Högtryckshomogenisering

Transkript

1 Processteknik för bioteknik- och lismedelsindustrin, BLT00 Lund, Lunds Tekniska Högskola Högtryckshomogenisering Projektlaboration i enhetsoperationer och mikrobiell processteknik A: Grupp B Andersson, Marica Mirholm, Alexander Pettersson, Karl Österlin, Jacob Handledare: Karin Petersson

2 Sammanfattning Mjölk har länge arit en a människans iktigaste näringskällor. Det finns flera olika metoder och sätt för att säkerställa en säker och tillfredställande produkt. En a dessa är högtryckshomogenisering. Högtryckshomogenisering innebär att man pressar mjölken/produkten genom en smal spalt under högt tryck. Mjölken utsätts då för höga skjuspänningar som gör att fettdropparna slits sönder. I och med att fettdropparna blir mindre så minskar gräddningshastigheten, ilket leder till en bättre produktstabilitet. Dessutom ger metoden producenten en försäkran om att smak och utseende håller de kra som ställs på produkten. Effekten a en homogenisator i pilotskala undersöks med hjälp a laserdiffraktion och mikroskopering. Resultaten isar en tydlig minskning a fettdroppsstorlek redan id 00 bar. Dessutom görs en undersökning på mjölkens stabilitet där gräddsättning kontrolleras genom att låta proerna stå orörda i 48 timmar. Denna undersökning isar att problemet med gräddsättning i princip redan öerinns id 00 bar. Baserat på resultat från försöken och teoretiska data konstrueras ett simuleringsprogram som redoisar ilken fettdroppsdiameter och gräddningshastighet som åstadkoms id angiet tryck respektie fetthalt (,8 % eller 3 %). En simulering görs äen på tryckprofilerna öer spalten där äen spalthöjderna id olika homogeniseringstryck beräknas. Resultaten isar ett kraftigt tryckfall i spalten samt en minskad spalthöjd id ökat tryck.

3 Innehållsförteckning Sammanfattning... Innehållsförteckning Introduktion Högtryckshomogenisering Hur fungerar en högtryckshomogenisator? Vad kan homogeniseras? Mjölk Mjölkens komposition och egenskaper Homogenisering a mjölk Gräddning Analyseringsmetoder Mikroskopering Laserdiffraktion timmarsmetoden Laborationsutförandet Resultat Resultat från laserdiffraktion och mikroskopering Resultat 48-timmarsmetoden Simuleringsprogram Homogenisatorns effekt på diameterreducering Temperaturökning i homogenisatorn Tryckgradienten i homogenisatorn Diskussion och slutsatser Referenser Bilagor

4 . Introduktion Vår projektuppgift gick ut på att åt företaget Bioprod AB ge ett underlag till hur deras högtryckshomogenisator, en Tetra Pak Alex S05, kan tillämpas och ta fram sambanden mellan iktiga parametrar för att de ska kunna optimera sin homogenisering. För att kunna utärdera homogenisatorns effekt skulle ett laborationsförsök planeras och utföras. Till årt förfogande hade i en högtryckshomogenisator i pilotskala. Försöken aldes att utföras på ohomogeniserad mjölk. Med hjälp a resultaten skulle det konstrueras ett simuleringsprogram som ger information om hur olika parametrar såsom diameterstorleken på fettdropparna och gräddningshastigheten påerkas a trycket i homogenisatorn och mjölkens fetthalt. Dessutom simulerades tryckgradienten i homogenisatorentilen. Rapporten ger äen sar på frågor som: Vad innebär homogenisering? Vad kan homogeniseras? Hur fungerar en högtryckshomogenisator? Då försöken utfördes på mjölk utreder rapporten äen lite om denna produkts sammansättning och egenskaper. 4

5 . Högtryckshomogenisering. Hur fungerar en högtryckshomogenisator? Figur. Högtryckshomogenisator i pilotskala. Det finns en rad olika utformningar på homogenisatorer. Det gemensamma för alla är att de innehåller en eller flera pumpar som bygger upp trycket respektie entiler innehållande smala spalter i ilka homogeniseringen sker. Tetra Paks homogenisator Tetra Alex 05 (figur ) homogeniserar ätskor genom att anända sig a en hydraulpump som består a tre stycken kolar som tillsammans jobbar för att bygga upp ett jämt och konstant tryck på ätskan. För att öka hastigheten på flödet finns äen en centrifugalpump tillkopplad framför inloppet till homogenisatorn. Det är dessa tå pumpar tillsammans som jobbar för att pressa ätskan genom tå skilda entiler. Den andra entilen har ett tryck på ungefär en femtedel a den första, detta för att skapa en jämnare homogenisering. Själa entilen består a en kol forcer, som bestämmer trycket i ätskan genom att minska respektie öka spalthöjden, och ett munstycke seat ring som ätskan passerar enligt figur nedan., När produkten flödar genom det trånga utrymmet i entilen (spalten) under högt tryck ökar produktens hastighet ordentligt och partiklarna utsätts för krafter som gör att de slits sönder i mindre partiklar. Det antas ara tå huudorsaker till att detta sker. Den ena är att när hastigheten ökar får ätskan ökat turbulent flöde och partiklarna utsätts för en hög skjuspänning som gör att dropparna tänjs ut och till slut går sönder och bildar mindre partiklar. Den höga hastigheten samt den stora areaökning id spaltens utlopp leder äen till ett kraftigt tryckfall som kan ge uppho till kaitation i spalten eller strax efter. Kaitation kan i sin tur ge uppho till att issa partiklar spricker Farrall. Arthur W, Engineering for dairy and Food Products, Johan Wiley and Sons Inc, New York, 963, s

6 Figur. Vätska som pressas genom en homogenisatorentil. 4. Vad kan homogeniseras? Traditionellt är det främst mjölkprodukter som mjölk, grädde, yoghurt, glass m.m. som har homogeniserats. Men idag är det äen anligt i den öriga lismedelsindustrin för produkter som bland annat ketchup, juicer, majonnäs och sallads dressingar. Det som ill uppnås med homogenisering är främst att förbättra produktstabiliteten. Lika iktigt är att produkten känns och smakar bättre och får ett mer tilltalande utseende. 5,6 Ett a många andra områden inom ilket högtryckshomogenisering anänds är id intracellulär produktion a enzymer och rekombinanta proteiner. Man anänder då metoden till att slå sönder cellerna så att produkten läcker ut Farrall. Arthur W, Engineering for dairy and Food Products, Johan Wiley and Sons Inc, New York, 963, s Doran. Pauline M, Bioprocess Engineering Principles, Academic Press Limited, London, 00, s.30 6

7 3. Mjölk 3. Mjölkens komposition och egenskaper Mjölk är en mycket näringsrik produkt som till största del består a atten, ca 87 %. Förutom atten så finns det olika sorters ämnen, bl.a. mjölkfetter, laktos, proteiner, mineraler, enzymer och itaminer. I tabell ses ett exempel på en näringsinnehållsförteckning för mjölk. Denna arierar inte nämnärt mellan olika mjölksorter, förutom fetthalten naturligtis. 8 Tabell. Näringsinnehållsförteckning för Skånemejeriers mjölk, Åsens med 3 % fettinnehåll. 9 Näringsärde Mängd Fett Energiärde Energiärde Protein Kolhydrater- Totalt 3.0 g 60 kj 60 kcal 3.3 g 4.9 g Vitamin A 7 µg Vitamin D 0.0 µg Vitamin C Vitamin B Riboflain 0.9 mg 0.4 mg Vitamin B Kobalamin 0.4 µg Kalcium 0 mg Mjölk kan beskrias som en emulsion, det ill säga en dispersion a tå icke blandbara ätskor, i det här fallet olja i atten. 0 Fettet i mjölk finns i form a fettdroppar med diametrar som arierar kring 0 µm. Fettdropparna kan förhålla sig i flera olika former: åtskilda, flockulerade eller koalescerade (figur 3). Anledningen till att de tå ätskorna i en emulsion i anliga fall inte är blandbara i arandra kan förklaras med ekationen för Gibbs fria energi 3, se ekation. G = γ ab A T S () G = förändring a fri energi γ ab A = T = temperatur ( K) S = = ytspänning mellan tå förändring a specifik förändring a entropi faser yta 8 artnr=5000, artnr=5000, Hamley. Ian W, Introduction to Soft Matter, John Wiley & Sons Ltd, Chichester, 004, s Farrall. Arthur W, Engineering for dairy and Food Products, Johan Wiley and Sons Inc, New York, 963, s Hamley. Ian W, Introduction to Soft Matter, John Wiley & Sons Ltd, Chichester, 004, s.75 7

8 Då de tå faserna dispergeras bryts energimässigt gynnsamma ätebindningar inom den hydrofila fasen, atten. Definitionen för en hydrofob molekyl är just att den saknar möjligheten att bilda ätebindningar. Detta gör att det bildas en ytspänning, γ ab, mellan ätskorna. Vid dispergeringen ökar äen gränsytan mellan de tå faserna, A. Båda dessa förändringar leder till att G för systemet ökar ilket gör lösningen termodynamiskt instabil. Dispersionen kommer troligen att separera, genom gräddning, sedimentation, koagulering eller koalescens (se figur 3). Figur 3. Fettdroppar som har koalescerat. 4 För att förhindra separation finns det flera sätt att stabilisera emulsionen på: En högre temperatur innebär ett lägre G. Detta är dock inte särskilt lämpligt när det gäller mjölk a ganska naturliga orsaker, som att mjölken surnar och att proteiner id tillräckligt höga temperaturer denaturerar. Ytspänningen kan sänkas genom att tillsätta ytaktia medel, äen kallade tensider eller emuleringsmedel. Ytaktia medel är amfifila, ilket innebär att de har både en hydrofob och en hydrofil del. Detta gör att de kan lägga sig i gränsskiktet mellan de tå faserna och på så sätt göra den annars hydrofoba ytan hydrofil. Detta är det anligaste sättet att stabilisera emulsioner. Som ett extra skydd bildar de ytaktia medlen, som ofta är proteiner, äen ett membran runt droppen. Detta gör att dropparna bättre kan stå emot koalescens. 5 I mjölk finns en massa proteiner som kan utgöra goda stabiliserare. Dessutom stabiliseras fettdropparna a fosfolipider, i form a delar a cellmembran som följt med från cellen där fettet bildades. 6 Genom att minska ariationen i dropparnas storlek kan man undika koalescens, då stora droppar oftast bildas på bekostnad a små droppar. Det är bland annat detta som man åstadkommer med homogenisering. En högre iskositet på dispersionsmedlet, den kontinuerliga fasen, gör att dropparna får sårare att röra sig, ilket minskar risken för gräddning m.m. En emulsion är ett känsligt system och bör behandlas försiktigt. Kraftig omrörning, centrifugering, filtrering och låga temperaturer, som gör att emulsionen fryser, kan få emulsionen att separera Hamley. Ian W, Introduction to Soft Matter, John Wiley & Sons Ltd, Chichester, 004, s Hamley. Ian W, Introduction to Soft Matter, John Wiley & Sons Ltd, Chichester, 004, s.80 7 Hamley. Ian W, Introduction to Soft Matter, John Wiley & Sons Ltd, Chichester, 004, s

9 3. Homogenisering a mjölk Då mjölk homogeniseras slås fettdropparna sönder. Diametern blir mindre och fördelningen mer jämnt fördelad. Detta innebär att den specifika ytan ökar och behoet a ytaktia medel ökar. Detta beho täcks upp a kasein som utgör hela ¾ a alla proteiner i mjölk. Kasein befinner sig antingen i miceller eller som enskilda proteiner och bidrar till att ge mjölken dess karakteristiska färg. 8,9 I issa fall kan emulsionen äen stabiliseras genom att de kaseinmiceller som adsorberar på fettdropparna är tillräckligt stora för att kunna tynga ner dropparna och hindra dem från att stiga till ytan på grund a densitetsskillnader mellan kontinuerlig fas, atten, och dispergerad fas, fett. 0 Homogenisering ger en bättre produktstabilitet, mjölken kommer att kunna stå längre innan gräddning sker. Detta är extra iktigt för UHT-behandlad mjölk då dess föraringstid är betydligt längre än anlig mjölk och ska äen id utgångsdatum ara äl dispergerad. Andra effekter man ill åstadkomma är att göra mjölken itare, säkerställa dess smak och känsla i munnen. Homogeniseringen kan utföras på flera olika sätt. Istället för att homogenisera hela mjölken homogeniseras i issa länder bara gräddfasen. Därefter blandas den homogeniserade fasen med den ohomogeniserade fasen igen. Denna mjölk har minst lika god munkänsla, smak och stabilitet som om hela mjölken homogeniserats. 3 Metoden har både för- och nackdelar. Omkostnaderna kan minskas genom att homogenisera en mindre mängd, men istället måste tid och energi läggas på att först separera och sedan återförena de tå faserna. I takt med att partiklarnas diametrar minskar, ökar antalet partiklar och så äen iskositeten. Homogeniseringseffekten gynnas dock a lägre iskositet ilket man får id ökad temperatur. Detta innebär att ju högre temperatur homogeniseringen utförs id desto bättre blir sönderdelningen a fettdropparna. Dessutom bör homogeniseringen ske id en temperatur öer 37 C, eftersom allt fett i mjölken då har smält. Samtidigt så finns det en öre gräns på hur mycket man kan ärma mjölken för att få optimal effekt. Höjer i temperaturen till mer än 70 C får i åter en ökning a iskositeten till följd a att mjölkproteinerna börjar denatureras. 4,5 3.3 Gräddning Gräddsättning är en separation a tå eller flera faser från arandra, t.ex. grädde från mjölk. Denna separation sker a tå huudsakliga anledningar. Dessa är densitetsskillnader mellan faserna och storleken på partiklarna i lösningen. Detta samband beskris a Stokes lag 6 som återfinnes nedan, ekation. Ur sambandet kan ses att den största hastighetspåerkan för gräddsättning utgörs a diametern på de partiklar som återfinnes i lösningen då denna term är kadrerad. Diameterreduceringen är den huudsakliga anledningen till arför homogenisering görs Hamley. Ian W, Introduction to Soft Matter, John Wiley & Sons Ltd, Chichester, 004, s Kenneth Andersson, Skånemejerier, Forskning & uteckling 6 Hamley. Ian W, Introduction to Soft Matter, John Wiley & Sons Ltd, Chichester, 004, s.35 7 Hamley. Ian W, Introduction to Soft Matter, John Wiley & Sons Ltd, Chichester, 004, s.35 9

10 = d * ρ * g / (8 * η) () = gräddsättningshastighet g = graitationskonstant ρ = densitetsskillnad d = partikeldiameter η = kontinuerliga fasens iskositet 0

11 4. Analyseringsmetoder 4. Mikroskopering Med ett mikroskop tas bilder på önskad produkt. Sedan mäts diametern på partiklarna inom ett asatt område med linjal. För att få fram sann diameter tas äen kort på en skala och med hjälp a denna kan partiklarnas diametrar bestämmas. 4. Laserdiffraktion Laserdiffraktion är en anlig metod för att bestämma storlekar på partiklar i ätska. Det är därför ett mycket bra erktyg för att undersöka hur homogeniseringen förbättras id ökande tryck. Proet bestrålas med en laserstråle som reflekteras a partiklarna i lösningen. Denna reflektion ger ett mått på partiklarnas storlek i proet och hur stor ariationen mellan de olika storlekarna är. 8 Man kan bland annat undersöka ytareafördelningen, samt olymfördelningen. Ett exempel på en ytareafördelning åskådliggörs i figur 4. Figur 4. Ytareaägd fördelning från laserdiffraktion. X-axeln isar inom ilket interall diametern ligger på och y-axeln hur stor del a proets totala ytarea eller olym som fettdropparna utgör i procent. En lyckad homogenisering skall isa en kura med så liten arians som möjligt, ds. ett smalt storleksinterall. Detta tyder på att fettdropparna har en jämn storleksfördelning

12 timmarsmetoden I industrin finns ett kra på homogeniserad mjölk att den ska kunna stå 48 timmar utan att skikta sig, ds. att grädden och mjölken inte ska separera. Det är alltså ett test på produktstabiliteten. Vanligtis agörs detta med en ren isuell kontroll men om det kräs större noggrannhet så finns det ett test som kan utföras med aseende på fetthalten. Fetthalten bestäms i de öre 00 ml respektie de undre 900 ml. Kraet på en tillfredsställande homogenisering är att 90 % a fetthalten i toppen inte får ara mer än fetthalten i bottenproet. 9 9 Kenneth Andersson, Skånemejerier, Forskning & uteckling

13 5. Laborationsutförandet För att undersöka homogenisatorns effektiitet bestämde i oss för att homogenisera Skånemejeriers ohomogeniserade mjölk, Åsens mjölk. Parametrarna som kunde tänkas påerka effektiiteten ar mjölkens fettkoncentration och id ilket tryck homogeniseringen utfördes. Projektgruppen ar därför iäg och inhandlade 48 liter Åsens mjölk med tå olika fettkoncentrationer,.8% respektie 3 %. Tidigare i rapporten framkommer att id 70 C är mjölkens iskositet som lägst. Detta borde alltså ara en optimal temperatur att homogenisera id. Då det sker en temperaturökning på mjölken i homogenisatorn och proteinerna som stabiliserar emulsionen denatureras öer denna temperatur ärmdes mjölken bara upp till strax öer 40 C. Vid denna temperatur har fettet smält men man har ändå en god marginal till den temperatur denaturering sker och dessutom sparar man tid. De båda mjölksorterna homogeniserades id 00, 65, 30 och 95 bar. Vid arje tryck undersöktes flödeshastigheten genom att mäta hur lång tid det tar att få ut en liter atten ur homogenisatorn. Att homogenisatorn inte fick gå torr hade en något stressande effekt och gjorde äen att mycket mjölk gick till spillo. Då inte mjölk homogeniserades ar atten tunget att spolas genom systemet. Vid protagningen ar det därför iktigt att änta tills produkten som kom ut ur homogenisatorn ar alldeles it och antogs inte ara utspädd a attnet. Detta innebar att a de 5 liter mjölk som hälldes i homogenisatorn kunde ungefär liter tas ut till analys. Tå analyser utfördes på mjölken: fettpartikelstorlek och stabiliseringsmöjlighet. För att analysera fettpartiklarnas storlek anändes tå metoder:. Mikroskopering. Laserdiffraktion. För att få säkra resultat, lät i instrumentet ta fram fettdroppsdiametrarna tre gånger för arje pro. Vilket tryck som behös för att mjölken skall ara stabil som emulsion undersöktes med 48- timmarsmetoden. Efter laborationen ställdes glasbägare med mjölk i ett kylrum. En bägare för arje tryck och fetthalt samt tå bägare med ohomogeniserad mjölk för respektie fetthalt. Det hade arit önskärt att anända identiska bägare men då det inte fanns tio stycken likadana bägare så fick lite olika bägare anändas. Eftersom bägarna hade olika diametrar hälldes mjölken upp så att det ble lika högt i arje bägare. Tanken ar att höjden skulle ara den största bidragande faktorn till gräddningshastigheten, detta resulterade i ca 50 ml a arje mjölkpro. Efter 48 timmar undersöktes proen isuellt och eentuell gräddning och färgförändring noterades. Dessutom beräknades fettpartiklarnas gräddningshastighet utifrån beräknade medeldiametrar med Stokes lag (ekation ). Då fetthalterna är så låga antogs mjölkens iskositet inte förändras nämnärt id homogeniseringen. Tanken ar att detta skulle undersökas men de instrument som fanns tillgängliga hade inte möjligheten att undersöka så små ariationer som skillnad mellan mjölk och atten. 3

14 6. Resultat 6. Resultat från laserdiffraktion och mikroskopering I tabell redoisas under ilka betingelser försöken utfördes. Tabell Betingelser id homogeniseringsförsök. Fetthalt (%) Pro Tryck kol (bar) Tryck kol (bar) Temp in ( C) Temp ut ( C) Flöde (l/min) Förhållandet mellan flödet och homogeniseringtrycket illustreras med en kura i figur 5 (Flow.m) Flöde som funktion mot trycket Mätärden y = *x Linjär regression 3.6 Flöde (l/min) Tryck (bar) Figur 5. Sambandet mellan flöde och tryck, där punkterna isar åra mätärden och linjen är en linjär regression. Resultaten från analyserna a fettpartiklarnas medeldiametrar innan och efter homogenisering med laserdiffraktion och mikroskopbilder redoisas i tabell 3 respektie 4. Dessutom isas sambandet mellan medeldiameter och homogeniseringstryck i figur 6 respektie 8. 4

15 Tabell 3. De ytareaiktade diameterstorlekarna beräknade från laserdiffraktion, där ärdena presenterade i tabellen är medianen från de tre analyser som gjordes på arje mjölkpro. Fetthalt (%) Tryck (bar) median (µm) σ (µm ) Icke homogeniserat Icke homogeniserat Diameterberäkningar från laserdiffraktion Fetthalt.8 % Fetthalt 3.0 % Medeldiameter (mikrometer) Tryck (bar) Figur 6. Grafen isar hur partiklarnas medeldiameter ändras med homogenisatorns tryck. Diametrarna har bestämts från laserdiffraktionen. Anledningen till att de ytareaägda diametrarna från laserdiffraktionen anändes är att dessa ga bäst resultat. De olymägda diametrarna påerkades mycket a enstaka stora luftbubblor, ilket kan ses i det änstra diagrammet i figur 7 nedan, där den högra toppen antagligen beror på luftbubblor. Detta ga oss tyärr medeldiametrar och medianer som ar missisande i och med att äen den andra toppen tas med i sammanhanget. En andra, mycket liten topp kan skymtas äen för ytareafördelningen, ilket påerkar medeldiametern lite grann, men har försumbar inerkan på medianen. På grund a allt detta aldes det att endast gå idare med resultaten från ytareafördelningen (figur 7) och då endast med medianärdena. 5

16 Figur 7. Volymfördelningen (änster) och ytareafördelningen (höger). Tabell 4. Diameterstorlekar beräknade från mikroskoperingsbilder, där ärdena i tabellen är medelärden från fettdroppsdiametrar beräknade inom ett asatt område på bilderna. Fetthalt (%) Tryck (bar) medel (µm) Icke homogeniserat Icke homogeniserat

17 3.8 Diameterberäkningar från mikroskopbilder Fetthalt.8 % Fetthalt 3.0 %.6 Medeldiameter (mikrometer) Tryck (bar) Figur 8. Grafen isar hur partiklarnas medeldiameter ändras med homogenisatorns tryck. Diametrarna har bestämts från fotografier a mikroskoperingen. 6. Resultat 48-timmarsmetoden Då bägarna kontrollerades 48 timmar efter laborationen så kunde tydliga skillnader utskiljas. De bägge bägarna med ohomogeniserad mjölken hade ett tydligt gräddskikt på ca 3 mm. På mjölken som hade bliit homogeniserad id 00 bar ar gräddskiktet ca - mm, på bägarna med mjölk som hade utsatts för högre tryck ble skiktet tunnare ju högre trycket hade arit. Vid 95 bar sågs inget gränsskikt. En skillnad i färgen kunde också utskiljas, särskilt mellan den ohomogeniserade mjölken och mjölken som bliit homogeniserad id 95 bar. Den ohomogeniserade mjölken ar beigeare i färgen och ble itare allteftersom homogeniseringstrycket ökade, resultaten kan ses i figur 9 och 0. Figur 9. Homogeniseringsproerna.8% från ohomogeniserad till änster till 95 bar till höger. 7

18 Figur 0. Homogeniseringsproerna 3 % från ohomogeniserad till änster till 95 bar till höger. Gräddningshastighet beräknades med hjälp a medeldiametrarna från laserdiffraktionsmetoden (arför mikroskoperingen förkastades diskuteras i stycke 8) och Stokes lag (se ekation ) utifrån följande parametrar som gäller för atten och fett id 0 C. 30 g = 9.8 m/ s ρf = 0.95 g/cm 3 = 95 kg/ m 3 ρh O = g/cm 3 = 998 kg/ m 3 η ηh O = *0-3 Pa*s Dessutom beräknades hur långt fettdropparna rör sig under 48 timmar. För resultat se tabell 5. Tabell 5. Resultat från beräkning på gräddsättning. Fetthalt (%) Tryck (bar) Medeldiameter från laserdiffraktion.8 3 Gräddsättningshastighet (cm/dygn) Droppförflyttning under 48 timmar (cm) (µm) Kessler. H.G, Food Engineering & Diary Technology 5 th ed, Verlag A. Kessler, 00, sid 635, 637 8

19 7. Simuleringsprogram 7. Homogenisatorns effekt på diameterreducering Simuleringsprogrammet (simulering.m) beräknar fettdropparnas diametrar med hjälp a ekationer gjorda på åra medeldiametrar från mikroskoperingen (mikro.m) respektie medianärden från laserdiffraktionen (laser.m). Ekationer (en för,8 % respektie 3 %) som passade samtliga mikroskoperingspunkter hittades, medan laserdiffraktions ärden delades upp i tå ekationer en från 0-00 bar och en 00 bar och uppåt. Programmet simulerar äen hur partikeldiametern förändras med homogeniseringstrycket utifrån ett teoretiskt samband 3 (ekation 3). Den teoretiska diametern beräknas med flöde är den arierande inariabeln, som i sin tur påerkar spalthastigheten och reynolds tal (ekation 4). 3 hσ d m ~ * (3) 0ρν Re ρ 0 D Re = (4) ν d m = Medeldiameter på fettdropparna ( m) h = spalthöjd ( m) D = h = hydrauliska diametern ( m) 0 = spalthastighet ( m / s) ρ = densitet ( kg / m ν = dynamisk iskositet ( Pa * s) σ = ytspänning ( N / m) 3 ) Vid körning a programmet frågas det efter inärdena fetthalt,,8 % eller 3 %, och tryck. Programmet beräknar sedan de tre olika diametrarna. Gräddsättningshastigheten beräknas med hjälp a Stokes lag och mediandiametrarna från laserdiffraktionsmätningarna. I en och samma figur presenterar programmet åra uppmätta diameterärden för den fetthalt som alts samt den beräknade teoretiska diametern, den isar äen en linje för det angina trycket. Ur figuren kan anändaren sedan se om trycket bör höjas eller sänkas för att nå önskat resultat genom att följa kurorna. Programmet presenterar i matlab-fönstret åra tre diametrar, gräddsättningshastigheten samt flödet. I figur och isas exempel på hur diagrammen i simuleringsprogrammet kan se ut då trycket är 00 bar och fetthalten är,8 % respektie 3 %. 3 Kessler. H.G, Food Engineering & Diary Technology 5 th ed, Verlag A. Kessler, 00, ek. 5.8 sid. 9

20 Diameterberäkningar för.8% fett lasermätningsresultat mikroskopmätningsresultat teoretiskt resultat angiet tryck Diameter (mikrometer) Tryck (bar) Figur. Sammanfattning ur simuleringsprogrammet öer åra resultat, där fetthalten,8 % och trycket 00 bar angiits Diameterberäkningar för 3% fett lasermätningsresultat mikroskopmätningsresultat teoretiskt resultat angiet tryck Diameter (mikrometer) Tryck (bar) Figur. Sammanfattning ur simuleringsprogrammet öer åra resultat, där fetthalten 3 % och trycket 00 bar angiits. 0

21 7. Temperaturökning i homogenisatorn 8 7 Samband mellan tryck och temperaturökning Mätärden y = 0.05*x - 3.e-05 Linjär regression Temperaturökning (ºC) Homogeniseringstryck (Bar) Figur 3. Graf öer sambandet mellan homogeniseringstrycket och temperaturökningen. Värdena har bestämts på teoretisk äg. Temperaturökningen i grafen oan (temp_okning.m) fås ur följande samband: 3 p T = (5) * ρ C mjölk C mjölk = 3900J / kg * K ρ = 030kg / m 3 p = homogeniseringstrycket C mjölk = mjölkens ärmekapacitet. ρ = mjölkens densitet. Den linjärt ökande temperaturen till följd a att i ökar homogeniseringstrycket är något som man måste ta hänsyn till om man har en mjölktemperatur som ligger farligt nära den kritiska gränsen kring 70ºC, där proteiner börjar denaturera. I åra försök hade i en god säkerhetsmarginal till denna temperatur, bl.a. just för att undika en temperaturhöjning som skulle kunna passera denna gräns. 3 Kessler. H.G, Food Engineering & Diary Technology 5 th ed, Verlag A. Kessler, 00, ek 5.3 sid 5

22 7.3 Tryckgradienten i homogenisatorn För att undersöka hur trycket förändras på mjölken medan den passerar homogenisatorns entil så skapades ett mindre MATLAB-program, (Tryckgradient.m). Figur 4 isar en skiss, ej i skala, öer entilen, där ätskan flödar från punkt 0 till punkt 4. Figur 4. Skiss öer entilen i homogenisatorn och de punkter i ilka energiekationerna är uppställda. Figuren isar en hal genomskärning a entilen, som i själa erket är cirkulär, jämför med figur. Enligt kontinuitetsekationen gäller följande: Q = (6) A = A = 3 A3 ilket ger: Q = olymflöde (m 3 /s) = hastighet (m/s) A = tärsnittsarea (m ) = r π Q ( h + b tan( a) ) (7) 3 ( h + b tan( a) ) = (8) h r ( h + b tan( a) ) 3 r = (9) h r r r =.3 mm r = 3.03 mm r 3 = 4.03 mm

23 3 Oanstående ärden togs från Fredrik Innings plansch 33 a = inkel id spaltens ingång, 5 34 h = spalthöjd b = r r För att beräkna trycken i de olika punkterna, enligt figur 4, anändes Bernoullis ekation (ekation ): 35 p f k gh p k gh p = + + ρ ρ ρ ρ (0) p = statiskt tryck ρ = mjölkens densitet, 030 kg / m 3 h = spalthöjden g = graitationskonstanten p f = friktionsförluster På grund a turbulent flöde i spalten gäller: = () k = k = Följande ekationer ställdes upp för att beräkna tryckprofilen i MATLAB: E p p h = = 0 () E p = ρ ρ ξ (3) 4 + = D b f E p medel ρ ρ ρ ξ (4) = D L f D b f E p h medel ρ ρ ρ ρ ξ (5) = D L f D b f E p h medel ρ ρ ρ ρ (6) E = totala energin. Detta motsaras bara a homogenisatortrycket då rörelseenergin i det ingående röret kan försummas. 33 Innings Fredrik och Trägårdh Christian, Fluid dynamics of milk homogenisation, Lismedelsteknik, LTH 34 Innings, Fredrik. Drop break-up in high-pressure homogenisers. KFS AB Kemisk apparatteknik, LTH, Formelsamling Transportprocesser 004, sid 36 Kemisk apparatteknik, LTH, Formelsamling Transportprocesser 004, sid

24 D medel = Ett medelärde a hydrauliska diametern från punkt till i skissen oan. D h = *h 37 L = spaltens längd, r 3 r För att kunna utföra beräkningarna i programmet gjorde i följande approximationer och antaganden: Det antas att h och h är samma ilket gör att lägesenergin kan försummas i alla punkter. Flödet antogs kontinuerligt. Fannings friktionsfaktor, f, antogs ara konstant oasett Reynolds ärdet. Engångsförlusten när mjölken går in i entilhuudet antogs ha samma ξ som en T- korsning, ξ =. 38 Engångsförlusten när mjölken går ut från spalten antogs ha samma ξ som id en oändlig areaökning, ξ =. 39 Följande ärden för tryckgradienten erhölls och presenteras i tabell 6. Figur 5 isar ett exempel öer tryckprofilen, i detta fall id 95 bar. Tabell 6. Hastighet, tryck och spalthöjd erhållet ur simuleringsprogram. Tryck V (m/s) V m/s V3 m/s P bar P bar P3 bar P4 bar Spalthöjd (µm) Professor Christian Trägårdh, Adelning för Lismedelsteknik, LTH 38 Kemisk apparatteknik, LTH, Formelsamling Transportprocesser 004, sid 3 39 Kemisk apparatteknik, LTH, Formelsamling Transportprocesser 004, sid 3 4

25 300 Tryckgradient i Homogenisatorentilen 50 Statiskt tryck (bar) Astånd från entilens centrum (mm) x 0-3 Figur 5. Tryckprofil i homogenisatorentilen, id ingående tryck på 95 bar. 5

26 8. Diskussion och slutsatser Innan laborationen fanns många funderingar på hur försöken skulle läggas upp och ilka olika analyser som skulle utföras. Antal försök som kunde utföras begränsades a att arje homogenisering kräde minst fem liter mjölk och det fanns både logistiska och ekonomiska begränsningar. Detta faktum samt att 60 % a mjölken går till spillo är ett problem som försinner id uppskalning. I kontinuerliga processer förekommer stopp och start endast id tätt, eentuella fel och id start/aslut för dagen. Val a tryck baserades på att homogenistatorn bara kunde köras mellan 50 och 300 bar. Teorin ar att fettpartiklarna skulle minska ju mer trycket ökade och utifrån detta skulle homogeniseringarna utföras mellan 00 och 300 bar med jämna interall. Den begränsade mjölkmängden och att fetthaltens betydelse skulle bestämmas ledde till att försöken utfördes id fyra olika tryck. Från tabell kan det ses att en temperaturökning a mjölken fås efter homogenisering, upp till 9 C id de högsta trycken. Detta måste tas hänsyn till om mjölktemperaturen ligger nära den kritiska gränsen kring 70ºC, där proteiner börjar denaturera. I åra försök fanns en god säkerhetsmarginal till denna temperatur, bl.a. just för att undika en temperaturhöjning som skulle kunna passera denna gräns. Figur 3 återger sambandet mellan homogeniseringstrycket och den temperaturökning som fås, ilket bygger på ekation 5. Detta erkar stämma bra med den temperaturökning som försöken ga. Som kan ses i figur 6 och 7, så ga laserdiffraktionen en kraftig minskning a fettdropparnas storlek redan id 00 bar och därefter en knappt märkbar minskning för båda fetthalterna. Till år besikelse så ga de olika fetthalterna mycket likartade resultat och alltså har fetthalten ingen större inerkan på homogeniseringseffektiiteten. Vid 95 bar erhölls en mediandiameter på mindre än 0.3 µm, ilket erkar rimligt id jämförelse med tabelldata hämtad från litteratur. 40 Variansen för den fetare mjölken id detta tryck är äen den anmärkningsärt liten. Dock kan det ur tabell 3 och figur 6 konstateras att den fetare mjölken hade större fettpartiklar innan homogeniseringen hade startat än den magrare mjölken. Detta beror kanske på att man får en ökad koalescens då mjölken innehåller fler fettpartiklar, ds. har en högre fetthalt. En intressant obseration är att ariansen för 3 % icke homogeniserad är betydligt lägre än för.8 % icke homogeniserad. Den fetare mjölken hade alltså redan från början en relatit liten ariation a fettdroppsstorlek. Hade proet låtits återcirkulera genom homogenisatorn hade de ytareaiktade kurorna sannolikt bliit mer normalfördelade med lägre arians och mindre sansning. Återcirkulering minskar äen risken för att fettdropparna återkoalescerar och bildar nya kluster. 4 Det är alltså ingen nackdel att göra detta, men tar gietis längre tid och resulterar i ett större mjölkspill i labbskala. Dessa är äen orsakerna till arför det inte genomfördes någon återcirkulering. Mikroskoperingen ga annorlunda resultat jämfört med laserdiffraktionen, där en mer kontinuerlig minskning a diametern erhölls öer hela tryckinterallet. Förklaringen till att de båda olika analysmetoderna ga så olika resultat kan bero på att mikroskoperingen inte ga tillfredsställande skärpa på bilderna, ilket gjorde det sårt att urskilja de allra minsta partiklarna. Eftersom mätningarna utfördes för hand så ger äen detta en iss osäkerhet. På bilderna ar det sårt att urskilja de minsta partiklarna från bakgrunden. Detta ledde till att 40 Kessler. H.G, Food Engineering & Diary Technology 5 th ed, Verlag A. Kessler, 00, figure 5-3 sid

27 åra beräkningar inte fick med de minsta partiklarna som troligen utgör en stor del a det totala partikelantalet. Detta ger följaktligen ett för högt ärde på medeldiametern. Laserdiffraktionen återger därför den sanna diametern på fettdropparna bäst. Det faktum att fetthalten har liten effekt på homogeniseringen stämmer med ad i fått höra från Skånemejerier. Denna information fick i dock tyärr efter laborationen hade utförts. Med tanke på den kraftiga minskning som laserdiffraktionen ga på fettdroppsstorleken redan id 00 bar, hade det arit intressant att utföra en homogenisering id ett lägre tryck, t.ex. 50 bar. Detta gjordes dock inte p.g.a. att denna etskap inte fanns innan. Det teoretiska resultatet på fettdroppsstorleken som erhölls ur ekation 3, stämmer inte särskilt bra. Denna ekation är bara ett proportionellt samband mellan diametern och parametrar som beror a trycket. Dessutom antogs många parametrar som konstanter p.g.a. att det inte fanns tillräckligt med information om dem. De teoretiskt beräknade gräddningshastigheterna stämmer bra öerens med det isuella testet efter 48 timmar. Ur tabell 5 kan ses att på 48 timmar har fettdropparna för den ickehomogeniserade mjölken andrat 4 cm (.8 %) respektie 8.4 cm (3 %), ilket bör resultera i ett tydligt gräddskikt. Ur figur 9 och 0 i bägarna längst till änster kan detta tydligt noteras. Redan id 00 bar fås en kraftig reduktion a hastigheten, där fettdropparna bara hunnit andra 0. cm (.8 %) respektie 0.4 cm (3 %) på 48 timmar. Mycket riktigt blir skiktningen mycket tunn id detta tryck. Vid de högsta trycken fås en så gott som försumbar partikelandring under den tid som proen fick stå. En anledning till att färgen på mjölken blir itare efter att den har homogeniserats id högre tryck kan ara att fettdropparna blir mindre och fler. Detta gör att de får en större specifik yta som kan täckas a kaseiner, som då reflekterar mer ljus. Vi ställer oss lite frågande till de erhållna trycken enligt tabell 6 och figur 5. Vi hade räknat med ett större tryckfall i spalten än ad i fick. Lägst tryck borde ha inträffat i punkt, eftersom rörelseenergin är som störst där. Istället ble trycket som lägst precis id utmynningen a spalten, trots en minskad hastighet. I årt fall beror detta troligtis på att åra uträknade friktionsförluster äger tyngre än ad de borde. Om kaitation ska uppnås i spalten måste trycket sjunka till mjölkens (attens) ångtryck id ca 50 C, d..s. 0. bar. Som kan ses i tabell 6 ble trycket i denna punkt betydligt högre. Samtidigt kanske ärmeutecklingen i spalten blir så hög att kaitation uppnås id ett högre tryck, men detta är inte särskilt troligt, då mjölken måste hållas under en temperatur på 70 C. Den uträknade spalthöjden stämmer däremot bra öerens med den föräntade. Äen hastigheterna erkar rimliga, där de är låga till en början, men sedan ökar markant när mjölken äl går in i spalten. 7

28 9. Referenser Litteratur Doran. Pauline M, Bioprocess Engineering Principles, Academic Press Limited, London, 00 Farrall. Arthur W, Engineering for dairy and Food Products, Johan Wiley and Sons Inc, New York, 963 Hamley. Ian W, Introduction to Soft Matter, John Wiley & Sons Ltd, Chichester, 004 Kessler H.G, Food Engineering & Diary Technology 5:th ed., Verlag A. Kessler, München, 00 Internet %0PD.pdf, , 060 Örigt Kenneth Andersson, Skånemejerier, Forskning & uteckling ia , , Professor Christian Trägårdh, Adelning för Lismedelsteknik, LTH, samtal Kemisk apparatteknik, LTH, Formelsamling Transportprocesser 004 Fredrik Innings och Christian Trägårdh, Plansch Fluid dynamics of milk homogenization, Food Engineering LTH 8

29 0. Bilagor Mikroskopdiametrar: mikro.m disp(' ') disp('resultat öer diameterberäkningar från mikroskop') disp(' ') % a=,8 ej % b=,8 00bar % c=,8 65bar % d=,8 5bar % e=,8 95bar % f=3 ej % g=3 00bar % h=3 65bar % i=3 5bar % j=3 95bar a=[ ]*000*(0.0/3.5); b=[ ]*000*(0.0/3.5); c=[ ]*000*(0.0/3.5); d=[ ]*000*(0.0/3.5); e=[ ]*000*(0.0/3.5); f=[ ]*000*(0.0/3.5); g=[ ]*000*(0.0/3.5); h=[ ]*000*(0.0/3.5); i=[ ]*000*(0.0/3.5); j=[ ]*000*(0.0/3.5); n=length(a); A=sum(a); a=a/n n=length(b); B=sum(b); b=b/n n=length(c); C=sum(c); c=c/n n=length(d); D=sum(d); d=d/n n=length(e); E=sum(e); e=e/n n=length(f); F=sum(f); f=f/n n=length(g); G=sum(g); g=g/n n=length(h); H=sum(h); h=h/n n=length(i); I=sum(i); i=i/n n=length(j); J=sum(j); j=j/n %,8% yd=[a b c d e];%diameter 9

30 xd=[ ];%tryck % 3% yd=[f g h i j];%diameter xd=[ ];%tryck matris=[xd;yd;yd] plot(xd,yd,'r') hold on plot(xd,yd,'b') hold off xlabel('tryck (bar)') ylabel('medeldiameter (mikrometer)') title('diameterberäkningar från mikroskopbilder') Laserdiametrar: laser.m %medianärden från lasermätning d8ej=( )/3; d800=( )/3; d865=( )/3; d85=( )/3; d895=( )/3; d3ej=( )/3; d300=( )/3; d365=( )/3; d35=( )/3; d395=( )/3; yd8=[d8ej d800 d865 d85 d895]; xd8=[ ]; yd3=[d3ej d300 d365 d35 d395]; xd3=[ ]; matris=[xd8;yd8;yd3] % matris = % % % % plot(xd8,yd8,'r') hold on plot(xd3,yd3,'b') xlabel('tryck (bar)') ylabel('medeldiameter (mikrometer)') title('diameterberäkningar från laserdiffraktion') hold off Flödesberäkningar: Flow.m % a : 00 bar % b : 65 bar % c : 30 bar % d : 95 bar %tid för liter i medelärde a=( )/3; b=( )/3; c=( )/3; d=( )/3; %flöde i liter per sekund tida=/a; tidb=/b; tidc=/c; tidd=/d; %Plottning tryck=[00, 65, 30, 95]; 30

31 tid=[tida, tidb, tidc, tidd]; tid=tid*60 plot(tryck, tid, 'o') title('flöde som funktion mot trycket') xlabel('tryck (bar)') ylabel('flöde (l/min)') tid' Teoretisk temperaturökning: temp_okning.m p =[ ].*00000; c = 3900 %J/kg*K ra = 030 %densitet för mjölk delta_t = p/(c*ra) plot(p,delta_t,'bo') xlabel('homogeniseringstryck') ylabel('temperaturökning') Title('Samband mellan tryck och temperaturökning') Simuleringsprogram: simulering.m disp(' ') disp(' ') disp(' SIMULERINGSPROGRAM FÖR MJÖLK VID 40-45*C HOMOGENISERAD I ALEX.05 ') disp(' ') disp(' ') clear all close all F= input('ange fetthalt ;.8% eller 3% : '); x= input('ange tryck i bar : '); % fel tryck if x<0 disp('felaktigt TRYCK ANGIVET! BERÄKNINGAR BASERAS PÅ TESTER MELLAN BAR') return end % upplysning if x>300 disp('beräkningar BASERAS PÅ TESTER MELLAN BAR, RESULTATEN KAN VARA INEXAKTA!') pause(5) end % % %---mikroskop if F==3; p = 8.469e-006; p = ; p3 =.8037; disp(' ') disp('fettdroppdiametern kommer att bli "D" mikrometer') D_mikroskop = p*x^ + p*x^ + p3 % Ekation tagen från Basicfittning a kura mirkro.m %---laser if x>00 p = e-008; p = 3.05e-005; p3 = ; p4 = 0.938; D_laser = p*x^3 + p*x^ + p3*x^ + p4 % Ekation tagen från Basicfittning a kura laser.m else p = ; p = 3.97; D_laser = p*x^ + p % Ekation tagen från Basicfittning a kura laser.m end %---kuror 3

32 yl=[ ]; % laser 3% ym=[ ]; % mikroskop 3% figure title('diameterberäkningar för 3% fett') hold on % % %---mikroskop elseif F==.8; p = 8.439e-006; p = ; p3 =.4389; disp(' ') disp('fettdroppdiametern kommer att bli "D" mikrometer') D_mikroskop = p*x^ + p*x^ + p3 % Ekation tagen från Basicfittning a kura mirkro.m %---laser if x>00 p = -3.47e-008; p =.48e-005; p3 = ; p4 = ; D_laser = p*x^3 + p*x^ + p3*x^ + p4 % Ekation tagen från Basicfittning a kura laser.m else p = ; p =.707; D_laser = p*x^ + p % Ekation tagen från Basicfittning a kura laser.m end %---kuror yl=[ ]; % laser.8% ym=[ ]; % mikroskop.8% figure title('diameterberäkningar för.8% fett') hold on % fel fetthalt else disp(' ') disp('fetthalten FELAKTIGT ANGIVEN! ENDAST.8% RESP. 3% GODTAS!') return end % teoretisk diameter %--- spalthastighet %---flöde p = -4.07e-008; p = e-005; f = (p*x^ + p); % Ekation tagen från Basicfittning a kura flow.m ho = 3*0^-6; %Höjd m från planch ra = 3*0^-3; %radie m från planch om = ra**pi; %omkrets m ar = ho*om; %area m ha = f /(ar); %hastighet id spalt %--- o = 9*0^-3;%newton/m från ahandling s.0 %mellan atten och fett %ytspänning p = 000; %atten kg/m3 %densitet för ätskefas = *0^-3/000; %m/s från handledare id 40*C %kinematisk ikiskocitet? r = ho**p*ha/(*0^-3); % reynolds tal (/dynamisk ikiskocitet) D_teoretisk = ho/ha * o/(p*) * (/r)^(/3) * 0^6 %beräknad diameter mikrometer % gräddsättnings hastighet df= 95; %kg/m3 - densitet för mjölkfett id 0 C d= 998; %kg/m3 - densitet för atten id 0 C dd= d-df; %densitedifferans i= 005*0^-6; % dynamisk iskositet för atten gr= 9.8; % m/s graitation disp('gräddsättningshastigheten (baserad på laserdiameter) kommer att bli "" meter/dygn') =(D_laser*0^-6)^*dd*gr/(8*i)*(60*60*4) 3

33 % flöde p = -4.07e-005; p = ; disp(' ') disp('flödet kommer att bli "f" liter/sekund') f = (p*x^ + p) % Ekation tagen från Basicfittning a kura flow.m % kuror xk=[ ]; %lasermätningsresultat plot(xk,yl,'m') %mikroskopmätningsresultat plot(xk,ym,'g') %teretiskaresultat s=; for i=0:0:300; %---flöde p = -4.07e-008; p = e-005; f = (p*i^ + p); % Ekation tagen från Basicfittning a kura flow.m ho = 3*0^-6; %Höjd m från planch ra = 3*0^-3; %radie m från planch om = ra**pi; %omkräts m ar = ho*om; %area m3 ha = f /(ar); %hastighet id spalt %--- end o = 9*0^-3;%newton/m från ahandling s.0 %mellan atten och fett %ytspänning p = 000; %atten kg/m3 %densitet för ätskefas = *0^-3/000; %m/s från handledare id 40*C %kinematisk ikiskocitet? r = ho**p*ha/(*0^-3); % reynolds tal (/dynamisk ikiskocitet) teo(s) = ho/ha * o/(p*) * (/r)^(/3) * 0^6; %beräknad diameter mikrometer xteo(s)=i; s=s+; plot(xteo,teo,'b') %resultat YY=[ ]; XX=[x x]; plot(xx,yy,':r') legend('lasermätningsresultat','mikroskopmätningsresultat','teoretiskt resultat','angiet tryck') xlabel('tryck (bar)') ylabel('diameter (mikrometer)') hold off % slut Simuleringsprogram: Tryckgradient.m function residual= Tryckgradient(IN) % för att köra programmet skri % fsole('tryckgradient', ) roh=030; %kg/m3 mjölkens densitet r=0.003; %m ingående rörs radie r= ; %m radie till punkt r3= ; %m radie till punkt 3 Q=0.6e-4; %m3/s 300 bar flöde b=r-r; %längden oanför den sluttande sträckan 33

34 L=r3-r; %m spaltens längd f=0.033/4; %Uträknat från diagram, antar konstant Eps=; % antaget som T-korsning Eps=; % antaget motstånd areaökning h=in(); %gissning på spalthöjden 0=Q/(r^*pi); % beräknad hastighet i ingående röret Phom=e7; %Pa homogenisatorn tryck Pmot=Phom*0.; %Pa mottryck inkel=pi/36; %radianer E=Phom; %+(roh*0^)/; =Q/(*pi*r*(h+b*tan(inkel))); %maxhastighet i punkt med=*0.8 % medelhastighet i punkt D=*h; %Hydrauliskdiameter i spalten Dmed=D+b*tan(inkel); %Hydrauliskmedeldiameter för inklade röret =Q/(*pi*r*h); 3=Q/(*pi*r3*h); med=*0.8 3med=3*0.8 P=E-Eps*(roh*med^)/-(roh*med^)/ % Antar turbulent flöde, P=E-Eps*(roh*med^)/-(roh*med^)/-4*f*(b/Dmed)*(roh*((med+med)/)^)/ % P3=E-Eps*(roh*med^)/-(roh*3med^)/-4*f*(b/Dmed)*(roh*((med+med)/)^)/- 4*f*L/D*(roh*((3med+med)/)^)/ % Antar turbulent flöde, P4=E-Eps*(roh*3med^)/-4*f*L/D*(roh*((3med+med)/)^)/-4*f*(b/Dmed)*(roh*((med+med)/)^)/- Eps*(roh*med^)/ % Antar turbulent flöde +Eps*(roh*^)/ residual()=p4-pmot; 34