Studentens Ultimata Guide till Cost-Benefit-Analys

Transkript

1 CERE Working Pper, 2015:15 Studentens Ultimt Guide till Cost-Benefit-Anlys Per-Olov Johnsson *, Hndelshögskoln i Stockholm Krl-Gustf Löfgren *, Umeå Universitet * Centre for Environmentl nd Resource Economics Umeå School of Business nd Economics Umeå University, Sweden December, 2015 he Centre for Environmentl nd Resource Economics (CERE) is n inter-disciplinry nd inter-university reserch centre t the Umeå Cmpus: Umeå University nd the Swedish University of Agriculturl Sciences. he min objectives with the Centre re to tie together reserch groups t the different deprtments nd universities; provide seminrs nd workshops within the field of environmentl & resource economics nd mngement; nd constitute pltform for cretive nd strong reserch environment within the field. Deprtment of Economics, Umeå University, S , Umeå, Sweden

2 1 December 2015 Studentens Ultimt Guide till Cost-Benefit- Anlys 1 Per-Olov Johnsson Hndelshögskoln i Stockholm Krl-Gustf Löfgren Umeå Universitet. 1 Förfttrn vill tck Riksbnkens jubileumsfond (RS :1) för forskningsnslg.

3 2 Introduktion till Studentens Ultimt Guide till Cost-Benefit-Anlys Cost-benefit-nlys (CBA) erbjuder en formell nsts för tt sktt kostnder och intäkter för olik ekonomisk politisk verksmheter och kn därmed bidr med nvändbr informtion för beslutsfttnde. Den begreppsmässig underbyggnden för CBA kn härleds till den frnske ingenjören och ekonomen Jules Dupuit, se Dupuit (1844). Den mer tillämpde nvändningen v CBA fick nstå till 1900-tlet. Driven v en krftig utbyggnd v vttenkrften i USA och därmed förknippde skdor i fler viktig floder ingrep Kongressen med två viktig flood control cts åren 1936 och Akten från 1936 vsåg works of improvement i ett 50-tl floder i USA. Mycket viktigt vr tt kten introducerde en nsts för tt prioriter melln projekt. he Federl Government should improve or prticipte in the improvement of nvigble wters or their tributries, including wtersheds.for flood control if the benefits to whomsoever they my ccrue re in excess of estimted costs. Det senre är cost-benefit-nlysens essens. En närbesläktd problemtik är hur mn sk mät intäkter (fördelr) och vd som mens med tt intäkter överskrider kostndern. Vilfred Preto (1897) mende tt ett projekt skll genomförs om åtminstone en end individ får en bättre välfärd smtidigt som ingen individ får det sämre. Det låter sig sägs men kriteriet är sälln eller ldrig uppfyllt i verkligheten, eftersom projekt tenderr tt skp både vinnre och förlorre. John Hicks (1939) och Nicols Kldor (1939) vlde v den nledningen tt introducer en kompenstionsprincip som en prktisk regel för tt bedöm ekonomisk projekt. Hicks-Kldor-principen innebär tt vinnrn, åtminstone hypotetiskt, skll kunn kompenser förlorrn. Mn kn då tl om en hypotetisk Pretoförbättring. Likväl innehåller principen ett strkt etiskt ntgnde, nämligen tt möjligheten tt kompenser, utn tt genomför en reell kompenstion, är tillräcklig för tt motiver projektet. I verkligheten kn ett projekt gynn individer med hög välfärd medn individer länge ner på välfärdsstegen förlorr på projektet. Dett skulle kunn innebär tt individern v rättviseskäl skll vikts efter något kriterium, där de som ligger lågt på välfärdsstegen vikts högre. För tt jämför med Hicks-Kldor-kriteriet kn två individer A och B, där A vunnit 10 kronor och B förlort 8 kronor, båd, hypotetiskt, få det bättre om A ger 1 kron till B. Om smhället tilldelr den mer välbeställde A en välfärdsvikt på t.ex. 0.4 och den reltivt sett fttigre B en välfärdsvikt på 0.6 erhålls ett negtivt resultt genom tt det vägd utfllet blir 0.4x10-0.6x8=-0.08, givet tt fktisk kompenstion inte genomförs. Vi rör os därmed mot det som klls Arrows omöjlighetsteorem (från hns vhndling från 1951) som bevisr tt det inte finns någon rimlig välfärdsfunktion som smtidigt stisfierr rimlig villkor (xiom). eoremet gäller i en ordinl värld, där individers nyttor inte kn jämförs utn br rngordns. Med ndr ord, välfärdsvikter är i den ordinl världen meningslös. Om mn tillämpr en strängre metrik, såsom krdinl mätbrhet, och tillåter interpersonell jämförelser öppns upp för socil välfärdsfunktioner (utöver olik former v dikturer). Dess möjliggör en tillämpd (prktisk) välfärdsekonomi, dvs. cost-benefit-nlys. För en uttömmnde och reltivt tillgänglig (dvs. icke-xiomtisk) diskussion om egenskper hos olik välfärdsfunktioner och hur sådn funktioner kn nvänds hänvisr vi läsren till Bodwy och Bruce (1984). Vi hr vlt tt vdel utrymme i börjn v boken för tt diskuter dess spekter på beslutsfttnde, därför tt de är utomordentligt viktig för CBA. Det bör också nämns tt ett ggregeringsproblem omfttr ll icke-dikttorisk beslutskriterier. Detsmm gäller ndr empirisk utvärderingsmetoder. Även om vi vänder oss till kostndseffektivitetsnlys, kostndsnyttonlys 2, 2 I hälsoekonomi vser kostndsnyttonlys (cost-utility nlysis) en kostndseffektivitetsnlys där ett kvntittivt intäktsmått erstts med en nyttofunktion, vnligen med häls som end rgument. I äldre svensk littertur beteckns iblnd en smhällsekonomisk nlys/cost-benefit-nlys (cost-benefit nlysis) kostndsnyttonlys. För tt undvik missförstånd undviker vi fortsättningsvis tt nvänd termen kostndsnyttonlys.

4 3 ekonomisk effekt-nlys, multikriterienlys, eller någon nnn form v utvärderingsmetod måste dt förr eller senre ggregers. Under ll förhållnden hr CBA erövrt ny domäner och ny ppliktioner hr tillkommit sedn 1950-tlet. Verktygen hr nvänts för tt nlyser olik typer v offentlig projekt i Europ, Nordmerik, Austrlien och senre i ett flertl v tredje världens länder. För en historisk återblick på CBA i USA hänvisr vi till Zerbe Jr (2007), för Austrlien är Dobs (2008) en br referens och för UK hänvisr vi till Hnley och Spsh (1993). När det gäller klssisk teori hänvisr vi till Dreze och Stern (1987), Johnsson (1993), Just et.l (2004) och Lesourne (1972, 1975). Dess mnuler är formell och kräver kunskper i llmän jämviktsteori. Det finns emellertid också kokböcker som visr på hur mn kn rbet med CBA i verkligheten. Hit hör de Rus (2010), Europen Commission (2008), HM resury (2003), Perce et.l. (2006) och meriknsk EPA (2010). Den underliggnde välfärdsteorin är utomordentligt bred, men intressnt delr som berör CBA återfinns i Johnsson (1991) medn ndr mer teknisk frmställningr ges v Bodwy och Bruce (1984) och Ms-Colell et l. (1995). Det finns mång hnds-on mnuls som är nvändbr, men erfrenheten visr tt ll utvärderingr medför oväntde teoretisk och empirisk överrskningr och utmningr. Utvärderren blir i llmänhet snbbt påmind om tt hon behöver gör sin egn härledningr v CBA-regler. Vi hopps tt vi i den här mnulen tillhndhåller någr v de nyttig teoretisk grunder som krävs vid prktisk utvärderingr, men förkunskpskrvet är högre studier i ntionlekonomi (C-nivå, men gärn en msterexmen eller doktorndstudier). Mång v de gångbr teknisk verktygen som återfinns i boken förenklr förhoppningsvis livet för en välutbildd CBA-prktiker. Hit hör: Introduktion till nuvärdesteorin Enveloppegenskper som enkelt ger prtiell och generell cost-benefit-regler. Regler för såväl små som stor projekt. Cost-benefit-regler för nturresurser För- och nckdelr med Hicks-Kldor-kriteriet. Konsumentöverskott och ekvivlent och kompensernde vrition. Cost-benefit-nlyser v miljöförändringr och mrkndsmisslycknden. Mrginlkostnden för llmänn medel och sktters överskottsbörd. Vägledning för vlet v diskonteringsränt i empirisk studier. Cost-benefit-nlyser v dynmisk Rmsey-modeller. Stokstisk dynmisk cost-benefit-regler under brownsk rörelse. Den ny investeringsteorin under osäkerhet. Mnulens tre först kpitel är medelsvår medn det fjärde kpitlet innehåller optiml kontrollteori och stokstisk metoder som är reltivt svårtillgängligt mteril. Vi försöker emellertid tt förenkl stoffet så långt som möjligt utn tt sop svårighetern under mttn. Ett ntl härledningr hr vi lgt i ppendix.

5 4 KAPIEL 1 INRODUKION ILL NUVÄRDESEORIN Investeringsteorin hndlr om principern för intertemporlt vl och vsikten här är tt belys någr v teorins grunder, vilk i huvudsk hndlr om beslutsregler för intertemporl vl. Dess beslutregler hjälper oss tt välj vilk projekt, ur ett stort ntl, som är lönsmm. Som före dett skogsekonomer hr vi funnit tt den grundläggnde teorin oft misstolkts v skogsmän. De tror tt skogen sk sköts enligt principer som är unik för skogbruket. Hel den skogekonomisk teorin hr brottts med dett problem, även om Mrtin Fustmnn och Mx Robert Pressler redde ut de grundläggnde principern redn i mitten v 1800-tlet. Vi gissr också tt det i ndr discipliner utnför ntionlekonomin finns föreställningr som inte är bserde på generell teoretisk principer och därför resulterr i felktig vl. Med generell principer menr vi bl.. tt investeringen är lönsm (olönsm) oberoende v vem som får till uppgift tt genomför den. Investeringsbeslutet skll således vr oberoende v investerrens preferenser (nyttofunktion). Dett brukr klls för Fishers seprtionsteorem efter den meriknske ekonomen Irving Fisher som vr verksm i slutet v 1800-tlet och i börjn v 1900-tlet 3. Generell principer uppstår därför tt ett ntl ntgnden ligger i botten. Om dess inte är uppfylld tlr mn om imperfekt kpitlmrknder och då påverks besluten v individers preferenser. Vd som är lite intressnt är tt det i viss utsträckning ändå finns beslutsregler som under viss omständigheter gör det möjligt tt ignorer konsumentens preferenser. Vi sk försök vis vrför. INVESERINGSBESLU I EN PERFEK KAPIALMARKNAD Låt oss nt tt kreditmrknden är perfekt i meningen tt räntn är unik, och tt vrje konsument kn lån och spr vilken volym pengr som helst till smm ränt. Dett är nturligtvis en grov förenkling. Inte ens den (bnk) som lånr och/eller sprr över ntten i Sveriges riksbnk kn uppnå en unik ränt. Utlåningsräntn är normlt 75 punkter 4 högre och inlåningsräntn normlt 75 punkter lägre än Riksbnkens reporänt ( Men förenklingen med en unik ränt hr klr likheter med fullständig konkurrens. Få om ens någon hr observert mrkndsformen fullständig konkurrens. Inte desto mindre är den ett utomordentligt nvändbrt nlysinstrument. Med en investering vser vi en serie v positiv och icke positiv betlningr gjord i olik tidpunkter. Låt oss nt tt vi hr två investeringr som leder till två olik betlningsströmmr över tidsperioden 5 : [1, ] (,,..., ) 1 2 b ( b, b,..., b ) 1 2 Under vilk villkor skulle två personer lltid välj smm investering givet tt betlningsströmmrn skiljer sig åt ( b)? (Det är inte en helt enkel fråg. Det påstås tt Albert Einstein sgt tt 3 Se I. Fisher, he heory of Interest, New York 1930, s. 138 ff. 4 =0.75 % enheter. 5 Noter tt det inte spelr någon roll om en v betlningsströmmrn tr slut före. Mn kn då lägg till nollor för återstående perioder.

6 5 Compound interest is the eighth wonder of the world. He who understnds it, erns it... he who doesn't... pys it.) En investering borde ju i llmänhet innebär en omfördelning v konsumtionen över tiden. Om dett är snt är det inte säkert tt båd personern väljer smm investering. Men om konsumenterns inkomster över perioden är känd med säkerhet och om respektive individ genom sprnde och lån till smm räntests omfördelr konsumtionen över tiden, givet restriktioner kring nuvärden och frmtid inkomst kn mn vis tt båd väljer den investering som ger det högst nuvärdet. Skälet är tt budgetrestriktionen (mängden) prllellförflytts utåt i förhållnde till utgångsläget om investeringen hr ett positivt nuvärde. Om investeringen inte är lönsm prllellförflytts den inåt i förhållnde till utgångsläget. Den investering som står för den störst prllellförflyttningen utåt v budgetrestriktionen kommer tt väljs v båd konsumentern, därför tt den ger den störst vlmängden tt välj ur. Om ingen v investeringrn hr ett positivt nuvärde vstår båd konsumentern från tt invester. Mer formellt, ntg tt konsumenten hr nyttofunktionen u u( c1, c2,..., c ) (1.1) Där c t är konsumtionen i period t. I princip behöver vi br nt tt nyttofunktionen kn rngordn konsumtionsvektorern. Ing ntgnden som monoticitet eller kontinuitet är nödvändig för rgumenttionen. Vi smmnfttr vår ntgnden nedn: ANAGANDE 1.1 ) De frmtid inkomstern y ( t 1,2,..., ) t är känd med säkerhet. b) Nettointäktern t från investeringrn är känd med säkerhet. c) Kpitlmrknden är perfekt i meningen tt lån och sprnde sker till smm (rel-)ränt i vrje tidsperiod, betecknd rt, och räntn är känd med säkerhet. Under den först perioden får den investernde konsumenten kostnden 1 0 och inkomsten vilket gör tt de rel nettointäktern i den först perioden blir y1 c1 1. I slutet v den ndr perioden kn nettointäktern skrivs som 6 ( y c )(1 r ) ( y c ) y 1, En liknnde process för t 3,..., ger ( y c )(1 r )(1 r )...(1 r ) ( y c )(1 r ),...,(1 r ) ( y c )(1 r ) ( y c ) 1 1 t1 (1.2) 6 Läsren knske oros v tt vi inte nvänder någr priser på konsumtionen eller investeringrn. Det gör vi visst! Det fixs helt enkelt med lite sortförvndling som gör ll prisern lik med ett. ekniskt sker det genom tt ändr enhetern (disggregers eller ggregers) så tt priset på en enhet blir ett.

7 6 Genom tt lägg en restriktion tt summn v ll nettointäkter är icke negtiv ( med ( 1 r1 )(1 r2 )(1 r3 )...(1 r ) får vi en budgetrestriktion som kn skrivs som 0 ), och divider ( y c ) R ( y c ) R...( y c ) R (1.3) där 1 1 R1 1, R2,..., R 1 r (1 r )(1 r )...(1 r ) är diskonteringsfktorer och r t är relräntn (dvs. netto efter infltion) under period t. Budgetrestriktionen om individen inte investerr ger ( y c ) R ( y c ) R...( y c ) R (1.4) Den relevnt frågn är nu hur vi kn vgör om investeringen lönr sig. Nuvärdet v konsumtionen, som vi här betecknr C, hr en nedre gräns lik med noll och en övre gräns lik med t1 ( y ) R. t t t Vi kn skriv t1 ( y ) R C 0 t t t (1.5) Motsvrnde olikhet om konsumenten inte investerr är t1 y R t t C 0 (1.6) Eftersom diskonteringsfktorn inte beror på konsumtionen kommer den budgetrestriktion som ger den större vlmängden tt h den högre övre gränsen, och vilken det är kn fstställs genom tt subtrher ekvtion (1.6) från ekvtion (1.5). Vi kn då dr slutstsen tt investeringsregimen är tt föredr om och endst om R t t 0 (1.7) t1 Således är investeringen värd tt genomför om (och endst om) dess nuvärde är positivt. Internräntn och mrkndsräntn Ett nnt sätt tt undersök om en investering är tt föredr frmför ingen investering är tt nvänd sig v den s.k. internräntn. Definier K( r1, r2,..., r ) R t t t1

8 7 Antg tt räntn är konstnt över plneringsperioden. Då kn vi skriv investeringens nuvärde som K() r trt t1 >0 (1.7) Slutligen introducerr vi ntgndet tt betlningrn är icke negtiv så när som på den först betlningen 7 i period 1. ANAGANDE 1.2 ) 1 0,,..., 0 b) 2 3 Funktionen Kr () är vtgnde i r, dvs. ju högre r är desto mindre är funktionens värde. Men K ( r) R 0 1 r t t2 vilket betyder tt uttrycket kn görs godtyckligt litet genom tt välj en tillräckligt hög ränt. Om K ( r ) 1 1 är Kr ( ) =0. Räntn r är unik och klls internräntn (se figur 1.1). Figur 1.1 Internräntn Så länge som vi ntr tt penningräntn (dvs. r ) är konstnt över periodern kn internräntn nvänds för tt vgör om en investering är lönsm eller inte. Kriteriet innebär tt om internräntn är större än mrkndsräntn, r > r, är projektet lönsmt. Orsken är tt vid en lägre ränt än r blir 7 Dett är inte nödvändigt, men negtiv betlningr från period två och frmåt ger fler positiv rötter.

9 8 nuvärdet positivt. Om mrkndsräntorn vrierr melln periodern kn mn under i övrigt givn förutsättningr vis tt om den period som hr den högst mrkndsräntn perioder och r r mx är också investeringen lönsm. r mx nts gäll för ll vå investeringr kn rngordns genom tt se till tecknet på nuvärdet v differensinvesteringen: (1.8) K ( b ) R K ( r) K ( r) b t t t b t1 och investering är tt föredr frmför b om och endst om K ( r) K ( r) möjligt tt generellt rngordn investeringr med hjälp v internräntn, dvs. r investering är tt föredr frmför b (se figur 1.2). b. Däremot är det inte r betyder inte tt b Figur 1.2 Vrför internräntn inte kn rngordn investeringr I figuren gäller just tt föredr frmför. r r b, men om mrkndsräntn är lägre än r i figuren är investering b tt Slutsts 1 (Fishers seprtionsteorem) Givet ntgnde 1.1 kn två investeringr lltid rngordns med hjälp v ders nuvärden. Skälet är tt den investering som hr det högst nuvärdet ger upphov till den större budgetmängden. Det är lltid bättre tt genomför en investering med ett positivt nuvärde än tt vstå från den. Slutsts 2 (Norstroms regel) Givet ntgnden 1.1 och 1.2 och en över investeringsperioden konstnt ränt är en investering med den unik internräntn r r lönsm (dvs. bättre tt genomför än tt vstå från).

10 9 Slutsts 3 Antgnden 1.1 och 1.2 räcker inte för tt säkerställ tt en investering med internränt skll rngordns före (vr lönsmmre än) en investering b. Däremot gäller tt om räntn vrierr under investeringsperioden, och r r mx så är investeringen lönsm tt genomför. Fishers seprtionsproblem är enkelt tt illustrer i fllet med två perioder. Budgetrestriktionen utn investering kn skrivs 8 : c y ( y c )(1 r) r > r b Om investeringen genomförs ( 1, 2) c y c ( y c )(1 r) får budgetsrestriktionen följnde utseende 1 där det nts tt 1 0 och 2 0. Båd budgetlinjern är drgn i figur 1.3. Figur 1.3 Vlmängdern i tvåperiodfllet Eftersom lutningen på de två budgetlinjern är densmm, vlmängdern ntingen jämförs på ordintn i origo ( 1 0 Skillndern i koordinter melln punktern dc2 dc1 (1 r), kn storleken på c ) eller på bskissn i origo ( c2 0 ). ' ' B A 1 r 2 K r r c1 (1 ) ( )(1 ) ( 0) B A (1 r) K( r) ( c 0). De utgör båd nuvärden men det förr mäts i period två och 8 Vi ntr tt konsumentens optiml konsumtionsvl ligger på budgetlinjen.

11 10 och det senre i period ett. Nturligtvis kn jämförelsen i det generell fllet med vilken som helst v periodern 9. perioder görs i INVESERINGSBESLU DÅ KAPIALMARKNADEN ÄR IMPERFEK Ett mycket enkelt och relistiskt sätt tt inför en imperfekt kpitlmrknd är tt gör som riksbnken och ll ndr bnker, nämligen tt låt låneräntn vr högre än sprräntn. ANAGANDE 1.3 Kpitlmrknden är imperfekt genom tt låneräntn är högre än sprräntn. Båd räntorn är känd med säkerhet och konstnt över tiden. Den senre egenskpen är tillgd för tt möjliggör en sitution där Fishers seprtionsteorem kn gäll och smtidigt förstås. När kpitlmrknden är imperfekt är nuvärdet v konsumtionen inte väldefiniert. Orsken är tt nuvärdet v inkomstströmmen över tiden beror på konsumtionsmönstret. Blndningen v lån och sprnde växlr över tiden och påverkr nettovärdet v inkomstern, därför tt sprräntor och låneräntor är olik. För tt illustrer investeringsproblemet på en imperfekt kpitlmrknd sk vi nvänd en modell med två perioder. I figur 1.4 nedn mäts relvärdet v konsumtionen under den först perioden längs den horisontell xeln och ndr perioden mäts längs den vertikl xeln. Figur 1.4 Vlmängdern i en imperfekt kpitlmrknd Punkt A i digrmmet ger konsumtionsmöjlighetern när vrken lån, sprnde eller investeringr är möjlig. Konsumtionen i en period är då lik med periodens inkomst. Om vi tillåter sprnde under den först perioden, kommer konsumenten tt i den ndr perioden h sprt (1 r) s s, där s är 9 Läsren kn försök rit tredimensionell pln som ligger prllellt över vrndr. Det är inte lätt.

12 11 sprndet och r s är sprräntn. Sprndet följer lltså linjesegmentet AB. Om individen istället hde vlt tt konsumer mer i den först perioden än inkomsten i smm period hde hn tvingts lån d c y 1 1 till låneräntn r b och därmed fått återbetl d(1 r b ) i den ndr perioden. Genom tt pplicer smm resonemng som i fllet utn investeringr innebär frånvron v spr- och lånemöjligheter tt konsumenten hde tvingts konsumer 1.5. ( y, y ) i punkten ' A i figur Figur 1.5 Vlmängder vid investering som inte är objektivt tt föredr Om konsumenten tillåts lån eller spr kommer vlmängden tt bestå v den knäckt linjen och ytn under den. Genom tt den knäckt linje BAC och ytn därunder hr områden där vlen utn investering är tt föredr frmför en investering och vise vers kn vi lltså inte objektivt rekommender en investering. Konsumentens preferenser vgör huruvid en investering är tt föredr eller inte. ' ' ' B AC Under vilk förhållnden är det möjligt tt objektivt rngordn två eller fler investeringr på en imperfekt kpitlmrknd? Mtemtiskt kn mn säg tt investering är tt föredr frmför en nnn när vlmängden för den lterntiv investeringen är en äkt delmängd till den föreslgn investeringens vlmängd. För enkelhets skull kn vi låt lterntivinvesteringen vr ingen investering (0,0), medn den föreslgn investeringen hr betlningsströmmen 1 2 (, ). I figur 1.6

13 12 Figur 1.6 En investering i en imperfekt kpitlmrknd som är objektivt lönsm är skillnden melln koordintern ' C och C lik med K r 2 ( b) rb (1.9) Dett är nuvärdet v investeringen vid låneräntn. Differensen melln koordintern ' D och D är K( r ) s rs 0 (1.10) dvs. investeringen utvärderd med sprräntn. Och eftersom sprräntn är lägre än låneräntn är nturligtvis dett värde också positivt och tt invester är tt föredr frmför tt inte invester. Här kn problemet verk trivilt, men om vi hr fler än två perioder kn investeringen koppls till både sprräntor, låneräntor och vlet v konsumtion. Om diskontering inte sker i den först perioden 2 1 möjlig nuvärden (två värden på räntn är möjlig i smm period) när vi hr återstår perioder. Om ll dess värden är positiv säger intuitionen tt investeringen objektivt är tt föredr frmför ingen investering. Det är en korrekt intuition och vi skissr nu härledningen v dett resultt som först bevisdes v önu Puu (1964) 10 i vederbörndes doktorsvhndling. Nuvärdet v en investering mäter skillnden melln de övre gränsern för nuvärden v 1 konsumtionen när investeringen jämförs med tt vstå ifrån tt invester. Om de 2 möjlig 10 Gordon Pye publicerde oberoende v Puu smm problem (1966).

14 13 nuvärden v investeringen inte är negtiv innebär det tt den minst övre gränsen är större under en investeringsregim än i frånvro v investering oberoende v konsumtionsmönstret över tiden. Det innebär också tt ll konsumtionsmönster som är möjlig när mn vstår ifrån tt invester också är möjlig under investeringsregimen. illräcklighet är därmed bevisd. Om det däremot det finns minst ett negtivt nuvärde för investeringen kn mn finn konsumtionsvektorer som är möjlig när mn inte investerr men inte möjlig om mn investerr. Därmed hr vi vist tt positiv nuvärden är nödvändig. Själklrt kn ett likrtt rgument pplicers på en differensinvestering b ingen investering., lterntivet är här åter Slutsts: (Puus och Pyes eorem) Givet ntgnde 1.1 med en imperfekt kpitlmrknd kn två investeringr objektivt rnks med hjälp v nuvärdeskriteriet om och endst om smtlig differensinvesteringen är positiv. 2 1 möjlig kpitlvärden för Nturligtvis kn kpitlmrknden vr imperfekt även v ndr skäl än ovnstående, men det är en nnn sk. DEFINIION AV EN KONINUERLIG DISKONERINGSFAKOR De nuvärden som beräkns när mn nvänder sig v diskonteringsfktorern R t (1 i) t och i R 1, R2,..., nu får beteckn den diskret (till skillnd från kontinuerlig) räntn, är nturligtvis fullt hnterbr, men i teoretiskt rbete kn det underlätt om mn rbetr i kontinuerlig tid och då behöver mn en kontinuerlig diskonteringsfktor. Reltionen melln en kontinuerlig diskonteringsfktor e rt och den diskret diskonteringsfktorn [(1 i) t ] 1 R t R, där kn förstås med hjälp v följnde resonemng 11 : Antg tt vi studerr en tidsperiod på ett år som är uppdeld i n delperioder. Om den kontinuerlig räntn är r, är den intjände räntn över en period v storleken 1 n lik med. I slutet v året kommer en kron (som investers i börjn v året) tt vr värd r/ n r r v (1 ) [(1 ) ] [1 ) ] n n N n n/ r r 1 N r (1.11) där N n / r och mn kn vis tt 1 lim[(1 ) ] e N N N r r där e är bsen för den nturlig logritmen och gränsvärdet (limes) beteckns lim. Den kontinuerlig e r (1 i) räntn r kn därför jämförs med, vilket innebär tt om båd leden logritmers så erhålls 12 Om vi hr en kontinuerlig betlningsström t () på intervllet [0,] kn r ln e r ln(1 i). vi skriv nuvärdet v denn betlningsström som c rt PV () t e dt 0 11 e är bsen för den nturlig logritmen. Den hr fått nmnet efter en v de störst mtemtikern genom tidern Leonhrd Euler Hn producerde mtemtik trots en begynnnde blindhet. 12 Noter tt ln e 1.

15 14 till skillnd från den diskret betlningsströmmen diskonterr den först betlnigen 1 hr utseendet ( 1, 2,..., ) som i nuvärde när vi även PV j1 1 j i. Om r vrierr över tiden kn vi skriv den kontinuerlig diskonteringsfktorn som t R( t) r( ) d och 0 c R() t PV () t e dt 0. Vi vslutr med ett nvändbrt specilfll. Om en obligtion med oändlig löptid ger en konstnt årlig vkstning kn vi skriv nuvärdesformeln på två olik sätt och få smm resultt: c rt rt [ ] 0 r 0 PV e dt e r e r rt (integrtion som ger primitiv funktion [ ] )(1.12) och PV j1 1 (1 i) 1 i i i 1 1 (1 ) (oändlig serie med kvot (1 i) 1 ) (1.13) dvs. om räntn är densmm och tidshorisonten oändlig så ger kontinuerlig och diskret tid smm nuvärde 13. Nuvärdet är dessutom mycket enkelt tt beräkn i dess specilfll. Nedn kommer vi tt nvänd oss v båd skrivsätten. 13 Om vi inte diskonterr den först betlningen i (1.13) blir nuvärdet (1 i) / i.