Det som står på högersidan i en funktion brukar ibland kallas för uttryck. Vi har tidigare haft exemplet med höjdkurvan där:

Transkript

1 STUDIEAVSNITT 2 MATEMATISKA FORMLER Vi hr tidigre vrit inne på tt när vi retr med formler så kn en och smm formel skrivs om på fler olik sätt. Ju duktigre mn är i mtemtik desto fler olik sätt tt säg smm sk klrr mn v. I det här vsnittet sk vi med torrsim öv på tt hnter uttryck v olik slg. Formlern här är lltså ing riktig skogsformler, utn precis smm mtemtik du träfft på fler gånger förut i skoln. UTTRYCK Det som står på högersidn i en funktion rukr ilnd klls för uttryck. Vi hr tidigre hft exemplet med höjdkurvn där: y = 9 + 0,4 x Här är lltså 9 + 0,4 x ett uttryck. Vi hr också vrit inne på tt dett uttryck, utn tt förändr sitt värde, kn skrivs: y = 0,4 x + 9 Men det finns etydligt fler sätt tt skriv uttrycket. T.ex.: y = 0,4 (22,5 + x) Om dimetern är 10 cm får vi ju med den sist formeln: y = 0,4 (22,5 + 10) Prentesen sk ts först: y = 0,4. 32,5 y = 13 I det här fllet vr nog den ursprunglig formeln lättst tt räkn med. Det etyder tt vi måste kunn skriv om formeln vi hde sist på det sättet som vi hde först. Det kn vi också. När vi gör det

2 40 STUDIEAVSNITT 2: MATEMATISKA FORMLER måste siffrn frmför prentesen multiplicers med vr och en v termern i prentesen. y = 0,4 (22,5 + x) y = 0,4. 22,5 + 0,4. x y = 9 + 0,4 x Vi kn räkn ut först termen: Vilket vi hde tidigre. Det är viktigt tt t med tecknet frmför respektive term vid multipliktionen. Om det istället stått: y = -0,4(22,5 x) så hde resulttet istället livit: y = -0,4. (+22,5) 0,4. (-x) y = ,4 x Oserver tt dett inte lls är smm funktion som vi hde nyss, eftersom vi hr ett minustecken på 9:n. Anledningen till tt denn lir negtiv här är tt vi multiplicerr två fktorer med olik tecken, och då lir resulttet negtivt. I sist termen multiplicerr vi två negtiv fktorer 0,4 och x och då tr minustecknen ut vrndr och produkten lir positiv. Smm tecken på fktorern ger lltså en positivt resultt. Mn gör på smm sätt när mn sk multiplicer två prenteser med vrndr. T.ex.: y = (10 + 5x)(10 5x) Vi får lltså (tänk på tt t med tecknet frmför vrje term): = x = x = -50 x +5x. +10 = x = +50 x +5x. -5x = x. x = -25 x 2 Smmnfttr vi det hel får vi lltså y = x + 50x 25 x 2 Här tr 50 x och +50 x ut vrndr så vi får formeln:

3 STUDIEAVSNITT 2: MATEMATISKA FORMLER 41 y = x 2 Vilket vi sedn tidigre vet också kn skrivs: y = -25x EXEMPEL 1 Förenkl uttrycket x + 2 (12 3x). Egentligen etyder dett: * * * x (12 3x) Vi kn lltså multiplicer in -1 och smtidigt t ort prentesen, = -12 och 1. 3x = + 3x : x x Vi hr fyr termer. Lägg ihop x-termern för sig och konstntern för sig. Vi får då: 4x 10 EXEMPEL 2 Förenkl: 2 (x + 2) + (x 4)(x + 2) 2(1 x) * * * Här finns fyr termer 2, -(x + 2), (x 4)(x + 2) och -2(1 x). T och förenkl vrje term för sig; 2 är klr, -(x + 2) lir x 2 osv. Eller: 2 x 2 + (x 2 + 2x 4x - 8) 2 + 2x 2 x 2 + x 2 + 2x 4x x Lägg ihop siffrorn för sig, x-termern för sig och x 2 för sig: -10 x + x 2 x 2 x 10

4 42 STUDIEAVSNITT 2: MATEMATISKA FORMLER EXEMPEL 3 Förenkl: (x 2) 2 (x 2)(3 x) * * * (x 2) 2 inneär tt prentesen sk multiplicers med sig själv, dvs. (x 2)(x 2). Vi får då: (x 2)(x 2) (x 2)(3 x) (x 2 2x 2x + 4) (3x x x) Minustecknet före ndr prentesen gör tt vi måste yt tecken på ll termer i prentesen (smm som tt multiplicer vrje term med -1 : x 2 2x 2x + 4 3x + x x 2x 2 9x + 10 Kom ihåg tt poängen med tt förenkl ett uttryck är tt det sk vr lik mycket värt före och efter förenklingen. Stoppr vi t.ex. in x = 10 i formeln före och efter förenkling sk vi få smm tl. Om vi testr på uttrycket i exempel 3 får vi: (x 2) 2 (x 2)(3 x) = (10 2) 2 (10 2)(3 10) = 8 2 (8. 7 )= 64 (-56) = = 120 Medn vi i det förenklde uttrycket får: 2x 2 9x + 10 = = = = 120. Helt riktigt fick vi smm värde före och efter förenklingen.

5 STUDIEAVSNITT 2: MATEMATISKA FORMLER 43 ÖVNINGAR Förenkl följnde uttryck genom tt t ort prentesern 201 ) 3x 8x ) 3x 2y 8x + 5y c) x (x y) d) 8 3x + (x 8) (-2x) 202 ) (x + 3) (3 + x) ) 2x (2x + 3) 4x c) 5x (3x + 2y) (x 4y) 5x d) 9x (5x + 3y) (2y x) (-3) 203 ) (x x 2 ) (x 2 x) ) 5xy (7xy + 3y) (3x 3y) (x xy) c) -xy + yx + xy + yx 5(x xy) d) (x 1) (x 1) (x 1) ) 3x (-4x + 3xy) (x 2y) x ) (x + x 2 ) + x 3 (x x 2 ) x 2 c) (x + x 2 + x 3 ) + (x + x 2 + x 3 ) d) x 3 (x 3 + xy) 2xy (x xy) 205 ) 5(3 + x) ) x(7 + x) c) 5x(3 + x) d) 5x(3 x) 206 ) 13x 5x(3 2x) ) 3(x + 2) x(x 3) c) x 2 x(1 x) (1 x) d) x(x + 2) x(x 2) 207 ) t(2 + t) 3(t 2) ) t(3t 6) 2t(-t) c) (t + 2) 2 d) -4(t 1)(t 2) 208 ) (t + 3) 2 (t 3) 2 ) (t + 2) (t 3) c) (t + 2)(t 2) + 4 d) -4(1 t)(t 2) 209 ) (x + 1)(x 3) + (x 2) 2 ) (x 1)(x + 3) x(x 2) c) (x 1) (x 2) (x 3) d) (x 1)(x 2)(x 3)

6 44 STUDIEAVSNITT 2: MATEMATISKA FORMLER 210 ) 4(x 2) 5(3 + x) ) -5(x + 3 y) x(y 5) c) x(xy)(x y) d) (7 x) 2 + (5 x)(3 2x) ) (x 6) 2 + (6x + 1) 2 37 ) (3x 4) 2 (3x + 1)(3x 1) 12 c) 3 (4x 5) 2 + 4x(2 4x) d) 2x 2 3x(y + x) + (x 1) 2 ENHETSBYTEN Mtemtiken uppstod ur diverse mätningr. Mn mätte sträckor, reor och volymer. De enheter som nvändes för mätningrn vrierde dock från plts till plts. Det fnns exempel på sådn oprecis längdmått som ett koröl (det vstånd på vilket mn kunde hör en ko) och det knske ännu mer udd en tekopp (sträckn mn hinner gå med en kopp kokhett te innn det kommit ner till en drickr tempertur) de engelsmännen, de engelsmännen... Numer är enhetern något sånär stndrdiserde i det så kllde SI-systemet. SI etyder Système Inetrntionl d Unités, lltså en interntionell stndrd för måttenheter. Trots stndrdiseringen är det fortfrnde väldigt lätt tt gör fel vid enhetsyten, frmförllt vid yte v enheter för reor och volymer. Särskilt svårt är det dock egentligen inte, om mn r tr det lugnt och metodiskt. Tck vre stndrdiseringen hndlr det mest om tt flytt decimlkommt åt rätt håll. EXEMPEL 4 ) Förvndl 0,015 meter till mm: Det går mm på en meter (3 nollor). Flytt därför decimlkommt tre steg åt HÖGER. Svr: 0,015 m = 0015,0 mm = 15 mm ) Förvndl mm 2 till dm 2 : Det går 100 mm på en dm. Då går det = mm 2 på en dm 2 (4 nollor). Flytt därför decimlkommt fyr steg åt VÄNSTER

7 STUDIEAVSNITT 2: MATEMATISKA FORMLER 45 Svr: ,0 mm 2 = 2,30000 dm 2 = 2,3 dm 2 c) Förvndl 0,06 dm 3 till cm 3 : Det går 10 cm på en dm. Då går det = cm 3 på en dm 3 (3 nollor). Flytt därför decimlkommt tre steg åt HÖGER. Svr: 0,060 dm 3 = 0060,00 cm 3 = 60 cm 3 ÖVNINGAR Förvndl: 212 ) cm 2 till m 2 ) 0, m 3 till cm 3 c) 750 mm 3 till dm 3 d) 168 mm 2 till dm ) cm 2 till m 2 ) mm till mil c) 515 dm 3 till m 3 d) 0,015 m 2 till cm ) 350 dm 3 till m 3 ) 1 h till cm 2 (1 h = kvdrt 100 m. 100 m) c) 453 h till km 2 d) 105 cm 3 till liter 215 ) 800 cm 2 till dm 2 ) 78 dl till m 3 (10 dl = 1 liter = 1 dm 3 ) c) 75 liter till cm 3 d) 15,5 dm till mm 216 ) 10 h till sekunder ) 0,25 h till minuter c) 30 minuter till h d) sekunder till h

8 46 STUDIEAVSNITT 2: MATEMATISKA FORMLER OMKRETS OCH AREABERÄKNING I dett och det följnde vsnittet sk vi repeter de vnligste formlern för tt eräkn reor och volymer som finns i mtemtiken. Utifrån dess formler sk vi sedn skp modeller för tt l.. eräkn trädens volym. I vnlig mtemtikkurser rukr dett vsnitt klls för geometri. Ordet geometri stmmr från grekiskn och etyder fritt överstt jordmätning. Jordmätning är något vi i lntruket fortfrnde håller på en hel del med, t.ex. när vi eräknr eståndens rel. Idg nvänds dock oft flyg- och stellitilder och sofistikerde dtprogrm för tt hnter krtor (s.k. geogrfisk informtionssystem, GIS). Målet är tt du sk lär dig de vnligste formlern utntill och tt du sk h tydlig inre mentl ilder v vd t.ex. 1 mm 2, 1 h, 1 dm 3, 1 m 3, står för. Hur omkrets och re eräkns för nednstående figurer ör du kunn utntill. REKTANGEL OCH KVADRAT Rektngeln hr fyr sidor som prvis är prllell. I vrje hörn v rektngeln hr vi en rät vinkel (90 ). Omkretsen får vi genom tt summer längden v ll fyr sidorn. Om vi uttrycker dett med formler får vi för rektngeln i figuren nedn: Rektngelns omkrets = = = 2( + ) För tt eräkn ren multiplicerr vi de två sidorn med vrndr. Rektngelns re =. Ett specilfll v rektngeln är kvdrten. För kvdrten är ll fyr sidorn lik lång.

9 STUDIEAVSNITT 2: MATEMATISKA FORMLER 47 Kvdrtens omkrets = = 4 Kvdrtens re =. = 2. PARALLELLOGRAM Ett prllellogrm hr precis som rektngeln fyr sidor som prvis är prllell. Här är dock inte vinklrn i hörnen 90. Omkretsen lir precis som för rektngeln: 2( + ). För ren lir det nnorlund. Två prllellogrm som hr precis smm längd på sidorn kn h två helt olik reor, eftersom rens storlek eror v hörnens vinklr. Jämför t.ex. prllellogrmmet nedn med det vi hde ovn. Trots tt åd hr smm längd på sidorn, kn mn med lott ögt se tt de hr olik reor. För tt t red på ren måste mn dr höjden, h, i figuren. Höjden är detsmm som den kortste vägen melln de två sidorn i figuren. Mn säger tt höjden sk drs i rät vinkel mot sen, som här är sidn. h Genom tt del upp prllellogrmmet i olik delr kn mn vis tt ren är exkt lik stor som för en rektngel med sidor och h.

10 48 STUDIEAVSNITT 2: MATEMATISKA FORMLER Tänk dig t.ex. tt du klipper ut tringeln till vänster om den streckde linjen och sedn lägger till denn tringel längst till höger i figuren. Den kommer tt pss precis! Du får en rektngel med s och höjd h. Prllellogrmmets re =. h Dett inneär tt om sidorn kommer väldigt när vrndr så kommer ren nästn tt li noll. Dett ovsett hur lång sidorn och är. PARALLELLTRAPETS Om du ser en virkestrve från sidn kn den något förenklt se ut som en prllelltrpets. I en prllelltrpets är två v sidorn prllell. I ilden nedn är det och som är det. Precis som för prllellogrmmet ehöver mn då känn det vinkelrät vståndet, h, melln de prllell sidorn för tt kunn räkn ut ren. h Prllelltrpetsens re = ( ) h 2 Att formeln för ren lir som den lir kn förklrs v tt mn först eräknr medellängden på de två sidorn och (lägger ihop dem och delr med två) och därefter multiplicerr medellängden med figurens höjd, h. Egentligen är kvdrtens, rektngelns och prllellogrmmets reor specilfll v prllelltrpetsen. Tänk dig t.ex. en kvdrt med sidn. Då kommer vi ju, om vi ser denn som en prllelltrpets, tt få (höjden, h = och även sidn = ):

11 STUDIEAVSNITT 2: MATEMATISKA FORMLER 49 ren = ( ) ( ) 2 h = Smm formel som vi känner igen sedn tidigre! TRIANGEL Det finns mång typer v tringlr. De vnligste typern är rätvinklig, liksidig och likent. Ovsett hur tringeln ser ut kommer omkretsen lltid tt vr summn v de tre sidorn. c Tringelns omkrets = + + c Aren kommer också lltid tt kunn eräkns med följnde formel: Tringelns re =. h / 2 där h är höjden drgen vinkelrätt mot sidn, tringelns s. h c Figuren nedn visr en rätvinklig tringel. Här ildr två v sidorn, de så kllde ktetern, en rät vinkel mot vrndr. Att vinkeln är rät (90 ) rukr mrkers med en liten fyrknt i hörnet där sidorn möts. I figuren nedn ildr lltså och en rät vinkel mot vrndr och klls för kteter medn sidn c klls för hypotenus. = ktet c = hypotenus = ktet

12 50 STUDIEAVSNITT 2: MATEMATISKA FORMLER För tt få ren i en rätvinklig tringel multiplicerr vi lltså ktetern med vrndr och dividerr med två. Den rätvinklig tringelns re är ju precis hälften så stor som ren för en rektngel med sidorn och. I en likent tringel är två v sidorn lik lång. I en liksidig tringel är ll tre sidorn lik lång. CIRKEL De ntik grekern, som till stor delr uppfunnit geometrins mtemtik, hde stor prolem med cirkeln. De vr vn vid tt räkn råkräkning och trodde därför länge tt det skulle gå tt hitt ett råktl som multiplicert med dimetern gv cirkelns omkrets. Lösningen på prolemet tlet kn dock inte uttrycks som en division melln två tl. Som nämnts tidigre är ett irrtionellt tl och dess decimlutveckling fortsätter i ll oändlighet utn tt upprep sig. 3, Avståndet genom mittpunkten som delr cirkeln i två lik stor delr klls för cirkelns dimeter, d. Tr mn hlv dimetern får mn cirkelns rdie, r. Denn är lltså vståndet från medelpunkten ut till knten på cirkeln. d r För en cirkel med dimeter d och rdie r gäller: Cirkelns omkrets =. d Cirkelns re =. r 2

13 STUDIEAVSNITT 2: MATEMATISKA FORMLER 51 I skogen räknr vi oft med den genomskärningsyt som en trädstm hr i rösthöjd. Oft utgår mn då från tt denn yt är formd som en cirkel. När vi med klve mäter trädets dimeter kn det vr lättre tt uttryck formeln för ren som: Cirkelns re =. d 2 / 4 Att det lir så kn vi lätt vis. Eftersom r = d/2 kn vi stopp in d/2 istället för r i formeln: Cirkelns re = 2 2 d d d d EXEMPEL 5 Du sk lägg ut en kvdrtiskt formd provyt i en skog som sk h ren 100 m 2. Hur lång sk sidorn vr? * * * Eftersom vi inte vet sidorns längd kllr vi denn sträck x meter. Eftersom ll sidorn är lik lång i en kvdrt lir ll sidorn x meter lång. För tt få ren multiplicerr vi: x. x = 100 x 100 x Ett tl gånger sig självt sägs vr tlet i kvdrt (t.ex. 3 2 = 3. 3 = 9). Här hr vi x. x = x 2. Vi kn lltså skriv ekvtionen: x 2 = 100 x är då kvdrtroten ( ) ur 100: x = (100) x = 10 Kvdrtroten ur hundr är ju 10 eftersom är just hundr. Mn kn säg tt kvdrtroten ur något är den invers funktionen till tt t något i kvdrt.

14 52 STUDIEAVSNITT 2: MATEMATISKA FORMLER EXEMPEL 6 Du sk lägg ut en cirkulärt formd provyt i en skog som sk h ren 48 m 2. Hur lång sk rdien vr? Om du räknr utn miniräknre kn du för enkelhetens skull nvänd tt 3. * * * Här är det rdien som är okänd och därför klls för x. Enligt formeln för cirkelns re får vi då ekvtionen: x. x 2 = 48 Om vi yter mot 3 får vi: 3. x 2 = 48 För tt få x 2 ensmt på vänster sid om likmedtecknet i ekvtionen måste vi divider med 3 på åd sidor. Gör vi det kn vi ju förkort ort 3:orn: x 2 = 16 x = 4 Dett svr kommer inte stämm exkt eftersom vi lite felktigt utgick från tt pi vr detsmm som 3. I stort sett kommer det dock tt stämm. Räknr mn med miniräknre får mn svret 3,91 m.

15 STUDIEAVSNITT 2: MATEMATISKA FORMLER 53 ÖVNINGAR Beräkn utn miniräknre 217 ) Aren v en rätvinklig tringel med ktetern 4 och 5 meter. ) Aren v ett prllellogrm med höjden 4 meter och sen 8 meter. c) Aren v en cirkel med dimeter 10 meter. Använd tt 3. d) Omkretsen v en cirkel med dimeter 6 meter. Använd tt Bestäm ren v nednstående områden. Svr i hektr vrundt till en deciml. Figurern är inte sklenlig. ) [Enhet: m] ) [Enhet: m] c) [Enhet: m] d) [Enhet: m] Mn hr klvt tre träd i rösthöjd med följnde resultt. Beräkn ren för genomskärningsytn i rösthöjd (grundytn) för vrt och ett v träden. Utgå från tt ytn är cirkulär och tt 3. Svr i enheten dm 2. ) 10 cm ) 20 cm c) 40 cm

16 54 STUDIEAVSNITT 2: MATEMATISKA FORMLER 220. Beräkn re och omkrets för de skuggde områden nedn. Använd 3 och ) ) Uppsktt grundyt (genomskärningsyt i rösthöjd), dels på och dels under rk, för en tll med dimeter 10 cm i rösthöjd och enkel rktjocklek 5 mm. Antg i eräkningen tt ytn är cirkulär och tt Vid en cirkelyteinventering ldes fem provytor med rdien 10 meter ut i ett estånd som vr 3 h stort. Hur mång procent v relen inventerdes? Använd tt Ett rektngelformt område är inhängnt med stket. Stketets smmnlgd längd är 200 meter och de åd kort sidorn i rektngeln är 40 meter. ) Vilken re hr rektngeln? ) Om det står 120 stmmr på ytn, hur mång stmmr motsvrr då dett per hektr?

17 STUDIEAVSNITT 2: MATEMATISKA FORMLER På en cirkelformd provyt med rdie 10 meter står 6 träd, ll med rösthöjdsdimeter på 20 cm. Vilken grundyt i m 2 /h svrr dett mot? Räkn fortfrnde med tt Du klvr ett träd och konstterr tt dimetern idg är 32 cm på rk. Den enkl rktjockleken mäter du upp till 10 mm. Antg tt du tidigre, för fler år sedn, klvt trädet och tt det då vr 22 cm på rk. Antg vidre tt rktjockleken vid förr mättillfället vr lik stor som idg. Med hur mång cm 2 hr grundytn under rk ökt med under perioden? Använd tt Du sk lägg ut en provyt som sk h ren 900 m 2. ) Antg tt ytn sk vr kvdrtisk. Beteckn den okänd sidn med x. Vilken ekvtion kn du ställ upp? ) Lös ekvtionen. Hur lång lir sidn i )? 227. Du sk lägg ut en provyt som sk h ren 108 m 2. ) Antg tt ytn sk vr cirkulär. Beteckn cirkelns rdie med x. Vilken ekvtion kn du ställ upp? ) Använd tt 3. Lös ekvtionen. Hur lång lir rdien i )? 228. I en plnteringsinstruktion står det tt mn sk plnter plntor per hektr. ) Använd dimensionsräkning för tt eräkn hur mång m 2 vrje plnt får. ) Antg tt vrje plnt får ett kvdrtiskt område v smm storlek som i ) tilldelt sig. Hur mång meter kommer det då tt vr melln plntorn? c) Antg tt mn sk plnter x plntor per hektr. Skriv en formel innehållnde x och som eräknr y = vståndet melln plntorn. Om mn stoppr in x = i formeln sk mn lltså få svret i uppgift ).

18 56 STUDIEAVSNITT 2: MATEMATISKA FORMLER VOLYMBERÄKNING När mn eräknr volymer rukr mn oft h nytt v formlern för re. Tänk dig en stock som inte hr någon som helst vsmlning, lltså en stock som är exkt formd som en cylinder. Volymen för hel stocken får du då genom tt multiplicer ytn i stockändn med stockens längd. sytn. höjden = volymen Om du eräknr ytn i dm 2 och längden i dm så kommer volymen tt få enheten: dm 2. dm = dm 3 Tänk dig på motsvrnde sätt en it ost, formd såsom den rukr vr när du köper den i ffären. Om du kn räkn ut ren i otten på osten i cm 2 och sedn multiplicerr denn re med ostens höjd i cm så kommer du tt få volymen i cm 3. Både i fllet med stocken och i fllet med osten kn du del upp kropprn i tunn lger (/tvärsnitt) med exkt smm re hel tiden. Om det går lir formeln för volymen som ngvs ovn. Om mn däremot hr en kon (som ju är strutformd) så kommer tvärsnitten tt få olik reor, eroende på hur långt från otten mn kommer. För en kon kn lltså inte ovnstående formel funger. Mtemtiker hr vist tt konens volym är precis en tredjedel v cylinderns. Följnde formler ör du kunn utntill: Rätlockets volym = Bsyt. höjd =.. h h Cylinderns volym = Bsyt. höjd =. r 2. h h r

19 STUDIEAVSNITT 2: MATEMATISKA FORMLER Konens volym =. r h Cylinderns volym = 3 3 h r ÖVNINGAR Beräkn utn miniräknre 229. Ett dike hr en genomskärningsyt som ser ut som på ilden. Dikets längd är 200 meter. Uppsktt hur mycket jorden vägde som ehövde schkts ort. Räkn med tt 1 m 3 jord väger 1,5 ton. 1,5 [m] 0,8 0, Uppsktt vikten v en 5 meter lång räd som är 2 cm tjock 12 cm red. Räkn med tt 1 dm 3 väger 0,8 kg Uppsktt vikten v trven på ilden. Räkn med tt vrje trvd kuikmeter motsvrr 600 kg. Svr vrundt till hel ton. 8,0 2,0 [m] 3,0 12, Räkn i denn uppgift med tt 3. En trädstm hr en dimeter nere vid roten på 20 cm och en höjd på 18 meter. Antg tt nedre hlvn v stmmen är formd som en cylinder och den övre hlvn som en kon. ) Vilken volym hr trädstmmen uttryckt i m 3? ) Beräkn formtlet dvs. hur mång procent v en tänkt cylinder med dimeter 20 cm och höjd 18 meter som stmmen kommer tt utgör.