Komponentfysik. - En introduktion. Anders Gustafsson Fasta tillståndets fysik Lunds Tekniska Högskola

Transkript

1 Komponentfysik - En introduktion Anders Gustafsson Fasta tillståndets fysik Lunds Tekniska Högskola Sjunde reviderade upplagan 2011

2 Halvledarkomponenter finns i ett antal olika former. Bilden nedan visar ett antal olika komponenter, med allt från dioder och lysdioder till OP-förstärkare och spänningsregulatorer. Komponenterna tillverkas ofta parallellt på stora skivor av t.ex. kisel. Industristandarden idag är att använda skivor med en diameter på 300mm. Bilden nedan visar en del av en kiselskiva med ett antal kretsar på. Det större mönstret är ett testmönster för att man ska kunna se att processningen har fungerat. Det större mönstret är ca 1mm x 1mm. Anders Gustafsson

3 Förord Kursen Komponentfysik introducerades läsåret 2001/2002 och ersatte den tidigare kursen Halvledarfysik för E som hade getts i olika utförande sedan E-programmets begynnelse. I samband med den nya kursen förändrades fokus på kursen från allmän kurs i halvledarfysik mot en kurs med mer inriktning på hur halvledarbaserade komponenter fungerar och den bakomliggande fysiken. Efter att innehållet i kursen hade definierats var nästa uppgift att hitta en lämplig kursbok. Det visade sig vara betydligt svårare än förväntat. Efter en hel del letande kom man fram till en bok vars innehåll ligger närmast det då tilltänkta innehållet i kursen. An Introduction to the Physics of Semiconductor Devices av D. J. Roulston. Bokens stora nackdelar är att den är lite för ambitiös och vill gå igenom för många detaljer och att den är ganska dåligt korrekturläst. Sedan dess har vi letat med ljus och lykta efter en lämplig kursbok, själv har jag läst ett tjugotal möjliga böcker, utan att ha hittat något som är bättre. Ett stort problem är att det för många år sen skrevs en bok: Physics of Semiconductor Devices av S. M. Sze. Boken har blivit en stilbildare och man kan se att upplägget på den boken finns i princip i 90% av alla böcker som har skrivits om halvledarkomponenter. Det innebär att böcker i allmänhet börjar med ett par stora kapitel om kristallstrukturer och bandgapsteori. För att förstå hur komponenterna fungerar behöver man acceptera att det finns ett bandgap, men man behöver inte ha hela teorin bakom bandgap klar för sig. Det ligger idag i en fortsättningskurs (FFF021 - Halvledarfysik som ges HT1). Dessutom går man in i många detaljer inom halvledarfysiken i de flesta böcker. I den här kursen är ambitionen att man ska förstå hur bl. a. en bipolär transistor fungerar. Därför är beskrivningen av halvledarfysiken ganska förenklad här. Vi bortser från en hel del detaljer som inte är nödvändiga för förståelsen. Det är detaljer som man har en möjlighet att fördjupa sig inom någon av fortsättningskurserna i ämnet. Den svagaste beskrivningen i den tidigare kursboken är avsnitten om dioder, eller pn-övergången som den kallas inom halvledarfysiken. Det gjorde att jag till våren 2004 skrev ett kapitel med en mer sammanhängande och detaljerad beskrivning av dioderna. Detta fanns tillgängligt för teknologerna det året. Jag fick mycket positiv feedback på det här kapitlet, trots att det innehåller mycket ekvationer och trots att det inte var färdigskrivet. Det gjorde att jag tog beslutet att börja skriva ett kompendium för att ersätta kursboken. Resultatet är inte på något sätt färdigt. Det kommer att ta några år att nå ett mer färdig format och det är därför viktigt att få feedback från er läsare. Inte bara för att hitta de små felen men för att hitta obegripligheterna i kompendiet, sektioner som behöver förtydligas. Jag riktar ett stort tack till alla som har hjälp till med korrekturläsningen, speciellt Torbjörn Lennartsson. Årets kompendium är i princip samma som Det enda som har hänt är att den har fått ännu en korrekturläsning och någon ny illustration. Layouten är också lite modifierad. Den stora ändringen är att beteckningen för elementarladdningen har ändrats från q e till e. Det gör att det kan finnas ställen där q e finns kvar. Anders Gustafsson Lund, Februari 2010

4 En kommentar om beteckningarna som används i det här kompendiet: I det här kompendiet finns det en stor mängd formler som beskriver hur komponenter fungerar. Det är dessutom ett stort antal variabler vilket gör att det finns många beteckningar. För att skilja samma företeelse men på olika ställen i en komponent behöver man använda index och subindex. Ett exempel är koncentrationen av donatorer i emittern på en transistor. N DE Koncentrationen betecknas med N, indexet D indikerar att det rör sig om en donator och subindexet E att det rör sig om emittern. Det gör att man enkelt kan skilja det från acceptorkoncentrationen i basen: N AB Till din hjälp har du därför en lista på alla beteckningar som används i kursen. Det viktiga är inte att kunna alla beteckningar utan att kunna översätta från en parameter till en ekvation. På samma sätt som man inte ska lägga ner någon kraft på att lära sig de många formlerna, det är bättre att försöka förstå hur de olika formlerna fungerar. Vi kommer också att använda ett antal grekiska bokstäver: α (alfa) Absorptionskoefficient β (beta) Strömförstärkning, gemensam emitter (=h FE ) ε (epsilon) Dielektricitetskonstant ζ (zäta) Laddningskoncentration µ (my) Rörlighet, mobilitet ρ (rå) Resistivitet σ (sigma) Konduktivitet τ (tau) Livstid (τ n för elektroner, τ p för hål) Φ (fi) Fotonflöde Φ F Skillnad mellan E F och E i Inom komponentfysiken används många prefix: Giga (10 9 ) Mega (10 6 ) Kilo (10 3 ) Deci (10-1 ) Centi (10-2 ) Milli (10-3 ) Mikro (10-6 ) Nano (10-9 ) Piko (10-12 ) Slutligen är det bra att kunna omvandla mellan olika enheter: 1 cm = 10-2 m, 1 cm 2 = 10-4 m 2 1 cm 3 = 10-6 m 3 1 mm = 10-3 m, 1 mm 2 = 10-6 m 2 1 mm 3 = 10-9 m 3 1 µm = 10-6 m, 1 µm 2 = m 2 1 µm 3 = m 3

5 Innehåll: Innehåll: Inledning Ellära och ström Driftström Reaktion på elektriskt fält...14 Diffusionsström Reaktion på koncentrationsskillnader...17 Termisk elektronrörelse...20 Kapacitanser Elektriska fält och laddning...22 Sammanfattning av ellära Grundläggande halvledarfysik Metall, halvledare och isolator...26 Bohrs atommodell...27 Bandgap och bandstrukur...30 Statistik: Fermi-nivå och laddningsbärarkoncentration...37 Generation och rekombination...41 Inblandning av föroreningar: Dopning...42 Massverkans lag...43 Laddningsbärarkoncentration och Fermi-nivån...47 Andra halvledare än Si och Ge...50 Tillverkning av halvledare...52 Sammanfattning av grundläggande halvledarfysik Dioder: pn-övergången Härledning av pn-övergångens inbyggda spänning, U bi...60 Laddning, elektriskt fält och utsträckning...65 Symmetrisk pn-övergång, d.v.s. N A = N D Asymmetrisk pn-övergång där N A >>N D, vilket brukar kallas p + n-övergång:...74 Asymmetrisk övergång där N D >>N A, vilket brukar kallas n + p-övergång:...75 pn-övergången på ett kvalitativt sätt...75 Vad händer om vi ökar dopningen på båda sidor en tiopotens?...76 Vad händer om vi ökar dopningen på ena sidan en tiopotens?...77 Kvalitativ diskussion kring pn-övergången med yttre pålagd spänning...78 Den totala spänningen är mindre än den inbyggda (framspänning)...78 Den totala spänningen är större än den inbyggda (backspänning)...78 Minoritetsladdningsbärarinjektion från en pn-övergång...82 Strömmen genom en diod: Diffusionsström...85 Kort diod...85 Lång diod...88 En fullständig bild av strömmen in en kort n + p-diod...91 Sammanfattning av framströmmen i en n + p-diod:...92 Motsvarande sammanfattning av framströmmen i en p + n-diod:...92 Temperaturberoendet hos diodströmmen...93 Småsignalmodell...94 Låg framspänning: Rekombinationsström...96 Hög framspänning: Högnivåinjektion...97 Idealitetsfaktorn, m...99 Backström Zener- och lavingenombrott i backriktningen Kapacitanser i dioden Utarmningskapacitans Diffusionskapacitans Småsignalmodellen - AC Speciella dioder pin-dioden Schottkydioden Tunneldioden Ohmska kontakter Tillverkning av dioder Sammanfattning av pn-övergången Optokomponenter Absorption...120

6 Fotoledare Fotodioder och solceller Fototransistorer Emission Lysdioder Halvledarlasrar Tillverkning av optokomponenter Sammanfattning av optokomponenter Den bipolära transistorn Spänningarna i en bipolär transistor Strömmar i den bipolära npn-transistorn pnp-transistorn Den bipolära npn-transistorns arbetsmoder Normal eller aktiv arbetsmod Inverterad arbetsmod Strypt arbetsmod Bottnad arbetsmod Kapacitanser i den bipolära transistorn Resistanser i den bipolära transistorn Hybrid-π-modellen Frekvensegenskaper Frekvensen vid -3 db Övergångsfrekvensen Parasiteffekter i den bipolära transistorn Earlyeffekten Punch-through Genombrott i bas-kollektorövergången Rekombinationsström i bas-emitterövergången Högnivåinjektion i basen Kvasibottning Tillverkning av bipolärtransistorer Sammanfattning av den bipolära transistorn MOSFET Banddiagram: Inversion, flatband och ackumulation Gate av p-typ kisel Kapacitansen i MOS-strukturen Strömmen i MOSFETen p-mos Småsignalmodellen för MOSFET Frekvensegenskaper Digital switchning CMOS Tillverkning Sammanfattning av MOSFETen Diverse komponenter Tyristor Darlingtontransistor VDMOSFET och HEXFET IGBT, Insulated gate bipolar transistor Andra typer av fälteffekttransistorer Minnesceller, RAM, ROM och Flashminnen CCD Kvantkomponenter Sensorer och Halleffekten Begreppslista Appendix Register

7 1. Inledning K omponentfysik kan på ytan se ut att vara ett virrvarr av formler som bara används under speciella förhållanden. Vid beräkningar är det inte helt ovanligt att man letar upp en formel som verkar ha rätt variabler. I själva verket hänger allt ihop och fysiken bakom är inte så komplicerad som den verkar. Mycket av förståelsen bygger på att man har grundläggande ellära klar för sig. Beskrivningen av fysiken bakom elläran är här lite mer detaljerad än hur man normalt beskriver den. Ohms lag beskrivs normalt med spänningen som en funktion av ström och resistans. En lite ovanligare form av Ohms lag beskriver strömmen som en funktion av spänning och konduktansen. Konduktansen är helt enkelt inversen på resistansen (G=1/R). Går man sedan vidare kan man beskriva resistansen och konduktansen som en funktion av geometri och materialegenskaper. De viktiga materialegenskaperna kan sammanfattas i hur stor koncentration av partiklar som kan delta i strömledningen, laddningsbärare, som vi har i materialet och hur lättrörliga de är i ett elektriskt fält. Strömmen i Ohms lag kallas driftström, eftersom det krävs ett elektriskt fält för att driva strömmen. Dessutom kan man få laddningsbärare att röra sig om det finns skillnader i koncentrationer. Den strömmen kallas diffusionsström eftersom den drivs av en mer slumpmässig (diffus) rörelse hos laddningsbärarna. Diffusionsströmmen försöker jämna ut koncentrationsskillnader. Det här är en typ av ström som man normalt inte stöter på i elläran. Ett enkelt exempel på diffusion är hur rök från en cigarett försöker sprida ut sig och fördela sig jämnt i ett rum. De två typerna av strömmar är mycket viktiga för hur elektronikkomponenter fungerar. En annan del av elläran som är viktig för funktionen hos komponenter är kondensatorn. Det är t.ex. kapacitanserna i en transistor som ger dess frekvensegenskaper, d.v.s. hur höga frekvenser den kan förstärka. Kondensatorn är också en enkel illustration av hur elektrisk laddning, elektriskt fält och spänning hänger ihop. Mycket av komponentfysiken bygger på att vi har skillnader i laddningsbärarkoncentrationer som ger upphov till elektriska fält och interna spänningar. Strömmarna i komponenter ges sedan ofta av hur yttre spänningar påverkar laddningsbärarkoncentrationer

8 Komponentfysik Anders Gustafsson Det finns dessutom en hel del begrepp och företeelser. Ett par av dem beskriver energistrukturen hos material i fast form. Det handlar om begreppen band, bandstruktur och bandgap. Begreppen är relaterade till energistrukturen för elektronerna i en atom. En atom har en energistruktur som kan ses som en stege, där varje steg motsvarar en energinivå för elektronerna i atomen. Eftersom ett fast ämne har en rumslig utsträckning så är dessa nivper plan instället. Energistrukturen för ett material i fast form kan ses som ett flervånings parkeringshus där bilarna är elektronerna. Normalt fylls det nedre planet först för vi vill ju parkera så fort som möjligt. Sedan fylls det andra och det tredje o.s.v. Om ett plan är fyllt kan man inte flytta bilarna till ena sidan av planet, allt vi kan göra är att byta plats på två bilar. Vi kan inte få några nettoeffekter. Om planet är helt tomt har vi inga bilar att flytta runt. Om alla platser är fyllda på ett plan måste man köra upp till nästa plan, vilket kräver energi. I ett material i fast form kan man beskriva elektronstrukturen i termer av parkeringsplan för elektroner. Det blir lite mer komplicerat eftersom strukturen är fyrdimensionell, där vi har tre rumsliga dimensioner och en fjärde energidimension (de olika planen). Det gör att vi har lite svårt att visualisera det. När vi har ett material så börjar vi med att konstruera planen i strukturen, sedan fyller vi på alla elektroner i strukturen uppifrån och låter dem ramla ner och fylla upp planen. Vi kan tänka oss elektronerna som kulor. Om planet med de översta elektronerna är halvfyllt så kan elektronerna flytta sig runt på planet. Vi kan i princip flytta runt laddning från sida till sida på planet genom att luta planet. En kollektiv förflyttning av elektroner betyder att vi har fått en ström. Den här typen av material kallas ledare eller metall. Å andra sidan kan vi ha en situation som ger ett helt fyllt plan, där vi inte kan flytta laddningar och vi kan inte få någon ström. Den här typen av struktur kallas isolator. Sedan finns det ett mellanläge, där planen egentligen är fyllda, men det är mycket lätt att flytta upp några elektroner till nästa tomma plan. Vi har alltså ett plan som är nästan fyllt och ett som nästan är tomt. Vi kan alltså flytta elektroner och få en ström. Strömmen är betydligt lägre än för metallen men eftersom det trots allt går en ström kallas den här gruppen av ämnen för halvledare. Banden i bandstrukturen motsvarar planen i modellen ovan och energin som behövs för att flytta upp en elektron till det första tomma bandet ger om det rör sig om en isolator eller en halvledare. Vetskapen om halvledare har funnits länge. Man har länge klassificerat ämnen utifrån deras ledningsförmåga. Bra ledare har kallats ledare eller metaller, typiska exempel är koppar och aluminium som används i elkablar. Dåliga ledare som glas, plast och porslin har kunnat användas som isolatorer och just det namnet har används för att beskriva dem. Slutligen finns det en grupp ämnen som varken är ledare eller isolatorer, halvledarna. Historiskt sett var dessa oanvändbara eftersom de inte var bara på att leda ström eller att isolera spänning. En av de första halvledarna som upptäcktes var selen, som upptäcktes av Jöns Jakob Berzelius ( ) som har gett namn åt byggnaden där halvledarforskningen i Lund bedrivs, Berzeliuslaboratoriet. Upptäckten gjordes på talet, men det tog lång tid innan man skulle använda halvledarna för någon tillämpning. Han var dessutom först med att framställa rent kisel och att identifiera det som ett grundämne. Det var inte förrän man började inse att man kunde påverka ledningsförmågan hos halvledarna genom att blanda in små mängder av andra grundämnen som de började bli 8

9 Introduktion intressanta. Ett exempel är att man kan ändra ledningsförmågan hos rent kisel många tiopotenser genom att ersätta en kiselatom på en miljard eller ännu mindre med t.ex. fosfor i en kristall. I början av 1900-talet lyckades man göra en komponent som likriktar strömmar bestående av en selenkristall och en spetsig metallnål. Det är ett exempel på vad vi idag kallar en Schottkydiod och den användes i tidiga radiomottagare, s.k. kristallmottagare. Nästa steg i utvecklingen kom när man under andra världskriget utvecklade radarsystem. Dioderna var viktiga i mottagaren. Nästa stora genombrott kom 1948 när Bardeen, Schockley och Brattain uppfann den bipolära transistorn, som egentligen bara är en utveckling av dioden. Det resulterade i ett Nobelpris. Den andra typen av transistor, fälteffekttransistorn, patenterades redan på 20-talet, men det dröjde till 1953 innan någon demonstrerade den första fungerande fälteffekttransistorn och det dröjde till 70-talet innan den nu dominerade MOSFETen tillverkades kom ännu ett stort steg i utvecklingen när Kilby och Noyce uppfann den integrerade kretsen, vilket även det resulterade i ett Nobelpris. Även om de integrerade kretsarna var ganska blygsamma med dagen mått mätt med mindre än 10 komponenter så anses dessa två uppfinningar ofta som grunden till all elektronik som finns idag. Det har sen dess dykt upp en uppsjö av halvledarkomponenter, t.ex. MOS-transistorn, lysdioden, laserdioden och tyristorn. Listan kan göras mycket lång, men här kommer vi att koncentrera oss på de mest grundläggande komponenterna. Under det senaste årtiondet är det datorindustrin som har drivit utvecklingen av halvledare, speciellt integrerade kretsar. Det handlar både om storleken på kretsen och om antalet komponenter på en och samma krets. Redan på 60-talet observerade Gordon Moore på Fairchild Electronic att antalet komponenter per krets fördubblades varje år. Det var då ganska enkelt att observera eftersom det då handlade om färre än 100 komponenter. Ett typiskt exempel är OP-förstärkaren µa741 som innehåller ca 30 komponenter. Från den här observationen definierade han Moores lag om att antalet komponenter på en integrerad krets kommer att fördubblas varje år. Hans originaldata visas i figur 1:1 tillsammans med en uppdaterad version. Det gör att om man plottar logaritmen på antalet komponenter per krets mot år så får man en rät linje. Det som är mest förvånande så här 40 år senare är att Moores spådom fortfarande i stort sett håller, även om den senaste processorn från Intel innehåller ca 300 millioner komponenter. Det enda som har förändrats är att tiden för fördubblingen är lite långsammare. Det tar nu 18 månader för en fördubbling istället för de ursprungliga 12 månaderna. En förutsättning för den här utvecklingen är att varje komponent minskar i storlek, annars hade storleken på en krets vid det här laget varit enormt stor. Det visar sig att storleken följer samma lag, där storleken, eller bredden på komponenterna halveras var 18:e månad. Bredden på de minsta detaljerna i en komponent kallas linjebredd. En följd av den minskade storleken är att strömmen i en transistor minskar och att antalet elektroner som genererar strömmen minskar. Antalet elektroner i en komponent minskar alltså. Det gäller i hög grad även för minneskretsar. Idag har man t.ex. ca 100 elektroner i en minnescell i en RAM-krets. Det betyder alltså att en etta består av 100 elektroner och en nolla av inga elektroner i minnescellen. Från storleksminskningen i Figur 1:2 följer att vi år 2012 kommer att ha ett en-elektronminne. Det betyder att en elektron betyder en etta 9

10 Komponentfysik Anders Gustafsson och ingen elektron betyder en nolla. Vi behöver alltså kunna känna av en skillnad på en elektron. Figur 1:1. Den vänstra bilden visar Moores originalfigur från Den beskriver en fördubbling av antalet komponenter på en integrerad krets varje år. Den högra bilden visar samma plott, men med betydligt nyare data där t.ex. Pentium 4 finns med. Nu går fördubblingen lite långsammare och det tar ca 18 månader. De senaste processorerna från Intel innehåller över 300 millioner komponenter. Notera att den högsta punkten i den vänstra figuren är ca 2 6 = 64 komponenter. (Figurerna är hämtade från Cramming more components onto integrated circuits av G. E. Moore, 1965 och Device Electronics for Integrated Circuits av R. S. Muller and T. I. Kamins 2003). En annan konsekvens av den krympande storleken på komponenterna är att tiden det tar för en elektron att gå från komponent till komponent blir kortare. Det gör att man kan ha en högre klockfrekvens på en digital krets. En högre klockfrekvens på processorn i en dator betyder en snabbare dator. Figur 1:2. Vänster: Med tiden minskar linjebredden på de minsta detaljerna i komponenterna i en integrerad krets. Även linjebredden halveras var 18:e månad. Den senaste generationen av kretsar innehåller en linjebredd på 90 nm. Höger: När komponenterna blir mindre så kommer volymen att minska och de kommer därmed att innehålla färre elektroner. En illustration av det är hur många elektroner som finns i en minnescell i en RAM krets. Idag finns det mindre än 100 elektroner i en minnescell i ett RAM. (Figurerna är hämtade från Device Electronics for Integrated Circuits av R. S. Muller and T. I. Kamins 2003) Baksidan av utveckling mot mindre komponenter är att teknologin för att tillverka kretsarna blir betydligt dyrare för varje minskning av linjebredden. Det betyder att kostnaden för att sätt upp en fabrik för att tillverka kretsarna också ökar. Idag kostar det motsvarande bruttonationalprodukten för ett mindre europeiskt land att bygga och utrusta en fabrik för kretstillverkning. Ett exempel på en mycket enkel krets som de flesta har stött på är OP-förstärkaren µa741. Figur 1:3 visar en bild av hur den kretsen kan se ut under skalet. Bilden är tagen 10

11 Introduktion genom ett vanligt optisk mikroskop, där själva kretsen är tillverkad på en kiselbricka som är ca 2mm x 2 mm. Det som syns i bilden är den kvadratiska kretsen med ett mönster av metalledare. Dessutom ser man de trådar som kopplar själva kretsen till benen på utsidan av komponenten. Figur 1:3 Som en illustration av den tidiga utvecklingen av den integrerade kretsen visar vi en bild på kretsen i en OP-förstärkare av typ µa741. Själva kretsen visas till höger och är den kvadratiska plattan i bilden och den mäter ca 2mmx2mm. Den innehåller totalt ett tretiotal komponenter, där den största är den grå rektangeln i nederkanten. Det är en kondensator. Benen på själva inkapslingen kopplas till kretsen via tunna trådar som är fastsvetsade på kretsen. Dessa trådar har samma diameter som ett hårstrå, d.v.s. ca 100 µm. Till höger visas koplingsschemat. 11

12 Komponentfysik Anders Gustafsson Vad är då syftet med en kurs i komponentfysik? Tanken är att ge en insikt i hur de vanligaste komponenterna är uppbyggda och hur de egentligen fungerar. Dels är det för att ge allmänbildning för en elektroingenjör och dels för att en del av dagens elektroingenjörer faktiskt arbetar med någon form av komponentdesign och utveckling. Det kommer även i framtiden att behövas elektroingenjörer för att kunna driva utvecklingen vidare bortom år 2012! För att kunna förbättra egenskaperna hos en komponent är det viktigt att man är väl insatt i hur den egentligen fungerar. Det finns ett antal frågeställningar som kursen kommer att beröra. Varför är klockfrekvensen i min dator storleksordningen 1 GHz och inte 100 GHz? Varför är förstärkningen hos en npn-transistor ca 100 och inte ? Varför är förstärkningen betydligt lägre för en motsvarande pnp-transistor? Vad ger färgen på en lysdiod och hur gör men en vit lysdiod? Hur fungerar minnescellen i min dator och varför tappar den minnet när jag stänger av den men inte min mp3-spelare? Eftersom det rör sig om fysik så kommer vi att behöva en matematisk beskrivning av många företeelser och det blir därför nödvändigt att introducera och använda ett antal ekvationer. Källor: Cramming more components onto integrated circuits av G. E. Moore, Electronics, Volume 38, Number 8, April 19, 1965 Device Electronics for Integrated Circuits av R. S. Muller and T. I. Kamins, John Wiley & Sons, Inc

13 2. Ellära och ström G runden för hur elektronikkomponenter fungerar kommer från ellära med begrepp som ström, spänning och laddning. Det är mestadels gymnasiefysik, men här presenterar vi det på ett lite annat sätt, med lite annorlunda och utökad terminologi. Det handlar om strömmar och om kapacitanser. Strömmar kan ses som en kollektiv rörelse av elektroner och beror ofta på yttre påverkan i form av en pålagd spänning. Det är den så kallade driftströmmen, där elektronerna drivs fram av ett elektriskt fält. En annan typ av ström är den så kallade diffusionsströmmen, som uppkommer då man har skillnader i elektronkoncentration längs en ledare. Diffusionsströmmen strävar efter att jämna ut koncentrationsskillnaderna. Om det inte finns något som upprätthåller skillnaden så kommer strömmen att avta med tid. En annan del av elläran handlar om kondensatorer och kapacitans. Kondensatorn är ett mycket bra exempel på sambanden mellan laddning, spänning och elektriskt fält. Kapacitans ger dessutom upphov till en impedans när man utsätter den för växelström. Kapacitanser i halvledarkomponenter ger upphov till begränsningar i frekvensegenskaperna, vilket vi kommer att se i ett senare kapitel. I elläran behövs det laddade partiklar som sköter strömtransporten. Den vanligaste partikeln är elektronen, men som vi kommer att se längre fram i det här kompendiet så finns det andra partiklar som kan transportera en ström. Därför brukar man kalla dessa partiklar för laddningsbärare, även om vi i det här kapitlet kommer att fokusera på elektroner, vilket man ju oftast gör i t.ex. analogelektroniken. Viktiga begrep inom elläran är elektrisk spänning och elektrostatisk potential. Vi kommer mestadels att använda oss av spänning. Oftast är skillnaden mellan de två begreppen hårfin och det är egentligen bara spänningen som är av intresse. Den strikta definitionen är att den elektrostatiska potentialen är given relativt någon extern referenspunkt. Spänningen däremot är given som skillnaden mellan de elektrostatiska potentialerna i två punkter t.ex. spänningen mellan signal och jord

14 Komponentfysik Anders Gustafsson Driftström Reaktion på elektriskt fält I den här introduktionen kommer vi att gå igenom de delar av ellära som behövs för att förstå vad som händer i t.ex. en bipolär transistor. En av förutsättningarna är en insikt i en av de mest fundamentala delarna av elläran, nämligen Ohms lag: U = R I där U är spänningen, R är resistans och I är ström. Ekv. 2:1 Ett annat sätt att se Ohms lag är att använda begreppet konduktans, G, istället för resistans. Konduktansen är bara inversen på resistansen (G=1/R) och beskriver ledningsförmågan: I = U G Ekv. 2:2 G har enheten [1/Ω] eller Siemens [S]. Vi tittar nu lite närmare på Ekv. 2:1 och speciellt på resistansen, R. Om man har ett motstånd så behöver man inte bekymra sig över vad resistansen egentligen är utan det är bara att titta på de färgade ringarna på motståndet och dechiffrera fram värdet på motståndet. Ett annat enkelt sätt är att mäta med en ohmmeter. Om vi vet vilket material det rör sig om och vi har motståndets dimensioner givna så kan vi räkna fram resistansen. Oftast kan det vara mer tillförlitligt att räkna fram resistansen ur materialparametrarna. Om man går till t.ex. TEFYMA så kan man hitta tabeller med materialparametern resistivitet, ρ. Resistiviteten har enheten [Ωm] eller [Ωmm 2 /m]. För att få fram resistansen så behöver man känna till längden, L, och tvärsnittsarea, A, på ledaren/resistorn. R = ρ L A Ekv. 2:3 På samma sätt som vi har konduktansen som inversen på resistansen så kan vi definiera konduktivitet, σ, som inversen på resistivitet så att σ = 1/ρ. Konduktiviteten har enheten [1/Ωm eller S/m]. Vi kan därför skriva om ohms lag Ekv. 2:1 som: U = R I = ρ L I A = L I σ A Vi förutsätter också att läsaren är bekant med Kirchoffs lagar om strömmar, t.ex.: I in1 + I in 2 = I ut Ekv. 2:4 Ekv. 2:5 där vi i exemplet har tre strömmar genom en punkt. Summan av strömmarna in i punkten är summan av strömmen ut ur punkten. Det som den här lagen säger är att strömmar varken skapas ur eller försvinner i ingenting. 14

15 Ellära och ström Det finns fyra begrepp som beskriver ledningsförmågan hos ett ämne: Resistans och konduktans, resistivitet och konduktivitet. Alla fyra är kopplade, där de två senare är materialparametrar (resistiviteten är inversen på konduktiviteten) och de två första innehåller dessutom geometrin för en specifik bit av materialet (resistansen är inversen på konduktansen). Vi kan skriva om Ekv. 2:4 så att vi definierar strömmen och inte spänningen som resultatet: I = U R = U A L ρ = U A σ =ε A σ L Ekv. 2:6 Strömmen definieras som positiv från plus till minus. Så om vi lägger U > 0 vid x = 0 och 0 V vid x > 0 så går strömmen i den positiva x-axeln riktning. Ofta använder man det elektriska fältet, ε, istället för spänning. ε definieras som derivatan på den elektriska spänningen där ε=-du/dx och har enheten [V/m]. Det betyder att fältet är riktat från plus till minus, i samma riktning som strömmen. Ohms lag innehåller inte någon explicit (synlig) riktning, och normalt vet vi bara att strömmen går från plus till minus. I exemplet ovan så är ε också positivt, eftersom du/dx = ΔU/Δx = [U(x)-U(0)]/x är negativt. Det är så vi får fram det sista steget efter det sista likhetstecknet i Ekv. 2:6. Om vi nu drar oss till minnes hur man definierar ström: I = dq dt = ΔQ Δt Ekv. 2:7 Strömmen är alltså förändringen av laddningen, Q, per tidsenhet. Vi tittar på en ledare med tvärsnittsarean, A [m 2 ], och en koncentration av elektroner, n [antal/m 3 eller m -3 ], där elektronerna har en medelhastighet (som kallas drifthastighet), v d [m/s], på grund av det pålagda elektriska fältet. Det betyder att varje elektorn under tiden t rör sig en sträcka v d Δt. Antalet elektroner som passerar ett visst plan, vinkelrätt mot hastigheten, är: A v d Δt n, vilket är illustrerat i Figur 2:1. Varje elektron har laddningen, -e [As], vilket innebär att laddningen som passerar punkten är: -e A v d Δt n. För att övertyga oss om att det verkligen är laddning kan vi kontrollera enheterna: [As] [m 2 ] [m/s] [s] [m -3 ] = [As]. Det är ju faktiskt laddning. Strömmen får vi nu enligt Ekv. 2:7: I = e A v d Δt n Δt = e A v d n Ekv. 2:8 Minustecknet betyder att strömmen går i motsatt riktning mot elektronens rörelse. Det är ju helt logiskt, eftersom elektronen har negativ laddning. 15

16 Komponentfysik Anders Gustafsson - + A v d t Figur 2:1. En ledare har en homogen fördelning av elektroner med en koncentration, n. Alla elektroner har en hasighet, v d, mot batteriets pluspol. På tiden Δt passerar n v d Δt A elektroner genom ledarens tvärsnitt. Strömmen ges av mängden laddning som passerar tvärsnittet per tidsenhet och därför av -e n v d A. Drifthastigheten är en medelhastighet som bl.a. beror på det elektriska fältet. Vi börjar med det enklaste fallet, när vi har elektroner i vakuum, vilket motsvarar vad som händer i ett TV-rör. Definitionen på elektriskt fält är den kraft som fältet påverkar en laddning med dividerat med laddningen: ε = F/Q. Eftersom pluspolen attraherar negativt laddade elektroner kommer det elektriska fältet att vara riktat från plus till minus, i samma riktning som strömmen: ε = U/L. I TV-rörets vakuum kommer vi att få en sluthastighet efter accelerationssteget, v max, där den potentiella energin i det elektriska fältet konverteras till rörelseenergi: q U = m n v 2 max 2, d.v.s. v max = 2 q U m n. Ju högre spänning desto högre sluthastighet. m n är elektronens vilomassa. Här har vi introducerat q, som en konstant som gör om spänning till energi. I SI-enheter gör den om Volt till Joule när spänningen multipliceras med q. I halvledarfysiken använder man oftast energienheten elektronvolt [ev] istället, där 1 ev = 1, J. Att vi använder enheten elektronvolt beror på att relevanta energier i halvledare typiskt är just runt en elektronvolt. Värdet på q är antingen 1, As eller 1 ev/v, beroende på vilken enhet vi vill ha energin i. Däremot är elementarladdningen, e, alltid 1, As. Att [ev/v] [V] är [ev] är inte konstigt, men vi behöver en studie av enheter för att få fram enheten [J]: [As] V=[VA] [s]=[w] [s]=[j], där vi har använt en genväg från elektrisk effekt som är produkten U I, d.v.s. där [VA] är [W]. Den vanliga SI-enheten för energi är Joule [J]. Det gör att man nästa alltid kan använda den. Inom halvledarfysiken handlar det ofta om mycket små energier, ungefär J. Det gör att man ofta väljer att använda enheten elektronvolt [ev] istället. Där 1 ev = 1, J. Om vi har elektronerna i någon form av ledare istället kan inte elektronerna röra sig helt obehindrat. Det finns en mängd imperfektioner i materialet som elektronerna stöter emot och i princip förlorar en del av sin hastighet i det elektriska fältets riktning. Man kan 16

17 Ellära och ström jämföra det med ett flipperspel, där det elektriska fältet motsvarar lutningen på flipperspelet. En större lutning motsvarar ett större elektriskt fält. Hindren på spelplanen motsvarar imperfektionerna i materialet. När kulan stöter emot hindren ändras hastigheten och genomsnittshastigheten i lutningens riktning minskar. För ett givet material kan man definiera en genomsnittssträcka mellan det att elektronen stöter på två imperfektioner. Med en medelhastighet eller drifthastighet (v d ) får man fram genomsnittstid mellan två imperfektioner. För att göra det enkelt så antar vi att elektronen förlorar hela sin hastighet vid stöten. Nu kan vi jämföra Ekv. 2:6 och Ekv. 2:8: I = -e A v d n =ε A σ n σ n = e n - v d ε Ekv. 2:9 Minustecknet i sista steget ser lite underligt ut, men eftersom elektronerna rör sig mot det elektriska fältets riktning så kommer värdet att vara positivt. Normalt gäller Ohms lag och en fördubbling av spänningen ger en fördubbling av strömmen. Det enda som ändras i Ekv. 2:8 är det drifthastigheten och i Ekv. 2:6 är det elektriska fältet som ändras. Båda ökar linjärt med spänningen. Det gör att kvoten mellan drifthastighet och elektriskt fält är konstant. Vi kan nu definiera konstanten som rörlighet eller mobilitet, µ n, med enheten [m 2 /Vs]. Indexet n betyder att vi syftar på elektronens rörlighet (där n står för elektronens negativa laddning). Rörligheten beror på vilken typ av material det handlar om, där det skiljer mellan t.ex. kisel, germanium och koppar. Värdet på rörligheten på många vanliga halvledare kan man hitta i formelsamlingen. Rörligheten är en mycket viktig materialparameter, speciellt för halvledare. Det gör att konduktiviteten kan uttryckas i rörlighet och elektronkoncentration. För att göra det lättare för oss så definierar vi egentligen kvoten av absolutbeloppet och konduktiviteten kan då skrivas: σ = e n µ n Ekv. 2:10 Ju fler imperfektioner ett material har desto mindre är rörligheten. Imprefektionerna är typiskt föroreningar och fel i kristallstrukturen i materialet. För att förenkla så kommer vi att anta att rörligheten för ett givet material är konstant, oberoende av mängden föroreningar och temperatur. Vi kan nu skriva om Ekv. 2:8 som: I = e n µ n ε A Ekv. 2:11 Detta är den mest använda formen av spänningsberoendet hos strömmen i en halvledare. Driftströmmen spelar en mycket viktig roll i hur halvledarkomponenter fungerar. Diffusionsström Reaktion på koncentrationsskillnader Det är inte bara elektriska fält som får elektroner att rör sig i en bestämd riktning. Om det finns en skillnad i koncentrationen av elektroner, så vill elektroner röra sig från hög koncentration till låg koncentration, illustrerat i Figur 2:2(a). Drivkraften bakom fenomenet är vanlig Coulombrepulsion, där partiklar med samma laddning stöter bort varandra, till skillnad från Coulombattraktion, där partiklar med olika laddning attraherar varandra. 17

18 Komponentfysik Anders Gustafsson Repulsionen gör att elektronerna försöker fördela sig på så jämnt avstånd från varandra som möjligt, se Figur 2:2. Om det inte finns något som håller koncentrationsskillnaden uppe så kommer vi slutligen att få en jämn fördelning av elektroner i materialet. I elektronikkomponenter finns det nästan alltid områden med skillnader i elektronkoncentration och det är en förutsättning för att komponenterna ska kunna fungera. Det kommer vi att se i senare kapitel. Skillnaden i elektronkoncentration kan beskrivas av derivatan på elektronkoncentration med avseende på rumslig koordinat: dn dx, där en större skillnad ger en större ström. En negativ koncentrationsgradient, dn/dx, betyder minskande koncentration i den riktningen. Elektronerna vill röra sig från områden med hög koncentration till områden med låg koncentration, så vi får en nettorörelse av elektroner mot koncentrationsgradientens riktning. Eftersom elektronen har en negativ laddning, så går strömmen i motsatt riktning, i gradientens riktning. Strömmen definieras som: I = e A D n dn dx Ekv. 2:12 Här har vi en proportionalitetskonstant, D n, som kallas diffusionskonstanten. Den talar om hur lättrörliga elektronerna är när de känner av en koncentrationsskillnad, på samma sätt som µ n talar om hur lättrörlig en elektron är i ett elektriskt fält. Låt oss nu göra en analys av enheten på D: D n = I/(q A) dx/dn, vilket ger enheten [A]/[As m 2 ] [m]/[m -3 ] = [m 2 /s], vilket är snarlikt enheten för rörligheten som är [m 2 /Vs]. Det innebär att kvoten mellan de två D n /µ n har enheten [V]. Man kan göra en härledning av hur de två materialparametrarna hänger ihop. Eftersom det är komplicerat och inte ger någon mer förståelse, så introducerar vi bara sambandet utan härledning. Det är ett av de viktigare sambanden inom halvledarfysiken och det kallas Einsteinsambandet: D n = kt q µ n = U t µ n Ekv. 2:13 k är Boltzmanns konstant i [J/K] eller [ev/k], T är temperaturen [K] och U t kallas den termiska spänningen och är en viktig faktor inom halvledarfysiken. Den dyker upp i både diodekvationen och transistorekvationerna. Med antagandet att µ är oberoende av temperatur så blir konsekvensen att D ökar med temperatur. Eftersom det oftast är rörligheten och inte diffusionskonstanten som är listad i tabeller med materialparametrar, så kan vi skriva om Ekv. 2:12: I = e A U t µ n dn dx Ekv. 2:14 18

19 Ellära och ström n (a) n (b) dn dx t 0 v n n=n 1 I n n=n 2 x Figur 2:2. En illustration av vad som händer om man har koncentrationsskillnader. I a) har vi två reservoarer med elektronkoncentrationerna n 1 och n 2. Om låter dem vara i kontakt med varandra via en ledare så får vi en koncentrationsgradient. Förutsättningen är att reservoarerna ser till att hålla sina respektive koncentrationer oavsett om vi har ett elektronflöde in, i eller ut ur reservoaren. Eftersom strömmen är proportionell mot gradienten kommer vi i jämvikt att få en linjär gradient. Allt annat än en linjär gradient hade resulterat i att strömmen hade varierat längs ledaren, vilket inte kan vara ett jämviktstillstånd. I b) har vi en tillfälligt ökad koncentration av elektroner vid x=0 och tiden t 0. Allteftersom tiden går sprider sig elektronerna ut från x=0, för att vid t vara jämnt fördelade i hela ledaren. 0 t 1 t 2 t x Det är lite svårare att göra sig en bild av hur man kan få en gradient i elektronkoncentrationen än hur man får ett elektriskt fält. Ett typiskt exempel på en tvådimensionell koncentrationsgradient är på insidan av ett TV-rör. Insidan är tillverkad med ett ledande skikt så att elektronerna från strålen leds bort ut till sidorna och till jord. Eftersom elektronstrålen sveper med en frekvens som ögat inte kan uppfatta så ser vi inte att den gör det. Vi tittar istället på skärmen på ett oscilloskop, där vi kan stoppa svepet och stå på en enda punkt på skärmen. Det ger upphov till en gradient i elektronkoncentrationen på insidan av skärmen, där koncentrationen är högst i den upplysta punkten och sedan minskar koncentrationen med avståndet ut mot kanterna på skärmen. Det är denna gradient som får elektronerna att röra sig bort från den upplysta punkten. En viktig observation är att diffusionsströmmen som uppstår när man har en koncentrationsgradient inte i sig innebär något spänningsfall som i fallet med den ohmska (drift) strömmen. Vad man kan göra är att man kan minska eller öka strömmen genom att lägga på ett elektriskt fält, där den totala strömmen är summan av de två strömmarna: I = e n µ n ε A + e A U t µ n dn dx Ekv. 2:15 Tecknen i formeln talar om att om vi har det elektriska fältet och koncentrationsgradienten i samma riktning, så ökar strömmen. Eftersom det elektriska fältet går från positiv till negativ pol och gradienten går från låg till hög koncentration, så betyder det att vi ska ha ett överskott på elektroner vid minuspolen för att strömmarna ska samverka. Alternativ så kan vi motverka en diffusionsström med ett motriktat elektriskt fält, d.v.s. genom att lägga en positiv spänning i den punkt som har högst elektronkoncentration. Det är ganska lätt att inse att om vi vill behålla elektronerna vid högkoncentrationssidan så behöver vi lägga på en positiv spänning på just den polen. Det här är illustrerat i Figur 2:3. En annan viktig poäng är att en konstant diffusionsström 19

20 Komponentfysik Anders Gustafsson kräver en linjär gradient. Allt annat hade inneburit att strömmen hade varierat längs x- axeln, vilket hade inneburit att strömmen hade varierat längs x-axel. Det är ju inte en konstant ström! (a) Diffusion (b) Drift El. konc. I x + - Figur 2:3. En illustration av drift- och diffusionsströmmar. a) visar en koncentrationsskillnad lik den i Figur 2:2 Till vänster har vi en reservoar med låg koncentration och till höger har vi en hög koncentration av elektroner. Det ger upphov till en linjär gradient (positiv, med en ökning av koncentrationen) från vänster till höger. Det ger upphov till en diffusion av elektroner från höger till vänster, vilket i sin tur ger upphov till en diffusionsström från vänster till höger. b) visar en ledare med en pålagd yttre spänning. Elektronerna dras mot pluspolen, vilket ger upphov till en drift av elektroner mot pluspolen, viket i sin tur ger upphov till en driftström från plus- till minuspol. I Det finns två typer av strömmar. Driftströmmen får elektronerna att rör sig p.g.a. ett elektriskt fält, där de rör sig mot fältets riktning. Diffusionsströmmen får elektronerna att röra sig p.g.a. en koncentrationsskillnad, där de rör sig från hög till låg koncentration. En driftström ger upphov till ett spänningsfall medan så inte är fallet med diffusionsströmmen. Driftströmmen är strömmen i ohms lag. För att skilja de två typerna av strömmar åt så använder vi indexen "drift" och "diff": I Total = I drift + I diff. Termisk elektronrörelse Det sista bidraget till elektronens rörelse kallas för termisk rörelse, eller termisk hastighet. Det är en rörelse som saknar riktning i meningen att det inte finns någon gemensam riktning för elektronkollektivet. Statiskt sett rör sig inte elektronkollektivet, men varje elektron har en viss hastighet i en viss riktning. Vi kan jämföra elektronernas rörelse med rörelsen hos molekyler i en gas, vilket ger trycket hos gaser. Vid 0K (absoluta nollpunkten) står alla elektroner still, precis som vi har ett gastryck på 0 Pa vid 0K, eftersom alla gasmolekyler står still vid den temperaturen. Allteftersom vi ökar temperaturen, ökar hastigheten. Det gör att varje elektron har en kinetisk energi motsvarande ungefär kt. Eftersom det handlar om många elektroner kommer det att finnas en statistisk fördelning av hastighet bland elektronerna, vissa elektroner står still och vissa har mycket hög hastighet, men genomsnittet motsvarar kt. Alla elektroner rör sig i olika riktningar med olika hastighet, och den termiska rörelsen ger ingen nettoeffekt, d.v.s. ingen ström. 20

21 Ellära och ström Effekten av den termiska rörelsen brukar illustreras med statistik. Figur 2:4 (a) visar hur en elektron rör sig med en slumpmässig termisk rörelse. Efter ett antal stötar mot imperfektioner så återvänder elektronen till sin ursprungspunkt. Om vi lägger på ett elektriskt fält så kommer elektronen inte att återvända till samma punkt efter samma antal stötar. Istället har elektronen flyttat sig mot fältets riktning, mot pluspolen. Ju större fält vi lägger på, desto större förflyttning, vilket också visas i Figur 2:4. (a) ε=0 (b) ε>0 (c) ε>>0 Figur 2:4. a) Vid ε=0 kommer elektronens rörelse bara att ges av den slumpmässiga termiska rörelsen. Det betyder att en individuell elektron kommer att återvända till utgångsläget igen efter att ha studsat mot ett antal imperfektioner i materialet. Det gör att det inte går någon nettoström i materialet b) Om vi har ett elektriskt fält där ε 0 kommer elektronen efter ett antal studsar att ha tillryggalagt en sträcka i motsatt riktning mot fältet. c) Vid en högre fältstyrka går elektronen en längre sträcka under samma tid. I både (b) och (c) går det en ström i fältets riktning. Vikten av den termiska hastigheten är inte självklar, men om man jämför de tre hastigheterna: drift, diffusion och termisk hastighet så visar det dig att den termiska hastigheten är den högsta av de tre. I kisel är den termiska hastigheten ca 10 5 m/s vid rumstemperatur. Om en elektron utsätts för ett elektriskt fält som enligt det linjära sambandet borde ge en hastighet som överstiger den termiska hastigheten så visar det sig att den verkliga hastigheten trots det är lika stor som den termiska hastigheten. Istället når vi en maximal hastighet eller gränshastighet, v s (s från engelskans saturation), när det elektriska fältet överstiger ett kritiskt värde, ε C. Vi kan jämföra elektronens gränshastighet med vad som händer med en fallskärmshoppare. Efter att fallskärmen har vecklats ut är fallhastigheten konstant och man har uppnått en gränshastighet på grund av luftmotståndet. Figur 2:5 visar hur drifthastigheten och rörligheten beror på det elektriska fältet. Det kritiska fältet är en materialparameter och för en typisk halvledare som Si är värdet på det kritiska fältet ca 10 6 V/m och motsvarande gränshastighet är ca 10 5 m/s. Orsaken kan man hitta i stötarna mot imperfektionerna. Vid varje stöt förlorar elektronen hastighet i fältets riktning. Ju större fält, desto snabbare stöter elektronen på imperfektionerna. Vid stora fält så hinner aldrig elektronen få upp farten innan den stöter mot imperfektioner, och hastigheten ges av avståndet mellan imperfektioner och inte av fältet. Därför blir den genomsitsliga hastigheten konstant. 21

22 Komponentfysik Anders Gustafsson v s v µ ε C ε Figur 2:5. Drifthastigheten och rörligheten som funktion av elektrisk fältstyrka. Upp till den kritiska fältstyrkan ökar drifthastigheten linjärt, därefter når den ett mättnadsvärde, gränshastigheten (v s). Rörligheten, som är kvoten mellan hastigheten och fältet, är konstant upp till den kritiska fältstyrkan, därefter avtar den som 1/ε. ε C ε Det som gör gränshastigheten så viktig för elektronikkomponenter är att den talar om den absolut kortaste tiden det tar för en elektron att ta sig en viss sträcka. De intressanta sträckorna är t.ex. kanallängden (d.v.s. sträckan från source till drain) i en MOSFET. Den tiden är kopplad till hur hög frekvens en komponent kan drivas med. Ju kortare tid desto högre frekvens. Med en given gränshastighet krävs en kortare kanal för att få en högre frekvens. Det är en av anledningarna till att klockfrekvenserna blir högre och högre på våra datorer, allteftersom linjebredden och därmed kanallängden krymper. Med en kanallängd på 1 µm (10-6 m) behöver man bara en spänning på 1 V mellan source och drain för att uppnå det kritiska fältet. Idag använder man ofta transistorer med kanaler som är kortare än 100 nm och spänningar på ett par volt i digitala tillämpningar. Kapacitanser Elektriska fält och laddning Ett viktigt begrepp inom elläran och även inom komponentfysiken är kapacitans. Som vi ska se lite längre fram så är det kapacitansen som styr hur snabb en komponent är. Den vanliga definitionen på kapacitans är: C = Q U Ekv. 2:16 Där C är kapacitansen, U är spänningen över kondensatorn och Q är den totala laddningen på varje platta. För en vanlig kondensator är kapacitansen konstant, oberoende av U och Q, vilket betyder att kvoten mellan laddning och spänning är konstant. Om man ökar laddningen på en kondensator så ökar man spänningen, eller om man ökar spänningen så ökar man laddningen, beroende på vilken av parametrarna man kan påverka. Den enklaste formen av kondensator är två parallella plattor på ett kort avstånd från varandra. Denna form brukar kallas plattkondensator och kapacitansen ges av: C = ε r ε 0 A d Ekv. 2:17 ε 0 är dielektricitetskonstanten i vakuum, ε r är den relativa dielektricitetskonstanten för ämnet som ligger mellan plattorna (är det vakuum mellan plattorna så är ε r lika med 1), och d är avståndet mellan plattorna. Plattkondensatorn är ett mycket bra exempel på samband 22

23 Ellära och ström mellan, laddning, elektriskt fält och spänning. Om vi tittar på en plattkondensator med avståndet, d, mellan plattorna, en platta vid x = 0 (vänster) och en vid x = d (höger). Vi tillför laddningen Q på vänster platta och laddningen Q på höger platta. Det gör att höger platta får en högre spänning än vänster. Spänningen är 0 längs hela negativa x-axeln och U = Q/C = Q d/(ε r ε 0 ) på hela positiva x-axeln för x > d. Från x = 0 till x = d ökar spänningen linjärt från 0 till U. Det elektriska fältet går från hög till låg spänning. För både negativa x-axeln och den delen av den positiva x-axeln där x d är fältstyrkan 0. Mellan plattorna är fältstyrkan U/d, minustecknet eftersom fältet ligger från plus till minus. I elektromagnetisk fältteori kallas dessa samband Poissons ekvationer, och kan skrivas som: ζ(x) ε r ε 0 = dε(x) dx ε(x) = du(x) dx = d2 U(x) dx 2 Ekv. 2:18 ζ är laddningen per volym. För att få fram den totala laddningen, Q, behöver vi multiplicera med plattornas area och tjockleken på plattorna, om laddningen är fördelad jämnt i plattorna. Ekv. 2:18 kan skrivas om som en integral: ε(x 2 ) = x 2 ζ(x) dx +ε(x 1 ) ε r ε 0 x 1 Ekv. 2:19 För ett material med en given dielektricitetskonstant kommer förändringen av fältstyrkan över ett intervall att ges av summan av laddningen i intervallet, även om den inte är homogent fördelad. För en konstant laddningskoncentration över sträckan Δx ges ε(x 2 ) av: ζ A Δx ε(x 2 ) = +ε(x 1 ) = Q +ε(x 1 ) ε r ε 0 ε r ε 0 Från fältet kan vi sedan få fram spänningen: U(x 2 ) = U(x 1 ) x 2 ε(x) dx x 1 Ekv. 2:20 Ekv. 2:21 Från Ekv. 2:19 kan vi se att vi får en förändring av den elektriska fältstyrkan över ett intervall (x 1 till x 2 ) när vi har en nettoladdning, Q, i intervallet, där Q 0. Om vi integrerar Ekv. 2:19 över ett intervall som har lika mycket positiv som negativ laddning har vi samma fältstyrka vid x 1 som x 2. Det betyder dock inte nödvändigtvis att vi har samma fältstyrka i hela intervallet. Från Ekv. 2:21 ser vi att det bara är när vi har ett elektriskt fält som är skiljt från noll i intervallet vi integrerar över som vi får en förändring av spänningen. 23