Kamerabaserad positionsbestämning av mark- och luftbrisader

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "Kamerabaserad positionsbestämning av mark- och luftbrisader"

Transkript

1 Kamerabaserad positionsbestämning av mark- och luftbrisader Examensarbete D, 2 20 p. Institutionen för Datavetenskap, Umeå universitet Författare: Markus Jusslin, Per Lundqvist, Handledare: Niclas Börlin Sammanfattning. Rådande metoder för positionsbestämning av nedslag för artillerigranater kräver manuell inmätning eller omfattar system som är geografiskt bundna till en speciell plats. Dessa system är i mångt och mycket beroende av manuell hjälp och har begränsade möjligheter att positionsbestämma luftbrisader. I denna studie undersöks möjligheten att använda kameror kopplade till en dator som alternativ lösning, där förhoppningen är att få ett relativt billigt, bärbart system med hög noggrannhet och som utöver detta även kan mäta in luftbrisader.

2 ii

3 Innehållsförteckning 1 Inledning Bakgrund Målsättning Upplägg Beskrivning av CAMPOS Syfte och användningsområde Tilltänkt uppställning Krav och funktioner Fördelar med CAMPOS Nackdelar/begränsningar hos CAMPOS Realiserbarhetsanalys Inledning Triangulering Kamerornas antal och inbördes vinkel Målområdets storlek, bildupplösning och kamerornas avstånd till målområdet Kamerakalibrering Kalibrering med hjälp av 2D- till 3D-punktkorrespondenser Kalibrering med hjälp av 2D- till 2D-punktkorrespondenser Begränsad kamerakalibrering Bildanalys Visuell approximation av brisad- och nedslagspunkt Lokalisering av bildruta för nedslag Inmätning av bilder Insamling Mätdata Hårdvara Mjukvara Hårdvaruundersökning Sammanfattning Realiserbarhetsanalys Designval Inledning Kameror och överföringsmedium Antalet kameror Vinkel mellan kameror Kameratyp Dataöverföring Utvecklingsmiljö iii

4 4.3 Uppställning och kalibrering av kameror Uppställning Kamerakalibrering Mjukvarukomponenter Relationsdiagram Sammanfattning designval Teoretisk analys av detektering Inledning Beskrivning av detektering Algoritmbeskrivning Övergripande beskrivning av detektering Algoritmen för detektering Förslag på förändringar Testmetoder Test av noggrannhet Test av precision Test av exekveringstid Val av tröskelvärden Testresultat detektering Manuell verifiering Test av precision Test av exekveringstid Test av arean hos detektering Sammanfattning av analys av detektering Teoretisk analys av kalibrering och triangulering Teoretisk beskrivning av kalibrering Direct Linear Transform Ickelinjär minimering Begränsad kamerakalibrering Linsdistorsion Teoretisk beskrivning av triangulering Mittpunktsmetoden Linjär triangulering Epipolargeometri och minimering av återprojektionsfelet Resultat Simulering Resultat kalibrering Slutsats och sammanfattning kalibrering Resultat triangulering Slutsats och sammanfattning triangulering Avslutning Fortsatt undersökning Avslutande ord iv

5 8 Referenser Ordlista A Hårdvaruundersökning A.1 Kameror A.1.1 Digitala videokameror A.1.2 Analoga videokameror A.1.3 Digitala stillbildskameror A.1.4 Högupplösta industrikameror A.1.5 Höghastighetskameror A.1.6 Förkalibrerade kameror A.1.7 Sammanfattning och diskussion A.2 Överföringsmedia A.2.1 FireWire A.2.2 Ethernet A.2.3 RadioLAN A.2.4 USB A.2.5 Bluetooth A.2.6 S-Video A.2.7 CameraLink A.2.8 KVM Extender A.3 Bärbar dator A.3.1 Gränssnitt A.3.2 Hårddiskar A.3.3 Internminne A.3.4 Strömförsörjning B Interlacing C Krav C.1 Krav på tillstånd och lägen hos systemet C.2 Funktionella krav på systemet C.2.1 Generellt C.2.2 Operationella funktioner hos CAMPOS C.2.3 Systemfunktioner C.2.4 Användbarhetsfunktioner C.3 Krav på externa gränssnitt hos systemet C.3.1 Identifiering av gränssnitt och diagram C.3.2 IF GUI C.3.3 IF Nätverk C.3.4 IF Kameror C.3.5 IF Extern lagring C.3.6 IF Statistik C.4 Krav på interna gränssnitt hos systemet C.5 Krav på systemets interna data v

6 C.6 Krav på adaption C.7 Skyddskrav C.8 Säkerhetskrav C.9 Miljökrav på systemet C.10 Krav på datorresurserna C.11 Kvalitetskrav på systemet C.12 Begränsningar på design och konstruktion av systemet C.13 Personalrelaterade krav vi

7 1 Inledning 1.1 Bakgrund Den här rapporten är en del i ett examensarbete som har utförts vid Umeå Universitet åt företaget AerotechTelub under perioden Augusti 2003-Januari Det finns ett intresse av ett system som klarar av att automatiskt positionsbestämma både marknedslag och luftbrisader vid skjutning med granatkastare och artilleri med hög noggrannhet. Systemet förväntas kunna utföra positionsbestämning i realtid och snabbt kunna generera utvald statistik. Befintliga system kräver manuell inmätning vilket inte ger sökt noggrannhet, är tidskrävande och svårhanterligt. Ett kamerabaserat system som arbetar i realtid möjliggör för ett större antal inmätta testskjutningar per dag än vad som är möjligt med manuella inmätningar och tillför nya möjligheter att arkivera filmer och resultat, utöver de automatiska beräkningar som assisterar operatören av systemet. Att göra mätningar med hjälp av bilder är en relativt gammal och etablerad vetenskap (fotogrammetri), men kombinationen av de krav som ställs på bärbarhet, realtidsberäkningar och den relativt stora målvolymen vari positionsbestämning ska kunna utföras tillför svårigheter som gör problemställningen kring detta system delvis outforskat. Denna rapport består av en teoretisk undersökning och behandlar möjliga tillvägagångssätt och deras för- och nackdelar. I de sista kapitlen behandlas förväntad noggrannhet för systemet som är beräknad helt och hållet beräknad med datorsimuleringar. Detta bör alltså ses som ett första steg i en undersökning om möjligheterna för ett positionsbestämningssystem av det här slaget, där en fortsättning vore att utföra praktiska undersökningar. 1.2 Målsättning Målsättningen är att undersöka möjligheterna med att utveckla ett system för positionsbestämning med hjälp av videokameror och bildanalys. Undersökningen ska ta upp de problem som kan uppstå samt ett konkret förslag på en fullständigt system. De viktigaste frågeställningarna undersökningen ska behandla är: Hur ska kalibreringen av kameror ske? Med vilken noggrannhet måste kamerorna kalibreras för att systemet ska uppnå önskad noggrannhet? Hur ska triangulering av världskoordinater ske från inmätta korresponderande bildpunkter? Vilken uppställning av kamerorna ger bäst resultat för trianguleringen? Vilka metoder för bildanalysens detektering är lämpliga för att kunna möta realtidskrav? Vilken hårdvara möter kraven ställda på noggrannhet och bildöverföring? 1

8 1.3 Upplägg Rapporten kommer i huvudsak att redogöra för problem och möjliga lösningar för punkterna i målsättningen ovan. Den består av delar från de fyra olika dokument som producerats till företaget AerotechTelub under examensarbetets gång. Rapporten kommer först att ge en utökad bild av det efterfrågade systemets kravspecifikation i kapitel 2 Beskrivning av CAMPOS. I efterföljande kapitel 3 Realiserbarhetsanalys beskrivs problemställningen för de olika huvudkomponenterna och behandlar även olika metoder och tillvägagångssätt för implementation av systemet. kapitel 4 Designval tar upp ett konkret val av ett system för att visa hur ett faktiskt system skulle kunna vara uppbyggt med dess för- och nackdelar. I de efterföljande kapitlen 5 Teoretisk analys av detektering och 6 Teoretisk analys av kalibrering och triangulering analyseras de respektive delarna och testresultat redovisas. Rapporten avslutas i kapitel 7 Avslutning med rekommenderad fortsatt undersökning och tackord. 2

9 2 Beskrivning av CAMPOS 2.1 Syfte och användningsområde CAMPOS (Camera-based Position Targeting System) är ett bärbart system som ska användas i fredstid för att verifiera en granats exakta punkt vid nedslag på marken eller brisad i luften. Systemet ska användas vid testskjutningar med artilleripjäs eller granatkastare av både barlastade och skarpa granater. Avsikten är att förkorta tiden som krävs för manuell inmätning och samtidigt ha en väldigt hög noggrannhet genom att använda sig av ett datorbaserat system som använder sig av bildbehandling. CAMPOS ska kunna betjänas av en operatör och ska förutom positionsbestämning även tillhandahålla kalibrering av kameraparametrar vilket måste utföras varje gång systemet ställs upp. CAMPOS ska tillhandahålla möjlighet för automatisk detektering av position för nedslag/luftbrisad men även möjlighet för operatören att manuellt ange position för nedslag/luftbrisad. 2.2 Tilltänkt uppställning CAMPOS består av 2 eller fler kameror, (K1 och K2), som filmar ett kubiskt målområde om 100x100x100 m i x-, y-, och z-led. Dessa kameror är kopplade mot en bärbar dator där en operatör befinner sig skyddad enligt militära bestämmelser. Luftbrisad/nedslag inom målområdet detekteras automatiskt av programvaran eller manuellt av operatören och felet i förhållande till vald referenspunkt presenteras för operatören vid datorn. 3

10 100 m PC K1 T R 100 m PC = dator K1 = kamera 1 K2 = kamera 2 T = träffpunkt R = referenspunkt K2 Figur 1. Principskiss av CAMPOS sedd uppifrån. Kamerorna filmar även i höjdled vilket inte visas. Ingen information om avstånd kan fås ur bilden, den relativa skalan är ej korrekt. CAMPOS är inte låst vid att endast använda sig av 2 kameror. 2.3 Krav och funktioner Det finns en mängd olika krav ställda på CAMPOS, en fullständig redovisning av alla krav finns i bilaga C Krav. Här följer de viktigaste och mest grundläggande kraven som inför störst begränsningar på implementationen av systemet: CAMPOS ska tillhandahålla stöd för kalibrering av anslutna kameror. CAMPOS ska tillhandahålla en manuell positionsbestämning, där användaren anger i det grafiska gränssnittet var nedslaget/luftbrisaden skett. CAMPOS ska även medge en automatisk positionsbestämning där programmet ger ett förslag på positionen av nedslaget/luftbrisaden åt användaren. Positionsbestämning ska ske med bättre noggrannhet än 0,1 m i x-, y-, och z-led för granatkastare och 1-2 meters noggrannhet för artilleripjäs. Barlastad granat ska kunna detekteras. CAMPOS ska kunna mäta två granatnedslag med tidsintervall på 0 till 5 sek. Bomavstånd ska kunna beräknas mot valfri referenspunkt inom eller i anslutning till målvolymen. Koordinater ska sparas och senare kunna presenteras i ett sammanställt rapportformulär som innehåller alla koordinater, grafisk beskrivning av alla träffar, presentation av medelvärde, spridning och RMS. Resultat ska kunna exporteras till Excel. CAMPOS ska kunna användas utomhus på en geografisk obunden plats. CAMPOS ska kunna användas av en enda person och vara bärbart. 4

11 För att skydda användaren så ska CAMPOS ställas upp så att användaren antingen befinner sig på skyddad plats t.ex. i en bunker eller på ett tillräckligt stort avstånd till målområdet. Avstånd till målområdet ska följa de militära skyddsbestämmelserna. Skydd av utrustningen kommer att ske i förhållande till utrustningens värde och utan att försämra positionsbestämningens noggrannhet. 2.4 Fördelar med CAMPOS Med CAMPOS ska användaren kunna verifiera en granats exakta punkt vid nedslag på marken eller brisad i luften. Detta ska kunna ske i realtid utan manuell inmätning. Eftersom positionsbestämningen ska ske i realtid kommer CAMPOS att möjliggöra ett större antal inmätta testskjutningar per dag än vad som är möjligt med manuell inmätning. CAMPOS kan spela in och spara flera nedslag/luftbrisader och sedan utföra statistiska analyser av deras nedslags/brisadpunkter. Manuell efterbearbetning och korrektion är möjlig. All logik finns färdig i programvaran för de beräkningar som behövs utföras. Inga manuella beräkningar krävs. Kräver mindre personal för inmätning det räcker med en operatör. 2.5 Nackdelar/begränsningar hos CAMPOS Eftersom CAMPOS använder sig av visuell positionsbestämningsteknik blir systemet begränsat till att användas när sikten är god, d.v.s. ej i nattetid, vid dimma, i skog o.s.v. Systemet kan få problem med brus från motljus, vågor m.m. Detta kan medföra att filmerna blir svåra/omöjliga att analysera. Eftersom kameror och dataöverföringsutrustning (hubbar, kablage m.m.) måste befinna sig nära målområdet riskerar de att bli träffade av splitter o.s.v. Detta innebär att man måste ha reservdelar tillgängliga. 5

12 6

13 3 Realiserbarhetsanalys 3.1 Inledning Det här kapitlet beskriver problemställningen kring systemet CAMPOS och tar upp metoder och tillvägagångssätt för implementation av systemet. Prioritet har lagts på att beskriva hur pass realiserbart ett sådant system är där metoder och prestandauppgifter beskrivs översiktligt med en praktisk, snarare än en teoretisk förhållning till problemet. De delar som behandlas här är de delar i systemet som identifierats som huvudfunktioner i systemet, d.v.s. kalibrering, triangulering, detektering och överföring. I kapitel 3.2 Triangulering beskrivs vilken påverkan som antalet kameror, kamerornas bildupplösning och hur uppställningen av kameror i förhållande till målvolymen har på trianguleringen. I kapitel 3.3 Kamerakalibrering beskrivs tillvägagångssätt för olika kalibreringsmetoder och deras problem och eventuella lösningar. I kapitel 3.4 Bildanalys beskrivs några problem och tillvägagångssätt vid detektering av nedslag i filmsekvenser. Detektering att ett nedslag skett i bilden och detektering var ett nedslag skett i bilden beskrivs som två separata problem. I kapitel 3.5 Insamling mätdata kommer de komponenter som behövs för att överföra bilder av målvolymen till operatören att beskrivas. För den hårdvara som behövs (kameror, överföringsmedium och bärbar dator) beskrivs de viktigaste egenskaperna och vilka krav som kommer att ställas på dem. En hårdvaruundersökning av olika kameratyper och överföringsmedium samt en kort beskrivning av krav och alternativ på mjukvara redovisas. 3.2 Triangulering Kamerornas antal och inbördes vinkel För att utföra positionsbestämning krävs minst två kameror men det finns ingen teoretisk övre begränsning på antalet kameror som kan användas. Fler kameror ger en högre noggrannhet i positionsbestämningen men till en kostnad av följande: mera komplicerad uppställning, fler kameror som ska kalibreras, längre beräkningstid vid kalibrering, längre beräkningstid vid positionsbestämning, större mängd data som skickas till datorn och ska behandlas i realtid, dyrare system (kablage och övrig hårdvara utöver kamerorna) och större risk för att systemet ska haverera p.g.a. splitter. Noggrannheten måste utvärderas praktiskt och ställas mot de resurser i fråga om pengar, bandbredd, beräkningskapacitet som finns tillgängligt. Vinkeln mellan kamerorna har stor inverkan på noggrannheten vid positionsbestämningen. För det här systemet finns endast möjligheten att ställa alla kameror i markplan och därför övervägs ej uppställningar där kamerorna 7

14 t.ex. befinner sig ovanför eller under målområdet. För bästa resultat ska de tillgängliga kamerorna filma ur sådana vinklar som tillför så mycket ny ickeredundant information som möjligt. Detta innebär att fler än två kameror ska placeras i en vinkel av (360/antal kameror) grader runt målområdet. För två kameror är dock den optimala vinkeln 90 grader. Exempelvis så får två kameror som står näst intill mitt emot varandra i 180 grader väldigt hög noggrannhet i höjd- och sidled men dålig noggrannhet i djupled. Sett ur samma perspektiv får två kameror som står i 90 graders vinkel mot varandra mycket bättre resultat i djupled och lite sämre i sidled (eftersom djupled för den ena kameran motsvarar sidled för den andra). Den bättre noggrannheten som fås i djupled väger upp den lilla försämring som fås i sidled och en vinkelrät uppställning är att föredra då kraven på noggrannhet är lika stor i alla led. Figur 2. Kamerornas inbördes vinkel till varandra och dess inverkan på noggrannheten vid positionsbestämning. Den positionsbestämda punkten ligger i korsningen mellan de heldragna strålarna. Osäkerheten visas som streckade linjer kring den heldragna strålen. Det område som dessa strålknippen bildar gemensamt ett parallellogram vid korsningen av strålarna ger en bild av osäkerheten i positionsbestämningen av punkterna. (Bilden är hämtad från Hartley, Zisserman [9]). Kameror som är placerade nästintill parallellt med varandra används framförallt i system med mindre noggrannhetskrav eller har begränsade utrymmesmöjligheter som t.ex. robotar. Sådana system kan använda sig av andra hjälpmedel som t.ex. laser för att kompensera för noggrannhetsförlusten i djupled. Men i ett positionsbestämningssystem som CAMPOS finns det ingen anledning att inte utnyttja så mycket av området som möjligt. Det har förstås påverkan på hanterbarheten hos systemet och kostnaden för ev. extra utrustning såsom kablage. Systemet är dock flexibelt i den meningen att kamerornas inbördes vinkel enbart har betydelse för noggrannheten men inte för funktionaliteten i övrigt. Det kan finnas yttre omständigheter som gör att en uppställning med två kameror i 90 grader mot varandra är omöjlig, t.ex. vid skjutning över vatten eller p.g.a. skymmande objekt i naturen varvid det är möjligt att placera kamerorna på ett annat sätt men till en kostnad av mindre noggrannhet. Den fysiska uppställningen av kamerorna med avseende på antal och vinkel påverkar alltså hur den förväntade noggrannheten vid positionsbestämningen förändras beroende på position i målområdet. Detta illustreras för ett exempel på två och fyra kameror i figur 3 nedan. Observera att detta inte är någon exakt illustration utan snarare en bild av den noggrannhet som enbart beror av kamerornas antal och vinkel. Den slutliga totala noggrannheten bestäms av ytterligare ett flertal andra faktorer som: kamerornas optik, upplösning och frame rate; noggrannhet vid kalibrering; var i målvolymen nedslag sker; noggrannhet vid detektion av punkt för nedslag i bilden, etc. 8

15 Figur 3. (Vänster bild) Ungefärlig bild av noggrannheten för två kameror sett uppifrån i målområdet. Kamerorna är markerade som pilar. Svarta områden representerar hög noggrannhet och gråa representerar mindre noggrannhet. Högst noggrannhet fås i områden som filmas av alla kameror och är nära kamerorna. För fyra kameror (höger bild) fås högst noggrannhet i centrum av målområdet. Observera att detta bara är ungefärliga illustrationer av hur noggrannheten förändras beroende på plats i målområdet Målområdets storlek, bildupplösning och kamerornas avstånd till målområdet För bästa möjliga resultat vid kalibrering och positionsbestämning bör kameror med mycket bra optik och hög upplösning användas. Men det finns en gräns för vad som kan nyttjas för detta användningsområde, speciellt med tanke på risken för splitter och kostnaden för sådan precisionsutrustning. Figur 4. Till vänster visas en kamera (markerad som en pil) som filmar in mot målområdet (den streckmarkerade kuben). Den snedstreckade sidan på målvolymen är den bortre sidan sett från kameran. Motsvarande bild i kameran visas till höger. Notera att det synliga målområdet inte fyller ut bilden helt och hållet p.g.a. att sidan är kvadratisk till skillnad från bildytan. Många filmformat är inte kvadratiska, d.v.s. de ger inte liksidiga bilder i höjd- och sidled vilket inte korrelerar bra med målområdets kvadratiska form. Detta får till effekt att en del av den tillgängliga bildupplösningen går till spillo (se figur 4 ovan). Antag att hela den främre sidan av målområdet visas så mycket det går i en bild med en upplösning på pixlar och ett målområde på 100 x 100 x 100 m. Det ger 576 pixlar till förfogande i både höjd- och sidled och en maximal upplösning på 0,17136 m/pixel i framsidan av målområdet för varje kamera i både höjd- och sidled. Detta ger ett ungefärligt mått på begränsningar för olika bildupplösningar och 9

16 ger en bild av vilka krav som ställs på att den automatiska och den manuella detekteringen av korrekt punkt i bilden för nedslag/luftbrisad. För att ligga under ett fel på maximalt 2 m måste bildkoordinaten bestämmas till ett fel på maximalt 11,520 pixlar och för ett fel på maximalt 0,1 m gäller ett maximalt fel på 0,57600 pixlar. Till detta fel i detekteringen tillkommer som tidigare sagts även felet i modellanpassningen av kameraparametrarna och linsdistorsionen respektive osäkerheten i trianguleringen varför dessa mått är osannolikt optimistiska då de förutom detta även grundar sig på antagandet att målområdet och kamerabilden matchar varandra exakt. En noggrannhet i bestämningen av korrekt bildkoordinat under pixelnivå är teoretiskt möjlig om detekteringen kan utföra någon slags tyngdpunktsberäkning för att komma fram till rätt punkt, vilket är möjligt under de bästa förutsättningar. Manuell detektering kan underlättas av en digital uppförstorning av bilden och automatisk detektering kan beräkna nedslags-/brisadpunkten m.h.a. tyngdpunktsberäkning på det rökmoln som uppkommer. Förutsättningarna för detektionen ändras mellan olika skjutningar och uppställningar och bestäms av ett flertal faktorer. Ljusförhållanden ändras, rökmolnets form är oförutsägbart och beror av typ av ammunition (storlek, skarp vs barlastad, luft vs nedslag, vind, marktyp), terrängen kan vara kuperad och innehålla objekt i naturen som sten och träd som kan skymma delar av rökmoln och nedslagsplats. Dessa faktorer påverkar förmågan att detektera rätt nedslags-/brisadpunkt i bilden. En genomsnittlig noggrannhet under pixelnivå är ej trolig och det är alltså inte troligt att komma under ett fel på 0,57600 pixel vare sig automatisk eller manuell detektering används. I figur 4 illustreras följden av att ha skild geometrisk form på målområdets sidor och filmformatet vilket i praktiken begränsar en upplösning på exempelvis pixlar till att endast utnyttja 576 pixlar i både höjdoch sidled. Detta kan undvikas genom att specificera målområdet till samma höjd-/sidoförhållande som det filmformat som används. Med en upplösning om och med ett målområde på 100 m i sidled fås en höjd om 80 m. Hela bilden används vilket ger en upplösning om 0,13888 m/pixel i alla riktningar till skillnad från tidigare 0,17136 m/pixel. En annan konsekvens av att ha skiljd geometrisk form på målområdet och bildformatet är att det blir svårare att ställa upp systemet så att hela höjden av målområdet är synligt för kamerorna. Men om sidorna för målområdet är angivna kan markeringar göras i bilden som anger inom vilka gränser i bilden dessa yttre markeringar ska ligga. 100 m 100 m 100 m Figur 5. Exempel på kamerauppställning sett uppifrån. Målområdet markeras som den streckade kvadraten och kameran som den svarta cirkeln med dess synfält markerad som två streck som tangerar målområdets två nedre hörn. Kameran befinner sig på ett avstånd av 100 m ifrån den främre sidan av målområdet och 200 m ifrån den bakre. Upplösningen är 200/100 = 2 gånger sämre i den bakre sidan jämfört med den främre givet att så mycket som möjligt av den främre sidan filmas av kameran. Om det främre antas fylla ut bilden helt och hållet så bestäms upplösningen i det bakre området av kvoten mellan avståndet till den bakre sidan och avståndet till den främre sidan sett från kameran (se figur 5 nedan). Med 10

17 samma uppställning som exemplet ovan och ett avstånd av 100 m till den främre sidan och 200 m till den bakre sidan fås 200/100 * 0,17136 = 0,34722 m/pixel. Om kamerorna placeras långt ifrån målområdet kan skillnaden i upplösning mellan främre delen av målområdet och bakre delen minimeras förutsatt att den främre sidan fyller ut kamerabilden helt och hållet. Med ett avstånd på 500 m till framkanten fås en maximal upplösning för föregående exempel om 6/5*0,17136 = 0,20833 m/pixel. Förutom att skillnaden i upplösning inom målområdet utjämnas ges också fördelen av att utrustningen utsätter sig för mindre risk för skador ifrån splitter i och med att de befinner sig på ett längre avstånd ifrån centrum av riskområdet. Men systemet blir känsligare för förändringar i kamerornas orientering, d.v.s. en ev. förändring av kamerornas orientering får större negativ effekt på ett längre avstånd än ett kortare eftersom det inför en större grad av misstämmelse mellan de kalibrerade parametrarna jämfört med samma påverkan på kameror som är placerade närmare målområdet. Utöver detta så inför användningen av mycket zoom även en högre grad av linsdistorsion. Det är tydligt att positionsbestämningen påverkas direkt av upplösning men det finns en risk att den även påverkas indirekt p.g.a. sämre anpassade parametrar i kalibreringsskedet då kalibreringen även påverkas av en lägre bildupplösning. Det kan leda till att parametrarna blir sämre anpassade respektive att det blir svårare att detektera korrekt bildkoordinat på en bild med lägre upplösning än motsvarande högupplöst bild. Frågan är hur mycket påverkan en skillnad i upplösning ger. Det finns även en gräns när kostnaden för att gå upp i upplösning blir för dyrt i fråga om bandbredd, beräkningshastighet och pris. För detta måste praktiska undersökningar göras. 3.3 Kamerakalibrering Kameracentrum C Y X. Objekt Avbildat Objekt. Z Y Bildplan Principalpunkt Bildplan C Fokallängd Z Figur 6. (Vänster) Avbildning av ett objekt på kamerans bildplan. Bildkoordinater bestäms ur skärningen mellan bildplanet och linjen mellan världskoordinaten och kameracentrum. (Höger) Motsvarande sett rakt från sidan med x-axeln pekandes rakt in mot pappret fokallängden bestäms av avståndet mellan kameracentrum och principalpunkten. Den matematiska modell som används för att beskriva en projektiv kamera baseras på den klassiska pinnhålskameran. Modellen bygger på centralprojektion av punkter i rummet till ett bildplan som ligger mellan kameracentrum och de avbildade punkterna (se figur 6 ovan) till skillnad från verkligheten där ljusstrålarna bryts via linsen och projiceras mot ett kameracentrum mellan linsen och bildplanet. Detta resulterar i en modell som är 11

18 mycket lätt att räkna på då den enbart beskriver det linjära förhållandet mellan världskoordinater och bildkoordinater. Den ignorerar den mellanliggande linsen helt och hållet och resulterar ej i en upp och nedvänd avbildning. Modellen delas upp i externa och interna kameraparametrar. De externa parametrarna beror av kamerans position och orientering i rummet i förhållande till ett valt koordinatsystem och de interna parametrarna beror av kamerans interna egenskaper och inställningar. De externa parametrarna består av tre st. vinklar för orientering och tre st. parametrar (x, y och z) för kameracentrum. De interna parametrarna består av: principalpunkt motsvarande punkt i bildplanet för linsens centrum, fokallängd avstånd mellan principalpunkt och kameracentrum, skalfel ickekvadratiska pixlar i CCD-elementet (d.v.s. skillnad i skala i x- och y-led), skevhet ev. snedvinklighet mellan bildplanets axlar. Tillsammans beskriver dessa interna och externa kameraparametrar en linjär avbildning mellan bildkoordinater och världskoordinater. Kameramodellen avbildar punkter i rymden till punkter i bildplanet och tvärtom från punkter i bilden till strålar i rymden. Pinnhålskameramodellen förutsätter ett linjärt förhållande mellan punkter i världen och punkter i bildplanet, d.v.s. att världskoordinater, bildkoordinater och kameracentrum är kolinjära. I vanliga optiska kameror förstörs kollineariteten mellan ingående och utgående ljusstrålar vid linsbrytningen och resulterar i ett fenomen som kallas för linsdistorsion. Den tydligaste effekten av detta är krökning av raka linjer. Linsdistorsion kan beskrivas på flera sätt. Radiell linsdistorsion är en funktion av avståndet till ett distorsionscentrum och medför att punkter förskjuts från centrum vid positiv radiell distorsion och förskjuts in mot centrum vid negativ radiell distorsion. Effekten uppstår på grund av att strålarna bryts olika mycket i centrum av linsen och i utkanten av linsen och är en oundviklig egenskap som alltid finns p.g.a. linsens form. Dess omfattning kan dock minimeras med varsam design. Tangentiell linsdistorsion innebär en förskjutning av en punkt i bilden orsakad av att komponenterna i linsen ej är korrekt sammansatta. Vidvinkelkameror och kameror med billiga linser kan uppvisa stor linsdistorsion men linsdistorsionen påverkas även av fokalavståndet, där kortare fokalavstånd medför ökad linsdistorsion och vice versa. I moderna flygfotokameror är linsdistorsionen liten, i en del fall försumbar [24]. I vanliga s.k. konsumentkameror är ofta den radiella linsdistorsionen avsevärt mycket större än i flygfotokameror. Undersökningar har visat att den tangentiella delen av linsdistorsionen ofta är försumbar i jämförelse med den radiella linsdistorsionen [24]. Valfritt antal parametrar kan användas för att beskriva radiell linsdistorsion men fler än 3 är inte bara onödigt men kan även tillföra större fel i beräkningen p.g.a. överparametrisering. Normalt sett används upp mot 2-3 men vad som är lämpligt måste testas praktiskt. Kamerakalibrering består i att bestämma kamerans interna och externa parametrar och graden av linsdistorsion. Det är en nödvändig och avgörande del för att få god noggrannhet när metrisk information ur bilder ska erhållas. Det är värt att nämna att ibland räknas linsdistorsion som en intern parameter men det görs inte i det här dokumentet. Kamerakalibrering finns utförligt beskriven inom fotogrammetri och datorseende [1, 2, 9, 17, 24]. Den vanliga definitionen av kamerakalibrering inom fotogrammetri brukar vara vad som i det här dokumentet kallas för intern kamerakalibrering. För att inga missförstånd ska uppstå så används därför uttrycken extern respektive intern kamerakalibrering för kalibrering av externa respektive interna kameraparametrar. Uttrycket kalibrering kan förekomma där missförstånd ej anses kunna uppstå, d.v.s. det har i sammanhanget kungjorts att det exempelvis är intern kamerakalibrering som diskuteras. Kalibrering påbörjas när kamerorna har ställts upp. En mängd tillvägagångssätt för detta finns tillgängliga och två skiljda metoder beskrivs senare. Oavsett vilken metod för kalibrering som används krävs det att information om kända världskoordinater tillförs utifrån med hög noggrannhet (GPS, teodolit, eller liknande) för att kamerornas koordinatsystem ska överensstämma med världskoordinatsystemet, där världskoordinatsystemet 12

19 definieras som det koordinatsystem som används vid skjutningarna till skillnad från kamerornas individuella koordinatsystem. Efter slutförd kalibrering av samtliga kameror på plats får ej deras placering och orientering respektive zoom och fokus ändras. Om någon av dessa parametrar ändras måste kamerorna kalibreras om. Någon form av automatisk bildbehandling kommer att krävas vid kalibreringen för att få bildkoordinater ur kalibreringsobjektet. Detta beskrivs vidare i kapitel 3.4 Bildanalys Kalibrering med hjälp av 2D- till 3D-punktkorrespondenser Med hjälp av världskoordinaterna för en mängd referenspunkter och motsvarande bildkoordinater kan en kameras interna och externa parametrar respektive linsdistorsion beräknas [9, 12]. Beräkningen av interna och externa kameraparametrar kan utföras på olika sätt. Direkta metoder såsom DLT (direct linear transform) beräknar parametrarna i ett steg men tar ej hänsyn till linsdistorsion. Iterativa metoder som utför en minstakvadrat-anpassning av parametrarna ger en lösning med högre noggrannhet och kan ta hänsyn till linsdistorsion. Dessa iterativa metoder kräver mer beräkningskraft, har en högre känslighet för störda indata vilket ger svårighet att ange tillräckligt bra startapproximationer, riskerar att ej konvergera mot ett globalt minimum och kräver att goda stoppkriterier anges [9]. Genom att kombinera DLT-algoritmen med någon vanlig ickelinjär optimeringsmetod såsom Levenberg-Marquardt [19] och använda lösningen från DLT-algoritmen som startapproximation till den ickelinjära optimeringen undviks problemet med att välja bra startvärden. Minst 5½ punktkorrespondenser krävs men fler punktkorrespondenser ger noggrannare lösning. Hartley och Zisserman [9] rekommenderar minst 28 punktkorrespondenser men upp mot ett hundratal punkter är vanligt till en bekostnad av beräkningshastighet. Dessa punktkorrespondenser kan fås på två olika sätt: antingen genom avbildningar av ett speciellt utformat kalibreringsobjekt rymmandes en mängd kända referenspunkter eller genom ett flertal avbildningar av ett homogent objekt (endast en referenspunkt) på olika kända placeringar i världskoordinatsystemet Kalibrering med ett homogent kalibreringsobjekt Alla kameror filmar ett gemensamt, homogent kalibreringsobjekt som syns för alla kameror samtidigt. Objektet filmas i olika positioner i målområdet där för varje position dess världskoordinat också bestäms med hjälp av ett annat instrument såsom GPS med hög noggrannhet. Detta utförs på så många olika positioner inom målområdet som är möjligt för att få tillräckligt många punktkorrespondenser. Kalibreringsobjektet är synligt för alla kameror samtidigt och ska vara lätt att detektera. En tillräckligt stor sfär som alla kameror kan utföra tyngdpunktsberäkningar på är ett lämpligt objekt för den här uppgiften [18, 25]. Det finns dock ett par stora nackdelar med den här ansatsen: Resultatet av kalibreringen blir lidande ifall positionerna för kalibreringsobjektet inte är spridda runt hela kamerans synfält, vilket är svårt om inte nästintill omöjligt att göra för en målvolym om 100 m i höjdled (se figur 7 nedan). Punkterna kommer att vara väl spridda på marknivå och när alla punkter ligger i ett plan kan det leda till dåligt anpassade parametrar eftersom kameramodellen bestäms av punkter från en liten delmängd av bilden. Positionsbestämning på andra områden i bilden såsom luftbrisader blir speciellt lidande av detta. Vid varje kalibreringsposition tar alla kameror en bild vilket antingen kräver en yttre kontrollsignal eller att kamerorna är synkroniserade. 13

20 Figur 7. (Vänster bild) Kalibrering i ett målområde om 100 x 100 x 100 m. Pilarna representerar två kameror, kuben visar på målområdet och prickarna representerar positioner för kalibreringsobjektet. Om varje sida i målområdet som pekar mot kamerorna antas fylla ut bilden helt och hållet kommer punkterna att ligga längst ner i bildkanten för en kamera (höger bild) vilket ger dåligt resultat vid kalibreringen. För varje position måste ett annat positionsbestämningssystem användas (t.ex. GPS) för att bestämma dess världskoordinater. Det kan vara väldigt tidskrävande och komplicerat även för det minsta fallet med endast ca 30 punktkorrespondenser. Alla världskoordinater måste överföras till datorn. Risken för felaktiga korrespondenser existerar då både rätt yttre världskoordinat måste bestämmas och införas i beräkningen och även motsvarande bildruta (för att få exakt motsvarande bildkoordinat) till detta måste användas Kalibrering med kalibreringsmönster Figur 8. (Vänster bild) Kalibreringsmetod 2. Varje kamera (markerad som en pil) kalibreras individuellt mot ett speciellt utformat, plant kalibreringsobjekt med ett på förhand känt kalibreringsmönster med noggrant kända världskoordinater (minst 30 st., endast 9 visas här för att förenkla illustrationen). Kalibreringsobjektet avbildas så att så mycket som möjligt av dess mönster ligger utspritt på bildens yta (höger bild). Genom att utföra kalibreringen individuellt för varje kamera på ett stillastående kalibreringsobjekt som fyller upp hela kamerans synfält kan problemet med dålig spridning av punktkorrespondenser undvikas (se figur 8). Kalibreringsobjektet består av ett lättdetekterat mönster av referenspunkter vars inbördes position relativt ett valt origo i objektet är känt på förhand. Bildkoordinater för referenspunkterna kan extraheras ur en avbildning av objektet och eftersom motsvarande världskoordinater är kända kan en kameramodell som avbildar världskoordinater till bildkoordinater beräknas. 14

LABORATION 1 AVBILDNING OCH FÖRSTORING

LABORATION 1 AVBILDNING OCH FÖRSTORING LABORATION 1 AVBILDNING OCH FÖRSTORING Personnummer Namn Laborationen godkänd Datum Labhandledare 1 (6) LABORATION 1: AVBILDNING OCH FÖRSTORING Att läsa före lab: Vad är en bild och hur uppstår den? Se

Läs mer

Mätning av fokallängd hos okänd lins

Mätning av fokallängd hos okänd lins Mätning av fokallängd hos okänd lins Syfte Labbens syfte är i första hand att lära sig hantera mätfel och uppnå god noggrannhet, även med systematiska fel. I andra hand är syftet att hantera linser och

Läs mer

Introduktion till fotogrammetrin

Introduktion till fotogrammetrin Introduktion till fotogrammetrin Lars Harrie, Institutionen för naturgeografi och ekosystemvetenskaper Flera bilder är framtagna av Mikael Johansson, Lantmäteriet Disposition 1)Introduktion 2)Tillämpningar

Läs mer

Hur jag tänker innan jag trycker på knappen? Lasse Alexandersson

Hur jag tänker innan jag trycker på knappen? Lasse Alexandersson Hur jag tänker innan jag trycker på knappen? Lasse Alexandersson Hur jag tänker innan jag trycker på knappen? Bländare = Skärpedjup Slutartid = Öppettid ISO = Förstärkning Hur jag tänker innan jag trycker

Läs mer

Geometrisk optik. Syfte och mål. Innehåll. Utrustning. Institutionen för Fysik 2006-04-25

Geometrisk optik. Syfte och mål. Innehåll. Utrustning. Institutionen för Fysik 2006-04-25 Geometrisk optik Syfte och mål Laborationens syfte är att du ska lära dig att: Förstå allmänna principen för geometrisk optik, (tunna linsformeln) Rita strålgångar Ställa upp enkla optiska komponenter

Läs mer

NU NÄR DU BEKANTAT DIG MED RAMARNAS EGENSKAPER OCH VET. hur man markerar och ändrar dem, är det dags att titta lite närmare på

NU NÄR DU BEKANTAT DIG MED RAMARNAS EGENSKAPER OCH VET. hur man markerar och ändrar dem, är det dags att titta lite närmare på 6 Arbeta med ramar NU NÄR DU BEKANTAT DIG MED RAMARNAS EGENSKAPER OCH VET hur man markerar och ändrar dem, är det dags att titta lite närmare på hur du kan arbeta med dem i en design. De flesta designers

Läs mer

Introduktion till fotogrammetrin

Introduktion till fotogrammetrin Introduktion till fotogrammetrin Lars Harrie, Institutionen för naturgeografi och ekosystemvetenskaper Flera bilder är framtagna av Mikael Johansson, Lantmäteriet Disposition 1)Introduktion 2)Tillämpningar

Läs mer

Datorseende. Niels Chr Overgaard Januari 2010

Datorseende. Niels Chr Overgaard Januari 2010 Datorseende Niels Chr Overgaard Januari 2010 Allmänt Föreläsningar: 14x2h, ti 15-17 + to 13-15 Övningar: 7x2h, fr 8-10 Labbar: 4x2h (obligatoriska) Inlämningsuppgifter: 5 stycken (obligatoriska) Projekt:

Läs mer

Realtidsuppdaterad fristation

Realtidsuppdaterad fristation Precisionsanalys Januari 2009 Milan Horemuz Kungliga Tekniska högskolan, Institution för transporter och samhällsekonomi Avdelningen för Geodesi Teknikringen 72, SE 100 44 Stockholm e-post: horemuz@kth.se

Läs mer

Observera också att det inte går att både se kanten på fönstret och det där ute tydligt samtidigt.

Observera också att det inte går att både se kanten på fönstret och det där ute tydligt samtidigt. Om förstoringsglaset Du kan göra mycket med bara ett förstoringsglas! I många sammanhang i det dagliga livet förekommer linser. Den vanligast förekommande typen är den konvexa linsen, den kallas också

Läs mer

Om ellipsen och hyperbelns optiska egenskaper

Om ellipsen och hyperbelns optiska egenskaper Om ellipsen och hyperbelns optiska egenskaper Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com Sammanfattning Ellipser och hyperbler är, liksom parabeln, s.k. kägelsnitt, dvs kurvor som uppkommer

Läs mer

Ett enkelt OCR-system

Ett enkelt OCR-system P r o j e k t i B i l d a n a l y s Ett enkelt OCR-system av Anders Fredriksson F98 Fredrik Rosqvist F98 Handledare: Magnus Oskarsson Lunds Tekniska Högskola 2001-11-29 - Sida 1 - 1.Inledning Många människor

Läs mer

Beräkningsvetenskap. Vad är beräkningsvetenskap? Vad är beräkningsvetenskap? stefan@it.uu.se. Informationsteknologi. Informationsteknologi

Beräkningsvetenskap. Vad är beräkningsvetenskap? Vad är beräkningsvetenskap? stefan@it.uu.se. Informationsteknologi. Informationsteknologi Beräkningsvetenskap stefan@it.uu.se Finns några olika namn för ungefär samma sak Numerisk analys (NA) Klassisk NA ligger nära matematiken: sats bevis, sats bevis, mer teori Tekniska beräkningar Mer ingenjörsmässigt,

Läs mer

bilder för användning

bilder för användning Grundläggande guide i efterbehandling av bilder för användning på webben Innehåll Innehåll...2 Inledning...3 Beskärning...4 Att beskära en kvadratisk bild...5 Att beskära med bibehållna proportioner...5

Läs mer

LJ-Teknik Bildskärpa

LJ-Teknik Bildskärpa Bildskärpa - Skärpedjup och fokus - Egen kontroll och fokusjustering - Extern kalibrering Bildskärpa, skärpedjup och fokus Brännpunkt och fokus Medan brännpunkt är en entydig term inom optiken, kan fokus

Läs mer

Provet består av Del I, Del II, Del III samt en muntlig del och ger totalt 76 poäng varav 28 E-, 24 C- och 24 A-poäng.

Provet består av Del I, Del II, Del III samt en muntlig del och ger totalt 76 poäng varav 28 E-, 24 C- och 24 A-poäng. NpMac vt 01 Del I Del II Provtid Hjälpmedel Uppgift 1-10. Endast svar krävs. Uppgift 11-15. Fullständiga lösningar krävs. 10 minuter för del I och del II tillsammans. Formelblad och linjal. Kravgränser

Läs mer

Projekt 5 Michelsoninterferometer Fredrik Olsen Roger Persson

Projekt 5 Michelsoninterferometer Fredrik Olsen Roger Persson Projekt 5 Michelsoninterferometer Fredrik Olsen Roger Persson 2007-11-01 Inledning En interferometer är ett mycket precist verktyg för att exempelvis mäta avstånd eller skillnader i våglängder. Konstruktionen

Läs mer

Grundläggande om kameran

Grundläggande om kameran Gatufotogruppen Sida 1 (5) Grundläggande om kameran De mest grundläggande principerna. Vilka typer av hänsyn som just gatufotografi kräver map kamerainställningar Christer Strömholm: Ögonblick kommer som

Läs mer

Grundläggande om kameran

Grundläggande om kameran Gatufotogruppen Sida 1 (6) Grundläggande om kameran De mest grundläggande principerna. Vilka typer av hänsyn som just gatufotografi kräver map kamerainställningar Christer Strömholm: Ögonblick kommer som

Läs mer

Institutionen för matematik och datavetenskap Karlstads universitet. GeoGebra. ett digitalt verktyg för framtidens matematikundervisning

Institutionen för matematik och datavetenskap Karlstads universitet. GeoGebra. ett digitalt verktyg för framtidens matematikundervisning Karlstads GeoGebrainstitut Institutionen för matematik och datavetenskap Karlstads universitet Mats Brunström Maria Fahlgren GeoGebra ett digitalt verktyg för framtidens matematikundervisning Invigning

Läs mer

Digitala bilder. Matris, pixel, pixeldjup, signal, brus, kontrast

Digitala bilder. Matris, pixel, pixeldjup, signal, brus, kontrast Digitala bilder Matris, pixel, pixeldjup, signal, brus, kontrast Den nukleärmedicinska bilden Historik Analoga bilder. Film exponerades för ljusblixtar som producerades när strålning detekterades. oändligt

Läs mer

Final i Wallenbergs Fysikpris

Final i Wallenbergs Fysikpris Final i Wallenbergs Fysikpris 26-27 mars 2010. Teoriprov 1. En kylmaskin som drivs med en spänning på 220 Volt och en ström på 0,50 A kyler vatten i en behållare. Kylmaskinen har en verkningsgrad på 0,70.

Läs mer

Videosignalen. Blockdiagram över AD omvandling (analogt till digitalt)

Videosignalen. Blockdiagram över AD omvandling (analogt till digitalt) Videosignalen Analog/digital Även om vi idag övergår till digital teknik när vi ska insamla, bearbeta och spara videomaterial, så är dock vår omvärld analog. Det innebär att vi i videokameran och TV monitorn

Läs mer

Kamerans sensor. I kameran sitter bildsensorn som består av en rektangulär platta med miljontals små ljuskänsliga halvledare av CCD eller CMOS typ.

Kamerans sensor. I kameran sitter bildsensorn som består av en rektangulär platta med miljontals små ljuskänsliga halvledare av CCD eller CMOS typ. Kamerans sensor I kameran sitter bildsensorn som består av en rektangulär platta med miljontals små ljuskänsliga halvledare av CCD eller CMOS typ. Objektivet projicerar en bild på sensorn och varje liten

Läs mer

Digitalkamera. Fördelar. Nackdelar. Digital fotografering. Kamerateknik Inställningar. Långsam. Vattenkänslig Behöver batteri Lagring av bilder

Digitalkamera. Fördelar. Nackdelar. Digital fotografering. Kamerateknik Inställningar. Långsam. Vattenkänslig Behöver batteri Lagring av bilder Digital fotografering Kamerateknik Inställningar Digitalkamera Samma optik som en analog kamera Byt ut filmen mot en sensor, CCD Bästa digitala sensorn ca 150 Mpixel Vanliga systemkameror mellan 8-12 Mpixel

Läs mer

Metod för termografisk mätning VV Publ. Nr 2006:114 1. Innehållsförteckning:

Metod för termografisk mätning VV Publ. Nr 2006:114 1. Innehållsförteckning: Metod för termografisk mätning VV Publ. Nr 2006:114 1 Innehållsförteckning: 1 Orientering 2 2 Sammanfattning 2 3 Begrepp 2 4 Utrustning 3 4.1 Temperaturmätning med hjälp av linjescanner (värmekamera).

Läs mer

CDS-012-P GEODYNAMIK. GPS-option för CDS CDS-012-P /S, 0401

CDS-012-P GEODYNAMIK. GPS-option för CDS CDS-012-P /S, 0401 GPS-option för CDS CDS-012-P CDS-012-P /S, 0401 GEODYNAMIK Innehåll CDS med GPS-positionering - CDS-P... 1 Allmänt... 1 Inställningar... 2 Vältdata... 2 Referenslinje... 3 Registrering... 3 Resultatpresentation...

Läs mer

Torbjörn Westin, Spacemetric AB Simon Ahlberg, FORAN Remote Sensing AB

Torbjörn Westin, Spacemetric AB Simon Ahlberg, FORAN Remote Sensing AB Torbjörn Westin, Spacemetric AB Simon Ahlberg, FORAN Remote Sensing AB Introduktion Korta företagspresentationer Motiv och bakgrund Bilder, ljusberoende Frikoppla laserdata från bilder Metod Laserdata,

Läs mer

Digitala bilder & Fotografering med Digitalkamera

Digitala bilder & Fotografering med Digitalkamera Digitala bilder & Fotografering med Digitalkamera Den digitala bilden. Det finns två huvudtyper av digitala bilder på datorn. Den ena bildtypen är uppbyggd av pixlar. Vill man göra det lätt för sig, översätter

Läs mer

Tekniker PowerShot G16, PowerShot S120, PowerShot SX170 IS och PowerShot SX510 HS

Tekniker PowerShot G16, PowerShot S120, PowerShot SX170 IS och PowerShot SX510 HS Tekniker PowerShot G16, PowerShot S120, PowerShot SX170 IS och PowerShot SX510 HS UNDER EMBARGO TILL 22 AUGUSTI 2013 KL 06 Världens minsta kamera* med f/1.8, 24 mm vidvinkel, 5x optisk zoom (PowerShot

Läs mer

Funktioner. Räta linjen

Funktioner. Räta linjen Sidor i boken 14-143, 145-147 Funktioner. Räta linjen Här följer en dialog mellan studenten Tor-Björn (hädanefter kallad TB) och hans lärare i matematik Karl-Ture Hansson (nedan kallad KTH). När vi möter

Läs mer

Laboration i Geometrisk Optik

Laboration i Geometrisk Optik Laboration i Geometrisk Optik Stockholms Universitet 2002 Modifierad 2007 (Mathias Danielsson) Innehåll 1 Vad är geometrisk optik? 1 2 Brytningsindex och dispersion 1 3 Snells lag och reflektionslagen

Läs mer

2011 Studsvik AB PANORAMA-BILDTAGNING. Tony Björkman

2011 Studsvik AB PANORAMA-BILDTAGNING. Tony Björkman 2011 Studsvik AB Tony Björkman PANORAMA-BILDTAGNING Filminspelning och visuell inspektion är två beprövade metoder för avsyning av bränslestavar. Ett nytt sätt att avsyna är att skapa panoramabilder vilket

Läs mer

Realtidsuppdaterad fristation

Realtidsuppdaterad fristation Realtidsuppdaterad fristation Tillförlitlighetsanalys Juni 2011 Milan Horemuz Kungliga Tekniska högskolan, Institution för Samhällsplanering och miljö Avdelningen för Geodesi Teknikringen 72, SE 100 44

Läs mer

7F Ma Planering v2-7: Geometri

7F Ma Planering v2-7: Geometri 7F Ma Planering v2-7: Geometri Arbetsform under en vecka: Måndagar (50 min): Genomgång av gemensamma svårigheter i begrepp och metoder. Arbete i grupp med begrepp och metoder. Läxa (30 min): Läsa på anteckningar

Läs mer

Grafisk Teknik. Rastrering. Övningar med lösningar/svar. Sasan Gooran (HT 2013)

Grafisk Teknik. Rastrering. Övningar med lösningar/svar. Sasan Gooran (HT 2013) Grafisk Teknik Rastrering Övningar med lösningar/svar Det här lilla häftet innehåller ett antal räkneuppgifter med svar och i vissa fall med fullständiga lösningar. Uppgifterna är för det mesta hämtade

Läs mer

Vad är ZOOM? Så är det dock inte!

Vad är ZOOM? Så är det dock inte! Vad är ZOOM? När man köper en ny kamera så lockas man kanske av att den har ett stort Zoom-värde. På denna nya kamera ser man på objektivet att det står 24X OPTICAL ZOOM. Att det är ett optiskt och inte

Läs mer

Parabeln och vad man kan ha den till

Parabeln och vad man kan ha den till Parabeln och vad man kan ha den till Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com Sammanfattning I det här dokumentet diskuterar vi vad parabeln är för geometrisk konstruktion och varför den

Läs mer

Veckoblad 1, Linjär algebra IT, VT2010

Veckoblad 1, Linjär algebra IT, VT2010 Veckoblad, Linjär algebra IT, VT Under den första veckan ska vi gå igenom (i alla fall stora delar av) kapitel som handlar om geometriska vektorer. De viktigaste teoretiska begreppen och resultaten i kapitlet

Läs mer

Projekt i bildanalys Trafikövervakning

Projekt i bildanalys Trafikövervakning Projekt i danalys Trafikövervakning F 99 F 00 Handledare : Håkan Ardö Hösten 3 vid Lunds Tekniska Högskola Abstract Using traffic surveillance cameras the authorities can get information about the traffic

Läs mer

Studieanvisning i Optik, Fysik A enligt boken Quanta A

Studieanvisning i Optik, Fysik A enligt boken Quanta A Detta är en något omarbetad version av Studiehandledningen som användes i tryckta kursen på SSVN. Sidhänvisningar hänför sig till Quanta A 2000, ISBN 91-27-60500-0 Där det har varit möjligt har motsvarande

Läs mer

8F Ma Planering v2-7 - Geometri

8F Ma Planering v2-7 - Geometri 8F Ma Planering v2-7 - Geometri Arbetsform under en vecka: Tisdagar (50 min): Genomgång av gemensamma svårigheter i begrepp och metoder. Arbete i grupp med begrepp och metoder. Läxa (30 min): Läsa på anteckningar

Läs mer

Introduktion. Torsionspendel

Introduktion. Torsionspendel Chalmers Tekniska Högskola och Göteborgs Universitet November 00 Fysik och teknisk fysik Kristian Gustafsson och Maj Hanson (Anpassat för I1 av Göran Niklasson) Svängningar Introduktion I mekanikkursen

Läs mer

MATEMATIK GU. LLMA60 MATEMATIK FÖR LÄRARE, GYMNASIET Analys, ht 2014. Block 5, översikt

MATEMATIK GU. LLMA60 MATEMATIK FÖR LÄRARE, GYMNASIET Analys, ht 2014. Block 5, översikt MATEMATIK GU H4 LLMA6 MATEMATIK FÖR LÄRARE, GYMNASIET Analys, ht 24 I block 5 ingår följande avsnitt i Stewart: Kapitel 2, utom avsnitt 2.4 och 2.6; kapitel 4. Block 5, översikt Första delen av block 5

Läs mer

campus.borlänge Förstudie - Beslutsstöd för operativ tågtrafikstyrning

campus.borlänge Förstudie - Beslutsstöd för operativ tågtrafikstyrning campus.borlänge Förstudie - Beslutsstöd för operativ tågtrafikstyrning En rapport från CATD-projektet, januari-2001 1 2 Förstudie Beslutsstöd för operativ tågtrafikstyrning Bakgrund Bland de grundläggande

Läs mer

9E Ma Planering v2-7 - Geometri

9E Ma Planering v2-7 - Geometri 9E Ma Planering v2-7 - Geometri Arbetsform under en vecka: Måndagar (50 min): Genomgång av gemensamma svårigheter i begrepp och metoder. Arbete i grupp med begrepp och metoder. Läxa (45 min): Läsa på anteckningar

Läs mer

KTH Teknikvetenskap. Foto-lab 1. Fotografering med ateljékamera. Kurs: SK2380, Teknisk Fotografi

KTH Teknikvetenskap. Foto-lab 1. Fotografering med ateljékamera. Kurs: SK2380, Teknisk Fotografi KTH Teknikvetenskap Foto-lab 1 Fotografering med ateljékamera Kurs: SK2380, Teknisk Fotografi Kjell Carlsson Tillämpad Fysik, KTH, 2010 2 För att uppnå en god förståelse och inlärning under laborationens

Läs mer

LiTH. WalkCAM 2007/05/15. Testplan. Mitun Dey Version 1.0. Status. Granskad. Godkänd. Reglerteknisk projektkurs WalkCAM LIPs

LiTH. WalkCAM 2007/05/15. Testplan. Mitun Dey Version 1.0. Status. Granskad. Godkänd. Reglerteknisk projektkurs WalkCAM LIPs Testplan Mitun Dey Version 1.0 Status Granskad Godkänd 1 PROJEKTIDENTITET Reglerteknisk projektkurs, WalkCAM, 2007/VT Linköpings tekniska högskola, ISY Namn Ansvar Telefon E-post Henrik Johansson Projektledare

Läs mer

Kapitel 7 Skorsten, trappa och inredning... 3

Kapitel 7 Skorsten, trappa och inredning... 3 2014.02.21 1 Kapitel Innehåll... Sida Kapitel 7 Skorsten, trappa och inredning... 3 Skorsten... 3 Trappa... 5 Möbler... 8 Automatisk rotation... 10 Köksinredning polyline [F2]... 14 Köksinredning Skåpsfigur...

Läs mer

Linjär algebra på några minuter

Linjär algebra på några minuter Linjär algebra på några minuter Linjära ekvationssystem Ekvationssystem: { Löses på matrisform: ( ) ( ) I det här fallet finns en entydig lösning, vilket betyder att determinanten av koefficientmatrisen

Läs mer

Kapitel 2 Vägg/golv... 3

Kapitel 2 Vägg/golv... 3 2014.02.21 1 Vägg/golv Kapitel 2 Kapitel Innehåll... Sida Kapitel 2 Vägg/golv... 3 Yttervägg... 3 Golv... 8 Anpassa vägg till platta på mark... 12 Innervägg... 14 Hur ser väggarna ut?... 19 Ångra/göra

Läs mer

Produktbeskrivning: Höjdmodell Visning

Produktbeskrivning: Höjdmodell Visning 1(11) D atum: D ok umentversion: A vser tjänstens gränssnittsversion: 2014-12-12 1.0 1.0 Produktbeskrivning: Höjdmodell Visning Förändringsförteckning Innehållsförteckning 1 Allmän beskrivning... 2 1.1

Läs mer

3. Körvägsalternativ. 3.1 Identifierade körvägar

3. Körvägsalternativ. 3.1 Identifierade körvägar 11 3. Körvägsalternativ 3.1 Identifierade körvägar Tolv olika körvägar mellan järnvägsstationen och CSK har identifierats som rimliga alternativ. Anslutning till CSK kan ske antingen via Södra Boulevarden

Läs mer

Dokumenteringar av mätningar med TLC (Thermocrome liquid crystals)

Dokumenteringar av mätningar med TLC (Thermocrome liquid crystals) Dokumenteringar av mätningar med TLC (Thermocrome liquid crystals) Utförda under hösten -99. KTH Energiteknik, Brinellvägen 60, klimatkammare 3 av Erik Björk Sammanfattning Mätningar utfördes med s.k.

Läs mer

Grunder. Grafiktyper. Vektorgrafik

Grunder. Grafiktyper. Vektorgrafik 2 Grunder All vår början bliver svår eller hur det nu brukar heta, och detta är något som gäller även Flash. För den som är ovan vid Flash gäller det säkert extra mycket, då det kan vara knepigt att förstå

Läs mer

2. 1 L ä n g d, o m k r e t s o c h a r e a

2. 1 L ä n g d, o m k r e t s o c h a r e a 2. 1 L ä n g d, o m k r e t s o c h a r e a Ett plan är en yta som inte är buktig och som är obegränsad åt alla håll. På ett plan kan man rita en linje som är rak (rät). En linje är obegränsad åt båda

Läs mer

Kundts rör - ljudhastigheten i luft

Kundts rör - ljudhastigheten i luft Kundts rör - ljudhastigheten i luft Laboration 4, FyL VT00 Sten Hellman FyL 3 00-03-1 Laborationen utförd 00-03-0 i par med Sune Svensson Assisten: Jörgen Sjölin 1. Inledning Syftet med försöket är att

Läs mer

Kvalificeringstävling den 30 september 2008

Kvalificeringstävling den 30 september 2008 SKOLORNAS MATEMATIKTÄVLING Svenska Matematikersamfundet Kvalificeringstävling den 30 september 2008 Förslag till lösningar Problem 1 Tre rader med tal är skrivna på ett papper Varje rad innehåller tre

Läs mer

Robotarm och algebra

Robotarm och algebra Tekniska Högskolan i Linköping Institutionen för Datavetenskap (IDA) Torbjörn Jonsson 2010-12-07 Robotarm och algebra I denna laboration skall du lära dig lite mer om möjlighetera att rita ut mer avancerade

Läs mer

Matematik. Mål att sträva mot. Mål att uppnå. År 1 Mål Kriterier Eleven ska kunna. Taluppfattning koppla ihop antal och siffra kan lägga rätt antal

Matematik. Mål att sträva mot. Mål att uppnå. År 1 Mål Kriterier Eleven ska kunna. Taluppfattning koppla ihop antal och siffra kan lägga rätt antal Matematik Mål att sträva mot Vi strävar mot att varje elev ska utveckla intresse för matematik samt tilltro till det egna tänkandet och den egna förmågan att lära sig matematik utveckla sin förmåga att

Läs mer

FMCK Malmö Boris Magnusson. Markering av Endurobana

FMCK Malmö Boris Magnusson. Markering av Endurobana FMCK Malmö Boris Magnusson Markering av Endurobana Markering av en Endurobana finns beskrivet i tävlingsreglementet, paragrafer 4.16-17-18 (se nedan) men dessa är ganska kortfattade. Detta PM är ett försöka

Läs mer

Centralt innehåll. I årskurs 1.3

Centralt innehåll. I årskurs 1.3 3.5 Matematik Matematiken har en flertusenårig historia med bidrag från många kulturer. Den utvecklas såväl ur praktiska behov som ur människans nyfikenhet och lust att utforska matematiken som sådan.

Läs mer

Adobe. Photoshop CS3. Fortsättningskurs. www.databok.se

Adobe. Photoshop CS3. Fortsättningskurs. www.databok.se Adobe Photoshop CS3 Fortsättningskurs www.databok.se Innehållsförteckning 1 Färghantering... 1 Färgomfång... 2 Behöver du färghantering?... 2 Kalibrera bildskärmen... 3 Kalibreringsprogram... 3 Färginställningar...

Läs mer

Högskoleprovet Kvantitativ del

Högskoleprovet Kvantitativ del Högskoleprovet Kvantitativ del Här följer anvisningar till de kvantitativa delproven XYZ, KVA, NOG och DTK. Provhäftet innehåller 40 uppgifter och den totala provtiden är 55 minuter. XYZ Matematisk problemlösning

Läs mer

Ansiktsigenkänning med MATLAB

Ansiktsigenkänning med MATLAB Ansiktsigenkänning med MATLAB Avancerad bildbehandling Christoffer Dahl, Johannes Dahlgren, Semone Kallin Clarke, Michaela Ulvhammar 12/2/2012 Sammanfattning Uppgiften som gavs var att skapa ett system

Läs mer

Grundritning Platta på mark

Grundritning Platta på mark Grundritning Platta på mark Inställning för grund i vån. 1 av projektet... 2 Ritningsnummer Grundritning... 4 Startfil för Grundritning... 4 Inställning för Grundritning... 5 Grundritning för golvvärme

Läs mer

Att räkna med mellanbilder genom ett system med många linser och gränsytor blir krångligt. Vi vill kunna avbilda genom alla ytor direkt.

Att räkna med mellanbilder genom ett system med många linser och gränsytor blir krångligt. Vi vill kunna avbilda genom alla ytor direkt. Föreläsning 9 0 Huvudplan Önskan: Tänk om alla optiska system vore tunna linser så att alltid gällde! Att räkna med mellanbilder genom ett system med många linser och gränsytor blir krångligt. Vi vill

Läs mer

Objektiv. Skillnad i egenskaper mellan objektiv med olika brännvidder (småbild)

Objektiv. Skillnad i egenskaper mellan objektiv med olika brännvidder (småbild) Håll kameran rätt! För att minimera risken för skakningsoskärpa bör man alltid hålla kameran så stadigt som möjligt. Oftast håller man kameran som i mitten och till höger, med höger hand i kamerans grepp

Läs mer

Dimensioner och fraktal geometri. Johan Wild

Dimensioner och fraktal geometri. Johan Wild Dimensioner och fraktal geometri Johan Wild 9 februari 2010 c Johan Wild 2009 johan.wild@europaskolan.se Får gärna användas i undervisning, kontakta i så fall författaren. 9 februari 2010 1 Inledning och

Läs mer

MATEMATIK 3.5 MATEMATIK

MATEMATIK 3.5 MATEMATIK 3.5 TETIK Matematiken har en flertusenårig historia med bidrag från många kulturer. Den utvecklas såväl ur praktiska behov som ur människans nyfikenhet och lust att utforska matematiken som sådan. Matematisk

Läs mer

SKOLORNAS MATEMATIKTÄVLING Svenska Matematikersamfundet. Lösningsförslag till naltävlingen den 20 november 2004

SKOLORNAS MATEMATIKTÄVLING Svenska Matematikersamfundet. Lösningsförslag till naltävlingen den 20 november 2004 SKOLORNAS MATEMATIKTÄVLING Svenska Matematikersamfundet Lösningsförslag till naltävlingen den 0 november 004 1. Låt A, C vara de två cirklarnas medelpunkter och B, D de två skärningspunkterna. Av förutsättningarna

Läs mer

Projekt 3: Diskret fouriertransform

Projekt 3: Diskret fouriertransform Projekt 3: Diskret fouriertransform Diskreta fouriertransformer har stor praktisk användning inom en mängd olika områden, från analys av mätdata till behandling av digital information som ljud och bildfiler.

Läs mer

Introduktionsföreläsning. Outline. Beräkningsvetenskap I. Sara Zahedi Hanna Holmgren. Institutionen för Informationsteknologi, Uppsala Universitet

Introduktionsföreläsning. Outline. Beräkningsvetenskap I. Sara Zahedi Hanna Holmgren. Institutionen för Informationsteknologi, Uppsala Universitet Lärare Introduktionsföreläsning Beräkningsvetenskap I Institutionen för Informationsteknologi, Uppsala Universitet Sara Zahedi Hanna Holmgren 29 oktober, 2012 Outline 1 2 Information om kursen 3 Introduktion

Läs mer

Inför tentamen i Linjär algebra TNA002.

Inför tentamen i Linjär algebra TNA002. Inför tentamen i Linjär algebra TNA002. 1. Linjära ekvationssytem (a) Omskrivningen av ekvationssystem på matrisform samt utföra radoperationer. (b) De 3 typer av lösningar som dyker upp vid lösning av

Läs mer

Betyg i årskurs 6. Grundskolans läroplan Kursplan i ämnet matematik

Betyg i årskurs 6. Grundskolans läroplan Kursplan i ämnet matematik Betyg i årskurs 6 Betyg i årskurs 6, respektive årskurs 7 för specialskolan, träder i kraft hösten 2012. Under läsåret 2011/2012 ska kunskapskraven för betyget E i slutet av årskurs 6 respektive årskurs

Läs mer

4. I lagret finns 24, 23, 17 och 16 kg:s säckar. På vilket sätt kan man leverera en beställning på exakt 100 kg utan att öppna någon säck?

4. I lagret finns 24, 23, 17 och 16 kg:s säckar. På vilket sätt kan man leverera en beställning på exakt 100 kg utan att öppna någon säck? Grundskolans matematiktävling Finaltävling fredagen den 3 februari 2012 DEL 1 Tid 30 min Maximal poängsumma 20 Räknare används inte i denna del. Skriv ner beräkningar, rita bilder eller ange andra motiveringar

Läs mer

Uppgift 1a (Aktiekurser utan poster)

Uppgift 1a (Aktiekurser utan poster) Uppgift 1a (Aktiekurser utan poster) Vi har lite olika upplägg i de kurser vi håller och i vissa kurser finns det med något som vi kallar "poster" (eng. "record"). I andra har vi inte med detta. Vi har

Läs mer

Användarmanual. 88 SEA för iphone. OBSERVERA! 88 SEA för iphone och 88 SEA HD för ipad är två separata produkter.

Användarmanual. 88 SEA för iphone. OBSERVERA! 88 SEA för iphone och 88 SEA HD för ipad är två separata produkter. Användarmanual 88 SEA för iphone OBSERVERA! 88 SEA för iphone och 88 SEA HD för ipad är två separata produkter. Välkommen! Grattis och välkommen till världen kring 88 SEA. 88 SEA är en komplett sjökortsnavigator

Läs mer

MATEMATIK 5.5 MATEMATIK

MATEMATIK 5.5 MATEMATIK 5.5 TETIK Matematiken har en flertusenårig historia med bidrag från många kulturer. Den utvecklas såväl ur praktiska behov som ur människans nyfikenhet och lust att utforska matematiken som sådan. Matematisk

Läs mer

Specifikation av kandidatexjobb

Specifikation av kandidatexjobb Specifikation av kandidatexjobb 3D-rekonstruktion av Rubiks kub André Gräsman Rasmus Göransson grasman@kth.se rasmusgo@kth.se 890430-3214 850908-8517 Introduktion Vi vill göra en förstudie om 3D rekonstruktion.

Läs mer

Metoder för rörelsemätning, en översikt.

Metoder för rörelsemätning, en översikt. Metoder för rörelsemätning, en översikt. Metoder för mätning av rörelser kan delas in i följande grupper: 1. Mekaniska metoder. 2. Elektromagnetiska metoder. 3. Akustiska metoder. 4. Optiska metoder. Nedan

Läs mer

Figur 6.1 ur Freeman & Hull, Optics

Figur 6.1 ur Freeman & Hull, Optics 1 Föreläsning 12 Kameran Figur 6.1 ur Freeman & Hull, Optics Kameran är ett instrument som till vissa delar fungerar mycket likt ett öga. Kamerans optik, det så kallade kameraobjektivet, motsvarar ögats

Läs mer

Matematikundervisningen har under

Matematikundervisningen har under bengt aspvall & eva pettersson Från datorernas värld Hur kan vi stimulera elever i matematik, och hur kan vi genom matematiken visa delar av datorns funktioner? Författarna visar hur man kan introducera

Läs mer

Optimala vinkeln av bortklippt cirkelsektor fo r maximal volym pa glasstrut

Optimala vinkeln av bortklippt cirkelsektor fo r maximal volym pa glasstrut Optimala vinkeln av bortklippt cirkelsektor fo r maximal volym pa glasstrut Frågeställning Av en cirkulär pappersskiva kan en cirkelsektor med en viss vinkel klippas bort. Med den resterande sektorn går

Läs mer

Final i Wallenbergs Fysikpris

Final i Wallenbergs Fysikpris Final i Wallenbergs Fysikpris 26-27 mars 2010. Teoriprov Lösningsförslag 1. a) Vattens värmekapacitivitet: Isens värmekapacitivitet: Smältvärmet: Kylmaskinen drivs med spänningen och strömmen. Kylmaskinens

Läs mer

Magnetiska fält laboration 1FA514 Elektimagnetism I

Magnetiska fält laboration 1FA514 Elektimagnetism I Magnetiska fält laboration 1FA514 Elektimagnetism I Utförs av: William Sjöström 19940404 6956 Oskar Keskitalo 19941021 4895 Uppsala 2015 05 09 Sammanfattning När man leder ström genom en spole så bildas

Läs mer

Tobii C12. Grunderna för hur du kommer igång och arbetar med Tobiis C12 och ögonstyrningen CEye. Habilitering & Hjälpmedel

Tobii C12. Grunderna för hur du kommer igång och arbetar med Tobiis C12 och ögonstyrningen CEye. Habilitering & Hjälpmedel Tobii C12 Grunderna för hur du kommer igång och arbetar med Tobiis C12 och ögonstyrningen CEye. Habilitering & Hjälpmedel Förord Detta du nu håller i din hand är inte en komplett manual utan en kortfattad

Läs mer

LABORATION nr 1 Landskapsfoto & kamerastudie

LABORATION nr 1 Landskapsfoto & kamerastudie LABORATION nr 1 Landskapsfoto & kamerastudie Digital fotografering och bildbehandling 7,5hp 1 av 5 Syfte Syftet med uppgiften är att kursdeltagaren skall kunna skaffa sig kunskap om vilka inställningar

Läs mer

Kortaste Ledningsdragningen mellan Tre Städer

Kortaste Ledningsdragningen mellan Tre Städer Kortaste Ledningsdragningen mellan Tre Städer Tre städer A, B och C, belägna som figuren till höger visar, ska förbindas med fiberoptiska kablar. En så kort ledningsdragning som möjligt vill uppnås för

Läs mer

Kapitel Ekvationsräkning

Kapitel Ekvationsräkning Kapitel Ekvationsräkning Din grafiska räknare kan lösa följande tre typer av beräkningar: Linjära ekvationer med två till sex okända variabler Högregradsekvationer (kvadratiska, tredjegrads) Lösningsräkning

Läs mer

Bouleträning. (Ovanstående text är inspirerad av Anders Gerestrands hemsida: www.) geocities.com/boulesidan.)

Bouleträning. (Ovanstående text är inspirerad av Anders Gerestrands hemsida: www.) geocities.com/boulesidan.) Bouleträning Bouleteknik Målet i boule är kasta sina klot på ett sådant sätt att de gör störst nytta. Detta är svårt att göra om man inte har full kontroll över kloten. Visst kan dåliga klot studsa rätt

Läs mer

Live Sök Export. ExacqVision användarguide Live Sök Export. Teletec Connect AB Emil Warnicke

Live Sök Export. ExacqVision användarguide Live Sök Export. Teletec Connect AB Emil Warnicke ExacqVision användarguide Teletec Connect AB Emil Warnicke Version 1 (2009 07 13) för ExacqVision Klient 3.5.3 och nyare Sida 1 Allmänt omexacqvision ExacqVisions klientprogram har tre arbetslägen: Live,

Läs mer

Högskoleprovet. Block 1. Anvisningar. Övningsexempel. Delprovet innehåller 22 uppgifter.

Högskoleprovet. Block 1. Anvisningar. Övningsexempel. Delprovet innehåller 22 uppgifter. Block 1 2010-10-23 Högskoleprovet Svarshäfte nr. DELPROV 1 NOGa Delprovet innehåller 22 uppgifter. Anvisningar Varje uppgift innehåller en fråga markerad med fet stil. Uppgiften kan även innehålla viss

Läs mer

Grundritning Torpargrund

Grundritning Torpargrund Grundritning Torpargrund Ritningsnummer Grundritning... 2 Startfil för Grundritning... 3 Inställning för Grundritning... 4 Rita rektangulär torpargrund baserad på två punkter... 6 Fri Yttermur/Hjärtmur...

Läs mer

STOCKHOLMS UNIVERSITET FYSIKUM

STOCKHOLMS UNIVERSITET FYSIKUM STOCKHOLMS UNIVERSITET FYSIKUM Tentamensskrivning i Fysikexperiment, 7,5 hp, för FK2002 Onsdagen den 15 december 2010 kl. 9-14. Skrivningen består av två delar A och B. Del A innehåller enkla frågor och

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Linjära avbildningar II Innehåll Repetition:

Läs mer

Frågor för tentamen EXTA50 Samhällsmätning, 9 hp, kl december, 2013.

Frågor för tentamen EXTA50 Samhällsmätning, 9 hp, kl december, 2013. FÖRSÄTTSBLAD I nstitutionen för Naturgeografi och Ekosystemvetenskaper I nstitutionen för Teknik och Samhälle Frågor för tentamen EXTA50 Samhällsmätning, 9 hp, kl. 8-13 20 december, 2013. Denna tentamen

Läs mer

1 Den Speciella Relativitetsteorin

1 Den Speciella Relativitetsteorin 1 Den Speciella Relativitetsteorin På tidigare lektioner har vi studerat rotationer i två dimensioner samt hur vi kan beskriva föremål som roterar rent fysikaliskt. Att från detta gå över till den speciella

Läs mer

UAS Obemannad flygfotografering Trimtec AB www.trimtec.se. Copyright. 2013 Trimtec AB, all rights reserved

UAS Obemannad flygfotografering Trimtec AB www.trimtec.se. Copyright. 2013 Trimtec AB, all rights reserved UAS Obemannad flygfotografering Trimtec AB www.trimtec.se UAS Obemannad flygfotografering Agenda UAS Fördelar Tekniken Hur det går till Användningsområden Lagar Tillstånd Regler Kamera Egenskaper Noggrannhet

Läs mer

TAGARNO AS Sandøvej 4 8700 Horsens Denmark Tel: +45 7625 1111 Mail: mail@tagarno.com

TAGARNO AS Sandøvej 4 8700 Horsens Denmark Tel: +45 7625 1111 Mail: mail@tagarno.com 8 TAGARNO AS Sandøvej 4 8700 Horsens Denmark Tel: +45 7625 1111 Mail: mail@tagarno.com TAGARNO 2 Snabb bildtagning Delad skärm-funktion Förstoring upp till 320x Lätt höjdjustering SD-kort ESD säkerhet

Läs mer