Tal, delar och oändlighet. Angelika Kullberg

Transkript

1 GÖTEBORGS UNIVERSITET Program i pedagogik med didaktisk inriktning Box 300, SE Göteborg Tal, delar och oändlighet En studie om avgörande skillnader i undervisning och lärande om decimaltal Angelika Kullberg Handledare: Ulla Runesson Examinator: Maj Asplund Carlsson Fördjupningsarbete 10 poäng Mölndal, november 2004

2 Abstract Arbetets art: Fördjupningsarbete 10 p. Program i pedagogik med didaktisk inriktning Författare: Angelika Kullberg Handledare: Ulla Runesson Examinator: Maj Asplund Carlsson Titel: Tal, delar och oändlighet. En studie om avgörande skillnader i undervisning och lärande om decimaltal Sidantal: 41 Datum: November 2004 Bakgrund och syfte: Elevers möjlighet att lära har studerats internationellt (TIMSS video study, Stigler och Hiebert, 2000) och forskarna har genom att jämföra olika länders undervisning kunnat beskriva skillnader och dess betydelse för elevernas lärande (Marton och Morris, 2002). Den här studien syftar till att beskriva skillnader i sättet som lärandets innehåll behandlas under tre olika lektioner och vad de skillnaderna betyder för elevernas lärande. I analysen söker jag kritiska aspekter för elevernas lärande. Uppläggning och metod: Tre lärare har tillsammans med forskare arbetat med att planera undervisning enligt en modell som kallas learning study. Utfallet av de tre lektioner som planerats har analyserats tillsammans med elevernas testresultat före och efter respektive lektion. Min utgångspunkt är att variation är nödvändig för lärande och jag använder variationsteorin (Marton, Runesson och Tsui, 2004) och begrepp från fenomenografiska tankar (Marton och Booth, 2000) om lärande i min analys. Resultat: Lärandets utfall var olika efter de tre lektionerna, d.v.s. eleverna lärde sig i olika grad under de olika lektionerna. Det som var avgörande (de kritsika apekterna) för elevernas lärande som identifierats i den här studien är; Olika former av rationella tal- Med det menas olika sätt att uttrycka ett rationellt tal i t.ex. bråkform, procent och decimalform. Del-helhets förhållandet- Med det menas att man kan ta (delen) t.ex. noll komma nittiosju av något (helheten) t.ex. linjalen. De variationsmönster som lärarna skapar i undervisningen visar sig vara kritiska för elevernas lärande. Den stora skillnaden mellan lektionerna blir följaktligen att i klass A har eleverna möjligheten att erfara ett möjligt antal tal i intervallet mellan 0,97 och 0,98. Medan i klass B och C har eleverna möjligheten att erfara ett möjligt antal delar i intervallet. Resultatet visar att de elever som fått erfara möjligt antal delar i intervallet svarar på eftertestet att det finns oändligt många decimaltal.

3 INNEHÅLLSFÖRTECKNING BAKGRUND...1 TEORETISK GRUND...2 LÄRANDETS OBJEKT...2 VARIATION OCH LÄRANDE...4 LEARNING STUDY...6 STUDIER OM ELEVERS LÄRANDE AV DECIMALTAL...8 PROBLEMFORMULERING OCH SYFTE...10 METOD...10 STUDIENS UPPLÄGGNING...10 FÖRSÖKSPERSONER...11 URVAL...11 ETIK...11 DATA OCH DATABEHANDLING...12 ANALYSPROCESSEN...12 TILLFÖRLITLIGHET...13 RESULTAT...15 REDOVISNING AV RESULTAT...15 ÖVERGRIPANDE LIKHETER OCH SKILLNADER MELLAN LEKTIONERNA...15 Tabell 1. Lektionernas övergripande innehåll och struktur...16 FÖRSTA LEKTIONEN (KLASS A)...17 MÖNSTER AV VARIATION OCH INVARIANS (KLASS A)...20 ANDRA LEKTIONEN (KLASS B)...22 MÖNSTER AV VARIATION OCH INVARIANS (KLASS B)...26 TREDJE LEKTIONEN (KLASS C)...28 MÖNSTER AV VARIATION OCH INVARIANS (KLASS C)...31 DIMENSIONER AV VARIATION...31 Tabell 2.Sammanfattning av klass A, B och C med avseende på dimensioner av variation...32 Figur 1. Vad eleverna haft möjlighet att erfara i klass A, B och C ELEVERNAS LÄRANDE...34 Tabell 3. Resultat av förtest och eftertest KRITISKA ASPEKTER...36 DISKUSSION...37 REFERENSER...40 BILAGA 1... BILAGA 2... BILAGA 3...

4 Bakgrund Vad erbjuds eleverna att lära under en lektion? Läraren har en bild av vad eleverna skall lära sig, men ger undervisningen eleven en möjlighet att lära det? Den här studien kommer att undersöka vad eleverna erbjuds att lära och vad de lär under tre olika lektioner i matematik för att identifiera det som är kritiskt för elevernas lärande. En internationell undersökning av elevers kunskaper i matematik Third International Mathematics and Science Study (TIMSS) (Stigler och Hierbert, 1999) visar att elever från asiatiska länder som t.ex. Japan och Hong Kong lyckas bäst. En uppföljande studie (Stigler och Hierbert, 2000) av videofilmade lektioner, TIMSS videostudy, visar på skillnader som kan förklara resultaten. En förklaring är de sätt lärarna undervisar på. Marton och Morris (2002) menar att de viktigaste skillnaderna mellan amerikanska och japanska matematiklektioner är att i det sistnämnda är eleverna fokuserade på ett problem åt gången och försöker finna lösningar (olika metoder) på det medan elever på amerikanska lektioner får lösa många problem med samma metod. Eleverna får möta olika objekt för lärande (den förmåga som eleven skall lära sig) och har olika möjligheter att lära även om lärarna hade samma objekt för lärande. I det ena fallet så får eleverna lära sig att lösa ett problem genom att de får möta en variation av lösningssätt på problemet och i det andra fallet lära sig en lösningsmetod genom att eleverna får möta en variation av uppgifter som de skall lösa med samma metod. Metoden för lärarnas kompetensutveckling ges av Stigler och Hiebert (1999) som en förklaring till de goda resultaten på TIMSS. I Japan kompetensutvecklar lärarna sig genom att på ett systematiskt sätt diskutera och planera undervisning utifrån de förmågor de vill utveckla hos eleverna och de svårigheter som finns. Metoden de använder kallas lesson study. I en lesson study arbetar lärare i lag med att utveckla undervisningen genom att observera varandra när de undervisar om samma sak och diskutera erfarenheter och resultat. Den här studien kommer att fokusera på vad eleverna erbjuds att lära under en lektion om decimaltal i år 6 och hur tre lärare hanterar detta objekt för lärande. I analysen identifierar jag kritiska aspekter för elevernas lärande. Den metod, learning study, som används i den här studien har stora likheter med den metod som används i Japan. En learning study knyter mer an till forskning om lärande än en lesson study och i en learning study är en forskare är med i processen. Learning study har används som en metod i Hong Kong under några år och har visat på goda resultat för elevernas lärande (Marton, 2003). Learning study är en ny metod i Sverige och denna studie kan ses som en av de första learning studies som gjorts i Sverige. Studien är en delstudie i projektet Lärandets pedagogik 1 vid Göteborgs Universitet. 1 Lärandets Pedagogik är ett projekt finansierat av Vetenskapsrådets utbildningsvetenskapliga kommitté. I projektet ingår forskare från Högskolan i Kristiandstad, Göteborgs Universitet och Luleå Tekniska Universitet. Projektledare är Mona Holmqvist, Högskolan i Kristiandstad. 1

5 Teoretisk grund Historiskt sett har mycket av den forskning som jag kommer att referera till sina rötter i fenomenografin. Det är forskning om lärande (Marton och Booth, 2000) som under mer än tjugofem år har utvecklat kunskap och begrepp som gör det möjligt att beskriva och analysera lärande. Den teori som Marton (2003) utvecklat ger mig redskapen att analysera undervisning och titta på kritiska aspekter i undervisningen. Även om vi inte kan kontrollera alla aspekter av miljön, kan vi genom systematisk intervention och observation erhålla en betydande insikt i förekomsten och naturen av kritiska variabler. (Marton, 2003 s. 44 ) Den metod som jag använder för att få fram mina data, learning study, har även den grund i fenomenografin. Den teori som jag använder som utgångspunkt för att analysera mina data, variationsteorin är en vidareutveckling av fenomenografiska tankar om lärande. Studien kan emellertid inte ses som fenomenografisk utan bara de begrepp som sprungit fram ur fenomenografin har används som en teoretisk ram för studien. Mitt val av litteratur är tänkt att ge en teoretisk bild av detta fält. Lärandets objekt Lärande är centralt i denna studie. Den här studien visar elevers möjlighet till lärande utifrån ett specifikt perspektiv på lärande. Ett sätt att se lärande är att lärande är att erfara saker på ett visst sätt (Marton och Booth, 2000). Att lära sig erfara olika fenomen, som ur vår synvinkel är den mest grundläggande formen av lärande, innebär att bli förmögen att urskilja vissa enheter eller aspekter, och att ha förmågan att vara samtidigt och fokuserat medveten om dessa enheter eller aspekter. (Marton & Both, 2000 s. 161) Runesson (1999, s. 32) sammanfattar Martons sätt att se på lärande med att lära kan sägas innebära att erfara något på ett nytt sätt. Det vill säga att lärandet innebär en förändring i sättet att erfara något. Marton ser lärande som lärande av något. Det är en förmåga som man vill att eleverna skall lära sig. Marton menar att det är de förmågor som man vill att eleverna skall lära sig som måste vara i fokus när man talar om undervisning. We firmly belive that teaching and learning cannot be described without reference to what is being taught and learnt. In other words, teaching and learning is always teaching and learning of something. In thinking about teaching and learning, it would be grossly inappropriate to make sweeping statements regarding the effeciveness of particular teaching arrangements (such as whole-class teaching versus individual instruction, group discussions versus seatwork, etc.). (Marton et al, 2002 s.3) 2

6 För att på ett tydligt sätt kunna tala om de specifika förmågor som eleverna skall lära sig använder Marton termen lärandets objekt. Med lärandets objekt menas alltså en förmåga eller förståelse av ett innehåll som eleven skall lära. Ett exempel på ett lärandets objekt kan t.ex. vara att eleverna skall förstå att det finns oändligt många decimaltal. Lärandets objekt kan ses ur lärarens, elevens eller forskarens perspektiv. Marton benämner det lärandets objekt läraren har som mål för elevernas lärande som intended object of learning, det lärandets objekt läraren avsett att eleverna skall få möta i undervisningen. the intended object of learning, an object of the teacher s awareness, that might change dynamically during the course of learning. This is the object of learning as seen from the teacher s perspective, and as such is depicted in this book as being evidenced by what the teacher does and says. (Marton, Runesson och Tsui, 2004 s. 4) Ur elevens perspektiv är lärandets objekt, det eleven faktiskt har lärt sig (lived object av learning). What they actually learn is the lived object of learning, the object of learning as seen from the learners piont of view, i.e., the outcome or result of learning (Marton, Runesson och Tsui, 2004 s. 5). Lärandets objekt sett ur forskarens perspektiv är det eleven har möjlighet att lära t.ex. under en specifik lektion och med de speciella förhållanden som fanns under just den lektionen (enacted object of learning). The enacted object of learning is the researcher s description of whether, to what extent and in what forms, the necessary conditions of a particular object of learning appear in a certain setting. The enacted object of learning is described from the point of view of a certain research interest and a particular theoretical perspective. (Marton, Runesson och Tsui, 2004 s. 5) Det lärandets objekt som läraren har i fokus för en lektion (intended object of learning) behöver inte vara det lärandets objekt som eleverna får möjlighet att erfara i undervisningen (enacted object of learning). För varje lärandets objekt finns det aspekter av innehållet i undervisningen som är avgörande, kritiska för elevernas lärande. För att förstå/uppfatta något på ett visst sätt måste vissa aspekter bli urskilda. Dessa aspekter är kritiska för lärandet. De kritiska aspekterna finner man genom att analysera undervisningen om ett speciellt objekt. Genom att studera flera lärare som undervisar om samma sak och vad eleverna lär sig är det möjligt att finna det som kan vara kritiskt i undervisning om ett speciellt lärandets objekt. The critical features have, at least in part, to be found empirically- for instance through interviews with learners and through the analysis of what is happening in the classroom- and they also have to be found for every object of learning specifically, because the critical features are critical features of specific objects of learning. (Marton, Runesson och Tsui, 2004 s. 24) 3

7 If we are interesed in how students learn to see certain things in certain ways, we must ask ourselves what citical features of the object of learning students can possible discern in a particular classroom situation. (Marton, Runesson och Tsui, 2004 s. 39) De kritiska aspekterna kan vara olika för olika grupper beroende på elevernas tidigare erfarenheter och kunskaper. Variation och lärande Marton och Morris (2002) menar att variation är avgörande för lärande. De menar att man inte kan lära sig färg t.ex. blå om det bara fanns en färg. Det betyder att om man inte kan urskilja något från något annat kan man inte erfara det.... we cannot discern anything without experiencing variation of that object. There would not be any gender if there were only one, no color if there were only one color etc. So we belive that what varies and that is invariant is fundamentally important. (Marton och Morris 2002, s. 20) Runesson (1999, s. 31) beskriver variationens betydelse för lärande på liknande sätt nämligen för att veta vad något är måste vi veta vad det inte är. Runesson har i sin avhandling studerat hur olika lärare hanterar samma ämnesinnehåll. De sätt varpå lärarna låter olika aspekter variera påverkar vad eleverna erbjuds att lära sig matematik. Även Marton och Morris visar i flera studier att vad som varierar i en undervisningssituation har betydelse för lärandet (Marton och Morris, 2002). it is what the teacher varies and what s/he keeps invariant during the lesson that determines what pupils are likely to learn. (Marton och Morris, 2002 s. 60) Variation är nödvändigt för att kunna urskilja aspekter av lärandets objekt. I en lärandesituation urskiljer olika människor olika saker. Whenever people attend to something, they discern certain aspects of it, and by doing so pay more attention to some things, and less attention, or none at all, to other things (Marton, Runesson och Tsui, 2004 s. 9). Marton, Runesson och Tsui menar att om den lärande urskiljer kritiska aspekter av lärandets objekt har eleven möjlighet att lära. What is of decisive importance for the students, is what actually comes to fore of their attention, i.e., what aspects of the situation they disern and focus on. In the best case they focus on the critical aspects of the object of learning, and by doing so they learn what the teacher intended. But they may also fail to disern and focus on some of the critical aspects, or they may disern and focus on other aspects. (Marton, Runesson och Tsui, 2004 s. 5) Marton och Morris (2002) och Runesson (1999) menar att genom att låta vissa aspekter urskilja sig mot något annat, är en metod för lärande. Marton, Runesson och Tsui (2004) ger ett exempel på en läkarstuderande som skall lära sig diagnostisera en patient. Hon/han måste erfara en variation och urskilja skillnader. 4

8 In order to see something in a certain way a person must discern certain features of that thing. We should also be clear about the diffence between discerning and being told. Medical students, for instance, might be adviced by their professors to notice different features of their pations, such as the color of the lips, the moisture of the skin, the ease of breathing, and so on. This is being told. But in order to follow this advice the students must experience those features, and the only way to experience them is to experience how they vary. (Marton, Runesson och Tsui, 2004 s. 10) I början kanske den läkarstuderande bara kan fokusera och urskilja en aspekt i taget och hur den varierar men för att kunna diagnostisera patienten så måste man kunna urskilja flera aspekter samtidigt. In order to experience variation in a certain respect, we have to experience the different instances that vary in that respect simultaneously,... (Marton, Runesson och Tsui, 2004 s. 17). Runesson (1999) ger ett exempel på betydelsen av urskiljning och samtidighet för lärandet när små barn skall lära sig förstå tal. Att ha en utvecklad förståelse för exempelvis talet fem innebär att samtidigt kunna urskilja fem som antal eller som en mängd av en viss storlek, fem som en position i räkneramsan och helheten i fem och relationen till dess delar (s. 30). För att förstå talet fem måste alla aspekter av talet urskiljas samtidigt. För att kunna urskilja talet fem så behövs en variation av flera andra tal som t.ex. fyra och sex. Variation kan ses i termer av erbjuden variation och erfaren variation. Den erbjudna variationen är det som läraren, andra elever eller till exempel läroboken erbjuder att lära t.ex. en variation av olika aspekter av lärandets objekt. Den erfarna variationen är det som eleven har möjlighet att lära. Att studera undervisning ur ett variationsteoretiskt perspektiv innebär sammanfattningsvis, att studera undervisning i termer av en potentiellt erfaren variation (Runesson, 1999 s. 41). På samma sätt kan även lärares undervisningshandlingar förstås i termer av erfarande. I en undervisningssituation, då ett innehåll kommuniceras till eleverna, framställs detta genom att läraren lyfter fram, fokuserar eller tematiserar vissa aspekter av undervisningsinnehållet och lämnar andra otematiserade eller icke fokuserade. Därigenom formas, antingen det är av läraren reflekterade handlingar eller ej, ett undervisningsobjekt som är möjligt för eleverna att erfara. (Runesson, 1999 s. 17) Den variation som studeras i denna studie är variation i termer av erbjuden och erfaren variation. Genom att analysera undervisningssituationer kan man finna de mönster av variation som läraren skapar tillsammans med eleverna. Mönster av variation och invarians skapas när vissa aspekter av lärandets objekt varierar och andra är invarianta. Eftersom det bara är möjligt att urskilja det som varierar så är det nödvändigt för lärandet att skapa mönster av variation i undervisningen. As learners can only discern that which varies, we must look for the pattern of variation necessary for developing the required capability (Marton, Runesson och Tsui, 2004 s. 22). 5

9 De mönster av variation som skapas i undervisningen utgör dimensioner av variation. En dimension av variation är en aspekt av lärandets objekt. I Runessons (1999) exempel om barn som utvecklar förståelse för tal så måste barnen urskilja talet på olika sätt t.ex. fem som antal, fem som en position i räkneramsan, fem i relationen till dess delar och fem i relation till andra tal. De olika aspekterna kan ses som olika dimensioner av talet som barnen måste erfara samtidigt för att få en förståelse för tal. Learning study I rapporten från TIMSS video study (Stigler och Hiebert, 2003) uppmärksammades skillnader i olika länders sätt att undervisa, skillnader som till viss del är kulturellt betingade. De fann även skillnader i synen på kompetensutveckling och skillnader i den tid läraren använder när det gäller undervisningens planering och innehåll. De menar att länder som t.ex. Japan har en tradition av att lärare arbetar tillsammans med planering och utvärdering av lektioner och därigenom har redskap att utveckla undervisningen. En amerikansk/kinesisk studie (Ma, 1999) visar att kinesiska lärare har bättre matematisk begreppsförståelse än sina amerikanska kollegor trots att de inte har lika lång utbildning. De kinesiska lärarna använder mer adekvata termer när de undervisar och har en djupare förståelse för den grundläggande matematiken än sina amerikanska kollegor. De amerikanska lärarna hade oftare en procedurell kunskap. Med det menas t.ex. en ytlig kunskap om en viss metod för att lösa en uppgift utan att förstå varför man gör på ett visst sätt. Lärarna i de olika länderna hade olika sätt att se på de problem som eleverna hade med olika typer av uppgifter. De sätt de tog sig an elevernas problem var knutna till deras egna förståelse. Among the teachers of both countries, the percentage of those who showed a conceptual understanding of the topic was slightly higher than those who took a conceptual direction in helping the students to correct the mistake. On one hand, none of those teachers whose knowledge was procedural described a conceptually directed teaching strategy. On the other hand, a few teachers who held a conceptual understanding of the topic would take a procedural direction in teaching they did not expect their student s learning to reach as far as theirs. (Ma, 1999 s. 54) This suggests that in order to have a pedagogically powerful representation for a topic, a teacher should first have a comprehensive understanding of it. (Ma, 1999 s. 83) En förklaring till resultat är de asiatiska lärarnas kontinuerliga kompetensutveckling. Kinesiska lärarna använder mer tid än sina västerländska kollegor till att diskutera och planera undervisningens innehåll (Ma, 1999). I Japan är det vanligt att lärare samlas i grupper och arbetar med att utveckla sin undervisning. De arbetar efter en modell som kallas lesson study (Marton, 2002, Stigler och Hiebert, 2003). 6

10 During their careers, Japanese taechers engage in a relentless, continuous process of improving their lessons to improve students opportunities to achieve the learning goals. A key part of this process is their participation in lesson study groups. Small groups of teachers meet regulary, once a week for about an hour, to plan, implement, evaluate, and revise lessons collaboratively. Many groups focus on only a few lessons over the course of the year with the aim of perfecting these. (Stigler och Hiebert, 2003) Lesson studies är problemlösningsprocesser där lärarna arbetar med frågor som t.ex. hur de skall öka elevernas förståelse i undervisningen om ett speciellt moment eller öka elevernas intresse för något. Med utgångspunkt från Browns och Collins design experiments har Marton (Marton, 2003) tillsammans med kollegor i Hong Kong utvecklat lesson study modellen till en learning study modell. En learning study är ett systematiskt försök att uppnå ett pedagogiskt mål och lära från detta försök (s. 44). Learning study har till skillnad från lesson study en teoretisk grund och i en learning study ingår en eller flera forskare i gruppen. Den teoretiska grunden är över tjugofem års fenomenografisk forskning om lärande (Marton och Booth, 2000) och variationsteorin (Marton, Runesson och Tsui, 2004). Learning study kan beskrivas som praxisnära grundforskning där lärarna står för en stor del av den kunskap som kommer fram genom projektet. En grupp lärare väljer en förmåga eller förståelse (lärandets objekt) de vill att eleverna skall utveckla. Gruppen fördjupar sina kunskaper inom området genom att läsa litteratur och diskutera tidigare erfarenheter. Genom ett förtest eller intervjuer tar gruppen reda på vad eleverna har för förkunskaper. Därefter planerar gruppen tillsammans undervisning som en lärare sedan genomför. Lektionen videoinspelas för att gruppen gemensamt skall kunna analysera hur lektionen fungerade. Någon dag efter lektionen får eleverna göra ett eftertest för att se vad de har lärt sig. Analysen av den videoinspelade lektionen tillsammans med testresultaten ger en bild av vad eleverna har lärt sig och vilka förändringar som bör göras till nästa lektion. Planeringen av lektionen revideras och en annan lärare (eller samma) undervisar den andra lektionen med en ny grupp elever. Processen fortsätter tills alla lärare i gruppen undervisat eller tills gruppen är nöjd med resultatet. Genom att lärarna undervisar om samma sak så kan man jämföra lektionerna med varandra och med vad eleverna har lärt sig och finna det som är avgörande för elevernas lärande, de kritiska aspekterna. I en jämförande studie mellan lessonstudy och learning study gjord i Hong Kong (Marton, 2003 s. 45) studerade man hur metoderna påverkade lärarnas agerande och elevernas lärande. Två grupper av erfarna lärare arbetade efter de olika modellerna. Målet var att få eleverna att förstå och använda begreppet priselasticitet. 7

11 I den grupp som arbetade med lesson study modellen utvecklade något färre än 30 procent av eleverna en god förståelse för begreppet, medan i den grupp som arbetade med learning study modellen var resultatet över 70 procent. Skillnaderna mellan de bägge gruppernas resultat kunde relateras till skillnaden i hur det aktuella undervisningsinnehållet hanterades i de olika klasserna och hur den aktuella teorin konkretiserades i olika fall. Studier om elevers lärande av decimaltal Den här studien beskriver lärares undervisning under en lektion om decimaltal. Decimaltal tillhör tillsammans med bråk och procent de rationella talen (Kilborn, 1999). Ett rationellt tal är motsatsen till ett irrationellt tal. Ett rationellt tal kan skrivas som ett heltal, som bråk, i procent och i decimalform. Ett rationellt tal i decimalform kan skrivas med oändligt många decimaler. I kursplanen för grundskolan står att eleverna i år nio skall ha goda färdigheter i att kunna räkna med tal i decimalform (Skolverket, 2000). Grisward-Sackur och Léonard (1985) betonar i en studie om elevers lärande av decimaltal nyttan av förståelsen för decimaltal. It is the most conveinient system of calculating, and has become even more important with the growing use of calculators. Furthermore, because decimals are used to approximate all other numbers, the sciences cannot do without them (s. 158). De visar i sin studie exempel på att elever räknar med decimaltal på samma sätt som med hela tal. De har lärt sig regler för att hantera decimaltal men saknar förståelsen för att använda dem på rätt sätt. In school, children usually learn only a rule to deal with the decimalpoint, then calculate as if they were dealing with whole numbers. But this practice in fact draws attention away from important differences between whole numbers and decimals (s. 158). Moskal och Magone (2000) ger exempel på en sådan generalisering till heltal som är vanligt förekommande hos elever. For exampel, many students belive that the unclusion of zero in the right most column of the decimal number results in a value that is ten times greater than the original value (Resnick et al.,1989, Hiebert and Wearne, 1983) Although this relationship holds true for whole numbers (eg. 20 is ten times greater than 2), it is not appropriate in the decimal system (e.g..20 is not ten times greater than.2). (Moskal och Magone, 2000 s. 316) Löwing och Kilborn (2002) menar att ett sätt att lösa uppgifter med decimaltal är att byta enhet. Eftersom decimaltal oftast är kopplade till mätning och enheter, så kan man som ett alternativ byta enhet. Om 1,36 meter skall divideras med 2, så är det samma sak som att 136 cm skall divideras med 2 (s. 361). Grisward-Suckur och Léonard (1985) menar att det sättet att hantera decimaltal fungerar i vissa fall men kommer i konflikt med andra regler om decimaltal. Eleverna måste efterhand utöka och modifiera sina kunskaper om decimaltal för att inte hantera decimaltal som heltal. 8

12 Löwing och Kilborn (2002, s. 361) visar på fördelarna med att använda bråk och decimaltal tillsammans i undervisningen. De menar att genom att tala om t.ex. 1,36 som 136 hundradelar ger man decimaltalet en betydelse. Moskal och Magone (2000) ser också fördelen med att använda bråkform och decimalform tillsammans för att få ökad förståelse. Svårigheten är att eleverna inte upptäcker de samband som lärarna vill att de skall göra. When students have been exposed to fractions prior to decimals, the students may use this knowledge to make sense of decimal numbers. Researchers (Hiebert, 1984; Markovits and Sowder, 1991) have found, however, that many students fail to make this relationship. (Moskal och Magone, 2000 s. 317) Hiebert och Wearne (1986) beskriver elevernas möte med decimaltal som ett möte med ett nytt talsystem med nya regler och nya begrepp. The decimal symbols are perceived by most students as a new symbolsystem with a new set of rules representing new concepts (s. 219). De studerade elevers missuppfattningar om decimaltal under två år. I studien deltog cirka 700 elever från 5 th, 7 th och 9 th grade. Genom olika intervjuer försökte forskarna komma åt de uppfattningar eleverna hade. De uppfattningar om decimaltal de såg hos eleverna var att; Eleverna har inte klart för sig vad likheten mellan heltal och decimaltal är och vad som är unikt med hela tal Felaktiga generaliseringar till heltal som t.ex. tal med fler siffror är större Svårigheter att hantera nollans betydelse Ju fler decimaler desto mindre tal Ju fler decimaler desto större tal När man adderar decimaltal flyttar man sig bakåt på tallinjen När man gör talet tio gånger större lägger man på en nolla t.ex. 437,56 blir 437,560 Svårt att se att 0,7 och 0,70 är samma tal Eleverna har svårigheter med att översätta bråk till decimalform t.ex. 3/10 blev Här menar forskarna att språket har stor betydelse när vi talar om decimaltal och bråk 9

13 Problemformulering och syfte Studien syftar till att beskriva skillnader i sättet som lärandets objekt behandlas under tre olika lektioner och vad de skillnaderna betyder för elevernas lärande. De frågor som studien avser att besvara är; Hur behandlar lärarna lärandets objekt? Vilka mönster av variation och invarians skapas under respektive lektion? Vad erbjuds eleverna att lära och vad lär de sig? Vilka är de kritiska aspekterna för elevernas lärande? Metod Studiens uppläggning Den här studien, som är en delstudie i projektet Lärandets Pedagogik 2, är en kvalitativ studie. I analysen använder jag begrepp från en specifik teori som används som analytiska redskap i dataanalysen. Studien kan även beskrivas som idiografisk eftersom en idiografisk studie inriktar sig på intensiva studier i enskilda fall (Alvesson och Sköldberg, 1994 s. 66). En learning study kan ses som ett sådant enskilt fall och resultaten av studien gäller den grupp och den undervisning som analyserats. I studien analyseras tre lektioner som delvis är olika till sin karaktär och elevernas resultat på två olika tester. Skillnaderna mellan lektionerna är ett resultat av lärarnas gemensamma revidering enligt learning study modellen. I min analys söker jag det som kan sägas vara kritiskt (avgörande) för elevernas lärande under de tre lektionerna. Med det menar jag det i undervisningen som har haft en stor betydelse (är avgörande) för resultatet av undervisningen, det som eleverna under lektionen har haft möjlighet att lära. Learning study är en praxisnära forskningsmetod (Marton, 2003 s. 41) och sker i samarbete mellan praktiker och forskare. De lärare som deltar i projektet vill utveckla sin praktik och sin förståelse av praktiken och av de sammanhang i vilka praktiken ingår. 2 Lärandets Pedagogik är ett projekt finansierat av Vetenskapsrådets utbildningsvetenskapliga kommitté. I projektet ingår forskare från Högskolan i Kristiandstad, Göteborgs Universitet och Luleå Tekniska Universitet. Projektledare är Mona Holmqvist, Högskolan i Kristiandstad. 10

14 Learning study kan ses som en typ av aktionsforskning eftersom det är en praxisnära forskning som bedrivs av lärare och forskare tillsammans. Aktionsforskning är enligt Mc Niff en problemlösningsprocess (Mc Niff, 2000). I en learning study är problemet att utveckla lektioner för att finna det som är kritiskt för elevernas lärande om ett speciellt lärandeobjekt. I den här studien sträckte sig learning study processen över en hel skoltermin (våren 2003). De deltagande lärarna träffades regelbundet vid elva tillfällen för att arbeta enligt den tidigare beskrivna learning study modellen. Lärarna bestämde att de ville arbeta med decimaltal. De hade upplevt att elever ofta kan hantera decimaltal men har svårigheter med att förstå vad de gör och varför. Gruppen läste och diskuterade en artikel av Hiebert och Wearne (1986) för att fördjupa sina kunskaper om elevers förståelse när det gäller decimaltal. Försökspersoner De tre deltagande lärarna har själva valt att (efter förfrågan) delta i projektet. De tillhör samma skolområde men arbetar på två olika skolor och undervisar i skolår 6. De är grundskollärare år 4-9 med inriktning på matematik och naturorienterande ämnen eller slöjd och de har mellan fem till tio års lärarerfarenhet. I studien används beteckningarna lärare A, lärare B och lärare C utifrån den ordning som de genomför sin lektion. Det är en kvinnlig och två manliga lärare. De elever (53 stycken) som deltagit i studien är de elever som vanligtvis undervisas av den deltagande läraren. Urval Denna studie görs inom ett större projekt. Forskarna har valt att driva projektet på den speciella skolan eftersom man har kännedom om att det finns ett stort intresse för utvecklingsarbete på skolan. Intresserade lärare har fått anmäla sitt intresse för projektet. Därefter har grupper om tre till fyra lärare bildats. En learning study kan genomföras inom olika skolämnen men forskargruppen har valt att inrikta sig på matematik i alla grupper på den aktuella skolan. Etik De elever som deltog i den undervisning som videoinspelats har fått skriftlig information om studien och målsmän har givit skriftligt tillstånd för medverkan. Alla namn på elever och lärare i utskrifter av lektionerna har ändrats så att deltagarna i studien ej kan identifieras. Det är viktigt att påpeka att det är lärargruppen som gemensamt ansvarar för alla de genomförda lektionerna genom att ha planerat dem tillsammans. Lärarna har givit tillåtelse till att bilder ur filmen, där de medverkar, får publiceras i denna studie. 11

15 Data och databehandling I studien redovisas två typer av datamaterial, videoinspelningar och skriftliga elevtester. De tre lärarna i studien har genomfört en lektion om decimaltal på cirka 60 minuter och lektionerna har filmats med videokamera. Kameran följde läraren vid genomgång och en grupp elever under gruppdiskussion. En lektion har spelats in som tillvänjning för elever och lärare, men den används inte i studien. Videoinspelningarna av lektionerna har transkriberats för analys (totalt 85 sidor text). Transkriptionsnivån är sådan att tal och relevanta händelser transkriberats. Transkriptionerna har tillsammans med filmerna kontrollerats av ytterligare en person för att få högre validitet och reliabilitet. Det bortfall som kan redovisas är när någon elev eller lärare sagt något ohörbart. Detta har då markerats i texten på ett speciellt sätt ( ). Text inom parantes är tolkat tal t.ex. när någon säger något som nästan är ohörbart. Tolkningar och förtydligande av vad som händer visas inom klammer [ ]. För att beskriva vad någon gör så används kursiv text. Elevtesterna har konstruerats av forskargruppen och genomförts i klasserna tillsammans med en projektassistent. Förtest och eftertest är inte identiska. Förtestet (bilaga 1) var tänkt att ge en bild av elevernas kunskaper om decimaltal och innehåller flera olika uppgifter. Uppgift 4 på förtestet mäter elevernas kunskap om hur många decimaltal det finns och endast den uppgiften redovisas i den här studien. Jag väljer att inte redovisa hela förtestet eftersom de övriga uppgifterna inte är lika relevanta för den här studien. Eftertestet (bilaga 3) har färre uppgifter och mäter kunskapen om hur många decimaltal som finns och eleverna får även räkna upp decimaltal inom ett visst intervall. Testerna har bearbetats av samma person och svaren har kategoriserats (även i felaktiga svar) för att ge en rikare bild av resultatet än enbart en redovisning av korrekta svar hade givit. Resultatet av förtest och eftertest redovisas i olika svarsfrekvenser i tabell 3. De elever som redovisas i studien är bara de elever som deltagit i studiens tre delar. Det betyder att de elever som inte deltagit i förtest, undervisning och eftertest har tagits bort. Analysprocessen Analysen görs utifrån min 11-åriga erfarenhet som grundskollärare och med den didaktiska påbyggnadsutbildning i matematik som jag skaffat mig vid Göteborgs Universitet. I analysen använder jag variationsteorin (Marton och Runesson, 2003) som ett analytiskt redskap. Min utgångspunkt är att variation är nödvändig för lärande. Med variation menas i detta fall inte variation i form av omväxling utan en variation av aspekter inom lärandets objekt. Varje lektion har analyserats utifrån de mönster av variation och invarians som skapas under lektionen och hur lärarna öppnar för en variation av olika dimensioner. 12

16 Genom att studera hur de olika lärarna hanterar samma lärandets objekt och jämföra med resultat från förtest och eftertest är det möjligt att dra slutsatser om vad som kan ha varit kritiskt (avgörande) för elevernas lärande under de tre lektionerna. Inom varje klass jämförs resultatet på förtest med resultatet på eftertest och på detta sätt kan man studera en eventuell förbättring av elevernas resultat. För att finna det som varit kritiskt för elevernas lärande måste även resultaten jämföras med de andra klassernas testresultat och med de mönster av variation som analyserats fram från lektionerna. Analysprocessen har inneburit en pendling mellan analys av de videofilmade lektionerna, transkripten och testerna. Ett viktigt steg i analysprocessen har varit att presentera analysen för forskare i forskargruppen och diskutera tolkningarna. Diskussionerna har bidragit till revideringar av analysen. Tillförlitlighet Studiens validitet handlar om i vilken mån forskaren studerar det hon tror sig studera (Merriam, 1991). Enligt Glauss och Strauss (i Kvale, 1997 s. 219) är valideringen är ingen slutlig verifiering eller produktkontroll; verifieringen är enligt deras sätt att se inbyggd i forskningsprocessen med ständig kontroll av forskningsresultatens trovärdighet, rimlighet och tillförlitlighet. I den här studien används videoinspelningar för att analysera lektioner. Det är en metod som ger en rikare bild än t.ex. observation eller bandupptagning hade gjort. Inspelningarna ger en möjlighet att analysera samma lektion flera gånger för att få högre tillförlitlighet. Transkriptionerna av filmerna som också används i analysarbetet har genomlyssnats av ytterligare en person för att få högre validitet och reliabilitet i data. Reliabilitet handlar om i vilken utsträckning ens resultat kan upprepas (Merriam, 1991) En kvalitativ studie med icke numeriska data bygger på en tolkning av data. En tolkning är gjord utifrån ett särskilt perspektiv och det är inte säkert att andra skulle få precis samma resultat. Alla utsagor har ett inslag av tolkning och detta leder till att det är möjligt att ge olika versioner av samma sak Det andra problemet är att all redovisning av rådata i litteraturen måste bygga på en selektion ur verkligheten. När man redovisar olika belägg, faller det ändå alltid tillbaka på forskarens val av händelser som skall redovisas. (Larsson, 1994 s. 182) Genom att tydligt redovisa på vilka grunder urvalen och tolkningarna görs får läsaren möjlighet att avgöra rimligheten i analysen. Reliabiliteten har också stärkts genom att analysen har diskuterats med andra personer i forskargruppen för projektet. För att ytterligare öka tillförlitligheten så används olika typer av data. Resultaten av förtest (bilaga1) och eftertest (bilaga 3) används tillsammans med analysen av lektionerna. 13

17 Det ger en möjlighet att se om analysen av lektionerna pekar på samma sak som resultaten (tabell 3) av testerna. Eftertestet är gjort för att mäta samma förmåga som uppgift fyra på förtestet. Förtest och eftertest inte är identiska. Forskarna tror sig mäta samma förmåga genom att ändra uppgifterna till t.ex. ett annat talområde (se uppgift 4, bilaga 1 och uppgift 1a och 1b, bilaga 3). För att stärka tillförlitligheten i testerna har samma projektassistent har genomfört testerna med de olika klasserna för att utesluta möjligheten att lärarna hade kunnat påverka resultatet. Det har inte förekommit någon matematikundervisning mellan förtestet och den videoinspelade lektionen som kan ha påverkat resultatet av lektionen. Det samma gäller med eftertestet. Tolkningen av resultaten av förtest och eftertest är gjorda flera gånger och alla resultat är tolkade vid samma tillfälle och av samma person. Reliabiliteten i analysen av testerna har stärkts genom att analysen vid något tveksamt fall diskuterats med annan forskare. Det är möjligt att resultatet på eftertestet förbättrats något p.g.a. en återtestningseffekt, d.v.s. att om elever testas flera gånger på samma sak kan resultatet förbättras (eleverna har då inte förbättrats genom undervisning). Det finns även möjlighet till att eleverna kan ha diskuterat ämnesinnehållet med kamrater eller vuxna utanför skolan och det i sin tur kan ha påverkat eftertestets resultat eftersom testet genomfördes någon dag efter undervisningen. 14

18 Resultat Redovisning av resultat Resultatet redovisas i tre steg. Först redovisas de tre lektionerna och de mönster av variation och invarians som respektive lektion skapat. Resultaten sammanfattas genom en tabell som beskriver de dimensioner av variation som lärarna öppnar för under respektive lektion. Därefter beskrivs elevernas lärande genom de tester som eleverna utfört. Sammanfattningsvis beskrivs de kritiska aspekter för elevernas lärande som analyserats fram genom att knyta samman analysen från lektionerna med resultaten av elevernas lärande. Övergripande likheter och skillnader mellan lektionerna Det finns många likheter mellan de tre lektionerna. Medveten om dessa likheter är det möjligt att se skillnader som vid en ytlig analys inte visar sig. Lärarna i studien undervisade om samma sak och under lika lång tid, cirka sextio minuter. Lärandets objekt var det samma under alla lektioner, att eleverna skall förstå att det finns oändligt många decimaltal. Lärarna använde samma uppgift i undervisningen. Uppgiften Jonna påstår att det finns ett tal mellan noll komma nittiosju och noll komma nittioåtta. Pelle säger att det finns inget sådant tal. Vem har rätt och varför? var tagen från förtestet (bilaga 1) som eleverna gjort tidigare. Den variation av svar som elever gav på uppgiften diskuteras under lektionen. Lektionerna hade liknande struktur. En inledande fas där resultatet av förtestet presenterades, en andra fas med grupparbete och en tredje avslutande fas med en gemensam diskussion om uppgiften. Tabell 1 visar en översikt av de tre lektionerna för att få en överblick av lektionernas uppläggning. De skillnader som beskrivs är de skilda sätt lärandets objekt behandlas under respektive lektion och de mönster av variation som skapas. Det leder till att olika dimensioner av variation öppnas för eleverna. 15

19 Tabell 1. Lektionernas övergripande innehåll och struktur! " # $ " " % &! " " ' (! "! " # $ " " ) " * " % % &! " " ' (! "! " # $ " " I tabell 1 syns en tydlig skillnad i den inledande fasen mellan klass A och andra sidan klass B och C. (Texten i tabellen är skriven så att det som är lika för klasserna är skrivet på samma rad.) Eleverna i klass B och C får en längre och mer innehållsrik introduktion till gruppuppgiften än klass A får. Det tillägget är ett resultat av lärarnas gemensamma revidering av lektionen. I klass B och C är de flesta moment lika. Det som skiljer är att läraren i klass B visar hur en helhet (linjalen) kan delas in i olika andelar t.ex. i tiondelar, hundradelar o.s.v. 16

20 Första lektionen (Klass A) Läraren inleder lektionen med en kort introduktion där hon gör eleverna uppmärksamma på de olika svar eleverna har gett på uppgiften från förtestet (bilaga 1). Därefter arbetar eleverna i grupp med denna uppgift (bilaga 2). De skall enas om ett av alternativen och motivera sitt val. De skall också illustrera sitt svar med hjälp av en tallinje d.v.s. denna skall visa vilka tal som finns i intervallet 0,97 och 0,98. I slutet av lektionen diskuteras alternativen, som är uppsatta på bädderblockspapper på tavlan. Tre grupper har svarat att det finns inga tal i intervallet 0,97 och 0,98 (alternativ e), en grupp har svarat att det finns ett tal (alternativ d) och en grupp har svarat att det finns nio tal (alternativ c). I diskussionen som följer, jämför läraren elevernas tallinjer med varandra. I denna diskussion fokuseras de tal som eleverna har skrivit in i intervallet 0,97 och 0,98 t.ex. 0, 971 (se excerpt 1). Läraren lyfter även fram olika par av decimaltal och jämför dem med varandra t.ex. 0,98 och 0,980 (excerpt 1). Decimaltalen konstrasteras med varandra så att; 1. Samma tal uttryckt med olika antal decimaler jämförs 2. Olika tal med olika antal decimaler jämförs En grupp hade skrivit att det fanns nio tal i intervallet mellan de två decimaltalen. Läraren frågar då vilket det tionde talet är. De uppräknade talen i intervallet var uttryckta med tre decimaler medan det tionde talet var uttryckt med två decimaler (se bild 1). Excerpt 1 Samma tal uttryckt med olika antal decimaler jämförs, 1 (0,980 med 0,98) 1. Putte: Det kan väl i så fall vara noll komma niohundraåtti. 2. Läraren: Noll komma niohundraåtti. Upprepar 3. Putte: Men vi ah om man räknar så. 4. Lärare: Det är inte det då? [pekar på noll komma nittioåtta] 5. Putte: Jo, det är ju det. 6. Läraren: Är det samma? 7. Putte: Ah enligt oss. Bild 1. Stillbild från film. Se excerpt 1. Läraren jämför olika par av decimaltal. I excerpt 1 jämförs samma tal uttryckt med olika antal decimaler (0,980 och 0,98). På liknande sätt under lektionen jämförs flera par av decimaltal med varandra (t.ex. 0,97 och 0,975 och 0,5 och 0,50, excerpt 2). 17

21 Ett exempel är Antons grupp som inte har skrivit några tal i intervallet. Anton (excerpt 2) ser inledningsvis 0,97 och 0,975 som samma tal Det är liksom samma tal det är ju bara att sätta en femma bakom, så därför finns det inga tal i intervallet. Excerpt 2 Olika tal med olika antal decimaler jämförs, 2 (0,97 med 0,975) 8. Läraren: Mitten här där var den. Läraren pekar på Antons grupps blädderblockspapper. Är det alldeles tomt här finns ingenting det är liksom bara luft. Pekar på intervallet mellan 0,97 och 0, Anton: ( ) Det är liksom samma tal. Niohundranitti eller noll komma nittiosju noll komma eller det är ju bara att sätta en femma bakom det är ju 10. Läraren: Hur menar du samma tal? 11. Anton: Typ. Det är som noll komma noll och noll komma fem. Nä men det skiljer ju ganska mycket på det. 12. Läraren: Så du menar, du menar aha det är så du menar Anton. Du menar att Läraren skriver på tavlan noll komma nio sju och med noll komma nio sju fem det är samma tal alltså. 13. Anton: Typ, inte riktigt men. 14. Läraren: Men hur mycket skiljer? Något senare menar Jennifer att noll komma fem är större än noll komma femtio. Hon menar att ju fler siffror ett tal har desto mindre är det, så därför måste även 0,975 vara mindre 0, Läraren: Noll komma fem är större än noll komma femtio. Upprepar det Jennifer sa. 16. Jennifer: Det säger vi i alla fall. 17. Läraren: Ah ah det får du visst, okej det säger du, det är lugnt mm. 18. Putte: Viskar Det är samma sak. 19. Jennifer: Eftersom det är eller ah är så noll komma ( ) men dom har tagit från nittiåtta har dom gjort nio tal och då blir det mycket mindre än nittisju och egentligen ska det vara större än nittiosju. 20. Läraren: Så du menar att det som dom lagt till där gör det blir det gör inte talet större än det talet och det borde vara större. 21. Jennifer: Mindre blir det. Eftersom ah när det blir mer siffror så blir det ju mindre. I utdraget (excerpt 2) visar Anton och Jennifer på två olika sätt att förstå decimaltal. Anton menar att 0,97 och 0,975 är samma tal och Jennifer att talet 0,975 är mindre än 0,97 för att talet har fler decimaler. Min tolkning är att Anton ser de fem tusendelarna i talet i 0,975 som att de inte gör talet större. Jennifer däremot ser att de fem tusendelarna gör talet mindre, eftersom tusendelar är mindre delar än hundradelar. Därför är talet 0,97 större än 0,975. Läraren försöker tillsammans med eleverna visa vad femman i talet 0,975 står för, genom att addera de olika decimaltalen 0,5, 0,05 och 0,005 med 0,97. Då jämförs även olika tal med olika antal decimaler med varandra. Vid ett tillfälle pekar läraren på intervallet mellan talen t.ex. 0,971 och 0,972 och frågar eleverna vad det finns där. 18

22 Då ges eleverna möjlighet att se att intervallet går att dela upp ytterligare. Läraren frågar vad som finns i intervallen mellan de tio talen. Vad finns det där och där? Excerpt 3 Intervallet (0,97 och 0,98) kan delas i fler än tio delar Bild 3. Stillbild från film. Se excerpt Johan: Ja men asså, men i och med att det jag tror det ska finnas en halv mellan varje sån om det finns så många tal så. 23. Läraren: Vad blir det då? Vi tar mellan dom två. 24. Johan: Jag tror man kan fortsätta så att talen blir asså så med tio tal eller med tio siffror. 25. Läraren: Ah det ska vara tio tal bakom decimaltecknet. 26. Johan Nej men asså så här nu har vi delat det så att det blir hälften så kan man säkert dela på samma på noll nie sju ett och noll nie sju två där i mellan finns det ju också (nånting)/ 27. Läraren: /Du menar hälften hälften hälften. Vad säger ni om det? 28. Elev: Vaddå? 29. Läraren: Vad säger ni om Johans tanke här? Han tänker, han menar så här, nu gjorde jag så här, jag satte pilen i mitten att man dela i hälften då tänker han ah man kan dela hälften igen så. Kort därefter 30. Erika: Det måste ju kunna gå hela vägen noll komma nie sju ett ett ett ett ett 31. Läraren: Skriver Noll komma nie sju där då ett ett ett ett är det så. 32. Erika: Jag tror det går flera gånger så och (sen på tvåan så) 33. Läraren: Och noll komma nie sju två och vad skulle hamna efter det nästa tal då 34. Erika: ( ) 35. Läraren: Ett, ska vi sätta ett där. 36. Erika: Det kommer aldrig ta slut. 37. Läraren: Det kommer aldrig att ta slut, asså nu har det hänt något i den här diskussionen, från att vi hade, inser ni här nu, från början så hade vi tre grupper som sa att det fanns inga tal och så hade vi en grupp som sa att det finns nio tal och en grupp som sa att det finns ett tal och nu säger Erika något, jättespännande hon säger att det kan aldrig ta slut, är det är det förstår jag dig rätt nu? 38. Erika: Mm 39. Läraren: Okej Jennifer 40. Jennifer: Men det, jag menar att det vad heter det man har ju delat upp, dom noll komma nittiosju/ 41. Läraren: Ah 42. Jennifer: Till (noll komma nittiofem), så har man delat upp det i nio delar och sen tog man (varje del) och delar upp den också hela tiden så det tar aldrig slut. 19