Matematikens historia Joel Eliasson

Transkript

1 Matematikens historia Joel Eliasson

2 Elektroniska kalkylatorer 1954 presenterade IBM en stor transistorkalkylator och 1957 släpptes den första kommersiella kalkylatorn IBM 608. Samma år (1957) släpps ytterligare en helt elektrisk kalkylator i Japan av företaget Casio. Denna modell kallades Modell 14-A 1961 kommer en lite mindre variant som kallades för ANITA vilket var en förkortning av A New Inspiration To Arithmetic/Accounting. Denna blev mycket populär eftersom den var tyst och snabb.

3 Elektroniska kalkylatorer Efter ANITA följer en rad av liknande kalkylatorer men 1965 kommer en kalkylator vid namn Olivetti Programma 101. Det som var speciellt med den var att det var möjligt att programmera den vilket var något som inte varit möjligt tidigare. Den kunde läsa och skriva magnetiska kort och presentera resultat på en pappersremsa. Den fick också priser för sin design. Den första handkalkylatorn utvecklades av Texas instruments. Den gavs ut 1967 och utskriften var på en pappersremsa.

4 Elektroniska kalkylatorer I slutet på 60-talet utvecklades elektroniken då det gäller kalkylatorer genom samarbete mellan företag i Japan och USA var det möjligt att skapa en kalkylator som drog lite ström och som bara innehöll ett fåtal chip. Den första så kallade fickkalkylatorn släpptes i Japan. Kort därefter utvecklas display teknologin. Vacuum Flourescent Display (VFD), Light Emitting Diode (LED) och Liquid Crystal Display (LCD) var olika typer som kom att användas istället för pappersremsor. Dessa miniräknare var väldigt dyra när det kom men efter några år hade priserna sjunkit avsevärt vilket gjorde att en miniräknare inte kostade mer än några dollar vilket gjorde att den blev tillgänglig för alla.

5 Elektroniska kalkylatorer 1985 kommer den första grafritande miniräknaren, Casio FX-7000G 1987 Släpps den första miniräknare som klarar att lösa ekvationer symboliskt. HP-28 Internet har skapat mycket stora möjligheter att göra beräkningar online.

6 Från och med 1949 och framåt har talet pi beräknats med hjälp av kalkylatorer och datorer. Det har skett en kapplöpning i rekordet för antalet korrekta decimaler John W. Wrench, Jr, L. R. Smith 1,120 decimaler 1961 Daniel Shanks, John W. Wrench 100,265 decimaler 1973 Jean Guilloud, Martin Bouyer 1,001,250 decimaler 2004 Yasumasa Kanada & Team 1,351,100,000,000 decimaler

7 Felrättande koder En av de första felrättande koderna kallas för Hammingkoden och har fått sitt namn från matematikern Richard W Hamming. Hamming verkade i USA och arbetade under 1950-talet åt Bell Telephone Laboratories. Det han arbetade med var att förbättra överföringen av telefonsamtal i brusiga ledningar. Koden går ut på att varje ord skrivs om i form av ettor och nollor av en kortare bestämd längd enligt en tabell. Sedan kodas dessa ettor och nollor om med koder som är längre än den ursprungliga enligt tabellen till vänster. Informationen tar längre tid att överföra men minskar risken för att mottagaren ska få ett felaktigt meddelande.

8 Felrättande koder Om vi skulle sända ett meddelande med hjälp av Hammingkoden så kan det se ut på följande sätt. JOEL Skrivs om Vilket kodas som Under sändningen påverkar en störning koden Datorn väljer den kod som är mest lik och vi får Översätts Skrivs om JOEL

9 Reed-Solomons felkorrigering En annan mer avancerad kod kom 10 år senare än Hammingkoden, denna kod kallas för Reed-Solomons felkorrigering och det är denna kod som fortfarande används i digitala medier som CD, DVD, Blue-ray m.m. Koden gör det möjligt att rätta till fel som uppkommit på grund av att skivan blivit repig, fingeravtryck m.m. Att detta är möjligt skulle enkelt kunna beskrivas som att koden lägger in mer information än nödvändigt då data sparas på sitt lagringsmedia vilket gör det möjligt att återskapa korrupt data med hjälp av övrig information. Denna kod skapades 1960 av Irving S. Reed och Gustave Solomon. D.v.s. långt före de lagringsmedier jag varit inne på.

10 Kryptering I dagens samhälle där stora mängder information skickas mellan datorer är det i vissa fall viktigt att den information som skickas hålls hemlig. Framförallt då det gäller överföringar av pengar mellan olika konton och inom det militära. I krypteringen ingår två steg. 1. Sändaren kodar sitt budskap 2. Mottagaren tolkar koden I slutet av 1970-talet kom ett sätt att kryptera vilket uppfanns av tre amerikanska matematiker vid namn Ted Rivest, Adi Shamir och Leonard Adleman. Denna typ av kryptering kallas för RSA systemet. Detta system bygger på att det är svårt att faktorisera ett mycket stort tal. Ett tal som är runt 150 siffror långt är omöjliga att faktorisera även för dagens datorer.

11 Kryptering Systemet utgår från två hemliga stora primtal som kan bestå av runt 100 siffror. Dessa tal multipliceras och ger då ett mycket stort tal på runt 200 siffror. Detta tal används sedan för att koda meddelandet vilket kan göras på olika sätt. Detta sätt att kryptera är säkert idag men det är inget som säger att det inte kommer vara möjligt att faktorisera så stora tal i framtiden. Talteori och datorer är något som utvecklas hela tiden.

12 Edward Norton Lorenz Lorenz var en amerikansk matematiker och meteorolog som under 50 talet ställde sig skeptisk till de linjära statistiska modeller som användes i meteorologi. Han skalade av onödiga detaljer i ekvationerna till något han kallade för ett minimalt ekvationssystem. Det som var kvar i ekvationen var det ickelinjära som han ansåg fångade atmosfärens väsentliga drag. Han lade märke till känsligheten då det gäller de värden som stoppas in i ekvationen. En tusendel ger större och större skillnad ju längre tid som går. Eftersom ekvationerna är så känsliga då det gäller begynnelsevärden så går det inte att göra prognoser för en längre period. 14 dagar sägs vara gränsen för hur långt det går att förutsäga hur vädret kommer att bli.

13 Lorenz attraktor Lorenz studerade även andra ekvationer. Bland annat har han gjort beräkningar för transport av värme i vätska eller i gas beter sig då värmen stiger uppåt. Detta kallas för Lorenz attraktor och avbildat med hjälp av en dator ger de tre ekvationerna följande mönster i en tredimensionell rymd.

14 Lorenz attraktor Ekvationernas bana upprepar sig aldrig och skapar ett slags dubbelspiral som liknar en fjärils vingar. Formen kan sägas skapa en oordning eftersom inga punkter återkommer vilket innebär att banar aldrig kommer att skära sig själv utan bildar istället oupphörliga slingor.

15 Charles Antony Richard Hoare Hoare studerade i Oxford och studerade därefter datorprogrammering i Ryssland lämnade han Ryssland, flyttade tillbaka till England och började arbeta för företaget Elliot Brothers. Där arbetade han med en programmeringskod som kallas för ALGOL 60. I ALGOL 60 utvecklade Hoare algoritmer. En algoritm han utvecklade kallas för quicksort vilken var en mycket användbar sorteringsalgoritm. I detta (enkla) exempel arbetar quicksort med ett antal tal. Ett tal väljs (kallas pivåelement). De tal som är lägre än det talet placeras till vänster och de som är högre till höger. Lika stora tal placeras antingen till höger eller vänster. Då denna algoritm arbetat med dessa tal kommer de att vara sorterade i ordningsföljd.

16 Game of life Game of life är ett dataspel som utvecklades så tidigt som Detta skapades av en engelsk matematiker vid namn John Horton Conway. Detta spel är lite speciellt eftersom det enda som den som spelar kan göra är att välja ett utgångsläge. Utifrån det läget vidareutvecklas spelet efter vissa regler. Cellerna i spelet har 2 lägen. På eller av. Reglerna för spelet är följande En cell som har 3 grannar slås på En cell som har <2 och >3 grannar slås av.

17 Penrosemönstret 1974 visar en engelsk matematiker vid namn Roger Penrose ett mönster som inte upprepar sig periodiskt. Han använde sig av två plattor. Dessa plattor är formade av två romber. Förhållandet mellan antalet smala och breda romber är ett irrationellt tal. När man studerade nya material fann man kristaller som kallas för halvkristaller som visade sig ha samma egenskaper som penrosemönstret. Detta var en upptäckt eftersom man tidigare trott att naturen inte kunde skapa ickeperiodiska mönster.

18 Penrosemönstret Roger Penrose är professor vid Oxford universitet och är förutom matematiker även teoretisk fysiker och populärvetenskaplig författare gav han ut boken The road to reality: A complete guide to the laws of the universe.

19 Benoit Mandelbrot Mandelbrot föddes i Polen men flyttade till Frankrike vid tolv års ålder tog han en doktorsexamen i matematik vid universitetet i Paris flyttade han till New York där han började att arbeta för IBM. Han är den första med att använda ordet fraktal vilket han gör Fraktaler är dock något som kom långt tidigare. Nämligen 71år tidigare då Von Koch presenterade Kochkurvan* Framförallt är han känd för en fraktal som kallas för mandelbrotmängden vilket var något han upptäckte då han studerade en fraktal som en annan forskare vid namn Gaston Julia skapat som kallas för Juliamängden. *kontinuerlig kurva som saknar tangent i alla punkter

20 Juliamängden Mandelbrotmängden

21 Fraktaler Fraktaler används bland annat inom datorgrafik upptäcker en matematiker vid namn Michael F Barnsley (USA) och hans forskargrupp de 4 funktioner som behövs för att en dator ska rita upp ett ormbunksblad. Detta innebär att dessa formler kan skickas till en annan dator som sedan kan rita upp den. Detta skapar möjligheter eftersom denna information kräver mycket lite utrymme. Numera finns det fraktalalgoritmer som kan användas för att få fram en bilds matematiska formler för att kunna återskapa bilden på liknande sätt. Exempel på användningsområden Digitala kartor, grafik i spel, film (månlandskapet i Apollo 13), konst

22 Fyrfärgssatsen Fyrfärgssatsen är ett bevis där det sägs räcka med fyra olika färger för att skapa en karta där inga angränsande land har samma färg. Det hade tidigare framkommit ett bevis som visade att detta var möjligt med fem färger. Dock hade det förekommit mycket spekulationer om att det borde vara möjligt att göra detta med hjälp av fyra färger, 1976 bevisades denna sats av Kenneth Appel och Wolfgang Haken vid University of Illinois. Detta gjordes med hjälp av en dator. Det finns även ett senare bevis från 1996 som dock innehåller delar som inte är praktiskt möjliga för en människa att kontrollera. Fyrfärgssatsen var den första stora sats som bevisats med hjälp av en dator. Just att den bevisades med hjälp av en dator gjorde att beviset fått en del kritik.

23 Crafoordpriset Crafoordpriset uppkom efter en donation till den kungliga vetenskapsakademin av Holger och Anna-Greta Crafoord delades detta pris ut för första gången. Priset delas ut till forskare inom matematik, astronomi, geovetenskap, biovetenskap samt ledgångsreumatism. Priset har sedan 1982 delats ut årligen. I år (2009) gick priset till Charles Dinarello (USA), Tadamitsu Kishimoto (Japan), Toshio Hirano (Japan). Motivering för sina pionjärinsatser vid isolering av interleukiner*, samt bestämning av deras egenskaper och betydelse vid uppkomst av inflammatoriska sjukdomar. Dessa tre fick dollar att dela på. *de proteiner som skapas för att förstärka immunförsvaret vid infektioner

24 Crafoordpriset Matematiker som fått Crafoordpriset 1982 Vladimir Arnold Louis Nirenberg för förtjänstfulla insatser inom icke-lineära differentialekvationer 1988 Pierre Deligne Alexander Grothendieck för fundamentala insatser inom algebraisk geometri 1994 Simon Donaldson för fundamentala undersökningar i fyrdimensionell geometri utnyttjandet av instantoner, speciellt hans upptäckt av nya differential-invarianter Shing-Tung Yau för utveckling av icke-lineär teknik i differentialgeometri som lett till lösningen av flera viktiga problem 2001 Alain Connes för hans inträngande arbete inom teorin för operatoralgebror och för att han varit en av grundarna av den icke-kommutativa geometrin 2008 Maxim Kontsevich Edward Witten för deras viktiga insatser inom matematiken inspirerade av modern teoretisk fysik

25 Nevanlinnapriset Detta pris infördes av IMU International Mathematical Union och fick sitt namn efter den då nyligen avlidne Rolf Nevanlinna, rektor vid Helsingfors universitet och president för IMU. Priset är en guldmedalj och en penningsumma i samma klass som Fieldsmedaljen (ca 9500 USD i dagsläget). Priset delas ut vart fjärde år och delas ut till forskare inom datavetenskap. Vinnare av Nevanlinnapriset 1982 Robert Tarjan 1986 Leslie Valiant 1990 A.A. Razborov 1994 Avi Wigderson 1998 Peter W. Shor 2002 Madhu Sudan 2006 Jon Kleinberg

26 Andrew Wiles Andrew Wiles som blivit berömd som den som bevisade Fermat s stora sats började tidigt att studera den och studerade även andra matematikers idéer kring detta. Han studerade speciellt en japansk matematiker vid namn Taniyama-Shimuras idéer som hade kopplats ihop med Fermat av en amerikansk matematiker vid namn Kenneth Ribet. Han ska ha varit sparsam med att nämna att han närmade sig ett bevis på Fermats stora sats och sägs bara ha avslöjat det för den amerikanska matematikern Nicholas Katz som han diskuterade sina tankar med. Beviset för fermats stora sats var komplett i september 1994 efter komplettering av en lucka som tog ett år att reparera.

27 Thomas C. Hales/Keplers förmodan 1611 förmodade Kepler att det bästa sättet att stapla kanonkulor på ett skepp var att antingen stapla dom enligt något som kallas cubic close packing (vänster i bild) eller hexagonal close packing (höger i bild). Han förmodade att det inte fanns något bättre sätt att stapla kanonkulorna. Om vi fyller en låda med kulor utan att tänka på hur vi lägger dom visar experiment att vi får en densitet på ungefär 65%. Staplar vi istället kulorna enligt Keplers modeller får vi i båda fallen en genomsnittlig densitet på d.v.s. ca 74% 1831 kom Gauss en bit på vägen mot ett bevis på detta men det gick inte att bevisa fullständigt inför Hilbert detta som del 3 i Hilberts problem nr 18 där problemet är att hitta det sätt att packa sfärer med högsta möjliga densitet.

28 Thomas C. Hales/Keplers förmodan Hales är en amerikansk matematiker som med datorhjälp förmodligen bevisat Keplers förmodan (Keplers conjecture). Beviset bygger på att han med en dator kontrollerat en stor mängd individuella fall ansåg Hales att beviset var komplett (Innehöll 250 sidor av anteckningar och 3gb data. Efter fyra års granskning rapporterades att beviset mest troligt stämde men att det inte med säkerhet gick att verifiera att beräkningarna i datorn var korrekta. Vilket innebär att det inte kan ses som ett formellt bevis startade Hales ett nytt projekt för att producera ett formellt bevis som är möjligt att kontrollera med hjälp av automated proof-checking mjukvara. Detta projekt kallas för Project FlysPecK. Hales räknar med att det kommer att ta ca. 20år att göra detta.

29 Lotto och kombinatorik Lotto kommer ursprungligen från Tyskland och det första lotteriet ägde rum efter andra världskrigets slut sändes den första livesändna lottodragningen i tysk tv. I Sverige infördes lotto Om vi räknar lite på vilka möjligheter vi har då det gäller att pricka in rätt lottorad. Vi ska alltså välja ut 7 nummer av 35 möjliga. Första gången har vi 35 möjligheter. Andra gången har vi 34 möjligheter. På grund av att det inte spelar någon roll hur vi ordnar våra nummer. D.v.s. om vi väljer exempelvis siffran 4 först och sedan siffran 7 eller om vi omvänt väljer siffran 7 först och sedan siffran 4 innebär det att vi får färre val.

30 Lotto och kombinatorik När vi väljer vår tredje siffra har vi 33 möjligheter och denna siffra kunde ha valts som 1a 2a eller tredje siffra vilket innebär att vi dividerar med 3. Om vi fortsätter på samma sätt tills vi valt våra 7 lottonummer blir det totala antalet möjliga val: Detta innebär att vi bara har 1 chans på att pricka in rätt lottorad. En följd som t.ex. 1*2*3 kan även skrivas som 3! (3-fakultet) Den allmänna formeln för lotto skrivs på följande sätt.

31 E8 E8 är ett matematiskt objekt som 18 matematiker arbetade i fyra år med för att kartlägga. Detta lyckades dessa matematiker med år 2007.

32 Källor Dahl, Kristina (2002) Den fantastiska matematiken Slovenien Einar Engelbrektson Bokproduktion AB, ISBN X Internetkällor