Figur 1. Schematisk bild över en toroid. Vid praktiska tillämpningar är ledning runt toroiden oftast tätare snurrad än bildens exempel.

Transkript

1 TOROIDENS MAGNETFÄLT 1 Inledning En sluten strömslinga ger upphov till ett magnetfält kring sig. En solenoid bildas då flera strömslingor fogas samman efter varandra, genom att böja solenoiden så att den formar en ring som i figur 1 bildas en toroid. Enligt Ampères lag B dl = μ 0 I S (1) är kurvintegralen för den magnetiska flödestätheten över en sluten kurvan (där dl är en infinitesimalt liten del av kurvan) lika med strömmen I S genom den area som kurvan innesluter multiplicerat med permeabiliteten i vakuum μ 0 (μ luft μ 0 ). Figur 1. Schematisk bild över en toroid. Vid praktiska tillämpningar är ledning runt toroiden oftast tätare snurrad än bildens exempel. Låt oss studera en toroid med N stycken strömslingor i vilka strömmen I går. På grund av symmentri bildar magnetfältets fältlinjer koncentriska cirklar med toroiden som i figur 2, d.v.s. de cirkelformade fältlinjerna har samma mittpunkt som toroiden. Integrationskurvan väljs som i figuren så att den går genom samtliga strömslingor inuti toroiden på ett avstånd r från toroidens mittpunkt. Magnetfältet vid kurvan på avståndet r är då konstant. Strömmen som går genom arean innesluten av kurvan är då I S = NI, (2) där I är strömmen i toroiden. Eftersom magnetfältet är likriktad med den valda kurvan fås B dl = B(2πr), (3) och den magnetiska flödestätheten blir då B = μ 0NI 2πr. (4) Magnetfältet inuti toroiden är således inte homogent utan omvänt proportionellt mot avståndet från toroidens mittpunkt, störst är fältet vid toroidens inre kant för att sedan avta mot den yttre kanten. Ifall toroidens radie är stor jämfört med strömslingornas radie är fältet inuti torroiden dock nästintill homogent. 1

2 Figur 2. Bestämmandet av toroidens magnetfält. Utanför toroiden går N stycken strömledningar med ström i en viss riktning genom arean innesluten av integrationskurvan med samma mittpunkt som toroiden, genom kurvan går även lika många ledningar med ström åt motsatt håll. Den totala strömmen som omsluts av kurvan blir alltså noll. Magnetfälts storlek utanför en toroid med spänt snurrade ledningar är för varje punkt på en godtyckligt vald koncentrisk kurva konstant, Ampers lag ger således B dl = B(2πr) = μ 0 I S =0, (5) varvid B = 0. Genom att integrera över en kurva vald innanför torroiden fås den magnetiska flödestätheten på motsvarande sätt att bli noll innanför toroiden. För en toroid med spänt snurrade ledningar avviker magnetfältet alltså från noll endast inuti toroiden. Toroidens magnetfält mäts m. h. a. en mycket liten sondspole. Sondspolen kan flyttas i riktning med torusens radie både inuti och utanför torusen. Genom sondspolen med arean A och varvtalet N s går ett magnetiskt flöde Φ = AB = A μ 0NI 2πr. (6) Detta magnetiska flöde ger upphov till en inducerad spänning över sondspolen dφ e = N = N SAμ 0 N S 2πfi cos(2πft), (7) dt 2πr där f är frekvensen för spänningen i toroiden och i strömmens amplitud. Den inducerade spänningen V får m. h. a. effektivvärdena: V = 2πfN S A μ 0NI 2πr = 2πfN SAB, (8) så att den magnetiska flödestätheten fås som V B =. (9) 2πfN S A 2

3 2 Målsättningar Efter att ha utfört laboratoriearbetet kan studeranden beskriva formen på magnetfältet inuti och kring toroiden har studeranden experimentellt observerat hur ett tidsvarierande magnetfält inducerar en spänning över spolen har studeranden övat på att grafiskt presentera mätdata 3 Apparatur 3.1 Apparaturens delar Figur 3. Kopplingen vid mätningen. Spänningsmätaren kopplas över motstånden medan resonansfrekvensen sökes varefter man övergår till att mäta spänningen över sondspolen. Dessutom behövs: - rullmått - skjutmått - bananledningar I figur 3 är redskapen som behövs för att utföra arbetet illustrerade. Signalgeneratorn matar in växelspänning i resonanskretsen bestående av en kondensator, ett motstånd och en toroid (spole) i enlighet med figur 4. Växelspänningens frekvens väljs så att strömmen i toroiden når sitt maximivärde. Detta sker vid resonanskretsens resonansfrekvens. Vid resonansfrekvens går strömmen i resonansfrekvensen fram och tillbaka mellan spolen och kondensatorn så att energin turvis lagras som potentialenergi i kondensatorn och som energi i spolens magnetfält. Kretsens energiförluster minimeras vid resonansfrekvens. Signalgeneratorn hindrar dämpandet av resonansfrekvensens oscillation och förstärker oscillationen så att strömmens amplitud i resonanskretsen är, tack vare kretsens struktur, mångfaldig jämfört med generatorströmmens amplitud. 3

4 Figur 4. Den parallella resonanskopplingen som består av toroiden, motståndet och kondensatorn. Vid mätningarna skjuts sondspolen radiellt genom toroiden, universalmätaren mäter spänningen inducerad över sondspolen. Sondspolens avstånd från toroidens mittpunkt avläses samtidigt från skalan fäst på spolens ställning och antecknas. Toroiden har ett varvtal N = 100, motsvarande värde för sondspolen är N S = 30 varv. Resistansen för motståndet är 0,11 Ω och dess fel 0,01 Ω. 4 Förhandsuppgifter Bekanta dig med teorin som hör till arbetet i valfri fysiklärobok, t.ex. [1-3], läs igenom arbetsinstruktionen och besvara frågorna nedan på svarsblanketten. 1. Varför används en resonanskrets som kopplingsschema för apparaturen i arbetet? 2. Den i arbetet använda toroidens strömslingor har en rektangulär form medan slingorna är runda i många tillämpningar. Hur påverkar strömslingornas form toroidens magnetfält? 3. Hur skulle mätningen med sondspolen fungera ifall likström skulle användas i stället för växelström? 4. I detta arbete beräknas den magnetiska flödestätheten B utgående fån ekvation (9) m.h.a. spänningen uppmätt av sondspolen. Bestäm utgående från denna ekvation felet för den magnetiska flödestätheten B m.h.a. totaldifferentialen. Tag i beaktan variabeln sondspolens area A. (Tips: I det här fallet är det lättare att beräkna det relativa felet) 5 Mätningar Alla mätresultat och svaren på förhandsuppgifterna antecknas på svarsblanketten. Användning av blyertspenna rekommenderas. Kontrollera alla kopplingar med assistenten innan strömmen slås på. Svarsblanketten returneras slutligen åt assistenten. 1. Mät toroidens yttre och inre diameter. Mät även bredden och höjden på sondspolen och anteckna värdena med tillhörande fel på svarsblanketten. 2. Koppla apparaturen enligt figur 3 så att spänningsmätaren är kopplad över motståndet. 3. Kontrollera att signalgeneratorn producerar sinusformad spänning och välj 10 khz som frekvensområde (Obs! Signalgeneratorn producerar triangelvågor ifall utgångsinställningarna inte justeras, kom ihåg att ändra dessa så att sinusvågor produceras). Ställ in signalgeneratorns utmatning på full effekt genom att vrida Amplitud-strömbrytaren medsols. Ställ in spänningsmätaren på växelströmsområdet. Kontrollera att frekvensområdet för den använda spänningsmätaren räcker till. 4

5 4. Sök en frekvens för vilken spänningsmätarens utslag är som störst (intervallet 5 12 khz) och skriv upp frekvenserna och spänningsmätarens utslag. Anteckna även värdet på strömmen. 5. Koppla spänningsmätaren så att spänningen över sondspolen kan mätas. 6. Gör en hypotes: Skissa hur spänningen över sondspolen förändras då den skjuts i riktning med toroidens radie från utsidan på toroiden genom toroiden till dess mittpunkt. Rita en figur! Motivera ditt svar. 7. Testa din hypotes: Skjut sondspolen på sina skenor fram och tillbaka och skriv upp/rita upp dina observationer på svarsblanketten. Uppmärksamma speciellt de punkter där spänningen ändras mest. Fundera på möjliga orsaker, ifall din hypotes avviker från dina observationer. 8. Mät den inducerade spänningen över sondsspolen som funktion av avståndet både på ut- och insidan av toroiden. Välj mätpunkterna med tätare mellanrum då sondspolen är nära toroidens kanter (t.ex. med 0.25 cm:s avstånd) och glesare (t.ex. med 1 cm:s avstånd) i annat fall. Använd dig av måttskalan och linjen på plastskivan som indikerar avståndet r mellan sondspolens mitt och toroidens symmetriaxel (toroidens mittpunkt). 9. Koppla loss bananledningar från sondspolen. Gör följande hypoteser och motivera dina svar. Vad händer med a. spänningen mellan ledningarna då en av ledningarna träs igenom toroiden för att sedan kopplas ihop med den andra ledningen? b. spänningen mellan ledningarna då arean som ledingarna nu utgör ändras på genom att flytta på lednigarna? c. strömmen som går i ledningarna då ledningarna är kopplade ihop? 10. Testa dina hypoteser. Koppla universalmätaren enligt beskrivningarna ovan, gör mätningarna och skriv upp dina observationer på svarsblanketten. För strömmätningen måste universalmätarens koppling samt dess skala ändras på, och dessutom måste mätningen ske på AC-området. Fundera på möjliga orsaker ifall din hypotes avviker från dina observationer. 6 Behandling av resultaten Anteckna resultaten på svarsblanketten. Bifoga grafer samt eventuella uträkningar gjorda på skilda papper till svarsblanketten. 1. Beräkna den magnetiska flödestätheten med tillhörande fel utgående från spänningen inducerad över sondspolen och ekvation (9). Rita den magnetiska flödestätheten B som funktion av avstånden r med tillhörande felmarginal i grafen. (Tips: felmarginalen kan enkelt beräknas genom logaritmisk derivering!) 2. Beräkna ett teoretiskt värde på den magnetiska flödestätheten inuti toroiden utgående från strömmen som går i toroiden och ekvation (4). Rita resultatet i samma figur som det uppmätta värdet på den magnetiska flödestätheten. 3. Skriv ut den uppritade grafen och bifoga denna till svarsblanketten. 7 Tankeställare 1. Hurudan är den magnetiska flödestätheten i riktning av toroidens radies? När är den som störst och när är den som minst? Passar teorin ihop med mätresultaten? Hur skulle du förklara diskrepansen? 2. Hurudana felkällor förekommer i arbetet? Gör förbättringsförslag för mätanordningen. 5

6 Källor [1] D.C. Giancoli, Physics for Scientists & Engineers with Modern Physics 4 th edition, International edition, Pearson Education, Inc, [2] Hugh Young, Roger Freedman, A. Lewis Ford: University Physics with Modern Physics. International Edition. 13. upplagan. Pearson Education, [3] Halliday, Resnick, Walker, Fundamentals of Physics Extended, Extended 9 th edition, International Student Version, Wiley & Sons, Inc.,