Kamerabaserad positionsbestämning av mark- och luftbrisader

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "Kamerabaserad positionsbestämning av mark- och luftbrisader"

Transkript

1 Kamerabaserad positionsbestämning av mark- och luftbrisader Examensarbete D, 2 20 p. Institutionen för Datavetenskap, Umeå universitet Författare: Markus Jusslin, Per Lundqvist, Handledare: Niclas Börlin Sammanfattning. Rådande metoder för positionsbestämning av nedslag för artillerigranater kräver manuell inmätning eller omfattar system som är geografiskt bundna till en speciell plats. Dessa system är i mångt och mycket beroende av manuell hjälp och har begränsade möjligheter att positionsbestämma luftbrisader. I denna studie undersöks möjligheten att använda kameror kopplade till en dator som alternativ lösning, där förhoppningen är att få ett relativt billigt, bärbart system med hög noggrannhet och som utöver detta även kan mäta in luftbrisader.

2 ii

3 Innehållsförteckning 1 Inledning Bakgrund Målsättning Upplägg Beskrivning av CAMPOS Syfte och användningsområde Tilltänkt uppställning Krav och funktioner Fördelar med CAMPOS Nackdelar/begränsningar hos CAMPOS Realiserbarhetsanalys Inledning Triangulering Kamerornas antal och inbördes vinkel Målområdets storlek, bildupplösning och kamerornas avstånd till målområdet Kamerakalibrering Kalibrering med hjälp av 2D- till 3D-punktkorrespondenser Kalibrering med hjälp av 2D- till 2D-punktkorrespondenser Begränsad kamerakalibrering Bildanalys Visuell approximation av brisad- och nedslagspunkt Lokalisering av bildruta för nedslag Inmätning av bilder Insamling Mätdata Hårdvara Mjukvara Hårdvaruundersökning Sammanfattning Realiserbarhetsanalys Designval Inledning Kameror och överföringsmedium Antalet kameror Vinkel mellan kameror Kameratyp Dataöverföring Utvecklingsmiljö iii

4 4.3 Uppställning och kalibrering av kameror Uppställning Kamerakalibrering Mjukvarukomponenter Relationsdiagram Sammanfattning designval Teoretisk analys av detektering Inledning Beskrivning av detektering Algoritmbeskrivning Övergripande beskrivning av detektering Algoritmen för detektering Förslag på förändringar Testmetoder Test av noggrannhet Test av precision Test av exekveringstid Val av tröskelvärden Testresultat detektering Manuell verifiering Test av precision Test av exekveringstid Test av arean hos detektering Sammanfattning av analys av detektering Teoretisk analys av kalibrering och triangulering Teoretisk beskrivning av kalibrering Direct Linear Transform Ickelinjär minimering Begränsad kamerakalibrering Linsdistorsion Teoretisk beskrivning av triangulering Mittpunktsmetoden Linjär triangulering Epipolargeometri och minimering av återprojektionsfelet Resultat Simulering Resultat kalibrering Slutsats och sammanfattning kalibrering Resultat triangulering Slutsats och sammanfattning triangulering Avslutning Fortsatt undersökning Avslutande ord iv

5 8 Referenser Ordlista A Hårdvaruundersökning A.1 Kameror A.1.1 Digitala videokameror A.1.2 Analoga videokameror A.1.3 Digitala stillbildskameror A.1.4 Högupplösta industrikameror A.1.5 Höghastighetskameror A.1.6 Förkalibrerade kameror A.1.7 Sammanfattning och diskussion A.2 Överföringsmedia A.2.1 FireWire A.2.2 Ethernet A.2.3 RadioLAN A.2.4 USB A.2.5 Bluetooth A.2.6 S-Video A.2.7 CameraLink A.2.8 KVM Extender A.3 Bärbar dator A.3.1 Gränssnitt A.3.2 Hårddiskar A.3.3 Internminne A.3.4 Strömförsörjning B Interlacing C Krav C.1 Krav på tillstånd och lägen hos systemet C.2 Funktionella krav på systemet C.2.1 Generellt C.2.2 Operationella funktioner hos CAMPOS C.2.3 Systemfunktioner C.2.4 Användbarhetsfunktioner C.3 Krav på externa gränssnitt hos systemet C.3.1 Identifiering av gränssnitt och diagram C.3.2 IF GUI C.3.3 IF Nätverk C.3.4 IF Kameror C.3.5 IF Extern lagring C.3.6 IF Statistik C.4 Krav på interna gränssnitt hos systemet C.5 Krav på systemets interna data v

6 C.6 Krav på adaption C.7 Skyddskrav C.8 Säkerhetskrav C.9 Miljökrav på systemet C.10 Krav på datorresurserna C.11 Kvalitetskrav på systemet C.12 Begränsningar på design och konstruktion av systemet C.13 Personalrelaterade krav vi

7 1 Inledning 1.1 Bakgrund Den här rapporten är en del i ett examensarbete som har utförts vid Umeå Universitet åt företaget AerotechTelub under perioden Augusti 2003-Januari Det finns ett intresse av ett system som klarar av att automatiskt positionsbestämma både marknedslag och luftbrisader vid skjutning med granatkastare och artilleri med hög noggrannhet. Systemet förväntas kunna utföra positionsbestämning i realtid och snabbt kunna generera utvald statistik. Befintliga system kräver manuell inmätning vilket inte ger sökt noggrannhet, är tidskrävande och svårhanterligt. Ett kamerabaserat system som arbetar i realtid möjliggör för ett större antal inmätta testskjutningar per dag än vad som är möjligt med manuella inmätningar och tillför nya möjligheter att arkivera filmer och resultat, utöver de automatiska beräkningar som assisterar operatören av systemet. Att göra mätningar med hjälp av bilder är en relativt gammal och etablerad vetenskap (fotogrammetri), men kombinationen av de krav som ställs på bärbarhet, realtidsberäkningar och den relativt stora målvolymen vari positionsbestämning ska kunna utföras tillför svårigheter som gör problemställningen kring detta system delvis outforskat. Denna rapport består av en teoretisk undersökning och behandlar möjliga tillvägagångssätt och deras för- och nackdelar. I de sista kapitlen behandlas förväntad noggrannhet för systemet som är beräknad helt och hållet beräknad med datorsimuleringar. Detta bör alltså ses som ett första steg i en undersökning om möjligheterna för ett positionsbestämningssystem av det här slaget, där en fortsättning vore att utföra praktiska undersökningar. 1.2 Målsättning Målsättningen är att undersöka möjligheterna med att utveckla ett system för positionsbestämning med hjälp av videokameror och bildanalys. Undersökningen ska ta upp de problem som kan uppstå samt ett konkret förslag på en fullständigt system. De viktigaste frågeställningarna undersökningen ska behandla är: Hur ska kalibreringen av kameror ske? Med vilken noggrannhet måste kamerorna kalibreras för att systemet ska uppnå önskad noggrannhet? Hur ska triangulering av världskoordinater ske från inmätta korresponderande bildpunkter? Vilken uppställning av kamerorna ger bäst resultat för trianguleringen? Vilka metoder för bildanalysens detektering är lämpliga för att kunna möta realtidskrav? Vilken hårdvara möter kraven ställda på noggrannhet och bildöverföring? 1

8 1.3 Upplägg Rapporten kommer i huvudsak att redogöra för problem och möjliga lösningar för punkterna i målsättningen ovan. Den består av delar från de fyra olika dokument som producerats till företaget AerotechTelub under examensarbetets gång. Rapporten kommer först att ge en utökad bild av det efterfrågade systemets kravspecifikation i kapitel 2 Beskrivning av CAMPOS. I efterföljande kapitel 3 Realiserbarhetsanalys beskrivs problemställningen för de olika huvudkomponenterna och behandlar även olika metoder och tillvägagångssätt för implementation av systemet. kapitel 4 Designval tar upp ett konkret val av ett system för att visa hur ett faktiskt system skulle kunna vara uppbyggt med dess för- och nackdelar. I de efterföljande kapitlen 5 Teoretisk analys av detektering och 6 Teoretisk analys av kalibrering och triangulering analyseras de respektive delarna och testresultat redovisas. Rapporten avslutas i kapitel 7 Avslutning med rekommenderad fortsatt undersökning och tackord. 2

9 2 Beskrivning av CAMPOS 2.1 Syfte och användningsområde CAMPOS (Camera-based Position Targeting System) är ett bärbart system som ska användas i fredstid för att verifiera en granats exakta punkt vid nedslag på marken eller brisad i luften. Systemet ska användas vid testskjutningar med artilleripjäs eller granatkastare av både barlastade och skarpa granater. Avsikten är att förkorta tiden som krävs för manuell inmätning och samtidigt ha en väldigt hög noggrannhet genom att använda sig av ett datorbaserat system som använder sig av bildbehandling. CAMPOS ska kunna betjänas av en operatör och ska förutom positionsbestämning även tillhandahålla kalibrering av kameraparametrar vilket måste utföras varje gång systemet ställs upp. CAMPOS ska tillhandahålla möjlighet för automatisk detektering av position för nedslag/luftbrisad men även möjlighet för operatören att manuellt ange position för nedslag/luftbrisad. 2.2 Tilltänkt uppställning CAMPOS består av 2 eller fler kameror, (K1 och K2), som filmar ett kubiskt målområde om 100x100x100 m i x-, y-, och z-led. Dessa kameror är kopplade mot en bärbar dator där en operatör befinner sig skyddad enligt militära bestämmelser. Luftbrisad/nedslag inom målområdet detekteras automatiskt av programvaran eller manuellt av operatören och felet i förhållande till vald referenspunkt presenteras för operatören vid datorn. 3

10 100 m PC K1 T R 100 m PC = dator K1 = kamera 1 K2 = kamera 2 T = träffpunkt R = referenspunkt K2 Figur 1. Principskiss av CAMPOS sedd uppifrån. Kamerorna filmar även i höjdled vilket inte visas. Ingen information om avstånd kan fås ur bilden, den relativa skalan är ej korrekt. CAMPOS är inte låst vid att endast använda sig av 2 kameror. 2.3 Krav och funktioner Det finns en mängd olika krav ställda på CAMPOS, en fullständig redovisning av alla krav finns i bilaga C Krav. Här följer de viktigaste och mest grundläggande kraven som inför störst begränsningar på implementationen av systemet: CAMPOS ska tillhandahålla stöd för kalibrering av anslutna kameror. CAMPOS ska tillhandahålla en manuell positionsbestämning, där användaren anger i det grafiska gränssnittet var nedslaget/luftbrisaden skett. CAMPOS ska även medge en automatisk positionsbestämning där programmet ger ett förslag på positionen av nedslaget/luftbrisaden åt användaren. Positionsbestämning ska ske med bättre noggrannhet än 0,1 m i x-, y-, och z-led för granatkastare och 1-2 meters noggrannhet för artilleripjäs. Barlastad granat ska kunna detekteras. CAMPOS ska kunna mäta två granatnedslag med tidsintervall på 0 till 5 sek. Bomavstånd ska kunna beräknas mot valfri referenspunkt inom eller i anslutning till målvolymen. Koordinater ska sparas och senare kunna presenteras i ett sammanställt rapportformulär som innehåller alla koordinater, grafisk beskrivning av alla träffar, presentation av medelvärde, spridning och RMS. Resultat ska kunna exporteras till Excel. CAMPOS ska kunna användas utomhus på en geografisk obunden plats. CAMPOS ska kunna användas av en enda person och vara bärbart. 4

11 För att skydda användaren så ska CAMPOS ställas upp så att användaren antingen befinner sig på skyddad plats t.ex. i en bunker eller på ett tillräckligt stort avstånd till målområdet. Avstånd till målområdet ska följa de militära skyddsbestämmelserna. Skydd av utrustningen kommer att ske i förhållande till utrustningens värde och utan att försämra positionsbestämningens noggrannhet. 2.4 Fördelar med CAMPOS Med CAMPOS ska användaren kunna verifiera en granats exakta punkt vid nedslag på marken eller brisad i luften. Detta ska kunna ske i realtid utan manuell inmätning. Eftersom positionsbestämningen ska ske i realtid kommer CAMPOS att möjliggöra ett större antal inmätta testskjutningar per dag än vad som är möjligt med manuell inmätning. CAMPOS kan spela in och spara flera nedslag/luftbrisader och sedan utföra statistiska analyser av deras nedslags/brisadpunkter. Manuell efterbearbetning och korrektion är möjlig. All logik finns färdig i programvaran för de beräkningar som behövs utföras. Inga manuella beräkningar krävs. Kräver mindre personal för inmätning det räcker med en operatör. 2.5 Nackdelar/begränsningar hos CAMPOS Eftersom CAMPOS använder sig av visuell positionsbestämningsteknik blir systemet begränsat till att användas när sikten är god, d.v.s. ej i nattetid, vid dimma, i skog o.s.v. Systemet kan få problem med brus från motljus, vågor m.m. Detta kan medföra att filmerna blir svåra/omöjliga att analysera. Eftersom kameror och dataöverföringsutrustning (hubbar, kablage m.m.) måste befinna sig nära målområdet riskerar de att bli träffade av splitter o.s.v. Detta innebär att man måste ha reservdelar tillgängliga. 5

12 6

13 3 Realiserbarhetsanalys 3.1 Inledning Det här kapitlet beskriver problemställningen kring systemet CAMPOS och tar upp metoder och tillvägagångssätt för implementation av systemet. Prioritet har lagts på att beskriva hur pass realiserbart ett sådant system är där metoder och prestandauppgifter beskrivs översiktligt med en praktisk, snarare än en teoretisk förhållning till problemet. De delar som behandlas här är de delar i systemet som identifierats som huvudfunktioner i systemet, d.v.s. kalibrering, triangulering, detektering och överföring. I kapitel 3.2 Triangulering beskrivs vilken påverkan som antalet kameror, kamerornas bildupplösning och hur uppställningen av kameror i förhållande till målvolymen har på trianguleringen. I kapitel 3.3 Kamerakalibrering beskrivs tillvägagångssätt för olika kalibreringsmetoder och deras problem och eventuella lösningar. I kapitel 3.4 Bildanalys beskrivs några problem och tillvägagångssätt vid detektering av nedslag i filmsekvenser. Detektering att ett nedslag skett i bilden och detektering var ett nedslag skett i bilden beskrivs som två separata problem. I kapitel 3.5 Insamling mätdata kommer de komponenter som behövs för att överföra bilder av målvolymen till operatören att beskrivas. För den hårdvara som behövs (kameror, överföringsmedium och bärbar dator) beskrivs de viktigaste egenskaperna och vilka krav som kommer att ställas på dem. En hårdvaruundersökning av olika kameratyper och överföringsmedium samt en kort beskrivning av krav och alternativ på mjukvara redovisas. 3.2 Triangulering Kamerornas antal och inbördes vinkel För att utföra positionsbestämning krävs minst två kameror men det finns ingen teoretisk övre begränsning på antalet kameror som kan användas. Fler kameror ger en högre noggrannhet i positionsbestämningen men till en kostnad av följande: mera komplicerad uppställning, fler kameror som ska kalibreras, längre beräkningstid vid kalibrering, längre beräkningstid vid positionsbestämning, större mängd data som skickas till datorn och ska behandlas i realtid, dyrare system (kablage och övrig hårdvara utöver kamerorna) och större risk för att systemet ska haverera p.g.a. splitter. Noggrannheten måste utvärderas praktiskt och ställas mot de resurser i fråga om pengar, bandbredd, beräkningskapacitet som finns tillgängligt. Vinkeln mellan kamerorna har stor inverkan på noggrannheten vid positionsbestämningen. För det här systemet finns endast möjligheten att ställa alla kameror i markplan och därför övervägs ej uppställningar där kamerorna 7

14 t.ex. befinner sig ovanför eller under målområdet. För bästa resultat ska de tillgängliga kamerorna filma ur sådana vinklar som tillför så mycket ny ickeredundant information som möjligt. Detta innebär att fler än två kameror ska placeras i en vinkel av (360/antal kameror) grader runt målområdet. För två kameror är dock den optimala vinkeln 90 grader. Exempelvis så får två kameror som står näst intill mitt emot varandra i 180 grader väldigt hög noggrannhet i höjd- och sidled men dålig noggrannhet i djupled. Sett ur samma perspektiv får två kameror som står i 90 graders vinkel mot varandra mycket bättre resultat i djupled och lite sämre i sidled (eftersom djupled för den ena kameran motsvarar sidled för den andra). Den bättre noggrannheten som fås i djupled väger upp den lilla försämring som fås i sidled och en vinkelrät uppställning är att föredra då kraven på noggrannhet är lika stor i alla led. Figur 2. Kamerornas inbördes vinkel till varandra och dess inverkan på noggrannheten vid positionsbestämning. Den positionsbestämda punkten ligger i korsningen mellan de heldragna strålarna. Osäkerheten visas som streckade linjer kring den heldragna strålen. Det område som dessa strålknippen bildar gemensamt ett parallellogram vid korsningen av strålarna ger en bild av osäkerheten i positionsbestämningen av punkterna. (Bilden är hämtad från Hartley, Zisserman [9]). Kameror som är placerade nästintill parallellt med varandra används framförallt i system med mindre noggrannhetskrav eller har begränsade utrymmesmöjligheter som t.ex. robotar. Sådana system kan använda sig av andra hjälpmedel som t.ex. laser för att kompensera för noggrannhetsförlusten i djupled. Men i ett positionsbestämningssystem som CAMPOS finns det ingen anledning att inte utnyttja så mycket av området som möjligt. Det har förstås påverkan på hanterbarheten hos systemet och kostnaden för ev. extra utrustning såsom kablage. Systemet är dock flexibelt i den meningen att kamerornas inbördes vinkel enbart har betydelse för noggrannheten men inte för funktionaliteten i övrigt. Det kan finnas yttre omständigheter som gör att en uppställning med två kameror i 90 grader mot varandra är omöjlig, t.ex. vid skjutning över vatten eller p.g.a. skymmande objekt i naturen varvid det är möjligt att placera kamerorna på ett annat sätt men till en kostnad av mindre noggrannhet. Den fysiska uppställningen av kamerorna med avseende på antal och vinkel påverkar alltså hur den förväntade noggrannheten vid positionsbestämningen förändras beroende på position i målområdet. Detta illustreras för ett exempel på två och fyra kameror i figur 3 nedan. Observera att detta inte är någon exakt illustration utan snarare en bild av den noggrannhet som enbart beror av kamerornas antal och vinkel. Den slutliga totala noggrannheten bestäms av ytterligare ett flertal andra faktorer som: kamerornas optik, upplösning och frame rate; noggrannhet vid kalibrering; var i målvolymen nedslag sker; noggrannhet vid detektion av punkt för nedslag i bilden, etc. 8

15 Figur 3. (Vänster bild) Ungefärlig bild av noggrannheten för två kameror sett uppifrån i målområdet. Kamerorna är markerade som pilar. Svarta områden representerar hög noggrannhet och gråa representerar mindre noggrannhet. Högst noggrannhet fås i områden som filmas av alla kameror och är nära kamerorna. För fyra kameror (höger bild) fås högst noggrannhet i centrum av målområdet. Observera att detta bara är ungefärliga illustrationer av hur noggrannheten förändras beroende på plats i målområdet Målområdets storlek, bildupplösning och kamerornas avstånd till målområdet För bästa möjliga resultat vid kalibrering och positionsbestämning bör kameror med mycket bra optik och hög upplösning användas. Men det finns en gräns för vad som kan nyttjas för detta användningsområde, speciellt med tanke på risken för splitter och kostnaden för sådan precisionsutrustning. Figur 4. Till vänster visas en kamera (markerad som en pil) som filmar in mot målområdet (den streckmarkerade kuben). Den snedstreckade sidan på målvolymen är den bortre sidan sett från kameran. Motsvarande bild i kameran visas till höger. Notera att det synliga målområdet inte fyller ut bilden helt och hållet p.g.a. att sidan är kvadratisk till skillnad från bildytan. Många filmformat är inte kvadratiska, d.v.s. de ger inte liksidiga bilder i höjd- och sidled vilket inte korrelerar bra med målområdets kvadratiska form. Detta får till effekt att en del av den tillgängliga bildupplösningen går till spillo (se figur 4 ovan). Antag att hela den främre sidan av målområdet visas så mycket det går i en bild med en upplösning på pixlar och ett målområde på 100 x 100 x 100 m. Det ger 576 pixlar till förfogande i både höjd- och sidled och en maximal upplösning på 0,17136 m/pixel i framsidan av målområdet för varje kamera i både höjd- och sidled. Detta ger ett ungefärligt mått på begränsningar för olika bildupplösningar och 9

16 ger en bild av vilka krav som ställs på att den automatiska och den manuella detekteringen av korrekt punkt i bilden för nedslag/luftbrisad. För att ligga under ett fel på maximalt 2 m måste bildkoordinaten bestämmas till ett fel på maximalt 11,520 pixlar och för ett fel på maximalt 0,1 m gäller ett maximalt fel på 0,57600 pixlar. Till detta fel i detekteringen tillkommer som tidigare sagts även felet i modellanpassningen av kameraparametrarna och linsdistorsionen respektive osäkerheten i trianguleringen varför dessa mått är osannolikt optimistiska då de förutom detta även grundar sig på antagandet att målområdet och kamerabilden matchar varandra exakt. En noggrannhet i bestämningen av korrekt bildkoordinat under pixelnivå är teoretiskt möjlig om detekteringen kan utföra någon slags tyngdpunktsberäkning för att komma fram till rätt punkt, vilket är möjligt under de bästa förutsättningar. Manuell detektering kan underlättas av en digital uppförstorning av bilden och automatisk detektering kan beräkna nedslags-/brisadpunkten m.h.a. tyngdpunktsberäkning på det rökmoln som uppkommer. Förutsättningarna för detektionen ändras mellan olika skjutningar och uppställningar och bestäms av ett flertal faktorer. Ljusförhållanden ändras, rökmolnets form är oförutsägbart och beror av typ av ammunition (storlek, skarp vs barlastad, luft vs nedslag, vind, marktyp), terrängen kan vara kuperad och innehålla objekt i naturen som sten och träd som kan skymma delar av rökmoln och nedslagsplats. Dessa faktorer påverkar förmågan att detektera rätt nedslags-/brisadpunkt i bilden. En genomsnittlig noggrannhet under pixelnivå är ej trolig och det är alltså inte troligt att komma under ett fel på 0,57600 pixel vare sig automatisk eller manuell detektering används. I figur 4 illustreras följden av att ha skild geometrisk form på målområdets sidor och filmformatet vilket i praktiken begränsar en upplösning på exempelvis pixlar till att endast utnyttja 576 pixlar i både höjdoch sidled. Detta kan undvikas genom att specificera målområdet till samma höjd-/sidoförhållande som det filmformat som används. Med en upplösning om och med ett målområde på 100 m i sidled fås en höjd om 80 m. Hela bilden används vilket ger en upplösning om 0,13888 m/pixel i alla riktningar till skillnad från tidigare 0,17136 m/pixel. En annan konsekvens av att ha skiljd geometrisk form på målområdet och bildformatet är att det blir svårare att ställa upp systemet så att hela höjden av målområdet är synligt för kamerorna. Men om sidorna för målområdet är angivna kan markeringar göras i bilden som anger inom vilka gränser i bilden dessa yttre markeringar ska ligga. 100 m 100 m 100 m Figur 5. Exempel på kamerauppställning sett uppifrån. Målområdet markeras som den streckade kvadraten och kameran som den svarta cirkeln med dess synfält markerad som två streck som tangerar målområdets två nedre hörn. Kameran befinner sig på ett avstånd av 100 m ifrån den främre sidan av målområdet och 200 m ifrån den bakre. Upplösningen är 200/100 = 2 gånger sämre i den bakre sidan jämfört med den främre givet att så mycket som möjligt av den främre sidan filmas av kameran. Om det främre antas fylla ut bilden helt och hållet så bestäms upplösningen i det bakre området av kvoten mellan avståndet till den bakre sidan och avståndet till den främre sidan sett från kameran (se figur 5 nedan). Med 10

17 samma uppställning som exemplet ovan och ett avstånd av 100 m till den främre sidan och 200 m till den bakre sidan fås 200/100 * 0,17136 = 0,34722 m/pixel. Om kamerorna placeras långt ifrån målområdet kan skillnaden i upplösning mellan främre delen av målområdet och bakre delen minimeras förutsatt att den främre sidan fyller ut kamerabilden helt och hållet. Med ett avstånd på 500 m till framkanten fås en maximal upplösning för föregående exempel om 6/5*0,17136 = 0,20833 m/pixel. Förutom att skillnaden i upplösning inom målområdet utjämnas ges också fördelen av att utrustningen utsätter sig för mindre risk för skador ifrån splitter i och med att de befinner sig på ett längre avstånd ifrån centrum av riskområdet. Men systemet blir känsligare för förändringar i kamerornas orientering, d.v.s. en ev. förändring av kamerornas orientering får större negativ effekt på ett längre avstånd än ett kortare eftersom det inför en större grad av misstämmelse mellan de kalibrerade parametrarna jämfört med samma påverkan på kameror som är placerade närmare målområdet. Utöver detta så inför användningen av mycket zoom även en högre grad av linsdistorsion. Det är tydligt att positionsbestämningen påverkas direkt av upplösning men det finns en risk att den även påverkas indirekt p.g.a. sämre anpassade parametrar i kalibreringsskedet då kalibreringen även påverkas av en lägre bildupplösning. Det kan leda till att parametrarna blir sämre anpassade respektive att det blir svårare att detektera korrekt bildkoordinat på en bild med lägre upplösning än motsvarande högupplöst bild. Frågan är hur mycket påverkan en skillnad i upplösning ger. Det finns även en gräns när kostnaden för att gå upp i upplösning blir för dyrt i fråga om bandbredd, beräkningshastighet och pris. För detta måste praktiska undersökningar göras. 3.3 Kamerakalibrering Kameracentrum C Y X. Objekt Avbildat Objekt. Z Y Bildplan Principalpunkt Bildplan C Fokallängd Z Figur 6. (Vänster) Avbildning av ett objekt på kamerans bildplan. Bildkoordinater bestäms ur skärningen mellan bildplanet och linjen mellan världskoordinaten och kameracentrum. (Höger) Motsvarande sett rakt från sidan med x-axeln pekandes rakt in mot pappret fokallängden bestäms av avståndet mellan kameracentrum och principalpunkten. Den matematiska modell som används för att beskriva en projektiv kamera baseras på den klassiska pinnhålskameran. Modellen bygger på centralprojektion av punkter i rummet till ett bildplan som ligger mellan kameracentrum och de avbildade punkterna (se figur 6 ovan) till skillnad från verkligheten där ljusstrålarna bryts via linsen och projiceras mot ett kameracentrum mellan linsen och bildplanet. Detta resulterar i en modell som är 11

18 mycket lätt att räkna på då den enbart beskriver det linjära förhållandet mellan världskoordinater och bildkoordinater. Den ignorerar den mellanliggande linsen helt och hållet och resulterar ej i en upp och nedvänd avbildning. Modellen delas upp i externa och interna kameraparametrar. De externa parametrarna beror av kamerans position och orientering i rummet i förhållande till ett valt koordinatsystem och de interna parametrarna beror av kamerans interna egenskaper och inställningar. De externa parametrarna består av tre st. vinklar för orientering och tre st. parametrar (x, y och z) för kameracentrum. De interna parametrarna består av: principalpunkt motsvarande punkt i bildplanet för linsens centrum, fokallängd avstånd mellan principalpunkt och kameracentrum, skalfel ickekvadratiska pixlar i CCD-elementet (d.v.s. skillnad i skala i x- och y-led), skevhet ev. snedvinklighet mellan bildplanets axlar. Tillsammans beskriver dessa interna och externa kameraparametrar en linjär avbildning mellan bildkoordinater och världskoordinater. Kameramodellen avbildar punkter i rymden till punkter i bildplanet och tvärtom från punkter i bilden till strålar i rymden. Pinnhålskameramodellen förutsätter ett linjärt förhållande mellan punkter i världen och punkter i bildplanet, d.v.s. att världskoordinater, bildkoordinater och kameracentrum är kolinjära. I vanliga optiska kameror förstörs kollineariteten mellan ingående och utgående ljusstrålar vid linsbrytningen och resulterar i ett fenomen som kallas för linsdistorsion. Den tydligaste effekten av detta är krökning av raka linjer. Linsdistorsion kan beskrivas på flera sätt. Radiell linsdistorsion är en funktion av avståndet till ett distorsionscentrum och medför att punkter förskjuts från centrum vid positiv radiell distorsion och förskjuts in mot centrum vid negativ radiell distorsion. Effekten uppstår på grund av att strålarna bryts olika mycket i centrum av linsen och i utkanten av linsen och är en oundviklig egenskap som alltid finns p.g.a. linsens form. Dess omfattning kan dock minimeras med varsam design. Tangentiell linsdistorsion innebär en förskjutning av en punkt i bilden orsakad av att komponenterna i linsen ej är korrekt sammansatta. Vidvinkelkameror och kameror med billiga linser kan uppvisa stor linsdistorsion men linsdistorsionen påverkas även av fokalavståndet, där kortare fokalavstånd medför ökad linsdistorsion och vice versa. I moderna flygfotokameror är linsdistorsionen liten, i en del fall försumbar [24]. I vanliga s.k. konsumentkameror är ofta den radiella linsdistorsionen avsevärt mycket större än i flygfotokameror. Undersökningar har visat att den tangentiella delen av linsdistorsionen ofta är försumbar i jämförelse med den radiella linsdistorsionen [24]. Valfritt antal parametrar kan användas för att beskriva radiell linsdistorsion men fler än 3 är inte bara onödigt men kan även tillföra större fel i beräkningen p.g.a. överparametrisering. Normalt sett används upp mot 2-3 men vad som är lämpligt måste testas praktiskt. Kamerakalibrering består i att bestämma kamerans interna och externa parametrar och graden av linsdistorsion. Det är en nödvändig och avgörande del för att få god noggrannhet när metrisk information ur bilder ska erhållas. Det är värt att nämna att ibland räknas linsdistorsion som en intern parameter men det görs inte i det här dokumentet. Kamerakalibrering finns utförligt beskriven inom fotogrammetri och datorseende [1, 2, 9, 17, 24]. Den vanliga definitionen av kamerakalibrering inom fotogrammetri brukar vara vad som i det här dokumentet kallas för intern kamerakalibrering. För att inga missförstånd ska uppstå så används därför uttrycken extern respektive intern kamerakalibrering för kalibrering av externa respektive interna kameraparametrar. Uttrycket kalibrering kan förekomma där missförstånd ej anses kunna uppstå, d.v.s. det har i sammanhanget kungjorts att det exempelvis är intern kamerakalibrering som diskuteras. Kalibrering påbörjas när kamerorna har ställts upp. En mängd tillvägagångssätt för detta finns tillgängliga och två skiljda metoder beskrivs senare. Oavsett vilken metod för kalibrering som används krävs det att information om kända världskoordinater tillförs utifrån med hög noggrannhet (GPS, teodolit, eller liknande) för att kamerornas koordinatsystem ska överensstämma med världskoordinatsystemet, där världskoordinatsystemet 12

19 definieras som det koordinatsystem som används vid skjutningarna till skillnad från kamerornas individuella koordinatsystem. Efter slutförd kalibrering av samtliga kameror på plats får ej deras placering och orientering respektive zoom och fokus ändras. Om någon av dessa parametrar ändras måste kamerorna kalibreras om. Någon form av automatisk bildbehandling kommer att krävas vid kalibreringen för att få bildkoordinater ur kalibreringsobjektet. Detta beskrivs vidare i kapitel 3.4 Bildanalys Kalibrering med hjälp av 2D- till 3D-punktkorrespondenser Med hjälp av världskoordinaterna för en mängd referenspunkter och motsvarande bildkoordinater kan en kameras interna och externa parametrar respektive linsdistorsion beräknas [9, 12]. Beräkningen av interna och externa kameraparametrar kan utföras på olika sätt. Direkta metoder såsom DLT (direct linear transform) beräknar parametrarna i ett steg men tar ej hänsyn till linsdistorsion. Iterativa metoder som utför en minstakvadrat-anpassning av parametrarna ger en lösning med högre noggrannhet och kan ta hänsyn till linsdistorsion. Dessa iterativa metoder kräver mer beräkningskraft, har en högre känslighet för störda indata vilket ger svårighet att ange tillräckligt bra startapproximationer, riskerar att ej konvergera mot ett globalt minimum och kräver att goda stoppkriterier anges [9]. Genom att kombinera DLT-algoritmen med någon vanlig ickelinjär optimeringsmetod såsom Levenberg-Marquardt [19] och använda lösningen från DLT-algoritmen som startapproximation till den ickelinjära optimeringen undviks problemet med att välja bra startvärden. Minst 5½ punktkorrespondenser krävs men fler punktkorrespondenser ger noggrannare lösning. Hartley och Zisserman [9] rekommenderar minst 28 punktkorrespondenser men upp mot ett hundratal punkter är vanligt till en bekostnad av beräkningshastighet. Dessa punktkorrespondenser kan fås på två olika sätt: antingen genom avbildningar av ett speciellt utformat kalibreringsobjekt rymmandes en mängd kända referenspunkter eller genom ett flertal avbildningar av ett homogent objekt (endast en referenspunkt) på olika kända placeringar i världskoordinatsystemet Kalibrering med ett homogent kalibreringsobjekt Alla kameror filmar ett gemensamt, homogent kalibreringsobjekt som syns för alla kameror samtidigt. Objektet filmas i olika positioner i målområdet där för varje position dess världskoordinat också bestäms med hjälp av ett annat instrument såsom GPS med hög noggrannhet. Detta utförs på så många olika positioner inom målområdet som är möjligt för att få tillräckligt många punktkorrespondenser. Kalibreringsobjektet är synligt för alla kameror samtidigt och ska vara lätt att detektera. En tillräckligt stor sfär som alla kameror kan utföra tyngdpunktsberäkningar på är ett lämpligt objekt för den här uppgiften [18, 25]. Det finns dock ett par stora nackdelar med den här ansatsen: Resultatet av kalibreringen blir lidande ifall positionerna för kalibreringsobjektet inte är spridda runt hela kamerans synfält, vilket är svårt om inte nästintill omöjligt att göra för en målvolym om 100 m i höjdled (se figur 7 nedan). Punkterna kommer att vara väl spridda på marknivå och när alla punkter ligger i ett plan kan det leda till dåligt anpassade parametrar eftersom kameramodellen bestäms av punkter från en liten delmängd av bilden. Positionsbestämning på andra områden i bilden såsom luftbrisader blir speciellt lidande av detta. Vid varje kalibreringsposition tar alla kameror en bild vilket antingen kräver en yttre kontrollsignal eller att kamerorna är synkroniserade. 13

20 Figur 7. (Vänster bild) Kalibrering i ett målområde om 100 x 100 x 100 m. Pilarna representerar två kameror, kuben visar på målområdet och prickarna representerar positioner för kalibreringsobjektet. Om varje sida i målområdet som pekar mot kamerorna antas fylla ut bilden helt och hållet kommer punkterna att ligga längst ner i bildkanten för en kamera (höger bild) vilket ger dåligt resultat vid kalibreringen. För varje position måste ett annat positionsbestämningssystem användas (t.ex. GPS) för att bestämma dess världskoordinater. Det kan vara väldigt tidskrävande och komplicerat även för det minsta fallet med endast ca 30 punktkorrespondenser. Alla världskoordinater måste överföras till datorn. Risken för felaktiga korrespondenser existerar då både rätt yttre världskoordinat måste bestämmas och införas i beräkningen och även motsvarande bildruta (för att få exakt motsvarande bildkoordinat) till detta måste användas Kalibrering med kalibreringsmönster Figur 8. (Vänster bild) Kalibreringsmetod 2. Varje kamera (markerad som en pil) kalibreras individuellt mot ett speciellt utformat, plant kalibreringsobjekt med ett på förhand känt kalibreringsmönster med noggrant kända världskoordinater (minst 30 st., endast 9 visas här för att förenkla illustrationen). Kalibreringsobjektet avbildas så att så mycket som möjligt av dess mönster ligger utspritt på bildens yta (höger bild). Genom att utföra kalibreringen individuellt för varje kamera på ett stillastående kalibreringsobjekt som fyller upp hela kamerans synfält kan problemet med dålig spridning av punktkorrespondenser undvikas (se figur 8). Kalibreringsobjektet består av ett lättdetekterat mönster av referenspunkter vars inbördes position relativt ett valt origo i objektet är känt på förhand. Bildkoordinater för referenspunkterna kan extraheras ur en avbildning av objektet och eftersom motsvarande världskoordinater är kända kan en kameramodell som avbildar världskoordinater till bildkoordinater beräknas. 14

Mätning av fokallängd hos okänd lins

Mätning av fokallängd hos okänd lins Mätning av fokallängd hos okänd lins Syfte Labbens syfte är i första hand att lära sig hantera mätfel och uppnå god noggrannhet, även med systematiska fel. I andra hand är syftet att hantera linser och

Läs mer

LABORATION 1 AVBILDNING OCH FÖRSTORING

LABORATION 1 AVBILDNING OCH FÖRSTORING LABORATION 1 AVBILDNING OCH FÖRSTORING Personnummer Namn Laborationen godkänd Datum Labhandledare 1 (6) LABORATION 1: AVBILDNING OCH FÖRSTORING Att läsa före lab: Vad är en bild och hur uppstår den? Se

Läs mer

Geometrisk optik. Syfte och mål. Innehåll. Utrustning. Institutionen för Fysik 2006-04-25

Geometrisk optik. Syfte och mål. Innehåll. Utrustning. Institutionen för Fysik 2006-04-25 Geometrisk optik Syfte och mål Laborationens syfte är att du ska lära dig att: Förstå allmänna principen för geometrisk optik, (tunna linsformeln) Rita strålgångar Ställa upp enkla optiska komponenter

Läs mer

KTH Teknikvetenskap. Foto-lab 1. Fotografering med ateljékamera. Kurs: SK2380, Teknisk Fotografi

KTH Teknikvetenskap. Foto-lab 1. Fotografering med ateljékamera. Kurs: SK2380, Teknisk Fotografi KTH Teknikvetenskap Foto-lab 1 Fotografering med ateljékamera Kurs: SK2380, Teknisk Fotografi Kjell Carlsson Tillämpad Fysik, KTH, 2010 2 För att uppnå en god förståelse och inlärning under laborationens

Läs mer

Digitalkamera. Fördelar. Nackdelar. Digital fotografering. Kamerateknik Inställningar. Långsam. Vattenkänslig Behöver batteri Lagring av bilder

Digitalkamera. Fördelar. Nackdelar. Digital fotografering. Kamerateknik Inställningar. Långsam. Vattenkänslig Behöver batteri Lagring av bilder Digital fotografering Kamerateknik Inställningar Digitalkamera Samma optik som en analog kamera Byt ut filmen mot en sensor, CCD Bästa digitala sensorn ca 150 Mpixel Vanliga systemkameror mellan 8-12 Mpixel

Läs mer

Institutionen för matematik och datavetenskap Karlstads universitet. GeoGebra. ett digitalt verktyg för framtidens matematikundervisning

Institutionen för matematik och datavetenskap Karlstads universitet. GeoGebra. ett digitalt verktyg för framtidens matematikundervisning Karlstads GeoGebrainstitut Institutionen för matematik och datavetenskap Karlstads universitet Mats Brunström Maria Fahlgren GeoGebra ett digitalt verktyg för framtidens matematikundervisning Invigning

Läs mer

Laboration i Geometrisk Optik

Laboration i Geometrisk Optik Laboration i Geometrisk Optik Stockholms Universitet 2002 Modifierad 2007 (Mathias Danielsson) Innehåll 1 Vad är geometrisk optik? 1 2 Brytningsindex och dispersion 1 3 Snells lag och reflektionslagen

Läs mer

Tekniker PowerShot G16, PowerShot S120, PowerShot SX170 IS och PowerShot SX510 HS

Tekniker PowerShot G16, PowerShot S120, PowerShot SX170 IS och PowerShot SX510 HS Tekniker PowerShot G16, PowerShot S120, PowerShot SX170 IS och PowerShot SX510 HS UNDER EMBARGO TILL 22 AUGUSTI 2013 KL 06 Världens minsta kamera* med f/1.8, 24 mm vidvinkel, 5x optisk zoom (PowerShot

Läs mer

Projekt i bildanalys Trafikövervakning

Projekt i bildanalys Trafikövervakning Projekt i danalys Trafikövervakning F 99 F 00 Handledare : Håkan Ardö Hösten 3 vid Lunds Tekniska Högskola Abstract Using traffic surveillance cameras the authorities can get information about the traffic

Läs mer

Beräkningsvetenskap. Vad är beräkningsvetenskap? Vad är beräkningsvetenskap? stefan@it.uu.se. Informationsteknologi. Informationsteknologi

Beräkningsvetenskap. Vad är beräkningsvetenskap? Vad är beräkningsvetenskap? stefan@it.uu.se. Informationsteknologi. Informationsteknologi Beräkningsvetenskap stefan@it.uu.se Finns några olika namn för ungefär samma sak Numerisk analys (NA) Klassisk NA ligger nära matematiken: sats bevis, sats bevis, mer teori Tekniska beräkningar Mer ingenjörsmässigt,

Läs mer

bilder för användning

bilder för användning Grundläggande guide i efterbehandling av bilder för användning på webben Innehåll Innehåll...2 Inledning...3 Beskärning...4 Att beskära en kvadratisk bild...5 Att beskära med bibehållna proportioner...5

Läs mer

Ett enkelt OCR-system

Ett enkelt OCR-system P r o j e k t i B i l d a n a l y s Ett enkelt OCR-system av Anders Fredriksson F98 Fredrik Rosqvist F98 Handledare: Magnus Oskarsson Lunds Tekniska Högskola 2001-11-29 - Sida 1 - 1.Inledning Många människor

Läs mer

LiTH. WalkCAM 2007/05/15. Testplan. Mitun Dey Version 1.0. Status. Granskad. Godkänd. Reglerteknisk projektkurs WalkCAM LIPs

LiTH. WalkCAM 2007/05/15. Testplan. Mitun Dey Version 1.0. Status. Granskad. Godkänd. Reglerteknisk projektkurs WalkCAM LIPs Testplan Mitun Dey Version 1.0 Status Granskad Godkänd 1 PROJEKTIDENTITET Reglerteknisk projektkurs, WalkCAM, 2007/VT Linköpings tekniska högskola, ISY Namn Ansvar Telefon E-post Henrik Johansson Projektledare

Läs mer

Observera också att det inte går att både se kanten på fönstret och det där ute tydligt samtidigt.

Observera också att det inte går att både se kanten på fönstret och det där ute tydligt samtidigt. Om förstoringsglaset Du kan göra mycket med bara ett förstoringsglas! I många sammanhang i det dagliga livet förekommer linser. Den vanligast förekommande typen är den konvexa linsen, den kallas också

Läs mer

Digitala bilder & Fotografering med Digitalkamera

Digitala bilder & Fotografering med Digitalkamera Digitala bilder & Fotografering med Digitalkamera Den digitala bilden. Det finns två huvudtyper av digitala bilder på datorn. Den ena bildtypen är uppbyggd av pixlar. Vill man göra det lätt för sig, översätter

Läs mer

Studieanvisning i Optik, Fysik A enligt boken Quanta A

Studieanvisning i Optik, Fysik A enligt boken Quanta A Detta är en något omarbetad version av Studiehandledningen som användes i tryckta kursen på SSVN. Sidhänvisningar hänför sig till Quanta A 2000, ISBN 91-27-60500-0 Där det har varit möjligt har motsvarande

Läs mer

Att räkna med mellanbilder genom ett system med många linser och gränsytor blir krångligt. Vi vill kunna avbilda genom alla ytor direkt.

Att räkna med mellanbilder genom ett system med många linser och gränsytor blir krångligt. Vi vill kunna avbilda genom alla ytor direkt. Föreläsning 9 0 Huvudplan Önskan: Tänk om alla optiska system vore tunna linser så att alltid gällde! Att räkna med mellanbilder genom ett system med många linser och gränsytor blir krångligt. Vi vill

Läs mer

Systemskiss. LiTH Autonom bandvagn med stereokamera 2010-09-24. Gustav Hanning Version 1.0. Status. TSRT10 8Yare LIPs. Granskad

Systemskiss. LiTH Autonom bandvagn med stereokamera 2010-09-24. Gustav Hanning Version 1.0. Status. TSRT10 8Yare LIPs. Granskad Gustav Hanning Version 1.0 Status Granskad Godkänd Jonas Callmer 2010-09-24 1 PROJEKTIDENTITET 2010/HT, 8Yare Linköpings tekniska högskola, institutionen för systemteknik (ISY) Namn Ansvar Telefon E-post

Läs mer

Linjär algebra på några minuter

Linjär algebra på några minuter Linjär algebra på några minuter Linjära ekvationssystem Ekvationssystem: { Löses på matrisform: ( ) ( ) I det här fallet finns en entydig lösning, vilket betyder att determinanten av koefficientmatrisen

Läs mer

Projekt 3: Diskret fouriertransform

Projekt 3: Diskret fouriertransform Projekt 3: Diskret fouriertransform Diskreta fouriertransformer har stor praktisk användning inom en mängd olika områden, från analys av mätdata till behandling av digital information som ljud och bildfiler.

Läs mer

Matematik. Mål att sträva mot. Mål att uppnå. År 1 Mål Kriterier Eleven ska kunna. Taluppfattning koppla ihop antal och siffra kan lägga rätt antal

Matematik. Mål att sträva mot. Mål att uppnå. År 1 Mål Kriterier Eleven ska kunna. Taluppfattning koppla ihop antal och siffra kan lägga rätt antal Matematik Mål att sträva mot Vi strävar mot att varje elev ska utveckla intresse för matematik samt tilltro till det egna tänkandet och den egna förmågan att lära sig matematik utveckla sin förmåga att

Läs mer

Så här fungerar tidsberäkningen under huven

Så här fungerar tidsberäkningen under huven Så här fungerar tidsberäkningen under huven Cup- och Matchplaneringssystem för PC Efkon AB 2008-2011 Innehållsförteckning: 1. INLEDNING... 2 2. FUNKTIONSBESKRIVNING... 2 2.1. EN FLIK PER ÅLDERSKLASS...

Läs mer

design & layout Distansskolan 1

design & layout Distansskolan 1 design & layout Distansskolan 1 Grundelementen Varje komposition är summan av dess grundelement. Om du tittar på en annons eller broschyr kommer du hitta både enkla och komplexa kompositioner. En del kompositioner

Läs mer

Produktbeskrivning: Höjdmodell Visning

Produktbeskrivning: Höjdmodell Visning 1(11) D atum: D ok umentversion: A vser tjänstens gränssnittsversion: 2014-12-12 1.0 1.0 Produktbeskrivning: Höjdmodell Visning Förändringsförteckning Innehållsförteckning 1 Allmän beskrivning... 2 1.1

Läs mer

Prissättning av optioner

Prissättning av optioner TDB,projektpresentation Niklas Burvall Hua Dong Mikael Laaksonen Peter Malmqvist Daniel Nibon Sammanfattning Optioner är en typ av finansiella derivat. Detta dokument behandlar prissättningen av dessa

Läs mer

UAS Obemannad flygfotografering Trimtec AB www.trimtec.se. Copyright. 2013 Trimtec AB, all rights reserved

UAS Obemannad flygfotografering Trimtec AB www.trimtec.se. Copyright. 2013 Trimtec AB, all rights reserved UAS Obemannad flygfotografering Trimtec AB www.trimtec.se UAS Obemannad flygfotografering Agenda UAS Fördelar Tekniken Hur det går till Användningsområden Lagar Tillstånd Regler Kamera Egenskaper Noggrannhet

Läs mer

Kortaste Ledningsdragningen mellan Tre Städer

Kortaste Ledningsdragningen mellan Tre Städer Kortaste Ledningsdragningen mellan Tre Städer Tre städer A, B och C, belägna som figuren till höger visar, ska förbindas med fiberoptiska kablar. En så kort ledningsdragning som möjligt vill uppnås för

Läs mer

Grunder. Grafiktyper. Vektorgrafik

Grunder. Grafiktyper. Vektorgrafik 2 Grunder All vår början bliver svår eller hur det nu brukar heta, och detta är något som gäller även Flash. För den som är ovan vid Flash gäller det säkert extra mycket, då det kan vara knepigt att förstå

Läs mer

TAGARNO AS Sandøvej 4 8700 Horsens Denmark Tel: +45 7625 1111 Mail: mail@tagarno.com

TAGARNO AS Sandøvej 4 8700 Horsens Denmark Tel: +45 7625 1111 Mail: mail@tagarno.com 8 TAGARNO AS Sandøvej 4 8700 Horsens Denmark Tel: +45 7625 1111 Mail: mail@tagarno.com TAGARNO 2 Snabb bildtagning Delad skärm-funktion Förstoring upp till 320x Lätt höjdjustering SD-kort ESD säkerhet

Läs mer

Grafisk Teknik. Rastrering. Övningar med lösningar/svar. Sasan Gooran (HT 2013)

Grafisk Teknik. Rastrering. Övningar med lösningar/svar. Sasan Gooran (HT 2013) Grafisk Teknik Rastrering Övningar med lösningar/svar Det här lilla häftet innehåller ett antal räkneuppgifter med svar och i vissa fall med fullständiga lösningar. Uppgifterna är för det mesta hämtade

Läs mer

Högskoleprovet. Block 1. Anvisningar. Övningsexempel. Delprovet innehåller 22 uppgifter.

Högskoleprovet. Block 1. Anvisningar. Övningsexempel. Delprovet innehåller 22 uppgifter. Block 1 2010-10-23 Högskoleprovet Svarshäfte nr. DELPROV 1 NOGa Delprovet innehåller 22 uppgifter. Anvisningar Varje uppgift innehåller en fråga markerad med fet stil. Uppgiften kan även innehålla viss

Läs mer

2012-01-12 FÖRSLAG TILL KURSPLAN INOM KOMMUNAL VUXENUTBILDNING GRUNDLÄGGANDE NIVÅ

2012-01-12 FÖRSLAG TILL KURSPLAN INOM KOMMUNAL VUXENUTBILDNING GRUNDLÄGGANDE NIVÅ Matematik, 600 verksamhetspoäng Ämnet handlar bland annat om mängder, tal och geometriska figurer. Matematiken har en flertusenårig historia med bidrag från många kulturer. Den utvecklas såväl ur praktiska

Läs mer

1 Den Speciella Relativitetsteorin

1 Den Speciella Relativitetsteorin 1 Den Speciella Relativitetsteorin På tidigare lektioner har vi studerat rotationer i två dimensioner samt hur vi kan beskriva föremål som roterar rent fysikaliskt. Att från detta gå över till den speciella

Läs mer

SÄKERHET FLIR THERMAL FENCE. Detekterar. Verifierar. Reagerar. Omedelbart.

SÄKERHET FLIR THERMAL FENCE. Detekterar. Verifierar. Reagerar. Omedelbart. SÄKERHET FLIR THERMAL FENCE Detekterar. Verifierar. Reagerar. Omedelbart. THE FLIR THERMAL FENCE Fullt integrerat varningssystem för omedelbar detektering och verifiering av objekt. FLIR Thermal Fence

Läs mer

campus.borlänge Förstudie - Beslutsstöd för operativ tågtrafikstyrning

campus.borlänge Förstudie - Beslutsstöd för operativ tågtrafikstyrning campus.borlänge Förstudie - Beslutsstöd för operativ tågtrafikstyrning En rapport från CATD-projektet, januari-2001 1 2 Förstudie Beslutsstöd för operativ tågtrafikstyrning Bakgrund Bland de grundläggande

Läs mer

Kursplan Grundläggande matematik

Kursplan Grundläggande matematik 2012-12-06 Kursplan Grundläggande matematik Grundläggande matematik innehåller tre delkurser, sammanlagt 600 poäng: 1. Delkurs 1 (200 poäng) GRNMATu, motsvarande grundskolan upp till årskurs 6 2. Delkurs

Läs mer

Beräkningsvetenskap I. Exempel på tillämpningar: Vad är beräkningsvetenskap? Informationsteknologi

Beräkningsvetenskap I. Exempel på tillämpningar: Vad är beräkningsvetenskap? Informationsteknologi Beräkningsvetenskap I Jarmo Rantakokko Josefin Ahlkrona Kristoffer Virta Katarina Gustavsson Vårterminen 2011 Beräkningsvetenskap: Hur man med datorer utför beräkningar och simuleringar baserade på matematiska

Läs mer

Kursplanen i matematik 2011 - grundskolan

Kursplanen i matematik 2011 - grundskolan Kursplanen i matematik 2011 - grundskolan MATEMATIK Matematiken har en flertusenårig historia med bidrag från många kulturer. Den utvecklas såväl ur praktiska behov som ur människans nyfikenhet och lust

Läs mer

Adobe. Photoshop CS3. Fortsättningskurs. www.databok.se

Adobe. Photoshop CS3. Fortsättningskurs. www.databok.se Adobe Photoshop CS3 Fortsättningskurs www.databok.se Innehållsförteckning 1 Färghantering... 1 Färgomfång... 2 Behöver du färghantering?... 2 Kalibrera bildskärmen... 3 Kalibreringsprogram... 3 Färginställningar...

Läs mer

Mätning och analys i 3D för applikationer inom processindustrin

Mätning och analys i 3D för applikationer inom processindustrin 2004:083 CIV EXAMENSARBETE Mätning och analys i 3D för applikationer inom processindustrin HENRIK STENBERG CIVILINGENJÖRSPROGRAMMET Institutionen för Systemteknik EISLAB - Embedded Internet Systems Laboratory

Läs mer

Optimala vinkeln av bortklippt cirkelsektor fo r maximal volym pa glasstrut

Optimala vinkeln av bortklippt cirkelsektor fo r maximal volym pa glasstrut Optimala vinkeln av bortklippt cirkelsektor fo r maximal volym pa glasstrut Frågeställning Av en cirkulär pappersskiva kan en cirkelsektor med en viss vinkel klippas bort. Med den resterande sektorn går

Läs mer

Laboration i Fourieroptik

Laboration i Fourieroptik Laboration i Fourieroptik David Winge Uppdaterad 30 januari 2015 1 Introduktion I detta experiment ska vi titta på en verklig avbildning av Fouriertransformen. Detta ska ske med hjälp av en bild som projiceras

Läs mer

1. Mätning av gammaspektra

1. Mätning av gammaspektra 1. Mätning av gammaspektra 1.1 Laborationens syfte Att undersöka några egenskaper hos en NaI-detektor. Att bestämma energin för okänd gammastrålning. Att bestämma den isotop som ger upphov till gammastrålningen.

Läs mer

Ögonstyrning tillsammans med The Grid 2

Ögonstyrning tillsammans med The Grid 2 Ögonstyrning tillsammans med The Grid 2 Ögonstyrning används alltmer av personer med mycket begränsad eller otillförlitlig rörlighet. Både för kommunikation och som styrsätt till dator. Integration med

Läs mer

RÖRELSE. - Mätningar och mätinstrument och hur de kan kombineras för att mäta storheter, till exempel fart, tryck och effekt.

RÖRELSE. - Mätningar och mätinstrument och hur de kan kombineras för att mäta storheter, till exempel fart, tryck och effekt. RÖRELSE Inledning När vi går, springer, cyklar etc. förflyttar vi oss en viss sträcka på en viss tid. Ibland, speciellt när vi har bråttom, tänker vi på hur fort det går. I det här experimentet undersöker

Läs mer

Global Positioning System GPS i funktion

Global Positioning System GPS i funktion Global Positioning System GPS i funktion Martin Åhlenius ECOP mas00001@student.mdh.se Andreas Axelsen ECOP aan00006@student.mdh.se 15 oktober 2003 i Sammanfattning Denna rapport försöker förklara funktionen

Läs mer

Linjära ekvationssystem. Avsnitt 1. Vi ska lära oss en metod som på ett systematiskt sätt löser alla linjära ekvationssystem. Linjära ekvationssystem

Linjära ekvationssystem. Avsnitt 1. Vi ska lära oss en metod som på ett systematiskt sätt löser alla linjära ekvationssystem. Linjära ekvationssystem Avsnitt Linjära ekvationssystem Elementära radoperationer Gausseliminering Exempel Räkneschema Exempel med exakt en lösning Exempel med parameterlösning Exempel utan lösning Slutschema Avläsa lösningen

Läs mer

Geometrisk optik. Laboration

Geometrisk optik. Laboration ... Laboration Innehåll 1 Förberedelseuppgifter 2 Laborationsuppgifter Geometrisk optik Linser och optiska instrument Avsikten med laborationen är att du ska få träning i att bygga upp avbildande optiska

Läs mer

Kontinuerlig positionsbestämning med multipla kameror

Kontinuerlig positionsbestämning med multipla kameror Kontinuerlig positionsbestämning med multipla kameror Linda Karlsson Examensarbete Elektroteknik 2010 Linda Karlsson EXAMENSARBETE Arcada Utbildningsprogram: Elektroteknik Identifikationsnummer: 2863 Författare:

Läs mer

Kurskod: GRNMAT2 Verksamhetspoäng: 600

Kurskod: GRNMAT2 Verksamhetspoäng: 600 Kurs: Matematik Kurskod: GRNMAT2 Verksamhetspoäng: 600 lust att utforska matematiken som sådan. Matematisk verksamhet är till sin lad till den samhälleliga, sociala och tekniska utvecklingen. Kunskaper

Läs mer

Grundritning Platta på mark

Grundritning Platta på mark Grundritning Platta på mark Inställning för grund i vån. 1 av projektet... 2 Ritningsnummer Grundritning... 4 Startfil för Grundritning... 4 Inställning för Grundritning... 5 Grundritning för golvvärme

Läs mer

Mätningar med avancerade metoder

Mätningar med avancerade metoder Svante Granqvist 2008-11-12 13:41 Laboration i DT2420/DT242V Högtalarkonstruktion Mätningar på högtalare med avancerade metoder Med datorerna och signalprocessningens intåg har det utvecklats nya effektivare

Läs mer

LiTH. WalkCAM 2007/05/15. Användarhandledning. Mitun Dey Version 1.0. Status. Granskad. Godkänd. Reglerteknisk projektkurs WalkCAM LIPs

LiTH. WalkCAM 2007/05/15. Användarhandledning. Mitun Dey Version 1.0. Status. Granskad. Godkänd. Reglerteknisk projektkurs WalkCAM LIPs Användarhandledning Mitun Dey Version 1.0 Status Granskad Godkänd 1 PROJEKTIDENTITET Reglerteknisk projektkurs, WalkCAM, 2007/VT Linköpings tekniska högskola, ISY Namn Ansvar Telefon E-post Henrik Johansson

Läs mer

Mätstyrning med M7005

Mätstyrning med M7005 Matematikföretaget jz M7005.metem.se 150423/150626/150721/SJn Mätstyrning med M7005 en översikt Mätstyrning med M7005, en översikt 1 (12) Innehåll 1 Mätstyrning 4 2 M7005:s sätt att mätstyra 5 3 Anpassa

Läs mer

Identifiera kundbehov En sammanfattning och analys av kapitel 4 i boken Product Design and Development

Identifiera kundbehov En sammanfattning och analys av kapitel 4 i boken Product Design and Development Identifiera kundbehov En sammanfattning och analys av kapitel 4 i boken Product Design and Development Grupp 6 Ali Abid Kjell Nilsson Patrick Larsson Mälardalens högskola KN3060, Produktutveckling med

Läs mer

Tobii C12. Grunderna för hur du kommer igång och arbetar med Tobiis C12 och ögonstyrningen CEye. Habilitering & Hjälpmedel

Tobii C12. Grunderna för hur du kommer igång och arbetar med Tobiis C12 och ögonstyrningen CEye. Habilitering & Hjälpmedel Tobii C12 Grunderna för hur du kommer igång och arbetar med Tobiis C12 och ögonstyrningen CEye. Habilitering & Hjälpmedel Förord Detta du nu håller i din hand är inte en komplett manual utan en kortfattad

Läs mer

Att beräkna t i l l v ä x t takter i Excel

Att beräkna t i l l v ä x t takter i Excel Att beräkna t i l l v ä x t takter i Excel Detta kapitel är en liten matematisk vägledning om att beräkna tillväxttakten i Excel. Här visas exempel på potenser och logaritmer och hur dessa funktioner beräknas

Läs mer

Användarmanual. 88 SEA för iphone. OBSERVERA! 88 SEA för iphone och 88 SEA HD för ipad är två separata produkter.

Användarmanual. 88 SEA för iphone. OBSERVERA! 88 SEA för iphone och 88 SEA HD för ipad är två separata produkter. Användarmanual 88 SEA för iphone OBSERVERA! 88 SEA för iphone och 88 SEA HD för ipad är två separata produkter. Välkommen! Grattis och välkommen till världen kring 88 SEA. 88 SEA är en komplett sjökortsnavigator

Läs mer

Inledning Syfte Metod Avgränsningar Om Wahlquist Teori Varför uppgradera? Leverantören vill det Implementera helt nya funktioner (revolutionärt)

Inledning Syfte Metod Avgränsningar Om Wahlquist Teori Varför uppgradera? Leverantören vill det Implementera helt nya funktioner (revolutionärt) Inledning Syfte Metod Avgränsningar Om Wahlquist Wahlquist Verkstäder grundades 1945 och har idag växt till en storlek av 150 anställda på tre platser: Linköping, Ödeshög och Tallinn. De har en hög teknisk

Läs mer

Decentraliserad administration av gästkonton vid Karlstads universitet

Decentraliserad administration av gästkonton vid Karlstads universitet Datavetenskap Opponent(er): Markus Fors Christian Grahn Respondent(er): Christian Ekström Per Rydberg Decentraliserad administration av gästkonton vid Karlstads universitet Oppositionsrapport, C/D-nivå

Läs mer

Uppgift 1a (Aktiekurser utan poster)

Uppgift 1a (Aktiekurser utan poster) Uppgift 1a (Aktiekurser utan poster) Vi har lite olika upplägg i de kurser vi håller och i vissa kurser finns det med något som vi kallar "poster" (eng. "record"). I andra har vi inte med detta. Vi har

Läs mer

520 Symbolhanterande miniräknare - ett pedagogiskt hjälpmedel att räkna med

520 Symbolhanterande miniräknare - ett pedagogiskt hjälpmedel att räkna med 520 Symbolhanterande miniräknare - ett pedagogiskt hjälpmedel att räkna med Lennart Berglund är lärare i matematik, datakunskap och webdesign på Värmdö Gymnasium. I samma projekt om symbolhanterande räknare

Läs mer

Titel: Undertitel: Författarens namn och e-postadress. Framsidans utseende kan variera mellan olika institutioner

Titel: Undertitel: Författarens namn och e-postadress. Framsidans utseende kan variera mellan olika institutioner Linköping Universitet, Campus Norrköping Inst/ Kurs Termin/år Titel: Undertitel: Författarens namn och e-postadress Framsidans utseende kan variera mellan olika institutioner Handledares namn Sammanfattning

Läs mer

Gobius 1- överfyllnadsskydd för septiktankar

Gobius 1- överfyllnadsskydd för septiktankar Dokumentrevision 1.0, januari 2011 Gobius 1- överfyllnadsskydd för septiktankar Installationsanvisning Börja här 1. Kontrollera att alla delar finns med i förpackningen. (1 sensor, 1 panel, 1 kontrollenhet

Läs mer

ha utvecklat sin taluppfattning till att omfatta hela tal och rationella tal i bråk- och decimalform.

ha utvecklat sin taluppfattning till att omfatta hela tal och rationella tal i bråk- och decimalform. 1 (6) 2005-08-15 Matematik, år 9 Mål för betyget Godkänd Beroende på arbetssätt och arbetsmaterial kan det vara svårt att dela upp dessa uppnående mål mellan skolår 8 och skolår 9. För att uppnå godkänd

Läs mer

Matematikundervisningen har under

Matematikundervisningen har under bengt aspvall & eva pettersson Från datorernas värld Hur kan vi stimulera elever i matematik, och hur kan vi genom matematiken visa delar av datorns funktioner? Författarna visar hur man kan introducera

Läs mer

TENTAMEN: Design och konstruktion av grafiska gränssnitt DAT215/TIG091

TENTAMEN: Design och konstruktion av grafiska gränssnitt DAT215/TIG091 TENTAMEN: Design och konstruktion av grafiska gränssnitt DAT215/TIG091 DAG: 5 mars, 2012 TID: 8.30 12.30 SAL: Hörsalsvägen Ansvarig: Olof Torgersson, tel. 772 54 06. Institutionen för tillämpad informationsteknologi.

Läs mer

Henrik Asp. Allt du behöver veta för att KÖPA DATOR

Henrik Asp. Allt du behöver veta för att KÖPA DATOR Allt du behöver veta för att KÖPA DATOR Henrik Asp DEL 1 KOMPONENTER OCH PROGRAMVARA DEL 3 EFTER KÖPET 1. INTRODUKTION TILL BOKEN... 3 2. DATORNS HISTORIA... 4 A. Pc...5 B. Mac...6 C. HTPC...7 3. DATORNS

Läs mer

På en dataskärm går det inte att rita

På en dataskärm går det inte att rita gunilla borgefors Räta linjer på dataskärmen En illustration av rekursivitet På en dataskärm är alla linjer prickade eftersom bilden byggs upp av små lysande punkter. Artikeln beskriver problematiken med

Läs mer

Kapitel 3 Fönster och dörr... 3

Kapitel 3 Fönster och dörr... 3 13.08.2012 Kapitel 3... 1 DDS-CAD Arkitekt 7 Fönster och dörr Kapitel Innehåll... Sida Kapitel 3 Fönster och dörr... 3 Fönster... 3 Placera med gitter... 5 Relativ positionering... 7 Fasta fönster... 8

Läs mer

Digital 3D-reklam. System för digitala 3D reklamskyltar och deras effekt på kundbeteende. Kravspecifikation

Digital 3D-reklam. System för digitala 3D reklamskyltar och deras effekt på kundbeteende. Kravspecifikation Digital 3D reklam Mittuniversitetet 2009 01 15 Sid: 1 (5) www.miun.se/sr/3dreklam Digital 3D-reklam System för digitala 3D reklamskyltar och deras effekt på kundbeteende 1 Introduktion Denna specifikation

Läs mer

Datorprogrammet MagneFiC, Magnetic Field Calculations

Datorprogrammet MagneFiC, Magnetic Field Calculations Bilaga D Datorprogrammet MagneFiC, Magnetic Field Calculations Figur 1. Startfönster. Programmet är en tillämpning av den teori för magnetfältberäkning som redovisats i rapporten och det verktyg som använts

Läs mer

Lösningarna inlämnas renskrivna vid laborationens början till handledaren

Lösningarna inlämnas renskrivna vid laborationens början till handledaren Geometrisk optik Förberedelser Läs i vågläraboken om avbildning med linser (sid 227 241), ögat (sid 278 281), färg och färgseende (sid 281 285), glasögon (sid 287 290), kameran (sid 291 299), vinkelförstoring

Läs mer

Att bevara historiska bilder. Digitalisera, beskriva, söka, visa, långtidslagra

Att bevara historiska bilder. Digitalisera, beskriva, söka, visa, långtidslagra Att bevara historiska bilder Digitalisera, beskriva, söka, visa, långtidslagra Fokus Att bevara bildinformation i oftast lånade bilder genom att överföra informationen i digital form. i digital form. Bättre

Läs mer

Del ur Lgr 11: kursplan i matematik i grundskolan

Del ur Lgr 11: kursplan i matematik i grundskolan Del ur Lgr 11: kursplan i matematik i grundskolan 3.5 Matematik Matematiken har en flertusenårig historia med bidrag från många kulturer. Den utvecklas såväl ur praktiska behov som ur människans nyfikenhet

Läs mer

Poler och nollställen, motkoppling och loopstabilitet. Skrivet av: Hans Beijner 2003-07-27

Poler och nollställen, motkoppling och loopstabilitet. Skrivet av: Hans Beijner 2003-07-27 Poler och nollställen, motkoppling och loopstabilitet Skrivet av: Hans Beijner 003-07-7 Inledning All text i detta dokument är skyddad enligt lagen om Copyright och får ej användas, kopieras eller citeras

Läs mer

Projektarbete 100p Rosendalsgymnasiet läsåret 2011/2012 Handledare: Thomas Andersson Författare: Robert Pettersson, Jakob Larsson, Vidar Swenning

Projektarbete 100p Rosendalsgymnasiet läsåret 2011/2012 Handledare: Thomas Andersson Författare: Robert Pettersson, Jakob Larsson, Vidar Swenning Projektarbete 100p Rosendalsgymnasiet läsåret 2011/2012 Handledare: Thomas Andersson Författare: Robert Pettersson, Jakob Larsson, Vidar Swenning Bollkoll Avståndsanalys med en webkamera Sammanfattning

Läs mer

LARM OCH SÄKERHETSTEKNIK

LARM OCH SÄKERHETSTEKNIK LARM OCH SÄKERHETSTEKNIK Larm- och säkerhetstekniska systems huvuduppgift är att varna för eller skydda mot olika typer av faror för människa eller egendom. Allt arbete med denna typ av system kräver ett

Läs mer

LARM OCH SÄKERHETSTEKNIK

LARM OCH SÄKERHETSTEKNIK LARM OCH SÄKERHETSTEKNIK Larm- och säkerhetstekniska systems huvuduppgift är att varna för eller skydda mot olika typer av faror för människa eller egendom. Allt arbete med denna typ av system kräver ett

Läs mer

Praktisk beräkning av SPICE-parametrar för halvledare

Praktisk beräkning av SPICE-parametrar för halvledare SPICE-parametrar för halvledare IH1611 Halvledarkomponenter Ammar Elyas Fredrik Lundgren Joel Nilsson elyas at kth.se flundg at kth.se joelni at kth.se Martin Axelsson maxels at kth.se Shaho Moulodi moulodi

Läs mer

Att få in bilder i datorn

Att få in bilder i datorn Att få in bilder i datorn 32 Första steget är att skapa bilden och få in den i datorn. Har du en digitalkamera känner du redan till hur man gör. Har du bilder på papper eller film kan dessa skannas och

Läs mer

λ = T 2 g/(2π) 250/6 40 m

λ = T 2 g/(2π) 250/6 40 m Problem. Utbredning av vattenvågor är komplicerad. Vågorna är inte transversella, utan vattnet rör sig i cirklar eller ellipser. Våghastigheten beror bland annat på hur djupt vattnet är. I grunt vatten

Läs mer

Några viktiga begrepp och funktioner för kamerakontroll.

Några viktiga begrepp och funktioner för kamerakontroll. Några viktiga begrepp och funktioner för kamerakontroll. Exponeringslägen De nedanstående väljer du med ratten uppe till vänster. Ratten har även andra förprogrammerade inställningslägen. (porträtt, sport,

Läs mer

Adobe PHOTOSHOP. CS6 Fördjupning

Adobe PHOTOSHOP. CS6 Fördjupning Adobe PHOTOSHOP CS6 Fördjupning Innehållsförteckning 1 Färghantering...5 Färgomfång... 6 Behöver du färghantering?... 6 Färginställningar... 6 Arbetsfärgrymder... 8 Färgmodeller... 8 Provtryck...10 Kalibrera

Läs mer

Lokal studieplan Matematik 3 8 = 24. Centrum för tvåspråkighet Förberedelseklass

Lokal studieplan Matematik 3 8 = 24. Centrum för tvåspråkighet Förberedelseklass Lokal studieplan Matematik 3 8 = 24 Centrum för tvåspråkighet Förberedelseklass 1 Mål att sträva mot Skolan skall i sin undervisning i matematik sträva efter att eleven S11 utvecklar intresse för matematik

Läs mer

Produktbeskrivning: Historiska ortofoton

Produktbeskrivning: Historiska ortofoton L A N T M Ä T E R I E T 1(12) Datum: Dokumentversion: 2012-12-04 1.1 Produktbeskrivning: Historiska ortofoton Innehållsförteckning 1 Allmän beskrivning... 3 1.1 Innehåll... 3 1.2 Geografisk täckning...

Läs mer

Uppgifter till KRAFTER

Uppgifter till KRAFTER Uppgifter till KRAFTER Peter Gustavsson Per-Erik Austrell 1 Innehåll 1 Introduktion till statiken... 3 A-uppgifter...3 2 Krafter... 5 A-uppgifter...5 B-uppgifter...5 3 Moment... 7 A-uppgifter...7 B-uppgifter...9

Läs mer

Om LGR 11 FÖRMÅGOR CENTRALT INNEHÅLL. De matematiska förmågor som undervisningen i åk 1-9 syftar till att eleverna ska utveckla.

Om LGR 11 FÖRMÅGOR CENTRALT INNEHÅLL. De matematiska förmågor som undervisningen i åk 1-9 syftar till att eleverna ska utveckla. Om LGR 11 FÖRMÅGOR FÖRMÅGOR Lgr 11: Genom undervisningen i matematik ska eleverna sammanfattningsvis ges förutsättningar att utveckla sin förmåga att formulera och lösa problem med hjälp av matematik samt

Läs mer

Vad jag vill med denna kurs är att vi ska använda oss av olika mappar, som gör det överskådligt.

Vad jag vill med denna kurs är att vi ska använda oss av olika mappar, som gör det överskådligt. ORDNING och REDA Jag har inte varit aktiv inom SeniorNet mer än några år, men har träffat flera som haft datorer, som varit minst sagt röriga. Därmed inte sagt att de som ägt dem varit röriga, snarare

Läs mer

EF85mm f/1.2l II USM SWE. Bruksanvisning

EF85mm f/1.2l II USM SWE. Bruksanvisning EF85mm f/1.2l II USM SWE Bruksanvisning Tack för att du köpt en Canon-produkt. Canons objektiv EF85mm f/1,2l II USM är ett mellanteleobjektiv med höga prestanda som utvecklats för EOS-kameror. Det är utrustat

Läs mer

AvI-index. Ett instrument för att mäta IT-systems användbarhet

AvI-index. Ett instrument för att mäta IT-systems användbarhet ANDERS GUNÉR AvI-index Ett instrument för att mäta IT-systems användbarhet Iordanis Kavathatzopoulos Uppsala universitet ISBN 978-91-976643-5-6 Copyright 2008 Iordanis Kavathatzopoulos. Uppsala universitet,

Läs mer

Vågrörelselära & Kvantfysik, FK2002 29 november 2011

Vågrörelselära & Kvantfysik, FK2002 29 november 2011 Räkneövning 5 Vågrörelselära & Kvantfysik, FK00 9 november 0 Problem 35.9 En dykare som befinner sig på djupet D 3 m under vatten riktar en ljusstråle (med infallsvinkel θ i 30 ) mot vattenytan. På vilket

Läs mer

Användarmanual. QUICKnote 4

Användarmanual. QUICKnote 4 Användarmanual QUICKnote 4 Innehållsförteckning Snabbguide: Skapa en ny QUICKnote-mall... 3. Översikt: QUICKnote 4... 3. Tillgängliga fält... 4. Lägg till ett fält... 4. De olika fälttypernas menypaletter

Läs mer

Matematik Uppnående mål för år 6

Matematik Uppnående mål för år 6 Matematik Uppnående mål för år 6 Allmänt: Eleven ska kunna förstå, lösa samt redovisa problem med konkret innehåll inom varje avsnitt. Ha en grundläggande taluppfattning som omfattar naturliga tal och

Läs mer

REV 3. Användarmanual

REV 3. Användarmanual REV 3 Användarmanual Allmänt Metic räknar pulser från ett hjul som snurrar i fas med det material som man drar igenom. Hjulet är kalibrerat för att visa mm i displayen. Hjulet räknar i båda riktningarna

Läs mer

Anpassningsbar applikationsstruktur för flerpunktsskärmar

Anpassningsbar applikationsstruktur för flerpunktsskärmar Datavetenskap Opponent(er): Rikard Boström Lars-Olof Moilanen Respondent(er): Mathias Andersson Henrik Bäck Anpassningsbar applikationsstruktur för flerpunktsskärmar Oppositionsrapport, C/D-nivå 2005:xx

Läs mer

ESN lokala kursplan Lgr11 Ämne: Matematik

ESN lokala kursplan Lgr11 Ämne: Matematik ESN lokala kursplan Lgr11 Ämne: Matematik Övergripande Mål: formulera och lösa problem med hjälp av matematik samt värdera valda strategier och metoder, använda och analysera matematiska begrepp och samband

Läs mer

GeoGebra i matematikundervisningen - Inspirationsdagar för gymnasielärare. Karlstads universitet 19-20 april. Liten introduktionsguide för nybörjare

GeoGebra i matematikundervisningen - Inspirationsdagar för gymnasielärare. Karlstads universitet 19-20 april. Liten introduktionsguide för nybörjare GeoGebra i matematikundervisningen - Inspirationsdagar för gymnasielärare 19-20 april Liten introduktionsguide för nybörjare GeoGebra 0 Introduktionsövningar till GeoGebra När man startar GeoGebra är det

Läs mer

ANDREAS REJBRAND 2007-11-03 Elektromagnetism http://www.rejbrand.se. Coulombs lag och Maxwells första ekvation

ANDREAS REJBRAND 2007-11-03 Elektromagnetism http://www.rejbrand.se. Coulombs lag och Maxwells första ekvation ANDREA REJBRAND 2007-11-03 Elektromagnetism http://www.rejbrand.se oulombs lag och Maxwells första ekvation oulombs lag och Maxwells första ekvation Inledning Två punktladdningar q 1 samt q 2 i rymden

Läs mer