EXAMENSARBETE. Jämförelse mellan en tredimensionell och en tvådimensionell numerisk analys för två fallstudier

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "EXAMENSARBETE. Jämförelse mellan en tredimensionell och en tvådimensionell numerisk analys för två fallstudier"

Transkript

1 EXAMENSARBETE 2010:052 CIV Jämförelse mellan en tredimensionell och en tvådimensionell numerisk analys för två fallstudier Ivan Edeblom Luleå tekniska universitet Civilingenjörsprogrammet Väg- och vattenbyggnadsteknik Institutionen för Samhällsbyggnad Avdelningen för Bergmekanik 2010:052 CIV - ISSN: ISRN: LTU-EX--10/052--SE

2

3 Förord Detta examensarbete på 30 poäng utgör den avslutande delen i min utbildning till Civilingenjör inom Väg- och vattenbyggnad vid Luleå tekniska universitet. Arbetet är utfört under institutionen Samhällsbyggnad, avdelningen för Geoteknologi. Jag vill tacka initiativtagaren till examensarbetet Erling Nordlund för all hjälp med att komma igång med examensarbetet och för hjälpen med de olika frågor jag ställt. Vidare vill jag tacka min handledare Catrin Edelbro för all den tid hon gett till mitt examensarbete. Hennes granskande av fakta, goda råd och synpunkter på examensarbetet har avsevärt höjt kvalitén. Tack riktas också till David Saiang och Tomas Villegas för deras hjälp med FLAC3D. Luleå, september 2009 /Ivan Edeblom I

4

5 Sammanfattning När en underjordskonstruktion byggs är det viktigt att veta hur bergmassan reagerar vid uttag av berg. Om exempelvis taket skadas eller går i brott kan det med tiden medföra ett ras. En bergmekanisk analys i projekteringsstadiet ger information om hur hålrummet lämpligen bör utformas, preliminärt bedöms också var och hur mycket förstärkning som krävs för att minimera risken för att berg ska falla ut. Ett av de verktyg som ofta används vid en bergmekanisk analys är numerisk modellering. Genomförandet av numerisk modellering är ofta ett ställningstagande mellan beräkningstid och noggrannhet. En av de mest frekventa och användbara förenklingarna i samband med bergmekaniska analyser är att ersätta den tredimensionella verkligheten med en tvådimensionell modell. I en tvådimensionell modell antas plant deformationstillstånd, dvs. man antar att tunneln är väldigt lång i förhållande till tvärsnittet och att normaltöjningen parallellt med tunneln är noll. Ingen hänsyn tas då till att det kan uppstå spänningskoncentrationer framför och vid fronten som medför att bergmassan försvagas. Därför kan en tredimensionell analys vara nödvändig i vissa fall så att även brytningsförfarandet och ett mer korrekt spänningstillstånd tas med i beräkningarna. Syftet med denna studie är att undersöka om en tredimensionell modell är nödvändig att använda för att få en bra överensstämmelse med verkligheten. Syftet uppnås genom att utvärdera hur stora skillnaderna blir mellan en tvådimensionell modell, tredimensionell modell och observationer. För att svara på syftet analyserades två väldokumenterade fall, en stigort i Garpenberg och en undersökningsort i Zinkgruvan. Edelbro (2008) har tidigare utfört tvådimensionella analyser av dessa två fall med Phase 2 och dessa resultat kommer att jämföras med tredimensionella analyser utförda i FLAC3D. I denna studie användes två olika materialmodeller. En elastisk idealplastisk modell och en kohesionsmjuknande friktionshårdnande modell som enligt Edelbro (2008) gav resultat som bäst överensstämde med verkligheten. Då FLAC3D simulerar kontinuum modeller kommer bergmassan alltid att vara kontinuerlig dvs. det skapas inga direkta brottzoner som separeras från bergmassan. För att kunna uppskatta hur stort utfallet blir används plasticerade zoner och skjuvtöjning som indikatorer. De tredimensionella modellerna visade resultat som överensstämmer bättre med observerat utfall än de tvådimensionella modellerna. Detta antas bero på att det påverkade området framför fronten skiljer sig åt mellan en tvådimensionell och en tredimensionell modell och därmed under- eller överskattas bergmassans hållfasthet då en tvådimensionell analys genomförs. Därmed krävs för vissa studier att en tredimensionell analys genomförs för att studera den påverkade området framför fronten och baserat på denna bedöma påverkan på bergmassans hållfasthet. För att kunna ha samma zonstorlek som i en tvådimensionell modell krävs mycket datorkraft för att hålla beräkningstiden nere. Därför rekommenderas det utifrån resultaten av denna studie att använda en tredimensionell modell för att beräkna indata och studera beteende framför III

6 fronten av konstruktionen. Om inga tredimensionella effekter kan upptäckas används en tvådimensionell modell där exempelvis skjuvband, och därmed potentiella utfall, analyseras. IV

7 Abstract When excavating to make an underground construction it is important to have knowledge about the rock mass behavior. If, for example, the roof yield or fail it may cause serious fallout. A rock mechanical analysis gives the information where and how much reinforcement that is needed to minimize the risk for fallouts. One of the tools used in rock mechanical analysis is numerical modeling. When creating a numerical model it is always a balance between calculation time and accuracy of the model. One of the most frequent and practical simplifications in rock mechanic analysis is to replace the three dimensional reality with a two dimensional model. In a two dimensional model plain strain condition is assumed, which means it is assumed that it is a long tunnel in perspective of the tunnel diameter and that the normal strain parallel to the tunnel is zero. No consideration is taken to possible stress concentrations in front of and at the tunnel face which could lead to weakening of the rock mass. Therefore, for some cases, it may be necessary to use a three dimensional analysis to be able to simulate the excavation process and more correct stress conditions. The objectives of this thesis was to examine if a three dimensional model is necessary to get results that better comprehend with reality then a two dimensional model. To accomplish the objectives the difference between a two dimensional model, a three dimensional model and observations was analyzed. Two well documented cases were analyzed, one raise in Garpenberg and one exploration drift in Zinkgruvan. These two cases has been analyzed by Edelbro (2008) with the two dimensional program Phase 2 and these results will be compared with the three dimensional models made in FLAC3D. In this thesis two different material models was used. Elastic perfectly plastic and cohesion softening friction hardening (CSFH) that according to Edelbro (2008) gave the results that corresponded most to the reality. Because FLAC3D is based on continuum assumptions the rock mass will always be continuous which means that there will be no development of discontinuities in the rock mass. To be able to estimate the extent of the fallout yielded elements and shear strength increment were used as indicators. The three dimensional models gave results that better comprehended with observed fallout then the two dimensional models. This is assumed to be because the stress influenced zone ahead of the front differ between the two dimensional and three dimensional models and therefore the rock mass strength may be under- and overestimated in a two dimensional analysis. The conclusion is that for some studies it is necessary to perform a three dimensional analysis to study the stress influenced zone ahead of the front and based on the results judge the influence on the rock mass strength. To be able to have the same element size as in a two dimensional model it is necessary to have high computer capacity to keep the calculation time to a minimum. Therefore it is recommended by the results of this study to use a three dimensional model to calculate input data and to study rock mass behavior in front of the construction. If no three dimensional V

8 effects can be discovered a two dimensional model is used to, for example, analyze shear bands and thus potential fallout. VI

9 Innehållsförteckning Förord... I Sammanfattning... III Abstract... V 1 Inledning Bakgrund Problembeskrivning Syfte Metod Antaganden och avgränsningar Teoretisk bakgrund Bergmassans beteende Spänningar i berg Primära spänningar Sekundära spänningar Brott i berg Brottkriterium Materialmodeller Elastisk idealplastisk modell Kohesionsmjuknande friktionshårdnande modell FLAC3D Teoretisk skillnad mellan tvådimensionell och tredimensionell analys Tolka numeriska analyser Plasticerade zoner Skjuvtöjning Fallstudie Stigort i Garpenberg Undersökningsort i Zinkgruvan Numerisk analys av fallstudie Indata Materialmodeller i FLAC3D Beräkningssteg Modellgeometri VII

10 4.4.1 Garpenberg Zinkgruvan Resultat Garpenberg Zinkgruvan Jämförelse 2D modell mot 3D modell Diskussion Slutsatser Referenser Bilagor... A Bilaga 1... B Bilaga 2... C Bilaga 3... D VIII

11 1 Inledning 1.1 Bakgrund Efter decennier av gruvbrytning har många gruvor tvingats ner mot djupare nivåer med ökade spänningar som följd. Ökad kunskap om bergmassans mekaniska egenskaper och dess beteende har därmed blivit viktigare för de allt mer komplexa underjordskonstruktionerna. Ett av de stora målen inom området berganläggningsteknik är att kunna förutbestämma när, var och hur bergmassan kommer att gå sönder. De stora ekonomiska konsekvenser som är förknippade med rätt beslut vid rätt tillfälle kräver ökade kunskaper och erfarenheter. En ökad kunskap om bergmassans egenskaper och förståelse för bergmassans beteende medför att utformningen av underjordskonstruktionerna och bergförstärkningen kan förbättras och därmed även säkerheten. När en underjordskonstruktion byggs är det viktigt att veta hur bergmassan reagerar vid uttag av berg. Om exempelvis taket skadas eller går i brott kan det medföra ett begynnande ras. En bergmekanisk analys i projekteringsstadiet ger information om hur hålrummet lämpligen bör utformas och var och hur mycket förstärkning som krävs för att minimera risken för spänningsrelaterade utfall. Ett av de verktyg som används för att simulera bergmassors beteende är numerisk modellering. 1.2 Problembeskrivning Genomförandet av numerisk modellering är ofta ett ställningstagande mellan beräkningstid och noggrannhet i modellen. En av de mest frekventa och användbara förenklingarna i samband med bergmekaniska analyser är att ersätta den tredimensionella verkligheten med en tvådimensionell modell. Exempel på program för tredimensionella analyser kan vara FLAC3D och 3DEC (Itasca, 2009). Exempel på program till tvådimensionella analyser kan vara FLAC, UDEC (Itasca, 2009) och Phase 2 (Rocscience 2009c). Om en tvådimensionell modell används antas plant deformationstillstånd och den faktiska tredimensionella spänningssituationen förenklas. Ingen hänsyn tas till att det kan uppstå spänningskoncentrationer framför och vid fronten som medför att bergmassan försvagas. Studeras samma problem med en tredimensionell modell används de faktiska uppmätta spänningarna och spänningsförändringarna kan därmed överensstämma bättre med verkligheten i jämförelse med en tvådimensionell modell. En jämförelse av fältobservationer med beräknade resultat från numeriska analyser där sex olika materialmodeller studerades med tvådimensionella Finita Element programmet Phase 2 utfördes av Edelbro (2008). De resultat som framkom var att den kohesionsmjuknande friktionshårdnande modellen (CSFH) överensstämde bäst med observerade utfall. Modellen visade god överensstämmelse förutom för två fall där det verkliga observerade utfallet i det ena fallet blev mindre än beräknat och det andra fallet blev större än beräknat. En av orsakerna till detta kan vara att dessa fall kräver en tredimensionell analys för att bättre ta hänsyn till det tredimensionella spänningsfältet och de spänningsförändringar som sker vid fronten. Eberhardt (2001), Barla (2000) och Diederichs et al.(2004) visar att spänningarna ändrar riktning och storlek vid fronten vilket kan bidra till att bergmassan 1

12 försvagas vid brytningsförfarandet och därmed ger ett eventuellt felaktigt resultat vid en tvådimensionell analys. I detta arbete definieras utfall som när bergbitar lossnar från bergmassan och faller ut. En bild av detta visa i Figur 1. Figur 1 Exempelbild på utfall (Edelbro 2008) 1.3 Syfte Syftet med denna studie är att undersöka om en tredimensionell modell är nödvändig för att få en bra överensstämmelse med verkligheten för en stigort i Garpenberg och en undersökningsort i Zinkgruvan. Syftet uppnås genom att utvärdera hur stora skillnaderna blir mellan en tvådimensionell modell, tredimensionell modell och observationer. En intressant del utöver jämförelsen är att studera spänningsbilden vid och framför fronten av utbrytningen. 1.4 Metod För att undersöka om en tredimensionell modell ger ett resultat som bättre överensstämmer med de observerade utfallen än en tvådimensionell modell kommer två väldokumenterade fall att analyseras. Dessa två fall är en stigort i Garpenberg och en undersökningsort i Zinkgruvan. Edelbro (2008) har tidigare utfört tvådimensionella analyser av dessa två fall med Phase 2 och dessa resultat kommer att jämföras med tredimensionella analyser utförda i FLAC3D version 3.1. Tvådimensionella analyser i FLAC3D kommer också att utföras för att jämföra tvådimensionella analyser gjorda med program baserade på två typer av formulering (FEM, FDM). Indata till analyserna i FLAC3D har beräknats med Roclab version (Rocscience, 2009d) att användas. 1.5 Antaganden och avgränsningar 1. I analyserna antas bergmassan bete sig som ett kontinuum (se Figur 2). Detta antagande kan göras då enskilda strukturer och sprickor ej styr brottets form och bergmassans beteende. 2. Ingen förstärkning kommer att analyseras i examensarbetet. 3. Stigorten i Garpenberg som simuleras antas bestå av enbart kalksten. 2

13 4. Endast tryckspänningsinducerat utfall kommer att studeras i analyserna. Tryckspänningsinducerat utfall är t.ex. spjälkning, skjuvning eller en mix av dessa brottformer. 5. FLAC3D används vid simuleringen och Roclab för att ta fram vissa indata. 6. Materialmodellerna som kommer att användas vid simulering är en elastisk idealplastisk modell och en kohesionsmjuknande friktionshårdnande (CSFH) modell. 3

14

15 2 Teoretisk bakgrund 2.1 Bergmassans beteende En bergmassas beteende kan anses vara kontinuerligt om den består av rent intakt berg eller om den består av bergstycken som är små i förhållande till konstruktionen. Gränsen mellan vad som är kontinuerlig och diskontinuerlig bergmassa visas i Figur 2. Trots att sprickgrupper finns gäller det inte automatiskt att bergmassan uppför sig diskontinuerligt. Vid höga tryckspänningar som pressar samman sprickorna kan bergmassans beteende antas vara kontinuerlig (Brady & Brown, 2004). Figur 2 Exempel på kontinuerlig och diskontinuerlig bergmassa (Edelbro, 2008). 2.2 Spänningar i berg Bergspänningar är uppdelade i primära och sekundära spänningar. De primära spänningarna, som också kallas in-situ spänningar, är en produkt av gravitationen, bergtäckning samt dess geologiska historia. De sekundära spänningarna uppkommer efter ingrepp i form av t.ex. bergrum, tunnlar, schakt eller orter. (Nordlund et al. 1998) Primära spänningar Det som främst har betydelse för de primära spänningarna är tyngden av bergtäckningen, topografin och dess geologiska historia. Till detta räknas bland annat tektoniska rörelser, geologiska strukturer som sprickor och förkastningar samt glaciala processer som inlandsisen. Vid större djup kan i regel topografin försummas då dess inverkan på spänningarna är försumbara i jämförelse med bidraget från bergtäckningen (Amadei & Stephansson, 1997). Det primära spänningstillståndet beskrivs normalt med en vertikal huvudspänning, σ v, som varierar med djupet enligt följande formel: σ v = ρgz (2.1) samt två horisontella spänningar σ H och σ h som betecknar den största respektive minsta horisontalspänningen (Nordlund et al. 1998) Sekundära spänningar När en tunnel eller bergrum konstrueras avlägsnas en del av bergmassan vilket leder till att det sker en omfördelning av spänningarna. De spänningar som råder i bergmassan efter 5

16 avlägsnandet av berg är funktioner av de primära spänningarna och benämns sekundära spänningar. Spänningskoncentrationen som uppstår runt konstruktionen i bergmassan kommer att vara avgörande för stabiliteten. De sekundära spänningarna delas upp efter det tredimensionella spänningsfältet enligt σ 1 > σ 2> σ 3 (Nordlund et al. 1998). I bergmekaniska analyser är det ofta de sekundära spänningarna som är intressanta och så är även fallet i denna studie. Spänningssituationen framför och vid fronten är möjlig att simulera med den tredimensionella modellen. 2.3 Brott i berg Brott i berg sker när spänningarna blir större än bergmassans hållfasthet. När höga spänningar fördelar sig kring en cirkulär öppning enligt Figur 3 resulterar det i att öppningen deformeras och kraftiga spänningskoncentrationer i sidorna a och b uppstår (Jumikis, 1979). Om spänningarna överstiger bergmassans hållfasthet kan det leda till skjuvbrott eller spjälkbrott i områdena a och b eller dragbrott i dragzonen i Figur 3. Figur 3 Koncentration av spänningslinjer, elastisk deformation och dragzon runt en cirkulär öppning. (Översatt från Jumikis, 1979). Beroende på spänningstillståndet kan fyra principiella brottmekanismer illustrerade i Figur 4 identifieras. 1. Dragbrott (tensile failure). 2. Spjälkbrott eller dragtöjningsbrott (Spalling failure) (axial splitting). 3. Skjuvbrott (shear failure). 4. Stukning (distributed damage and acoustic emission). 6

17 Dragbrott uppkommer när dragspänningar i en eller flera riktningar finns närvarande. Inhomogeniteter eller defekter i bergmassan kan liksom utformningen av ett bergrum vara orsaken till uppkomsten av dragspänningar. Spjälkbrott eller dragtöjningsbrott uppstår när huvudspänningen är betydligt större än de minsta spänningarna (σ 1 >>σ 3 ). Spjälkbrott är därmed en vanlig brottmekanism nära konstruktionens yta. Skjuvbrott uppkommer vid treaxlig belastning då alla spänningarna (σ 1, σ 2 och σ 3 ) är höga. Skjuvbrott sker därmed oftast på ett längre avstånd från konstruktionens yta och är oftast sammankopplat till spjälkbrott. Stukning uppkommer då bergmassan är utsatt för hög hydrostatisk belastning (Nordlund et al. 1998). Tryckspänningsreducerade brott och utfall är i detta arbete antingen spjälkbrott eller skjuvbrott eller kombination av dessa två. Figur 4 Bild över olika brott beroende på spänningarna σ1 och σ3 (Diederichs, Kaiser, & Eberhardt, 2004) Brottkriterium Då bergmassans hållfasthet är svår att bestämma i fält används ofta empiriska metoder för att bedöma när brott kommer att inträffa. Två av de mest använda brottkriterierna för bergmassor är Mohr-Coulomb och Hoek-Brown. Mohr-Coulomb uttrycks vanligen i skjuv- och normalspänning (τ och σ n ) och Hoek-Brown i största och minsta huvudspänning (σ 1 och σ 3 ) (Saiang, 2008). 7

18 Mohr-Coulomb brottkriterium Coulomb utformade en teori baserad på studier av skjuvbrott i glas. Han såg att skjuvhållfastheten är beroende av en konstant komponent, kohesionen (c), samt en komponent som är beroende av normalspänningen verkande vinkelrätt mot det antagna brottplanet. Mohr presenterade senare en grafisk metod för att bestämma spänningarna i en punkt. Mohr s brottcirklar bestäms experimentellt genom triaxiala tester vid olika omgivande tryck. Varje par av σ 1 och σ 3, vid brott, definierar en cirkel. Kurvan som tangerar alla de cirklar som är experimentellt bestämda kallas Mohr s envelope (Figur 5). Enligt Mohr s teori sker brott när Mohr s cirkel, i en punkt i en kropp, tangerar eller överskrider Mohr s envelope (Edelbro 2004). Figur 5 Mohr's envelope Edelbro (2004). Trots att materialen och motiven för Coulomb och Mohr var olika vid skapandet av brottkriterierna blev resultatet ett spänningsberoende kriterium. Coulombs ekvation antar att brott sker när skjuvspänningarna τ når skjuvhållfastheten τ max vilket ges av formeln: τ max = c + σ n tanφ (2.2) där c är materialets kohesion och ϕ är friktionsvinkeln. Denna ekvation benämns Mohr-Coulombs brottkriterium. Kriteriet antar att brott sker längs ett plan utan någon dilation. Mohr-Coulombs brottkriterium kan även uttryckas med huvudspänningar enligt följande: σ 1 = 2c cosφ 1 sinφ + σ 1 + sinφ 3 1 sinφ (2.3) Vilket beskrivs grafiskt i Figur 6 och förenklat beskrivs: σ 1 = σ c + kσ 3 (2.4) Där k är lutningen på och σ c är den enaxiella tryckhållfastheten. Värdena på friktionsvinkeln (ϕ) och kohesionen (c) beräknas enligt följande: sinφ = k 1 k + 1 (2.5) 8

19 c = σ c 1 sinφ 2cosφ (2.6) Att Mohr-Coulombs kriterium ofta används beror troligen på att det beskrivs av ett enkelt matematiskt uttryck, är lätt att förstå och använda (Edelbro, 2004). Figur 6 Grafisk presentation av Mohr-Coulombs brottkriterium (Brady & Brown, 2004) Hoek-Brown brottkriterium Hoek och Brown presenterade ett brottkriterium Hoek-Browns brottkriterium har sedan uppdaterats flertalet gånger och uttrycks enligt följande (Hoek et al., 2002): σ 1 = σ 3 + σ ci m b σ 3 σ ci + s a (2.7) där σ 1 och σ 3 är den effektiva spänningen, σ ci är den enaxiella tryckhållfastheten av intakt bergmaterial och m b är det reducerade värdet av materialkonstanten m i som uttrycks enligt följande: m b = m i exp GSI D (2.8) där s och a är konstanter för bergmassan som ges av följande uttryck: s = exp GSI D (2.9) a = e GSI 15 e 20 3 (2.10) där D är en faktor som beror på graden av skada på bergmassan (D=1 motsvarar väldigt skadat berg och D=0 motsvarar borrad tunnel eller sprängd tunnel med minimalt skadad zon). En tabell över D finns i Bilaga 1. GSI är ett värde på hur blockigt (och intakt) bergmassan är och bestäms med hjälp av en tabell där man bedömer strukturen på bergmassan och hur bergytan ser ut. Tabellen finns i Bilaga 2. 9

20 Hoek-Browns brottkriterium kan också formuleras som ett skjuvbrottskriterium. Den krökta brottkurvan i Figur 5 som tangerar Mohrs spänningscirklar vilka representerar tillståndet vid brott kan då definieras som: τ s = mσ c 8 cotφ i cosφ i (2.11) där τ s är skjuvspänningen vid brott och ϕ i är den momentana friktionsvinkeln för en given effektivspänning, σ (Nordlund et al. 1998). Sammanfattningsvis kan sambandet mellan dragbrott respektive skjuvbrott summeras enligt följande: σ 3 > σ t och σ 1 > σ 1s (2.12) där -σ t är draghållfastheten för bergmassan och σ 1s är maximala huvudspänningen vid brott. Antagandet ovan illustreras i Figur 7 (Saiang, 2008). Figur 7 Brottkriterium enligt Hoek-Brown (Saiang, 2008). 2.4 Materialmodeller Materialmodeller beskriver teoretiskt bergmassans beteende. Vanligen antas bergmassan vara linjärt elastiskt fram till dess skador orsakade av för höga spänningar i förhållande till hållfastheten inträffar. Tre av de vanligaste förekommande materialmodellerna för att simulera brott i berg finns beskrivna i Figur 8 (Hajiabdolmajid et al. 2002). I de materialmodeller som beskrivs i Figur 8 antas ett linjärt elastiskt spännings- deformationsbeteende fram till maximala hållfastheten då bergmassan går i brott. Bergmassans hållfasthet därefter kallas residualhållfastheten (Nordlund et al. 1998). I denna studie har två materialmodeller använts. En elastisk idealplastisk modell och en kohesionsmjuknande friktionshårdnande modell. 10

21 Figur 8 Olika beskrivningar av bergbrott i kontinuum modeller (Översatt från Hajiabdolmajid et al. 2002) Elastisk idealplastisk modell Den elastiska idealplastiska modellen är den enklaste metoden för att beskriva berg som går i brott. När bergmassan går i brott blir bergmassans beteende plastiskt (Figur 9) utan att materialet försvagas. Sprött berg däremot förlorar det mesta av sin hållfasthet när maximala hållfastheten passerats. Därför kan en idealplastisk modell användas för att uppskatta ett minimivärde på storleken på brottet i bergmassan (Hajiabdolmajid et al. 2002). Figur 9 Elastisk idealplastisk modell Kohesionsmjuknande friktionshårdnande modell Sex olika materialmodeller utvärderades av Edelbro (2008) där den kohesionsmjuknande friktionshårdnande modellen, framöver kallad CSFH (Cohesion Softening Friction Hardening), visade sig ge bäst överensstämmelse med observerade spänningsinducerade utfall. Vid simulering med denna modell används ekvivalenta Mohr-Coulomb parametrar, dvs kohesion och friktionsvinkel. Innan uppnådd maximal hållfasthet antas att friktionens roll är begränsad och representativ för den lilla skalan, såsom kornstorlek och mikrosprickor. Därmed har friktionen innan plasticering ett lågt värde. Resultaten från jämförelser med observerat utfall visade att ett värde på 10 för den initiala friktionsvinkeln gav den bästa överensstämmelsen med verkligheten (Edelbro, 2008). Innan uppnådd maximal hållfasthet har däremot kohesionen en viktig roll och är representativ för den oskadade intakta bergmassan. Därmed har kohesionen ett högt värde innan plasticering. Efter uppnådd maximal hållfasthet anses 11

22 materialet vara skadat och kohesionen sänks till ett lägre residualvärde medan friktionen får en ökad roll och dess värde höjs. Den maximala hållfastheten beskrivs av sambandet: σ 1 = 2c cosφ peak 1 sinφ peak + σ sinφ peak 1 sinφ peak (2.13) När maximala värdet uppnåtts kommer kohesion och friktionsvinkel ändras till residualvärdena. Den residuala hållfastheten beskrivs då av sambandet: σ res = 2c res cosφ res 1 sinφ res (2.14) Residualvärdet på kohesionen (c res ) sattes till 30 % av bergmassans kohesion (c ) medan residualvärdet på friktionen φ res ändrades till bergmassans friktionsvinkel när peakvärdet nåtts (Edelbro, 2008). Värden för bergmassans parametrar uppskattades med hjälp av RocLab där indata var hämtade från fältobservationer. FLAC3D kan inte simulera ett elastiskt-sprött beteende med Mohr-Coulomb parametrar (Figur 10) så som Edelbro (2008) gjort. För att lösa detta har en deformationsmjuknande modell använts (Figur 11) och genom att ha ett lågt värde (0,001) på e ps i Figur 12 simuleras ett nästintill elastiskt sprödplastiskt beteende dvs, Figur 11 efterliknar Figur 10. Figur 10 CSFH modell (elastiskt sprödplastisk beteende). 12

23 Figur 11 Elastiskt deformationsmjuknande beteende. Figur 12 Variation över kohesion och friktionsvinkel med deformationsmjuknande beteende. 2.5 FLAC3D FLAC3D är ett tredimensionellt program för simulering av strukturer byggda i berg, jord eller andra material som genomgår plastisk flytning när brottgränsen passeras Itasca (2006). Materialet i en FLAC3D modell representeras av flerhörniga zoner i ett tredimensionellt nät som användaren själv skapar. Varje zon uppför sig enligt en förbestämd linjär eller icke linjär spännings/töjnings lag som svarar på valda krafter eller randvillkor. För att kunna köra en modell i FLAC3D krävs att tre grundläggande komponenter specificeras: 1. Ett begränsat nät. 2. Grundläggande beteende och materialegenskaper. 3. Randvillkor och initialtillstånd. Det tredimensionella nät användaren skapar i FLAC3D definierar geometrin. Grundläggande beteende och materialegenskaper definierar hur bergmassan ska uppföra sig vid störning, dvs. brytning och dylikt. Randvillkoren och initialtillståndet definierar in-situ tillståndet, dvs. innan störning på bergmassan. Beräkningarna som utförs i FLAC3D görs i steg för att komma fram till jämvikt. En numerisk analys med komplexa geometrier kommer aldrig att nå en perfekt jämvikt. Därför kan det vara nödvändigt att göra en förenkling genom att bestämma att jämvikt uppstår när exempelvis den 13

24 obalanserade kraften är nere i 0,01 % av den maximala obalanserade kraften. Detta är en viktig aspekt av FLAC3D. Användaren måste alltså själv avgöra när jämvikt uppstår i modellen. För att underlätta detta finns det verktyg som grafiskt visar den maximala obalanserade kraften mot antalet steg. I FLAC3D används bulkmodul (K) och skjuvmodul(g) som indata i stället för elasticitetsmodulen (E) och Poissions tal (v). Formlerna för att beräkna bulkmodulen och skjuvmodulen är: E (2.15) K = 3 1 2v G = E 2(1 + v) (2.16) 2.6 Teoretisk skillnad mellan tvådimensionell och tredimensionell analys En tvådimensionell modell antar plant töjningstillstånd vilket innebär att det inte är några skjuvspänningar eller töjningar i ut från planet riktningen. (Rocscience, 2009a). Studier gjorda av bland annat Eberhardt (2001) och Abel et al. (1973) visar att spänningsfördelningen i hårt sprött berg påverkas 2-4 tunneldiameter framför och bakom fronten vilket betyder att en tvådimensionell analys måste ske minst på detta avstånd ifrån fronten. Dessutom måste bergmassan vara relativt likformig. Även Barla (2000) har visat att spänningarna nära fronten endast kan beskrivas med hjälp av en tredimensionell modell. Det är möjligt att med hjälp av en tvådimensionell modell simulera tvärsektioner av enklare konstruktioner, såsom tunnlar, schakt, orter osv. på ett avstånd från fronten. Pan et al. (1988) visade resultat som tyder på att en analys med plant deformationstillstånd ofta ger ett mindre område med plasticerade zoner och förskjutning än en tredimensionell modell. Denna skillnad mellan tvådimensionella modeller och tredimensionella modeller beror på 1. en otillräcklig modellering av spänningsvägar, och 2. otillräcklig framställning av axiala in-situ spänningen i de tvådimensionella modellerna. 2.7 Tolka numeriska analyser I en kontinuummodell kommer alltid bergmassan att vara kontinuerlig, dvs. det skapas inga direkta brottzoner som separeras från bergmassan (Sjöberg, 1999). För att uppskatta utfallens storlekt krävs därför indikatorer Plasticerade zoner Ett sätt att tolka resultaten i en numerisk analys är att studera zoner där hållfastheten överskridits och har börjat plasticera. Dessa kan inte ensamt användas som indikator på utfall men är bra för att få en överblick av skadeområdets storlek (Saiang, 2008). Plasticerade zoner kan därmed tolkas som skadat berg (Edelbro & Sandström, 2009). Jämförs de plasticerade zonerna med skjuvbanden kan en bra bild över eventuella utfall ges. Detta förklaras bättre i kapitel

25 2.7.2 Skjuvtöjning Med skjuvtöjning γ avses vinkelförändringen mellan två ursprungligen vinkelräta linjeelement. Skjuvtöjningen definieras i xy-planet som: γ xy = u y + v (2.17) x där u är förskjutningen i x-led och v är förskjutningen i y-led. En illustration av skjuvtöjningen visas i Figur 13 (Rocscience 2009b). Figur 13 Skjuvtöjningen är summan av de två töjningarna v/ x och u/ y (Rocscience 2009b). I Phase2 (Rocscience 2009c) och FLAC (Itasca, 2008) kan resultatet av den maximala skjuvtöjningen analyseras. Phase2 (Rocscience 2009b) definierar maximal skjuvtöjning med att det finns en koordinat för axlarna där den maximala skjuvtöjningen sker, precis som det finns en orientering av axlar där skjuvtöjningen försvinner. I plant töjningstillstånd är den maximala skjuvtöjningen: ε xymax = ε 1 ε 2 2 (2.18) Rotationsvinkeln där den maximala skjuvtöjningen kan beräknas är: θ s = 1 2 tan 1 ε x ε y 2ε xy = θ p ± 45 (2.19) I FLAC (Itasca, 2008) definieras maximala skjuvtöjningen för en tvådimensionell modell som radien på Mohr s cirkel i xy planet enligt Figur

26 Figur 14 Mohr's töjningscirkel (Itasca, 2008). Maximala skjuvtöjningen (γ) blir då: γ = 1 2 e xx e 2 yy + 4e2 xy (2.20) Med den inkrementella skjuvtöjningen som FLAC3D använder menas ökningen eller förändringen i skjuvtöjning från ett steg till ett annat (Itasca, 2006). Detta är i princip samma sak som maximala skjuvtöjningen som visas i Figur 14. Anledningen till att den kallas inkrementell skjuvtöjning är att den beräknas med inkrementell teori (plasticitetsteori) (Nordlund, 2009). De flesta material som deformeras av skjuvning formar tunna skjuvband. Dessa skjuvband är en bra indikator var utfall kommer att ske vilket visas av Edelbro (2008). I verkligheten beror skjuvbandens tjocklek på interna egenskaper hos materialet såsom kornstorlek. I FLAC3D har skjuvbanden en förmåga att följa rutnätet, i stället för att skapas helt fritt. Minsta tjockleken på skjuvbanden är storleken på zonerna i rutnätet när skjuvbanden går parallellt med rutnäten och tre zoner när det går snett över rutnätet. För att få så realistiska skjuvband som möjligt krävs väldigt små zoner vilket kan vara svårt i en tredimensionell modell då beräkningstiden ökar kraftigt ju mindre (och därmed fler) zoner som används (Itasca, 2006). Ett bra sätt att utvärdera eventuellt utfall är att jämföra skjuvbanden med plasticerade zoner. Ifall skjuvbanden går ihop och har kontakt med öppningen (tunnel, bergrum, schakt m.m.) och dessutom är innanför det plasticerade området kan det ses som ett tecken på potentiellt utfall (Edelbro & Sandström 2009). I Figur 15 ses sambanden mellan skjuvband och plasticerade zoner tydligt och kan jämföras mot den analyserade tunnelns verkliga utseende efter skrotning. 16

27 Figur 15 Jämförelse mellan skjuvband (A) och plasticerade zoner (B) och en bild efter skrotning i en ort (C) (Edelbro & Sandström 2009). 17

28

29 3 Fallstudie För att kunna utföra studien behövdes några verklighetsbaserade fall. En stigort i Garpenberg och en undersökningsort i Zinkgruvan valdes då båda dessa har väldokumenterade tryckspänningsinducerade utfall, uppmätta bergspänningar samt att bergmassan är väl karaktäriserad med alla de nödvändiga parametrarna för en analys i FLAC3D. Ytterligare en aspekt till varför dessa valdes var att den tvådimensionella analys som utfördes av Edelbro (2008) med en CSFH modell inte gav resultat som motsvarade de observerade utfallen. 3.1 Stigort i Garpenberg Garpenbergs gruva som ägs av Boliden är Sveriges äldsta gruva som fortfarande är i drift. Varje år bryts över en miljon ton komplexmalm som innehåller zink, koppar, bly, guld och silver (Boliden, 2009). Utfallet skedde i en vertikal stigort med en diameter på 2,13 m som ligger m under markytan. Gruvproduktionen pågår ca 175 m ifrån stigorten, som huvudsakligen ligger i kalksten, men med några sektioner i dolomit-kalksten och breccia. GSI-värdet, för kalkstenen, är relativt högt i detta område, med värden i intervallet Under stigorten är bergspänningsmätningar utförda i kalkstenen med 3D överborrning. Direkt efter att stigorten byggdes började spjälkning att ske vinkelrätt mot huvudspänningens riktning vilket visas i Figur 16. Detta bekräftade spänningsriktningarna från mätningarna. Beräkningar utförda av Edelbro (2008) med CSFH-modellen prognostiserade att utfallet skulle bli större än de 0,05m som observerats. Detta illustreras i Figur 17. Medelvärdena på den enaxiella tryckhållfastheten var i intervallet MPa baserad på enaxiella trycktester i laboration. De parametrar som användes av Edelbro (2008) för analys av stigorten i Garpenberg visas i Tabell 1. Figur 16 Garpenbergs schakt på nivå 880 m (Edelbro, 2008). 19

30 Figur 17 Bild över plasticerade zoner i skjuvning samt den maximala skjuvtöjningen (Edelbro, 2008). Notera att bilderna är vridna 45 grader. Tabell 1 Värden från Garpenberg (Edelbro, 2008). Parameter Värden Enhet Uppmätt utfall 0,05 m σ H 45 MPa σ h 20 MPa σ v 24 MPa GSI 80 σ ci 73 MPa Young s Modulus, E 55 GPa Poisson s ratio, v 0,17 σ 3MAX 23 MPa Material konstant, m i 15 Dilationsvinkel 0 grader Peak friktionsvinkel 10 grader Densitet 2700 Kg/m Undersökningsort i Zinkgruvan Zinkgruvan ägs och drivs av Lundin Mining sedan 2004 och ligger i centrala Sverige. Malmen som bryts innehåller till största delen zink och bly, med silver som biprodukt. Det finns även planer på att börja bryta koppar där målet är att komma igång 2010 (Lundin Mining, 2009). I en undersökningsort för en ny malmkropp på 965 m djup (Figur 18) har det förekommit utfall på grund av spjälkbrott. Tvärsnitt över undersökningsorten visas i Figur 19. Utfallet var begränsat till 0,1-0,2 m i taket på orten vilket visas i Figur 20. Brottytan var färsk, vilket tyder på att intakt berg gått i brott utan inverkan av geologiska strukturer. Inget utfall observerades när orten låg parallellt med huvudspänningsriktningen utan började när orten svängde ca 45 grader. Spänningsmätningar är utförda med överborrning i närheten på djupet 960m. De parametrar som användes av Edelbro (2008) för analys av undersökningsorten i Zinkgruvan visas i Tabell 2. Den dominerande bergarten är spröd kvarts-fältspat leptit (Edelbro, 2008). 20

31 Figur 18 Bild över undersökningsort i Zinkgruvan med spjälkbrott markerat och kopparmalmen röd (Edelbro, 2008). Figur 19 Tvärsnitt över undersökningsorten i Zinkgruvan (Edelbro, 2008). Figur 20 Bild över plasticerade zoner i skjuvning samt den maximala skjuvtöjningen (Edelbro, 2008). 21

32 Tabell 2 Värden från Zinkgruvan (Edelbro, 2008). Parameter Värden Enhet Uppmätt utfall 0,2-0,3 m σ H 55 MPa σ h 54 MPa σ v 28 MPa GSI 70 σ ci 300 MPa Young s Modulus, E 71 GPa Poisson s ratio, v 0,33 σ 3MAX 10 MPa Dilationsvinkel 0 grader Peak friktionsvinkel 10 grader Material konstant, m i 20 Densitet 2660 Kg/m 3 22

33 4 Numerisk analys av fallstudie 4.1 Indata För att kunna göra en elastisk idealplastisk modell och en CSFH-modell i FLAC3D beräknades bulkmodulen och skjuvmodulen enligt 2.15 och Ekvivalenta Mohr-Coulomb parametrar såsom friktionsvinkel, kohesion och draghållfasthet beräknades med Roclab version 1,031 via indata från Garpenberg och Zinkgruvan. Roclab är ett program baserat på det generaliserade Hoek-Brown brottkriteriet och är utvecklat för att beräkna olika bergmasseparametrar (Rocscience, 2009d). All använd indata visas i Bilaga Materialmodeller i FLAC3D FLAC3D har 12 olika materialmodeller (Itasca, 2006). Av dessa användes tre i analyserna. Den första materialmodellen som användes var linjärt elastisk isotrop. Denna modell används för att simulera elastiskt beteende och är den enklaste beskrivningen av ett bergmaterial. Den är representativ för isotropt, kontinuerligt berg som visar elastiskt beteende. Den andra modellen som användes var Mohr-Coulomb som simulerar ett elastiskt idealplastiskt beteende. Den tredje var en deformationshårdnande modell (Strain-Hardening/softening) som används för att simulera en CSFH-modell vilket enligt Edelbro (2008) stämde bäst överrens med de observerade utfallen. 4.3 Beräkningssteg Simuleringen i FLAC3D utfördes i flera steg för att simulera utbrytningen av berg och samtidigt undvika dynamiska effekter. Alla stegen utfördes totalt fyra gånger då både en elastisk idealplastisk modell och CSFH modell användes för de två fallen. 1. Modellen körs till elastisk jämvikt med en elastisc, isotropic modell 2. Modellen ändras till antingen en Mohr-Coulomb modell som används för att simulera en elastisk idealplastisk modell eller till en Strain-Hardening/softening modell som används för att simulera en CSFH modell. Kohesionen och draghållfastheten höjs till extremt höga värden för att simulera elastiskt beteende. Sedan bryts en bit av stigorten/orten ut och modellen körs igen till jämvikt. 3. Kohesionen och draghållfastheten sänks till de ursprungliga värdena och modellen körs till jämvikt. 4. Steg två och tre upprepas till dess modellerna är färdigutbrutna. 4.4 Modellgeometri Zonindelningen för de två fallen (Garpenberg och Zinkgruvan) skiljer sig åt vilket förklaras i och De två modellerna har dock likheter som att alla ränder på modellerna är låsta, vertikala ränder i x-led, horisontella i y-led Garpenberg Modellen för schaktet i Garpenberg (Figur 21) gjordes 28 m bred och hög. För att få hög upplösning och samtidigt ha en acceptabel beräkningstid delades diskretiseringen upp i tre områden där området närmast stigorten har högst zontäthet. Zonerna närmast stigorten har en sidlängd på 1,8 cm. Detta område sträcker sig 2 m ut från centrum på stigorten. Nästa område 23

34 sträcker sig från 2 till 6 m ut från centrum och det sista området 6-14 m ut. I modellens längdriktning används 1 m långa zoner. Kortare zoner i längdled testades utan att någon skillnad i resultatet kunde observeras. Brytningen simuleras genom att schaktet drivs med 1 m nerifrån och uppåt vid varje beräkningssteg enligt kapitel 4.3. En framdrift på 2 dm testades också genom att zonerna i längdled kortades från 1 m till 2 dm medan zonerna i sidled ökades från 1,8 cm till 8 cm. Endast en marginell skillnad i påverkat område runt fronten kunde observeras. Det ansågs därför viktigare att ha små zoner närmast schaktranden i stället för små zoner i längdled. I den tvådimensionella modellen utförd i FLAC3D är zonerna närmast stigortens rand 1 cm. Figur 21 Tvärsnittsbild på rutnätet i Garpenberg när den är fullt utborrad. Till höger en närbild på stigorten Zinkgruvan Endast den del av undersökningsorten i Zinkgruvan där brott har observerats simulerades. Modellen av orten (Figur 22) gjordes 40m bred och hög och delades in i två områden där området närmast orten har högsta zontätheten med en zonstorlek på ca 3,7 cm. Det området sträcker sig 5 m ut från centrum på orten. I längdled är zonstorleken 1 m. Brytningen simuleras genom att 5 m berg tas bort vid varje beräkningssteg enligt kapitel 4.3. Den tvådimensionella modellen i FLAC3D gjordes först med 3,7cm stora zoner och minskades sedan gradvis till 3mm. En minskning av zonstorleken från 1 cm till 3 mm gav ingen märkbar effekt på resultatet. 24

35 Figur 22 Tvärsnittsbild på rutnätet i Zinkgruvan när den är fullt utborrad. Till höger en närbild på undersökningsorten. 25

36

37 5 Resultat Beräkningarna visar inga skjuvband vilket antas bero på att zonerna är för stora. Det skapas dock ett område där utkanten på området antas motsvara skjuvbandens storlek. För att kontrollera detta antagande gjordes en tredimensionell modell och en tvådimensionell modell med likadan zonstorlek, zonfördelning och materialmodell (Figur 23). Resultaten visade på att i den tvådimensionella modellen skapades ett område som i storlek och form påminner om skjuvbanden i Figur 24 medan i den tredimensionella modellen skapades ett mindre område där svaga tecken på skjuvband kan iaktas via en större utbredning av det svarta området där den tvådimensionella modellen visar skjuvband. Detta innebär att antagandet bör stämma. A B Figur 23 Test för att kontrollera hur skjuvtöjningen (min 0 max 0.005) reagerar på zonstorlek. A är en tredimensionell modell medan B är en tvådimensionell modell. Figur 24 Tvådimensionell modell med mindre zonstorlek än Figur Garpenberg Resultaten av beräkningarna visar att den elastisk-idealplastiska modellen indikerar ett utfall (enligt skjuvzonen i Figur 26) som är mindre än det observerade som var 5 cm. Skjuvtöjningens koncentration definierar ett område (potentiellt utfall) som sträcker sig 3,5 cm ut (Figur 26) vilket ligger inom det plasticerade området som sträcker sig 2,9 dm (Figur 25). Ett påverkat område sträcker sig 10 m framför fronten varav 2 m är mer påverkad (Figur 27). Beräkningarna med CSFH modellen visar att skjuvtöjningen (Figur 29) sträcker sig omkring 7,5 cm ut från ortranden. Detta ligger inom det plasticerade området (Figur 28) som sträcker sig 5,8 m ut från ortranden. Precis som för det elastiska idealplastiska fallet sträcker sig ett påverkat område 10 m framför fronten medan ett mer påverkat område når 2 m (Figur 30). 27

38 Den tvådimensionella modell (Figur 31) som skapades i FLAC3D uppvisar skjuvband som sträcker sig 2 dm ut från ortranden vilket stämmer överens med Edelbro (2008). Figur 25 Plasticerade zoner 8-9 m från fronten. Elastisk idealplastisk modell. Figur 26 Inkrementell skjuvtöjning (min 0 max 0.005) 8-9 m från fronten. Elastisk idealplastisk modell. 28

39 Figur 27 σ1 från sidan. Elastisk idealplastisk modell. 29

40 Figur 28 Plasticerade zoner 8-9 m från fronten. CSFH modell. Figur 29 Inkrementell skjuvtöjning (min 0 max 0.005) 8-9 m från fronten. CSFH modell. 30

41 Figur 30 σ1 från sidan. CFSH modell. Figur 31 Inkrementell skjuvtöjning (min 0 max 0,005) i tvådimensionell CSFH modell. 5.2 Zinkgruvan Resultaten från beräkningarna visar att även här indikeras ett utfall i elastisk-idealplastiska modellen som är mindre än det observerade utfallet som var 1-2 dm. Skjuvtöjningen (Figur 33) är störst i ett område som sträcker sig 7 cm ut vilket ligger inom det plasticerade området (Figur 32). Det finns en påverkad zon som sträcker sig 3 m framför fronten (Figur 34). 31

42 CSFH modellen visar att skjuvtöjningen sträcker sig omkring 1,2 dm ut från ortranden (Figur 36). Detta ligger inom det plasticerade området som sträcker sig 8,3 m ut från ortranden (Figur 35). Spänningsförändringarna når 4 m framför fronten. Skjuvtöjningen i den tvådimensionella modellen (som skapades i FLAC3D) sträcker sig 4 cm ut från ortranden vilket skiljer sig från Edelbros (2008) resultat som visar ett betydligt större utfall. Figur 32 Plasticerade zoner m från fronten. Elastisk idealplastisk modell. Figur 33 Inkrementell skjuvtöjning (min 0 max 0,005) m från fronten. Elastisk idealplastisk modell. 32

43 Figur 34 σ1 från sidan. Elastisk idealplastisk modell. Figur 35 Plasticerade zoner m från fronten. CSFH modell. 33

44 Figur 36 Inkrementell skjuvtöjning (min 0 max 0.005) m från fronten. CSFH modell. Figur 37 σ1 från sidan. CSFH modell. Figur 38 Inkrementell skjuvtöjning (min 0 max 0,005) i tvådimensionell CSFH modell. 34

45 5.3 Jämförelse 2D modell mot 3D modell Beräkningarna visar att det plasticerade området i Phase2-modellerna respektive i FLAC3Dmodellerna inte är detsamma även fastän indatat är likadant. I både Figur 39 och Figur 40 visar FLAC3D-modellerna ett område av plasticerade zoner som är betydligt större än maximala skjuvtöjningen medan Phase2-modellerna visar plasticerade zoner som bättre överensstämmer med den maximala skjuvtöjningen. Den maximala skjuvtöjningen kring schaktet i Garpenberg (Figur 39) visar att den tredimensionella modellen överensstämmer bättre med observerat utfall än de tvådimensionella modellerna, där båda indikerar ett för stort utfall. För orten i Zinkgruvan (Figur 40) visar den tvådimensionella modellen i Phase2 ett för stort utfall medan den tvådimensionella modellen i FLAC3D indikerar ett för litet utfall. Den tredimensionella modellen överensstämmer bra med det observerade utfallet. Tvådimensionell modell Phase2 Tvådimensionell modell FLAC3D Tredimensionell modell FLAC3D Plasticerade zoner Maximal skjuvtöjning Zonstorlek närmast kontur 1 cm 1 cm 1,8 cm Figur 39 Jämförelse mellan Edelbros (2008) resultat och CSFH modellerna i FLAC3D Garpenberg. Observerat utfall var 5 cm. Notera att Edelbros (2008) bilder är vridna 45 grader. 35

46 Zonstorlek närmast kontur Maximal skjuvtöjnin Plasticerade Zoner Tvådimensionell modell Phase2 Tvådimensionell modell FLAC3D Tredimensionell modell FLAC3D 1 cm 0,3 cm 3,7 cm Figur 40 Jämförelse mellan Edelbros (2008) resultat och CSFH modellerna i FLAC3D Zinkgruvan. Observerat utfall var 1-2 dm. 36

47 6 Diskussion Skjuvtöjningen visar inga skjuvband i någon av de tredimensionella modellerna vilket antas bero på att zonerna närmast schakt/ort-randen är för stora. Dock visar skjuvtöjningen ett område där utkanten på området antas vara utbredningen på skjuvbanden. Skjuvtöjningen i elastisk-idealplastiska modellen för schaktet i Garpenberg (Figur 26) respektive orten Zinkgruvan (Figur 33) visar båda på mindre utfall än de observerade, vilket var väntat då denna materialmodell överskattar bergmassans hållfasthet. I CSFH modellen skiljer sig resultaten mellan Garpenberg och Zinkgruvan. I Garpenbergs fall visar skjuvtöjningen (Figur 29) ett större utfall än de observerade medan resultaten för orten i Zinkgruvans fall (Figur 36) stämmer bättre överens med de observerade utfallen. De plasticerade zonerna i CSFH modellen (Garpenberg Figur 28 och Zinkgruvan Figur 35) sträcker sig betydligt längre ut från ränderna än vad som sker i den elastiska idealplastiska modellen och den tvådimensionella analysen som utfördes av Edelbro (2008). Detta tyder på att någonting i CSFH modellen i FLAC3D är felaktigt. En eventuell felkälla kan vara att en deformationsmjuknande modell med ett lågt värde på e ps används för att simulera sprödplastiskt beteende. En annan möjlighet är att draghållfastheten är för låg. Saiang (2008) fick liknande problem och efter en korrektion av draghållfastheten blev den plasticerade zonen mer realistisk. Detta kan även vara fallet i denna studie. Den tvådimensionella modell av schaktet i Garpenberg som utfördes med FLAC3D (Figur 31) stämmer överens med Edelbros (2008) resultat. Båda dessa visar ett för stort utfall medan den tredimensionella modellen (Figur 29) visar ett område som mer liknar observerade utfall. Detta kan tyda på att spänningsförhållandena vid fronten kan ha betydelse för bergmassans hållfasthet och därför ger den tredimensionella modellen ett resultat som är närmare det observerade utfallet. Resultaten från den tvådimensionella modellen i FLAC3D, den tvådimensionella modellen i Phase2 och den tredimensionella modellen av orten i Zinkgruvan (Figur 40) stämmer inte överens med varandra. Detta kan bero på att i FLAC3D-modellerna är spänningarna orienterade enligt det verkliga fallet medan i Phase2 måste spänningarna manuellt beräknas så de är orienterade parallellt/vinkelrätt mot undersökningsorten. Detta utfördes visserligen av Edelbro (2008) men spänningarna blir ändå inte exakt samma som i FLAC3D vilket kan ha betydelse för resultaten. En stor skillnad mellan den tredimensionella analysen i denna studie och den tvådimensionella analys Edelbro (2008) utfört är att zonstorleken skiljer sig väsentligt. Edelbro får därför mer detaljerade bilder där skjuvband tydligt kan identifieras vilket inte är fallet i den tredimensionella modellen. De tredimensionella modellerna visar däremot inga skjuvband men med antagande enligt Kapitel 5, dvs. att det område som skjuvtöjningen sträcker sig ut från randen motsvarar skjuvbandens yttersta del, kan det ändå visas att resultaten stämmer bättre mot de observerade utfallen än de tvådimensionella analyserna Edelbro (2008) utfört och de tvådimensionella analyserna som visas i Figur 31 och Figur

NUMERISK ANALYS AV EXPLOSIONSLASTER I BERGTUNNLAR Etapp 2

NUMERISK ANALYS AV EXPLOSIONSLASTER I BERGTUNNLAR Etapp 2 NUMERISK ANALYS AV EXPLOSIONSLASTER I BERGTUNNLAR Etapp 2 Lars Rosengren, Rosengren Bergkonsult AB Terje Brandshaug, GeoTech Consulting Rapport till Vägverket Falun 2002-12-20 Postal address Phone Telefax

Läs mer

TENTAMEN I HÅLLFASTHETSLÄRA FÖR I2 MHA 051. 6 april 2002 08.45 13.45 (5 timmar) Lärare: Anders Ekberg, tel 772 3480

TENTAMEN I HÅLLFASTHETSLÄRA FÖR I2 MHA 051. 6 april 2002 08.45 13.45 (5 timmar) Lärare: Anders Ekberg, tel 772 3480 2002-04-04:anek TENTAMEN I HÅFASTHETSÄRA FÖR I2 MHA 051 6 april 2002 08.45 13.45 (5 timmar) ärare: Anders Ekberg, tel 772 3480 Maximal poäng är 15. För godkänt krävs 6 poäng. AMÄNT Hjälpmedel 1. äroböcker

Läs mer

Ingjuten sensor för mätning av uttorkningsförlopp beräkning av inverkan av sensorns dimension och orientering. Sensobyg delprojekt D4

Ingjuten sensor för mätning av uttorkningsförlopp beräkning av inverkan av sensorns dimension och orientering. Sensobyg delprojekt D4 LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA LUNDS UNIVERSITET Avd Byggnadsmaterial Ingjuten sensor för mätning av uttorkningsförlopp beräkning av inverkan av sensorns dimension och orientering Sensobyg delprojekt D4 Lars-Olof

Läs mer

Polarisation laboration Vågor och optik

Polarisation laboration Vågor och optik Polarisation laboration Vågor och optik Utförs av: William Sjöström 19940404-6956 Philip Sandell 19950512-3456 Laborationsrapport skriven av: William Sjöström 19940404-6956 Sammanfattning I laborationen

Läs mer

Kurvlängd och geometri på en sfärisk yta

Kurvlängd och geometri på en sfärisk yta 325 Kurvlängd och geometri på en sfärisk yta Peter Sjögren Göteborgs Universitet 1. Inledning. Geometrin på en sfärisk yta liknar planets geometri, med flera intressanta skillnader. Som vi skall se nedan,

Läs mer

THALASSOS C o m p u t a t i o n s. Ny hamn i Trelleborg. Modellberäkning av vattenomsättningen öster och väster om hamnen.

THALASSOS C o m p u t a t i o n s. Ny hamn i Trelleborg. Modellberäkning av vattenomsättningen öster och väster om hamnen. THALASSOS C o m p u t a t i o n s Ny hamn i Trelleborg. Modellberäkning av vattenomsättningen öster och väster om hamnen. Jonny Svensson Innehållsförteckning sidan Sammanfattning 3 Bakgrund 3 Metodik 3

Läs mer

Riktlinjer för val av system för karaktärisering och klassificering av berg Underlag för projektering av bygghandling

Riktlinjer för val av system för karaktärisering och klassificering av berg Underlag för projektering av bygghandling Dokument Nr: 9564-13-025-002 Citybanan i Stockholm Riktlinjer för val av system för karaktärisering och klassificering av berg Underlag för projektering av bygghandling Upprättad av Granskad av Godkänd

Läs mer

NORRA LÄNKEN, K3 - ROSLAGSTULL. PM angående bergmekanisk verifiering av typförstärkning för breddad typsektion i huvudtunnlar

NORRA LÄNKEN, K3 - ROSLAGSTULL. PM angående bergmekanisk verifiering av typförstärkning för breddad typsektion i huvudtunnlar NORRA LÄNKEN, K3 - ROSLAGSTULL Stockholm 2004-12-28 SWECO uppdragsnr 2108013 VST Nr 3 B 03 004 PM angående bergmekanisk verifiering av typförstärkning för breddad typsektion i huvudtunnlar Upprättad av:

Läs mer

Analys av två timmerredens påverkan på lastbilsram

Analys av två timmerredens påverkan på lastbilsram EXAMENSARBETE 2008:167 CIV Analys av två timmerredens påverkan på lastbilsram Gustav Nordström CIVILINGENJÖRSPROGRAMMET Maskinteknik Luleå tekniska universitet Institutionen för Tillämpad fysik, maskin-

Läs mer

Bedömning Kastlängder och evakueringsområde, Cementas kalkbrott Skövde.

Bedömning Kastlängder och evakueringsområde, Cementas kalkbrott Skövde. Cementa AB Att: Fredric Cullberg Er ref.: FC Vår ref.: MJ Dok.nr.:1231 2033 R 03 Datum: 2011-12-08. Bedömning Kastlängder och evakueringsområde, Cementas kalkbrott Skövde. Allmänt om stenkastning I samband

Läs mer

9-1 Koordinatsystem och funktioner. Namn:

9-1 Koordinatsystem och funktioner. Namn: 9- Koordinatsystem och funktioner. Namn: Inledning I det här kapitlet skall du lära dig vad ett koordinatsystem är och vilka egenskaper det har. I ett koordinatsystem kan man representera matematiska funktioner

Läs mer

Stommaterialets betydelse för komforten i en byggnad vid ett framtida varmare klimat

Stommaterialets betydelse för komforten i en byggnad vid ett framtida varmare klimat Stommaterialets betydelse för komforten i en byggnad vid ett framtida varmare klimat Ulf Ohlsson Victoria Bonath Mats Emborg Avdelningen för byggkonstruktion och -produktion Institutionen för samhällsbyggnad

Läs mer

ASFALTBELÄGGNING OCH -MASSA

ASFALTBELÄGGNING OCH -MASSA Sid 1 (6) ASFALTBELÄGGNING OCH -MASSA Bestämning av styvhetsmodulen hos asfaltbetong genom pulserande pressdragprovning Bituminous pavement and mixture. Determination of resilient modulus of asphalt concrete

Läs mer

Partiklars rörelser i elektromagnetiska fält

Partiklars rörelser i elektromagnetiska fält Partiklars rörelser i elektromagnetiska fält Handledning till datorövning AST213 Solär-terrest fysik Handledare: Magnus Wik (2862125) magnus@lund.irf.se Institutet för rymdfysik, Lund Oktober 2003 1 Inledning

Läs mer

Program S1.14. SOFTWARE ENGINEERING AB Byggtekniska Program - Geoteknik. Jordtryck

Program S1.14. SOFTWARE ENGINEERING AB Byggtekniska Program - Geoteknik. Jordtryck Program S1.14 SOFTWARE ENGINEERING AB Byggtekniska Program - Geoteknik Jordtryck BYGGTEKNSKA PROGRAM - GEOTEKNIK Jordtryck Software Engineering AB Hisingsgatan 30 417 03 Göteborg Tel : 031-50 83 30 Fax

Läs mer

Stålfiberarmerad betongplatta

Stålfiberarmerad betongplatta Fakulteten för teknik- och naturvetenskap Byggteknik Stefan Lilja Erik Rhodiner Stålfiberarmerad betongplatta En jämförelse mellan nätarmerad och fiberarmerad betongplatta vid Konsum i Sunne Steel fiber

Läs mer

Resultat från beräkningar av brottsannolikhet för en utskovsdel

Resultat från beräkningar av brottsannolikhet för en utskovsdel Resultat från beräkningar av brottsannolikhet för en utskovsdel Marie Westberg Doktorand, Lunds Tekniska högskola & Vattenfall AB Vattenkraft Disposition Organisation Bakgrund Sannolikhetsbaserad utvärdering

Läs mer

Algoritm för uppskattning av den maximala effekten i eldistributionsnät med avseende på Nätnyttomodellens sammanlagringsfunktion

Algoritm för uppskattning av den maximala effekten i eldistributionsnät med avseende på Nätnyttomodellens sammanlagringsfunktion Algoritm för uppskattning av den maximala effekten i eldistributionsnät med avseende på Nätnyttomodellens sammanlagringsfunktion Carl Johan Wallnerström December 2005 Kungliga Tekniska Högskolan (KTH),

Läs mer

Vätebränsle. Namn: Rasmus Rynell. Klass: TE14A. Datum: 2015-03-09

Vätebränsle. Namn: Rasmus Rynell. Klass: TE14A. Datum: 2015-03-09 Vätebränsle Namn: Rasmus Rynell Klass: TE14A Datum: 2015-03-09 Abstract This report is about Hydrogen as the future fuel. I chose this topic because I think that it s really interesting to look in to the

Läs mer

Material. VT1 1,5 p Janne Färm

Material. VT1 1,5 p Janne Färm Material VT1 1,5 p Janne Färm Torsdag 29:a Januari 10:15 12:00 Föreläsning M2 KPP045 Material-delen Förmiddagens agenda Materials mekaniska egenskaper del 1: Kapitel 6 Paus Provning Materials mekaniska

Läs mer

I princip gäller det att mäta ström-spänningssambandet, vilket tillsammans med kännedom om provets geometriska dimensioner ger sambandet.

I princip gäller det att mäta ström-spänningssambandet, vilket tillsammans med kännedom om provets geometriska dimensioner ger sambandet. Avsikten med laborationen är att studera de elektriska ledningsmekanismerna hos i första hand halvledarmaterial. Från mätningar av konduktivitetens temperaturberoende samt Hall-effekten kan en hel del

Läs mer

MODELLERING AV DYNAMISKA SYSTEM OCH INLUPP 2

MODELLERING AV DYNAMISKA SYSTEM OCH INLUPP 2 UPPSALA UNIVERSITET AVDELNINGEN FÖR SYSTEMTEKNIK EKL och PSA, 2002, rev BC 2009, 2013 MODELLERING AV DYNAMISKA SYSTEM DATORSTÖDD RÄKNEÖVNING OCH INLUPP 2 1. Överföringsfunktioner 2. Tillståndsmetodik Förberedelseuppgifter:

Läs mer

Puhtaiden vesien puolesta - opas jätevesien maailmaan

Puhtaiden vesien puolesta - opas jätevesien maailmaan Page 1 of 5 Bruks- och underhållsanvisningar för markbädd Markbädd Slamavskiljare Fördelningsbrunn Uppsamlingsrör Uppsamlingsbrunn Markbädd I en markbädd grundar sig reningen på en biologisk process som

Läs mer

UTVÄRDERING AV DIMENSIONERINGSMODELLER FÖR INFARTSBELYSNING I TUNNLAR.

UTVÄRDERING AV DIMENSIONERINGSMODELLER FÖR INFARTSBELYSNING I TUNNLAR. Uppdragsnr: 10157530 1 (9) UTVÄRDERING AV DIMENSIONERINGSMODELLER FÖR INFARTSBELYSNING I TUNNLAR. Uppdrag Uppdraget omfattar utredning av modellerna i CIE 88:2004, slöjluminans metoden och L20-metoden.

Läs mer

Lektion 1: Fördelningar och deskriptiv analys

Lektion 1: Fördelningar och deskriptiv analys Density Lektion 1: Fördelningar och deskriptiv analys 1.,3 Uniform; Lower=1; Upper=6,3,2,2,1,, 1 2 3 X 4 6 7 Figuren ovan visar täthetsfunktionen för en likformig fördelning. Kurvan antar värdet.2 över

Läs mer

K-uppgifter Strukturmekanik/Materialmekanik

K-uppgifter Strukturmekanik/Materialmekanik K-uppgifter Strukturmekanik/Materialmekanik K 1 Bestäm resultanten till de båda krafterna. Ange storlek och vinkel i förhållande till x-axeln. y 4N 7N x K 2 Bestäm kraftens komposanter längs x- och y-axeln.

Läs mer

NATIONELLT PROV I MATEMATIK KURS D VÅREN 1997. Tidsbunden del

NATIONELLT PROV I MATEMATIK KURS D VÅREN 1997. Tidsbunden del Skolverket hänvisar generellt beträffande provmaterial till bestämmelsen om sekretess i 4 kap. 3 sekretesslagen. För detta material gäller sekretessen till och med utgången av november 1997. NATIONELLT

Läs mer

Module 6: Integrals and applications

Module 6: Integrals and applications Department of Mathematics SF65 Calculus Year 5/6 Module 6: Integrals and applications Sections 6. and 6.5 and Chapter 7 in Calculus by Adams and Essex. Three lectures, two tutorials and one seminar. Important

Läs mer

Deformationsberäkning runt tunnlar under Sabbatsberg 18

Deformationsberäkning runt tunnlar under Sabbatsberg 18 Svenska Bostäder Deformationsberäkning runt tunnlar under Sabbatsberg 18 Luleå 2015-09-17 Deformationsberäkning runt tunnlar under Sabbatsberg 18 Datum 2015-09-17 Uppdragsnummer 1320007726/1320016324 Ivan

Läs mer

Uppgift 1. Deskripitiv statistik. Lön

Uppgift 1. Deskripitiv statistik. Lön Uppgift 1 Deskripitiv statistik Lön Variabeln Lön är en kvotvariabel, även om vi knappast kommer att uppleva några negativa värden. Det är sannolikt vår intressantaste variabel i undersökningen, och mot

Läs mer

Figur 1. Skärmbild med markerade steg i videon. Diagram och tabell som visar positionerna som funktion av tiden.

Figur 1. Skärmbild med markerade steg i videon. Diagram och tabell som visar positionerna som funktion av tiden. Videomodellering I tillägg till videoanalys är det möjligt att skapa modeller i Tracker. Genom att använda en video av ett försök kan man utifrån denna skapa en modell som beskriver förloppet. Det finns

Läs mer

Material, form och kraft, F4

Material, form och kraft, F4 Material, form och kraft, F4 Repetition Kedjekurvor, trycklinjer Material Linjärt elastiskt material Isotropi, ortotropi Mikro/makro, cellstrukturer xempel på materialegenskaper Repetition, kedjekurvan

Läs mer

CAEBSK10 Balkpelare stål

CAEBSK10 Balkpelare stål CAEBSK10 Balkpelare stål Användarmanual 1 Eurocode Software AB Innehåll 1 INLEDNING...3 1.1 TEKNISK BESKRIVNING...3 2 INSTRUKTIONER...3 2.1 KOMMA IGÅNG MED CAEBSK10...4 2.2 INDATA...4 2.2.1 GRUNDDATA...5

Läs mer

Second handbook of research on mathematics teaching and learning (NCTM)

Second handbook of research on mathematics teaching and learning (NCTM) Second handbook of research on mathematics teaching and learning (NCTM) The effects of classroom mathematics teaching on students learning. (Hiebert & Grouws, 2007) Inledande observationer Undervisningens

Läs mer

Detaljplan Finntorp. Bergteknisk utredning. Bergab Berggeologiska Undersökningar AB. Beställare: Rådhuset Arkitekter AB UG14053 2014-05-19

Detaljplan Finntorp. Bergteknisk utredning. Bergab Berggeologiska Undersökningar AB. Beställare: Rådhuset Arkitekter AB UG14053 2014-05-19 Beställare: Rådhuset Arkitekter AB Detaljplan Finntorp Bergab Berggeologiska Undersökningar AB Uppdragsansvarig Joakim Karlsson Handläggare Helena Kiel L:\UPPDRAG\ Detaljplan Finntorp\Text\Arbetsmaterial\Rapport

Läs mer

WÄSA STONE & MINING AB

WÄSA STONE & MINING AB WÄSA STONE & MINING AB 1 Affärsidé Wäsa Stone & Minings AB (WSM) affärsidé är att genom framgångsrik och kostnadseffektiv mineralprospektering påvisa brytvärda fyndigheter, som kan utvinnas och förädlas

Läs mer

Dekomponering av löneskillnader

Dekomponering av löneskillnader Lönebildningsrapporten 2013 133 FÖRDJUPNING Dekomponering av löneskillnader Den här fördjupningen ger en detaljerad beskrivning av dekomponeringen av skillnader i genomsnittlig lön. Först beskrivs metoden

Läs mer

Prov med krossad betong på Stenebyvägen i Göteborg

Prov med krossad betong på Stenebyvägen i Göteborg VTI notat 68 21 VTI notat 68-21 Prov med krossad betong på Stenebyvägen i Göteborg Lägesrapport 21 Författare FoU-enhet Projektnummer 6611 Projektnamn Uppdragsgivare Distribution Håkan Carlsson Väg- och

Läs mer

WALLENBERGS FYSIKPRIS 2014

WALLENBERGS FYSIKPRIS 2014 WALLENBERGS FYSIKPRIS 2014 Tävlingsuppgifter (Finaltävlingen) Riv loss detta blad och lägg det överst tillsammans med de lösta tävlingsuppgifterna i plastmappen. Resten av detta uppgiftshäfte får du behålla.

Läs mer

Svar och arbeta vidare med Student 2008

Svar och arbeta vidare med Student 2008 Student 008 Svar och arbeta vidare med Student 008 Det finns många intressanta idéer i årets Känguruaktiviteter. Problemen kan inspirera undervisningen under flera lektioner. Här ger vi några förslag att

Läs mer

CHANGE WITH THE BRAIN IN MIND. Frukostseminarium 11 oktober 2018

CHANGE WITH THE BRAIN IN MIND. Frukostseminarium 11 oktober 2018 CHANGE WITH THE BRAIN IN MIND Frukostseminarium 11 oktober 2018 EGNA FÖRÄNDRINGAR ü Fundera på ett par förändringar du drivit eller varit del av ü De som gått bra och det som gått dåligt. Vi pratar om

Läs mer

Forma komprimerat trä

Forma komprimerat trä Forma komprimerat trä - maskinell bearbetning av fria former Peter Conradsson MÖBELSNICKERI Carl Malmsten Centrum för Träteknik & Design REG NR: LiU-IEI-TEK-G 07/0025 SE Oktober 2007 Omslagsbild: Stol

Läs mer

R AKNE OVNING VECKA 1 David Heintz, 31 oktober 2002

R AKNE OVNING VECKA 1 David Heintz, 31 oktober 2002 RÄKNEÖVNING VECKA David Heintz, 3 oktober 22 Innehåll Uppgift 27. 2 Uppgift 27.8 4 3 Uppgift 27.9 6 4 Uppgift 27. 9 5 Uppgift 28. 5 6 Uppgift 28.2 8 7 Uppgift 28.4 2 Uppgift 27. Determine primitive functions

Läs mer

BeFo-projekt #350. Tunneldrivning i heterogena förhållanden. Översiktlig studie av styrande egenskaper avseende deformationer

BeFo-projekt #350. Tunneldrivning i heterogena förhållanden. Översiktlig studie av styrande egenskaper avseende deformationer BeFo-projekt #350 Tunneldrivning i heterogena förhållanden Översiktlig studie av styrande egenskaper avseende deformationer Magnus Eriksson, SGI (nuv. Trafikverket) Rebecca Bertilsson, SGI Jonny Sjöberg,

Läs mer

Blandade problem från väg- och vattenbyggnad

Blandade problem från väg- och vattenbyggnad Blandade problem från väg- och vattenbyggnad Sannolikhetsteori (Kapitel 1 7) V1. Vid en undersökning av bostadsförhållanden finner man att av 300 lägenheter har 240 bad (och dusch) medan 60 har enbart

Läs mer

JÄMFÖRELSE AV STRATEGIER FÖR ANALYS AV BERGFÖRSTÄRKNING MED NUMERISKA MODELLER

JÄMFÖRELSE AV STRATEGIER FÖR ANALYS AV BERGFÖRSTÄRKNING MED NUMERISKA MODELLER JÄMFÖRELSE AV STRATEGIER FÖR ANALYS AV BERGFÖRSTÄRKNING MED NUMERISKA MODELLER Comparison of Strategies for Analysis of Ground Support Using Numerical Models SAMMANFATTNING Terje Brandshaug, Itasca Consulting

Läs mer

The National Institute of Child Health and Human Development (NICHD) Protocol: Intervjuguide

The National Institute of Child Health and Human Development (NICHD) Protocol: Intervjuguide The National Institute of Child Health and Human Development (NICHD) Protocol: Intervjuguide This Swedish version is based on the English version available on the NICHD Protocol website (www.nichdprotocol.com).

Läs mer

PM GEOTEKNIK. Geoteknik för detaljplan, förskola inom Balltorp 1:124. Mölndals Stad. PM Geoteknik. Sweco Civil AB. Geoteknik, Göteborg

PM GEOTEKNIK. Geoteknik för detaljplan, förskola inom Balltorp 1:124. Mölndals Stad. PM Geoteknik. Sweco Civil AB. Geoteknik, Göteborg Geoteknik för detaljplan, förskola inom Balltorp 1:124. Mölndals Stad. Uppdragsnummer 2305 713 PM Geoteknik Göteborg 2015-04-24 Sweco Civil AB Geoteknik, Göteborg ra04s 2011-02-17 Sweco Rosenlundsgatan

Läs mer

1.1 Mätning av permittiviteten i vakuum med en skivkondensator

1.1 Mätning av permittiviteten i vakuum med en skivkondensator PERMITTIVITET Inledning Låt oss betrakta en skivkondensator som består av två parallella metalskivor. Då en laddad partikel förflyttas från den ena till den andra skivan får skivorna laddningen +Q och

Läs mer

Automater. Matematik för språkteknologer. Mattias Nilsson

Automater. Matematik för språkteknologer. Mattias Nilsson Automater Matematik för språkteknologer Mattias Nilsson Automater Beräkningsmodeller Beräkning - (eng) Computation Inom automatateorin studeras flera olika beräkningsmodeller med olika egenskaper och olika

Läs mer

Kopparsmälta från Hagby

Kopparsmälta från Hagby UV GAL PM 2013:02 GEOARKEOLOGISK UNDERSÖKNING Kopparsmälta från Hagby Kemisk analys av en smälta Småland, Kalmar kn, Hagby sn, Lokal 29, RAÄ 146 Lena Grandin Innehåll Sammanfattning... 5 Abstract... 5

Läs mer

Repetitionsuppgifter i Matematik inför Basår. Matematiska institutionen Linköpings universitet 2014

Repetitionsuppgifter i Matematik inför Basår. Matematiska institutionen Linköpings universitet 2014 Repetitionsuppgifter i Matematik inför Basår Matematiska institutionen Linköpings universitet 04 Innehåll De fyra räknesätten Potenser och rötter 7 Algebra 0 4 Funktioner 7 Logaritmer 9 6 Facit 0 Repetitionsuppgifter

Läs mer

Innehåll. Bilaga 3 Sammanvägd ljudnivå vid fasad

Innehåll. Bilaga 3 Sammanvägd ljudnivå vid fasad PM LEKSANDSBOSTÄDER AB Trafikbullerutredning för Snedkanten, Leksands kommun UPPDRAGSNUMMER 1520988 SLUTRAPPORT VERSION 4 Rev Sweco Environment AB Falun Miljö UPPDRAGSLEDARE/HANDLÄGGARE: SARA DAHSLTEN

Läs mer

Mekanik FK2002m. Kraft och rörelse II

Mekanik FK2002m. Kraft och rörelse II Mekanik FK2002m Föreläsning 5 Kraft och rörelse II 2013-09-06 Sara Strandberg SARA STRANDBERG P. 1 FÖRELÄSNING 5 Introduktion Vi har hittills behandlat ganska idealiserade problem, t.ex. system i avsaknad

Läs mer

Möjligheter och begränsningar hos höghållfasta stål

Möjligheter och begränsningar hos höghållfasta stål Möjligheter och begränsningar hos höghållfasta stål Användning av höghållfasta stål har möjliggjort nya typer av konstruktionslösningar. Kunskap om deras möjligheter och begränsningar kan därmed bidra

Läs mer

Vejdimensionering som bygger på observationsmetodik

Vejdimensionering som bygger på observationsmetodik Vejdimensionering som bygger på observationsmetodik Ulf Ekdahl Ekdahl GeoDesign AB NCHRP Project 21-09 Intelligent Soil Compaction Systems FoU arbete sommaren 2008 i Dynapacs forskningshall Analytisk vägdimensionering

Läs mer

Ubbarp 8:20 mfl och Vist 10:25 mfl, Detaljplan, Ulricehamn PM beträffande geotekniska förhållanden

Ubbarp 8:20 mfl och Vist 10:25 mfl, Detaljplan, Ulricehamn PM beträffande geotekniska förhållanden Ubbarp 8:20 mfl och Vist 10:25 mfl, Detaljplan, Ulricehamn Beställare: ICA Fastigheter Sverige AB Statoil Fuel & Retail Sverige AB Svenska McDonald s AB Beställarens representant: Jan-Anders Börjesson

Läs mer

Detaljplan till Bogesund 1:235, Granhagen i Ulricehamns kommun, Västra Götalands län. Geoteknisk besiktning PM Planeringsunderlag

Detaljplan till Bogesund 1:235, Granhagen i Ulricehamns kommun, Västra Götalands län. Geoteknisk besiktning PM Planeringsunderlag i 2012-11-15 1 017 Upprättad av: Kund Standtec Ringblomsvägen 2523 33 Ulricehamn Lennart Standoft Tfn: 0321 137 88 Konsult WSP Samhällsbyggnad Box 13033 402 51 Göteborg Besök: Rullagergatan 4 Tel: +46

Läs mer

LABORATIONSHÄFTE NUMERISKA METODER GRUNDKURS 1, 2D1210 LÄSÅRET 03/04. Laboration 3 3. Torsionssvängningar i en drivaxel

LABORATIONSHÄFTE NUMERISKA METODER GRUNDKURS 1, 2D1210 LÄSÅRET 03/04. Laboration 3 3. Torsionssvängningar i en drivaxel Lennart Edsberg Nada, KTH December 2003 LABORATIONSHÄFTE NUMERISKA METODER GRUNDKURS 1, 2D1210 M2 LÄSÅRET 03/04 Laboration 3 3. Torsionssvängningar i en drivaxel 1 Laboration 3. Differentialekvationer

Läs mer

Svaren på förståelsedelen skall ges direkt på tesen som ska lämnas in

Svaren på förståelsedelen skall ges direkt på tesen som ska lämnas in Dugga i Elektromagnetisk fältteori för F2. EEF031 20121124 kl. 8.3012.30 Tillåtna hjälpmedel: BETA, Physics Handbook, Formelsamling i Elektromagnetisk fältteori, Valfri kalkylator men inga egna anteckningar

Läs mer

6.2 Partikelns kinetik - Tillämpningar Ledningar

6.2 Partikelns kinetik - Tillämpningar Ledningar 6.2 Partikelns kinetik - Tillämpningar Ledningar 6.13 Det som känns som barnets tyngd är den uppåtriktade kraft F som mannen påverkar barnet med. Denna fås ur Newton 2 för barnet. Svar i kilogram måste

Läs mer

12.6 Heat equation, Wave equation

12.6 Heat equation, Wave equation 12.6 Heat equation, 12.2-3 Wave equation Eugenia Malinnikova, NTNU September 26, 2017 1 Heat equation in higher dimensions The heat equation in higher dimensions (two or three) is u t ( = c 2 2 ) u x 2

Läs mer

Dataprojekt. Nanovetenskapliga tankeverktyg. January 18, 2008

Dataprojekt. Nanovetenskapliga tankeverktyg. January 18, 2008 Dataprojekt. Nanovetenskapliga tankeverktyg. January 18, 2008 Dataprojekt 1: Fourierserier Två av fysikens mest centrala ekvationer är vågekvationen och värmeledningsekvationen. Båda dessa ekvationer är

Läs mer

Mönster. Ulf Cederling Växjö University Ulf.Cederling@msi.vxu.se http://www.msi.vxu.se/~ulfce. Slide 1

Mönster. Ulf Cederling Växjö University Ulf.Cederling@msi.vxu.se http://www.msi.vxu.se/~ulfce. Slide 1 Mönster Ulf Cederling Växjö University UlfCederling@msivxuse http://wwwmsivxuse/~ulfce Slide 1 Beskrivningsmall Beskrivningsmallen är inspirerad av den som användes på AG Communication Systems (AGCS) Linda

Läs mer

Konsoliderad version av. Styrelsens för ackreditering och teknisk kontroll (SWEDAC) föreskrifter och allmänna råd (STAFS 2006:10) om automatiska vågar

Konsoliderad version av. Styrelsens för ackreditering och teknisk kontroll (SWEDAC) föreskrifter och allmänna råd (STAFS 2006:10) om automatiska vågar Konsoliderad version av Styrelsens för ackreditering och teknisk kontroll (SWEDAC) föreskrifter och allmänna råd (STAFS 2006:10) om automatiska vågar Ändring införd t.o.m. STAFS 2011:25 Tillämpningsområde

Läs mer

Statistisk acceptanskontroll

Statistisk acceptanskontroll Publikation 1994:41 Statistisk acceptanskontroll BILAGA 1 Exempel på kontrollförfaranden Metodbeskrivning 908:1994 B1 Exempel på kontrollförfaranden... 5 B1.1 Nivåkontroll av terrassyta, exempel... 5 B1.1.1

Läs mer

Tillväxt och klimatmål - ett räkneexempel

Tillväxt och klimatmål - ett räkneexempel Tillväxt och klimatmål - ett räkneexempel 2012-02-07 Detta dokument är ett räkneexempel som har tagits fram som stöd i argumentationen för en motion till Naturskyddsföreningens riksstämma år 2012. Motionen

Läs mer

EXAMENSARBETE. Ventilationskarta, Björkdals underjordsgruva. Mattias Holmgren. Högskoleexamen Bygg och anläggning

EXAMENSARBETE. Ventilationskarta, Björkdals underjordsgruva. Mattias Holmgren. Högskoleexamen Bygg och anläggning EXAMENSARBETE Ventilationskarta, Björkdals underjordsgruva Mattias Holmgren Högskoleexamen Bygg och anläggning Luleå tekniska universitet Institutionen för samhällsbyggnad och naturresurser Ventilationskarta

Läs mer

2. Förklara vad en egenfrekvens är. English: Explain what en eigenfrequency is.

2. Förklara vad en egenfrekvens är. English: Explain what en eigenfrequency is. Linköpings Universitet, Hållfasthetslära, IEI/IKP TENTAMEN i Mekaniska svängningar och utmattning, TMMI09 2007-10-16 kl 14-18 L Ö S N I N G A R ---- SOLUTIONS 1. Ange sambanden mellan vinkelfrekvens ω,

Läs mer

Concept Selection Chaper 7

Concept Selection Chaper 7 Akademin för Innovation, Design och Teknik Concept Selection Chaper 7 KPP306 Produkt och processutveckling Grupp 2 Johannes Carlem Daniel Nordin Tommie Olsson 2012 02 28 Handledare: Rolf Lövgren Inledning

Läs mer

Vad vi ska prata om idag:

Vad vi ska prata om idag: Vad vi ska prata om idag: Om det omöjliga i att färdas snabbare än ljuset...... och om gravitation enligt Newton och enligt Einstein. Äpplen, hissar, rökelse, krökta rum......och stjärnor som används som

Läs mer

Konstruktioner av kallformad stål- och aluminiumplåt

Konstruktioner av kallformad stål- och aluminiumplåt Konstruktioner av kallformad stål- och aluminiumplåt Torsten Höglund, KTH, Juni 2007. EN 1993-1-3 och EN 1999-1-4 behandlar konstruktioner av kallformad stål- och aluminiumplåt och härrör ursprungligen

Läs mer

Omtentamen i DV & TDV

Omtentamen i DV & TDV Umeå Universitet Institutionen för Datavetenskap Gunilla Wikström (e-post wikstrom) Omtentamen i Teknisk-Vetenskapliga Beräkningar för DV & TDV Tentamensdatum: 2005-06-07 Skrivtid: 9-15 Hjälpmedel: inga

Läs mer

Överbyggnadsbeskrivning

Överbyggnadsbeskrivning 2016/06/28 13:53 1/12 Överbyggnadsbeskrivning Överbyggnadsbeskrivning Använd funktionen för att definiera/modifiera vägens överbyggnad. Funktionen kan också användas för Rehabiliteringsprojekt rehabilitering.

Läs mer

Solowheel. Namn: Jesper Edqvist. Klass: TE14A. Datum: 2015-03-09

Solowheel. Namn: Jesper Edqvist. Klass: TE14A. Datum: 2015-03-09 Solowheel Namn: Jesper Edqvist Klass: TE14A Datum: 2015-03-09 Abstract We got an assignment that we should do an essay about something we wanted to dig deeper into. In my case I dug deeper into what a

Läs mer

CAEMRK12 Grundplatta. Användarmanual

CAEMRK12 Grundplatta. Användarmanual Användarmanual Eurocode Software AB 1 Innehåll 1 INLEDNING...3 1.1 TEKNISK BESKRIVNING...3 2 INSTRUKTIONER...4 2.1 KOMMA IGÅNG MED CAEMRK12...5 2.2 INDATA...5 2.2.1 GRUNDDATA...6 2.2.2 GEOMTERI...7 2.2.3

Läs mer

Hur fattar samhället beslut när forskarna är oeniga?

Hur fattar samhället beslut när forskarna är oeniga? Hur fattar samhället beslut när forskarna är oeniga? Martin Peterson m.peterson@tue.nl www.martinpeterson.org Oenighet om vad? 1.Hårda vetenskapliga fakta? ( X observerades vid tid t ) 1.Den vetenskapliga

Läs mer

Kommentar till bilderna. Att spara hörsel för framtiden. Bara det värdefulla är vi beredda att skydda! Hörseln vad kan vi förstå?!

Kommentar till bilderna. Att spara hörsel för framtiden. Bara det värdefulla är vi beredda att skydda! Hörseln vad kan vi förstå?! Kommentar till bilderna Att spara hörsel för framtiden SIS-seminarium i Stockholm 2010-11-10 Anders Jönsson Dessa bilder är gjorda att tala till och innehåller inte en sammanfattning av föredraget. Dessutom

Läs mer

Statik. Nåväl låt oss nu se vad som är grunderna för att takstolsberäkningen ska bli som vi tänkt.

Statik. Nåväl låt oss nu se vad som är grunderna för att takstolsberäkningen ska bli som vi tänkt. Statik Huvuddelen av alla takstolsberäkningar utförs idag med hjälp av ett beräkningsprogram, just anpassade för takstolsdimensionering. Att ha ett av dessa program i sin dator, innebär inte att användaren

Läs mer

Bilaga 4.1 Uppskattning av antalet erforderliga provpunkter och analyser vid detaljundersökningen. Bakgrund. Metod. Konfidensintervallens utveckling

Bilaga 4.1 Uppskattning av antalet erforderliga provpunkter och analyser vid detaljundersökningen. Bakgrund. Metod. Konfidensintervallens utveckling 1 (17) Bilaga 4.1 Uppskattning av antalet erforderliga provpunkter och analyser vid detaljundersökningen Nedanstående material utgick från resultatet av förundersökningen och har legat till grund för dimensioneringen

Läs mer

a) Vad är sannolikheten att det tar mer än 6 sekunder för programmet att starta?

a) Vad är sannolikheten att det tar mer än 6 sekunder för programmet att starta? Tentamen i Matematisk statistik, S0001M, del 1, 2008-01-18 1. Ett företag som köper enheter från en underleverantör vet av erfarenhet att en viss andel av enheterna kommer att vara felaktiga. Sannolikheten

Läs mer

Modellering av dynamiska spårkrafter från spårvagnar. Examensarbete utfört av Ejder Eken och Robert Friberg Presentation för Swedtrain, 2016-05-25

Modellering av dynamiska spårkrafter från spårvagnar. Examensarbete utfört av Ejder Eken och Robert Friberg Presentation för Swedtrain, 2016-05-25 Modellering av dynamiska spårkrafter från spårvagnar Examensarbete utfört av Ejder Eken och Robert Friberg Presentation för Swedtrain, 2016-05-25 1 Syfte Att ta fram ett användbart beräkningsverktyg/modell

Läs mer

Att göra investeringskalkyler med hjälp av

Att göra investeringskalkyler med hjälp av MIO040 Industriell ekonomi FK 2013-02-21 Inst. för Teknisk ekonomi och Logistik Mona Becker Att göra investeringskalkyler med hjälp av Microsoft Excel 2007 Förord Föreliggande PM behandlar hur man gör

Läs mer

Hamburgsund 3:220 m.fl.

Hamburgsund 3:220 m.fl. Hamburgsund 3:220 m.fl. Projekterings PM Göteborg 2012-08-31 Beställare: Tanums kommun Projektbeteckning: Hamburgsund 3:220 m.fl. Structor Mark Göteborg AB Uppdragsnummer: 4017-1201 Uppdragsansvarig: Jimmy

Läs mer

KTH MMK JH TENTAMEN I HYDRAULIK OCH PNEUMATIK allmän kurs 2006-12-18 kl 09.00 13.00

KTH MMK JH TENTAMEN I HYDRAULIK OCH PNEUMATIK allmän kurs 2006-12-18 kl 09.00 13.00 KTH MMK JH TENTAMEN I HYDRAULIK OCH PNEUMATIK allmän kurs 2006-12-18 kl 09.00 13.00 Svaren skall vara läsligt skrivna och så uppställda att lösningen går att följa. När du börjar på en ny uppgift - tag

Läs mer

1 Inledning. 2 Yttrande

1 Inledning. 2 Yttrande PM TITEL Kommentarer till yttrande Riskanalys för östra centrum i Partille DATUM 25. februari 2013 PROJEKTNUMMER A026849 / 164361 VERSION PM001 UTARBETAD Rebecka Thorwaldsdotter GRANSKAD Göran Davidsson

Läs mer

Test av kranspetsvågar i virkesfordon

Test av kranspetsvågar i virkesfordon Datum 2016-02-18 Författare Sven Gustafsson Test av kranspetsvågar i virkesfordon WWW.SDC.SE P o s t a d r e s s : 8 5 1 8 3 S u n d s v a l l B e s ö k s a d r e s s : S k e p p a r p l a t s e n 1 T

Läs mer

Inverkan av balkonginglasning

Inverkan av balkonginglasning Image size: 7,94 cm x 25,4 cm Inverkan av balkonginglasning på armeringskorrosion Ali Farhang Bro & Tunnel Ramböll Sverige AB Agenda Balkonginglasning Bakgrund om karbonatisering och armeringskorrosion

Läs mer

Varje land ska bidra efter sitt ansvar och sin förmåga. Det lovade världens länder när de skrev på FN:s klimatkonvention. iv

Varje land ska bidra efter sitt ansvar och sin förmåga. Det lovade världens länder när de skrev på FN:s klimatkonvention. iv Klimat 3H: Ansvar (På 3 i minuter hinner du läsa eller skumma hela det här mailet, d.v.s. allt som inte är bonus, footer eller fotnoter. Gör det nu. ii ) (Den här sektionen bygger på GDR. iii All information

Läs mer

ELLÄRA. Denna power point är gjord för att du ska få en inblick i elektricitet. Vad är spänning, ström? Var kommer det ifrån? Varför lyser lampan?

ELLÄRA. Denna power point är gjord för att du ska få en inblick i elektricitet. Vad är spänning, ström? Var kommer det ifrån? Varför lyser lampan? Denna power point är gjord för att du ska få en inblick i elektricitet. Vad är spänning, ström? Var kommer det ifrån? Varför lyser lampan? För många kan detta vara ett nytt ämne och till och med en helt

Läs mer

I denna artikel vill vi belysa frågan om tjäle och hur den är kopplad till grundläggning av vindkraftverk.

I denna artikel vill vi belysa frågan om tjäle och hur den är kopplad till grundläggning av vindkraftverk. Grundläggning av vindkraftverk med hänsyn till tjäle På grund av den snabba utbyggnaden av vindkraftverk är erfarenheten från byggande i kallt klimat för dessa konstruktioner begränsad. Den forskning som

Läs mer

Installationsanvisning. Infiltrationsmodul

Installationsanvisning. Infiltrationsmodul Installationsanvisning Infiltrationsmodul VERSION: 1/2005 Innehåll Infiltrationsmodul 3 4 5 6 7 Allmänt, projektering Så här anlägger du ett infiltrationsmodulsystem Dimensionering Placering med hänsyn

Läs mer

Biomekanik, 5 poäng Moment

Biomekanik, 5 poäng Moment (kraftmoment) En resulterande (obalanserad kraft) strävar efter att ändra en kropps rörelsetillstånd. Den kan också sträva efter att vrida en kropp. Måttet på kraftens förmåga att vrida kroppen runt en

Läs mer

STABILITETSANALYSER AV STORA KONSTRUKTIONER GRUNDLAGDA PÅ BERG En inledande litteraturstudie. Fredrik Johansson. SveBeFo Rapport 74

STABILITETSANALYSER AV STORA KONSTRUKTIONER GRUNDLAGDA PÅ BERG En inledande litteraturstudie. Fredrik Johansson. SveBeFo Rapport 74 STIFTELSEN SVENSK BERGTEKNISK FORSKNING SWEDISH ROCK ENGINEERING RESEARCH STABILITETSANALYSER AV STORA KONSTRUKTIONER GRUNDLAGDA PÅ BERG En inledande litteraturstudie Fredrik Johansson STIFTELSEN SVENSK

Läs mer

Kurskod: TAMS28 MATEMATISK STATISTIK Provkod: TEN1 05 June 2017, 14:00-18:00. English Version

Kurskod: TAMS28 MATEMATISK STATISTIK Provkod: TEN1 05 June 2017, 14:00-18:00. English Version Kurskod: TAMS28 MATEMATISK STATISTIK Provkod: TEN1 5 June 217, 14:-18: Examiner: Zhenxia Liu (Tel: 7 89528). Please answer in ENGLISH if you can. a. You are allowed to use a calculator, the formula and

Läs mer

Inference in multiplicative pricing

Inference in multiplicative pricing Inference in multiplicative pricing Tariffanalysis med svaga antaganden Föredrag i aktuarieföreningen 2015-11-26 Stig Rosenlund Metoderna är implementerade i programspråket Rapp. För att hitta Rapp på

Läs mer

En bild säger mer än tusen ord?

En bild säger mer än tusen ord? Faculteit Letteren en Wijsbegeerte Academiejaar 2009-2010 En bild säger mer än tusen ord? En studie om dialogen mellan illustrationer och text i Tiina Nunnallys engelska översättning av Pippi Långstrump

Läs mer

Häckningsresultat hos stare 2006 2008 i Kvismaren

Häckningsresultat hos stare 2006 2008 i Kvismaren Häckningsresultat hos stare 2006 2008 i Kvismaren Jan Sondell I förra årsskriften presenterades en sammanfattning av de studier av stare som pågått vid Kvismare fågelstation under drygt fyra decennier.

Läs mer

Projektmodell med kunskapshantering anpassad för Svenska Mässan Koncernen

Projektmodell med kunskapshantering anpassad för Svenska Mässan Koncernen Examensarbete Projektmodell med kunskapshantering anpassad för Svenska Mässan Koncernen Malin Carlström, Sandra Mårtensson 2010-05-21 Ämne: Informationslogistik Nivå: Kandidat Kurskod: 2IL00E Projektmodell

Läs mer

Inlämningsuppgift 4 NUM131

Inlämningsuppgift 4 NUM131 Inlämningsuppgift 4 NUM131 Modell Denna inlämningsuppgift går ut på att simulera ett modellflygplans rörelse i luften. Vi bortser ifrån rörelser i sidled och studerar enbart rörelsen i ett plan. De krafter

Läs mer