EXTRAUPPGIFTER MATEMATISK STATISTIK AK FÖR CDE, FMS 022

Transkript

1 LUNDS TEKNISK HÖGSKOL MTEMTIKCENTRUM MTEMTISK STTISTIK EXTRUPPGIFTER MTEMTISK STTISTIK K FÖR CDE, FMS E Betingade sannolikheter. (a) ntag att en tredjedel av alla Volvobilar är röda. Detta kan tolkas som en sannolikhet. Om vi studerar bilar i allmänhet, dvs inte bara Volvo, hur betecknas denna sannolikhet? Ledning: Du behöver definiera två händelser först. (b) Om en femtedel av alla bilar är Volvo, vad är då sannolikheten att en slumpvis vald bil är en röd Volvo? Formulera sannolikheterna mha händelserna i (a). (c) v de bilar som inte är Volvo är en fjärdedel röda. Vad är sannolikheten att en slumpvis vald bil är Röd? Vad heter satsen du använder för att räkna ut detta? (d) En bil visar sig vara röd. Vad är sannolikheten att det är en Volvo? E Låt vara en godtycklig händelse (t.eatten tärning visar en sea) medp() = p. Upprepa försöket och studera om händelsen inträffar eller ej. (a) Vad är sannolikheten, uttryckt i p,atthändelsen inträffar i försök nr k =? (b) Vad är sannolikheten att händelsen inträffar för första gången i försök k =. (dvs inte inträffar en gång och inträffar en gång). (c) Vad är sannolikheten att händelsen inträffar för första gången i försök k = 3. (d) Vad är sannolikheten att händelsen inträffar för första gången i försök nr k,där k är ett godtyckligt heltal? (e) Resultatet i (d) är sannolikhetsfunktionen för en standardfördelning. Vad heter den och hur känns den igen? (f) ntag att p =, dvs kan t.e. vara händelsen att en slantsingling resulterar i krona. Rita upp sannolikhetsfunktionen för k =,, 3, 4. Rita även upp fördelningsfunktionen F X () för 4.5. (g) Om X = ntal slantsinglingar tills man får krona för första gången, hur ser man då P(X ) i de två figurerna i (f) E3 Låt vara en händelse enl. uppgift E, men den här gången upprepas försöket n = 4 ggr. (a) Vad är sannolikheten att händelsen inträffar k = ggr, dvs att alla fyra försöken misslyckas? (b) Vad är sannolikheten att händelsen inträffar precis k = gång? (och således misslyckas n k = 3 ggr). Ledning: Påhurmånga olika sätt kan detta inträffa? (c) Vad är sannolikheten att händelsen inträffar precis k = gånger? Ledning: Samma som i (b). (d) Fortsätt med k = 3, 4. (e) Sammanfatta alla dessa sannolikheter i ett enda uttryck som gäller för ett godtyckligt heltal k. Ledning: ( 4 k) blir,4,6,4,för respektive k =,,, 3, 4. (f) Resultatet i (e) är sannolikhetsfunktionen för en standardfördelning. Vad heter den och hur känner man igen den? (här är n = 4, men det kan naturligtvis vara ett godtyckligt antal). E4 Rita upp fördelningsfunktionen i uppgift 37 samt motsvarande täthetsfunktion i varsitt diagram för. Markera in sannolikheten i 37a i de två figurerna. Detta är en standardfördelning. Vad heter den?

2 Etrauppgifter Matstat K för CDE VT-5 E5 Repetition av dubbelintegraler. Låt {,, y f (, y) =, för övrigt (a) Skissa funktionen f (, y) i en 3d-plot. (b) För att få rätt integrationsgränser vid dubbelintegraler är det användbartmed en skiss av funktionen, men i regel räcker det att rita upp det område i y-planet där funktionen är skild från noll. Gör det. (c) Låt området utgöras av alla (, y) sådana att + y. Ritaindettaområde i figuren du gjorde i (b). Du kan börja med fallet där + y = och sedan välja rätt sida. (d) Beräkna f (, y) ddy dels genom att börja att integrera m.a.p och dels genom att börja m.a.p y. (e) Dubbelintegraler under en konstant funktion kan lösas enbart med geometriska beräkningar. Gör det med integralen i (d). (f) Beräkna f (, y) ddy E6 Repetition av dubbelintegraler. Låt { y, y f (, y) =, för övrigt (a) Skissa upp området där f (, y) = y i y-planet. (b) Beräkna (c) Räkna ut g(y) = f (, y) ddy f (, y) d Glöm inte att ange för vilka värden på y dina resultat gäller. (d) Räkna ut h() = f (, y) dy Glöm inte att ange för vilka värden på dina resultat gäller. (e) Låt området utgöras av alla (, y) sådana att y >. Ritaindettaområde i figuren du gjorde i (a) och lös f (, y) ddy (f) nvänd resultaten i (b) och (e) för att räkna ut f (, y) ddy där utgörs av y

3 Etrauppgifter Matstat K för CDE VT-5 3 E7 Låt X Ep( ). Täthetsfunktionen för Y = X kan härledasiföljande steg. (a) Sätt upp definitionen av Y s fördelningsfunktion F Y (y). (b) Stoppa in Y = X och uttryck F Y (y) som funktion av F X (y). Du behöver inte räkna ut F X () först. (c) Uttryck f Y (y) som funktion av f X (y) genom att derivera resultatet i (b). (d) Skriv upp täthetsfunktionen för X, f X (), mha formelsamlingen samt räkna ut f Y (y) genom att stoppa in resultatet i (c) i f X (). E8 Låt f X () =,. (a) Beräkna P( X < ). (b) Låt k vara ett positivt heltal och bestäm P(k X < k + ). E9 Låt X och Y vara oberoende stokastiska variabler som var och en antar värdena, och med samma sannolikhet. (a) Skriv upp sannolikhetsfunktionerna p X (i)ochp Y (j). (b) Beräkna den simultana sannolikhetsfunktionen p X,Y (i, j) samt markera de värden där p X,Y (i, j) > i(i, j)-planet. (c) Markera in området där i + j = i(i, j)-planet samt beräkna P(X + Y = ). (d) Räkna ut P(X + Y = k) för alla värden på k. Fundera efter hur du har hjälp av figuren över (i, j)-planet. (e) Låt Z = X + Y. Övertyga dig om att du räknat ut p Z (k) i (d), samt att faltningsformeln k p Z (k) = p X (i)p Y (k i) verkarrimlig. i= E Låt X och Y vara oberoende och likformigt fördelade (dvs rektangelfördelade) mellan och a. (a) Sätt Z + = ma(x, Y ). Härled täthetsfunktionen för Z +.Börja med fördelningsfunktionen F Z+ (z) och derivera för att få täthetsfunktionen. Tips: Om den största av X och Y är mindre än eller lika med ett tal z vad kan man då säga om både X och Y? (b) Sätt Z = min(x, Y )ochhärled dess täthetsfunktion. Tips: tt den minsta av X och Y är mindre än z säger inget om både X och Y,mendäremot komplementet; om den minsta är större än z så kan vi uttala oss om både X och Y. (c) Skissa upp täthetsfunktionerna för X (eller Y som ju har samma fördelning) samt Z + och Z. Verkar de rimliga? E I ett lotteri där varje lott kostar 5 öre ingår lotter med vinster enligt tabellen nedan. Låt X vara bruttovinsten på en lott. vinstbelopp (k kr) 5 antal lotter P(X = k) (a) Bestäm bruttovinstens väntevärde, varians och standardavvikelse om man köper en lott. (b) Bestäm nettovinstens väntevärde, varians och standardavvikelse om man köper en lott. E I en börs ligger två enkronor och en femkrona. Man tar slumpmässigt utan återläggning två mynt och sätter X = värdet av första myntet, Y = värdet av andra myntet. För att beräkna korrellationskoefficienten Ö(X, Y ) behövs följande delsteg. (a) Bestäm fördelningen för X, dvs beräkna dess sannolikhetsfunktion.

4 4 Etrauppgifter Matstat K för CDE VT-5 (b) Bestäm fördelningen för Y. Tips: eftersom sannolikheten att Y skall antaett givetvärde beror på vadx blev så är det lämpligt att betinga på X. (c) Beräkna E(X )ochv (X ) samt motsvarande för Y. (d) Bestäm den simultana fördelningen för X och Y, dvs beräkna p X,Y (j, k) för alla värden på j och k. Ledning: betinga på X. (e) nvänd resultatet i (d) för att beräkna E(X Y ) och bestäm slutligen C(X, Y )ochö(x, Y ). Innan du räknar kan du fundera över om du tror att de är positiva, noll eller negativa. E3 I uppgift 53 bestämde du fördelningen för Y = X + då X R(, ). Om man bara är intresserad av Y s väntevärde och varians behöver man inte först bestämma dess fördelning. Beräkna E(Y )ochv (Y ) genom att utnyttja räkneregler för väntevärde och varians för en linjär funktion. Ledning: väntevärde och varians för X kan man bestämma enkelt mha formelsamlingen. E4 De stokastiska variablerna X, X och X 3 är oberoende, alla med väntevärdet och standardavvikelsen 3. Sätt Y = 3X X + X 3 6. Bestäm E(Y )ochd(y ). E5 Träplankors längder varierar slumpmässigt till följd av fel i uppmätningföre tillsågning. Uppmätningarna, som sker med tumstock, kan ses som utfall av oberoende likafördelade stokastiska variabler med väntevärde Ñ = meter och standardavvikelse =.5 meter. Vid ett tillfälle önskar man plankor som skall läggas efter varandra så att den sammanlagda längden blir meter. Man har att såga till de plankorna enligt följande två metoder:. Man mäter upp plankorna och sågar till samtliga plankor påengång såattvarjeplankafår precis samma längd (= X ). Den sammanlagda längden blir då Y = X. Man mäter upp och sågar till varje planka för sig. Den sammanlagda längden blir då Z = i= X i (a) Bestäm E(Y ), D(Y ), E(Z) ochd(z). (b) Vilken metod ger minst spridning (minsta standardavvikelsen)? Varför blir det så? E6 Låt X i R(, a), i =,...,n vara n st. oberoende stokastiska variabler. I statistikteorin skall vi återkomma till denna uppgift och jämföra egenskaperna hos Y, Y och Y 3 nedan. (a) Bestäm väntevärde och varians för X = n X i. n i= (b) Sätt Y = X och bestäm dess väntevärde och varians. (c) Sätt Y = ma(x,...,x n ). Det finns inga färdiga räkneregler för väntevärde och varians för maimum, utan man får härleda dem från grunden. Beräkna först F Y (y) ochf Y (y) och därefter E(Y )oche(y ). nm. Bestämningen av fördelningen för Y är en generalisering av uppgift E(a). (d) nvänd resultatet i (c) för att ge ett uttryck för V (Y ). Du behöver inte förenkla det. (e) Sätt Y 3 = cy och bestäm värdet på konstanten c så atte(y 3 ) = a. E7 X är N (, ). Bestäm (a) P(X.8),

5 Etrauppgifter Matstat K för CDE VT-5 5 (b) P(X.35), (c) P(. < X <.5), (d) a så attp(x > a) = 5%, (e) a så attp( X < a) = 95 %. E8 Denna uppgift är mest av matematisk/programmeringsteknisk karaktär så du kan med gott samvete hoppa över den om du inte tycker att det verkar intressant. En del besvärliga men användbara integraler dyker upp i många olika sammanhang. T.e. den så kallade felfunktionen (eng. error-function) som har uppenbara likheter med N (, )-fördelningens fördelningsfunktion () erf() = Ô e t dt, () = e t / dt Ô Det är ganska vanligt att erf() är implementerad med numeriska metoder i matematiska programbibliotek (t.e i libc som är en grund i olika former av Uni). Man kan alltså utnyttja erf() för att räkna ut () i sitt program. (a) ntag att och visa hur man kan uttrycka () som funktion av erf(). Ledning: () = samt ett enkelt variabelbyte. (b) Det är ganska enkelt att inse att erf( ) = erf(). Utgå från () = ( ) och visa hur ()kanräknas ut som funktion av erf() då <. nm. Funktionen erfc() = erf() är också vanligt förekommande. Etrauppgift: I Statistics Toolbo i Matlab heter normalfördelningens fördelningsfunktion normcdf. Hur är den implementerad? Ledning: type normcdf imatlab. E9 I denna uppgift behöver du inte räkna ut något,utanbarafunderaöver hur man gör. En tillämpning av Centrala gränsvärdessatsen kan dyka upp i någon av deluppgifterna. Låt X i N (, ) och Y i R(, ), alla oberoende av varandra. (a) Hur räknar man ut P(X + X + X 3 < )? (b) Hur räknar man ut P(Y + Y + Y 3 < )? Obs! Lägg inte ner tid påattförsöka räkna ut den. 3 (c) Hur räknar man ut P( X i < )? i= 3 (d) Hur räknar man ut P( Y i < 6)? Varför är detta mycket enklare än (b)? i=

6 6 Etrauppgifter Matstat K för CDE VT-5 Svar till etrauppgifterna E (a) Händelser: R = En bil är röd och V = En bil är en Volvo. P(R V ) = 3. dvs Den betingade sannolikheten att en bil är röd givet att det är en Volvo är en tredjedel. (b) Givet: P(V ) = 5.Sökt: P(R V ) = P(R V )P(V ) = 5. (c) Givet: P(R V ) = 4.Sökt: P(R) = P(R V )P(V ) + P(R V )P(V ) = 4 5.Satsenom total sannolikhet. (d) Sökt: P(V R), dvs Den betingade sannolikheten att en bil är en Volvo givet att den är röd. nvänd def. av betingad slh. två ggr (detta kallas Bayes sats): P(V R) = P(R V )P(V ) P(R) = 4 P(V R) P(R) = E (a) k =, sannolikheten blir p. (b) k =, inte inträffa första ggn, men andra. sannolikheten blir ( p)p. (c) k = 3, sannolikheten blir ( p) p. (d) Sannolikheten i (a) kan skrivas ( p) p,såför k =,, 3,... blir sannolikheten ( p) k p och noll för andra värden på k. (e) För-första-gången-fördelning, eller kortare ffg. p X (k) = pq k, k =,,...och q = p. (ffg är snarlik en geometrisk fördelning. Hur ser den ut, och hur skiljer den sig från ffg?) (f) p X (k) =, 4, 8, 6 för k =,, 3, 4. F X () =, 3 4, 7 8, 5 6 för =,, 3, 4 och konstant enligt figuren..5 Sannolikhetsfunktion Fördelningsfunktion p X (k) F X () k (g) P(X ) är summan av de två första stapelhöjderna i p X (k). I F X () fås samma sannolikhet som funktionsvärdet för =. E3 (a) k =, sannolikheten att inte inträffar i något av de fyra försöken blir ( p) 4. (b) k =, sannolikheten ett händelsen inträffar i ett av försöken och inte i de övriga tre är p( p) 3. Det finns totalt fyra olika sätt som detta kan inträffa påsåsökta slh blir 4p( p) 3. (c) k =. Nu skall händelsen inträffa i två försök och inte i två. Detta kan ske på ( 4 ) = 6olika sätt. Sökt sannolikhet blir alltså 6p ( p). (d) k = 3. Slh 4p 3 ( p). k = 4, slh p 4. (e) lla de uträknade sannolikheterna kan sammanfattas med ( 4 k) p k ( p) 4 k för k =,,, 3, 4. (f) Binomialfördelning. I (e) är det en Bin(4, p)-fördelning. För en Bin(n, p)-fördelning är p X (k) = ( n k) p k q n k för k =,,,...,n och q = p. E4 f X () = d d F X () =.4e.4, samtför <. Eponentialfördelning, bet. Ep(/.4)..4 Täthetsfunktion Fördelningsfunktion f X ().3.. F X () P(X 3) ses som arean under f X ()för 3. I F X () är samma slh funktionsvärdet för = 3.

7 Etrauppgifter Matstat K för CDE VT-5 7 E5 (a) (d) f (, y) ddy = (e) (f) f (, y) dyd = y y= = = y= ddy = dyd = = dy = ( y) dy = [ y y ] = 4 [] y [ y ] y= d = ( ) d = [ ] = 4 f (, y) ddy = [rean av i kvadraten] [Höjden av lådan ] = [ /] = 4 f (, y) ddy = [Volymen av lådan ] = E6 (a) (b) Om vi börjar integrera map fås (prova gärna med y också) y [ y f (, y) ddy = y ddy = (c) Om y fås g(y) = f (, y) d = y= y = y d = för övriga värden på y är g(y) =. (d) Om fås [ y h() = f (, y) dy = y dy = för övriga värden på är h() =. (e) y f (, y) ddy = y ddy = = y= [ y 4 = 4 y3 3 + y 8 ] y dy = [ ] y y = y3, y ] = ] y 3 dy = [ y 4 = ( 3 ), ] y [ y dy = = ).8 ( ] = 8 y(y ) dy = (f) Eftersom och tillsammans täcker y-planet och inte överlappar varandra fås f (, y) ddy = f (, y) ddy f (, y) ddy =

8 j 8 Etrauppgifter Matstat K för CDE VT-5 E7 (a) F Y (y) = P(Y y). (b) F Y (y) = P(Y y) = P( X y) = P(X y ) = F X (y ). (c) f Y (y) = d dy F Y (y) = d dy F X (y ) = yf X (y). (d) f X () = e /,, f Y (y) = yf X (y) = y e y /, y, dvs f Y (y) = y e y /, y E8 (a) P( X < ) = (b) P(k X < k + ) = f X () d = k+ k [ f X () d = ] =. [ ] k+ k = k, k =,,... k + E9 (a) p X (i) = 3, i =,,. p Y (j) = 3, i =,,. (b) p X,Y (i, j) = p X (i)p Y (j) = 9, i =,,, j =,, (c) P(X +Y = ) = P(X = Y = X = Y = ) = p X,Y (, )+p X,Y (, ) = = 9 i + j = i (d) De värden på k som är möjliga är,,, 3 och 4. P(X + Y = ) = p X,Y (, ) = 9 P(X + Y = ) = p X,Y (, ) + p X,Y (, ) = 9 P(X + Y = ) = p X,Y (, ) + p X,Y (, ) + p X,Y (, ) = 3 9 P(X + Y = 3) = p X,Y (, 3) + p X,Y (, ) + p X,Y (, ) + p X,Y (3, ) = = 9 P(X + Y = 4) = p X,Y (, 4) + p X,Y (, 3) + p X,Y (, ) + p X,Y (3, ) + p X,Y (4, ) = 9 E (a) Om ma(x, Y ) z måste både X och Y vara mindre än z. Med hjälp av detta kan man räkna ut F Z+ (z) somilösningen till uppgift 54 (det går naturligtvis att räkna ut som f X ()f Y (y) ddy men det är lite krångligare). Täthetsfunktionen blir ma(,y) z f Z+ (z) = F Z + (z) = z, z a och noll för övriga värden på z. a (b) Här får man utnyttja komplement och det faktum att om min(x, Y ) > z så måste både X och Y vara större än z. Täthetsfunktionen blir f Z (z) = a ( z a ), z a och noll för övriga värden på z. (c) f X () = f Y () f Z+ (z) f Z (z) /a /a /a a a z a z E (a) E(X ) = k E(X ) = k kp X (k) = =.35 kr k p X (k) = =.75 kr V (X ) = E(X ) E(X ) = =.63 kr. D(X ) = V (X ) = 3.55 kr

9 Etrauppgifter Matstat K för CDE VT-5 9 (b) Låt Y vara nettovinsten i kr på en lott. Dåär Y = X.5. E(Y ) = E(X.5) = E(X ).5 =.35.5 =.5 kr V (Y ) = V (X.5) = V (X ) =.63 kr. D(Y ) = 3.55 kr. E (a) X kan anta värdena och 5. Sannolikhetsfunktionens värde i dessa punkter blir p X () = P(X = ) = 3. p X (5) = P(X = 5) = 3. (b) Satsen om total sannolikhet ger: p Y () = P(Y = ) = P(Y = X = )P(X = ) + P(Y = X = 5)P(X = 5) = = 3. Eftersom sannolikhetsfunktionen summeras till fås direkt p Y (5) = p Y () = 3. Observera att X och Y har sammafördelning! (c) E(X ) = kp X (k) = = 7 3. E(X ) = k p X (k) = = 7 3. k k V (X ) = E(X ) E(X ) = 3 9. Eftersom Y har samma fördelning som X så hary samma väntevärde och varians som X. (d) p X,Y (, ) = P(X = Y = ) = P(Y = X = )P(X = ) = 3 = 3. p X,Y (5, ) = P(X = 5 Y = ) = P(Y = X = 5)P(X = 5) = 3 = 3. p X,Y (, 5) = P(X = Y = 5) = P(Y = 5 X = )P(X = ) = 3 = 3. p X,Y (5, 5) =. (e) E(XY ) = j k jk p X,Y (j, k) = = 3.OmX antar ett värde så ökar benägenheten för Y att anta det andra värdet. Därför borde kovariansen och därmed korrellationskoefficienten vara negativa. (E(XY ) är naturligvis positiv eftersom både X och Y bara antar positiva värden). C(X, Y ) = E(XY ) E(X )E(Y ) = = 6 9. Ö(X, Y ) = C(X,Y ) V (X )V (Y ) =. E3 Med hjälp av formelsamlingen fås E(X ) = + = (vilket naturligtvis är mittpunkten i en symmetrisk fördelning). V (X ) = ( ) = X + 3.För Y fås då E(Y ) = E( ) = E(X ) + =. V (Y ) = V ( X + ) = V (X ) + = 4 3 =. Detta stämmer bra för en R(, )-fördelning som ju Y visade sig ha i uppgift 53. E4 Vi har E(X i ) = ochv (X i ) = D(X i ) = 9. E(Y ) = E(3X X + X 3 6) = 3E(X ) E(X ) + E(X 3 ) 6 = = V (Y ) = V (3X X +X 3 6) = 3 V (X )+( ) V (X )+V (X 3 )+ = = 4 9 D(Y ) = V (Y ) = 3 4. E5 (a) E(Y ) = E(X ) = E(X ) = =. V (Y ) = V (X ) = V (X ) =.5. D(Y ) = V (Y ) =.5 =.5. E(Z) = E( i= X i) = i= E(X i) = = V (Z) = V ( i= X i) = i= V (X i) =.5. D(Z) =.5.58 (b) Metod ger minst spridning. Med metod kommer felet man gör i den enda mätingen att tiofaldigas, men med metod kommer en del att vara för korta och en del för långa och felen tar påså vis ut varandra en del. E6 (a) Med hjälp av formelsamlingen fås E(X i ) = a, V (X i) = a E( X ) = E( n X i ) = n E(X i ) = n n n n a = a. i= i= V ( X ) = V ( n X i ) = ( n n n ) V (X i ) = n n a = a n. i= i= (b) E(Y ) = E( X ) = E( X ) = a. V (Y ) = V ( X ) = V ( X ) = a 3n. (c) Repetera gärna uppgift E(a). Då sermanattfördelningsfunktionen blir F Y (y) = ( y a )n för y a (och då y < samtomy > a)..

10 Etrauppgifter Matstat K för CDE VT-5 f Y (y) = d dy F Y (y) = n a ( y a )n = n a n yn, y a. E(Y ) = yf Y (y) dy = n a a n y y n dy = n [ ] y n+ a a n = n ( ) a n+ n + a n = a n n + n +. E(Y ) = y f Y (y) dy = n a a n y y n dy = n [ ] y n+ a a n = n ( ) a n+ n + a n = a n n + n +. (d) V (Y ) = E(Y ) E(Y ) = a n n + a n (n + ) an n+ (e) E(Y 3 ) = E(cY ) = ce(y ) = c n+ = a = c = n. E7 (a) (.8).966 (b) (.35).363 (c) (.5) ( (.)).576 (d) a = Ð.5.64 (e) a = Ð.5.96 E8 (a) För fås () = (b) För < fås = () + = + e t / dt = Ô Ô e t / dt = e t / dt + e t / dt = Ô Ô [ y = t, dt = ] dy t = y = = Ô e y dy = + Ô e y dy = + erf( ) () = ( ) = ( + erf( )) = erf( ) = [erf( ) = erf()] = = + erf( ) dvs samma uttryck gäller för alla värden på. E9 (a) En linjär funktion av normalfördelningar är normalfördelad, i det här fallet X + X + X 3 N (3, 3 ). Så sannolikheten räknas ut som ( 3 ). (b) Genom t.e. f Y (y )f Y (y )f Y3 (y 3 )dy dy dy 3 eller upprepade faltningar för att fåfram y +y +y 3 summans fördelning. lternativt kan man bilda sig en uppfattning om sannolikheten genom attsimulera trer(, )-slumptal ettstor antalgångeroch sehurstorandelavdessa försök som resulterar i att summan av de tre slumptalen är mindre än. (Lite djupare analys kan man göra om man inser att antalet försök som resulterar i en summa mindre än två är Bin(n, p)-fördelat om man gör n simuleringar. p är den sökta sannolikheten. Mer om detta i statistikdelen av kursen). (Sannolikheten blir för övrigt 5 6 ). (c) En linjär funktion av normalfördelningar är normalfördelad, i det här fallet 3 i= X i N (3, 3 ). Så sannolikheten räknas ut som ( 3 ). (d) Enligt Centrala gränsvärdessatsenär en summa av många oberoende likafördelade s.v. ungefär normalfördelad. Det är inte till någon hjälp i (b) men här kan vi anse att 3 är många. Så ett approimativt värde på sannolikheten kan vi få fram genom att 3 i= Y i N ( 3, ( ( 6 3/ ).39). 3/ 3 ).

11 Etrauppgifter Matstat K för CDE VT-5 nm. Med hjälp av t.e. Fourier-transformation kan man visa att täthetsfunktionen för en summa av just n st oberoende R(, )-fördelningar blir n ( ) n f () = ( ) k ( k) n sign( k) (n )! k k= men CGS gäller för alla fördelningar (med ändlig varians).