Konstruktionsförslag för kabelprovningsutrustning av serieresonanstyp

Transkript

1 Konstruktionsförslag för kabelprovningsutrustning av serieresonanstyp LARS RONQUIST Examensarbete Stockholm Juni 2011 XR-EE-ETK 2011:005

2 Konstruktionsförslag för kabelprovningsutrustning av serieresonanstyp Lars Ronquist XR-EE-ETK 2011:005 Juni 2011 Kungliga Tekniska Högskolan, KTH Skolan för Elektro- och Systemteknik, Elektroteknisk teori och konstruktion Handledare: Docent Hans Edin, KTH, Elektroteknisk teori och konstruktion Civilingenjör Jan Köhler, Ericsson Network technologies Examinator: Docent Hans Edin, KTH, Elektroteknisk teori och konstruktion 1

3 2

4 till far 3

5 4

6 Sammanfattning I ett försök att minska störning från kabelprovningsutrustning önskade Ericsson Network Technologies i Falun att omkonstruera sin utrustning så att matningsspänningsfrekvensen sänktes från 5 khz till 500 Hz. Provningsutrustningen ska vara av serieresonanstyp, där huvudkomponenterna utgörs av spole, kondensator och spänningskälla. Kondensatorn utgörs av kabelprovet och befintlig växelspänningsomvandlare används som spänningskälla. Största delen av denna rapport tar upp spolkonstruktionen. Flera olika luftlindade spolar undersöktes, dels genom litteraturstudier och beräkning i Matlab, dels genom beräkning i Comsol. Fördelen med att använda luftlindad spole är bland annat att Ericssons egen tråd kan användas, nackdelen är att luftkärnans låga magnetiska permeabilitet jämfört med t ex järn gör att en luftspolen blir större än järnspolen då samma storlek på induktans önskas. Olika spolsorter har jämförts, en utav typerna: Brooks spole beräknades ge högst induktans per lindad trådlängd, vidare drogs även slutsatsen att med en kostnad på ungefär kronor kan en spole byggas så att den uppfyller de ställda kraven då reaktorer tillverkas av egen koppartråd. Nyckelord Serieresonanssystem, kabelprovning, Wheelers spole, Brooks spole Abstract In order to decrease the disturbance from a cable testing equipment, the company Ericsson Network Technologies in Falun determined to design a new series resonant test system with a lower frequency. The new equipment is of series resonant type with a system frequency of 500 Hz. This equipment consists of an inductor, a capacitor and a voltage source. The voltage source is the same as the old one, the cable acts as the capacitor but the inductor has to be designed especially for the new equipment. In this thesis work several air coil inductor types were examined. The conclusion is if that a Brooks type inductor yields the highest induction per meter of wire. The cost of this type that fulfill the demands that Ericsson Network Technologies requires is around SEK if Ericsson uses its own wire. Keywords Series resonant system, cable testing, wheeler inductor, wheeler coil, brook inductor, brook coil 5

7 6

8 Innehållsförteckning Sammanfattning Inledning Bakgrund Problem och frågeställning Syfte och mål Avgränsning Metod Definitioner och storheter Accelererad åldring Kabeln Serieresonanskretsen Befintligt Provningsutrustning Genomförande Ny provningsutrustning Allmänt Spänningskällan ( ) Kapacitiv last ( och ) Reaktorn (L och r) Metodik vid undersökning av spolsorter Induktansberäkning i Matlab med Loopspolen (L) som exempel Tillvägagångsätt vid Induktanssimulering i Comsol med loopspolen som exempel Analytsik beräkning av trådlängd och relativt fel med Matlab Redovisning av simulering och beräkning Undersöning av Konspolen (K) Jämförelse mellan simulering och beräkning av av en enlagrig, 240-varvig spoles induktans då Ѳ varieras och innerradien rki= 0.5 meter Undersökning av konspoles induktans då innerradien rki = 0 och stigningsvinkeln Ѳ är Undersökning av konspoles induktans då varieras och Ѳ = Undersökning av Wheelerspolen (W) Undersökning av Cylinderspolen(C) Undersökning av Brooksspolen (B) Jämförelse och val av spole Lindningsalternativ Beräkning av hela kretsen Slutsats Referenser Appendix

9 8

10 1 Inledning 1.1 Bakgrund Ericsson Network Technologies i Falun utvecklar, tillverkar provar och marknadsför kraft- och signalkabel. I verksamheten ingår bl.a. att undersöka kablar efter det att de har utsatts för en konstgjord provningsprocess. Processen går ut på att en eller flera parter 1 matas med växelspänning vars frekvens är högre än driftspänningens frekvens (oftast 50 Hz), då det kan antas att kabelns provning beror på de antal spänningspolaritetsväxlingar den matas med. Provningsprocessen används för att i förtid bestämma kabelns livslängd. Det som man vill undersöka är uppkomsten av vattenträd vilka försämrar kabelns spänningshållfasthet. Provningen kan utföras på flera olika sätt. I en av metoderna placeras kabelprovet i ett fyrtiogradigt vattenbad. Där matas den med en växelspänning med hög frekvens (flera kilohertz) för att utsättas för accelererad åldring, detta provningssätt berörs i denna rapport. 1.2 Problem och frågeställning Tidigare har kabel som provats matats med en 5 khz växelspänning men då har intilliggande utrustning ofta störts. Ett sätt att minska problemet antogs vara, att sänka matningsfrekvensen, därför ska det i denna rapport undersökas hur en ny provningsutrustning kan konstrueras så att den matar med en lägre frekvens, nämligen: 500 Hz. Provning vid denna frekvens används bl.a. av provningsinstitutet KEMA i Holland och allt fler provningsinstitut börjar använda sig av denna metod, även om provningsformen inte är standardiserad eller normfäst. Spänningen över provparten under denna provningsprocess är ungefär dubbelt så hög som nominell spänning. Kretsen som matar kabeln med spänning består huvudsakligen av filter, växelriktare, transformator och spole. 1.3 Syfte och mål Målet med det här examensarbetet var till en början att modifiera befintlig provningsutrustning, så att den uppfyllde [1] Utöver de krav som [1] ställer, ställs dessutom krav på att provningsutrustningens störning minskas så att intilliggande utrustning inte utsätts för oacceptabelt höga störningar. Systemet skulle anpassas till 100 m lång provpart med 95 mm² tvärsnittsarea, vidare ska det fungera i enlighet med normer och krav på maximal störning i en veckas tid. Då budgeten för uppbyggnad av en sådan provningsutrustning visade sig vara alldeles för liten, ändrades målet senare till: att undersöka och utvärdera olika konstruktionsförslag för ett provningsutrustning av serieresonanstyp som ska uppfylla de ursprungliga kraven. Tyngdpunkten lades på att ge förslag på hur den reaktor som är en av del provningsutrustningen skulle konstrueras. 1 Part är den del av kabeln som utgörs av ledaren med omgivande skikt 9

11 1.4 Avgränsning Provningsutrustningen ska byggas som serieresonanssystem, parallellresonanssystem berörs ej, dessutom ska befintlig växelspänningsomvandlare och transformator användas. Systemet ska endast användas för en frekvens runt 500 Hz. 1.5 Metod Beräkningar har genomförts med Matlab och Comsol, ingen provning eller mätning av utrustningen har gjorts under arbetets gång. 1.6 Definitioner och storheter De definitioner och storheter som används i detta examensarbete redovisas i tabell 1. Tabell 1. Definitioner och storheter Storhet/Benämning Förkortning Enhet Anmärkning/Definition Befintlig - - provningsutrustning Ny provningsutrustning - - Den utrustning som detta examensarbete föreslår Part - - Parten utgör, tillsammans med skärm och mantel, kabeln. Kabeln kan bestå av en eller flera parter. Trefaskabeln består av tre parter, en fas per part. I den här rapporten berörs provning av parten inte hela kabeln Provpart - - När benämningen provpart används i denna rapport menas en eller flera av de parter som ska utsättas för accelererad provning. Provpartens kapacitans Farad Enskilda Provpartens kapacitans bestäms av [2] till 30 nf Antalet inkopplade n - n = 1, 2, 3, 4 provparter Reaktor - - Serieresonanssystemets spole som tillsammans med provparten orsakar resonans Reaktorlindningens l meter trådlängd Matningsspänning U Volt Provningsutrustningarnas matningsspänning, maximalt 400 V (hsp) Matningsspännings rad/s vinkelfrekvens Resonansvinkelfrekvensen rad/s Resonansfrekvens Hertz 10

12 Induktans L Henry Induktans per trådlängd Maximal induktans per trådlängd Induktans vid maximal induktans per trådlängd Relativt fel mellan simulerade och beräknade induktans värden Henry/meter Henry - Trådlindningsvarvtal N Antalet varv Tråddiametern d meter Se figur 1 Trådledardiametern a meter Se figur 1 Reaktorlindningstrådens ledartvärsnittsarea A Permeabilitet för vakuum = H/m Relativ permeabilitet för koppar - I denna rapport approximeras dvs, Koppars resistivitet Ohmmeter fås ur (2) Spolens radie r meter Indexeras med förkortningarna i tabell 3 beroende på spolsort, ex. för loopspolen f(k), g(k) - - Funktioner för optimeringsberäkning av cylinderspolen Den stympade konspolens innerradie Den stympade konspolens ytterradie 11

13 2 Accelererad åldring Figur 1. Tvärsnittsvy av reaktortråden 2.1 Kabeln Det finns flera typer av kabel: Kraftkabel är avsedd för fast förläggning och har märkspänning på minst 1 kv Installationskabel är avsedd för fast förläggning och har märkspänning på högst 1 kv Anslutningskabel är avsedd för rörlig förläggning och har märkspänning på högst 1kV 12

14 Oavsett typ, består kabeln av följande delar, se figur 1:. Ledaren består av koppar eller aluminium och kan vara runda eller sektorformade. Ledaren kan bestå av en, få eller flera trådar, beroende på önskad böjlighet Ledarisoleringen är av plast, gummi, eller impregnerat papper. Tvärbunden polyeten (PEX) är den typ av plastisolering som används för märkspänning över 1 kv Halvledande skikt används på kablar med märkspänning över 3 kv för att jämna ut fältet mellan ledare/skärm och isolering Skärmen används för signalkabel för skydda mot yttre elektriska störningar. För kraftkabel är syftet att skydda personer som arbetar med kabeln från livsfarlig spänning Manteln utgör kabelns yttersta hölje och skyddar mot yttre, mekanisk åverkan Figur 2. Kabelns uppbyggnad [2], en utav tre parter är gulmarkerad. 13

15 2.2 Serieresonanskretsen Resonans i ett system innebär att en svag, periodisk yttre drivande kraft inom ett snävt frekvensområde kan leda till att systemets svängningsamplitud ökar kraftigt. I elektriska resonanskretsar utgör matningsspänningen i ett strömledande system den drivande kraften, spänningens amplitud ökar kraftigt över systemets reaktanser. Figur 3. Serieresonanskrets Genom spänningsdelning fås för serieresonanskretsen i figur 3: 1 j C 1 1 UC U S U S UC 2 1 j L R 1 LC j RC (1 LC) R C j C Vid resonans, dvs. då serieresonanskretsens reaktiva spänningar maximeras gäller: 2 U S (1) ; resonans resonanslc resonans L fresonans (2) LC C resonans I (2) ses att resonansfrekvensen enbart beror kretsens reaktans, godhetstalet (Q-värdet) ges i sin tur av: U U S C Q resonans R L (3) 2.3 Befintligt Provningsutrustning Den befintliga provningsutrustningen (figur 5) består huvudsakligen av omriktare, spole och provpart. Tillgång till tre stycken spolar finns även, vars induktanser är 10 mh, 5 mh och 15 mh. Genom att seriekoppla dessa kan induktansen i kretsen varieras mellan 5 30 mh, i steg om 5 mh. Resonansfrekvensen är runt 5 khz, spolens storlek anpassas till provparternas totala kapacitans, med växelspänningsomvandlaren kan också matningsspänningsfrekvens finjusteras om inte resonans kan åstadkommas med enbart reaktorinduktansanpassning. Parallellt med provparten ligger en kapacitiv spänningsdelare, avsedd för spänningsmätning över parten, 14

16 spänningsdelarens kapacitans är mycket lägre än provpartens. Växelriktaren som kretsen matas med är tillverkad av Vacon, och är av typen 22CX4. För att generera en växelspänning med den höga frekvensen används en särskild programvara som beställdes separat. Växelriktarens matas med 400 V (hsp) växelspänning, som först likriktas och sedan växelriktas med hjälp av transistorer som styrs med pulsbreddsmodulering. Frekvensen kan varieras mellan 15 Hz och 7200 Hz med en steg om 0,1 Hz. Se blockschema i figur 4. Växelriktaren matar serieresonanskretsen genom en isolertransformator med omsättningen 1:1 för att omvandla växelriktarens huvudspänning till fasspänning. Transformatorn matas från två av växelriktarens trefaser. Figur 4. Blockschema av växelspänningsomvandlaren Växelspänningsomvandlaren fungerar så att den trefasiga inspänningen först matar ett EMC 2 - filter. EMC-filtret ska förhindra att starka elektromagnetiska störningar sprids till omgivningen, filter av samma typ finns även på den trefasiga utgången. Filtren ska enligt tillverkaren ej påverka lik- och växelriktarens funktion. Efter filtret matas en spole som ska förhindra spänningsspikar och efter det likriktas spänningen. Likspänningen växelriktas sedan till önskad frekvens, spänning, och fasläge. Mikroprocessorn kan styras med den programvara som ingår, eller med extern programvara. För att programmera om växelriktaren ändras parametrar i en parameterlista 3. Återförsäljaren av Vacon ansåg att det endast var ett fåtal parametrar som var av intresse när 500 Hz växelspänning av viss storlek med så lite störning som möjligt ska genereras. Vacons rekommenderade inställning anges i tabell 2. 2 Electro Magnetic Compatibility 3 Parameterlistan nås från panelen på växelriktarens skåp eller från en PC som kopplas in i ett uttag bakom denna panel. 15

17 Tabell 2. Parameterlista, Växelspänningsomvandlaren Parameter Inställning och kommentarer Parameter 0.1 High speed application speed B rekommendera des Parameter 1.2, Maximum frequency bör ha samma värde som matningsspänningsfrekvensen, i det här fallet 500Hz. Parameter 1.3, Acceleration time 1 anger hur snabbt frekvensökningen från lägsta till högsta frekvens ska vara, parametervärdet rekommenderades att vara sekund. Parameter 1.4, Deceleration time 1 anger hur snabbt frekvensökningen mellan högsta till lägsta frekvens ska vara, parametervärdet rekommenderades att vara 1 sekund(samma som parameter 1.3). Parameter 1.7, Current limit Bör anpassas så att växelriktaren inte genererar en högre ström än komponenternas driftström i resonanskretsen. Parameter 1.10, Nominal voltage of the motor anger den huvudspänning som växelriktaren ska ge, denna parameter bör anpassas på samma sätt som parameter 1.7. Parameter 1.12, Nominal slip of motor reglerar eftersläpning(slip) mellan rotor och stator i asynkronmaskinen, tillverkaren rekommenderade inställningen: 1 Hz. Parameter 1.14, Supply voltage bör ha samma värde som Parameter 1.10 (nominial voltage of the motor). Parameter 6.2, Switching frequency rekommenderad brytarfrekvens är 5000Hz. Parameter 6.3, Field weakening point bör ha samma värde som parameter 6.2. Författaren antar att man ej behöver ta någon hänsyn till växelspänningens form utöver det att störande övertoner blir så få och så små som möjligt. Själva växlingens funktion i växelspänningen är endast att orsaka polaritetsväxlingar i provparten. Växelspänningsomvandlaren genererar utöver den önskvärda grundtonen övertoner. Grundtonen är enligt kravspecifikation vald till mellan 450 Hz till 550 Hz. Enligt tillverkaren elimineras vid balanserad trefasig belastning de jämna övertonerna och de, vars ordningstal är jämt delbara med tre. Övertonernas amplitud minskar med ökad frekvens och är aldrig större än grundtonen. Växelriktaren genererar övertonsströmmarna som enligt tillverkaren har frekvenserna: f (6n 1) f n 0 Där 0 f är grundtonen och n är ett godtyckligt positivt heltal. Övertonsströmmarna överför ingen effekt [4] men de orsakar (i det här fallet) ökad inducerad spänning i transformatorer jämfört med en ren sinusspänning. I serieresonanskretsen kommer övertonerna undertryckas då den fungerar som bandpassfilter, jämför figur Högfrekventa störningar definieras av tillverkaren som utstrålande eller kabelburna störningar med en frekvens över 9 khz [4], störningskällor som där anges är switchade element såsom: strömförsörjningsdon, klockor i dator och utgångskretsar i växelspänningsomvandlaren. 16

18 Figur 5. Befintlig provningsutrustning För att undvika för höga spänningar i resonanskretsen är varierbara resistorer inkopplade mellan omriktare och transformatorns primärsida och mellan transformatorns sekundärsida och spole. Jordanslutningen är skärmad. Mellan växelspänningsomvandlaren och transformator sitter ett lågpassfilter. Växelspänningsomvandlaren är delta-delta-kopplad till transformatorn, mellan det ben på transformatorn som ej är kopplade och ett av benen som är kopplad till växelspänningsomvandlaren sitter effektmotstånd, detta för att transformatorn ej skall drivas obelastad i någon fas. Transformator, växelspänningsomvandlaren, filter och de varierbara resistorerna är placerade i ett skärmat skåp. 17

19 3 Genomförande 3.1 Ny provningsutrustning Kretsen i figur 6 som utgör den nya provningsutrustningen består av följande komponenter: Spänningskälla (Nät, Växelspänningsomvandlare, transformator) ( ) Reaktor ( och ), reaktorns trådlängd: kapacitiv last ( och ) Märk att provpartskapacitanserna och reaktorstorheterna beror antalet inkopplade provparter som den nya provningsutrustningen är anpassad för. 3.2 Allmänt Figur 6. Ny provningsutrustning Spänningskällan ( ) Vid beräkningar av den nya provningsutrustningen försummas transformatorns och växelspänningsomvandlarens inverkan. Spänningskällan ses som stark med maximalt 400 V växelspänning, frekvensen kan varieras men hålls runt 500 Hz. Kravet på serieresonanskretsen är att lägst 18 kv ska ligga över provparten vid resonansfrekvens. Maximal tillåten avvikelse från märkfrekvens är +/- 10%, d.v.s. en avvikelse om maximalt 50 Hz kan accepteras. Impedans i kretsen bör hållas så låg som möjligt för att undvika onödiga förluster, och så få komponenter som möjligt bör vara variabla för att hålla nere tillverknings- och/eller inköpskostnaderna. 18

20 3.2.2 Kapacitiv last ( och ) Den kapacitiva lasten i kretsen utgörs av provparten och en eventuell extralastskondensator. extralastskondensatorn kopplas parallellt med provparten för att höja den totala kapacitansen i serieresonanskretsen och på så sätt kompensera för spolens induktans enligt(2). Provparten är en 100 m lång part av kabeltypen: 12 kv pex-isolerad kabel med 95 ledararea, driftkapacitansen för provparten är fås ur tabellvärden från Ericssons egen PEXguiden och bestämd till 0,03. Provpartens resistans försummas. Mellan 1 och 4 provparter av denna typ ska kunna vara inkopplade. Totala provpartskapacitansen beror då på de inkopplade provparternas antal (n) se (5). I varje ände av provparten är ändavslut av typen ABB Termini fästa, ändavsluten är placerade i luften utanför den vattenfyllda baljan, de är konstruerade för 50 Hz växelspänning. Min rekommendation är att kapacitansen över provparten mäts innan varje driftstart eftersom eventuell avvikelse från tabellvärdet smidigt kan kompenseras genom att ändra spänningskällans frekvens. Tillåten resonansfrekvens bestäms till: 500 Hz +/-10%, dvs.: (Hz) (4) Då kretsens kapacitans och induktans ska anpassas till resonansfrekvensen enligt (2). varieras spolens induktans efter de parallellkopplade provparternas sammanlagda kapacitans. Utöver provpartskapacitansen kan en extra lastkapacitans(se figur som visar hela systemet) kopplas parallellt med provparten. Resonansvinkelfrekvensen ge då av 1 resonans (5) L( C C ) provpart X Som lastkapacitans kan t.ex. en kondensator som används vid högspänningsprovning eller extrakabel användas Reaktorn (L och r) För att resonans ska ske i serieresonanskretsen i figur 3 krävs: L N 1 C resonans provpart C X (6) Reaktorlindningstrådens resistans (r) orsakar en effektutveckling i reaktorn: S L U 2 L j L r P L 2 L 2 U r 2 2 L r (7) 19

21 3.3 Metodik vid undersökning av spolsorter I detta kapitel undersöks nio spolkonstruktioner med luftkärna. Det som undersöks är den induktans och induktans per lindad trådlängd som de olika spolkonstruktionerna ger, spolsorterna anges i tabell 3. För att få fram en modell som överensstämmer så mycket som möjligt med verkligheten skattas induktansvärdena dels genom simulering i Comsol och dels genom beräkning med hjälp av i Matlab. Då tillvägagångssättet vid simulering i Comsol av de olika spolsorterna är nära nog identiskt, redovisas simuleringstillvägagångssättet enbart för en av spolsorterna, nämligen loopspolen i kapitel 3.3, medan beräkningsgången för samtliga spolsorter redovisas grundligt i kapitel Slutligen jämförs spolsorterna i kap 4 och där redovisas även den spolsort som författaren anser vara mest lämplig att använda då minsta möjliga lindad spoltråd för ett fixt induktansvärde önskas. Från nu gäller följande definitioner: att ett värde fås genom eller från Matlab eller liknande betyder att att värdet genom uppställda formler har beräknats med Matlab. Även när benämningen beräknas enbart används menas att värdet fåtts genom beräkning i Matlab. På motsvarande sätt gäller att benämningen fås genom eller från Comsol eller liknande menas att värdet fåtts genom simulering i Comsol. Tabell 3. Spolsorterna Spolsort Konspolen Loopspolen Wheelerspolen Cylinderspolen Brookspolen Förkortning K L W C B I högra kolumnen i tabell 3 står den förkortningen som används som index för de storheter som är specifika för spoltypen, ex: menas långa cylinderspolens radie. Metod för att finna den spole som ger högst induktans per trådlängd. Först tas ett uttryck för induktans per trådlängd fram, efter det undersöks vilka längdenheter (r, W och dylikt) som ger högst induktans per trådlängd, de längder som då fås fram taksätts, ex: menas att för att Wheelerspolen ska ge högst induktans per trådlängd krävs att. Efter det utrycks sambandet för samtliga spolsorter, observera att trådländsenheten l nu blir av med sitt index, trådländen ska ju vara gemensam för samtliga spolsorter då de ska jämföras. 20

22 3.3.1 Induktansberäkning i Matlab med Loopspolen (L) som exempel. Enligt [5] fås induktansen för en spole vars form beskrivs i figur 7: (8) Där R är loopspolens radie i millimeter och r är trådens radie i millimeter, induktansen L ges i nanohenry. Ekvation (2.8) anpassas till SI-enheterna, dvs. längderna ges i meter och induktansen ges i Henry, samtidigt ändras två beteckningar från (8): R ändras till och 2r ändras till trådledardiametern a, se figur 7. (9) Figur 7. Modell av loopspolen från [6] De induktansvärden från (9) som ges vid olika spolarradier tabell 4 och tabell 5. och trådledardiameter redovisas i 21

23 3.3.2 Tillvägagångsätt vid Induktanssimulering i Comsol med loopspolen som exempel. Enligt Maxwell gäller att den magnetiska energi som ett B-fält genererar genom en sluten volym beräknas enligt: 1 W m 2 H Bdv (10) Då B-fältet orsakas av en ström som flyter genom en elektriskledare gäller enligt [5]: 1 Li 2 2 Wm (11) Därmed kan den elektriska ledarens induktans nu beräknas enligt: 2W L i m 2 (12) Vi kan alltså bestämma en loopformad spoles induktans antingen genom integration av (10) och (12) eller genom att använda den färdiga formeln (12). Integreringen av (10) görs i programmet Comsol, där kan det magnetiska fält som orsakas av en strömtäthet simuleras, därmed kan nu förhållandet mellan beräkning och simulering av genererad magnetisk energi Wm vid en en viss strömtäthet fås. Föra att underlätta uträkning väljs loopspolens ström till 1 Ampére. För loopströmmen i gäller: Där a är trådledardiametern och J är trådledarens är strömtätheten (J förs in i Comsol enligt figur 15. Nu till simuleringen: Simuleringen genomförs i Comsol multiphysics 3.5 a, hädanefter kallad enbart Comsol. I Comsol används AC/DC modulen och undermodulen: total potential med de inställningar som ses i figur 8. Vidare ritas en tvådimensionell axialsymmetrisk modell i Comsols ritläge. I praktiken innebär det att figuren som nu ritas utgör tvärsnittet av en sluten slinga. Ritläget öppnas enligt figur 9 och cirkelns (som kallas C1) tvärsnitt formas enligt figur 10. Som exempel väljs Radie till i figur 10 detta motsvarar trådledardiametern a = 2 mm, vidare motsvarar r = /2 i figur 10 loopspolradien 1 meter, jämför med figur 7. (13) 22

24 Figur 8. Fönster då Comsol startas 23

25 Figur 9. Specificering av objekt Figur 10. Cirkeln tilldelas storheter 24

26 Cirkeln C1 utgör nu tack vare axelsymmetri en slinga, slingan tilldelas nu fysiska egenskaper genom att subdomäner härrörande C1 ställs in enligt figur 8 och 11 Vidare ska det område (kallat R1) där volymintegreringen ska ske definieras, detta görs på liknande sätt som för cirkeln C1, se figur 11 och 12 subdomäner för R1 ställs in enligt figur 14. Figur 11. Ritning av rektangel 25

27 Figur 12. Rektangeln tilldelas storheter Figur 13. Subdomäninställning 26

28 Figur 14. Den rektangulära subdomänen R1 tilldelas storheter. Figur 15. Den cirkulära subdomänen C1 tilldelas storheter. Strömtätheten fås från [13] Randvärdena väljs enligt figurerna

29 Figur 16. Val av randvärden Figur 17. Tilldelning av randvärden: randvalet 1 markeras som röd pil 28

30 Figur 18. Tilldelning av randvärden: randvalen 2 till 3 markeras med röda pilar Vidare väljs analystypen till tidsberoende enligt figurerna 19-20: Figur 19. Egenskaper, applikationsmodegenskap 29

31 Figur 20. Val av applikationsmodsegenskaper Därefter skapas det nät (mesh) som används vid beräkning med finita element metoden, se figur 21. Efter det löses (se figur 22) och integreras (se figur 23-24) för att slutligen få ge en lösning på integralen i (11) med hjälp av (9) fås nu induktansvärden som nu kan jämföras med de induktansvärden som fås från Matlabberäkningarna. Det av loopspolen generade magnetfältets får ett utseende som presenteras i figur Figur 21. Nät för beräkning genom finita elementmetoden (mesh) skapas 30

32 Figur 22. Lösning vid simulering Figur 23. Integrering vid simulering 31

33 Figur 24. Observera att båda Subdomänvalen (1 och 2) är markerade Figur 25. Magnetisk flödestäthet 32

34 Figur 26. Normerad magnetisk flödestäthet för loopspolen då radine är strömmen i slingan är 1 Ampére. =0.2 meter, och 33

35 3.4 Analytsik beräkning av trådlängd och relativt fel med Matlab Trådlängden fås till: (14) Om gäller: (15) Med given induktans (antingen från Matlab eller Comsol) och (9): Där anger förhållandet mellan induktans och lindad trådlängd, enheten för är Henry per meter, storheten är bunden till spolens form. Ekvationen (17) ger att maximeras då maximeras. Slutligen ges ett utryck för det relativa felet mellan det induktansvärde som ges (9) och av simulering i Comsol enligt: (16) (17) (18) Där är det induktansvärde som fås genom Comsolsimulering och är det induktansvärde som fås genom Matlabberäkning. 3.5 Redovisning av simulering och beräkning I detta kapitel redovisas två fall: ett då loopspolens ledar- och tråd hålls konstant och spolradien varieras, värdena redovisas i tabell 4. ett då loopspolens ledar- och tråd hålls varieras och spolradien hålls konstant, värdena redovisas i tabell 5. 34

36 Tabell 4. Värden för loopspolen då a=0.002 meter d = m och varieras mellan 0.3 och 3.9 meter i meter (se figure 7) Induktansvärde från simulering med Comsol enligt kapitel i Henry Induktansvärde från analytisk beräkning med (9) i mikrohenry Analytisk beräknad trådlängd enligt (15) i meter Relativt fel ( ) i procent enligt (18)i procent e e e e e e e e e e e e e Analytisk beräknad induktans per trådlängd ( ) enligt (17) i picohenry per meter 35

37 Induktans i förhållande till lindad tråd LamdaL (Henry per meter) Induktansen LL (Henry) 4 x Spolradien rl (meter) Figur 27. Graf över tabellvärden från tabell 4. Prickad linje är induktansvärde från (8)och kontinuerlig linje är induktans från Comsol-simulering. Matlabkod läses i Appendix 1 2 x Radien rl (meter) Figur 28. Graf över tabellvärden från tabell 4. Linjen är induktansvärde per trådländ som funktion av loopspolens radie. Matlabkod läses i Appendix 1 36

38 Induktansen LL (Henry) Tabell 5. Värden för loopspolen då ledarradien a varieras och = 1 m Ledardiameter a i millimeter Induktansvärde från simulering med Comsol i Henry Induktansvärde från analytisk beräkning med (9) i Henry Analytisk beräknad trådlängd enligt (15) i meter Relativt fel ( ) i procent enligt (18) i procent Analytisk beräknad induktans per trådlängd ( ) enligt (17) i picohenry per meter e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e x Trådledardiametern a (meter) x 10-3 Figur 29. Graf över tabellvärden från tabell 5. Prickad linje är induktansvärde från (9) (9) och kontinuerlig linje är induktans från Comsolsimulering. Matlabkod läses i Appendix 1 37

39 Induktans i förhållande till lindad tråd LamdaL (Henry per meter) 1.5 x Trådledardiametern a (meter) x 10-3 Figur 30. Graf över tabellvärden från tabell 5. Linjen är induktansvärde per trådlängd som funktion av loopspoltråddiametern. Matlabkod läses i Appendix 1 38

40 3.6 Undersöning av Konspolen (K) Enligt Tilbury [7] beräknas en stympad konformad spoles induktans, vars form beskrivs i figur 32 enligt: A N AN L (19) 8A 11W 11W 8 A Där L är spolen induktans i mikrohenry, noggrannheten anges enligt [7] anges till +/- fem procent då W>A/5. Där A enligt [7] är: OD ID ID 2 OD ID A (20) 2 4 OD är största diametern angiven i tum, se figur 32 ID är minsta diametern angiven i tum, se figur 32. N är lindningsvarvtalet W är höjden angiven i tum, se figur 32. Enligt [7] gäller även (se figur 32): (21) Ekvation (19) och (21) ger: (22) Vidare ger (20) och (22): (23) Med utgång från (23) införs egna beteckningar ( r Ky och r Ki, se figur 32), vidare sker anpassning till SI- systemet och permeabilitetskonstanten införs: (24) 39

41 Figur 31. Konformad spole[7] Vinkelvariabeln i (24) tilldelas inte något index trots att den är specifik för konspolen, detta då någon liknade variabel inte används för de andra spolsorterna och därför bör det inte finnas någon risk för sammanblandning. Figur 32. Modell av konspolen och vy av snitt av konspolen 40

42 Ur figur 32 fås trådmantelarean : (25) Ur figur 32 fås vidare: (26) (27) (28) (29) Om lindningstråden lindas tätast möjligt får vi med (25) och (26) följande utryck: Ekvation (30) är endast då giltig N>>d, dvs. då lindningsvarvtalets diskreta mängd kan approximeras till en kontinuerlig mängd. Med (24), (28) och (29) fås vidare: (30) Vi får även ett uttryck för induktans per trådlängd: (31) (32) Vi fixerar nu, och kallar detta värde. Vidare låter vi radien bero på storheterna, och. Med hjälp av (30) fås då: Ekvationerna (31) och (33) ger: (33) Ekvation (34) ritas nu (se figur 33) och följande slutsatser dras: Då lindningstrådlängden är begränsad och ytterradien beror på innerradien och stigningsvinkeln fås högst induktans då, detta innebär (se figur 33) att. Med andra ord: Konspolen ger högst induktans per (34) 41

43 Induktansen LK (Henry) lindad tråd då konspolen görs cylinderformad och därmed är en vidare analys av konspolen ej av intresse för denna rapport syfte Stigningsvinkeln theta (radianer) Innerradien rki (meter) Figur 33. Konspolens induktans som funktion av innerradien och stigningsvinkeln då trådlängden är fixerad. Matlabkod läses i Appendix 2 42

44 3.6.1 Jämförelse mellan simulering och beräkning av av en enlagrig, 240-varvig spoles induktans då Ѳ varieras och innerradien rki= 0.5 meter. Ekvation (24) förses med följande värden: r Ki = 0.5 N = 240 r r N d cos( ) Ky Ki d=4 mm Vilket ger: d cos( ) d cos( ) L K 0 0 (35) cos( ) cos( ) Ekvation (34) jämförs nu med comsol-simulering, se tabell 6 och figur 35. Lösningar från Comsol-simuleringen redovisas i figur 34. Figur 34. Absoluta magnetiska flödestätheten då stigningsvinkeln Ѳ = och inneradien rki = 0.5 meter 43

45 Tabell 6. Jämförelse av värden från simulering och beräkning av en konformad spoles induktans vid olika stigningsvinklarvinklar (Ѳ) då innerradien = 0.5 meter och N = 240 Stigningsvinkeln Ѳ Induktansvärde från simulering med Comsol Henry Induktansvärde från analytisk beräkning med (2.31) i Henry Relativt fel ( ) i procent, beräknas enligt appendix e NaN Analytisk beräknad induktans per trådlängd ( ) enligt (2.32) i Nanohenry per meter 44

46 Induktansen LK (Henry) Stigningsvinkel Theta (radianer) Figur 35. Graf över tabellvärden från tabell 6. Streckad linjevisar induktansvärde från beräkning och prickad linje visar induktansvärden från simulering. Matlabkod läses i Appendix Undersökning av konspoles induktans då innerradien rki = 0 och stigningsvinkeln Ѳ är Konspolens utformande är nu: N = 240 (36) Inneradien = 0 meter. Sedan tidigare gäller att tråddiametern: d = 4 mm och spolen att induktans ges av (34). Spolen lösning i Comsol ses i figur 36. Simulering i gav induktansen = Henry. Beräkning med (34) då st g gsv k Ѳ = 45 grader och inneradien rki = 0 och ytterradien Nd rky =, ger: rky ( rki 0) N L( H ) cos(45) (8 6 3 N d 2 2) H 45

47 Figur 36. Absoluta magnetiska flödestäthet av spole med form enligt figur 32 då innerradien = 0 meter, stigningsvinkeln Ѳ = 45 grader Undersökning av konspoles induktans då varieras och Ѳ = Konspolens utformande är följande: N = 240, d = 4 mm Innerradien varieras, se tabell 7. Analytisk beräkning med (34) då Ѳ= 45 grader, innerradien Nd 2 2r 6 ki N Nd 10 2 varieras och ytterradien : rky rki ger: L( H ) cos(45) Simulerade och beräknade värden redovisas i tabell 7 46

48 Figur 37. Absoluta magnetiska flödestäthet av spole med form enligt figur 32 då innerradien = 1 meter och Ѳ = 45 grader 47

49 Tabell 7. Undersökning då N = 240, d = 4 mm och inneradien varieras och stigningsvinkeln = 45 grader (meter) Induktansvärde från simulering Induktansvärde från analytisk Relativt fel ( ) Analytisk beräknad induktans per trådlängd ( ) enligt (32) i med Comsol beräkning med i procent, nanohenry per meter (Henry) (31) (Henry) beräknas enligt appendix

50 Induktansen LK (Henry) Innerradien rki (meter) Figur 38. Graf över tabellvärden från tabell 7. Prickad linje visar konspolens beräknade induktansvärden och kontinuerlig linje visar induktans från simulering då innerradien varieras mellan 0 och 1. Matlabkod läses i Appendix 4 49

51 Figur 39. Absolut magnetisk flödestäthet av spole med form enligt figur 32 då inneradien = 0.3 meter, stigningsvinkeln = 45 grader 50

52 3.7 Undersökning av Wheelerspolen (W) Figur 40. Wheelerspolen [7] Enligt [7] fås Wheelerspolens (se figur 40) induktans av: (37) Där längdenheterna är givna i meter och induktansen i Henry. N är lindningsantalet. Om spoltråden lindas tätast möjligt kan vi även låta Wheelersspolens trådlängd bero på den area Wheelerspolen upptar enligt: Ekvation (37) är endast tillämplig då d << eftersom lindningsvarvtalets diskreta storhet då kan betraktas som kontinuerlig. Genom att kombinera (36)-(37) fås ett uttryck för induktans per trådlängd : (38) (39) I figur 40 ses att om spoltråden lindas tätast möjligt fås: Ekvationerna (36) och (39): (40) (41) 51

53 f(k) Vidare ger Ekvationerna (38) och (39): Vi undersöker nu vilken spolform som ger högst och kallar denna storhet för undersökning görs genom att först tilldela längdstorheterna och normerade värden som vi låter bero på k: (42),, (43) Där k eftersom, vilket framgår i figur 40. Vidare ger (41) och (42): (44) Funktionen f(k) ritas i figur k Figur 41. Funktionen f(k), Matlabkod läses i Appendix 5 Omvänt bör även radien kunna varieras och hållas konstant och förhoppningsvis ge samma optimeringsresultat:, (45) (46) 52

54 g(k) Funktionen f(k) ritas i figur k Figur 42. Funktionen g(k), Matlabkod läses i Appendix 6 Funktionerna f(k) och g(k) ger att fås då, det vill säga: (47) Ekvation (38) skrivs om: (48) I (2.48) berövas trådlängden sitt index, detta då trådlängden ska vara gemensam för de spolsorter som senare ska jämföras. I tabell 2.6 redovisas värden från (40) och (41) jämte simulerade värden, då: d= 4 mm N = 50 varv =0.2 m (49) I figur 43 och 44 visas simuleringslösningarna. 53

55 Figur 43. Magnetisk flödestäthet för Wheelerspolen då =0.5 meter och =0.2 meter och strömmen i tråden = 1 Ampére Figur 44. Normerad magnetisk flödestäthet för Wheelerspolen då =0.5 meter och =0.2 meter och strömmen i tråden = 1 Ampére 54

56 Tabell 8. Värden för Wheelerspolen då d = m, N=50, bredden är fixerad till = Nd=0.2 meter Radien Kvoten Induktansvärde Induktansvärde från i från simulering analytisk beräkning meter (se med Comsol i med (37) i Henry figur 40) Henry varieras mellan0.3 och 3.9 meter och Relativt fel ( ) i procent, beräknas enligt appendix 7 och 8 Analytisk beräknad induktans per trådlängd ( ) enligt (39) i Henry per meter e e e e e e

57 Induktansen LW (Henry) Induktansen LW (Henry) 4 x Radien rw (meter) Figur 45. Graf över tabellvärden från tabell 8. Prickad linje visar beräknade induktansvärden och heldragen linje visar simulerade induktansvärden då radien varieras mellan 0.2 och 0.5 meter, Matlabkod läses i Appendix Radien rw (meter) Figur 46. Graf över tabellvärden från tabell 8. Prickad linje visar beräknade induktansvärden och heldragen linje visar simulerade induktansvärden då radien varieras mellan 0.5 och 4.1 meter, Matlabkod läses i Appendix 8 56

58 3.8 Undersökning av Cylinderspolen(C) Figur 47. Cylinderspolen [6] Enligt [6] fås för en spole vars form beskrivs i figur 47: (50) Där radien och längden anges i meter induktansen ges i Henry. Trådlängden antas bero enligt följande: Om tråden lindas tätast möjligt gäller: (51) (52) (53) (54) Uttrycket för induktans per trådlängd ges av: (55) Ekvationerna (53) och (54) kombineras: (56) 57

59 f(k) I analogi med Wheelerspolen undersöker vi nu vilken spolform som ger högst och kallar denna storhet för undersökning görs genom att ge tilldela längdstorheterna och normerade värden som vi låter bero på k:,, (57) (58) k Figur 48. Funktionen f(k), Matlabkod läses i Appendix 9 Omvänt bör även radien kunna varieras och hållas konstant gälla och förhoppningsvis ge samma resultat:, (59) (60) 58

60 g(k) k Figur 49. Funktionen g(k), Matlabkod läses i Appendix 10 Både f(k)och g(k )leder till (61) Under dessa förhållande gäller även: (62) (63) I tabell 9 och 10 redovisas värden från (9) och (10) jämte simulerade värden, då: d= 4 mm N = 50 varv =0.2 m (tabell 9) respektive (tabell 10) I figur 50 och 51 visas simuleringslösningarna. 59

61 Figur 50. Magnetisk flödestäthet för cylinderspolen då =0.008 meter, =0.2 meter och strömmen i tråden = 1 Ampére Figur 51. Normerad magnetisk flödestäthet för cylinderspolen då =0.008 meter, =0.2 meter och strömmen i tråden = 1 Ampére 60

62 Tabell 9. Värden för den långa cylinderspolen då =0.2meter och varieras mellan och meter Radien Kvoten i meter Induktansvärde från simulering med Comsol i mikrohenry Induktansvärde från analytisk beräkning med (53) i mikrohenry Relativt fel ( ) i procent, beräknas enligt appendix 11 Analytisk beräknad induktans per trådlängd enligt (56) i Henry per meter

63 Induktans LC (Henry) 1.5 x Radien rc (meter) Figur 52. Graf över tabellvärden från tabell 9. Prickad linje visar beräknade induktansvärden och heldragen linje visar simulerade induktansvärden då radien varieras mellan och 0.02 meter. Matlabkod läses i Appendix 11 62

64 Induktansen LC(Henry) Tabell 10. Värden för den långa cylinderspolen då =0.2meter och varieras mellan 0. 4 och 5.2 meter Radien Kvoten i meter Induktansvärde från simulering med Comsol i Henry Induktansvärde från analytisk beräkning med (53) i Henry Relativt fel ( ) i procent, beräknas enligt appendix 12 Analytisk beräknad induktans per trådlängd ( ) enligt (56) i Henry per meter Radien rc (meter) Figur 53. Graf över tabellvärden från tabell 10. Prickad linje visar beräknade induktansvärden och heldragen linje visar simulerade induktansvärden då radien varieras mellan 0.4 och 5.2 meter. Matlabkod läses i Appendix 12 63

65 3.9 Undersökning av Brooksspolen (B) Figur 54. Flerlagrig spole (till vänster) och Brooks spole (till höger) Brooks [8] utgick från flerlagrig spole (figur 54) där längdenheterna varierades och fann att den form som ger högst induktans per längdenhet är den form som ges i figur 54. Brooks utryckte sambandet mellan induktansen och längdenheten b i figur 54 till: Där induktansen ges i mikrohenry, längden b anges i tum och n är lindningsvarvtalet, denna typ av spole kallas hädanefter för Brooksspole. Omvandling till SI- enheter ger: (64) (65) 64

66 Figur 55. Comsolsimulering av Brookspolen då lindningsvarvtalet N = 400 och b = 0.1 meter Induktansen L fås enligt (64) till Henry. Induktansen L fås genom Comsol-simulering till Henry Eftersom modellen i figur 54 kan beskriva både en enkellagrig platt spole (b = tråddiametern, n = 1) och en enkellagrig cylinderformad spole (c = tråddiametern), antas Brooks spole ge högre induktans per lindad trådlängd än båda dessa spolsorter. Om tråden i Brooks spole lindas tätast möjligt fås: Ekvationerna (64) och (65) ger: (66) Trådländen fås genom att multiplicera Brookspolens medelradie med dess lindningsvarvtal, med hjälp av (65) fås då: (67) (68) 65

67 Induktansen L (Henry) Ekvationerna (66) och (67) ger: (69) 3.10 Jämförelse och val av spole Induktanserna som ges av (48),(62) och (68) ritas i figur 56 som funktion av trådlängden. Trådledararean A har valts till 10 (enligt [10] är dess nominella driftström 63 A), detta ger: a =2 (70) Ingen tråddiameter anges av [10], därför antas: d=2a=7.1 mm (71) Trådlängden l (meter) Figur 56. (blå kurva), (röd kurva), (grön kurva) Matlabkod läses i Appendix 13 66

68 Induktansen L (Henry) Trådlängden l (meter) Figur 57. (blå kurva), (röd kurva), (grön kurva). Matlabkod läses i Appendix 13 I figur 2.50) ses att den spolsort som kräver kortast trådlängd för att ge mellan och 8 Henry är Brookspolen. Den induktans i sin tur som krävs för resonans i den nya provningsutrustningen är inom detta område enligt tabell 11, därför väljs Brookspolen som reaktor i den nya provningsutrustningen. För resonans krävs: Induktansen ) redovisas i tabell 12. Tabell 11. Induktans som krävs för resonans med n stycken provparter inkopplade Antalet inkopplade provparter n Henry Henry Henry Henry 67

69 Trådlängden som krävs ges av figur 57, men den kan även beräknas enligt: (72) Materialkostnaden ges av: Materialkostnaden = Trådens meterkostnad (73) Vid beräkning av trådens resistans tas hänsyn till skinneffekten [11]: (74) (75) (76) Med en ledare med 10 trådledararea av koppar fås nu värden i tabell 12. Tabell 12. Beräkning utförd enligt appendix 14 då trådledartvärsnittsarean A är 10 Antalet Reaktortrådlängd R(l(n), ) från Materialkostnaden inkopplade provparter n (76) då trådmeterpriset är 20 kronor per meter Längden b, se fig. 54, beräknad med (64) meter Ω kronor 0.32 meter meter Ω kronor 0.28 meter meter 9.01 Ω kronor 0.26 meter meter 7.58 Ω kronor 0.24meter Summa: 16158,1 meter Ω kronor - För att spara pengar kan fyra stycken spolar tillverkas med de induktanser som ses i tabell

70 Tabell 13. Beräkning utförd enligt appendix 14 då trådledartvärsnittsarean A är 10 s u t Reaktortrådländ Resistans Materialkostnaden då trådmeterpriset är 20 kronor per meter Längden b, se fig. 54, beräknad med (64) = Henry meter 7.58 Ω kronor 0.24 meter = meter 3.92 Ω kronor 0.20 Henry meter = meter 5.94 Ω kronor 0.22 Henry meter meter Ω kronor 0.28 Henry meter Summa: meter Ω kronor Lindningsalternativ Två lindningsätt undersöks: Figur 58. Brookspolen, inringad lindning ses förstorad i figur 59 och 60 Siffrorna i cellerna i figur 59 och 60 anger i den ordningsföljd lindningstråden är förlagd, spänningen längs den enskild slingan antas vara konstant, om reaktorn spänningssätts vid första slingan och jordas vid en sista gäller gäller att slingornas potential ökar med stigande förläggningsordningsföljd enligt: V(#1) = V(#100) = 0 För den k:e lindade slingan gäller V(#k) =. Med en titt i figur 59 fås att maximal spänning mellan trådarna i fås av: 69

71 (77) Maximalt E-fältet mellan lindningsvarven fås genom att dividera (77) med tråddiametern: (78) Ur figur 60 dras liknande slutsats: (79) Figur 59. Lindningsschema där varje ruta symboliserar ett trådtvärsnitt, siffran i rutan anger den ordningsföljs trådavsnitten är lindat Figur 60. Lindningsschema där varje ruta symboliserar ett trådtvärsnitt, siffran i rutan anger den ordningsföljs trådavsnitten är lindat 70