INTRODUKTION TILL HÅLLFASTHETSLÄRAN. P. Ståhle. Hållfasthetslära, LTH

Transkript

1 INTRODUKTION TILL HÅLLFASTHETSLÄRAN P. Ståhle Hållfasthetslära, LTH Innehåll 1 DEFORMATION OCH TÖJNING 1 Definition av töjning... 1 Töjning i en godtyckling riktning... 4 Huvudtöjningar och huvudtöjningsriktningar... 6 Mohrs cirkel för töjningar... 7 Exepel... 9 Repetitionsfrågor: Deforation och töjning SPÄNNING 13 Definition av spänning Spänningstensorn Huvudspänningar och huvudspänningsriktningar Mohrs cirkel för spänningar Effektivspänningar Jävikt Exepel Repetitionsfrågor: Spänning KONSTITUTIVA SAMBAND 29 Linjärt elastiskt aterial Saband ellan G, E och Plan spänning, plan deforation, enaxlig spänning Exepel Repetitionsfrågor: Linjär elasticitet och plasticitet Viscoelasticitet Exepel Repetitionsfrågor: Viskoelasticitet TILLÄMPNINGAR 44 Enaxlig dragning Exepel Repetitionsfrågor: Enaxlig dragning Vridning Exepel Repetitionsfrågor: Vridning Euler-Bernoullis teori för balkböjning Exepel Repetitionsfrågor: Böjning... 64

2 5 ÖVNINGAR 65 Deforation Töjning Spänning Enaxlig linjär elasiticitet Viskoelasticitet Vridning Böjning Anvisningar till vissa uppgifter 81 7 Svar till övningsexepel 83

3 1 DEFORMATION OCH TÖJNING I kontinuuekaniken beskriver begreppet deforation en förändring av en kropp från en referenskonfiguration till en aktuell konfiguration. En konfiguration anger partiklarnas positioner i kroppen. I otsats till den gängse uppfattningen av deforation, so innefattar förändring av for, inkluderar kontinuuekaniken även stelkroppsrörelser utan forförändring. Vad so förorsakar deforationen är inte relevant för definitionen av begreppet. Eellertid kan det vanligtvis antas att deforationen uppstår på grund av yttre laster, kroppskrafter eller teperaturförändringar i kroppen. Kroppskrafter kan vara tyngdkraft, elektrostatisk eller elektroagnetisk kraft. Ino dynaiken och i den speciella relativitetsteorin inkluderar an även tröghetskrafter enligt d Alaberts princip. Begreppet töjning noraliserar deforationen och representerar relativa förskjutningar ellan partiklarna i en kropp i förhållande till en referenslängd. Beroende på töjningens ofattning används olika töjningsått. I denna kurs begränsar vi oss till Cauchys teori för infinitesiala töjningar och så förskjutningar. Cauchys teori läpar sig fraför allt för att analysera deforationer i aterial ed elastiskt beteende och relativt hög styvhet, såso betong, stål, trä. Töjning uttrycks so förhållandet ellan ett linjärt eleents längd i deforerat tillstånd och dess längd i odeforerat tillstånd. Definition av töjning På en yta kan an ärka upp ett linjärt eleent och äta dess längd före och efter en åstadkoen deforation. O stället av intresse är inuti en kropp försvåras ätningen rent praktiskt en det hindrar inte att an beaktar ett tänkt eleent och förfar på saa sätt so för ett eleent på kroppens yta. I fig. 1 ses ett eleent på eller i en kropp. Eleentet, so är parallellt ed x-axeln, har en ursprunglig längd I deforerat tillstånd är längden `x = x. (1) L x = x + x + u(x + x) (x + u(x)) = = x + u(x + x) u(x), (2) 1

4 x + u(x) def. x + x +u(x + x) odef. x x + x Figur 1: Linjärt eleent på eller i en kropp i odeforerat och odeforerat (streckat) tillstånd. Eleentet är ursprungligen parallellt ed x-axeln. Rotationen antas vara liten. Förskjutning i x-led anges av förskjutningsvektorn u(x). och den relativa längdändringen är L x `x `x = u(x + x) u(x) x. (3) Här är förskjutningsvektorn u(x) en funktion av x. Töjning eller så kallad noraltöjning definieras so gränsvärdet av den relativa längdändringen (3) avetteleentedenförsvinnandeliten(infinitesal) ursprunglig längd. Töjningen, x,ix-led i en punkt definieras so gränsvärdet, u(x + x) u(x) x = li = du x!0 x dx. (4) Töjningen är positiv o eleentet är sträckt och negativ o det är koprierat. För en fullständig bestäning av töjningstillståndet i x-y planet krävs tre uppätta töjningar. Här följer definition av töjningar y i y-led sat skjuvningen xy av x och y axlarna. Beakta två linjära eleent i en kropp so initiellt ligger i x respektive y axlarnas riktningar. För eleentet i y-led antas att den ursprungliga längden (se fig. 2) är `y = y. (5) Förskjutningar och rotationer antas vara så. I deforerat tillstånd 2

5 (x, y + y) (x + u(x, y + y),y+ y + v(x, y + x)) def. odef. (x + x + u(x + x, y),y+ v(x + x, y)) (x, y) (x + u(x, y),y+ v(x, y)) odef. def. (x + x, y) Figur 2: Två initiellt vinkelräta linjära eleent i x- och y-led i en kropp i odeforerat (heldraget) och deforerat (streckat) tillstånd. De ursprungliga längderna är x respektive y. är längden L y = y + y + v(x, y + y) (y + v(x, y)). (6) Här är v förskjutningar i y-led. Den relativa längdändringen för ett finit eleent är L y `y `y = v(x, y + y) v(x, y) y. (7) Skjuvning eller skjuvtöjning definieras so inskningen av vinkeln (i radianer) ellan två linjära eleent, so i den ursprungliga konfigurationen är vinkelräta ot varandra. Vinkelinskningen enligt fig. 2 är dels h so anger rotationen av x-axeln i positiv z-led (i riktning ot y-axeln) och v so anger rotationen av y-axeln i negativ z-led (i riktning ot x-axeln) tas direkt ut so h = v(x + x, y) v(x, y) x, 3

6 resp. v = u(x, y + y) u(x, y). (8) y Total vinkelinskningen ellan eleenten x och y blir = xy = h + v = v(x+ x,y) v(x,y) u(x,y+ y) u(x,y) x + y. (9) So gränsvärde för punkten (x, y) erhållsnoraltöjningarochskjuvtöjning definierade so partiella gränsvärden av (4), (7) och(9) so följer, x = li x!0 L x `x `x xy = li y = li x!0 L y `y @x. (10) Vi kan även definiera otsvarande töjningar i x-z respektive i y-z planen enligt ekv. (5) till(10). Cyklisk perutation, en och två gånger, av indexen x, y och z ger direkt definitionerna av satliga töjningskoponenter i en punkt. I tre diensioner definieras satliga töjningskoponenter enligt följande, 8 >< >: @y, @x, @x, (11) där u, v och w är förskjutningar i x-, y- respektivez-led. Töjning i en godtyckling riktning Töjningskoponenterna x, y och xy beror på valet av koordinatsyste vilket gör det oöjligt beskriva töjningstillståndet i punkten annat än i terer av koponenterna i det valda koordinatsysteet. För att få en allängiltig bild av lokala töjningstillstånd skall vi först härleda ett uttryck för töjningar och skjuvningar för godtyckliga (kartesiska) koordinatsyste. Betrakta geoetrin i fig. 3. Detfragåravdendeforeradetriangeln i fig. 3 att de fyra töjningarna x, y, x 0 och xy är beroende 4

7 av varandra. Relationen ellan sidorna i den deforerade triangeln ges av cosinussatsen enligt följande, b 2 (1 + x 0) 2 = b 2 (1 + x ) 2 cos 2 + b 2 (1 + y ) 2 sin 2 2b 2 (1 + x )(1 + y )sin cos cos( 2 + xy), (12) där är vinkeln ellan x-axlen och x 0 -axeln. O terer av storleksordningen 2 x, 2 y och xy 2 och indre försuas, erhålls x 0 = x cos 2 + y sin 2 + xy sin cos. (13) Notera att cos( 2 + xy) = sin xy! xy,när xy! 0. Geno att ersätta ed + /2 i(13) fårviettuttryckför y 0 so y 0 = x = x sin 2 + y cos 2 xy cos sin. (14) Vidare, geno att bilda skillnaden ellan de båda noraltöjningarna x 0 och y 0 får vi x 0 y 0 =( x y )(cos 2 sin 2 )+2 xy cos sin. (15) Motsvarande uttryck för en reverserad transforation från x 0, y 0 till x, y ges direkt av (15) genoskifteavkoordinatersåattx byts ot x 0 och y byts ot y 0 sat, på grund av att vinkeln nu definieras i otsatt riktning, ett byte av ot. Påsåsätterhållssabandet x y =( x 0 y 0)(cos 2 sin 2 ) 2 x 0 y0 cos sin, (16) ur vilket skjuvningen i koordinatsysteet x 0 -y 0 kan lösas ur (15) ed resultatet x 0 y 0 =( y x )sin2 + xy cos 2. (17) Ekvationerna (13), (14) och(17) öjliggörenundersökningavtöjningar och skjuvningar i godtyckliga riktningar i x-y planet. Teorin utvidgas enkelt till att ofatta alla töjningar i en punkt riktningar so ges av godtyckliga korrdinatsyste x 0 y 0 z 0 geno att an 5

8 b sin y y 0 b b cos x 0 x b(1 + x 0) b(1 + x ) cos xy b(1 + y )sin Figur 3: I x-y planet definieras töjningen entydigt av tre uppätta oberoende töjningskoponenter. Figuren visar töjningarna i x- och y-led, x resp. y och skjuvtöjningen xy sat töjningen x 0 ienoberoende riktning x 0.Rotationenantasvaraliten. inför en vinkel för vridning även i x-z och y-z planen. I det so följer analyseras vilka egenskaper töjningarna, x 0, y 0 och x0 y 0 har i x y planet. Huvudtöjningar och huvudtöjningsriktningar Det är alltid öjligt att finna inst två koordinatriktningar x 0, y 0 så att x 0 y 0 =0. Det följer av att ekvationen x 0 y 0 =0där x 0 y0 ges av (17) alltidhartvårötteriintervaller0 apple apple. Låtrötternagesav = och = + 2.Dågälleratt vilket ger ( y x )sin2 + xy cos 2 =0, (18) = 1 2 arctan xy x y. (19) Töjningar i riktning och + 2 kallas huvudtöjningar och ges beteckningarna 1 och 2.Från(13) erhålls 1,2 = x 2 y cos 2 + x + y 2 + xy 2 sin 2. (20) 6

9 Oskrivning av p q cos 2 =1/ 1 + tan 2 2 =( x y )/ ( x y ) 2 + xy 2 och på saa sätt p q sin 2 = tan 2 / 1 + tan 2 2 = xy / ( x y ) 2 + xy 2 ger efter insätning i (20), huvudtöjningarna 1,2 = x + y 2 ± 1 2 q ( x y ) xy. (21) Man kan notera att edelvärdet av 1 och 2 är saa so edelvärdet av x och y.vidareserviattskillnadenellan 1 och 2 alltid är större eller på sin höjd lika stor so skillnaden ellan x och y,dvs ihuvudriktningarnaaxierasskillnadenellannoraltöjningarna. Mohrs cirkel för töjningar Man kan ta hjälp av Mohrs cirklar för att bestäa huvudtöjningar och huvudtöjningsriktningar. Mohrs cirkel för töjningar i x-y planet utgår från ekv. (13), (14) och(17). Låt utgångsriktningarna vara huvudtöjningsriktningarna och bestä x, y och xy.ekvationerna(13), (14) och(17) gerdå x = 1 cos sin 2 = R cos 2, (22) och y = 1 sin cos 2 = R cos 2 (23) 1 2 xy = R sin 2, (24) 7

10 a) fysiskt plan y 0 y 1 2 x 0 x ax/2 xy/2 x 0 y 0/2 2 y 0 b) töjningsplan y 2 2 x x 0 1 Figur 4: Mohrs cirkel. a) visar det fysiska planet b) visar ett töjningsplan ed axlar för töjning resp. skjuvning 1 2.Vinkelnär till ett godtyckligt roterat koordinatsyste x 0 y 0 (ekv. 13, 14 och 17) och är vinkeln till huvudtöjningsriktningarna 1-2, ekv. 19. Noteraatt vinklarna är dubbelt så stora och otriktade i Mohrs cirkel. där (22) till(24) ger R = = 1 2 q ( x y ) 2 + xy. 2 (25) So tidigare noterats ser an även i (22) och(23) att x och y antar största respektive insta värde satidigt so skjuvtöjningen xy =0. För transforation i x-y planet representeras Mohrs cirkel i ett plan ed koordinaterna och /2 plan enligt fig. 4. Cirkelnscentru ligger i ( x+ y 2, 0) och cirkelns radie är R. Enrotationvinkeln edurs i x-y planet representeras i Mohrs cirkel av en rotation vinkeln 2 oturs. Man kan notera att axial skjuvning ax =2R = 1 2, (26) sat att den axiala skjuvningen uppnås vinkeln ± 4 från huvudtöjningsriktningarna, dvs. vid ± 4.Vidareliggeralltidinstahuvudtöjningen i rät vinkel ot riktningen för den största huvudtöjningen. Man ser också att noraltöjningarna är lika i de riktningar so ger axial skjuvning. O huvudtöjningarna är lika stora degenererar Mohrs cirkel till en punkt. Efterso R då försvinner förstår an att ett sådant tillstånd är skjuvningsfritt och att noraltöjningarna är lika oavsett riktning. 8

11 Mohrs cirkel ger snabbt en uppfattning o töjningstillståndets beskaffenhet. Ett flertal uppgifter kan lösas enbart geno att an i tanken frabringar Mohrs cirkel. Forella analytiska saband ellan töjningskoponenter kan tas fra o an förstår hur Mohrs cirkel fungerar. Exepel 1. Två stänger är förenade enligt figur. Beräkna den horisontella resp vertikala förskjutningen av punkt B, då stängerna erhållit töjningarna a resp b.antagatttöjningarnaär så. Lösning: Vi återfinner triangeln ABC so triangeln AB C efter deforation. O vi tar hjälp av triangel CB C kan vi beräkna längden på den nedre stången ed hjälp av Pytagoras sats, enligt följande (längd efter deforation är urspunglig längd ggr 1+ ) vilket ger 2 v +(L + h ) 2 = L 2 (1 + b ) 2, h = p L 2 (1 + b ) v L. (27) Efter saa odell gäller för den rätvinkliga triangeln AB C att (L tan + v ) 2 + L 2 (1 + b ) 2 = L2 cos 2 (1 + a) 2. 9

12 vilket ger 1 p v = L sec2 (1 + a ) 2 (1 + b ) 2 tan. (28) Insättning av (27) i(28) ger v och h so funktion av a och b. Efter expansion av kvadrerade terer utnyttjas Maclaurinutvcklingen p 1+ = O( 2 ) där 1. För a, b 1 ger (27) och (28) och v = a cos sin h = b L. b cot L Endast linjära terer sparas, dvs. 2 1, 2 2, 2 v, 3 1etc. har försuats.. 2. En spegel är fäst vid en etallplåt vinkelrätt ot dess yta och så att spegelns plan bildar 45 ed både x- ochy-riktningarna. En ljusstråle infaller vinkelrätt ot spegeln. Hur ycket vrider sig den reflekterade ljusstrålen o plåten sträcks 1/20 %ixriktningen och 1/50 % i y-riktningen? 1 sec( ) =1/ cos( ). Jfr. csc( ) =1/ sin( ) 10

13 Lösning: Antag att spegeln vrids vinkeln. Då koer infallande strålens vinkel ot spegelytans noral bli och utgående stråle får vinkeln vilket innebär att vinkeln ellan infallande och utgående strålar blir 2 (se figur). Efterso det rör sig o så töjningar x, y och däred även så vinkeländringar försuas alla terer av storleksordningen 2 x, 2 y, 2 och indre. Spegelns utsträckning i x-led respektive i y-led sätts till L. Betrakta spegelns övre hörn. Hörnet förskjuts sträckan x L i x-led och y i y-led. Enligt figuren gäller att förskjutningens projektion på spegelytans noral är p 2L = yl p 2 x L p 2, vilket ger spegelns rotationsvinkeln (använd tan för så vinklar ) = 1 2 ( y x )= ( )= (rad). Den efterfrågade vinkeln ellan in och utgående ljusstrålar är 2 = (rad) Repetitionsfrågor: Deforation och töjning 1. Vad kallas den vektor so definierar ändringen i en ateriepunkts läge vid en kropps deforation och förflyttning? 11

14 2. Vad kallas den relativa avståndsändringen ellan två ateriepunkter vid en kropps deforation? 3. Vilken fysikalisk tolkning har yz? 4. Vilka saband gäller ellan u, v och x, y och xy?detförutsätts att deforationerna är så. 5. I praktiken är det svårt att äta en relativt lätt att äta. Hur kan an utnyttja transforationssabandet för att erhålla den fullständiga töjningstensorn geno uppätning av iolikariktningar? 6. Hur konstrueras Mohrs cirkel o x, y och xy är kända? 7. Hur avläses: a) Huvudtöjningarnas storlek b) Vinkeln ellan huvudtöjningsaxlarna och xy-axlarna? 8. Vad kännetecknar huvudtöjningsriktningarna avseende skjuvning? 9. Hur och i vilka riktningar uppnås axial skjuvning i planet? 10. Hur stor är vinkeln ellan de koordinater so anger huvudtöjningarna respektive axial skjuvning? 12

15 2 SPÄNNING Spänningar representerar de inre krafter so verkar i en kropp. Kvantitativt är det ett ått på kraft per ytenhet. Krafterna uppstår so en reaktion på yttre krafter, so applicerats på kroppens ytor eller på aterien i den. Efterso kroppen antas bete sig so ett kontinuu är även spänningen kontinuerligt varierande. Den antas vara spänningsfri o de enda förekoande krafterna är de so behövs för att hålla ihop kroppen. Sådana krafter kan vara interolekylära bindningar, so exepelvis jon-, etall- eller van der Waalsbindningar. Spänningar so skapats under tillverkningen undantas i allänhet. Spänning och även inre spänning anges ofta i SI-enheten för tryck dvs. pascal (Pa), vilket otsvarar en newton per kvadrateter. So exepel gäller att 1 MPa = 1 MN/ 2 =1N/ 2. Figur 5 visar en axiellt belastad långsträckt kropp (en stång) so utsätts för dragbelastning eller kopression. Krafterna är applicerade i ändtvärsnittens tyngdpunkter. Kraften är riktad vinkelrät ot tvärsnittet och kan vara en dragkraft o den verkar utåt från planet (F > 0),ellertryckkraftodenverkarinåtotplanet(F < 0). Tekniskt sett representeras belastningen det här fallet av en skalär,,soärengenosnittligspänningsoverkarpåvarjetvärsnitti stången. = F A. (29) Spänningen,,kallasnoralspänningochuppstårförutovidaxiell belastning också vid böjning, hydrostatisk kopression, so ebranspänning i tryckbelastade kärl etc. I en axiellt belastad stång är spänningen relativt jänt fördelad i stångens tvärsnitt på något avstånd från stångens ändar. Närare ändarna varierar spänningen er itvärsnittet(sefig. 5). O tvärsnittsytan är liten, dvs. o stången är sal är stången till största delen hoogent belastad vilket gör det praktiskt att använda uttrycket (29), so ett ått på spänningen. I en grov stång, ed en längd av saa storleksordning so tvärsnittets linjära diensioner, kan spänningen inte antas vara hoogen. Vid böjning av en stång, är ena sidan sträckt och den andra koprierad, vilket resulterar i såväl axiella dragspänningar so axiella tryckspänningar i varje tvärsnitt. I ett typiskt tryckkärl, där ett inre övertryck töjer kärlväggarna, uppstår en dragbelastande noralspänning i kärl- 13

16 x = x a x = x b F x y z A F (x a, y, z) = F/A (x b, y, z) Figur 5: Enaxligt belastad stång ed konstant tvärsnitt. Nära änden är spänningsfördelningen påverkad av hur kraften F applicerats. Ett stycke in otsvarande några gånger tvärsnittets linjära utsträckning är spänningen i princip jänt fördelad i hela tvärsnittet och = F/A, där A är tvärsnittsytan. väggens tvärsnitt. Även skjuvspänningar förekoer i belastade kroppar. Dessa representerar krafter so ligger i ytans eller tvärsnittsytans plan så so kraften T i fig. (6) visar. O spänningstillståndet är riligt konstant kan det vara praktiskt att definiera även skjuvspänningar so ett edelvärde enligt följande: = T A. (30) Skjuvspänningar uppstår exepelvis vid vridning och i allänhet även vid böjning och i generella belastningsfall. När det uppstår er än en typ av spänning so exepelvis vid böjning och skjuvning, knäckning, vridning och tryck, beskrivs spänningstillståndet av fler spänningskoponenter. Vidare är spänningar i regel inte jänt fördelade över tvärsnittet av en kropp. Mer eller indre skiljer sig spänningen i en given punkt från den genosnittliga spänningen i tvärsnittet. Det är därför ofta nödvändigt att definiera spänningen i en punkt snarare än so ett edelvärde i ett oråde i kroppen. Enligt Cauchy, antas spänningen kontinuerlig och representerad av nio spänningskoponenter, varav tre är noralspänningar och sex är skjuvspänningar. De kan uttryckas 14

17 T = da T A (x, y, z) Figur 6: Ett prisa belastat av skjuvkraften T erhåller en genosnittlig skjuvspänning = T /A Efterso skjuvspänningen försvinner på de fria över- och underytorna blir spänningen aldrig hoogent fördelad so i fallet ed enaxlig dragbelastning. so en andra ordningens tensor och kallas Cauchys spänningstensor. Det följer av detta att transforationen av spänningskoponenterna i olika riktningar följer saa lagar so töjningskoponenterna och kan t ex representeras grafiskt av Mohrs cirkel. Vidare, enligt principen o rörelseängdens bevarande, gäller att o en kropp är i statisk jävikt uppfyller spänningstensorns koponenter jäviktsekvationer i varje del av kroppen. Även att suan av alla krafter och oent so verkar på varje del av kroppen är noll, vilket, so koer att visas, leder till slutsatsen att spänningstensorn är syetri Det får till följd att spänningstensorn endast har sex oberoende spänningskoponenter stället för de ursprungliga nio. Fasta aterial, vätskor och gaser otstår spänningar i olika ofattning. Vätskor under långsa rörelse ger efter för skjuvspänningar så att de skjuvspänningar so uppstår är försubara. Viskösa vätskor kan delvis otstå skjuvspänning edan fasta kroppar kan otstå både noralspänning och skjuvspänning, även o det finns en övre gräns för hur stora spänningar so kan uppnås för varje givet aterial. Bestäningen av den inre fördelningen av spänningar i en struktur kallas spänningsanalys. För att bestäa fördelningen av spänning i en struktur, åste an lösa ett randvärdesproble, dvs. en ordinär eller partiell differentialekvation ed givna randvillkor. Dessa är förskjutningar och krafter på strukturens begränsningsytor. Spänningsanalysen förenklas o de fysiska diensionerna och fördelningen av laster tillåter att strukturen kan behandlas so en- eller tvådiensionell. 15

18 So ett alternativ till en analytisk beräkning kan spänningar bestäas so datorbaserade approxiationer. Flera nueriska etoder har utvecklats för att lösa randvärdesproble såso finita eleent-,finitadifferens-, och finita volyetoder vid vilka för-skjutningarna approxieras av styckvis linjära, kvadratiska, kubiska etc. enkla funktioner. Vidare finns kollokationsetoder, randeleentetoder etc. so baseras på konfor avbildning eller superposition av eleentära lösningar för punktkrafter eller dislokationer. Analytiska lösningar på sluten for kan erhållas för flera enkla geoetrier, aterialsaband och randvillkor och även för asyptotiska tillstånd so i närheten av hörn, sprickspetsar, nära punktkrafter, dislokationer, punktforade värekällor etc. Ofta kan koplicerade aterialsaband behandlas i saband ed asyptotiska tillstånd. Definition av spänning Betrakta ett verkligt eller tänkt snitt so delar en belastad kropp. Kroppen antas vara i jävikt. För att kopensera den obalans i belastning so uppstår på grund av snittet, appliceras en utbredd kraft över ytan so ger en ekvivalent ekanisk påverkan på den betraktade delen. Låt oss nföra basvektorerna ē x, ē y och ē z irespektivekoordinatrikning. Spänningen i en yta ges so ett gränsvärde av den totala kraften S(x, y, z) =ē x S x (x, y, z)+ē y S y (x, y, z)+ē z S z (x, y, z),soverkar i ett snitt i allänhet. Väljer vi särskilt i tur och ordning ytor ed noralen i x-, y- respektive z-led erhåller vi Cauchys definition på de kartesiska spänningskoponenterna i punkten. Fig. 7 visar belastningen på en yta ed den utåtriktade noralen i x-led. Noralspänningen iytandefinierassoettgränsvärdeförnoralkraftenriktadutfrån ytan x = och skjuvspänningarna definieras so ē x S(x, y, z) li A!0 A (31) xy = ē y S(x, y, z) li A!0 A (32) 16

19 S z y x xz xy x S Figur 7: Spänningskoponenter i en yta ed den utåtriktade noralen i x-riktning. Resultantspänningen S delas upp i spänningskoponenterna x, xy och xz,soienytaednoralriktningix-led, so här är koposanter i x, y respektive z-riktning. och xz = ē z S(x, y, z) li. (33) A!0 A På saa sätt erhålls spänningskoponenterna y, yx, yz, z, zx och zy för ytor ed noralriktning i y- respektivez-riktning. Totalt blir det nio spänningskoponenter. I ett plant fall reduceras antalet spänningskoponenter till fyra, x, y, xy, xy.kraftjäviktuppfylls av ovanstående efterso spänningskoponenter i ytor ed utåtriktade noraler inegativ x-, y-ochz riktning är lika stora och otriktade de so definieras för ytor ed noraler i otsvarande positiva riktningar så so visas i fig. 8. Figurenvisardespänningarsoverkar på en kub so är så liten att den kan antas befinna sig i ett hoogent spänningstillstånd. Uppenbarligen är kuben i kraftjävikt. För att även oentjävikt skall vara uppfylld åste spänningskoponenterna vara syetriska så so vi ser av följande: Antag att kuben har sidan a. Direktfrånfig.9, sobeskriverdenbetraktadekubens sida i x-y planet ed z-riktning ut ur figurens plan, erhålls följande oent taget ed avseende på det nedre vänstra hörnet (arkerat *) M = ab yx + b 2 b y + a 2 a x ( b 2 b y + a 2 a x + ba xy )=0. (34) 17

20 y y a) z zy yz z zx y xz yx xy x x b) z zx zy yz x x xz xy yx y z Figur 8: Spänningskoponenter i tre diensioner. a) De synliga ytorna har utåtgående norarer i x-, y- ochz-led. b) Baksidans ytor har utåtgående noraler i negativ x-, y- ochz-led. På varje yta representerar tre spänningkoponenterna krafter i x-, y- och z-led. y yx x xy a b b a xy x M yx y Figur 9: Moentjävikt, so ställs upp runt punkten * visar att xy = yx. 18

21 y 0 y x 0 x xy b cos x x 0 y 0 x 0 b b sin xy y Figur 10: Spänningskoponenter i två olika koordinatsyste x 0 -y 0 och x-y. Koordinataxelnx 0 har vridits vinkeln oturs från x-axeln. Resultatet visar att yx xy =0. (35) För x-z och y-z planen genoförs enkelt saa analys so visar att saa sak gäller för skjuvspänningskoponenterna även i dessa plan. Det visar att ordningen på skjuvspänningarnas index är irrelevant, dvs. vad so är kraftriktning och noralriktning blir för objekt so är i jävikt. Således återstår 6 oberoende spänningskoponenter x, y, z, yz, xz och xy ipunktenochförtvådiensionella(plana)fall återstår 3 oberoende spänningskoponenter, så so x, y och xy för x-y planet. Spänningskoponenterna ger tillsaans en entydig beskrivning av spänningstillståndet i en punkt. Spänningar so verkar på plan ed utåtriktade noraler i godtyckliga riktningar kan beräknas o an iakttar att jäviktsvillkoret alltid åste vara uppfyllt. Betrakta fig. 10. Förspänningarix-y planet gäller o an suerar krafter i x 0 -axelns riktning (se fig. 10) att x 0b sin xyb cos cos x b cos cos xy b sin vilket ger sin y b sin =0. (36) x 0 = x cos 2 + y sin 2 +2 xy sin cos. (37) 19

22 Byte av vinkeln ot + 2,dvs.efterotursrotation90 av hypotenusan i fig. 10, gerspänningskoponenten y 0 enligt följande y 0 = x sin 2 + y cos 2 2 xy sin cos. (38) Suering av krafter i y 0 -riktning ger på saa sätt x0 y 0 = y x 2 sin 2 + xy cos 2. (39) Motsvarande transforationssaband kan härledas för spänningskoponenterna i x-z och i y-z planen. Spänningstensorn Vid jäförelse av (37) till(39) och(13), (14) och(17) kananno- tera en analogi ellan töjningarna ( x, y, 1 2 xy )ochspänning-arna ( x, y, xy ). Allänt gäller att satliga töjningskoponenter ( x, y, y, 1 2 yz, 1 2 xz, 1 2 xy )ochspänningskoponenterna( x, y, z, yz, xz, xy )följersaalagarförtransforation.bådaärsåkalladetensorer av andra ordningen. Dessa är en grupp av fysiska objekt ed specifika transforationsegenskaper i ruet. Skalärer och vektorer tillhör gruppen och är tensorer av nollte respektive första ordningen. So bekant påverkas skalärer inte av koordinattransforationer. Dit hör teperatur, tryck p = ( x + y + z ),edeltöjning( x + y + z ) etc. O vektorer vet vi att de transforeras från ett koordinatsyste x-y till ett x 0 -y 0 so är vridet vinkeln iriktningfrånx-axeln ot y-axeln i saa plan enligt följande f x 0 = f x cos + f y sin och f y 0 = f x sin + f y cos. Allatensoreravförstaordningen,dvs.vektorer transforeras på saa sätt oavsett o det gäller vindriktning, förskjutningar, teperaturgradienter eller något annat. Likaså transforeras tensorer av andra ordningen, tredje ordningen osv. so exepelvis spänningar, resistivitet, friktionskoefficienter,. på ett sätt so är geensat för alla tensorer so tillhör saa ordning. Alla tensorer, oavsett ordning, är fysiska kvantiteter och är so sådana oberoende av vilket koordinatsyste so används. Satidigt beror koponenterna i tensorn på orienteringen av det valda koordinatsysteet. I stället för att ange tensorers koponenter i ett givet koordinatsyste kan de, so fysisk kvantitet, beskrivas ed hjälp av en 20

23 uppsättning invarianter. En sådan uppsättning är tensorns egenvärden t.ex. huvudtöjningar eller huvudspänningar so beskrivs härnäst. Huvudspänningar och huvudspänningsriktningar I analogi ed det so gäller för töjningstensorn finns för spänningstensorn geno varje punkt i en belastad kropp åtinstone tre så kallade huvudplan, där all spänning har saa riktning so noralriktningen, dvs. alla skjuvspänningskoponenter försvinner. Spänningarna i de tre planen kallas huvudspänningar. Planens noraler, so bildar tre ortogonala riktningar, kallas huvudspänningsriktningar. I ett plan, låt oss säga x-y planet beräknas riktning och storlek på huvudspänningarna på otsvarande sätt so huvudtöjningar och huvudtöjningsriktningar. Bytet x! x, y! y och 2 xy! xy isabandförtöjningstensorergerotsvarandesabandförspänningar. Vidare gäller naturligtvis alla generella slutsatser för töjningstensorn, o relationer ellan riktningar för axiala och iniala koponenter, axial skjuvkoponent etc. sat relationer ellan koponentvärden även för spänningstensorn. Sålunda är huvudspänningsriktningarna två i intervallet 0 < apple2. Vinkeln oturs ellan x-axeln och en huvudspänningsriktning ges av = 1 2 arctan 2 xy x y. (40) Funktionen arctan är /2 periodisk och an kan därför konstatera att vinkeln till nästa huvudspänningsriktning är + /2. Spänningarnai dessa riktningar, dvs. huvudspänningarna ges beteckningarna 1 och 2 och de beräknas enligt följande 1,2 = x + y 2 ± 1 2 q ( x y ) 2 +4 xy 2. (41) Ofta väljs 1 so den största huvudspänningen. Mohrs cirkel för spänningar Man kan ta hjälp av Mohrs cirkel för analys av alla andra ordningens tensorer. För en tensor ed koponenterna ( x, y, xy ) ges Mohrs 21

24 a) fysiskt plan b) spänningsplan 2 y 1 x xy 2 xy y 2 x 1 Figur 11: Mohrs cirkel för analys av spänningar. a) visar det fysiska planet b) visar ett plan för noralspänning resp. skjuvspänning. Vinkeln är ellan x y riktningarna och 1-2 riktningarna i det fysiska planet. cirkel geno oskrivning av (37) och(38) enligtföljande x = R cos 2, (42) och y = R cos 2 (43) xy = R sin 2, (44) där R = = r x 2 y xy.jäföredresultatet(22) till (24) förtensorn( x, y, 1 2 xy ). Spänningskoponenterna i x-y planet representeras av en cirkel i ett, plan enligt fig. 11.Cirkelnscentruliggeri( , 0) och radien är R. Mankannoteraattaxialskjuvspänningär ax = R = , (45) sat att den uppnås i plan so vriditd vinkeln ± 4 från huvudspän- 22

25 ningsriktningarna dvs. vid = ± 4 = 1 2 arctan 2 xy x y ± 4 (46) Vidare ligger alltid insta huvudspänningen i rät vinkel ot riktningen för den största huvudspänningen. I plan ed största skjuvspänning är noralspänningarna lika stora. Övrigt so an kan observera ed hjälp av Mohrs cirkel gällande andra ordningens tensorer kan studeras i avsnittet för töjningar. Effektivspänningar Hittills är inget sagt o belastningens storlek och signifikans. O belastningen blir för stor riskerar an att det uppstår sprickor eller plastisk deforation. Det förstnända kallas brott och det sker i spröda aterial och det sistnända, so även benäns plasticering, sker ijukaaterial.medjukavsesisaanhangetattaterialeterhåller peranent deforation vid hög belastning. Material so deg, lera, bly och järn är juka vid rusteperatur. Härdning används för att göra aterialet hårdare i olika grad. Flera aterial blir hårda vid låga teperaturer. Hårda aterial kan otstå högre spänningar utan att få peranenta deforationer. Vid höga belastningar ökar eellertid risken för brott, dvs. att det bildas en spricka so propagerar geno aterialet. Olika skalära spänningsått används för att bedöa risk för brott respektive plasticering. Brottrisk bedös ofta ed utgångspunkt från stora noralspänningar. Initiering av sprickor sker idethuvudspänningsplansogerdenstörstahuvudspänningen.ett villkor för att sprickor inte skall initieras kan skrivas ( 1,2,3 ) ax < B, (47) där 1,2,3 är de tre huvudspänningarna och B uppätts vid ett experient. För juka aterial gäller att plasticering skall undvikas. För det krävs ett skalärt ått på belastningens storlek, en effektivspänning e. Vidaterialprovningjäförseffektivspänningen ed ett uppätt värde på effektivspänningen vid begynnande plasticering, den så kallade flytspänningen s.frästtvåsättanvändsförattdefinieraen 23

26 effektivspänning so ger goda resultat och so är riligt oberoende av det specifika spänningstillståndet, so t ex dragning, ren skjuvning, blandat tillstånd etc. De två åtten benäns effektivspänning enligt Tresca och dito enligt von Mises. Trescas effektivspänning baseras på antagandet att det är skjuvspänningar so är drivkraften vid plastisk deforation. Effektivspänning enligt Trescas hypotes (skjuvspänningshypotesen) definieras so axial skjuvspänning eller största skillnaden i ellan huvudspänningar enligt, Tresca: e = ax =( 1 2, 1 3, 2 3 ) ax. (48) En annan hypotes so föreslagits av von Mises, baseras på observationen att hydrostatiska spänningar enbart ger en hoogen kopression och däred ingen forändring. von Mises effektivspänning definieras so von Mises: e = 1 p 2 p ( 1 2 ) 2 +( 1 3 ) 2 +( 2 3 ) 2 = q = 2 x + y 2 + z 2 x y x z y z + 3( xy 2 + xz 2 + yz). 2 (49) Denna effektivspänning uttrycker det arbete so åstadkoer forändring. Villkoret so ställs på spänningarna skrivs e < s. (50) Vid lika eller högre belastning uppstår plastisk deforation. Jävikt I statiken ställer an noralt upp jäviktsekvationer för krafter och oent. När vi beaktar spänningar såso definierade i en punkt leder jävikt till ett differentialsaband. Låt oss betrakta ett rätblock från z-axeln so fig. 12 visar. Suering av satliga krafter i positiv x-led 24

27 y(x, y o + y) xy (x, y o + y) x(x o,y) xy (x o,y) y x x(x o + x, y) xy (x o + x, y) xy (x, y o ) y(x, y o ) Figur 12: Jävikt i ett kontinuu ger y z x (x o + x, y, z) y z x (x o,y,z)+ + x z xy (x, y o + y, z) x z xy (x, y o,z)+ + x y xz (x, y, zn o + z) x y xz (x, y, z o )= = x y z x(x o+ x,y,z) x(x o,y,z) xy(x,yo+ y,z) xy(x,yo,z) + y + x + xz(x,y,zo+ z) xz(x,y,zo) z o =0. (51) O x, y and z går ot noll erhålls ett gränsvärde enligt följande, li x, y, z!0 x(x o + x, y, z) x(x o,y,z) x + + xy(x, y o + y, z) xy (x, y o,z) + y + xz(x, y, z o + z) xz (x, y, z o ) z =0. (52) Beaktas jävikt för krafter i y-led och z-led erhålls totalt tre jäviktsekvationer. Förekoer kroppskrafter får dessa lov att läggas till så 25

28 att följande jäviktsekvationer x xy xz + X + Y =0, + Z =0, z där X, Y, Z är kroppskrafter per volysenhet i x-, y- respektivez-led. Exepel På ytan av en belastad kropp verkar spänningarna enligt figuren. Bestä a) huvudspänningarna, b) deras riktningar, c) ax skjuvspänning i x y planet d) effektivspänningen enligt deviationsarbets- och skjuvspänningshypoteserna Lösning: Mohrs cirkel ritas upp så so figur a) visar. Cirkelns radie enligt (FS:8) är s x R = 2 y xy vilket även fragår direkt av figuren. s R = = 85.4 N/ 2 a) Vi ser också att huvudspänningarna ( 1 och 2 tillika ax och in i x y planet) är 1 = = N/ 2 26

29 och 2 = = 44.5 N/ 2. Den tredje huvudspänningen är noralspänningen ut från x planet 3 = z =0. y b) Vinkeln från x-axeln till en huvudspänningsriktning är (FS:9) = arctan 34.7 or Vinkeln till den andra huvudspänningen är +90 = or c) Radien ger största skjuvspänningen i xy-planet (FS:8) xy,ax = R = 85.4 N/ 2. d) Effectivspänning enligt von Mises bestäs av FS:11 p e = p 1 2 ( 1 2 ) = N/2 Effektivspänning enligt Trescas hypotes är identisk ed dubbla axiala skjuvspänningen i punkten. Enligtf FS:12 e =( 1 2, 1 3, 2 3 ) ax = N/ 2 Repetitionsfrågor: Spänning 1. Redogör för beteckningskonventionen för noral- och skjuvspänningar. Hur är skjuvspänningen xz riktad och i vilken eller vilka plan verkar den? Saa för y? 2. Skjuvspänningen xy representerar kraft i y-led per ytenhet i en ytan ed noralriktning i x-led edan yx representerar kraft i x-led per ytenhet i en ytan ed noralriktning i y-led. Hur stor är kvoten xy / yx? 3. Vad krävs av en fysikalisk storhetsgrupp för att den so x, y och 27

30 xy skall få kallas tensor? 3. Vad karakteriserar ett huvudspänningsplan? 4. Var verkar den axiala skjuvspänningen? Hur beräknas den? 5. Vad gäller vid plan spänning? 6. I hur ånga riktningar kan (inst) an konstatera an har en huvudspänning? vad är vinkeldelningen ellan dessa? 7. En obelastad yta är so bekant fri från belastning. Vilka slutsatser o spänningstillståndet på en sådan yta kan dras av detta? 9. Jäför effektivspänning enligt von Mises respektive enligt Tresca för ett enaxligt tillstånd (endast x 6= 0), respektive ett rent hydrostatiskt tillstånd (endast x = y = z 6=0). 10. Vilka är jäviktsekvationerna för ett kontinuu. Ange speciellt vad so gäller vid plana tillstånd i x y planet, =0. 28

31 3 KONSTITUTIVA SAMBAND 1678 tillkännagav laboratoriekuratorn vid Royal Society of London, Robert Hooke, att han 18 år tidigare gjort upptäckten att ånga aterial so belastas erhåller en deforation so är proportionell ot belastningen. Hooke helighöll upptäckten, so flera andra satida forskare (Huygens, Galileo), för att kunna dra fördel av sin kunskap. E. Mariotte so publicerade liknande upptäckter 1680 förklarade hur de balkar so studerats av Galileo otstod tvärgående belastningar. Jaes Bernoulli angav 1705 att det korrekta sättet att beskriva deforation var att räkna ed kraft per ytenhet, dvs. spänning, so funktion av förlängning per längdenhet, dvs. töjning. Hans brors student Leonhard Euler föreslog bland ycket annat, ett linjärt saband ellan spänning och töjning på foren = E, därkoefficienten E kallas elasticitetsodulen. Under tidigt 1800-tal utvecklades två teorier parallellt, en baserad på kontinuuidealiseringen och en so baserades på en uppfattning av aterien so uppbyggd av partiklar. Det senare ledde till uppfattningen att aterial beskrivs av en enda aterialparaeter. Den tvärkontraktion so blir följden av en töjning härleddes, so en konsekvens av att attraktionskrafterna ellan partikelpar beskrivs av ett centralfält, till /4. Överensstäelsenedexperientellaobservationer var dålig och därför ko det esta av den efterföljande utvecklingen att bygga på kontinuuekanik. Kvantkein har de senaste decennierna koit en bit på vägen till förståelsen för hur onokristalina aterial uppför sig och beräkningar av elastiska aterialparaetrar so baserats fysikaliska grundprinciper har resulterat i realistiska resultat. Fragångarna dock ännu så länge begränsade till enkla aterialstrukturer. För bestäning av olika aterials hållfasthetsegenskaper utnyttjar an olika standardiserade prov. Det viktigaste av dessa är dragprov, so utförs i en dragprovaskin. Vid provet äts dragkraft och förlängning kontinuerligt. Vidare äts den diaeterinskning so blir följden av dragningen. Figur 13 visar dragprovkurvor för två olika ståltyper. För båda typerna startar dragningen ed en snabbt ökande spänning so ed god approxiation kan anses vara en linjär funktion av töjningen. Under denna del är aterialet elastiskt, dvs. förloppet är reversibelt och vid en avlastning återgår kroppen till sin ursprungliga for. O förlängningen ökar efter den elastiska fasen planar den erforderliga 29

32 Figur 13: Dragprov a) stål, b) jukt kolstål. Kurvan har av visuella skäl en överdrivet låg lutning i den inledande elastiska fasen ( < s ) belastningen ut. Kurvans lutning under denna fas är till 0.02 av lutningen under den inledande elastiska fasen. Materialet erhåller under denna fas en peranent förlängning so inte återhätas vid avlastning. I noralfallet ser en dragprovkurva ut so i fig. 13a en för exepelvis jukt stål, fig. 13b uppvisarkurvanenserieplötsligaspänningsvariationer vid begynnande olinjär eller plastisk deforation. Dislokationer är en kristallin defekt, so studeras i fast tillståndets fysik. Fig. 14 visar en kantdislokation. Den plastiska deforationen är kopplad till rörelse hos dessa dislokationer och förekost av kol eller andra föroreningar i etallen so förhindrar initiering av dislokationsrörelserna och ger därför en teporärt förhöjd spänning (se Fig. 13b). Efterhand so plasticiteten sprider sig i provstaven försvinner de plötsliga spänningsvariationerna. Plastisk deforation so sker geno dislokationsrörelse försiggår utan att aterialets voly ändras. Linjärt elastiskt aterial I dragprovets linjära del, dvs. för spänningar under sträckgränsen, råder proportionalitet ellan spänningar och töjningar. O vi inför ett rätvinkligt koordinatsyste (x, y, z) edx-axeln utefter provstavens axel blir noralspänningen i ett snitt vinkelrätt ot x-axeln x,iett snitt vinkelrätt ot y-axeln y och i ett snitt vinkelrätt ot z-axeln z. Noraltöjningarnaiotsvaranderiktningarär x, y och z. Följande saband gäller för isotropa linjära elastiska aterial vid enaxlig belastning i x-led x = x /E, y = z = x /E, (54) 30

33 Figur 14: Två bilder av en kristallstruktur ed en dislokation. I a) visas skjuvspänningar på delens fyra sidor. O skjuvspänningen är tillräckligt stor koer en ato förflytta sig i den krökta pilens riktning och bilda ett intakt atoplan ed det trunkerade inkläda atoplanet vilket gör att dislokationen förskjutits åt höger. För varje dislokation so passerar geno kristallen från vänster till höger förflyttas kristallens övre del ett atoplan åt vänster. Fig. b) visar de involverade atoplanen. där är Poissons tal, eller tvärkontraktionstalet. Isotrop betyder att aterialets egenskaper är lika i alla riktningar. Töjningar x erhålls från provstavens längdändring och y och z erhålls från den uppätta diaeterinskningen so sker under dragprovet. Med känd belastning i x-led kan elasticitetsodulen, E, ochpoissonstal beräknas enligt (54). Vidare råder proportionallitet ellan skjuvning och skjuvtöjning enligt xy = xy /G, (55) där G benäns skjuvodulen. Även denna kan ätas upp vid ett särskillt prov en den kan även beräknas från elasticitetsodulen och Poissons tal så so visas under nästa rubrik. Elastiska aterialdata hittar an t ex via wikipedia. Det kan vara bra att veta att elasticitetsodulen heter odulus of elasticity alternativt Young s odulus på engelska och Poisons tal går under benäningen Poisson s ratio på saa språk. På svenska kallas Poisons tal ibland tvärkontrationstalet. Genoförs ovanstående för enaxlig belastning i y-och z-riktningarna 31

34 A B odef. def. 45 /2 2d A d d/2 /2 d/ p 2 B d d/2 a) d d Figur 15: a) Töjning och skjuvning vid enaxlig dragning. Den ursprungligen rätvinkliga triangelns spetsiga hörn är 45 (heldragen). b) betraktelse av den i a) inringade delen erhålls sabandet ellan spänningar och töjningar geno superposition av resultatet so beskrivs ed (54). Det ger Hookes på generaliserad lag: x = 1 E x E ( y + z ), yz = 1 G yz, y = 1 E y E ( z + x ), xz = 1 G xz, z = 1 E z E ( x + y ), xy = 1 G xy. (56) Alternativt kan spänningar uttryckas so funktion av töjningar so erålls efter invertering av (56) enligt, x = y = z = E (1+ )(1 2 ) [(1 )" x + (" y + " z )], yz = G yz, E (1+ )(1 2 ) [(1 )" y + (" z + " x )], xz = G xz, E (1+ )(1 2 ) [(1 )" z + (" x + " y )], xy = G xy. (57) Skjuvodulen ges av G = nästa avsnitt, Saband ellan G, E och E 2(1+ ).Enhärledningavsabandetgesi En längdändring av hypotenusan enligt fig. 15 kan skrivas ed hjälp 32

35 av den enaxliga dragningens töjningar och ed hjälp av skjuvning so infaller 45 ot dragriktningen. Det fragår av figuren att 2( 2 d)= d + d, (58) vilket ger = (1 + ), (59) ed beteckningar enligt fig. 15. Videnaxligdragninggällerenligt(56) att = E och = G.Vidareenligt(45) gälleratt =2 där är dragspänningen och är skjuvspänningan i ett plan ed noralrikning i 45 ot dragriktningen, dvs. den axiala dragspänningen. Det ger, Härur identifieras sabandet G = (1 + ) =2 (1 + ),. (60) E E G = E 2(1 + ). (61) Trots att alla tre aterialparaetrarna E, och G används tillsaans är således antalet oberoende elastiska konstanter endast två för ett isotropt linjärt elastiskt aterial på grund av sabandet (61). So alternativ till E, och G används ibland den sk. bulkodulen K och Laés konstanter (eng. Laé paraeters), µ och. Endasttvåär oberoende och elastisk analys kan baseras på ett godtyckligt par av de nända paraetrarna uto paret G och µ efterso dessa är identiska (G = µ) Plan spänning, plan deforation, enaxlig spänning. Det allänna spänningstillståndet i tre diensioner kan ofta approxieras so två diensionella tillstånd. Ett sådant är plan spänning so bland annat uppträder i närheten av obelastade ytor. Tillståndet kännetecknas av att z = xz = yz =0, (62) 33

36 där koordinatsysteet är valt så att tillståndets plan är x-y planet. Kravet (62) göratt z kan eliineras från Hookes lag so förenklas till, x = 1 E ( x y ), y = 1 E ( y x ) xy = 1 G xy, och x = y = E (1 2 ) [" x + " y ], E (1 2 ) [" y + " x ], xy = G xy. (63) Ett annat plant tillstånd är plan deforation so uppträder när stora variationer av spänningarna i planet är så stora att otsvarande variationer av töjningar tvärs planet inte tillåts av geoetriska skäl. Tvärkontraktion och skjuvning tvärs planet förhindras. Frånvaron av dessa töjningar gör att spänningarna i planet ökar. Sådana situationer uppstår t.ex. i närheten av spänningskoncentrationer so exepelvis iorådetruntkoncentreradekrafter,sprickspetsarochdislokationer. Tillståndet kännetecknas av att vilket enligt (11) =0,w=0 " z = xz = yz =0. (65) Nu kan till, z kan eliineras från Hookes lag so i detta fall förenklas " x = 1 2 E [ x " y = 1 2 E [ y xy = 1 G xy. 1 y ], 1 x ] och x = y = E (1+ )(1 2 ) [(1 )" x + " y ], E (1+ )(1 2 ) [(1 )" y + " x ], xy = G xy. (66) I bland kan spännings- och töjningstillståndet ed god approxiation antas vara enaxligt. Det leder till ytterligare förenklingar. Sålunda edför enaxlig spänning att y = z = xy = xz = yz =0. (67) 34

37 So vi sett förut reduceras Hookes lag till x = E" x.detärviktigtatt observera att enaxlig spänning och enaxlig töjning är olika tillstånd. Enaxlig töjning edför att y = z = xy = xz = yz =0. (68) E(1 ) Direkt från (66) fåran x = (1+ )(1 2 ) " x.nänarenisabandet ellan spänning och töjning begränsar Poissons tal till 1 < < 1/2. Material vars Poissons tal närar sig den undre eller den övre gränsen närar sig ett aterial so är oöjligt att deforera. Material ed Poissons tal utanför gränserna uppfyller inte terodynaikens lagar. Sådana aterial existerar inte i sinnevärden. Begränsning till plana fall underlättar spänningsanalysen, geno att allänna lösningar kan foruleras so tre eller fyra oberoende haroniska funktioner, dvs. lösningar till Laplaces ekvation (se exepelvis Y. C. Fung, Foundations of Solid Mechanics, Prentice-Hall, 1965). Exakta analytiska lösningar ger flera fördelar bl.a. för att an får en direkt förståelse för hur och i vilka kobinationer olika paraetrar från last, geoetri och aterial påverkar resultatet. Vidare är det alltid i alla typer av nueriska beräkningar nödvändigt att kontrollera resultatet ed hjälp av analytiska resultat för förenklade geoetrier eller förenklade aterialodeller. När det gäller asyptotiska analyser för exepelvis ett oråde nära en spricka, dislokation eller t.ex. vid övergångar ellan olika randvillkor är analytiska etoder oslagbara och det är ofta öjligt att finna asyptotiskt korrekta lösningar. 35

38 Exepel I ett stag AB har en förspänning uppkoit efter nedkylning. Spänningen betecknas o. På avståndet L 1 från övre änden på staget angriper en kraft P iriktningotb.vid vilket värde på P blir stagets undre del spänningslös? Lösning: Den övre stången dragbelastas av en okänd kraft S 1.Förattittpunktenskallvara ijäviktåstedennedrestångenbelastasav dragkraften S 1 P. Kraften S 1 kan inte bestäas enbart ed hjälp av jäviktsanband. Det krävs ett deforationssaband vilket i det föreliggande fallet gäller ittpunktens förskjutning. På grund av infästningarna A och B åste den övre stångens förlängning vara så ycket so den undre stången förkortas. Förlängningen av den övre stången ges av (FS:22) = S 1L 1 EA, och den undre stången trycks följaktligen ihop vilket ges av = (S 1 P )L 2 EA. Annulering av ger sabandet S 1 = L 2 L 1 + L 2 P. (69) Innan lasten läggs dit är, enligt uppgift, spänningen i den undre stången o.lastenensaåstedärföråstakoaenlikastortryckspän- 36

39 ning för att den undre stången skall bli spänningsfri, dvs. S 1 P A = o Insättning av (69) ger o = P L2 1. A L 1 + L 2 O kraften är inst P = 0 A(1 + L2 L 1 ) blir det undre staget obelastat. Repetitionsfrågor: Linjär elasticitet och plasticitet 1. Vad är Poissons tal ( ) ettuttryckför? 2. Hur stort och hur litet kan det vara i ett isotropt aterial i teorin och i praktiken? 3. Vilka elastiska konstanter behövs för att beskriva ett linjärt, isotropt, elastiskt aterial? 4. Vilka oberoende par duger so aterialparaetrar vid elastisk analys av isotropa aterial (E,, G, K, µ och )? 5. Var gäller plant spänningstillstånd och plant töjningstillstånd avseende spännings och töjningsabanden? 6. Vad kan sägas o huvudspänningssnitten i en vätska? 7. Vad är en dislokation, vilken typ av deforation kan den upphov till? 8. Hur sker denna deforation? 9. Vad skiljer elastisk deforation från och plastisk deforation? 10. Hur påverkas volyen vid plastisk deforation? Viscoelasticitet. Den linjära elasticitetsteorin kan inte tilläpas på proble ed stora elastiska töjningar eller aterial so påverkas av hastigheten ed vilken töjningarna uppstår. Den klassiska teorin för linjär elasticitet behandlar beteendet hos elastiska fasta aterial so erhåller så töjningar. Spänningen är direkt proportionell ot töjningen en obe- 37

40 roende hur snabbt belastningen applicerades, och töjningen återvinns helt när belastningen tas bort. Material so kan studeras ed hjälp av klassisk linjär elastisk teori kallas linjära elastiska aterial. För sådana aterial är det linjära förhållandet ellan spänning och töjning endast giltigt i ett visst töjningsintervall. För ett stort antal fasta aterial är sabandet ellan spänning och töjning olinjärt även för så påkänningar. Skälet till att den linjära teorin haft fragångar är att generella konstruktionsaterial tål stora belastningar innan de uppvisar antingen plastisk deforation eller spricker. Eellertid har exepelvis polyera aterial ett olinjärt elastiskt beteende över ett långt bredare spektru och den utbredda användningen av naturgui och liknande aterial otiverar att an beaktar stora töjningar, töjningshastighetsberoende och olinjära aterial. Wilhel Weber observerade 1835 att en belastad silkestråd inte bara gav en oedelbar förlängning, utan även att förlängningen vid bibehållen belastning ökade ed tiden. Den här typen av viskoelastisk respons är särskilt ärkbar i polyera fasta aterial en förekoer er eller indre i alla typer av aterial. I allänhet o aterialet återtar sin ursprungliga konfiguration betecknas aterialuppförandet so viskoelastiskt, en beteckningen används också i fall där den ursprungliga konfigurationen inte helt återtas. Bland de so haft stort inflytande på utvecklingen av en viskoelastisk teori kan Green, Piola och Kirchhoff nänas. I slutet av 1800-talet utvecklade Ludwig Boltzann en bärande teori för linjära viskoelastiska aterial. Benäningen linjära otiveras av att teorin edger att deforationshistorien beräknas so den suerade effekten av så stegvisa förändringar av belastningen so skett under passerad tid. En större förståelse för de fysiska effekterna av olinjärt aterialuppförande tilläpade på enkla proble so vridning och böjning, skapades av den brittisk-aerikanske ingenjören och ateatikern Rivlin på och 1950-talet. För visko-elastiska aterial vid enaxlig belastning ges ett saband ellan töjning " och spänning och deras tidsderivator ",, ",,... ",... etc. Enkla eleent so kan inkluderas i en viskoelastisk odell är linjär elasticitet (fig. 16a) = E", (70) 38