Något om Komplexa tal och Mathematica

Transkript

1 HH/ITE/BN Komplexa tal och Mathematica Något om Komplexa tal och Mathematica Bertil Nilsson z 6 r 6 r 6 r 6 Π k Π, k 0,, z 0 0 Π cos sin Π z Im z 0 z Π cos sin Π z Π cos 5 sin 5Π - Re z Π cos 7 sin 7Π z z - z z Imz Granen ur roten Im z Roten ur granen Rez Re z

2 Komplexa tal och Mathematica HH/ITE/BN Förord På följande sidor presenteras en elementär "streetwise guide" till komplexa tal med flitig användning av Mathematica. Framställningen är fåordig, fri från pedanteri men i någon mening fullständig. Det man väsentligen behöver veta om begrepp, terminologi, beteckningar och teori för att modellera och lösa problem i framtida kurser och yrkesliv som ingenjör, naturvetare eller lärare klarläggs och typiska exempel ges. Bakgrund Införandet av komplexa tal motiveras av att vissa algebraiska ekvationer, t.ex. ekvationen x, saknar reella rötter. Vi vill därför konstruera ett talsystem, bestående av så kallade komplexa tal på formen a b, där a och b är reella tal medan, kallad imaginära enheten, är ett imaginärt tal sådant att :. Ett komplext tal har formen a b, där a och b är reella tal och kallas imaginära enheten som definieras av :. Vi vill att de komplexa talen ska vara en utvidgning av de reella talen, det vill säga. Våra "vanliga" räknelagar bör ju gälla då b 0 varför det är rimligt att begära att de grundläggande begreppen likhet, addition och multiplikation av komplexa tal har följande egenskaper: Likhet : a b c d a c och b d Addition : a bc da c b d Multiplikation : a bc dac ad bc bd ac bdad bc Definition Emellertid vet vi att talet inte finns, åtminstone inte tills vidare, och när vi nu vill definiera de komplexa talen så måste vi undvika symbolen. Detta är lätt gjort: Vi skriver helt enkelt a, b i stället för a b och därmed försvinner allt som är mystiskt. Ett komplext tal består helt enkelt av två reella tal tagna i en bestämd ordningsföljd. Lämpliga definitioner av likhet, addition och multiplikation får vi sedan genom att snegla på, och ovan. För att få reda på hur detta går till i detalj hänvisar vi till en mera rigorös framställning. Vi nöjer oss med att konstatera att skrivsättet a b är sunt och att, och gäller! Alltså: Addition, subtraktion och multiplikation av komplexa tal sker med samma räknelagar som för reella tal med tillägget att :. Observera att man aldrig får byta mot. För det första är ju inte funktionen kvadratrot definierad för negativa tal. Dessutom får vi problem med de "vanliga" räknereglerna vilket följande lilla kalkyl exemplifierar!! I det komplexa talet z a b kallas a realdelen och talet b kallas imaginärdelen. De betecknas a Rez och b Imz. Man brukar kalla a b för den rektangulära eller kanoniska formen av ett komplext tal. Det är brukligt att använda symboler i slutet av alfabetet z, w, för namnsättning. Om z a b kallas talet a Rez för realdelen och talet b Imz för imaginärdelen av z. Man brukar kalla a b för den rektangulära eller kanoniska formen av ett komplext tal. Exempelvis är Re och Im. Ett komplext tal kallas reellt om dess imaginärdel är 0 och det kallas rent imaginärt om dess realdel är 0. Sålunda är t.ex. talet rent imaginärt. Det spelar ingen roll i vilken ordning vi skriver termerna a b a b b a Exempel: 8, ,, 6 6,

3 HH/ITE/BN Komplexa tal och Mathematica 0 5 5, Mathematica klarar naturligtvis av att räkna med komplexa tal, hämtas från palette eller direkt på tangentbordet som ii. Notera att det ska vara två i, eftersom i blir den grekiska bokstaven Ι (iota). Notera att även I (vanliga stora i, dvs I) betraktas som av Mathematica. Nu är det dax att räkna lite! z 8 w 0 5 Rez, Imz w, 8 5 Vid division av komplexa tal har vi användning av något som kallas komplexkonjugering. Komplexkonjugatet till ett komplext tal z a b betecknas z och definieras av z a b, det vill säga byte av tecken på imaginärdelen. Om z a b kallas z a b för komplexkonjugatet till z. Exempel:,,, 7 7 Conjugate Komplexkonjugat skrivs vanligtvis i litteraturen antingen som z eller som z. Som alternativ till Conjugate i Mathematica kan man välja det sistnämnda skrivsättet, där den speciella "konjugatstjärnan" genereras av co. Observera att det inte är "upphöjt till" stjärna, utan direkt zco. z, z,,, 8, 8,,, Division av komplexa tal sker enklast så att man multiplicerar bråkets täljare och nämnare med nämnarens komplexkonjugat, ty då blir nämnaren reell eftersom a ba ba b a b a b enligt välkänd konjugatregel. Exempel: Exempel: Lös ekvationen z z. Lösningsförslag: Ansätt z a b i ekvationen. Identifiera sedan real- och imaginärdelar. Likhet för komplexa tal ger sedan ett ekvationssystem som bestämmer a och b. a b a ba b a b Re : b a Im : a b a 5 b 5

4 Komplexa tal och Mathematica HH/ITE/BN det vill säga ekvationen har lösningen z. Detta klarar även Mathematicas inbyggda ekvationslösare Solve. 5 5 Solvez z z 5 5 Exempel: Lös ekvationen z z. Lösningsförslag: Ansätt z a b i ekvationen. Identifiera sedan real- och imaginärdelar. Likhet för komplexa tal ger sedan ett ekvationssystem som bestämmer a och b. a b a b Re : a b Im : b a a b 5 det vill säga ekvationen har lösningen z 5. Även detta klarar Mathematicas inbyggda ekvationslösare Solve. Solve z z z 5 Exempel: Lös ekvationen z z 5. Lösningsförslag: Polynomekvationer, i detta fall en andragradsekvation, med komplexa koefficienter är ofta arbetssamma att lösa och lämnas därför med varm hand över till Mathematica. Som väntat får vi i detta fall två rötter. Se vidare i Polynomekvationer och Lite historik lite längre fram i häftet. Solve z z 5 z, z Om det är mer komplicerade ekvationer får man kanske nöja sig med en numerisk lösning. Detta är oftast den enklaste och kanske enda framkomliga vägen. FindRoot z Sinz, z, 0 z Geometrisk representation Eftersom ett komplext tal är ett ordnat par av reella tal a, b, kan de representeras av punkterna i ett plan. I planet inlägges ett ortonormerat koordinatsystem och talet z a b får motsvaras av den punkt i planet som har koordinaterna a, b, se figur. Planet kallas då för det komplexa talplanet. Motsvarigheten mellan de komplexa talen och planets punkter är omvändbart entydig och kallar därför talet z även för punkten z. De reella talen motsvaras av punkterna på koordinatsystemets ena axel och de rent imaginära talen motsvaras av punkterna på den andra axeln. Koordinat systemets axlar kallas därför reella axeln Re axeln respektive imaginära axeln Im axeln. Imaxeln Reaxeln z z Imaxeln z z z z z z Reaxeln Om de komplexa talen z och z motsvaras av punkterna a, b respektive a, b, så motsvaras summan z z av punkten a a, b b. Addition och subtraktion av de båda sker alltså i analogi med krafter i fysik och talen motsvaras geometriskt av vektorer, ofta med en pil från origo till punkten eller med en med denna parallell och lika lång pil. I figuren åskådliggörs z z och z z och deras släktskap genom kraftpolygonen. z

5 HH/ITE/BN Komplexa tal och Mathematica 5 Absolutbeloppet av z a b skrivs och definieras av z punkten z. Skrivs ofta Absz. a b och betyder alltså geometriskt avståndet från origo till Om z a b kallas z Absz a b för absolutbeloppet av z. Komplexa tal brukar ofta representeras i det komplexa talplanet, där x-axeln kallas för reella axeln "Re-axeln" och y-axeln för imaginära axeln "Im-axeln". Talet z a b motsvaras då av den punkt i planet som har koordinaterna a, b. Polär form Låt z a b vara ett komplext tal, r dess absolutbelopp, det vill säga Imaxeln r z a b och en riktningsvinkel för vektorn z. Observera att räknas från positiva reella axeln och att moturs är positiv riktning. Då är a r cos och b r sin och följaktligen b r z a b z a b rcos sin. a Reaxeln Eftersom r och är polära koordinater för punkten z, kallar man högra ledet för den polära formen av talet z. Vidare kallas för argumentet till z vilket skrivs Argz och anges i enheten radianer. Var och en av de oändligt många vinklar som löser ekvationerna a r cos b r sin kan göra anspråk på att kallas för argumentet till z. På grund av periodiciteten hos cosinus och sinus skiljer de sig åt med en multipel av Π så alla ger avtryck i samma punkt a, b i det komplexa talplanet. Exempelvis är 5Π och Π likvärdiga argument till talet. Ofta nöjer man sig med den så kallade principalvinkeln som ligger i intervallet Π, Π. När man räknar för hand gäller det att se till så man hamnar i rätt kvadrant!! Om a 0 eller b 0 är det ju enkelt annars går det bra att beräkna argumentet som Argzarctan b Π a eftersom arctan() levererar vinklar i första och fjärde kvadranten. Den om a0 avslutande korrektionen kommer sig naturligtvis av att vi kan ha dividerat bort "negativ" information, ty b b a a Mathematica är det inga problem. Vinklar levereras i intervallet Π, Π och givetvis i radianer. Abs, Arg och b a b a. I, Π Abs, Arg, Π Om z a b r z a b a r cos b r sin kallas Argz för argumentet till z och rcos sin för polära formen av z.

6 6 Komplexa tal och Mathematica HH/ITE/BN Exponentiell form För uttrycket cos sin, som förekommer vid den polära formen, användes beteckningen def cos sin vilket brukar kallas för Eulers identitet. Vi definierar alltså den exponentiella formen r rcos sin Erfarenheten, det vill säga den fortsatta teorin, visar att denna definition av är den enda som duger om man vill att räknelagarna för t.ex. potenser, derivation och integration ska vara giltiga. Speciellt ser vi att cos sin. Vid multiplikation av två komplexa tal multipliceras absolutbeloppen och adderas argumenten. Ty om z r och z r så är enligt potenslagarna z z r r r r Vid division av två komplexa tal divideras absolutbeloppen och subtraheras argumenten. Ty om z r och z r så är enligt potenslagarna z z r r r r Vi ser att rektangulär form är enkel att använda vid addition och subtraktion medan exponentiell form är enkel att använda vid multiplikation och division. Exempel: Skriv talet z på exponentiell form r. Lösningsförslag: Vi ser att r z a b 9 9 och Argz 5Π lika bra. Alltså är z får skriva lite själv. z ; w Absz Argz Π eller "andra hållet" ArgzΠ går Π. Mathematica har ingen funktion som direkt skriver om rektangulär form till exponentiell. Man Omvändningen går däremot. Antingen använder man ComplexExpand om man vill behålla symboliskt eller N om man är intresserad av att få alla tal decimalt. ComplexExpandw, Nw,.. Exempel: Skriv talet Π på rektangulär form a b. Lösningsförslag: Vi får Π cos Π sin Π. w Π ; w, ComplexExpandw, Nw Π,,..705 Exempel: Beräkna 8. Lösningsförslag: Här är det lämpligt att gå över till exponentiell form eftersom en direkt utveckling blir väldigt arbetsam. Låt z med z Absz a b 9 och Argz Π. Så z8 Π Π 8 8 Π 9 Π 9 med hjälp av potenslagar och Euler. Eller direkt i Mathematica z ; z, Absz, Argz, ComplexExpandz 8, 9,, Π, ,

7 HH/ITE/BN Komplexa tal och Mathematica 7 Exempel: Multiplikation av ett komplext tal med betyder geometriskt en vridning moturs med radianer. Man har därför definierat moturs som positiv riktning. På motsvarande sätt ger en medurs vridning, det vill säga i negativ riktning. Detta är en direkt konsekvens av ovannämnda vad gäller multiplikation av två komplexa tal, absolutbeloppen multipliceras och argumenten adderas. Ty om z r Θ och w så har vi att z behåller sin längd men vrids moturs radianer, ty zw r Θ r Θ. Imaxeln z z Reaxeln def cos sin kallas för Eulers identitet. Om z a b kallas r rcos sin för den exponentiella formen av z. r z Vid multiplikation multipliceras absolutbeloppen och adderas argumenten, det vill säga z z r r r r Vid division divideras absolutbeloppen och subtraheras argumenten, det vill säga z r r z r r de Moivres formel Genom att kombinera Eulers identitet med potenslagarna får vi cos sin n n n cosn sinn där första och sista ledet kallas de Moivres formel. Exempel: Enligt de Moivre är cos sin cos sin Utvecklas kvadraten i vänsterledet fås cos cossin sin cos sin Likhet för komplexa tal ger nu de välkända formlerna för dubbla vinkeln cos cos sin respektive sin cossin Polynomekvationer Den enklaste typen av polynomekvation av grad n man kan tänka sig är den så kallade binomiska ekvationen z n w där z, w. Denna löses genom att skriva både z och w på polär form och utnyttja likhet för komplexa tal z n w r n R Θ r n n R Θ r n R nθkπ, k r n R Θ k Π, k 0,,, n n där vi i sista ledet tillfredställt det faktum att en polynomekvation av grad n har exakt n rötter genom att välja de n "första". Alla de andra med k ger inga nya avtryck i det komplexa talplanet. Geometriskt bildar lösningarna hörnen i en regelbunden n-hörning inskriven i en cirkel med centrum i origo och radien r. n

8 8 Komplexa tal och Mathematica HH/ITE/BN Exempel: Lös ekvationen z 6. Lösningsförslag: Vi har en binomisk ekvation av grad fyra, så vi följer arbetsgången ovan. Här får vi ännu en gång nytta av att vi lärt oss skriva om från rektangulär till exponentiell form. z 6 r 6 r 6 r 6 Π k Π, k 0,, Utvecklat har vi de fyra rötterna och deras geometriska släktskap. z 0 0 Π cos sin Π z Im z 0 z Π cos z Π cos 5 z Π cos 7 Givetvis är Mathematica behjälplig rötter Solvez 6 - z z - Re z, z, z, z Eller på vanlig rektangulär form som vi känner igen från beräkningarna ovan vid figuren. ComplexExpandrötter z, z, z, z När det gäller mer allmänna polynomekvationer överlämnar vi dessa med varm hand till Mathematica. Alltid lika många rötter som gradtal på ekvationen. Solvez z 0 z 5, z 5 NSolvez z 0 z , z , z Komplexa funktioner av en reell variabel Med en komplexvärd funktion av en reell variabel menar vi en funktion f, för vilken D f och V f. Som vanligt betecknar mängden av alla reella tal och mängden av alla komplexa tal. Exempel: För funktionen f x x cosxsinx är D f. Eftersom f x är ett komplext tal med beloppet och argumentet x, är V f enhetscirkeln i det komplexa talplanet. Då x genomlöper den reella talaxeln från vänster till höger, kommer funktionsvärdena f x att genomlöpa enhetscirkeln moturs, oändligt många varv. Definitionerna av gränsvärde, kontinuitet, derivation och integration för komplexa funktioner av en reell variabel är analoga med motsvarande definitioner vi känner i det helt reella fallet. Vi nöjer oss med två exempel som upprepar det vi fastslog redan på sidan ett, nämligen att "alla" kalkyler i det komplexa fallet fungerar som i det reella fallet om betraktas som vilken variabel som helst och förenklar med tillägget :. Dessutom kommer mycket att vila tungt på Eulers identitet. Exempel: Visa att derivatan x zx z zx, där z.

9 HH/ITE/BN Komplexa tal och Mathematica 9 Lösningsförslag: Vi får med hjälp av Eulers identitet x zx x abx x ax cosbxsinbx Produktregeln a ax cosbxsinbx ax bsinbxbcosbx ax a b cosbxasinbxbsinbx ax a b cosbxasinbx bsinbx ax a b cosbxa bsinbx a b ax cosbxsinbx a b ax bx abx z zx Exempel: Beräkna integralerna ax cosbxx och ax sinbxx. Lösningsförslag: Vi kämpar på med Eulers identitet ax cosbxx ax sinbxx ax cosbxsinbxx abx x ab abx ab C C abab ax cosbx sinbx C C : Integrationskonstant så likhet för komplexa tal ger slutligen Eller direkt i Mathematica ax acosbxbsinbx a b C ax asinbxbcosbx a b C ax cosbxx ax acosbxbsinbx a b C ax sinbxx ax asinbxbcosbx a b C ax Cosb x, ax Sinb x x a x a cosb xb sinb x a b, a x a sinb xb cosb x a b Komplexa funktioner av en komplex variabel Med en komplexvärd funktion av en komplex variabel menar vi en funktion f, för vilken D f och V f. Även här fungerar definitionerna av gränsvärde, kontinuitet, derivation och integration och övriga räknelagar som man har anledning att förmoda Ett exempel är exponentialfunktionen f z z. Vi får f z z ab a b, det vill säga z har absolutbeloppet a och, enligt Euler, argumentet b. Vi inser därmed att definitionsmängden är hela medan värdemängden är hela exkluderat 0 eftersom a 0. Logaritmen w lnz, där z, w, definieras av Om vi skriver z r Θ och w a b så är w lnzz w lnr Θ lnrln Θ lnr a Θn w där imaginära delen av w formellt måste korrigeras med en multipel av Π eftersom sinθ och cosθ är periodiska med just Π. Symbolen lnz är med andra ord oändligt mångtydig. I många sammanhang nöjer man sig med principfallet n 0 i analogi med principalvinkeln Argz. Exempel: lnln lnπn. Abs, Arg, Log, Π, Πlog b

10 0 Komplexa tal och Mathematica HH/ITE/BN Exempel: ln ln ln Π n lnπ n. Log ComplexExpand Π log Potensen z w, där z, w, definieras nu som z w wlnz och är i allmänhet mångtydig, eftersom lnz är mångtydig. Endast då w är ett reellt heltal är den entydig. Exempel: Beteckningen skall tolkas som. Beräkna denna. Lösningsförslag: Utnyttja nyvunnen kunskap ln lnπn ln Π n n är alltså tvåtydig. Inte sällan nöjer man sig med den positiva. Exempel: Beräkna z utan att gå via logaritmen. Lösningsförslag: Vi utnyttjar att för alla komplexa tal z gäller och att detta uttryck är reellt och positivt. Efter en liten kalkyl z z z z Rez z z z zz z Rez z z z zz z Rez z z z z z Rez z z z Rez får vi så till slut z z z z Rez Till exempel om z har vi z 5 och Rez så Slutligen får vi genom att snegla på Eulers identitet för argumenten och att cos sin cos sin cos sin cos sin varav det högra sambanden brukar kallas Eulers formler. Med dessa och vår nu så utvecklade bekantskap med z kan det verka rimligt att definiera sinz och cosz enligt cosz z z sinz z z Om vi t.ex. väljer z Π har vi efter lite räknande, gör det gärna eller se nedan, att z och z så cosz och sinz. Mathematica använder gärna hyperboliska funktioner för att hålla nere utskriftsvolymen, men vi kan forcera fram svar på olika former om så önskas.

11 HH/ITE/BN Komplexa tal och Mathematica, TrigToExp, ComplexExpandTrigToExp, N & CosΠ, SinΠ cosh sinh , TrigToExp, ComplexExpandTrigToExp, N & Cos, Sin cosh sinh cos cos sin sin cos cos sin sin Lite historik På 500-talet dök kvadratrötter ur negativa tal upp i de lösningsformler till tredje- och fjärdegradsekvationer som tagits fram av de italienska matematikerna Niccolo Fontana Tartaglia ( ) och Gerolamo Cardano (50-576). Exempelvis visste man med hjälp av grafisk metod att samtliga rötter till tredjegradsekvationen x x 0 var reella. Ändå ledde dessa formler till sådana kvadratrötter som mellanresultat. Eftersom Mathematica är bestyckad med formlerna kan vi åskådliggöra problematiken y x x ; Ploty, x,, 5, PlotStyle Red, AxesLabel "x", "y" y x 5 Solvey 0 x , x , x NSolvey 0 x 0.78, x 0.570, x.95 Namnet imaginära för sådana "inbillade" tal myntades av René Descartes ( ) och man betraktade dem länge med stor misstänksamhet. Leonhard Euler (707-78) införde beteckningen men de komplexa talen accepterades egentligen först efter att deras geometriska tolkning hade beskrivits och publicerats 799 av Caspar Wessel (75-88). Flera år senare 806 återupptäcktes denna beskrivning av Jean Robert Argand (768-8) men populariserades slutligen av Carl Friedrich Gauss ( ) som också introducerade formen a b. Den moderna definitionen som ett ordnat par av reella tal presenterades av William Rowan Hamilton ( ).