrag som eleverna i år 4 har arbetat med har varit att planera en utflykt till Linköpings badhus. Uppgiften löd: Vi ska göra en resa till Linköpings badhus. Jag vill att ni planerar den dagen! Vad behöver ni veta? Efter diskussion i grupperna kom de fram till att de behövde veta hur bussar och tåg gick, när badhuset var öppet, hur mycket entrén kostade och var det låg. När gruppen formulerat frågor om vad de behövde ta reda på och när de bad mig tillhandahöll jag buss- och tågtidtabeller, kartor, badhusets och bussens prislista och arbetet fortsatte. Gruppernas arbeten resulterade i en berättelse om hur dagen skulle se ut, vilka tider som gällde, vad det skulle kosta och vad man behövde ta med sig. (se bilaga 3). Jag kunde sedan välja ur barnens planeringar och så genomförde vi resan. 10

11 Andra uppdrag vi arbetat med är: Att baka chokladbollar och muffins till alla elever på skolan, att planera skolans årliga terränglopp, Folkparksloppet. Större problemområden Större problemområden är problem som sträcker sig över en längre period ca. 2-3 veckor eller mer. Vi hinner med 2-3 problem av den här typen varje termin. Dessa problem är till skillnad mot uppdragen inte sådant vi gör på riktigt utan i fantasin. De ska vara så verklighetsnära som möjligt. Mobiltelefonabbonnemang I år 5 har alla barn en varsin mobiltelefon därför blev det väldigt vardagsnära för oss att räkna lite på hur mycket det kostar att ringa med den. Eftersom vi just arbetat en hel del med decimaltal passade det utmärkt. Eleverna gör först överslag på sina uträkningar och räknar sedan ut de exakta kostnaderna med miniräknare. Jag delade ut en lista med en massa olika mobiltelefonabonnemang uppradade och dess kostnader, fasta, kvällstid, dagtid och SMS. Elevernas första uppgift blev att jämföra olika abonnemangskostnader vad det kostade att ringa 15 min / dag i en månad och vad det kostade att ringa 15 min/ kväll i en månad samt skicka 2 SMS, ta reda på vad man tjänade på att ringa på kvällen och vad man kunde tjäna på att välja det förmånligaste abonnemanget. I verkligheten är det ju inte så att vi ringer bara på dagen eller bara på kvällen. Hur gör vi då? Behovet av att lära oss vad genomsnittskostnad/medelkostnad var uppstod. De olika abonnemangen åskådliggjordes sedan i ett diagram. Den sista uppgiften blev att ur en Expertbutik välja en telefon med valfritt abonnemang och räkna på vad det skulle kosta att ha den och ringa på den under ett år. I arbetet med mobilerna fick vi behov av att kunna räkna ut uppgifter av typen 5,50 x 15 =, 15 x 31=, och genomsnittskostnad. Den viktigaste erfarenheten eleverna fick av just den här uppgiften blev att verkligen förstå vikten av att strukturera och hålla ordning på alla uträkningar och vad som var vad för det blev svårt för dem som inte gjort det att skriva sin sammanfattning till dokumentationen efter avslutat arbete. (Se elevs sammanfattning bilaga 4) Andra problem vi arbetat med: Gör en annons i Norrköpings Tidningar för max kr. Hur mycket kostar det att hålla på med en fritidsaktivitet? Ditt rum är tomt, du får välj möbler för 10000kr. Vad väljer du? Får det plats i ditt rum? 11

12 Exempel på NO eller SO integrerad matte. Arbete med tema Folkparken år 3 Mål i NO: Känna igen och kunna namnge de vanligaste djuren i Folkparken Kunna redogöra för något djurs livscykel Känna till vad som är viktigt för att djuren ska kunna leva och trivas i vår park Inom denna ram skall eleven - Kunna räkna med naturliga tal i huvudet, med hjälp av skriftliga räknemetoder och med miniräknare, - Kunna jämföra, uppskatta och mäta längder areor, volymer, vinklar, massor och tider samt kunna använda ritningar och kartor, - Kunna avläsa och tolka data givna i tabeller och diagram samt kunna använda elementära lägesmått. (Ur Matematik, mål som eleven skall ha uppnått i slutet av det femte skolåret, Kursplaner och betygskriterier 2000) Våra mål i matte: Uppleva att matematik är roligt!!!(gruppen har haft en negativ inställning till ämnet) Kunna göra jämförelser Utveckla strategier vid subtraktion Kunna läsa av enkla tabeller och diagram (ev göra egna) Förståelse för längd-och viktbegrepp, kunna uppskatta, göra mätningar Skapa behov av multiplikation, utveckla förståelsen för detta Utveckla samarbetet i matteparen Övriga mål: Kunna arbeta med tankekartor Våga berätta inför varandra om sitt djur Kunna ge respons på varandras redovisningar Det här har vi arbetat med: Vilka djur finns i vår park? Tillsammans gjorde vi en tankekarta med Folkparkens djur. Vi grupperade djuren i familjer (däggdjur, insekter, fåglar ) För att introducera arbetet med tankekarta så gjorde vi ett gemensamt arbete kring ekorren. 1. Vad vet ni om ekorren? Vi skrev upp det i tankekartan. 2. Jag läste en text om ekorren. Vad fick ni veta? Behöver vi ändra något som vi skrivit? 3. Jag läste ytterligare en text. Vi kompletterade tankekartan 4. Genom att måla linjerna på tankekartan i olika färger röd-föda, blå-ungar, grönutseende, svart-bo, gul-övrigt strukturerade vi kartan. Eleverna fick genom lottdragning ett däggdjur att arbeta likadant med. De arbetade tillsammans i matteparen. 12

13 Arbete med Folkparkens djur 1. Gör en tankekarta. Skriv allt ni vet om djuret. 2. Läs en text om djuret. Skriv sedan på tankekartan vad ni lärde er och ändra om något inte stämde. 3. Läs en text till och gör likadant. 4. Behöver ni läsa ytterligare texter eller har ni fått veta det ni vill om ert djur? 5. Hemliga frågorna. 6. Måla linjerna i olika färger. 7. Läs igenom det ni skrivit och se om ni hittar några stavfel be sedan en vuxen rätta tankekartan. 8. Renskriv tankekartan. 9. Gör en bild av ert djur. 10. Gör en namnskylt. 11. Gör en snodd som är lika lång som ert djur. 12. Öva att redovisa. Eleverna fick 5 kort med olika djurlängder beskrivna ex 50cm 1m 7mm 6dm 54cm. De skulle tillsammans i matteparet lägga korten i ordning från den kortaste längden till den längsta. När de var överens skulle de skriva upp ordningen på ett papper. De fick sedan gå runt till de andra kamraterna som fått andra kort. Uppgiften var då att titta hur de lagt korten och fundera om de skulle vilja göra någon förändring för att det skulle stämma. Förslag på förändringar fick de sedan skriva upp på kompisarnas papper. Sedan fick de gå tillbaka och läsa de förslag som kompisarna gett på deras egen kortrad. De fick sedan bestämma om de skulle göra någon förändring eller ej. Vi pratade gemensamt om några kortrader. Vad betydde egentligen de olika förkortningarna? Hur långa är de olika enheterna? Vilket djur kunde ha den längden? Hur hör enheterna ihop? De fick öva att visa de olika längderna med fingrar och armar. Eleverna fick öva att uppskatta olika sakers längd, bredd eller höjd. Uppmuntrade barnen att använda fingrar och armar för att kunna uppskatta. De fick sedan kontrollmäta. Eleverna gjorde snoddar som var lika långa som sitt djur. Satte upp dessa på väggen så att det blev ett enkelt diagram. De fick också diagrammet på papper. Utifrån detta jämförde de sitt djur med övriga. Hur mycket längre eller kortare är det jämfört med de andra djuren? Beskriv jämförelsen på mattespråket. De fick ytterligare ett diagram med olika svenska djurs längder och frågor till detta. Eleverna gjorde en enkel tabell med sitt djurs längd, vikt och antal ungar. Jag plastade in dessa tabeller och de fick frågor som de kunde besvara med hjälp av tabellerna ex Vilket djur är dubbelt så stort som fladdermusen, hur mycket lättare är igelkotten än grävlingen Jag berättade om en grävling som var 97cm lång och en igelkott som var 33 cm. Hur mycket längre är grävlingen? Eleverna fick lösa uppgiften enskilt och visa skriftligt hur de tänkte. De fick sedan berätta lösningen högt och vi samlade de olika lösningarna på tavlan. De fick sedan prova någons sätt att lösa på ytterligare några uppgifter. Arbetet med att ge dem möjlighet att byta upp sig till en bättre strategi återkom jag till flera gånger under perioden. Eleverna fick kort med olika vikter. Arbetade med dessa på samma sätt som vid längd. De fick känna på vikterna, prata om enheterna och hur de hör ihop. 13

14 Gemensamt arbetade vi med att öva att uppskatta vikter. Eleverna fick känna på något och uppskatta vikten. Vi vägde sedan föremålet gemensamt på en balansvåg. Detta gjorde vi vid flera tillfällen. Eleverna fick i matteparen fortsätta att öva att uppskatta olika föremåls vikt. Eleverna gjorde en skylt med sitt djurs vikt på. De klippte ut det antal vikter som visade djurets vikt. De fick sedan lägga djurens vikter i tyngdordning och vi satte upp detta på väggen. Problemlösning: Ekorrar samlar nötter under hösten och gömmer dom på olika ställen för att klara sig under den kalla vintern. Ekorren Kurre har samlat många nötter och gömt dom på många olika platser. Han har lagt lika många i varje gömställe. Hur många gömställen har han? Hur många nötter har han lagt på varje ställe? Hur många nötter har han samlat sammanlagt? Följdfrågor: Hade han kunnat gömma nötterna på något annat sätt? Om Kurre hade samlat 24, 36, 72 nötter hur hade han kunnat lägga dem då? (här kom några in på division) Samtal efteråt då eleverna fick berätta hur de tänkte och hur de visat hur ekorren Kurre lagt nötterna. Diskussion kring addition och multiplikation, fördelar och nackdelar. Efter detta så får de bilder på gömställen och nötter och ska beskriva med både multiplikation och addition hur Kurre har lagt sina nötter. Eleverna arbetade klart med ett djur som de sedan presenterade för de andra. Publikens uppgift var att titta och lyssna noga för att sedan komma med positivt beröm, men också synpunkter på vad de kunde tänka på för att redovisningen skulle kunna blir ännu bättre. Eleverna fick sedan välja fritt bland Folkparkens djur och göra ytterligare ett arbete. Den här gången fick de själva göra diagrammet över djurens längder. Arbete med Sverige i år 4 Inom denna ram skall eleven - Ha en grundläggande taluppfattning som omfattar naturliga tal och enkla tal i bråk- och decimalform, - Kunna jämföra, uppskatta och mäta längder, areor, volymer, vinklar, massor och tider samt kunna använda ritningar och kartor, (Ur Matematik, mål som eleverna skall ha uppnått i slutet av det femte skolåret, Kursplaner och betygskriterier 2000) Våra mål i matematik Kunna arbeta med stora tal Kunna göra jämförelser Känna till hur man kan visa jämförelser i diagram eller skalenliga modeller. Genomförande: Vi diskuterade tillsammans med eleverna vad man skulle kunna arbeta med i matematik samtidigt som vi arbetade med Sverige. Vi fick många bra förslag och valde ut tre av dem: 14

15 Jämföra olika bergs höjd i Sverige och utomlands Jämföra folkmängden i olika städer Jämföra Sveriges insjöars djup Eleverna fick sedan välja det de helst ville undersöka. Uppgiften löd: Välj något område att arbeta med. Du ska skriva en berättelse där du jämför tex. Folkmängden i olika städer. Du ska visa med en skalenlig modell eller ett diagram på ett tydligt sätt det du kommit fram till. Uppgiften resulterade i modeller i lera av berg (se bilaga 5) och sjödjup, ett diagram om folkmängd och en modell som gjordes med hjälp av toalettpappersrullar som symboliserade olika antal människor, muggar fyllda med olika mycket blått vatten för att visa sjödjup. Eleverna tyckte inte att bergens höjd och folkmängderna i städerna skilde sig så mycket åt inom Sverige så även Mount Everest och Bankok kom med för att tydliggöra skillnader. Två grupper valde att visa berghöjd i lera. De hade valt olika skalor, detta resulterade i en väldigt intressant diskussion om varför de var så olika. Varje grupp redovisade sina arbeten för de övriga. Utveckla strategier Inom denna ram skall eleven - Kunna räkna med naturliga tal i huvudet, med hjälp av skriftliga räknemetoder och med miniräknare, (Ur Matematik, mål som eleverna skall ha uppnått i slutet av det femte skolåret, Kursplaner och betygskriterier 2000) Det finns inget sätt att tänka på som är fel. Det är viktigt att eleverna får känna att det de gör duger och är bra. Men det är ju också så att det finns sätt som är mer eller mindre effektiva och sätt som inte fungerar i alla situationer. Därför måste barnen få möjlighet att utveckla sina tankestrategier. Eleverna är mer intresserade att förstå hur kompisarna tänker än att förstå ett sätt som läraren tycker att de ska förstå. Därför får dom ofta berätta hur de tänkt då de löst olika uppgifter och vi skriver ner de olika sätten på tavlan. Sedan väljer vi ut en av elevernas strategier ex Filips och låter sedan de andra försöka lösa en annan uppgift på Filips sätt. Eleverna måste då försöka förstå hur han tänker. En del elever tycker att hans sätt är krångligt och förstår det inte ordentligt utan går sedan tillbaka till sitt sätt att tänka, medan någon upptäcker att Filips sätt är enklare och fortsättningsvis använder det sättet. Då eleverna är lite äldre gör vi detta arbete i grupp. De får en uppgift att lösa först individuellt. Sedan får de i gruppen (3-4 barn) berätta hur de tänkt. Har de fått olika svar så blir det först en spännande uppgift att hitta var i tankegången som det blivit tokigt. Sedan får gruppen komma överens om ett sätt som de vill berätta för de andra om. Det viktigaste är att ingen elev får lämna sitt sätt att tänka, förrän de verkligen har förstått den nya strategin ordentligt. 15

16 Bakvänd matematik Inom denna ram skall eleven - Kunna förstå och använda addition, subtraktion, multiplikation och division samt upptäcka talmönster och bestämma obekanta tal i olika former, (Ur Matematik, mål som eleverna skall ha uppnått i slutet av det femte skolåret, Kursplaner och betygskriterier 2000) De flesta matteuppgifter i böcker består av att eleverna ska hitta ett rätt svar. Detta lämnar inget större ansvar till eleven, ingen möjlighet till kreativitet och utmaningar. Om man i stället låter eleverna få ett svar och själv hitta på uppgifterna eller frågorna så krävs det betydligt mer av dem. Vilka uppgifter kan jag ha räknat då svaret ska vara 24? (Bilaga 6) Eleverna får ett facit och ska göra uppgifterna. (Bilaga 7) Eleven får en rubrik eller bild och ska utifrån denna hitta på räknehistorier. Dokumentation Varje elev i år 3-5 dokumenterar sitt arbete i matematik i en stor fin inbunden bok med blanka sidor. I boken klistrar eleverna in vissa problem de arbetat med eller sammanfattningar om vad de arbetat med på matematiklektionerna under en vecka. Vi fotograferar saker de gjort som blir bilder de sätter in tillsammans med texter de skrivit. Boken får de i trean och tanken är att den ska följa dem i hela år 3-5. Dokumentationen görs delvis för föräldrarna för att synliggöra för dem vad vi arbetar med i skolan och delvis för att den skola eleverna går vidare till efter år 5 ska kunna se vad vi arbetat med. Den viktigaste funktionen som dokumentationen har är att eleverna går tillbaka och reflekterar över vad de gjort och vad de lärt sig. I år 3 samlar man i boken problem man arbetat med och lösningarna på dem. I år 4 och 5 är dokumentationen en text man skriver som läxa med jämna mellanrum, eleverna sammanfattar i läxa vad man har arbetat med på lektionerna under veckan. Detta gör att ingen kan sitta passiv i gruppdiskussionerna för då vet man ju inte vad man gjort i gruppen, man måste också själv se till att man förstått det gruppen har gjort och man måste gå tillbaka i sina anteckningar och titta på vad det var man gjorde och reflektera över det. Då vi arbetar mycket i grupp blir den individuella förståelsen tydlig genom denna dokumentation, som lärare får man en bra uppfattning om den enskilda elevens förståelse. (Utdrag ur år 5 elevers dokumentation: se bilaga 8.) 16

17 RESULTAT Under arbetets gång tycker vi att vi fått svar på de frågor vi ställde oss när vi sökte stipendiet men det har också dykt upp nya frågeställningar. Vi vill sluta med den tysta räkningen i matteboken, men vågar vi det? Hur ska vi ersätta detta genom kommunikation? Det vi lägger tyngdpunkten på idag i vår matematikundervisning är ju problemlösning och kommunikation, att eleverna ska sätta ord på hur de tänker och förklara för varandra och oss vuxna. Vi lägger stor tyngdpunkt på språket i all undervisning på Folkparksskolan. Vi tycker att vi har hittat ett sätt att arbeta på där vi får med målen i kursplanen. När vi började arbeta på det här sättet så hade vi inte längre tid att arbeta i matteboken, det kändes inte meningsfullt varken för oss som lärare eller för eleverna. Det var som om eleverna bara räknade det de redan kunde, höll på med sådant de inte kunde och heller inte lärde sig genom att bara räkna på. Eleverna lärde sig en utantillkunskap utan att förstå som faktiskt kan vara ett hinder när man som lärare ska försöka få dem att få förståelse. Matematiken i matteboken var allt för mycket siffror och symboler utan sammanhang. Det enda eleverna sa när man arbetade i boken var: -Jag fattar inte! eller Är det här rätt? I matteboken kunde de elever som har lätt för sig lära sig medan de andra inte förstod och bara lärde sig utantill. Nu tycker vi att vi når förståelse hos fler elever. Hur når vi alla elever även de som saknar förmåga (social kompetens) att arbeta i små diskussionsgrupper? Genom att ha en väl genomtänkt problemlösningsutveckling övar de elever som har svårt att arbeta i grupp upp sin samarbetsförmåga i sin egen takt mot målet. Samarbetsförmåga är något som vi på Folkparksskolan lägger en stor vikt vid i alla ämnen. Hur vet vi att eleverna utvecklas enskilt när de arbetar i grupp och alltså inte bara arbetar med sådant de redan kan? Eftersom de små grupperna är nivågrupperade så vet vi vilka grupper vi kan utmana med vilka frågor, vi ger dem följdfrågor på sin nivå och utmanar dem att tillsammans utvecklas vidare. Den individuella utvecklingen ser vi genom att vi lyssnar mycket på deras resonemang i gruppen. Vi står ofta och tittar på en grupp medan vi lyssnar på en annan grupp. Genom att vi hela tiden hör hur eleverna resonerar tycker vi att vi har en bättre uppfattning av vad eleverna kan nu än vad vi hade tidigare när vi rättade matematikböcker. Ett svar i en bok säger inte mycket av vad en elev kan. Genom elevernas enskilda dokumentation kan vi se vad de har tillgodogjort sig och vad som behöver övas vidare. Vi vuxna dokumenterar elevernas lärande med hjälp av Analysschema i matematik av Lisa Björklund. I år 4 och 5 har vi hittills dokumenterat elevernas lärande med hjälp av 17

18 kunskapsprofilen ur Nationella proven för år 5, där målen för år 5 är uppställda. Den här dokumentationen delger vi föräldrarna vid varje utvecklingssamtal. För de elever med svårigheter i matematik skriver vi varje termin med start på våren i år 2 ett särskilt åtgärdsprogram för matematik som föräldrarna tar del av och skriver på. Hur ska vi som lärare agera vid problemlösning för att eleverna ska utveckla en bra matematik? Lärare måste ha en speciell planmässighet för att kunna undervisa om detta innehåll. En lärare som inte är medveten om fruktbara arbetssätt att undervisa kring problemlösning hemfaller ofta åt allmänna förmaningar att försöka bättre när eleverna behöver hjälp att utveckla sitt tänkande: - Läs problemet en gång till! Använd huvudet! Tänk efter igen! Lärarkommentarer som dessa kan få elever att anstränga sig men är till liten hjälp för elever som verkligen behöver stöd. I själva verket kan mycket få elever bli framgångsrika problemlösare utan lärares hjälp. Den enskilda, mest utmanande uppgiften för läraren är att besluta vilken typ av handledning som ska ges och när den ska ges. Läraren måste spela en aktiv roll i klassrummet, genom att observera, fråga och om nödvändigt ge ideer. (Ur Matematik ett kommunikationsämne, Nämnaren Tema, Frank K Lester) Läraren måste kunna kartlägga hur eleverna tänker, för att sedan medvetet kunna utmana detta tänkande Vikten av att eleverna samtalar mycket kring innehållet är en viktig förklaring bakom det stigande intresset för arbete i smågrupper. Detta måste dock struktureras och styras medvetet av lärarna (Ur Återupprätta läraren, Torsten Madsen, Pedagogiska magasinet nr ) Vår lärarroll har förändrats från att vara den som styr till att bli den som lyssnar, iakttar, utmanar och tillhandahåller den information eleverna behöver. Vi har blivit dem som knyter ihop säcken och hjälper eleverna att dra de slutsatser och se samband de själva inte har kommit fram till. Vi har fått ändra vårt förhållningssätt: I Istället för att svara eleven direkt om han/hon har löst uppgiften rätt eller fel så svarar vi: -Hur tänkte du? Genom att förklara för en vuxen kommer eleven på hur det ska vara eller upptäcker fel och lär sig av dem. En stark bidragande orsak till motgång eller framgång tror jag har att göra med det arbetsklimat som råder inom gruppen. Det måste vara en mänsklig rättighet att misslyckas. Det är kanske just genom insikten av misstaget som det korrekta blir synliggjort. (Ur Bra matematik för alla, Gudrun Malmer) När eleverna säger att de inte förstår frågar vi: - Vad är det du inte förstår? Så att de själva får sätta ord på vad de behöver hjälp med. Vi ska inte ge eleverna strategier att lösa uppgifter på. De ska få använda sina egna strategier men ges möjlighet att byta upp sig om det behövs. På detta sätt lämnar vi över en del av ansvaret till eleverna. 18

19 Hur kan vi synliggöra lärandet för elever och föräldrar? Vi samtalar ofta med eleverna om Vad lär du dig? Vad gjorde vi? Varför tror du att vi gjorde detta? De gör också ofta utvärderingar om hur arbetet i gruppen går, vad de lärt sig och vad som har varit bra resp. mindre bra under en period eller ett arbetsområde. Genom den dokumentation de äldre eleverna gör blir det vi gör i skolan tydligt för föräldrarna, det gör också att eleverna får ner på papper vad de lärt sig. För föräldrarna ger våra utvecklingsscheman en tydlig bild av vad eleverna utvecklats i under en termin. Vi ger också informationskvällar med jämna mellanrum för föräldrar om hur vi arbetar med matematik och varför. Varje termin skriver vi ett utförligt brev till föräldrarna vad vi arbetat med och varför. Varför är lusten att lära matematik så stor i år 1, medan eleverna upplever det tråkigt i år 5? Den matematikundervisning som är på Folkparksskolan i dag upplever eleverna som intressant. Förut kunde de tröttna men nu är undervisningen varierad på ett helt annat sätt. Det finns en förväntan och en spänning inför lektionerna där eleverna funderar över vad som ska hända idag. Vi har försökt att göra matematikundervisningen meningsfull och inspirerande genom att välja uppgifter som berör och skapar behov. Undervisningen måste ta sin utgångspunkt i elevernas verklighet och anpassas efter deras varierande förutsättningar. Det är speciellt viktigt att komma i kontakt med de erfarenheter eleverna redan har. Men man måste också skapa sådana inlärningstillfällen att de kan erhålla nödvändiga förutsättningar. Det är viktigt att sådana situationer görs spännande och intressanta, så att elevernas lust och nyfikenhet stimuleras. De måste öva upp sin förmåga att själva undersöka, upptäcka och uppleva. (Ur Bra matematik för alla, Gudrun Malmer) Eftersom de flesta uppgifter är öppna lyckas fler elever än tidigare. De har blivit mer kreativa och utmanar sig själva. Många fler än tidigare känner sig säkra. Så här har vi förändrat vår matematikundervisning: Från att undervisningen mest innehållit räkning till att den nu baseras på problemlösning. Förut var den tyst nu är den byggd på kommunikation. Från att vara styrd med rätta svar och väldigt lite valmöjligheter till att innehålla många öppna frågor med valmöjligheter. Tidigare var den inte verklighetsanknuten det är den nu. Tidigare lärde sig eleverna mycket utantill nu har de en förståelse istället. Förut var produkten de gjorde viktig nu koncentrerar vi oss på processen. 19

20 DISSKUSSION När vi tittar på de resultat vi fått så har vi delat upp eleverna i två grupper. Dels den grupp som först arbetat med matematik på vårt tidigare sätt och sedan fått vara med i vårt förändringsarbete och dels den grupp elever som startade sin matematikundervisning med Tankeverkstad. Det har vi fått göra eftersom grupperna skiljer sig en hel del från varandra. Tankeverkstadsgruppens elever är betydligt mer kreativa och hittar olika lösningar på matematiska problem mycket lättare. De frågar inte efter rätt och fel i lika stor utsträckning som den andra gruppen och söker själva utmaningar. Det är tydligt att vi med den tidigare undervisningen fokuserade för mycket på svaret och att eleverna skulle tänka på ett speciellt sätt och att detta ledde till att de inte fick användning av sin kreativitet. Nu har vi börjat få dem att tänka själva, men det har varit en lång process som inte på något sätt är klar. De här eleverna utmanar inte sig själva lika mycket, utan här får vi vuxna hjälpa dem med detta. De äldre eleverna i den här gruppen har dock förstått att de arbetar och lär för sin egen skull. Arbetet känns meningsfullt eftersom uppgifterna berör dem och är kopplade till deras vardag. Vi vuxna har här lyckats att skapa behov hos eleverna av viss matematisk kunskap och det gör att de förstår vad de ska ha kunskapen till. Eleverna kommer med förväntan till matematiklektionerna. De undrar vad som ska hända. Vi kan inte påstå att alla barn tycker att matematik är roligt, men de tycker att matematik är viktigt att kunna. De känner stolthet när ett stort arbete är genomfört och när de lyckats utföra ett uppdrag. De elever som tidigare hade det svårast och tyckte att matematiken var tråkig uttrycker sig nu mycket mer positivt då de pratar om matematiken. De har fått bättre självförtroende och upptäckt glädjen i ämnet! Vi kan se att eleverna i 2:an som arbetat med Skolverkets diagnosmaterial har gjort ett betydligt bättre resultat i år än tidigare år. De visar betydligt större tilltro till sitt eget tänkande. De har mycket bättre förståelse för tal, begrepp och positionssystem. De kan lösa problem i grupp på bättre sätt och använda miniräknaren som hjälpmedel. Även barnen i 5:an har ett bättre resultat på det nationella provet. Där är det dock inte lika lätt att jämföra resultaten eftersom vi inte tidigare år haft 5:or på vår skola utan enbart fått ta del av elevernas resultat från den andra skolan. En svårighet vi stött på är hur man behåller lusten att lära matematik hos de elever som har väldigt lätt för matematiken men väldigt svårt att arbeta i grupp? Det är lätt att tappa lusten för matematiken eftersom det för dem är väldigt arbetssamt att arbeta i grupp, vilket vi i hög grad vill att de ska göra. Vi försöker att lösa detta genom att ställa lite lägre samarbetskrav på dem och låta dem utvecklas i sin takt. Ulla Runesson beskriver hur hon kan se en stor utvecklingspotential i heterogena klasser som är åldersblandade när de arbetar med matematik i artikeln Olikheter i klassen - tillgång eller problem? (Ur matematik ett kommunikationsämne, Nämnaren Tema) Detta har vi svårt att se då vi tycker att elever som är svaga i ämnet lätt blir överkörda av de som kan. Vi kan också se att det är lättare att bygga upp en självtillit hos de svagare barnen när de är tillsammans än när de är med de som har lätt för sig. Vi tycker att vår undervisning i nivågrupper har varit väldigt positiv och att den undervisningen i högre grad kan möta elever på deras kunskapsmässiga nivå. Även diskussionerna i den stora gruppen blir mer på rätt nivå 20