Ellära övningshäfte för IF1330

Transkript

1 Ellära övningshäfte för F0 Ersättningsresistans, esistivitet och resistorers temperaturberoende, Serie parallell kretsar, Vridspoleinstrument, Batterier, Kirchoffs strömlag, Kirchoffs lagar, Nodanalys potential, Tvåpolssatsen, Magneter magnetiska kretsar, Transienter, Visare, -metoden, Växelströmseffekt, esonans, Filter, Transformator, nduktiv koppling. William Sandqvist 0

2

3 Ersättningsresistans. Hur stor blir ersättningsresistansen tot för detta nät? (Givet resistorer med resistansvärdena Ω och 0,5 Ω kopplade enligt figuren). tot? [Ω]. Hur stor blir ersättningsresistansen tot för detta nät? Givet: Ω Ω 4 Ω 4 0 Ω tot? [Ω]. Hur stor blir ersättningsresistansen ES för detta nät. Ω, 4 Ω, 6 Ω, 4 Ω, 5 Ω ES? [Ω].4 Beräkna ersättningsresistansen ES för detta nät. esistorerna har värdena 0,5 Ω,,6 Ω, 5, Ω,,7 Ω, 7 Ω och Ω Se figur. ES? [Ω].5 Hur stor blir ersättningsresistansen tot för detta nät bestående av 4 st motstånd?

4 .6 Hur stor blir ersättningsresistansen tot för detta nät bestående av 5 st ihoplödda motstånd?.7 Man bygger en pyramid av resistorer med 5 Ω. Se figuren. Hur stor blir ersättningsresistansen TOT?.8 Hur stor blir ersättningsresistansen TOT för detta nät bestående av 6 st motstånd? TOT? [Ω].9 Två potentiometrar med totalresistansen 0 kω är hopkopplade som figuren visar. Hur stor blir ersättningsresistansen när: a) båda potentiometrarna står i övre ändläget. ES? [Ω] b) båda potentiometrarna står i mittläget. ES? [Ω] c) den ena potentiometern står i övre ändläget, den andra i nedre ändläget. ES? [Ω] 4

5 esistivitet och resistorers temperaturberoende. [V] [ma] [Ω] 58,8 t [ ] 5 En glödlampa med wolframtråd anslöts till ett spänningsaggregat E 0 V. Man noterade sammanhörande värden på spänning och ström under det att man varierade. Se tabell. a) Vilken resistans har Wolframtråden vid 0 V? b) Vilken temperatur har Wolframtråden vid 0 V? c) Vilket värde (ungefär) ska den varierbara resistorn ha för att trådens temperatur ska bli 84? E 0 V 0 ( Det räcker förmodligen med att fylla i en mindre del av tabellen för att kunna beräkna ). Med en strålningstermometer kan man beröringsfritt mäta temperatur. För att kontrollera en sådan termometer riktade man den mot en lysande glödlampa och den visade då temperaturen 80. Glödlampan hade Wolframtråd och matades med spänningen 0 V. Den förbrukade 0, A. Tidigare hade man mätt upp den kalla lampans resistans vid rumstemperaturen till 98 Ω. E 0 V Beräkna glödtrådens temperatur [ ] och svara på om strålningstermometern visade rätt [rätt/fel]. 0b. En doppvärmare, med resistansen 50 Ω vid rumstemperaturen 5, används tillsammans med ett usterbart motstånd, inställbart mellan 0 och 00 Ω. Doppvärmarens motståndstråd är tillverkad av Nickel. De två resistorerna är anslutna till en stabil spänningskälla E V. Se figur. a) Man usterar tills vattnet börar koka ( 00 ). Vilket värde har resistansen då?? [Ω] b) Man läser av 5 Ω. Vilken värmeeffekt tillförs då vattnet via? P? [W] 5

6 Serie parallell kretsar. a) Beräkna den resulterande resistansen ES för de tre parallellkopplade grenarna. b) Beräkna strömmen och spänningen. c) Beräkna de tre belastningsströmmarna och samt spänningen över Ω-motståndet. Ω - 8 Ω E V Ω Ω Ω. Beräkna strömmen och spänningen för figurens serieparallellkrets. 4 Ω E V Ω - 9 Ω 8 Ω 0 6 Ω 4 5. Beräkna strömmen? och spänningen? för figurens serie-parallellkrets. 4 Ω E 0 V? 0,5 Ω 4 Ω 4 Ω,5 Ω? Beräkna strömmen och spänningen för figurens serie-parallellkrets. E 6V 4Ω 4 Ω 5 - Ω 6Ω Ω 7 6

7 Vridspoleinstrument 4. Till mätningar på en likströmsmotor behöver man ett mätinstrument. Man har tillgång till ett vridspoleinstrument som är märkt ma och 80 mv för fullt utslag. (Se figur) nstrumentet har en neutral skala som man sälv kan gradera. a) Vilket seriemotstånd SE ska användas för att instrumentet ska få ett spänningsområde 0-5 V? 4. Man behöver tillverka ett mätinstrument för spänningsmätning 0V och strömmätning A. Man får tag på ett vridspoleinstrument med en skala som har tio skalstreck och som har känsligheten 0 ma för fullt utslag (instrumentets spänningsfall är 50 mv). Det färdiga instrumentet består dessutom av en mätområdesomkopplare och ett seriemotstånd SE och ett shuntmotstånd SH. (Se figuren). a) Beräkna SE (för spänningsmätning mellan kontakterna 0V och om) b) Beräkna SH (för strömmätning mellan kontakterna A och om) c) Man tillverkar shuntmotståndet SH av en konstantantråd med diametern 0,6 mm. Hur lång konstantantråd behövs? 4. Ett stort batteri med E 0 V används i en anläggning som backup vid strömavbrott. Man vill bygga ett enkelt testinstrument för att övervaka batteriet. Man vill mäta strömmen vid underhållsladdning som är max 00 ma, och man vill kunna mäta strömmen vid snabbladdning som kan uppgå till 00 A. Man köper ett visarinstrument som har känsligheten 50 µa och den inre resistansen 400 Ω. Man köper en shunt, SHNT, som har spänningsfallet 00 mv vid 00 A. Dessutom behöver man två resistorer och. Figuren visar inkopplingen av komponenterna vid de två mätningarna. a) Snabbladdning 00 A. Beräkna (antag att har ett försumbart lågt värde vid sidan av och instrumentets inre resistans).? [Ω] b) nderhållsladdning 00 ma. Beräkna. ). har nu det värde Du beräknat under a). (Denna gång kan man antaga att SHNT har ett försumbart värde).? [Ω] 7

8 Batterier 5. För att ta reda på ett batteris inre resistans gorde man två mätningar. se figuren ovan tv. Först mätte man batteriets emk med en bra voltmeter E,4 V, och därefter belastade man batteriet med en resistor 0 Ω och uppmätte då strömmen genom resistorn till ma. a) Hur stor var batteriets inre resistans?? [Ω] b) Vilken största ström MAX skulle man kunna ta ut ur batteriet om detta kortslöts? MAX? [ma] 5. x st seriekopplade celler 0,Ω 0, Ω E,5 V V E,5 V P 50 W ρ, D 0,7 mm l? m Kthl Ett batteri består av x st seriekopplade celler. ellerna har alla E,5 V och 0, Ω. Batteriet ansluts till en doppvärmare som är märkt V 50W. a) Hur många celler ska batteriet bestå av. x? Man vill tillverka en likadan doppvärmare. Till värmeelementet använder man Kanthaltråd. Tråden har diametern D 0,7 mm. Kanthal har resistiviteten ρ Kthl, [Ωmm /m]. b) Hur lång ska tråden vara? l? [m] 8

9 5. En batteridriven utrustning drivs från ett laddningsbart batteri. Batteriet består av ett antal (n st) Nid-celler. (Figuren är förenklad med bara två av de n cellerna utritade.) ellerna har E, V och i 0, Ω. Kapacitetstalet för vare cell är 000 mah. trustningen förbrukar,75 A vid 6 V, hur många celler behöver man? a) n? Batteriet laddas från ett 4 V batteri. Vilken laddningsström ADDN ska man ha om man önskar att batteriet ska snabbladdas på en timme? (Från tomt till fullt, med antagandet att cellernas E är konstant under laddningen). b) ADDN? Vilket värde ska ha för att man ska erhålla denna laddningsström? c)? 5.4 Tre likadana batterier med E 0 V och inre resistansen 6 Ω parallellkopplas för att leverera ström till en resistor med resistansen Ω. a) Hur stor blir strömmen och klämspänningen?? [A]? [V] b) Av misstag vänder man ett av batterierna fel. Använd Kirchoffs lagar för att bestämma strömmarna,, och till storlek och riktning (tecken). Bestäm. ppgiften förenklas om Du slår ihop de två rättvända batterierna till ett batteri på liknande sätt som i a.? [A]? [A]? [A]? [V] 9

10 Kirchoffs strömlag 6. Beräkna de fyra strömmarna och 4. 0 A 4 E Ω Ω Ω Ω Man vet att strömmen från Emk, E, till kretsen är 0 A. Hur stora är strömmarna,,, 4? Hur stor är E???? 4? E? E 0 A 4 6 Ω 8 Ω Ω 4 Ω Kirchoffs lagar 7. Använd Kirchoffs lagar för att bestämma strömmarna,, och till storlek och riktning (tecken). Givet: E 5V Ω E V Ω E 4V Ω 4 5 Ω? [A]? [A]? [A] 0

11 7. Använd Kirchoffs lagar för att a) Bestämma spänningen över (8Ω resistorn). b) Bestämma strömmen till belopp och riktning. c) Bestämma strömmen till belopp och riktning. E 8V E 6 Ω 8 Ω 5 V 7. Använd Kirchoffs lagar för att bestämma strömmen :s och spänningen :s storlek och riktning (tecken). 7.4 a) Ställ med hälp av Kirchoffs två lagar upp ett ekvationssystem med vars hälp de tre strömmarna och kan beräknas. Hyfsa ekvationerna. (Du behöver således inte lösa ekvationssystemet) Om ekvationssystemet löses får man:,87-0,4 8,55 [A]. b) Vad visar voltmetern längst till höger i figuren (ange både spänningens belopp och tecken) [V]? 7.5 Använd Kirchoffs lagar för att bestämma strömmarna,, och till storlek och riktning (tecken). E 7 V? [A]? [A]? [A] 4 Ω 6 Ω E 8 Ω E 4 V 76 5 V

12 Nodanalys, potential, beroende generator 8. En spänningsdelare bestående av tre motstånd 00 Ω, 0 Ω, 0 Ω, matas med en emk E V. Man mäter potentialen (spänningen i förhållande till ord) vid olika uttag på spänningsdelaren. 00 Ω d c Voltmeterns minuspol är hela tiden ansluten till uttag b, ord, medan voltmeterns pluspol i tur och ordning ansluts till uttagen a, b, c, och d. Vad visar voltmetern? Fyll i tabellen nedan. E V 0 Ω 0 Ω b a ttag a) b) c) d) Voltmeter [V] 8. Använd nodanalys för att beräkna strömmarna,, och. 8. Beroende generator Använd Kirchoffs lagar för att bestämma de tre strömmarnas belopp och riktning (tecken).?,?,?. Observera att E är en beroende emk. Den beroende emken E beror av strömmen genom Ω resistorn enligt sambandet E -0.

13 Tvåpolssatsen 9. Ersätt den givna tvåpolen med en enklare som har en emk i serie med en resistor. V A Ω Ω B k Ω 4 k Ω A A 00 V 6 k Ω k Ω E K B B a) Bestäm spänningen mellan A och B (den sk tomgångsspänningen). b) Bestäm den ström som skulle gå genom en ledare med mycket liten resistans, om den kopplas in direkt mellan A och B i figuren (den så kallade kortslutningsströmmen.) c) Bestäm en krets bestående av en emk E K i serie med en resistans (enligt figuren) som är ekvivalent med den givna kopplingen, om denna betraktas från punkterna A och B. d) Bestäm den maximala effektutvecklingen som kan erhållas i ett motstånd inkopplat mellan punkterna A och B. (Använd resultatet från uppgift c.) 9. Använd tvåpolssatsen för att steg för steg reducera nätet till en tvåpol, och sedan beräkna spänningen? 9.4 Använd superposition för att lösa?.

14 9.5 Väl belastningen för största effekt. Hur stor blir effekten? 9.6 a) Ta fram en ekvivalent Thévenin-tvåpol, E 0, till nätet med de två strömkällorna. b) Beräkna därefter hur stor strömmen skulle bli då man ansluter en resistor 4 kω till orginalnätet. 9.7 a) Ta fram en ekvivalent Thévenin-tvåpol, E 0, till nätet med de två spänningskällorna och de tre resistorerna. b) Hur stort är spänningsfallet AB över kω resistorn i den ursprungliga kretsen? 9.8 a) Ta fram en ekvivalent Thévenin-tvåpol, E 0, till nätet med spänningskällan och strömkällan och de tre resistorerna. (6 kω resistorn ingår inte i tvåpolen) b) Hur stor ström skulle flyta i en 6 kω resistor om den anslöts mellan klämmorna A-B? Beräkna strömmen :s storlek och riktning (positiv strömriktning enligt figuren). 4

15 Magneter, magnetiska kretsar 0. En strömgenomfluten spole och en permanentmagnet befinner sig i närheten av varandra. Se figur. Vilken riktning får den resulterande kraften F, attraherande eller repellerande? F? N S 5a 0. ita ut det magnetiska fältet i området mellan de två permanentmagneterna (du ska rita ut några typiska fältliner och markera deras riktning med pilar). a) har man placerat en ärnbit mellan magneterna, och i b) en lika stor kopparbit.. c) Hur påverkas kraften i den magnetiska kretsen av kopparbiten/ärnbiten? a) Järn S N S N b) Koppar S N S N Två magneter skarvas ihop med en ärnstav (Fe) enligt figuren. ita det magnetiska fältet i omgivningen av denna magnetiska krets. Markera fältets riktning med pilar. N S Fe 95 S N 5

16 0.4 a) Vilken riktning har kraften på ledaren i luftgapet? (figuren närmast th.) b) Hur ser det magnetiska fältet i luftgapet ut och hur är det riktat? (figuren längst th.) Skissa magnetens fältliner i figuren, och hur dessa påverkas av ärnbiten och glasbiten i magnetens närhet. Markera även fältets riktning. 0.6 Tre permanentmagneter är placerade i rad som figuren visar. ita in de magnetiska kraftlinerna i figuren. Markera med pilar det magnetiska fältets riktning. S N N S N S Två permanentmagneter är placerade på var sin sida om en lika stor metallbit. Se figur. Metallbiten, i mitten, är av ett material som har permabilitestalet k m. ita in de magnetiska kraftlinerna i figuren. Markera med pilar det magnetiska fältets riktning. S N N S 6

17 0.8 En koppartråd har formats som en slinga och trätts igenom ett papper. Se figuren. Genom slingan flyter en ström på några Ampere med den riktning som pilarna visar. a) ita ut det magnetiska fältet (de magnetiska kraftlinerna). runt trådarna i papperets plan. Markera fältets riktning med pilar. b) Antag att en nålmagnet (en kompassnål) placeras i det streckade området på papperet. ita hur kompassnålen riktar in sig i det magnetiska fältet från trådslingan. N S Figuren visar en försöksuppställning till ett berömt experiment som Faraday gorde. trustningen består av en ärnring med två kopparspolar, den ena spolen är ansluten till en strömbrytare och ett batteri, den andra spolen är ansluten till en lös spole som är lindad kring en kompassnål. a) Vad händer med kompassnålen när strömkretsen sluts? b) Vad händer med kompassnålen när strömkretsen bryts? ita en figur, och motivera dina svar. 0.0 En ström-mätare består av en ferritring (toroid). Genom ringen går en ledning med mätströmmen. edningen bildar ett lindningsvarv ( N ) eftersom en ström alltid kräver en sluten strömkrets (resten av spolvarvet finns utanför bilden). ringen finns ett [mm] luftgap där man har monterat en magnetfälts-sensor. Toroidkärnan är av ett ferritmaterial som har permabilitetstalet k m 500. De magnetiska fältlinernas medelväg l 0 [mm], och toroidens tvärsnittsarea a 0 [mm ]. a) Ställ upp sambandet mellan flödestätheten B och mätströmmen. B f ( ). b) Hur stor blir flödestätheten vid 0A? N S 8 7

18 0. En strömgenomfluten ledare har placerats i luftgapet mellan polerna hos en elektromagnet med ärnkärna (se figuren). Det magnetiska flödet i kretsen har med en fluxmeter uppmätts till 50 µwb. Järnkärnan har kvadratiskt tvärsnitt med arean cm. Det magnetiska flödets medelväg är i ärnet dm och i luften mm (streckad line). Vid den aktuella flödestätheten har ärnet permabilitetstalet k m 500. a) Hur stor kraft [Newton] verkar på ledaren när strömmen är 0 A? b) Hur stor magnetomotorisk kraft F m [Ampervarv] behövs det för att erhålla den aktuella flödestätheten? (uftgapet i figuren har ritats med överdriven storlek) F m 0. Φ l a B [T ],8,6 M agnetiseringskurvor P lå tk lip p G u ts tå l N,,0 Givet: a 0 - m l 0,6 m (medelväg) N 400 varv Material: Gutärn, se magnetiseringskurvan a) Bestäm den ström som ger toroidkärnan i figuren ovan det magnetiska flödet Φ 80-4 Wb. b) Bestäm permabilitetstalet k m för gutärnet i denna arbetspunkt. 0,8 0,6 0,4 0, G u tä rn uft H [A t/m ] 0. En hårddisk består i princip av en roterande skiva med en magnetiserbar ärnoxidbeläggning. Se figur. nformationen skrivs in magnetiskt med hälp av en kort strömpuls till skrivhuvudet. Järnoxiden magnetiseras så att den får en S-pol och en N-pol med samma yta som skrivhuvudets poler. N 0 varv 40 ma a 4 mm. Kvadratiskt tvärsnitt. l 0, µm. uftgap. Antag att både ärnoxiden och skrivhuvudet har så hög permabilitet att reluktansen i dessa är försumbar ( märn 0) i förhållande till luftgapets reluktans ( mluft ). oterande skiva a) Hur stort blir det magnetiska flödet Φ? b) Huvudet används även vid läsning. Hur stor emk induceras i spolen när skivan roterar förbi? Antag att datainformationen består av en flödesskillnad på den magnetiserade skivan som uppgår till Φ Φ och som passerar förbi under tidsintervallet t 00 µs (Φ beräknad i deluppgift a). S krivhuvud v 6 N S N S N a l 8

19 0.4 En toroidspole med N 50 varv är lindad runt en kärna av Wolframstål. Den magnetiska medellängden i kärnan är l 0, [m]. Genom spolen passerar likströmmen,04 A. a) Hur stor blir flödestätheten i Wolframstålet? B? [T, Wb/m ] b) När man bryter strömmen till spolen blir det kvar en del magnetism i Wolframstålet. Hur stor blir den kvarvarande flödestätheten (remanensen)? B? [T, Wb/m ] c) Hur stor motriktad ström måste man tillföra spolen för att avmagnetisera Wolframstålet?? [A] N Φ l B [T],5 0, H [At/m] 77 Magnetiseringskurva för Wolframstål - hysteresiskurva 9

20 0.5 Φ l a Magnetiseringskurvor för omättat ärn (vid låg fältstyrka) N B [T] 0,8 Plåtklipp Gutstål En toroidspole består av en lindning med N 500 varv lindad hela varvet runt en ring av gutärn (se diagrammet). Toroiden har tvärsnittsarean a 80-5 m och fältlinernas medelväg i ärnet är l 0, m. För låga strömstyrkor blir ärnet omättat och induktansen kan då beräknas med formeln: µ N a l a) hur stor ström flyter genom spolen om flödet i kärnan är Φ 0-5 Wb?? [A] b) Beräkna toroidspolens induktans.? [Henry] c) Hur stor skulle induktansen bli om spolen saknade ärnkärna (luft i stället för ärnkärna)?? [Henry] 0,7 0,6 0,5 0,4 0, 0, 0, Gutärn H [At/m] 0

21 Transienter. En kondensator 000 µf är seriekopplad med två resistorer som vardera har resistansen kω. Vid tiden t 0 ansluts en likspänningskälla med E 0 V till kretsen. Vid vilken tidpunkt ( t? ) har de tre komponenterna lika stor spänning över sig? E 0V t µ F kω k Ω. En kondensatorer, 0µF, laddas upp från en likspänningskälla E V. ppladdningsströmmen begränsas med två parallellkopplade resistorer 5 kω och 5 kω. ppladdningsförloppet startas genom att strömställaren sluts vid tiden t 0. a) Vilken tidkonstant τ har kretsen under uppladdningsförloppet? b) Hur lång tid tar det tills strömmen genom sunkit till ma? E V t 0 5 k Ω 5 k Ω 0 µ F. Två kondensatorer med samma kapacitans, µf, laddas upp från en likspänningskälla E 0 V. ppladdningsströmmen begränsas med en resistor MΩ. ppladdningsförloppet startas genom att strömställaren sluts vid tiden t 0. a) Vilken tidkonstant τ har kretsen under uppladdningsförloppet? b) Hur lång tid tar det tills spänningen över en av kondensatorerna nått V? E 0V 78 t 0 µf µf MΩ.4 En spole med induktansen 0,8 H och den inre resistanser Ω är via en strömställare ansluten till en likspänningskälla E V. Vid tiden t 0 sluts strömställaren. a) Hur stor är strömmen i genom kretsen efter en tiondels sekund? i( t 0, )? [A] b) Hur stor skulle strömmen vara efter en tiondels sekund om vore dubbelt så stor 4 Ω? i ( t 0, )? [A] E t 0 i ( t 0,)?.5 Före tiden t 0 är likspänningskällan E V ansluten till och. Vid tidpunkten t 0 bryts anslutningen till E. Antag att 0 Ω och att 0000 µf. a) Hur lång tid tar det efter t 0 för spänningen u(t) över resistorn att sunka till V? b) Hur lång tid efter t 0 uppskattar du att det tar tills strömmen genom upphört? E V t 0 u (t ) -

22 .6 E är en likspänningskälla. Vid tidpunkten t sluts strömställaren. a) Hur stor blir strömmen genom spolen i första ögonblicket? b) Hur stor blir strömmen genom spolen efter det att en lång tid förflutit? Senare, vid tidpunkten t öppnas strömställaren. c) ställ upp utrycket för strömmen genom spolen som funktion av tiden t för tiden efter t. (Antag att strömställaren öppnas vid t t 0). E 0 V Ω t t H 00 Ω.7 Före tiden t 0 är kondensatorn via omkopplaren ansluten till 5V. Vid tidpunkten t 0 kastas omkopplaren om och kondensatorn ansluts till 5 V. Antag att 000 Ω och att 000 µf. a) Hur lång tid tar det efter t 0 för spänningen att nå 0 V? b) Hur lång tid efter t 0 uppskattar du att det tar tills strömmen genom upphört? 5 V t 0 5 V -.8 Vid tiden t 0 sluts kontakten mellan spänningskällan E 0 V och kondensatorn 500 µf som är seriekopplad med resistorn 500 Ω. t 0 a) Efter hur lång tid är spänningen över resistorn V? b) Efter hur lång tid är spänningen över kondensatorn V? E 0 V 08.9 Vid tiden t 0 sluts kontakten mellan spänningskällan E V (en likspänning) och spolen H som är seriekopplad med resistorn 00 Ω. a) Hur stor blir strömmen i det första ögonblicket i(t 0)? b) Efter hur lång tid har strömmen nått hälften av sitt slutvärde? i ( t ) 00 Ω E V t 0 H 66b.0 Två seriekopplade kondensatorer, 5µF och 5µF, laddas upp från en likspänningskälla E 5 V. ppladdningsströmmen begränsas med en resistor 0 kω. ppladdningsförloppet startas genom att strömställaren sluts vid tiden t 0. a) Vilken tidkonstant τ har kretsen under uppladdningsförloppet? b) Hur lång tid tar det innan spänningen når V? E 5 t 0 -

23 . En resistanstermometer används för att mäta temperaturen på ytan till en förbränningsmotor. När motorn är varm läser man av 76 Ω, och när motorn svalnat i 0 minuter läser man av 9 Ω. Efter en lång tid (som man inte kan uppskatta) kommer motorn att ha svalnat till omgivningens temperatur. Omgivningstemperaturen har uppmäts med en vanlig termometer till 5. Temperaturen ϑ [ ] under avsvalningsförloppet föler en exponentialfunktion med en tidkonstant τ, så den allmänna formeln för exponentiella förlopp kan användas. För resistanstermometern (av Platina) gäller sambandet: ( ϑ) 00 (, 850 ϑ) [ Ω ] Bestäm avsvalningsförloppets tidkonstant. τ? [minuter] E 00V 600kΩ 400kΩ,µF On 65V Off 55 V Kretsen ovan är en blink-koppling med en glimlampa (den var vanlig vid tiden före lysdioderna). Kondensatorn laddas upp. Glimlampan tänds när spänningen över den blir högre än 65 V. Den laddar då snabbt ur kondensatorn till 55 V, och då släcks lampan. a) Från böran är kondensatorn urladdad. Beräkna hur lång tid det tar tills den första luspulsen kommer, efter det att man slagit till strömställaren S. b) Därefter kommer kretsen att blinka med en konstant frekvens, se oscilloskopbilden. Beräkna hur lång tiden blir mellan blinkningarna? c) Antag att man tar bort resistorn från kretsen. Hur lång blir då tiden mellan blinkningarna?

24 Visare. En sinusformad storhet har maxvärdet 6,0 och blir gånger per sekund. Tiden t 0 är vald så att storheten vid den tiden har värdet,0 och är på väg mot 6,0. Ange storheten i a) matematisk form b) vågform c) visarform. Bestäm fasvinkeln för i, om i (t) 5 sin( πft ) i (t) 7 sin( πft 0,65 ) i (t) 6 sin( πft -, ) i i i i Z Z Z 8. För den givna kretsen har man det utritade visardiagramet. Bestäm och X samt Z AB. Givet 00 V och 67 ma. 7 67mA 00V? Z AB A B X? 9.4 Kretsen i figuren matas med en sinusformad växelspänning. 00 V, f 50 Hz. Spolen har induktansen 0,8 H och de två resistorerna 00 Ω och 50 Ω. a) Beräkna X. b) ita visardiagram för denna växelströmskrets. Visardiagrammet ska innehålla. Förslag: som riktfas. Visarnas längder ska vara, åtminstone överslagsmässigt, proportionella. c) Markera vinkeln ϕ i visardiagrammet, vinkeln mellan och. 4

25 .5 ita kretsens visardiagram. Spänningsskala V per ruta, strömskala A per ruta. 5

26 .6 ita visardiagram för kretsen i figuren. Vid den aktuella frekvensen gäller att X och X /. Visardiagrammet ska innehålla. Markera även fasvinkeln ϕ (vinkeln mellan och ). är lämplig riktfas. X - X -.7 Figuren visar en spänningsdelare. Denna matas med en växelspänningen och utspänningen är spänningen. Vid den aktuella frekvensen är spolens reaktans X. ita kretsens visardiagram med, och. Använd som riktfas ( horisontell). (Sträva efter att få rätt proportioner på visarna) X 07 6

27 -metoden. Ställ upp det komplexa uttrycket för strömmen uttryckt i. åt vara riktfas, dvs. reell. Svara med ett uttryck på formen ab.. Hur kan den impedans Z se ut som har givit upphov till detta visardiagram? ita impedansens kopplingsschema och beräkna de ingående komponenterna. 0 V, f 50 Hz.. är en sinusformad växelspänning med vinkelfrekvensen. Bestäm produkten. (ngen ström tas ut vid ).4 Bestäm effektivvärdet på strömmen. Använd tvåpolsatsen..5 När en resistor och en kondensator ansluts i parallell till en spänningskälla får var och en av dem strömmen A. Hur stor skulle strömmen bli om de båda seriekopplades till spänningskällan?.6 Bestäm komplexa impedansen Z AB för nätet. 7

28 .7 Ställ upp komplexa strömmen (med som riktfas). Observera! Man behöver inte alltid ange svaret på formen ab. Samma information, men med mindre möda, finns om svaret uttrycks som en kvot av komplexa tal. Belopp och argument kan vid behov tas från nämnare och tälare direkt. a c b d a b c d arg ( ) arg( a b) arg( c d ).8 Ställ upp komplexa strömmen (med som riktfas)..9 Beräkna impedansen Z. Beräkna strömmen. Beräkna (använd strömgreningsformeln). Beräkna (använd spänningsdelningsformeln)..0 En växelströmskrets ansluts till växelströmsnätet med 0 V och f 50 Hz. 46 Ω,, r,5 Ω och 69 µf. a) Beräkna b) Beräkna c) Beräkna r d) Beräkna 8

29 . En växelspänning N med frekvensen f 000 Hz matar ett nät med en induktans 0 mh i serie med ett motstånd 50 Ω. Parallellt med detta ligger ett motstånd S 00 Ω. Givet är spänningen T 6,8 V. a) Beräkna b) Beräkna c) Beräkna N d) Beräkna 9

30 Växelströmseffekt 4. Ett lysrör är i allmänhet seriekopplat med en induktor, vars funktion bland annat är att begränsa strömmen. En modell av ett lysrör kan därför bestå av en resistans i serie med en induktans. För ett 40W-lysrör med induktor mätte man upp fölande data: 0 V, 50 Hz, 0,4 A och 48 W. a) Beräkna impedansens belopp, Z. b) Beräkna (genom att först beräkna ) c) Beräkna cosϕ. d) Med hur stor kondesator ska lysrörsarmaturen faskompenseras? 4. En student bor i en :a med nätspänningen 0 V och med 0 A säkring i elcentralen. Kan man dammsuga i lägenheten med värmeelementet är inkopplat utan att säkringen går? Dammsugarens ström är 5 A och effektfaktorn cosfi är 0,8. Värmeelementet har effekten 00 W. 4. Kretsen i figuren matas med växelspänning. När strömställaren står i till-läge är den aktiva effekten som utvecklas i kretsen,5 W. Hur stor aktiv effekt utvecklas i kretsen då strömställaren är i från-läge? 4.4 Ställ upp uttrycket för den aktiva effekten P för denna impedans. 4.5 a) Tag fram ett uttryck för den komplexa strömmen. b) Antag att kapacitansen fördubblas. Hur förändras effekterna i resistorerna a b och c. Ökar? Minskar? Oförändrat? 4.6 Man mäter den effekt som en enfasmotor drar med hälp av en Wattmeter. P 86 W, 7 V och 4, A. Nätfrekvensen f är 50 Hz. a) ita motorns effekttriangel P, Q, S, (cosϕ), ϕ. b) Man funderar på att faskompensera motorn. Vilken kapacitans ska en kondensator ha, för att leverera lika stor reaktiv effekt Q som motorn förbrukar? (Kondensatorn anslutes direkt till spänningen 7 V vid motorn, och Q har det värde Du beräknat under a). 0

31 esonans 5. en krets är, och seriekopplade. Man uppmäter samma spänningsfall, V, över de tre komponenterna. Hur stor är matningsspänningen? (OBS! Kuggfråga) V? V V 5. en krets är, och parallellkopplade. Man uppmäter samma ström, A, i de tre parallellgrenarna. Hur stor är den ström,, som tas från spänningskällan?? A A A (OBS! kuggfråga) 0 5. Vid vilken frekvens ( uttryckt i och ) är strömmen och spänningen i fas? 5.4 En serieresonanskrets har resonansfrekvensen f Hz och bandbredden BW 00 Hz. a) Beräkna kretsens Q-värde. b) Spolens resistans uppmäts till S Ω. Hur stor är X? c) Beräkna och. d) ppskatta bandbreddens undre och övre gräns. Kontrollera att uppskattningen blev rimlig. 5.5 En parallellresonanskrets matas från en strömgenerator som levererar 80 ma vid resonansfrekvensen f 0 0 khz. a) Kontrollera att spolens Q >0. äkna om serieresistansen r till parallellresistans. b) Hur stor blir den resulterande impedansen (källaresonanskrets) vid resonansfrekvensen? c) Beräkna strömmarna r och. d) Vilka värden har och? e) Beräkna resulterande Q-värde och bandbredd.

32 Filter 6. En spänning består av en sinusformad växelkomponent med frekvensen 50 Hz och effektivvärdet 0 V, överlagrad på en ren likspänning på 0 V. a) Skissera spänningens förlopp i figuren. b) Vilka är spänningens extremvärden ( max min )? c) Vilket är spänningens medelvärde ( medel ), och hur mäter man det med en DMM, tex. Fluke 45? d) Hur mäter man växelspänningskomponenten med en DMM, tex. Fluke 45? e) Beräkna spänningens totala effektivvärde. Hur mäter man det med en DMM, tex. Fluke 45? [V] t [ms] Figuren visar hur utspänningen från en växelspänningsvariator ("dimmer") ser ut när den är inställd på sitt mittläge. Vilken restfaktor (toppvärde/effektivvärde) har denna signal? (Jämför med vad Du vet om sinusspänningen). 6. Ställ upp ett uttryck för (,,, ).

33 6.4 Wienbryggan förekommer ofta som återföringsnät i förstärkarkopplingar. (De två, och de två är lika). Vilket värde går mot vid höga, respektive låga frekvenser? För vilket värde på f (uttryckt i och ) ligger i fas med? Hur stor är kvoten vid denna frekvens? Mätobektet har den inre resistansen 0 kω. Oscilloskopkabeln har kapacitansen K 60 pf. Oscilloskopet har in-impedansen MΩ 40 pf ( M och M ). Hur stort blir felet när den uppmätta signalen har frekvensen 00 KHz? ( Oscilloskopet uppges ha bandbredden 50 MHz. ) 6.6 Till oscilloskopet i föregående uppgift skaffar man en dämp-prob. Siffervärden: K M pf M MΩ a) Kan man väla och så att och är i fas? Det är viktigt att oscilloskopet gör en fasriktig avbildning av? b) Hur stor blir probens kapacitans, den kapacitans mätobektet ser? 6.7 Figuren visar Wienbryggan baklänges. a) Tag fram filtrets överföringsfunktion. b) ( Skissa beloppsfunktion och fasfunktion. ) c) Vilket belopp och vilken fasvinkel har överföringsfunktionen när /?

34 Transformatorn 7. 0 V, 50 Hz och 0, A. Beräkna och. 0, A 0 Ω :? 0 V? 7. Fyll i nedanstående tabell: 0 V 60 W 0 : 0 V S S ampa 7. För en transformator i drift uppmättes fölande data: Primär Sekundär N N V? 00? 9 A Beräkna de två värden som saknas. 7.4 För en transformator i drift uppmättes fölande data: Primär Sekundär N N? 0 V A 50? A Beräkna de två värden som saknas. 7.5 För en transformator i drift uppmättes fölande data: Primär Sekundär N N V?? 7 V 9 A Beräkna de två värden som saknas. 4

35 7.6 Beräkna strömmen. 7.7 Beräkna totala induktansen hos tre seriekopplade spolar som placerats så att de nås av delar av varandras flöden. 5 [H], 0 [H], 5 [H], M [H], M [H], M [H]. TOT? [H]. 7.8 Tre induktorer, 6, 5 [H] seriekopplas. När man seriekopplar induktorer kan placeringen på kretskortet ha betydelse. figuren till vänster a) kommer induktorerna att ha en del av kraftlinerna gemensamma. De har ömsinduktanserna M, M, M [H]. figuren till höger b) är induktorerna monterade tredimensionellt så att det inte finns några delade kraftliner. a) Beräkna totala induktansen för arrangemanget i figur a). TOT? b) Beräkna totala induktansen för arrangemanget i figur b). TOT? 5

36 6

37 ösningar Ersättningsresistans. tot (0,5 0,5) Ω 0,5 0, ( 4) 05 tot 0 Ω ES, Ω.4 7 5,,7 7 ES 0,5,6 4, 6 Ω 7 5,,7 7.5 De tre motstånden är parallellkopplade. [kω] :,, 5,7. Motståndet 4 är parallellkopplat med en kortslutningstråd (0), Totalt får vi tot,, 0 5, 7 kω De fyra motstånden 5 är parallellkopplade.,, 4, 5 4 Ω och därefter seriekopplade med. tot 4 6 Ω TOT Ω Kretsen består av två likadana parallellgrenar. En parallellgren har ersättningsresistansen: 05 ES Varav totala resistansen: TOT 6 6 Ω.9 a) b) c) 5 k Ω 5 k Ω 0 k Ω 0 k Ω 0 k Ω 0 k Ω 5 k Ω 5 k Ω 7

38 esistivitet och resistorers temperaturberoende. [V] [ma] [Ω] 58,8 66,7 75,5 8, 87,9 9,5 00,8 07,7,5 0 t [ ] 5 54,6 87,9 09 4,9 55,8 8,7 09,6,5 56, 0 a) 9, 5 Ω , 5 58, 8 b) α ( t t) t t 5 55, 8 α 58, 8 4, 50 c) Vi gissar på ett stegs högre spänning dvs. V, och får då 00, 8 Ω , 8 58, 8 t 5 8, Gissningen gick hem! Över det varierbara motståndet ligger 58, 8 4, 5 0 då spänningen E 0 8 V, varav 8 / , Ω.. 0 0, 8 Ω 98 Ω α 4,5 0 t α( t t) t,5 98 4,5 0 Strålningstermometern visade således c:a 60 fel!. a) α N 6,70 - koka rum rum α N ( tkoka trum) , , Ω b) E 0, A P 0, 75,,08 W 75, 5 00, Serie parallell kretsar. a) ES Ω b) 4 A, 8 V c) A, A, A, 6 V. Vi beräknar två ersättningsresistanser. 4, 8 Ω Ω 4,4, kan beräknas med spänningsdelningslagen:, 8 E 8,7V,,4,5 8 E Spänningen över, 4, 5 E 8, 7, 7 V varav, 7 / 6 0, 55 A. 5 8

39 . 4 ( 0, 5, 5) tot 4 E 0 5 tot A 4 ( 0, 5, 5) tot 5 Strömmen fördelas mellan tre parallellgrenar: 4//4//. Över dessa ligger spänningen 0, 5 E tot V. Vi får 0, 5 A och 0, 5 V 4 0, 5, 5.4 Vi beräknar en ersättningsresistans. 6 ( ), 4, 5 Ω 6 6 V. kan beräknas med spänningsdelningslagen:, 4, 5 6 V varav / 6 A,, Spänningen över 5 kan beräknas med spänningsdelning: V 4 5 Vridspoleinstrument 4. Förkopplingsmotstånd 5V-område: SE 5V/mA 5 kω 4. a) Förkopplingsmotstånd 0V-område: SE 0V/0mA kω (eg. 995 Ω) b) Shunt för A-område: SH 50mV/A 50 mω π D π 0, 6 l D c) a 500 ρ π ρkonst 0, 5 l 4 4 a 4 ρ 0, 5 8, mm 4. Snabbladdning 00A. Spänningsfallet över shunten är 00 mv. (esistorn får försummas). 0, ( 0 400) Ω. nderhållsladdning 00 ma. Spänningsfallet över ska vara 00 mv. (Shuntresistorn får försummas). 0, 0, Ω. (Är förenklingarna godtagbara? Ja, är försumbar vid sidan av 600. Shunten SHNT 0,/00 0,00 är försumbar vid sidan av.) 9

40 Batterier 5. a) E 0, 4, 4 0, 8 Ω 0 0, b) E, 4 MAX, 0 A, 8 5. P, 88 Ω P , 7 A, a) x (, 5 ) x, , 7 0, π D l b) A A π D ρ l 4 0, 85 m 4 ρ Kthl 5. a) 6, 75 n E n i 0 6 n 8 st E i,, 750, b) Vid seriekoppling ökar effekten medan kapaciteten blir densamma. 000 mah. t t A c) 4 8, 80, 0 4 8, 80,,47 Ω 5.4 Tre lika batterier kan slås ihop till ett med E 0V och 6/ Ω. a) 0/( ),5 A.,5 5 V. b) Två lika batterier slås ihop till ett med E 0V och 6/ Ω. Kirchoffs strömlag ger: 0 Kirchoffs spänningslag runt två maskor ger: På matrisform: ,78 A,94 A 0,8 A 0,8,67 V 40

41 Kirchoffs strömlag 6. 5 A,,5 A,,5 A och 4 5 A TOT, 6 Ω E TOT, 6 0 6, V E 6, 4 6,55 A 4 0 6, 55,45 A 4 4 E 6 6,, 456 5, 5 5, 5 0,69 A,75 A Kirchoffs lagar 7. Kirchoffs strömlag ger: 0 Kirchoffs spänningslag runt två maskor ger: E 4 E E På matrisform: ösning: - A A - A 7. a) Över 8Ω-resistorn ligger E 8 V. ( -8/8 - A motsatt riktning den som antagits i figuren) E E 6 b) E E 0 A. 6 är således riktad i motsatt riktning den som antagits i figuren. c) 0 A 4

42 7. Kirchoffs strömlag ger: 0 Kirchoffs spänningslag runt två maskor ger: E 0 0 E På matrisform: 0 0 ösning:, A,89 A 0,44 A 40,44,78 V Kirchoffs strömlag: 0 Kirchoffs spänningslag (vänstra slingan): hyfsa: 0 5 Kirchoffs spänningslag (högra slingan): hyfsa: Ekvationssystemet på matrisform: , a) 0,4 8, 55 b) Spänningen över voltmetern -E ,55-48,75 V 7.5 Kirchoffs strömlag ger: 0 Kirchoffs spänningslag runt två maskor ger: E E E E På matrisform: ösning:,56 A 0,A,46A 4

43 Nodanalys, potential, beroende generator , 64 V 4 V 4, 7 V ttag a) b) c) d) Voltmeter [V] -4, ,64 7, E V 48 0, ,67 6 0,67,67 8. Beroende generator Kirchoffs strömlag: 0 Kirchoffs spänningslag (slingan med oberoende emk): 0 0 Kirchoffs spänningslag (slingan med beroende emk): ( 0 ) ( siffervärden är de samma som i kursens genomgående föreläsningsexempel ) 4

44 Tvåpolssatsen 9. E K V, Ω 9. 6(4 ) 8 a) ,67 66,67 50 V 6(4 ) b) c) (4 4 6) 4,5 kω K, ma ,5 4 6 d) X E0 50 P 4 4 4,5 0 0,4 W 9. (5 8), , ,5 6,67,49 V 0,5,7 9.4 E 6 ' '' K En nedvriden strömgenerator blir ett avbrott! fås En nedvriden emk blir en kortslutning. fås med med OHM s lag. strömgrening. 6 8 A 9.5 P MAX E , ,5 5 5, W E 0 E

45 9.6 5mA kω 0VkΩ, 4mA kω 4VkΩ 6V6kΩ 9.7 E 0 6 0,75 ma 6 kω kω kω kω Antag att A och B kortsluts. Den trede kω resistorn blir då strömlös. V 6V 8 ma kω kω 0 K K E0 K Spänningsfallet AB är lika med E E 8 6V Strömgeneratorn och kω resistorn kan göras om till en spänningskälla. Hela nätet blir då en V spänning med en spänningsdelare. E 0,4 V, Ω k 0 Tomgångsspänningen blir 0,4V, och den inre resistansen kω kω,kω. Observera att spänningskällan 0,4V är motriktad definitionen i den ursprungliga figuren. Till sist blir strömmen (elektronikstorheter: ma kω V) -0,4/(,) -0,5 [ma] 45

46 Magneter, magnetiska kretsar 0. Högerhandsregeln: Om du håller om spolen med höger hand så att fingrarna pekar i strömmens riktning, kommer tummen att peka mot nordändan. Kraften blir attraherande eftesom elektromagnet och permanentmagnet vänder olika poler mot varandra. N S N S 0. a) Järn b) Koppar S N S N S N S N 64a c) Det magnetiska motståndet, reluktansen M minskar om det är en ärnbit mellan magneterna. Det magnetiska flödet och flödestätheten ökar. Kraften på magneterna ökar. Kopparbiten påverkar den magnetiska kretsen obetydligt. 0. S Fe N 0.4 Elektromagnetens nord- och sydpol bestäms med högerhandsregeln. Den strömförande ledarens fält med skruvregeln. Till vänster om ledaren förstärks fältet, till höger försvagas det. Kraften blir riktad ut ur elektromagneten. F m S N F S N F 0.5 ärnbit N S 9b glasbit 46

47 0.6 S N N S N S 8b 0.7 Metallbiten har permabilitetstalet k m, det vill säga samma som för luft. Den påverkar således inte magneterna. Magneternas avstånd från varandra är stort, så magnetfälten blir som från helt ensamma magneter. S N N S 8c 0.8 S N 7s 0.9 När man sluter strömkretsen skapas ett magnetiskt flöde i ärnringen. Denna förändring (från inget flöde till flöde) transformeras över till spolen med kompassnålen där denna vrids till läge (högerhandsregeln). Efter ett kort tag, blirt flödet konstant i ringen och då upphör förändringen och kompassnålen återvänder till ursprungsläget. När man bryter strömkretsen vippar kompassnålen på motsvarande sätt åt andra hållet. Φ N N Φ Φ 0.0 a) Φ Fm l 7 B Φ Fm N m µ km µ µ 0 4π 0 a m µ a l la la l la( km ) mfe ma m mfe ma µ 0 km a µ 0 a µ 0 km a Φ Fm N N µ 0 km N B Φ Fm N B a a l la k m m ( m ) a l la( km ) µ k a 0 m 47

48 b) 7 µ 0 km N 4 π B l l ( k ) A B,880 m 0,88 [ mt], a) a 0-4 [m Φ 50 0 ] Φ 50 µwb B 0, 5 Wb / m a -4 0 F B l 0, 5 0 0, 0 0, 05 N. ljärn 0, 5 b) mjärn 5, 0 A / Wb km µ a π 0 0 l gap 0 7 mgap, 59 0 A / Wb µ a π 0 0 m mgap mjärn, A / Wb Φ F m 6 7 Fm Φ m 50 0, At m 0. a) Om flödet Φ 80-4 Wb i toroiden, är flödestätheten B 4 Φ 8 0 0, 4 [T, Wb / m ] a 0 r magnetiseringskurvan för gutärn avläser vi att detta kräver fältstyrkan H 800 At/m. H N H l 800 0, 6 0, A l N 400 B 0, 4 b) Permabiliteten för materialet ges av µ 50 4 och permabilitetstalet av H µ 50 k m µ 0 4π a) Fm N , 4At ( märn 0 ) 6 l 0, 0 m 79, 6 ka / Wb µ a π 0 40 F OHMs lag för den magnetiska kretsen: Φ m 0, 4 m 79, 60 5 µ Wb b) Flödesförändringen inducerar samma spänning i alla lindningsvarven (N 0). e Φ 5 0 N 0 t V 48

49 0.4 a) H N 50, [ At / m ] l 0, r diagrammet B,6 [T, Wb/m ] b) emanenta flödestätheten avläses till B, [T, Wb/m ] c) Avmagnetisering kräver H [At/m] H l 50000, 0,8 [ A ] N 50 B [T],6, H [At/m] s 0.5 e dφ N d Φ N e d i d t d i dt Φ N µ an µ an d Φ B B µ Φ d Φ di µ N a a l l l di l µ N a l B a) r diagrammet: µ 0, l, Φ 0, 0 0,058 A H 700 µ an 4 5 4, b) Järnkärna: N a µ 4 5 4, , mh l 0, µ 4 0 4, 9 0 c) uft: µ µ 0 Järn 0, 086 0,5 mh µ 7 4 π

50 Transienter. När de tre komponenterna har lika stor spänning över sig blir denna 0, V. De två resistorerna kan slås ihop till ett kω. Vi låter (t) vara x(t) i formeln för exponentiella förlopp. Begynnelsevärdet (t) 0 (kondensatorn tom från böran) Slutvärdet ( t ) 0 V (kondensatorn uppladdad till fulla spänningen efter lång tid) τ s. t x( t) x ( x x0 )e τ t t ( t) 0 ( 0 0)e τ ( t) 0 0e , e, t ln( 0, 667) 0, 5 t t 0,405 0,8 s 0,5. De två resistorerna kan slås ihop till ett Ω. 5 5 a) Tidkonstanten blir: τ ,08 s. b) När strömmen genom är ma är den ma genom. De båda resistorerna är parallellkopplade och har samma spänning över sig. Strömmarna blir då omvänt proportionella mot resistanserna. Den totala strömmen är då TOT 4 ma. Väl tex x TOT i formeln för exponetiella förlopp. Från böran är kondensatorn tom och då är E TOT 5, 9 0. Efter lång tid är kondensatorn full och då är TOT 0. TO T 4 m A m A m A t x( t) x ( x x0 )e τ t t E TOT ( t) 0 ( 0 ) e τ TOT ( t) 590 e 0,08 6, t , 90 e ln( ) 6, t t,69 0,04 s 5, 9 6, 50

51 . De två kondensatorerna kan flyttas bredvid varandra, de kan då ersättas med sin ersättningskondensator. ers t? E 0V 78s MΩ µ F µ F V V ers µ F ers 6 V a) Tidkonstanten blir: τ s. b) När spänningen över en av kondensatorerna är V så är den 6 V över ersättningskondensatorn ( de båda kondendsatorerna). Antag att x står för spänningen över ersättningskondensatorn:; t x( t) x ( x x0 )e τ ers 0 V ers0 0 V t t t t ers(?) 0 ( 0 0) e 6 e 0, 4 ln ( e ) ln ( 0, 4 ) t 0,9 s.4 x0 storhetens begynnelsevärde i( 0) 0 E x storhetens värde efter lång tid i( ) b) 0, 5 4 0, 8 0, 8 τ tidkonstant 0, 06 b) 0, 0 4 t x( t) x ( x x0 )e τ t t 0, a) i( t) ( 0) e 0,06 e 0,06 i( t 0, ) e 0,06 0,8 A t t 0, b) i( t) 0, 5 ( 0, 5 0) e 0,0 0, 5( e 0,0 ) i( t 0, ) 0, 5( e 0,0 ) 0,48 A.5 u(t) u 0 u 0 τ , s t t x( t) x ( x x )e τ ( ), e t e, 97, ln 6 t t, s Ett exponentiellt förlopp kan anses ha upphört efter 5τ 5, 5,5 s..6 a) Spolen är strömtrög så strömmen förblir 0 i första ögonblicket. b) Efter lång tid är strömmen genom spolen konstant, di 0, och spolens motemk e dt di 0. Spolen dt kortsluter då det parallella 00 Ω motståndet. Strömmen begränsas av seriemotståndet på 00 Ω. 0 0, A. 00 c) När strömställaren bryter kretsen klingar strömmen av (mot 0) med tidkonstanten τ 0, 0 s 00 5

52 t t t τ 0, 0 0, 0 x( t) x ( x x0 )e i( t) 0 ( 0 0, ) e 0, e..7 Kondensatorn är först uppladdad till 5 V, vid omkopplingen laddas den upp vidare mot 5 V. Vi får u 5 u Kretsens tidkonstant är τ s. t t t x( t) x ( x x )e τ 0 u( t) 5 ( 5 5) e 5 0e t 5 0 t t t e e ln ln e t ln, 9 s 0 0 När kondensatorn är full-laddad slutar strömmen. Detta sker efter c:a 0 s (5 tidkonstanter)..8 6 Kretsens tidkonstant är τ , 5 s. Kondensatorn är först oladdad, vid inkopplingen laddas den upp mot 0 V. För spänningarna gäller Kirchoffs spänningslag E 0. Vid t 0 gäller: Vid t gäller: Vi får för : u 0 u0 0. t t t a) x( t) x ( x x ) e τ u ( t) ( ) 0, e 0e 4t 4t 4t ln 0, 0 e 0, e ln 0, ln e 4t t 0, 4 s 4 b) När spänningen över är V är den 8 V över. 4t 4t 4t ln 0, e 0, 8 e ln 0, 8 ln e 4t t 0, 06 s 4.9 Kretsens tidkonstant är τ 0, 0 s. 00 a) nnan till-slaget av strömställaren är spolen strömlös, och eftersom en spole är strömtrög fortsätter den att vara utan ström i första ögonblicket. i(t 0) 0. E När tiden går växer strömmen genom spolen mot sitt max-värde imax 0, A. Förloppet föler 00 en exponentialfunktion: t t t x( t) x ( x x ) e τ i( t), (, ) 0, e 0, ( e ) b) Halva slutvärdet (0,06 A) vid tiden t: 50t -50t 0, 69 0, 06 0, ( e ) ln( 0, 5) lne ln 0, 5 50t t 0, 04 s 50 5

53 .0 a) Seriekopplade kondensatorer: τ 00 9, 8 0, s t b) x( t) x ( x x0 ) e τ Efter lång tid ( t ) ligger det E 5 V över de seriekopplade kondensatorerna. addningen Q är densamma i bägge kondensatorerna (ingen laddning kan passera genom kondensatorbeläggen). 6 Q 6 Q 40 E Q E 5 9, µ u ( t ) , 8 V Omedelbart efter tillslaget är kondensatorerna tomma. u t 0 ) 0. Vi får: t, t u ( t) u ( u u ) e, 0 u ( t) 9, 8( e ) 0 u t (, t ), t, e e 9, , t ln(, ) ln( e ) 0, 4 0, t t 0,75 s. ( ϑ) 00 (, 850 ϑ) [ Ω ] 0 76 Ω ( t 0 min ) 9 Ω ( ϑ 5 ) 00 (, 850 5) 09, 6 [ Ω ] t 0 x( t) x ( x x ) e τ 0 ( t 0 min) 9 09, 6 ( 09, 6 76) e τ 0 0 0, 44 e τ ln( 0, 44) τ 0, minuter τ 0,85. Kretsens Thevenin-tvåpol: kω E /000 80V a) 6 τ 40 0, 0 0,58 hela 80 0 t τ ln 0,58 ln 0,88 s resten b) τ 0,58 t hela τ ln 0,58 ln 0, s resten c) Om är borta spänningsdelas E inte. E 00. Tidkonstanten förändras. 6 τ 600 0, 0, hela t τ ln, ln 0,094 s resten

54 Visare. a) x(t) 6 sin( 000π t π/6 ) b) 6 x ( t ) sin( π f t π 6 ) c) 6 t π 6 5 π 6 π π f t π f 000 π [rad/s] π 6 7. i i i i 5sin(π ft) 7sin(πft 0,65) 6sin(πft,) 0,65[rad] 7,[ ],[rad] 70[ ] Sinusfunktionerna kan representeras med visare (vektorer) där visarens längd svarar mot sinusvågens amplitud, och visarens vinkel mot sinusvågens fasvinkel. Totalströmmens visare blir då vektorsumman av de tre strömvisarna. ( x, y) (5, 0) ( x, y) (7cos(7, ), 7sin(7, )) (57,, 4,5) ( x, y) (6cos( 70 ), 6sin( 70 )) (5,47, 5,0) ( x, y) (5 57, 5,47, 0 4,5 5,0) (,8, 8,5) ϕ,8 8,5 8,5 arctan,8 7, 5 0,6[rad] i 7,sin(π ft 0,6) Man kan även addera visarna med hälp av ett cad-program:.,67 kω ; X, kω ; Z AB,49 kω 54

55 .4 X π f π 50 0,8 00 Ω. Vi väler som riktfas. Strömmen har samma riktning som. Strömmen ligger 90 efter och har lika lång visare som eftersom och har samma växelströmsmotstånd (X 00 Ω, 00 Ω). De två strömmarna och kan adderas vektoriellt till,. blir ggr längre än och (Pythagoras sats). Strömmen passerar genom den nedre resistorn. Spänningsfallet får samma riktning som och blir ggr längre än (eftersom resistorerna är lika och strömmen är så många gånger större). Spänningen kan slutligen fastställas som vektorsumman av och ;. Vinkeln ϕ är vinkeln mellan spänningen över hela kretsen och strömmen in till kretsen..5.6 Böra med som riktfas. Strömmen har samma riktning som. ( ) Strömmen ligger 90 före och är lika stor som ( eftersom X ) Strömmarna och summeras ihop till. (Pythagoras sats) ligger 90 före. X Spänningarna och summeras ihop till spänningen.. ( Man kan se att blir lika stor som! ).7 55

56 -metoden (8,6 5) Z 0 cos(0 ) 0 sin(0 ) 8,6 5 (8,6 5) ,, 99 denna impedans kan man tex. få med en resistor 9, Ω i serie med en kondensator med reaktansen X -, Ω. X., 87 µ F π 50 (,) () () Z (0 0) 40 88,56 A (0 0) Parallellkoppling:.6 Z AB (5 0) (0 0) Seriekoppling: E 4 [ Ω] 4 4 A 56

57 .7 ( ) ( ) Z ( ) Z.8 Spänningen ligger direkt över parallellgrenen med induktansen..9 Z ( 8) ( 8),88 0,47 8 ( 8) 6,88 0, 47 4,88 5,5 Z 4,88 5,5 7,8 Z Ω 0 (4,88 5,5) 46,5 65,9,7,7 4 A Z 4,88 5,5 (4,88 5,5) 54, 4 (,7 ) ( 8) 0,86 0, 46 0,86 0, 46 0,98 A 8 ( 8) 6 6 (4,88 5,5) 0 0 8, 6, 4, 4 V 6 (,88-0,47) 4,88 5,5 (4,88 5,5).0 a) och ligger i fas och får bli vår riktfas, arg( ) 0 0 5A 46 b) arg( c) 6 0 π Z arg( r ) arg( ) arg( ) r r ( r ) ) arg( ) arg( Z r r,5 ) 0 arctan,5 r ( ) 45,5 0 (,5) 5A 5A 57

58 d) ( r (5 50,7) r sin 45 ) ( (5 50,7) cos45 ),46 8, ,66A. väls till riktfas, arg( ) 0 a) T T T 0, A T T T 6,8 π ,8 0, b) 50 0, 5 5 V c) N T 6, 8 5 N 6, 8 5 8,0 V S N 6, 8 5 0,06 0,05 00 S d) 0, 0, 06 0, 05 0, 06 0,5 S 0, 06 0,5 0,6 A Växelströmseffekt 4. a) Z 57 Ω b) 85 Ω varav,45 H c) cosϕ 0,5 d) 5 µf 4. Dammsugarens strömkomposanter ( D 5 A, cosϕ 0,8 ) : DP DQ D D cosϕ 5 0,8 4 A sinϕ D cos ϕ 5 0,8 5 0,6 Ar Elementets strömkomposanter ( vi antar att elementet är rent resistivt och då har cosϕ ) : P 00 EP E 5,5 A EQ 0 0 Totala strömmen : ( P ) ( Q ) (4 5,5) ( 0) 0 A - säkringen räcker! 58

59 59 4. Strömställare i till-läge P,5 W Strömställare i från-läge P? All effekt i resistanser!,5 P All effekt i resistanser!? 5 5 ) ( P W P 4.4 Antag riktfas, reell. ) ( ) ( ) ( P Z P 4.5 a) esistor a är parallell med övriga kretsen och kommer inte att kunna påverka strömmen. Spänningen över kondensatorn fås med spänningsdelning: ) ( ) ( ) ( Z b) Antag att kondensatorn fördubblas. Av uttrycket för strömmen ser man då att strömmen minskar och därmed effekten i c. Spänningen över resistor b ändras obetydligt, och därmed även effekten. esistorn a blir helt opåverkad av kapacitansökningen. 4.6 a) P 86 W S 74, 09 VA 54VAr 86 4,) (7 P S Q cos 0,85 S P ϕ, arccos arccos S P ϕ S P Q ϕ b) F 0µ π π f Q f X X Q

60 60 esonans 5. Eftersom råder resonans. Spänningsfallen över och tar ut varandra och kvar blir V över. V. 5. Eftersom råder resonans. A, strömmen i och i är en cirkulerande ström, ) ) ( ( ) ( ) ( ) ( ) ( Vi har här angivit som riktfas, reell. Strömmen måste då också vara reell för att vara i fas med spänningen. Detta ger oss vilkoret att [ ] 0 m. ) ( f f π π Denna frekvens är resonansfrekvensen. 5.4 a) Q-värdet BW f Q Q f BW. b) Ω Ω 0 0 S S S Q X X Q c) F, ,59 mh µ π π π π π π X f f X X X f X f X d) 000 OK! f f f BW f f BW f f 5.5 a) Spolens Q-värde, parallellresistans. Ω S r Q X Q b) Ω ES Z

61 c) d) Z ES V 8 0 0,6 A 90 8 r 0,6 A 86 0 X 0 0, 4 mh 65 nf π f π 00 π f X π e) Filter 5 f 00 QTOT BW 0 Q 7,5 0 7,5,67 khz 6. a) Se figur. En 50 Hz sinusvåg har periodtiden 0 ms. Växelkomponenten med effektivvärdet 0 V har toppvärdet EFF, 40 V 4, V. b) 4, V och -4, V. c) Medelvärdet är 0V. Detta mäter man med multimetern Dkopplad. d) Växelkomponenten har effektivvärdet 0 V, den mäter man med multimetern A-kopplad. e) Det totala effektivvärdet av de de två komponenterna får man med formeln EFF D A 0 0 4, V. Detta värde visar multimetern när den är DA-kopplad. Tryck A och D samtidigt. [V] 0 max 4, 0 min -4, 65s restfaktorn (toppfaktorn) är ett mått på hur extrem en signal är. Den beräknas som kvoten mellan toppvärdet och effektivvärdet. För en sinusformad spänning gäller, 4. Den aktuella kurvan har samma toppvärde, men ger bara halva effekten. Eftersom P innebär en halvering av effekten att spänningens effektivvärde reducerats med en färdedel, till 4. Vi får, 89. 0, 75 Varning! restfaktorn säger inte speciellt mycket om en spänning. 6. medel t [ms] 6

62 s Z Z nför impedanserna Z och Z Z Z Z 0. När. båda fallen går uttrycket 0 När 0 vid blir. 6.5 Kretsförenkling K kan slås ihop med M. MK pf. 0 kω. M MΩ. K M M M K M K M K M M K M M Z 6% fel! 0,84 00 khz) ( ) 0 0 (0 ) ( 0 ) ( ) ( M K M M M M K M M M K M M K M M K M M M K M M M f E E E π

63 6 6.6 Z Z a) och ska vara i fas för alla frekvenser. Det innebär att uttrycket måste vara oberoende av. Om ( ) så kan alla brytas ut och förkortas bort! pf 9 M 9 0 Ω b) Hur går strömmen mellan resistorerna och kondensatorerna? Det kan inte gå någon sådan ström! Vi vet att och är i fas, en ström mellan kondensatorerna och resistorerna skulle leda till att fasvrids. 9,9 pf M 9 Ω 6.7 nför impedanserna Z och Z ) ( ) (... ) ( ) ( 0 arg