Kap 8 - Empirisk modellering. Två grundprinciper för att bygga matematiska modeller (kombineras ofta!):

Transkript

1 Kap 8 - Empirisk modellering Två grundprinciper för att bygga matematiska modeller (kombineras ofta!): 1 Fysikaliskt modellbygge. Använd naturlagar (massbalans, energibalans, Newtons lagar etc etc). Ibland behövs hypoteser och empiriska samband). Se Kap 2! Empirisk modellering (annat namn: Systemidentifiering) Ide : Utnyttja observationer (mätningar) från systemet för att anpassa en model.

2 Fysikaliskt modellbygge: - Ofta svårt + Ofta en modell med stort giltlighetsområde. + Ger fysikalisk insyn, och modeller där parametrarna har fysikalisk mening. 2 Systemidentifiering/Empirisk modellering: + Lätt" - Ofta begränsat giltlighetsområde. Ofta vettig ansats: Modellera det som går med fysikalisk insikt använd sedan systemidentifiering för att bestämma okända parametrar, Grey box modelling.

3 Modellverifiering - mycket översiktligt i denna kurs En modell är användbar först då dess giltlighet har testats och fastställts. OBS Alla modeller har ett begränsat giltlighetsområde. 3 Strikt talat kan inte modeller valideras, de kan bara icke-falsifieras. Jämför hypotesprövning i statistik. Praktiskt: Jämför modellens uppförande (utsignal) med systemets och utvärdera skillnaden: Är modellen tillräckligt noggrann givet syftet med modelleringen? We should make things as simple as possible, but not simpler - Einstein

4 8.1.1 Impuls- och stegsvar Impulssvar:u(t) = δ(t) y(t) = g(t) Stegsvar:u(t) = u 0 fort > 0 y(t) = u 0 t 0 g(τ)dτ 4 + Snabb översikt över dynamiken. Tidsskala, orsak-verkan. Oprecis information. Känslig för störningar. Viktigt att kunna: BestämmaK ocht i systemetg(s) = K s+t från ett stegsvar.

5 8.1.2 Frekvensanalys Linjärt system entydigt bestämt av sitt frekvenssvarg(iω). För ett linjärt kontinuerligt system gäller att (då transienten dött ut): u(t) = u 0 sin(ωt) y(t) = y 0 sin(ωt+ϕ) 5 där y 0 = G(iω) u 0 ϕ = argg(iω) Skatta frekvenssvaret genom att använda sinussignaler med olika frekvens som insignal och mät utsignalens amplitud och fasvridning.

6 Frekvensanalys - sammanfattning + Lätt att använda. + Enda antagandet är att systemet är linjärt. 6 + Lätt att undersöka intressanta frekvensområden - Resulterar i tabell/graf. - Ej praktiskt genomförbart att analysera alla frekvenser. Långsamt. - Inte alltid tillåtet att använda sinussignaler i en process.

7 8.1.3 Spektralanalys - överkurs För ett linjärt dynamiskt system gällery(s) = G(s)U(s), ersätt s mediω ger följande samband mellan in- och utsignalernas fouriertransformer: 7 Y(iω) = G(iω)U(iω) vilket ger G(iω) = Y(iω) U(iω) Spektralanalys: Skatta signalernas fouriertransformer.

8 I praktiken har vi endast tillgång till ett ändligt antal samplade värden av in- och utsignalen vilket gör den tidsdiskreta fourierserien (TDF) används 8 Y TDF (iω) = U TDF (iω) = Vi kan då forma skattningen N y(k)e iωk k=1 N u(k)e iωk k=1 Ĝ(iω) = Y TDF(iω) U TDF (iω) Avvägning måste göras mellan bruskänslighet ( fladdrighet ) och frekvensupplösning (förmåga att särskilja två närliggande frekvenstoppar).

9 8.2 Linjär regression (ej på tentan, examineras med obl Inlupp) Modellstuktur: ŷ(k) = ϕ T (k)θ (1) 9 Ex FIR-modell: ŷ(k) = b o u(k)+b 1 u(k 1)+...+b n u(k n) ϕ(k) = (u(k) u(k 1)...u(k n)) T θ = (b o b 1...b n ) T

10 ARX-modellen y(k) + a 1 y(k 1)+a 2 y(k 2)+...+a na y(k na) = b o u(k)+b 1 u(k 1)+...+b nb u(k nb)+e(k) 10 Prediktorn för ARX-modellen fås genom att flytta över allt utom y(k) till HL och stryka brustermene(k) dvs ŷ(k) = a 1 y(k 1)... a na y(k na) +b o u(k)+...+b nb u(k nb) ϕ(k) = ( y(k 1)... y(k na) u(k)...u(k nb)) T θ = (a 1...a na b o...b nb ) T

11 AR-modellen En modell för en stokastisk tidsserie kan enkelt fås genom att sättau = 0 i ARX prediktorn. Detta ger (AR-prediktorn): ŷ(k) = a 1 y(k 1) a 2 y(k 2)... a na y(k na) 11 ϕ(k) = ( y(k 1) y(k 2)... y(k na)) T θ = (a 1 a 2...a na ) T En utvidgning av AR-modellen är ARMA-modellen som vi dock inte tar upp i denna översikt.

12 Minstakvadratmetoden Antag uppmätt dataserie{y(k),ϕ(k)} k=1,...,n. Kriterium: V(θ) = N (y(k) ŷ(k)) 2 = k=1 N (y(k) ϕ T (k)θ) 2 (2) k=1 Detθ som minimerar (2) ges av: 12 N ˆθ N = [ ϕ(k)ϕ T (k)] 1 ϕ(k)y(k) (3) k=1 k=1 OBS, matrisen[ N k=1 ϕ(k)ϕt (k)] 1 måste kunna inverteras! I praktiken minimeras inte kriteriet (2) frånk = 1 utan man använder N V(θ) = (y(k) ϕ T (k)θ) 2 (4) k=n1 därn1 väljs så stor attϕ T (n1) kan fyllas med uppmätta data.

13 Minstakvadratmetoden - matrisformulering 13 Inför Y = Φ = y(n1). y(n) ϕ T (n1). ϕ T (N) Minstakvadratlösningen kan skrivas ˆθ = [Φ T Φ] 1 Φ T Y (5) Minstakvadratlösningen i Matlab: >> theta_hat=phi\y

14 Modellkvalite Huvudantaganden: Antagande A1a. Data kommer från ett system givet av 14 y(k) = ϕ T (k)θ o +v(k) k = 1,...,N (6) därv(k) är en omätbar slumpmässig störning ( brus ). Antagande A1b. MatrisenR N = N k=1 ϕ(k)ϕt (k) är inverterbar

15 Två typer av fel: 15 Biasfel (systematiskt fel). Försvinner inte även om vi använder oändligt många mätningar för att skatta modellens parametrar. Variansfel. Beror på att mätningar påverkas av brus. Variansfelet minskar med antal data som används i skattningen.

16 Biasfelet FIR modeller Antaganden: Antagande A2. Störningen ( bruset )v(k) i (6) har medelvärde noll dvs E{v(k)} = Antagande A3. v(k) är okorrelerad medu(k). Resultat Antag att A1-A3 här uppfyllda. Då gäller att minstakvadratskattningen ˆθ är en medelvärdesriktig (unbiased) skattning avθ o d.v.s.e{ˆθ} = θ o.

17 Variansfelet för FIR-modeller Antag att A1, A3 och A4 (bruset vitt med variansλ) är uppfyllda. Notera att vi alltså antar att bruset är vitt med varians Som tidigare betecknar ˆθ den skattade parametervektorn. Då gäller att 17 var(ˆθ i ) = P i,i i = 1,... n (7) därp i,i betecknar i te diagonalelementet i (kovarians)matrisen N P = λ[ ϕ(k)ϕ T (k)] 1 k=1

18 Bias- och variansfelet för AR/ARX-modeller* 18 Tas inte upp här

19 Val av modellstruktur och modellordning (8.5) Praktiskt mkt viktigt! 19 Hur hitta en bra modellstruktur? Hur många parametrar ska modellen ha? Hur förhindar överanpassning ( overfit )? => Behöver läsa (minst) en till kurs.

20 Mera empirisk modellering 20 Period 51 (41): Empirisk modellering: 10 hp kurs för STS (W och ES). Teori + projektarbete (skatta dynamiska modeller från riktiga mätdata). 50 STS-studenter läste kursen 2015! Statistisk maskininlärning 5 hp, per 3: Ny kurs för STS!