Matematikens historia Geometri, Grekland, Euklides

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "Matematikens historia Geometri, Grekland, Euklides"

Transkript

1 Matematikens historia Geometri, Grekland, Euklides Vladimir Tkatjev, ht2015

2 Historisk översikt Till skillnad från Babylonien och Egypten höjde matematiken i det antika Grekland till en vetenskap Man började framställa de matematiska resultaten i form av allmängiltiga satser med hjälp av logiska resonemang Beräkningsproblem konstruktionsproblem

3 Historisk översikt Klassisk tid (ca f.kr.: konst, litteratur, filosofi och arkitektur) Matematiker: Thales (geometri, astronomi, det matematiska beviset) Pythagoras (musik, geometri, inkommensurabilitet) Filosofer: Sokrates, Platon, Aristoteles Hellenistisk tid (338 ca 30 f.kr.: Alexander III den store) Euklides (Elementa) Arkimedes, Appolonios Romersk tid (ca 30 f.kr. 395 e.kr., romerska riket) Ptolemaios Diofantos Pappos (Greklands siste matematiker)

4 Det grekiska talbeteckningssystem Enhetssystem med tecken som representerar vissa grundtal: 83 = πγ 452 = υνβ Ett komma framför någon av bokstäverna i den första raden betydde att talet skulle multipliceras med 1000: 9452 =, θυνβ Dessutom M används som (myrios, oräknelig) Ingen entydighet vad gäller bråktals skrivning

5 Lärosätten i det antika Grekland Skolorna under klassiska perioden: Joniska skolan (Thales) Pythagoréerna (Pythagoras) Eleatiska skolan (Zenon) Eudoxos skola (Eudoxos) Även Platonsk akademi, filosofi och naturvetenskap Mouseion, en forskningsinstitution i Alexandria

6 Thales (ca f.kr.) Verksam i Miletos (Mindre Asien västkust, Jonien) Den första vetenskapsmannen Astronomi (bl.a. förutsade en solförmörkelse 585 f.kr.) Geometri: den deduktiva geometrins uppkomst (L. Lindahl). Några matematiska satser: A. En cirkel halveras av sin diameter B. Varje vinkel som inskriven i en halvcirkel är rät (randvinkelsatsen) C. Basvinklarna i en likbent triangel är lika stora D. Topptriangelsatsen (likformighet)

7 Pythagoras (ca ) Verksam i Samos, Miletos, Egypten, Babylon. Grundade pythagoreiska skolan: ett hemligt religiöst sällskap som utforskade musik, filosofi samt matematik (arithmos) med tal som grundläggande begrepp. Lärjungar kallades pythogoreerna. Deras valspråk var: ALLT ÄR TAL Talmystik: figurativa tal Perfekta och vänskapliga tal Pythagoreans fira soluppgång av F. Bronnikov. T n = n n+1 2 K n = n 2 P n = n 3n 1 2

8 Pythagoras (ca ) Matematiska insatser: Talmusik (musikaliska intervall som upplevs som harmoniska förhåller sig till varandra som små heltal, 1:2:3:4...) Pythagoras sats Pentagrammet (Πενταγραμ) Gyllene snittet a b = b c = c d = = φ =

9 Inkommensurabilitet: krisen i taluppfatning Hippasos, Pythagoras lärjunge, påvisade att 2 inte kan skrivas som ett bråk. En myt säger att Pythagoras under en sjöresa fått Hippasos kastad överbord för att drunkna på grund av att detta bevis. Bevis (motsägelsebevis): Antar att m = 2 där m och n inte har några gemensamma divisorer. n Detta medför att m = 2 n, alltså m 2 = 2n 2, således är m jämnt. Skriver m = 2m 1 vilket medför att 2m 1 2 = n 2 Således talet n är också jämnt, motsägelse följer

10 Eudoxos (ca f.kr.) Astronom, matematiker. Verkade som lärare i Cyzicus och Aten A. Stereometri och proportionslära B. Pyramidens volym = tredjedelen av en prismas med samma bas och höjd C. Det deliska problemet (kubensfördubbling) D. Uttömningsmetod (integralkalkyls föregångare, vidareutvecklades sedan av Arkimedes)

11 Grupparbete 2 Frågeställningar: A. Varför använda matematikens historia i undervisning? B. Hur kan matematikens historia används i undervisning? C. Är matematikens historia lika viktig för högstadiet och gymnasium? D. Matematikens historia vs andra NV-ämnets (t ex biologins) historia: finns det någon skillnad eller särskilda drag?

12 Euklides (omkring år 300 f.kr.) Verksam vi lärdominstitutionen Museion i Alexandria Sammanställde Elementa (STOIHEA): matematik som en deduktiv vetenskap Cursus seu mundus mathematicus - kursen eller den universella matematiken. Ur Institut Mittag-Lefflers samlingar källan

13 Euklides (omkring år 300 f.kr.) Följer Aristoteliska perspektivet på teori (θεωρία, betyder att titta på, åskåda) satser Påståenden inom teori som härleds ur axiom och tidigare påståenden definitioner begrepp inom en teori axiom eller postulat a priori sanna påstående grundläggande termer primitiva begrepp

14 Euklides (omkring år 300 f.kr.) Exempel på en (rekursiv) definition (J. Thompson, s.156) Kvadrat är en liksidig rektangel Rektangel är en parallellogram med räta vinklar En parallellogram är en fyrsiding med motstående sidor parallella En fyrsiding är en figur med fyra sidor En figur?... Figur Fyrsiding Övriga Parallellogram Trapets Övriga Rektangel Romb Sneda parallellogram Kvadrat

15 Euklides (omkring år 300 f.kr.) Elementa: ett fundamentalt verk som sammanförde matematiken till ett logiskt deduktivt system med postulat, definitioner och propositioner Geometrin begränsas till vad som är möjligt att konstruera med passare och ograderad linjal. Innehåll: Bok 1-6 Plangeometri Bok 7-9 Talteori Bok 10 Inkommensurabla storheter Bok 11-3: Rymdgeometri T.ex. Den första boken består av 23 definitioner 5 postulat 5 gemensamma begrepp 48 satser med bevis

16 Euklides (omkring år 300 f.kr.) Några exempel på definition En linje är en längd utan bredd axiom Den hela är större än sina delar postulat: Man kan dra en unik sträcka mellan varje par av punkter Genom varje punkt utanför en given linje går det högst en parallell linje (det berömda Euklides femte postulat) proposition 18. I varje triangel står den större sidan mot den större vinkeln 20. I varje triangel är summan av två sidor, vilka som helst, större än den återstående sidan.

17 Euklides (omkring år 300 f.kr.) Bok XIII: Fem platonska kroppar (regelbundna kropparna): rymdkroppar vars sidoytor är kongruenta regelbundna polygoner Tetraedern (eld) Kuben (jord) Oktaedern (luft) Ikosaedern (vatten) Dodekaedern (quinta essentia)

18 Arkimedes ( f.kr.) Verksam i Syrakusa på Sicilien. Matematiker, fysiker, ingenjör, uppfinnare, astronom och filosof. Med Newton och Gauss räknas som en av världens största matematikerna Viktigaste matematiska insatser: o Flytande kroppar (Arkimedes princip) o Aritmetik (Sandräknaren) o Mätning av cirkeln, talet π o Bevis av att < π < 7 71 o Areor och volymer, bl a sfären och cylindern o Parabelns kvadratur (föregångare av integralen) o Spiraler (Arkimedes spiral) o Metoden, resonemang V klot = 2 3 V cylinder

19 Appolonios (ca f.kr.) Verksam i Perga (Mindre Asia). Matematiker, författare till Koniska sektioner (Kägelsnitt) som består av 8 böcker Omfattande geometrisk analys av andragradskurvor (parabel, hyperbel, ellips) Föregångare till Descartes koordinatsystem Exempel: Kordasatsen för en ellips Om AE är en tangent då AD BC = AB CD E A B C D

20 Diophantus (300-talet e.kr.) Verksam i Alexandria. Arithmetika, 13 böcker, omfattande exempelsamling Införde ett särskilt tecken för en obekanta (ς) och potenser samt algebraiska operationer ισ betydde lika med, M användes för ett bestämt tal o.s.v. betydde

21 Diophantus (300-talet e.kr.) Diofantiska ekvationer: intressanta är bara heltallösningar. T.ex. bestäm alla heltallösningar till 2x + 3y = 5. Ett annat exempel är berömda Fermats stora sats som säger att det inte finns positiva heltal x, y, z så att x n + y n = z n Pierre Fermat ( ) Andrew Wiles (f.1953)

22 Sammanfattning Klassisk tid (ca f.kr.) Matematiker: Thales (geometri, astronomi, det matematiska beviset) Pythagoras (musik, geometri, inkommensurabilitet) Filosofer: Sokrates, Platon, Aristoteles Hellenistisk tid (338 ca 30 f.kr.) Euklides (Elementa) Arkimedes, Appolonios Romersk tid (ca 30 f.kr. 395 e.kr.) Ptolemaios Diofantos Pappos (Greklands siste matematiker)

23 Referenser T. Hall, Matematikens utveckling, Gleerups, 1970 B.G. Johansson, Matematikens historia, Studentlitteratur, 2004 J. Thompson, Matematiken i historien, Studentlitteratur, 1996 H.L. Resnikoff, R.O. Wells, Mathematics in civilization B. Sjöberg, Från Euklides till Hilbert, Åbo Akademi, 2001 Lars-Åke Lindahl, En inledning till geometri Wikipedia

Explorativ övning 11 GEOMETRI

Explorativ övning 11 GEOMETRI Explorativ övning 11 GEOMETRI Syftet med denna övning är att ge kunskaper om grundläggande geometriska begrepp och resultat om geometriska figurer. Vi vill också ge en uppfattning om geometri som en matematisk

Läs mer

Matematikens historia

Matematikens historia Matematikens historia Matematikens gryning 3000 f.kr. 1500 e.kr. Egypten Uppkom omkring 3000 f.kr. runt floden Nilen. Kulturell blomstring under tiden 2700-2270 2270 f.kr. Erövrades vrades av Alexander

Läs mer

Explorativ övning Geometri

Explorativ övning Geometri Explorativ övning Geometri Syftet med denna övning är att ge kunskaper om grundläggande geometriska begrepp och resultat om geometriska figurer. Vi vill också ge en uppfattning om geometri som en matematisk

Läs mer

4-7 Pythagoras sats. Inledning. Namn:..

4-7 Pythagoras sats. Inledning. Namn:.. Namn:.. 4-7 Pythagoras sats Inledning Nu har du lärt dig en hel del om trianglar. Du vet vad en spetsig och en trubbig triangel är liksom vad en liksidig och en likbent triangel är. Vidare vet du att vinkelsumman

Läs mer

Explorativ övning Geometri

Explorativ övning Geometri Explorativ övning Geometri Syftet med denna övning är att ge kunskaper om grundläggande geometriska begrepp och resultat om geometriska figurer. Vi vill också ge en uppfattning om geometri som en matematisk

Läs mer

Repetition av cosinus och sinus

Repetition av cosinus och sinus Repetition av cosinus och sinus Av Eric Borgqvist, 00-08-6, Lund Syftet med detta dokument är att få en kort och snabb repetition av vissa egenskaper hos de trigonometriska funktionerna sin och cos. Det

Läs mer

Skolverkets förslag till kursplan i matematik i grundskolan. Matematik

Skolverkets förslag till kursplan i matematik i grundskolan. Matematik Matematik Matematiken har en mångtusenårig historia med bidrag från många kulturer. Den har utvecklats ur människans praktiska behov och hennes naturliga nyfikenhet och lust att utforska. Matematisk verksamhet

Läs mer

Matematikhistoria 2.0. Med talteori. Johan Wild

Matematikhistoria 2.0. Med talteori. Johan Wild Matematikhistoria 2.0 Med talteori Johan Wild 12 januari 2011 c Johan Wild 2009 johan.wild@europaskolan.se Får gärna användas i undervisning, kontakta i så fall författaren. 12 januari 2011 Innehåll 1

Läs mer

ALGEBRAISKT TÄNKANDE EN KORT HISTORISK EXPOSÉ ÖVER BEGREPP, UTTRYCKSSÄTT OCH ANVÄNDNINGSOMRÅDEN

ALGEBRAISKT TÄNKANDE EN KORT HISTORISK EXPOSÉ ÖVER BEGREPP, UTTRYCKSSÄTT OCH ANVÄNDNINGSOMRÅDEN ALGEBRAISKT TÄNKANDE EN KORT HISTORISK EXPOSÉ ÖVER BEGREPP, UTTRYCKSSÄTT OCH ANVÄNDNINGSOMRÅDEN MEN FÖRST något om kursens algebradel och den nya läroplanens mål angående algebra. SYFTE Syftet med kursens

Läs mer

4-6 Trianglar Namn:..

4-6 Trianglar Namn:.. 4-6 Trianglar Namn:.. Inledning Hittills har du arbetat med parallellogrammer. En sådan har fyra hörn och motstående sidor är parallella. Vad händer om vi har en geometrisk figur som bara har tre hörn?

Läs mer

Föreläsning 5: Geometri

Föreläsning 5: Geometri Föreläsning 5: Geometri Geometri i skolan Grundläggande begrepp Former i omvärlden Plangeometriska figurer Symmetri och tessellering Tredimensionell geometri och geometriska kroppar Omkrets, area, volym

Läs mer

Explorativ övning Geometri

Explorativ övning Geometri Explorativ övning Geometri Syftet med denna övning är att ge kunskaper om grundläggande geometriska begrepp och resultat om geometriska figurer. Vi vill också ge en uppfattning om geometri som en matematisk

Läs mer

Explorativ övning euklidisk geometri

Explorativ övning euklidisk geometri Explorativ övning euklidisk geometri De viktigaste begreppen och satser i detta avsnitt är: Kongruens och likhet mellan sträckor, vinklar och trianglar. Kongruensfallen för trianglar. Parallella linjer

Läs mer

EUKLIDISK GEOMETRI. Torbjörn Tambour. Matematiska institutionen Stockholms universitet Första upplagan 2002 Eftertryck förbjudes eftertryckligen

EUKLIDISK GEOMETRI. Torbjörn Tambour. Matematiska institutionen Stockholms universitet Första upplagan 2002 Eftertryck förbjudes eftertryckligen EUKLIDISK GEOMETRI Torbjörn Tambour Matematiska institutionen Stockholms universitet Första upplagan 2002 Eftertryck förbjudes eftertryckligen Postadress Matematiska institutionen Stockholms universitet

Läs mer

4-9 Rymdgeometri Namn:.

4-9 Rymdgeometri Namn:. 4-9 Rymdgeometri Namn:. Inledning Rymden har alltid fascinerat. Men vad menas med rymd i matematisk eller geometrisk mening? Här skall du få studera 3- dimensionella figurer och hur man beräknar volymen

Läs mer

Övningshäfte Algebra, ekvationssystem och geometri

Övningshäfte Algebra, ekvationssystem och geometri Stockholms Tekniska Gmnasium --9 Övningshäfte Algebra, ekvationssstem och geometri Nivå: rätt svårt Fråga : f är ett polnom. Beräkna värdet av f, f och fπ Fråga : Ingångslönen på företaget Börjes Gurkinläggning

Läs mer

Lokal kursplan för Ängkärrskolan år 9 Rev. 2009-09-22. -Positionssystemet. -Multiplikation och division. (utan miniräknare).

Lokal kursplan för Ängkärrskolan år 9 Rev. 2009-09-22. -Positionssystemet. -Multiplikation och division. (utan miniräknare). Lokal kursplan för Ängkärrskolan år 9 Rev. 009-09- Matematik år 9 MOMENT MÅL KRITERIER/EXEMPELl Taluppfattning, aritmetik Repetition av: Skriv med siffror tolv -Positionssystemet. hundradelar. 0,, 0,7

Läs mer

Geometri och statistik Blandade övningar. 1. Vid en undersökning av åldern hos 30 personer i ett sällskap erhölls följande data

Geometri och statistik Blandade övningar. 1. Vid en undersökning av åldern hos 30 personer i ett sällskap erhölls följande data Geometri och statistik Blandade övningar Sannolikhetsteori och statistik 1. Vid en undersökning av åldern hos 30 personer i ett sällskap erhölls följande data 27, 30, 32, 25, 41, 52, 39, 21, 29, 34, 55,

Läs mer

Explorativ övning euklidisk geometri

Explorativ övning euklidisk geometri Explorativ övning euklidisk geometri De viktigaste begreppen och satser i detta avsnitt är: Kongruens och likhet mellan sträckor, vinklar och trianglar. Kongruensfallen för trianglar. Parallella linjer

Läs mer

INDUKTION OCH DEDUKTION

INDUKTION OCH DEDUKTION Explorativ övning 3 INDUKTION OCH DEDUKTION Syftet med övningen är att öka Din problemlösningsförmåga och bekanta Dig med olika bevismetoder. Vårt syfte är också att öva skriftlig framställning av matematisk

Läs mer

I den här delen används inte räknare. Motivera alltid din slutsats med matematiska uttryck, figurer, förklaring el.dyl.

I den här delen används inte räknare. Motivera alltid din slutsats med matematiska uttryck, figurer, förklaring el.dyl. DEL 1 Tid 30 min Poängantal 20 I den här delen används inte räknare. Motivera alltid din slutsats med matematiska uttryck, figurer, förklaring el.dyl. 1. Vilket är det största heltalet, som uppfyller följande

Läs mer

ATT KUNNA TILL. MA1050 Matte Grund. 2011-06-14 Vuxenutbildningen Dennis Jonsson

ATT KUNNA TILL. MA1050 Matte Grund. 2011-06-14 Vuxenutbildningen Dennis Jonsson ATT KUNNA TILL MA1050 Matte Grund 2011-06-14 Vuxenutbildningen Dennis Jonsson Sida 2 av 5 Att kunna till prov G1 Kunna ställa upp och beräkna additions-, subtraktions-, multiplikations- och divisuionsuppgifter

Läs mer

Konstruktioner. 1 Att dela en sträcka i två lika delar. I Euklidisk geometri. Johan Wild 2010-01-18. Sträcka AB skall delas i två lika delar.

Konstruktioner. 1 Att dela en sträcka i två lika delar. I Euklidisk geometri. Johan Wild 2010-01-18. Sträcka AB skall delas i två lika delar. Konstruktioner I uklidisk geometri Johan Wild 2010-01-18 c Johan Wild johan.wild@europaskolan.se Får gärna användas i undervisning, kontakta i så fall författaren. 1 tt dela en sträcka i två lika delar

Läs mer

Kurvlängd och geometri på en sfärisk yta

Kurvlängd och geometri på en sfärisk yta 325 Kurvlängd och geometri på en sfärisk yta Peter Sjögren Göteborgs Universitet 1. Inledning. Geometrin på en sfärisk yta liknar planets geometri, med flera intressanta skillnader. Som vi skall se nedan,

Läs mer

Area och volym hos Euklides och Hilberts tredje problem

Area och volym hos Euklides och Hilberts tredje problem Area och volym hos Euklides och Hilberts tredje problem Torbjörn Tambour Mullsjö den 20 juni 2018 Inledning Att arean av en triangel ges av formeln A = b h 2, där b är (längden av) basen och h (längden

Läs mer

I addition adderar vi. Vi kan addera termerna i vilken ordning vi vill: 1 + 7 = 7 + 1

I addition adderar vi. Vi kan addera termerna i vilken ordning vi vill: 1 + 7 = 7 + 1 BEGREPP ÅR 3 Taluppfattning och tals användning ADDITION 3 + 4 = 7 term + term = summa I addition adderar vi. Vi kan addera termerna i vilken ordning vi vill: 1 + 7 = 7 + 1 SUBTRAKTION 7-4 = 3 term term

Läs mer

Volymer av n dimensionella klot

Volymer av n dimensionella klot 252 Volymer av n dimensionella klot Mikael Passare Stockholms universitet Ett klot med radien r är mängden av punkter vars avstånd till en given punkt (medelpunkten) är högst r. Låt oss skriva B 3 (r)

Läs mer

Svar och arbeta vidare med Student 2008

Svar och arbeta vidare med Student 2008 Student 008 Svar och arbeta vidare med Student 008 Det finns många intressanta idéer i årets Känguruaktiviteter. Problemen kan inspirera undervisningen under flera lektioner. Här ger vi några förslag att

Läs mer

Matematik - Åk 8 Geometri

Matematik - Åk 8 Geometri Matematik - Åk 8 Geometri Centralt innehåll Metoder för beräkning av area, omkrets och volym hos geometriska objekt, samt enhetsbyten i samband med detta. Geometriska satser och formler och behovet av

Läs mer

Trianglar: likformighet och kongruens

Trianglar: likformighet och kongruens Trianglar: likformighet och kongruens Tomas Malm Det här dokumentet består av två huvuddelar. Den första delen utgör den brödtext som innehåller själva uppsatsen eller artikeln. Den andra delen kan vi

Läs mer

Sammanfattningar Matematikboken Z

Sammanfattningar Matematikboken Z Sammanfattningar Matematikboken Z KAPitel procent och statistik Procent Ordet procent betyder hundradel och anger hur stor del av det hela som något är. Procentform och 45 % = 0,45 6,5 % = 0,065 decimalform

Läs mer

MVE365, Geometriproblem

MVE365, Geometriproblem Matematiska vetenskaper Chalmers MVE65, Geometriproblem Demonstration / Räkneövningar 1. Konstruera en triangel då två sidor och vinkeln mellan dem är givna. 2. Konstruera en triangel då tre sidor är givna..

Läs mer

7F Ma Planering v2-7: Geometri

7F Ma Planering v2-7: Geometri 7F Ma Planering v2-7: Geometri Arbetsform under en vecka: Måndagar (50 min): Genomgång av gemensamma svårigheter i begrepp och metoder. Arbete i grupp med begrepp och metoder. Läxa (30 min): Läsa på anteckningar

Läs mer

4-3 Vinklar Namn: Inledning. Vad är en vinkel?

4-3 Vinklar Namn: Inledning. Vad är en vinkel? 4-3 Vinklar Namn: Inledning I det här kapitlet skall du lära dig allt om vinklar: spetsiga, trubbiga och räta vinklar. Och inte minst hur man mäter vinklar. Att mäta vinklar och sträckor är grundläggande

Läs mer

8F Ma Planering v2-7 - Geometri

8F Ma Planering v2-7 - Geometri 8F Ma Planering v2-7 - Geometri Arbetsform under en vecka: Tisdagar (50 min): Genomgång av gemensamma svårigheter i begrepp och metoder. Arbete i grupp med begrepp och metoder. Läxa (30 min): Läsa på anteckningar

Läs mer

Lokal pedagogisk planering i matematik för årskurs 8

Lokal pedagogisk planering i matematik för årskurs 8 Lokal pedagogisk planering i matematik för årskurs 8 Arbetsområde 2. Algebra Syfte formulera och lösa problem med hjälp av matematik samt värdera valda strategier och metoder. reflektera över matematikens

Läs mer

Euklidisk geometri. LMA100, vt 06

Euklidisk geometri. LMA100, vt 06 Euklidisk geometri Geometri är en av de äldsta vetenskaperna. Många resultat var redan bekanta i de egyptiska, babyloniska och kinesiska kulturerna. Själva ordet geometri kommer från grekiska och betyder

Läs mer

9E Ma Planering v2-7 - Geometri

9E Ma Planering v2-7 - Geometri 9E Ma Planering v2-7 - Geometri Arbetsform under en vecka: Måndagar (50 min): Genomgång av gemensamma svårigheter i begrepp och metoder. Arbete i grupp med begrepp och metoder. Läxa (45 min): Läsa på anteckningar

Läs mer

Mattestegens matematik

Mattestegens matematik höst Decimaltal pengar kr 0 öre,0 kr Rita 0,0 kr på olika sätt. räkna,0,0 storleksordna decimaltal Sub för lite av två talsorter 7 00 0 tallinjer heltal 0 0 Add med tiotalsövergångar 0 7 00 0 Sub för lite

Läs mer

Matematikens historia (3hp) Vladimir Tkatjev

Matematikens historia (3hp) Vladimir Tkatjev Matematikens historia (3hp) Vladimir Tkatjev Dagens program Introduktion och kursens översikt Talbegreppets utveckling Den äldsta matematiken - EGYPTEN och BABYLON Obligatorisk kurslitteratur Tord Hall

Läs mer

Värt att veta om högstadiets matematik

Värt att veta om högstadiets matematik Värt att veta om högstadiets matematik Av: Thomas Sundell Dessa uppgifter är övningsexempel gjorda för godkänd nivå. Upprepa gärna övningar inför varje prov. Aritmetik sid Jämförelsepris Sid Bråk Sid Procent

Läs mer

Matematikens Historia 3000 f Kr 1500 e Kr

Matematikens Historia 3000 f Kr 1500 e Kr L0001M, Matematikens Historia 008-01-30 Matematikens Historia 3000 f Kr 1500 e Kr Av : Anna Pagourelia annpag-5@student.ltu.se Mikael Bergman imieba-5@student.ltu.se Institution för matematik Luleå Tekniska

Läs mer

2. 1 L ä n g d, o m k r e t s o c h a r e a

2. 1 L ä n g d, o m k r e t s o c h a r e a 2. 1 L ä n g d, o m k r e t s o c h a r e a Ett plan är en yta som inte är buktig och som är obegränsad åt alla håll. På ett plan kan man rita en linje som är rak (rät). En linje är obegränsad åt båda

Läs mer

MATEMATIK 3.5 MATEMATIK

MATEMATIK 3.5 MATEMATIK TETIK 3.5 TETIK Matematiken har en flertusenårig historia med bidrag från många kulturer. Den utvecklas såväl ur praktiska behov som ur människans nyfikenhet och lust att utforska matematiken som sådan.

Läs mer

Geometri. Matematik i tre dimensioner

Geometri. Matematik i tre dimensioner Geometri Matematik i tre dimensioner Geometriska figurer kvadrat rektangel rom parallellogram parallelltrapets liksidig triangel likent triangel rätvinklig triangel cirkel ellips = oval pentagon = femörning

Läs mer

Eulers polyederformel och de platonska kropparna

Eulers polyederformel och de platonska kropparna Eulers polyederformel och de platonska kropparna En polyeder är en kropp i rummet som begränsas av sidoytor som alla är polygoner. Exempel är tetraedern och kuben, men klotet och konen är inte polyedrar.

Läs mer

Vardagsord. Förstår ord som fler än, färre än osv. Har kunskap om hälften/dubbelt. Ex. Uppfattning om antal

Vardagsord. Förstår ord som fler än, färre än osv. Har kunskap om hälften/dubbelt. Ex. Uppfattning om antal TALUPPFATTNING Mål som eleven ska ha uppnått i slutet av det femte skolåret: Eleven skall ha förvärvat sådana grundläggande kunskaper i matematik som behövs för att kunna beskriva och hantera situationer

Läs mer

SF1620 Matematik och modeller

SF1620 Matematik och modeller KTH Teknikvetenskap, Institutionen för matematik 1 SF160 Matematik och modeller 007-09-10 Andra veckan Trigonometri De trigonometriska funktionerna och enhetscirkeln Redan vid förra veckans avsnitt var

Läs mer

konstanterna a och b så att ekvationssystemet x 2y = 1 2x + ay = b 2 a b

konstanterna a och b så att ekvationssystemet x 2y = 1 2x + ay = b 2 a b Tentamen i Inledande matematik för V och AT, (TMV25), 20-0-26. Till denna uppgift skulle endast lämnas svar, men här ges kortfattade lösningar. a) Bestäm { konstanterna a och b så att ekvationssystemet

Läs mer

Matematik 92MA41 (15hp) Vladimir Tkatjev

Matematik 92MA41 (15hp) Vladimir Tkatjev Matematik 92MA41 (15hp) Vladimir Tkatjev Lite inspiration Går det att konstruera 6 kvadrater av 12 tändstickor? Hur gör man då? (Nämnaren, Nr 2, 2005) Litet klurigt kanske, bygg en kub av stickorna: Uppgift

Läs mer

matematik Syfte Kurskod: GRNMAT2 Verksamhetspoäng: 600 1. KuRSplanER FöR KoMMunal VuxEnutBildninG på GRundläGGandE nivå 55

matematik Syfte Kurskod: GRNMAT2 Verksamhetspoäng: 600 1. KuRSplanER FöR KoMMunal VuxEnutBildninG på GRundläGGandE nivå 55 Matematik Kurskod: GRNMAT2 Verksamhetspoäng: 600 Matematiken har en flertusenårig historia med bidrag från många kulturer. Den utvecklas såväl ur praktiska behov som ur människans nyfikenhet och lust att

Läs mer

Storvretaskolans Kursplan för Matematik F-klass- år 5

Storvretaskolans Kursplan för Matematik F-klass- år 5 2010-11-01 Storvretaskolans Kursplan för Matematik F-klass- år 5 Skolan skall i sin undervisning sträva efter att eleven : utvecklar intresse för matematik samt tilltro till det egna tänkandet och den

Läs mer

a n = A2 n + B4 n. { 2 = A + B 6 = 2A + 4B, S(5, 2) = S(4, 1) + 2S(4, 2) = 1 + 2(S(3, 1) + 2S(3, 2)) = 3 + 4(S(2, 1) + 2S(2, 2)) = 7 + 8 = 15.

a n = A2 n + B4 n. { 2 = A + B 6 = 2A + 4B, S(5, 2) = S(4, 1) + 2S(4, 2) = 1 + 2(S(3, 1) + 2S(3, 2)) = 3 + 4(S(2, 1) + 2S(2, 2)) = 7 + 8 = 15. 1 Matematiska Institutionen KTH Lösningar till tentamensskrivning på kursen Diskret Matematik, moment A, för D och F, SF161 och SF160, den juni 008 kl 08.00-1.00. DEL I 1. (p) Lös rekursionsekvationen

Läs mer

Matematikens historia 3000 BC 1500 AC. Av Catarina Johansson Vt 2009 L0001M

Matematikens historia 3000 BC 1500 AC. Av Catarina Johansson Vt 2009 L0001M Matematikens historia 3000 BC 1500 AC Av Catarina Johansson Vt 2009 L0001M Varför matematik? Den tidiga matematiken utvecklades för att användas till att lösa problem inom Astronomi, Bokföring, Konstruktion

Läs mer

Pesach Laksman är lärarutbildare i matematik och matematikdidaktik vid Malmö högskola.

Pesach Laksman är lärarutbildare i matematik och matematikdidaktik vid Malmö högskola. 111a Geometri med snöre Pesach Laksman är lärarutbildare i matematik och matematikdidaktik vid Malmö högskola. Areabegreppet När elever får frågan vad area betyder ges mestadels svar som antyder hur man

Läs mer

ENDIMENSIONELL ANALYS B1 FÖRELÄSNING II. Föreläsning II. Mikael P. Sundqvist

ENDIMENSIONELL ANALYS B1 FÖRELÄSNING II. Föreläsning II. Mikael P. Sundqvist Föreläsning II Mikael P. Sundqvist Att bygga matematisk teori Odefinierade begrepp Axiom påstående som ej behöver bevisas Definition namn på begrepp Sats påstående som måste bevisas Lemma hjälpsats Proposition

Läs mer

Lathund, procent med bråk, åk 8

Lathund, procent med bråk, åk 8 Lathund, procent med bråk, åk 8 Procent betyder hundradel, men man kan också säga en av hundra. Ni ska kunna omvandla mellan bråkform, decimalform och procentform. Nedan kan ni se några omvandlingar. Bråkform

Läs mer

Träning i bevisföring

Träning i bevisföring KTHs Matematiska Cirkel Träning i bevisföring Andreas Enblom Institutionen för matematik, 2005 Finansierat av Marianne och Marcus Wallenbergs Stiftelse 1 Mängdlära Här kommer fyra tips på hur man visar

Läs mer

Snabbslumpade uppgifter från flera moment.

Snabbslumpade uppgifter från flera moment. Snabbslumpade uppgifter från flera moment. Uppgift nr Ställ upp och dividera utan hjälp av miniräknare talet 48 med 2 Uppgift nr 2 Skriv talet 3 8 00 med hjälp av decimalkomma. Uppgift nr 3 Uppgift nr

Läs mer

3.1 Linjens ekvation med riktningskoefficient. y = kx + l.

3.1 Linjens ekvation med riktningskoefficient. y = kx + l. Kapitel Analytisk geometri Målet med detta kapitel är att göra läsaren bekant med ekvationerna för linjen, cirkeln samt ellipsen..1 Linjens ekvation med riktningskoefficient Vi utgår från ekvationen 1

Läs mer

Kongruens och likformighet

Kongruens och likformighet Kongruens och likformighet Torbjörn Tambour 23 mars 2015 I kompendiet har jag tagit kongruens- och likformighetsfallen mer eller mindre som axiom, vilket jag nu tycker är olyckligt, och de här sidorna

Läs mer

Mätning och geometri

Mätning och geometri Mätning och geometri LMN100 Matematik, del 2 I den här delen av kursen skall vi gå igenom begrepp som längd, area och volym. Vi skall också studera Euklidisk geometri och bevisa satser om och lära oss

Läs mer

DOP-matematik Copyright Tord Persson. Bråktal -3-2 -1 0 1 2 3. Läs av vilka tal på tallinjen, som pilarna pekar på. Uppgift nr 10 -3-2 -1 0 1 2 3

DOP-matematik Copyright Tord Persson. Bråktal -3-2 -1 0 1 2 3. Läs av vilka tal på tallinjen, som pilarna pekar på. Uppgift nr 10 -3-2 -1 0 1 2 3 Bråktal Uppgift nr En limpa delas i 4 lika stora delar. Hur stor del av limpan blir varje del? Uppgift nr 2 Hur många tiondelar behövs för att det skall räcka till en hel? Uppgift nr Hur läser man ut bråket

Läs mer

M=matte - Handledning

M=matte - Handledning Fingris Fingerräkning Grunden för matematik är taluppfattning. I detta spel parar du ihop tal med fingrarnas antal. Finns det fler fingrar än talet anger? Eller färre? Lika många? Det finns många frågor

Läs mer

4-10 Rymdgeometri fördjupning Namn:..

4-10 Rymdgeometri fördjupning Namn:.. 4-10 Rymdgeometri fördjupning Namn:.. Inledning I kapitlet om rymdgeometri lärde du dig känna igen de vanligaste tredimensionella kropparna, och hur man beräknar deras yta och volym. I detta kapitel skall

Läs mer

Ma7-Per: Geometri. Det tredje arbetsområdet handlar om geometri.

Ma7-Per: Geometri. Det tredje arbetsområdet handlar om geometri. Ma7-Per: Geometri Det tredje arbetsområdet handlar om geometri. Syftet med undervisningen är att du ska utveckla din förmåga att: - formulera och lösa problem med hjälp av matematik samt värdera valda

Läs mer

Konkretisering av kunskapskraven i matematik år 7-9 (Lgr11)

Konkretisering av kunskapskraven i matematik år 7-9 (Lgr11) Konkretisering av kunskapskraven i matematik år 7-9 (Lgr11) ( www.skolverket.se) Kunskapskraven i matematik kan delas in i följande områden: problemlösning, begrepp, metod, kommunikation och resonemang.

Läs mer

Du kommer känna igen en del av området och få chansen att repitera detta men samtidigt kommer du att stöta på lite nytt.

Du kommer känna igen en del av området och få chansen att repitera detta men samtidigt kommer du att stöta på lite nytt. Aritmetik för år 9 Under några veckor kommer vi att arbeta med området Tal. Du kommer känna igen en del av området och få chansen att repitera detta men samtidigt kommer du att stöta på lite nytt. Som

Läs mer

Detta prov består av del 1 och 2. Här finns också facit och förslag till poängsättning

Detta prov består av del 1 och 2. Här finns också facit och förslag till poängsättning Allmänt om proven Detta prov består av del 1 och. Här finns också facit och förslag till poängsättning och bedömning. Provet finns på lärarwebben, dels som pdf-fil och dels som redigerbar Word-fil. Del

Läs mer

Geometri. G. Diagnoserna i området avser att kartlägga om eleverna behärskar grundläggande geometriska begrepp och metoder.

Geometri. G. Diagnoserna i området avser att kartlägga om eleverna behärskar grundläggande geometriska begrepp och metoder. . G Diagnoserna i området avser att kartlägga om eleverna behärskar grundläggande geometriska begrepp och metoder. Området består av följande tre (fyra) delområden: MGF Förberedande mätning och geometri

Läs mer

Enklare matematiska uppgifter

Enklare matematiska uppgifter Årgång 29, 1946 Första häftet 1435. I en triangel drages en höjd, varigenom två deltrianglar uppstå. Uttryck höjden som funktion av radierna i de cirklar, som äro inskrivna i den ursprungliga triangeln

Läs mer

Konsten att bestämma arean

Konsten att bestämma arean Konsten att bestämma arean Lektion Ett (Matematiskt område - Talmängder) Vad är viktigast? Introducera tanken om att felet skulle kunna vara viktigare än svaret. Vad väger äpplet? Gissa. Jämför med mätvärdet

Läs mer

Enklare uppgifter, avsedda för skolstadiet.

Enklare uppgifter, avsedda för skolstadiet. Årgång 11, 1927 Första häftet 265. Lös ekvationssystemet { x 3 5x + 2y = 0 y 3 + 2x 5y = 0 266. Visa att uttrycket na n+1 (n + 1)a n + 1 där a och n äro positiva hela tal och a > 2, alltid innehåller en

Läs mer

När jag promenerar i stan under julen väcker synen av alla adventsstjärnor

När jag promenerar i stan under julen väcker synen av alla adventsstjärnor Juan Parera-Lopez Stjärnor tema för julmatematiklektioner Stjärnor är vanligt förekommande i vår vardag, särskilt i adventstider. Förutom att de lyser upp när vi har det som mörkast kan de ge rika uppslag

Läs mer

Erfarenheter från ett pilotprojekt med barn i åldrarna 1 5 år och deras lärare

Erfarenheter från ett pilotprojekt med barn i åldrarna 1 5 år och deras lärare Erfarenheter från ett pilotprojekt med barn i åldrarna 1 5 år och deras lärare I boken får vi följa hur barn tillsammans med sina lärare gör spännande matematikupptäckter - i rutinsituationer - i leken

Läs mer

Institutionen för matematik Envariabelanalys 1. Jan Gelfgren Datum: Fredag 9/12, 2011 Tid: 9-15 Hjälpmedel: Inga (ej miniräknare)

Institutionen för matematik Envariabelanalys 1. Jan Gelfgren Datum: Fredag 9/12, 2011 Tid: 9-15 Hjälpmedel: Inga (ej miniräknare) Umeå universitet Dugga i matematik Institutionen för matematik Envariabelanalys 1 och matematisk statistik IE, ÖI, Stat. och Frist. Jan Gelfgren Datum: Fredag 9/12, 2011 Tid: 9-15 Hjälpmedel: Inga (ej

Läs mer

Lokala kursplaner i Matematik Fårösunds skolområde reviderad 2005 Lokala mål Arbetssätt Underlag för bedömning

Lokala kursplaner i Matematik Fårösunds skolområde reviderad 2005 Lokala mål Arbetssätt Underlag för bedömning Lokala kursplaner i Matematik Fårösunds skolområde reviderad 2005 Lokala mål Arbetssätt Underlag för bedömning Eleven skall år 1 Begrepp Jämförelse- och storleksord, t.ex. stor, större, störst. Positionssystemet

Läs mer

URVALSSAMARBETET INOM NATURBRUK OCH MILJÖOMRÅDET I YRKESHÖGSKOLORNA URVALSPROV 2004. Provet i matematik 8.6.2004

URVALSSAMARBETET INOM NATURBRUK OCH MILJÖOMRÅDET I YRKESHÖGSKOLORNA URVALSPROV 2004. Provet i matematik 8.6.2004 1 URVALSSAMARBETET INOM NATURBRUK OCH MILJÖOMRÅDET I YRKESHÖGSKOLORNA URVALSPROV 2004 Provet i matematik 8.6.2004 Uppgift 1 a) Farfar ger sitt barnbarn följande problem: Ett bröd väger ett kilogram plus

Läs mer

8-1 Formler och uttryck. Namn:.

8-1 Formler och uttryck. Namn:. 8-1 Formler och uttryck. Namn:. Inledning Ibland vill du lösa lite mer komplexa problem. Till exempel: Kalle är dubbelt så gammal som Stina, och tillsammans är de 33 år. Hur gammal är Kalle och Stina?

Läs mer

Kriterium Kvalitet 1 Kvalitet 2 Kvalitet 3 Kvalitet 4 Använda, Utveckla och uttrycka

Kriterium Kvalitet 1 Kvalitet 2 Kvalitet 3 Kvalitet 4 Använda, Utveckla och uttrycka Matematik Enheter - Tid Utveckla och Känner till några enheter och enstaka mätinstrument. Utför enkla mätningar. Avläser analoga och digitala tider.använder både muntliga och skriftliga metoder samt tekniska

Läs mer

MA 1202 Matematik B Mål som deltagarna skall ha uppnått efter avslutad kurs.

MA 1202 Matematik B Mål som deltagarna skall ha uppnått efter avslutad kurs. MA 202 Matematik B Mål som deltagarna skall ha uppnått efter avslutad kurs. Deltagaren skall kunna formulera, analysera och lösa matematiska problem av betydelse för tillämpningar och vald studieinriktning

Läs mer

Att man bara kan konstruera fem platonska kroppar hänger samman med vinkelsumman som bildas då sidorna möts i kroppens hörn.

Att man bara kan konstruera fem platonska kroppar hänger samman med vinkelsumman som bildas då sidorna möts i kroppens hörn. Geometri Mål När eleverna har studerat det här kapitlet ska de: förstå vad volym är för något kunna ge namn på och känna igen olika rymdgeometriska kroppar såsom rätblock, kub, cylinder, prisma, klot,

Läs mer

Södervångskolans mål i matematik

Södervångskolans mål i matematik Södervångskolans mål i matematik Mål som eleverna lägst ska ha uppnått i slutet av det första skolåret beträffande tal och taluppfattning kunna läsa av en tallinje mellan 0-20 kunna läsa och ramsräka tal

Läs mer

Vi skall skriva uppsats

Vi skall skriva uppsats Vi skall skriva uppsats E n vacker dag får du höra att du skall skriva uppsats. I den här texten får du veta vad en uppsats är, vad den skall innehålla och hur den bör se ut. En uppsats är en text som

Läs mer

Föreläsning 8: Räkning. Duvhålsprincipen. Kombinatorik

Föreläsning 8: Räkning. Duvhålsprincipen. Kombinatorik Föreläsning 8: Räkning. Duvhålsprincipen. Kombinatorik Summaregeln Om och B är disjunkta mängder så B = + B, ty innehåller inga upprepningar Produktregeln Om och B är disjunkta mängder så är B = B Exempel:

Läs mer

Undersökande arbetssätt i matematik 1 och 2

Undersökande arbetssätt i matematik 1 och 2 Matematik Gymnasieskola Modul: Matematikundervisning med digitala verktyg Del 6: Undersökande arbetssätt med matematisk programvara Undersökande arbetssätt i matematik 1 och 2 I texten Undersökande arbetssätt

Läs mer

Geometriska konstruktioner

Geometriska konstruktioner Stockholms Matematiska Cirkel Geometriska konstruktioner Lisa Nicklasson Gustav Zickert Institutionen för matematik KTH och Matematiska institutionen Stockholms universitet 2017 2018 Innehåll 1 Vad är

Läs mer

SKOGLIGA TILLÄMPNINGAR

SKOGLIGA TILLÄMPNINGAR STUDIEAVSNITT 3 SKOGLIGA TILLÄMPNINGAR I detta avsnitt ska vi titta på några av de skogliga tillämpningar på geometri som finns. SKOGSKARTAN EN MODELL AV VERKLIGHETEN Arbetar man i skogen klarar man sig

Läs mer

Historisk tidslinje & matematisk publikation

Historisk tidslinje & matematisk publikation Historisk tidslinje & matematisk publikation Niels Chr. Overgaard 2016-11-07 N. Chr. Overgaard Historia 2016-11-07 logoonly 1 / 12 Översikt Vi ska idag behandla tre ämnen: Snabb överblick över matematikens

Läs mer

KOSMOS - Små och stora tal

KOSMOS - Små och stora tal Undervisning KOSMOS - Små och stora tal Lärandemål (konkretisering av syfte och centralt innehåll ur Lgr 11) Reella tal och deras egenskaper samt deras användning i vardagliga och matematiska situationer

Läs mer

Algebra, polynom & andragradsekvationer en pampig rubrik på ett annars relativt obetydligt dokument

Algebra, polynom & andragradsekvationer en pampig rubrik på ett annars relativt obetydligt dokument Algebra, polynom & andragradsekvationer en pampig rubrik på ett annars relativt obetydligt dokument Distributiva lagen a(b + c) = ab + ac 3(x + 4) = 3 x + 3 4 = 3x + 12 3(2x + 4) = 3 2x + 3 4 = 6x + 12

Läs mer

Lathund, geometri, åk 9

Lathund, geometri, åk 9 Lathund, geometri, åk 9 I årskurs 7 och 8 räknade ni med sträckor och ytor i en dimension (1D) respektive två dimensioner (2D). Nu i årskurs 9 har ni istället börjat räkna volymer av geometriska kroppar

Läs mer

Steg 10. 6 a) 0,129 b) 1,72 c) 2,05 7 a) 960 kr b) 1600 kr c) 14 kr 8 30% 9 a) 32% b) 60% c) 12% 10 20% 11 a) b) c) 2. 12 a) 135 b) c) 6 ( )

Steg 10. 6 a) 0,129 b) 1,72 c) 2,05 7 a) 960 kr b) 1600 kr c) 14 kr 8 30% 9 a) 32% b) 60% c) 12% 10 20% 11 a) b) c) 2. 12 a) 135 b) c) 6 ( ) Bråk och procent Steg elever a) st b) st 0,, %,,,, 0 liter T ex och a) b) 0 a) 0, b) 0, c) 0, a) ( ) b) c) 00 0 a) b) c) a) ( 00) b) 0 ( 000) c) ( ) 000 a) 0, b) 0, c) 0, a) b) c) 0 a) b) a) > b) < c)

Läs mer

KUNSKAP OCH KOMMUNIKATION

KUNSKAP OCH KOMMUNIKATION KUNSKAP OCH KOMMUNIKATION SIFFERDJÄVULENS PERSPEKTIV JULIUSZ BRZEZINSKI MATEMATISKA VETENSKAPER CHALMERS TEKNISKA HÖGSKOLA OCH GÖTEBORGS UNIVERSITET KOMMUNIKATION FORMELL : YRKESROLL, LÄRARROLL, MED- VERKAN

Läs mer

Möbiustransformationer.

Möbiustransformationer. 224 Om Möbiustransformationer Torbjörn Kolsrud KTH En Möbiustransformation är en komplexvärd funktion f av en komplex variabel z på formen f(z) = az + b cz + d. Här är a b c och d komplexa tal. Ofta skriver

Läs mer

Geometri med fokus på nyanlända

Geometri med fokus på nyanlända Geometri med fokus på nyanlända Borås 17 januari 2017 Madeleine Löwing Tala matematik Bygga och Begripa Begrepp i Geometri Använda förklaringsmodeller som hjälper eleven att bygga upp långsiktigt hållbara

Läs mer

Kursplan i Matematik för Alsalamskolan

Kursplan i Matematik för Alsalamskolan Kursplan i Matematik för Alsalamskolan Vi kommer att använda oss av följande nyanserade ord, Känna till, Kunna och Förstå. Att känna till är att ha hört talas om, att kunna är att kunna använda och förstå

Läs mer

2005-01-31. Hävarmen. Peter Kock

2005-01-31. Hävarmen. Peter Kock 2005-01-31 Hävarmen Kurs: WT0010 Peter Kock Handledare: Jan Sandberg Sammanfattning Om man slår upp ordet hävarm i ett lexikon så kan man läsa att hävarm är avståndet mellan kraften och vridningspunkten.

Läs mer

Matematikbokens Prio kapitel Kap 3,.,Digilär, NOMP

Matematikbokens Prio kapitel Kap 3,.,Digilär,     NOMP Geometri Syftet med undervisningen är att du ska utveckla din förmåga att: - formulera och lösa problem med hjälp av matematik samt värdera valda strategier och metoder, - använda och analysera begrepp

Läs mer

Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1

Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 Anvisningar Avsikten med följande frågor är att hjälpa dig med självkontroll av dina kunskaper. Om du känner dig osäker på svaren bör du slå upp motsvarande

Läs mer