LAPLACETRANSFORMEN OCH LINEÄRA SYSTEM 1

Transkript

1 LAPLACETRANSFORMEN OCH LINEÄRA SYSTEM 1 Kurt Hansson c 29 Kurt Hansson, LiTH/MAI. 2 e-post: kurt.hansson@liu.se

2 ii

3 Innehåll Kursbeskrivning ix 1 Laplacetransformen Definition Konvergensområde Egenskaper Linearitet Translation Laplacetransformen av en derivata Potensfunktionen Begynnelse- och slutvärdessatser Inversa laplacetransformen Derivatan av en laplacetransform En inversionsformel Entydighet Övningar Polynom och differentialekvationer Två exempel Diskontinuerliga högerled Terminologi och beteckningar Allmän teori Karaktäristiskt polynom och baspolynom Homogena differentialekvationer Polynom och lineära avbildningar Två satser om baspolynom Övningar Faltning och lineära system Faltning Egenskaper hos faltningsoperationen Lineära system Stabilitet Laplacetransformen av en faltning Överföringsfunktion Inhomogena differentialekvationer iii

4 iv INNEHÅLL En formel för partikulärlösningar Stabilitet för differentialekvationer Övningar Tillståndsbeskrivning Tillståndsform Differentialekvationer på tillståndsform Ekvationer av godtycklig ordning Överföringsfunktionen Allmänna fallet Ekvivalens Övningar Resolventmatris och exponentialmatris Resolventmatrisens struktur Minimalpolynomet Diagonaliserbara matriser Exponentialmatrisen Räknelagar för exponentialmatrisen Övningar Observerbarhet Inledning Villkor för observerbarhet Observerbarhetsmatrisen Samband med egenvärden och egenvektorer Övningar Styrbarhet och stabilitet Stabilitet Villkor för styrbarhet Styrbarhetsmatrisen Minimal realisation Övningar Normalformer Normalform för ett styrbart system Normalform för ett observerbart system Minimal realisation Andra normalformer Övningar A Lösning till exempel B Slutvärdessatsen 69 C Inversionsformeln 71

5 INNEHÅLL v Svar och anvisningar 75

6 vi INNEHÅLL

7 Förord Anledningen till detta lilla häfte är främst att jag inte hittat någon bok som jag är riktigt nöjd med. Ett annat skäl är att det ger en viss frihet under föreläsandet. När alla detaljer finns i texten behöver jag inte skriva allt på tavlan. Dessutom tyckte jag själv som student att det var lättare att hänga med när jag inte hela tiden måste splittra koncentrationen mellan att lyssna och att anteckna. Skriften bör också, genom sin kortfattade form, vara användbar vid repetition. Efter varje föreläsning finns ett antal uppgifter för förståelse- och färdighetsträning. vii

8 viii PREFACE

9 Kursbeskrivning Matmatikdelen av kursen i återkopplade lineära system består av följande komponenter. Föreläsningar Normalt sju stycken och behandlar innehållet i kapitel 2 8 i detta häfte. Kapitel 1 behandlar laplacetransformens grunder som ni redan mött i tidigare kurser och därför bör kunna läsa på egen hand. Lektioner Är schemalagda i datorsal och är främst avsedda för datorträning med maple. Jourtillfällen Är inte schemalagda utan vi kommer överens om lämpliga tider mot slutet av kursen då jag finns på mitt arbetsrum. Litteratur Det finns många böcker att välja mellan om man önskar en fylligare framställning av laplacetransformen: [1, kapitel 2], [14, kapitel 4] är ett mycket begränsat urval. Hur man använder Maple för att hantera laplacetransformer behandlas i häftet [15] samt i manualen [5]. Lineära system och tillståndsbeskrivning kan man även läsa i [6] och [11] samt [1, kapitel 6]. Boken [7] innehåller en mer avancerad framställning av teorin än vad som ingår i denna kurs. ix

10 x KURSBESKRIVNING

11 Kapitel 1 Laplacetransformen Dynamiska system som uppträder i reglerteori och kretsteori beskrivs ofta med differentialekvationer. När man studerar systemen nära ett jämviktsläge kan dessa ekvationer approximativt betraktas som lineära med konstanta koefficienter, linearisering. Man behöver därför ett verktyg som underlättar arbetet med sådana ekvationer. Laplacetransformen 1 är ett sådant verktyg. Det beror på att lineära differentialekvationer med konstanta koefficienter vid laplacetransformering övergår i vanliga ekvationer utan derivator som därmed kan hanteras med algebraiska metoder och lineär algebra. 1.1 Definition Laplacetransformen är en av flera integraltransformer i matematiken. Den definieras på följande sätt. Definition 1 Om funktionen f (t) är definierad för t och integrabel på varje begränsat intervall t T, så definieras laplacetransformen f (s) av integralen f (s) = e st f (t)dt (1.1) för alla komplexa tal s = q + iω där integralen (1.1) är absolutkonvergent. På grund av definition 1 förutsätts i fortsättningen alla funktioner vara integrabla på begränsade intervall av formen t T. Speciellt omfattas då funktioner som är kontinuerliga för t, men också funktioner som har ett ändligt antal språngdiskontinuiteter i varje begränsat intervall. Bland annat innebär detta att de funktioner vi betraktar är begränsade på intervallen t T. Det är viktigt i tillämpningarna att låta variabeln s vara ett komplext tal och det är därmed naturligt att arbeta med komplexvärda funktioner i teorin för 1 Laplace: Fransk matematiker ( ). 1

12 2 KAPITEL 1. LAPLACETRANSFORMEN laplacetransformen. Variabeln t är dock alltid reell och i tillämpningarna står den ofta för tiden. Exempel 1 Låt f (t) = 1 för t. Då blir laplacetransformen f (s) = e st dt = 1 s (1.2) för alla komplexa tal s med Re s = q > eftersom integralen konvergerar precis då. Vi använder beteckningen 1 L 1, Res > (1.3) s Notera att integralen (1.2) bara konvergerar om Re s >, trots att funktionen 1/s är definierad för alla komplexa tal s. Nästa avsnitt behandlar laplacetransformens konvergensområde mera allmänt Konvergensområde Laplacetransformen f är definierad för komplexa tal s där laplaceintegralen (1.1) är absolutkonvergent. Vi erindrar oss [12, appendix A.7, sid ] att exponentialfunktionen e z då z = x+iy C definieras så att Därmed blir, med s = q+iω, e z = e x+iy = e x e iy = e x (cos y+isiny) e st = e qt (cosωt isinωt) och eftersom e st = e qt cosωt isinωt = e qt cos 2 ωt + sin 2 ωt = e qt ser vi att (1.1) är absolutkonvergent då integralen e qt f (t) dt, q = Res (1.4) konvergerar och att konvergensområdet, om det inte är tomt, alltid är ett halvplan, ty q q medför att e qt f (t) e q t f (t) och konvergens i en punkt s medför därför konvergens i varje punkt s med Res Res = q. Att integralen inte behöver konvergera för något värde på s inser man av exemplet f (t) = e t2. En tumregel är att en funktion som inte växer fortare än e at har laplacetransform. Mera precist definierar vi Definition 2 Funktionen f är exponentiellt begränsad på t om det finns konstanter a och A så att olikheten f (t) Ae at gäller för alla t. För sådana funktioner konvergerar integralen (1.4) för q > a. I de tillämpningar vi möter i denna kurs räcker det att betrakta exponentiellt begränsade funktioner. Speciellt får man

13 1.2. EGENSKAPER 3 Sats 3 Laplacetransformen går mot noll då q = Res går mot oändligheten. Bevis. Om f (t) Ae at och q = Res > a gäller att f (s) = e st f (t)dt e qt f (t) dt e qt Ae at dt = A q a, q 1.2 Egenskaper Man kan uppfatta laplacetransformen som en avbildning L från funktioner f definierade på mängden {t : t } till funktioner f definierade i det komplexa planet Linearitet Lineariteten innebär att L (a f + bg) = al ( f)+bl (g) (1.5) för godtyckliga tal a och b som även får vara komplexa och (1.5) följer direkt ur formeln (1.1). För sambandet mellan f och laplacetransformen f = L ( f) använder vi också skrivsättet f (t) L f (s) Translation Om vi i formeln (1.1) ersätter s med s+a erhålles f (s+a) = e (s+a)t f (t)dt = e st e at f (t)dt Tolkar vi den högra integralen som laplacetransformen av funktionen e at f (t) får vi förskjutningsregeln Sats 4 Om f (t) L f (s) så gäller e at f (t) L f (s+a) (1.6) Observera att konstanten a kan vara ett komplext tal. Exempel 2 Beräkna laplacetransformen av f (t) = sin pt.

14 4 KAPITEL 1. LAPLACETRANSFORMEN Lösning 3 Enligt Eulers formel har vi sin pt = 1 2i och med hjälp av exempel 1 och sats 4 får vi ( e ipt e ipt) e ±ipt 1 L 1 s ip vilket tillsammans med lineariteten (1.5) ger sin pt L 1/2i s ip 1/2i s+ip = p s 2 + p 2 (1.7) Eftersom multiplikation av f med en exponentialfunktion e at svarar mot en translation s s + a av laplacetransformen f frågar man sig förstås vad som händer då man i stället gör en translation i tidsvariabeln t. Det är därvid lämpligt att tänka sig att funktionerna som laplacetransformeras är definierade på hela R med f (t) = för t <. Om g(t) = f (t T) blir g(s) = e st f (t T)dt = e st f (t T)dt T = e s(τ+t) f (τ)dτ = e st e sτ f (τ)dτ = e st f (s) Vi har härmed visat följande alternativa förskjutningsregel Sats 5 Om f (t) L f (s), där f (t) = för t <, gäller för T f (t T) L e st f (s) (1.8) Det är viktigt att komma ihåg att funktionen f i formeln (1.8) måste vara noll för negativa värden på variabeln t. Exempel 4 Stegfunktionen 2 σ definieras { 1, t σ (t) =, t < (1.9) Laplacetransformen blir förstås σ (s) = 1/s eftersom vi gör precis samma räkningar som i exempel 1. Efter translation med T får vi emellertid enligt sats 5 att σ (t T) L e st s medan däremot en translation av den konstanta funktionen f (t) 1 naturligtvis inte ändrar laplacetransformen. 2 Kallas också heavisidefunktion efter den engelske elektroingenjören Oliver Heaviside ( ). Betecknas ofta med H eller u (unit step).

15 1.3. LAPLACETRANSFORMEN AV EN DERIVATA 5 Sats 5 i kombination med stegfunktionen (1.9) i exempel 4 är användbar då man arbetar med funktioner som är definierade intervallvis av olika analytiska uttryck. Exempel 5 Beräkna laplacetransformen till en sinuspuls f, där f (t) = sint för t π och f (t) = för övrigt. Lösning 6 Vi kan skriva f som f (t) = [σ (t) σ (t π)]sint = σ (t)sint + σ (t π)sin(t π) och får med hjälp av sats 5 och exempel 2 (p = 1) laplacetransformen f (s) = 1 1+s 2 + e πs 1+s 2 = 1+e πs 1+s Laplacetransformen av en derivata En av laplacetransformens viktigaste egenskaper är dess förmåga att förvandla derivation till multiplikation med s. Det är detta som gör den så användbar för att lösa differentialekvationer. Satsen lyder Sats 6 Låt f vara deriverbar för t och sådan att både f och f har laplacetransformer definierade i något halvplan, säg Res > q. Då gäller att f (s) = s f (s) f (), Res > q (1.1) Bevis. Påståendet följer efter partialintegration ty vi har för godtyckligt T att T e st f (t)dt = [ e st f (t) ] T T + s e st f (t)dt och förutsättningarna ger direkt att integralerna konvergerar mot f (s) respektive f (s) då T +. Problemet är vad som händer med gränsvärdet [ lim e st f (t) ] T T + = lim T + e st f (T) f () Vi måste visa att A = lim T + e st f (T) =. Men om A, kan integralen e st f (t)dt inte vara absolutkonvergent, vilket vi förutsatte, därför har vi A = Potensfunktionen Sats 6 kan användas för att beräkna laplacetransformen till potensfunktionen f (t) = t n. Sats 7 Det gäller att t n L n! sn+1, n =,1,2,3,... (1.11)

16 6 KAPITEL 1. LAPLACETRANSFORMEN Bevis. Vi använder induktion. Sätt f n (t) = t n. Eftersom f (t) 1 vet vi redan att f (s) = 1/s och satsen är därmed bevisad för n =, om vi som vanligt sätter! = 1. För n 1 har vi f n () = och dessutom är f n(t) = n f n 1 (t) vilket med hjälp av sats 6 ger n f n 1 (s) = f n(s) = s f n (s) f n (s) = n s f n 1 (s) Om då satsen är sann för n 1 har vi f n (s) = n s (n 1)! s n = n! s n+1 viket visar att satsen i så fall också gäller för n och induktionsprincipen fullbordar beviset I kombination med sats 4 kan vi använda sats 7 på följande sätt. Exempel 7 Beräkna laplacetransformen av f (t) = t 2 cos 2t. Lösning 8 Eftersom vi enligt sats 7 har och Eulers formel ger t 2 2 L 1 s 3 f (t) = t2 2 e2it + t2 2 e 2it följer det av sats 4 samt en del elementärt räknearbete att [ ] 1 f (s) = (s 2i) (s+2i) 3 = 2Re 1 (s 2i) 3 [ ] (s+2i) 3 = 2Re (s 2 + 4) 3 = 2s s2 12 (s 2 + 4) Begynnelse- och slutvärdessatser Följande resultat kan användas för att beräkna begynnelsevärden f (), f (),... för en funktion f direkt ur laplacetransformen f utan att först beräkna f (t). Sats 8 Om f och f är definierade och exponentiellt begränsade för t med laplacetransformer definierade för Res q så gäller att Bevis. Av satserna 3 och 6 följer att lim s f (s) = f () Res lim s f (s) f () = lim f (s) = Res Res Besläktad med sats 8 är följande resultat som tyvärr inte är lika lätt att bevisa. Slutvärdessatsen 9 är emellertid viktig i tillämpningarna.

17 1.4. INVERSA LAPLACETRANSFORMEN 7 Sats 9 (Slutvärdessatsen) Om laplacetransformen f är definierad i halvplanet Res > och om gränsvärdet S = lim t + f (t) existerar så gäller att lim s f (s) = S s Beviset av sats 9 är något tekniskt och innehåller framförallt inga idéer som används i fortsättningen. Intresserade hänvisas därför till appendix B för detaljerna. Man måste ha klart för sig att varken sats 8 eller 9 kan användas för att bevisa att funktionen f har gränsvärden då t + respektive t +. Det är bara när man redan vet att dessa gränsvärden existerar som man kan beräkna dem via laplacetransformen. Problematiken vad gäller sats 9 illustreras i följande exempel. Exempel 9 Betrakta funktionen f (t) = sint. Då är laplacetransformen f (s) = ( 1+s 2 ) 1 och vi har lims + s f (s) = men något gränsvärde lim t + f (t) finns naturligtvis inte. 1.4 Inversa laplacetransformen Vi har i definition 1 sett hur laplacetransformen f = L ( f) kan beräknas som en integral då f är känd. Går det att ) vända på steken och hitta en formel för den inversa transformen f = L ( f 1 då f är känd? Som vi skall se är svaret ja, men vi börjar med ett resultat om deriverbarhet Derivatan av en laplacetransform I detta avsnitt tänker vi oss att s är en reell variabel. Det är inte nödvändigt - eller ens lämpligt - att ha s reell, men för att förstå vad derivatan med avseende på en komplex variabel är, bör man helst känna till något om komplex analys och för en djupare förståelse av laplacetransformen är kunskaper i komplex analys nödvändiga. Tar vi oss friheten att derivera laplaceintegralen (1.1) med avseende på s under integraltecknet får vi d ds f [ (s) = e st f (t) ] dt = e st [ t f (t)]dt s vilket kan tolkas så att t f (t) L d ds f (s) Upprepas förfarandet får vi allmännare

18 8 KAPITEL 1. LAPLACETRANSFORMEN Sats 1 Om laplacetransformen f till f konvergerar för Re s > q gäller detta även för t n f (t), där n =,1,2,..., och t n f (t) L ( 1) n d n ds n f (s) Helt självklart är det emellertid inte att man kan derivera laplaceintegralen så här. Det finns dock goda satser i analysen att stödja sig på. En sådan är [13, sats 3 sidan 167]. Se också [13, exempel 4, sidan 168]. Speciellt följer det av sats 1 att f är obegränsat deriverbar i konvergensområdet. Exempel 1 Beräkna laplacetransformen av t sin t. L Lösning 11 Eftersom sin t ( 1+s 2) 1 får vi med sats 1 att L t sint d ( ) 1 2s ds 1+s 2 = (1+s 2 ) En inversionsformel Så till den utlovade formeln för inverstransformen L 1. Eftersom laplacetransformen enligt sats 1 kan deriveras obegränsat är följande formel väldefinierad. Sats 11 Antag att F = L ( f) är definierad i halvplanet Res > q då gäller för varje t > där f är kontinuerlig att f (t) = lim n + ( 1) n n n+1 F (n) (n/t) t n+1, n N (1.12) n! Precis som med slutvärdessatsen, är beviset tekniskt och innehåller inga idéer som används i fortsättningen. Intresserade hänvisas därför till appendix C. Låt oss i stället testa sats 11 på ett känt fall. Exempel 12 Beräkna f då F (s) = f (s) = s m 1 för Res> och m =,1,2,... Lösning 13 Vi har F (n) (s) = ( 1) n (m+1)(m+2) (m+n)s m n 1 = ( 1) n (m+n)! s m n 1 m! vilket, då m är fixt, ger ( 1) n n n+1 F (n) (n/t) t n+1 = nn+1 (m+n)! ( t ) m+n+1 (m+n)! t m = n! t n+1 n! m! n n m n! m! = (n+1)(n+2) (n+m) t m Således är i överensstämmelse med sats 7 n m ( )( n+1 n+2 = n n ) 1 s m+1 L 1 tm m! ( m! ) n+m t m n m! tm m!, n +

19 1.5. ÖVNINGAR Entydighet Sats 11 ger framförallt ett viktigt resultat om entydighet för laplacetransformen. Sats 12 Om funktionerna f och g har laplacetransformerna f och g respektive och det för något tal N gäller att f (s) = g(s) för alla reella s > N så är f (t) = g(t) för alla värden på t där båda funktionerna är kontinuerliga. Bevis. Sätt h = f g. På grund av lineariteten (1.5) är h(s) = f (s) g(s) för s > N, vilket enligt sats 11 ger f (t) g(t) = h(t) = om f och g är kontinuerliga i t Sats 12 visar att den inversa laplacetransformen L 1 är väldefinierad, trots att man naturligtvis inte alltid kan beräkna gränsvärdet (1.12) i inversionsformeln. Det kan man för övrigt inte göra med integralen (1.1) i definition 1 heller. 1.5 Övningar Uppgifterna är inte placerade i någon speciell svårighetsordning. Övning 1 Bestäm, med hjälp av kända transformer och räkneregler, laplacetransformen till funktionerna 1. f (t) = cost 2. f (t) = e t sin2t 3. f (t) = sin 3 t 4. Pulsfunktionen f a där f a (t) = 1/a för t < a och f a (t) = för övrigt. Vad blir lim a + f a (s)? 5. f (t) = t n e at Övning 2 Bestäm, med hjälp av kända transformer och räkneregler, en funktion f, då man vet att laplacetransformen är 1. f (s) = 1 s s+4 2. f (s) = s 6 s 2 +3s 4 3. f (s) = 2 s 2 +2s+5 4. f (s) = s s 2 +2s+5 Övning 3 Visa att om g(t) = f (at) för a > så är g(s) = f (s/a)/a och använd detta för att beräkna laplacetransformen till funktionen f (t) = cos 17t. Övning 4 Bestäm f (t) då man vet att f (s) = e s +s 1 s 2 (1 e s ).

20 1 KAPITEL 1. LAPLACETRANSFORMEN Övning 5 Ge ett alternativt bevis för sats 7 genom att använda sats 1 i stället för sats 6. Övning 6 Beräkna f (t) med inversionsformeln (1.12) då f (s) = 1 s+a.

21 Kapitel 2 Polynom och differentialekvationer En följd av sats 6 är att begynnelsevärdesproblem för lineära differentialekvationer med konstanta koefficienter efter laplacetransformering övergår i algebraiska ekvationer utan derivator. Sedan man löst ut de obekanta funktionernas laplacetransformer, kan man, via inverstransformering, bestämma ursprungsfunktionerna och därmed lösningen till differentialekvationen. En finess är att laplacetransformen tar hänsyn till både differentialekvation och begynnelsedata. 2.1 Två exempel Följande två exempel är typiska för användningen av laplacetransformen i kretsteori och reglerteori. I de flesta problemen av denna typ kan man med fördel använda något formelbehandlande program som MATLAB med symbolic toolbox eller Maple. Se [15] och manualerna [3, 4, 5] för närmare detaljer när det gäller Maple och motsvarande litteratur när det gäller MAT- LAB. Exempel 14 Lös begynnelsevärdesproblemet { y (t)+2y (t)+5y(t) = 5, t y() = a, y () = b Lösning 15 Laplacetransformering av ekvationen ger eftersom operatorn L är lineär att ỹ (s)+2ỹ (s)+5ỹ(s) = 5 s Med hjälp av sats 6 och givna begynnelsedata får vi dessutom ỹ = sỹ y() = sỹ a 11 (2.1)

22 12 KAPITEL 2. POLYNOM OCH DIFFERENTIALEKVATIONER samt ỹ = sỹ y () = s(sỹ a) b = s 2 ỹ as b allt insatt i (2.1) ger efter förenkling ekvationen ( s 2 + 2s+5 ) ỹ = 5 s + a(s+2)+b Lösningen blir ỹ = 5 s(s 2 + 2s+5) + a s+2 s 2 + 2s+5 + b 1 s 2 + 2s+5 (2.2) Första termen delar vi upp i partialbråk och skriver sedan om hela uttrycket som ỹ = 1 s s+1 (s+1) (s+1) [ ] s+1 + a (s+1) (s+1) b 2 2 (s+1) Högerledet motsvaras då term för term av följande funktioner av t ( y(t) = 1 e t cos2t + 1 ) 2 sin2t (2.3) ( + ae t cos2t + 1 )+ 2 sin2t b 2 e t sin 2t (2.4) Den första delen (2.3) av lösningen är oberoende av begynnelsedata a och b och är den partikulärlösning till differentialekvationen som har y() = y () =. Den andra delen (2.4) är en lösning till den homogena ekvationen y +2y + 5y = med rätt begynnelsevärden y() = a och y () = b. Denna struktur hos lösningen syns också tydligt i laplacetransformen (2.2) Diskontinuerliga högerled Då funktioner som beskriver elektriska och mekaninska storheter idealiseras leder det ofta till funktioner som är definierade av olika analytiska uttryck på olika intervall. Funktionerna kan dessutom vara diskontinuerliga i skarven. Även sådant hanterar laplacetransformen smidigt. Exempel 16 Lös begynnelsevärdesproblemet { y (t)+2y (t)+5y(t) = u(t), t y() = y () = där högerledet är triangelfunktionen { 5t, t < 2 u(t) =, t 2

23 2.1. TVÅ EXEMPEL 13 Lösning 17 Högerledet skrivs med hjälp av stegfunktionen σ på följande sätt u(t) = 5t [1 σ (t 2)] = 5[t (t 2)σ (t 2) 2σ (t 2)] Laplacetransformering och förskjutningssatsen 5 ger ekvationen med lösningen ỹ = ( s 2 + 2s+5 ) ỹ = 5 s 2 5e 2s s 2 5 (s 2 + 2s+5)s 2 Från exempel 14 vet vi att [ 1 e 2s s ] 5 (s 2 + 2s+5)s (s 2 e 2s + 2s+5)s 1 L (s e t cos2t e t sin2t = ϕ (t) + 2s+5)s och med samma metod partialbråksuppdelning får vi vilket ger 5 (s 2 + 2s+5)s 2 = 1 s 2 2 5s + 1 2(s+1) 3 5 (s+1) (s 2 + 2s+5)s 2 L 1 t e t cos2t 3 1 e t sin 2t = ψ (t) Den relativt komplicerade lösningen skrivs sedan lämpligen som y(t) = ψ (t) [ψ (t 2)+ϕ (t 2)]σ (t 2) (2.5) där funktionerna ϕ och ψ definierats ovan Det är lämpligt att själv genomföra beräkningarna i exemplen 14 och 16 med hjälp av Maple eller MATLAB Terminologi och beteckningar I exempel 14 och 16 har vi sett att differentialuttrycket y (t)+2y (t)+5y(t) vid laplacetransformering övergår i ( s 2 + 2s+5 ) ỹ (s+2) y() 1 y(). Polynomet P(s) = s 2 +2s+5 kallas karaktäristiska polynomet och polynomen P 1 (s) = s+2 och P (s) = 1 kallas baspolynom till P. Baspolynomen erhålles rekursivt genom att, utgående från P, stryka konstanttermen och sedan dividera med s. För differentialuttrycket får vi också ett behändigt skrivsätt med polynom om vi inför differentialoperatorn D så att Dy = y, D 2 y = y,... Då kan vi skriva y + 2y + 5y = ( D 2 + 2D+5 ) y = P(D)y Allmänt betyder i fortsättningen P(D) y det differentialuttryck vars karaktäristiska polynom är P(s).

24 14 KAPITEL 2. POLYNOM OCH DIFFERENTIALEKVATIONER 2.2 Allmän teori Lösningen till differentialekvationerna i exemplen 14 och 16 har vi fått genom att först transformera ekvationerna och sedan inverstransformera lösningen till de algebraiska ekvationerna. Vi visar nu allmänt att förfarandet ger alla lösningar till begynnelsevärdesproblemet för ekvationen P(D) y =. Entydighetssatsen 12 spelar härvid en viktig roll. Vi börjar med en allmännare beskrivning av baspolynom Karaktäristiskt polynom och baspolynom Inspirerade av diskussionen efter exempel 14 och 16, definierar vi Definition 13 Baspolynomen P k (s), k =,1,...,n 1, till ett polynom P(s)= a n + + a 1 s n 1 + s n definieras rekursivt genom att sätta P n = P och sedan succesivt P k 1 (s) = P k(s) a k (2.6) s Vi belyser definitionen med ett exempel. Exempel 18 Beräkna baspolynomen P,P 1,P 2,P 3 till P(s) = a 4 + a 3 s+a 2 s 2 + a 1 s 3 + s 4 Lösning 19 Formeln (2.6) i definition 13 ger i tur och ordning P 3 (s) = P(s) a 4 s P 2 (s) = P 3(s) a 3 s P 1 (s) = P 2(s) a 2 s P (s) = P 1(s) a 1 s = a 3 + a 2 s+a 1 s 2 + s 3 = a 2 + a 1 s+s 2 = a 1 + s = 1 Baspolynomen bildas alltså efter regeln att successivt stryka konstanttermen i föregående polynom och sedan dividera med s. Observera att baspolynomen P,..., P n 1 är en bas för det n-dimensionella polynomrummet P n 1 som består av polynom av grad högst lika med n 1. Speciellt är baspolynomen lineärt oberoende Homogena differentialekvationer Exemplen 14 och 16 ovan och den efterföljande diskussionen leder till följande generalisering.

25 2.2. ALLMÄN TEORI 15 Sats 14 Om P(s) = a n + + a 1 s n 1 + s n och u = P(D)y gäller ( ) ũ(s) = P(s)ỹ(s) y()p n 1 (s)+y ()P n 2 (s)+ +y (n 1) ()P (s) där P k (s), k =,1,...,n 1, är baspolynomen till P(s). Bevis. Induktion över gradtalet. Om n = 1 är P(s) = a 1 + s och P = 1. Då är u = (D + a 1 )y = y + a 1 y och sats 6 ger ũ = sỹ y() + a 1 ỹ = P(s)ỹ y()p. Antag nu att påståendet är sant för alla polynom av grad högst n 1. Eftersom P(s) = a n +P n 1 (s)s, får vi u = P(D)y = a n y+p n 1 (D)y = a n y+ v. Enligt induktionsantagandet gäller att ( ) ṽ = P n 1 (s)ỹ (s) y ()P n 2 (s)+ +y (n 1) ()P (s) ty baspolynomen till P n 1 är P,..., P n 2. Således får vi ( ) ũ = a n ỹ(s)+ṽ(s) = a n ỹ(s)+p n 1 (s)ỹ (s) y ()P n 2 (s)+ +y (n 1) ()P (s) ( ) = a n ỹ(s)+p n 1 (s)(sỹ(s) y()) y ()P n 2 (s)+ + y (n 1) ()P (s) ( ) = (a n + P n 1 (s)s)ỹ(s) y()p n 1 (s)+y ()P n 2 (s)+ +y (n 1) ()P (s) ( ) = P(s)ỹ(s) y()p n 1 (s)+y ()P n 2 (s)+ +y (n 1) ()P (s) och induktionsprincipen fullbordar beviset Av sats 14 följer speciellt att om y(t) är en lösning till P(D)y = med begynnelsedata y() = b 1, y () = b 2,..., y (n 1) () = b n (2.7) så är laplacetransformen av y lika med ỹ(s) = b 1P n 1 (s)+b 2 P n 2 (s)+ + b n P (s) P(s) (2.8) Det omvända påståendet är också sant: Givet en funktion y(t) med laplacetransformen (2.8) för något polynom P(s) = a n + +a 1 s n 1 + s n och tillhörande baspolynom P k. Då är y en lösning till P(D)y = med begynnelsedata enligt (2.7). Vi sammanfattar resultaten i följande sats. Sats 15 Om P(D) y = med begynnelsedata (2.7), så har lösningen y laplacetransformen (2.8) och omvänt, om en funktion y(t) har laplacetransformen (2.8), så är P(D) y = med begynnelsedata enligt (2.7). Bevis. Första ledet är redan visat. Antag därför att ỹ är given av (2.8) och låt u = P(D)y. Enligt sats 14 är ( ) ũ(s) = P(s)ỹ(s) y()p n 1 (s)+y ()P n 2 (s)+ +y (n 1) ()P (s) = (b 1 y())p n 1 (s)+ ( b 2 y () ) P n 2 (s)+ ( ) + b n y (n 1) () P (s)

26 16 KAPITEL 2. POLYNOM OCH DIFFERENTIALEKVATIONER men enligt sats 3 skall lim s ũ(s) = och enda möjligheten är då att ũ(s) eftersom ũ är ett polynom. Därmed är enligt entydighetssatsen 12 också u(t) och vidare, eftersom baspolynomen är lineärt oberoende, får vi varvid satsen är bevisad y() = b 1, y () = b 2,..., y (n 1) () = b n Av sats 15 framgår att den homogena differentialekvationen P(D) y = alltid har en lösning och att denna är entydigt bestämd av begynnelsedata. 2.3 Polynom och lineära avbildningar För varje lineär avbildning A :V V på ett vektorrum V definierar vi potenserna A n för n = 1,2,... som sammansättningen A n = A A A. Tillsammans n st. { }} { med konventionen att A = I, identitetsavbildningen, kan vi till varje polynom P(s) = a n + +a 1 s n 1 + s n definiera en avbildning P(A) = a n I + +a 1 A n 1 + A n Detta generaliserar den notation P(D) som vi infört tidigare för polynom i differentialoperatorn D och vi kommer också längre fram att behöva matrispolynom P(A) där A är en kvadratisk matris. Anmärkning 16 Så länge bara en avbildning är inblandad kan man räkna med potenserna A n som vanligt. Med två eller flera måste man emellertid tänka på att i allmänhet är AB BA. Gamla beprövade formler som (A+B) 2 = A 2 + 2AB+B 2 och (A+B)(A B) = A 2 B 2 gäller därför endast om AB = BA Två satser om baspolynom Vi avslutar ett par egenskaper hos baspolynomen som vi kommer att behöva framöver. Sats 17 För baspolynomen till P(s) gäller P n 1 (s)+p n 2 (s)r+ +P (s)r n 1 = P(s) P(r) s r (2.9) Bevis. Med y(t) = e rt blir u(t) = P(D)y = P(r)e rt och laplacetransformering ger med hjälp av sats 14 P(r) s r = ũ = P(s)ỹ ( y()p n 1 (s)+y ()P n 2 (s)+ + y (n 1) ()P (s) ) = P(s) s r ( P n 1 (s)+rp n 2 (s)+ + r n 1 P (s) )

27 2.4. ÖVNINGAR 17 Eftersom högerledet i (2.9) inte ändras då variablerna s och r byter plats, får vi direkt av sats 17 följande symmetriegenskap Sats 18 För baspolynomen till P(s) gäller identiteten P n 1 (r)+p n 2 (r)s+ +P (r)s n 1 (2.1) = P n 1 (s)+p n 2 (s)r+ + P (s)r n 1 Eftersom (2.1) är en polynomidentitet gäller den också för lineära avbildningar som kommuterar. Sats 19 Om A,B : V V och AB = BA så är P n 1 (A)+P n 2 (A)B+ + P (A)B n 1 (2.11) = P n 1 (B)+P n 2 (B)A+ + P (B)A n Övningar Övning 7 Lös differentialekvationerna 1. y + y = e t sint, med y() = y + 2y = { 1, t < 1, 1 t, med y() = y + 4y + 5y + 2y = 1, med y () = y() = och y () = 1. Övning 8 Undersök om det går att bestämma begynnelsevillkoren y() = p och y () = q så att ekvationen y + 5y + 6y = sint får en periodisk lösning för t. Övning 9 Beräkna utan transformtabell eller Maple laplacetransformen av f (t) = (e pt e qt )/t. Vad blir gränsvärdet A = lim s + s f (s)? Övning 1 Lösningen y(t) till en homogen lineär differentialekvation med konstanta koefficienter har laplacetransformen ỹ(s) = s2 +s+1. Bestäm differentialekvation, av så låg ordning som möjligt, och begynnelsevillkor utan s 3 +3s 2 +2s att först beräkna y(t). Övning 11 Samma uppgift som 1 men med skillnaden att högerledet är en stegfunktion σ (t). Övning 12 Visa att alla lösningar till ekvationen y + ay + by = 1 har ett stationärt slutvärde S = lim t + y(t) om och endast om alla nollställen till det karaktäristiska polynomet har negativ realdel.

28 18 KAPITEL 2. POLYNOM OCH DIFFERENTIALEKVATIONER

29 Kapitel 3 Faltning och lineära system Lineära avbildningar spelar en central roll i den här kursen. Som bekant från [2, 8] är en avbildning L : V V på ett vektorrum V lineär om L(au+bv) = al(u)+bl(v) för alla vektorer u, v V och konstanter a, b som även kan vara komplexa om V är ett komplext vektorrum. I tekniska sammanhang kallas linearitet ofta superposition. Nära släkt med lineära avbildningar är avbildningar av formen A(u) = y + L(u), där L är lineär och y en term som inte beror av u. Sådana funktioner kallas affina. Här studerar vi en speciell kategori av affina funktioner som kallas lineära system. Dessa avbildar funktioner, insignaler, u(t), där t, på andra funktioner, utsignaler, y(t), som också är definierade för t. Förutom att vara affina, har lineära system ytterligare två viktiga egenskaper. 1. Translationsinvarians: Om u(t) y(t) så är u(t + T) y(t + T) för alla tal T 2. Kausalitet: Om u y och v z och u(t) = v(t) för t T så är också y(t) = z(t) för t T Translationsinvariansen betyder att systemets egenskaper inte ändras med tiden och kausaliteten innebär att utsignalen fram till tidpunkten T inte påverkas av vad som händer med insignalen efter tiden T. Exempel 2 Karaktärisera avbildningen y = A(u) ut då y + ay = u? Lösning 21 Multiplikation med den integrerande faktorn e at ger d ( e at y ) = e at ( y + ay ) = e at u(t) dt och efter integration har vi e at y(t) = y()+ 19 t e aτ u(τ)dτ

30 2 KAPITEL 3. FALTNING OCH LINEÄRA SYSTEM som ger t y(t) = y()e at + e a(t τ) u(τ)dτ (3.1) Här är alltså y (t) = y()e at och den lineära delen ges av integralen L(u)(t)= t e a(t τ) u(τ)dτ. 3.1 Faltning Integraloperatorn L i ekvation (3.1) är ett specialfall av en operation som kallas faltning. Den allmänna definitionen lyder. Definition 2 Om f (t) och g(t) är definierade för t och integrabla på varje begränsat intervall t T definieras faltningen f g(t) för t genom t f g(t) = f (t τ)g(τ)dτ (3.2) Egenskaper hos faltningsoperationen Vi visar först några grundläggande egenskaper hos faltningsoperationen. Det gäller att Sats 21 Om f och g är integrabla på varje intervall av formen t T, så är f g också integrabel på sådana intervall och dessutom gäller att faltningen är 1. kommutativ, så att f g = g f och 2. associativ, så att ( f g) h = f (g h) samt 3. distributiv med avseende på lineärkombinationer med komplexa tal a och b, så att f (ag+bh) = a( f g)+b( f h) Bevis. Vi visar den associativa lagen och lämnar resten som övning. Förutsättningarna medför att funktionen (t,τ) f (t τ)g(τ) är integrabel på mätbara delmängder av (t,τ)-planet och teorin för dubbelintegraler [13, kap. 6] ger att f g är integrabel på t T samt att T ϕ (t) f g(t)dt = = D ϕ (t) f (t τ)g(τ)dtdτ ϕ (x+y) f (x)g(y)dxdy (3.3) där ϕ är en godtycklig integrabel funktion och dubbelintegralerna är över trianglarna = {(t,τ) : τ t T } respektive D = {(x,y) : x, y, x+y T }

31 3.1. FALTNING 21 och där vi har fått den sista integralen ur den föregående genom variabelbytet { x = t τ, dtdτ = dxdy y = τ Sätter vi speciellt in ϕ (t) = h(t t) i formeln (3.3) så erhålles efter iteration h (f g)(t) = h(t x y) f (x)g(y)dxdy D T [ T y ] = h(t y x) f (x) dx g(y)dy = T h f (T y)g(y)dy = (h f) g(t) Vi illustrerar faltningen med ett enkelt exempel. Exempel 22 Beräkna f g om f (t) = e at och g(t) = e bt. Lösning 23 Om a b får vi t f g(t) = e a(t τ) e bτ dτ = eat e bt a b Speciellt om a = 1 och b = i ger detta, eftersom e t är reell, att e t sint = Im ( ( e t e it) e t e it = Im 1 i Låter vi b a får vi också åtminstone formellt att e at e at = lim b a e at e bt a b ) = 1 ( sint cost + e t ) 2 = teat vilket naturligtvis även en direkt beräkning ännu enklare visar Faltningen f g är en deriverbar funktion om någon av funktionerna f eller g är det. Mera precist gäller Sats 22 Om g är kontinuerlig och f kontinuerligt deriverbar så är även h = f g kontinuerligt deriverbar och h = f g+ f ()g. Bevis. Påståendet följer direkt av [13, sats 2, sidan 164]. Se också [13, exempel 3, sidan ] Vi noterar också att Sats 23 Avbildningen u y = g u är lineär, translationsinvariant och kausal. Påståendet följer av definitionen och egenskaperna som visats i sats 21. Detaljerna lämnas som övning.

32 22 KAPITEL 3. FALTNING OCH LINEÄRA SYSTEM 3.2 Lineära system Vi kan nu definiera ett lineärt system på följande sätt. Definition 24 Med ett lineärt system, G, menas en affin avbildning av formen y = G (u) = y + g u (3.4) mellan integrabla funktioner definierade för t. Funktionen g kallas systemets impulssvar Stabilitet I tillämpningarna spelar begreppet stabilitet en stor roll. Här 1 betyder det att begränsade insignaler inte får ge upphov till utsignaler som växer obegränsat. Vi kan precisera detta på följande sätt. Definition 25 Ett lineärt system G enligt definition 24 är stabilt om det finns konstanter a och b så att olikheten max t gäller för alla begränsade insignaler u. y(t) a+bmax u(t) (3.5) t För ett lineärt system är följande kriterium både nödvändigt och tillräckligt för stabilitet. Sats 26 Ett lineärt system G är stabilt om och endast om y (t) är begränsad för t och integralen g(t) dt av impulssvarets belopp är konvergent. Bevis. Vi visar först att villkoren i satsen är tillräckliga. Sätter vi a=max t y (t) och b = g(t) dt får vi t y(t) y (t) + u(t τ)g(τ)dτ y (t) + t max t y (t) + a+bmax t u(t) Vilket visar att systemet är stabilt. u(t τ) g(τ) dτ ( t ) g(τ) dτ max t u(t) Om det i stället finns konstanter a och b så att olikheten (3.5) gäller följer det, om vi sätter u =, att max t y (t) a. Låt nu t > vara ett godtyckligt fixt tal och betrakta för τ insignalen { g(t τ) u(τ) = g(t τ), om τ t och g(t τ), för övriga värden på τ 1 I teorin för ordinära differentialekvationer förekommer även andra stabilitetsbegrepp.

33 3.3. LAPLACETRANSFORMEN AV EN FALTNING 23 Då gäller att u(τ) 1 för τ och t t g(τ) dτ = u(t τ)g(τ)dτ = y(t) y (t) max y(t) +max y (t) 2a+bmax u(t) t t t 2a+b och då t kan väljas godtyckligt stor följer det att g(t) dt 2a+b Exempel 24 För vilka värden på konstanten a är systemet i exempel 2 stabilt? Lösning 25 Enligt ekvation (3.1) är y = y + g u där y (t) = y()e at och g(t) = e at och vi ser att y är begränsad och e at dt är konvergent om och endast om Rea >. 3.3 Laplacetransformen av en faltning Hur ser sambandet (3.4) ut i laplacetransformerat skick? För att besvara den frågan måste vi beräkna laplacetransformen g u av faltningen g u, vilket leder till nästa sats. Sats 27 Om funktionerna f och g har laplacetransformer definierade för Re s > q så gäller att f g(s) = f (s) g(s), Res > q Bevis. Vi utnyttjar formeln (3.3) ännu en gång. Nu med funktionen ϕ (t) = e st. Detta ger en generaliserad dubbelintegral J över första kvadranten T f g(s) = lim e st f g(t)dt = lim e s(x+y) f (x)g(y)dxdy = J T + T + D T som emellertid också kan beräknas som ett gränsvärde med kvadraterna K T = {(x,y) : x,y T } som uttömmande följd. Då får vi istället att J = lim e s(x+y) f (x)g(y)dxdy T + K ( T T )( T ) = lim e sx f (x)dx e sy g(y)dy = f (s) g(s) T + och påståendet är bevisat Överföringsfunktion Betrakta ett lineärt system y = G (u) = y + g u med impulssvaret g. Utsignalens laplacetransform blir enligt sats 27 ỹ = ỹ + g ũ. Definition 28 Funktionen G = g kallas systemets överföringsfunktion.

34 24 KAPITEL 3. FALTNING OCH LINEÄRA SYSTEM Bortsett från den av insignalen oberoende termen y, innehåller överföringsfunktionen på grund av entydighetssatsen 12 all information om systemet som kan erhållas genom att observera insignaler och utsignaler. Exempel 26 Överföringsfunktionen till systemet i exempel 2 blir eftersom är g(t) = e at G(s) = g(s) = 1 s+a 3.4 Inhomogena differentialekvationer Från föreläsning 2 sats 14 vet vi att varje lösning y till differentialekvationen P(D) y = u har laplacetransformen ỹ(s) = Q(s) P(s) + ũ(s) P(s) där Q(s) = y()p n 1 (s)+y ()P n 2 (s)+ +y (n 1) ()P (s) där den första termen, Q/P = ỹ, svarar mot en lösning y till den homogena ekvationen P(D)y= med samma begynnelsedata y(), y (),..., y (n 1) () som y och den andra termen, ũ/p, visar hur högerledet u påverkar lösningen y. Sätter vi G = 1/P och g = L 1 (G) får vi efter inverstransformering y = y + g u där vi kan betrakta y som utsignalen från ett lineärt system enligt definition 24 vars impulssvar, g, enligt sats 15 karaktäriseras av att P(D) g = och g() = g () = = g (n 2) () = samt g (n 1) () = En formel för partikulärlösningar Det följer av sats 22 är att y = L 1 (1/P) u alltid är en partikulärlösning till P(D)y = u. Sats 29 Om u är en kontinuerlig funktion, P ett polynom av grad n 1 och g = L 1 (1/P) så är y = g u partikulärlösningen till P(D)y = u med begynnelsedata y() = y () = = y (n 1) () = för varje u. Bevis. Av (3.2) följer omedelbart att y() =. Eftersom g enligt sats 15 är lösning till P(D)g = med begynnelsedata g() = g () = = g (n 2) () = och g (n 1) () = 1 är g obegränsat deriverbar och upprepad användning av

35 3.4. INHOMOGENA DIFFERENTIALEKVATIONER 25 sats 22 ger y = g u+g()u = g u y () = y = g u+g ()u = g u y () = y (n 1) = g (n 1) u+g (n 2) ()u = g (n 1) u y (n 1) () = y (n) = g (n) u+g (n 1) ()u = g (n) u+u Av distributiva lagen för faltning och det faktum att P(D)g = följer också att P(D)y = (P(D)g) u+u = u Anmärkning 3 Av sats 29 följer speciellt att y = L 1 (1/P) u är en lösning till P(D)y=u även om u inte har laplacetransform. Faltningen L 1 (1/P) u är ju definierad och sats 22 gäller för alla kontinuerliga funktioner u. Anmärkning 31 Ibland uppträder högerled, u, som inte är kontinuerliga funktioner. Vi generaliserar därför lösningsbegreppet så att y = L 1 (1/P) u definieras som lösning till P(D)y = u även för värden på t där u är diskontinuerlig. Genom satserna 14, 15 och 29 har vi en fullständig beskrivning av lösningarna till P(D)y = u både som funktioner av t och, via laplacetransformen, som funktioner av s. Exempel 27 Härled en allmän lösningsformel till begynnelsevärdesproblemet { y + 2y + 5y = u(t), t y() = a, y () = b Lösning 28 Karaktäristiska polynomet är s 2 + 2s+5 och baspolynomen blir s+2 samt 1. Laplacetransformering ger (förutsatt att ũ existerar) s+2 ỹ(s) = a s 2 + 2s+5 + b 1 s 2 + 2s s 2 + 2s+5 ũ(s) s+1 = a (s+1) a+b 2 2 (s+1) (s+1) ũ(s) vilket svarar mot y(t) = ae t cos 2t + a+b 2 e t sin 2t + där de två första termerna t u(t τ) 1 2 e τ sin2τdτ y (t) = ae t cos 2t + a+b 2 e t sin 2t (3.6) är en lösning till den homogena ekvationen och begynnelsevillkoren y() = a, y () = b. Den tredje termen är faltningen g u av insignalen u med impulssvaret g(t) = 1 2 e t sin2t (3.7) som i sin tur är lösningen till den homogena ekvationen med begynnelsedata y() = och y () = 1

36 26 KAPITEL 3. FALTNING OCH LINEÄRA SYSTEM Exempel 29 En välkänd formel från analysen får vi om vi löser ekvationen y = u. Lösning 3 Polynomet s 3 har baspolynomen s 2, s och 1. Löser vi ut ỹ och inverterar får vi eller som funktion av t ỹ(s) = y() s + y () s 2 + y () s 3 + ũ(s) s 3 y(t) = y()+y ()t + y () t2 t 2 + (t τ) 2 u(τ)dτ 2 det vill säga MacLaurins formel [12, kap. 9.2] (av grad två). Betraktad som lineärt system ges alltså MacLaurins formel av y (t) = y()+y ()t + y () t2 2 samt g(t) = t2 2 där y är maclaurinpolynomet och g u = g y resttermen på integralform. Överföringsfunktionen är G(s) = s Stabilitet för differentialekvationer När är lineära system av formen P(D)y = u stabila? Svaret ges i följande sats. Sats 32 Ett lineärt system y = G (u) där sambandet mellan insignalen u och utsignalen y beskrivs av en differentialekvation P(D)y = u är stabilt om och endast om samtliga nollställen till det karaktäristiska polynomet P(s) har negativ realdel. Alltså att: P(s) = Res <. Bevis. Både ỹ (s) = Q(s)/P(s) och överföringsfunktionen g(s) = 1/P(s) kan efter partialbråksuppdelning skrivas som lineärkombinationer av funktioner av formen (s α) n, där n > och P(α) =. Vidare gäller enligt satserna 4 och 7 att 1 (s α) n L 1 tn 1 (n 1)! eαt = f (t) Funktionerna f (t) är begränsade och integralerna f (t) dt = t n 1 (n 1)! ereαt dt = 1 ( Reα) n konvergerar om och endast om Reα <. Påståendet följer därmed av sats 26 Exempel 31 Systemet i exempel 27 är stabilt ty s 2 +2s+5=(s+1+2i)(s+1 2i) har nollställena 1 ± 2i.

37 3.5. ÖVNINGAR Övningar Övning 13 Bevisa de övriga egenskaperna hos faltningsprodukten f g i sats 21. Övning 14 Lös integralekvationen asint+ t sin(t τ)y(τ)dτ = t med t för alla värden på konstanten a där det finns lösningar y(t) med laplacetransform. Övning 15 Bestäm y då y() = 1 och t { y 1sint, t < π (t)+3y(t)+2 y(τ)dτ =, t π Övning 16 Låt y vara lösningen till y +y = u med y() = y () =. Bestäm den funktion u med u(t) 1 för t 7 som maximerar värdet y(7). Övning 17 Bevisa sats 23.

38 28 KAPITEL 3. FALTNING OCH LINEÄRA SYSTEM

39 Kapitel 4 Tillståndsbeskrivning Vi skall i fortsättningen begränsa oss till lineära system som kan beskrivas med differentialekvationer. Linearitet och translationsinvarians kräver att differentialekvationerna är lineära med konstanta koefficienter och vi kommer därför att göra flitigt bruk av teorin i kapitlen 2 och 3. Vi skall dessutom arbeta med system av differentialekvationer och därför kommer vi att utnyttja begrepp och beteckningar från lineär algebra. Repetera därför, om nödvändigt, aktuella avsnitt i [2] eller [8] och [9]. 4.1 Tillståndsform Det är många gånger fördelaktigt att beskriva den inre strukturen hos ett lineärt system med en uppsättning x 1 (t), x 2 (t),..., x n (t) funktioner av tiden t. Dessa funktioner kallas tillståndsvariabler och kan uppfattas som komponenter av en tillståndsvektor x(t). Systemets dynamik bestäms av ett system av differentialekvationer för tillståndsvariablerna. Detta system skrivs bäst i matrisform. Vi börjar med ett exempel. Exempel 32 Konstruera en tillståndsbeskrivning av ett RC-filter enligt schemat i figur 4.1. u R J 1 C J 2 C x 2 R y x 1 Figur 4.1: Figur till exempel 32. Lösning 33 I elektriska kretsar är det lämpligt att använda spänningar över kondensatorer och strömmar genom spolar som tillståndsvariabler. Då gäller 29

40 3 KAPITEL 4. TILLSTÅNDSBESKRIVNING med figurens beteckningar att Ohms lag ger dessutom sambanden J 1 = C dx 1 dt, J 2 = C dx 2 dt och vi får u = x 1 + x 2 + RJ 1, RJ 1 = RJ 2 + x 2 RC dx 1 dt RC dx 2 dt = RJ 1 = x 1 x 2 + u = RJ 2 = x 1 2x 2 + u Väljer vi sedan tidskonstanten RC som tidsenhet blir RC = 1 systemet av differentialekvationer kan skrivas med matriser [ d x1 dt x 2 ] [ 1 1 = 1 2 ][ x1 x 2 ] [ ] u (4.1) Eller kortare x = Ax+Bu. Utsignalen från filtret y = x 2 kan vi skriva som en matrisprodukt y = Cx, där C = [ 1 ]. 4.2 Differentialekvationer på tillståndsform Differentialekvationer som har högre ordning än ett, kan alltid skrivas som system av första ordningen. Exempel 34 Om vi i ekvationen i exempel 27 sätter x 1 = y och x 2 = y får vi ett system av första ordningen x 1 = x 2 x 2 = 5x 1 2x 2 + u med begynnelsedata x 1 () = a och x 2 () = b. Med vektorn x = (x 1,x 2 ) kan detta skrivas i matrisform som x = Ax+Bu, x() = (a,b), y = Cx förutsatt att vektorn x skrivs som en kolonnmatris. Matriserna A, B och C ges av [ ] [ ] 1 A =, B =, C = [ 1 ] (4.2) 5 2 1

41 4.2. DIFFERENTIALEKVATIONER PÅ TILLSTÅNDSFORM Ekvationer av godtycklig ordning Allmänt gäller att en ekvation P(D)y = u av ordning n med karaktäristiskt polynom P(s) = s n + a 1 s n a n 1 s+a n kan skrivas som ett system av n ekvationer om vi skriver funktionen y och dess derivator upp till och med n 1 som en vektor ty då får vi systemet ( x = y, y, y,..., y (n 1)) C n x 1 = y = x 2 x 2 = y = x 3 x n = y(n) = a n x 1 a n 1 x 2 a 1 x n + u som i matrisform blir x = Ax+Bu, y = Cx där A = a n a n 1 a n 2 a 1, B =. 1, C = [ 1 ] Den något allmännare differentialekvationen P(D)y = Q(D)u, där Q är ett polynom av lägre grad än P, kan man dela upp genom att införa hjälpfunktionen z så att P(D)z = u och y = Q(D)z Med tillståndsvektorn x = ( z, z, z,..., z (n 1)) blir A och B som i förra fallet och om Q(s) = b n + b n 1 s+ +b 1 s n 1 får vi C = [ b n b n 1 b 1 ]. Motiverade av exempel 32 och 34 definierar vi allmänt Definition 33 Ett lineärt system u G y har tillståndsform om x = Ax+Bu och y = Cx där A, B och C är konstanta matriser med formaten n n, n 1 respektive 1 n. Matrisen A kallas systemmatris och B och C styrmatris respektive observationsmatris.

42 32 KAPITEL 4. TILLSTÅNDSBESKRIVNING 4.3 Överföringsfunktionen För att bestämma överföringsfunktionen till lineära system på tillståndsform laplacetransformerar vi matrisekvationerna i definition 33. Med systemet i exempel 32 ser kalkylen ut så här: Exempel 35 Laplacetransformen av ekvation (4.1) blir [ s x1 s x 2 ] [ x1 () x 2 () ] [ 1 1 = 1 2 ][ x1 x 2 ] [ ] ũ som vi skriver om till [ s s+2 ][ x1 x 2 ] [ x1 () = x 2 () ] [ ] ũ Multiplikation med inversmatrisen [ s s+2 ] 1 = 1 [ s+2 1 P(s) 1 s+1 där P(s) = s s+2 = s2 + 3s+1 ger [ x1 x = x 2 ] = 1 [ (s+2)x1 () x 2 () P(s) x 1 ()+(s+1)x 2 () Slutligen beräknar vi utsignalens laplacetransform ỹ = C x = x 1()+(s+1)x 2 () s 2 + 3s+1 + ] ] + 1 [ s+1 P(s) s ] ũ(s) s s 2 + 3s+1ũ = ỹ (s)+g(s)ũ(s) vilket bland annat ger överföringsfunktionen för filtret som G(s) = s s 2 + 3s Allmänna fallet I det allmänna fallet med ett godtyckligt system på tillståndsform och med matrisbeteckningar 1, ser kalkylen ut så här x = Ax+Bu, (si A) x = x + Bũ, y = Cx ỹ = C x x = (si A) 1 x()+(si A) 1 Bũ ỹ = C(sI A) 1 x()+c(si A) 1 Bũ 1 I betecknar i fortsättningen enhetsmatriser med lämpliga format. En annan vanlig beteckning är E.

43 4.4. EKVIVALENS 33 vilket ger ỹ (s) = C(sI A) 1 x(), G(s) = C(sI A) 1 B (4.3) Inversmatrisen R(s) = (si A) 1 är väldefinierad för alla komplexa s där karaktäristiska polynomet P(s) = det(si A) 4.4 Ekvivalens I avsnitt 4.2 konstruerade vi en tillståndsbeskrivning av lineära system som definieras av differentialekvationen P(D) y = u genom att införa tillståndsvektorn x = ( y,y,y,...,y (n 1)). Det finns dock många andra sätt att definiera tillståndsvektorn för sådana system. Om vi i exempel 34 i stället använder tillståndsvektorn z = (z 1,z 2 ) där { z1 = x 1 + x 2 z 2 = x 2 { x1 = z 1 z 2 (4.4) x 2 = z 2 vilket kan skrivas z = T x respektive x = T 1 z där T = tillståndsekvationerna blir z = T x = T ( AT 1 z+bu ) = TAT 1 z+tbu y = CT 1 z [ ]. De nya Matrisformen blir som förut z = Âz + Bu, y = Ĉz men nu med matriserna [ ] [ ] Â = TAT =, B = T B =, Ĉ = CT 1 = [ 1 ] (4.5) Även om vi har andra matriser, har vi fortfarande samma system och då kommer också sambandet mellan insignal u och utsignal y att vara oförändrat om begynnelsetillstånden är lika. Detta leder till följande definition av ekvivalens mellan olika tillståndsbeskrivningar. Definition 34 Två tillståndsbeskrivningar x = Ax+Bu, y = Cx (4.6) z = Âz+ Bu, y = Ĉz (4.7) är ekvivalenta om impulssvar g, och därmed överföringsfunktion G = g, är samma för de lineära system u G y som definieras av (4.6) och (4.7). Exempel 36 Matriserna i exemplen (4.2) och (4.5) ger ekvivalenta tillståndsbeskrivningar.

44 34 KAPITEL 4. TILLSTÅNDSBESKRIVNING Lösning 37 Det räcker att visa att överföringsfunktionerna är lika. Vi får med de nya matriserna (4.5) att ( ) [ ] 1 1 s+1 1 R(s) = si  = s 2 + 3s+1 1 s+2 Formlerna (4.3) ger då Ĝ(s) = Ĉ ( 1 s si Â) B = s 2 + 3s+1 = G(s) Allmänt gäller att om vi har ett lineärt system av ordning n på tillståndsform med tillståndsvektor x C n så får vi en ekvivalent beskrivning av systemet om vi i stället som tillståndsvektor väljer z=t x, där T är en godtycklig inverterbar n n-matris som inte beror av t. Vi formulerar detta i en sats. Sats 35 Om z = T x, där T är inverterbar, så är tillståndsbeskrivningarna (4.6) och (4.7) i definition 34 ekvivalenta. Bevis. Eftersom z = T x = T (Ax+Bu)=TAT 1 z+tbu och y =Cx =CT 1 z får vi sambanden  = TAT 1, B = T B, Ĉ = CT 1 Formeln (4.3) för överföringsfunktionen ger med hjälp av räkneregeln (AB) 1 = B 1 A 1 för inversen av en matrisprodukt att ( 1 Ĝ(s) = Ĉ si Â) B = CT 1( si TAT 1) 1 T B = CT 1( T sit 1 TAT 1) 1 T B = CT 1 [ T (si A)T 1] 1 T B = CT 1 T (si A) 1 T 1 T B = C(sI A) 1 B = G(s) 4.5 Övningar Övning 18 Undersök för vilka värden på den reella konstanten a som det lineära system som ges av differentialekvationen y + ay + y = u är stabilt. Övning 19 Formulera problemet i uppgift 15 på tillståndsform enligt definition 33 genom att införa lämpliga tillståndsvariabler x. Övning 2 För en ekvation P(D) y = u definierade vi karaktäristiska polynomet som P(s). Om vi istället beskriver ekvationen på tillståndsform får vi en annan definition, nämligen (s) = det(si A). Visa att dessa båda definitioner ger samma polynom. Övning 21 Betrakta systemet P(D)y = u, där P(D) = D 2 + 3D+2 och bestäm en tillståndsbeskrivning [ ] x = Ax+Bu, y = Cx, för detta sådan att A är en λ1 diagonalmatris. Beräkna även B och C. λ 2