När vi plottar funktionen f(x) = x x 2 99x 238 med hjälp av dosan kan man få olika resultat beroende på vilka intervall man valt.
|
|
- Göran Månsson
- för 4 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 När vi plottar funktionen f(x) = x 3 + 1x 99x 38 med hjälp av dosan kan man få olika resultat beroende på vilka intervall man valt Figur 1: Ett alldeles för stort intervall Figur : Här ett för litet Ett bättre sätt att få en uppfattning om kurvans utseende är att först derivera f (x) = 3x + 4x 99 För att ta reda på i vilka punkter f(x) har tangenter med k-värdet = 0, som är liktydigt med en extrempunkt sätter vi f (x) = 0 och löser den uppkomna andragradsekvationen 3x + 4x 99 = 0 x + 8x 33 = 0 x = 4 ± x = 4 ± 7 x 1 = 11 x = 3 Håkan Strömberg 1 KTH Syd
2 Med vetskapen att extrempunkterna har x-värden x = 11 och x = 3 blir det enklare att bestämma vilket intervall vi ska använda Figur 3: Så där ja! Genom att sätta in x-koordinaterna för extrempunkterna kan vi bestämma deras placering i koordinatsystemet: och f( 11) = ( 11) 3 + 1( 11) 99( 11) 38 = 97 f(3) = = 400 Vad kan vi mera ta reda på om funktionen? Klarar vi att ta reda på funktionens nollställen? Egentligen inte eftersom ekvationen är av tredje graden: x 3 + 1x 99x + 38 = 0 En ledtråd är att alla tre rötterna är heltal. Förstorar man intervallet kring var och en av rötterna hittar man kanske att de är x 1 = 17, x =, x 3 = 7 Observera att den är en bedrift att finna ett tredjegradspolynom där alla nollställen är heltal, samtidigt som max- och minpunkterna också hamnar i heltalskoordinater! Detta är en del av resultatet av våra undersökningar av f(x) som vi presenterar på detta sätt x x < 11 x = < x < 3 x = 3 x > 3 f (x) f(x) ր max ց min ր 1 Vi har funktionen Vad kan man säga om f(x) = 3x 00x 1000 lim f(x) x Håkan Strömberg KTH Syd
3 och om lim f(x) x När x går också f(x). Detta gäller även då x då också f(x). I långa loppet är det här x -termen som vinner över x-termen och den konstanta termen. När man ska bilda sig en uppfattning om grafens utseende är det alltid bra att betrakta dessa stora värden på x. Vi har funktionen f(x) = x 3 100x Vad kan man den här gången säga om och om lim f(x) x lim f(x) x När x går också f(x), x 3 -termen vinner över x -termen. När x går f(x) eftersom ett x < 0 ger x 3 < 0. Grafen kommer nerifrån till vänster och försvinner uppåt höger! 3 Om vi påstår att skissen av ett andragradspolynom bara kan se ut på två sätt, nämligen: Figur 4: Vilka möjliga skisser har då ett tredjegradspolynom? Det finns sex olika skisser. Två där derivatan saknar nollställen, två där det finns en terrasspunkt och två skisser med en max och en minpunkt. Figur 5: Håkan Strömberg 3 KTH Syd
4 4 Om denna graf visar f (x) av en polynomfunktion f(x). Vad kan vi då säga om f(x)? Figur 6: Av allt att döma verkar f (x) vara ett andragradspolynom. Då måste f(x) vara av tredje graden. När f ( ) = 0, derivatan är 0 då x =, betyder att tangenten till f(x) då x = är 0. f(x) har alltså en extrempunkt för f( ). Samma resonemang för x = 3. Då x <, till exempel x = 1000 är derivatan f ( 1000) > 0. f(x) måste då vara växande. Då < x < 3 är f (x) < 0. På samma sätt kan vi då påstå att f(x) måste vara avtagande. Om någonting växer, planar ut, för att sedan avta måste detta något ha haft ett maximum. Då x > 3 är f (x) > 0, det vill säga kurvan har en positiv lutning är växande. Här har vi en situation då någonting avtar, för att sedan plana ut och därefter börja växa. Då måste vi ha stött på ett minimum. Vi fick fram en hel del och sammanfattar det med följande tabell x x < x = < x < 3 x = 3 x > 3 f (x) f(x) ր max ց min ր Däremot kan vi inte klara av allt. Här är till exempel två av oändligt många möjliga f(x) Figur 7: Håkan Strömberg 4 KTH Syd
5 5 Bestäm ekvationerna till de räta linjerna i detta diagram: Figur 8: De tre ekvationerna är 6 Bestäm f (x) = 0 då y = x + 1 y = x y = x f(x) = x + 1 x Vi skriver om funktionen innan vi deriverar och får derivatan Återstår att lösa ekvationen f(x) = x + x 1 f (x) = 1 x = 1 1 x 1 1 = 0 x 1 = 1 x x = 1 x 1 = 1 x = 1 Så när vi plottar kurvan kan vi förvänta oss att f(x) har extrempunkter då x = ±1. Håkan Strömberg 5 KTH Syd
6 Figur 9: Visst kan vi se ett maximum och ett minimum i grafen. Vad kan vi säga om f(0)? Funktionen är inte definierad för f(0). Vad kan vi säga om och lim x +0 x + 1 x = + lim x + 1 x 0 x = När x närmar sig 0 från positiva sidan sticker f(x) iväg uppåt mot stora värden. Omvänt när x närmar sig 0 från negativa sidan. 7 Jag mötte en gång en elev som påstod att kurvan till funktionen f(x) = x + 3 är konstant lika med 4 överallt på kurvan. Hade han rätt? Självklart inte, eftersom derivatan är f (x) = 4x förstår vi att kurvan antar alla lutningar från Vi har två funktioner och f(x) = x + 1 g(x) = x 3 + 4x Lös ekvationen f (x) = g (x) och tolka resultatet Vi deriverar de två funktionerna f (x) = x och g (x) = x Håkan Strömberg 6 KTH Syd
7 När vi sätter dem lika får vi ekvationen x = x x = x x = x + 1 4x = 1 x = 3 Då x = 3 har de två kurvorna samma lutning. Då x = 3 är f (x) = g (x) Figur 10: Kan man se det i figuren? 9 Här är grafen till funktionen f(x) = x 5 ritad. Bestäm f (0.6) grafiskt, genom att rita en tangent och bestämma dess k-värde genom att räkna rutor. Bestäm också f (0.6) på matematisk väg Figur 11: Vi ritar in en tangent så gott det går, figur 1. Ur figuren får vi sedan för två godtyckligt valda punkter på tangenten: x = 0.53 och y = = 0.6 ger y x = Återstår att bestämma f (0.6) på ett betydligt säkrare sätt. f (x) = 5x 3 Håkan Strömberg 7 KTH Syd
8 Figur 1: Nu kan vi bestämma f(0.6) = I uppgift 3 skissade vi all tänkbara varianter av ett tredjegradspolynom. Gör en liknande utredning för fjärdegradspolynom 1 Derivera funktionen Derivera funktionen 3 Bestäm f(f ()) då 4 Bestäm a hos så att f (1) = 4 f(x) = e x + e x f(x) = x x f(x) = x 3 + x + 10 f(x) = x + ax 5 En raket skjuts uppåt och höjden h i meter över marken är en funktion av tiden t enligt: h(t) = 150t 5t a) Efter vilken tid når raketen sin högsta höjd? b) Bestäm raketens medelhastighet under tiden från start tills den når högsta höjden. c) Vilken är raketens hastighet då den nått halvvägs till högsta höjden? Håkan Strömberg 8 KTH Syd
9 1 Först sedan 3 Vi behöver derivatan och får sedan Till sist 4 Vi deriverar f (1) = 4 ger ekvationen f (x) = e x + e x f(x) = x 4 + e ln(4)x f (x) = 4x 3 + ln(4)e ln(4)x f (x) = 3x + f () = 3 + = 14 f(14) = = 78 f (x) = x + a 1 + a = 4 a = 5 Om höjden ges av h(t), så får vi hastigheten från h (t). När raketen vänder är hastigheten förstås 0, med andra ord h (t) = 0. Vi deriverar och löser ekvationen h (t) = t h (t) = 0 ger alltså t = 0 som har lösningen t = 15. Efter 15 sekunder har raketen nått sin högsta punkt som är h(15) = = 115 meter. Medelhastigheten får vi genom 115 meter på 15 sekunder. V medel = = 75 m/s Halvvägs till högsta punkten är 115 = 56.5 meter. Hur lång tid tar det att komma dit? Genom ekvationen h(t) = 56.5 får vi 150t 5t = 56.5 t 1 = 4.4 t = 5.6 Den första tiden gäller på uppfärden och den andra på nedfärden. Nu kan vi bestämma den efterfrågade hastigheten genom h (4.4) 106 m/s Håkan Strömberg 9 KTH Syd
10 Räkna bokens uppgifter: 310, 3104, 3106, 3109, b) TB: Kör de med dessa uppgifter i det här kapitlet också? Det gör inget, jag börjar bli ganska bra på det. Vi har funktionen f(x) = x 3 3x 4x + 13 och man frågar efter f (x) = 0. Jag vet att den här funktionen leder fram till att jag ska lösa en andragradsekvation. f(x) = x 3 3x 4x + 13 f (x) = 3x 6x 4 f (x) = 0 då 3x 6x 4 = 0 x x 8 = 0 x = 1 ± x 1 = 4 x = Det frågas inte om det, men jag vill gärna fortsätta att berätta om den här funktionen. Den har två extrempunkter en i (, f( )) och en i (4, f(4)) eller bättre (, 41) och (4, 67). Jag ska nu rita ett schema över hur derivatans tecken varierar f (x) x 4 Derivatan är alltså f (x) > 0 när x < och f (x) < 0 när < x < 4. Med hjälp av den här tabellen kan man rita en skiss av kurvan. Figur 13: Det här är en skiss av funktionen. Visst finns det många, framför allt polynom av tredje graden, funktioner som passar in på denna skiss. Men den är ändå till en viss nytta när man ska plotta kurvan. Vi avslutar med den korrekta grafen: Funktionens nollställen kan vi normalt inte bestämma. Kan du det? KTH: Inte utan att använda en handbok eller ett matematikprogram. Här har du rötterna: Håkan Strömberg 10 KTH Syd
11 Figur 14: i 747 x 1 = i 747 ( 1 + i ) 13 + i 747 ( 3 9i i + ) 3 x = 1 + ( i 747) x 3 = 1 + i TB: Skojar du! ( i + ) i ( i ) i KTH: Jag hoppas att jag inte gör det. Det är en helt annan teknik att bestämma de exakta uttrycken för rötterna och att hitta numeriska värden TB: Jag behöver inte bestämma funktionen helt och hållet. Vi har grafen för f (x) och ser att den har nollställena f ( 3) = 0 och f (3) = 0. Av allt att döma är f (x) ett polynom av andra graden. Det betyder att f(x) är av tredje graden. Jag ska rita ett schema igen Skissen ser nu ut så här: f (x) x 3 3 Figur 15: Håkan Strömberg 11 KTH Syd
12 Figur 16: Det finns bara sex olika skisser för polynom av tredje graden. A och B har vi sett ovan. Exempel på C är f C (x) = x 3 med en terrasspunkt och på D, f D (x) = x 3 också med en terrasspunkt. f E (x) = x x och f F (x) = x 3 10x har inte ens en terrasspunkt. TB: Jag har glömt vart jag var på väg... Egentligen är denna uppgift verkligen enkel Vi har ett minimum i ( 3, 4) och ett maximum i (3, 16). Kan man bestämma f(x):s koefficienter? KTH: Nej det finns oändligt många tredjegradspolynom med dessa extrempunkter och vi vet inte vilken av dessa som beskrivs här b) TB: En liknande uppgift igen, det handlar verkligen om exercis. Vi har funktionen f(x) = x 3 18x 4x+3 vars extrempunkter vi ska bestämma. Funktionens nollställen kan vi dock inte bestämma. Åter till schemat: f(x) = x 3 18x 4x + 3 f (x) = 6x 36x 4 f (x) = 0 då 6x 36x 4 = 0 x 6x 7 = 0 x = 3 ± x 1 = 7 x = 1 f (x) x 1 7 Vi bestämmer sedan f( 1) = 5 och får maximipunkten ( 1, 5) och f(7) = 487 och får minimipunkten (7, 487). KTH: Du är verkligen på alerten idag b) TB: Vad menar man med här? Avtagande för alla x KTH: Hur är det med de kurvor du hittills skissat är de avtagande för alla x? Vilken kategori, av de sex du skissade på nyss, kan det vara frågan om? TB: Där ligger ju lösningen, förstås. Det måste handla om kategori F! Nu ska jag visa det: Håkan Strömberg 1 KTH Syd
13 3111 f(x) = 5 x 8x 3 f (x) = 1 4x f (0) = då 1 4x = 0 x = 1/4 Det finns inga reella rötter och därmed inga extrempunkter. Derivatan är negativ för alla x, f (x) < 0. TB: Det känns som en svår uppgift. Vad är a? KTH: En konstant vars värde man inte bestämt. Hantera det som ett tal vilket som helst. f(x) = x 3 + ax + x f (x) = 3x + ax + 1 f (x) = 0 då 3x + ax + 1 = 0 x + ax + 1/3 = 0 3 x = a ± a Hur ska man hantera det här... Om a = 3 blir resultat 0 under rottecknet. Vi får en dubbelrot, som leder till en terrasspunkt. Om a < 3 blir värdet under rottecknet negativt och det finns inga reella rötter och därmed saknas också extrempunkter. Till sist om a > 3 finns det två extrempunkter. Håkan Strömberg 13 KTH Syd
6 Derivata och grafer
6 Derivata och grafer 6.1 Dagens Teori När vi plottar funktionen f(x) = x + 1x 99x 8 med hjälp av dosan kan man få olika resultat beroende på vilka intervall man valt. 00000 100000-00 -100 100 00-100000
Läs merLösningar och kommentarer till uppgifter i 3.1
Lösningar och kommentarer till uppgifter i.1 102 b) TB: Kör de med dessa uppgifter i det här kapitlet också? Det gör inget, jag börjar bli ganska bra på det. Vi har funktionen fx) = x x 2 24x + 1 och man
Läs merf(x) = x 2 g(x) = x3 100
När vi nu ska lära oss att skissa kurvor är det bra att ha en känsla för vad som händer med kurvan när vi sätter in stora tal. Inledningsvis är det ju polynom vi ska studera. Här ska vi se vad som händer
Läs mer5 Om f (r) = 0 kan andraderivatan inte avgöra vilken typ av extrempunkt det handlar om. Återstår att avgöra punktens typ med teckenstudium.
Så här hittar man extrempunkter, max-, min eller terrasspunkter, till en kurva y = f(x) med hjälp av i första hand f (x) 1 Bestäm f (x) och f (x) 2 Lös ekvationen f (x) = 0. Om ekvationen saknar rötter
Läs merf(x) = x 2 g(x) = x3 100 h(x) = x 4 x x 2 x 3 100
8 Skissa grafer 8.1 Dagens Teori När vi nu ska lära oss att skissa kurvor är det bra att ha en känsla för vad som händer med kurvan när vi sätter in stora tal. Inledningsvis är det ju polynom vi ska studera.
Läs merSidor i boken f(x) = a x 2 +b x+c
Sidor i boken 18-151 Andragradsfunktioner Här ska vi studera andragradsfunktionen som skrivs f(x) = ax +bx+c där a, b, c är konstanter (reella tal) och där a 0. Grafen (kurvan) till f(x), y = ax + bx +
Läs mer9 Skissa grafer. 9.1 Dagens Teori
9 Skissa grafer 9.1 Dagens Teori Så här hittar man etrempunkter, ma-, min eller terrasspunkter, till en kurva y = f() med hjälp av i första hand f () 1 Bestäm f () och f () 2 Lös ekvationen f () = 0. Om
Läs merGamla tentemensuppgifter
Inte heller idag någon ny teori! Gamla tentemensuppgifter 1 Bestäm det andragradspolynom vars kurva skär x-axeln i x = 3 och x = 1 och y-axeln i y = 3 f(x) = (x 3)(x + 1) = x x 3 är en bra start, men vi
Läs merVi ska titta närmare på några potensfunktioner och skaffa oss en idé om hur deras kurvor ser ut. Vi har tidigare sett grafen till f(x) = 1 x.
Vi ska titta närmare på några potensfunktioner och skaffa oss en idé om hur deras kurvor ser ut. Vi har tidigare sett grafen till f(x) = x 8 6 4 2-3 -2-2 3-2 -4-6 -8 Figur : Vi konstaterar följande: Då
Läs merDagens tema är exponentialfunktioner. Egentligen inga nyheter, snarare repetition. Vi vet att alla exponentialfunktioner.
Dagens tema är exponentialfunktioner. Egentligen inga nyheter, snarare repetition. Vi vet att alla exponentialfunktioner f(x) = C a x kan, om man så vill, skrivas om, med basen e, till Vi vet också att
Läs mer5 Blandade problem. b(t) = t. b t ln b(t) = e
5 Blandade problem 5.1 Dagens Teori Ett person sätter in 10000 kr på banken vid nyår 2000 till 4% ränta. Teckna en funktion, b(t) för beloppets utveckling. b(t) = 10000 1.04 t Skriv om funktionen med basen
Läs merFler uppgifter på andragradsfunktioner
Fler uppgifter på andragradsfunktioner 1 I grafen nedan visas tre andragradsfunktioner. Bestäm a,b och c för p(x) = ax 2 + bx + c genom att läsa av lämpliga punkter i grafen. 10 5 1 3 5 Figur 1: 2 Vi har
Läs merMoment 8.51 Viktiga exempel , 8.34 Övningsuppgifter 8.72, 8.73
Moment 8.5 Viktiga eempel 8.30-8.3, 8.34 Övningsuppgifter 8.7, 8.73 Derivator av högre ordning Hur många gånger kan funktionen f() = 4 + 0 + 5 deriveras? Egentligen hur många gånger som helst! Vi deriverar
Läs merUPPGIFTER KAPITEL 2 ÄNDRINGSKVOT OCH DERIVATA KAPITEL 3 DERIVERINGSREGLER
UPPGIFTER KAPITEL 2 ÄNDRINGSKVOT OCH DERIVATA KAPITEL 3 DERIVERINGSREGLER 1. Figuren visar grafen till funktionen f där f(x) = x 3 3x 2. I punkter där xkoordinaterna är 1 respektive 3 är tangenter till
Läs merVi tolkar det som att beloppet just vid denna tidpunkt stiger med 459 kr/år, alltså en sorts hastighet. Vi granskar graferna till b(x) och b (x)
Ett person sätter in 0000 kr på banken vid nyår 000 till 4% ränta. Teckna en funktion för beloppets utveckling. b(t) = 0000.04 t Skriv om funktionen med basen e istället för.04. Derivera denna funktion
Läs merLösningar och kommentarer till uppgifter i 2.2
Lösningar och kommentarer till uppgifter i 2.2 2202 Beräkna Detta ger f(3 + h) f(3) då f(x) x 2 (3 + h) 2 3 2 h 2 + 6h 6 + h 6 h 0 Vi har därmed bestämt riktningskoefficienten (k-värdet) för tangenten
Läs merEgentligen har vi ingen ny teori att presentera idag. Målet för den närmaste framtiden är att nöta in undersökandet av polynomfunktioner.
Egentligen har vi ingen ny teori att presentera idag. Målet för den närmaste framtiden är att nöta in undersökandet av polynomfunktioner. 1 (Bokens nr 3204) Ett straffkast i basket följer ekvationen h(x)
Läs merLösningar och kommentarer till Övningstenta 1
Lösningar och kommentarer till Övningstenta 1 1 a b b a a b + b a + 2 (a + b) + b a 2 b2 a 2 + b2 + 2 (a + b) + b a 2 b 2 a 2 + b 2 (a + b) + b + 2 a 2 b 2 a 2 + b 2 (a + b) + b + 2 (a b)(a + b)(a + b)
Läs mer13 Potensfunktioner. Vi ska titta närmare på några potensfunktioner och skaffa oss en idé om hur deras kurvor ser ut. Vi har tidigare sett grafen till
3 Potensfunktioner 3. Dagens teori Vi ska titta närmare på några potensfunktioner och skaffa oss en idé om hur deras kurvor ser ut. Vi har tidigare sett grafen till f(x) = x 8 6 4 2-3 -2-2 3-2 -4-6 -8
Läs merKOKBOKEN. Håkan Strömberg KTH STH
KOKBOKEN Håkan Strömberg KTH STH Hösten 2007 Håkan Strömberg 2 KTH Syd Innehåll Genomsnittlig förändringshastighet...................... 5 Uppgift 1................................. 5 Uppgift 2.................................
Läs merTeori och teori idag, som igår är det praktik som gäller! 1 (Bokens nr 3216) Figur 1:
Teori och teori idag, som igår är det praktik som gäller! 1 (Bokens nr 316) Figur 1: a) Bestäm y som funktion av x genom att utnyttja likformiga trianglar. Se figur 1. b) Ange funktionens definitionsmängd
Läs merf (x) = 8x 3 3x Men hur är det när exponenterna inte är heltal eller är negativ, som till exempel g(x) = x h (x) = n x n 1
Derivatan av potensfunktioner. Potensfunktioner med heltalsexponenter, som du redan kan derivera, kallas polynomfunktioner, som till exempel: Derivatan blir: f(x) = x 4 x + x + 8 f (x) = 8x x + Men hur
Läs merFunktionsstudier med derivata
Funktionsstudier med derivata Derivatan ett kraftfullt verktyg för att studera och tolka funktioner Det här avsnittet handlar om att man kan använda derivatan till att bestämma en funktions egenskaper
Läs merIngen ny teori denna dag. Istället koncentrerar vi oss på att lösa två tränings-ks:ar.
Ingen ny teori denna dag. Istället koncentrerar vi oss på att lösa två tränings-ks:ar. 1 Bestäm med jälp av derivatans definition f () då f(x) = x + x + Funktionen f(x) = x 4x + 8 ar en minpunkt. Bestäm
Läs merSekantens riktningskoefficient (lutning) kan vi enkelt bestämma genom. k = Men hur ska vi kunna bestämma tangentens riktningskoefficient (lutning)?
I figuren ser vi grafen till funktionen f(x) x + Inritad finns dels en sekant, som skär kurvan i punkterna ( 1, 7) oc (4, ). Dessutom finns en tangent som tangerar kurvan i (, 10) Sekantens riktningskoefficient
Läs mery y 1 = k(x x 1 ) f(x) = 3 x
Räta linjen på olika former Här ska vi bara påpeka att förutom k-form, den som vi är mest vana vid y = k y + m finns också allmän form: ax + by + c = 0 där a och b är konstanter, som inte någon står för
Läs merLösandet av ekvationer utgör ett centralt område inom matematiken, kanske främst den tillämpade.
1.1 Ekvationslösning Lösandet av ekvationer utgör ett centralt område inom matematiken, kanske främst den tillämpade. 1.1.1 Polynomekvationer Ett polynom i en variabel x är som bekant en summa av termer
Läs merpolynomfunktioner potensfunktioner exponentialfunktioner
Vi ar lärt oss derivera en funktion, främst polynom, med jälp av derivatans definition. Vi ar funnit denna teknik ganska krävande. Desto trevligare blir det då att konstatera att det finns enkla deriveringsregler,
Läs merAttila Szabo Niclas Larson Gunilla Viklund Mikael Marklund Daniel Dufåker. GeoGebraexempel
matematik Attila Szabo Niclas Larson Gunilla Viklund Mikael Marklund Daniel Dufåker 3b GeoGebraexempel Till läsaren I elevböckerna i serien Matematik Origo finns uppgifter där vi rekommenderar användning
Läs mervux GeoGebraexempel 3b/3c Attila Szabo Niclas Larson Gunilla Viklund Mikael Marklund Daniel Dufåker
matematik Attila Szabo Niclas Larson Gunilla Viklund Mikael Marklund Daniel Dufåker vux 3b/3c GeoGebraexempel Till läsaren i elevböckerna i serien matematik origo finns uppgifter där vi rekommenderar användning
Läs merMAA7 Derivatan. 2. Funktionens egenskaper. 2.1 Repetition av grundbegerepp
MAA7 Derivatan 2. Funktionens egenskaper 2.1 Repetition av grundbegerepp - Det finns vissa begrepp som återkommer i nästan alla kurser i matematik. Några av dessa är definitionsmängd, värdemängd, största
Läs mer3 Deriveringsregler. Vi ska nu bestämma derivatan för dessa fyra funktioner med hjälp av derivatans definition
3 Deriveringsregler 3.1 Dagens Teori Vi ar lärt oss derivera en funktion, främst polynom, med jälp av derivatans definition. Vi ar funnit denna teknik ganska krävande. 3.1.1 Vi är på jakt efter ett mönster
Läs mer10 Derivator och tillämpningar 1
10 Derivator och tillämpningar 1 10.1 Dagens Teori Egentligen har vi ingen ny teori att presentera idag. Målet för den närmaste framtiden är att nöta in undersökandet av polynomfunktioner. Övning 10.1
Läs merAttila Szabo Niclas Larson Gunilla Viklund Mikael Marklund Daniel Dufåker. GeoGebraexempel
matematik Attila Szabo Niclas Larson Gunilla Viklund Mikael Marklund Daniel Dufåker 3c GeoGebraexempel Till läsaren I elevböckerna i serien Matematik Origo finns uppgifter där vi rekommenderar användning
Läs mer4 Fler deriveringsregler
4 Fler deriveringsregler 4. Dagens Teori Derivatan av potensfunktioner. Potensfunktioner med heltalsexponenter, som du redan kan derivera, kallas polynomfunktioner, som till exempel: f(x) = 2x4 x3 + 2x
Läs merVÄXANDE OCH AVTAGANDE FUNKTIONER. STATIONÄRA(=KRITISKA) PUNKTER. KONVEXA OCH KONKAVA FUNKTIONER. INFLEXIONSPUNKTER
Stationära och infleionspunkter VÄXANDE OCH AVTAGANDE FUNKTIONER STATIONÄRA(KRITISKA) PUNKTER KONVEXA OCH KONKAVA FUNKTIONER INFLEXIONSPUNKTER EXTREMPUNKTER OCH EXTREMVÄRDEN Definition (Globalt maimum)
Läs merLösningar och kommentarer till uppgifter i 1.1
Lösningar och kommentarer till uppgifter i 1.1 1106 d) 1107 d) 5t(t t 1) t (t 3) + t 3 5t 3 10t 5t (t 3 3t ) + t 3 5t 3 10t 5t t 3 + 3t + t 3 6t 3 7t 5t Kommentarer: Starta med att multiplicera in faktorerna
Läs merDen räta linjens ekvation
Den räta linjens ekvation Här följer en dialog mellan studenten Tor-Björn (hädanefter kallad TB) och hans lärare i matematik Karl-Ture Hansson (nedan kallad KTH). När vi möter dem för första gången är
Läs merDen räta linjens ekvation
Den räta linjens ekvation Här följer en dialog mellan studenten Tor-Björn (hädanefter kallad TB) och hans lärare i matematik Karl-Ture Hansson (nedan kallad KTH). När vi möter dem för första gången är
Läs mer20 Gamla tentamensuppgifter
20 Gamla tentamensuppgifter 20.1 Lätta avdelningen Övning 20.1 Beräkna f 0 ( 3) för f(x) = 3x2 2x + 1 med jälp av derivatans definition. Lösning: Här är det allmänna uttrycket för derivatans definition
Läs merMoment 1.15, 2.1, 2.4 Viktiga exempel 2.2, 2.3, 2.4 Övningsuppgifter Ö2.2ab, Ö2.3. Polynomekvationer. p 2 (x) = x 7 +1.
Moment.5, 2., 2.4 Viktiga exempel 2.2, 2.3, 2.4 Övningsuppgifter Ö2.2ab, Ö2.3 Ett polynom vilket som helst kan skrivas Polynomekvationer p(x) = a 0 +a x+a 2 x 2 +...+a n x n +a n x n Talen a 0,a,...a n
Läs merFunktioner. Räta linjen
Sidor i boken 14-143, 145-147 Funktioner. Räta linjen Här följer en dialog mellan studenten Tor-Björn (hädanefter kallad TB) och hans lärare i matematik Karl-Ture Hansson (nedan kallad KTH). När vi möter
Läs merVäxande och avtagande
Växande och avtagande Innehåll 1 Växande och avtagande 1 Andraderivatan.1 Andraderivatan och acceleration................... Andrederivatans tecken.........................1 Andraderivatans nollställen:
Läs merLösningar och kommentarer till uppgifter i 2.3
Lösningar och kommentarer till uppgifter i 2.3 2303 d) TB: Jaha, nu gäller det att kunna sina deriveringsregler. Polynom kommer man alltid ihåg hur de ska deriveras. f(x) = 4x 2 + 5x 3 ger derivatan f
Läs merChecklista för funktionsundersökning
Linköpings universitet Matematiska institutionen TATA41 Envariabelanalys 1 Hans Lundmark 2015-02-10 Checklista för funktionsundersökning 1. Vad är definitionsmängden D f? 2. Har funktionen några uppenbara
Läs merf(t 2 ) f(t 1 ) = y 2 y 1 Figur 1:
Som en inledning till begreppet derivata, ska vi här diskutera genomsnittlig förändingshastighet. Utan att veta vad som hänt mellan två givna tider t 1 och t kan vi läsa av temperaturen, beloppet, hastigheten,
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Lösningar till kryssproblemen 1-5. Uppgifter till lektion 1: = 10 x. = x 10.
Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf Envariabelanalys, 10 hp STS, X 2010-10-27 Uppgifter till lektion 1: 1. Lös olikheten 2x + 1 > 3. Lösningar till kryssproblemen 1-5. Lösning. Olikheten
Läs merUpphämtningskurs i matematik
Upphämtningskurs i matematik C.J. 2013 Föreläsningsunderlaget är uppbyggt utgående från kurserna i den långa gymnasiematematiken, ellips-kursböckerna (Schilds förlag) har använts som förebild. Böckerna
Läs merMoment Viktiga exempel Övningsuppgifter I
Moment Viktiga eempel Övningsuppgifter I Inga Inga Inga Grafritning Vi använder en sjustegsprocess Funktionens definitionsmängd 2 Funktionens skärningspunkter med alarna Asymptoter 4 Stationära punkter
Läs merSF1625 Envariabelanalys
Föreläsning 10 Institutionen för matematik KTH 19 september 2016 Översikt över några viktiga derivatatillämningar 1. Förändringstakt. Derivata mäter förändringstakt, till exemel (men inte bara) hastighet.
Läs mer8 + h. lim 8 + h = 8
Nu ar vi kretsat kring oc förberett oss på begreppet derivata i två föreläsningar. Nu är tiden inne! Men innan dess ska vi diskutera gränsvärde, ett annat begrepp. Om vi ar uttrycket 8 + oc låter gå mot
Läs merDel I Denna del består av 8 uppgifter och är avsedd att genomföras utan miniräknare.
Del I Denna del består av 8 uppgifter och är avsedd att genomföras utan miniräknare. Dina lösningar på denna del görs på separat papper som ska lämnas in innan du får tillgång till din miniräknare. Observera
Läs mer4. Vad kan man multiplicera x med om man vill öka värdet med 15 %?
Axel Weüdelskolan/Komvux Matematik/Sibe 1. Förenkla x 1 1 1 1 1 x 2. Förenkla 5 3. Beräkna värdet av a 2 b om a = -3 och b = 2 4. Vad kan man multiplicera x med om man vill öka värdet med 15 %? 5. Vilket
Läs merFormelhantering Formeln v = s t
Sidor i boken KB 6-8 Formelhantering Formeln v = s t där v står för hastighet, s för sträcka och t för tid, är långt ifrån en nyhet. Det är heller ingen nyhet att samma formel kan skrivas s = v t eller
Läs merNågra viktiga satser om deriverbara funktioner.
Några viktiga satser om deriverbara funktioner Rolles sats Differentialkalkylens medelvärdessats (=) 3 Cauchys medelvärdessats Sats Om funktionen f är deriverbar i en punkt x 0 så är f kontinuerlig i samma
Läs merVÄXANDE OCH AVTAGANDE FUNKTIONER. STATIONÄRA(=KRITISKA) PUNKTER. KONVÄXA OCH KONKAVA FUNKTIONER. INFLEXIONSPUNKTER
Stationära och infleionspunkter VÄXANDE OCH AVTAGANDE FUNKTIONER STATIONÄRA(KRITISKA) PUNKTER KONVÄXA OCH KONKAVA FUNKTIONER INFLEXIONSPUNKTER 3 VÄXANDE och AVTAGANDE FUNKTIONER i) Om funktionen y f ()
Läs merPolynomekvationer. p 2 (x) = x x 3 +2x 10 = 0
Moment.3.,.3.3,.3.5,.3.6, 2.4., 2.4.2 Viktiga exempel.2,.4,.8,.2,.23,.25,.27,.28,.29, 2.23, 2.24 Övningsuppgifter.2,.3,.8,.24,.25,.27,.29 ab,.30,.3 ac, 2.29 abc Ett polynom vilket som helst kan skrivas
Läs merEn vanlig uppgift är att bestämma max resp min för en trigonometrisk funktion och de x- värden för vilka dessa antas.
Max och min för trigonometriska funktioner En vanlig uppgift är att bestämma max resp min för en trigonometrisk funktion och de x- värden för vilka dessa antas. Ta t.ex y = 12 sin(3x-90) När man ska studera
Läs merEkvationslösning genom substitution, rotekvationer
Sidor i boken -3, 70-73 Ekvationslösning genom substitution, rotekvationer Rotekvationer Med en rotekvation menas en ekvation, i vilken den obekanta förekommer under ett rotmärke. Observera att betecknar
Läs merKan du det här? o o. o o o o. Derivera potensfunktioner, exponentialfunktioner och summor av funktioner. Använda dig av derivatan i problemlösning.
Kan du det här? o o o o o o Vad innebär det att x går mot noll? Vad händer då x går mot oändligheten? Vad betyder sekant, tangent och ändringskvot och vad har dessa begrepp med derivatan att göra? Derivera
Läs merFrågorna 1 till 6 ska svaras med sant eller falskt och ger vardera 1
ATM-Matematik Mikael Forsberg OvnTenta Matematik Skrivtid. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift på ny sida. Använd ej baksidor. Skriv namn på
Läs merSF1625 Envariabelanalys
Modul 4: Tillämpningar av derivata Institutionen för matematik KTH 22-23 september 2015 Översikt över några viktiga derivatatillämningar 1. Förändringstakt. Derivata mäter förändringstakt, till exemel
Läs merG VG MVG Programspecifika mål och kriterier
Betygskriterier Matematik C MA10 100p Respektive programmål gäller över kurskriterierna MA10 är en nationell kurs oc skolverkets kurs- oc betygskriterier finns på ttp://www.skolverket.se/ Detta är vår
Läs merModul 4 Tillämpningar av derivata
Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2015/2016 Modul 4 Tillämpningar av derivata Denna modul omfattar kapitel 4 i kursboken Calculus av Adams och Essex och undervisas på tre föreläsningar,
Läs mer5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 11 oktober 2004
KTH Matematik 5B4 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den oktober 4. Två av sidlängderna i en triangel är 8 m och m. En av vinklarna är 6. a) Bestäm alla möjliga värden för den tredje
Läs mer6. Samband mellan derivata och monotonitet
34 6 SAMBAND MELLAN DERIVATA OCH MONOTONITET 6. Samband mellan derivata och monotonitet Antag att funktionen f är deriverbar på ]a,b[. Vi vet att derivatan f ( 0 ) i 0 ]a,b[ är riktningskoefficienten för
Läs merKomposanter, koordinater och vektorlängd Ja, den här teorin gick vi igenom igår. Istället koncentrerar vi oss på träning inför KS3 och tentamen.
Sidor i boken 40-4 Komposanter, koordinater och vektorlängd Ja, den här teorin gick vi igenom igår. Istället koncentrerar vi oss på träning inför KS3 och tentamen. Läxa 1. En rät linje, L 1, skär y-axeln
Läs merSekant och tangent Om man drar en rät linje genom två punkter på en kurva får man en sekant. (Den gröna linjen i figuren).
Derivata Sekant oc tangent Om man drar en rät linje genom två punkter på en kurva får man en sekant. (Den gröna linjen i figuren). I figuren ovan finns även en tangent inritad. Som nästa ska vi titta på
Läs merNär vi blickar tillbaka på föregående del av kursen påminns vi av en del moment som man aldrig får tappa bort. x 2 x 1 +2 = 1. x 1
Lathund inför tentan När vi blickar tillbaka på föregående del av kursen påminns vi av en del moment som man aldrig får tappa bort Ekvationer Ekvationer av första och andra graden kommer alltid att kunna
Läs merFrågorna 1 till 6 ska svaras med sant eller falskt och ger vardera 1
ATM-Matematik Mikael Forsberg 6-64 89 6 Matematik med datalogi, mfl. Skrivtid:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift på ny sida. Använd ej baksidor.
Läs mera = a a a a a a ± ± ± ±500
4.1 Felanalys Vill man hårddra det hela, kan man påstå att det inte finns några tal i den tillämpade matematiken, bara intervall. Man anger till exempel inte ett uppmätt värde till 134.78 meter utan att
Läs merIII. Analys av rationella funktioner
Analys 360 En webbaserad analyskurs Grundbok III. Analys av rationella funktioner Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com III. Analys av rationella funktioner () Introduktion Vi ska nu
Läs merMatematik 3c Kap 2 Förändringshastighet och derivator
Matematik 3c Kap 2 Förändringshastighet och derivator Inledning Konkretisering av ämnesplan (länk) http://www.ioprog.se/public_html/ämnesplan_matematik/struktur_äm nesplan_matematik/struktur_ämnesplan_matematik.html
Läs merTalmängder. Målet med första föreläsningen:
Moment 1..1, 1.., 1..4, 1..5, 1.. 1..5, 1..6 Viktiga exempel 1.7, 1.8, 1.8,1.19,1. Handräkning 1.7, 1.9, 1.19, 1.4, 1.9 b,e 1.0 a,b Datorräkning 1.6-1.1 Målet med första föreläsningen: 1 En första kontakt
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 215-1-27 DEL A 4 1. Betrakta funktionen f som ges av f(x) = 1 + x + (x 2). 2 A. Bestäm definitionsmängden till f. B. Bestäm alla intervall där f är
Läs merH1009, Introduktionskurs i matematik Armin Halilovic ============================================================
H9, Introduktionskurs i matematik EXTREMPUNKTER ============================================================. EXTREMPUNKTER OCH EXTREMVÄRDEN Definition. (Globalt maimum) Låt vara en punkt definitionsmängden
Läs merKOKBOKEN 3. Håkan Strömberg KTH STH
KOKBOKEN 3 Håkan Strömberg KTH STH Hösten 006 Håkan Strömberg KTH Syd Innehåll Derivatans definition.............................. 5 Uppgift................................. 5 Uppgift.................................
Läs merMoment Viktiga exempel Övningsuppgifter Ö , Ö1.25, Ö1.55, Ö1.59
Moment.0-. Viktiga exempel Övningsuppgifter Ö.9-., Ö.5, Ö.55, Ö.59 Funktioner Definition. En funktion y = f(x) är ett samband mellan variablerna x och y, sådant att ett x-värde motsvaras av högst ett värde
Läs merf(t 2 ) f(t 1 ) = y 2 y 1 Figur 1:
Som en inledning till begreppet derivata, ska vi här diskutera genomsnittlig förändingshastighet. Utan att veta vad som hänt mellan två givna tider t 1 och t 2 kan vi läsa av temperaturen, beloppet, hastigheten,
Läs merx 4 a b X c d Figur 1. Funktionsgrafen y = f (x).
Konveitet En funktionsgraf, som inte är en rät linje, böjer ofta av åt ett bestämt håll i ett visst intervall. För en funktion som är deriverbar två gånger kan man med hjälp av andraderivatan ta reda på
Läs merNpMa2b vt Kravgränser
Kravgränser Provet består av ett muntligt delprov (Del A) och tre skriftliga delprov (Del B, Del C och Del D). Tillsammans kan de ge 67 poäng varav 26 E-, 24 C- och 17 A-poäng. Observera att kravgränserna
Läs mer5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 29 augusti 2005
KTH Matematik 5B114 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 29 augusti 2005 1. a) Om två av sidorna i en triangel är 5 meter respektive 6 meter. Vilka längder på den tredje sidans längd
Läs merx sin(x 2 )dx I 1 = x arctan xdx I 2 = x (x + 1)(x 2 2x + 1) dx
TM-Matematik Mikael Forsberg XXX-XXX DistansAnalys Envariabelanalys Distans ma034a ot-nummer 3 Skrivtid: 09:00-4:00. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje
Läs mer1 Förändingshastigheter och derivator
Förändingsastigeter oc derivator. Dagens Teori Som en inledning till begreppet derivata, ska vi är diskutera genomsnittlig förändingsastiget. Utan att veta vad som änt mellan två givna tider t oc t 2 kan
Läs merUppgift Endast svar krävs. Uppgift Fullständiga lösningar krävs. 120 minuter för Del B och Del C tillsammans. Formelblad och linjal.
NpMa3c ht 01 Del B Del C Provtid Hjälpmedel Uppgift 1-10. Endast svar krävs. Uppgift 11-16. Fullständiga lösningar krävs. 10 minuter för Del B och Del C tillsammans. Formelblad och linjal. Kravgränser
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 2015-01-12 DEL A 1. Betrakta funktionen f som ges av f(x) = xe 1/x. A. Bestäm definitionsmängden till f. B. Beräkna de fyra gränsvärdena lim x ± f(x)
Läs mer5B1134 Matematik och modeller
KTH Matematik 1 5B1134 Matematik och modeller 2006-09-11 2 Andra veckan Trigonometri Veckans begrepp enhetscirkeln, trigonometriska ettan trigonometrisk funktion, sinuskurva period, fasförskjutning, vinkelhastighet
Läs merUppgift Endast svar krävs. Uppgift Fullständiga lösningar krävs. 120 minuter för Del B och Del C tillsammans.
NpMab ht 01 Del B Del C Provtid Hjälpmedel Uppgift 1-10. Endast svar krävs. Uppgift 11-16. Fullständiga lösningar krävs. 10 minuter för Del B och Del C tillsammans. Formelblad och linjal. Kravgränser Provet
Läs merx 2 + x 2 b.) lim x 15 8x + x 2 c.) lim x 2 5x + 6 x 3 + y 3 xy = 7
TM-Matematik Mikael Forsberg 0734-41331 Pär Hemström 06-64896 För ingenjörs och distansstudenter Envariabelanalys ma034a 01 10 01 Skrivtid: 09:00-14:00. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga
Läs mer4. Bestäm eventuella extrempunkter, inflexionspunkter samt horisontella och vertikala asymptoter till y = 1 x 1 + x, och rita funktionens graf.
TM-Matematik Mikael Forsberg 73 1 3 31 Pär Hemström 7 3 57 För ingenjörs och distansstudenter Envariabelanalys ma3a 1 8 Skrivtid: 9:-1:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att
Läs merBedömningsanvisningar
Bedömningsanvisningar Exempel på ett godtagbart svar anges inom parentes. Till en del uppgifter är bedömda elevlösningar bifogade för att ange nivån på bedömningen. Om bedömda elevlösningar finns i materialet
Läs merModul 1: Funktioner, Gränsvärde, Kontinuitet
Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2015/2016 Modul 1: Funktioner, Gränsvärde, Kontinuitet Denna modul omfattar kapitel P och kapitel 1 kursboken Calculus av Adams och Essex och
Läs merLösningsförslag v1.1. Högskolan i Skövde (SK) Svensk version Tentamen i matematik
Lösningsförslag v1.1 Högskolan i Skövde (SK) Svensk version Tentamen i matematik Kurs: MA15G Matematisk Analys MA13G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 1-8-8 kl 8.3-13.3 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel
Läs merModul 1: Funktioner, Gränsvärde, Kontinuitet
Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2015/2016 Modul 1: Funktioner, Gränsvärde, Kontinuitet Denna modul omfattar kapitel P och kapitel 1 kursboken Calculus av Adams och Essex och
Läs mer7. Max 0/1/1. Korrekt kombinerad ekvation och påstående i minst två fall med korrekt svar
7. Max 0/1/1 Korrekt kombinerad ekvation och påstående i minst två fall med korrekt svar +1 C PL +1 A PL 8. Max 0/1/1 a) Korrekt svar (Alternativ E: 5 y 3 ) +1 C B b) Godtagbart svar (0) +1 A B 9. Max
Läs mere x x + lnx 5x 3 4e x (0.4) x 0 e 2x 1 a) lim (0.3) b) lim ( 1 ) k. (0.3) c) lim 2. a) Lös ekvationen e x = 0.
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK TENTAMENSSKRIVNING ENDIMENSIONELL ANALYS DELKURS B 00 0 kl 8 3 INGA HJÄLPMEDEL. Lösningarna ska vara försedda med ordentliga motiveringar. Lämna tydliga svar om så är
Läs merPolynomekvationer. p 2 (x) = x x 3 +2x 10 = 0
Moment.3.,.3.3,.3.5,.3.6, 2.4., 2.4.2 Viktiga exempel.2,.4,.8,.2,.23,.25,.27,.28,.29, 2.23, 2.24 Handräkning.2,.3,.8,.24,.25,.27,.29 ab,.30,.3 ac, 2.29 abc Datorräkning.6-.3 Ett polynom vilket som helst
Läs merPlanering för kurs C i Matematik
Planering för kurs C i Matematik Läromedel: Holmström/Smedhamre, Matematik från A till E, kurs C Antal timmar: 85 (70 + 15) I nedanstående planeringsförslag tänker vi oss att C-kursen studeras på 85 klocktimmar.
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF165 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 15-4-7 DEL A 1. Låt f(x) = arcsin x + 1 x. A. Bestäm definitionsmängden till funktionen f. B. Bestäm funktionens största och minsta värde. (Om du har
Läs merExempel. Komplexkonjugerade rotpar
TATM79: Föreläsning 4 Polynomekvationer och funktioner Johan Thim 2 augusti 2016 1 Polynomekvationer Vi börjar med att upprepa definitionen av ett polynom. Polynom Definition. Ett polynom p(z) är ett uttryck
Läs mer