Innehåll III VII VIII X XII XIII

Transkript

1 Problemsamling i termodynamik & statistisk mekanik Denna nya upplaga av problemsamling är avsedd för kurser i termodynamik och/eller kurser i termodynamik & statistisk fysik. Den statistiska fysikdelen bygger på den enklaste delen av denna teori d v s icke växelverkande energibärare (microcanonical ensamble). Problemsamlingen innehåller huvudsakligen problem hämtade från tentamina i termodynamik samt termodynamik & statistisk fysik från åren samt några enklare problem, dock principiellt viktiga. En hel del problem har lagts till från tentor men få tagits bort d v s antalet problem har ökat sedan senaste utgåvan. En del problem har även bytt plats och ett nytt delkapitel tillkommit (Strålning och strålar). Just nu är antalet problem 148. Kapitelindelningen följer någorlunda kursuppläggningen för termodynamik & statistisk fysik för matematiskt-naturvetenskapligt program samt termodynamik, Q- och F-linjerna, ingenjörsprogrammen. Innehåll I Kinetisk gasteori, allmänna gaslagen... sid 2 II Energi, värmekapaciteter... sid 4 III Temperatur, 1:a huvudsatsen... sid 5 IV Exempel på tillståndsekvationer... sid 6 V Andra huvudsatsen, entropi... sid 8 VI Systemanalys, Maxwells relationer m m... sid 10 VII Statistisk mekanik... sid 13 VIII Fasövergångar... sid 15 IX Kretsprocesser... sid 18 X Värmetransport... sid 20 XI Strålning och strålar... sid 22 XII Diverse problem... sid 22 XIII Facit och diverse tips.. sid 26 1 Juli 2003 S.Bjarman

2 I Kinetisk gasteori, allmänna gaslagen 1. Trycket i ett TV-rör är ca 10-7 torr. Hur många gasmolekyler motsvarar detta per cm 3? Temperaturen i röret kan sättas till 20 C. 2. En behållare med volymen 1,0 l innehåller syrgas med temperaturen 300K och trycket 100 kpa. Molekyldiametern kan sättas till 0,30 nm. a) Hur stor är molekylernas fria medelväglängd? b) Hur många kollisioner/sek undergår en molekyl i medeltal? c) Upprepa a) och b) vid T=300K och p=1,0 Pa. 3. Extremt gott laboratorievakuum är ca torr. Hur stor är fria medelväglängden för kväve vid detta tryck då temperaturen är 300K? Hur många gånger kolliderar molekylerna med en 1 cm 2 yta per sekund? Kvävemolekylernas diameter kan sättas till 0,30 nm. 4. En sfärisk gasbehållare innehåller en gas för vilken temperaturen hålles konstant till T. Trycket i behållaren är från början p 0 och behållarens radie r. Antag nu att en liten del av behållarens area, A, hålles vid en mycket låg temperatur medan resten av ytan håller temperaturen T. Antag vidare att alla molekyler som träffar ytan A kondenseras och inte förgasas igen. Beräkna nu den tid det tar för trycket att sjunka till p. Data: r=10,0 cm, A=1,00 cm 2, T=300 K, molekylmassan=2, kg, p 0 =10,0 torr, p=1, torr 5. En vakuumbehållare på 10,0 l evakueras till 1, atm och stängs sedan. Nu punkteras behållaren så att ett hål uppstår med diametern 1,00 mm. Hur lång tid tar det för trycket i behållaren att stiga till 0,90 atm? Trycket utanför behållaren är konstant 1,00 atm ( luft, ideal gas, molvikt M= 29 kg/kmol, T=300 K hela tiden). Diskutera om det är meningsfyllt att beräkna tiden för att trycket utjämnas mellan behållare och omgivning. 6. I en kub med sidan 0, m befinner sig 10 vätemolekyler. I ett bestämt ögonblick är molekylernas hastigheter uttryckta i m/s: 925, 1020, 1170, 850, 1210, 1060, 980, 1230, 1160, beräkna trycket i kuben samt temperaturen om man antar att rörelserna motsvarar termisk jämvikt. 7. Beräkna medelfarten för järnatomerna i en järngas med T = 4500K. 8. För några år sedan fick man Nobelpriset i fysik för att man lyckats kyla små gasmängder till oerhört låga temperaturer. Medelfarten i en sådan gas var ca 0,5 m/s. Beräkna temperaturen om gasen bestod av heliumatomer. 9. Hur högt är lufttrycket på 8000m höjd vid normaltryck vid havsnivå? T=konst. 2

3 10. Använd värdet på specifika värmekapaciteten vid konstan tryck för koldioxid (i PH) för att finna antalet frihetsgrader per molekyl (man antar ideal gas). Hur stämmer detta med värdet på konstanten γ=c p /C V i PH för samma gas? 11. En väderballong, gjord av ett synnerligen tunt men tätt material, väger tillsammans med instrument 3,0 kg. Ballongen, vars maximala volym är 100 m 3, påfylls med 1,0 kg Heliumgas ( 4 He). I början, vid marknivå, är ballongen liten och skrynklig men blir större ju högre den stiger. Man antar att temperaturen i såväl omgivande luften som i heliet hela tiden är 0,0 C. a) Beräkna ballongens volym vid marknivå samt förhållandet mellan ballongens totala massa och den undanträngda luftens massa. b) Vid vilken höjd når ballongen sin maximala volym? c) Vilken blir ballongens maximala höjd. 12. En gasbehållare i form av en termiskt helt isolerad cylinder innehåller en fritt rörlig, tät, kolv som delar volymen i två delar. Även kolven är termiskt isolerande. Den ena volymen innehåller Argongas vid 300 K och den andra samma gas vid 600 K. Mängden gas i båda volymerna är 1,0 mol och den totala volymen (för båda tillsammans) är 50 liter. Kolven som delar volymerna är mycket lätt, 1,0 gram. Beräkna trycket i gaserna vid mekanisk jämvikt samt även efter det att termisk jämvikt inträtt (vilket sker långsamt via kolvens rörelse). Beräkna även sluttemperaturen samt kolvens medelhastighet (man bortser ifrån kolvens värmekapacitet i sammanhanget). 13. En gasbehållare i form av en termiskt helt isolerad cylinder innehåller två fritt rörliga, täta, kolvar som delar volymen i tre delar. Även kolvarna är termiskt isolerande. Delarna innehåller respektive 1,0 mol helium vid 200 K, 2,0 mol vid 150 K samt 3,0 mol vid 100 K. Den totala volymen är 50 liter. Beräkna trycket i gaserna vid mekanisk jämvikt samt de olika volymernas storlek. 14. En gasflaska innehållande kväve (volym 50,0 l) läcker en aning. Gastrycket i flaskan var från början 35 atm men visade sig precis ett dygn senare vara 33 atm. Gasen kan under förevarande förhållanden behandlas som en ideal gas (temperatur 290K). Om man antar att läckan är ett enda litet hål så beräkna hålets area. (Man får anta att gasen utanför flaskan håller konstant trycket 1,0 atm samt att den kan approximeras med rent kväve. Det blir ett ganska litet fel men enklare att beräkna) natriumatomer är nedkylda till 5,0 K (m h a laserkylning). Beräkna gasens inre energi om man antar att den är noll vid absoluta nollpunkten. (gasen är synnerligen tunn och kondenserar inte, ens vid denna mycket låga temperatur, och kan förstås behandlas som en ideal gas). 16. Till hur låga temperaturer måste man kyla natriumgas för att atomernas medel-de Broglie-våglängd skall överstiga medelavståndet mellan atomerna? Man antar att den magnetiska fällan innehåller ca atomer och att det sfäriska molnets diameter är ca 5 μm. 3

4 II Energi, kalorimetri, värmekapaciteter 17. Värmekapaciteten för en bit materia definieras som den värmemängd (mätt i J) som måste tillföras för att höja temperaturen med en grad. Denna kapacitet är olika för olika material. Antag att 1kg guld vid 0 C och vatten vid 100 C får komma i termisk kontakt samt att de två systemen är fullständigt isolerade från omgivningen. Vilken blir den slutgiltiga jämviktstemperaturen? 18. En liter vatten vid 37 C får komma i jämvikt med 1 liter luft vid 4000 C. Vilken blir sluttemperaturen? Detta är en delförklaring till varför det går bra att gå barfota några steg på en glödbädd!! 19. Antag att två identiska kopparblock får utstå en frontalkrock. Antag även att blockens farter före stöten är exakt samma samt att blocken kommer i vila efter krocken (fullständigt inelastisk stöt). Hur stor måste blockens fart vara före stöten för att kopparns temperatur skall stiga med exakt en grad (1,0 K). 20. Antag att två Na-atomer (i en ideal gas av Na-atomer) får utstå en frontalkrock och att båda atomerna därvid exciteras till den närmaste möjliga energinivån som ligger 2,1 ev över grundtillståndet (multiplicera med e=1, för att få joule). Antag även att atomerna står still efter krocken. Vilken temperatur måste Na-gasen ha om den hastighet som behövs för ovanstående skall motsvara medelhastigheten i gasen? 21. Beräkna värmekapacitansen, C V, och värmekapacitiviteten, c V, för en blandning av 1,0 liter He och 5,0 liter kväve vid NTP (ideala gaser). 22. I en blandning av neon och kväve är partialtrycken för de båda gaserna lika stora. Beräkna c V för denna blandning (ideala gaser). 23. En behållare har volymen 40 l och innehåller gas med trycket 8,0 atm. Gasen strömmar långsamt från behållaren genom en kalorimeter till dess att gastrycket sjunkit till 2,0 atm. Hela tiden hålles behållarens temperatur konstant 91 C. Gasens densitet är vid 0 C och 1 atm lika med 0,179 kg/m 3. a) Hur stor är den vid 91 C och 8,0 atm resp. vid 91 C och 2,0 atm? b) Hur stor mängd gas strömmade genom kalorimetern? c) Vid passagen genom kalorimetern sjönk gastemperaturen med 76,0 grader. Kalorimeterns totala värmekapacitet var 3,0 kj/k och dess temperaturökning 4,4 grader. Förluster försummas. Vilket värde erhölls på gasens värmekapacitivitet. 24. Torr luft av atmosfärstryck och temperaturen 20 C avkyles i ett hermetiskt tillslutet kylskåp till temperaturen 2,0 C. Dörren är 1,0 m hög och 0,50 m bred. Handtag och gångjärn sitter på långsidorna. Med vilken kraft måste man dra i dörrhandtaget för att öppna dörren? 4

5 25. Två gasbehållare, den ena med volymen V och den andra med volymen 4V, är förenade med ett smalt rör, vars volym är försumbar i förhållande till behållarnas volym. Röret är försett med ett grenrör med kran, som sätter behållarna i förbindelse med ytterluften. Vid temperaturen 20 C och trycket 1, Pa stängs kranen. Behållaren med volymen V placeras i isvatten, 0 C, och behållaren med volymen 4V placeras i kokande vatten, 100 C. Vilket tryck finns i systemet då jämvikt inträtt? Gasen får behandlas som ideal. 26. En liten gasbubbla stiger mot ytan från botten av en 25m djup sjö. Hur stor blir bubblans relativa volymändring om man antar att processen sker vid konstant temperatur (trycket vid ytan antas vara 1,00 atm)? III Temperatur, 1:a huvudsatsen 27. En heliumgastermometer arbetar med konstant volym och gastrycket mäts med en öppen kvicksilvermanometer. Gastermometern doppas ned i kokande vatten, is-vattenblandning och kokande kväve, varvid manometern visar 608 mm, 240 mm övertryck resp. 478 mm undertryck. Barometerståndet var vid försöket 760 mm Hg. Vilken temperatur erhålls för kvävets kokpunkt i den absoluta temperaturskalan enligt detta experiment? 28. Du vill bestämma en okänd temperatur med en gastermometer, och gör därför en serie mätningar av trycket vid denna temperatur och trycket vid ispunkten enligt tabellen nedan. Bestäm den okända temperaturen med en noggrannhet av 0,1 K. P is (torr) 100,0 200,0 300,0 400,0 p (torr) 127,9 256,5 385,8 516,0 29. I en konstant tryck gastermometer innesluts gasen i en behållare konstruerad så att gasens tryck hela tiden hålls konstant och dess volym kan mätas med god noggrannhet. Vid ett experiment var gasens volym 1,00 dl vid is-vatten-temperatur och 1,37 dl vid vattnets kokpunkt (allt vid trycket 1,00 atm). Vilket värde på absoluta nollpunkten i celsiusgrader gav experimentet? 30. Hur mycket arbete måste man utföra på 1 liter kväve (ideal gas) vid normaltryck och 0 C för att minska volymen till 1dl om temperaturen är konstant hela tiden? Vad händer med inre energin i denna process? 31. En mol av en ideal gas får expandera till dubbla volymen. Processen sker reversibelt och vid en konstant temperatur av 300K. a) Hur mycket värme måste tillföras gasen i denna process? b) Hur mycket arbete utförs av gasen? 5

6 32. En platinumtermometer skall kalibreras m h a en gastermometer, som arbetar vid konstant volym. Platinummotståndet är ett tunt skikt som vid rumstemperatur visar sig ha en resistans på drygt 100 ohm. Gastermometern sänks först ned i nollgradig blandning av is och vatten varvid den använda gasen visar ett tryck på 92,23 kpa. När man sänker ned termometern i kokande vatten (vid 1,00 atm) visar gasen ett tryck på 126,00 kpa. Nu tillreds olika varma vattenbad där såväl gastermometer som platinum dito nedsänks. Följande tabell över uppmätta tryck samt resistanser erhölls: p/kpa 98,9 103,0 107,1 110,8 115,4 120,1 124,0 R/ohm 107,0 112,4 117,3 121,6 127,1 132,6 136,8 Utred hur noggrann denna platinumtermometer är (om ovanstående kalibrering används) för mätning av temperaturer i området 0<t<100 C. 33. En blandning av 1,0 kg helium och 4,0 kg kväve har trycket 1,0 atm och temperaturen 20 C. Blandningen får expandera med konstant tryck till dubbla volymen. Beräkna det uträttade arbetet, tillförda värmet och ändringen i inre energin. Gaserna får betraktas som ideala. 34. En mol enatomig, ideal gas av 27 C och trycket 1,0 atm upphettas isobariskt varvid värmemängden 25 kj tillföres gasen. Beräkna a) ändringen i inre energin b) det av gasen uträttade arbetet. IV Exempel på tillståndsekvationer 35. Van der Waals tillståndsekvation för en mol av en gas lyder (p+a/v 2 )(v-b) = RT där R är allmänna gaskonstanten och a och b konstanter. T är absoluta temperaturen, p trycket och v molvolymen. Skriv om ekvationen så att den gäller för n moler. 36. Härled uttryck för volymutvidgningskoefficienten, β, och kompressibilitetskoefficienten, κ T, som funktion av V och T för a) en ideal gas b) en van der Waals-gas 6

7 37. En 50,0 l gasflaska innehåller He vid 5,00 Mpa och 20,0 C. Beräkna substansmängden i kmol med 3 siffrors noggrannhet (v d W gas!) 38. En tvålitersbehållare (2,00 l) innehåller 0,200 kg koldioxid. Följande data har erhållits för tryck och temperaturer: T/K p/mpa 4,40 4,83 5,24 5,66 6,08 Beräkna van der Waals-konstanterna a och b för CO 2 gällande i detta område av tillståndsrymden. 39. En elastisk metalltråd beskrivs termodynamiskt m h a de tre variablerna temperatur (T), dragkraft (J) och längd (L). Använd Hooks lag och antagandet att trådens tvärsnittsarea är konstant för att härleda en tillståndsekvation för systemet. Den otöjda längden antas endast bero på temperaturen (linjärt). Upprepa proceduren för ett gummiband där man antar istället att bandets volym är konstant och endast beroende på temperaturen (linjärt). 40. Antag att ett gummiband töjs och spänns mellan två punkter. Vad händer med spännkraften om man höjer bandets temperatur? Man kan även fråga sig vad som händer med en vikt som hängs upp i ett gummiband om man höjer bandets temperatur. Vad tror ni om motsvarande experiment med stålvajer? 41. Beräkna värmekapaciteten, C V, för 1kg järnånga vid 4500K och 1 atm tryck (enatomär, ideal gas). 42. Beräkna densiteten för järnångan i föregående tal. 43. Beräkna det mekaniska arbetet som uträttas då 1 mol svaveldioxid (SO 2 ) expanderar isotermiskt från ett begynnelsetillstånd med trycket 5,00 atm till normaltillståndet NTP. Gasen betraktas som en van der Waals-gas. 44. Beräkna molvolymen för syre vid 0 C och 50,0 atm med användande av dels allmänna gaslagen och dels med användande av van der Waals lag. 45. Kritiska temperaturen för syre är 118 C och kritiska trycket 50 atm. Beräkna härur storheterna a och b för syre i van der Waals ekvation och jämför med angivna värden i Physics Handbook. 46. Berthelots tillståndsekvation har formen (p+an 2 /TV 2 )(V-nb) = nrt (1) där a,b är gasspecifika konstanter. Bestäm kritiska temperaturen, trycket och volymen för en sådan gas uttryckt i de storheterna a, b, n och R. 47. Tillståndsekvationen för en elastisk fjäder är given av 7

8 J = KT(L/L 0 -(L 0 /L) 2 ) där J är spänningen, K är en konstant och L 0 är den naturliga längden, som endast beror på temperaturen. Beräkna det arbete som krävs för att sammanpressa fjädern isotermt från L=L 0 till L=L 0 / Spänningen i en metalltråd ändras genom en reversibel, isoterm process från J 1 till J 2. Längden L, genomskärningsytan A och Young s modul Y är praktiskt taget konstanta under processen. Beräkna arbetet uttryckt i de nämnda kvantiteterna. 49. Magnetiska momentet för ett prov paramagnetiskt salt lyder Curie s lag M = CB/T (C= Curiekonstanten) Beräkna arbetet vid en isoterm, reversibel process, varvid magnetfältet inuti saltet ökar från B 1 till B En tillståndsekvation för fasta ämnen under tryckändringar kan uttryckas: V = V 0 (1 + β(t-t 0 ) κ T (p-p 0 )) där V 0 är volymen vid temperaturen T 0 och trycket p 0. β och κ T är volymutvidgningskoefficienten respektive isoterma kompressibiliteten. Använd denna tillståndsekvation för att beräkna hur stort tryck det skulle krävas för att minska volymen med 0,20 % i koppar samt för att beräkna hur stort arbete detta skulle kräva om V 0 = 1,00 cm 3. V Andra huvudsatsen, entropi 51. Man vill sänka temperaturen i en ideal, enatomig gas genom att utsätta gasen för följande process ett antal gånger: - Isoterm kompression till halva volymen följd av en adiabatisk expansion tillbaka till den ursprungliga volymen. Hur många gånger måste processen genomlöpas för att sänka temperaturen till 1/10 av den ursprungliga. 52. En tät, kolvförsedd cylinder innehållande luft vid 0 C, 1,0 atm kastas i havet där djupet är 1,0 km. Om man antar att kompressionen i cylindern sker adiabatiskt, vilken blir då temperaturen i den inneslutna luften då cylindern når botten? Hur många gånger mindre blev volymen? Då cylindern ligger stilla på botten kommer luften i den så småningom att anta vattnets temperatur (4,0 C). Hur stor blir nu volymen i förhållande till den ursprungliga (innan cylindern kastades i havet) 8

9 53. En tom 1,0-litersbägare hålles upp och ner i luften (20 C, 1,0 atm) ovanför en vattenyta. Därefter nedföres den försiktigt, fortfarande upp och nervänd, till 3,0 m vattendjup där temperaturen är 8,0 C. a) Vilken volym har den inneslutna luften när den kommit i jämvikt med omgivande vatten? b) Nu vänds bägaren och luften stiger upp i form av en bubbla. Om man antar att processen är reversibel och adiabatisk, vilken blir då luftens temperatur då den når ytan? c) Om processen i b) antas vara isoterm, vilken blir då bubblans volym strax innan den når ytan? 54. 7,2 g luft ( som består av 76,9 viktsprocent kväve och 23,1 dito syre) har temperaturen 18,0 C och trycket 1,01 atm. Beräkna den volymändring som leder till att temperaturen ökar med 15 grader vid en reversibel, adiabatisk process. 55. Hur stor värmemängd skall bortföras vid konstant tryck från 1,2 kg luft med trycket 110 kpa och begynnelsetemperaturen 27 C för att luften därefter med en adiabatisk tryckökning till 220 kpa skall återfå temperaturen 27 C? 56. En ideal, enatomig gas upptar volymen 5,0 m 3 vid ett tryck av 7,0 atm och temperaturen 300 K. Gasen expanderar varvid trycket sjunker till 1,0 atm. Beräkna volym och temperatur för sluttillståndet, det uträttade arbetet, den absorberade värmemängden, samt ändringen i inre energi under förutsättning att processen är reversibel och adiabatisk. 57. En gas lyder van der Waal s lag och har den konstanta värmekapaciteten C V per mol. Visa att vid en adiabat gäller: T(V-b) R/C V = konstant. 58. En formulering av andra huvudsatsen är att ett totalt isolerat systems entropi endast kan öka och att entropin är maximal vid jämvikt. Gäller detta även mikroskopiskt? Diskutera detta problem. 59. Hur mycket ändras universums entropi då 2,0 kg koppar med temperaturen 85 C släpps i en sjö med vattentemperaturen 14 C? Utred om resultatet är förenligt med termodynamikens andra huvudsats. 60. En värmeisolerad behållare med konstant volym är med hjälp av en värmeisolerad skiljevägg uppdelad i två lika stora delar. I den ena finns 10 kg neon med temperaturen 20 C, i den andra 10 kg kväve med temperaturen 100 C. Antag att skiljeväggen mellan systemen tas bort så att gaserna blandas och termodynamisk jämvikt får inställa sig. a) Vad blir då sluttemperaturen? b) Beräkna totala entropiändringen. 9

10 61. En ideal gas har vid NTP en densitet av 1,429 g/l. 10 g av gasen upptar vid 20 C en volym av 4,0 l. Den får expandera reversibelt till en volym av 8,0 l, och härunder tillföres i varje ögonblick en värmemängd, som är jämt hälften av vad som skulle erfordrats för att expansionen skulle skett isotermiskt. Beräkna gasens entropiändring. VI Systemanalys, Maxwells relationer m m 62. En mol av en viss gas lyder tillståndsekvationen p(v-b)=rt. Denna gasmängd genomgår en fri expansion från volymen 2b till volymen 4b. Beräkna entropiändringen och temperaturändringen kg syrgas i en tub får plötsligt expandera ut i en tom behållare, så att gasens volym därigenom fördubblas. Tub och behållare bildar ett slutet system, med värmeisolerade väggar. Gasens temperatur antas ha samma värde i begynnelse- och sluttillstånden. Samma gas kan alternativt transformeras mellan de nyss nämnda tillstånden på flera olika sätt. Betrakta följande process: 1) Gasen genomgår först en reversibel adiabatisk process då volymen fördubblas. 2) Gasen uppvärms sedan reversibelt vid konstant volym tills sluttillståndet uppnåtts. Beräkna entropiändringarna under processerna 1) och 2). Bestäm även gasens totala entropiändring, från begynnelse- till slut-tillståndet, när gasen genomgår den först beskrivna irreversibla processen. 64. Volymutvidgningskoefficienten β är för vatten negativ i temperaturintervallet 0 C<T<4 C. Visa att vatten inom detta temperaturområde avkyles vid en reversibel adiabatisk kompression. 65. För hålrumsstrålning i en behållare med volymen V, vars väggar har temperaturen T gäller för innre energin U och trycket p: U = avt 4, p = at 4 /3 (a=konstant) Visa att vid en adiabatisk, reversibel tillståndsändring gäller: Beräkna värdet på γ. p V γ = konstant 66. Utförda experiment visar att längden av ett gummiband ökar vid avkylning om spänningen hålles konstant. Använd denna information för att visa att gummibandets temperatur ökar vid en reversibel, adiabatisk sträckning. 10

11 67. Radien av en såpbubbla med ytspänningen σ, som endast beror av T, ökas genom att arbete tillföres vid en isoterm process. Undersök om värme absorberas eller avges av såpbubblan under den isoterma processen. För alla vätskor gäller ( σ/ T) A < 0 (A = ytan) 68. Härled ett uttryck för C V för en gas som lyder Berthelot s tillståndsekvation (p+a n 2 /TV 2 )(V-nb) = nrt ( 1 mol) Man vet att C V (5/2)nR då V 69. För att beskriva ädelgaser används ibland följande tillståndsekvation: p(v+na/t-nb) = nrt (1) där a och b är gasspecifika konstanter. Beräkna Joule-Thomsonkoefficienten, μ för en gas som lyder (1) samt där C p 5R/2 då p 0 Beräkna inversionstemperaturen (där μ =0) för He för vilken gäller a=0,387 Km 3 /kmol, b=0,0153 m 3 /kmol. 70. Experiment har visat att en elastisk metalltråd förlängs vid uppvärmning då dragkraften hålls konstant. Det motsatta händer om man värmer upp ett gummiband d v s bandet förkortas. Visa att detta leder till att en metalltråd avkyls vid en reversibel, adiabatisk förlängning, samt omvänt att ett gummiband uppvärms vid samma behandling. De två systemens värmekapaciteter kan anses oberoende av längden. 71. Använd tillståndsekvationen för en elastisk metalltråd (se problem 39) för att göra en uppskattning av temperaturändringen i en järntråd som vid 300 K (=T 0 ) förlängs adiabatiskt och reversibelt med 0,10 %. Trådens värmekapacitet vid konstant längd, C L, kan ersättas med järnets vanliga värmekapacitet, C p ( C V ). Samtliga materialkonstanter antas vara temperaturoberoende. (Utveckla ( T/ L) S, använd sedan approximationen (1+α (T-T 0 )) 1) 72. För ett paramagnetiskt salt med volymen V (som antas konstant) är magnetiseringen vid låga temperaturer given av: M = CB/T (Curie s lag) (B= pålagt magnetfält) där C är en konstant. För B=0 är värmekapaciteten C B = a/t 2, där a är en konstant. Beräkna sluttemperaturen om B minskas adiabatiskt och reversibelt från B=B 0 vid T=T 0 till B=0. 11

12 73. Van der Waals gasekvation kan skrivas: p = nrt/(v-nb) an 2 /V 2 där a&b är gasspecifika konstanter. Visa att inre energin i en sådan gas beror på volymen samt finn ett uttryck för densamma om man antar att den går mot uttrycket för inre energin för en ideal gas för stora volymer (låg densitet). 74. En gummisnodd kan betraktas som ett termodynamiskt system. Som tillståndsvariabler väljs lämpligen snoddens längd (L), temperaturen i gummit (T) och dragkraften (spänningen) (J). Motsvarigheten till pvarbetet i en gas blir här (ett på systemet utfört arbete) W=JdL. a) Använd Helmholz fria energi för att härleda följande Maxwell-relation för systemet: ( S/ L) T = -( J/ T) L (1) b) Om man antar att gummisnoddens volym är oförändrad vid töjning kan följande tillståndsekvation härledas ur Hookes lag: J = k(1+β (T-T 0 ))(1/L 0-1/L) (2) där k och β är konstanter och L 0 längden vid T=T 0 och J=0. Använd (1) och (2) för att visa att värmekapaciteten vid konstant längd, C L, är oberoende av L. c) Använd (1) och (2) för att härleda ett uttryck för inre energin, U, i gummisnodden (C L kan anses oberoende av såväl T som L) d) Använd (1) och (2) för att integrera fram ett uttryck för entropin S. e) Värden på konstanterna i (2) för en viss gummisnodd är: k=0,020 Nm, β=2, K -1, T 0 =300 K samt C L =1, J/K (oberoende av T) Antag att man sträcker gummisnodden isotermt till sin tredubbla längd vid T=300 K samt därefter låter den kontrahera adiabatiskt och reversibelt till L 0. Beräkna gummisnoddens temperatur omedelbart efter kontraktionen. 75. Ett termdynamiskt system kan beskrivas med variablerna X, Y och temperaturen T. En tillståndsekvation för systemet är: Y = A X T 2 där A är en konstant. Ett på systemet utfört arbete uttrycks: dw = -YdX. a) Finn ett uttryck för värmekapaciteten vid konstant X, C X, där man antar att C X C 0 (konstant) när X 0. b) Finn ett uttryck för systemets inre energi, U(X,T). c) Finn ett uttryck för systemets entropi, S(X,T). 76. Beräkna skillnaden mellan specifika isobara och isokora värmekapaciteterna för silver. Jämför med den isobara. 12

13 77. Använd uttrycket för inre energin för en van der Waals gas i tal 73 för att beräkna temperaturändringen i en sådan gas då volymen ökar fritt från V 1 till V 2. Diskutera hur denna temperaturändring beror på antalet frihetsgrader och molvolymen. 78. Silver är en kubisk metall där sambandet mellan volym, tryck och temperatur kan, vid tryckexperiment, för temperaturer nära 300K och upp till flera Gpa tryck, beskrivas med den enkla linjära ekvationen: där T 0 =300K och p 0 = 1,0 atm. V = V 0 (1 + β(t-t 0 ) κ T (p-p 0 )) Hur stor tryckökning krävs för att minska volymen med 1,0% isotermiskt? Beräkna även temperaturändringen då trycket reduceras adiabatiskt och reversibelt tillbaka till det normala (1 atm) genom att utveckla derivatan ( T/ V) S. (C V C p = ρv 0 c p för silver där c p fås från PH). VII Statistisk mekanik 79. Räkna upp de 8 lägsta energinivåerna i en gas fria partiklar (enligt de Broglie). Vad menas med rumsdegeneration respektive spindegeneration av dessa nivåer. 80. a) Använd de Broglies uttryck för partiklars våglängd, λ=h/p, för att visa att energierna för fria partiklar (massa m) inneslutna i en kubisk låda med kantlängden L kan uttryckas : E(r) = [h 2 /8mV 2/3 ]r där r=n 2 x +n 2 y +n 2 z (n i heltal >0) och volymen V=L 3. b) Antag att 20 stycken xenonatomer är inneslutna i en kubisk box med kantlängden 10 Å. Om atomerna är av isotopen 129 Xe så är de fermioner med spinn 1/2. Beräkna systemets totala energi vid nollpunkten (0 K, m=129u) uttryckt i enheten mev (10-3 ev). c) Gör om samma beräkning som i b) för 20 st xenonatomer av isotopen Xe som är bosoner, (spinn 0, m=128u). d) Vilken är den lägsta möjliga excitationsenergin för systemen i b) respektive c) ovan? 81. Beräkna relativa ökningen i totala antalet mikrotillstånd (Ω 2 /Ω 1 ) för två kopparbitar på exakt 1 g vardera då dessa kommer i termisk jämvikt om bitarnas respektive begynnelsetemperaturer var 300,000K och 299,990K. Man antar att de två kopparbitarna är fullständigt isolerade från omgivningen. 82. Beräkna Fermi-energin för elektronerna i frielektronmodellen d v s den högsta besatta energin vid absoluta nollpunktent t ex i en metall med N/V elektroner per volymenhet. Sätt in värden för Na som har en fri elektron per atom. Hur stor andel (uppskattningsvis) av dessa elektroner deltar i den elektriska ledningen vid T=300 K (hur stor andel är exiterade)? 13

14 83. Atomerna i en enatomig ideal gas är fermioner med spinkvanttalet S=3/2. Hur många atomer kan samsas i energinivån med rumskvanttalen (1,2,3)? 84. I en paramagnet har de magnetiska jonerna magnetiska momentet μ, motsvarande spin ½ d v s möjliga orienteringar i ett magnetfält är endast två. De två möjliga energierna är då E 1 = μb och E 2 = μb. a) Skriv ned tillståndssumman för systemet (N st magnetiska dipoler), Z(T,B) b) Beräkna fria energin, F(T,B). c) Beräkna systemets entropi, S(T,B). d) Beräkna inre energin, U(T,B). e) Finn ett uttryck för systemets totala magnetiska moment vid temperaturen T och fältet B. f) Finn ett approximativt uttryck för totala magnetiska momentet för systemet vid temperaturen T och fältet B då kvoten B/T går mot noll. Vad kallas denna tillståndsekvation? 85. Tillståndssumman för ett system är Z(T,V) = exp[(a/3k)t 3 V]. Beräkna inre energin, entropin och trycket i systemet. Känns möjligen systemet igen? 86. Ett termodynamiskt system kan beskrivas med de makroskopiska variablerna X,Y och T (temperaturen). Ett på systemet utfört differentiellt arbete är dw = -YdX. M h a mikroskopisk analys har man funnit följande uttryck för systemets tillståndssumma: Z(T,X) = exp[ax 2 T]. Finn uttryck för systemets inre energi, entropi samt värmekapacitet vid konstant X, C X. Finn även systemets tillståndsekvation. 87. Diskutera om funktionen exp[-ax 2 /T 2 ] är en möjlig tillståndssumma för ett termodynamiskt system (T är temperaturen, X är en extensiv variabel). 88. Ett system har tre energinivåer med energierna 0, 100k B och 200k B. Nivåernas degeneration är 1, 3 respektive 5. Beräkna tillståndssumman, Z samt populationen i varje enskild nivå vid temperaturen T = 100K. 89. En gas svagt växelverkande partiklar med ej helt försumbar egenvolym (volym per partikel) är: Z(V,T,N) = [(V-Nb)/N] N [2πmk B T/h 2 ] 3N/2 exp[n 2 a/vk B T]. Finn ett uttryck för gasens tryck, p(t,v), samt inre energin, U(T,V). Ett namn på gasen?? 90. Antalet möjliga sätt att välja tillstånd för N st bosoner (statistiska vikten) är Ω = Π r (g r +N r )!/g r!n r! Använd detta uttryck för att visa att relativa antalet partiklar i tillståndet r är N r = g r /(exp((e r -μ)/k B T)-1) Skriv om denna fördelning till att gälla fotoner med energier E r = hν r och med kemiska potentialen μ = Härled Plancks fördelningslag m h a resultatet i föregående tal. 92. Använd Plancks fördelningslag för att visa dels Wiens förskjutningslag och dels för att visa Stefan-Boltzmanns lag. 14

15 VIII Fasövergångar 93. Ett gram is med temperaturen 0 C skall bringas i jämvikt med ett gram vattenånga med temperaturen 100 C. a) Beräkna temperaturen då termisk jämvikt uppnåtts. b) Hur många gram vätska finns det i jämviktstillståndet? c) Beräkna entropiförändringen. 94. En skridskoåkare, vikt 80 kg, har skridskor vars skenlängd är 30 cm och skentjocklek 3 mm. Under åkning tar dock bara ca 10% av skenornas anläggningsarea upp belastningen. Skridskorna glider lätt på isen p g a att det bildas en vattenfilm under skenorna. Utred orsakerna därtill. 95. På en mellan två stöd liggande istapp hängs en vikt i en ståltråd med kvadratiskt tvärsnitt av 1,00 mm (se figur). Den radiella kraften på istappen (under ståltråden) kan visas vara den samma överallt där tråden är i kontakt med isen. Istapp Ståltråd Massa Hur stor massa måste till för att isens smältpunkt just under tråden skall sjunka med en (1,00) grad. Istappens temperatur är 0,00 C och dess diameter 2,00 cm. 96. Physics Handbook ger data för vattenånga i tabell T-1.6. Använd tabelldata för att beräkna ångbildningsvärmet för vatten vid 120 C. 97. Ett kolvätes ångtryckskurva har vid 48,0 C derivatan dp/dt = 3,00 kpa/k och kolvätets ångbildningsvärme är vid denna temperatur 536 kj/kg. Beräkna den mättade ångans densitet, då vätskans är 800 kg/m Under senaste istiden låg inlandsisen ungefär 3 km tjock över Skandinavien. Vilken var isens smältpunkt vid markytan? 99. En bit is, som från början är under 1 atm tryck och har temperaturen -2,0 C, sammanpressas isotermiskt. Beräkna det tryck vid vilket isen börjar smälta. (Vid vattnets trippelpunkt gäller att dess tryck är 0,006 atm och temperaturen 0,01 C). 15

16 100. Ekvationerna för sublimations- och ångbildningskurvorna för ett ämne är: lnp = 0,04-6/T (sublimering) lnp = 0,03-4/T (förångning) där p är i atmosfärer. Bestäm temperatur och tryck i trippelpunkten. Bestäm även molära sublimations- och ångbildnings-entalpierna under antagande att volymen för gasfasen är mycket större än för fast och flytande fas och att gasen kan betraktas som ideal. Bestäm slutligen smältvärmet genom att betrakta entropiändringen längs en liten cirkel runt trippelpunkten i pt-diagrammet För vattenånga gäller att densiteten vid 1 atm och 100 C är 1670 ggr mindre än för vatten vid samma temperatur och tryck. Hur stor del av ångbildningsvärmet åtgår till arbete (uträttat på den omgivande luften) när vattnet förångas vid 100 C och 1 atm, och hur stor är entropiökningen per kg vatten? 102. I tabellen nedan anges det mättade ångtrycket för alkohol (C 2 H 5 OH) vid några temperaturer. Temp C Ångtryck mm Hg -2, , , ,5 400 Beräkna alkoholens specifika ångbildningsentalpi under antagande att gasens densitet är försumbar jämfört med vätskans och att gasen kan betraktas som ideal gas Beräkna förändringen av inre energin och entropin i 1,00 kg helium då denna massa förångas vid 100 kpa. Densiteterna för helium är 130 kg/m 3 för vätskan och 14,3 kg/m 3 för gasen Ett system består från början av 1,000 g is vid T=237,15 K och m g vattenånga vid T=373,15 K. Antag att systemet är fullständigt isolerat från omgivningen och att sluttillståndet blir vatten vid 323,15 K. Trycket antas hela tiden vara konstant 1,000 atm. a) Hur stor bör massan m vara? b) Hur mycket ändras systemets entropi i processen? 105. Antag att följande tre villkor gäller för en gas i närheten av gasens ångbildningskurva: I II Gasfasen kan överallt behandlas som en ideal gas. Molvolymen för vätskefasen kan försummas jämfört med molvolymen för gasfasen. 16

17 III Ångbildningsvärmet, L, är konstant d v s oberoende av såväl tryck som temperatur. a) Visa att villkoren I-III leder till följande lösning till Clausius-Clapeyrons ekvation: P = C 1 exp{-l/rt} (1 mol, C 1 konstant) b) Om man i stället för III antar att värmekapaciteterna är konstanta så kan man visa att detta leder till L=L 0 +L 1 T. Visa att man nu får följande lösning: p = C 2 T (L 1/R) exp{-l 0 /RT} (1 mol, C 2 =konstant) 106. Man vill kyla ett prov i flytande helium till temperaturer under heliets kokpunkt (vid 1,00 atm) genom att sänka trycket i heliumgasen (ångan över vätskan). Med en enkel pump kan man sänka trycket till 1, atm. Beräkna sluttemperaturen under förutsättning att gasen kan behandlas som en ideal gas, att förångningsentalpin är konstant och att man kan försumma vätskans volym jämfört med gasens under hela processen kg is vid 0 C tillförs försiktigt värme så att: 1) isen smälter fullständigt till vatten 2) vattnet uppvärms till 100 C (densiteten liksom värmekapaciteten antas konstant i vattnet mellan 0 och 100 C) 3) vattnet kokas fullständigt till ånga Beräkna förändringen i vattnets inre energi och entropi i de olika processerna om man antar att allt sker vid 1,00 atm Rita en graf över temperaturen som funktion av tiden för en viss massa vatten som tillförs en viss konstant värmeeffekt. Antag att tillförseln av värme börjar då vattnet befinner sig vid 100 C (is) samt slutar vid 200 C (ånga) allt vid konstant tryck av 1,00 atm. Isens och ångans värmekapacitet kan sättas till ca halva vattnets värmekapacitet (vätskans). IX Kretsprocesser 109. En tvåatomig gas genomlöper en kretsprocess enligt följande: Från temperaturen 100 C och trycket 2,0 atm komprimeras den adiabatiskt till trycket 6,0 atm. Därefter sker en isobar expansion som följs av en isokor process till begynnelsetillståndet. 17

18 a) Beräkna processens verkningsgrad. b) Vilken blir den carnotska verkningsgraden mellan den högsta och den lägsta temperaturen enligt ovan? 110. Beräkna verkningsgraden för en ideal sluten gasturbincykel som arbetar mellan trycken 1 atm och 3 atm. Arbetsgasen är helium. En ideal gasturbincykel består av två adiabater och två isobarer I en värmemaskin utförs en kretsprocess bestående av tre delprocesser: Först en adiabatisk kompression där temperaturen ändras från 300 K till 600 K varpå följer en isotermisk expansion. Till slut återförs gasen till begynnelsetillståndet via en process där ds/dt=konstant. Beräkna verkningsgraden för kretsprocessen om alla tillståndsändringar antas ske reversibelt. (Ledning: använd ett TS-diagram) I en värmemaskin består varje cykel av följande processer i tur och ordning: 1. En isobar temperaturhöjning från 50 C till 300 C. 2. En isoterm volymfördubbling. 3. En isokor temperatursänkning tillbaka till 50 C. 4. En isoterm tryckökning tillbaka till utgångstillståndet. Arbetsmediet består av 20,0 kmol ideal, enatomig gas. Hur stor effekt levererar maskinen om varje cykel tar 3 sekunder? mol ideal enatomig gas får genomgå följande kretsprocess: 1. En isoterm expansion till femfaldiga volymen 2. En isokor halvering av trycket 3. En isobar nedkylning samt 4. en adiabatisk kompression tillbaka till begynnelsetillståndet där temperaturen är 600 K. a) Beräkna ändringen i gasens inre energi i alla delprocesserna. b) Beräkna entropiändringen i alla delprocesserna En kylmaskin arbetar enligt en omvänd Carnotprocess med köldfaktorn ε c =11. Den värmemängd, per cykel, som maskinen bortför från ett utrymme med den lägre temperaturen är 93 J. Den isotermiska kompressionen sker vid 25 C. a) Beräkna entropiändringen under denna kompression för mediet i kylmaskinen. 18

19 b) Hur stor är totala entropiändringen för mediet under en hel cykel? 115. En mol av en ideal gas genomgår följande kretsprocess: 1. En reversibel isokor fördubbling av trycket. 2. En reversibel isoterm volymfördubbling. 3. En reversibel isobar återgång till begynnelsetillståndet. Beräkna för varje delprocess ändringen i gasens inre enrgi, tillförd värmemängd samt entropiändringen. Allt skall uttryckas i C V, T 1 (starttemperaturen) och gaskonstanten, R En ideal, enatomig gas genomlöper följande kretsprocess: En adiabatisk halvering av volymen V, en isobar volymutvidgning till x V, en isokor trycksänkning till begynnelsetrycket och slutligen en isobar återgång till begynnelsetillståndet. Hur stort skall x vara för att W=0 skall gälla? 117. En kretsprocess består av två isobarer och två isokorer. Först fördubblas trycket isokort sedan fördubblas volymen isobart varefter man återgår till begynnelsetillståndet via först en isokor halvering av trycket och sedan en isobar halvering av volymen. Beräkna processens verkningsgrad om a) arbetsmediet är en ideal, enatomig gas b) om arbetsmediet är en fotongas c) beräkna även den temperatur i fotongasen då arbetet per cykel blir lika i de två fallen när begynnelsetillståndet för partikelgasen är 1,0 Pa, 300 K Antag att man vill utnyttja överskottsvärmen i en stor gasvolym, V, vid temperaturen T 1 för att driva en värmemaskin (volymen antas vara konstant). Man har även tillgång till en värmesänka med temperaturen T 2 (T 2 <T 1 ) (en värmesänka är i princip ett system med oändlig värmekapacitet). Beräkna förhållandet mellan det arbete som man maximalt kan ta ut och den tillgängliga energin i gasvolymen då den avkyls från T 1 till T Kondensorn i ett frysskåp håller temperaturen +45 C. Skåpets kompressor drivs av en motor som tillförs den elektriska effekten 100 W och har verkningsgraden 75%. En värmemängd av 250 J läcker in i frysskåpet per sekund vid stationärt tillstånd. Beräkna lägsta möjliga temperatur i frysskåpet om man antar att kylningen sker genom en ideal Carnotprocess. X Värmetransport 120. Beräkna värmeflödet genom en husvägg som består av 25 cm tegel (λ=0,6 W/mK) och en tilläggsisolering om 10 cm mineralull (λ=0,038 W/mK) då det är 20 C inne och 10 C ute. För värmeövergångstalen α i och α u gäller: 1/α i +1/α u = 0,17 Km 2 /W 19

20 121. Tre cylindriska stavar med samma dimensioner är lagda i rad efter varandra i ordningen Koppar,Aluminium,Zink. Stavarna är vardera 50 cm långa och har diametern 2,0 cm. Kopparstaven har ena ändytan i kontakt med en värmereservoar med temperaturen +100 C medan den andra sidan (Zinkstavens ändyta) är i kontakt med en reservoar med temperaturen 0 C. Beräkna temperaturen i kontaktytorna mellan stavarna samt värmeflödet genom stavarna. Stationärt tillstånd antas råda och ingen hänsyn till värmeutbyte med omgivningen behöver tas För att bestämma U-värdet (värmegenomgångstalet) för en yttervägg placeras först en fiberplatta (λ=0,060 W/mK tjocklek 3,0 cm) och ovanpå den en värmeplatta på väggens insida. Man mäter, sedan jämvikt inställt sig, temperaturen mellan värmeplatta och fiberplattan, mellan fiberplattan och väggen samt temperaturen på ytterväggen. Man erhöll följande värden: 40,0 C, 30,0 C och 10,0 C. Värmeplattans dimension är sådan att endimensionell värmeöverföring anses föreligga. Bestäm väggens U-värde En mindre sfärisk himlakropp består av rent järn samt en mycket liten mängd radioaktivt, värmeutvecklande material. Kroppens diameter är 5,00 km och dess yttemperatur 200 K. Kroppen befinner sig långt från alla värmekällor och den omgivande rymdens temperatur kan sättas till 0 K. a) Beräkna hur stor värme måste alstras homogent i kroppen per m 3 för att upprätthålla ytans temperatur. b) Beräkna temperaturen i kroppens centrum Strålningen från en svart kropp är intensivast för våglängden 6000Å. Hur förändras utstrålningen om kroppens temperatur höjs så att den totala utstrålade effekten ökar till det dubbla? 125. I en förenklad modell av jordklotet antages att det genom radioaktivitet utvecklas en konstant effekt P 0 per volymenhet i jordens inre. Antag att jorden är homogen och att värmeledningsförmågan är konstant. Låt T(r) vara temperaturen i jorden på avståndet r från jordens medelpunkt. Bestäm T(r) om yttemperaturen är T 1 och R jordens radie En likströmsledning består av en kopparkabel med diametern 10,0 mm. I kabeln går en ström på 1000 A. Om man antar att strömtätheten är homogent fördelad på kabelns tvärsnittsarea, vilken blir då temperaturdifferensen mellan kabelns centrum och periferi? 127. Ändytorna på en konformad provhållare av grafit har radierna 10,0 respektive 1,00 mm. Konens längd mellan de två ytorna är 200 mm. Den större ytan sitter fast på en värmesänka med den konstanta temperaturen 300 K. På den mindre ytan sitter ett starkt radioaktivt 20

21 preparat som utvecklar värmeeffekten 1,00 W homogent över ytan. Vilken temperatur antar preparatet vid stationärt tillstånd (man bortser från strålningsförluster)? 128. Solarkonstanten anger strålningsintensiteten från solen utanför jordens atmosfär och har värdet 1,37 kw/m 2. Jordens medelavstånd till solen är 149, km. Beräkna ur dessa data hur stor mängd materia som minst omvandlas till strålningsenergi varje sekund på solen. Uppskatta också solens radie då solens genomsnittliga yttemperatur är 5780 C Några MN1:or i Uppsala får i uppgift att mäta solens yttemperatur. De gör två enkla mätningar en vacker, solig dag i slutet av juni. Först mäts solens synvinkel d v s den vinkel under vilken solskivan syns på himlen. Vinkeln visar sig vara 9,30(25) radianer. Sedan mäts solarkonstanten m h a en effektmätare (mäter den totala effekten per ytenhet solstrålning, integrerat över alla frekvenser). Resultatet blev 1,37(11) kw/m 2. Nu kunde MN1:orna beräkna solens yttemperatur. Gör så du också, samt onoggrannheten i resultatet (siffrorna inom parantes är onoggrannheter i mätningarnas två sista siffror) En svärtad, cylindriskt formad koppartråd (mantelytan kan ses som en svart kropp) är placerad ute i den fria rymden där omgivningens temperatur kan sättas till 0K (en liten approximation). a) Finn ett uttryck för den elektriska likström, I, som går i tråden om dess yta skall hålla temperaturen T. Kalla trådens radie R och kopparns resistivitet ρ. b) Beräkna strömmen om T=373K och R=1,0 mm. (Ledning: Resistansen i en tråd med tvärsnittsarean A och längden L är Lρ/A) XI Strålning, strålar 131. Vid dubbelspaltexperiment med heliumatomer syns 21 interferensmaxima i den centrala delen av interferogrammet. Utanför det tionde maximat på vardera sidan försvinner mönstret helt p g a inkoherens. Spaltbredden är 1,0 μm och spaltavståndet 20 μm i dubbelspalten. Beräkna kvoten Δv/<v> d v s osäkerheten i atomernas fart genom medelfarten för atomerna i strålen. Diskutera även temperaturen i strålens gas! 21

22 132. Använd data i föregående problem för att beräkna heliumatomernas medelfart om man vet att vinkeln mellan 5:te sidomaxima på vardera sidan centralmaximum (N = ±5 i uttrycket dsinθ = Nλ) är 1, radianer Använd Maxwell-Boltzmann-fördelningen för att visa att medelvärdet av farten för partiklarna i en ideal gas är <v> = (8RT/πM) 1/2 där M är partiklarnas molmassa. Gör sammaledes för medelvärdet av fartens kvadrat, <v 2 >! 134. Visa att den mest förekommande farten i en ideal gas är v m = (2RT/M) 1/2 d v s fördelningens maximum Diskutera eventuella likheter mellan en BEC-stråle och laserljus! Kan man tänka sig att definiera temperaturen i en laserstråle eller en partikelstråle och kan man definiera strålens entropi? 136. Vad är det som händer då en gas övergår från normal gas till en BEC t ex med partiklarnas energier o s v. XII Diverse problem 137. Entropin för ett svart hål (utan elektrisk laddning eller spin) är enligt Hawking: S = (2πk B c 3 /4Gh)A, där A är hålets yta (händelsehorisont) och övriga naturkonstanter har sina konventionella betydelse. Enligt Schwarzchild har ytan radien R S = (2G/c 2 )M där M är hålets totala massa. Finn ett samband mellan hålets totala energi (inre energin) och dess entropi samt använd detta för att finna hålets temperatur m h a T = ( U/ S) V. Diskutera temperaturen för olika stora svarta hål Hur stor likström kan ledas genom en cylindrisk tråd av indium (In) med diametern 2,0 mm innan metallen börjar smälta i centrum om trådens yta hela tiden kyls och hålls vid 300K? Värmeproduktionen antas ske homogent i metallen. (Resistansen R = ρl/a där ρ är resistiviteten, L längden och A trådens tvärsnittsarea) 139. Ett termodynamiskt system beskrivs med de tre variablerna X,Y och temperaturen, T. I en viss del av tillståndsrummet kan följande samband anses gälla mellan variablerna: X 4 Y = A T 2 (1) Ett på systemet utfört arbete kan skrivas: dw = Y dx Man vet även att för stora X så är systemets värmekapacitet vid konstan X, C X = C 0 = konstant. 22

23 Finn uttryck för inre energin samt entropin för systemet som funktion av X och T under förutsättningarna ovan En 50,0 cm lång kopparcylinder med diametern 5,00 cm förbinder två i övrigt isolerade behållare (cylinderns ändytor är i termisk kontakt med behållarnas innehåll). Cylinderns mantelyta är välisolerad. Den ena behållaren innehåller 10,0 kg is vid 0,00 C, den andra vattenånga vid 100 C av stor mängd (se figur nedan). Beräkna hur lång tid det tar för all is att smälta (man antar att den kalla hållaren håller 0,00 C så länge det finns is kvar samt att den varma håller 100 C hela tiden). Man bortser från alla eventuella förluster. Ånga Koppar Is 141. En ideal gas lyder tillståndsekvationen, pv=nrt. a) Visa att gasens inre energi är oberoende av såväl tryck som volym. b) Visa, genom att utveckla derivatan ( p/ V) S att pv γ =konstant Ett frysskåp med innermåtten 600x600x500 mm har väggar av 2,00 mm plast (λ = 0,25 W/mK) på såväl ut som insida. Mellan väggarna finns 40 mm isolering med λ = 0,025 W/mK. Temperaturen i frysen är -25 C och utanför densamma 20 C. Bestäm följande: a) U-värdet om man antar att alla värmeövergångstal är oändligt stora. b) Värmeläckaget in i frysen från omgivningen. c) Hur stor del av tiden måste kylsystemet (ideal Carnotprocess) gå om kompressorn levererar effekten 100 W till kylmediet och kondensorn håller temperaturen 50 C? 143. Ett paramagnetiskt salt kan som termodynamiskt system enklast beskrivas med variablerna B, M och T där B är det yttre pålagda magnetfältet (mäts i tesla (T)), M är provets magnetiska moment (mäts i joule per tesla (J/T)) och T temperaturen. Ett på systemet utfört arbete uttrycks dw=b dm. En tillståndsekvation för systemet är enligt bröderna Curie (den ene gifte sig sedan med Marie) uttryckt i moderna enheter: M = (C/T) B där C är en konstant (Curie-konstanten) med dimensionen JK/T 2. Saltets värmekapacitet vid B=0 kan uttryckas C 0 =A T 3 (gäller vid ca T = 5 K, A är en konstant). a) Finn uttryck för de två värmekapaciteterna C B och C M då B 0 och temperaturen låg. 23

24 b) Visa att systemets inre energi är oberoende av såväl B som M ,0 kmol ideal, enatomig gas genomgår följande kretsprocess: 1. En reversibel isotermisk expansion till tiofaldiga volymen. 2. En reversibel isobar volymminskning, samt 3. en reversibel adiabatisk kompression tillbaka till begynnelsetillståndet. Temperaturen i begynnelsetillståndet var 500K. a) Skissera processen i ett pv-diagram samt beräkna den lägsta temperaturen under kretsprocessen. b) Beräkna ändringen i inre energin i gasen under varje delprocess. c) Beräkna ändringen i entropin i gasen under varje delprocess. d) Beräkna processens verkningsgrad Ozon-gas (O 3 ) kan anses lyda ideala gaslagen vid tryck nära en atmosfär även nära kokpunkten då båda faserna samexisterar. Man får även anta att vätskans volym är mycket mindre än gasens. En mätning av tryck och kokpunkt gav att ozonet kokade vid 164,65 K då trycket var Pa och vid 166,65 K då trycket var Pa. Använd dessa data för att beräkna ozonets specifika förångningsentalpi vid trycket 10 5 Pa där kokpunkten är 165,65 K Genom noggranna triangelmätningar har man kunnat mäta avståndet till Sirius (himlens starkast lysande stjärna) till 8,6 ljusår. M h a en mycket stark och bra stjärnkikare kan ljusstyrkan vid jorden (ljusets intensitet) mätas till 4, W/m 2. Med en spektrometer kopplad till kikaren finner man att stjärnans maximum i våglängdsspektrum (svartkroppsspektrum) ligger vid 290 nm. Använd dessa data för att beräkna Sirius radie Ett gäng teknologer har byggt en stor snöiglo utanför Ångström där de tycker om att sitta och plugga i lugn och ro. Iglon har formen av en perfekt halvsfär med innerradien 2,0 m och ytterradien 2,5 m. Iglons golv var synnerligen välisolerat med ett tjockt lager frigolit samt fina lammfällar att sitta på. När antalet teknologer var det rätta uppmättes följande: temperaturen utanför iglon samt på ytterväggarna var 20 C medan den inne var behagliga 20 C. Dock var temperaturen på innerväggarna alltid noll då snön där smälte och läckte ner för väggarna till rännor som utmynnade i en behållare som stod på en våg d v s man kunde mäta mängden smältvatten per tidsenhet. Denna mängd smältvatten mättes till 2,96 kg vatten per timma vid samma tillfälle. Frågan är nu följande: Hur många teknologer är rätt antal om man antar att varje teknolog avger 80 W värme till sin omgivning? Observera att den tillgängliga värmen både går till att 24