Är det lönsamt att optimera mot kapitalviktat index?

Transkript

1 EKONOMIHÖGSKOLAN Lunds Universitet Nationalekonomiska Institutionen Kandidatuppsats Är det lönsamt att optimera mot kapitalviktat index? - En studie av Mean-Variance, Lower Partial Moment och Value-at-Risk mot OMX Januari 003 Författare Handledare Robert Björkstrand Erik Norrman Jimmy Karlsson

2 Abstract Uppsatsen beskriver fyra strategier inom portföljvalsteorin. Dessa strategier är Mean-Variance, Lower Partial Moment, Value-at-Risk samt kapitalviktat index. I den undersökande delen av uppsatsen undersöker vi om det är mer lönsamt att optimera portföljer med kriterier som Mean-Variance, Lower Partial Moment och Value-at-Risk istället för att placera i den triviala OMX-indexfonden. Med våra resultat kan vi inte påvisa att någon av våra valda metoder är en effektivare placering än OMX. Vi kan inte i heller påvisa att någon modell genererar högre avkastning än OMX. Med dessa resultat drar vi slutsatsen att det inte lönar sig att placera efter strategier likt mean-variance, mean-lpm eller mean-var. Det kan i princip fungera lika väl med att passivt förvalta sin portfölj efter det kapitalviktade indexet. Nyckelord: Portföljvalsteori, Mean-Variance, Value-at-Risk och Lower Partial Moment.

3 Innehållsförteckning Innehållsförteckning 3. Inledning 4. Bakgrund 4. Problemformulering 5.3 Syfte 5.4 Metod 5.5 Avgränsningar 5.6 Disposition 6. Teoridel 7. Mean-Variance 7.. Mean-variance preferenser 7.. Effektiva fronten 9..4 Optimal portfölj 9..5 Capital Market Line 0. Kapitalviktat index.3 Lower Partial Moment.3. Under de tidigare åren.3. Den modernare eran av downsiderisk Lower Parial Moment uppstår Den senare utvecklingen 6.4 Value-at-Risk 7.4. Modellens bakrund 7.4. Riskmåttets användbarhet 9 3. Metod och material 3. Data och metoder 3. OMX-index 3.3 Portföljoptimering med Mean-Variance 3.4 Portföljoptimering med LPM Portföljoptimering med VaR 6 4. Resultat och analys 9 4. Empiriska resultat 9 4. Analys av resultat och slutsatser Några aspekter på våra metoder Övriga aspekter 3 5. Referenser Bilagor och Appendix Bilagor Appendix 39 3

4 . Inledning. Bakgrund Indexfonder som följer ett visst index börjar bli mer populärt bland spararna. Framförallt för det goda resultatet men även för de låga avgifterna. Ett index så som OMX, räknas utan utdelningar. Detta kan bidra till att indexfonden överträffar indexet eftersom dessa utdelningar brukar överstiga avgifterna. Den första indexfonden lanserades i Sverige på 980-talet av Handelsbanken. I början av 00 var antalet indexfonder 38 stycken som tillsammans förvaltade en förmögenhet på cirka 6 miljarder kronor, vilket är en liten del jämfört med vad aktie- och räntefonderna förvaltade. Till synes dominerar de aktivt förvaltade fonderna på den svenska marknaden fastän majoriteten av dessa fonder inte brukar slå index. Avgifterna för aktivt förvaltade fonder är klart mycket högre än de är för passivt förvaltade, så som indexfonder. 3 Trots de högre avgifterna följer många aktivt förvaltade fonder slaviskt index. Enligt en sammanställning från Dagens Industri följde de 5 största Sverigefonderna till 95 procent sina jämförelseindex under 00 och Affärsvärldens hemsida: Affärsvärldens hemsida: 3 Affärsvärldens hemsida: 4 Affärsvärldens hemsida: 4

5 . Problemformulering Är det lönsamt att optimera portföljer med kriterier som mean-variance, mean-lpm eller mean-var än att passivt placera i kapitalviktat index?.3 Syfte Vårt syfte med uppsatsen är att testa om mean-variance, mean-lpm eller mean-var optimerade portföljer generera ett bättre resultat än det kapitalviktade indexet OMX. Modellerna jämförs i termer av avkastning och effektivitet..4 Metod Vår metod är att optimera våra tre portföljer med varje strategis egna kriterier. Undersökningens mätperiod sträcker sig från januari 996 till december 00 där portföljernas aktieinnehåll allokeras med utgångspunkt från OMX-indexets aktieinnehåll. Tillskillnad från OMX som dagligen uppdaterar sina vikter, uppdaterar vi bara våra portföljer var tionde handelsdag. Med statistiska mått jämförs sedan strategiernas effektivitet och avkastningsserier mot OMX..5 Avgränsningar Eftersom många indexfonder på den svenska marknaden baseras på OMX-index har vi valt att använda detta index som ett benchmark i vår undersökning. Vi avgränsar oss till att enbart titta på en placeringshorisont på 0 dagar för våra metoder. Estimering av diverse parametrar görs på 4 observationer, historisk data. I studien tas inte någon hänsyn till transaktionskostnader och skatter. Vidare används en blankningsrestriktioner, dvs. blankningar i tillgångar är inte tillåtet. 5

6 I portföljvalsstrategin med LPM begränsar vi oss till att enbart titta på en :a gradens LPM där en ALPM algoritm används för optimering. I VaR strategin begränsar vi oss till att enbart titta på ett 95%-igt VaR beräknat med en analytisk metod där en t-fördelning med 5 frihetsgrader används. Vi tittar enbart på effektivitetsmått för portföljerna definierat som en Sharpekvot. Ytterliggare en avgränsning är språket i uppsatsen. Vi använder till viss del engelskspråkiga termer. Detta för att en del begrepp inte ska bli helt obekanta ifrån vad som brukar förekomma inom den ekonomiska litteraturen. I portföljvalssammanhang där LPM används förekommer både namnet mean-lpm och LPM för samma sak, detta förekommer även här..6 Disposition Denna uppsats är disponerad enligt följande: I kapitel. presenteras teori bakom Meanvariance, Kapitalviktat index, Lower Partial Moment och Value-at-Risk. Detta för att ge läsaren en bakgrund till våra metoder, samtidigt som viss kännedom fås om downsideriskmåtten Lower Partial Moment och Value-at-Risk. Kapitel 3 beskriver det datamaterial som ligger till grund för vår undersökning och här beskrivs också det beräkningstekniska i våra metoder. I kapitel 4. presenteras resultaten och vår analys av dessa. Detta följs upp av olika aspekter på denna undersökning. Kapitel 5. och 6. innehåller referenser, tabeller och ett appendix. 6

7 . Teoridel. Mean-Variance Inom finansteorin har man länge utarbetat formella modeller för lämpliga portföljsammansättningar mellan olika typer av värdepapper. Den mest kända modellen publicerades som en artikel 95 av Harry Markowitz. Hans arbete innebar början för modern portföljvalsteori vilket han sedermera fick Nobelpriset för. I artikeln noterade Markowitz att investeraren bör vara intresserad av tillgångens risk likt väl som dess avkastning. Han använde tillgångens varians som riskmått för att skapa en effektiv portföljfront, så att varje portfölj hade den högsta förväntade avkastningen givet en risknivå. 5.. Mean-variance preferenser Markowitzs antagande om att investerarna har mean-variance (MV) preferenser bygger på att avkastningens sannolikhetsfördelning är effektivt representerad av två statistiska mått, dess medelvärde (µ) och varians (σ ). MV-kriteriet innebär således att alla individer som håller portföljer av diverse tillgångar förväntas föredra en högre förväntad genomsnittlig avkastning, mätt som medelvärdet µ(c) av sannolikhetsfördelningen. Givet en förväntad avkastning fördrar alla individer även en lägre variabilitet av avkastningen, mätt som standardavvikelsen σ(c). MV-preferenser som är en trade-off mellan förväntad avkastning och standardavvikelsen ger oss därför möjligheten till ranking. Men att bara använda de två parametrarna µ(c) och σ(c) från sannolikhetsfördelningen för att ranka olika portföljer innebär att viktig information går förlorad. Mean-variance kriteriet är därför en enorm förenkling som bara nås genom restriktiva antaganden. Det första antagandet innebär att varje individ är riskavers 6. Det andra antagandet innebär att individernas vetskap om sannolikhetsfördelningen är begränsad till de två första momenten, förväntad avkastning och standardavvikelsen. Detta kan motiveras med Centrala gränsvärdessatsen som säger att summan av N slumpvariabler närmar sig normalfördelningen då N ökar, med förutsättning att variablerna inte är perfekt korrelerade. 5 Haugen, Robert A (997): Modern investment theory, sid. 6 En riskaverse person har en nyttofunktion där den andra derivatan är negativ. 7

8 Antagandet om normalfördelad portföljavkastning förutsätter MV-kriterier eftersom normalfördelningen kan summeras med dess medelvärde och varians. Vidare borde ranking med MV-kriteriet följaktligen vara förenlig med ranking av förväntad nytta. Till skillnad från MV-kriteriet förutsätter förväntad nytta en komplett nyttofunktion som tar hänsyn till alla momenten, så som skevhet, toppighet etc. Först när förväntad nytta U(c) bara är en funktion av förväntad avkastning och varians är det relevant att använda sig av MV-preferenser. För att visa detta expanderas individens nyttofunktion i en Taylor-serie där individens nytta är värdet av Taylor-serien. Individens nytta är då en funktion av förväntad avkastning och varians, samt de högre momentens termer. ( ) ( ) ( ) ( ~ v µ ( ~ v µ ( ) ) ( ~ v µ ) ) ( ~ 3 v c = v µ + c µ + c µ + c µ ) +... ()!! 3! Notera att (c-µ) är noll och (c-µ) är variansen σ. Vi får således : v ( µ ) v ( µ ) ( ) ( ~ 3 U = v µ + σ + E c µ ) +... ()! 3! Där punkterna motsvarar funktioner av de fjärde och högre momenten. Antagandet om kvadratisk nyttofunktion innebär att individen har likgiltiga preferenser för de högre momenten. Detta för att derivaten för tredje och de högre momenten då alltid är noll. Med hjälp av Taylor-serien utläses även att antagandet om riskaversion innebär preferenser för hög förväntad avkastning och låg varians. 7 7 Hirshleifer & Riley (99): The analytics of uncertainty and information, sid

9 .. Effektiva fronten. En investerare med MV-preferenser väljer den portfölj med den högsta förväntade avkastningen givet en specifik risknivå. 8 Detta ger investerarna en mängd olika valmöjligheter beroende på deras riskpreferenser. Dessa valmöjligheter presenteras nedan som en effektiv portföljfront. Då en riskfri tillgång inte existerar väljer investerare med olika riskpreferenser olika portföljer på den effektiva fronten. Portföljen med den högsta förväntade avkastningen har inte den minsta risken. Portföljen med den högsta förväntade avkastningen har förmodligen en oacceptabel hög risk. Portföljen med den minsta risken har förmodligen en icke önskvärd förväntad avkastning Optimal portfölj Då en riskfri räntetillgång med lika lång löptid som vår placeringsperiod existerar så är räntan för denna tillgång r f. Sharpekvoten mäter riskpremien per enhet risk, där riskpremien är förväntad avkastning minus riskfri ränta. 8 Haugen, Robert A (997): Modern investment theory, sid Markowitz, Harry M (959): Efficient diversification of investments Portfolio Selection, sid. 6 9

10 E(rp ) - rf Sharpe = (3) s p Genom att maximera Sharpekvoten med avseende på portföljens andelar väljs optimal aktieportfölj. Optimal aktieportfölj är den portfölj med högst Sharpekvot, dvs den portfölj med högst riskpremie per enhet risk Capital Market Line Sharpekvoten är även lutningen på en rät linje från riskfri ränta (R f ) till portfölj x. Denna linje kallas Capital Market Line (CML). Då Sharpekvoten maximeras tangerar CML optimal portfölj som ligger på den effektiva fronten. Denna portfölj kallas tangentportfölj och kan hållas av alla investerare oavsett riskpreferenser. Investerarna kan nu genom att kombinera riskfri ränta och tangentportfölj placera längs CML för att uppnå sina riskpreferenser. CML är nu den nya effektiva fronten. 0 Haugen, Robert A (997): Modern investment theory, sid. 0 och 35 Haugen, Robert A (997): Modern investment theory, sid

11 . Kapitalviktat Index Indexinvesteringarnas tillkomst härstammar från William Sharpes arbete och är mest känd som Capital Asset Pricing Model (CAPM). CAPM utvecklades även samtidigt av John Lintner och Jan Mossin men det var William Sharpe som 990 mottog Nobelpriset i ekonomi för sitt arbete om CAPM som publicerades 964. CAPM är teorin bakom marknadens jämviktspriser för riskabla tillgångar och bygger på två antaganden. ) Investerarna har homogena förväntningar gällande avkastningar, risk och korrelationen mellan tillgångarna. De placerar därför optimalt i samma relativa proportioner. ) Då investerarna håller optimala portföljer justeras tillgångarnas priser så att total efterfråga för tillgångarna är samma som dess utbud. Idén bakom CAPM är att marknaden belönar investerare för att bära risk. Däremot belönas inte investeraren för den extra risk som uppstår då investeraren placerar i en ineffektiv portfölj. Investeraren eliminerar därför den risken genom att placera i den effektivaste portföljen. Då investerarna placerar optimalt i samma relativa proportioner reflekteras dessa proportioner i tillgångarnas marknadsvärde. Detta innebär att bolagets börsvärdes andel av det totala börsvärdet avgör vikten. Metoden att passivt förvalta aktieportföljer är ett praktiskt sätt att förse sig med en väldiversifierad portfölj till låga avgifter. Samtidigt utgör det ett viktigt index som andra aktivt förvaltade portföljer kan mäta sig mot. Zvi, Bodie och Merton, Robert C (000): Finace, sid. 344

12 .3 Lower Partial Moment.3. Under de tidigare åren Ungefär tre månader efter det att Markowitz publicerade sin artikel inom portföljvalsteorin gavs ytterliggare en artikel ut på området av Roy (95). Markowitz hade noterat att en investerare bör vara intresserad av en tillgångs risk lika väl som dess avkastning. Denna relation mellan risk och avkastning var inte helt obekant för Roy. I hans artikel var syftet att utveckla en metod för att bestämma den bästa trade-off mellan risk och avkastning. Han trodde emellertid inte att en matematisk nyttofunktion kunde erhållas för en investerare. Roy framlade att en investerare föredrar safety of principal first och kommer då att vilja sätta en lägsta acceptabel nivå för sin avkastning. Han kallade denna lägsta acceptabla nivå för the disaster level och resultatet av detta blev Roy Safety first technique. Roy antog att en investerare kommer att föredra en investering som har den lägsta sannolikheten för att falla under denna disaster level, eller target return som den även kallas. Genom att investeraren maximerar en reward to variability ratio, (r-d)/s, så kommer den portfölj som minimerar sannolikheten att falla under the disaster level, d, givet dess förväntade avkastning, r, och portföljens standardavvikelse, s, vara den mest optimala. Roys koncept med att en investerare föredrar safety of principal first när risk hanteras är ett instrument i utvecklingen av downside risk. The reward to variability ratio tillåter en investerare att minimera sannolikheten för att en portföljs avkastning ska falla under en disaster level. Markowitz (959) noterade vikten av dessa idéer. Han insåg att det fanns två anledningar till att en investerare är intresserad av att minimera downside risken: () Enbart downside risk eller safety first är relevant för en investerare och () tillgångars fördelningsfunktion behöver inte vara normalfördelad. Därför bör downside risk måttet ge rätt beslut vid konfrontation med icke normalfördelade aktieavkastningar. Markowitz visade även att när avkastningarna är normalfördelade så ger både downside risk och varians ett korrekt svar. Men då fördelningen inte är normalfördelad ger downside risk bara det rätta svaret.

13 Markowitz presenterade två förslag för att mäta downside risk: semivarians beräknad med förväntad avkastning, below-mean semivariance (sv m ), och semivarians beräknad med en target rate, below-target semivariance (sv t ). Dessa semivarianser definierades enligt följande: n sv m = Max[0, (m - R k )] (4) n k= n sv t = Max[0, (t - R k )] (5) n k= Där R k är tillgångens avkastning under perioden k, n är antalet observationer, m är förväntad avkastning och t är target rate. 3 Dessa två mått beräknar då en varians som enbart baseras på avkastningar under en medelavkastning eller en target rate. Detta kallade Markowitz för partial- eller semi-varians, just för att de enbart använder sig av en del av den totala avkastningen. Dock stannade Markowitz vid variansmåttet för att det var betydligt enklare att beräkna. Att optimera portföljer med semivarians som använder sig utav co-semivarians kräver dubbelt så mycket indata. Forskningen på området fortsatte dock. På 960-talet visade Quirk och Saposnik att semivarians hade en teoretisk förträfflighet gentemot varians. Mao (970) lade fram starka argument för att det bara är downside risk som är intressant för investerare och att semivarians borde användas. Meningarna delade sig här om vilken semivarians som skulle användas, below-mean eller below-target. En del forskare menade på att below-mean semivarians är det enda rätta semivariansmåttet. Samtidigt fann vissa forskare att below-mean semivarians även var väl till användning för att testa fördelningars skevhet. Under 60-talet gick forskare på området även vidare med att använda Roy s reward to variability ratio (R/V). Denna kvot visade sig vara användbar vid utvärdering av portföljers effektivitet. 966 presenterade Sharpe sin kvot. Denna var lik Roys men d byttes ut till att vara en riskfri ränta istället för att vara en disaster level. Denna kvot är den vi idag känner till 3 Maximeringsfunktionen, Max[ ], indikerar att funktionen kvadrerar det största utav värdena 0 eller (m R k ), respektive 0 eller (t R k ). 3

14 som Sharpe-kvoten. Men faktum är att även Sharpe vidhöll att namnet på kvoten kanske var något felaktig eftersom det inte var han som utvecklade R/V-kvoten Den modernare eran av downside risk Genom studier på portföljvalsteorin av Klemkosky (973), Ang och Chua (979) föreslogs en reward to semivariability (R/SV) kvot. 5 De menade att R/SV-kvoten var ett bättre alternativ gentemot Sharpekvoten som bygger på normalfördelade avkastningar, vilket ifrågasattes. Andra namn i denna utveckling är Hogan och Warren (97) som utvecklade algoritmer för att optimera expected return (E) below-target semivariance (S) effektiva portföljer, så kallat ES-kriteriet. Ur Klemkoskys artikel föddes Burr Porters intresse för semivarians (sv m ). Han utvecklade sedermera tillsammans med Wart och Ferguson (973) algoritmer för analys av stokastisk dominans. Stokastisk dominans var ett kraftfullt verktyg i portföljvalsanalysen. Detta konverterade sannolikhetsfunktioner för tillgångars avkastningar till fördelningsfunktioner. Sedan kunde man med hjälp av viss analys bestämma ifall en investering var bättre än en annan. Fördelen med verktyget var att det fungerade för alla sannolikhetsfördelningar och det inkluderade alla möjliga nyttofunktioner. Nackdelen var bara det att någon algoritm för att optimera en stokastisk dominans effektiv portfölj inte kunde utvecklas. Några år senare visade dock Bey (979) att man kunde använda en E-SV t (Expected return Below-target semivariance) algoritm som en approximation för en andra gradens stokastisk dominans effektiv portfölj. 6 4 David Nawrocki (999): A brief history of downside risk measures 5 Notera att kvoten är return to below-target semideviation ratio, dvs. kvadratroten ur semivariansen. 6 David Nawrocki (999): A brief history of downside risk measures 4

15 .3.3 Lower Partial Moment uppstår I utvecklingen av downside risk måtten, bl.a. semivarians, utvecklade Fishburn (977) ett riskmått kallat n:te gradens Lower Partial Moment (LPM). Där graden n kan matchas till en specifik investerares nyttonivå, där högre n implicerar en högre grad av riskaversion. 7 Fishburn visade även att värdet på n inkluderar alla typer av investerares beteende. Steget i utvecklingen från semivarians till LPM förklarar David Nawrocki i sin artikel A Brief History of Downside Risk Measures genom följande: Att gå ifrån semivarians till LPM är likt steget mellan att gå från en ljudlös svart-vit film till en film i färg och i widescreen med digitalt surroundljud. LPM måttet är frigjort ifrån begränsningen att investerare bara har en sorts nyttofunktion, vilket i sig inte spelar någon roll om en investerares nyttofunktion bäst kan beskrivas med en kvadratisk ekvation (varians och semivarians). LPM representerar ett stort antal av de kända Von Neumann-Morgensterns nyttofunktioner. Detta innebär att metoden inte bara representerar riskaversa investerare, utan kan även användas till investerare som är riskneutrala och risklovers. Bawa (975) publicerade ett inflytelserikt arbete på LPM som fastställde relationen mellan LPM och stokastisk dominans. Detta bevisade han också 8, vilket även Fishburn (977) 9 gjorde för graderna (n) 0, och. Där n=0 representerar en investerare som är risklover, n= en som är riskneutral och n= en riskavers investerare. Bawa var även den första som definierade LPM som en generell familj av below-target riskmåtten, där en av dem är belowtarget semivarians. 0 Bawa och Fishburn definierade en kontinuerlig n:te gradens LPM enligt : h LPM(h, F) = (h - R) df(r) (6) - 7 David Nawrocki (99): The characteristics of portfolios selected by n-degree lower partial moment 8 David Nawrocki (999): A brief history of downside risk measures 9 David Nawrocki (99): The characteristics of portfolios selected by n-degree lower partial moment 0 David Nawrocki (999): A brief history of downside risk measures David Nawrocki (99): The characteristics of portfolios selected by n-degree lower partial moment 5

16 där h representerar target rate och R tillgångens avkastning. Detta ger följande formel för beräkning av n:te gradens LPM för tillgången i: LPM in m n = [Max{0,(h - R it )}] (7) m t= där m är antalet observationer, n är graden av LPM och R it är periodens avkastning under perioden t. Det ska även noteras att det är viktigt att target rate, h, hålls konstant genom alla LPM beräkningarna. Om inte så omöjliggör det att genom LPM jämföra olika investeringar. Genom att använda below target return mäts mängden negativ skevhet i en fördelning. Medan investerare föredrar positiv skevhet och ogillar negativ skevhet blir LPM ett mått på risk. Så högre LPM innebär att den negativa skevheten är större och därmed är även tillgångens risk större. Då graden n ökar i LPM förblir den negativa skevheten densamma, men LPM lägger då tyngre börda på den negativa skevheten..3.4 Den senare utvecklingen Downside risk måtten började att figurera i den praktiska litteraturen runt 990. Några namn i denna utveckling är Frank Sortino och Brian Rom, dessa två har främst arbetat med belowtarget semivarians och reward to semivariability (R/SV t ) kvoten. Sortino och van der Meer (99) använde downside deviation (below-target semideviation) och R/SV t kvoten som viktiga verktyg för att fånga det väsentligaste i downside risk. Sortino och Price fortsatte senare utvecklingen av verktyg för att mäta metodernas effektivitet (994). Tillsammans med Forsey (996) bidrog de med verktyg för skattning av below target semivarians. Men även viss kritik mot riskmåttet dök upp bland leden. Rom och Ferguson (993) publicerade en artikel i Journal of Investing där de startade en viss tvist mot downside risk måtten. Detta följdes dock sedan upp av ett försvar av måtten (994) av de två som senare publicerade artiklar där de summerade användandet av downside risk för mätning av prestanda (Rom och Ferguson, ). Andra namn i utvecklingen är bland annat Balzer David Nawrocki (99): The characteristics of portfolios selected by n-degree lower partial moment 6

17 och Merriken. Merriken (994) visade hur semivarians kan användas för skattning av downside risk av olika hedgingstrategier med användande av aktieoptioner och ränteswapar. 3 En annan aspekt i denna utveckling är att det i litteraturen om downside risk (bla LPM) nämns att det hanterar skevheten bättre i aktieavkastningarnas icke-normalfördelade fördelningar. Samtidigt behövs riskmåttet för att det bättre motsvarar hur investerare uppför sig i investeringssituationer. 4 Adams och Montesi (995) fann i sina studier att investerare ofta är mer bekymrade över en downside risk. Earlier, Pretty och Scott hade redan antytt några år tidigare (98) att många företag identifierade risk som sannolikheten att falla under en target return. 5.4 Value-at-Risk.4. Modellens bakgrund Ett annat riskmått bland downside risk är Value-at-Risk (VaR). Detta framställs som att vara ett ganska nytt riskmått i en del av den finansiella litteraturen. Men faktum är att detta uppkom redan för fyra decennier sedan utav Baumol (963) i hans arbete med modeller som kallades expected gain-confidence limit criterion. Idén med dessa modeller baseras på safety first modeller vilket Roy och flertalet andra utvecklade under 950-talet. 6 Value-at-Risk som riskmått är ett enkelt, sammanfattande, statistiskt mått för en portföljs möjliga förlust. 7 3 David Nawrocki (999): A brief history of downside risk measures 4 David Nawrocki (999): The case for the relevancy of downside risk measures 5 Riza Demirer, Donald Lien (00): Downside Risk for Short and Long Hedgers 6 Gordon J. Alexander, Alexandre M. Babtista (00): Economic implication of using a mean-var model for portfolio selection: A comparsion with mean-variance analysis 7 J. Linsmeir, Neil D. Pearson (000): Risk Measurement: An Introduction to Value at Risk 7

18 Definitionen av VaR ges genom: VaR = Wq(c, p) (8) där W är mängden förmögenhet och q(c, p) ges utav motsvarande fraktil till sannolikheten (-c) av händelse till förlust, vilket kan avläsas ur fördelningsfunktionen för tillgångens avkastningar 8. Dock finns ett antal metoder för att hantera q(c, p). Dessa är bland annat Historisk Simulering, Analytiska Metoder och Monte Carlo Simulering. Historisk Simulering bygger på att konstruera sannolikhetsfunktioner efter tillgångens historiska fördelning. Den Analytiska Metoden, eller Varians-covarians metoden som den också kan kallas, bygger på att kända fördelningar används; såsom normalfördelningen eller exempelvis en t-fördelning. Det sistnämnda alternativet, Monte Carlo Simulering, bygger på att ett antal slumpmässiga simuleringar görs för att skapa potentiella sannolikhetsfördelningar för tillgångens avkastningar. Dessa simuleringar körs ofta i ett stort antal, från ett 000 tal till ibland över stycken. Vilken metod utav dessa som är mest fördelaktigast beror till stor del av vilken typ av tillgångar som hanteras. Metoderna som bygger på simuleringar kan bättre fånga upp och mäta risker då tillgångar som olika typer av derivat hanteras. Medan en varians-kovarians metod nästan enbart fungerar bra då aktier hålls i portföljen. 9 I studier av Duffie och Pan (997) där de mätte daglig VaR på det amerikanska S&P 500 indexet för åren visades att antagande av en normalfördelning fungerade väl som en approximation för en historisk fördelning. De visade även att då väldiversifierade portföljer hålls så blir fördelningarnas svansar mindre relevant än då enstaka tillgångar hålls. 30 Detta sätt att mäta potentiell downside risk i termer av nominell förlust kan vara ett mycket mer passande sätt att mäta risk. I mean-variance modellen definieras risk i termer av en standardavvikelse, eller som det också kan uttryckas; den möjliga variationen av tillgångens 8 Rachel Campbell, Ronald Huisman, Kees Koedijk (00): Optimal portfolio selection in a Value-at-Risk framework 9 Thomas J. Linsmeir, Neil D. Pearson (000): Risk Measurement: An Introduction to Value at Risk 30 Gordon J. Alexander, Alexandre M. Babtista (00): Economic implication of using a mean-var model for portfolio selection: A comparsion with mean-variance analysis 8

19 förväntade avkastning. Att fokusera på standardavvikelsen som ett lämpligt riskmått implicerar att investerare viktar sannolikheten av negativa och positiva avkastningar lika. Men faktum är att det har visat sig vid flertalet tillfälle att avkastningar för finansiella instrument är icke-normalfördelade och resultat visar att investerare ofta behandlar vinster och förluster asymmetriskt. 3 Fördelen då med VaR enligt modellen är att den bland annat tillåter andra fördelningar än bara en normalfördelning och att det fokuseras på de negativa avkastningarna. Det vill säga metoden är mer i linje med investerarens verkliga dilemma gällande risk..4. Riskmåttets användbarhet VaR används som sagt till att mäta den risk som exponeras i termer av den potentiella möjliga förlusten. Metoden är användbar för alla slags tillgångar, från exempelvis aktier, räntebärande tillgångar till olika typer av derivat och vid hedging strategier. Just vid hedgingstrategier där investerare kalkylerar med negativa värden på en target return kan VaR bli likt en noll:te gradens LPM och där en första gradens LPM relateras till conditional VaR. 3 Value-at-Risk konceptet började att användas på en bredare front av de större finansiella institutionerna under den senare delen av 980-talet. Idag används det av flertalet investerare, från de mindre till de större institutionella investerarna. Även regleringsverk har intresserat sig för VaR som riskmått. I april 995 tillät Basle Committee on Banking Supervision banker att beräkna sitt kapitalbehov för marknadsrisker med olika VaR modeller. 33 Det rekommenderade idag är dock ett 99 procentigt VaR för en tiodagars period. 34 Under juni 995 tillät amerikanska Federal Reserve banker att använda VaR modeller för sitt kapitals riskexponering. I december samma år kommenterade amerikanska Securities and Exchange Commission att VaR är ett av tre möjliga användbara mått för att mäta marknadsrisker. 3 Rachel Campbell, Ronald Huisman, Kees Koedijk (00): Optimal portfolio selection in a Value-at-Risk framework 3 Riza Demirer, Donald Lien (00): Downside Risk for Short and Long Hedgers 33 J. Linsmeir, Neil D. Pearson (000): Risk Measurement: An Introduction to Value at Risk 34 Rachel Campbell, Ronald Huisman, Kees Koedijk (00): Optimal portfolio selection in a Value-at-Risk framework 9

20 996 kom Europeiska Unionens Capital Adequacy direktiv i verkan, vilket tillät VaR modeller att användas för att beräkna kapitalbehoven vid positioner i utländsk valuta. Det har även arbetats med att tillåta VaR för beräkning av kapitalbehoven vid exponering av andra marknadsrisker J. Linsmeir, Neil D. Pearson, (000): Risk Measurement: An Introduction to Value at Risk 0

21 3. Metod och material 3. Data och metoder Vår mätperiod omfattar data för var tionde börsdag (bi-weekly) från januari 996 till december 00 (5 år), totalt omfattar detta 50 observationer. 36 Detta ger i sin tur 49 optimeringar för varje strategi. För samtliga skattningar används 4 observationer baserat på historiska data. Som riskfri ränta används en 30-dagars statsskuldsväxel. Måttet för portföljernas effektivitet definierar vi som en Sharpekvot, se ekvation (3). Det vill säga effektiviteten är definierad som riskpremien per enhet standardavvikelse för portföljen. Portföljernas aktieinnehåll är i strikt mening samma aktier som för OMX vid varje optimeringstillfälle. Detta betyder att ursprungliga aktieslag inte hålls konstanta över hela mätperioden, utan justeringar har gjorts för de revideringar som skett för OMX, totalt 8 stycken. Till skillnad från OMX som uppdaterar sina vikter dagligen så uppdaterar vi bara våra portföljer var tionde handelsdag. Vidare tar vi hänsyn till utdelningar i aktierna och utdelningsjusterar OMX. Vi har sett att detta inte är speciellt vanligt i andra uppsatser. Men enligt vår mening kan skattningar av risker och avkastningar bli något felaktigt om man bortser från detta faktum. Ofta går aktiekurserna ner då en utdelning förekommer, men med utdelningen pålagd sker kanske inte en nedgång överhuvudtaget. Tag exempelvis Holmen som delade ut hela 69 kronor 00 och föll med cirka 5 procent den dagen utdelningen kom. Med hänsyn till utdelningar blir resultaten annorlunda och mer adekvat för hur det faktiskt ser ut i praktiken. Här kan vi också nämna att utdelningarna har påverkat OMX med ett genomsnitt på,95 procentenheter per år. I en del artiklar approximeras detta med procentenheter per år. Resultaten för portföljernas avkastningar och effektivitet testas sedan med ett signifikanstest, 36 Bland använd data har det förekommit att observationer saknats etc., se appendix A och A för denna hantering.

22 ett z-test då antalet observationer är stort (>30). 37 Dock inleder vi dessa tester med att testa för lika varians i testvariablerna. Detta skulle möjligen kunna anses vara onödigt, men det heter så att testmetoder ska väljas efter förutsättningarna. 3. OMX-index OMX är ett kapitalviktat index som innehåller de 30 mest omsatta aktierna, mätt i svenska kronor. Indexets basdatum är med basvärde 5. Indexet beräknar därefter förändringen i det totala börsvärde av alla ingående aktier med hänsyn till de andelar aktierna har i indexet. Revidering av OMX sker varje halvår så att nya aktier kan tillkomma och andra falla bort. Aktiernas vikter uppdateras varje handelsdag klockan 08:00. Det vill säga vikterna baseras på föregående handelsdags slutkurser Portföljoptimering med Mean-Variance Med de gällande restriktionerna är den optimala portföljen med mean-variance preferenser tangentportföljen. Den får vi genom att maximera Sharpekvoten med avseende på portföljvikterna. För detta definieras först förväntad avkastning som baseras på den historiska avkastningen. n p ) = x ie(ri ) i= E(r (9) där x i är andel för tillgång i, och E(r i ) är förväntad avkastning för tillgång i. 37 Hogg och Tanis (00): Probability and Statistical Inference,. sid

23 Eftersom vår portfölj består av ett avsevärt antal aktier använder vi oss av den lite lättare metoden matrisberäkning. För matrisberäkning definieras förväntad avkastning enligt följande: T E(rp ) = w p e (0) där w p är en vektor med aktiernas vikter, och e vektor med aktiernas förväntade avkastningar. Portföljens risk definieras som portföljens standardavvikelse. Som de flesta ekonomiska tillgångar tenderar tillgångars avkastningar att öka och minska tillsammans. Detta för att de påverkas av samma underliggande ekonomiska faktorer. Portföljens standardavvikelse bestäms därför av standardavvikelsen för varje tillgång, korrelationen mellan tillgångar och andelen investerat i varje tillgång. Portföljens standardavvikelse kan definieras enligt följande: s(r n n n p ) = x i s i x ix js is j? ij + i= i= j j = i () där x i är andel för tillgång i och σ i är standardavvikelsen för tillgång i. ρ ij är korrelationen mellan avkastningarna för tillgång i och j. Även för portföljens standardavvikelse använder vi oss av matrisberäkningar. Portföljens standardavvikelse definieras enligt följande: T p (w p Vw p ) s = () där w p är en vektor med aktiernas vikter och V är en varians-kovariansmatris av tillgångarnas avkastningar. Ju högre korrelation mellan tillgångarnas avkastningar, desto högre standardavvikelse för portföljen. Vore denna korrelation perfekt skulle portföljrisken inte påverkas av diversifiering. Medan om de är okorrelerade skulle diversifiering kunna eliminera portföljrisken totalt. Men det naturliga är att korrelationen inte är samma för alla tillgångar. Generellt förväntas korrelationen för en tillgång vara högre med tillgångar från samma 3

24 bransch. Därför kan diversifiering bara reducera portföljrisken och inte eliminera den. Det är därför viktigt att undvika tillgångar som har hög korrelation vid reducering av portföljens risk. 39 Således kan vi definiera om Sharpekvoten från ekvation (3) enligt följande: T w p e - rf Sharpe = (3) (w Vw ) T p p Denna Sharpekvot maximeras med avseende på portföljens andelar vid varje optimeringstillfälle. Det vill säga: T w p e - rf max Sharpe = (4) (w Vw ) T p p givet X k 0 och X k l= k = (5) där restriktionerna i (5) anger att blankningar inte är tillåtet och att hela förmögenheten skall placeras. 3.4 Portföljoptimering med LPM: För beräkning av n:te gradens LPM för en portfölj, LPM pn, finns ett antal algoritmer att tillgå. Några utav dessa är Symmetrisk LPM Algoritm (SLPM), Asymmetrisk LPM Algoritm (ALPM) 40 och Reward to LPM (R/LPM) 4. Skillnaden mellan dessa beräkningstekniskt sett ligger bland annat i komplexiteten. Vid beräkningar med ett stort antal tillgångar kan en algoritm som SLPM eller R/LPM vara betydligt enklare att använda än ALPM. Dock kan SLPM ge bra skattningar och vid empiriska tester av Elton, Gruber och Urich gavs det att 39 Markowitz, Harry M (959): Efficient diversification of investments, Portfolio Selection, sid David Nawrocki (99): Optimal algorithms and lower partial moment: Ex-post results 4 David Nawrocki (996): Portfolio analysis with a large universe of assets 4

25 SLPM kan ge bättre skattningar än en mer komplex algoritm. 4 Likväl använder vi oss här utav den mer komplexa algoritmen ALPM. Namnet ALPM har uppkommet för olikheten i (3). Graden n sätter vi här till. I beräkningarna utav LPM in och CLPM ij,n- sätts target return, det vill säga h, till att vara den riskfria räntan vid tidpunkten för skattning. Det är som tidigare nämnt viktigt att h hålls konstant genom alla LPM beräkningar, dvs. genom hela skattningsperioden t=l till t=m. Annars går det som tidigare nämnt inte att med LPM göra en korrekt jämförelse mellan olika investeringsalternativ. 43 ALPM ges och beräknas enligt följande: 44 m m LPM = X X CLPM (6) pn i= j= i j ij,n- där CLPM = LPM då i j (7) ij, n- in = CLPM ij, n- CLPM då i j (8) ji,n- där X i och X j är portföljens vikter, fördelning, i respektive tillgång. CLPM ij,n- är Co-Lower Partial Moment mellan tillgången i och j (se ekvation ) och LPM in är enligt definitionen av LPM (vilket även ges i ekvation ). Vid optimering är målet att minimera LPM pn, dvs. m m min z = X X CLPM (9) i= j= i j ij,n- givet X k 0 och X k l= k = (0) 4 David Nawrocki (99): Optimal algorithms and lower partial moment: Ex-post results 43 David Nawrocki (99): The characteristics of portfolios selected by n-degree lower partial moment 44 David Nawrocki (99): Optimal algorithms and lower partial moment: Ex-post results 5

26 Beräkningarna av LPM in för en tillgång och CLPM ij,n- mellan tillgångar görs enligt följande: LPM in m n = [Max{0,(h - R it )}] () m t= CLPM () m n- ij, n- = [Max{0,(h - R it )}] (h - R jt ) m t= Genom minimeringen utav z, ekvation (9), med avseende på X k, vikten i respektive tillgång, maximeras portföljens avkastning samtidigt som risken minimeras. 45 Restriktionerna i (0) ger att blankningar ej är tillåtet och att hela förmögenheten skall placeras. Detta ger oss det resultat i form av allokeringarna i respektive tillgång som ligger till grund för vår portföljs resultat över den kommande perioden. Således ställs vi inför ett likartat optimeringsproblem vid slutet av vår placeringshorisont och nya beräkningar får göras. 3.5 Portföljoptimering med VaR Vid portföljoptimering med value-at-risk åsyftas det likt de tidigare metoderna på att maximera en förväntad avkastning givet en viss risknivå (mean-var). Med mean-var maximeras förväntad avkastning givet en downside risk mätt som portföljens value-at-risk. VaR definieras som den maximala förväntade förlusten för ett investeringsbelopp över en tidsperiod givet en vald konfidensnivå ur tillgångens sannolikhetsfördelning. Detta innebär i vårt fall ett 95-procentigt VaR för en 0-dagarsperiod som ger att den maximala förväntade förlusten för en portfölj under perioden inte överstiger VaR med en sannolikhet på maximalt fem procent. För att beräkna VaR använder vi oss av en analytisk metod där fördelningsfunktionen för tillgångens avkastningar representeras av en t-fördelning med fem frihetsgrader David Nawrocki (99): Optimal algorithms and lower partial moment: Ex-post results 46 Rachel Campbell, Ronald Huisman, Kees Koedijk (00): Optimal portfolio selection in a Value-at-Risk framework 6

27 Dock skulle en normalfördelning kunna fungera väl då vi har att göra med ett flertal tillgångar. 47 Men om större avvikelser föreligger från en normalfördelning underskattas risken då en högre konfidensnivå används. Därför kan det vara felaktigt att anta att avkastningarna är normalfördelade då hög konfidensnivå används. Att använda sig av t-fördelning kan innebära att risken underskattas för låg konfidensnivå och överskattas för hög konfidensnivå. När hög konfidensnivå vid korta tidsperioder används är det därför viktigt att använda en fördelning med en tjockare svans. Det kan då vara passande att använda sig av en t-fördelning med fem frihetsgrader. 48 Portföljoptimeringen i mean-var görs genom funktionen S(p): E(rp ) - rf S(p) = (3) W r - VaR(c, p) 0 f där E(r p ) är förväntad avkastning för portföljen, r f en riskfri ränta, W 0 är initial förmögenhet och VaR(c, p) är portföljens VaR för perioden vid konfidensnivån c (här 95%). Detta VaR(c, p) uttrycktes vid definitionen (se ekvation 8) som: Wq(c, p) (4) men där detta kan för beräkningstekniskt sätt uttryckas som 49 : W C (5) s 0 p a där s p är portföljens standardavvikelse och C a är vår konfidensnivå. 47 J. Linsmeir, Neil D. Pearson (000): Risk Measurement: An Introduction to Value at Risk 48 Rachel Campbell, Ronald Huisman, Kees Koedijk (00): Optimal portfolio selection in a Value-at-Risk framework 49 John C. Hull. Options (000): Futures & Other Derivatives, sid

28 Vid optimering av S(p), ekvation 3, är W 0 i nämnaren bara en skalär som skalar om S(p), dvs den påverkar inte allokeringen vid optimeringen. Detta gör att S(p) beräkningstekniskt sätt anges som: E(rp ) - rf S(p) = (6) r - s f p C α där optimeringen av kvoten ges via en maximering med avseende på portföljens andelar, dvs: E(rp ) - rf max S(p) = (7) p r - s f p C α givet X k 0 och X k l= k = (8) Genom maximeringen av ekvation 7 med avseende på X k, vikten i respektive aktie, maximeras portföljens avkastning givet en viss nivå på VaR. Restriktionerna i ekvation 8 ger likt våra andra valda metoder att blankningar ej är tillåtna och att hela förmögenheten skall placeras. Således ger optimeringens valda vikter, X k, den allokering som ligger till grund för vårt kommande resultat över perioden. Det kan även noteras att under antagandet av en normalfördelning och en riskfri ränta som är lika med noll, eller ~ 0, sammanfaller S(p) till att vara en multipel av Sharp-indexet. Under dessa omständigheter uttrycks VaR till att vara en multipel av portföljens standardavvikelse. Detta leder till att samma optimala portfölj väljs som under mean-variance preferenser Rachel Campbell, Ronald Huisman, Kees Koedijk (00): Optimal portfolio selection in a Value-at-Risk Framework 8

29 4. Resultat och Analys 4. Empiriska Resultat I tabell 4 och 5 (Bilagor och Appendix) presenteras mätperiodens resultat för huruvida portföljernas avkastningar och Sharpekvoter för respektive metod kan anses vara signifikant större än för OMX. I tabellerna återges även testresultaten för samtliga portföljvalsmetoder sinsemellan. Tabell ger den deskriptiva statistiken som ligger till grund för testerna. Tabellen ger också deskriptiv statistik för metodernas antal valda aktier i portföljen, vid varje optimeringstillfälle för respektive metod. Tabell och 3 innehåller resultaten vid Levenes test för lika varians mellan variablerna som används i testerna, då för att ange testmetoderna i senare z-test. På en femprocentig signifikansnivå kan vi inte påvisa att någon av våra valda metoder har en högre avkastningen än OMX (tabell 4). Vi kan heller inte påvisa att någon av våra modeller genererar högre avkastningen än en annan. Hypoteserna om att någon metods Sharpekvot är lika mot Sharpekvoten för OMX, mot att de är större, kan heller inte förkastas på en femprocentig signifikansnivå (tabell 5). Vi kan dessutom inte med en femprocentig signifikansnivå påvisa att någon metod har en högre Sharpekvot än en annan metod. 4. Analys av resultat och slutsatser Utifrån våra tester drar vi slutsatsen att det inte går att generera en högre avkastning med en mean-variance, mean-lpm eller en mean-var strategi än med det kapitalviktade indexet OMX. Vi kan på grundval av våra resultat också dra slutsatsen att någon av våra valda portföljvalsstrategier inte är en effektivare placering än det kapitalviktade alternativet OMX. Därmed lönar det sig inte att genomföra en strategi likt mean-variance, mean-lpm eller mean-var, utan det kan i princip fungera lika väl med att använda den passiva metoden att placera efter det kapitalviktade indexet. 9

30 Vi kan heller inte påvisa att någon av våra investeringsstrategier är bättre än någon av de andra strategierna i termer av högre avkastning och bättre effektivitet. Det vill säga att en mean-variance strategi är varken sämre eller bättre än en mean-var strategi etc. Eftersom vi har uteslutet transaktionskostnader och skatter i våra beräkningar kan vi bara dra slutsatser om bruttoeffekten. Slutsatser om nettoeffekten då hänsyn till transaktionskostnader och skatter förblir här obesvarat. Att ta hänsyn till en effekt som transaktionskostnader kan vara problematisk då den är beroende av flertalet faktorer. Exempelvis varierar transaktionskostnader för olika typer av investerare och för placeringarnas omfattning. En strategi som kapitalviktat OMX kräver att uppdateringar görs i portföljen i princip varje börsdag. Medan på våra valda metoder görs omplaceringar först efter att tio börsdagar gått. Samtidigt har vi för en mean-variance strategi haft ett genomsnittligt antal aktier per portfölj på 7,6 stycken (tabell i bilagor). För en mean-var och mean-lpm strategi har detta legat på 6,3 respektive,7 stycken (tabell ). Detta kan implicera lägre transaktionskostnader och därmed en högre nettoavkastning. Men även med dessa resultat är vi oförmögna att ge några svar på frågan. Detta visar exempelvis inte om vi har bytt ut hälften av vår tidigare hållna portfölj vid något placeringstillfälle. 4.3 Några aspekter på våra metoder Ett moment i portföljvalsoptimering som kan ge problem är estimering av parametrar, såsom avkastningar och varianser. Vi har använt oss av 4 historiska observationer för dessa skattningar. Om vi istället använder oss av fler skattningsobservationer kan problemet bli att vi får brottas med långa glidande medelvärden för avkastningar och varianser, som kan resultera i att parametrar skattas felaktigt. Detta skulle dock kunna ersättas med andra metoder som exempelvis EWMA (exponentially weighted moving average) eller GARCH (generalized autoregressive conditional heteroskedasticity). 5 Men samtidigt som färre observationer kan vara bättre i vissa avseende så kan det vara felaktigt att skatta downside risk (LPM) med så få observationer som 4 stycken. 5 5 John C. Hull. Options (000): Futures & Other Derivatives, sid Frank Sortino & Hal Forsey (996): On the use and misuse of downside risk 30

31 Under LPM har vi använt oss av en ALPM algoritm, där andra val av algoritmer kanske gett oss andra resultat. En annan detalj värd att titta närmare på är fördelningarna som används under VaR. Vi har använt oss av en analytisk metod med kända fördelningar, det kanske genereras bättre skattningar med historiska fördelningar (historisk simulation). Problemet är bara att denna metoden kräver långt mycket mer skattningsdata. Likväl är en t-fördelning kanske inte en dålig approximation av tillgångarnas avkastningar. Shaun A Bond och Kanak Patel (00) kunde i sin artikel visa resultat där en student-t eller en skev student-t fördelning accepterades i 8 fall utav 0 på en femprocentig signifikansnivå. (studien omfattande 0 börsnoterade bolag i Storbritannien, månadsdata över 30 år). 53 Ett annat problem i VaR strategin är att när två mean-variance effektiva portföljer jämförs kan den portfölj med den högre variansen ha en lägre VaR. Detta ger att en portfölj som globalt minimerar VaR kanske inte existerar. En given riskavers investerare kan hamna med portföljer med högre standardavvikelse om denne byter riskmåttet varians mot VaR. Därför bör investerare vara medvetna om att VaR inte nödvändigtvis behöver vara ett bättre verktyg för att mäta risker. 54 Vi kanske även skulle fått andra resultat om portföljernas effektivitetsmått byts ut. Vi har definierat effektivitet via en Sharpekvot, andra mått är exempelvis R/SV. Våra metoder bygger vidare på en andra gradens LPM och ett tiodagars 95-procentigt VaR. Denna nivå på LPM är förenlig med riskpreferenser som motsvarar en riskavers investerare. Samtidigt antas en riskavers investerare för mean-variance strategin. En aspekt i detta är hur valet av investeringar och därmed dess resultat hade blivit om vi exempelvis antaget en första gradens LPM eller ett 90-procentigt VaR, det vill säga att andra riskpreferenser antagits. Ett problem vid optimering av portföljer med Excel är modellernas komplexitet. Med Excel (med en standardversion av solvern) som vi använt kan det bli problem att hitta optima som 53 Shaun A Bond & Kanak Patel (00): The Conditional Distribution of Real Estate Returns: Relating time variation in higher moments to downside risk measurement 54 Gordon Alexander & Alexandre Baptista (00): Economic implication of using a mean-var model for portfolio selection: A comparsion with mean-variance analysis 3

32 globalt optimerar portföljen. Dock är det inte sagt att problemet alltid uttrycker sig, utan bara att risken föreligger. Detta har vi försökt förhindra genom att testa ut våra lösningar ett flertal gånger, dvs. testat ifall lösningarna inte bara varit ett lokalt optimum. Trots detta kan optimala lösningar vara svåra att finna. Lösningarna skiljer sig kanske marginellt i termer av avkastning och risk, men kan skilja sig något mer om vi tittar på det antal aktier som ingått i portföljerna. Därmed ska det kanske inte dras några slutsatser om exempelvis hur många aktier som en mean-var eller en mean-lpm strategi valt minimalt respektive maximalt. En lösning på optimeringsproblemet skulle kunna vara att den senare versionen av solvern, Premium Solver, används. Detta program har utvecklade funktioner för lösning av icke-linjära ekvationer. Ett annat alternativ är att överge Excel och försöka med kraftfullare programpaket, exempelvis Matlab och Mathematica Övriga aspekter Även om det finns en hel del att modellera med i de olika metoderna så kan man ifrågasätta värdet av att optimera med dessa strategier, än att placera likt OMX. Fast att vi inte kan påvisa ett bättre resultat med våra optimeringsmodeller kan vi inte uttala oss om resultatet i termer av nettoeffekter. Det vill säga att vi inte kan uttala oss om vad det faktiska resultatet är i praktiken. Men det finns tidigare studier som visar att en mean-variance strategi är effektivare än ett kapitalviktat index. Under 990-talet testade Paul Haugen effektiviteten av det mest omfattande kapitalviktade indexet, det amerikanska Wilshare 5000, mellan 97 och 989 (kvartalsdata). Resultatet visade på att en mean-variance optimerad portfölj med en högre eller en lika avkastning hade en signifikant lägre volatilitet än det kapitalviktade indexet, dvs. mean-variance strategin var här effektivare. 55 I studier av David N. Nawrocki på strategierna LPM och mean-variance (976 till 986, månadsdata) gavs resultat som visade på att en LPM strategi är effektivare än en meanvariance strategi. I denna studie definierades effektiviteten med en R/SV-kvot Haugen, Robert A (997): Modern investment theory, sid David Nawrocki (99): The characteristics of portfolios selected by n-degree lower partial moment 3