Derivata ett filosofiskt mysterium

Transkript

1 Derivata ett filosofiskt mysterium Torulf Palm Våren 1996 gick de första nationella provet i matematik för kurs C. Provet bestod av en tidsbunden del och en breddningsdel. Här diskuteras syfte och bakgrund med olika provuppgifter och bedömningsanvisningar. En motsvarande artikel för kurs A-provet publicerades i förra numret. Vad är en derivata? En derivata är en förändring. En oändlig förändring som varken har slut eller början. En derivata kan vara rak, brant sluttande eller behagligt kurvig. Den låter sig aldrig avläsas i helfigur, utan tillåter endast intima närbilder. Derivatan är förutom ett matematiskt mysterium även ett filosofiskt sådant. Vad är detta för flum och vad har det i en artikel om nationella prov att göra? Ja, faktum är att detta är ett elevsvar på en uppgift i vårens nationella prov i kurs C och skulle alltså poängbedömas. Svårt? Men kanske är det inte flum och kanske kan denna typ av uppgifter som ger elever inspiration till sådan poesi tillföra något till vår matematikundervisning, den undervisning som ska inspirera eleverna att tycka om matematik. Mera om detta senare. Syfte med nationella proven Ett syfte med de nationella proven är att stödja lärarnas betygsättning, som ska ske med utgångspunkt i kursplanemål och betygskriterier. Proven skall också spegla den kunskapssyn som uttrycks i kursplanen, programmålen och läroplanen. Proven kan alltså ses som ett exempel på en möjlig tolkning av grunddokumenten. Torulf Palm arbetar med nationella prov vid Enheten för pedagogiska mätningar, Umeå universitet. I denna artikel exemplifieras, via uppgifter från kurs C provet, några av dessa tolkningar. En utförligare diskussion finns i (Lindström, Nyström & Palm, 1996) som distribueras till de skolor som insänt elevresultat och besvarat enkäter från ovanstående prov. Bedömningar i tidsbundna delen Uppgift 7 Uppgiften, se nästa sida, är avsedd att testa kursplanemålet kunna använda index såsom jämförelsetal. Uppgifter, som testar detta kursplanemål, kan naturligtvis se olika ut beroende på vilka aspekter, av den kunskapssyn som framträder i läroplanen och kursplanen, man vill spegla. Enligt den tolkning av grunddokumenten som gjorts av arbetsgruppen för nationella prov och de lärare som deltagit i arbetet med proven är det viktigt att eleverna kan använda sin matematik i relevanta verklighetsnära situationer. Detta ansågs vara en sådan situation. Det ansågs också vara en lämplig uppgift utifrån läroplanens skrivning att strävan är att eleverna kan använda sina kunskaper som redskap för att kritiskt granska och värdera påståenden och förhållanden och kursplanens skrivning. Matematik handlar om att kunna formulera hypoteser, undersöka dem och dra slutsatser samt att kunna övertyga andra om giltigheten i ett resonemang. 16 Nämnaren nr 4, 1996

2 I kursplanen kan man läsa att undervisningen skall utveckla elevernas nyfikenhet, öppenhet och kreativitet. Hur ser en sådan undervisning ut och hur ser ett sådant prov ut som tar hänsyn till och stöder detta syfte med matematikundervisningen? En möjlighet skulle kunna vara att använda någon form av öppna uppgifter dvs uppgifter där svaret, lösningsmetoden eller antaganden inte är entydigt bestämda, se innehållet i uppgift 8. Uppgift 8 I elevlösningarna till a-uppgiften hittar man varierande svar. En del elever skriver om situationer som förekommer i läroböckerna, som t ex befolkningsminskning eller värdeminskning på en bil eller ett kapital. Andra, på utprövningarna av uppgiften ungefär 15% av eleverna, låter fantasin få fritt spelrum och skriver om saker som antalet hårstrån på ett manshuvud, antalet hjärnceller och smältande snö i solen (så att det går att cykla till skolan igen). Andra återigen skriver om antalet flyktingar i en förläggning någonstans ute i världen och andra allvarligare förhållanden. Här är några exempel på elevlösningar. Snön har just fallit, m 3, över Danderyd. Det går inte att cykla till skolan. Solen skiner nu och snön smälter bort. Under tidigare år har snön smält med en medelhastighet på 5% per dygn. Hur många dygn (x) tar det innan det återstår m 3 av snöresterna, så att eleverna kan ta fram sina cyklar igen? I en myrstack bor det myror, vilket blir lite trångt. En annan stack byggs lite längre bort och en utvandring kan påbörjas. Hur många dygn dröjer det innan myrstackens innevånareantal har minskat till myror? Räkna med en minskning med 5 % per dygn. En guldkedja kostar kr. Kalle vill så gärna köpa den till sin älskade, men han har bara kr. På en lapp under smycket står det att den minskar med 5 % per år. Efter hur många år har han råd att köpa smycket? Nämnaren nr 4, Många filmintresserade tycker att priset på en biobiljett har gått upp mycket senaste åren. Gör, med hjälp av tabellen nedan, en jämförelse mellan prisutvecklingen på en biobiljett och förändringen av KPI under perioden Du bör ta hänsyn till alla år under den aktuella perioden och din jämförelse bör innehålla både beräkningar och kommentarer. (3p) År Medelpris 60,00 61,80 63,80 63,80 (kr/st) KPI 234,9 244,3 250,4 256,0 (Basår1980) Bedömningsanvisning (max 3p): Redovisade, relevanta och korrekta beräkningar och en godtagbar och relevant kommentar som tar hänsyn till två år. (+ 1-2p) Redovisade, relevanta och korrekta beräkningar för en jämförelse som tar hänsyn till alla år under perioden (+ 1p) 8. I ekvationen Informationen i tabellen från SCB. KPI = konsumentprisindex ,95 x = betecknar x tiden i år. a) Formulera ett problem som kan lösas med hjälp av denna ekvation. (2p) b) Lös ekvationen och ge ett svar på det problem du formulerat. (2p) Bedömningsanvisning (max 4p): a) Formulerat ett problem som kan lösas med hjälp av ekvationen. (+ 1-2p) b) Redovisad godtagbar lösning, x = 23. (+ 1-2p) Pelle har hjärnceller. Varje år förlorar han 5 % av dem. Hur många år har gått, när han har hjärnceller kvar? 17

3 Bedömningen måste ske utifrån de tolkningar av kursplanemål och betygskriterier som legat till grund för lärarens undervisning. Centralt utarbetade bedömningsriktlinjer bör därför, enligt vår tolkning av styrdokumenten, inte detaljreglera bedömningen där det kan förväntas att anvisningarna försvårar detta. Uppgift 8 är en uppgift där detta kan förmodas vara fallet. Exempel på lösningar som skulle kunna ge 1p på b-uppgiften är algebraiska lösningar där eleven slår fel på räknaren och får 5 år, eleven svarar 22 år (istället för 23 år) eller en lösning där eleven verifierar att svaret stämmer men inte redovisar hur han/hon kommit fram till svaret. En lösning, från en elev med grafritande räknare, som saknar tillfredsställande redovisning av tillvägagångssättet är ett annat exempel på en lösning som skulle kunna ge 1p. Skrivningen redovisad godtagbar lösning +1-2p är till för att underlätta bedömningen efter en lokalt upprättad detaljerad bedömningsanvisning. Uppgift 11 Denna uppgift är, liksom uppgift 8, en uppgift som hittills varit av det lite ovanligare slaget. Den har en mycket klar anknytning till kursplanemålet kunna förklara och åskådliggöra begreppet derivata och är den uppgift som elevlösningen i början av artikeln härrör från. Utformningen av uppgiften är avsedd att ge eleverna tillfälle att visa sin förmåga att kommunicera matematik. Kommunikation tas upp i kursplanen som en av fyra viktiga aspekter av ämnet matematik som skall belysas i undervisningen. Den återkommer också i läroplanen och i betygskriterierna. Till denna uppgift fanns en annorlunda bedömningsanvisning, se ovan till höger. En annan bedömningsanvisning diskuterades också: (max 4p): ett praktiskt exempel. (+1p) en gränsvärdesdefinition. (+1p) en grafisk tolkning. (+1p) 11. En kompis till dig, som läser samma mattekurs som du, kommer fram till dig och säger Jag fattar inte ett dugg av det här med derivata. Hjälp din kompis genom att förklara vad derivata är. Förklara så utförligt du kan och på så många sätt du kan. Du ska inte härleda eller beskriva deriveringsreglerna. (4p) Bedömningsanvisningar (max 4p): Redovisad godtagbar förklaring (1-4p) /Bedömda elevlösningar bifogas/ en beskrivning i ord (förändringshastighet). (+1p) Redovisad godtagbar förklaring där eleven visar en klar tankegång. (+1p) Det ansågs dock att denna typ av bedömningsanvisningar skulle innebära ett ytligt förhållningssätt till kunskap, på denna typ av uppgift. Det skulle också göra det svårare att ge höga poäng för kvalitativt bra förklaringar som saknade något/några av ovanstående punkter. Istället valdes alltså att bifoga bedömda elevlösningar inklusive kommentarer till bedömningarna. Ett av flera möjliga rimliga sätt att genomföra rättning av uppgiften är att rangordna elevers lösningar efter kvalitet och sedan bestämma sig för en kvalitetsnivå för respektive poängnivå. De bifogade bedömda elevlösningarna skulle kunna indikera denna kvalitetsnivå och vara exempel på hur man kan bedöma lösningar på uppgiften. Bedömning av breddningsdelen I breddningsdelen skulle eleverna genomföra en av tre valbara uppgifter. Antalet uppgifter att välja bland kan variera från prov till prov. En av uppgifterna i breddningsdelen för kurs C återges på nästa sida. 18 Nämnaren nr 4, 1996

4 2 SPARANDE FÖR FRAMTIDEN Det svenska pensionssystemet har förändrats och i framtiden kommer man inte att från staten få lika mycket i pension som förr. För att kompensera sig för detta inkomstbortfall börjar en del att pensionsspara redan i unga år. Det finns olika sätt att pensionsspara. Ett sätt är IPS (individuellt pensionssparande). Det kan fungera så att man regelbundet sparar ett belopp som sedan ökar i värde. När man sedan blir pensionär kan man under ett antal år ta ut pengarna, och man betalar då vanlig inkomstskatt. Inom IPS kan man välja att spara på ett fondkonto. När man gör prognoser för hur mycket pengar man får ut när man blir pensionär kan man använda sig av en genomsnittlig värdeökning per år och anta att den gäller under hela den tid man sparar. Bankerna brukar anta att den genomsnittliga värdeökningen per år kommer att ligga mellan 7% och 12%. Antag att du väljer att börja pensionsspara. Ditt sparande ska gå till så att du en gång om året sätter in ett visst belopp på ett fondkonto. Detta pågår fram till det år du börjar ta ut din pension. Efter pensioneringen ska du ta ut pengar en gång per år. Det årliga uttaget ska vara lika stort varje år under alla år du tar ut din pension. Exempel från breddningsdel Du ska själv välja: hur stort belopp du ska spara varje år under hur många år du ska spara när du ska börja ta ut din pension (dock tidigast när du är 55 år) under hur många år din pension ska tas ut (minst fem år) Du måste också själv göra ett antagande om hur stor den genomsnittliga procentuella värdeökningen per år kommer att vara. Hur stort belopp kommer du att ha på ditt fondkonto det år du går i pension? Vilket är det lägsta belopp du måste spara varje år för att ditt sparbelopp ska ha vuxit till 2 miljoner kronor när du går i pension? Utred olika möjligheter. Hur stor årlig pension kommer du att få från detta sparande? Vid bedömningen av ditt arbete kommer läraren att ta hänsyn till: hur många av deluppgifterna du har löst. om dina val är rimliga. om du gör korrekta beräkningar. hur väl du genomfört din utredning. hur klar och fullständig din redovisning är. Nämnaren nr 4,

5 Vad prövas? Denna uppgift var avsedd att pröva om eleverna uppnått kursplanemålet kunna använda matematiska modeller som bygger på summan av geometriska talföljder. Vad ligger till grund för att vilja pröva det på just detta sätt? Det finns flera saker som kännetecknar utformningen av den här uppgiften som ligger i linje med vår tolkning av grunddokumenten. Sammanhanget är taget direkt ur verkligheten. Utprövningar visade också att både komvuxelever och gymnasieelever tyckte att det för dem var ett intressant sammanhang. Frågorna är ställda så att eleverna själva måste göra en del antaganden, vilket de i verkliga situationer ofta måste göra. Uppgiften ger eleverna stora möjligheter att visa sin förmåga till skriftlig redovisning. Lite större utredningar är svårare att ha i den tidsbundna delen då de ofta tar lite längre tid och här fyller breddningsdelen en bra funktion. Utanför provsituationer är det ofta så att man har tid att fundera och resonera utan omedelbar tidspress. Som breddningsuppgift ger uppgiften eleverna större möjlighet än uppgifter på den tidsbundna delen att göra detta. Bedömning Bedömningsanvisningarna till breddningsuppgifterna bestod av vilka kunskapsområden uppgiften avsåg att pröva, aspekter att beakta vid bedömningen, beskrivning av exempel på ett godkänt respektive väl godkänt elevarbete samt bedömda elevlösningar med kommentarer. Med detta som hjälp skulle en helhetsbedömning av elevarbetena göras och provbetyg sättas. Bedömningsanvisningarna är utformade så att en helhetsbedömning skall kunna göras. På dessa typer av uppgifter är det en omväg, utan att man får större säkerhet i bedömningen, att sätta poäng innan man bestämmer sig för ett provbetyg. En helhetsbedömning motverkar också en atomiserad, faktainriktad syn på kunskap. En större frihet vid bedömningen kan dessutom stimulera till öppnare frågeställningar med möjlighet att demonstrera kunskap av högre kvalitet. Avslutning Gymnasiereformen har givit oss en läroplan och kursplan som uttrycker en ny kunskapssyn, som de nationella kursproven bör spegla. Målsättningen är att de ska innehålla uppgifter av olika typ som tillsammans ger en bred bild av elevernas matematikkunnande. Förhoppningen är att proven, förutom att vara betygsstödjande, också ska visa på en möjlig tolkning av synen på kunskap enligt de nya dokumenten och stimulera till debatt och utveckling inom undervisning och provkonstruktion inom vårt ämne matematik. Referenser Kursplan och betygskriterier (Programmaterial för gymnasieskola och gymnasial vuxenutbildning). Lindström, J-O., Nyström, P. & Palm, T. (1996). Nationella kursprov i matematik Kurs A, C och E vt-96. Pm Nr 118. Enheten för pedagogiska mätningar, Umeå universitet. Läroplan för de frivilliga skolformerna, Lpf 94. Nyström, P. (1996). Matematik i kaninburen. Nämnaren 23(3), Nämnaren nr 4, 1996