Kap 11 kylcykler. 2-fas. ånga

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "Kap 11 kylcykler. 2-fas. ånga"

Transkript

1 Kap 11 kylcykler Verkliga kylcykler Den vanligaste kylcykeln i tillämpningar innehåller förångning och kompression, dvs kylmediet byter fas. Problem som uppstår liknar de som finns i ångcykler (med vatten i 2-fas). vätska ånga 2-fas ånga 1

2 Vilket var användningsområdet för det första verkliga kylcyklerna (ca 1850)? 0% 1. Kyla drycker och glass 0% 0% 0% 2. Kyla mediciner 3. Göra is till pingviner och isbjörnar på zoo 4. Luftkonditionering 2

3 Verkliga kylcykler Kap 11 kylcykler De första kylcyklerna uppfanns i mitten på 1800-talet använde etyl eller eter som kylmedium. Tillämpningsområdena var att göra is och kylda drycker. På 1930-talet blev de allmänt tillgängliga. Idag är luftkonditionering det största användningsområdet. 3

4 Kap 11 kylcykler Repetition från kap 6: kylcykel/värmepump 4

5 Kap 11 kylcykler Omvända Carnot-cykeln: teoretiskt maximum för en kylcykel mellan T H och T L. Men ej realistisk i praktiken eftersom: Process 2-3: kompression i 2-fas = svårt Process 4-1: expansion av kylmedel med högt fuktinnehåll i turbin = skadar turbinen kondensering COP COP R, Carnot HP, Carnot = T H 1 T L 1 = 1 T L 1 T H förångning 5

6 Kap 11 kylcykler Ideal kylcykel (innehåller en irreversibel komponent: strypventil) Skillnad mot Carnot: kylmedlet förångas helt innan kompression eftersom vill ej ha 2-fas i steg 1-2. turbinen ersätts med strypventil kondensering förångning 1-2: isentrop kompression i kompressor 2-3: isobar värmebortförsel i kondensor 3-4: expansion i strypventil eller expansionskärl 4-1: isobar värmetillförsel i förångare 6

7 Varför förångas kylmedlet? A. Det avger värme till baksidan på kylen/frysen. B. Det går igenom en strypventil. C. Det växelverkar med en kondensor. D. Det tar upp värme från det kylda utrymmet E. Både A och B F. Både B och C G. Både B och D 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% A. B. C. D. E. F. G. 7

8 Kap 11 kylcykler Ideal kylcykel h 4 = h 3 strypning 8

9 Kap 11 kylcykler Ideal kylcykel Ph-diagram Ph-diagram för ideal kylcykel: Konstant entalpi i strypventilen. Värmeöverföringen i kondensorn och förångaren sker vid konstant tryck. Q H och Q L är proportionella mot linjernas längd ( h) 9

10 Kap 11 kylcykler Verklig kylcykel Strömningsfriktion -> tryckfall Värmeutbyte med omgivningen Jämfört med ideala fallet: Kompressionen (1-2) ej isentrop Ångan överhettad ut från förångaren (punkt 1) Vätskan underkyld ut från kondensorn (4,5) Tryckfall i kondensorn och förångaren. 10

11 Vilken ska bort? (Vilken är fel?) A. Isokor betyder konstant volym B. En turbin är idealt isentrop C. Strypventilen har idealt konstant entalpi D. Rankinecyeln har bara isobarer och isentroper E. Strypning bevarar idealt entropin F. Om volymen hålls konstant uträttas inget W b 0% 0% 0% 0% 0% 0% A. B. C. D. E. F. 11

12 Kap 12 termodynamiska tillståndsrelationer Hur får man fram tillståndstabeller och hur kan man bestämma okända storheter från dem man känner till? Vissa storheter kan man enkelt mäta (T, P, m, V). Andra storheter kan man få fram genom enkla relationer (ρ, v =spec. volym). Vissa storheter kan man varken mäta eller enkelt räkna fram (u, h, s).? Hur gör man? 13

13 Kap 12 termodynamiska tillståndsrelationer Tillståndspostulatet: (föreläsning 1) Ett enkelt kompressibelt system är fullständigt känt om två oberoende intensiva storheter är kända Enkelt kompressibelt system: inga effekter av rörelser, magnetism, elektricitet, ytspänning mm. Dvs om vi känner storheterna x och y kan alla andra storheter uttryckas som funktion av dessa: z = z( x, y) 14

14 Partiella derivator, definition: Kap 12 termodynamiska tillståndsrelationer Total derivata: Partiella derivator har ofta olika numeriska värden beroende på värdet där den fasta variabeln hålls fixt! 15

15 Kap 12 termodynamiska tillståndsrelationer Kontinuerliga punktfunktioner har exakta derivator Därför spelar ordningen man deriverar i ingen roll! skrivs som med => 16

16 Kap 12 termodynamiska tillståndsrelationer Följande samband kan härledas: Reciproka relationen Cykliska relationen Dessa samband gäller allmänt när x = x(y,z) och y = (x,z) och z = (x,y) ( ) = = = = y x z x z y y y y y x z z y y x y z y x x z x z z x x z z x 17

17 Kap 12 termodynamiska tillståndsrelationer Maxwells relationer Med derivatornas relationer kan man relatera P,v,T och s till varandra för enkla kompressibla system! Användbara eftersom man inte kan mäta entropiförändring direkt! Gibbs 4 ekvationer: 1. du = T ds P dv kap 7 2. dh = T ds + v dp kap 7 3. a = u Ts => da = du Tds sdt Helmholtz funktion 4. g = h Ts => dg = dh Tds sdt Gibbs funktion (Gibbs fria energi) (Gibbs fria energi avser kemisk energi: En reaktion anses vara spontan om Gibbs fria energi minskar) Kombinera samt 2 + 4: da = sdt P dv dg = sdt + v dp 18

18 Kap 12 termodynamiska tillståndsrelationer Maxwells relationer Utgå från Gibbs 4 ekvationer på formen dz = Mdx + Ndy och använd 1. du = T ds P dv => 2. dh = T ds + v dp => 3. da = sdt P dv => 4. dg = sdt + v dp => 19

19 Clapeyrons ekvation Kap 12 termodynamiska tillståndsrelationer Används för att associera entalpiförändring vid fasförändring, med P,v och T. P s Utgår från 3:e Maxwell-realtionen: = T v v T Under fasförändringen är trycket: P sat vilket bara beror på temperaturen (ej på spec. volym), dvs P sat = f(t sat ). Alltså gäller: P T vilket motsvarar lutningen av mättnadskurvan i ett PT-diagram v = dp dt sat 20

20 Clapeyrons ekvation, forts Lutningen av Kap 12 termodynamiska tillståndsrelationer dp dt sat är konstant med avseende på spec. volym v, och vi kan integrera mellan de två mättnadstillstånden mättad vätska och mättad gas. P P = T v T Vi kan nu skriva: sat = s v T s v = P T sat eller för fasförändringen mättad gas till mättad vätska => P T sat = s v g g s v f f = s v fg fg 21

21 Kap 12 termodynamiska tillståndsrelationer Clapeyrons ekvation, forts Under fasövergången från mättad vätska till mättad gas är också trycket konstant, dvs dp = 0. Då gäller: dh = Tds +vdp = Tds och vi har: g f g dh = Tds h = Ts f fg fg Sammanfattningsvis kan vi skriva: dp dt sat h = Tv fg fg Clapeyrons ekvation Ekvationen gäller vi alla fasövergångar där tryck och temperatur är konstanta. 22

22 Kap 12 termodynamiska tillståndsrelationer Joule-Thomson-koefficienten När ett flöde passerar genom en strypventil (konstant entalpi, h) sjunker trycket och även temperaturen kan förändras. Hur temperaturen förändras under tryckfallet beskrivs av Joule-Thomson-koefficienten: P < 0! Under strypningen kan temperaturen öka, minska eller förbli samma. 23

23 Kap 12 termodynamiska tillståndsrelationer Joule-Thomson-koefficienten (forts.) Strypventil = mot vänster i diagrammet. Från konstant-entalpi-kurvorna kan man se att temperaturen bara kan minska om starttillståndet är till vänster om den streckade linjen. För vissa material kan man inte få en temperatursänkning vid strypning vid rumstemperatur! Det gäller när materialet har en maximum inversion temperature över rumstemperatur. Konstant-entalpi-kurvor för en specifik substans. 24

24 Kap 12 termodynamiska tillståndsrelationer Joule-Thomson-koefficienten (forts.) Med hjälp av Maxwells relationer kan ett uttryck för beräkning av Joule-Thomson-koefficienten härledas: Man kan alltså bestämma temperatureffekten av strypning genom utifrån värden på T, P och V för substansen vid det aktuella tillståndet. Willian Thomson Lord Kelvin Misstänkt lika 25

Kap 10 ångcykler: processer i 2 fasområdet

Kap 10 ångcykler: processer i 2 fasområdet Ångcykler i 2 fas området Carnotcykeln är den teoretiskt bästa cykeln! Panna Pump Kondensor Turbin Carnot: 1 2 isoterm: värme tillförs i panna 2 3 isentrop: expansion i turbinen 3 4 isoterm: värme bortförs

Läs mer

Teknisk termodynamik repetition

Teknisk termodynamik repetition Först något om enheter! Teknisk termodynamik repetition Kom ihåg att använda Kelvingrader för temperaturer! Enheter motsvarar vad som efterfrågas! Med konventionen specifika enheter liten bokstav: E Enhet

Läs mer

Kap 12 termodynamiska tillståndsrelationer

Kap 12 termodynamiska tillståndsrelationer Vissa storheter kan man enkelt mäta (T, P, m, V). Kap 12 termodynamiska tillståndsrelationer Andra storheter kan man få fram genom enkla relationer (ρ, v =spec. volym). Vissa storheter kan man varken mäta

Läs mer

Kap 10 ångcykler: processer i 2-fasområdet

Kap 10 ångcykler: processer i 2-fasområdet Med ångcykler menas att arbetsmediet byter fas under cykeln Den vanligaste typen av ångcykler är med vatten som medium. Vatten är billigt, allmänt tillgängligt och har hög ångbildningsentalpi. Elproducerande

Läs mer

Teknisk termodynamik repetition

Teknisk termodynamik repetition Teknisk termodynamik repetition Repetitionsgenomgång Slutna och öppna system Isentrop verkningsgrad Värmemotor och värmepump; Carnot Kretsprocesser med ånga (Rankine och kylcykel) Ångtabeller Kretsprocesser

Läs mer

Kapitel III. Klassisk Termodynamik in action

Kapitel III. Klassisk Termodynamik in action Kapitel III Klassisk Termodynamik in action Termodynamikens andra grundlag Observation: värme flödar alltid från en varm kropp till en kall, och den motsatta processen sker aldrig spontant (kräver arbete!)

Läs mer

David Wessman, Lund, 30 oktober 2014 Statistisk Termodynamik - Kapitel 5. Sammanfattning av Gunnar Ohléns bok Statistisk Termodynamik.

David Wessman, Lund, 30 oktober 2014 Statistisk Termodynamik - Kapitel 5. Sammanfattning av Gunnar Ohléns bok Statistisk Termodynamik. Sammanfattning av Gunnar Ohléns bok Statistisk Termodynamik. 1 Jämviktsvillkor Om vi har ett stort system som består av ett litet system i kontakt med en värmereservoar. Storheter för det lilla systemet

Läs mer

3. Värmeutvidgning (s. 49 57)

3. Värmeutvidgning (s. 49 57) 3. Värmeutvidgning (s. 49 57) Om du vill öppna ett burklock som har fastnat kan du värma det under varmt vatten en stund och sedan lossnar det enklare. Detta beror på att värmen får locket att utvidga

Läs mer

Övningshäfte i matematik för. Kemistuderande BL 05

Övningshäfte i matematik för. Kemistuderande BL 05 Övningshäfte i matematik för Kemistuderande BL 05 Detta häfte innehåller några grundläggande övningar i de delar av matematiken som man har användning för i de tidiga kemistudierna. Nivån är gymnasiematematik,

Läs mer

Entropi. Det är omöjligt att överföra värme från ett "kallare" till ett "varmare" system utan att samtidigt utföra arbete.

Entropi. Det är omöjligt att överföra värme från ett kallare till ett varmare system utan att samtidigt utföra arbete. Entropi Vi har tidigare sett hur man kunde definiera entropi som en funktion (en konstant gånger naturliga logaritmen) av antalet sätt att tilldela ett system en viss mängd energi. Att ifrån detta förstå

Läs mer

Två system, bägge enskilt i termisk jämvikt med en tredje, är i jämvikt sinsemellan

Två system, bägge enskilt i termisk jämvikt med en tredje, är i jämvikt sinsemellan Termodynamikens grundlagar Nollte grundlagen Termodynamikens 0:e grundlag Två system, bägge enskilt i termisk jämvikt med en tredje, är i jämvikt sinsemellan Temperatur Temperatur är ett mått på benägenheten

Läs mer

Kap 7 entropi. Ett medium som värms får ökande entropi Ett medium som kyls förlorar entropi

Kap 7 entropi. Ett medium som värms får ökande entropi Ett medium som kyls förlorar entropi Entropi Är inte så enkelt Vi kan se på det på olika sätt (mikroskopiskt, makroskopiskt, utifrån teknisk design). Det intressanta är förändringen i entropi ΔS. Men det finns en nollpunkt för entropi termodynamikens

Läs mer

SEPARABLA DIFFERENTIALEKVATIONER

SEPARABLA DIFFERENTIALEKVATIONER SEPARABLA DIFFERENTIALEKVATIONER En differentialekvation (DE) av första ordningen sägs vara separabel om den kan skrivas på formen P ( y) Q( ) () Den allmänna lösningen till () erhålles genom att integrera

Läs mer

OMÖJLIGA PROCESSER. 1:a HS: Q = W Q = Q out < 0 W = W net,out > 0

OMÖJLIGA PROCESSER. 1:a HS: Q = W Q = Q out < 0 W = W net,out > 0 OMÖJLIGA PROCESSER 1:a HS: Q = W Q = Q out < 0 W = W net,out > 0 Q W; GÅR INTE! PMM1 bryter mot 1:a HS 1:a HS: Q in = W net,out ; OK 2:a HS: η th = W net,out /Q in < 1 η th = 1; GÅR INTE! PMM2 bryter mot

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys

SF1625 Envariabelanalys Modul 2: Derivata Institutionen för matematik KTH 8 september 2015 Derivata Innehåll om derivata (bokens kapitel 2). Definition vad begreppet derivata betyder Tolkning hur man kan tolka derivata Deriveringsregler

Läs mer

Kapitel 6. f(x) = sin x. Figur 6.1: Funktionen sin x. 1 Oinas-Kukkonen m.fl. Kurs 6 kapitel 1

Kapitel 6. f(x) = sin x. Figur 6.1: Funktionen sin x. 1 Oinas-Kukkonen m.fl. Kurs 6 kapitel 1 Kapitel 6 Gränsvärde 6. Definition av gränsvärde När vi undersöker gränsvärdet av en funktion undersöker vi vad som händer med funktionsvärdet då variabeln, x, går mot ett visst värde. Frågeställningen

Läs mer

Kap 3 egenskaper hos rena ämnen

Kap 3 egenskaper hos rena ämnen Rena ämnen/substanser Kap 3 egenskaper hos rena ämnen Har fix kemisk sammansättning! Exempel: N 2, luft Även en fasblandning av ett rent ämne är ett rent ämne! Blandningar av flera substanser (t.ex. olja

Läs mer

Ekvationssystem, Matriser och Eliminationsmetoden

Ekvationssystem, Matriser och Eliminationsmetoden Matematiska institutionen Göteborgs universitet och Chalmers tekniska högskola Version 359 Ekvationssystem, Matriser och Eliminationsmetoden - En inledning Ekvationssystem - matrisformulering Vi såg att

Läs mer

1 Navier-Stokes ekvationer

1 Navier-Stokes ekvationer Föreläsning 5. 1 Navier-Stokes ekvationer I förra föreläsningen härledde vi rörelsemängdsekvationen Du j Dt = 1 τ ij + g j. (1) ρ x i Vi konstaterade också att spänningstensorn för en inviskös fluid kan

Läs mer

Linköpings tekniska högskola Exempeltentamen 2 IKP/Mekaniksystem Mekanisk värmeteori och strömningslära. Exempeltentamen 2

Linköpings tekniska högskola Exempeltentamen 2 IKP/Mekaniksystem Mekanisk värmeteori och strömningslära. Exempeltentamen 2 Exempeltentamen 2 (OBS! Uppgifterna nedan gavs innan kursen delvis bytte innehåll och omfattning. Vissa uppgifter som inte längre är aktuella har därför tagits bort, vilket medför att poängsumman är

Läs mer

Denna utrustning får endast demonstreras av personal.

Denna utrustning får endast demonstreras av personal. * Kort version Denna utrustning får endast demonstreras av personal. Känn på metallrören eller vattnet i spannarna Vad kan man använda en sån här apparat till? Kan den användas på mer än ett sätt? Ni har

Läs mer

Lathund, procent med bråk, åk 8

Lathund, procent med bråk, åk 8 Lathund, procent med bråk, åk 8 Procent betyder hundradel, men man kan också säga en av hundra. Ni ska kunna omvandla mellan bråkform, decimalform och procentform. Nedan kan ni se några omvandlingar. Bråkform

Läs mer

Statistik 1 för biologer, logopeder och psykologer

Statistik 1 för biologer, logopeder och psykologer Innehåll 1 Punktskattning och kondensintervall Innehåll 1 Punktskattning och kondensintervall Population Punktskattning och kondensintervall Vi har en population vars någon mätbar egenskap X vi är intresserade

Läs mer

Vad tror du ökning av entropi innebär från ett tekniskt perspektiv?

Vad tror du ökning av entropi innebär från ett tekniskt perspektiv? Entropi Entropi är ett mått på oordning En process går alltid mot samma eller ökande entropi. För energi gäller energins bevarande. För entropi gäller entropins ökande. Irreversibla processer innebär att

Läs mer

Termodynamik (repetition mm)

Termodynamik (repetition mm) 0:e HS, 1:a HS, 2:a HS Termodynamik (repetition mm) Definition av processer, tillstånd, tillståndsstorheter mm Innehåll och överföring av energi 1: HS öppet system 1: HS slutet system Fö 11 (TMMI44) Fö

Läs mer

Modul 6: Integraler och tillämpningar

Modul 6: Integraler och tillämpningar Institutionen för Matematik SF65 Envariabelanalys Läsåret 5/6 Modul 6: Integraler och tillämpningar Denna modul omfattar kapitel 6. och 6.5 samt kapitel 7 i kursboken Calculus av Adams och Essex och undervisas

Läs mer

Kap 10 ångcykler: processer i 2-fasområdet

Kap 10 ångcykler: processer i 2-fasområdet Med ångcykler menas att arbetsmediet byter fas under cykeln Den vanligaste typen av ångcykler är med vatten som medium. Vatten är billigt, allmänt tillgängligt och har hög ångbildningsentalpi. Elproducerande

Läs mer

Får nyanlända samma chans i den svenska skolan?

Får nyanlända samma chans i den svenska skolan? Får nyanlända samma chans i den svenska skolan? Sammanställning oktober 2015 De nyanlända eleverna (varit här högst fyra år) klarar den svenska skolan sämre än andra elever. Ett tydligt tecken är att för

Läs mer

U = W + Q (1) Formeln (1) kan även uttryckas differentiells, d v s om man betraktar mycket liten tillförsel av energi: du = dq + dw (2)

U = W + Q (1) Formeln (1) kan även uttryckas differentiells, d v s om man betraktar mycket liten tillförsel av energi: du = dq + dw (2) Inre energi Begreppet energi är sannerligen ingen enkel sak att utreda. Den går helt enkelt inte att definiera med några få ord då den förekommer i så många olika former. Man talar om elenergi, rörelseenergi,

Läs mer

Institutionen för matematik Envariabelanalys 1. Jan Gelfgren Datum: Fredag 9/12, 2011 Tid: 9-15 Hjälpmedel: Inga (ej miniräknare)

Institutionen för matematik Envariabelanalys 1. Jan Gelfgren Datum: Fredag 9/12, 2011 Tid: 9-15 Hjälpmedel: Inga (ej miniräknare) Umeå universitet Dugga i matematik Institutionen för matematik Envariabelanalys 1 och matematisk statistik IE, ÖI, Stat. och Frist. Jan Gelfgren Datum: Fredag 9/12, 2011 Tid: 9-15 Hjälpmedel: Inga (ej

Läs mer

Mätning av effekter. Vad är elektrisk effekt? Vad är aktiv-, skenbar- reaktiv- medel- och direkteffekt samt effektfaktor?

Mätning av effekter. Vad är elektrisk effekt? Vad är aktiv-, skenbar- reaktiv- medel- och direkteffekt samt effektfaktor? Mätning av effekter Vad är elektrisk effekt? Vad är aktiv-, skenbar- reaktiv- medel- och direkteffekt samt effektfaktor? Denna studie ger vägledning om de grundläggande parametrarna för 3-fas effektmätning.

Läs mer

Tentamen i Kemisk Termodynamik kl 14-19

Tentamen i Kemisk Termodynamik kl 14-19 Tentamen i Kemisk Termodynamik 2010-12-14 kl 14-19 Hjälpmedel: Räknedosa, BETA och Formelsamling för kurserna i kemi vid KTH. Endast en uppgift per blad! Skriv namn och personnummer på varje blad! Alla

Läs mer

Inlämningsuppgift: Introduktionskurs

Inlämningsuppgift: Introduktionskurs Inlämningsuppgift: Introduktionskurs Förnamn Efternamn Grupp 1, kandfys Uppsala Universitet 23 september 213 Sammanfattning Målet med rapporten är att visa att jag behärskar något ordbehandlingsprogram.

Läs mer

Bered en buffertlösning. Niklas Dahrén

Bered en buffertlösning. Niklas Dahrén Bered en buffertlösning Niklas Dahrén Grundprincipen vid beredning av en buffertlösning ü När vi bereder en buffertlösning blandar vi en svag syra med dess korresponderande bas (den bas som syran också

Läs mer

SF1620 Matematik och modeller

SF1620 Matematik och modeller KTH Teknikvetenskap, Institutionen för matematik 1 SF160 Matematik och modeller 007-09-10 Andra veckan Trigonometri De trigonometriska funktionerna och enhetscirkeln Redan vid förra veckans avsnitt var

Läs mer

Flervariabelanalys E2, Vecka 2 Ht08

Flervariabelanalys E2, Vecka 2 Ht08 Omfattning och innehåll Flervariabelanalys E2, Vecka 2 Ht08 12.2 Gränsvärden och kontinuitet. 12.3 Partiella derivator, tangentplan och normaler till funktionsytor. 12.4 Högre ordningens derivator. 12.5

Läs mer

Repetition. Termodynamik handlar om energiomvandlingar

Repetition. Termodynamik handlar om energiomvandlingar Repetition Termodynamik handlar om energiomvandlingar Termodynamikens första huvudsats: (Energiprincipen) Energi kan inte skapas och inte förstöras bara omvandlas från en form till en annan!! Termodynamikens

Läs mer

Möbiustransformationer.

Möbiustransformationer. 224 Om Möbiustransformationer Torbjörn Kolsrud KTH En Möbiustransformation är en komplexvärd funktion f av en komplex variabel z på formen f(z) = az + b cz + d. Här är a b c och d komplexa tal. Ofta skriver

Läs mer

Facit med lösningsförslag kommer att anslås på vår hemsida www.ebersteinska.norrkoping.se. Du kan dessutom få dem via e-post, se nedan.

Facit med lösningsförslag kommer att anslås på vår hemsida www.ebersteinska.norrkoping.se. Du kan dessutom få dem via e-post, se nedan. Detta häfte innehåller uppgifter från fyra olika områden inom matematiken. Meningen är att de ska tjäna som en självtest inför gymnasiet. Klarar du dessa uppgifter så är du väl förberedd inför gymnasiestudier

Läs mer

3.1 Linjens ekvation med riktningskoefficient. y = kx + l.

3.1 Linjens ekvation med riktningskoefficient. y = kx + l. Kapitel Analytisk geometri Målet med detta kapitel är att göra läsaren bekant med ekvationerna för linjen, cirkeln samt ellipsen..1 Linjens ekvation med riktningskoefficient Vi utgår från ekvationen 1

Läs mer

Träning i bevisföring

Träning i bevisföring KTHs Matematiska Cirkel Träning i bevisföring Andreas Enblom Institutionen för matematik, 2005 Finansierat av Marianne och Marcus Wallenbergs Stiftelse 1 Mängdlära Här kommer fyra tips på hur man visar

Läs mer

konstanterna a och b så att ekvationssystemet x 2y = 1 2x + ay = b 2 a b

konstanterna a och b så att ekvationssystemet x 2y = 1 2x + ay = b 2 a b Tentamen i Inledande matematik för V och AT, (TMV25), 20-0-26. Till denna uppgift skulle endast lämnas svar, men här ges kortfattade lösningar. a) Bestäm { konstanterna a och b så att ekvationssystemet

Läs mer

DOP-matematik Copyright Tord Persson. Bråktal -3-2 -1 0 1 2 3. Läs av vilka tal på tallinjen, som pilarna pekar på. Uppgift nr 10 -3-2 -1 0 1 2 3

DOP-matematik Copyright Tord Persson. Bråktal -3-2 -1 0 1 2 3. Läs av vilka tal på tallinjen, som pilarna pekar på. Uppgift nr 10 -3-2 -1 0 1 2 3 Bråktal Uppgift nr En limpa delas i 4 lika stora delar. Hur stor del av limpan blir varje del? Uppgift nr 2 Hur många tiondelar behövs för att det skall räcka till en hel? Uppgift nr Hur läser man ut bråket

Läs mer

Snabbslumpade uppgifter från flera moment.

Snabbslumpade uppgifter från flera moment. Snabbslumpade uppgifter från flera moment. Uppgift nr Ställ upp och dividera utan hjälp av miniräknare talet 48 med 2 Uppgift nr 2 Skriv talet 3 8 00 med hjälp av decimalkomma. Uppgift nr 3 Uppgift nr

Läs mer

Hjälpmedel: Valfri miniräknare, Formelsamling: Energiteknik-Formler och tabeller(s O Elovsson och H Alvarez, Studentlitteratur)

Hjälpmedel: Valfri miniräknare, Formelsamling: Energiteknik-Formler och tabeller(s O Elovsson och H Alvarez, Studentlitteratur) ENERGITEKNIK II Provmoment: Ladokkod: Tentamen ges för: Tentamen 41N05B En2 7,5 högskolepoäng TentamensKod: Tentamensdatum: Tisdag 27 oktober Tid: 9.00-13.00 Hjälpmedel: Valfri miräknare, Formelsamlg:

Läs mer

David Wessman, Lund, 29 oktober 2014 Statistisk Termodynamik - Kapitel 3. Sammanfattning av Gunnar Ohléns bok Statistisk Termodynamik.

David Wessman, Lund, 29 oktober 2014 Statistisk Termodynamik - Kapitel 3. Sammanfattning av Gunnar Ohléns bok Statistisk Termodynamik. Sammanfattning av Gunnar Ohléns bok Statistisk Termodynamik. 1 Entropi 1.1 Inledning Entropi införs med relationen: S = k ln(ω (1 Entropi har enheten J/K, samma som k som är Boltzmanns konstant. Ω är antalet

Läs mer

Termodynamik Av grekiska θηρµǫ = värme och δυναµiς = kraft

Termodynamik Av grekiska θηρµǫ = värme och δυναµiς = kraft Termodynamik Av grekiska θηρµǫ = värme och δυναµiς = kraft Termodynamik = läran om värmets natur och dess omvandling till andra energiformer (Nationalencyklopedin, band 18, Bra Böcker, Höganäs, 1995) 1

Läs mer

Erfarenheter från ett pilotprojekt med barn i åldrarna 1 5 år och deras lärare

Erfarenheter från ett pilotprojekt med barn i åldrarna 1 5 år och deras lärare Erfarenheter från ett pilotprojekt med barn i åldrarna 1 5 år och deras lärare I boken får vi följa hur barn tillsammans med sina lärare gör spännande matematikupptäckter - i rutinsituationer - i leken

Läs mer

Test Virkesmarknad och Lagerteori

Test Virkesmarknad och Lagerteori Test Virkesmarknad och Lagerteori Av Peter Lohmander 111111 1 Uppgift VM1 (maximalt 2.5 poäng): I Skogsland, Nr 46, 11 november 2011, står följande: Citat: Sänkt pris på sågtimmer: Från och med den 1 december

Läs mer

Kap 6 termodynamikens 2:a lag

Kap 6 termodynamikens 2:a lag Termodynamikens första lag: energins bevarande. Men säger ingenting om riktningen på energiflödet! Men vi vet ju att riktingen spelar roll: En kopp varmt kaffe kan inte värmas upp ytterligare från en kallare

Läs mer

Kapitel IV. Partikeltalet som termodynamisk variabel & faser

Kapitel IV. Partikeltalet som termodynamisk variabel & faser Kapitel IV Partikeltalet som termodynamisk variabel & faser Kemiska potentialen Kemiska potentialen I många system kan inte partikelantalet antas vara konstant så som vi hittills antagit Ett exempel är

Läs mer

x 2 + px = ( x + p 2 x 2 2x = ( x + 2

x 2 + px = ( x + p 2 x 2 2x = ( x + 2 Inledande kurs i matematik, avsnitt P.3 P.3. Bestäm en ekvation för cirkeln med mittpunkt i (0, 0) och radie 4. Med hjälp av kvadratkompletteringsformeln + p = ( + p ) ( p ) En cirkel med mittpunkt i (

Läs mer

Träningsprogram - sommaren 2010

Träningsprogram - sommaren 2010 Träningsprogram - sommaren 2010 ALLMÄNT OM TRÄNINGSPROGRAMMET Det finns två huvudsakliga syften med detta träningsprogram. Det första och kanske viktigaste syftet, är att det ska hålla dig borta från skador

Läs mer

Introduktion till kemisk bindning. Niklas Dahrén

Introduktion till kemisk bindning. Niklas Dahrén Introduktion till kemisk bindning Niklas Dahrén Kemiska bindningar delas in i två huvudtyper Intramolekylära bindningar: De bindningar som finns mellan atomerna i en molekyl, mellan jonerna i e5 salt eller

Läs mer

NATIONELLA MATEMATIKTÄVLING

NATIONELLA MATEMATIKTÄVLING NATIONELLA MATEMATIKTÄVLING PRATA OM SPELS EN KURS I SANNOLIKHET 1 INLEDNING Sannolikhetskursen består av sju olika steg där det sista steget utgörs av själva tävlingsmomentet. Det är upp till pedagogen

Läs mer

För övrigt fullständig överensstämmelse kvalitativt sett för båda proverna. Alla lab som analyserat P-CCP ak på prov 18/D rapporterar ett starkt

För övrigt fullständig överensstämmelse kvalitativt sett för båda proverna. Alla lab som analyserat P-CCP ak på prov 18/D rapporterar ett starkt 2011-18 Förväntat svar/utfall för P-RF (ej isotypspec) var bestämt utifrån nefelometrisk metod. På prov 18/C med förväntat negativt utslag fick ett annat lab som också använder nefelometri dock ett svagt

Läs mer

Vi skall skriva uppsats

Vi skall skriva uppsats Vi skall skriva uppsats E n vacker dag får du höra att du skall skriva uppsats. I den här texten får du veta vad en uppsats är, vad den skall innehålla och hur den bör se ut. En uppsats är en text som

Läs mer

Kretsprocesser. För att se hur långt man skulle kunna komma med en god konstruktion skall vi ändå härleda verkningsgraden i några enkla fall.

Kretsprocesser. För att se hur långt man skulle kunna komma med en god konstruktion skall vi ändå härleda verkningsgraden i några enkla fall. Kretsrocesser Termodynamiken utvecklades i början för att förstå hur bra man kunde bygga olika värmemaskiner, hur man skulle kunna öka maskinernas verkningsgrad d v s hur mycket mekaniskt arbete som kunde

Läs mer

SKOGLIGA TILLÄMPNINGAR

SKOGLIGA TILLÄMPNINGAR STUDIEAVSNITT 3 SKOGLIGA TILLÄMPNINGAR I detta avsnitt ska vi titta på några av de skogliga tillämpningar på geometri som finns. SKOGSKARTAN EN MODELL AV VERKLIGHETEN Arbetar man i skogen klarar man sig

Läs mer

Algebra, polynom & andragradsekvationer en pampig rubrik på ett annars relativt obetydligt dokument

Algebra, polynom & andragradsekvationer en pampig rubrik på ett annars relativt obetydligt dokument Algebra, polynom & andragradsekvationer en pampig rubrik på ett annars relativt obetydligt dokument Distributiva lagen a(b + c) = ab + ac 3(x + 4) = 3 x + 3 4 = 3x + 12 3(2x + 4) = 3 2x + 3 4 = 6x + 12

Läs mer

Repetition av cosinus och sinus

Repetition av cosinus och sinus Repetition av cosinus och sinus Av Eric Borgqvist, 00-08-6, Lund Syftet med detta dokument är att få en kort och snabb repetition av vissa egenskaper hos de trigonometriska funktionerna sin och cos. Det

Läs mer

LPP laboration. Förmågor: Centralt innehåll: Kunskapskrav:

LPP laboration. Förmågor: Centralt innehåll: Kunskapskrav: LPP laboration Syfte: Eleverna ska få möjlighet att undersöka vardagliga naturvetenskapliga händelser och skapa förståelse kring varför dessa händelser äger rum. Eleverna ska göra det med hjälp av naturvetenskapliga

Läs mer

Blixtrarna hettar upp luften så att den exploderar, det är det som är åskknallen.

Blixtrarna hettar upp luften så att den exploderar, det är det som är åskknallen. STATISK ELEKTICITET Elektriciteten upptäcktes första gången av grekerna omkring 600 fkr. En man vid namn Thales upptäckte att när han gned en bit bärnsten med en tygbit, så drog bärnstenen till sig småsaker.

Läs mer

Nämnarens adventskalendern 2007

Nämnarens adventskalendern 2007 Nämnarens adventskalendern 2007 1 När det närmar sig jul är det kallt. Då behöver de tre tomtenissarna både halsduk och mössa när de leker i snön. I korgen ligger en röd, en blå och en randig halsduk.

Läs mer

Tränarguide del 1. Mattelek. www.mv-nordic.se

Tränarguide del 1. Mattelek. www.mv-nordic.se Tränarguide del 1 Mattelek www.mv-nordic.se 1 ATT TRÄNA MED MATTELEK Mattelek är ett adaptivt träningsprogram för att träna centrala matematiska färdigheter såsom antalsuppfattning, den inre mentala tallinjen

Läs mer

Kap 6 termodynamikens 2:a lag

Kap 6 termodynamikens 2:a lag Termodynamikens första lag: energins bevarande. Men säger ingenting om riktningen på energiflödet! Men vi vet ju att riktingen spelar roll: En kopp varmt kaffe kan inte värmas upp ytterligare från en kallare

Läs mer

Mätningar på op-förstärkare. Del 3, växelspänningsförstärkning med balanserad ingång.

Mätningar på op-förstärkare. Del 3, växelspänningsförstärkning med balanserad ingång. Mätningar på op-förstärkare. Del 3, växelspänningsförstärkning med balanserad ingång. Denna gång skall vi titta närmare på en förstärkare med balanserad ingång och obalanserad utgång. Normalt använder

Läs mer

TENTAMEN I REGLERTEKNIK Y (TSRT12)

TENTAMEN I REGLERTEKNIK Y (TSRT12) TENTAMEN I REGLERTEKNIK Y (TSRT12) SAL: U1, U3, U4 TID: 10 juni 2011, klockan 14-19 KURS: TSRT12 PROVKOD: TEN1 INSTITUTION: ISY ANTAL UPPGIFTER: 5 ANTAL SIDOR: 12 ANSVARIG LÄRARE: David Törnqvist, 013-281882,

Läs mer

Effekt av balansering 2010 med hänsyn tagen till garantipension och bostadstillägg

Effekt av balansering 2010 med hänsyn tagen till garantipension och bostadstillägg Effekt av balansering 2010 med hänsyn tagen till garantipension och bostadstillägg Balanseringen inom pensionssystemet påverkar pensionärer med inkomstpension och tilläggspension. Balanseringen innebär

Läs mer

Tentamen i Termodynamik och Statistisk fysik för F3(FTF140)

Tentamen i Termodynamik och Statistisk fysik för F3(FTF140) Chalmers Tekniska Högskola Institutionen för Teknisk Fysik Mats Granath Tentamen i Termodynamik och Statistisk fysik för F(FTF40) Tid och plats: Torsdag /8 008, kl. 4.00-8.00 i V-huset. Examinator: Mats

Läs mer

Index vid lastbilstransporter

Index vid lastbilstransporter index vid lastbilstransporter Matematiken Snabbhjälpen för att räkna rätt Index vid lastbilstransporter Innehåll A. Tre steg för att räkna rätt Sidan 1 B. Förändring enligt index 2 C. Andelskorrigering

Läs mer

Föreläsning 1 i Elektronik ESS010

Föreläsning 1 i Elektronik ESS010 Elektro och informationsteknik Föreläsning 1 i Elektronik ESS010 Hambley Kap 1 Potential Den elektriska potentialen betecknas 1 v eller V och talar om hur stor potentiell energi en laddning har. Energin

Läs mer

Sundbybergs stad Skolundersökning 2015 Föräldrar förskola Fristående förskolor totalt 2015. Antal svar samtliga fristående förskolor: 360 (57 %)

Sundbybergs stad Skolundersökning 2015 Föräldrar förskola Fristående förskolor totalt 2015. Antal svar samtliga fristående förskolor: 360 (57 %) Sundbybergs stad Skolundersökning Föräldrar förskola Antal svar samtliga fristående förskolor: ( %) Innehåll Om undersökningen Förklaring av diagram Resultat - Per fråga - NöjdKundIndex (NKI) Frågorna

Läs mer

Central Barnhälsovård Västra Götalandsregionen i samarbete med Folkhälsokommittén

Central Barnhälsovård Västra Götalandsregionen i samarbete med Folkhälsokommittén Central Barnhälsovård Bamse må bra tidning Handledning hälsosamtal vid 4 år Handledning hälsosamtal vid 4 år Central Barnhälsovård Västra Götalandsregionen i samarbete med Folkhälsokommittén Central Barnhälsovård

Läs mer

Temperatur. Quizz. Temperatur 10/21/13. Om vi bestämmer at kokande vaten har 212 och is har 32, vad har vi gjort?

Temperatur. Quizz. Temperatur 10/21/13. Om vi bestämmer at kokande vaten har 212 och is har 32, vad har vi gjort? Temperatur Hur varmt vi upplever något är subjeklvt beror på fuklghet, temperaturskillnad, enhet (Celsius, Fahrenheit) Kapitel 15: Temperatur, värme och utvidgning Celsius termometern 0 C när vaten fryser

Läs mer

Observera att alla funktioner kan ritas, men endast linjära funktioner blir räta linjer.

Observera att alla funktioner kan ritas, men endast linjära funktioner blir räta linjer. 1 Matematik som verktyg Antag att vi har en funktion som är en rät linje, y = 1 3x. Eftersom relationen mellan x och y är linjär räcker det med att vi hittar två punkter (två talpar) på linjen för att

Läs mer

Termodynamik Föreläsning 7 Entropi

Termodynamik Föreläsning 7 Entropi ermodynamik Föreläsning 7 Entropi Jens Fjelstad 200 09 5 / 2 Innehåll FS 2:a upplagan (Çengel & urner) 7. 7.9 FS 3:e upplagan (Çengel, urner & Cimbala) 8. 8.9 8.3 D 6:e upplagan (Çengel & Boles) 7. 7.9

Läs mer

När jag har arbetat klart med det här området ska jag:

När jag har arbetat klart med det här området ska jag: Kraft och rörelse När jag har arbetat klart med det här området ska jag: kunna ge exempel på olika krafter och kunna använda mina kunskaper om dessa när jag förklarar olika fysikaliska fenomen, veta vad

Läs mer

Tentamen i matematisk statistik (9MA241/9MA341/LIMAB6, STN2) 2012-01-09 kl 08-13

Tentamen i matematisk statistik (9MA241/9MA341/LIMAB6, STN2) 2012-01-09 kl 08-13 LINKÖPINGS UNIVERSITET MAI Johan Thim Tentamen i matematisk statistik (9MA241/9MA341/LIMAB6, STN2) 212-1-9 kl 8-13 Hjälpmedel är: miniräknare med tömda minnen och formelbladet bifogat. Varje uppgift är

Läs mer

Boll-lek om normer. Nyckelord: likabehandling, hbt, normer/stereotyper, skolmiljö. Innehåll

Boll-lek om normer. Nyckelord: likabehandling, hbt, normer/stereotyper, skolmiljö. Innehåll 1 Boll-lek om normer Nyckelord: likabehandling, hbt, normer/stereotyper, skolmiljö Innehåll Materialet bygger på en övning där eleverna, genom en lek med bollar, får utmana sin förmåga att kommunicera

Läs mer

Sundbybergs stad Skolundersökning 2015 Föräldrar förskola Stella Nova förskola

Sundbybergs stad Skolundersökning 2015 Föräldrar förskola Stella Nova förskola Sundbybergs stad Skolundersökning 2 Föräldrar förskola Stella Nova förskola Antal svar Stella Nova förskola: 2 ( %) Antal svar samtliga fristående förskolor: (5 %) 1 Innehåll Om undersökningen Förklaring

Läs mer

Sammanfattning av kursdag 2, 2013-03-07 i Stra ngna s och 2013-03-12 Eskilstuna

Sammanfattning av kursdag 2, 2013-03-07 i Stra ngna s och 2013-03-12 Eskilstuna Sammanfattning av kursdag 2, 2013-03-07 i Stra ngna s och 2013-03-12 Eskilstuna Sammanfattning och genomgång av lektion 1 samt hemläxa. -Hur ta ut en position i sjökortet? Mät med Passaren mellan positionen

Läs mer

Datorövning 2 Statistik med Excel (Office 2007, svenska)

Datorövning 2 Statistik med Excel (Office 2007, svenska) Datorövning 2 Statistik med Excel (Office 2007, svenska) Denna datorövning fokuserar på att upptäcka samband mellan två variabler. Det görs genom att rita spridningsdiagram och beräkna korrelationskoefficienter

Läs mer

Kap 4 energianalys av slutna system

Kap 4 energianalys av slutna system Slutet system: energi men ej massa kan röra sig över systemgränsen. Exempel: kolvmotor med stängda ventiler 1 Volymändringsarbete (boundary work) Exempel: arbete med kolv W b = Fds = PAds = PdV 2 W b =

Läs mer

Sektionen för Beteendemedicinsk smärtbehandling

Sektionen för Beteendemedicinsk smärtbehandling Sektionen för Beteendemedicinsk smärtbehandling Karolinska Universitetssjukhuset Solna Smärtcentrum Sektionen för Beteendemedicinsk smärtbehandling tar emot patienter med långvarig och svårbehandlad smärta

Läs mer

KURSPLAN,! KUNSKAPSKRAV! ELEVARBETEN!

KURSPLAN,! KUNSKAPSKRAV! ELEVARBETEN! KURSPLAN, KUNSKAPSKRAV och exempel på ELEVARBETEN KURSPLAN enligt Lgr11 I undervisningen skall du få möjlighet att uttrycka tankar och idéer med hjälp bilder, du skall få möjlighet att skapa egna bilder

Läs mer

Uppdrag: Huset. Fundera på: Vilka delar i ditt hus samverkar för att elen ska fungera?

Uppdrag: Huset. Fundera på: Vilka delar i ditt hus samverkar för att elen ska fungera? Uppdrag: Huset Praktiskt arbete: (Krav) Göra en skiss över ditt hus. Bygga en modell av ett hus i en kartong med minst två rum. Koppla minst tre lampor och två strömbrytare till ditt hus. Visa både parallellkoppling

Läs mer

Kap 6 termodynamikens 2:a lag

Kap 6 termodynamikens 2:a lag Termodynamikens första lag: energins bevarande. Men säger ingenting om riktningen på energiflödet! Men vi vet ju att riktingen spelar roll: En kopp varmt kaffe kan inte värmas upp ytterligare från en kallare

Läs mer

FACITSKISSER version 121122 (från och med sidan 5)

FACITSKISSER version 121122 (från och med sidan 5) FACITSKISSER version 111 (från och med sidan 5) till: Frågor inom moment LT, Lagerteori, inom tentamen i kursen SG0061: Skogsindustriell försörjningsstrategi För frågorna inom moment LT gäller följande:

Läs mer

4-3 Vinklar Namn: Inledning. Vad är en vinkel?

4-3 Vinklar Namn: Inledning. Vad är en vinkel? 4-3 Vinklar Namn: Inledning I det här kapitlet skall du lära dig allt om vinklar: spetsiga, trubbiga och räta vinklar. Och inte minst hur man mäter vinklar. Att mäta vinklar och sträckor är grundläggande

Läs mer

Sammanfatta era aktiviteter och effekten av dem i rutorna under punkt 1 på arbetsbladet.

Sammanfatta era aktiviteter och effekten av dem i rutorna under punkt 1 på arbetsbladet. Guide till arbetsblad för utvecklingsarbete Arbetsbladet är ett verktyg för dig och dina medarbetare/kollegor när ni analyserar resultatet från medarbetarundersökningen. Längst bak finns en bilaga med

Läs mer

Elektriska komponenter och kretsar. Emma Björk

Elektriska komponenter och kretsar. Emma Björk Elektriska komponenter och kretsar Emma Björk Elektromotorisk kraft Den mekanism som alstrar det E-fält som driver runt laddningarna i en sluten krets kallas emf(electro Motoric Force trots att det ej

Läs mer

Tentamen i teknisk termodynamik (1FA527)

Tentamen i teknisk termodynamik (1FA527) Tentamen i teknisk termodynamik (1FA527) 2016-08-24 Tillåtna hjälpmedel: Cengel & Boles: Thermodynamics (eller annan lärobok i termodynamik), ångtabeller, Physics Handbook, Mathematics Handbook, miniräknare

Läs mer

Projekt benböj på olika belastningar med olika lång vila

Projekt benböj på olika belastningar med olika lång vila Projekt benböj på olika belastningar med olika lång vila Finns det några skillnader i effektutveckling(kraft x hastighet) mellan koncentriskt och excentriskt arbete på olika belastningar om man vilar olika

Läs mer

Detta kan du förvänta dig av kommunens service. Lokala värdighetsgarantier inom socialtjänstens omsorg om äldre

Detta kan du förvänta dig av kommunens service. Lokala värdighetsgarantier inom socialtjänstens omsorg om äldre Detta kan du förvänta dig av kommunens service Lokala värdighetsgarantier inom socialtjänstens omsorg om äldre ANTAGEN AV SOCIALNÄMNDEN JANUARI 2014 NATIONELL VÄRDEGRUND Socialtjänstens omsorg om äldre

Läs mer

Tentamen i Termodynamik CBGB3A, CKGB3A

Tentamen i Termodynamik CBGB3A, CKGB3A Tid: 2010-10-19, kl. 08:15 13:15 Tentamen i Termodynamik CBGB3A, CKGB3A Tillåtna hjälpmedel: Physics handbook, miniräknare, en handskrien A4 (en sida) eller Formelsamling i Industriell Energiteknik (Curt

Läs mer

Ellära. Laboration 1 Mätning av ström och spänning

Ellära. Laboration 1 Mätning av ström och spänning Ellära. Laboration 1 Mätning av ström och spänning Labhäftet underskrivet av läraren gäller som kvitto för labben. Varje laborant måste ha ett eget labhäfte med ifyllda förberedelseuppgifter och ifyllda

Läs mer

Börje Truedsson. Lösningar till Blandade uppgifter kap 1-2. Enheter / Prefix

Börje Truedsson. Lösningar till Blandade uppgifter kap 1-2. Enheter / Prefix Lösningar till Blandade uppgifter kap 1-2 Enheter / Prefix G1. Vi jämför sträckornas längder genom att uttrycka dem i samma multipelenhet (nm). a) 13 nm b) 1600 pm = 1,6 nm c) 4 µm = 4000 nm d) 0,0003

Läs mer

Tillämpad medicinsk teknik. Hösten, 2012

Tillämpad medicinsk teknik. Hösten, 2012 Hösten, 2012 Medicinsk teknik Vad omfattar M.T. Samverkan mellan människa och maskin! Vilka maskiner och verktyg finns det inom medicinsk teknik? Hur fungerar dem? Hur uppfinner man dem? Vilka vetenskap

Läs mer