Matematikelevers första kontakt med CAS-räknare i gymnasiet

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "Matematikelevers första kontakt med CAS-räknare i gymnasiet"

Transkript

1 Matematikelevers första kontakt med CAS-räknare i gymnasiet Ett studium av elever på Naturvetenskapliga programmets årskurs 3 när de för första gången använder CAS-räknare Matti Övermark Student Vt 2011 Examensarbete, 30 hp Allmänt utbildningsområde, AUO, 90 hp

2 Sammanfattning Sedan hösten 2007 har symbolhanterande räknare (CAS-räknare) varit tillåtna på nationella prov i matematik på gymnasiet i Sverige. Men de används lite i matematikundervisningen. En av forskningsfrågorna: Hur klarar gymnasister, på Naturvetarprogrammets sista år, av att lära sig moderna CASräknare? En andra fråga: Vad tycker eleverna om att använda CAS-räknare? Jag har observerat elever ur en matematikklass, årskurs 3, på det Naturvetenskapliga programmet, med teorier enligt Nielsen (1993). De fem underfrågeställningarna lyder: 1) Är CAS-räknaren lätt att använda?, 2) Är CAS-räknaren effektiv att använda?, 3) Är det lätt att komma ihåg kommandona?, 4) Gör eleverna få fel?, samt 5) Vad tycker eleverna om mötet med CAS-räknarna, är de nöjda med upplevelsen? I min datainsamling använde jag mig av observationer av 11 elever vars arbete videofilmades samt enkäter. De två CAS-räknarna som studerades var Casio Classpad 330 och Texas Instruments TI Nspire CAS. Resultatet är att studenterna tycker att CAS-räknaren är lätt att använda och de är nöjda med erfarenheten att använda CAS-räknare i matematiken. Summary Since fall 2007 Symbolic calculators (CAS-calculators) have been allowed in national tests in Upper Secondary mathematics in Sweden. But their usage in Swedish mathematics education is limited. One research question is: Are modern CAS-calculators difficult to learn, for final year Science students in Upper Secondary school? A second question is: What does the students think about using CAS-calculators? I have observed mathematics students, a 3rd year Science class, with theories according to Nielsen (1993). The five subquestions that are measureable are: 1) Is the CAS-calculator easy to work with?, 2) Is the CAS-calculator efficient to use?, 3) Is it easy to remember the commands?, 4) Does the students make few errors?, and 5) what does the student think about the CAS-calculator, is the experience pleasing?. When collecting the material I used both observations of the 11 students, and questionnaires. The two CAS-calculators that were used were the Casio Classpad 330 and the Texas Instruments TI Nspire CAS. The main results are that the CAS-calculator itself is easy to learn and that the students are satisfyed with their experience with the calculator when solving exercises in mathematics. Nyckelord: Casio ClassPad 330, datoralgebra, Texas Instruments TI Nspire CAS, symbolhanterande miniräknare

3 Innehåll 1 Inledning Bakgrund Begreppet CAS-räknare samt kort historik Syfte Forskningsfrågor Litteratur och teori CAS-räknare i de nationella styrdokumenten Teorier och argument för och emot CAS i gymnasiet Teorier kring Human Computer Interface Definition av användbarhet enligt Nielsen Metod Urval Avgränsning Datainsamling Databearbetning Uppgifter för empirin Analysmetod Etiska aspekter Resultat och analys Översiktlig beskrivning av observationerna Kritiska händelser Resultat från enkäterna Resultat från observationerna Sammanfattning medelvärden Diskussion Egna forskningsresultat Koppling till tidigare forskning Kommentarer Förslag till fortsatt forskning A Kortfattad instruktion Casio ClassPad B Kortfattad instruktion Texas Instruments TI-Nspire CAS 31 C De 10 uppgifterna för observationen 32 i

4 D Enkätfrågor före observationer 33 E Enkätfrågor efter observationer 34 F Resultat derivering före och efter 35 G Resultat ekvationslösning före och efter 36 Figurer 1 Casio ClassPad Texas Instruments TI Nspire CAS Instrument och instrumentalisering Trouche (2004) Figur över systemattribut Nielsen (1993) Figur över möjliga inlärningskurvor,(nielsen, 1993, s. 28) Elevernas självskattning om derivata Elevernas självskattning om ekvationer Tabeller 1 Medeltider för utförande av derivering för respektive omgång Medeltider för utförande av ekvationslösning för respektive omgång Elevernas och Mattis skattningar Enkätfrågor före observation Enkätfrågor efter observation ii

5 1 Inledning 1.1 Bakgrund Jag har under mina tidigare studier samt arbete som beräkningsingenjör använt mig av symbolhanterande räknare (HP-48/49/50), och ser därför stor potential i dem - åtminstone i vissa fall. Jag fick en möjlighet att delta i ett kort seminarium under våren 2010 (i samband med studier till lärare vid Umeå universitet) när Texas Instruments visade upp sin TI Nspire CAS, varur en tanke om att göra ett examensarbete kring CAS-räknare föddes. Sedan höstterminen 2007 är symbolhanterande räknare (CAS-räknare) tillåtna vid gymnasiets nationella prov i matematik. Proven är uppdelade i en inledande del där inga räknare får användas, och en del där räknare får användas. De är gjorda så att en elev inte har fördelar av att använda sig av en CAS-räknare under proven. Men användningen av CAS-räknare är lite förekommande i den svenska matematikundervisningen av idag, varför tanken föddes att betrakta nybörjare på CAS-räknare i deras första kontakt med dessa räknare. Dessa gymnasister är dock inga nybörjare i matematik eftersom de läser årskurs 3 på det Naturvetenskapliga programmet. Kan bristen på användning bero på att de är svåra att använda? Går det att lära sig att derivera och lösa ekvationer på en kort, begränsad tid? De två CAS-räknare som använts är Casio ClassPad 330 och Texas Intruments TI Nspire CAS. 1.2 Begreppet CAS-räknare samt kort historik Förkortningen CAS står för Computer Algebra System, dator algebra system och i det följande använder jag CAS-räknare som benämning för de räknare som är medtagna i studien. Kännetecken för en CAS-räknare är enligt Cuoco (2002) att den tillhandahåller numeriska rutiner med hög precision och inbyggda matematiska funktioner, programmeringsspråk, grafiska möjligheter för plottning i R 2, R 3 och C. Slutligen har de tabellerings- och matrisfunktioner. Den första CAS-räknaren var Hewlett-Packard HP-28C som kom Den hade 2 kilobyte använbart minne. Ett år senare kom HP-28S med 32kb RAM. Därefter har utvecklingen gått framåt i rasande fart och de senaste modellerna av HP, Casio och Texas Instruments är alla i stort sett jämförbara. Priset för en sådan enhet är runt 1500 kr (2011). Skulle man ha en Apple iphone så kan man köpa en app - Wolfram Alpha till den för 7 kr. Men det finns även gratisprogram såsom Microsoft Mathematics för PC. På marknaden så finns det idag tre tillverkare av CAS-räknare, Casio, 1

6 Hewlett-Packard (HP) och Texas Instruments (TI). I denna studie studeras två av CAS-räknarna: Casio ClassPad 330 samt Texas Instrument TI Nspire CAS. Detta då dessa två räknare anses ha de största marknadsandelar i Sverige (det är svårt att ta reda på faktiska försäljningssiffror) samt att jag ville se hur reaktionen blev då användargränssnittet var mycket annorlunda jämfört med elevens ordinarie räknare. Se figurer nedan för de två utvalda räknarna. Figur 1: Casio ClassPad 330 Notera att Casion har en tryckkänslig skärm och kan styras med en penna. Texas Instrument-räknaren har en tryckkänslig platta med vilken man kan Figur 2: Texas Instruments TI Nspire CAS styra räknaren. När det gäller olika CAS-räknare på marknaden så finns det även andra modeller såsom Casio FX 2.0 Algebra, TI-89, och HP-40g för att nämna några. 1.3 Syfte I många länder i Europa så används CAS-räknare (Computer Algebra System, symbolhanterande räknare) i matematikundervisningen på (motsvarande) gymnasienivå. Sedan hösten 2007 är det tillåtet att använda CAS-räknare 2

7 på de nationella proven i matematik på gymnasiet. Den bild jag har är att få lärare använder dem. Detta kan ha flera orsaker. Syftet med denna studie är att ta reda på om elever på gymnasiet tycker att dagens CAS-räknare är svåra att använda, och att just detta är en begränsning för räknarnas användning. 1.4 Forskningsfrågor De övergripande forskningsfrågor som jag arbetat med är: A. Hur klarar gymnasister, på Naturvetarprogrammets sista år, av att lära sig moderna CAS-räknare? B. Vad tycker eleverna om att använda CAS-räknare? För att kunna svara på ovanstående två frågor så operationerades frågeställningarna med hjälp av teorier kring användbarhet enligt Nielsen (1993). 1. Easy to learn. Är CAS-räknaren lätt att använda? 2. Efficient to use. Är CAS-räknaren effektiv att använda? 3. Easy to remember. Är det lätt att komma ihåg komma ihåg kommandona? 4. Few errors. Gör eleverna få fel? 5. Subjectively pleasing. Vad tycker eleverna om mötet med CAS-räknarna, är de nöjda med upplevelsen? Detta mättes genom att observera eleverna direkt under filmningen, men även vid senare genomgång av filmerna och enkätsvaren. 3

8 2 Litteratur och teori I detta kapitel redovisar jag den litteratur och de teorier som jag använt för att skapa mig en förståelse för de empiriska studierna och analyserna som utförts. Jag börjar med att definiera begreppen och därefter klargöra respektive område. 2.1 CAS-räknare i de nationella styrdokumenten I läroplanen för gymnasieskolan, Lpf 94, står ingenting om CAS-räknare eller symbolhanterande räknare. Däremot står att det är rektors ansvar att elever får tillgång till...hjälpmedel för att själv kunna söka och utveckla kunskaper, bl. a. bibliotek, datorer och andra tekniska hjälpmedel, (Skolverket, 1994, s. 16). När det gäller kursplanerna i matematik så berör endast Matematik-D CAS- programvara, Skolverket (2000),...vid problemlösning kunna använda grafisk, numerisk eller symbolhanterande programvara. CAS-räknare på nationella prov Enligt Skolverket så får eleven använda sig av symbolhanterande räknare på nationella prov. Proven är dock, enligt Anna Lind Pantzare vid Provutvecklingsenheten vid Umeå universitet, (Pantzare, 2011) gjorda så att de inte skall gynna elever med symbolhanterande räknare. 2.2 Teorier och argument för och emot CAS i gymnasiet När jag skriver gymnasiet så innefattas även motsvarande nivåer av undervisning i andra länder. Inleder först med att beskriva hur situationen för CAS-räknare ser ut i olika länder. När det gäller CAS-räknare så anser (Guin och Trouche, 1999, s. 207) när det gäller CAS-räknare att...the main difference is that students can always have them at their disposal., vilket inte alltid är fallet med bärbara datorer. De senare behöver dessutom ett ofta dyrt program för att vara till nytta. CAS-räknare i gymnasier utomlands Enligt Drijvers (1998) så fanns det åtminstone följande olika strategier som olika länder hade beträffande användning av CAS-räknare på prov: Polen Alla typer av räknare bannlysta vid examination. England Grafritande räknare är tillåtna, men uppgifterna är så gjorda att eleven som har tillgång till räknare inte ska ha någon nytta av den. 4

9 Frankrike Räknare (även CAS) är tillåtna och även användbara, men användningen belönas inte. Detta sker genom att alla resultat måste tas fram för hand. Holland (vissa utbildningsprogram) Eleverna måste ha räknare, och deras förmåga att använda hjälpmedlen är en del av examinationen. Argument för CAS i gymnasiet Enligt Persson (2009), baserat på en egen studie i 7 klasser på gymnasienivå redogör han följande hypoteser: + Räknare är kraftfulla räkne- och visualiseringsverktyg som möjliggör för elever att försöka med lika lösningsmetoder och påståenden utan påfrestande tidskrävande triviala aktiviteter som att rita för hand och förenkling. + Användandet av miniräknare erbjuder elevers förståelse och formning av matematiska koncept och att se dem på olika sätt. + Det finns ingen generell sedd försämring i elevers mentala eller för hand kunskaper. + Eleverblirmeraktivaidetmatematiskaarbetetochvisarenmerpositiv attityd gentemot matematik när de använder miniräknare. + Nyligen presenterade rapporter styrker dessa hypoteser. Argument emot CAS i gymnasiet Thunberg och Lingefjärd (2006) är emot att Skolverket tillåter CAS-räknare på gymnasiets nationella prov i gymnasiet. Detta eftersom: Erfarenheter visar att dagens grafritande miniräknare ofta används på ett destruktivt sätt i undervisningen, träning av grundläggande räknefärdighet uteblir då miniräknaren alltid finns till hands. [...] Med symbolhanterande miniräknare kommer detta problem sannolikt att förvärras. Den matematikdidaktiska forskningen har inte på något tydligt sätt kunnat påvisa generella positiva effekter på matematisk begreppsbildning och förståelse vid användningen av symbolhanterande miniräknare i undervisningen. Tvärtom undermineras även förståelse och begreppsbildning om den underliggande färdighetsträningen uteblir. 5

10 De avancerade miniräknarna (grafritande och symbolhanterande) används inte i någon nämnvärd grad som verktyg vare sig i vardagsliv, yrkesliv eller vid högskolan. De som i sitt yrkesliv behöver kunna utföra mer avancerade matematiska operationer med IT-stöd lär sig som regel hantera andra och bättre verktyg under eftergymnasial utbildning. De symbolhanterande miniräknarna är dyra, priserna ligger på kronor. Oavsett vem som står för notan, kommunen eller eleven/elevens familj, kan man fråga sig om det är en vettig prioritering när eleverna inte får behålla sina matematikböcker efter avslutad kurs. Generella argument om CAS Vidare så har Drijvers (2000) följande argument när det gäller CAS: Skillnaden mellan den algebraiska representationen som fås från CAS och den elever förväntar sig, och ser som enkel. Skillnaden mellan numeriska och algebraiska beräkningar och det sätt på vilket CAS hanterar skillnaden. Begränsningarna i CAS och svårigheter att skapa algebraiska strategier för att hjälpa CAS att komma över dessa begränsningar. Oförmågan att avgöra när och hur datoralgebra kan vara användbar. Det flexibla tankesättet runt variabler och parametrar som krävs vid användandet av CAS. Instrument och instrumentalisation Bland andra Monaghan (2006) skiljer mellan artefakter och verktyg: en artefakt är ett objekt som har, eller har haft, ett avsiktligt syfte. En agent behöver inte nödvändigtvis vara medveten om detta syfte och kan därför använda det för ett annat syfte. En artefakt är materia. När det gäller en CAS-räknare så är detta uppenbart, men en algoritm är också en artefakt eftersom det existerar i den fysiska världen, fritt efter Artigue (2002). Ett verktyg eller ett redskap är något som vi som människor använder för att utöka våra möjligheter till aktiviteter enligt Vygotski i Säljö (2005). Både Guin och Trouche (1999), Monaghan (2006) samt Persson (2009) skiljer mellan ett verktyg som ett fysiskt objekt och ett instrument som en psykologisk konstruktion...the instrument does not exist in itself, it becomes an instrument when the subject has been able to appropriate it for himself and has integrated it with his activity, (Monaghan, 2006, s. 65). 6

11 Enligt Trouche (2004)så finns det en dualitet mellan instrumentation som anger hur verktyget skapar ageranden för den som använder verktyget, samt instrumentalisation hur subjektet formar/använder verktyget. Se figur 3 nedan, Trouche (2004). Artigue (2002) påvisar att det sker ett slags instrumentalisk födelse (instrumental genesis) då man approprierar ett socialt redan befintligt schema. Instrumental genesis arbetar i två riktningar: dels i riktning mot artefakten, för att i ett sista skede ha den i ett specifikt syfte (instrumentalisation), dels i riktning mot subjektet då det kan reagera på uppgifter (instrumentering). Artefakten kan vara en dator, eller som i detta fallet en CAS-räknare. Subjektet är användaren, i det här fallet eleven. Hela principen för instrumentation/instrumentering är att människan tar till sig ett föremål med vars hjälpl denne utför uppgifter som inte annars kunde utföras. En artefakt Ett subjekt Instrumentation Instrumentalisation Ett instrument att göra något Figur 3: Instrument och instrumentalisering Trouche (2004) Black Box - White Box I Monaghan (2006) refereras till begreppet White-Box/Black-Box. Principen är att en användare har/har inte en förståelse för vad som sker när ett visst objekt används. Exempelvis kan man använda en dator för räkna med i, låt oss säga, Excel. Vi vet vad det är vi vill göra och matar in de olika manipulationerna i cellerna och får det önskade svaret. Detta sätt när vi har fullständig transparens brukar kallas White-Box.Om vi nu tar och döljer de olika kommandona i vårt Excel-ark så uppfattar alla andra detta kalkylark som en Black-Box, en svart låda. En given indata ger okänt utdata, med andra ord är - mekanismen dold för användaren. 2.3 Teorier kring Human Computer Interface HCI, eller Human Computer Interface, kan sägas vara Människa Dator Gränssnitt. Detta innebär att det är den (virtuella) yta mellan användaren, männi- 7

12 skan, och datorn i vilken informationsutbyte pågår. Således är knappsatsen eller pekskärmen på miniräknaren ett sådant snitt. Människan interagerar med datorn. I Wiberg (2003) så hittade jag en referens till en bok om Usability Engineering, Nielsen (1993). Den verkar trots sin ålder vara en av grundpelarna i ämnet och den tar upp alla aspekter på användbarhetsmätningar. De mest väsentliga begreppen åskådliggörs i följande figur 4 nedan. Social acceptability Utility System acceptability Practical acceptability Usefulness Cost Compability Reliability Usability 1. Easy to learn 2. Efficient to use 3. Easy to remember 4. Few errors 5. Subjectively pleasing Etc. Figur 4: Figur över systemattribut Nielsen (1993). 2.4 Definition av användbarhet enligt Nielsen Enligt Nielsen (1993) så kan man inte betrakta användbarhet som en endimensionell egenskap hos ett system. I figur 4 ovan delas begreppet användbarhet upp i 5 delområden - de längst till höger i figuren vilka jag redogör för nedan. Det viktigaste att komma ihåg är dock att användarvänlighet inte är mätbart, medan användbarhet är det. Eftersom de fem olika aspekterna är grunden i hela min rapport så redovisar jag först orginalbenämningen enligt figur 4 varefter jag ger min tolkning för varje delområde. 1. Easy to learn. Är CAS-räknaren lätt att använda? Denna aspekt innefattar hur lätt enheten är att använda. Detta är grunden eftersom det är så centralt att användaren vid sitt första möte har en så låg inlärningströskel som möjligt. Det finns i huvudsak två olika sätt att bygga upp system. Det ena är att noviser ska ha lätt att lära sig, varvid inlärningskurvan är brant (lär sig mycket fort). Det andra synsättet, för experter, är att ha en låg inlärning till en början, 8

13 medan den blir brantare med tiden. Den första modellen når inte lika högst som den senare givet samma tid, jämför figur 5 nedan. 2. Efficient to use. Är CAS-räknaren effektiv att använda? Måttet effektivitet kan hänföras till expertens nivå när inlärningskurvan planar ut (se figur 5) ovan. Detta mått är lite svårare att mäta eftersom en del system kan vara så komplexa att det tar år att lära sig dem, Nielsen (1993). För att definiera en användare som erfaren/expert kan man ta som mått det antal timmar som denne tillbringat med systemet. Ett mått på effektivitet är att mäta den tid i sekunder det tar att utföra en viss uppgift, och relatera detta till andra obervationer. 3. Easy to remember. Är det lätt att komma ihåg komma ihåg kommandona? Sporadiska användare är enligt Nielsen Nielsen (1993) den tredje gruppen av användare. De använder ett system, men lämnar det sedan för en tid och återkommer. Till skillnad från noviser så har de sporadiska användarna använt systemet tidigare, och behöver därför inte lära sig det från början. Det är då viktigt med användargränssnitt som är enkla att komma ihåg. Detta mäts genom helt enkelt genom att observera hur väl olika kommandon utförs, om de kommer ihåg dem eller inte. 4. Few errors. Gör eleverna få fel? Användargränssnittet skall vara så konstruerat att det blir få fel, och definitivt inga med katastofala följder om man gör fel. Begreppet fel definieras, Nielsen Nielsen (1993), som en händelse som inte utför det förväntade. Om man bara definierade begreppet fel som inkorrekta användaraktiviteter så får man inte med de olika graderna på fel från triviala till allvarliga. En del användarfel kan enkelt och snabbt åtgärdas av användaren varför det då bara tar lite tid. Andra användarfel är mer katastrofala om användaren inte på något sätt vet vad som fick det hela att gå fel. Dessa fatala fel bör, enligt Nielsen (1993) räknas separat. 5. Subjectively pleasing. Vad tycker eleverna om mötet med CAS-räknarna, är de nöjda med upplevelsen? Det sista av de fem kriterierna för användbarhet är ett mått på hur användaren upplever användandet av systemet, (Nielsen, 1993, s. 33). Detta mått är helt subjektivt och kan enklast mätas genom att helt enkelt fråga användaren vad de tyckte om upplevelsen. Detta bör göras direkt efter observationen i samband med de-briefingen av upplevelsen, Nielsen (1993). Nielsen rekommenderar att en mycket kort enkät med 9

14 fasta svarsalternativ (skala 1-5) ges till den som observerats. De får också göra en självskattning före observationen där de redogör för sina dator- och matematikkunskaper. Inlärning Tid Figur 5: Figur över möjliga inlärningskurvor,(nielsen, 1993, s. 28). Det vanligaste sättet att mäta att eleverna nått målet, att de lärt sig övningen, är att mäta tiden det tar att utföra en viss given uppgift, (Nielsen, 1993, s. 29). 10

15 3 Metod Notera att de datainsamligsmetoder jag valt innebär att jag först får svar på de fem frågorna enligt Nielsen, för att därefter kunna svara på mina två forskningsfrågor. I detta kapitel presenterar jag mina olika metoder för urval, datainsamling, databearbetning,uppgifter för empiri, dataanalys, samt de etiska aspekterna som jag tagit hänsyn till. Den principiella uppställningen av försöken/observationerna var att jag lät eleverna var för sig få lösa ett antal uppgifter med de två olika räknarna. Se de kortfattade manualerna i appendix A och B. Det var först 5 uppgifter med derivata, sedan 5 med ekvationslösning alla med stigande svårighetsgrad. Allting spelades in på video. Det finns flera olika sätt som man kan genomföra studier när man vill ha reda på vad elever tycker om CAS-räknare. Ett sådant sätt är att jämföra elever i klasser som har använt CAS-räknare med elever som inte har använt dessa för att se om det finns någon skillnad i deras sätt att lära sig matematiken. Men då får man inte med den första spontana skeendet just när eleverna för första gången ser använder en CAS-räknare, vilket var just vad jag var ute efter. En annan aspekt är hur själva utförandet skall vara. Jag valde att spela in endast CAS-räknare och delar av elevens händer för att kunna följa händelserna när jag analyserade filmerna. I efterhand så hade det naturligtvis varit bättre att kunna filma hela kroppspråket (med en andra videokamera) och annat som den begränsade filmningen jag utförde inte fick med. Men det var bra att jag fick åtminstone en DV-videokamera till förfogande så att filmningarna kunde utföras. Bandningen misslyckades delvis eftersom bilden blev grumlig. Det som trots allt var bra med filmningen var ljudet. Jag kunde höra mig fram hur det gick för eleverna, trots att bilden var grumlig. Före observation med eleverna så gjorde jag ett pilotförsök på min far då jag konstaterade att det inte räckte med en liten digital(foto)kamera. Fick då låna en digital videokamera från Institutionen för IML Umeå universitet. 3.1 Urval Jag valde att ha elever som hade läst minst matematik C och eftersom studien skulle genomföras före jul 2010 så blev det en klass årskurs 3 elever på det Naturvetenskapliga Programmet i Västerbotten. Kriteriet att eleverna skulle ha läst matematik C kommer sig av att de då hade lärt sig derivering och ekvationslösning. 11

16 3.2 Avgränsning I min studie har jag valt att avgränsa det hela vid att använda endast två av de på marknaden förekommande CAS-räknarna. Detta då de två modellerna (Casio ClassPad 330 och Texas Instruments TI Nspire) ansågs vara mest förekommande i gymnasierna i Sverige. Vidare är det på intet sätt meningen att jämföra räknarna mot varandra utan bara se till företeelsen CAS-räknare. Jag kommer därför inte undersöka om CAS-räknarna är bra eller dåliga för undervisningen i matematik (eller andra ämnen). 3.3 Datainsamling Jag använde mig av två metoder för datainsamling, nämligen: observationer som bandades på video med öppna spontana intervjuer under pågående inspelning, samt enkäter både före och efter observationer. Jag redovisar för dessa två metoder separat nedan. Observationer på DV-video I min studie har jag valt att avgränsa det hela vid att studera 11 elever. Jag fick vid den första kontakten med klassen lov att bestämma hur många jag ville ha med. Eftersom det fanns ett mindre incitament för eleverna i form av en biobiljett, så ansåg jag att just elever var rimligt. Tyngdpunkten i detta erbete ligger på de observationer som utfördes vid elevernas första kontakt med CAS-räknarna. Jag ville ha 10 observationer så jag bad läraren och klassen om att få 12 elever, varav jag tänkte mig 2 i reserv. Till slut när jag var klar hade jag fått ihop 11 observationer. Beslöt att använda mig av alla 11. Observationerna utfördes med en matematikklass årskurs 3 på Naturvetenskapliga programmet i en skola i Västerbotten under ett par veckor före jul Jag riggade upp den digitala videokameran (DV-video) på ett stativ och filmade då ned på bordet där eleven höll på med CAS-räknaren. Jag hade en begränsning av att DV-filmen var 60 minuter lång. Under pågående observation kunde det hända att eleven ställde någon fråga eller körde fast, mer eller mindre. Under pågående filmning noterade jag när det skedde något, som jag antog att jag skulle kunna ha nytta av vid analysen. Jag hade även en kort frågestund direkt efter att eleven hade använt den första räknaren. Frågade då vad hon/han tycke om den, detta för att få en aktuell bild av vad preferenserna var just då. När eleven gjort uppgifterna även 12

17 med den andra räknaren så ställde jag samma frågor som efter användandet av den första räknaren. Återigen för att få den spontana uppfattningen. Enkäter För att få en uppfattning om elevens självbild före observationen så hade jag med några frågor, se tabell 4 i appendix D. Avsikten med denna korta enkät var att få reda på elevens position Dator/miniräknarvana kontra Matematikfärdigheter. Jag hade även en enkät efter observation i enlighet med Nielsen (1993), se appendix E. 3.4 Databearbetning I detta redogör jag för de olika metoderna som jag använde för att bearbeta rådatan till analyserbar form. Observationer på DV-video När jag väl fått de 11 filmerna så överförde jag dem från digital video till digital dator-format. Något gick fel eftersom videobilderna blev grumliga och svåra att se. Men jag såg vilken fråga det rörde sig om, och kunde härleda tangenttryckningarna genom att se hur fingrarna rörde sig på tangenterna. Intervjuerna nedtecknades under genomgången av filmerna. Huvuddragen av dialogerna nedtecknades. Enkäter Enkäterna bearbetades genom att jag matade in datat i ett kalkylprogram och beräknade nyckeltal. Dessa nyckeltal definierades enligt följande. För att kunna sätta elevens skattning i relation till mina observationer så använde jag en kvantitativ mall. Elevens prestation fick ett helhetsbetyg, ett för vardera räknaren i derivering och ett för ekvationslösning. Eleven fick värdena 1 5, där de olika värdena betyder: 1. De lyckas inte alls. 2. De lyckas med mycket hjälp. 3. De löser uppgifterna med lite hjälp (vilket är det normala givet att de aldrig sett en CAS-räknare förut). 4. De löser uppgifterna autonomt. 13

18 5. De hittar egna genvägar eller andra sätt än mallens för att lösa uppgiften. Ett andra mått efter observation var hur nöjda eleverna var när de använt CAS-räknarna. Detta beräknades som snittet av värdena för de båda räknarna för alla 11 elever. 3.5 Uppgifter för empirin Alla eleverna hade läst matematikkurserna A C varför jag valde att låta dem utföra två sorters uppgifter. Dels uppgifter med derivator, dels uppgifter med ekvationslösning. Min övergripande tanke med valet av uppgifter var att få med två moment: dels en del av uppgifter som jag visste att eleverna borde kunna, dels uppgifter de skulle utföra (rent mekaniskt). Jag valde uppgifterna med omsorg ur en matematikbok, Björk och Brolin (2000), och var noga med att låta den första uppgiften vara en lätt sådan så att de skulle kunna få en positiv första kontakt med CAS-räknarna. De valda uppgifterna var av stigande svårighetsgrad, 5 deriveringsuppgifter (D1 D5) och 5 ekvationslösningsuppgifter (E1 E5). Exempel på en deriveringsuppgift: Derivera f(x) = (1 + 2x) (x + x 2 ). En ekvationslösningsuppgift är: Lös ekvationen e x + x 6=0. Se vidare appendix C för samtliga uppgifter. 3.6 Analysmetod I det följande redogör jag för de olika analysmetoderna som jag använde mig av. Jag sökte efter situationer på videobanden som kunde svara mot följande fem kriterier på användbarhet i enlighet med frågeställningarna enligt tidigare. Jag visar även kännetecken för kriterierna. 1. Easy to learn. Är CAS-räknaren lätt att använda? Kommer eleverna i gång med att använda räknarna snabbt? Sker det en inlärning? 2. Efficient to use. Är CAS-räknaren effektiv att använda? Kan eleverna ta ett steg bortom den kortfattade instruktion som de hade till hands? 3. Easy to remember. Är det lätt att komma ihåg komma ihåg kommandona? Kan eleverna utföra uppgifterna utan att titta på instruktionsbladen? 4. Few errors. Gör eleverna få fel? Gör de fel efter inkörningsperioden? Om så, återkommer samma fel? 14

19 5. Subjectively pleasing. Vad tycker eleverna om mötet med CAS-räknarna, är de nöjda med upplevelsen? Det kunde vara positiva utrop eller att de helt enkelt såg nöjda ut efter observationen. Detta utfördes genom att observera eleverna direkt under filmningen, men även vid senare genomgång av filmerna och enkätsvaren. Observationer på DV-video Analysen gick till så att jag tittade på de 11 filmerna och förde kontinuerlig logg. Jag noterade tiderna för färdigställandet av de olika momenten. Vidare så skrev nedtecknade jag olika såväl positiva som negativa utrop som eleverna sade under tiden de löste uppgifterna. En annan aspekt som jag kom att se vid analysen var de så kallade kritiska händelserna, det vill säga händelser såsom försökspersonens (möjliga) upptäkter av genvägar eller annat agerande som inte står på instruktionsbladen för de två räknarna. Intervjuerna analyserades kvalitativt, d.v.s jag försökte få fram de värderingar som eleverna inte kunde föra fram i enkäterna. Enkäter När det gäller enkäterna så analyserades de både kvalitativt och kvantitativt. Kvalitativt då jag bad eleverna skatta sina kunskaper i att derivera och lösa ekvationer före och efter observation. Till detta kommer min skattning av hur eleverna utfört respektive delmoment. Skalan är 1 5 där 1 är lägst och 5ärhögst(bäst). Ett exempel. En elev skattar sina deriveringskunskaper före till en 4:a. Efter observation tycker eleven att det gick 4:a respektive 5:a (två räknare) och då blir snittet 4,5. Jag tyckte att det gick 3,5 i snitt. 3.7 Etiska aspekter Det finns två olika vinklingar på etiska frågor i denna studie. Det första är den strikt vetenskapliga som jag presenterar i form av Vetenskapsrådets forskningsetiska principer. Det andra är de aspekterna som Nielsen redogör för i sin bok, Nielsen (1993). Han grupperar in dem i tre områden som presenteras nedan. 15

20 Vetenskapsrådet Vetenskapsrådet säger i skriften Forskningsetiska principer inom humanistisksamhällsvetenskaplig forskning att de etiska aspekterna kan konkretiseras i fyra huvudkrav nedan, Vetenskapsrådet (2002). Jag väljer att kommentera mitt förhållningssätt i anslutning till dessa: 1. Informationskravet. Jag informerade eleverna om vad som gällde, att det var frivilligt och att de fick avsluta observationen när som helst. Detta skedde före observationerna då en enkät fylldes i av eleven. 2. Samtyckeskravet. Jag fick såväl muntligen som skriftligen (då eleven fyllde i enkäten) samtycke av dem att delta i studien. Eleverna hade fyllt 18 år så förälders medtycke krävdes ej. 3. Konfidentialitetskravet. Eleverna fick löfte skriftligen om att informationen som samlades ín endast skulle ses av min handledare eller mig. 4. Nyttjandekravet. Materialet skulle inte användas för något kommersiellt syfte. Nielsens etiska aspekter Före observation Före observation gäller följande fritt enligt Nielsen (1993): Före observation Allting ska vara klart innan personen anländer. Man ska poängtera att det är systemet som mäts, inte användaren. Försökspersonen ska veta att denne kan avbryta närsomhelst. Formerna för datainsamling ska förklaras. Försökspersonen ska veta att all data behandlas konfidentiellt. Under observation Under observation menar Nielsen att: Man ska försöka låta försökspersonen få en tidig framgångsrik erfarenhet. Uppgifterna skall delas ut en åt gången. Ha en avslappnad atmosfär i provrummet. Undvik störningar, stäng av telefoner. Visa aldrig att försökspersonen arbetar långsamt eller gör misstag. Efter observation Börja med att tacka försökspersonen. Presentera aldrig resultatet så att någon enskild person kan kännas igen. Bjud på dryck, kaffe, fika. För övrigt så har jag har valt att inte sätta ut kön på eleverna. Det var jämn fördelning mellan tjejer och killar i klassen i den undersökta gruppen. 16

PRÖVNINGSANVISNINGAR

PRÖVNINGSANVISNINGAR PRÖVNINGSANVISNINGAR Prövning i Matematik D Kurskod Ma 104 Gymnasiepoäng 100 Läromedel Prov Muntligt prov Inlämningsuppgift Kontakt med examinator Övrigt Valfri aktuell lärobok för kurs Matematik D t.ex.

Läs mer

Handledning Det didaktiska kontraktet. 19 september 2012

Handledning Det didaktiska kontraktet. 19 september 2012 Handledning Det didaktiska kontraktet 19 september 2012 Dagens teman Begreppsföreställning och begreppskunskap igen Handledning Det didaktiska kontraktet Begreppsföreställning och begreppsdefinition Begreppsföreställning

Läs mer

22,5 högskolepoäng. Provmoment: Ladokkod: Tentamen ges för: Matematik 3hp. Studenter i inriktningen GSME. TentamensKod:

22,5 högskolepoäng. Provmoment: Ladokkod: Tentamen ges för: Matematik 3hp. Studenter i inriktningen GSME. TentamensKod: SMID Provmoment: Ladokkod: Tentamen ges för: TentamensKod: Matematik 3hp Studenter i inriktningen GSME 22,5 högskolepoäng Tentamensdatum: 12-08-30 Tid: 09.00-13.00 Hjälpmedel: Inga Totalt antal poäng på

Läs mer

KURSPLAN Matematik för gymnasielärare, 61-90 hp, 30 högskolepoäng

KURSPLAN Matematik för gymnasielärare, 61-90 hp, 30 högskolepoäng 1(5) KURSPLAN Matematik för gymnasielärare, 61-90 hp, 30 högskolepoäng Mathematics för Teachers, 61-90 credits, 30 credits Kurskod: LMGN12 Fastställd av: Utbildningsledare 2012-06-15 Gäller fr.o.m.: HT

Läs mer

I arbetet hanterar eleven flera procedurer och löser uppgifter av standardkaraktär med säkerhet, både utan och med digitala verktyg.

I arbetet hanterar eleven flera procedurer och löser uppgifter av standardkaraktär med säkerhet, både utan och med digitala verktyg. Kunskapskrav Ma 2a Namn: Gy Betyg E D Betyg C B Betyg A 1. Begrepp Eleven kan översiktligt beskriva innebörden av centrala begrepp med hjälp av några representationer samt översiktligt beskriva sambanden

Läs mer

Matematik 3 Digitala övningar med TI-82 Stats, TI-84 Plus och TI-Nspire CAS

Matematik 3 Digitala övningar med TI-82 Stats, TI-84 Plus och TI-Nspire CAS Matematik 3 Digitala övningar med TI-8 Stats, TI-84 Plus och TI-Nspire CAS Matematik 3 digitala övningar med TI-8 Stat, TI-84 Plus och TI Nspire CAS Vi ger här korta instruktioner där man med fördel kan

Läs mer

TI-Nspire internationell forskning: Pilotprojekt 2007-2008

TI-Nspire internationell forskning: Pilotprojekt 2007-2008 TI-Nspire internationell forskning: Pilotprojekt 2007-2008 Roberto Ricci 1 INVALSI 2 Inledning. Denna avhandling sammanfattar resultaten från en studie av TI- Nspire CAS pilotanvändning avseende undervisning

Läs mer

Funktioner, Algebra och Ekvationer År 9

Funktioner, Algebra och Ekvationer År 9 Undervisning Funktioner, Algebra och Ekvationer År 9 Mål att uppnå i år 9, ur Lpo 94 Utvecklar intresse för matematik samt tilltro till det egna tänkandet och den egna förmågan att lära sig matematik och

Läs mer

Del ur Lgr 11: kursplan i matematik i grundskolan

Del ur Lgr 11: kursplan i matematik i grundskolan Del ur Lgr 11: kursplan i matematik i grundskolan 3.5 Matematik Matematiken har en flertusenårig historia med bidrag från många kulturer. Den utvecklas såväl ur praktiska behov som ur människans nyfikenhet

Läs mer

Kursplan. Kurskod GIX711 Dnr MSI 01/02:65 Beslutsdatum 2002-03-01

Kursplan. Kurskod GIX711 Dnr MSI 01/02:65 Beslutsdatum 2002-03-01 Matematiska och systemtekniska institutionen (MSI) Kursplan Kurskod GIX711 Dnr MSI 01/02:65 Beslutsdatum 2002-03-01 Kursens benämning Engelsk benämning Ämne Inriktning matematik/matematikdidaktik för de

Läs mer

Rapport av genomförd "Lesson study" av en lektion med temat ekvationer i gymnasiets B-kurs. Bultar, muttrar och brickor

Rapport av genomförd Lesson study av en lektion med temat ekvationer i gymnasiets B-kurs. Bultar, muttrar och brickor Rapport av genomförd "Lesson study" av en lektion med temat ekvationer i gymnasiets B-kurs Bultar, muttrar och brickor Vågad problemlösning Förberedelser Ekvationssystem i matematik B ger progression från

Läs mer

Matematik D (MA1204)

Matematik D (MA1204) Matematik D (MA104) 100 p Betygskriterier med eempeluppgifter Värmdö Gymnasium Betygskriterier enligt Skolverket Kriterier för betyget Godkänd Eleven använder lämpliga matematiska begrepp, metoder och

Läs mer

Pedagogik AV, Nätbaserat lärande, 7,5 hp

Pedagogik AV, Nätbaserat lärande, 7,5 hp 1 (5) Kursplan för: Pedagogik AV, Nätbaserat lärande, 7,5 hp Education MA, On-line learning Allmänna data om kursen Kurskod Ämne/huvudområde Nivå Inriktning (namn) Högskolepoäng PE021A Pedagogik Avancerad

Läs mer

Räknare och datorer i funktion

Räknare och datorer i funktion Räknare och datorer i funktion Gunnar Gjone Datorer och grafiska räknare är användbara hjälpmedel i undervisningen. Här ges exempel på de möjligheter som enkla räknare och kalkylprogram kan erbjuda vid

Läs mer

Rapport av genomförd lesson study av en lektion med temat bråk i gymnasiets A-kurs

Rapport av genomförd lesson study av en lektion med temat bråk i gymnasiets A-kurs Rapport av genomförd lesson study av en lektion med temat bråk i gymnasiets A-kurs Klippa gräset Jenny klipper gräsmattan hos Bo på 2 timmar. Måns gör det på 4 timmar. Förberedelser Utifrån en diskussion

Läs mer

Precis som var fallet med förra artikeln, Geogebra för de yngre i Nämnaren

Precis som var fallet med förra artikeln, Geogebra för de yngre i Nämnaren Publicerad med tillstånd av Nämnaren Thomas Lingefjärd Geogebra i gymnasieskolan En tilltalande egenskap med Geogebra är att programmet kan användas tvärs över stora delar av utbildningssystemets matematikkurser.

Läs mer

Alumnstudie: Civilingenjörsutbildningen i molekylär bioteknik och bioinformatik (X)

Alumnstudie: Civilingenjörsutbildningen i molekylär bioteknik och bioinformatik (X) Alumnstudie: Civilingenjörsutbildningen i molekylär bioteknik och bioinformatik (X) Appendix C - Jämförelse: Doktorand/disputerad och övriga Enkätundersökning riktad till de med godkänt examensarbete i

Läs mer

Mötet med CAS och DGS. Per-Eskil Persson, Matematikbiennetten 2013, Malmö

Mötet med CAS och DGS. Per-Eskil Persson, Matematikbiennetten 2013, Malmö Mötet med CAS och DGS Per-Eskil Persson, Matematikbiennetten 2013, Malmö En pågående digital utveckling Enkla miniräknare: de fyra räknesätten och kvadratrötter Funktionsräknare: matematiska funktioner,

Läs mer

Centralt innehåll. I årskurs 1.3

Centralt innehåll. I årskurs 1.3 3.5 Matematik Matematiken har en flertusenårig historia med bidrag från många kulturer. Den utvecklas såväl ur praktiska behov som ur människans nyfikenhet och lust att utforska matematiken som sådan.

Läs mer

Olika sätt att lösa ekvationer

Olika sätt att lösa ekvationer Modul: Algebra Del 5: Algebra som språk Olika sätt att lösa ekvationer Cecilia Kilhamn, Göteborgs Universitet och Lucian Olteanu, Linnéuniversitetet Att lösa ekvationer är en central del av algebran, det

Läs mer

MATEMATIK 5.5 MATEMATIK

MATEMATIK 5.5 MATEMATIK 5.5 TETIK Matematiken har en flertusenårig historia med bidrag från många kulturer. Den utvecklas såväl ur praktiska behov som ur människans nyfikenhet och lust att utforska matematiken som sådan. Matematisk

Läs mer

Kursplan för Matematik

Kursplan för Matematik Sida 1 av 5 Kursplan för Matematik Inrättad 2000-07 SKOLFS: 2000:135 Ämnets syfte och roll i utbildningen Grundskolan har till uppgift att hos eleven utveckla sådana kunskaper i matematik som behövs för

Läs mer

LMN120, Matematik för lärare, tidigare åldrar 30 högskolepoäng

LMN120, Matematik för lärare, tidigare åldrar 30 högskolepoäng Gäller fr.o.m. vt 10 LMN120, Matematik för lärare, tidigare åldrar 30 högskolepoäng Mathematics for teachers in Primary School, 30 higher education credits Grundnivå/First Cycle 1. Fastställande Kursplanen

Läs mer

MATEMATIK 3.5 MATEMATIK

MATEMATIK 3.5 MATEMATIK 3.5 TETIK Matematiken har en flertusenårig historia med bidrag från många kulturer. Den utvecklas såväl ur praktiska behov som ur människans nyfikenhet och lust att utforska matematiken som sådan. Matematisk

Läs mer

Algebra och Ekvationer År 7

Algebra och Ekvationer År 7 Undervisning Algebra och Ekvationer År 7 Lärandemål (konkretisering av syfte och centralt innehåll ur Lgr 11) Rimlighetsbedömning vid uppskattningar och beräkningar i vardagliga och situationer och inom

Läs mer

Bedömning av muntliga prestationer

Bedömning av muntliga prestationer Modul: Bedömning för lärande och undervisning i matematik Del 6: Muntliga bedömningssituationer Bedömning av muntliga prestationer Karin Rösmer, Karin Landtblom, Gunilla Olofsson och Astrid Pettersson,

Läs mer

Betyg i årskurs 6. Grundskolans läroplan Kursplan i ämnet matematik

Betyg i årskurs 6. Grundskolans läroplan Kursplan i ämnet matematik Betyg i årskurs 6 Betyg i årskurs 6, respektive årskurs 7 för specialskolan, träder i kraft hösten 2012. Under läsåret 2011/2012 ska kunskapskraven för betyget E i slutet av årskurs 6 respektive årskurs

Läs mer

Kursplanen i matematik 2011 - grundskolan

Kursplanen i matematik 2011 - grundskolan Kursplanen i matematik 2011 - grundskolan MATEMATIK Matematiken har en flertusenårig historia med bidrag från många kulturer. Den utvecklas såväl ur praktiska behov som ur människans nyfikenhet och lust

Läs mer

Terminsplanering årskurs 6 Matematik Ärentunaskolan

Terminsplanering årskurs 6 Matematik Ärentunaskolan Inledning Terminsplanering årskurs 6 Matematik Ärentunaskolan På Ärentunaskolan arbetar vi med läromedlet MatteBorgen. Förutom uppgifter i boken arbetar vi med problemlösning och tränar olika strategier

Läs mer

Anvisningar till rapporter i psykologi på B-nivå

Anvisningar till rapporter i psykologi på B-nivå Anvisningar till rapporter i psykologi på B-nivå En rapport i psykologi är det enklaste formatet för att rapportera en vetenskaplig undersökning inom psykologins forskningsfält. Något som kännetecknar

Läs mer

Studenter i lärarprogrammet Ma 4-6 I

Studenter i lärarprogrammet Ma 4-6 I Ma 4-6 I Provmoment: Ladokkod: Tentamen ges för: Matematik 4hp Studenter i lärarprogrammet Ma 4-6 I 15 högskolepoäng TentamensKod: Tentamensdatum: 12-08-16 Tid: 09.00-13.00 Hjälpmedel: Skrivmaterial och

Läs mer

ClassPad 330 Plus studentexamen Hösten 2012 lång matematik. Mer tid för matematik och mindre tid för att lära sig räknaren.

ClassPad 330 Plus studentexamen Hösten 2012 lång matematik. Mer tid för matematik och mindre tid för att lära sig räknaren. ClassPad 330 Plus studentexamen Hösten 2012 lång matematik Mer tid för matematik och mindre tid för att lära sig räknaren. Kära läsare! Användningen av CAS-beräkningar i studentexamen är ännu i ett tidigt

Läs mer

Enkäten inleds med några frågor om demografiska data. Totalt omfattar enkäten 85 frågor. 30-40 år. 41-50 år. 51-60 år. > 60 år. 6-10 år.

Enkäten inleds med några frågor om demografiska data. Totalt omfattar enkäten 85 frågor. 30-40 år. 41-50 år. 51-60 år. > 60 år. 6-10 år. 1 av 15 2010-11-03 12:46 Syftet med den här enkäten är att lära mer om hur lärare tänker och känner när det gäller matematikundervisningen, särskilt i relation till kursplanen och till de nationella proven.

Läs mer

Dataförmedlad kommunikation och sociala medier, 7,5 hp

Dataförmedlad kommunikation och sociala medier, 7,5 hp Kursplan Utbildning på forskarnivå Dataförmedlad kommunikation och sociala medier, 7,5 hp Computer Mediated Communication and Social Media, 7,5 credits Kurskod 20IK020 Forskarutbildningsämne Informatik

Läs mer

IBSE Ett självreflekterande(självkritiskt) verktyg för lärare. Riktlinjer för lärare

IBSE Ett självreflekterande(självkritiskt) verktyg för lärare. Riktlinjer för lärare Fibonacci / översättning från engelska IBSE Ett självreflekterande(självkritiskt) verktyg för lärare Riktlinjer för lärare Vad är det? Detta verktyg för självutvärdering sätter upp kriterier som gör det

Läs mer

Matematik C (MA1203)

Matematik C (MA1203) Matematik C (MA103) 100 p Betygskriterier med eempeluppgifter Värmdö Gymnasium Mål och betygskriterier Ma C (MA103) Matematik 03-08- Betygskriterier enligt Skolverket Kriterier för betyget Godkänd Eleven

Läs mer

Lokal pedagogisk planering i matematik för årskurs 9

Lokal pedagogisk planering i matematik för årskurs 9 Lokal pedagogisk planering i matematik för årskurs 9 Arbetsområde 3. Ekvationer och geometri. Syfte formulera och lösa problem med hjälp av matematik samt värdera valda strategier och metoder. reflektera

Läs mer

Michal Drechsler Karlstad University SMEER Science Mathematics Engineering Education Research

Michal Drechsler Karlstad University SMEER Science Mathematics Engineering Education Research Michal Drechsler Karlstad University michal.drechsler@kau.se SMEER Science Mathematics Engineering Education Research PCK PCK is involved in knowing what knowledge is relevant, Re-constructing the knowledge

Läs mer

Kursprov i matematik, kurs E vt Del I: Uppgifter utan miniräknare 3. Del II: Uppgifter med miniräknare 6

Kursprov i matematik, kurs E vt Del I: Uppgifter utan miniräknare 3. Del II: Uppgifter med miniräknare 6 freeleaks NpMaE vt00 lämpliga för Ma4 1(9) Innehåll Förord 1 Kursprov i matematik, kurs E vt 00 Del I: Uppgifter utan miniräknare 3 Del II: Uppgifter med miniräknare 6 Förord Kom ihåg Matematik är att

Läs mer

Klassrumshantering Av: Jonas Hall. Högstadiet. Material: TI-82/83/84

Klassrumshantering Av: Jonas Hall. Högstadiet. Material: TI-82/83/84 Inledning Det som är viktigt att förstå när det gäller grafräknare, och TI s grafräknare i synnerhet, är att de inte bara är räknare, dvs beräkningsmaskiner som underlättar beräkningar, utan att de framför

Läs mer

Rapport av genomförd lesson study av en lektion med temat geometri i gymnasiets A-kurs

Rapport av genomförd lesson study av en lektion med temat geometri i gymnasiets A-kurs Rapport av genomförd lesson study av en lektion med temat geometri i gymnasiets A-kurs Förberedelser Geometri visade sig vara det svåraste området att planera utifrån tanken om en progression genom skolans

Läs mer

Elevernas uppfattningar om alltmer digitaliserad undervisning

Elevernas uppfattningar om alltmer digitaliserad undervisning Resultat Elevernas uppfattningar om alltmer digitaliserad undervisning Fråga 1 Mycket inspirerande (6) till mycket tråkigt (1) att arbeta med etologisidan Uppfattas som mycket inspirerande eller inspirerande

Läs mer

Lokal pedagogisk planering i matematik för årskurs 9

Lokal pedagogisk planering i matematik för årskurs 9 Lokal pedagogisk planering i matematik för årskurs 9 Arbetsområde 4. Samband och förändring Syfte formulera och lösa problem med hjälp av matematik samt värdera valda strategier och metoder. reflektera

Läs mer

När vi läste Skolverkets rapport Svenska elevers matematikkunskaper

När vi läste Skolverkets rapport Svenska elevers matematikkunskaper Florenda Gallos Cronberg & Truls Cronberg Två perspektiv på att utveckla algebraiska uttryck Svenska elever påstås ha svårt med mönstertänkande. Eller är det så att de inte får lärarledd undervisning i

Läs mer

1. Skollagen 2. Läroplanen Lpo 94 / Lpf Grundskole- / Gymnasieförordningen

1. Skollagen 2. Läroplanen Lpo 94 / Lpf Grundskole- / Gymnasieförordningen Olika styrdokument har olika dignitet 1. Skollagen 2. Läroplanen Lpo 94 / Lpf 94 3. Grundskole- / Gymnasieförordningen Riksdagen Regeringen Utskott SOU Departement (utbildnings-) Statliga verk (Skolverket)

Läs mer

INSTITUTIONEN FÖR SPRÅK OCH LITTERATURER

INSTITUTIONEN FÖR SPRÅK OCH LITTERATURER INSTITUTIONEN FÖR SPRÅK OCH LITTERATURER LG20FR Verksamhetsförlagd utbildning 2 för gymnasielärare i franska, 7,5 högskolepoäng Teaching Practice 2 for Teachers of French in Upper Secondary School, 7.5

Läs mer

Statsvetenskap GR (C), 30 hp

Statsvetenskap GR (C), 30 hp 1 (5) Kursplan för: Statsvetenskap GR (C), 30 hp Political Science Ba (C), 30 Credits Allmänna data om kursen Kurskod Ämne/huvudområde Nivå Progression SK026G Statsvetenskap Grundnivå (C) Inriktning (namn)

Läs mer

Fri programvara i skolan datoralgebraprogrammet Maxima

Fri programvara i skolan datoralgebraprogrammet Maxima Per Jönsson & Thomas Lingefjärd Fri programvara i skolan datoralgebraprogrammet Maxima I takt med att priserna sjunker utrustar allt fler skolor sina elever med små bärbara datorer. Detta innebär nya och

Läs mer

Utbildningsplan för Matematikprogrammet (N1MAT) Bachelor s Programme in Mathematics Grundnivå

Utbildningsplan för Matematikprogrammet (N1MAT) Bachelor s Programme in Mathematics Grundnivå Naturvetenskapliga fakulteten Dnr G 2015/59 Utbildningsplan för Matematikprogrammet (N1MAT) Bachelor s Programme in Mathematics Grundnivå 1. Utbildningsprogrammets benämning och omfattning Programmet benämns

Läs mer

Matematik 1 Digitala övningar med TI-82 Stats, TI-84 Plus och TI-Nspire CAS

Matematik 1 Digitala övningar med TI-82 Stats, TI-84 Plus och TI-Nspire CAS Matematik 1 Digitala övningar med TI-82 Stats, TI-84 Plus och TI-Nspire CAS Matematik 1 digitala övningar med TI-82 Stat, TI-84 Plus och TI Nspire CAS Vi ger här korta instruktioner där man med fördel

Läs mer

2012-01-12 FÖRSLAG TILL KURSPLAN INOM KOMMUNAL VUXENUTBILDNING GRUNDLÄGGANDE NIVÅ

2012-01-12 FÖRSLAG TILL KURSPLAN INOM KOMMUNAL VUXENUTBILDNING GRUNDLÄGGANDE NIVÅ Matematik, 600 verksamhetspoäng Ämnet handlar bland annat om mängder, tal och geometriska figurer. Matematiken har en flertusenårig historia med bidrag från många kulturer. Den utvecklas såväl ur praktiska

Läs mer

1. Hur många timmar per vecka har du i genomsnitt lagt ner på kursen (inklusive schemalagd tid)?

1. Hur många timmar per vecka har du i genomsnitt lagt ner på kursen (inklusive schemalagd tid)? Vattenresursteknik MV0190, 30056.1314 5 Hp Studietakt = 35% Nivå och djup = Avancerad Kursledare = Abraham Joel Värderingsresultat Värderingsperiod: 2014-03-05-2014-04-04 Antal svar 8 Studentantal 52 Svarsfrekvens

Läs mer

Ämnesblock matematik 112,5 hp

Ämnesblock matematik 112,5 hp 2011-12-15 Ämnesblock matematik 112,5 hp för undervisning i grundskolans år 7-9 Ämnesblocket omfattar ämnesstudier inklusive ämnesdidaktik om 90 hp, utbildningsvetenskaplig kärna 7,5 hp och VFU 15 hp.

Läs mer

Betygskriterier Matematik D MA p. Respektive programmål gäller över kurskriterierna

Betygskriterier Matematik D MA p. Respektive programmål gäller över kurskriterierna Betygskriterier Matematik D MA04 00p Respektive programmål gäller över kurskriterierna MA04 är en nationell kurs och skolverkets kurs- och betygskriterier finns på http://www3.skolverket.se/ Detta är vår

Läs mer

Skolverkets förslag till kursplan i matematik i grundskolan. Matematik

Skolverkets förslag till kursplan i matematik i grundskolan. Matematik Matematik Matematiken har en mångtusenårig historia med bidrag från många kulturer. Den har utvecklats ur människans praktiska behov och hennes naturliga nyfikenhet och lust att utforska. Matematisk verksamhet

Läs mer

Schema för Webbdesign för lärandemiljöer, TIA033, VT09

Schema för Webbdesign för lärandemiljöer, TIA033, VT09 Schema för Webbdesign för lärandemiljöer, TIA033, VT09 Tidsplan Vecka Datum Innehåll Huvuduppgift 4 19/1 Kursstart, introduktion Introduktionsseminarium 5 26/1 Moment 1, Introduktion till Flash 7 9/2 9

Läs mer

Institutionen för matematik och datavetenskap Karlstads universitet. GeoGebra. ett digitalt verktyg för framtidens matematikundervisning

Institutionen för matematik och datavetenskap Karlstads universitet. GeoGebra. ett digitalt verktyg för framtidens matematikundervisning Karlstads GeoGebrainstitut Institutionen för matematik och datavetenskap Karlstads universitet Mats Brunström Maria Fahlgren GeoGebra ett digitalt verktyg för framtidens matematikundervisning Invigning

Läs mer

Podsändningar i skolan

Podsändningar i skolan Podsändningar i skolan Tomas Bergqvist, Brian Hudson, Johan Lithner and Krister Lindwall. UFM 1, Umeå Universitet. Sammanfattning: Elva klasser från olika delar av Sverige deltog under läsåret 2007 i ett

Läs mer

Session: Historieundervisning i högskolan

Session: Historieundervisning i högskolan Session: Historieundervisning i högskolan Ansvarig: David Ludvigsson, Uppsala universitet Kommentator: Henrik Ågren, Högskolan i Gävle Övriga medverkande: Lena Berggren, Umeå universitet Peter Ericsson,

Läs mer

Om LGR 11 FÖRMÅGOR CENTRALT INNEHÅLL. De matematiska förmågor som undervisningen i åk 1-9 syftar till att eleverna ska utveckla.

Om LGR 11 FÖRMÅGOR CENTRALT INNEHÅLL. De matematiska förmågor som undervisningen i åk 1-9 syftar till att eleverna ska utveckla. Om LGR 11 FÖRMÅGOR FÖRMÅGOR Lgr 11: Genom undervisningen i matematik ska eleverna sammanfattningsvis ges förutsättningar att utveckla sin förmåga att formulera och lösa problem med hjälp av matematik samt

Läs mer

PEC: European Science Teacher: Scientific Knowledge, Linguistic Skills and Digital Media

PEC: European Science Teacher: Scientific Knowledge, Linguistic Skills and Digital Media PEC: Fredagen den 22/9 2006, Forum För Ämnesdidaktik The aim of the meeting A presentation of the project PEC for the members of a research group Forum För Ämnesdidaktik at the University of Gävle. The

Läs mer

LNM110, Matematik i barnens värld 30 högskolepoäng

LNM110, Matematik i barnens värld 30 högskolepoäng Gäller fr.o.m. vt 10 LNM110, Matematik i barnens värld 30 högskolepoäng Mathematics for Teachers in Preeschool and Primary school, 30 higher education credits Grundnivå/First Cycle 1. Fastställande Kursplanen

Läs mer

Gymnasiets nationella prov och KTHs förkunskapskrav en matematisk kulturklyfta?

Gymnasiets nationella prov och KTHs förkunskapskrav en matematisk kulturklyfta? Gymnasiets nationella prov och KTHs förkunskapskrav en matematisk kulturklyfta? Hans Thunberg, KTH Matematik thunberg@mathkthse Sammanfattning Det nationella provsystemet har bl a som uppgift att tydliggöra

Läs mer

Sammanställning av studentutvärdering samt utvärdering kurs vid institutionen för naturvetenskapernas och matematikens didaktik

Sammanställning av studentutvärdering samt utvärdering kurs vid institutionen för naturvetenskapernas och matematikens didaktik Sid 1 (9) studentutvärdering samt utvärdering kurs vid institutionen för naturvetenskapernas och matematikens didaktik Kurskod ( er): 6PE204 Ifall kursen i allt väsentligt samläses med andra kurser kan

Läs mer

Kompetenser och matematik

Kompetenser och matematik ola helenius Kompetenser och matematik Att försöka skapa strukturer i vad det innebär att kunna matematik är en mångårig internationell trend. Denna artikel anknyter till Vad är kunskap i matematik i förra

Läs mer

Syfte. Malmö stad Komvux Malmö Södervärn PRÖVNING. prövning grundläggande matematik

Syfte. Malmö stad Komvux Malmö Södervärn PRÖVNING. prövning grundläggande matematik prövning grundläggande matematik Malmö stad Komvux Malmö Södervärn PRÖVNING Kurs: Matematik Kurskod: GRNMAT2 Verksamhetspoäng: 600 Matematiken har en flertusenårig historia med bidrag från många kulturer.

Läs mer

Problem med stenplattor

Problem med stenplattor Rolf Hedrén, Eva Taflin & Kerstin Hagland Problem med stenplattor Författarna har under flera år bedrivit ett forskningsprojekt med syfte att ta reda på hur lärare och elever tänker om lektioner kring

Läs mer

Mattekungen åk 6-9 vers. 1.0

Mattekungen åk 6-9 vers. 1.0 Presentation av programvara våren 2008 Bodil Holmström Anna Holmström Bearbetat av Karolina Höglund Mattekungen åk 6-9 vers. 1.0 Allmänt om programmet Mattekungen är ett undervisningsprogram som produceras

Läs mer

Disciplinära diskurser i naturvetenskap och matematik

Disciplinära diskurser i naturvetenskap och matematik Disciplinära diskurser i naturvetenskap och matematik Jonas Forsman, Staffan Andersson, Jannika Andersson Chronholm, Cedric Linder Avdelningen för fysikens didaktik, Institutionen för fysik och materialvetenskap,

Läs mer

G VG MVG Programspecifika mål och kriterier

G VG MVG Programspecifika mål och kriterier Betygskriterier Matematik C MA10 100p Respektive programmål gäller över kurskriterierna MA10 är en nationell kurs oc skolverkets kurs- oc betygskriterier finns på ttp://www.skolverket.se/ Detta är vår

Läs mer

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS D HÖSTEN Del I, 9 uppgifter utan miniräknare 3. Del II, 8 uppgifter med miniräknare 6

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS D HÖSTEN Del I, 9 uppgifter utan miniräknare 3. Del II, 8 uppgifter med miniräknare 6 freeleaks NpMaD ht2007 för Ma4 1(10) Innehåll Förord 1 NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS D HÖSTEN 2007 2 Del I, 9 uppgifter utan miniräknare 3 Del II, 8 uppgifter med miniräknare 6 Förord Kom ihåg Matematik

Läs mer

ESN lokala kursplan Lgr11 Ämne: Matematik

ESN lokala kursplan Lgr11 Ämne: Matematik ESN lokala kursplan Lgr11 Ämne: Matematik Övergripande Mål: formulera och lösa problem med hjälp av matematik samt värdera valda strategier och metoder, använda och analysera matematiska begrepp och samband

Läs mer

Viktigt! Glöm inte att skriva Tentamenskod på alla blad du lämnar in. Skriv inte på bladens baksidor. Helst en uppgift per blad.

Viktigt! Glöm inte att skriva Tentamenskod på alla blad du lämnar in. Skriv inte på bladens baksidor. Helst en uppgift per blad. Ma F-3 I Provmoment: Ladokkod: Tentamen ges för: Matematik 5 hp Studenter i lärarprogrammet Ma F-3 I (11F322) 15 högskolepoäng TentamensKod: Tentamensdatum: 15-04-29 Tid: 09.00-13.00 Hjälpmedel: Inga hjälpmedel

Läs mer

SKOLFS. På Skolverkets vägnar. ANNA EKSTRÖM Christina Månberg

SKOLFS. På Skolverkets vägnar. ANNA EKSTRÖM Christina Månberg 1 (15) Dnr 2013:454 Föreskrifter om ändring i Skolverkets föreskrifter (SKOLFS 2010:94) om ämnesplan för ämnet hälsa i gymnasieskolan och inom kommunal vuxenutbildning på gymnasial nivå; beslutade den

Läs mer

Miniräknaren i dagens gymnasieskola

Miniräknaren i dagens gymnasieskola Malmö högskola Lärarutbildningen Natur Miljö Samhälle Examensarbete 10 poäng Miniräknaren i dagens gymnasieskola En undersökning av lärares och elevers attityder och användande Use of calculators in modern

Läs mer

C. Stöd för lärarlagets lägesbedömning av undervisningsprocessen

C. Stöd för lärarlagets lägesbedömning av undervisningsprocessen C. Stöd för lärarlagets lägesbedömning av undervisningsprocessen Det här materialet är riktat till lärare och lärarlag och är ett stöd för skolans nulägesbeskrivning av matematikundervisning. Målet är

Läs mer

Datavetenskapligt program, 180 högskolepoäng

Datavetenskapligt program, 180 högskolepoäng GÖTEBORGS UNIVERSITET UTBILDNINGSPLAN IT-fakultetsstyrelsen 2013-02-14 Datavetenskapligt program, 180 högskolepoäng (Computer Science, Bachelor s Programme, 180 credits) Grundnivå/First level 1. Fastställande

Läs mer

Viktigt! Glöm inte att skriva Tentamenskod på alla blad du lämnar in. En uppgift per blad och inga svar på baksidan av bladen Lycka till!

Viktigt! Glöm inte att skriva Tentamenskod på alla blad du lämnar in. En uppgift per blad och inga svar på baksidan av bladen Lycka till! Matematik 4-6 II Provmoment: Ladokkod: Tentamen ges för: TentamensKod: Matematik 4 hp Studenter i lärarprogrammet LAG 4-6 T3 15 högskolepoäng Tentamensdatum: 15-01-15 Tid: 09.00 13.00 Hjälpmedel: Lgr 11,

Läs mer

INSTITUTIONEN FÖR MATEMATISKA VETENSKAPER

INSTITUTIONEN FÖR MATEMATISKA VETENSKAPER INSTITUTIONEN FÖR MATEMATISKA VETENSKAPER L920MA Verksamhetsförlagd utbildning 2 för lärare åk 7-9 i matematik, 7,5 högskolepoäng Teaching Practice 2 for Teachers in Secondary School Year 7-9, 7.5 higher

Läs mer

7E Ma Planering v45-51: Algebra

7E Ma Planering v45-51: Algebra 7E Ma Planering v45-51: Algebra Arbetsform under en vecka: Måndagar (40 min): Genomgång av gemensamma svårigheter i begrepp och metoder. Arbete i grupp med begrepp och metoder. Läxa: Läsa på anteckningar

Läs mer

Dynamisk programvara, ett didaktiskt verktyg?

Dynamisk programvara, ett didaktiskt verktyg? Dynamisk programvara, ett didaktiskt verktyg? På SMDF:s årsmöte 24 jan 2003 höll Sveriges första professor i matematikdidaktik, Rudolf Strässer, ett föredrag rubricerat Learning Geometry in Secondary Schools.

Läs mer

Om Lgr 11 och Favorit matematik 4 6

Om Lgr 11 och Favorit matematik 4 6 Om Lgr 11 och Favorit matematik 4 6 TYDLIG OCH MEDVETEN MATEMATIKUNDERVISNING En stark koppling mellan läroplan/kunskaps mål, innehåll och bedömning finns för att medvetande göra eleverna om syftet med

Läs mer

Ämneslärarprogrammet. med inriktning mot arbete i gymnasieskolan Master of Arts/Science in Upper Secondary Education.

Ämneslärarprogrammet. med inriktning mot arbete i gymnasieskolan Master of Arts/Science in Upper Secondary Education. Ämneslärarprogrammet med inriktning mot arbete i gymnasieskolan Master of Arts/Science in Upper Secondary Education Omfattning: 300-330 högskolepoäng Programkod: LYAGY Nivå: Grund/Avancerad Fastställande:

Läs mer

Om LGR 11 FÖRMÅGOR CENTRALT INNEHÅLL. De matematiska förmågor som undervisningen i åk 1-9 syftar till att eleverna ska utveckla.

Om LGR 11 FÖRMÅGOR CENTRALT INNEHÅLL. De matematiska förmågor som undervisningen i åk 1-9 syftar till att eleverna ska utveckla. Om LGR 11 FÖRMÅGOR FÖRMÅGOR Lgr 11: Genom undervisningen i matematik ska eleverna sammanfattningsvis ges förutsättningar att utveckla sin förmåga att formulera och lösa problem med hjälp av matematik samt

Läs mer

Kemi 2. Planering VT2016

Kemi 2. Planering VT2016 Kemi 2 (KEM02, NA2) Planering VT2016 Pär Leijonhufvud CC $\ BY: 20160208 C Denna planering gäller för VT2016, med andra ord den andra halvan av kursen. Centralt innehåll Fet stil skolverkets text, med

Läs mer

Bedömningsexempel Matematik årskurs 3

Bedömningsexempel Matematik årskurs 3 Bedömningsexempel Matematik årskurs 3 Innehåll Inledning... 3 Bedömning... 3 Exempeluppgifter i årskurs 3, 2010... 5 Skriftliga räknemetoder... 5 Huvudräkning, multiplikation och division... 7 Likheter,

Läs mer

Sociologiska institutionen, Umeå universitet.

Sociologiska institutionen, Umeå universitet. Sociologiska institutionen, Umeå universitet. Sammanställning av Förväntade studieresultat för kurserna Sociologi A, Socialpsykologi A, Sociologi B, Socialpsykologi B. I vänstra kolumnen återfinns FSR

Läs mer

Kurskod: GRNMAT2 Verksamhetspoäng: 600

Kurskod: GRNMAT2 Verksamhetspoäng: 600 Kurs: Matematik Kurskod: GRNMAT2 Verksamhetspoäng: 600 lust att utforska matematiken som sådan. Matematisk verksamhet är till sin lad till den samhälleliga, sociala och tekniska utvecklingen. Kunskaper

Läs mer

Under min praktik som lärarstuderande

Under min praktik som lärarstuderande tomoko helmertz Problemlösning i Japan och Sverige Japansk matematikundervisning skiljer sig på många sätt från svensk. Vilka konsekvenser får det för hur elever i respektive länder löser problem? Tomoko

Läs mer

Slutrapport för Internetfonden

Slutrapport för Internetfonden Slutrapport för Internetfonden Webbprogrammering i matematik och fysikundervisning Mikael Tylmad mikael@roboro.se Fredrik Atmer fredrik.atmer@gmail.com Ella Kai-Larsen e@k-l.se 10 april 2014 http://www.profyma.se/

Läs mer

Kursutvärdering av Naturläkemedel och kosttillskott, 6 hp, vt 2008

Kursutvärdering av Naturläkemedel och kosttillskott, 6 hp, vt 2008 Kursutvärdering av Naturläkemedel och kosttillskott, hp, vt 8 Nedan följer en sammanställning av kursutvärderingen av Naturläkemedel och kosttillskott på högskolepoäng som ingår i receptarieutbildningen

Läs mer

Masterprogram i Mark- och vattensystem, 120 högskolepoäng

Masterprogram i Mark- och vattensystem, 120 högskolepoäng Utbildningsplan Sida 1 av 5 MDH 2.1.2-390/11 Programkod: AMM03 Masterprogram i Mark- och vattensystem, 120 högskolepoäng Master of Science in Soil and Water Systems, 120 Credits Denna utbildningsplan är

Läs mer

INSTITUTIONEN FÖR FYSIK

INSTITUTIONEN FÖR FYSIK INSTITUTIONEN FÖR FYSIK LLTK90 Teknik för lärare i gymnasieskolan, 90 hp (1-90), Ingår i Lärarlyftet II, 90 högskolepoäng Teacher education: Technology for Upper Secondary School, 90 higher education credits

Läs mer

PSYKOLOGISKA INSTITUTIONEN

PSYKOLOGISKA INSTITUTIONEN PSYKOLOGISKA INSTITUTIONEN PC2311 Kurs 11: Kvalitativ metod i psykologi, 15 högskolepoäng Qualitative Methods in Psychology, 15 Fastställande Kursplanen är fastställd av Samhällsvetenskapliga fakultetsnämnden

Läs mer

Exempel på gymnasiearbete inom naturvetenskapsprogrammet naturvetenskap

Exempel på gymnasiearbete inom naturvetenskapsprogrammet naturvetenskap Exempel på gymnasiearbete september 2012 Exempel på gymnasiearbete inom naturvetenskapsprogrammet naturvetenskap Mpemba-effekten Elevens idé Rana ska utföra sitt gymnasiearbete i grupp tillsammans med

Läs mer

MATEMATIK- OCH FYSIKDIDAKTISKA ASPEKTER

MATEMATIK- OCH FYSIKDIDAKTISKA ASPEKTER MATEMATIK- OCH FYSIKDIDAKTISKA ASPEKTER Xantcha 2013 2014 Examination. För godkänt betyg i kursen krävs: Samtliga skriftliga inlämningsuppgifter. Närvaro och aktivt deltagande under lektionerna. Frånvaro

Läs mer

Kursplan. AB1029 Introduktion till Professionell kommunikation - mer än bara samtal. 7,5 högskolepoäng, Grundnivå 1

Kursplan. AB1029 Introduktion till Professionell kommunikation - mer än bara samtal. 7,5 högskolepoäng, Grundnivå 1 Kursplan AB1029 Introduktion till Professionell kommunikation - mer än bara samtal 7,5 högskolepoäng, Grundnivå 1 Introduction to Professional Communication - more than just conversation 7.5 Higher Education

Läs mer

Formativ bedömning i matematikklassrummet

Formativ bedömning i matematikklassrummet Modul: Taluppfattning och tals användning Del 4: Formativ bedömning Formativ bedömning i matematikklassrummet Peter Nyström, NCM Termen bedömning, eller pedagogisk bedömning kan uppfattas väldigt olika,

Läs mer

Examensarbete, Högskoleingenjör energiteknik, 15 hp Grundnivå

Examensarbete, Högskoleingenjör energiteknik, 15 hp Grundnivå Examensarbete, Högskoleingenjör energiteknik, 15 hp Grundnivå Studenten ska tillämpa kunskaper och färdigheter förvärvade inom utbildningsprogrammet genom att på ett självständigt och vetenskapligt sätt

Läs mer