Matematik för språkteknologer

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "Matematik för språkteknologer"

Transkript

1 1 / 23 Matematik för språkteknologer Mängdlära Mats Dahllöf Institutionen för lingvistik och filologi Januari 2015

2 Mängdlära matematik för kategorier En mängd svarar mot en helt godtycklig kategori. Elementrelationen ( ) är kopplingen mellan en sak och varje mängd i vilken saken ingår. (Negerad:.) (Ingen vaghet: antingen eller.) Tomma mängden, /0, är den (enda) mängd som saknar element. M = N om och endast om M och N har precis samma element gäller generellt. (Extensionalitetsprincipen.) 2 / 23

3 3 / 23 Mängdlära relationer symbol negerad namn element = ekvivalens inklusion/delmängd

4 4 / 23 Mängdlära operationer symbol namn definition union M N = {x x M eller x N} snitt M N = {x x M och x N} \ differens M \ N = {x x M och x N} M c komplement M c = {x x U och x M}

5 5 / 23 En mängd, med exempel M mängden av huvudstäder. M Oslo Berlin Paris Tokyo Osaka Åbo Lyon Milano Uppsala

6 M är en delmängd till N (M N) om och endast om varje element i M också ingår i N. (Negerad form:.) 6 / 23 Alla urval ger en mängd Om vi utgår från en mängd med tre element finns sju mindre mängder. 1. {Berlin, Oslo, Paris} 5. {Berlin} 2. {Berlin, Oslo} 6. {Oslo} 3. {Berlin, Paris} 7. {Paris} 4. {Oslo,Paris} 8. {} (hellre: /0) Alla är delmängder till den första, t.ex. {Oslo, Paris} {Berlin, Oslo, Paris}

7 Delmängd: M N Två visualiseringar: M N N M Alla M-element är också N-element. (Inga M-element ligger utanför N.) Streckad yta är tom. 7 / 23

8 8 / 23 Exempel Sanningar (med naturliga tolkningar av orden/namnen): {Bush, Nixon} {Nixon, Thatcher, Clinton, Reagan, Bush} {Platon,Descartes,Kant} {x x är en filosof} {Bush,Nixon,Platon} {Nixon,Thatcher,Clinton,Bush} {Stockholm,Oslo,Uppsala} {x x är en huvudstad}

9 9 / 23 Uppräkningar och beskrivningar Uppräkning: {Helsingfors, Köpenhamn, Oslo, Reykjavik, Stockholm} Beskrivning: {x x är en nordisk huvudstad} Över- och underordnade begrepp: {x x är en hammare} {x x är ett verktyg} {x x är ett par svarta jeans} {x x är ett klädesplagg}

10 Disjunkthet: M N Två visualiseringar: M N M N Inga M-element är också N-element, och därmed vice versa. (Alla M-element ligger utanför N, och därmed vice versa.) 10 / 23

11 11 / 23 Exempel Sanningar (med naturliga tolkningar av orden/namnen): {Bush, Nixon} {Thatcher, Clinton, Reagan, Obama} {Platon,Descartes,Kant} {x x är en kvinnlig filosof} {Malmö,Göteborg,Uppsala} {x x är en huvudstad} Ömsesidigt uteslutande begrepp: {x x är en katt} {x x är en hund} {x x är ett par svarta jeans} {x x är en T-shirt}

12 eller brukar i formell semantik vara ett inklusivt eller ( och/eller, snarare än antingen-eller ). 12 / 23 Union: A B M N M N = {x x M eller x N}

13 Union: A B exempel {Bush, Nixon} /0 = {Bush, Nixon} {Paris} {Oslo} = {Paris, Oslo} {Bush, Nixon} {Nixon, Carter} = {Bush, Nixon, Carter} {Matteus, Markus} {Lukas, Johannes} = {x x är evangelieförfattare} {x x är en enkrona} {x x är en femkrona} {x x är ett mynt} 13 / 23

14 14 / 23 Snitt (intersection): M N M N M N = {x x M och x N}

15 15 / 23 Snitt: M N exempel {Bush, Nixon} {Nixon, Carter} = {Nixon} {Matteus, Markus} {Lukas, Johannes} = /0 {x x är en enkrona} {x x är en femkrona} = /0 {x x är inte fullvuxen} {x x är en hund} = {x x är en valp} {x x är förkyld} {x x är en man} = {x x är en förkyld man}

16 16 / 23 Differens: M \ N och N \ M Skuggat: M \ N Skuggat: N \ M M N M N M \ N = {x x M och x N} N \ M = {x x N och x M}

17 Differens: A B exempel {Bush, Nixon} \ {Nixon, Carter} = {Bush} {x x är en hund} \ {x x är en valp} {x x är fullvuxen} {x x är katt} \ {x x är snäll} = {x x är en katt som inte är snäll} {x x är en enkrona} \ {x x är en femkrona} = {x x är en enkrona} {x x är en enkrona} \ {x x är ett mynt} = /0 17 / 23

18 18 / 23 Kardinalitet Storleken hos en mängd A kallas A:s kardinalitet och skrivs A. {0,1,2,7,15} = 5 Övningar: Hur förhåller sig A B, A B och A \ B till A och B? Vad kan vi säga generellt?

19 19 / 23 Kardinalitet Storleken hos en mängd A kallas A:s kardinalitet och skrivs A. {0,1,2,7,15} = 5 Övningar: Hur förhåller sig A B, A B och A \ B till A och B? Vad kan vi säga generellt? A B A + B A B A och A B B A \ B A

20 20 / 23 Potensmängd Potensmängden till en mängd A är mängden som består av alla delmängder till A. Potensmängden till A skrivs ofta P(A). P({0,1,2}) = {/0,{0},{1},{2},{0,1},{1,2},{0,2},{0,1,2}} P({0,1,2,7,15}) = 32 Varför?

21 Ordnade par Ordnade par är en typ av struktur: I ett par (x,y) kallar man x och y parets komponenter. Vitsen med ordnade par är att (x,y) = (z,w) om och endast om x = z och y = w. T.ex. (2,3) (3,2)! Det vill säga, ordningen mellan komponenterna spelar en roll. Mängdnotation rakt av på detta sätt funkar inte: {2,3} = {3,2}. (Mängden {2,3} definieras av sina element (2 och 3), men kodar ingen ordning dem emellan.) 21 / 23

22 22 / 23 Produktmängd (av ordnade par) Mängden av alla par (a,b) där a A och b B kallas för produktmängden av A och B. Den skrivs A B och kan beskrivas genom mängdbyggaren A B = {(a,b) a A och b B} Om A = {2,3} och B = {3,4,5}, så A B = {(2,3),(2,4),(2,5),(3,3),(3,4),(3,5)} Hur förhåller sig A B till A och B?

23 23 / 23 Fundera på (1) Ordnade par brukar definieras så här (Kuratowskis definition): (x,y) = {{x},{x,y}} Varför funkar det?

Semantik och pragmatik (serie 5)

Semantik och pragmatik (serie 5) Semantik och pragmatik (serie 5) (Predikat)logik Mängdlära överkurs (och repetition för en del). Mats Dahllöf Institutionen för lingvistik och filologi April 2015 1 / 41 Korsning av två egenskaper E 1

Läs mer

2 Mängdlärans grundbegrepp

2 Mängdlärans grundbegrepp UPPSALA UNIVERSITET Föreläsningsanteckningar Institutionen för lingvistik och filologi Grundläggande datalogi II Mats Dahllöf http://stp.ling.uu.se/~matsd/uv/uv04/gd2/ Augusti 2004 2 Mängdlärans grundbegrepp

Läs mer

Uppsala universitet Institutionen för lingvistik och filologi. Grundbegrepp: Mängder och element Delmängder

Uppsala universitet Institutionen för lingvistik och filologi. Grundbegrepp: Mängder och element Delmängder Mängder Joakim Nivre Uppsala universitet Institutionen för lingvistik och filologi Översikt Grundbegrepp: Mängder och element Delmängder Operationer på mängder: Union och snitt Differens och komplement

Läs mer

Semantik och pragmatik

Semantik och pragmatik Semantik och pragmatik OH-serie 4 http://stp.lingfil.uu.se/~matsd/uv/uv12/semp/ Mats Dahllöf Institutionen för lingvistik och filologi Januari 2012 Om barnet har svårt att andas eller har ont i bröstet

Läs mer

I kursen i endimensionell analys är mängden av reella tal (eng. real number), R, fundamental.

I kursen i endimensionell analys är mängden av reella tal (eng. real number), R, fundamental. Lunds tekniska högskola Datavetenskap Lennart ndersson Föreläsningsanteckningar EDF10 4 Mängder 4.1 Motivering Mängden är den mest grundläggande diskreta strukturen. Nästan alla matematiska begrepp går

Läs mer

Mängdlära och semantisk analys

Mängdlära och semantisk analys UPPSALA UIVERSITET Semantik och pragmatik Institutionen för lingvistik och filologi 2015 ats Dahllöf ängdlära och semantisk analys 1 ängder och semantik inledning En viktig komponent i människors förmåga

Läs mer

(N) och mängden av heltal (Z); objekten i en mängd behöver dock inte vara tal. De objekt som ingår i en mängd kallas för mängdens element.

(N) och mängden av heltal (Z); objekten i en mängd behöver dock inte vara tal. De objekt som ingår i en mängd kallas för mängdens element. Grunder i matematik och logik (2017) Mängdlära Marco Kuhlmann 1 Grundläggande begrepp Mängder och element 2.01 En mängd är en samling objekt. Två standardexempel är mängden av naturliga tal (N) och mängden

Läs mer

Logisk semantik I. 1 Lite om satslogik. 1.1 Konjunktioner i grammatisk bemärkelse. 1.2 Sant och falskt. 1.3 Satssymboler. 1.

Logisk semantik I. 1 Lite om satslogik. 1.1 Konjunktioner i grammatisk bemärkelse. 1.2 Sant och falskt. 1.3 Satssymboler. 1. UPPSALA UNIVERSITET Datorlingvistisk grammatik I Institutionen för lingvistik och filologi Oktober 2007 Mats Dahllöf http://stp.ling.uu.se/ matsd/uv/uv07/dg1/ Logisk semantik I 1 Lite om satslogik 1.1

Läs mer

Föreläsning 1: Tal, mängder och slutledningar

Föreläsning 1: Tal, mängder och slutledningar Föreläsning 1: Tal, mängder och slutledningar Tal Tal är organiserade efter några grundläggande egenskaper: Naturliga tal, N De naturliga talen betecknas med N och innehåller alla positiva heltal, N =

Läs mer

MA2047 Algebra och diskret matematik

MA2047 Algebra och diskret matematik MA2047 Algebra och diskret matematik Något om logik och mängdlära Mikael Hindgren 5 september 2018 Utsagor Utsaga = Påstående som har sanningsvärde Utsagan kan vara sann (S) eller falsk (F) öppen eller

Läs mer

Bonusmaterial till Lära och undervisa matematik från förskoleklass till åk 6. Ledning för att lösa problemen i Övningar för kapitel 5, sid 138-144

Bonusmaterial till Lära och undervisa matematik från förskoleklass till åk 6. Ledning för att lösa problemen i Övningar för kapitel 5, sid 138-144 Bonusmaterial till Lära och undervisa matematik från förskoleklass till åk 6 Ledning för att lösa problemen i Övningar för kapitel 5, sid 138-144 Avsikten med de ledtrådar som ges nedan är att peka på

Läs mer

Träning i bevisföring

Träning i bevisföring KTHs Matematiska Cirkel Träning i bevisföring Andreas Enblom Institutionen för matematik, 2005 Finansierat av Marianne och Marcus Wallenbergs Stiftelse 1 Mängdlära Här kommer fyra tips på hur man visar

Läs mer

Min syn på idéframställan

Min syn på idéframställan MDH Min syn på idéframställan Andreas Nilsson 2009-04-21 Examinator Rolf Lövgren Innehåll Inledning... 3 Hur ser jag på Idéframställan... 4 Metoder... 5 Beskrivna idé med ord... 5 Skiss... 6 Kavaljersperspektiv....

Läs mer

Mängder. 1 Mängder. Grunder i matematik och logik (2015) 1.1 Grundläggande begrepp. 1.2 Beskrivningar av mängder. Marco Kuhlmann

Mängder. 1 Mängder. Grunder i matematik och logik (2015) 1.1 Grundläggande begrepp. 1.2 Beskrivningar av mängder. Marco Kuhlmann Marco Kuhlmann 1 Diskret matematik handlar om diskreta strukturer. I denna lektion kommer vi att behandla den mest elementära diskreta strukturen, som alla andra diskreta strukturer bygger på: mängden.

Läs mer

TMS136. Föreläsning 1

TMS136. Föreläsning 1 TMS136 Föreläsning 1 Varför? Om vi gör mätningar vill vi modellera och kvantifiera de osäkerheter som obönhörligen finns Om vi handlar med värdepapper vill vi modellera och kvantifiera de risker som finns

Läs mer

JGL Målpilen Nytta Verktyg och metoder Genus över tid Lagar och överenskommelser Den könsuppdelade arbetsmarknaden Genusordningen Makt Förändring och motstånd Självinsikt Utbildningen syftar till att ge

Läs mer

Bildrutans uppgift MODIG

Bildrutans uppgift MODIG Bildrutans kort Din spelfigur har knyckt en cd-skiva från en butik och har nu dåligt samvete. Din spelfigur funderar på att föra tillbaka skivan. Ge tre orsaker till att skivan borde returneras till butiken.

Läs mer

Diskret matematik: Övningstentamen 4

Diskret matematik: Övningstentamen 4 Diskret matematik: Övningstentamen 22. Beskriv alla relationer, som är såväl ekvivalensrelationer som partiella ordningar. Är någon välbekant relation sådan? 23. Ange alla heltalslösningar till ekvationen

Läs mer

Matematik 92MA41 (15hp) Vladimir Tkatjev

Matematik 92MA41 (15hp) Vladimir Tkatjev Matematik 92MA41 (15hp) Vladimir Tkatjev Lite inspiration Går det att konstruera 6 kvadrater av 12 tändstickor? Hur gör man då? (Nämnaren, Nr 2, 2005) Litet klurigt kanske, bygg en kub av stickorna: Uppgift

Läs mer

K3 Om andra ordningens predikatlogik

K3 Om andra ordningens predikatlogik KTH Matematik Bengt Ek Maj 2005 Kompletteringsmaterial till kursen 5B1928 Logik för D1: K3 Om andra ordningens predikatlogik Vi presenterar på dessa sidor kortfattat andra ordningens predikatlogik, vilket

Läs mer

Automater. Matematik för språkteknologer. Mattias Nilsson

Automater. Matematik för språkteknologer. Mattias Nilsson Automater Matematik för språkteknologer Mattias Nilsson Automater Beräkningsmodeller Beräkning - (eng) Computation Inom automatateorin studeras flera olika beräkningsmodeller med olika egenskaper och olika

Läs mer

7, Diskreta strukturer

7, Diskreta strukturer Objektorienterad modellering och diskreta strukturer 7, Diskreta strukturer Sven Gestegård Robertz Datavetenskap, LTH 2015 Modeller Matematiska modeller Kontinuerliga modeller Kontinuerliga funktioner

Läs mer

Semantik och pragmatik (Serie 4)

Semantik och pragmatik (Serie 4) Semantik och pragmatik (Serie 4) Satser och logik. Mats Dahllöf Institutionen för lingvistik och filologi April 2015 1 / 30 Så här långt (satslogik) Konjunktion (p q): att två enklare satser båda är uppfyllda.

Läs mer

Grafer. 1 Grafer. Grunder i matematik och logik (2015) 1.1 Oriktade grafer. Marco Kuhlmann

Grafer. 1 Grafer. Grunder i matematik och logik (2015) 1.1 Oriktade grafer. Marco Kuhlmann Marco Kuhlmann 1 En graf är en struktur av prickar förbundna med streck. Ett tidsenligt exempel på en sådan struktur är ett social nätverk, där prickarna motsvarar personer och en streck mellan två prickar

Läs mer

Diskussionsproblem för Statistik för ingenjörer

Diskussionsproblem för Statistik för ingenjörer Diskussionsproblem för Statistik för ingenjörer Måns Thulin Rolf Larsson rolf.larsson@math.uu.se Jesper Rydén jesper.ryden@math.uu.se Senast uppdaterad 27 januari 2016 Diskussionsproblem till Lektion 3

Läs mer

Semantik och pragmatik

Semantik och pragmatik Semantik och pragmatik OH-serie 5 http://stp.lingfil.uu.se/~matsd/uv/uv12/semp/ Mats Dahllöf Institutionen för lingvistik och filologi Januari 2012 Så här långt Konjunktion (p q): att två enklare satser

Läs mer

Relationer och funktioner

Relationer och funktioner Relationer och funktioner Joakim Nivre Uppsala universitet Institutionen för lingvistik och filologi Översikt Relationer: Binära relationer på mängder Mängd-, graf- och matrisnotation Egenskaper hos relationer

Läs mer

10. Mängder och språk

10. Mängder och språk Objektorienterad modellering och diskreta strukturer 10. Mängder och språk Sven Gestegård Robertz Institutionen för datavetenskap, LTH 2013 Rekaputilation Vi har talat om satslogik, predikatlogik och härledning

Läs mer

Kapitel 1. betecknas detta antal med n(a). element i B; bet. A B. Den tomma mängden är enligt överenskommelsen en delmängd. lika; bet. A = B.

Kapitel 1. betecknas detta antal med n(a). element i B; bet. A B. Den tomma mängden är enligt överenskommelsen en delmängd. lika; bet. A = B. Kapitel 1 Mängdlära Begreppet mängd är fundamentalt i vårt tänkande; en mängd är helt allmänt en samling av objekt, vars antal kan vara ändligt eller oändligt. I matematiken kallas dessa objekt mängdens

Läs mer

Datorlingvistisk grammatik I Institutionen för lingvistik och filologi Oktober 2007 Mats Dahllöf

Datorlingvistisk grammatik I Institutionen för lingvistik och filologi Oktober 2007 Mats Dahllöf UPPSALA UNIVERSITET Datorlingvistisk grammatik I Institutionen för lingvistik och filologi Oktober 2007 Mats Dahllöf http://stp.ling.uu.se/ matsd/uv/uv07/dg1/ Logisk semantik II 1 Predikatlogik, generella

Läs mer

729G74 IT och programmering, grundkurs. Tema 1, Föreläsning 3 Jody Foo,

729G74 IT och programmering, grundkurs. Tema 1, Föreläsning 3 Jody Foo, 729G74 IT och programmering, grundkurs Tema 1, Föreläsning 3 Jody Foo, jody.foo@liu.se Föreläsningsöversikt Kurslogistik Diskret matematik & Uppgifter i Python Kompletteringar Tema 1: Olika perspektiv

Läs mer

Välkommen till årsstämma 2008 HUFVUDSTADEN

Välkommen till årsstämma 2008 HUFVUDSTADEN Välkommen till årsstämma 2008 Året i korthet Positivt i Stockholm och i Göteborg Bruttoresultat jämförbart bestånd +14% Nettoomsättning jämförbart bestånd +10% Minskade vakanser Året i korthet Omförhandlingar

Läs mer

Datorlingvistisk grammatik

Datorlingvistisk grammatik Datorlingvistisk grammatik Kontextfri grammatik, m.m. http://stp.lingfil.uu.se/~matsd/uv/uv11/dg/ Mats Dahllöf Institutionen för lingvistik och filologi Februari 2011 Denna serie Formella grammatiker,

Läs mer

Övningshäfte 1: Logik och matematikens språk

Övningshäfte 1: Logik och matematikens språk GÖTEBORGS UNIVERSITET MATEMATIK 1, MMG200, HT2014 INLEDANDE ALGEBRA Övningshäfte 1: Logik och matematikens språk Övning A Målet är att genom att lösa och diskutera några inledande uppgifter få erfarenheter

Läs mer

Symbolisk data. quote. (define a 1) (define b 2) (jacek johan david) (list a b)

Symbolisk data. quote. (define a 1) (define b 2) (jacek johan david) (list a b) Symbolisk data (1 2 3 4) (a b c d) (jacek johan david) ((jacek "jacek@cs.lth.se") (johan "johang@cs.lth.se") (david "dat99dpe@ludat.lth.se")) ((anna 13) (per 11) (klas 9) (eva 4)) (+ (* 23 4) (/ y x))

Läs mer

Semantik och pragmatik (Serie 3)

Semantik och pragmatik (Serie 3) Semantik och pragmatik (Serie 3) Satser och logik. Mats Dahllöf Institutionen för lingvistik och filologi April 2015 1 / 37 Logik: språk tanke (Saeed kapitel 4.) Satser uttrycker (ofta) tankar. Uttrycksrikedom

Läs mer

U T R I K E S M I N I S T E R I E T S F Ö R E S K R I F T E R. Ändrar bilaga 7 av utrikesministeriets beslut (nr 86/03) utfärdat den 16.12.

U T R I K E S M I N I S T E R I E T S F Ö R E S K R I F T E R. Ändrar bilaga 7 av utrikesministeriets beslut (nr 86/03) utfärdat den 16.12. AVDELNING Administrativa avdelningen FÖRESKRIFT ANVISNING NR 96 MÅLGRUPP DATUM 22.6.2004 GILTIGHETSTID 1.7.2004 - tillsvidare BEFOGENHET 11 förordningen om ersättningar på grund av de lokala särförhållandena

Läs mer

TDDD02 Föreläsning 2 HT-2013. Reguljära uttryck och reguljära språk Lars Ahrenberg

TDDD02 Föreläsning 2 HT-2013. Reguljära uttryck och reguljära språk Lars Ahrenberg TDDD02 Föreläsning 2 HT-2013 Reguljära uttryck och reguljära språk Lars Ahrenberg Översikt Reguljära uttryck sökproblem i texter definitioner och exempel UNIX-funktionen grep Reguljära transformationer

Läs mer

Text och typsnitt. Läsbarhet. Tecken per rad. Storlek

Text och typsnitt. Läsbarhet. Tecken per rad. Storlek Text och typsnitt Läsbarhet Tecken per rad Idealt antal för löpande text i större mängder är 45-65, (55). Tidningar och tidskrifter: 25-35 tecken per rad. För långa rader - svårt för läsaren att snabbt

Läs mer

1. 20 identiska bollar skall delas ut till fem flickor och fem pojkar. På hur många olika sätt kan detta ske om

1. 20 identiska bollar skall delas ut till fem flickor och fem pojkar. På hur många olika sätt kan detta ske om 1 Matematiska Institutionen KTH Lösning till några övningar inför lappskrivning nummer 4 Diskret matematik för D och F vt0 1 0 identiska bollar skall delas ut till fem flickor och fem pojkar På hur många

Läs mer

Agenda, Åbo Finland 23-24.10.2014

Agenda, Åbo Finland 23-24.10.2014 Agenda, Åbo Finland 23-24.10.2014 IKT-mötet Dag 1 23.10.2014 Kl. 09:00, morgonkaffe Genomgång av programmet för höstmötet, Ordförande för varje land - status Kl. 11:00 Kunskapsgrupperna i hotellets kabinett

Läs mer

Nordisk Kulturfond INS. Internordisk språkförståelse i en tid med ökad internationalisering 2003-2004. INS-projektet, Lunds universitet

Nordisk Kulturfond INS. Internordisk språkförståelse i en tid med ökad internationalisering 2003-2004. INS-projektet, Lunds universitet INS Internordisk språkförståelse i en tid med ökad internationalisering 2003-2004 Projektet initierades av Nordiska kulturfonden december 2001 Projektet administrerades av Norsk språkråd Projektledning:

Läs mer

Filosofisk logik Kapitel 15. Robin Stenwall Lunds universitet

Filosofisk logik Kapitel 15. Robin Stenwall Lunds universitet Filosofisk logik Kapitel 15 Robin Stenwall Lunds universitet Dagens upplägg Första ordningens mängdlära Naiv mängdlära Abstraktionsaxiomet (eg. comprehension) Extensionalitetsaxiomet Små mängder Ordnade

Läs mer

Tentamen i TDDC75 Diskreta strukturer

Tentamen i TDDC75 Diskreta strukturer Tentamen i TDDC75 Diskreta strukturer 2017-01-05, Lösningsförslag (med reservation för eventuella fel) 1. Betrakta följande satslogiska uttryck: (p q) (q p) (a) Visa genom naturlig deduktion att uttrycket

Läs mer

Översvämningsförordningens betydelse för fysisk planering. Dadi Thorsteinsson, Räddningstjänsten Syd Rolf Larsson, Teknisk Vattenresurslära LTH

Översvämningsförordningens betydelse för fysisk planering. Dadi Thorsteinsson, Räddningstjänsten Syd Rolf Larsson, Teknisk Vattenresurslära LTH Översvämningsförordningens betydelse för fysisk planering Dadi Thorsteinsson, Räddningstjänsten Syd Rolf Larsson, Teknisk Vattenresurslära LTH Frågeställning Syftet med detta arbete är att utvärdera trolig

Läs mer

Föreläsning 2. Kapitel 3, sid Sannolikhetsteori

Föreläsning 2. Kapitel 3, sid Sannolikhetsteori Föreläsning 2 Kapitel 3, sid 47-78 Sannolikhetsteori 2 Agenda Mängdlära Kombinatorik Sannolikhetslära 3 Mängdlära Används för att hantera sannolikheter Viktig byggsten inom matematik och logik Utfallsrummet,

Läs mer

Explorativ övning 9 RELATIONER OCH FUNKTIONER

Explorativ övning 9 RELATIONER OCH FUNKTIONER Explorativ övning 9 RELATIONER OCH FUNKTIONER Övningens syfte är att bekanta sig med begreppet relation på en mängd M. Begreppet relation i matematiska sammanhang anknyter till betydelsen av samma ord

Läs mer

1. Skriv = eller i den tomma rutan, så att det stämmer. Motivera ditt val av tecken.

1. Skriv = eller i den tomma rutan, så att det stämmer. Motivera ditt val av tecken. Modul: Taluppfattning och tals användning. Del 3: Det didaktiska kontraktet Likhetstecknet Ingrid Olsson, fd lärarutbildare Mitthögskolan Läraraktivitet. 1. Skriv = eller i den tomma rutan, så att det

Läs mer

Ordlista 1A:1. siffra. tal. antal. räkneord. Dessa tio ord ska du träna. Öva orden

Ordlista 1A:1. siffra. tal. antal. räkneord. Dessa tio ord ska du träna. Öva orden Ordlista 1A:1 Öva orden Dessa tio ord ska du träna siffra En siffra är ett tecken. Dessa är siffrorna: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 och 9 tal antal räkneord Ett tal skrivs med en eller flera siffror. Talet

Läs mer

2011 Reningsverk och vatten.

2011 Reningsverk och vatten. 2011 Reningsverk och vatten. Året 2011 har varit ett aktivt år. Vi har lagt upp en 3-års plan som fungerar och vi ligger bra i fas med det som är planerat. Planen är att år 2011 är vatten året då vi skall

Läs mer

F2 SANNOLIKHETSLÄRA (NCT )

F2 SANNOLIKHETSLÄRA (NCT ) Stat. teori gk, ht 2006, JW F2 SANNOLIKHETSLÄRA (NCT 4.1-4.2) Ordlista till NCT Random experiment Outcome Sample space Event Set Subset Union Intersection Complement Mutually exclusive Collectively exhaustive

Läs mer

Information från kommittémöte för säljfrämjande åtgärder den 3 mars 2015

Information från kommittémöte för säljfrämjande åtgärder den 3 mars 2015 1(6) Information från kommittémöte för säljfrämjande åtgärder den 3 mars 2015 Sammanfattning: Kommissionens gick igenom medlemsstaternas kommentar på sitt första utkast till genomförande akt med tillämpningsregler

Läs mer

Destination Bokningsklass F 1 Bokningsklass F 2 Bokningsklass F 3 Bokningsklass R 1 Bokningsklass R 2 Bokningsklass R 3 Rabatt Flex Rabatt Rest.

Destination Bokningsklass F 1 Bokningsklass F 2 Bokningsklass F 3 Bokningsklass R 1 Bokningsklass R 2 Bokningsklass R 3 Rabatt Flex Rabatt Rest. Destination Bokningsklass F 1 Bokningsklass F 2 Bokningsklass F 3 Bokningsklass R 1 Bokningsklass R 2 Bokningsklass R 3 Rabatt Flex Rabatt Rest. Stockholm Arlanda - Amsterdam, Europa, PE Y S B P 10,0%

Läs mer

Problem 1 2 3 4 5 6 7 Svar

Problem 1 2 3 4 5 6 7 Svar Känguru Cadet, svarsblankett Namn Klass/Grupp Poängsumman Känguruskuttet Ta lös svarsblanketten. Skriv ditt svarsalternativ under numret. Lämna rutan tom om du inte vet svaret. Gissa inte, felaktigt svar

Läs mer

Laboration SQL. Kom igång. http://www.tfe.umu.se/courses/systemteknik/webbkurser/d&w/laborationer/sql.ht...

Laboration SQL. Kom igång. http://www.tfe.umu.se/courses/systemteknik/webbkurser/d&w/laborationer/sql.ht... Page 1 of 5 Laboration SQL Syfte: Under denna laboration skall du bekanta dig med SQL. När laborationen är genomförd skall du klara av att själv formulera enklare SQL-frågor för att kunna ta fram information

Läs mer

-*/+&3*/("3 47&/4,5 )676% &9".&/41"11&3,0--&(*&) '5&/ (-04) '5&/ '03."5 -*/+&3*/("3 4*%03 4,0-) '5&/ www.ibnfmjo.el 4,0-1"11&3 LINEX gör det roligt att lära Matematik behöver inte bara handla om siffror

Läs mer

Matematisk statistik - Slumpens matematik

Matematisk statistik - Slumpens matematik Matematisk Statistik Matematisk statistik är slumpens matematik. Började som en beskrivning av spel, chansen att få olika utfall. Brevväxling mellan Fermat och Pascal 1654. Modern matematisk statistik

Läs mer

Statistikens grunder HT, dagtid Statistiska institutionen

Statistikens grunder HT, dagtid Statistiska institutionen Statistikens grunder 1 2013 HT, dagtid Statistiska institutionen Orsak och verkan N Kap 2 forts. Annat ord: kausalitet Något av det viktigaste för varje vetenskap. Varför? Orsakssamband ger oss möjlighet

Läs mer

1 Skapa Tabell...2. 2 Skapa Relationer...20. 3 Redigera Relationer...24. 4 Redigera Fält i Tabell...26. 5 Lägga till Poster i Tabell...

1 Skapa Tabell...2. 2 Skapa Relationer...20. 3 Redigera Relationer...24. 4 Redigera Fält i Tabell...26. 5 Lägga till Poster i Tabell... Kapitel 5 Tabell 1 Skapa Tabell...2 1.1 Tabellfönstret... 4 1.2 Fältegenskaper... 8 1.3 Primärnyckel... 11 1.4 Spara Tabell... 12 1.5 Tabellguiden... 12 2 Skapa Relationer...20 3 Redigera Relationer...24

Läs mer

FÖRELÄSNING 1 ANALYS MN1 DISTANS HT06

FÖRELÄSNING 1 ANALYS MN1 DISTANS HT06 FÖRELÄSNING ANALYS MN DISTANS HT06 JONAS ELIASSON Detta är föreläsningsanteckningar för distanskursen Matematik A - analysdelen vid Uppsala universitet höstterminen 2006. Förberedande material Här har

Läs mer

Föreläsningsanteckningar och övningar till logik mängdlära

Föreläsningsanteckningar och övningar till logik mängdlära Inledande matematisk analys tma970, 010, logik, mängdlära Föreläsningsanteckningar och övningar till logik mängdlära Dessa öreläsningsanteckningar kompletterar mycket kortattat kap 0 och appendix B i Persson/Böiers,

Läs mer

Statistisk slutledning (statistisk inferens): Sannolikhetslära: GRUNDLÄGGANDE SANNOLIKHETSLÄRA. Med utgångspunkt från ett stickprov

Statistisk slutledning (statistisk inferens): Sannolikhetslära: GRUNDLÄGGANDE SANNOLIKHETSLÄRA. Med utgångspunkt från ett stickprov OSÄKERHET Sannolikhetslära: Om det i ett område finns 32 % med universitetsexamen, vad är sannolikheten att ett stickprov kommer att innehålla 31-33 % med universitetsexamen? Om medelåldern i en population

Läs mer

Ett annat exempel på en E-R modell. En bank. Beskrivning av banken

Ett annat exempel på en E-R modell. En bank. Beskrivning av banken Ett annat exempel på en E-R modell En bank 1 Beskrivning av banken En bankkedja har r på en mängd olika orter i Finland För varje r lagras dess -kod, rets och För er lagras nummer, och En måste ha minst

Läs mer

Örebro kommun. Föräldrar Förskola - Grenadjärskolans förskola. 9 respondenter Brukarundersökning. Genomförd av CMA Research AB.

Örebro kommun. Föräldrar Förskola - Grenadjärskolans förskola. 9 respondenter Brukarundersökning. Genomförd av CMA Research AB. Örebro kommun 9 respondenter Brukarundersökning Genomförd av CMA Research AB Juni 2013 Fakta om undersökningen Bakgrund Örebro kommun har genomfört en kundundersökning i förskola, familjedaghem, grundskola

Läs mer

Så här använder du begreppsdiagram i termbanken

Så här använder du begreppsdiagram i termbanken Dokumentbeteckning 2015-03-24 Dnr 1.3-8718/2015 1(6) Regler och behörighet Emma Leeb-Lundberg emma.leeb-lundberg@socialstyrelsen.se Så här använder du begreppsdiagram i termbanken Som komplement till termbankens

Läs mer

Datum. Vid säkerhetsskyddad upphandling med säkerhetsskyddsavtal

Datum. Vid säkerhetsskyddad upphandling med säkerhetsskyddsavtal Datum 1 (6) Polismyndigheten Verksamhetsskydd 1 RPC Kansli Christer Rundström Poliskommissarie 2014-02-22 Diarienr (åberopas) Saknr Vid säkerhetsskyddad upphandling med säkerhetsskyddsavtal (SUA) Nivå

Läs mer

9. Predikatlogik och mängdlära

9. Predikatlogik och mängdlära Objektorienterad modellering och diskreta strukturer 9. Predikatlogik och mängdlära Sven Gestegård Robertz Datavetenskap, LTH 2014 Rekaputilation Vi har talat om satslogik naturlig härledning predikatlogik

Läs mer

Överenskommelse om behörighet för Stockholms läns landsting att fatta beslut om allmän trafikplikt gällande regional tågtrafik i östra Sverige

Överenskommelse om behörighet för Stockholms läns landsting att fatta beslut om allmän trafikplikt gällande regional tågtrafik i östra Sverige BESLUTSUNDERLAG 1(2) Ledningsstaben Richard Widén 2014-05-19 TN 2014-36 Trafiknämnden Överenskommelse om behörighet för Stockholms läns landsting att fatta beslut om allmän trafikplikt gällande regional

Läs mer

Uppföljning och tillsyn av vårdgaranti i Finland

Uppföljning och tillsyn av vårdgaranti i Finland Uppföljning och tillsyn av vårdgaranti i Finland Tromsö 26.5.2011 Markus Henriksson Enhetschef, Medicinalråd Tillstånds- och tillsynsverket för social- och hälsovården (Valvira) Helsingfors, Finland 10.6.2011

Läs mer

Begreppen "mängd" och "element" är grundläggande begrepp i matematiken.

Begreppen mängd och element är grundläggande begrepp i matematiken. MÄNGDER Grundläggande begrepp och beteckningar Begreppen "mängd" och "element" är grundläggande begrepp i matematiken. Vi kan beskriva (ange, definiera) en mängd som innehåller ändligt många element genom

Läs mer

Kärleken till nytta. Predikan av pastor Göran Appelgren. (Läsningar: Luk 14:1-32; AC 6388, 6393. Se sista sidan!)

Kärleken till nytta. Predikan av pastor Göran Appelgren. (Läsningar: Luk 14:1-32; AC 6388, 6393. Se sista sidan!) Kärleken till nytta Predikan av pastor Göran Appelgren (Läsningar: Luk 14:1-32; AC 6388, 6393. Se sista sidan!) När någon bjuder dig på bröllop, ta då inte den främsta platsen vid bordet. Kanske någon

Läs mer

MATEMATIKENS SPRÅK. Syftet med denna övning är att med hjälp av logik lära oss att uttrycka matematik mer exakt,

MATEMATIKENS SPRÅK. Syftet med denna övning är att med hjälp av logik lära oss att uttrycka matematik mer exakt, Explorativ övning 1 MATEMATIKENS SPRÅK Syftet med denna övning är att med hjälp av logik lära oss att uttrycka matematik mer exakt, lära oss förstå språket. Vi skall försöka utveckla vårt matematiska språk,

Läs mer

Ungas inträde på arbetsmarknaden

Ungas inträde på arbetsmarknaden STATISTISKA CENTRALBYRÅN 2014-11-20 1(6) Ungas inträde på arbetsmarknaden FRÅGORNA EUADHINT Jag tänkte nu ställa några frågor om de ungas inträde på arbetsmarknaden (dessa frågor ställs till samtliga EU

Läs mer

Flera kvantifierare Bevis Direkt bevis Motsägelse bevis Kontrapositivt bevis Fall bevis Induktionsprincipen. x y (x > 0) (y > 0) xy > 0 Domän D = R

Flera kvantifierare Bevis Direkt bevis Motsägelse bevis Kontrapositivt bevis Fall bevis Induktionsprincipen. x y (x > 0) (y > 0) xy > 0 Domän D = R Föreläsning Flera kvantifierare Bevis Direkt bevis Motsägelse bevis Kontrapositivt bevis Fall bevis Induktionsprincipen För att göra ett påstående av en öppen utsaga med flera variabler behövs flera kvantifierare.

Läs mer

Bild kunskapskrav år 7-9 Grundskola 7 9 LGR11 Bl

Bild kunskapskrav år 7-9 Grundskola 7 9 LGR11 Bl Bild kunskapskrav år 7-9 Grundskola 7 9 LGR11 Bl Elevanpassad för Hagaskolan. Framställa bilder Eleven framställer ofta bara en typ av bild. Den är inte genomarbetad. Försök variera motiv och typer av

Läs mer

OM STORSTÄDERS CENTRALA ADMINISTRATION

OM STORSTÄDERS CENTRALA ADMINISTRATION OM STORSTÄDERS CENTRALA ADMINISTRATION Av fil. lic. RUNE TERSMAN Problemets aktualitet. INGENST ANS har mera ingående försök gjorts att förse storstäderna med ett styrelsesystem, som motsvarar deras nuvarande

Läs mer

Föreläsning 7. Grafiska användargränssnitt

Föreläsning 7. Grafiska användargränssnitt Föreläsning 7 Grafiska användargränssnitt För att göra grafiska användargränssnitt: Måste man veta hur man skapar komponenterna i ett GUI och vilka det finns. Till lab 3 räcker det med att känna till de

Läs mer

Generell Analys. 3. Det är viktigt att du väljer ett svar i vart och ett av de åttio blocken.

Generell Analys. 3. Det är viktigt att du väljer ett svar i vart och ett av de åttio blocken. Generell Analys Instruktioner De flesta av oss saknar tid eller intresse att verkligen fundera och reflektera över den arbetssituation vi befinner oss i. Vi vet naturligtvis hur det känns, vi kollar läget,

Läs mer

Systemisk-funktionell lingvistik (SFL) som metod inom nordistiken

Systemisk-funktionell lingvistik (SFL) som metod inom nordistiken Systemisk-funktionell lingvistik (SFL) som metod inom nordistiken Per Holmberg Höstsymposiet för föreningen för nordisk filologi Åbo den 5 6 oktober 2012 SFL förstår betydelseskapande som 1. skiktat 2.

Läs mer

Begreppen "mängd" och "element" är grundläggande begrepp i matematiken.

Begreppen mängd och element är grundläggande begrepp i matematiken. MÄNGDER Grundläggande begrepp och beteckningar egreppen "mängd" och "element" är grundläggande begrepp i matematiken. Vi kan beskriva (ange, definiera) en mängd som innehåller ändligt många element genom

Läs mer

Programmering för språkteknologer II. OH-serie: Ändliga automater. reguljära uttryck i Java. Deterministiska ändliga automater

Programmering för språkteknologer II. OH-serie: Ändliga automater. reguljära uttryck i Java. Deterministiska ändliga automater Programmering för språkteknologer II OH-serie: ändliga automater reguljära uttryck i Java Mats Dahllöf Ändliga automater Abstrakt maskin, tillståndsmaskin, transitionssystem. (Den enklaste typ man brukar

Läs mer

Vem flyttar till vem? Könsskillnader i flyttavstånd till pars första gemensamma bostad

Vem flyttar till vem? Könsskillnader i flyttavstånd till pars första gemensamma bostad Vem flyttar till vem? Könsskillnader i flyttavstånd till pars första gemensamma bostad Maria Brandén* Karen Haandrikman** * Demografiska avdelningen, Stockholms universitet ** Kulturgeografiska institutionen,

Läs mer

Konturteckningar för utskrift (sid 63-88) som komplement till Sexualundervisning på lättare svenska. Ett material från RFSU. Illustrationer: Vendela

Konturteckningar för utskrift (sid 63-88) som komplement till Sexualundervisning på lättare svenska. Ett material från RFSU. Illustrationer: Vendela Konturteckningar för utskrift (sid 63-88) som komplement till Sexualundervisning på lättare svenska. Ett material från RFSU. Illustrationer: Vendela Hellstrand 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76

Läs mer

Vad är semantik? LITE OM SEMANTIK I DATORLINGVISTIKEN. Språkteknologi semantik. Frågesbesvarande

Vad är semantik? LITE OM SEMANTIK I DATORLINGVISTIKEN. Språkteknologi semantik. Frågesbesvarande LITE OM SEMANTIK I DATORLINGVISTIKEN (FORMELL SEMANTIK) Vad är semantik? Form (abstrakt struktur): grammatik Innehåll (betydelse): semantik Användning: pragmatik/diskurs Mats Dahllöf Språkteknologisk motivation

Läs mer

Vardagsord. Förstår ord som fler än, färre än osv. Har kunskap om hälften/dubbelt. Ex. Uppfattning om antal

Vardagsord. Förstår ord som fler än, färre än osv. Har kunskap om hälften/dubbelt. Ex. Uppfattning om antal TALUPPFATTNING Mål som eleven ska ha uppnått i slutet av det femte skolåret: Eleven skall ha förvärvat sådana grundläggande kunskaper i matematik som behövs för att kunna beskriva och hantera situationer

Läs mer

TDDC74 Programmering, abstraktion och modellering DUGGA 2

TDDC74 Programmering, abstraktion och modellering DUGGA 2 1 Tekniska högskolan vid Linköpings universitet Institutionen för datavetenskap Anders Haraldsson TDDC74 Programmering, abstraktion och modellering DUGGA 2 Torsdag 19 feb 2009 8-10 Namn: Personnummer:

Läs mer

Mängdlära. Kapitel Mängder

Mängdlära. Kapitel Mängder Kapitel 2 Mängdlära 2.1 Mängder Vi har redan stött på begreppet mängd. Med en mängd menar vi en väldefinierad samling av objekt eller element. Ordet väldefinierad syftar på att man för varje tänkbart objekt

Läs mer

Matematik. Delprov B. Vårterminen 2009 ÄMNESPROV. Del B1 ÅRSKURS. Elevens namn

Matematik. Delprov B. Vårterminen 2009 ÄMNESPROV. Del B1 ÅRSKURS. Elevens namn ÄMNESPROV Matematik ÅRSKURS 9 Prov som ska återanvändas omfattas av sekretess enligt 4 kap. 3 sekretesslagen. Avsikten är att detta prov ska kunna återanvändas t.o.m. 2009-06-30. Vid sekretessbedömning

Läs mer

InPrint. Grunderna för hur du kommer igång och arbetar med Communicate: InPrint. Habilitering & Hjälpmedel

InPrint. Grunderna för hur du kommer igång och arbetar med Communicate: InPrint. Habilitering & Hjälpmedel InPrint Grunderna för hur du kommer igång och arbetar med Communicate: InPrint Habilitering & Hjälpmedel Förord Communicate InPrint är ett program du använder för att skapa material för utskrift. Du kan

Läs mer

UTKAST TILL REGLER INSKICKADE TILL SKK

UTKAST TILL REGLER INSKICKADE TILL SKK DOFTPROVSREGLER NOSE WORK Antagna 2015-11-26 SvenskaNoseWorkKlubben,2015 INNEHÅLLSFÖRTECKNING/ ALLMÄNNAREGLERFÖRUTSTÄLLNING,PROVOCHTÄVLING...4 Vaccinationer...4 IDNmärkning...5 Ansvar...5 Forcemajeure...6

Läs mer

Exempel på uppgifter från 2010, 2011 och 2012 års ämnesprov i matematik för årskurs 3

Exempel på uppgifter från 2010, 2011 och 2012 års ämnesprov i matematik för årskurs 3 Exempel på uppgifter från 2010, 2011 och 2012 års ämnesprov i matematik för årskurs 3 2 Innehåll Inledning... 5 Skriftliga räknemetoder... 7 Huvudräkning, multiplikation och division... 9 Huvudräkning,

Läs mer

om avfall som utgörs av eller innehåller elektriska eller elektroniska produkter

om avfall som utgörs av eller innehåller elektriska eller elektroniska produkter Given i Helsingfors den 9 september 2004 Decree 852 Statsrådets förordning om avfall som utgörs av eller innehåller elektriska eller elektroniska produkter I enlighet med statsrådets beslut, fattat på

Läs mer

4.8 ETAPPUTBYGGNAD. 4.8.1 Regionbussterminal. Oberoende av vilket alternativ och vilken bangårdslösning

4.8 ETAPPUTBYGGNAD. 4.8.1 Regionbussterminal. Oberoende av vilket alternativ och vilken bangårdslösning TÄNKBARA LAYOTER HALMSTAD RESECENTRUM 4.6 PENDELPARKERINGAR Pendelparkeringarna lokaliseras söder om resecentrum och till största del väster om spårområdet. I första hand utförs dessa som markparkeringar

Läs mer

Elementär logik och mängdlära

Elementär logik och mängdlära Elementär logik och mängdlära Mängd En mängd är en ihopsamling av noll eller flera saker, där ordningen mellan de ihopsamlade sakerna är oväsentlig. Sakerna kallas för mängdens element. EXEMPEL {1, 2,

Läs mer

2. För vilka värden på parametrarna α och β har det linjära systemet. som satisfierar differensekvationen

2. För vilka värden på parametrarna α och β har det linjära systemet. som satisfierar differensekvationen MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Examinator: Lars-Göran Larsson TENTAMEN I MATEMATIK MAA13 Differentialekvationer och transformmetoder

Läs mer

Unga vuxna 2013 boende, studier, sparande och framtidsdrömmar

Unga vuxna 2013 boende, studier, sparande och framtidsdrömmar Unga vuxna 2013 boende, studier, sparande och framtidsdrömmar Ingela Gabrielsson, privatekonom 2013-08-28 Sammanfattning Bland unga vuxna i åldern 18-29 år bor 27 % kvar i föräldrahemmet. I åldern 22-25

Läs mer

VÄGVERKET V190, VÄGBELYSNING

VÄGVERKET V190, VÄGBELYSNING VÄGVERKET V190, VÄGBELYSNING UTFÖRANDE AV/KONTROLL LJUSMÄTNING/FÄRGÅTERGIVNING Göteborg 2010-01-18 Totalt antal blad 11 Arbets nr 41156 Upprättad av: Lena Siewert Patrik Casteborn Tel. 0708 27 98 85 Tel.

Läs mer

Föreläsning 2 5/6/08. Reguljära uttryck 1. Reguljära uttryck. Konkatenering och Kleene star. Några operationer på språk

Föreläsning 2 5/6/08. Reguljära uttryck 1. Reguljära uttryck. Konkatenering och Kleene star. Några operationer på språk Reguljära uttryck Ändliga automater och reguljära uttryck Språk som är och inte är reguljära Konkatenering och Kleene star Två strängar u och v (på alfabetet )kan konkateneras till strängen uv Givet två

Läs mer

Föreläsning 1, Differentialkalkyl M0029M, Lp

Föreläsning 1, Differentialkalkyl M0029M, Lp Föreläsning 1, Differentialkalkyl M0029M, Lp 1 2017 Staffan Lundberg Luleå Tekniska Universitet, Inst för teknikvetenskap och matematik Staffan Lundberg M0029M H17 1/ 50 Allmän information Föreläsningar:

Läs mer

Lokal pedagogisk planering. Frivilligt kvällsdisco i skolmatsalen för de som går i årskurs 1 4 på skolan.

Lokal pedagogisk planering. Frivilligt kvällsdisco i skolmatsalen för de som går i årskurs 1 4 på skolan. Lokal pedagogisk planering Frivilligt kvällsdisco i skolmatsalen för de som går i årskurs 1 4 på skolan. Elevgrupp: Fritidshemmets :or är 25 elever. De är ansvariga för godis, frukt och läskförsäljning

Läs mer