Föreläsningar. Anders Johansson tis
|
|
- Maja Bengtsson
- för 8 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 Föreläsningar Anders Johansson tis Föreläsningsplanering Föreläsn Adams bok Ämne 1 Kap Introduktion. Koordinatgeometri i rummet. Ytor och kurvor i rummet. 2 Kap. 11.1,3 Vektorvärda funktioner av en variabel och rumskurvor. 3 Kap. 11.3,12.1 Funktioner av flera variabler: kontinuitet och gränsvärden. 4 Kap Kontinuitet. Funktioner från R n till R m. 5 Kap ,10.1 Topologi. Problem om kurvor och gränsvärden. Parametrisering efter b 6 Kap Deriverbarhet, Jacobianen, partiella derivator. 7-8 Kap Kedjeregeln, gradienten. Högre ordningens derivator. PDE Kap Implicita funktionssatsen, Talorserier 11 Kap. 12 Problemdemonstration Kap ,5 Egenskaper hos kritiska punkter. Globala etremvärdesproblem. Etrem Kap ,5 Multipelintegraler, itererade integraler Kap. 14.4,6 Variabelbte, polära koordinater, clindriska och sfäriska Kap. 14.7, Vektorfält, konservativa vektorfält Kap Kurvintegraler. Ytor och tintegraler Kap. 16 Vektoranals: divergens och rotation, Greens sats, Gauss sats och Stoke Introduktion och koordinatgeometri Koordinatgeometri i rummet och planet Introduktion Till vad använder vi analsen? Analsen och matematiken i helhet tillhandahåller verktg, språk, för att kommunicera eakt och klart. Anals ger verktg för att studera kontinuerliga och deriverbara fenomen. 1
2 ÙÖ ½¼¹½¹ Hur beskriver tillståndet hos en kemisk reaktion i en reaktor? Ett flgplans position och orientering. En triangel inskriven i en cirkel? Sålunda används n-/tupler/ = ( 1,..., n ) av reella tal att ge kvantitativa beskrivningar av fenomen. Fenomenet vi studerar svarar mot den delmängd S R n som motsvaras av ett tillstånd p hos fenomenet. (R n är mängden av n-tupler.) Hur beskrivs temperaturfördelningen på en värmeplatta? Även oändligt-dimensionella tillståndsrum kan behandlas med elementär anals. (Funktionalanalsen behandlar sådana här funktionsrum men man behöver inte alltid dessa verktg.) Rummet R n I planet R 2 betecknas elementen ofta med (, ), (u, v), etc. I det tredimensionella rummet 3D-rummet R 3 används (,, z), (u, v, w) etc. z O z r O s z P º z» Q º 0» 2 ÙÖ ½¼¹½¹
3 Vi använder oftast dessutom den Euklidiska strukturen på R n som kan uttrckas med att punkter i rummet kan jämställas med vektorer och att vi har en skalärprodukt som gör koordinatalarna ortogonala. Punkter och vektor sammanfaller Hur tänker vi oss förändring av position i rummet? Hastighet? Vi låter vektorer representera ändring av position eller förflttning. Vektorn mellan punkten P R n och Q R n, betecknas P Q, är den entdiga förflttning - translation - som tar punkten P på Q. En translation är en avbildning som avbildar R n på R n z + b. ÙÖ ½¼¹½ i k j r z P º z» En punkt P R n svarar entdigt mot ortsvektorn OP och vi kan därför identifiera punkter med ortsvektorer. Vi har OP + P Q = OQ, det är därför inget fel (i R n!) att jämställa vektorer med punkter. Dessutom är avståndet mellan två punkter P och Q given av längden på vektorn P Q. I fortsättningen låter vi alltså n-tupeln = (1,..., n ) beteckna både vektorn och punkten (orts-vektorn). Låt i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0) och k = (0, 0, 1) vara enhetsvektorerna i koordinatriktningarna i 3D-rummet, så vektorn (a, b, c) R 3 kan skrivas som ai+bj+ck. I boken används genomgående denna notation. I R n kan vi skriva = ( 1,..., n ) = 1 e e n e n. 3
4 Skalärprodukt och vektorprodukt En viktig egenskap hos det euklidiska rummet R n uttrcks i att vi utgår från den cartesiska skalärprodukten: Om u = ( 1, 1, z 1 ) och v = ( 2, 2, z 2 ) så är u v = z 1 z 2. u s uv v ÙÖ ½¼¹¾¼ Vi vet att Och att u = u v u v = u v cos θ där θ anger den vinkeln mellan u och v. Geometriskt uttrcker valet av denna skalärprodukt att koordinatalaran är ortogonala, dvs vinkelräta, eftersom { 1 i = j e i e j = 0 i j. Vi tolkar alltid vektorer i matrisuttrck som kolonnvektorer, dvs, (,, z) =. z I matrisnotation kan skalärprodukten u v = u T v. z P0 v r r0 r P r0 (Rela- Vi beskriver delmängder av R n med ekvationer och olikheter. tioner) ÙÖ ½¼¹ ¼ Implicit form (ekvationer) och eplicit form (parametriseringar) 4
5 E Linje i planet l = {(, ) : = 3 + 1}. 2. Cirkel 3. Plan C : = 1 (enhetscirkeln). P : + + z = Snitt av två plan (linje i rummet) L : { + + z = 1 z = 0 5. Clinderkropp Eller med parametriseringar K : a 2, (,, z) R 3 E l = {(t, 3t + 1) : t R}. 2. C = {(cos t, sin t) : t R}. (Viktig skillnad mot linjens parametrisering: Endast lokal injektivitet.) 3. Linjär algebra ger att planet ges av en punkt plus en linjärkombination av riktningsvektorer i planet P : 0 + t t 2 0 t 1, t 2 R Observera att rikningsvektorerna är ortogonala mot planets normalvektor (1, 1, 1). 4. För skärningen av planen behövs endast en riktningsvektor 1 2 L : 0 + s 1, s R. 0 1 Observera att denna är ortogonal mot båda planens normalvektorer. 5
6 5. K ges av parametriseringen (r cos θ, r sin θ, t) med de tre parametrarna 0 r a, θ, z R. (Man parmetriserar inte ofta kroppar. Varför?) Att överföra från implicit ekvationsform till eplicit parametriserad form är en viktig tp av problem. E 3. Parametrisera den kurva som ges av skärningen { z = 2 clinder C Lösning (Figur) + = 2 plan P = t, = 2 t, z = t 2. Vilka egenskaper har de olika formerna av beskrivning? Med ekvationsformen kan vi snabbt avgöra om en punkt är medlem i mängden eller inte. Parameterformen sätter koordinater på mängden och är lämplig för att eempelvis beskriva en partikel som rör sig på mängden. Variabelbten Som vanligt gäller att man ofta kan förenkla ett problem och beskrivning genom att införa na koordinater eller variabler. E 4. Ellipsoiden ( 1) 2 + 4( 3) 2 + 9z 3 = 7 överförs på enhetssfären u 2 + v 2 + w 2 = 1 genom att låta u = ( 1)/ 7, v = 2( 3)/ 7 och w = 3z/ 7. Detta är translation med vektorn (1, 3, 0) (punkten (1, 3, 0) som ntt origo) sammansatt med en skalning (,, z) 1 7 (1, 2, 3z). Linjära och affina variabelbten Translation betder ett variabelbte av formen (u, v, w) = ( a, b, z c) (,, z) = (u, v, w) + (a, b, c). Det kan uttrckas som att vi flttar origo till punkten (a, b, c). 6
7 Skalning ändrar enheter på koordinatalarna (,, z ) = (a, b, cz) (,, z) = ( /a, /b, z /c). Linjära variabelbten kan tolkas som att vi bter bas för vektorrummet R n. E 5. Sadeltan (fig) z = 2 2 överförs på sadeltan w = uv i uv-planet genom variabelbtet u = +, v =, w = z. Detta är ett linjärt variabelbte; vi kan skriva u v = A, w z där A = Sammansättningen av en translation med en linjär avbildning sägs vara en affin avbildning: u = A + b. Polära koordinater Ett viktigt variabelbte i planet R 2 är övergång till polära koordinater. Vi har (, ) = (r cos θ, r sin θ) och omvänt r = θ = arctan(/) + nπ, n Z. Avbildningen (r, θ) (r cos θ, r sin θ) är inte injektiv, så inversen blir mångtdig. Enhetscirkelns ekvation i polära koordinater: r = 1. En spiral: r = θ, θ 0. Formellt är de variabelbten vi arbetar med (deriverbara!) avbildningar F : R n u R n, som åtminstone lokalt är surjektiva och lokalt bijektiv. 7
8 Ortonormala variabelbten En viktig egenskap hos linjära variabelbten är att man ofta inte vill ändra vinklar eller avstånd. För vilka variabelbten gäller detta? E 6. Betrakta variabelbtet u v = A = Om är en vektor i -planet så är motsvarande vektor i uv-planet given av u = A. Observera att A är en ortogonalmatris vilket innebär att A T A = I. Om och är två vektorer i planet och u = A och v = A är motsvarande vektorer i uv-planet. Då gäller u v = (A) T (A) = T A T A = T =. Mer variabelbten finns att hitta i (sfäriska koordinater) Koordinatgeometri i rummet. Andragradstor. De tor i R 3 som fås som lösningar till polnomekvationer av andra graden kallas andragradstor. Vi ger enkla standard-eempel. Alla tor av samma slag kan erhållas ur standardtorna genom affina variabelbten. Den kanske enklaste klassen av tor utgörs ellipsoiderna. Ekvationen 2 a b 2 + z2 c 2 = 1, ger en ellipsoid med alar längs koordinatriktningarna. (Allmänna ellipsoider fås genom ett linjärt variabelbte.) (figur) 8
9 z c b ÙÖ ½¼¹ ¹ a En funktionsta är en ta vars ekvation kan skrivas på formen z = f(, ). Eempel är den (elliptiska) paraboloiden z = och sadeltan (den hperboliska paraboloiden) z = 2 2. En funktionsta har en naturlig parametrisering. Vilken? z z ÙÖ ½¼¹ ¹ ÙÖ ½¼¹ ¹ En regelta (ruled surface) är en ta som är täckt av en familj av linjer. En clinderta uppstår när tan täcks av parallella linjer. Clindern genereras av den kurva den skär ut i ett plan ortogonalt mot linjerna. 9
10 Standard-eemplet på en clinder är den räta cirkulära clindern i z- riktningen (figur) = 1, (,, z) R 3. Här är alla linjer parallella med z-aeln och skär -planet i enhetcirkeln. Ytor vars ekvationer saknar en variabel är räta clindrar. (I koordinatriktningarna) En kon är en regelta som täcks av linjer som alla skär varandra i en fi punkt (kallad verte). Konen genereras av de kurvor (plural) som skär alla linjer precis en gång. (figur) Standard-eemplet på en kon är den räta cirkulära konen i z-riktningen (figur) z 2 = 2 + 2, (,, z) R 3. Erhålls genom att rotera linjen = omkring z-aeln. z z ÙÖ ½¼¹ ¹ ÙÖ ½¼¹ ¹ Den mest okända klassen av tor är kanske hperboloiderna som liknar koner som har blivit avrundade vid verte. Standard eemplerna är den en-mantlade hperboloiden och den två-mantlade z 2 = z 2 = 1 Båda är rotationstor av hperblar i z-planet. 10
11 z z ÙÖ ½¼¹ ¹ Reduktion till standardtorna ÙÖ ½¼¹ ¹ Hur hittar vi ett linjärt variabelbte som överför en polnomekvation till standard-ekvationen? Den allmänna formen på ekvationen är alltså E 7. Givet A 2 + B 2 + Cz 2 + a + bz + cz + d + e + fz = g. (*) Vilken tp av ta är detta? z + 2 z = 1. Lösn. Kvadratkomplettera tills den homogena delen av andra ordningen är på formen a 1 u 2 + a 2 v 2 + a 3 w 2, där u, v, w representerar ett linjärt variabelbte. Vi kan kvadratkomplettera så att de linjära termerna förssvinner (motsvarar translation) om koefficienten framför motsvarande kvadrat-term inte är noll. Detta går alltid! (Försök finna en metod.) Eller: använd teorin om kvadratiska former. Vi kan använda matriser för representationen T A + a T = konst., där A är en smmetrisk 3 3-matris och a = (d, e, f). Metoden ger ett ortogonalt variabelbte + skalning + translation som ger formen A 1 u 2 + A 2 v 2 + A 3 w 2 + a 1 u + a 2 u + a 3 u = konst. där A i, a j antar värdena ±1 eller 0 och dessutom gäller A i a i = 0. 11
12 Parametriserade kurvor i rummet Parametriserade kurvor i rummet I kapitel 11 tar man upp kurvor i rummet och deras parametriseringar. En kontinuerlig funktion r(t) från ett intervall t I = (a, b) till rummet R n är en vektor-värd funktion. Under lämpliga förutsättningar är dess bildmängd r(i) en kurva C i rummet. Vi kan då säga att r(t) är en parametrisering av kurvan C. En parametrisering kan sägas åskådliggöra en partikels rörelse längs kurvan och viktiga kinematiska storheter som hastighet och acceleration tas upp. De deriveringsregler för vektor-värda funktioner som tas upp borde kännas naturliga. I avsnitt 11.3 koncentrar man sig på de geometriska egenskaper hos kurvan som är oberoende av parametrisering. Det viktigaste gäller längden av kurvor och hur dessa erhålls ur en integral för en given parametrisering. Definition av parametriserad kurva i R 3 Betrakta en kontinuerlig vektor-värd funktion r : I R n definierad på ett intervall I R med ändpunkter a och b till R n. (Figur: Intervall+kurva.) En sådan funktion kan ses som en n-tupel ( 1 (t),..., n (t)) av funktioner R R. Vi tolkar värdet som en vektor (eller ortsvektor) och i R 3 kan vi skriva r(t) = ((t), (t), z(t)) = (t)i + (t)j + z(t)k. En naturlig tolkning är också r(t) = en partikels position i R n vid tiden t. Vi kan ibland säga att funktionen r(t) är en parametriserad kurva, där kurvan sftar på bildmängden C = r(i) R n. (Huruvida detta är en bra eller dålig parametrisering återkommer vi till.) Många egenskaper vi är intresserade av beror endast på kurvan C och inte på r(t), men r(t) kan vara ett stöd för räkningarna. E 8. Beskriv bildmängden av r(t) = (t, t 2, t 4 ), 1 t 1, med ekvationer. Lösn. Parametrisering säger att = t, = t 2 och z = t 3. Värdetabell + figur 12
13 t r(t) 1 (1,1,1) 0 (0,0,0) -1 (-1,1,-1) 1/2 (1/2,1/4,1/8) Vi ser också att kurvan satisfierar ekvationerna = 2 och z = 3. Den utgör alltså skärningen mellan två clindrar; en parallell med z-aeln och en parallell med -aeln. (Figur) (Allmänt: en clinderta är en ta som täcks med en familj av parallella linjer. Vi upptäcker clindrar i koordinatriktningarna genom att en av variablerna saknas i ekvationen.) E 9. Bestäm parametriseringen av skärningskurvan mellan torna z = (paraboloid) och z = 4 (plan). Lösn. Vi ser först att vi kan eliminera z och få ekvationen (kvad. kompl.) = 4 ( 1) 2 +4( 1) = 4 ( 1) 2 +4( 1) 2 = 1. Detta är en ellips i -planet med centrum i punkten (1, 1). Efter variabelbte u = 1 och v = 2( 1) får vi enhetscirkeln i uv-planet som vi vet parametriseras med u = cos t och v = sin t, dvs = 1 + cos t, = 1 sin t Insättes detta i ekvationen för planet erhåller vi Svar: z = 4 2(1 + cos t) 8( 1 sin t + 1) = 2 cos t 4 sin t 6. 2 r(t) = (1 + cos t, 1 sin t + 1, 2 cos t 4 sin t 6). 2 Definition av derivatan (hastigheten) Def 1. Derivatan av en vektorfunktion r : I R 3 i en variabel definieras som r r(t + h) r(t) (t) := lim h 0 h (t + h) (t) = lim(, h 0 h = ( (t), (t), z (t)). (t + h) (t), h z(t + h) (t) ) h 13
14 ÙÖ ½½¹ vºt» z rºt» rºt t» ÙÖ ½½¹½ Figure 1: Derivatans definition. Med andra ord deriverar vi helt enkelt vektorfunktionen r(t) : R R n komponentvis och r(t) är deriverbar om och endast om koordinatfunktionerna är det. (Detta kan vi göra så länge vi uttrcker vektorn r(t) i en bas som inte beror på t.) Vi ser att derivatan r (t) är en tangent till kurvan och kan benämnas (tolkas som) hastigheten för r(t) vid tiden t. Tar man derivatan av r (t) erhålls accelerationen r (t). Obs 1. Det finns ett överflöd av notation: dr, ṙ, etc. I boken används också dt beteckningen v(t) för hastigheten och a(t) för accelerationen. Längden av hastighetsvektorn kallas fart r (t) := (t) 2 + (t) 2 + z (t) 2. E 10. Om r(t) = (t, t 2, t 4 ), 1 t 1, så är r (t) = (1, 2t, 4t 3 ), r (t) = (0, 2, 12t 2 ). E 11. En funktionskurva = f() i -planet ger upphov till den vektorvärda funktionen r() = (, f()) R 2. Detta är den naturliga parametriseringen för en funktionskurva. Derivata är r () = (1, f ()). (Vi kan låta vara parametern.) Acceleration r () = (0, f ()) är alltså alltid nedåtriktad. v 0 z r 0 14
15 Produktregeln vid derivering av matrisprodukter Låt A(t) R m n, (t) R n och b(t) R m vara matrisvärda funktioner. Om vi deriverar matrisuttrcket (komponentvis derivering) så erhålls u(t) = A(t)r(t) + b(t), u (t) = A (t)r(t) + A(t)r (t) + b (t). Beviset för detta är elementärt: det följer direkt ur deriveringsregler för produkter i envariabelfallet. (Intressant när A(t) + b(t) är ett tidberoende variabelbte.) Från detta erhåller man bland annat att derivering av vektorprodukten och skalärprodukten följer Leibniz regel, dvs E 12. Låt d dt (u(t) v(t)) = u (t) v(t) + u(t) v (t). r(t) = (4 sin ωt, 3 sin ωt, 5 cos ωt). Då gäller att (vinkelhastigheten ω) kan faktoriseras ut som inre derivata och vi får r (t) = ω(4 cos ωt, 3 cos ωt, 5 sin ωt), och Notera att r (t) = ω 2 ( 4 sin ωt, 3 cos ωt, 4 sin ωt). r (t) r(t) = ω sin(ωt) cos(ωt)( ) = 0, dvs r (t) r(t). (Positionsvektorn är ortogonal mot hastighetsvektorn). Detta betder att tidsderivatan av positionsvektorns längd i kvadrat d dt r(t) 2 = d dt (r(t) r(t)) = 2r (t) r(t) = 0. Alltså är r(t) 2 (= avståndet till origo) en konstant över tiden. Vi kan sluta oss till att r(t) befinner sig på en sfär med medelpunkt i origo. Ur den trigonometriska ettan följer också lätt att r(t) 2 = 25 cos 2 ωt + 25 sin 2 ωt = 25, så r ligger på en sfär med radie 5 och centrum i origo. 15
16 Dessutom gäller likheten 3 4 = 12 cos ωt 12 cos ωt = 0. så r(t) ligger i skärningen (snittet) av planet 3 4 = 0 och sfären z 2 = 25. Detta inses vara en cirkel med radie 5. Vi får också att r (t) = Ω r(t), där Ω är en konstant vektor av längd ω och riktning i planets normalriktning. I R 3 kan man alltid representera cirkulära rörelser med en sådan vektorvärd vinkelhastighet Ω. Att r (t) = ω 2 r betder att accelerationen är en centripetalacceleration. Båglängd Tillräckliga villkor för parametriseringar Inte alla kontinuerliga vektorfunktioner f(t), t I, är bra parametriseringar av en given kurva C R 3. Bra betder (åtminstone lokalt) injektiv. I praktiken kräver man 1. Att f (t) eisterar för alla t I och är kontinuerlig, dvs f : I R n är kontinuerligt deriverbar. 2. Och att f (t) 0, för alla t I. Villkoren innebär att r(t) är lokalt injektiv och har en kontinuerligt varierande tangentlinje parallell med r (t). Dvs, inga hörn. I de punkter där detta inte gäller måste man göra specialstudier. Men man kan för många ändamål bortse från dessa singulära punkter om de är ändligt till antalet. E 13. Kurvan r(t) = t 3 i + t 2 j i R 2 har derivata r (t) = 3t 2 i + 2tj och är singulär i punkten t = 0. I denna punkt är kurvan inte heller deriverbar i betdelsen att den inte har en väldefinierad tangentlinje. 16
17 r 1 r i 1 r t 3 i t 2 j Figure 2: En kurva med en singulär punkt. ÙÖ ½½¹¾ E 14. En parametrisering som inte är så lckad är till eempel = t 2, = t 4, 1 t 1. (A) Den parametriserar kurvan = 2, 0 1. Vi ser att derivatan v(0) = (0, 0) och för varje (, 2 ) nära 0 finns det två t så att r(t 1 ) = r(t 2 ) = (, 2 ) och att t 1 t 2 0 då 0. Den är alltså inte lokalt injektiv i punkten t = 0. Dessutom går den över sig själv två gånger. Definitionen av båglängd r 3 r n r 0 r i Vi vill definiera en längd l(c) till varje kurva C. Betrakta kurvan C som ges av r(t), a t b. ÙÖ ½½¹ Vi antar att r(t) är injektiv, så att den inte skär sig själv. Dela in intervallet [a, b] i N delintervall [t i, t i+1 ] genom att välja N 1 inre punkter a = t 0 < t 1 < < t N = b. 17
18 Låt C N vara motsvarande polgonkurva (stckvist linjär) med hörn i punkterna r i = r(t i ), i = 0, 1,..., N. Längden av polgonkurvan är l(c N ) = N r i r i 1 (L) i=1 och längden ökar om vi gör indelningen finare, dvs lägger till punkter i indelningen. l(c) som det minsta tal som är större än l(c N ) för varje indelning t 0,..., t N. Eller l(c) = sup {l(c N ) : C N polgonapproimation} där C N genomlöper alla polgon-approimationer av C. Om r(t), a t b, är en injektiv parametrisering av C så gäller att varje indelning av intervallet [a, b] ger en polgon-approimation C N av längd där l(c N ) = N r i r i 1 = i=1 Integralformen av längden N r i t i t i, i=1 r i = r i r i 1. Låt C 1 betda kontinuerligt deriverbar. Thm 1. Om r(t) är injektiv och C 1 och r (t) 0 så gäller att längden av kurvan ges av integralen l(c) = sup l(c N ) = b a r (t) dt. Notera att l(c), per definition, är oberoende av parametriseringen, så vi kan ta vilken injektiv C 1 -parametrisering som helst. Notera tolkningen tillrggalagda sträckan = integralen av farten. Detta gäller också när r är C 1 förutom i ett ändligt antal punkter. (Varför?) E 15. Om r(t) = a + tv, t [a, b], så gäller att l(c) = (b a) v. 18
19 Vi kan tillåta att parametriseringen är icke injektiv i ett ändligt antal punkter; dvs kurvan skär sig själv i ett ändligt antal punkter. Samma sak gäller deriverbarhet och om r (t) = 0 i ett antal punkter. Man brukar införa båglängdselementet ds för att understrka att integralen är parametriseringsoberoende. För en given C 1 -parametrisering r(t) har vi alltid ds = r (t) dt. Vi kan skriva integralen som l(c) = C ds. E 16. Om r() = (, f()), [a, b], är en funktionskurva i -planet så ges längden av b 1 + (f ()) 2 d a E 17. Den cirkulära spiralkurvan ges av parametrisering = a cos t, = a sin t, z = bt. Beräkna längden av segmentet mellan (a, 0, 0) och (a, 0, b2π). z ºa 0 2 b» ºa 0 0» ÙÖ ½½¹ Lösn. Segmentet S ges av delintervallet t [0, 2π]. Vidare gäller att r (t) = ( a sin t, a cos t, b) så r = a 2 + b 2. Vi får l(s) = 2π 0 a 2 + b 2 dt = 2π a 2 + b 2. 19
20 Parametrisering efter båglängd E 18. Skissera kurvan r(t) = e t/6 (cos(t), sin(t)), 0 t < 1, i planet. Bestäm längden s(t) av den del av kurvan som ligger mellan r(0) och r(t). Finn båglängdsparametrisering av kurvan. r ae tºcosti sintj» r ae tºsinti costj» ÙÖ ½½¹½ ¹ Figure 3: En annan logaritmisk spiral Lösn. Spiral där avståndet till origo avtar eponentiellt. Figur. Öppen kurva där t = 1 ej är med. Vi beräknar hastigheten r (t) = 1 6 e t/6 (cos(t), sin(t)) + e t/6 ( sin(t), cos(t)). Farten v(t) fås ur Pthagoras sats eftersom termerna ovan är ortogonala v(t) = e t/6 (1/6) = e t/6 37/6. Vi har sträckan som funktion av tiden ges av integralen Vilket evaluerar till s(t) = t 0 v(s)ds = 37 t s(t) = 37(1 e t/6 ). 0 e s/6 ds/6. 20
21 Parametrisering efter båglängd Men vad är parametriseringen efter båglängd för något? För en C 1 vektorfunktion r(t), där a t b, gäller att den tillrggalagda sträckan (figur) som funktion av tiden ges av s(t) = Denna är strikt väande om farten t 0 r(s) ds. ds dt = v(t) = r (t) > 0. Alltså injektiv med invers t(s), som tar [0, s(b)] på [a, b]. Figur. Vektorfunktionen q(s) = r(t(s)), där 0 s s(b), parametriserar kurvan med avseende på båglängd. Notera att dt ds = 1/ds = 1/v(t), så dt q (s) = r(t) dt ds = q (s) = r (t) /v(t) = 1. Parametriseringen har enhetsfart. Vi fortsätter uppgiften Lösn. Vi löser ut t som funktion av s s = 37(1 e t/6 ) e t/6 = 1 s/ 37 t = 6 log(1 s/ 37). Notera att e t/6 = (1 s/ 37) så vi får q(s) = (1 s/ 37)(cos( 6 log(1 s/ 37)), sin( 6 log(1 s/ 37))). Blandade derivator Slutligen ett eempel på en tp av uppgifter som kräver att vi kan använda kedjeregeln. E 19. En punkt r(t) rör sig i -planet på kurvan = 2 med farten v(t) = 3 i stigande -värde. Bestäm dess hastighet och acceleration a(1) om r(1) = ( 2, 2). 21
22 Lösn. Vi skriver r(t) = (, 2 ), där = (t). Vi får hastigheten r = d (1, 2). dt och accelerationen r = d2 (1, 2) + d2 ( ) d 2 (0, 2). dt Samtidigt vet vi att r = 3, vilket ger att vi kan beräkna d dt = 3 > (Teckenfrågan avklaras med att d dt gäller enligt kedjeregeln > 0 enligt förutsättningarna.) Dessutom dvs, efter derivering, = d 2 dt 2 = d d dt dt = d dt 3 d d d 2 dt 2 = Evaluera med t = 1 och = 2, vilket ger ( d d d dt, ( ) ) 24 2( ) 3/2 d dt t=1 = 1 d 2 t=1 dt 2 = = Vi kan sätta in dessa värden i uttrcken för r och r och vi får r (1) = ( r (1) = 1 (1, 2) = (1, 2 2). )(1, 2 2) (0, 2). = ( 4 2, 14). 9 22
23 Funktioner i flera reella variabler Början på kapitel 12 handlar om att utvidga de grundläggande begreppen: gränsvärde, kontinuitet och speciellt derivata från fallet med funktioner i en variabel till flera variabler. Det allmänna funktionsbegreppet Def 2. Givet två mängder X och Y. En funktion 1 från X till Y är en regel som tilldelar varje punkt (element) X ett unikt funktionsvärde (element) Y. Mängden X utgör definitionsmängd (D f = X) för f och Y dess värdeförråd 2. Bildmängden 3 är den delmängd av Y som utgörs av $f$s funktionsvärden. Funktioner från R n till R m. f(x) = {f() : X} Det allmänna funktionsbegreppet är väldigt tillämpbart i många sammanhang. Vårt intresse är främst inriktat på funktioner (figur) som har sin definitionsmängd i R n, n 1, och antar värden i R m, m 1. Vi talar lite slarvigt om sådana funktioner som funktioner f() från R n till R m, även om definitionsmängden D f bara är en delmängd av R n. Om n > 1 så har vi en funktion i flera variabler, vilket också förklara namnet på kursen. Om värdeförrådet har dimension m > 1, så skriver vi funktionen i fetstil (eller med streck på tavlan), eemeplvis g(), g : R n R 2. Vi kallar sådana funktioner vektorvärda. (Detta är litet oegentligt eftersom de ofta snarare är punktvärda; men punkter i R m kan identifieras med vektorer som vi talat om tidigare. Funktioner med värden i R kallas reellvärda.) Det flesta begrepp och definitioner (gränsvärde, kontinuitet, deriverbarhet, integralen, etc.), vi kommer att införa, generaliserar begrepp i envariabelsanalsen. Vissa begrepp låter sig dock inte generaliseras E 20. Vi kan inte direkt tala om monotona reellvärda funktioner. Vi kan dock säga att en funktion är väande längs en viss tp av kurvor. (R är totalt ordnad.) 1 FOOTNOTE DEFINITION NOT FOUND: fn:5 2 FOOTNOTE DEFINITION NOT FOUND: fn:6 3 FOOTNOTE DEFINITION NOT FOUND: fn:4 23
24 Eempel E 21. Följande är eempel på funktioner från R n till R m. 1. Om n = m = 1 så har vi en vanlig reellvärd funktion i en variabel från den tidigare analskursen. E: f() = 2, f() =. 2. Om n = 1 och m > 1 så har vi en vektor-värd funktion i en variabel som i kapitel 11 i Adams. Eempelvis r(t) = (cos t, sin t, t), n = 1 och m = Om n = 2 och m = 1 så har vi en reellvärd funktion i två variabler. En tpisk tillämpning är när u(, ) anger en temperaturfördelning för en ta som med koordinater givna av och. 4. För fallet n = m > 1 finns två viktiga tillämpningar; dels variabelbten (u, v) = f(, ) och dels vektorfält där funktionsvärdet X(p) tillordnar en vektor till punkten p R n. Eempelvis, tänker man sig vektorfältet X(,, z) = 1 (,, z), z2 som ett fält där en enhetsvektor riktad från origo har tillordnats till varje punkt. 5. Om n < m kan f() tänkas vara en parametrisering av en hperta i den högre dimensionen R m. Eempelvis f(t 1, t 2 ) = p + t 1 v 1 + t 2 v 2, p, v 1, v 2 R 3 parametriserar ett plan i R 3 genom punkten p om v 1 och v 2 är linjärt oberoende. Injektiva funktioner Def 3. En funktion f : X Y är injektiv om varje f(x) i bildmängden ges av precis en punkt i D f = X. En funktion är surjektiv om bildmängden f(x) är hela Y, dvs varje - värde i värdeförrådet är ett funktionsvärde. En funktion är bijektiv om den både är surjektiv och injektiv. 24
25 Vi definierar inversa bilden av delmängder C Y av värdeförrådet f 1 (C) = { X : f() C}. Ett annat sätt att uttrcka injektivitet är att nivåkurvorna, som vi kan skriva f 1 ({c}), c f(x), utgörs enstaka punkter i X. Def 4. Om f är injektiv finns en funktionsinvers f 1 : f(x) X så att sammansättningarna med f ger identitetsfunktioner f(f 1 ()) =, f 1 (f()) =. E En funktion f : R n R m är aldrig injektiv om m < n, såvida den inte är väldigt konstig (diskontinuerlig). 2. Funktionen = sin är inte injektiv medan funktionen = sin, [ π/2, π/2] är injektiv och har invers arcsin : [ 1, 1] [ π/2, π/2]. E 23. Begreppet injektivitet är främst viktigt när vi talar om parametriseringar. 1. En kurva r(t) = ((t), (t)) i planet är injektiv om den inte skär sig själv. 2. Den naturliga parametriseringen av en funktionsta (, ) (,, f(, )) i R 3 är injektiv. Vi har funktionsinversen (,, f(, )) (, ) från S f till D f. 3. En linjär funktion f() = A, representerad av en matris A R n m, är injektiv om kolonnerna är linjärt oberoende. (Rangen av matrisen är lika med m.) Funktionstor och nivåkurvor Vi studerar nu reellvärda funktioner. Funktionsgrafer Ytan S = S f på formen S : z = f(, ), (, ) D f utgör grafen av funktionen 4 i R 3. När vi presenterar funktionen på ekvationsform så kallas variabeln z för värdeförrådet R den beroende variabeln. Variablerna och sägs vara de oberoende. 4 FOOTNOTE DEFINITION NOT FOUND: fn:1 25
26 z fº» z graph domainof f En funktionsgraf S f har den naturliga parametriseringen ÙÖ ½¾¹½ R(, ) = (,, f(, )) S, (, ) D f som är globalt injektiv eftersom den ortogonala projektionen ned på -planet S D f given av (,, f(, )) (, ) utgör funktionsinvers. Nivåkurvor Vi får för varje värde c i bildmängden av f(, ) en icke-tom nivåkurva f 1 ({c}) (nivåta i högre dimensioner) som på ekvationsform ges av f 1 ({c}) : f(, ) = c, (, ) D f dvs, nivåkurvan för c innehåller alla punkter (, ) som delar samma värde f(, ) = c. Nivåkurvorna skär inte varandra och täcker hela definitionsmängden. 26
27 z 3 z Figure 4: En funktionsta med begränsad definitionsmängd ÙÖ ½¾¹¾ Om S beskriver ett landskap i 3-dimensioner där z anger höjd ö.h., så utgör en samling av nivåkurvor en topografisk karta av landskapet. Vi ser att L c utgör ortogonala projektionen ned på -planet av skärningen mellan tan S och det horisontella planet z = c. E 24. Beskriv torna respektive nivåtorna för funktionerna ovan. Frågor Kan nivåkurvor skära varandra? Svar: Nej. 2. Gäller det alltid att nivåkurvor som är linjestcken är parallella? Nej, motsvarande linjer kan skära varandra utanför definitionsmängden D f. Betrakta z = /. 3. Hur ser man att en punkt är ett lokalt maimum utifrån nivåkurvorna? Som en bergstopp på en topografisk karta. Gränsvärden, kontinuitet och topologi Gränsvärdesdefinitionen Gränsvärdesbegreppet fungerar väsentligen som tidigare; definitionen är densamma med ett justerat närhetsbegrepp. Funktionen f(), från R n till R m, har gränsvärde L i punkten a om följande gäller: Funktionsvärdet f() går mot L så snart går mot a. Vi skriver: f() L då a, 27
28 z ÙÖ ½¾¹ ¹ Figure z 2 2 5: Sadeltan z = 2 2 eller lim f() = L. a För vektorvärda funktioner f() = (f 1 (),..., f m ()) gäller att gränsvärdet ges av koordinaternas gränsvärden, dvs lim f() = (lim f 1 (),..., lim f m ()). Vi kan alltså diskutera utifrån fallet att f är reellvärd. Uttrckt i ɛ δ-eercis har vi följande eakta definition. Def 5. Gränsvärdet lim a f() eisterar och är lika med L om följande gäller: 1. För varje δ > 0 finns åtminstone ett D f så att 0 < a < δ. 2. För alla ( ) ɛ > 0 eisterar ett ( ) δ > 0 så att f() L < ɛ om0 < a < δ, D f. 28
29 C 1 C C 9 4 C 9 C 4 C 1 C 0 ÙÖ ½¾¹ ¹ Figure 6: Sadeltan med nivåkurvor Skillnaden mot envariabelfallat är att kan närma sig a på många olika sätt; i en variabel finns väsentligen bara två möjligheter: från höger eller från vänster. I flervariabelfallet skall samma gränsvärde erhållas oberoende av längs vilken väg man närmar sig punkten a. Kontinuitet Kontinuitet är ett fundamentalt, intuitivt och uråldrigt begrepp i analsen. I räkningar manifesterar sig kontinuiteten hos en funktion f genom att den kommuterar med limes, dvs lim f() = f(lim ), förutsatt att högerledet är definierat, dvs a = lim D f. Annorlunda uttrckt: Funktionsvärdena f() närmar sig f(a) när närmar sig a. Den gränsövergång som lim sftar på kan i stort sett vara vad som helst. E 25. Låt f(u, v) = u 2 + v 2 och u n = 1 + 1/n och v n = e n. Då gäller (lim = lim n ) lim f(u n, v n ) = f(lim u n, lim v n ) = f(1, 0) = 1, 29
30 4 level curves fº» C 0 C 0 5 C 1 C 1 5 C 2 C 2 5 C Figure 7: Nivåkurvor för en funktion med begränsad definitionsmängd ÙÖ ½¾¹ ¹ t f är kontinuerlig. Vi skriver ibland att f C eller f C(D f ) för att formulera att f är kontinuerlig. (Formellt är C(S) mängden (klassen,... ) av funktioner som är definierade och kontinuerliga på mängden S R n.) Räkneregler för gränsvärden och kontinuitet av elementära funktioner Samma räkneregler gäller i flera variabler som i en variabel dvs. gränsvärdet av en summa är summan av gränsvärdena etc. Räknereglerna kan härledas ur kontinuitetsdefinitionen lim F (f()) = F (lim f()) om F : R n R är kontinuerlig och högerledet definierat. E 26. Vi har (om inte annat lätt att visa direkt ur definitionen) att funktionen Mul(, ) =, är kontinuerlig, så lim f() g() = lim Mul(f(), g()) = Mul(lim f(), lim g()) = lim f() lim g(). Notera dock att HL är odefinierat inte betder att gränsvärdet inte eisterar. 30
31 E 27. Gränsvärdet men uttrcket är odefinierat. sin lim (,) (0,0) lim sin lim = 0/0 = 1 Med hjälp av dessa räkneregler fås att alla uttrck i elementära funktioner blir kontinuerliga. E 28. Om f(, ) = cos(e 2 ( )) så gäller att Där lim betder lim (,) (a,b). lim f(, ) = cos(lim e 2 ( )) = = = cos(e b2 (a 3 + b 2 )) = f(a, b) Gränsvärden kan dock eistera utanför definitionsmängderna, där eempelvis nämnare blir noll. Punktföljder Här är det kanske litet oklart vad som närmar sig vad? Det kan därför vara bra att införa följder av punkter i R n. En (punkt- )/följd/ i S R n är en följd { k } k=1, av punkter k S. En punktföljd { k } i S går mot (närmar sig) punkten a R n om avståndet k a 0 när k. Vi skriver k a i S. Gränsövergången k underförstås. När vi skriver när/om k a i S" skall detta översättas med för varje följd { k } så att k a i S". Nu kan vi definiera utan ludd i kanten. Def 6. Vi säger att f() är kontinuerlig i punkten a D f om f( k ) f(a) när k a i S. En funktion f är kontinuerlig om den är kontinuerlig i alla punkter i D f Problem som kräver att man går tillbaka till gränsvärdesdefinitionen 31
32 z 2 2 z 2 Figure 8: En funktion utan gränsvärde i (0, 0) ÙÖ ½¾¹½ ¹ E 29. Låt f(, ) = Visa att f(, ) saknar gränsvärde då (, ) (0, 0). Se figur 8. Lösn. Vi använder polära koordinater. Notera att gränsvärdet eisterar endast om f(r cos θ, r sin θ) L då r 0 oberoende av θ. Men Så gränsvärdet saknas. f(r cos θ, r sin θ) = r2 sin(2θ) r 2 = sin(2θ). Notera att nivåkurvorna för funktionen är räta linjer som skär varandra i punkten (0, 0). E 30. Låt f(, ) = Visa att f 0 då (, ) (0, 0). Se figur 9. Lösn. Vi använder polära koordinater igen: Vi har 0 < f(, ) 0 = r 3 cos 2 θ sin(θ) r 2 < r. 32
33 z z Figure 9: En funktion med gränsvärde i (0, 0) ÙÖ ½¾¹½ t cos och sin är mindre än 1. Eftersom r 0 när (, ) 0 så erhålls gränsvärdet lim (,) (0,0) f(, ) = 0 ur instängningssatsen. Slutna och öppna mängder Följande definition generaliserar höger och vänstergränsvärden. Def 7. Vi säger att f() L när a i S, om f( k ) L när k a i S, k a. Vi antar också att minst en sådan följd eisterar. Vad betder detta rörande S och a? Vi kan använda punktföljder { n } för att definiera de topologiska begreppen: slutna och öppna mängder. Först litet mängdlära: Komplementet till S R n, S c, är de punkter i R n som inte innehåller S. Vi kan också skriva S c = R n \ S med mängd-differens. Def 8. Det slutna höljet av en mängd S, S, är de punkter som kan nås av konvergenta följder i S, dvs, a S omm det finns en följd så att k a i S. Ekvivalent är att varje omgivning skär S, dvs S B r (a). B r (a) = { : a < r} 33
34 Randen av S, S, ges av S S c de punkter som kan nås av följder både i S och i S c. Det inre av S, S, är de punkter som ej kan nås av följder från S c, dvs S = S \ S. Ekvivalent är a S om det finns en skddande omgivning B r (a) S, som försäkrar oss om att inga följderfrån S c kan nå a. Def 9. Vi säger att S är sluten om S = S och att S är öppen om S = S. S är sluten om S S och S är öppen om S S =. S c point in S c boundar point point in S S interior point Slutenhet och öppenhet från relationspresentationen ÙÖ ½¼¹ För våra ändamål är följande observationer viktigast. Om mängder är beskrivna med olikheter eller ekvationer där båda led är kontinuerliga uttrck så gäller det att mängder som ges av strikta olikheter är öppna, medan icke-strikta olikheter och ekvationer ger slutna mängder. E 31. Relation Tp av mängd 2 2 > 1 Öppen mängd iflld hperbel i planet + + z = 1 Sluten mängd = randen plan i rummet z 2 < 1 Öppen mängd Den öppna enhetsbollen z 2 1 Sluten mängd Den slutna enhetsbollen. Gränsvärde när gränspunkten tillhör randen av D f. E 32. Beräkna lim 3/
35 för gränsövergångarna (, ) (1, 1), (, ) ( 1, 0) och (, ) (0, 0). Lösn. Låt f(, ) = 3/ Vi kan anta 0 och 0 när = 0. (Domänkonventionen) Definitionsmängden är alltså 0, (, ) (0, 0). (Rita upp D f.) Gränsvärdet (, ) ( 1, 0) är ogiltigt, gränspunkten tillhör inte slutna höljet av D f. Kontinuitet i punkten (1, 1) ger lim f(, ) = f(1, 1) = 1/2. (,) (1,1) (f är kontinuerlig på D f.) Återstår gränsvärdet när (, ) (0, 0). När = 0 och 2 = 0 gäller att uttrcket är lika med 0 om det är definierat. För > 0 och 2 > 0 gäller att 0 3/ / = /2. Olikheten gäller t (a 2 +b 2 2ab). Observera att instängningen 0 f(, ) /2, gäller för alla (, ) där f är definierat, för = 0 eller = 0 är 0 = f(, ) /2. Gränsvärdet lim f(, ) = 0 följer ur instängningssatsen. 35
SF1626 Flervariabelanalys
1 / 28 SF1626 Flervariabelanalys Föreläsning 2 Hans Thunberg Institutionen för matematik, KTH VT 2018, Period 4 2 / 28 SF1626 Flervariabelanalys Dagens lektion: avsnitt 11.1 11.3 Funktioner från R till
Läs merAB2.1: Grundläggande begrepp av vektoranalys
AB2.1: Grundläggande begrepp av vektoranalys En vektor är en storhet som dels har icke-negativ storlek dels har riktning i rummet. Två vektorer a och b är lika, a = b, om de har samma storlek och samma
Läs merKurvlängd och geometri på en sfärisk yta
325 Kurvlängd och geometri på en sfärisk yta Peter Sjögren Göteborgs Universitet 1. Inledning. Geometrin på en sfärisk yta liknar planets geometri, med flera intressanta skillnader. Som vi skall se nedan,
Läs merMälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation
Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MAA4 Grundläggande kalkl ÖVN Lösningsförslag 0.04.0 4.0 6.0 Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva är tillåtet.) Poäng: Denna
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 27 maj, 2013
SF626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 27 maj, 23 Skrivtid: 8:-3: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mattias Dahl Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng. De tre
Läs merMATEMATIK GU. LLMA60 MATEMATIK FÖR LÄRARE, GYMNASIET Analys, ht 2014. Block 5, översikt
MATEMATIK GU H4 LLMA6 MATEMATIK FÖR LÄRARE, GYMNASIET Analys, ht 24 I block 5 ingår följande avsnitt i Stewart: Kapitel 2, utom avsnitt 2.4 och 2.6; kapitel 4. Block 5, översikt Första delen av block 5
Läs merTavelpresentation. Gustav Hallberg Jesper Strömberg Anthon Odengard Nils Tornberg Fredrik Blomgren Alexander Engblom. Januari 2018
Tavelpresentation Gustav Hallberg Jesper Strömberg Anthon Odengard Nils Tornberg Fredrik Blomgren Alexander Engblom Januari 2018 1 Partiella derivator och deriverbarhet Differentierbarhet i en variabel
Läs merDIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR, SF676 Differentialekvationer Inledning DIFFERENTIALEKVATIONER INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP Differentialekvation (DE) är en ekvation som innehåller derivator av en eller flera
Läs merLektion 1. Kurvor i planet och i rummet
Lektion 1 Kurvor i planet och i rummet Innehål Plankurvor Rymdkurvor Innehål Plankurvor Rymdkurvor Tangentvektorn och tangentens ekvation Innehål Plankurvor Rymdkurvor Tangentvektorn och tangentens ekvation
Läs merMATEMATIK Datum: 2014-01-14 Tid: förmiddag Hjälpmedel: inga. Mobiltelefoner är förbjudna. A.Heintz Telefonvakt: Christo er Standar, Tel.
MATEMATIK Datum: -- Tid: förmiddag Chalmers Hjälpmedel: inga. Mobiltelefoner är förbjudna. A.Heintz Telefonvakt: Christo er Standar, Tel.: 7-88 Lösningar till tenta i TMV Analys och linjär algebra K/Bt/Kf,
Läs merMVE035. Sammanfattning LV 1. Blom, Max. Engström, Anne. Cvetkovic Destouni, Sofia. Kåreklint, Jakob. Hee, Lilian.
MVE035 Sammanfattning LV 1 Blom, Max Engström, Anne Cvetkovic Destouni, Sofia Kåreklint, Jakob Hee, Lilian Hansson, Johannes 11 mars 2017 1 Partiella derivator Nedan presenteras en definition av partiell
Läs merSF1625 Envariabelanalys
Modul 2: Derivata Institutionen för matematik KTH 8 september 2015 Derivata Innehåll om derivata (bokens kapitel 2). Definition vad begreppet derivata betyder Tolkning hur man kan tolka derivata Deriveringsregler
Läs merLösningsförslag till tentamen Onsdagen den 15 mars 2017 DEL A
Institutionen för matematik SF66 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen Onsdagen den 5 mars 7 DEL A. I nedanstående rätvinkliga koordinatsystem är varje ruta en enhet lång. (a) Bestäm de rymdpolära
Läs mer2 Funktioner från R n till R m, linjära, inversa och implicita funktioner
Nr, feb -5, Amelia Funktioner från R n till R m, linjära, inversa och implicita funktioner.1 Funktioner från R n till R m Vi har i tidigare föreläsningar sett olika tolkningar av funktioner från R n till
Läs merKap Funktioner av flera variabler, definitionsmängd, värdemängd, graf, nivåkurva. Gränsvärden, kontinuitet.
Kap. 2. 2.2. Funktioner av flera variabler, definitionsmängd, värdemängd, graf, nivåkurva. Gränsvärden, kontinuitet. 20. Skissera definitionsmängden till följande funktioner: A a. f(,) = ln ( 2 2 ) A b.
Läs merFöreläsningsanteckningar i linjär algebra
1 Föreläsningsanteckningar i linjär algebra Per Jönsson och Stefan Gustafsson Malmö 2013 2 Innehåll 1 Linjära ekvationssystem 5 2 Vektorer 11 3 Linjer och plan 21 4 Skalärprodukt 27 5 Vektorprodukt 41
Läs merMatematik E (MA1205)
Matematik E (MA105) 50 p Betygskriterier med eempeluppgifter Värmdö Gymnasium Mål och betygskriterier Ma E (MA105) Matematik Läsåret 003-004 Betygskriterier enligt Skolverket KRITERIER FÖR BETYGET GODKÄND
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 216-6-7 DEL A 1. Låt S vara ellipsoiden som ges av ekvationen x 2 + 2y 2 + 3z 2 = 5. (a) Bestäm en normalvektor till S i en punkt (x, y, z ) på S.
Läs merSF1624 Algebra och geometri Tentamen Onsdagen 29 oktober, 2014
SF1624 Algebra och geometri Tentamen Onsdagen 29 oktober, 214 Skrivtid: 14.-19. Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Roy Skjelnes Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng.
Läs merVersion 0.82. Linjär algebra kapiltet från ett ODE-kompendium. Mikael Forsberg
Version.8 Linjär algebra kapiltet från ett ODE-kompendium Mikael Forsberg 8 Den här boken är typsatt av författaren med hjälp av L A TEX. Alla illustrationer är utförda av Mikael Forsberg med hjälp av
Läs merEn normalvektor till g:s nivåyta i punkten ( 1, 1, f(1, 1) ) är gradienten. Lektion 6, Flervariabelanalys den 27 januari z x=y=1.
Lektion 6, Flervariabelanals den 27 januari 2000 1272 Givet funktionen och punkten p 1, 1, beräkna a gradienten till f i p, f, + b en ekvation för tangentplanet till f:s graf i punkten p, fp, c en ekvation
Läs merVeckoblad 1, Linjär algebra IT, VT2010
Veckoblad, Linjär algebra IT, VT Under den första veckan ska vi gå igenom (i alla fall stora delar av) kapitel som handlar om geometriska vektorer. De viktigaste teoretiska begreppen och resultaten i kapitlet
Läs mer= 0 vara en given ekvation där F ( x,
DERIVERING AV IMPLICIT GIVNA FUNKTIONER Eempel. Vi betraktar som en funktion av och,,), given på implicit form genom + + 6 0. Bestäm partiella derivator och i punkten P,, ) a) med hjälp av implicit derivering
Läs merDIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP
DIFFERENTIALEKVATIONER INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP Differentialekvation (DE) är en ekvation som innehåller derivator av en eller flera okända funktioner ORDINÄRA DIFFERENTIAL EKVATIONER i) En differentialekvation
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 7 juni 2016
Institutionen för matematik SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 7 juni 216 Skrivtid: 8:-13: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger
Läs merSF1626 Flervariabelanalys
Föreläsning 3 Institutionen för matematik KTH VT 2018 Previously on Flervariabel 1 Analytisk geometri i R n, kap 10 1. Topologiska begrepp a. Omgivning b. Randpunkter, Inre punkter c. Öppen mängd, Sluten
Läs merFrågorna 1 till 6 ska svaras med sant eller falskt och ger vardera 1
ATM-Matematik Mikael Forsberg 6-64 89 6 Matematik med datalogi, mfl. Skrivtid:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift på ny sida. Använd ej baksidor.
Läs merInstitutionen för Matematiska Vetenskaper TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1/TM1, TMA671 2014-05-26
Institutionen för Matematiska Vetenskaper Göteborg TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F/TM, TMA67 4-5-6 DAG: Måndag 6 maj 4 TID: 4. - 8. SAL: V Ansvarig: Ivar Gustafsson, tel: 75-33545 Förfrågningar:
Läs merTATM79: Föreläsning 4 Funktioner
TATM79: Föreläsning 4 Funktioner Johan Thim augusti 08 Funktioner Vad är egentligen en funktion? Definition. En funktion f är en regel som till varje punkt i en definitionsmängd D f tilldelar precis ett
Läs mer= 0. Båda skärningsvinklarna är således π/2 (ortogonala riktningsvektorer).
Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud SF163, ifferential- och integralkalkyl II, del 2, flervariabel, för F1. Tentamen torsdag 19 augusti 21, 14. - 19. Inga hjälpmedel är tillåtna. Svar och
Läs merLäsanvisningar till kapitel 6 i Naturlig matematik. Avsnitt 6.6 ingår inte.
Läsanvisningar till kapitel 6 i Naturlig matematik Avsnitt 6.6 ingår inte. Avsnitt 6.1 Detta avsnitt illustrerar hur sekanten övergår i en tangent genom att den ena skärningspunkten rör sig mot den andra.
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Tentamen Onsdagen den 15 mars 2017
Institutionen för matematik SF66 Flervariabelanalys Tentamen Onsdagen den 5 mars 7 Skrivtid: 8:-3: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt
Läs merVektorgeometri för gymnasister
Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Linjära avbildningar IV Innehåll Nollrum och
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A. t 2
SF64 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 4--4 DEL A. I rummet R har vi punkterna P = (,, 4) och Q = (,, ), samt linjen L som ges av vektorerna på formen t t, t där t är en reell parameter.
Läs mer3 Parameterframställningar
3 arameterframställningar Från och med nästa kapitel kommer mcket av vårt fokus ligga på olika integraluttrck med vektorvärda funktioner. Vi kommer eempelvis studera integreringen av vektorfält både längs
Läs merMatematik och modeller Övningsuppgifter
Matematik och modeller Övningsuppgifter Beräkna a) d) + 6 b) 7 (+) + ( 9 + ) + 9 e) 8 c) ( + (5 6)) f) + Förenkla följande uttryck så långt som möjligt a) ( ) 5 b) 5 y 6 5y c) y 5 y + y y d) +y y e) (
Läs merRepetitionsfrågor i Flervariabelanalys, Ht 2009
Repetitionsfrågor i Flervariabelanalys, Ht 2009 Serier 1. Visa att för en positiv serie är summan oberoende av summationsordningen. 2. Visa att för en absolutkonvergent serie är summan oberoende av summationsordningen.
Läs merSF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF669 Matematisk och numerisk anals II Lösningsförslag till tentamen 7-3-5 DEL A. I nedanstående rätvinkliga koordinatsstem är varje ruta en enhet lång. (a) Bestäm de rmdpolära (sfäriska) koordinaterna
Läs merDIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR DIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP Differentialekvation (DE) är en ekvation som innehåller derivator av en eller flera okända funktioner. ORDINÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER
Läs merDERIVATA. = lim. x n 2 h h n. 2
DERIVATA Läs avsnitten 6.-6.5. Lös övningarna 6.cd, 6.2, 6.3bdf, 6.4abc, 6.5bcd, 6.6bcd, 6.7, 6.9 oc 6.. Läsanvisningar Allmänt gäller som vanligt att bevisen inte ingår i kursen, men det är mycket nyttigt
Läs merProblem inför KS 2. Problem i matematik CDEPR & CDMAT Flervariabelanalys. KTH -matematik
KTH -matematik Problem i matematik EPR & MAT Flervariabelanalys Problem inför KS.. Låt F(, y, z) + y 3z + och G(, y, z) 3 + y 3 4z +. Visa att i en omgivning av punkten (,, ) definieras genom ekvationerna
Läs merExplorativ övning Vektorer
Eplorativ övning Vektorer Syftet med denna övning är att ge grundläggande kunskaper om vektorräkning och dess användning i geometrin Liksom många matematiska begrepp kommer vektorbegreppet från fysiken
Läs merRepetition, Matematik 2 för lärare. Ï x + 2y - 3z = 1 Ô Ì 3x - y + 2z = a Ô Á. . Beräkna ABT. Beräkna (AB) T
Repetition, Matematik 2 för lärare Ï -2x + y + 2z = 3 1. Ange för alla reella a lösningsmängden till ekvationssystemet Ì ax + 2y + z = 1. Ó x + 3y - z = 4 2. Vad är villkoret på talet a för att ekvationssystemet
Läs mer15 Multipelintegraler, sfäriska koordinater, volymberäkningar
Nr 5, 9 april -5, Amelia 5 Multipelintegraler, sfäriska koordinater, volmberäkningar 5. Multipelintegraler et finns många tillämpningar där fler än tre variabler är aktuella. I statistik kan vi vilja undersöka
Läs mer3.1 Derivator och deriveringsregler
3. Derivator och deriveringsregler Kort om derivator Eempel derivatans definition deriveringsregler numerisk derivering andraderivatan På höjden km kan lufttrcket mbar beskrivas med funktionen = 03 e 0,
Läs mer+ 5a 16b b 5 då a = 1 2 och b = 1 3. n = 0 där n = 1, 2, 3,. 2 + ( 1)n n
Repetition, Matematik I.. Bestäm koefficienten vid 2 i utvecklingen av ( + 2 2 ) 5. 2. Bestäm koefficienten vid 2 i utvecklingen av ( + ) n för n =, 2,,.. Beräkna a 5 5a 2b + 5a 2b 2 5a 2 b + 5a 6b 2b
Läs merTentamen: Lösningsförslag
Tentamen: Lösningsförslag Fredag 9 juni 7 8:-: SF67 Flervariabelanalys Inga hjälpmedel är tillåtna. Ma: poäng. poäng Bestäm samtliga horisontella tangentplan till ytan z y y + y +. Lösning: Tangentplanet
Läs merLMA515 Matematik, del B Sammanställning av lärmål
LMA515 Matematik, del B Sammanställning av lärmål Lärmål för godkänt Funktion, gränsvärde, kontinuitet, derivata. Förklara begreppen funktion, definitionsmängd och värdemängd, och bestämma (största möjliga)
Läs merSjälvkoll: Ser du att de två uttrycken är ekvivalenta?
ANTECKNINGAR TILL RÄKNEÖVNING 1 & - LINJÄR ALGEBRA För att verkligen kunna förstå och tillämpa kvantmekaniken så måste vi veta något om den matematik som ligger till grund för formuleringen av vågfunktionen
Läs merÖvningar till kapitel 1
Övningar till kapitel. Skissera för hand och/eller med Maple de delmängder av R som beskrivs av följande ekvationer och olikheter. a) > 0, >0 b) = +, 0, 0 c) = d) e) = f) >3 g)
Läs mer6. Samband mellan derivata och monotonitet
34 6 SAMBAND MELLAN DERIVATA OCH MONOTONITET 6. Samband mellan derivata och monotonitet Antag att funktionen f är deriverbar på ]a,b[. Vi vet att derivatan f ( 0 ) i 0 ]a,b[ är riktningskoefficienten för
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
Institutionen för matematik SF66 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 4-9-6 DEL A. Betrakta följande tre områden i planet: D = {(x, y): x y < 4}, D = {(x, y): x + y }, D 3 = {(x, y): 4x + 3y
Läs merDIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP
DIFFERENTIALEKVATIONER INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP Differentialekvation (DE) är en ekvation som innehåller derivator av en eller flera okända funktioner ORDINÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER i) En differentialekvation
Läs mer1. För vilka värden på konstanterna a och b är de tre vektorerna (a,b,b), (b,a,b) och (b,b,a) linjärt beroende.
Institutionen för matematik KTH MOELLTENTAMEN Tentamensskrivning, år månad dag, kl. x. (x + 5).. 5B33, Analytiska metoder och linjär algebra. Uppgifterna 5 svarar mot varsitt moment i den kontinuerliga
Läs merG VG MVG Programspecifika mål och kriterier
Betygskriterier Matematik C MA10 100p Respektive programmål gäller över kurskriterierna MA10 är en nationell kurs oc skolverkets kurs- oc betygskriterier finns på ttp://www.skolverket.se/ Detta är vår
Läs merLektion 6, Envariabelanalys den 14 oktober Låt oss krympa f:s definitionsmängd till en liten omgivning av x = x 2.
Lektion 6, Envariabelanals den 4 oktober 999 Låt f vara en kontinuerligt deriverbar funktion vars graf är återgiven i figuren till höger. Besvara följande frågor. Låt oss krmpa f:s definitionsmängd till
Läs merInlämningsuppgift 4 NUM131
Inlämningsuppgift 4 NUM131 Modell Denna inlämningsuppgift går ut på att simulera ett modellflygplans rörelse i luften. Vi bortser ifrån rörelser i sidled och studerar enbart rörelsen i ett plan. De krafter
Läs merÖvningar. MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik. Linjär algebra 2. Senast korrigerad:
MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik Linjär algebra 2 Senast korrigerad: 2006-02-10 Övningar Linjära rum 1. Låt v 1,..., v m vara vektorer i R n. Ge bevis eller motexempel till
Läs merOmtentamen i DV & TDV
Umeå Universitet Institutionen för Datavetenskap Gunilla Wikström (e-post wikstrom) Omtentamen i Teknisk-Vetenskapliga Beräkningar för DV & TDV Tentamensdatum: 2005-06-07 Skrivtid: 9-15 Hjälpmedel: inga
Läs merLinjär algebra på några minuter
Linjär algebra på några minuter Linjära ekvationssystem Ekvationssystem: { Löses på matrisform: ( ) ( ) I det här fallet finns en entydig lösning, vilket betyder att determinanten av koefficientmatrisen
Läs mer1 x. SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 26-3-2 DEL A. Låt D vara fyrhörningen med hörn i punkterna, ), 6, ),, 5) och 4, 5). a) Skissera fyrhörningen D och beräkna dess area. p) b) Bestäm
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF66 Flervariabelanals Lösningsförslag till tentamen --9 EL A. En kulle beskrivs approximativt av funktionen 5 hx, ) + 3x + i lämpliga enheter där hx, ) är höjden. Om du befinner dig i punkten,, ) på kullen,
Läs merLösningsförslag till tentamen Torsdag augusti 16, 2018 DEL A
Institutionen för matematik SF1626 Flervariabelanalys Torsdag augusti 16, 2018 DEL A 1. Givet funktionen f(x, y) = ln(x 2 y 2 ). a) Bestäm definitionsmängden D för f. Rita även en bild av D. (2 p) b) Bestäm
Läs merSF1624 Algebra och geometri
SF1624 Algebra och geometri Föreläsning 2 David Rydh Institutionen för matematik KTH 28 augusti 2018 Detta gjorde vi igår Punkter Vektorer och skalärer, multiplikation med skalär Linjärkombinationer, spannet
Läs merx 2 5x + 4 2x 3 + 3x 2 + 4x + 5. d. lim 2. Kan funktionen f definieras i punkten x = 1 så att f blir kontinuerlig i denna punkt? a.
. Beräkna följande gränsvärden: a. lim 2 5 + 6 2 2. b. lim 2 5 + 4 3 + 2 4 2. c. lim. d. lim 2 3 + 3 2 + 4 + 5 2 + + 3 + 2 2 + 3 + 4. 2. Kan funktionen f definieras i punkten = så att f blir kontinuerlig
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 2010-10-22 DEL A (1) Uttrycket (x, y, z) (1, 1, 1) + s(1, 3, 0) + t(0, 5, 1) definierar ett plan W i rummet där s och t är reella parametrar. (a)
Läs merAB2.4: Kurvintegraler. Greens formel i planet
AB2.4: Kurvintegraler. Greens formel i planet Kurvintegralener Kurvor på parameterform Låt xyz vara ett cartesiskt koordinatsystem i rummet. En rymdkurva på parameterform ges av tre ekvationer x = x(t),
Läs merInstuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1
Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 Anvisningar Avsikten med följande frågor är att hjälpa dig med självkontroll av dina kunskaper. Om du känner dig osäker på svaren bör du slå upp motsvarande
Läs mer= 0 genom att införa de nya
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Anders Källström Prov i matematik ES, IT, W Flervariabelanals 9 1 19 Skrivtid: 8 13. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall åtföljas av förklarande text/figurer.
Läs merGeometri och Trigonometri
Kapitel 5 Geometri och Trigonometri I detta kapitel kommer vi att koncentrera oss på de trigonometriska funktionerna sin x, cos x och tan x. 5. Repetition Här repeteras några viktiga trigonometriska definitioner
Läs merInstuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 2011
Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 2011 Anvisningar Avsikten med följande frågor är att hjälpa dig med självkontroll av dina kunskaper. Om du känner dig osäker på svaren bör du slå upp
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 12 januari 2016
Institutionen för matematik SF626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 2 januari 26 Skrivtid: 8:-3: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger
Läs merb) Vi använder cylindriska skal och snittar därför upp området i horisontella snitt.
Viktiga tillämpningar av integraler b) Vi använder clindriska skal och snittar därför upp området i horisontella snitt. 7.. Finn volmen av kroppen S som genereras av rotation kring -aeln av området Ω som
Läs merInstitutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud
Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud 5B 6, Differential- och integralkalkyl II, del, envariabel, för F. Tentamen torsdag 3 maj 7, 8.-3. Förslag till lösningar.. Ange definitions- och värdemängderna
Läs merY=konstant V 1. x=konstant. TANGENTPLAN OCH NORMALVEKTOR TILL YTAN z = f ( x, LINEARISERING NORMALVEKTOR (NORMALRIKTNING) TILL YTAN.
Tangentplan Linjära approimationer TANGENTPLAN OCH NORMALVEKTOR TILL YTAN z LINEARISERING NORMALVEKTOR NORMALRIKTNING TILL YTAN Låt z vara en dierentierbar unktion i punkten a b Då är N a b a b en normalvektor
Läs merIntegranden blir. Flödet ges alltså av = 3
Lektion 7, Flervariabelanals den 23 februari 2 6.4.2 Använd Gauss sats för att beräkna flödet av ut ur sfären med ekvationen där a >. Flödet ut ur sfären ges av F e e + 2 e e + e 2 + 2 + 2 a 2 F d, som
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 215-1-27 DEL A 4 1. Betrakta funktionen f som ges av f(x) = 1 + x + (x 2). 2 A. Bestäm definitionsmängden till f. B. Bestäm alla intervall där f är
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 21 mars 2016
Institutionen för matematik SF626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 2 mars 26 Skrivtid: 8:-3: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt
Läs merDEL I. Matematiska Institutionen KTH. Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF1604 för D, den 5 juni 2010 kl
1 Matematiska Institutionen KTH Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF164 för D, den 5 juni 21 kl 9.- 14.. Examinator: Olof Heden. Hjälpmedel: Inga hjälpmedel är tillåtna på tentamensskrivningen.
Läs merx 2 5x + 4 2x 3 + 3x 2 + 4x + 5. d. lim 2. Kan funktionen f definieras i punkten x = 1 så att f blir kontinuerlig i denna punkt? a.
. Beräkna följande gränsvärden: a. lim 2 5 + 6 2 2. b. lim 2 5 + 4 3 + 2 4 2. c. lim. d. lim 2 3 + 3 2 + 4 + 5 2 + + 3 + 2 2 + 3 + 4. 2. Kan funktionen f definieras i punkten = så att f blir kontinuerlig
Läs merax + y + 2z = 3 ay = b 3 (b 3) z = 0 har (a) entydig lösning, (b) oändligt många lösningar och (c) ingen lösning.
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Anders Johansson Prov i matematik ES, Frist, KandMa LINJÄR ALGEBRA och GEOMETRI I 2010 10 21 Skrivtid: 8.00 13.00. Tillåtna hjälpmedel: Skrivdon. Lösningarna
Läs mer1 Linjära ekvationssystem. 2 Vektorer
För. 1 1 Linjära ekvationssystem Gaußelimination - sriv om systemet för att få ett trappformat system genom att: byta ordningen mellan ekvationer eller obekanta; multiplicera en ekvation med en konstant
Läs merFacit till Några extra uppgifter inför tentan Matematik Baskurs. x 2 x 3 1 2.
KTH Matematik Lars Filipsson Facit till Några extra uppgifter inför tentan Matematik Baskurs 1. Låt f(x) = ln 2x + 4x 2 + 9 + ln 2x 4x 2 + 9. Bestäm definitionsmängd och värdemängd till f och rita kurvan
Läs mer10x 3 4x 2 + x. 4. Bestäm eventuella extrempunkter, inflexionspunkter samt horizontella och vertikala asymptoter. y = x 1 x + 1
TM-Matematik Mikael Forsberg Pär Hemström Övningstenta Envariabelanalys ma034a ovnt--vt0 Skrivtid: 5 timmar. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift
Läs merTentamen i matematik. f(x) = ln(ln(x)),
Lösningsförslag Högskolan i Skövde (SK, JS) Tentamen i matematik Kurs: MA52G Matematisk Analys MA23G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 203-05- kl 4.30-9.30 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel utöver
Läs mere = (e 1, e 2, e 3 ), kan en godtycklig linjär
Linjära avbildningar II Förra gången visade vi att givet en bas i rummet, e = (e 1, e 2, e 3 ), kan en godtycklig linjär avbildning F : R 3 R 3 representeras av en matris: Om vi betecknar en vektor u:s
Läs merDetta cosinusvärde för vinklar i [0, π] motsvarar α = π 4.
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK LÖSNINGAR LINJÄR ALGEBRA 8-- kl 4-9 a) Triangelns area är en halv av parallellograms area som spänns upp av tex P P (,, ) och P P (,, ), således area av P P P (,, ) (,,
Läs merElektromagnetiska fält och Maxwells ekavtioner. Mats Persson
Föreläsning 26/9 Elektromagnetiska fält och Maxwells ekavtioner 1 Maxwells ekvationer Mats Persson Maxwell satte 1864 upp fyra stycken ekvationer som gav en fullständig beskrivning av ett elektromagnetiskt
Läs merViktiga begrepp, satser och typiska problem i kursen MVE460, 2015.
Viktiga begrepp, satser och typiska problem i kursen MVE460, 2015. Begrepp och definitioner Egenskaper och satser Typiska problem Reella tal. Rationella tal. a(b + c) = ab + ac Bråkräkning. Irrationella
Läs merLennart Carleson. KTH och Uppsala universitet
46 Om +x Lennart Carleson KTH och Uppsala universitet Vi börjar med att försöka uppskatta ovanstående integral, som vi kallar I, numeriskt. Vi delar in intervallet (, ) i n lika delar med delningspunkterna
Läs mer18 Kurvintegraler Greens formel och potential
Nr 8, 6 april -5, Amelia 8 Kurvintegraler Greens formel och potential 8. Greens formel Vi studerar i detta avsnitt kurvor i planet, i R. En kurvintegral är som vi sett en integral på en kurva i planet.
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF66 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 4-3-7 EL A. Betrakta funktionen f, y y. a Beräkna riktningsderivatan av f i punkten, i den riktning som ges av vektorn 4, 3. p b Finns det någon riktning
Läs merFöreläsning 13 Linjär Algebra och Geometri I
Föreläsning 13 Linjär Algebra och Geometri I Se slide 1: det är i rymden oftast lättast att jobba med parametrar för linjer och ekvationer för plan. Exempel: Låt l : (x, y, z) = (1 t, 3 + t, 4t), t R och
Läs merFlervariabelanalys E2, Vecka 3 Ht08
Flervariabelanalys E2, Vecka 3 Ht8 Omfattning och innehåll 2.7 Gradienter och riktningsderivator. 2.8 Implicita funktioner 2.9 Taylorserier och approximationer 3. Extremvärden 3.2 Extremvärden under bivillkor
Läs mer8. Euklidiska rum 94 8 EUKLIDISKA RUM
94 8 EUKLIDISKA RUM 8. Euklidiska rum Definition 8.. En skalärprodukt på vektorrummet V är en funktion som till varje par av element u och v i V ordnar ett reellt tal u v eller u v med följande egenskaper:.
Läs merMatematik för sjöingenjörsprogrammet
Matematik för sjöingenjörsprogrammet Matematiska Vetenskaper 9 augusti 01 Innehåll 5 komplexa tal 150 5.1 Inledning................................ 150 5. Geometrisk definition av de komplexa talen..............
Läs merNågra viktiga satser om deriverbara funktioner.
Några viktiga satser om deriverbara funktioner Rolles sats Differentialkalkylens medelvärdessats (=) 3 Cauchys medelvärdessats Sats Om funktionen f är deriverbar i en punkt x 0 så är f kontinuerlig i samma
Läs mer= ( 1) ( 1) = 4 0.
MATA15 Algebra 1: delprov 2, 6 hp Fredagen den 17:e maj 2013 Skrivtid: 800 1300 Matematikcentrum Matematik NF Lösningsförslag 1 Visa att vektorerna u 1 = (1, 0, 1), u 2 = (0, 2, 1) och u 3 = (2, 2, 1)
Läs merÖvningar. c) Om någon vektor i R n kan skrivas som linjär kombination av v 1,..., v m på precis ett sätt så. m = n.
Övningar Linjära rum 1 Låt v 1,, v m vara vektorer i R n Ge bevis eller motexempel till följande påståenden Satser ur boken får användas a) Om varje vektor i R n kan skrivas som linjär kombination av v
Läs mer(d) Mängden av alla x som uppfyller x = s u + t v + (1, 0, 0), där s, t R. (e) Mängden av alla x som uppfyller x = s u där s är ickenegativ, s 0.
TM-Matematik Mikael Forsberg, 734-4 3 3 Rolf Källström, 7-6 93 9 För Campus och Distans Linjär algebra mag4 och ma4a 6 5 Skrivtid: 9:-4:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta
Läs mer