MATEMATISK FORMELSAMLING

Transkript

1 Avdelningen för matematik och ämnesdidaktik (MOD) MATEMATISK FORMELSAMLING UPPLAGA 5

2 Innehåll Notation, mängdlära och logik Algebra Komplexa tal Punkter, vektorer och plan i rummet Geometri Trigonometri Några standardgränsvärden Derivator Integraler Differentialekvationer Numeriska metoder Dubbel- och trippelintegraler Vektoranalys Sannolikhetslära Matematisk statistik Fördelningstabeller i

3 Notation, mängdlära och logik Mängder och tal tomma mängden, { } Z mängden av heltal, {...,,, 0,,,...} Z + mängden av positiva heltal, {,, 3,...} Z mängden av negativa heltal, {..., 3,, } N mängden av naturliga tal, {0,,,...} {x Z : P } mängden av alla x i Z som uppfyller egenskapen P {x Z P } samma som {x Z : P } Q mängden av rationella tal, {p/q : p, q Z, q 0} R mängden av reella tal R + mängden av positiva reella tal, {x R : x > 0} R mängden av negativa reella tal, {x R : x < 0} [a, b] det slutna intervallet från a till b, {x R : a x b} (a, b) det öppna intervallet från a till b, {x R : a < x < b} ]a, b[ samma som (a, b) C mängden av komplexa tal, {a + ib : a, b R} De positiva primtalen 00, 3, 5, 7,, 3, 7, 9, 3, 9, 3, 37, 4, 43, 47, 53, 59, 6, 67, 7, 73, 79, 83, 89, 97 Symboler från mängdlära A = B A är lika med B A B A är inte lika med B a A elementet a finns i mängden A a A elementet a finns inte i mängden A A B unionen av mängderna A och B, {x : x A eller x B} A B snittet av mängderna A och B, {x : x A och x B} A B skillnaden mellan mängderna A och B, dvs. {x A : x B} A \ B samma som A B B den komplementära mängden till B, det vill säga om B är en delmängd till den universella mängden U så är B = {x U : x B} B c samma som B A B A är en delmängd till B, x A x B A B A är en äkta delmängd till B, dvs. A B och A B A B den kartesiska produkten av mängderna A och B, dvs. mängden av alla ordnade par (a, b) sådana att a A och b B P(A) potensmängden till A, dvs. mängden av alla delmängder till A

4 Viktiga likheter inom mängdlära Associativa lagar: (A B) C = A (B C) (A B) C = A (B C) Kommutativa lagar: A B = B A A B = B A Distributiva lagar: A (B C) = (A B) (A C) A (B C) = (A B) (A C) De Morgans lagar: A B = A B A B = A B Logiska symboler p icke p p q p eller q p q p och q p q p implicerar/medför q p q p är ekvivalent med q Viktiga ekvivalenser inom logik Associativa lagar: (p q) r p (q r) (p q) r p (q r) Kommutativa lagar: p q q p p q q p Distributiva lagar: p (q r) (p q) (p r) p (q r) (p q) (p r) De Morgans lagar: (p q) p q (p q) p q Logiska ekvivalenser för bevisföring Att bevisa p q är ekvivalent med att bevisa p q och q p Att bevisa p q är ekvivalent med att bevisa q p

5 Algebra Symboler för relationer mellan tal a = b a är lika med b a b a är inte lika med b a < b a är (strikt) mindre än b a > b a är (strikt) större än b a b a är mindre än eller lika med b a b a är större än eller lika med b a b heltalet a delar heltalet b Viktiga likheter för aritmetik Associativa lagar: (a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) Kommutativa lagar: a + b = b + a, ab = ba Distributiva lagen: a(b + c) = ab + ac Lagen om nolldelare: Om ab = 0 så är a = 0 eller b = 0 Kvadreringsreglerna och konjugatregeln (a + b) = a + ab + b (a b) = a ab + b (a + b)(a b) = a b Kubregler (a + b) 3 = a 3 + 3a b + 3ab + b 3 (a b) 3 = a 3 3a b + 3ab b 3 Summor av kuber a 3 + b 3 = (a + b)(a ab + b ) a 3 b 3 = (a b)(a + ab + b ) Andragradspolynom Ekvationen x + px + q = 0 har rötterna x = p p + 4 q och x = p p 4 q där x + x = p och x x = q 3

6 Absolutbelopp x = { x om x 0 x om x < 0 Kvadratrötter a b = ab a 0, b 0 a a = b b a 0, b > 0 a b = a b b 0 Potenser x, y, a, b, reella tal a, b > 0, och n ett positivt heltal a x a y = a x+y a x b x = (ab) x a x a = ( ) y ax y a x y = a xy a x ( a ) x b = x b a x = a x a 0 = a n = n a Logaritmer För positiva reella tal x, y, a, b, där a, b gäller log a xy = log a x + log a y log a x y = log a x log a y log a x p = p log a x log a x = log b x log b a lg xy = lg x + lg y lg x y = lg x lg y lg x p = p lg x lg x = ln x ln 0 där a y = x y = log a x 0 y = x y = lg x e y = x y = ln x log 0 skrivs oftast lg log e skrivs oftast ln 4

7 Några summationsformler n r = r= n r = r= n r= n r=0 n(n + ) n(n + )(n + ) 6 r 3 = n (n + ) 4 x r = xn+, där det reella talet x x Binomialsatsen där n är ett positivt heltal, (a + b) n = ( ) n = r n r=0 ( ) n a r b n r r n!, n! = n(n ) 3 och 0! =. r!(n r)! 5

8 3 Komplexa tal Definition Ett komplext tal z kan skrivas z = a + ib där a och b är reella tal och i är ett tal som uppfyller i =. Talen z = a + ib och z = a ib kallas konjugerade. Belopp Beloppet z av z = a + ib är z = r = a + b Polär form z = r(cos ϕ + i sin ϕ) = re iϕ, där r = z och ϕ = arg(z) De Moivre z n = r n( cos(nϕ) + i sin(nϕ) ) = r n e inϕ Multiplikationsregler Om z = r e iϕ och z = r e iϕ så är z z = r r e i(ϕ +ϕ ) z = r e i(ϕ ϕ ) z r 6

9 4 Punkter, vektorer och plan i rummet Avståndet mellan punkterna (x, y, z ) och (x, y, z ) x x + y y + z z Avståndet från punkten (x, y, z ) till planet ax + by + cz = d ax + by + cz d a + b + c Normen (längden) av vektorn a = (a, a, a 3 ) a = a + a + a 3 Skalärprodukten av vektorerna a = (a, a, a 3 ) och b = (b, b, b 3 ) där α är vinkeln mellan a och b. a b = a b + a b + a 3 b 3 = a b cos α, Projektion av vektorn u på vektorn a proj a u = u a a a Cauchy Schwarz olikhet u v u v 7

10 5 Geometri Cirkel r cirkelns radie, A area, O omkrets A = πr O = πr Cirkelsektor r cirkelsektorns radie, ϕ cirkelsektorns vinkel, A area, L båglängd A = ϕr L = ϕr Pyramid B bottenarea, h höjd, V volym V = Bh 3 Rak cirkulär cylinder r radie, h höjd, S mantelarea (ytarea), V volym S = πrh V = πr h Rak cirkulär kon r radie, h höjd, s sida, S mantelarea (ytarea), V volym S = πrs V = πr h 3 Sfär r radie, S mantelarea (ytarea), V volym S = 4πr V = 4πr3 3 8

11 6 Trigonometri Rätvinklig triangel c b ϕ a sin ϕ = b c cos ϕ = a c tan ϕ = b a Enhetscirkeln (x P, y P ) P ϕ { xp = cos ϕ y P = sin ϕ tan ϕ = sin ϕ cos ϕ cot ϕ = cos ϕ sin ϕ 9

12 γ b a α c β Areasatsen för triangeln area = bc sin α Sinussatsen sin α a = sin β b = sin γ c Cosinussatsen a = b + c bc cos α Additionsreglerna sin(ϕ + ψ) = sin ϕ cos ψ + cos ϕ sin ψ sin(ϕ ψ) = sin ϕ cos ψ cos ϕ sin ψ cos(ϕ + ψ) = cos ϕ cos ψ sin ϕ sin ψ cos(ϕ ψ) = cos ϕ cos ψ + sin ϕ sin ψ Trigonometriska ettan sin ϕ + cos ϕ = Formlerna för dubbla vinkeln sin(ϕ) = sin ϕ cos ϕ cos(ϕ) = cos ϕ sin ϕ = cos ϕ = sin ϕ Uttryck på formen a sin x + b cos x a sin x + b cos x = r sin(x + y) där r = a + b, cos y = a r och sin y = b r 0

13 Några exakta värden för trigonometriska funktioner Vinkel ϕ grader radianer sin ϕ cos ϕ tan ϕ π/6 / 3 / 3 / 3 45 π/4 60 π/3 / / 3 / / 3 90 π/ 0 ej def. 0 π/3 35 3π/4 3 / / 3 / / 50 5π/6 / 3 / 3 / 3 80 π π/6 / 3 / 3 / 3 5 5π/4 / / 40 4π/3 3 / / π/ 0 ej def π/3 3 / / π/4 / / 330 π/6 / 3 / 3 / π 0 0

14 7 Några standardgränsvärden lim x ± x = 0 lim x 0± x = ± sin(x) lim x 0 x = lim x 0 cos(x) x ( lim + x x = e lim x x) n x e = 0 x = 0 e x lim x 0 x ln(x) lim x x = lim x 0 ln( + x) x = 0 =

15 8 Derivator Definition f (a) = lim h 0 f(a + h) f(a) h = lim x a f(x) f(a) x a Derivator av några funktioner Funktion Derivata x a ax a e x e x e ax ae ax a x, a > 0 x ln(x) log a (x) sin(x) a x ln(a) x x x ln(a) cos(x) cos(x) tan(x) arctan(x) arcsin(x) sin(x) cos (x) = + tan (x) + x x 3

16 Produktregeln ( f(x)g(x) ) = f (x)g(x) + f(x)g (x) Kvotregeln ( ) f(x) = f (x)g(x) f(x)g (x) ( ) g(x) g(x) Kedjeregeln h(x) = f ( g(x) ) h (x) = f ( g(x) ) g (x) Derivata av invers funktion d dx f (x) = f ( f (x) ) Taylors formel f(x) = f(a) + f (a)! (x a) + f (a)! för något tal ξ mellan x och a. (x a) + + f (n) (a) n! (x a) n + f (n+) (ξ) (x a)n+ (n + )! 4

17 9 Integraler Primitiva funktioner Funktion Primitiv funktion x a a + xa+ + c, a e x x sin(x) e x + c ln x + c cos(x) + c cos(x) cos (x) sin (x) x sin(x) + c tan(x) + c cot(x) + c arcsin(x) + c + x arctan(x) + c Partiell integration f (x)g(x) dx = f(x)g(x) f(x)g (x) dx Areaberäkning i polära koordinater A = β α ( f(θ) ) dθ 5

18 Rotationsvolymer Rotation kring x-axeln: Rotation kring y-axeln: V = π V = π b a b a ( f(x) ) dx xf(x) dx Båglängd s = s = s = b a b a β α (x (t) ) + ( y (t) ) dt x = x(t), y = y(t) + ( f (x) ) dx y = f(x) (f (θ) ) + ( f(θ) ) dθ r = f(θ), polära koordinater Rotationsytor Rotation kring x-axeln: Rotation kring y-axeln: A = π A = π b a b a f(x) + ( f (x) ) dx x + ( f (x) ) dx 6

19 0 Differentialekvationer Första ordningens linjära differentialekvationer Integrerande faktor till y + g(x)y = h(x) är e G(x), där G(x) = g(x) dx. Andra ordningens homogena linjära differentialekvationer Differentialekvationen y + ay + by = 0, där a och b är konstanter, har lösningar som ges av y = Ae r x + Be r x y = (Ax + B)e rx y = e αx( A cos(βx) + B sin(βx) ) om rötterna r och r till karaktäristiska ekvationen är reella och r r ; om rötterna r och r till karaktäristiska ekvationen är reella och r = r = r; om rötterna r = α+βi och r = α βi till karaktäristiska ekvationen inte är reella. 7

20 Numeriska metoder Approximering av lösning till ekvationen f(x) = 0 Newton-Raphsons metod: x n+ = x n f(x n) f (x n ) Numerisk integrering Trapetsmetoden: Mittpunktsmetoden: ( f(x0 ) T n = h + f(x ) + + f(x n ) + f(x ) n) ( ) M n = h f(m ) + + f(m n ) Approximering av lösningskurva till y = F (x, y), y(x 0 ) = y 0 { x n+ = x n + h Eulers metod: y n+ = y n + h f(x n, y n ) x n+ = x n + h Förbättring av Eulers metod: u n+ = y n + h f(x n, y n ) y n+ = y n + h f(x n, y n ) + f(x n+, u n+ ) 8

21 Dubbel- och trippelintegraler Dubbelintegraler över y -enkla områden För det begränsade området D givet genom a x b och f (x) y f + (x) b f+ (x) f(x, y) da = f(x, y) dy dx D a f (x) Variabelbyte i dubbelintegraler För en bijektiv transformation x = x(u, v) y = y(u, v) från ett område S i uv -planet till ett område D i xy -planet f(x, y) dx dy = f ( x(u, v), y(u, v) ) (x, y) (u, v) du dv där D S (x, y) (u, v) = det ( x u y u x v y v ). Polära koordinater x = r cos(θ) y = r sin(θ) dx dy = r dr dθ Cylindriska koordinater x = r cos(θ) y = r sin(θ) z = z dx dy dz = r dr dθ dz Sfäriska koordinater x = ρ sin(φ) cos(θ) y = ρ sin(φ) sin(θ) z = ρ cos(φ) dx dy dz = ρ sin(φ) dρ dφ dθ 9

22 3 Vektoranalys i = ( 0 ) ( 0, j = ) i R, och i = 0 0, j = 0 0, k = 0 0 i R 3 Linjeintegraler För en funktion f(x, y, z) och ett vektorfält F(x, y, z) = F (x, y, z)i + F (x, y, z)j + F 3 (x, y, z)k gäller f ds = b C a f ( r(t) ) dr dt (t) dt ( F dr = F (x, y, z) dx + F (x, y, z) dy + F 3 (x, y, z) dz ) C b ( ( )dx = F x(t), y(t), z(t) dt (t) + F ( )dy x(t), y(t), z(t) dt (t) C = a b a +F 3 ( x(t), y(t), z(t) )dz dt (t) F ( r(t) ) dr (t) dt dt ) dt där r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k, a t b, är en parametrisering av kurvan C. Ytintegraler För en funktion f(x, y, z) och ett vektorfält F(x, y, z) = F (x, y, z)i + F (x, y, z)j + F 3 (x, y, z)k gäller f ds = S D f ( r(u, v) ) r u r v du dv S F ds = ± F ( r(u, v) ) ( r D u r ) du dv v där r(u, v), (u, v) D, är en slät parametrisering av ytan S. 0

23 Gradient, divergens och rotation = i x + j y + k z För ett vektorfält F(x, y, z) = F (x, y, z)i + F (x, y, z)j + F 3 (x, y, z)k och en funktion φ(x, y, z) grad φ = φ = φ x i + φ y j + φ z k div F = F = F x + F y + F 3 z ( F3 curl F = F = y F ) ( F i + z z F ) ( 3 F j + x x F ) k y Greens formel För ett vektorfält F(x, y) = F (x, y)i + F (x, y)j ( F (x, y) dx + F (x, y) dy ) = C D ( F x F ) da y där D är ett begränsat område i xy -planet med positivt orienterad rand C. Gauss divergenssats För ett vektorfält F(x, y, z) = F (x, y, z)i + F (x, y, z)j + F 3 (x, y, z)k div F dv = F ˆN ds V där ytan S är randen till det begränsade området V, orienterad så att ytans enhetsnormalvektor ˆN pekar ut från ytan. S Stokes sats För ett vektorfält F(x, y, z) = F (x, y, z)i + F (x, y, z)j + F 3 (x, y, z)k F dr = curl F ˆN ds C S där S är en orienterad yta med rand C och ˆN är enhetsnormalvektorn till ytan orienterad i enlighet med randkurvans orientering.

24 4 Sannolikhetslära Stokastiska variabler Varians: V (X) = E ( (X E(X)) ) = E(X ) ( E(X) ) Standardavvikelse: D(X) = V (X) Kovarians: C(X, Y ) = E ( (X E(X))(Y E(Y )) ) = E(XY ) E(X)E(Y ) Korrelationskoefficient: ρ(x, Y ) = C(X, Y ) D(X)D(Y ) Diskreta fördelningar Binomialfördelning: X Bin(N, p), där 0 < p < och N N, om ( ) N p X (k) = p k ( p) N k, k = 0,,,..., N. k E(X) = Np, V (X) = Np( p) För-första-gången -fördelning: X ffg(p), där 0 < p <, om p X (k) = p( p) k, k =,, 3,.... E(X) = p, V (X) = p p Hypergeometrisk fördelning: Låt 0 < p < och N, n N vara sådana att N, n < N och Np N. X Hyp(N, n, p) om p X (k) = ( Np )( N( p) k n k ) ( N n), 0 k Np, 0 n k N( p). E(X) = np, V (X) = np( p) N n N Poissonfördelning: X Po(µ), där µ > 0, om E(X) = µ, V (X) = µ p X (k) = µk k! e µ, k = 0,,,....

25 Kontinuerliga fördelningar Likformig fördelning: X U(a, b), där a < b, om för a < x < b f X (x) = b a 0 annars. E(X) = a + b (b a), V (X) = En likformig fördelning kallas även för Rektangelfördelning med beteckning R(a, b). Exponentialfördelning: X Exp(λ), där λ > 0, om { λe λx för x > 0 f X (x) = 0 annars. E(X) = λ, V (X) = λ Normalfördelning: X N(µ, σ), där µ R och σ > 0, om E(X) = µ, V (X) = σ f X (x) = σ (x µ) π e σ. Centrala gränsvärdessatsen Om X, X,..., X n är oberoende likafördelade stokastiska variabler med väntevärde µ och standardavvikelse σ, så är X = n X j n approximativt N ( µ, σ/ n ) för stora n. j= Approximation Hyp(N, n, p) är approximativt Bin(n, p), om n/n 0,. Bin(N, p) är approximativt Po(Np), om p 0,. Bin(N, p) är approximativt N ( Np, Np( p) ), om Np( p) 0. Po(µ) är approximativt N ( µ, µ ), om µ 5. 3

26 5 Matematisk statistik Beskrivande statistik Ogrupperad data x = xj n s = (xj x) = ( ) x j nx = ( x j ( ) ) xj n n n n Grupperad data x = fj y j n s = fj (y j x) = ( ) fj yj nx = ( fj yj ( ) ) fj y j n n n n Korrelationskoefficient r = (xj x)(y j y) (xj x) (y j y) = n x j y j x j yj n x j ( xj ) n y j ( yj ) Maximum-likelihood-metoden Låt X vara en stokastisk variabel vars fördelning beror av en okänd parameter θ. Låt x,..., x n vara observationer av oberoende stokastiska variabler X,..., X n med samma fördelning som X. Det värde θ obs L(θ) = { p X (x ; θ) p X (x n ; θ) som maximerar L -funktionen f X (x ; θ) f X (x n ; θ) i det diskreta fallet i det kontinuerliga fallet kallas Maximum-Likelihood-skattningen (ML-skattningen) av θ. Minsta-kvadrat-metoden Låt x,..., x n vara observationer av de oberoende stokastiska variablerna X,..., X n med samma varians. Antag vidare att E(X j ) = m j (θ), där θ är en okänd parameter. Det värde som minimerar kvadratsumman θ obs Q(θ) = n ( xj m j (θ) ) j= kallas Minsta-Kvadrat-skattningen (MK-skattningen) av θ. 4

27 Vanliga stickprovsvariabler Ett stickprov: Låt X,..., X n X = n vara oberoende stokastiska variabler som är likafördelade. n j= X j, S = n n (X j X) j= Om X,..., X n N(µ, σ) så gäller X µ σ/ n N(0, ), X µ S/ n t(n ) och n S χ (n ). σ Poolad variansskattning från två stickprov: Låt X,..., X n vara likafördelade och låt Y,..., Y n vara likafördelade. Samtliga stokastiska variabler antas vara oberoende och med samma varians σ. ( n ) S n = (X j X) + (Y j Y ) n + n Om X,..., X n N(µ, σ) och Y,..., Y n N(µ, σ) så gäller j= j= X Y (µ µ ) S /n + /n t(n + n ). Konfidensintervall Låt x,..., x n vara observationer av oberoende stokastiska variabler X,..., X n N(µ, σ). Konfidensintervall för µ : Ett tvåsidigt konfidensintervall med konfidensgraden α är x x σ n λ α/ µ x + σ n λ α/ s t α/ (n ) µ x + s t α/ (n ) n n när σ är känd, när σ är okänd. Konfidensintervall för σ : Ett tvåsidigt konfidensintervall med konfidensgraden α är n χ α/ (n ) s σ n χ α/ (n ) s. 5

28 Hypotesprövning Konfidensmetoden: Förkasta H 0 : θ = θ 0 på nivån α om θ 0 ej faller inom ett lämpligt valt konfidensintervall med konfidensgraden α. χ -test: Test av fördelning. Ett försök ger något av resultaten A,..., A r med respektive sannolikheter P (A ),..., P (A r ). Man har n stycken observationer där frekvensen för händelse A j är x j. Om H 0 är sann blir H 0 : P (A ) = p,..., P (A r ) = p r Q obs = r (x j np j ) ett utfall av en approximativt χ (r ) -fördelad stokastisk variabel. j= Tumregel för god approximation: np j 5 Homogenitetstest. Ett försök ger något av resultaten A,..., A r. Man har s stycken försöksserier. Inom den i:te serien har man n i stycken observationer och frekvensen x ij för händelsen A j. H 0 : Sannolikheterna för A,..., A r Om H 0 är sann blir np j serie A A A r antal försök x x x r n x x x r n.... s x s x s x sr n s summa m m m r n är desamma i alla försöksserier. Q obs = s r (x ij n i p j,obs ), där p n i p j,obs = m j /n, j,obs i= j= ett utfall av en approximativt χ ( (r )(s ) ) -fördelad stokastisk variabel. Tumregel för god approximation: n i p j,obs 5 6

29 Linjär regression Låt Y,..., Y n vara oberoende stokastiska variabler sådana att Y j N(α + βx j, σ) för j =,..., n. Skattad regressionslinje: y = αobs + β obsx med koefficienter som ges av β obs = S xy S xx, α obs = y β obsx, där S xy = S xx = n n (x j x)(y j y) = x j y j nxy = j= n (x j x) = j= n x j nx = j= j= j= n x j y j n j= n x j ( n ). x j n j= n j= x j n y j, j= Fördelningar: β = n j= (x j x)(y j Y ) n j= (x j x) N (β, σ / ) Sxx ( ) α = Y β x N α, σ + x n S xx 7

30 6 Fördelningstabeller Normalfördelning Tabellen ger sannolikheten Φ(x) = P (X x), där X N(0, ). För negativa x -värden använd relationen Φ( x) = Φ(x). x

31 Normalfördelning (forts.) Tabellen ger det λ α -värde för vilket P (X > λ α ) = α, där X N(0, ). α λ α α λ α Binomialfördelning Tabellen ger sannolikheten P (X x) för givet x, där X Bin(n, p). För p > 0.5 använd P (X x) = P (Y n x) där Y Bin(n, p). n x p

32 n x p

33 n x p

34 t -fördelning Tabellen ger det t α (f) -värde för vilket P ( X > t α (f) ) = α, där X t(f). f α

35 χ -fördelning Tabellen ger det χ α(f) -värde för vilket P ( X > χ α(f) ) = α, där X χ (f) f α