Extraövningar, linjär algebra
|
|
- Gunilla Hermansson
- för 8 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 Extraövningar, linjär algebra Uppgifter markerade med * kan innehålla något moment som är kursivt, medan uppgifter markerade med ** kan vara av det svårare slaget och innehålla något moment som inte ingår i kursen. De är bland annat här för att belysa hur metoder i linjär algebra återfinns i andra delar av matematiken och i andra ämnen. För övningar markerade med glasögon ( ) är det tänkt att du bara ska läsa och begrunda. Dessa exempel belyser ofta någon tillämpning av linjär algebra som ej ingår i kursen. Linjära ekvationssystem E Jörn och Gunlög är syskon. Jörn har två gånger fler systrar än bröder och Gunlög har lika många systrar som bröder. Hur stor är syskonskaran? E 2 Ask och Embla ska köpa choklad. Ask observerar att Om jag ger dig hälften av mina pengar så kan du köpa två chokladkakor. Embla undrar då Om jag ger dig hälften av mina pengar, hur många chokladkakor kan du köpa då?. Ask svarar att då kan han köpa en chokladkaka. Hur mycket pengar hade Ask? E 3 Trafikkontoret har i en stad med fem vägar mätt trafikflödet (bilar per timme) på vissa ställen, se figuren nedan. Ställ upp ett ekvationssystem för flödet vid de övriga gatorna (pilarna) i staden. (Vi antar att inga bilar parkerar i staden och därmed att lika många bilar som kör in i varje korsning måste köra ut ur densamma.) Har de mätt på tillräckligt många platser för att kunna bestämma flödena överallt? E 4 Tabellen nedan ger antalet milligram (mg) av vitamin A, vitamin B och kalcium som fyra olika maträtter innehåller per 00 gram (g). Antag att en person vill sätta samman en kost bestående av 200 mg vitamin A, 250 mg vitamin C och 300 mg kalcium. Ställ upp ett linjärt ekvationssystem vars lösning ger personen rätt näringsvärde. Kan man förvänta sig att lösningen är unik? Mat Mat 2 Mat 3 Mat 4 Vitamin A Vitamin C Kalcium E 5 För en kvadratisk metallisk platta hålls sidorna vid konstant temperatur (enhet C) enligt figur nedan. Vidare kan man vid anta att det efter en viss tid uppstår jämvikt och att det då i de fyra inre punkter som är markerade gäller att temperaturen kan uppskattas med medelvärdet av de fyra punkter de är sammanknutna med. Vilken uppskattning ger det för temperaturen i dessa punkter? 20 *E 6 Jag har 32 mynt i fickan fördelade på enkronor, femkronor och tior. Hur många har jag av varje sort om deras totala värde är 00 kr? Vektorer E 7 Låt i en godtycklig konvex fyrhörning ABCD punkten M beteckna skärningen mellan diagonalerna AC och BD. a. Visa att om M skär diagonalerna mitt itu så är AB =DC. b. Visa att om AB =DC och AD=BC så skär M diagonalerna AC och BD mitt itu. **E 8 Låt P 2 beteckna mängden av polynom av grad högst två. För två polynom p och p 2 i P 2 och för konstanter c definierar vi addition av polynom (p + p 2 ) och multiplikation av polynom och skalär (cp ) som (p + p 2 )(x) = p (x) + p 2 (x), 25 (cp )(x) = c p (x).
2 Exempelvis gäller alltså att om p (x) = x +, p 2 (x) = x 2 3x + och c = 2 så är och (p + p 2 )(x) = p (x) + p 2 (x) = x + + x 2 3x + = x 2 2x + 2 (cp )(x) = c p (x) = 2(x + ) = 2x + 2. a. Vad borde svara mot nollvektorn i P 2? b. Verifiera att P 2, med dessa operationer (addition och multiplikation med skalär) uppfyller samtliga villkor i Sats, sidan 23 i Sparr. Detta visar att P 2 utgör ett linjärt vektorrum. **E 9 Antag att vi på mängden av talpar inför addition (som vi här betecknar med ) (x, y ) (x 2, y 2 ) = (x + x 2, y y 2 ) och multiplikation med skalär som (som vi här betecknar med ) c (x, x 2 ) = (c x, c x 2 ). Här betecknar +, och vanlig addition, subtraktion och multiplikation. Avgör vilka av räknereglerna i Sats, sidan 23 i Sparr som gäller. **E 0 Antag att vi på mängden av talpar inför addition (som vi här betecknar med ) (x, y ) (x 2, y 2 ) = (x + x 2 +, y + y 2 + ) och multiplikation med skalär som (som vi här betecknar med ) c (x, x 2 ) = (c x + c, c x 2 + c ). Här betecknar +, och vanlig addition, subtraktion och multiplikation. Avgör vilka av räknereglerna i Sats, sidan 23 i Sparr som gäller. Matrisräkning E En biltillverkare som tillverkar tre olika bilmodeller i tre olika fabriker når resultat första respektive andra halvåret enligt tabeller nedan (enhet Mkr). Beräkna årsresultatet för respektive fabrik och modell genom att ställa upp lämpliga matriser och addera dem. jan jun Bil Bil 2 Bil 3 Fabrik A Fabrik B Fabrik C jul dec Bil Bil 2 Bil 3 Fabrik A Fabrik B Fabrik C E 2 I ett parkeringshus kostar det 50 kr för bilar och 00 kr för bussar att parkera. Tabellen nedan visar hur många bilar respektive bussar det fanns i huset under en arbetsvecka. Hur mycket pengar fick parkeringsbolaget in på bilar och bussar de olika dagarna denna vecka? Ställ upp det som en multiplikation mellan en matris och en vektor. Vilken dag fick de in mest pengar? E 3 Låt Beräkna A 20. Bilar Bussar Måndag 30 5 Tisdag 23 2 Onsdag 5 0 Torsdag 27 6 Fredag 24 8 A = E 4 Bestäm alla 2 2-matriser A på formen sådana att A 2 = I. A = ( a b 0 c ) E 5 Finns det 2 2-matriser A och B sådana att AB BA = I? E 6 Finn alla 2 2-matriser A sådana att AA T = 0. E 7 Visa att om A, B och C är inverterbara n n-matriser så är ABC också inverterbar, med invers (ABC) = C B A.
3 E 8 Antag att A, B och A + B är inverterbara matriser av samma storlek. Visa att matrisen A + B är inverterbar, och (A + B ) = A(A + B) B = B(A + B) A. *E 9 Med spåret av en kvadratisk matris A (betecknas tr A efter engelskans ord trace) menar vi summan av diagonalelementen hos A. Låt A och B vara 2 2-matriser. a. Visa att tr(ab BA) = 0. b. Antag att X är en 2 2-matris med tr X = 0. Visa att det finns ett tal c sådant att X 2 = ci. c. Visa att det för 2 2-matriser A, B och C gäller att (AB BA) 2 C = C(AB BA) 2. **E 20 Låt A och B vara n n-matriser. a. Visa att spåret av AB är lika med spåret av BA, det vill säga tr(ab) = tr(ba). b. Kan det gälla att AB BA = I? Jämför med extraövning 5. Kommentar: AB BA kallas för kommutatorn av A och B och betecknas ofta [A, B]. Uppgiften ovan kan jämföras med kommutatorer inom mekaniken. Det gäller för deriverbara funktioner u att [ d d d, x]u = (xu) x u = u, dx dx dx det vill säga [ d, x] svarar mot identitetsoperatorn. dx E 2 Vid ekonomiska modeller (Leontief-modeller) förekommer en del ekvationslösning och matrisräkning. Vi ger här ett litet exempel. I många realistiska fall finns tusentals rader och kolumner. Tjänster Råmaterial Tillverkade varor Tjänster Råmaterial Tillverkade varor Tabellen ovan skall läsas som att för att få ut kr tjänster så krävs 0.04 kr i tjänster, 0.05 kr i råmaterial och 0.02 kr i tillverkade varor. Vi kan samla datan ovan i en så kallad ingångs-utgångsmatris A = Efterfrågansvektorn d ger den totala efterfrågan för de tre olika sektorerna (enhet Mkr), och produktionsvektorn x (enhet Mkr) innehåller produktionsdata för varje sektor. Varje komponent i vektorn Ax innehåller den produktionsnivå som används av respektive sektor och kallas för den interna efterfrågan. Antag till exempel att produktionsvektorn x ges av Då blir den interna efterfrågan x = Ax = = Härifrån utläser vi till exempel att tjänstesektorn behöver 6 Mkr för tjänster, råmaterial och tillverkade varor. Vi kan också härifrån dra slutsatsen att den externa efterfrågan inte får överstiga 84 Mkr i tjänster, 84 Mkr i råmaterial och 86 Mkr i tillverkade varor. Alternativt, antag att den externa efterfrågan d är given. Vi vill då bestämma produktionsnivån för varje sektor så att den interna och externa efterfrågan är lika. För att göra det måste x uppfylla det vill säga x Ax = d, (I A)x = d. Om I A är inverterbar, så blir alltså x = (I A) d. Antag, som exempel, att efterfrågan d ges av En räkning ger då att d = x = (I A) d
4 Detta utläser vi som att tjänstesektorn måste producera tjänster till ett värde av 360 Mkr, råmaterialsektorn måste producera råmaterial till ett värde av 569 Mkr och tillverkningssektorn måste producera varor till ett värde av 974 Mkr. E 22 Vid bildbehandling arbetas det indirekt med matriser. Bilderna nedan består till exempel av matriser (som vi kan tänka oss som vektorer i R = R ), där varje tal representerar en pixel i bilden och är ett mätetal på vilken grå nyans den pixeln skall ha. A = 3 2, c = ( c ) = ( 2 c ), b = b b 2 b 3 = 8 8, x = ( x ). x 8 2 Här betecknar x och x 2 produktionsnivåerna för jos respektive vin. Vår uppgift är: Maximera c x (det vill säga försäljningsvärdet) under bivillkoren Ax b och x 0. Här betyder Ax b att varje element i vektorn Ax skall vara mindre än eller lika med motsvarande element i b. Motsvarande för x 0. Den här typen av problem förekommer i optimeringslära, inte sällan med hundratusentals rader och kolonner i matrisen. Det finns utvecklade metoder att lösa dem (bland annat den så kallade simplexmetoden). Kanske kan du lösa detta exempel för hand genom att pröva dig fram? Skalärprodukt Sasha Gråskaleinverterad Sasha Matrisinverterad Sasha E 24 Antag att x och y är vektorer i R 2. Visa att x + y 2 + x y 2 = 2( x 2 + y 2 ). När du läst detta exempel bör du inte längre vara förvånad (om du var det innan) över att man behöver jobba i (och därför ha teori för) R n även för stora n. Vissa vanliga manipulationer man gör vid bildbehandling (såsom enkel skärpning) är linjära. *E 23 Den här övningen visar på ett vanligt förekommande optimeringsproblem som löses delvis med medel från linjär algebra. Ett företag har två produkter, druvjos och vin. Tabellen nedan visar hur mycket druvor, arbete och kapital som går in i produktionen (i lämpliga enheter). Jos Vin Druvor 3 Arbete 2 Kapital 3 Låt vidare josen och vinet ha värde c = 2 och c 2 = 3 respektive, och anta att insatsen av druvor, arbete och kapital begränsas av b = b 2 = b 3 = 8. Med dessa beteckningar är Kan du ge någon geometrisk tolkning? En figur kanske kan hjälpa. **E 25 I den här uppgiften visar vi hur skalärprodukt kan generaliseras (då brukar den kallas inre produkt). Antag att vi har ett vektorrum V. En inre produkt är en regel som till varje par av vektorer x och y i V tilldelar ett tal (som betecknas x, y ) sådant att följande är uppfyllt i. x, y = y, x, för alla x och y i V. ii. x + y, u = x, u + y, u för alla x, y och u i V. iii. cx, y = c x, y för alla x och y i V och alla skalärer c. iv. x, x 0 för alla x och x, x = 0 precis då x = 0. Se sats 2, kapitel 4 i Sparr för dessa egenskaper hos skalärprodukten i R n, dvs x, y = x y. Låt nu vårt vektorrum vara P 2 (på intervallet (0, )), se extraövning 8. För två polynom p och p 2 i P 2 definierar vi p, p 2 som p, p 2 = 0 p (x)p 2 (x) dx. Verifiera att alla fyra egenskaper ovan är uppfyllda. **E 26 För två m n-matriser A och B definierar vi
5 A, B = tr(a T B). Visa att detta uppfyller samtliga villkor (se föregående uppgift) för inre produkt. Spåret för en matris definierades i extraövning 9. *E 27 För geometriska vektorer x och y känner vi till att x y = x y cos θ, där θ är vinkeln mellan x och y. Eftersom cos θ gäller det att x y x y. Denna olikhet är en enkel form av Cauchy Schwarz olikhet. Cauchy Schwarz olikhet är en av de mest fundamentala inom matematiken. Den gäller alltid då vi har en inre produkt. Till exempel gäller det för alla p och p 2 i P 2 (se extraövningar 8 och 25) att p (x)p 2 (x) dx ( (p (x)) 2 dx) 2 ( (p 2 (x)) 2 dx) *E 28 Den här uppgiften finns här för att visa hur minsta kvadratmetoden fungerar. Tabellen nedan visar kostnaden (i Mkr) som ett företag har haft för reklam under sex år och hur mycket företaget tjänat samma år. Kostnad för reklam Årsinkomst Den något naiva företagsledningen stirrar sig blinda på detta och skulle vilja veta hur mycket de ska satsa på reklam om de vill upp i en årsinkomst på 50 Mkr följande år. De tycker att det ser ut som att inkomsten beror på satsade reklampengar ungefär som en rät linje. Ledningen inser att det inte finns en rät linje som skär alla punkter. Hur bestämmer man en linje som passar bäst in? Vi ska visa ett vedertaget sätt här. Vi skulle vilja ha k och m så att (tänk efter!) ( 2 m ) = Detta är förstås ett kraftigt överbestämt problem som saknar lösning. Låt A beteckna koefficientmatrisen i vänsterledet, x = (k, m) och y beteckna högerledet. Tricket (du kan läsa i kursboken om varför detta fungerar bra) är att multiplicera ekvationen Ax = y med A T. Gör vi det får vi ekvationssystemet A T Ax = A T y (som kallas normalekvationen) ( 20 6 )( k 530 ) = ( m 540 ). Detta (kvadratiska!) ekvationssystem kan lösas enkelt och lösningen blir k = , m = Observera att denna lösning förstås inte löser det ursprungliga ekvationssystemet Ax = y! Vi ser denna data tillsammans med den räta linjen y = kx + m i figuren nedan Slutligen, ledningen ville ha en prognos för hur mycket pengar de skall satsa på reklam om de vill ha en inkomst på 50 Mkr. Sätter vi in y = 50 och löser ut x så får vi x = De bör alltså satsa drygt fyrtio miljoner kronor på reklam enligt denna modell. Determinanter och kryssprodukt E 29 En permutationsmatris är en matris som består av endast ettor och nollor, och där varje rad och kolumn innehåller exakt en etta. Till exempel är matrisen
6 en permutationsmatris. Vilka värden kan determinanten för en permutationsmatris ha? E 30 Matriserna A och B sägs vara likformiga (ibland ser man beteckningen similära) om det finns en inverterbar matris C sådan att A = CBC. Visa att om A och B är kvadratiska likformiga matriser så är det A = det B. **E 3 Du befinner dig i Lund och ska flyga ditt lilla propellerplan till Tokyo. I vilken riktning skall du flyga för att ta den kortaste vägen? Två alternativ: Längs med Dalbyvägen i ostlig riktning eller längs E22:an i nordostlig riktning? Linjära avbildningar Lund Tokyo Latitud Longitud E 32 Antag att v, v 2,, v k är k linjärt oberoende vektorer i R n. Antag vidare att A är en inverterbar n n-matris. Visa att vektorerna w j = Av j, j =, 2,, k är linjärt oberoende. **E 33 Låt D : P 2 P 2 beteckna deriveringsavbildningen, det vill säga Till exempel gäller alltså att (Dp)(x) = p (x). D(x 2 + 3x ) = 2x + 3. a. Visa att D är linjär. b. Visa att avbildningsmatrisen A för D i basen {, x, x 2 } ges av A = c. Bestäm nollrummet till A. d. Vilka polynom p uppfyller Dp = 0? Verkar det stämma med föregående deluppgift? e. Vilken rang har matrisen A? Kan du förklara det i termer av derivering av polynom? f. En matris B sägs vara nilpotent om det finns ett positivt heltal k så att B k = 0. Visa att A ovan är nilpotent. Hur rimmar det med att A representerar derivering av polynom? E 34 Visa att om x 0 och x båda löser ekvationen Ax = y och om α och β är tal sådana att α + β = så kommer αx 0 + βx också att lösa ekvationen Ax = y. Varför tror du denna uppgift är i avsnittet om linjära avbildningar? Egenvärden och diagonalisering E 35 Är avbildningsmatrisen A från extraövning 33 diagonaliserbar? *E 36 Antag att varken ω eller ω 2 är ett egenvärde till n n-matrisen A. Visa att (A ω I) (A ω 2 I) = (ω ω 2 )(A ω I) (A ω 2 I). Anmärkning: Matriser på formen (A ω I) kallas för resolventer. Du som skall läsa kursen System och transformer kommer att stöta på dem där. Likheten ovan brukar gå under namnet resolventidentiteten, och den används bland annat vid egenvärdesproblem i kvantmekaniken (så kallad spektralteori), där det ibland är fördelaktigt att skriva en differens av inverser som en produkt av desamma. *E 37 Låt A vara en 2 2-matris med egenvärden λ och λ 2. a. Visa att b. Visa att det A = λ λ 2. tr A = λ + λ 2. Här står tr A för spåret av A (se extraövning 9). c. Kan du använda resultaten ovan för att få fram egenvärdena till ( )?
7 d. Kan du med hjälp av informationen ovan skapa en 2 2-matris (utan nollor!) som har egenvärden och 3? e. (Svårare) Kan du generalisera resultatet i de två första deluppgifterna ovan till n n-matriser? *E 38 Detta exempel beskriver Leontiefs slutna ekonomimodell. Se även extraövning 2. Tre hantverkare skall hjälpa till att renovera varandras hus. Alla tre arbetar sammanlagt 0 dagar enligt följande schema Snickare: Elektriker: Rörmokare: 3 dagar i sitt hus, 4 hos elektrikern och 3 hos rörmokaren. 5 dagar i sitt hus, 2 hos snickaren och 3 hos rörmokaren. 2 dagar i sitt hus, 4 hos elektrikern och 4 hos snickaren. Vid prissättningen bestämmer hantverkarna att ta en dagslön som gör att var och en tjänar exakt lika mycket på sitt arbete som den måste betala för utfört arbete (notera att alla måste betala till sig själva också). Sätt upp ett ekvationssystem som uttrycker Utgifter är lika med inkomster med hjälp av en tredimensionell kolonnvektor x = (s e r) T, vars element representerar dagslönen för respektive hantverkare. Notera att man kan sätta upp en matris (prestationsmatris kan vi kalla den) sådan att x är en egenvektor med egenvärde 0 (som motsvarar antalet arbetsdagar) till matrisen. Till varje egenvärde finns det oändligt många egenvektorer (det blir ju parameterlösning). Välj en egenvektor som ger rimliga dagslöner enligt Lunds arbetsmarknad. *E 39 Följande är ett exempel på en så kallad Markovprocess. En biluthyrningsfirma har tre uthyrningsställen som vi kallar A, B och C. En kund får hyra sin bil på valfritt uthyrningsställe och återlämna bilen på valfritt uthyrningsställe. Chefen har funnit att återlämnande sker på de olika ställena med en sannolikhet som beskrivs i tabellen nedan. Återlämnas på Uthyres på A B C A B C Detta skall vi till exempel utläsa som att för en bil som hyrs på ställe C så är det 60 procents chans att den skall återlämnas på ställe B. En sak som chefen vill ha svar på är om det kan vara rimligt att ha denna modell eller om till exempel alla bilar kommer hamna på ett av ställena till slut. För att studera detta bildar vi matrisen A = Denna matris kallas för överföringsmatrisen. Antag att en bil ursprungligen hyrs ut från ställe B. Det kan vi se som att vi startar med vektorn x (0) = 0 0 Låter vi sedan x () = Ax (0), så erhåller vi en vektor som innehåller sannolikheterna att bilen återlämnas på de tre återlämningsställena (Vilken vektor blir det?). Denna process kan förstås fortsätta x (2) = Ax () ger sannolikheten för bilens återlämningsplats nästa gång den hyrs. Eftersom x () = Ax (0) så blir x (2) = A 2 x (0). Så här kan vi fortsätta. Efter n steg erhåller vi x (n) = A n x (0), vars komponenter innehåller sannolikheten för att bilen skall återlämnats vid respektive ställe den n:te gången. För att beräkna A n så diagonaliserar vi A. I detta fallet visar det sig att A har egenvärdena λ =, λ 2 = 0 ( + 2 5) 0.55 och λ 3 = 0 ( 2 5) Eftersom matrisen A har tre olika egenvärden är den diagonaliserbar. Det finns således en matris S (bestående av egenvektorerna) sådan att A = SDS, där D är diagonalmatrisen med egenvärdena på diagonalen. En räkning ger att A n = SD n S. Eftersom D är en diagonalmatris så gäller det att D n ges av att elementen på diagonalen i D upphöjs till n. När n är stort kommer det λ n 2 och λn att bli väldigt små till beloppet. 3 Vid gränsövergång kan dessa termer negligeras, det vill säga lim n + Dn = lim n + λ n λ n λ n 3 = , 0 0 0
8 vilket ger (gör räkningen själv! Här kan det vara värt att notera att en egenvektor hörande till egenvärdet ges av (34, 4, 3)) lim n + x(n) = Ur detta kan vi uttyda att bilen efter lång tid kommer att återlämnas till ställe A i % av fallen, till B i % av fallen och till C i 3 6 2% av fallen. Spelade det någon roll var bilen startade tror du? *E 40 Demografer intresserar sig bland annat för hur populationer eller grupper av populationer förflyttar sig mellan regioner. Antag att det varje år uppskattas att 90 procent av personerna i centrala Göteborg stannar kvar i centrala Göteborg, medan 0 procent flyttar till förorten. Antag vidare att 92 procent av personerna i förorten stannar kvar där, medan 8 procent flyttar in till centrala Göteborg. a. Skriv ner en 2 2-överföringsmatris (se extraövning 39) som beskriver hur stor del som flyttar från centrum till centrum (dvs stannar kvar i centrum), centrum till förort, förort till centrum och förort till förort. b. Antag att det år 203 bodde personer i centrala Göteborg och i förorterna. Skriv ner en matrisprodukt som ger en 2 -vektor innehållandes populationerna i centrum och förorterna år 204. Utför matrisprodukten. Hur stora blir populationerna år 204? c. Låt n vara ett positivt heltal. Med samma data som ovan, hur många bor i centrum respektive förort vid år n? d. Hur ser det ut efter mycket lång tid, det vill säga då n +? e. (Lite svårare) Kan du ställa upp en ny modell som tar hänsyn till inflyttade, utflyttade, nyfödda och avlidna varje år? Gör egna antaganden. *E 4 I en undersökning bland personer visade det sig att var icke-rökare, rökte mindre än ett paket per dag och rökte mer än ett paket per dag. Under en månad antas det att 0 procent av icke-rökarna börjar röka ett paket om dagen, och att resten förblir icke-rökare. Vidare antas det att 20 procent av de som röker ett paket per dag slutar att röka och att 30 procent av dem börjar röka mer än ett paket per dag. Slutligen antas att 30 procent av de som röker mer än ett paket per dag drar ner på sin rökning till ett paket per dag, och att 0 procent av dem slutar röka helt. Hur många är i varje kategori efter en månad? Två månader? Ställ upp ett uttryck som beskriver hur det ser ut efter ett år. *E 42 En entreprenör har just gett sig in i en bransch för att konkurrera med en väletablerad vara. Det visar sig att varje månad så omvänder entreprenörens företag 2 procent av de som använder den etablerade varan. Men det visar sig också att varje månad går 5 procent av entreprenörens kunder tillbaka till den etablerade varan. Hur lång tid kommer det att ta innan entreprenören har minst 20 procent av marknaden? Vad händer efter lång tid? **E 43 Den här uppgiften handlar om linjära differentialekvationer av andra ordningen med konstanta koefficienter. De ingår inte i den här kursen. Meningen är att du skall läsa uppgiften och notera hur man kan använda metoder från linjär algebra för att lösa denna typ av ekvationer. Istället för att skriva ner någon allmän teori så tittar vi på ett exempel. Antag att vi vill lösa begynnelsevärdesproblemet Vi inför vektorn och noterar att y (t) + y (t) 2y(t) = 0, y(0) = 0, y (0) =. u(t) = ( y(t) y (t) ) u (t) = ( y (t) y (t) ) = ( y (t) 2y(t) y (t) ) = ( 0 y(t) )( 2 y (t) ) = ( 0 2 )u(t). Vi inför härnäst koefficientmatrisen A = ( 0 2 ). Vi har alltså erhållit ett system av första ordningens differentialekvationer u (t) = Au(t).
9 Det löser vi genom att diagonalisera A. En räkning (gör den!) ger att A har karaktäristisk ekvation λ 2 + λ 2 = 0. Jämför detta med den karaktäristiska ekvationen man talar om i lösandet av linjära differentialekvationer i kursen i envariabelanalys! En ny räkning (gör den med!) ger att egenvärdena ges av λ = 2 och λ 2 =, med tillhörande egenvektorer (, 2) och (, ) respektive. Vi låter Eftersom y(t) var den första komponenten i u(t) har vi alltså fått lösningen y(t) = C e 2t + C 2 e t = 3 e 2t + 3 et. Notera att det är y (t) som står i andra komponenten av u(t) samt att vi inte behövde räkna ut S. S = ( 2 0 ), D = ( 2 0 ) Då gäller det att D = S AS. Inför nu en ny funktion w(t) = (w (t), w 2 (t)) genom u(t) = Sw(t). Derivering ger w (t) = S u (t) = S Au(t) = S ASw(t) = Dw(t). Eftersom D är en diagonalmatris så är ekvationerna frikopplade, d dt w (t) = 2w (t), d dt w 2(t) = w 2 (t). Dessa löses enkelt (till exempel med integrerande faktor), w (t) = C e 2t, w 2 (t) = C 2 e t. Här är C och C 2 godtyckliga konstanter som vi snart bestämmer med hjälp av begynnelsevillkoren. För att finna u(t) återgår vi med hjälp av S, u(t) = Sw(t) = ( 2 )( C e 2t C 2 e ) = ( C e 2t + C 2 e t ). t 2C e 2t t + C 2 e Begynnelsevillkoren säger att u(0) = ( 0 ). Detta ger ekvationssystemet C { + C 2 = 0 2C + C 2 = som har lösning (kolla!) C = 3, C 2 = 3.
Extraövningar, linjär algebra
Extraövningar, linjär algebra Uppgifter markerade med * kan innehålla något moment som är kursivt, medan uppgifter markerade med ** kan vara av det svårare slaget och innehålla något moment som inte ingår
Läs merExtraövningar, linjär algebra
Extraövningar, linjär algebra Uppgifter markerade med * kan innehålla något moment som är kursivt, medan uppgifter markerade med ** kan vara av det svårare slaget och innehålla något moment som inte ingår
Läs merDN1230 Tillämpad linjär algebra Tentamen Onsdagen den 29 maj 2013
TILLÄMPAD LINJÄR ALGEBRA, DN123 1 DN123 Tillämpad linjär algebra Tentamen Onsdagen den 29 maj 213 Skrivtid: 8-13 Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Anna-Karin Tornberg Betygsgränser: Betyg A B C D E
Läs merSF1624 Algebra och geometri Tentamen Onsdagen 29 oktober, 2014
SF1624 Algebra och geometri Tentamen Onsdagen 29 oktober, 214 Skrivtid: 14.-19. Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Roy Skjelnes Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng.
Läs merEgenvärden och egenvektorer. Linjär Algebra F15. Pelle
Egenvärden och egenvektorer Linjär Algebra F1 Egenvärden och egenvektorer Pelle 2016-03-07 Egenvärde och egenvektor Om A är en n n matris så kallas ett tal λ egenvärde och en kolonnvektor v 0 egenvektor
Läs merBasbyte (variabelbyte)
Basbyte (variabelbyte) En vektors koordinater beror på valet av bas! Tänk på geometriska vektorer här. v har längden 2 och pekar rakt uppåt i papprets plan. Kan vi då skriva v (, 2)? Om vi valt basvektorer
Läs merVersion 0.82. Linjär algebra kapiltet från ett ODE-kompendium. Mikael Forsberg
Version.8 Linjär algebra kapiltet från ett ODE-kompendium Mikael Forsberg 8 Den här boken är typsatt av författaren med hjälp av L A TEX. Alla illustrationer är utförda av Mikael Forsberg med hjälp av
Läs merSjälvkoll: Ser du att de två uttrycken är ekvivalenta?
ANTECKNINGAR TILL RÄKNEÖVNING 1 & - LINJÄR ALGEBRA För att verkligen kunna förstå och tillämpa kvantmekaniken så måste vi veta något om den matematik som ligger till grund för formuleringen av vågfunktionen
Läs merInstitutionen för Matematik TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA671 2005-08-26. DAG: Fredag 26 augusti 2005 TID: 8.30-12.
Institutionen för Matematik Göteborg TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F, TMA67 5-8-6 DAG: Fredag 6 augusti 5 TID: 8.3-.3 SAL: V Ansvarig: Ivar Gustafsson, tel: 77 94 Förfrågningar: Ivar Gustafsson
Läs mer1 Linjära ekvationssystem. 2 Vektorer
För. 1 1 Linjära ekvationssystem Gaußelimination - sriv om systemet för att få ett trappformat system genom att: byta ordningen mellan ekvationer eller obekanta; multiplicera en ekvation med en konstant
Läs merTMV166 Linjär algebra för M, vt 2016
TMV166 Linjär algebra för M, vt 2016 Lista över alla lärmål Nedan följer en sammanfattning av alla lärmål i kursen, uppdelade enligt godkänt- och överbetygskriterier. Efter denna lista följer ytterligare
Läs merPreliminärt lösningsförslag
Preliminärt lösningsförslag v4, 9 augusti 4 Högskolan i Skövde (SK) Tentamen i matematik Kurs: MA4G Linjär algebra MAG Linjär algebra för ingenjörer Tentamensdag: 4-8-6 kl 43-93 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel
Läs merEXEMPEL OCH LÖSNINGAR I LINJÄR ALGEBRA II
EXEMPEL OCH LÖSNINGAR I LINJÄR ALGEBRA II PER ALEXANDERSSON Sammanfattning. Detta är en samling kompletterande uppgifter till Linjär Algebra II för lärare. Exemplen är av varierande svårighetsgrad och
Läs merMATRISTEORI. Pelle Pettersson MATRISER. En matris är ett rektangulärt schema med tal, reella eller komplexa, vilka kallas matrisens
MATRISTEORI Pelle Pettersson ALLMÄN MATRISKUNSKAP MATRISER En matris är ett rektangulärt schema med tal, reella eller komplexa, vilka kallas matrisens element Exempel Matrisen 2 3 4 5 6 har två rader och
Läs mer4x az = 0 2ax + y = 0 ax + y + z = 0
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK TENTAMENSSKRIVNING LINJÄR ALGEBRA 206-03-4 kl 8 3 INGA HJÄLPMEDEL Lösningarna skall vara försedda med ordentliga motiveringar Alla koordinatsystem får antas vara ortonormerade
Läs merSF1624 Algebra och geometri Tentamen Onsdag, 13 januari 2016
SF624 Algebra och geometri Tentamen Onsdag, 3 januari 206 Skrivtid: 08:00 3:00 Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Tilman Bauer Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng. Del
Läs mer1. (Dugga 1.1) (a) Bestäm v (3v 2u) om v = . (1p) and u =
Kursen bedöms med betyg,, 5 eller underkänd, där 5 är högsta betyg. För godkänt betyg krävs minst poäng från uppgifterna -7. Var och en av dessa sju uppgifter kan ge maximalt poäng. För var och en av uppgifterna
Läs merLinjär algebra på 2 45 minuter
Linjär algebra på 2 45 minuter π n x F(x) Förberedelser inför skrivningen Den här genomgången täcker förstås inte hela kursen. Bra sätt att lära sig kursen: läs boken, diskutera med kompisar, gå igenom
Läs merLinjär algebra på några minuter
Linjär algebra på några minuter Linjära ekvationssystem Ekvationssystem: { Löses på matrisform: ( ) ( ) I det här fallet finns en entydig lösning, vilket betyder att determinanten av koefficientmatrisen
Läs mer14 september, Föreläsning 5. Tillämpad linjär algebra
14 september, 2016 Föreläsning 5 Tillämpad linjär algebra Innehåll Matriser Algebraiska operationer med matriser Definition av inversen av en matris Förra gången: Linjära ekvationer och dess lösningar
Läs merdär β R. Bestäm de värden på β för vilka operatorn är diagonaliserbar. Ange även för respektive av dessa värden en bas av egenvektorer till F.
MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Examinator: Lars-Göran Larsson TENTAMEN I MATEMATIK MMA9 Linjär algebra Datum: 7 januari 04 Skrivtid:
Läs merOmtentamen i DV & TDV
Umeå Universitet Institutionen för Datavetenskap Gunilla Wikström (e-post wikstrom) Omtentamen i Teknisk-Vetenskapliga Beräkningar för DV & TDV Tentamensdatum: 2005-06-07 Skrivtid: 9-15 Hjälpmedel: inga
Läs merax + y + 4z = a x + y + (a 1)z = 1. 2x + 2y + az = 2 Ange dessutom samtliga lösningar då det finns oändligt många.
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK TENTAMENSSKRIVNING Linjär algebra 8 kl 4 9 INGA HJÄLPMEDEL. För alla uppgifterna, utom 3, förklara dina beteckningar och motivera lösningarna väl. Alla baser får antas
Läs merSF1624 Algebra och geometri Tentamen Torsdag, 9 juni 2016
SF624 Algebra och geometri Tentamen Torsdag, 9 juni 26 Skrivtid: 8: 3: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Tilman Bauer Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng. Del A på
Läs merMultiplicera 7med A λ 1 I från vänster: c 1 (Av 1 λ 1 v 1 )+c 2 (Av 2 λ 1 v 2 )+c 3 (Av 3 λ 1 v 3 ) = 0
Diagonalisering Anm. Begreppet diagonaliserbarhet är relevant endast för linjära avbildningar mellan rum av samma dimension, d.v.s. sådana som representeras av kvadratiska matriser. När vi i fortsättningen
Läs mer15 september, Föreläsning 5. Tillämpad linjär algebra
5 september, 5 Föreläsning 5 Tillämpad linjär algebra Innehåll Matriser Algebraiska operationer med matriser Definition och beräkning av inversen av en matris Förra gången: Linjära ekvationer och dess
Läs mer. (2p) 2x + 2y + z = 4 y + 2z = 2 4x + 3y = 6
Kursen bedöms med betyg, 4, 5 eller underkänd, där 5 är högsta betyg För godkänt betyg krävs minst 4 poäng från uppgifterna -7 Var och en av dessa sju uppgifter kan ge maximalt poäng För var och en av
Läs merVektorgeometri för gymnasister
Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Diagonalisering av linjära avbildningar III
Läs merCrash Course Algebra och geometri. Ambjörn Karlsson c januari 2016
Crash Course Algebra och geometri Ambjörn Karlsson c januari 2016 ambjkarlsson@gmail.com 1 Contents 1 Projektion och minsta avstånd 4 2 Geometriska avbildningar och avbildningsmatriser 5 3 Kärnan 6 3.1
Läs merÖvningar. MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik. Linjär algebra 2. Senast korrigerad:
MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik Linjär algebra 2 Senast korrigerad: 2006-02-10 Övningar Linjära rum 1. Låt v 1,..., v m vara vektorer i R n. Ge bevis eller motexempel till
Läs merMVE022 Urval av bevis (på svenska)
MVE22 Urval av bevis (på svenska) J A S, VT 218 Sats 1 (Lay: Theorem 7, Section 2.2.) 1. En n n-matris A är inverterbar precis när den är radekvivalent med indentitesmatrisen I n. 2. När så är fallet gäller
Läs merVektorgeometri för gymnasister
Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Vektorer i planet och i rummet III Innehåll
Läs merFöreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet
Föreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet Per Alexandersson Föreläsning I Timme I: Repetition av matriser, linjära ekvationssystem Linjärt ekvationssystem: x + y + z 3w = 3 2x + y + z 4w =
Läs merAbstrakt algebra för gymnasister
Abstrakt algebra för gymnasister Veronica Crispin Quinonez Sammanfattning. Denna text är föreläsningsanteckningar från föredraget Abstrakt algebra som hölls under Kleindagarna på Institutet Mittag-Leffler
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförsag till modelltentamen
SF1624 Algebra och geometri Lösningsförsag till modelltentamen DEL A (1) a) Definiera begreppen rektangulär form och polär form för komplexa tal och ange sambandet mellan dem. (2) b) Ange rötterna till
Läs merLösningar till utvalda uppgifter i kapitel 8
Lösningar till utvalda uppgifter i kapitel 8 8. Alla vektorer som är normaler till planet, d v s vektorer på formen (0 0 z) t, avbildas på nollvektorn. Dessa kommer därför att vara egenvektorer med egenvärdet
Läs merLinjära avbildningar. Definition 1 En avbildning mellan två vektorrum, F : V U, kallas linjär om. EX. Speglingar, rotationer, projektioner i R 3.
Linjära avbildningar Definition 1 En avbildning mellan två vektorrum, F : V U, kallas linjär om F (v +v ) = F (v)+f (v ) och F (cv) = cf (v) för alla v, v V och alla skalärer c. EX. Speglingar, rotationer,
Läs merInstitutionen för Matematiska Vetenskaper TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1/TM1, TMA671 2014-05-26
Institutionen för Matematiska Vetenskaper Göteborg TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F/TM, TMA67 4-5-6 DAG: Måndag 6 maj 4 TID: 4. - 8. SAL: V Ansvarig: Ivar Gustafsson, tel: 75-33545 Förfrågningar:
Läs merMULTIPLIKATION AV MATRISER, BASER I RUMMET SAMT FÖRSTA MÖTET MED MATRISINVERSER = = =
Matematiska institutionen Stockholms universitet CG Matematik med didaktisk inriktning 2 Problem i Algebra, geometri och kombinatorik Snedsteg 5 MULTIPLIKATION AV MATRISER, BASER I RUMMET SAMT FÖRSTA MÖTET
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson
Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson MATRISER MED MERA VEKTORRUM DEFINITION Ett vektorrum V är en mängd av symboler u som vi kan addera samt multiplicera med reella tal c så
Läs merDiagonalisering och linjära system ODE med konstanta koe cienter.
Diagonalisering och linjära system ODE med konstanta koe cienter. Variabelbyte i linjära system di erentialekvationer. Målet med det kapitlet i kursen är att lösa linjära system di erentialekvationer på
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF64 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 04-05-0 DEL A. Planet P innehåller punkterna (,, 0), (0, 3, ) och (,, ). (a) Bestäm en ekvation, på formen ax + by + cz + d = 0, för planet P. (
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF64 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 0-0-0 DEL A De tre totalmatriserna 0 3 3 4 0 3 0 0 0 0, 0 3 0 4 4 0 3 0 3 0 0 0 0 och 0 3 0 4 0 3 3 0 0 0 0 0 svarar mot linjära ekvationssystem
Läs merLösningar till MVE021 Linjär algebra för I
Lösningar till MVE Linjär algebra för I 7-8-9 (a Vektorer är ortogonala precis när deras skalärprodukt är Vi har u v 8 5h + h h 5h + 6 (h (h När h och när h (b Låt B beteckna basen {v, v } Om vi sätter
Läs merÖvningar. c) Om någon vektor i R n kan skrivas som linjär kombination av v 1,..., v m på precis ett sätt så. m = n.
Övningar Linjära rum 1 Låt v 1,, v m vara vektorer i R n Ge bevis eller motexempel till följande påståenden Satser ur boken får användas a) Om varje vektor i R n kan skrivas som linjär kombination av v
Läs merBegrepp :: Determinanten
c Mikael Forsberg 2008 1 Begrepp :: Determinanten Rekursiv definition :: Kofaktorutveckling Låt oss börja definiera determinanten för en 1 1 matris A = (a). En sådan matris är naturligtvis bara ett vanligt
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 14129 DEL A 1 (a) Bestäm linjen genom punkterna A = (,, 1) och B = (2, 4, 1) (1 p) (b) Med hjälp av projektion kan man bestämma det kortaste avståndet
Läs mer6. Matriser Definition av matriser 62 6 MATRISER. En matris är ett rektangulärt schema av tal: a 11 a 12 a 13 a 1n a 21 a 22 a 23 a 2n A =
62 6 MATRISER 6 Matriser 6 Definition av matriser En matris är ett rektangulärt schema av tal: A a a 2 a 3 a n a 2 a 22 a 23 a 2n a m a m2 a m3 a mn Matrisen A säges vara av typ m n, där m är antalet rader
Läs merLÖSNINGAR TILL LINJÄR ALGEBRA kl 8 13 LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK. 1. Volymen med tecken ges av determinanten.
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK LÖSNINGAR TILL LINJÄR ALGEBRA 2018-08-29 kl 8 1 1 Volymen med tecken ges av determinanten a 2 2 2 4 2 1 2a 1 = a 2 2 2 0 4 2 = 4(a 2)(1 a) 0 2a 1 Parallellepipedens volym
Läs merLÖSNINGAR LINJÄR ALGEBRA LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK LÖSNINGAR LINJÄR ALGEBRA 2017-10-2 1 Om vi skriver ekvationssystemet på matrisform AX = Y, så vet vi att systemet har en entydig lösning X = A 1 Y då det A 0 Om det A
Läs merModul 1: Komplexa tal och Polynomekvationer
Modul : Komplexa tal och Polynomekvationer. Skriv på formen a + bi, där a och b är reella, a. (2 + i)( 2i) 2. b. + 2i + 3i 3 4i + 2i 2. Lös ekvationerna a. (2 i)z = 3 + i. b. (2 + i) z = + 3i c. ( 2 +
Läs merMoment 6.1, 6.2 Viktiga exempel Övningsuppgifter T6.1-T6.6
Moment 6., 6. Viktiga exempel 6.-6. Övningsuppgifter T6.-T6.6 Matriser Definition. En matris är ett schema med m rader och n kolonner eller kolumner, som vi kallar dem i datalogin innehållande m n element.
Läs merLite Linjär Algebra 2017
Lite Linjär Algebra 2017 Lektionsanteckningar och sammanfattning Johan Thim, MAI (johan.thim@liu.se) ū ū O z y ū // L : OP + t v x Ortogonalprojektion: ū // = ū v v v v, ū = ū ū //. Innehåll 1 Bakgrund
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Fredagen den 23 oktober, 2009 DEL A
SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Fredagen den 23 oktober, 2009 DEL A (1) (a) Bestäm de övriga rötterna till ekvationen z 3 11z 2 + 43z 65 = 0 när det är känt att en av rötterna
Läs merInför tentamen i Linjär algebra TNA002.
Inför tentamen i Linjär algebra TNA002. 1. Linjära ekvationssytem (a) Omskrivningen av ekvationssystem på matrisform samt utföra radoperationer. (b) De 3 typer av lösningar som dyker upp vid lösning av
Läs merLinjär Algebra M/TD Läsvecka 1
Linjär Algebra M/TD Läsvecka 1 Omfattning: Lay, kapitel 1.1-1.9, Linjära ekvationer i linjär algebra Innehåll: Olika aspekter av linjära ekvationssystem: skärning mellan geometriska objekt, linjärkombination
Läs merNovember 24, Egenvärde och egenvektor. (en likformig expansion med faktor 2) (en rotation 30 grader moturs)
Fö : November 4, 7 Egenvärde och egenvektor Definition s 9: Låt A resp T : R n R n vara en n n-matris resp en linjär avbildning En icke-trivial vektor v R n kallas en egenvektor till A resp till T med
Läs merPreliminärt lösningsförslag
Preliminärt lösningsförslag v4, 9 april 5 Högskolan i Skövde (SK) Tentamen i matematik Kurs: MA4G Linjär algebra MAG Linjär algebra för ingenjörer Tentamensdag: 5--7 kl 8- Hjälpmedel : Inga hjälpmedel
Läs merDeterminanter, egenvectorer, egenvärden.
Determinanter, egenvectorer, egenvärden. Determinanter av kvadratiska matriser de nieras recursivt: först för matriser, sedan för matriser som är mest användbara. a b det = ad bc c d det a a a a a a a
Läs merFöreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet
Föreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet Per Alexandersson Repetera hur man nner bas för rum som spänns upp av några vektorer Reptetera hur man nner bas för summa och snitt av delrum. Reptetera
Läs merSubtraktion. Räkneregler
Matriser En matris är en rektangulär tabell av tal, 1 3 17 4 3 2 14 4 0 6 100 2 Om matrisen har m rader och n kolumner så säger vi att matrisen har storlek m n Index Vi indexerar elementen i matrisen genom
Läs merMA2004 Tillämpad Matematik II, 7.5hp, 2013-03-27
MA00 Tillämpad Matematik II,.hp, 0-0- Hjälpmedel: Räknedosa! Tänk på att dina lösningar ska utformas så att det blir lätt för läsaren att följa dina tankegångar. Ofullständiga lösningar, eller lösningar
Läs merRepetitionsuppgifter i Matematik inför Basår. Matematiska institutionen Linköpings universitet 2014
Repetitionsuppgifter i Matematik inför Basår Matematiska institutionen Linköpings universitet 04 Innehåll De fyra räknesätten Potenser och rötter 7 Algebra 0 4 Funktioner 7 Logaritmer 9 6 Facit 0 Repetitionsuppgifter
Läs merVektorerna är parallella med planet omm de är vinkelräta mot planets normal, dvs mot
Kursen bedöms med betyg,, eller underkänd, där är högsta betyg. För godkänt betyg krävs minst poäng från uppgifterna -7. Var och en av dessa sju uppgifter kan ge maximalt poäng. För var och en av uppgifterna
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 22--6 DEL A Planet H ges av ekvationen x + 2y + z =, och planet W ges på parameterform som 2t 4s, t + 2s där s och t är reella parametrar (a) Bestäm
Läs merTMV142/186 Linjär algebra Z/TD
MATEMATIK Hjälpmedel: ordlistan från kurshemsidan, ej räknedosa Chalmers tekniska högskola Datum: 2018-08-27 kl 1400 1800 Tentamen Telefonvakt: Anders Hildeman ank 5325 TMV142/186 Linjär algebra Z/TD Skriv
Läs merTMV166 Linjär Algebra för M. Tentamen
MATEMATISKA VETENSKAPER TMV66 6 Chalmers tekniska högskola 6 8 kl 8:3 :3 (SB Multisal) Examinator: Tony Stillfjord Hjälpmedel: ordlistan från kurshemsidan, ej räknedosa Telefonvakt: Olof Giselsson, ankn
Läs merFöreläsningsanteckningar i linjär algebra
1 Föreläsningsanteckningar i linjär algebra Per Jönsson och Stefan Gustafsson Malmö 2013 2 Innehåll 1 Linjära ekvationssystem 5 2 Vektorer 11 3 Linjer och plan 21 4 Skalärprodukt 27 5 Vektorprodukt 41
Läs mer1 Diagonalisering av matriser
1 Diagonalisering av matriser Kan alla matriser diagonaliseras? Nej, det kan de inte. Exempel: ẋ 1 = x 1 + 2x 2, Integrerande faktor: e t x 2 = x 2 x 2 (t) = c 2 e t och ẋ 1 x 1 = 2c 2 e t. e t x 1 e t
Läs mer2x + y + 3z = 4 x + y = 1 x 2y z = 3
ATM-Matematik Pär Hemström 7 6572 Sören Hector 7 4686 Mikael Forsberg 74 42 För studerande i linjär algebra Linjär algebra ma4a 225 Skrivtid: 9:-4:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga
Läs merFrågorna 1 till 6 ska svaras med ett kryss för varje korrekt påstående. Varje uppgift ger 1 poäng.
ATM-Matematik Mikael Forsberg 34-4 3 3 Matematik med datalogi, mfl. Linjär algebra mag4 6 3 Skrivtid: 9:-4:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift
Läs mer12. SINGULÄRA VÄRDEN. (u Av) u v
. SINGULÄRA VÄRDEN Vårt huvudresultat sen tidigare är Sats.. Varje n n matris A kan jordaniseras, dvs det finns en inverterbar matris S sån att S AS J där J är en jordanmatris. Om u och v är två kolonnvektorer
Läs merDagens ämnen. Repetition basbyten och linjära avbildningar Diagonalisering Kvadratiska former. Andragradskurvor
Seminarium 25 Dagens ämnen Repetition basbyten och linjära avbildningar Diagonalisering Kvadratiska former Matrisform Diagonalisering av kvadratiska former Andragradskurvor De olika kurvtyperna Rita graferna
Läs merPreliminärt lösningsförslag
Preliminärt lösningsförslag v7, 7 januari 6 Högskolan i Skövde Tentamen i matematik Kurs: MA4G Linjär algebra MAG Linjär algebra för ingenjörer Tentamensdag: 5--7 kl 43-93 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel
Läs merChalmers tekniska högskola Datum: Våren MVE021 Linjär algebra I
MATEMATIK Hjälpmedel: inga Chalmers tekniska högskola Datum: Våren 6 Övningstentamen Telefonvakt: Thomas Bäckdahl ankn 8 MVE Linjär algebra I Tentan rättas och bedöms anonymt Skriv tentamenskoden tydligt
Läs merDel 1: Godkäntdelen. TMV142 Linjär algebra Z
MATEMATIK Hjälpmedel: ordlistan från kurswebbsidan, ej räknedosa Chalmers tekniska högskola Datum: 130313 kl 0830 1230 Tentamen Telefonvakt: Christoffer Standar 0703-088304 TMV142 Linjär algebra Z Tentan
Läs merSKRIVNING I VEKTORGEOMETRI
SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI 201-0-0 14.00-17.00 Om inget annat uttryckligen sägs, kan koordinaterna för en vektor i antas vara givna i en ON-bas. Baser i rummet kan dessutom antas vara positivt orienterade.
Läs merTentamen i Linjär algebra (TATA31/TEN1) 2013 08 24, 14 19.
LINKÖPINGS UNIVERSITET Matematiska Institutionen Ulf Janfalk Kurskod: TATA Provkod: TEN Tentamen i Linjär algebra (TATA/TEN 8, 9. Inga hjälpmedel. Ej räknedosa. För godkänt räcker 9 poäng och minst uppgifter
Läs merMatematiska Institutionen KTH. Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF1604, den 9 juni 2011 kl
1 Matematiska Institutionen KTH Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF1604, den 9 juni 2011 kl 08.00-1.00. OBS: Inga hjälpmedel är tillåtna på tentamensskrivningen. Bonuspoäng
Läs merExamination: En skriftlig tentamen den 15 mars samt möjlighet till en omtentamen. Tider och lokaler meddelas senare.
Kursprogram till Linjär algebra II, SF1604, för D1, vt12. Kursledare och föreläsare: Olof Heden Lindstedtsvägen 25 rum 3641 Tel:790 62 96 (mobil: 0730 547 891) e-post: olohed@math.kth.se Övningar: grupp
Läs merEgenvärden och egenvektorer
Föreläsning 10, Linjär algebra IT VT2008 1 Egenvärden och egenvektorer Denition 1 Antag att A är en n n-matris. En n-vektor v 0 som är sådan att A verkar som multiplikation med ett tal λ på v, d v s Av
Läs merEnhetsvektorer. Basvektorer i två dimensioner: 1 1 Basvektorer i tre dimensioner: Enhetsvektor i riktningen v: v v
Vektoraddition u + v = u + v = [ ] u1 u 2 u 1 u 2 + u 3 + [ v1 v 2 ] = v 1 v 2 = v 3 [ u1 + v 1 u 2 + v 2 u 1 + v 1 u 2 + v 2 u 3 + v 3 ] Multiplikation med skalär α u = α [ u1 u 2 α u = α ] = u 1 u 2
Läs mer1 Grundläggande kalkyler med vektorer och matriser
Krister Svanberg, mars 2015 1 Grundläggande kalkyler med vektorer och matriser Trots att läsaren säkert redan behärskar grundläggande vektor- och matriskalkyler, ges här i Kapitel 1 en repetition om just
Läs merLinjär Algebra M/TD Läsvecka 2
Linjär Algebra M/TD Läsvecka 2 Omfattning och Innehåll 2.1 Matrisoperationer: addition av matriser, multiplikation av matris med skalär, multiplikation av matriser. 2.2-2.3 Matrisinvers, karakterisering
Läs merLinjär algebra. Lars-Åke Lindahl
Linjär algebra Lars-Åke Lindahl 2009 Fjärde upplagan c 2009 Lars-Åke Lindahl, Matematiska institutionen, Uppsala universitet Innehåll Förord................................. v 1 Linjära ekvationssystem
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Lördagen den 5 juni, 2010 DEL A
SF624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Lördagen den 5 juni, 200 DEL A ( Betrakta det komplexa talet w = i. (a Skriv potenserna w n på rektangulär form, för n = 2,, 0,, 2. ( (b Bestäm
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A
SF624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A () (a) Använd Gauss-Jordans metod för att bestämma lösningsmängden till ekvationssystemet 2x + 4x 2 + 2x 3 + 2x 4 = 2, 3x + 6x 2 x 3
Läs merÖvningstenta 001. Alla Linjär Algebra. TM-Matematik Sören Hector Mikael Forsberg. 1. x 2y z + v = 0 z + u + v = 3 x + 2y + 2u + 2v = 4 z + 2u + 5v = 0
TM-Matematik Sören Hector Mikael Forsberg Alla Linjär Algebra Övningstenta. x z + v z + u + v 3 x + + u + v 4 z + u + 5v. (a) Bestäm storleken (absolutbeloppet) och argumentet till z i. (b) Uttrck på formen
Läs merc d Z = och W = b a d c för några reella tal a, b, c och d. Vi har att a + c (b + d) b + d a + c ac bd ( ad bc)
1 Komplexa tal 11 De reella talen De reella talen skriver betecknas ofta med symbolen R Vi vill inte definiera de reella talen här, men vi noterar att för varje tal a och b har vi att a + b och att ab
Läs merVeckoblad 4, Linjär algebra IT, VT2010
Veckoblad, Linjär algebra IT, VT Under den fjärde veckan ska vi under måndagens föreläsning se hur man generaliserar vektorer i planet och rummet till vektorer med godtycklig dimension. Vi kommer också
Läs merStöd inför omtentamen i Linjär algebra TNA002.
LINKÖPINGS UNIVERSITET ITN, Campus Norrköping Univ lekt George Baravdish Stöd inför omtentamen i Linjär algebra TNA002. Läsråd: Detta är ett stöd för dig som vill repetera inför en omtentamen. 1. Börja
Läs mer19. Spektralsatsen Spektralsatsen SPEKTRALSATSEN
9 SPEKTRALSATSEN 9. Spektralsatsen 9.. Spektralsatsen Symmetriska avbildningar är en viktig klass av linjära avbildningar. Vi kommer nedan att formulera ett antal viktiga resultat för dessa avbildningar
Läs merTentamen i Linjär algebra , 8 13.
LINKÖPINGS UNIVERSITET Matematiska Institutionen Ulf Janfalk Kurskod: ETE5 Provkod: TEN Tentamen i Linjär algebra 5 8, 8. Inga hjälpmedel. Ej räknedosa. Resultatet meddelas vi e-post. För godkänt räcker
Läs merDagens program. Linjära ekvationssystem och matriser
Dagens program Matriser Räkneoperationer och räknelagar Linjära ekvationssystem och matriser Matrisform av ekvationssystem Elementära radoperationer Trappstegsmatriser, rang och lösningsstruktur Matrisinvers,
Läs merLINJÄR ALGEBRA II LEKTION 3
LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 3 JOHAN ASPLUND INNEHÅLL Basbyten Kolonnrum, radrum och nollrum 3 Linjära avbildningar från R n till R m 4 Uppgifter 3 46:3 3 47:a 3 48:3a 4 48:a 4 49:9 4 40:7a,b BASBYTEN Om
Läs merUppgift 2 Betrakta vädret under en följd av dagar som en Markovkedja med de enda möjliga tillstånden. 0 = solig dag och 1 = regnig dag
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF904 MARKOVPROCESSER MÅNDAGEN DEN 26 AUGUSTI 203 KL 08.00 3.00. Examinator: Gunnar Englund tel. 073 32 37 45 Tillåtna hjälpmedel: Formel- och tabellsamling i Matematisk
Läs merLösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) måndagen den 30 maj 2005
VÄXJÖ UNIVERSITET Matematiska och systemtekniska institutionen Per-Anders Svensson Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) måndagen den 30 maj 2005 Uppgift. Bestäm samtliga vektorer
Läs merLinjär algebra F1, Q1, W1. Kurslitteratur
UPPSALA UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Linjär algebra för F1, Q1, W1 Kurslitteratur Höstterminen 2006 Eriksson Lind Persson Tengstrand, Algebra för universitet och högskolor, Band II (Linjär Algebra),
Läs merBonusmaterial till Lära och undervisa matematik från förskoleklass till åk 6. Ledning för att lösa problemen i Övningar för kapitel 5, sid 138-144
Bonusmaterial till Lära och undervisa matematik från förskoleklass till åk 6 Ledning för att lösa problemen i Övningar för kapitel 5, sid 138-144 Avsikten med de ledtrådar som ges nedan är att peka på
Läs merSF1624 Algebra och geometri Tentamen Torsdag, 17 mars 2016
SF4 Algebra och geometri Tentamen Torsdag, 7 mars Skrivtid: 8:-: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Tilman Bauer Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng. Del A på tentamen
Läs mer