Matematikens fem fo rma gor och huvudra kning Aktionsforskning om bedo mning i matematik i Linko ping HT 2013

Transkript

1 Matematikens fem fo rma gor och huvudra kning Aktionsforskning om bedo mning i matematik i Linko ping HT 2013 Medverkande forskare: Lisa Bjo rklund Boistrup Medverkande la rare: Carin Folkare, Birgit Jo nsson, Annette Rydh och Maria O+ berg Uhlin 1

2 Innehåll Inledning... 4 Kommunsatsning på forskare i matematikdidaktik... 4 Forskning i Norrköping och Linköping om bedömning och kommunikation i matematik... 4 Fyra kulturer för bedömning i matematikklassrummet... 4 Sex forskningsprojekt sett med diskurserna som redskap... 6 Projektets inriktning... 9 Om denna rapport... 9 Forskning om muntlig kommunikation i matematik och om bedömning Kompetens och förmågor i matematik Huvudräkning i matematik Bedömning i denna rapport Vad Lgr 11 säger om förmågor i matematik och om huvudräkning Analytiska utgångspunkter Bedömning som interaktion En modell för att analysera klassrumspraktiker Lärande Sammanfattning Metod Genomförande Det praktiska arbetet Forskningsinsamlingsmetoder Etiska överväganden Sammanfattning Vad vi kom fram till våra resultat Problemlösning när innehållet är huvudräkning Vad karaktäriserar situationer för problemlösning? Rikta uppmärksamheten mot problemlösning Använda och analysera begrepp när innehållet är huvudräkning Vad karaktäriserar situationer där elever får använda och analysera begrepp? Rikta uppmärksamheten mot att använda och analysera begrepp Välja och använda metoder när innehållet är huvudräkning Vad karaktäriserar situationer där elever får arbeta med att välja och använda metoder Rikta uppmärksamheten mot att välja och använda metoder

3 Resonemang när innehållet är huvudräkning Vad karaktäriserar situationer där elever får arbeta med matematiska resonemang Rikta uppmärksamheten mot matematiska resonemang Kommunikation när innehållet är huvudräkning Vad karaktäriserar situationer där eleverna får kommunicera Rikta uppmärksamheten mot kommunikation Sammanfattning och diskussion av våra resultat Situationer där elever erbjuds fördjupa sitt kunnande inom de fem olika förmågorna kopplat till huvudräkning Hur vi som lärare kan rikta uppmärksamheten mot de fem förmågorna när vi arbetar med huvudräkning Frågor som riktar uppmärksamheten mot förmågorna vid arbete med huvudräkning Handlingar som riktar uppmärksamheten mot förmågorna vid arbete med huvudräkning Avslutande diskussion Referenser

4 Inledning Denna rapport handlar om ett forskningsprojekt där fyra speciallärare i matematik tillsammans med forskare undersökte hur vi kan stötta elevers lärande i matematikens fem förmågor när undervisningsinnehållet är huvudräkning Projektet genomfördes i årskurs 3 och årskurs 9. Vi känner oss säkra på att ni matematiklärare som vill läsa och reflektera om just detta kan ha stor nytta av rapporten som framför allt fokuserar det vardagliga arbetet i matematik. Kommunsatsning på forskare i matematikdidaktik För att stötta matematiklärare i deras strävan att göra ett bra arbete med sina elever beslutade Linköpings och Norrköpings kommun att tillsammans med Linköpings universitet arbeta för att bygga upp ett Östsvenskt matematikdidaktiskt centrum. Detta centrum ska utgöra en mötesplats för lärare, forskare, kommunansvariga, matematikutvecklare och andra som arbetar tillsammans för att förbättra matematikundervisningen i kommunerna. En del i detta beslut är att kommunerna finansierar två forskartjänster i matematikdidaktik. En av forskarna, Lisa Björklund Boistrup, riktar sig mot grundskolan. Den andra forskaren, Jonas Bergman Ärlebäck, riktar sig mot gymnasiet och högstadiet. I de olika forskningsprojekten arbetar forskarna tillsammans med lärare som därmed ges en chans att forska i den egna praktiken kring frågor som är relevanta för matematikundervisning. Ett sådant arbetssätt menar en väletablerad matematikdidaktisk forskare, Mogens Niss, är ett väl fungerande sätt för att utveckla praktiken (Skolverket, 2012). Ett kommunbaserat forskningsprojekt där lärare och forskare arbetar tillsammans bör således kunna bidra till förbättringar av matematikundervisningen samtidigt som den praktikgrundade erfarenheten bidrar till utveckling av den vetenskapliga disciplinen, matematikdidaktik. Forskning i Norrköping och Linköping om bedömning och kommunikation i matematik De sex olika forskningsprojekt som Lisa Björklund Boistrup varit inblandad i har alla ett gemensamt övergripande tema. Detta tema handlar om att undersöka olika aspekter av interaktioner som sker mellan lärare och elever i matematikklassrummet. I dessa undersökningar är huvudintresset bedömning i vid mening. Här ingår alla de bedömningar som direkt eller indirekt är närvarande i alla interaktioner i ett klassrum. Sådana bedömningar kan till exempel handla om vad läraren uppmärksammar i det eleverna säger under helklasspass, om vilken återkoppling läraren ger när hon/han går runt och hjälper eleverna vid självständigt arbete eller om hur diagnoser sätts samman för att ge eleverna möjlighet att visa kunnande i matematik. Fyra kulturer för bedömning i matematikklassrummet En utgångspunkt i de olika projekten var huvudresultaten från Lisas avhandlingsprojekt. Dessa handlade om fyra olika diskurser, kulturer, för bedömning i matematikklassrum (se Björklund Boistrup, 2010; 2013). Kortfattat kan diskurser beskrivas som ett slags minikulturer som har sina outsagda regler för vad man får säga och göra och också vad som inte får sägas och göras. Med hjälp av dem kan vi beskriva vad som kännetecknar en bedömningspraktik i ett matematikklassrum, och därmed i vilken utsträckning eleverna i samband med återkopplingar blir erbjudna att lära sig matematik och att aktivt engagera sig i matematikundervisningen. En bedömningsdiskurs så som de uttolkades i forskningen består av olika beståndsdelar: (a) vilken sorts bedömning i form av återkoppling som förekommer mellan lärare och elev och i vilken utsträckning eleven också ges möjlighet att påverka sin matematikaktivitet, (b) vad som fokuseras i bedömningarna, om det är 4

5 matematik eller matematiklösa procedurer till exempel samt (c) hur uttrycksformer spelar roll i interaktionen mellan matematikläraren och hans/hennes elever. I den första av de fyra diskurserna som Lisa uttolkade, Diskurs 1: Gör det fort och gör det rätt, är inte öppenheten stor och det finns ingen matematisk komplexitet att tala om. Återkopplingarna här handlar oftast inte om matematik utan om procedurer med litet matematikinnehåll, till exempel hur många uppgifter eleven har löst eller lotsning. Denna diskurs har ganska stora likheter med annan matematikdidaktisk forskning där man beskriver hur vanligt det är att det som betonas i matematikundervisningen är hur långt eleverna har kommit i boken eller hur många rätt man får på provet (Skolverket, 2003). Här är det främst läraren som ger eleverna återkoppling och inte tvärtom. Diskurs 2, Vad som helst duger, är på sätt och vis en motsats till diskurs 1, eftersom den oftast är mycket öppen. Men återkopplingarna handlar fortfarande inte om matematik. Här kan elever visa kunnande som inte kan räknas som matematiskt korrekt men de utmanas ändå inte i detta. Även här är det främst läraren som ger återkoppling till eleverna och då handlar det främst om ett allmänt beröm. Alla uttrycksformer accepteras även om det för elevens lärande ibland skulle kunna vara bättre med att bara vissa uttryckformer används. Om vi i stället stannar mitt emellan dessa diskurser vad gäller öppenhet, och stärker det matematiska innehållet, så hamnar vi i diskurs 3, Öppenhet med matematik. Här är öppenheten större än för diskurs 1 och återkopplingarna handlar om matematik, främst det som vi i skolan brukar kalla grundläggande kunskaper. Denna diskurs har likheter med den matematikundervisning som betonas i matematikdidaktisk litteratur där det som betonas är att eleverna är aktiva och att fokus är på matematik. I denna diskurs är det inte bara läraren som ger eleverna återkoppling utan eleverna inbjuds också att ge läraren återkoppling. Det kan till exempel handla om att läraren uppmärksammar det eleverna signalerar om undervisningen och har det som en utgångspunkt i kommande planeringar. I den här diskursen uppmärksammas också vilka uttrycksformer och material som mest gynnar elevernas lärande i matematik. Om öppenheten blir ännu större, och den matematiska komplexiteten samtidigt ökar, så hamnar vi i diskurs 4. Här handlar återkopplingarna om matematik inklusive processer som resonera, lösa problem med mera. Med den fjärde diskursen sker en ämnesmässig fördjupning med ett lugnare tempo, med tystnader i interaktionen mellan lärare och elev. Här görs också då och då avstämningar mot uppsatta mål tillsammans med eleven. I ett och samma klassrum är det oftast möjligt att uttolka två eller fler diskurser. Som framgår av beskrivningen ovan så är det inte alla diskurser som möjliggör för elever att lära och engagera sig i matematik. En slutsats som Lisa drog av sin tidigare forskning är att en bedömningspraktik i matematikklassrum med goda möjligheter för elever att bli inbjudna i matematikens värld är att det framför allt är diskurs 3, Öppenhet med matematik, och diskurs 4, Resonemang tar tid" som går att uttolka i klassrummet. Diskurserna finns dock inte på samma sätt som till exempel en penna finns. De är resultat av forskningsanalyser och kan ses som tillfälliga begrepp som här och nu kan fungera som redskap när vi i skolans värld diskuterar bedömningspraktiker i matematikklassrum. Det är just som sådana redskap diskurserna har fungerat i kommunforskningen om bedömning i matematikklassrum som hittills genomförts i Norrköping och Linköping. 5

6 Sex forskningsprojekt sett med diskurserna som redskap Här sammanfattas sex forskningsprojekt från perioden augusti 2012-december Under var och en av dessa tre terminer genomfördes ett forskningsprojekt i såväl Norrköping som i Linköping med fyra lärare från lika många skolor. Det tredje projektet i Linköping är det som denna rapport handlar om och det presenteras också sist i denna sammanfattning över de sex forskningsprojekten. Alla projekt beskrivs i kommunrapporter som också finns nedladdningsbara om man söker på Lisa Björklund Boistrup på denna sida: liu.diva-portal.org. I ett forskningsprojekt är det nödvändigt att hålla ett smalt fokus, inte minst när det ska genomföras på så kort tid som en termin. Vi har valt att begränsa oss till olika delar av diskurserna 3 och 4 i arbetet. Figur 1 visar de tre huvudaspekter som diskurserna handlar om. Bedömning Diskurs Fokus Uttrycksformer Figur 1. Diskursernas tre huvudaspekter. Under höstterminen 2012 i Norrköping använde vi diskurserna som redskap för att undersöka hur elevernas fokus i sitt eget arbete påverkades av det fokus som läraren hade i sina återkopplingar och frågor (se Figur 4 och 5). Figur 4 och 5. Bild som visar att återkopplingarnas fokus studerades samt kommunrapportens framsida. Vi kunde se att eleverna direkt följde läraren när hon ställde frågor och gav återkoppling och ställde frågor om elevens arbete i matematik. Vi kunde också se att lärarens fokus på matematik dröjde sig kvar i elevernas arbete efter att läraren lämnat dem och de arbetade vidare själva. 6

7 Under samma termin, det vill säga HT12, i Linköping intresserade vi oss främst för den delen som handlar om uttrycksformer och det vi fokuserade var vilken betydelse tystnader har i interaktionen mellan lärare och elev (se Figur 2 och 3) Figur 2 och 3. Bild av att uttrycksformer fokuserades särskilt under HT12 i Linköping samt framsidan av projektets rapport. Något vi kunde se i projektet var att när läraren oftare var tyst när hon gick runt och hjälpte sina elever med matematik blev det lättare att öka kvaliteten på samtalet med eleverna vad gällde vilka frågor läraren ställde eller vilken återkoppling som gavs. Även eleverna tog chansen att vara tysta och gav sig då tid att verkligen reflektera över matematiken. Under nästa termin, vårterminen 2013, fokuserade vi i båda kommunerna en specifik aspekt av uttrycksformer, nämligen elevers skrivande i matematik. I Norrköping handlade projektet om att undersöka hur lärarna genom ett arbete med elevloggböcker också kunde bjuda in eleverna att aktivt vara med och påverka såväl undervisning som sitt lärande i matematik baserat på självbedömningar (Figur 8 och 9). Figur 8 och 9. Bild som visar att uttrycksformers roller undersöktes och också bedömning samt bild på rapportens framsida. I projektet dokumenterade vi de strategier som lärarna utvecklade för elevloggböckerna, inte minst på vilka sätt eleverna blev engagerade i arbetet. Vi kunde urskilja tydliga tecken på att eleverna visade aktivt agentskap, och att detta ökade under projektets gång. 7

8 I Linköping samma termin, VT13, undersökte vi det som brukar kallas elevers självreglering i samband med ett arbete att låta elever bedöma och skriva om sitt lärande i matematik på olika sätt (Figur 6 och 7). Figur 6 och 7. Bild som visar att projektet handlade om bedömning och om uttrycksformers betydelse samt rapportens framsida. Vi kunde se ett ökat engagemang hos eleverna i matematik under arbetet och lärarna beskrev hur de fick stöd av att arbeta med elevers skrivande och olika aspekter av självreglering som vikten att eleven var med och tog ansvar för att hålla fokus på matematik, att övervaka hur sitt lärande i matematik gick samt att ingripa om så behövdes för att lärandet skulle gynnas. I denna genomgång har vi nu kommit till arbetet höstterminen Inriktningen i båda kommunerna var denna termin att arbeta med bedömning i vid mening inom en specifik del av matematiken. Detta illustreras av Figur 10. Figur 10. Bild som visar inriktningen på arbetet i både Norrköping och Linköping under höstterminen 2013 där det både var en specifik del av matematiken som inriktades på och också hur denna kunde bedömas. I forskningsprojektet i Norrköping undersökte vi hur lärare kan stötta och bedöma elevers muntliga kommunikation när undervisningsinnehållet är algebra (Figur 11). 8

9 Figur 11. Norrköpings rapport för HT13. I projektet i Norrköping HT13 utvecklade vi kunskap om när och hur lärare kan bedöma elevers muntliga kommunikation inom algebra. Vi tog också fram kunskap om vad bedömning av muntlig kommunikation inom algebra kan handla om. Det sjätte och sista projektet i denna beskrivning är Linköping-projektet från höstterminen Även här var det en del av matematiken som var i blickfånget och vi valde att undersöka på vilka sätt det var möjligt att erbjuda elever lärande inom matematikens fem förmågor när undervisningsinnehållet var huvudräkning. Vi kunde hitta rika möjligheter att betona alla fem förmågor i arbetet och vi kunde beskriva och urskilja några specifika aspekter för just huvudräkning. Hela denna rapport, inklusive våra resultat, handlar om just detta projekt. Projektets inriktning Syftet med forskningsprojektet under höstterminen 2013 i Linköping var att beskriva och analysera hur vi som speciallärare kan erbjuda elever möjligheter till lärande inom matematikkursplanens fem förmågor (problemlösning, hantera begrepp, hantera metoder, resonemang, kommunikation) när vi arbetar med grundläggande huvudräkning. Denna rapport utgår från dessa två frågeställningar: 1. Vad karaktäriserar situationer där elever erbjuds fördjupa sitt kunnande inom de fem olika förmågorna kopplat till huvudräkning? 2. Hur kan vi som lärare rikta uppmärksamheten mot de fem förmågorna när vi arbetar med huvudräkning? Ett underliggande syfte genom projektet var att identifiera hur vi som speciallärare kan fånga, följa och stödja elevernas lärande inom de fem förmågorna när vi arbetar med huvudräkning. Om denna rapport Med denna beskrivande rapport så riktar vi oss framför allt till kommunens alla lärare i matematik. Vi är samtidigt säkra på att andra kan ha glädje av att läsa om forskningsprojektet: lärare i andra ämnen, lärare i andra kommuner i Sverige, skolledare, tjänstemän inom kommunen, politiker etc. Denna rapport är främst inriktad på forskningen som vi genomförde under höstterminen 2013 om hur vi som lärare kan bedöma elevers muntliga kommunikation i matematik när 9

10 undervisningsinnehållet är algebra. Vi berättar kortfattat om aktionsforskningsprocessen och för den som vill läsa mer hänvisas till tidigare rapporter i kommunprojektet. När vi skriver vi i texten så menar vi alla oss i den forskande gruppen, såväl lärare som forskare. Lisa Björklund Boistrup, Carin Folkare, Birgit Jönsson, Annette Rydh, Maria Öberg Uhlin och Joakim Samuelsson. De resultat som presenteras är frukten av våra gemensamma analyser forskare och lärare tillsammans. För just denna rapport är det en av forskarna, Lisa, som har varit huvudförfattare, samtidigt har de forskande lärarna bidragit med klassrumsexempel som är med i rapporten och dessutom läst och haft synpunkter. Joakim, som liksom Lisa är forskare, var med i början av projektet och har därefter fungerat som Lisas bollplank. Vi tackar också matematikutvecklare Jessica Vesterlund för att du läste en tidigare version av denna rapport och gav synpunkter. Forskning om kompetens och förmågor i matematik samt om bedömning Vi gör här några nedslag i forskning som var relevant för vår studie. Kompetens och förmågor i matematik Det finns olika modeller av just matematikkompetens i litteraturen. Heuvel-Panhuizen (1996) lyfter fram vikten av att utgå från elevers verklighet i en bedömning som gynnar en bred kompetens i matematik. Den modell som hon beskriver kallas för Bedömning och realistisk matematikundervisning. Ett annat närliggande exempel är det som de Lange (1999) benämner som matematisk literacy, vilket kan beskrivas ungefär som den delen av matematikkompetensen som en person behöver som medborgare i ett samhälle idag. De gör en icke-hierarkisk lista på matematiska kompetensaspekter: matematiskt tänkande, matematisk argumentation, modellerande, problemställning och lösning, representation, symboler och formellt språk, kommunikation samt redskap. En liknande lista beskrivs av Niss (2003) när han beskriver ett danskt kompetensprojekt. Ett senare exempel från Sverige är Lithner m.fl. (2010) som presenterar ett ramverk för forskning där de definierar matematikkompetens uppdelat på ett antal förmågor. Dessa förmågor är: Problemlösningsförmåga Resonemangsförmåga Förmåga att tillämpa metoder Representationsförmåga Förmåga att göra kopplingar (till exempel mellan matematiska begrepp) Kommunikationsförmåga I detta arbete anknyter vi till förmågor av detta slag när vi undersöker hur vi kan arbeta brett med elevers möjliga lärande av förmågor när undervisningsinnehållet är huvudräkning. 10

11 Huvudräkning i matematik I forskningen beskrivs motiv för att stödja elevers kunskaper i huvudräkning. Ett exempel är Thompson (1999) som summerar motiveringar från tidigare forskning: 1. De flesta beräkningar i vuxenlivet görs i huvudet 2. Huvudräkning utvecklar insikt om taluppfattning 3. Huvudräkning utvecklar problemlösningsförmågan 4. Huvudräkning främjar att elever att klara senare skriftliga räknemetoder (Threlfall, 2002, sid. 29f; med referens till Thompson, 1999) I detta citat kan vi se kopplingar till flera olika förmågor som till exempel förmåga att hantera begrepp (taluppfattning) och problemlösning. Som vi kommer att visa i våra resultat så kunde vi i projektet verkligen arbeta med matematikämnets förmågor samtidigt som huvudräkning stod på schemat. Vad huvudräkning egentligen är var också något som vi arbetade med i projektet. Threlfall (2002) summerar att elever kan räkna korrekt på följande sätt: 1. Genom att minnas, eller bara veta ett talfakta (number fact) 2. Genom en enkel beräkningsprocedur, i vilken eleven reciterar talraden för sig själv 3. Genom att göra en mental representation av en papper och penna -metod (oftast en vertikal uppställning), och att arbeta igenom proceduren i huvudet 4. Genom att konstruera en sekvens av att transformera uppgiften för att nå en lösning, till exempel lösa 36 adderat med 28 genom att först addera 20 till 36 (vilket gör 56) och sedan tänka på de återstående 8 som adderas som två fyror, addera den första fyran för att göra 60 sedan addera de resterande 4 för att komma fram till 64 som svaret. Det som var i fokus i arbetet var främst punkt nummer 1 och punkt nummer 4 ovan. Å ena sidan är en aspekt av huvudräkning att minnas beräkningar som eleven har en förståelse av (punkt 1). Å andra sidan är det viktigt att eleven har strategier att ta till när eleven inte vet svaret på en uträkning (punkt 4). Bedömning i denna rapport När vi i denna rapport skriver om bedömning så är det i samma breda mening som vi skrev i den inledande delen. Därmed är bedömning en aspekt som är närvarande i all interaktion och den kan handla om såväl återkopplingar i det dagliga arbetet som bedömning med riktning mot betygsättning. Vårt arbete går att beskriva som att vi har strävat efter en bedömningspraktik i linje med diskurs 3, Öppenhet med matematik och diskurs 4, Resonemang tar tid med särskild tonvikt på de fem förmågor som beskrivs grundskolans kursplan i matematik när undervisningsinnehållet är huvudräkning. Vad Lgr 11 säger om förmågor i matematik och om huvudräkning Vi har å ena sidan haft stöd av tidigare forskning i vårt projekt. Å andra sidan har vi genom hela projektet läst och förhållit oss till det som står i styrdokumenten. Härigenom har vi också som ett led i forskningsprojektet kritiskt analyserat det som står i matematikens kursplan i Lgr 11. I den del i 11

12 matematikkursplanen som handlar om syftet med matematikundervisningen sammanfattas de långsiktiga målen med matematikundervisningen: Genom undervisningen i ämnet matematik ska eleverna sammanfattningsvis ges förutsättningar att utveckla sin förmåga att formulera och lösa problem med hjälp av matematik samt värdera valda strategier och metoder, använda och analysera matematiska begrepp och samband mellan begrepp, välja och använda lämpliga matematiska metoder för att göra beräkningar och lösa rutinuppgifter, föra och följa matematiska resonemang, och använda matematikens uttrycksformer för att samtala om, argumentera och redogöra för frågeställningar, beräkningar och slutsatser. I kunskapskraven är de fem förmågorna centrala. Ett exempel är detta stycke som är ur kunskapskravet för Betyg E i årskurs 9: Eleven kan lösa olika problem i bekanta situationer på ett i huvudsak fungerande sätt genom att välja och använda strategier och metoder med viss anpassning till problemets karaktär samt bidra till att formulera enkla matematiska modeller som kan tillämpas i sammanhanget. Eleven för enkla och till viss del underbyggda resonemang om val av tillvägagångssätt och om resultatens rimlighet i förhållande till problemsituationen samt kan bidra till att ge något förslag på alternativt tillvägagångssätt. Eleven har grundläggande kunskaper om matematiska begrepp och visar det genom att använda dem i välkända sammanhang på ett i huvudsak fungerande sätt. Eleven kan även beskriva olika begrepp med hjälp av matematiska uttrycksformer på ett i huvudsak fungerande sätt. I beskrivningarna kan eleven växla mellan olika uttrycksformer samt föra enkla resonemang kring hur begreppen relaterar till varandra. Eleven kan välja och använda i huvudsak fungerande matematiska metoder med viss anpassning till sammanhanget för att göra beräkningar och lösa rutinuppgifter inom aritmetik, algebra, geometri, sannolikhet, statistik samt samband och förändring med tillfredsställande resultat. Eleven kan redogöra för och samtala om tillvägagångssätt på ett i huvudsak fungerande sätt och använder då symboler, algebraiska uttryck, formler, grafer, funktioner och andra matematiska uttrycksformer med viss anpassning till syfte och sammanhang. I redovisningar och diskussioner för och följer eleven matematiska resonemang genom att framföra och bemöta matematiska argument på ett sätt som till viss del för resonemangen framåt. Det finns flera skäl att vilja fokusera just huvudräkning i ett forskningsprojekt som detta och några har vi redogjort för ovan i tidigare forskning. Ett självklart skäl är att det är en självklar del i kursplanen i matematiks centrala innehåll, i grundskolans alla stadier. Så här står det under rubriken Taluppfattning och tals användning: I årskurs 1-3 [ ] 12

13 De fyra räknesättens egenskaper och samband samt användning i olika situationer. [ ] I årskurs 4-6 [ ] Centrala metoder för beräkningar med naturliga tal och enkla tal i decimalform vid överslagsräkning, huvudräkning samt vid beräkningar med skriftliga metoder och miniräknare. Metodernas användning i olika situationer. I årskurs 7-9 [ ] Centrala metoder för beräkningar med tal i bråk- och decimalform vid överslagsräkning, huvudräkning samt vid beräkningar med skriftliga metoder och digital teknik. Metodernas användning i olika situationer. Som tidigare nämnts genomfördes projektet i årskurserna 3 och 9. Vi intresserade oss därmed för olika aspekter av huvudräkning, vilket också avspeglas av det centrala innehållet i citatet ovan. Dessa styrdokument är en grund för undervisningen och dess bedömningar medan de för forskningen mer är en bakgrund som också utgjorde en yttre ram för lärarnas arbete. Analytiska utgångspunkter Det finns olika metoder och teorier för hur man kan forska om det som sker i ett klassrum. I den slutliga analysen som vi presenterar här i rapporten utgår vi från en struktur som just fokuserar interaktioner mellan elever samt mellan elever och lärare. Bedömning som interaktion I det projekt vi skriver om här väljer vi att se på bedömning som interaktion mellan människor om ett kunskapsinnehåll. I första hand är det mellan lärare och elev som interaktionen sker och bedömningen handlar då dels om en person (eleven) som visar kunnande i matematik och en person (oftast läraren) som ska fånga det kunnande i matematik som eleven visar. Dessutom handlar det om hur läraren möjliggör för eleven att visa kunnande i matematik. Det kunnande som vi har intresserat oss för är matematikens fem förmågor från kursplanen och huvudräkning. En modell för att analysera klassrumspraktiker I denna rapport använder vi oss av en modell som tar ett helhetsperspektiv på undervisning. Modellen har konstruerats av Selander och Kress (2010) och den kan användas till att analysera de processer som äger rum i ett klassrum. Modellen ingår i ett designteoretiskt perspektiv på undervisning och lärande. Det perspektivet handlar inte om design i traditionell mening utan har ett fokus på lärande som kommunikation och teckenskapande aktiviteter, kombinerat med ett intresse för hur klassrummet påverkas av dess inramning av skolan som institution. I den modell som Selander och Kress (2010) presenterar ligger intresset på undervisning och lärande som en helhet, inte på bedömning i synnerhet. Författarna kallar modellen för Lärandesekvens och den syns i Figur

14 Figur 12. En lärandesekvens med ett designteoretiskt perspektiv (Selander & Kress, 2010, s. 114). Denna modell återfinns i en interaktiv variant på Selander & Kress (2010) beskriver hur en sekvens, enligt modellen i Figur 12, startar när läraren introducerar en ny aktivitet eller ett nytt arbetsområde och då fastställer villkoren för just det arbetet. I modellen kallas detta för iscensättning. I matematikundervisningen är det inte helt ovanligt att en matematiklektion startar med en genomgång och det är just ett exempel på det som i modellen kallas iscensättning. Sedan arbetar eleverna med uppgiften (under den första transformationscykeln) och de använder olika uttrycksformer (resurser) för att forma och omforma den matematik de uttrycker. I det arbetet ingriper ibland läraren och det sker olika bedömningar. Här erkänns elevernas kommunikation (eller inte) som tecken på lärande i matematik. Den andra transformationscykeln kan bland annat innehålla möjligheter för elever att representera och kommunicera sitt arbete för läraren och för andra elever. Här finns också utrymme för reflektioner och diskussioner. Denna andra process, transformationscykel, kan i matematikundervisningen ske på olika sätt. Ibland kan det vara så att klassen har arbetat med samma uppgifter och lektionen avslutas med en gemensam stund där elever får visa, representera, sina lösningar inför hela klassen. Modellen kan också avspegla en längre process som ett arbetsområde inom matematik. Den sista tranformationscykeln kan då handla om att man tillsammans summerar vad arbetsområdet handlat om. Här kan det också ske summerande prov. Selander och Kress (2010) skriver att om målen, liksom förväntningar av process och produkt, är tydligt definierade och förklarade i början av arbetsperioden så kommer både elever och lärare att ha ett kraftfullt verktyg för reflektion och utvärdering. Modellen illustrerar undervisning som en helhet med olika aspekter belysta och detta passar väl med vårt forskningsintresse. Den första frågeställningen handlar om vad som karaktäriserar situationer där elever erbjuds fördjupa sitt kunnande inom de fem olika förmågorna kopplat till huvudräkning. Den hör ihop med modellens vänstra del där de förutsättningar som ges eleverna 14

15 fokuseras. Hur läraren genomför sin planering, det vill säga iscensätter undervisningen är en del av denna frågeställning. Vår andra fråga handlade om hur vi som lärare kan rikta uppmärksamheten mot de fem förmågorna när vi arbetar med huvudräkning. Den passar väl till modellens mittersta del där det dagliga pågående arbetet i matematik är i fokus. Här intresserade vi oss för interaktionerna i arbetet med matematik, i vårt fall förmågorna och huvudräkning. Den andra frågan har också koppling till den högra delen av modellen när det handlar om att rikta uppmärksamheten mot matematiken fem förmågor i en avslutande del av arbetet. Ett underliggande syfte i projektet handlade om hur vi kan fånga, följa och stödja elevernas lärande inom de fem förmågorna när vi arbetar med huvudräkning. Detta syfte fångar det vi menar med bedömning i vid mening. Bedömning av detta slag pågår såväl i de mittersta processerna i modellen som i den högra där även slutbedömningar äger rum. Vi återkommer till modellen när vi sammanfattar och diskuterar våra resultat. Lärande I skolans värld riktar sig intresset mot elevers lärande i skolämnen, i vårt fall skolämnet matematik. I det här projektet var vi intresserade av elevers synliga lärande (Hattie, 2012). Med detta menar vi att det lärande som vi som lärare kan fånga är det som elever visar. En sätt att se på lärande då är att det handlar om att mer och mer kommunicera inom skolämnet matematik med de uttrycksformer som används inom matematiken och på ett sätt som anses acceptabelt inom ämnet (Björklund Boistrup, 2013; Selander & Kress, 2010). Med ett sådant synsätt talar man inte om vad en elev kan eller inte kan som om detta gick att fånga helt säkert. I stället handlar det om vilket matematiskt kunnande en elev har visat vid ett eller flera tillfällen och också om hur eleven har visat det. Här ingår hur elevens visade kunnande på olika sätt kan uppmärksammas och erkännas. Elever kan visa kunnande med olika uttrycksformer och både muntligt och skriftligt. I denna rapport är det framför allt elevens förmågor i matematik i relation till huvudräkning som vi intresserar oss för. Sammanfattning Vi har här berättat om våra analytiska utgångspunkter. Dessa handlar om att vi ser på bedömning som interaktion och vi presenterade också en modell som vi använder som struktur för vår resultatredovisning längre fram. Det lärande vi intresserar oss för är det synliga lärandet som elever kan visa. Metod Här berättar vi hur vi la upp arbetet med att beskriva och analysera hur vi som speciallärare kan erbjuda elever möjligheter till lärande inom matematikkursplanens fem förmågor (problemlösning, hantera begrepp, hantera metoder, resonemang, kommunikation) när vi arbetar med grundläggande huvudräkning. Genomförande Vårt genomförande handlar dels om hur vi samarbetade som lärare och forskare. Dels handlar det om hur vi genomförde själva forskningen. Det praktiska arbetet Aktionsforskningsprojektet, (se Atweh, 2004; Skovsmose & Borba, 2004) som vi under höstterminen 2013 har genomfört har inneburit att fyra speciallärare arbetat tillsammans med forskare under en 15

16 termin. De årskurser som var särskilt berörda av forskningsprojektet är årskurs 3 och 9. Lärarna och forskarna har träffats sju gånger under terminen för att diskutera och analysera material som samlats in under processen. Lisa har varit ute och besökt varje lärare på respektive skola under terminen. Utöver detta har den forskande gruppen, det vill säga lärare och forskare, haft kontakt via e-post. Mellan mötena skrev lärarna egna reflektioner kring hur arbetet gick med att arbeta med matematikens fem förmågor tillsammans med huvudräkning samt vilka strategier lärarna använde sig av för att stötta eleverna. Dessa reflektioner togs sedan upp och diskuterades på nästkommande seminarium. Diskussionerna rörde dels vad lärarna hade skrivit, dels hur man som lärare ville förbättra sig för det som undersökningen handlade om. Detta upprepades sedan vid varje seminarium, det vill säga att lärarna och forskarna analyserade undervisningen och diskuterade den fortsatta undervisningen och hur forskningen skulle gå till framöver. Forskningsinsamlingsmetoder De metoder vi valde hade syftet att hjälpa oss att svara på våra frågor. Vi använde oss av ljud- och videoinspelningar samt skriftligt material via lärarnas loggböcker, elevarbeten och minnesanteckningar. På så sätt kunde vi fånga lärarnas analyser av sin undervisning. Sammanfattningsvis bestod vårt forskningsmaterial av följande: Lärares loggar. De medverkande lärarna skrev under hela terminen loggar över sin matematikundervisning. Ljudinspelningar av lektioner Elevarbeten och uppgifter Filmer från Lisas besök i de deltagande klassrummen Minnesanteckningar från våra seminarier. Vi turades om att skriva minnesanteckningar från våra forskningsseminarier. I dessa försökte vi särskilt få med reflektioner och preliminära analyser. Genom detta datamaterial fick vi olika sorters inblickar i klassrummets processer vilket var gynnsamt för våra analyser. Allt insamlat material togs om hand i sin helhet av Lisa. De som har tillgång till materialet från ett klassrum, även efter forskningsperioden, är respektive lärare och Lisa. Etiska överväganden Medverkande lärare och forskare skrev under en gemensam överenskommelse när vi träffades första gången. Ett exempel här är att vi lovade att inte berätta för andra om individuella lärares framgångar och eventuella tillkortakommanden i sitt klassrum. Det var viktigt för oss att vi kunde känna oss trygga i gruppen. Vi har samlat in materialet på ett sätt som gör att elever hålls anonyma. Vi har också sett till att inga elevers identiteter ska kunna avslöjas i artiklar och rapporter. Om någon elev var emot att filmas så gjordes inte detta för just den eleven. Sammanfattningsvis kan man säga att vi fullföljde Vetenskapsrådets etiska principer (Vetenskapsrådet, 2008) och vi strävade också efter att det inte på något sätt skulle vara obehagligt att vara med i forskningsprojektet (se Björklund Boistrup, 2010). 16

17 Sammanfattning I det ovanstående har vi beskrivit hur vi har arbetat med vårt forskningsprojekt, vilka val vi gjort och varför dessa val är gjorda. I nästa avsnitt beskrivs vad vi kommit fram till vad gäller vårt ararbete med matematikens fem förmågor och huvudräkning. Vad vi kom fram till våra resultat Som vi tidigare berättat så var syftet med forskningsprojektet att beskriva och analysera hur vi som speciallärare kan erbjuda elever möjligheter till lärande inom matematikkursplanens fem förmågor (problemlösning, hantera begrepp, hantera metoder, resonemang, kommunikation) när vi arbetar med grundläggande huvudräkning. Vår resultatbeskrivning har en struktur som påverkas av våra frågeställningar som vi därför upprepar här: 1. Vad karaktäriserar situationer där elever erbjuds fördjupa sitt kunnande inom de fem olika förmågorna kopplat till huvudräkning? 2. Hur kan vi som lärare rikta uppmärksamheten mot de fem förmågorna när vi arbetar med huvudräkning? Vi berättar först våra resultat för de två frågorna med en förmåga i taget. Vi börjar alltså med att berätta vad som karaktäriserar situationer där elever erbjuds fördjupa sitt kunnande om problemlösning när innehållet är huvudräkning det vill säga fråga 1. Därefter stannar vi inom problemlösning och berättar om hur vi som lärare kan rikta uppmärksamheten mot just problemlösning när vi arbetar med huvudräkning det vill säga fråga 2. På samma sätt går vi igenom alla de fem matematikförmågorna. De enskilda delarna i det vi berättar kommer en matematikengagerad lärare känna igen sig i. Det främsta kunskapstillskottet som vi presenterar är en helhetssyn på matematikens förmågor i relation till huvudräkning. I rapportens avslutande del sammanfattar vi våra resultat och diskuterar dem i relation till modellen i Figur 12 samt bedömningsdiskurserna från rapportens inledning. Problemlösning när innehållet är huvudräkning Här fokuserar vi på problemlösning och vad vi har kommit fram till för just den förmågan. Vad karaktäriserar situationer för problemlösning? I vår analys identifierade vi situationer där eleverna erbjöds att fördjupa sitt kunnande inom problemlösning kopplat till huvudräkning. Vi kunde se hur problemlösning i sig kan utgöra ett motiverande sammanhang för eleverna att öva huvudräkning. Ett exempel var när en av de medverkande lärarna arbetade med talserier. Vid ett tillfälle hade eleverna på olika sätt fått möta Fibonaccis talserier. Så här skrev läraren i sin loggbok: Berättar om Leornardo Fibonacci från Italien-Pisa. Hur han i naturen för 800 år sedan upptäckte matematiska talföljder, Fibonaccis talföljd: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 56...Visar hur man räknar ut talföljen, hur snäckor byggs upp med matematiska mått(visade bild). Eleverna får klura och försöka hitta koden till Fibonaccis talföljd. Berättar att nästkommande tal är summan av de föregående. De ser mönstret och vi räknar ut tal för tal. [ ] Här blir det mycket huvudräkning. Uppgift: Eleverna får med sig tallkottar hem för att fortsätta klura ut hur 17

18 många spiraler tallkotten har, medsols resp. motsols. Titta hemma, ute och i matvaruaffären/ grönsaksdisken. Kan ni hitta Fibonaccis talföljd? (Lärarlogg). Vid nästa tillfälle följde läraren upp det eleverna gjort hemma. De fick visa på sina tallkottar vad de kommit fram till (Figur 13) och också räkna på bilder av tallkottar. Figur 13. En elev räknar antalet spiraler på en tallkotte och kommer fram till att det är 5 spiraler medsols och 8 motsols. I Figur 13 identifierar eleven spiralerna på tallkotten och ser också att både antalet spiraler medsols (5) och motsols (8) ingår i Fibonaccis talserie. I projektet identifierade vi också problemlösningsuppgifter som kunde karaktäriseras av att de gärna löstes med överslagsberäkningar. Det kunde handla om uppgifter som var kopplade till vardagen, till exempel där eleverna ska räkna ut hur många frukter av olika slag de kan köpa för en viss summa. Det kunde också handla om inommatematiska uppgifter. Ett exempel på en sådan uppgift var Tänk till tusen. Detta är en uppgift där tre tre-siffriga tal ska adderas i en uppställning. Vilka siffrorna kan vara bestäms genom en tiosidig tärning. För deltagarna handlar det om att placera ut varje siffra på de tomma platserna. Den som på slutet kommer närmast 1000 har vunnit spelet. I arbetet ingår en hel del uppskattningar i kombination med resonemang om positionssystemet. I Figur 14 syns två elevers lösningar till samma spelomgång. Figur 14. Två olika elevers lösningar till samma spelomgång av Tänk till tusen. 18

19 I Figur 14 har eleverna placerat siffrorna på olika sätt vilket har lett till olika resultat. I spelet ingår att de måste uppskatta totalsumman utifrån olika möjliga scenarier. De fick alltså göra olika överslagsberäkningar. Vi kunde också se att det underlättade att uppmärksamma hur eleverna genomförde beräkningarna på olika sätt. Genom att eleverna fick berätta om hur de löste beräkningarna i huvudet så blev dessa en del av problemlösningsprocessen. Något vi diskuterade i arbetet var hur i skulle hantera att eleverna tog hjälp av konkret material för att lösa beräkningar i huvudet. Från ett problemlösningsperspektiv är det angeläget att vara uppmärksam på i vilken fas och vilket konkret material som ska tas fram för att stödja elevernas beräkningar. Om eleverna alltför lätt får ta hjälp av konkret material så missas möjligheter för att beräkningarna i sig tas tillvara som problemlösningssituationer. Vi diskuterade också vikten av att använda uppgifter som går att försvåra och förenkla vad gäller beräkningar och talområde, till exempel att olika elever arbetar inom olika talområden, fast själva uppgiften är likadan (se Löwing, xx). Rikta uppmärksamheten mot problemlösning Om den första frågeställningen handlade om vad som kännetecknar situationer där eleverna får arbeta inom matematikens förmågor så handlade den andra frågeställningen om hur vi som lärare kan rikta vår och elevernas uppmärksamhet mot förmågorna när vi arbetar med huvudräkning. Vår inriktning är därmed att det inte räcker med att skapa situationer för elevernas lärande utan att det också är centralt hur vi sedan genomför arbetet och då behåller uppmärksamheten på matematikens förmågor. En väg för detta är att ställa frågor som är bjuder in eleverna att engagera sig i matematik. Andra sätt är vissa lärarhandlingar som påverkar uppmärksamheten. Frågor för problemlösning exempel I våra analyser identifierade vi frågor att ställa eleverna där vi kunde se en relation till problemlösning och huvudräkning. Här är exempel på sådana frågor: Vad kan svaret ungefär bli? Vad tyckte du var svårt när det gäller beräkningar? När det handlar om frågor kunde vi som lärare uppmärksamma vad eleverna frågade efter i själva frågeställningen. Handlingar som medverkar till uppmärksamhet på problemlösning När i gick igenom vårt forskningsmaterial identifierade vi de handlingar vi som lärare gjorde som bjöd in eleverna till problemlösningsförmågan och huvudräkning. En sådan handling är att eleven får möjlighet att använda huvudräkning som redskap för att lösa problem. Detta kan låta självklart, men är ändå värt att uppmärksamma. Om vi exempelvis alltid låter eleverna använda miniräknare för att lösa beräkningar så får de inte möjligheten att använda huvudräkning som ett redskap. Självklart måste svårighetsnivån på beräkningarna vara rimliga för eleverna. Vi kunde vidare se fördelarna med att välja problem som i sig väcker elevers engagemang samtidigt som beräkningarna har ett syfte. Ett exempel på detta är lektionen om Fibonaccis talserie som vi 19

20 beskrev tidigare. Under lektionen fick eleverna visa hur de tänkte när de adderade de två sista talen i talserien för att få nästa tal (Figur 15). Figur 15. En elev skriver Fibonaccis talserie på tavlan och berättar sina strategier för att ta reda på nästa tal. Under lektionen övade eleverna på huvudräkning i ett sammanhang de verkade inspirerades av. Efter arbetet med Fibonaccis talserier arbetade läraren och eleverna med andra talserier. Det var inte självklart hur serierna var konstruerade och inte heller hur de skulle räkna fram nästa tal i varje serie. Därmed arbetade eleverna bland annat med problemlösning samtidigt som de övade på att räkna i huvudet, beräkningarna hade därmed ett syfte. Som tidigare nämnts kan vi som lärare låta beräkningarna i sig framträda som problem att stanna upp vid, vilket kan berika undervisningen. Nästan alla lektioner kan innehålla ett visst mått av problemlösning om vi som lärare lyssnar in eleverna och ger dem tid att tänka och kommunicera. Använda och analysera begrepp när innehållet är huvudräkning Nästa förmåga i vår resultatredovisning är att använda och analysera begrepp, vilket vi också benämner hantera begrepp. Vad karaktäriserar situationer där elever får använda och analysera begrepp? Först beskriver vi våra svar på den första forskningsfrågan när det gäller begrepp. Då belyser vi vad som karaktäriserar situationer där elever erbjuds fördjupa sitt kunnande om att använda och analysera begrepp koppat till huvudräkning. I våra analyser kunde vi se att situationer av detta slag ofta karaktäriserades av att eleverna fick chans att se nyttan med att kunna begrepp, ja till och med att få chans att känna behov av kunskap om begreppshantering. Under lektionen som vi beskrev ovan om Tänk till tusen var detta mycket tydligt eftersom eleverna mer och mer identifierade att kunskap om talsorter hjälpte dem att komma närmare och närmare Bland annat diskuterade läraren och eleverna om att hundratalssiffrorna var de viktigaste och påverkade summans storlek mer än tiotals- och entalssiffrorna. I Figur 16 kan vi se en elevs första lösning under lektionen samt den andra som var efter att läraren och eleverna hade diskuterat betydelsen av talsorterna och siffrornas placering. 20

21 Figur 16. En elevs lösningar på Tänk till tusen i början av lektion och i slutet. I Figur 16 kan vi se hur en elev har placerat sifforna 1; 2 och 2 på hundratalsplatserna vilket ger en summa som är avsevärd lägre än I det nedre exemplet kan vi se hur samma elev valt siffrorna 4 och 3 på hundratalsplatsen till att börja och sedan 1 vilket gör att totalsumman hamnar betydligt närmare När vi gick igenom vårt material kunde vi se att situationerna där eleverna fick arbeta med att hantera begrepp när innehållet var huvudräkning karaktäriserades av att eleverna fick reflektera över språkliga aspekter i vid mening. Detta handlade dels om matematiska begrepp som till exempel hälften, dubbelt eller de ovan nämnda talsorterna. Dels handlar detta om vardagsbegrepp som varsin eller vad det innebär att två kamrater enas om något. Vad gäller begreppshantering kunde vi identifiera att det ibland var en poäng att eleverna erbjöds visst stöd för minnet när de ska räkna i huvudet. Ett sådant stöd för minnet kan vara en plansch på väggen med några utvalda multiplikationer ur tabellen eller en elevs egna minnesanteckningar. Huvudräkning handlar inte bara om begrepp relaterade till taluppfattning utan också om att till exempel kunna förstå begrepp som de fyra räknesätten. I sammanhang när detta är i fokus är det en poäng om elever som har svårt att automatisera tabeller får lite stöd för minnet. Andra situationer Så här skriver en lärare i sin logg för problemlösning i samband med begreppshantering: Ha fusklappar på väggen som repetition att kunna snegla på (Lärarlogg). Målet är självklart att eleverna ska klara sig utan dessa hjälpmedel men i ett arbete där vi vill bjuda in eleverna till olika förmågor i matematik kan en metod som dessa vara en strategi. Rikta uppmärksamheten mot att använda och analysera begrepp När vi analyserade hur vi som lärare kan rikta uppmärksamheten mot att använda och analysera begrepp när vi arbetar med huvudräkning kunde vi identifiera relevanta frågor och handlingar av olika slag. 21

22 Frågor för begreppshantering exempel I våra analyser identifierade vi frågor att ställa eleverna där vi kunde se en relation till begreppshantering och huvudräkning. Här är exempel på sådana frågor: Vad innebär detta? Vad kallas detta? Varför valde du det sättet att räkna? De två första frågorna är generella och passar för begrepp inte bara inom huvudräkning. Den första handlar om att kunna beskriva vad ett begrepp står för, dess innehåll. Den andra frågan fokuserar på terminologin, det vill säga att kunna namnge begrepp av olika slag. Den tredje frågan riktar sig i och för sig mot metodhantering som är en annan förmåga, men den riktar sig mot en begreppslig aspekt av denna. Handlingar som medverkar till uppmärksamhet på att använda och analysera begrepp Något som vi kunde urskilja i vårt material är att elevernas synliga uppmärksamhet på att använda och analysera begrepp påverkades positivt när deras förståelse utmanades. I det följande har en av de deltagande lärarna gett eleverna följande uppgift (Figur 17): Figur 17. Uppgift som eleverna fick arbeta med. Den kommer ursprungligen från ett Skolverksmaterial, Måns och Mia. Eleverna fick möjlighet att tänka en stund och de uppmanades också att göra anteckningar för sina strategier. Efter en stund fick eleverna berätta hur de har löst uppgifterna. Läraren tog då tillfället i akt att fokusera på begrepp som hör till taluppfattning och hon tog också stöd av konkret material (Figur 18). Figur 18. Elever och lärare diskuterar att talet 32 består av 3 tiotal och 2 ental med stöd av konkret material. 22

23 I situationen som visas i Figur 8 var eleverna tydligt utmanade i sin förståelse av tiotalen och entalens betydelse. I just denna del av samtalet visar läraren hur talet 32 består av tre tiotal och två ental. Eleverna använder dessa när de berättar om hur de löst uppgiften och i och med detta så använder de och analyserar begreppen tiotal och ental. I situationen ovan erbjöd läraren eleverna att använda två matematikbegrepp, tiotal och ental, som redskap. Detta var också ett generellt tema som vi identifierade för hur vi som lärare kunde rikta uppmärksamheten mot att använda och analysera begrepp samtidigt som vi arbetade med huvudräkning. Detta var ju inte första gången som denna lärare och elever talade om dessa begrepp, vilket illustrerar ett annat tema i våra resultat här: vikten av att återkommande träna centrala begrepp och att då repetera med variation. Vi kunde också se i vårt material hur lärarna i projektet gjorde kopplingar mellan vardagliga begrepp och matematiska. Exempel på relevanta begrepp för huvudräkning är: talsorter (till exempel tiotal, tiondelar) hälften/dubbelt större/mindre än mer/mindre än nästan knappt drygt färre Något som vi diskuterade och fokuserade i projektet är vikten av att vi som lärare använder ett relevant och korrekt matematiskt språk, inte minst när vi ger återkoppling till eleverna. Välja och använda metoder när innehållet är huvudräkning Den tredje förmågan i vår resultatredovisning är att välja och använda begrepp. Vi benämner denna förmåga också som att hantera begrepp. Vi kunde se flera kopplingar till begreppsförmågan när vi identifierade våra resultat på de två första frågeställningarna för denna förmåga. Vad karaktäriserar situationer där elever får arbeta med att välja och använda metoder Här berättar vi vad vi kom fram till på frågan vad som karaktäriserar situationer där elever erbjuds fördjupa sitt kunnande om att välja och använda lämpliga matematiska metoder kopplat till huvudräkning. Även om huvudräkning i sin snävaste form enbart sker i huvudet så avser vi i denna rapport också sådana beräkningar där eleverna använder några yttre uttrycksformer som till exempel att uttrycka sig i skrift. Matematikens metoder uttrycks med olika uttrycksformer. I skriftlig form förekommer ofta symboler men också uttrycksformer som ord, figurer osv. Matematik diskuteras också i muntliga sammanhang även inom matematisk forskning och här tillkommer talat språk och gester. I projektet kunde vi se att gynnsamma situationer för att hantera metoder karakteriserades av en tillgång till att använda relevanta uttrycksformer och material när eleverna arbetar med huvudräkning. Ett exempel är Figur 18 där eleverna kunde använda sig av laborativt material för att förklara hur de löste